Ce chapitre a pour objectif d'introduire les théorèmes limites à savoir les lois de grands nombres, et théorème centrale limite

1. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Probabilités pour ingénieurs
Chapitre 4 : Théorèmes Limites
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

2. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
On lance n fois un dé (non truqués) à six faces et on note Xi le
résultat du ie lancer, puis on calcule la moyenne des n lancers
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi . Qu’obtient-on lorsque n devient grand ?
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3. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
On lance n fois un dé (non truqués) à six faces et on note Xi le
résultat du ie lancer, puis on calcule la moyenne des n lancers
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi . Qu’obtient-on lorsque n devient grand ?
L’intuition laisse penser que lorsque n devient grand, cette moyenne
devient proche de l’espérance d’un des lancers Xi , c’est-à-dire de
E(Xi ) = 1 ∗
1
6
+ 2 ∗
1
6
+ 3 ∗
1
6
+ 4 ∗
1
6
+ 5 ∗
1
6
+ 6 ∗
1
6
= 3.5.
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4. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
On lance n fois un dé (non truqués) à six faces et on note Xi le
résultat du ie lancer, puis on calcule la moyenne des n lancers
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi . Qu’obtient-on lorsque n devient grand ?
L’intuition laisse penser que lorsque n devient grand, cette moyenne
devient proche de l’espérance d’un des lancers Xi , c’est-à-dire de
E(Xi ) = 1 ∗
1
6
+ 2 ∗
1
6
+ 3 ∗
1
6
+ 4 ∗
1
6
+ 5 ∗
1
6
+ 6 ∗
1
6
= 3.5. On
voudrait donc pouvoir dire que la limite de Xn lorsque n −→ +∞
vaut 3.5. C’est ce qu’on appelle la loi des grands nombres. Pour
cela, il faut d’abord définir ce que signifie converger pour une suite
de variables aléatoires, puis prouver qu’il y a bien convergence.
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5. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Théorème : inégalité de Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d’espérance µ = E(X) et de variance
finie σ2 = V (X). Alors pour tout réel strictement positif :
P (|X − µ| ≥ ) ≤
σ2
2
Intuition : La probabilité de s’éloigner de la moyenne est d’autant
plus petite que la variance est petite
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6. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Théorème : inégalité de Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d’espérance µ = E(X) et de variance
finie σ2 = V (X). Alors pour tout réel strictement positif :
P (|X − µ| ≥ ) ≤
σ2
2
Intuition : La probabilité de s’éloigner de la moyenne est d’autant
plus petite que la variance est petite
Cas particulier
On pose = kσ, l’inégalité de Tchebychev indique que:
P (|X − µ| ≥ kσ) ≤
σ2
k2σ2
=
1
k2
Ainsi, pour tout variable aléatoire, la probabilité d’une déviation de
la moyenne de plus de k écart-type est inférieurs à
1
k2
.
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7. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Les valeurs comprises entre ±1.5
écart-type sont celles qui se
situent entre les valeurs 19.96 et
27.54. Selon l’IBT, il doit y en
avoir au moins 1 − (1/1.52), soit
0.56.
Si l’on procède au décompte, on
constate qu’il y en a 17 sur 20.
soit 0,85.
L’IBT est bien vérifiée.
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8. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Comparaison des conclusions de l’IBT avec ceux d’une loi normale.
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9. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Différents types de convergences
Definition
Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires réelles i.i.d.
On dit que (Xn) converge en Probabilité vers X ssi
∀ε 0, lim
n→+∞
P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.
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10. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Différents types de convergences
Definition
Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires réelles i.i.d.
On dit que (Xn) converge en Probabilité vers X ssi
∀ε 0, lim
n→+∞
P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.
On dit que (Xn) converge en moyenne vers X ssi:
lim
n→+∞
E(|Xn − X|) = 0.
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11. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Différents types de convergences
Definition
Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires réelles i.i.d.
On dit que (Xn) converge en Probabilité vers X ssi
∀ε 0, lim
n→+∞
P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.
On dit que (Xn) converge en moyenne vers X ssi:
lim
n→+∞
E(|Xn − X|) = 0.
On dit que (Xn) converge presque-sûrement vers X ssi:
P({w, lim
n→+∞
|Xn(w) − X(w)| = 0}) = 1.
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12. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Différents types de convergences
Ces définitions ne sont pas équivalentes.
Exemple
Soit (Xn)n variables aléatoires de Bernoulli tq:
P(Xn = 1) = 1
n ; P(Xn = 0) = 1 − 1
n
I (Xn)n tend en probabilité vers X=0: ∀ ∈]0, 1[
limn→+∞ P (|Xn| ≥ ε) = 0
I (Xn)n tend en moyenne vers X=0: limn→+∞ E(Xn) = 0
I (Xn)n ne peut pas converger presque-sûrement vers X=0;
I Dans cet exemple il y a que la convergence en probabilité :
Soit (Yn)n variables aléatoires de Bernoulli tq:
P(Yn = n2) = 1
n ; P(Yn = 0) = 1 − 1
n
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13. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Théorème : La Loi des Grands Nombres
Soit X une variable aléatoire d’espérance µ = E(X), alors pour
toute suite infinie (Xn)n de v.a. deux à deux indépendantes et de
même loi que X, la suite des v.a.
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi
Converge en probabilité vers µ lorsque n tend vers l’infini.
Intuition : La moyenne arithmétique Xn converge (en probabilité)
vers l’espérance statistique µ = E(X)
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14. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Loi Forte des Grands Nombres
La Loi des Grands Nombres que nous venons d’étudier est souvent
appelé ”Loi Faible des Grands Nombres” pour la différencier de
la ”Loi Forte des Grands Nombres”.
La loi faible des grands nombres ne correspond pas exactement au
fait que la moyenne arithmétique converge vers l’espérance, i.e. à
l’intuition qu’en lançant une pièce un grand nombre de fois la
proportion de ”face” atteigne véritablement 1/2.
Pour cela, il faut utiliser la ”Loi Forte des Grands Nombres” qui
indique que
P
lim
n→∞
Xn = X
= 1
on parlera alors de convergence presque sure.
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15. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Remarque
Il est frappant de voir qu’on peut commencer avec une expérience
dont on ne connait pas grand chose et, en prenant la moyenne,
obtenir une expérience dont on peut prédire le résultat avec un fort
niveau de certitude.
Exemple 1:
Pour une série de lancers de dés (non truqués), si Xi représente le
résultat du ie lancer, alors les Xi sont des variables indépendantes
et toutes de même loi (loi uniforme sur {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
L’espérance statistique des Xi est bien définie, donc on peut
appliquer la loi des grands nombres : la moyenne arithmétique
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi converge vers E(Xi ) = 3.5 lorque n tend vers +∞.
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16. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
R project
Simulation numérique de l’exemple 1 avec le langage de
programmation R project.
n=10
dus=sample(1:6,size=n,replace=TRUE)
smean=mean(dus)
smean
[1] 4.15
n=1000
[1] 3.459
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17. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Exemple : Expériences de Bernouilli
Considérons le cas important de n expériences de Bernoulli avec
une probabilité p de succès. Xi = 1 si la ie issue est un succès, 0
sinon.
Alors Sn = X1 + ... + Xn est le nombre de succès en n épreuves et
µ = E(X1) = p. La Loi (Faible) des Grands Nombres indique que
lim
n→+∞
P

21. Sn
n
− p

25. ≥ ε
= 0.
Ainsi, si l’expérience est répétée un grand nombre de fois, on peut
s’attendre à ce que la proportion de succès soit proche de p.
Cela montre que le modèle mathématique de probabilité est
cohérent avec l’interprétation en termes de fréquence des
probabilités.
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26. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Exemple 2: Expériences de Bernouilli
Considérons le cas particulier de n ”Pile ou Face” avec Sn le
nombre de ”Face”. La variable aléatoire
Sn
n
représente alors la
proportion de ”Face” et est comprise entre 0 et 1.
La Loi des Grands Nombres prédit que le résultat de cette variable
aléatoire devrait, pour n grand, être proche de
1
2
.
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27. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
R project
Simulation numérique de l’exemple 2 avec le langage de
programmation R project.
n=10
s=sample(c(’P’,’F’),size=n,replace=TRUE)
count=0
for(i in 1:n)
if(s[i]==’F’)
count=count+1
fr=count/n
[1] 0.2
pour n=10000
[1] 0.4964
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28. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Le deuxième théorème fondamental des probabilités est le
Théorème Central Limite.
Ce théorème indique que si Sn est la somme de n v.a.
mutuellement indépendantes et identiquement distribuées, alors la
distribution de Sn peut être correctement approximé par la densité
normale (et ce quelque soit la distribution initiale!).
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29. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
Soient n nombres choisit aléatoirement dans l’intervalle [0, 1] avec
une densité uniforme. Notons ces choix X1, X2, ..., Xn et leur
somme Sn = X1 + X2 + ... + Xn. En graphant la densité de Sn en
fonction de n, on remarque que cette somme à une forme de loi
normale mais est centrée en n=2 et s’applatit quand n augmente.
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30. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
Afin de comparer la forme de ces densités pour différentes valeurs
de n, il est utile de centrer et réduire Sn en déffinissant
S∗
n =
Sn − nµ
σ
√
n
,. Ainsi pour tout n, on a E(S∗
n ) = 0 et V (S∗
n ) = 1.
La fonction de densité de S∗
n est alors une version centrée-réduite
de la densité de Sn
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31. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Soit X1, X2, ... une suite de variables aléatoires réelles définies sur
le même espace de probabilité, indépendantes et identiquement
distribuées suivant la même loi D. Supposons que l’espérance µ et
l’écart-type σ de D existent et soient finis avec σ 6= 0.
Considérons la somme Sn = X1 + X2 + ... + Xn. Alors
l’espérance de Sn est nµ et;
son écart-type vaut σ
√
n.
De plus, quand n est assez grand, la loi normale N(nµ, nσ2) est
une bonne approximation de la loi de Sn.
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32. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Théorème central limite
La suite de variables aléatoires (Zi )16i6n converge en loi vers une
variable aléatoire Z, définie sur le même espace probabilisé, et de
loi normale centrée réduite N(0, 1) lorsque n tend vers l’infini.
Cela signifie que si Φ est la fonction de répartition de N(0, 1),
alors pour tout réel z :
lim
n→∞
P(Zn ≤ z) = Φ(z),
ou, de façon équivalente :
lim
n→∞
P
Xn − µ
σ/
√
n
≤ z
= Φ(z)
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

33. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Remarque
Une telle approximation est en général valide lorsque n ≥ 30. Mais
dans certains cas, notamment lorsque la distribution de X est
symétrique (une uniforme par exemple), la convergence peut alors
avoir lieu pour de petites valeurs de n telles que n = 10 et dans
d’autres cas, cette convergence n’a lieu que si n ≥ 100
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

34. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple
Exemple 2:
On lance un dé 100 fois. Quelle est la probabilité que la somme
des résultats soit entre 340 et 360 ?
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

35. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple
Exemple 3:
Un échantillon de taille n = 50 est prélevé d’une population
distribuée selon une loi uniforme dans l’intervalle [0, 1]. Calculer
(approximativement) la probabilité que la somme des valeurs
observées dans l’échantillon soit supérieure à 28.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

36. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Approximation d’une binomiale par une Loi de
poisson
Proposition 1:
Soit Xn des v.a telle que Xn v B(n, pn) et Y v P(λ) alors pour
tout 0 ≤ k ≤ n, on a
Si lim
n→+∞
npn = λ, alors lim
n→+∞
P(Xn = k) = P(Y = k).
On dit que Xn converge en loi vers la loi de Poisson et on écrit :
Xn
L
−
−
−
−
→
n→+∞
Y
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37. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
En pratique
Si n est grand et p est petit (de sorte que np est modéré) alors
X suit approximativement une loi de Poisson P(λ), où
λ = np :
On peut dire que X ≈ Y à partir du moment où n ≥ 30 et
np ≤ 5
∀k ∈ [0, n], P(X = k) ≈ P(Z = k)
Illustration: on pourra constater sur les histogrammes de la
figure2 que l’écart entre la loi binomiale (pour n=50 et p=0.1)
et la loi de Poisson (pour λ = np = 5) est inférieur à 1%
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38. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Calcul avec des logiciels
Excel
Générer un vecteur X = 0, 1, 2, . . . , 50 sur un tableau d’Excel,
LOI.BINOMIALE.N(x;50;0,1;FAUX)
LOI.POISSON.N(x;5;FAUX)
R
Générer un vecteur x: x=seq(0,50,1),
px = dbinom(x = x, size = 50, prob = 0.1) ;
plot ( x, px, type = ”h”, xlab = ”x”, ylab = ”p(x)”,
main=”fonction de masse de X ∼ B(n = 50, p = 0.1)”).
py = dpois(x = x, lambda = 5) ;
plot ( x, py, type = ”h”, xlab = ”x”, ylab = ”p(x)”,
main=”fonction de masse de X ∼ Pois(lambda = 5)”).
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39. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Illustration sous Excel
Figure: Illustration des resultats sous Excel.
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40. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
L’Ecart entre la loi Binomiale et loi du
poisson
Figure: Histogramme des lois B(n = 50, p = 0.1) et P(λ = 5) et leur
écart. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

41. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
En pratique
L’intérêt de cette approximation est que pour n grand il est
beaucoup plus facile de calculer les probabilités d’une loi de Poisson
que celles d’une loi Binomiale, à cause des coefficients Ck
n qui
nécessitent le calcul de n! ou du triangle de Pascal correspondant.
Cependant pour que l’approximation reste valable il faut que np
reste petit, de ce fait on dit que la loi de Poisson est bien
adaptée pour estimer les ”événements rares”.
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42. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Exemple 4:
A chaque minute un client peut entrer dans un magasin avec une
probabilité p = 0.05. On suppose qu’un seul client peut entrer à
chaque minute et que toutes les entrées de clients sont
indépendantes.
I Quelle est la probabilité qu’exactement 5 clients entrent
en une heure ?
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43. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Approximation d’une binomiale par une Loi
Normale
Si Xn suit une loi binomiale B(n, p), alors Xn =
n
X
i=1
Yi
où les Yi sont des variables indépendantes de loi de Bernoulli(p) :
P(Yi = 1) = p et P(Yi = 0) = 1 − p.
D’après le théorème central limite,
√
n
σ
(
1
n
n
X
i=1
Yi − µ) converge en loi vers N(0, 1),
avec µ = E(Y1) = p et σ2 = V (Y1) = p(1 − p).
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44. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Approximation d’une binomiale par une Loi
Normale
Autrement dit, on a le résultat suivant :
Proposition 2:
Soit (Xn)n≥0 une suite de variables aléatoires telle que pour tout n
la loi de Xn est B(n, p) où p est fixé.
Soit Z une variable de loi N(0, 1).
Alors la loi de
√
n
p
p(1 − p)
(Xn − p) converge vers celle de Z,
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45. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
En pratique
Si n est grand alors X suit approximativement une loi de
normale N(µ = np, σ2 = np(1 − p)).
Cette approximation est bonne si:
np 5 lorsque p ≤ 1
2.
n(1 − p) 5 lorsque p 1
2 .
Illustration: on pourra constater sur l’histogramme de la
figure 3 qu’on a la courbe gaussienne.
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46. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Calcul avec des logiciels
Excel
Générer un vecteur X = 0, 1, 2, . . . , 100 sur un tableau
d’Excel,
LOI.BINOMIALE.N(x;100;0,2;FAUX)
R
Générer un vecteur x: x=seq(0,50,1),
px = dbinom(x = x, size = 100, prob = 0.2) ;
plot ( x, px, type = ”h”, xlab = ”x”, ylab = ”p(x)”,
main=”fonction de masse de X ∼ B(n = 100, p = 0.2)”).
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

47. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Visualisation de la courbe gaussienne à partir
de la loi Binomiale
Figure: Histogramme de la loi binomiale.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

48. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Exemple 5:
Reprenons l’exemple du magasin, mais supposons cette fois que
p = 0.5.
I Quelle est la probabilité qu’en une heure soient entrés
plus de 20 clients ?
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

49. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Exemple 6:
I On lance une pièce 200 fois. Quelle est la probabilité
d’obtenir au moins 110 piles ?
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

50. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Exemple
Exemple 7:
Une compagnie aérienne constate que 15% des personnes avec des
réservations de places ne se présentent pas au guichet. En
conséquence, elle vend 75 places pour un vol assuré par un avion
de capacité 73 places.
I Quelle est la probabilité que chaque personne qui se présente
au guichet ait une place ?
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

51. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Figure: Approximation des lois.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

52. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
L’une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir
d’observations d’un phénomène aléatoire, une estimation d’un
des paramètres du phénomène.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

53. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
L’une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir
d’observations d’un phénomène aléatoire, une estimation d’un
des paramètres du phénomène.
Les statistiques servent aussi à prendre des décisions. Peut on
considérer que le nombre de consultations de Google par
seconde suit il une loi de Poisson ? Les gènes pilotant la
couleur des yeux et ceux des cheveux sont ils sur les mêmes
chromosomes ?.....
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

54. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions
: leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent
est aléatoire.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

55. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions
: leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent
est aléatoire.
Les tests statistiques vont permettre d’apporter une réponse à
des questions manichéennes en contrôlant l’aléa inhérent à la
situation.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

56. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions
: leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent
est aléatoire.
Les tests statistiques vont permettre d’apporter une réponse à
des questions manichéennes en contrôlant l’aléa inhérent à la
situation.
En statistiques, les deux éventualités sont appelées des
hypothèses et sont notées :
H0 (hypothèse nulle) et H1 (hypothèse alternative).
En général, H1 est le contraire de H0. Dans tous les cas, le
postulat est qu’une et une seule des deux hypothèses est vraie.
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57. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Un test statistique est un algorithme qui conduit à ne pas
rejetter H0 ou rejetter H0 à partir des observations du
phénomène.
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58. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Un test statistique est un algorithme qui conduit à ne pas
rejetter H0 ou rejetter H0 à partir des observations du
phénomène.
L’idée de base des tests, est de trouver une statistique (une
fonction des observations) dont on connait la loi (ou qui
s’approxime par une loi connue) si H0 est vraie, et qui ne se
comporte pas de la même manière selon que H0 ou H1 est
vraie.
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59. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Un test statistique est un algorithme qui conduit à ne pas
rejetter H0 ou rejetter H0 à partir des observations du
phénomène.
L’idée de base des tests, est de trouver une statistique (une
fonction des observations) dont on connait la loi (ou qui
s’approxime par une loi connue) si H0 est vraie, et qui ne se
comporte pas de la même manière selon que H0 ou H1 est
vraie.
Le ”qui s’approxime par une loi connue” dans la phrase
précédente, est en général une conséquence du TCL. On
devine ainsi l’importance capitale de ce Théorème dans cette
théorie.)
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60. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
On a n tirages de v.a indépendantes, notées X1, X2, ..., Xn. On
ignore leur lois, on connait σ2 = Var(X1) et on se demande si
E(X1) = 5 ?
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61. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
On a n tirages de v.a indépendantes, notées X1, X2, ..., Xn. On
ignore leur lois, on connait σ2 = Var(X1) et on se demande si
E(X1) = 5 ?
Grace au TCL, on sait immédiatement que si E(X1)vaut5
alors on a une fonctionnelle des observations Xi qui tend vers
une loi connue (et cela ne sachant quasiment rien sur la loi
des Xi !!!) à savoir :
√
nXn − 5
σ
→L
n→+∞ N(0; 1).
ce qui est ”vérifiable” ...
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62. Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Dans le cours suivant ”Statistiques inférentielles”, vous
developperez un exemple de test classique : tel que le test du χ2,
et d’autres tests.
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