Vecteurs aléatoires sur un espace fini ou dénombrable

Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Probabilités pour l’ingénieur
Chapitre 2 : Vecteurs aléatoires sur un espace fini ou
dénombrable
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020.
I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR

Introduction
Exercice:
On considère un système constitué de trois composants (A, B, C).
Le système fonctionne s’il y a au moins un chemin entre les points
1 et 2, constitué de composants qui fonctionnent.
Calculer la fiabilité de ce système dans chacun des cas suivants:
Cas 1: Les trois composants opèrent indépendamment les uns des
autres et la fiabilité des composants : P(A) = 0.90; P(B) =
0.85; P(C) = 0.95.
Cas 2: Le composant A opère indépendamment de B et de C, mais B
et C ne sont pas indépendants. Les fiabilité des composants
sont identiques du cas 1, en plus P(B|C) = 0.70.

Introduction
Plan
1 Introduction
2 Variables aléatoires discrètes
Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
3 Lois usuelles discrètes
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
4 Couple de variables aléatoires, cas discret

Introduction
Introduction
Les variables aléatoires constituent un espace fondamental
d’éléments aléatoires, un tel élément étant défini par référence
à une expérience aléatoire.
Dans cette partie, nous allons développer une étude plus
systématique des variables aléatoires et de leur loi. La
nouveauté va être de comprendre que ce n’est pas la variable
aléatoire en tant que fonction précise de l’aléa qui nous
intéresse, mais sa loi, c’est-à-dire la description de son
”comportement probable”

Introduction
Exemple introductif : Cas discret
Une personne s’intéresse à la somme des valeurs obtenues dans le
lancer simultané de deux dés équilibrés. On modélisera l’ensemble
des issues possibles de cette expérience aléatoire par :
Ω := {(i, j) ∈ N/1 6 i, j 6 6}.
Les événements peuvent être modélisés par des parties de Ω.
Par exemple tribu P(Ω) de toutes les parties de Ω.
Les dés étant équilibrés, on a pour tout (i, j) ∈ Ω,
P({(i, j)}) = 1
36

Introduction
Une personne s’intéresse à la somme des valeurs obtenues dans le
lancer simultané de deux dés équilibrés. On modélisera l’ensemble
des issues possibles de cette expérience aléatoire par :
Ω := {(i, j) ∈ N/1 6 i, j 6 6}.
Les événements peuvent être modélisés par des parties de Ω.
Par exemple tribu P(Ω) de toutes les parties de Ω.
Les dés étant équilibrés, on a pour tout (i, j) ∈ Ω,
P({(i, j)}) = 1
36
Le triplet (Ω, P(Ω), P), représente le modèle mathématique
permettant de traiter la situation. Où, on s’intéresse à la
somme des valeurs obtenues, l’événement ”La somme des
valeurs obtenues appartient à A”, avec A est un borélien de R.

Introduction
Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des
couples (i,j) tels que i + j ∈ A.

Introduction
couples (i,j) tels que i + j ∈ A.
Langage des applications : notons X l’application de Ω dans
R. qui, à tout w = (i, j), associe X(w) = i + j. càd :
eA = {w ∈ Ω/X(Ω) ∈ A} = {X ∈ A}.
Autrement, eA est l’image réciproque de A par l’application X.
Ce qui est important pour notre étude c’est de connaı̂tre la valeur
de P(eA) = P(X ∈ A)

Introduction
Exemple introductif : Cas Continue
Envisageons maintenant le cas d’un ingénieur hydraulicien qui
s’intéresse aux risques d’inondation par un fleuve dans l’intention
de construire une digue protectrice. Pour cela il va considérer
l’évolution de la hauteur du niveau de l’eau sur l’année.

Introduction
Envisageons maintenant le cas d’un ingénieur hydraulicien qui
s’intéresse aux risques d’inondation par un fleuve dans l’intention
de construire une digue protectrice. Pour cela il va considérer
l’évolution de la hauteur du niveau de l’eau sur l’année.
Revient à considérer la hauteur sur une année comme une
application continue de [0, 1] dansR+
L’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire
peut être modélisé par Ω := C([0, 1] , R+).
Contrairement à l’exemple précédent, il n’est pas possible de
prendre P(Ω) comme tribu de Ω, mais on considère une tribu
F plus petite.

Introduction
En fait l’ingénieur s’intéressera surtout aux événements de la
forme ”La hauteur maximale du niveau du fleuve sur une
année appartient à A” où A est un intervalle de R
fonctions w ∈ C([0, 1] , R+) telles que sup06t61w(t) ∈ A.

Introduction
En fait l’ingénieur s’intéressera surtout aux événements de la
forme ”La hauteur maximale du niveau du fleuve sur une
année appartient à A” où A est un intervalle de R
fonctions w ∈ C([0, 1] , R+) telles que sup06t61w(t) ∈ A.
Langage des applications: notant X : Ω −→ R, qui à tout w
associe X(w) = sup06t61 w(t) et
eA = {w ∈ Ω/X(Ω) ∈ A} = {X ∈ A}.
Autrement, eA est l’image réciproque de A par l’application X.
Dans les deux exemples en s’intéresse à la valeur de P(X ∈ A)
c-à-d l’application P : A ∈ F −→ P(X ∈ A),

Introduction
Principe de modélisation
En conclusion de ces deux exemples on notera que modéliser
mathématiquement une expérience aléatoire revient à introduire:
un triplet (Ω, F, P), sans en préciser davantage les termes
comme un espace de probabilité abstrait.
une application X : Ω −→ Rd , telle que pour tout borélien A
de Rd , l’image réciproque de A par l’application X soit un
élément de F.

Introduction
Principe de modélisation
En conclusion de ces deux exemples on notera que modéliser
mathématiquement une expérience aléatoire revient à introduire:
un triplet (Ω, F, P), sans en préciser davantage les termes
comme un espace de probabilité abstrait.
une application X : Ω −→ Rd , telle que pour tout borélien A
de Rd , l’image réciproque de A par l’application X soit un
élément de F.
Alors l’application PX : A ∈ F −→ P(X ∈ A), qui sera l’objet
important du modèle, celui qui traduira mathématiquement le
problème qui intéresse l’ingénieur au sein de la situation aléatoire.

Introduction
Vecteur aléatoire
Definition
Si (E, A) := (Ω, F) et (F, B) = (Rd , B(Rd )), une application
(F, B(Rd ))-mesurable, c-à-d: pour tout B ∈ B, (X ∈ B) ∈ F,
s”appelle un vecteur aléatoire vectorielle, de dimension d.
Un vecteur aléatoire de dimension d = 1 s’appelle aussi une
variable aléatoire réelle. (v.a.r.)
Proposition
X = (X1, X2, ..., Xd ) un vecteur aléatoire de dimension k, si et
seulement si, pour tout i = 1, 2, ..., d; Xi est une variable aléatoire
réelle.

Introduction
Loi d’une variable aléatoire
Proposition
Soit X un vecteur aléatoire de dimension d. L’application :
PX : B ∈ B(Rd
) −→ PX (B) := P({X ∈ B}) ∈ [0, 1]
est une probabilité sur Rd

Introduction
Loi d’une variable aléatoire
Proposition
Soit X un vecteur aléatoire de dimension d. L’application :
PX : B ∈ B(Rd
) −→ PX (B) := P({X ∈ B}) ∈ [0, 1]
est une probabilité sur Rd
Definition
La probabilité PX est appelée la loi de probabilité relativement à P
du vecteur aléatoire X ou plus simplement la loi de X.

Introduction
Dans cette partie, on se limite au cas où d=1.
À partir d’une seule expérience aléatoire, on peut mesurer plusieurs
variables aléatoires. On distingue deux types de variables
aléatoires:
Variable aléatoire discrète;
Variable aléatoire continue.

Introduction
Variables Aléatoires Discrètes

Introduction
Variable aléatoire discrète (V.A.D.)
Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini
dénombrable.
La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini
de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles
0, 1, 2, 3...

Introduction
V.A.D. : Exemples
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Contacter cinq clients
Nombre de clients
qui passent une
commande

Introduction
V.A.D. : Exemples
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Nombre de clients
qui passent une
commande
0,1,2,3,4,5
Contrôler une
cargaison de 50
radios
Nombre de radios
défectueuses

Introduction
V.A.D. : Exemples
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Nombre de clients
qui passent une
commande
0,1,2,3,4,5
Contrôler une
cargaison de 50
radios
Nombre de radios
défectueuses
0,1,2,...,49,50
Gérer un restaurant
pendant une journée
Nombre de clients

Introduction
V.A.D. : Exemples
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Nombre de clients
qui passent une
commande
0,1,2,3,4,5
Contrôler une
cargaison de 50
radios
Nombre de radios
défectueuses
0,1,2,...,49,50
Gérer un restaurant
pendant une journée
Nombre de clients 0,1,2,3,...

Introduction
Fonction de masse
On a vu jusqu’à présent qu’à
partir d’une expérience aléatoire
on peut s’intéresser à une
variable aléatoire bien précise X
qui peut prendre les valeurs
suivantes {x1, x2, ..., xk, ....}. La
question qui se pose maintenant
est de savoir qu’elle est la
probabilité associée à chaque
valeur ?. C’est ce qu’on appelle
la loi ou la distribution d’une
variable aléatoire.

Introduction
Fonction de masse
Definition
Soit X une V.A.D. c.à.d. X : Ω −→ X(Ω) ⊂ R. Supposons que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....}.
La fonction de masse de X est définie par la suite des probabilités
pk avec
pk = pX (xk) = P (X = xk) = P{s ∈ Ω : X(s) = xk}
La loi d’une V.A.D. peut être définie par le tableau suivant :

Introduction
Fonction de masse
Definition
Soit X une V.A.D. c.à.d. X : Ω −→ X(Ω) ⊂ R. Supposons que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....}.
La fonction de masse de X est définie par la suite des probabilités
pk avec
pk = pX (xk) = P (X = xk) = P{s ∈ Ω : X(s) = xk}
La loi d’une V.A.D. peut être définie par le tableau suivant :
X(Ω) x1 x2 . xk
pk = P (X = xk) p1 p2 . pk

Introduction
Exemple 1
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de
monnaie parfaitement équilibrée, on considère la v.a. X = ”Le
nombre de pile”
X(Ω) =

1 si s = P
0 si s = F
La loi de la V.A.D. est définie par

Introduction
Exemple 1
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de
monnaie parfaitement équilibrée, on considère la v.a. X = ”Le
nombre de pile”
X(Ω) =

1 si s = P
0 si s = F
X(Ω) 1 0
P (X = xk) 1
2
1
2

Introduction
Exemple 2
On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants.

Introduction
Exemple 2
L’espace échantionnal est constitué des évènements élémentaires
suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF}
Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, ”nombre de
filles dans la famille” sont :

Introduction
Exemple 2
filles dans la famille” sont : X(Ω) = {0, 1, 2}

Introduction
Exemple 2
filles dans la famille” sont : X(Ω) = {0, 1, 2}
X(Ω) 0 1 2
P (X = xk) 1
4
2
4
1
4

Introduction
Représentation graphique

Introduction
Propriétés d’une fonction de masse
Soit X une V.A.D. définie sur l’espace probabilisé (Ω, P) telle que:
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....} alors :
∀k p (xk) ≥ 0
P∞
k=1 p (xk) = 1

Introduction
Fonction de répartition
Definition
Soit X une variable aléatoire discrète. La fonction de répartition
FX de X est définie par
FX (x) = P(X ≤ x) pour tout x ∈ R

Introduction
Propriétés de la fonction de répartition
La fonction F est croissante sur R.
∀x ∈ R, P(X x) = 1 − F(x).
∀a, b ∈ R, a b P(a X ≤ b) = F(b) − F(a).
Si X(Ω) = {x1, x2, ..., xk} avec x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xk, on a :
∀x x1 F(x) = 0 et ∀x xk F(x) = 1

Introduction
Paramètres d’une V.A.D
Paramètre de tendance centrale
Espérance mathématique
Paramètres de dispersion
Variance
Écart type
Paramètre de forme
Coefficient d’asymétrie (SKWENESS)

Introduction
Répétons n fois une expérience aléatoire, et notons
x1, x2, ...., xn les valeurs successives prises par X.
Pour avoir une idée du comportement de la variable X, il est
naturel de considérer leur moyenne arithmétique
Mn = 1
n (x1 + x2 + .... + xn).
En regroupant suivant les différents résultats w de
l’expérience, nous obtenons :
Mn =
X
w∈Ω
fn({w})X(w),
où fn({w}) est la fréquence de la réalisation du {w} au cours
de n expériences.

Introduction
Intuitivement, quand n tend vers l’infini, fn({w}) −→ pw .
Donc la suite (Mn) tend vers Mn =
P
w∈Ω pw X(w),
L’espérance mathématique, ou moyenne, est la limite des
moyennes arithmétiques lorsque le nombre d’expériences tend vers
l’infini. Nous justifierons cette assertion plus loin, dans l’un des
théorèmes les plus importants de la théorie des probabilités, appelé
la loi des grands nombres.

Introduction
Espérance mathématique d’une V.A.D
Definition
L’Espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue
le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la
valeur moyenne espérée par un observateur.

Introduction
Definition
valeur moyenne espérée par un observateur. Soit X une variable
aléatoire réelle sur l’espace fini ou dénombrable (Ω).
E (X) =
X
w∈Ω
pw X(w),
pourvu que la somme
P
w∈Ω pw |X(w)| soit finie.

Introduction
Definition
valeur moyenne espérée par un observateur. Soit X une variable
aléatoire réelle sur l’espace fini ou dénombrable (Ω).
E (X) =
X
w∈Ω
pw X(w),
pourvu que la somme
P
w∈Ω pw |X(w)| soit finie.
Remarque: L’espérance mathématique E(X) est un nombre réel
qui permet de caractériser la tendance centrale ou donner une
valeur moyenne résumant la variable aléatoire X. Si E(X) = 0 on
dit que la variable X est centrée.

Introduction
Théorème
Considérons une variable aléatoire X satisfaisant
P
w∈Ω pw |X(w)| = E(|X|) +∞. On a alors la formule
suivante :
E(X) =
X
w∈Ω
pw X(w) =
X
xi ∈F
xi P(X = xi )
La preuve de cette proposition consiste juste à observer que la
sommation par paquets est justifiée.

Introduction
Exemple
Une boı̂te contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un
échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boı̂te.
Soit X : ”le nombre de DVDs défectueux dans l’échantillon”.
Calculer l’espérance de la v.a. discrète X.

Introduction
Théorème de transfert
Theorem
La variable aléatoire Y = g(X) admet une espérance si et
seulement si la série de terme général g(xi ).P(X = xi ) est
absolument convergente; on a alors
E(Y ) =
X
g(xi ).P(X = xi )
En général, (Inégalité de Jensen) E(g(X)) 6= g(E(X))

Introduction
Propriétés de l’espérance mathématique
Definition
Nous appelons variable aléatoire intégrable une variable aléatoire X
qui admet une espérance. L’ensemble de toutes les variables
aléatoires intégrables est noté L1. cette ensemble dépend de Ω et
de P.
Les propriétés suivantes sont immédiates :

Introduction
Soient α et β deux constantes, et X, Y deux v.a. dans L1 alors on
a :
E(αX + β) = αE(X) + β.
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
|E(X)| 6 E(|X|).
L’espérance est positive : si X 0 alors E(X) 0.
si X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ).

Introduction
Soient α et β deux constantes, et X, Y deux v.a. dans L1 alors on
a :
E(αX + β) = αE(X) + β.
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
|E(X)| 6 E(|X|).
L’espérance est positive : si X 0 alors E(X) 0.
si X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ).
Remarque L’espérance E[X] n’est qu’un indicateur moyen et
ne peut caractériser la loi une variable aléatoire à lui tout
seul.

Introduction
Variance d’une V.A.D
Pour mesurer l’écart entre les valeurs observées de la v.a. X et
E(X) on introduit les paramètres suivants :
Definition
Soit X une V.A.D. définie sur (Ω, P) telle que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk}, on suppose que E(X) existe dans R. On
appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel, noté
var(X), défini par :
Var (X) = E

(X − E(X))2

=
X
(xi − E(X))2
.P(X = xi ).

Introduction
Variance d’une V.A.D
Pour mesurer l’écart entre les valeurs observées de la v.a. X et
E(X) on introduit les paramètres suivants :
Definition
Soit X une V.A.D. définie sur (Ω, P) telle que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk}, on suppose que E(X) existe dans R. On
appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel, noté
var(X), défini par :
Var (X) = E

(X − E(X))2

=
X
(xi − E(X))2
.P(X = xi ).
Si E(X) = 0 et var(X) = 1, on dit que la v.a. X est centrée
réduite.

Introduction
Écart type d’une V.A.D
L’écart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté
σ(X) ou simplement σ, est définie par σ =
p
Var(X).

Introduction
Exemple
Montrer que dans l’exemple 1, σ2 = 0.25, et que dans l’exemple 3,
σ2 = 0.36.

Introduction
Propriétés de la variance
var(X) = E X2

− (E(X))2
var(X) ≥ 0.
var(αX + β) = α2var(X).

Introduction
Coefficient d’asymétrie (SKWENESS) :
moment d’ordre 3
Definition
Soit X une v.a et k un entier (k ≥ 0)
Le moment d’ordre k par rapport à la moyenne est défini par :
X
i
(xi − E(X))k
.P(X = xi )
Si la v.a X est centrée, alors on a
E(Xk
) =
X
i
xk
i .P(X = xi )

Introduction
Coefficient d’asymétrie (SKWENESS) :
moment d’ordre 3
Definition
Étant donnée une variable aléatoire réelle X d’espérance µ et
d’écart type σ, on définit son coefficient d’asymétrie comme le
moment d’ordre trois de la variable centrée réduite :
γ = E

X − µ
σ
3
#

Introduction
Interprétation du coefficient d’asymétrie
si γ = 0 , la distribution est
symétrique;
si γ 0, la distribution
présente une asymétrie à
gauche (distribution en
bleu);
si γ 0, la distribution
présente une asymétrie à
droite (distribution en
rouge).

Introduction
Considérons une variable aléatoire X à valeurs dans N . Jusqu’à
présent, nous avons caractérisé la loi d’une telle variable par la
donnée de (n; pn), où n ∈ N et pn = P(X = n).
Definition
La fonction génératrice de X est la fonction définie pour s ∈ [0; 1]
par:
GX (s) = E(sX
) =
X
n∈N
pn.sn
,
où pn = P(X = n)
C’est la somme d’une série entière, dont le rayon de convergence
est au moins 1, car
P
n pn = 1

Introduction
Proposition
1 GX continue sur [0, 1]. Elle caractérise la loi de X.
2 X ∈ L1 = GX dérivable (à gauche ) en s=1; et
E(X) = G
0
X (1)
3 X(X − 1) · · · (X − p) ∈ L1 = GX est p+1 fois dérivable en
1, et on a:
E(X(X − 1) · · · (X − p)) = G
(p+1)
X (1).

Introduction
En particulier, X ∈ L2 si et seulement si GX est deux fois
dérivable en 1 et :
E(X(X − 1)) = G”
X (1).
Nous en déduisons que
Var(X) = G”
X (1) + G
0
X (1) − (G
0
X (1))2
Pour calculer les moments d’une variable aléatoire à valeurs
entières, il est souvent beaucoup plus rapide d’utiliser les dérivées
de la fonction génératrice plutôt qu’un calcul direct.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Par définition, les variables aléatoires discrètes prennent des valeurs
entières discontinues sur un intervalle donné. Ce sont généralement
le résultat de dénombrement.
Loi uniforme;
Loi de Bernoulli;
Loi Binomiale.
Loi géométrique.
Loi de poisson.
Loi Hypergéométrique.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi uniforme
Definition
Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes
les valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables. Si n
est le nombre de valeurs différentes prises par la variable aléatoire,
∀i P(X = xi ) =
1
n

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Exemple
La distribution des chiffres obtenus au lancer de dé (si ce dernier
est non pipé) suit une loi uniforme dont la loi de probabilité est la
suivante :
X 1 2 3 4 5 6
P(X = xi ) 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
I Calculer l’espérence mathématique
I Calculer la variance

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Proprétés de la loi uniforme
E(X) =
n + 1
2
.
Var(X) =
n2 − 1
12

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Épreuve de Bernoulli
Definition
Une épreuve de Bernoulli est une
expérience aléatoire dont le résultat
peut être soit un succès, soit un échec,
mais pas les deux simultanément.
Exemple
On choisit au hasard une pièce produite
en série et on la teste pour détecter les
défectuosités. La pièce peut être
défectueuse (succès) ou conforme
(échec).

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi de Bernoulli
Contexte
Lors d’une épreuve de Bernoulli, soit p la probabilité d’un succès et
q = 1-p la probabilité d’un échec.
Soit v.a X le nombre de succès, alors X(Ω) = {0, 1}.
Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors on note X v
Bernoulli(p)
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable X v Bernoulli(p) s’écrit :
pX (x) =

1 − p si x = 0
p si x = 1

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
On lance un dé équilibré à 6 faces :
I On gagne si on fait 1 ou 6;
I On perd sinon.
Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire.
La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ?
La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ?

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
I On perd sinon.
On a défini une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre 1
3,
X ∼ Bernoulli(1
3).

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
I On perd sinon.
3,
X ∼ Bernoulli(1
3).
La loi de Bernoulli ?

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
I On perd sinon.
3,
X ∼ Bernoulli(1
3).
La loi de Bernoulli ?
X 0 1
P(X = xi ) 2
3
1
3

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi de Bernoulli
Théorème
La fonction de répartition d’une variable X ∼ Bernoulli(p) est
FX (x) =



0 si x 0
1 − p si 0 ≤ x 1
1 si x ≥ 1
Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l”espérance
Mathématique et variance .

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi de bernoulli
GX (s) = (1 − p + sp)
E(X) = p
Var(X) = p(1 − p)

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Binomiale
Contexte
On effectue n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli
dont la probabilité de succés est p.
Soit X le nombre de succès parmi les n résultats.
Alors X(Ω) = {0, 1, 2, ...., n}.
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors on note
X v B(n, p).

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Binomiale
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable X v B(n, p), s’écrit :
P(X = x) =

n
x

px
(1 − p)n−x
pour x ∈ {0, 1, 2, ...., n}.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Binomiale
Théorème
La fonction de répartition d’une variable X ∼ B(n,p) est
F(x) = P(X ≤ x) =











1 si x ≥ n
bxc
X
x=0

n
x

px
(1 − p)n−x
si 0 ≤ x n
0 si x 0
où bxc représente la partie entière de x.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi binomiale
Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l’espérance

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi binomiale
Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l’espérance
GX (s) = (1 − p + sp)n
E(X) = np
Var(X) = np(1 − p)

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont défectueux. On
pige avec remise 7 articles du lot. Calculer
I La probabilité d’observer exactement un article défectueux;
I La probabilité d’observer au moins 4 articles défectueux;
I La moyenne et la variance du nombre d’articles défectueux.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Binomiale : Proportion de succès
Soit X ∼ B(n, p) et b
p = X
n la proportion de succès parmi les n
épreuves.
Alors b
p est une variable aléatoire et
1 E(p̂) = p
2 Var(p̂) = p(1−p)
n

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
Un procédé de fabrication produit 4% d’articles non conformes. Un
échantillon de 16 unités de cet article est prélevé.
Quelle est la probabilité d’y observer au plus 10% d’articles non
conformes dans l’échantillon ?

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi géométrique
Contexte
On répète continuellement et de façon indépendante une épreuve
de Bernoulli dont la probabilité de succès est p.
Soit X le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir un premier
succès.
Alors X suit une loi géométrique de paramètre p, dénoté
X ∼ Geom(p).
On a X(Ω) = {1, 2, ....}.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Géométrique
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable aléatoire X v Geom(p), s’écrit
PX (k) = (1 − p)k−1
p
pour k = 1, 2, 3, .....

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Géométrique
fonction de répartition
La fonction de répartition d’une variable X v Geom(p) est
FX (k) =
(
1 − (1 − p)k si k ∈ N∗
0 sinon

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi géométrique
Si X v Geom(p) Déterminer la fonction génératrice et Espérance
Mathématique ainsi que la variance

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi géométrique
Si X v Geom(p) Déterminer la fonction génératrice et Espérance
Mathématique ainsi que la variance
1 GX (s) = ps
1−(1−p)s
2 E(X) =
1
p
.
3 Var(X) =
1 − p
p2
.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
On lance un dé continuellement jusqu’à l’obtention d’un 6. Soit X
le nombre de lancers nécessaires.
I Quelle est la probabilité d’obtenir un premier 6 au deuxième
lancer ?
I Quelle est la probabilité qu’il faille plus de 10 lancers pour
obtenir un 6 ?
I Si aucun 6 n’a été obtenu lors des 8 premiers lancers, quelle
est la probabilité que plus de deux autres lancers soient
nécessaires ?

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
La loi Géométrique
Théorème
Propriété d’absence de mémoire : si X v Geom(p) alors pour tous
t, s 0
P(X s + t|X t) = P(X s)

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi de Poisson
La loi de Poisson a été introduite en
1838 par Siméon Denis Poisson,
dans son ouvrage Recherches sur la
probabilité des jugements en matière
criminelle et en matière civile. Le
sujet principal de cet ouvrage
consiste en certaines variables
aléatoires N qui dénombrent, entre
autres choses, le nombre
d’occurrences (parfois appelées
”arrivées”) qui prennent place
pendant un laps de temps donné.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi de poisson
Contexte La loi de Poisson intervient en général lorsqu’on
s’intéresse au nombre de fois X qu’un certain événement se réalise
dans le temps, dans l’espace, dans un volume, une distance etc. ou
tout autre unité de mesure.
Champs d’applications
La loi qu’on obtient en comptant des événements aléatoires
indépendants :
I Arrivée des particules sur un capteur,
I Nombre de clients entrant dans un magasin,
I comptage de voiture sur une route,
I Etude des files d’attente dans les réseaux de communication...

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi de poisson
Definition
Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre
λ 0, dénoté X ∼ Pois(λ). Si
p(x) = P(X = x) =
λx
x!
e−λ
pour x = 0, 1, 2, ....
Le paramètre λ correspond à la moyenne de la loi de Poisson.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi de poisson
fonction de répartition
Si X ∼ Pois(λ) alors
F(x) = P(X ≤ x) =
x
X
k=0
p(k) =
x
X
k=0
λk
k!
e−λ

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi de poisson
Les valeurs de F(x) sont données dans la Table de poisson en
fonction de x, et λ.
Table de la loi de poisson

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
Une machine utilisée dans une chaı̂ne de production tombe en
panne en moyenne 2 fois par mois.
Soit X le nombre de pannes par mois.
En supposant que X suit une loi de Poisson, quelle est la
probabilité que dans un mois donné la machine
I Ne tombe pas en panne ?
I Tombe en panne au moins deux fois ?.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi de poisson
Si X v Pois(λ) Déterminer Gx (s), E(X), etVar(X).

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi de poisson
Si X v Pois(λ) Déterminer Gx (s), E(X), etVar(X).
1 GX (s) = eλ(s−1)
2 E(X) = λ.
3 Var(X) = λ.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
exemple
Une boı̂te contient 8 composants parmi lesquels 2 sont défectueux.
Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la boı̂te.
Soit X le nombre de composants défectueux dans l’échantillon.
I Calculer la probabilité de ne pas avoir un composant
défectueux
I Donner la fonction de masse de X, ainsi que E(X) et V(X).

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypgéométrique
Contexte
On tire sans remise n objets d’un ensemble de N objets dont D
possèdent une caractéristique particulière (et les autres N − D ne
la possèdent pas).
Soit X le nombre d’objets de l’échantillon qui possèdent la
caractéristique..
Alors X suit une loi Hypergéométrique de paramètre n, N, D,
dénoté X ∼ H(N, D, n).
On a X(Ω) = {max(0, n − N + D), ..., min(n, D)}.

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergéométrique
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable aléatoire X v H(N, D, n),
s’écrit
PX (k) =
Ck
DCn−k
N−D
Cn
N
pour k ∈ X(Ω).

Introduction
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Propriétés de la loi Hypergéométrique
Si X v H(N, D, n) alors
1 E(X) = n
D
N
.
2 Var(X) = n
D
N
(1 −
D
N
)
N − n
N − 1
.

Introduction
On veut décrire l’évolution aléatoire conjointe de deux variables
aléatoires X et Y.
exemple
Soit Z = (X, Y ) décrit le nombre d’années d’études et le nombre
de frères et soeurs de l’aı̂né d’une famille:
X(Ω) = F; Y (Ω) = G et Z(Ω) = FxG est dénombrable.

Introduction
On veut décrire l’évolution aléatoire conjointe de deux variables
aléatoires X et Y.
exemple
Soit Z = (X, Y ) décrit le nombre d’années d’études et le nombre
de frères et soeurs de l’aı̂né d’une famille:
X(Ω) = F; Y (Ω) = G et Z(Ω) = FxG est dénombrable.
Loi joint du couple (X,Y): C’est une probabilité PX,Y sur FxG
caractérisée par la probabilité des singletons.
pour tout (x, y) ∈ FxG,
P(X,Y )({(X, Y )}) = P(X = x; Y = y)

Introduction
Lois marginales
Ce sont les lois respectivement PX et PY des coordonnées X et Y.
Remarquons que
{X = x} = ∪y∈G {X = x; Y = y},
et les ensembles {X = x; Y = y} sont disjoints. Nous en
déduisons que :
PX (x) = P(X = x) =
X
y∈G
P(X = x; Y = y) =
X
y∈G
P(X,Y )(x, y),
et de même
PY (y) = P(Y = y) =
X
x∈F
P(X,Y )(x, y),

Introduction
Lois conditionnelles
Definition
Soit xi fixé tel que : PX (xi ) 0.
La Loi conditionnelle de Y sachant X = xi est la
probabilité sur G définie pour tout yj par :
PY |X=xi
(yj ) = P(Y = yj |X = xi ) =
P(X,Y )(xi , yj )
PX (xi )

Introduction
Lois conditionnelles
Definition
Soit xi fixé tel que : PX (xi ) 0.
La Loi conditionnelle de Y sachant X = xi est la
probabilité sur G définie pour tout yj par :
PY |X=xi
(yj ) = P(Y = yj |X = xi ) =
P(X,Y )(xi , yj )
PX (xi )
L’espérance conditionnelle de Y sachant X = xi est
définie par: E(Y |X = xi ) =
P
yj
yj PY |X=xi
(yj )
Si E(|h(X, Y )|) ∞, nous avons :
E(h(X, Y )) =
X
xi ,yj
h(xi , yj )PY |X=xi
(yj )PX (xi ).

Introduction
Exemple
A partir du nombre de voitures passant devant une station
d’essence en un jour. On souhaite modéliser le nombre de voitures
qui d’arrêtent à la station. On suppose que chaque voiture décide
de s’arrêter à la station avec probabilité p indépendamment des
autres. Cherchons l’espérance mathématique E

Introduction
Variables aléatoires indépendantes
Remarque
On a vu précédemment, qu’on peut calculer les lois marginales PX
et PY de X et Y à partir de la loi PZ de Z.
La connaissance des lois marginales ne suffit pas, en général, à
retrouver la loi de Z = (X, Y ).

Introduction
Remarque
On a vu précédemment, qu’on peut calculer les lois marginales PX
et PY de X et Y à partir de la loi PZ de Z.
La connaissance des lois marginales ne suffit pas, en général, à
retrouver la loi de Z = (X, Y ).
Exercice
Considérons une variable aléatoire Z qui vaut (1,1) et (-1,-1) avec
une probabilité de p
2 , et (1,-1) et (-1,1) avec probabilité 1−p
2 où
p 6= 1
2.

Introduction
Les variables X et Y prennent les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1
2,
et leur loi ne dépend donc pas du paramètre p ∈ (0, 1) choisi.

Introduction
Les variables X et Y prennent les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1
2,
et leur loi ne dépend donc pas du paramètre p ∈ (0, 1) choisi.
Il est très intéressant d’étudier le cas où l’information que l’on
possède sur X ne change rien à la loi de Y , généralisant ainsi la
notion d’indépendance introduite pour les événements aléatoires.

Introduction
Definition
Les variables aléatoires sont dites indépendantes si,
∀i, j, PY |X=xi
(yj ) = PY (yj )
∀i, j, P(X = xi , Y = yj ) = PX (xi )PY (yj )
∀A ⊂ F; ∀B ⊂ G, P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)

Introduction
Definition
Les variables aléatoires sont dites indépendantes si,
∀i, j, PY |X=xi
(yj ) = PY (yj )
∀i, j, P(X = xi , Y = yj ) = PX (xi )PY (yj )
∀A ⊂ F; ∀B ⊂ G, P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
Proposition
Si X et Y sont indépendantes, et si E(|f (X)|) ∞ et
E(|g(Y )|) ∞, alors
E(f (X)g(Y )) = E(f (X))E(g(Y ))

Introduction
Exemple
On admet que le nombre de clients dans un bureau de poste
pendant une journée suit une variable aléatoire de Poisson de
paramètre λ 0. Soit p la probabilité qu’une personne entrant
dans le bureau de poste soit une femme.
Soient les variables aléatoires, X le nombre de femmes et Y celui
des hommes parmi les clients quotidiens
I Déterminer la loi de X et Y

Introduction
Somme de variables aléatoires indépendantes
Proposition
Soient X et Y des v.a. à valeurs entières, et Z = X + Y. Alors
P(Z = i) =
X
j∈N
P((X, Y ) = (j, i − j)).

Introduction
Proposition
Soient X et Y des v.a. à valeurs entières, et Z = X + Y. Alors
P(Z = i) =
X
j∈N
P((X, Y ) = (j, i − j)).
En particulier, si X et Y son indépendantes:
P(Z = i) =
X
j∈N
P(X = j)P(Y = i − j).
Proposition
Si X et Y sont indépendantes, alors GX+Y (s) = GX (s)GY (s)

Introduction
Stabilité par indépendance du couple
aléatoire
1 La somme de n variables aléatoires de Bernoulli de paramètre
p indépendantes suit la loi d’une variable aléatoire binomiale
B(n, p):
G(s) = (1 − p + sp)n
2 X et Y des variables aléatoires indépendantes de lois de
Poisson de paramètres : λ, µ.
GX+Y (s) = exp((λ + µ)(s − 1))
Donc : X + Y a une loi de Poisson de paramètre (λ + µ); car la
fonction génératrice caractérise la loi.

Introduction
Exercice
Soit Z le nombre d’enfants d’une famille ; X le nombre de filles et
Y le nombre de garçons.
Nous supposons que la probabilité qu’une famille ainsi choisie
possède k enfants dont n filles est donnée par :
pk,n = P(Z = k; X = n) =
e−22k(0.52)n(0.48)k−n
n!(k − n)!
1{0 6 n 6 k}
I Montrer que les v.a. Z et X ne sont pas indépendantes et que
Y et X le sont.
I Donner la loi conditionnelle de X sachant Z = k. En déduire
l’espérance conditionnelle de X sachant Z.

Vecteurs aléatoires sur un espace fini ou dénombrable

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