Vecteurs aléatoires continues

Variables Aléatoires continues V.A.C
Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Probabilités pour ingénieurs
Chapitre 3 :Vecteurs aléatoires continus
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

Plan
1 Variables Aléatoires continues V.A.C
Définitions et Exemples
Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
2 Conditionnelle et Indépendance
Quelques propriétés
3 Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale

Exemples

Exemples
objectifs
On se place ici dans le cas continu, c’est-à-dire dans le cas où
les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent
plus un ensemble fini ou infini dénombrable, mais des parties
Rn.

Exemples
objectifs
Rn.
Cette considération nécessite une nouvelle façon de :
Décrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire,
Calculer fonction de répartition.
Redéfinir les notions d’espérance et de variance.

Exemples
objectifs
Rn.
Cette considération nécessite une nouvelle façon de :
Décrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire,
Calculer fonction de répartition.
Redéfinir les notions d’espérance et de variance.
On s’intéresse ensuite à quelques lois de probabilités
classiques, qu’il est indispensable de connaı̂tre tant leur
utilisation est fréquente, notamment dans les modèles
statistiques.

Exemples
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
Mesurer Les étudiants du
T.C de l’ENSMR
le poids d’un étudiant

Exemples
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
T.C de l’ENSMR
le poids d’un étudiant [40,120]
Envoi d’une fléchette sur
une cible Diam 30 cm
Position de fléchette

Exemples
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
T.C de l’ENSMR
Position de fléchette [0,15]
Passage des véhicules à une
borne de péage
Temps de passage
des véhicules à une
borne de péage

Exemples
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
T.C de l’ENSMR
borne de péage
Temps de passage
borne de péage
R+
N
Contrôle des ampoules
d’une entreprise
durée de vie d’une
ampoule en jr

Exemples
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
T.C de l’ENSMR
borne de péage
Temps de passage
borne de péage
R+
N
Contrôle des ampoules
d’une entreprise
durée de vie d’une
ampoule en jr
[0, +∞[

Exemples
Définition des vecteurs aléatoires continues
Definition
Un vecteur aléatoire continue X à valeurs dans Rn est formé de n
variables aléatoires réelles, qui sont les composantes de X:
X = (X1, ..., Xn).
Sa loi est caractérisé par la fonction de répartition
multidimensionnelle F : Rn− > [0, 1] définie par:
F(x1, x2, ..., xn) = P

X ∈
n
Y
i=1
] − ∞, xi ]

.

Exemples
Definition
On dit que X admet la fonction de densité f si la fonction est
positive sur Rn, intégrable et vérifie :
Z
Rn
f (x)dx =
Z +∞
−∞
· · ·
Z +∞
−∞
f (x1, · · · , xn)dx1, · · · dxn = 1
et si
P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) =
Z x1
−∞
· · ·
Z xn
−∞
f (y1, · · · , yn)dy1, · · · , dyn.

Exemples
Definition
On dit que X admet la fonction de densité f si la fonction est
positive sur Rn, intégrable et vérifie :
Z
Rn
f (x)dx =
Z +∞
−∞
· · ·
Z +∞
−∞
f (x1, · · · , xn)dx1, · · · dxn = 1
et si
P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) =
Z x1
−∞
· · ·
Z xn
−∞
f (y1, · · · , yn)dy1, · · · , dyn.
Dans le cas où n=1; on définit une vecteur aléatoire de dimension
1, une variable aléatoire continue (vac)

Exemples
Définition de variable aléatoire continue
Definition
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes
les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En
règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure sont
de type continu.
Notation: v.a.c

Exemples
Définition de variable aléatoire continue
Definition
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes
les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En
règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure sont
de type continu.
Notation: v.a.c
exemple
I v.a X correspondant à longueur d’un train,
I v.a X correspondant au temps d’attente à une caisse
I v.a X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6
mois.

Exemples
REMARQUE
La description d’une loi continue diffère de celles des lois
discrètes puisque pour une variable aléatoire continue X, la
probabilité que X prenne une valeur bien précise x est nulle,
P[X =x]=0.
Il y a en effet une infinité de valeurs dans R ou dans un
intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises, le poids
de la valeur particulière est tellement insignifiant qu’il en est
nul !
Ex : si X =taille d’un individu, alors P(X = 1, 8245756) = 0
Il n’est ainsi pas possible de définir la loi de X par la donnée
des probabilités des événements élémentaires.
Par contre, il est possible de déduire les probabilités que X
prenne ses valeurs dans une partie de R à partir de la fonction
de répartition.

Exemples
Fonction de répartition
Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la loi de
probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs
définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable
aléatoire continue, la probabilité associée à l’évènement {X = a}
est nulle, car il est impossible d’observer exactement cette valeur.
Definition
Soit X variable aléatoire définie par: X : S → R, on appelle
fonction de répartition de X la fonction définie sur R par
F(x) = P(X ≤ x) = P(X ∈] − ∞; x])

Exemples
Fonction densité de probabilité
Definition
Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est
appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R,
F0(x) = f (x).

Exemples
Fonction densité de probabilité
Definition
Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est
appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R,
F0(x) = f (x).
Proposition 1:
I La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X
de densité de probabilité f est :
FX (x) = P(X ≤ x) =
Z x
−∞
f (t)dt
I Si f est la densité de probabilité d’une variable aléatoire X
continue, alors :
R +∞
−∞ f (x)dx = 1

Exemples
Propriété 2:
La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a
les propriétés suivantes:
I F est une fonction croissante, définie et continue sur R.
I Pour tout x ∈ R, 0 ≤ F(x) ≤ 1
I limx→−∞ F(x) = 0 et limx→+∞ F(x) = 1

Exemples
Propriété 2:
La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a
les propriétés suivantes:
I F est une fonction croissante, définie et continue sur R.
I Pour tout x ∈ R, 0 ≤ F(x) ≤ 1
I limx→−∞ F(x) = 0 et limx→+∞ F(x) = 1
Propriété 1:
La définition nous permet d’écrire:
I P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a)
I P(X b) = P(X ≤ b) = 1 − F(b)

Exemples

Exemples
Origine de ces points de vue : histogramme des fréquences d’une
série regroupée par classe dont l’amplitude des classes devient
”petites”..

Exemples
exemple
L’erreur commise lors de la mesure du diamètre d’une pièce
produite en série est approximé par une v.a (en mm) dont la
fonction de densité est :
f (x) =

c(1 − x2), si −1 x 1;
0, sinon.
Déterminer la fonction de répartition de la v.a continue X.

Exemples
exemple
La durée de fonctionnement (en heures) d’un ordinateurs avant la
première panne est une variable aléatoire X admettant pour densité
de probabilité la fonction
f (x) =

λe− x
100 , si x ≥ 0;
0, sinon.
Quelle est la probabilité que cette durée de fonctionnement soit
comprise entre 50h et 150h ? Inférieure à 100h ?

Exemples
On introduit ces notions qui sont analogues à celles vues dans le
chapitre précédent à propos des variables aléatoires discrètes. Cela
revient à remplacer les sommes (finies ou de séries) par des
intégrales.

Exemples
Definition
Si X est une variable aléatoire absolument continue de densité
f, on appelle Espérance de X, le réel E(X), défini par :
E(X) =
Z ∞
−∞
xf (x)dx
Si cette intégrale est convergente.
exemple
Calculer L’espérance Mathématique de la durée de fonctionnement
(en heures) d’un ordinateur.

Exemples
Theorem
Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité
f et g : R → R continue par morceaux alors la variable aléatoire
g(X) admet une espérance si et seulement si l’intégrale
R +∞
−∞ g(x)f (x)dx converge. Alors on a
E[g(X)] =
Z ∞
−∞
g(x)f (x)dx
exemple
Calculer La variance de la durée de fonctionnement (en heures)
d’un ordinateurs.

Exemples
Definition
f : R → R continue. On appelle variance de X le réel, noté V (X),
qui, s’il existe, est défini par la relation
V (X) =
Z ∞
−∞
[x − E(X)]2
f (x)dx

Exemples
Definition
f : R → R continue. On appelle variance de X le réel, noté V (X),
qui, s’il existe, est défini par la relation
V (X) =
Z ∞
−∞
[x − E(X)]2
f (x)dx
On appelle écart-type de X le réel, noté σ(X), défini par la
relation
σ(X) =
p
V (X)

Exemples
exemple 1
Soit X la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle
[0; 1], muni de la fonction densité f définie par : f (x) = 3x2.
1 Déterminer P(X = 0.5),
2 Calculer P(X ≤ 0.5),
3 En déduire P(X 0.5),
4 Calculer P(0.3 X ≤ 0.5),
5 Calculer P(0.2≤X0.5)(0.3 ≤ X 0.9),
6 Calculer l’espérance et la variance de X.

Exemples
exemple 2
Une machine à sous choisit un nombre, noté V , entre 0 et 1. On
suppose que V est une v.a. continue admettant pour densité :
f (x) =
1
2
√
x
1]0,1](x)
Vous payer un Dirham pour jouer. Si le nombre sorti est supérieur
à 1/3, vous recevez 2 Dirham, sinon vous perdez votre mise.
1 Quelle est la probabilité de gagner?
2 Quel est votre gain moyen? calculer La dispersion σ(X)?

Exemples
Definition
Si X et Y sont dans L2, la variable (X − E(X)(Y − E(Y )
integrable. On appelle covariance de X et Y l’espérance de cette
variable aléatoire, et on note cov(X, Y ) :
cov(X, Y ) = E((X − E(X)(Y − E(Y )).

Exemples
Definition
Si X et Y sont dans L2, la variable (X − E(X)(Y − E(Y )
integrable. On appelle covariance de X et Y l’espérance de cette
variable aléatoire, et on note cov(X, Y ) :
cov(X, Y ) = E((X − E(X)(Y − E(Y )).
Le coefficient de corrélation des variables aléatoires X et Y est le
nombre:
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
p
Var(X)Var(Y )
.

Exemples
Proposition
Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires de carré intégrable, alors il
en est de même de la somme, et :
Var(X1 +....+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+2
X
16ij6n
cov(Xi , Xj )

Exemples
Proposition
Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires de carré intégrable, alors il
en est de même de la somme, et :
Var(X1 +....+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+2
X
16ij6n
cov(Xi , Xj )
Si les variables aléatoires X1, ..., Xn sont indépendantes alors :
Var(X1 + .... + Xn) = Var(X1) + ... + Var(Xn)

Definition
Dans le cas où [X, Y ] est un vecteur continue de fonction de
densité conjointe f (x, y),
Si x est une valeur telle que fX (x) 0, on définit la fonction
de densité conditionnelle:
fY |X=x (y) =
f (x, y)
fX (x)
, y ∈ RY
Si y est une valeur telle que fY (y) 0, on définit
fX|Y =y (x) =
f (x, y)
fY (y)
, x ∈ RX

Definition
Dans le cas où [X, Y ] est un vecteur continue de fonction de
densité conjointe f (x, y),
Si x est une valeur telle que fX (x) 0, on définit la fonction
de densité conditionnelle:
fY |X=x (y) =
f (x, y)
fX (x)
, y ∈ RY
Si y est une valeur telle que fY (y) 0, on définit
fX|Y =y (x) =
f (x, y)
fY (y)
, x ∈ RX
L’espérance conditionnelle de X sous condition de Y = y est:
E[X|Y = y] =
Z
R
xfX|Y =y (x)

Definition
Deux v.a continues [X, Y ] de sa fonction de densité conjointe
f (x, y) sont dites indépendantes ssi
f (x, y) = fX (x) × fY (y), pour (presque)tout x,et y
Notons Lorsque deux variables sont indépendantes, on peut
reconstituer leur distribution conjointe à partir des
marginales des v.a. de X et Y en faisant le produit.

Proposition (Inégalité de Markov):
Soit p 1 et variable aléatoire X ∈ Lp, alors pour tout a
strictement positive
P[|X| ≥ a] ≤
E[|X|p].
ap
Proposition (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev):
Soit X une variable aléatoire réelle de variance finie, alors pour tout
a strictement positive
P[|X − E[X]| ≥ a] ≤
1
a2
V [X].

L’inégalité de Bienaymé-Chebyshev est très utile dans la pratique.
Elle permet de mesurer la probabilité des grands écarts entre X et
sa moyenne.
Proposition (Inégalité de Jensen):
Soit X une variable aléatoire réelle intégrable, et f une fonction
mesurable telle que f (X) soit intégrable. Supposons de plus que f
soit une fonction convexe. Alors:
E(f (X)) f (E(X))

Lois de probabilité continues usuelles

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Loi uniforme
Loi exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Contexte
Dans une ville, un voyageur sait que sur une ligne
d’autobus donnée, il passe un autobus toutes les
heures. Ce voyageur ignore les horaires et arrive à
un arrêt de cette ligne. Combien de temps va t-il
attendre à cet arrêt l’arrivée de l’autobus ?
Notons X la variable aléatoire représentant le
temps d’attente ainsi défini.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Contexte
Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle
[0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir
exactement. On peut seulement déterminer les probabilités
d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou
d’autres événements de ce type .

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Contexte
Un événement est ici un intervalle contenu dans [0; 1]. La
probabilité d’un intervalle J contenu dans [0; 1] est
proportionnelle à la longueur de l’intervalle J.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Contexte
Le modèle le mieux approprié pour décrire ce phénomène
s’avère être celui de la loi uniforme.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Contexte
Le modèle le mieux approprié pour décrire ce phénomène
s’avère être celui de la loi uniforme.
On dit que X suit une loi uniforme sur [a ; b] si la
probabilité d’un intervalle J contenu dans [a ; b] est

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Notation: U([a, b]) pour −∞ a b +∞
Ensemble des valeurs: E = [a, b]
Fonction de densité: fX (x) = 1
b−a 1[a,b](x)
Fonction de répartition:
FX (x) =



0, si x a;
x−a
b−a , si a ≤ x ≤ b;
1, si x b.
Espérance et variance:
E(X) =?, V (X) =?, σ(X) =?.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Propriété 1:
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle
[a; b]. Alors, pour tout intervalle [c; d] contenu dans [a; b] , on a :
P(c ≤ X ≤ d) =
d − c
b − a

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Notation: U([a, b]) pour −∞ a b +∞
Ensemble des valeurs: E = [a, b]
Fonction de densité: fX (x) = 1
b−a 1[a,b](x)
FX (x) =



0, si x a;
x−a
b−a , si a ≤ x ≤ b;
1, si x b.
Espérance et variance:
E(X) = b+a
2 , V (X) = (b−a)2
12 , σ(X) = (b−a)
2
√
3
.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
exemple
Supposons que la concentration d’un certain polluant est distribuée
uniformément sur l’intervalle 6 à 22 ppm. Si la concentration
excède 16 ppm, on considère le polluant comme toxique.
I Quelle est la probabilité de déclarer le polluant comme
toxique?
I Calculer l’espérance et variance de X?

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
exemple
Un gyrophare G envoie un flash lumineux dans une direction
aléatoire uniforme d’angle θ.
I Cherchons la distribution de l’abscisse X du point d’impact du
rayon lumineux sur un écran plan infini situé à distance 1 de G

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
La loi exponentielle est utile pour décrire la durée de réalisation
d’une tâche ou pour modéliser des temps d’attente.
Par exemples:
la prochaine panne d’un appareil
la distance entre les défauts majeurs d’une autoroute,
la prochaine désintégration dans un réacteur nucléaire.
dans les files d’attente, la distribution exponentielle est
souvent utilisée pour le temps de service
Liée à la loi de Poisson qui fournit une bonne description du
nombre d’occurrences par intervalle Loi exponentielle fournit une
bonne description de la longueur de l’intervalle entre les
occurrences

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Notation: ξ(λ) pour λ 0
Ensemble des valeurs: E = R+
Fonction de densité: fX (x) = λe−λx 1R+ (x)
FX (x) =

0, si x ≤ 0;
1 − e−λx , si x ≥ 0
Espérance et variance: E(X) =?, V (X) =?, σ(X) =?.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Densité de probabilité

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Fonction de répartition

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Notation: ξ(λ) pour λ 0
Ensemble des valeurs: E = R+
Fonction de densité: fX (x) = λe−λx 1R+ (x)
FX (x) =

0, si x ≤ 0;
1 − e−λx , si x ≥ 0
Espérance et variance: E(X) = 1
λ , V (X) = 1
λ2 , σ(X) = 1
λ.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
exemple
Le temps d’attente exprimé en minutes au guichet d’une banque
est une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de
paramètre λ. On sait que la probabilité qu’un client attende moins
de 8 minutes est égale à 0,7.
I Quelle est la valeur de paramètre λ?
I Calculer la probabilité qu’un client attende entre 15 et 20
minutes ?

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
exemple
La durée de fonctionnement d’un transistor suit une loi
exponentielle de paramètre λ et est en moyenne de 8 ans.
Un tel transistor, utilisé à une fin particulière, fonctionne déjà
depuis 2 ans.
I Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce transistor
dépasse 5 ans sachant qu’il fonctionne déjà depuis 2 ans ?

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Absence de mémoire
Theorem
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
paramètre λ (X ∼ ξ(λ), alors pour tous s, t 0
P(X s + t|X t) = P(X s)

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Absence de mémoire
Theorem
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
paramètre λ (X ∼ ξ(λ), alors pour tous s, t 0
P(X s + t|X t) = P(X s)
Explication
Si on considère que X est la durée de vie ou de fonctionnement
d’un objet, on dit que X suit une loi de durée de vie sans
vieillissement (ou est sans vieillissement) lorsque la probabilité que
l’objet fonctionne encore s années de plus sachant qu’il a déjà
fonctionné pendant t années, pX≥t(X ≥ s + t), est la même pour
tout t ≥ 0 C’est aussi la même probabilité p(X ≥ s) qu’il
fonctionne s années après sa mise en service.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Domaine d’utilisation:
La loi gaussienne est la loi la plus utilisée en théorie des probabilités
et en statistique. Cela est dû au caractéristiques suivantes:
1. Elle permet des développements mathématiques efficaces.
2. Toute l’information est donnée directement par les paramètres
µ et σ, qui caractérisent respectivement la valeur moyenne et
la dispersion autour de cette valeur moyenne.
3. C’est la loi qu’on obtient naturellement en additionnant un
grand nombre de v. a. indépendantes.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Domaine d’utilisation:
4. La plupart des lois de probabilité intervenant dans les tests
statistiques comme la loi χ2 et la loi de student se déduisent
de la loi gaussienne par des transformations simples.
χ2
=
n
X
i=1
X2
i avec Xi ∼ N(0, 1) et sont indépendantes
5. Elle présente un grand nombre de phénomènes aléatoires
comme les erreurs liées aux mesures, la fluctuation des prix, la
distribution des tailles de personnes choisies au hasard dans
une population donnée, les variations de la longueur des pièces
fabriquées en série, etc...

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Loi normale
Definition
On dit qu’une variable aléatoire continue X suit une loi normale de
paramètres µ et σ2 si sa fonction de densité est :
fX (x) =
1
σ
√
2π
e
−
1
2

x − µ
σ
2
pour tout x
On dénote ceci X ∼ N(µ, σ2).

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Proprétés de la loi normale
limn→±∞ fX (x) = 0.
fX (µ + x) = fX (µ − x)
(Symétrie par rapport à x = µ).
P(X µ − x) = P(X µ + x).
FX (µ − x) = 1 − FX (µ + x).

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Allure de la densité en fonction deµ et σ

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Loi normale centrée réduite
Lorsque µ = 0 et σ2 = 1, la loi normale N(0, 1) est appelée
centrée réduite et on la dénote par Z.
Definition
La loi normale centrée réduite est la loi continue, d’une v.a. Z à
valeurs dans Z(S) = R tout entier, définie à partir de la densité :
fZ (z) =
1
√
2π
e
−
1
2
z2
pour tout z ∈ R

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
est
Φ(z) =
1
√
2 π
Z z
−∞
e−1
2
t2
dt

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
est
Φ(z) =
1
√
2 π
Z z
−∞
e−1
2
t2
dt
Puisque cette intégrale est difficile à évaluer, on a recours à
une table de loi normale pour calculer Φ(z).

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
est
Φ(z) =
1
√
2 π
Z z
−∞
e−1
2
t2
dt
Puisque cette intégrale est difficile à évaluer, on a recours à
une table de loi normale pour calculer Φ(z).
Si X ∼ N(µ, σ2) alors
Z =
X − µ
σ
∼ N(0, 1)
On peut donc ramener toute loi normale à une loi centrée
réduite.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Table de la loi normale centrée réduite

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Table de la loi normale centrée réduite
Par exemple : P(X ≤ 0.64) = 0.7389

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Concentration autour de la moyenne
Dans [µ − σ; µ + σ] de longueur 2σ et centré autour de la moyenne,
Il y a 68% des individus, lorsque qu’une v.a. suit une loi N(µ; σ) :
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68
On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loi
normale N(µ, σ) est approximativement situé entre µ − 2σ et
µ + 2σ. On a
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9544
Plus exactement,
P(µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ) = 0.95

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68
On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loi
normale N(µ, σ) est approximativement situé entre µ − 2σ et
µ + 2σ. On a
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9544
Plus exactement,
P(µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ) = 0.95
et on a mème 99.7% des individus entre µ − 3σ et µ + 3σ :
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0.997

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Autrement dit, lorsqu’on a une variable aléatoire qui suit une loi
normale N(µ, σ), on est ”pratiquement sûr” que la valeur se
situera entre µ − 3σ et µ + 3σ.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
exemple
Soit Z et X deux variables aléatoires tel que Z ∼ N(0, 1) et
X ∼ N(1, 4), Calculer
1 P(Z ≤ 1.46);
2 P(Z ≤ −1);
3 P(Z ≥ −1);
4 P(−1 ≤ X ≤ 1).
5 Si P(Z ≤ b) = 0.8708, déterminer b.
6 Si P(Z ≤ b) = 0.2877, déterminer b.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Loi du Khi-deux
Definition
Soient X1, X2, ...., Xn des v.a. indépendantes de même loi N(0, 1).
Posons:
Z =
X
i=1...n
X2
i
Par définition la v.a suit une loi du khi-deux à n degré(s) de liberté
(d.d.l.). On la note χ2(n).
Z 0, cette loi n’est pas donc symétrique,
Z admet une densité,
E(Z) = n et Var(Z) = 2n

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Allure de la densité d’un χ2

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Table de la loi Khi-deux

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Table de la loi Khi-deux
Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=?

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Table de la loi Khi-Deux
Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=0.85.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=0.85.
Exemple 2: Y ∼ χ2(10). On calcule b tq: P(Y ≤ b)=0.1.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Exemple 2: Y ∼ χ2(10). Donc: b=4.87.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Loi de Student
Definition
Soient X ∼ N(0, 1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X
√
Y /n
.
Alors T suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note
ι(n) ou Student(k).

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Allure de la densité de Student

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Table de la loi Student

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Exemple 1: Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)=??

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Exemple 1 Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)= 0.145.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Exemple 1 Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)= 0.145.
Exemple 2: Y ∼ ι(7). On calcule b tq: P(Y ≥ b)= 0.2.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Exemple 2: Y ∼ ι(7). Donc: b=0.896.

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Loi de Fisher-Snedecor
Definition
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que
X ∼ χ2(n) et Y ∼ χ2(m).
Alors, on dit que la variable
Z =
X
n
Y
m
suit une loi de Fisher − Snedecor(n, m). On la note F(n, m).

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Allure de la densité de Fisher

Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Ces trois dernières lois seront utiles dans la théorie des tests.
L’expression explicite des densités de ces lois n’est pas à connaı̂tre
(sauf pour la loi normale). Des tables statistiques et des logiciels
permettent de les manipuler.

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