Lecture note 108

재료역학 강의노트 제 11 장: 기둥
Mechanics of Materials, 7th
ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 11-1
제 11 장 기둥
11.1 소개
기존의 해석시 고려조건
-강도 (strength)
-강성 (stiffness)
-처짐
-변형률
가늘고 긴 부재가 압축하중을 받는 경우
 횡방향 굽힘발생
 압축강도에 도달하기 전에 굽힘에 의해 파괴
 좌굴 (Buckling)

11.2 좌굴과 안정성
이상형 구조물 (좌굴 모델)에 대한 해석
스프링에 의해 봉을 원래 위치로 돌아가게 하는 모멘트: 복원모멘트
축방향 압축력: 횡방향 변위를 증가시키려는 경향
 두 힘의 비교에 의하여 구조물의 안정(stable)/불안정(unstable)이 결정됨.
 임계하중
안정/불안정 조건 사이의 전이하중  임계하중 (critical load) crP
복원 모멘트: 2B RM  
하중에 의한 모멘트:
2
L
P
 
 
 
평형방정식: 0
2
B
L
M P
 
  
 
 2 0
2
R
PL
 
 
  
 
i) 0  (보가 완전하게 곧은 상태)
ii)
4 R
crP
L

 ;  의 크기에 무관
crP P ; 구조물은 안정 (복원 모멘트가 하중에 의한 모멘트보다 더 큼)
crP P ; 구조물은 불안정 (복원 모멘트가 하중에 의한 모멘트보다 더 작음)

 요약
1) 0 crP P 
안정. 구조물은 완전히 곧은 위치로 돌아감
2) crP P
불안정. 완전히 곧은 상태에서는 평형이지만,
조금만 건드려도 좌굴이 일어남
3) crP P
중립평형. 안정/불안정의 경계, 현위치에 멈춤
11.3 양단이 핀으로 지지된 기둥
이상기둥의 해석
- 처음에 완전하게 곧은 모양
- 기둥은 결함이 전혀 없음
- 하중은 단면 도심에 정확히 작용
0 crP P  ; 곧은 위치로 안정평형
crP P ; 중립평형상태
crP P ; 불안정평형상태  아주 작은 교란에도 좌굴이 발생함

 기둥좌굴에 대한 미분방정식
기둥이 왼쪽으로 좌굴될 경우
자유물체도의 평형에서 0M Pv   M Pv 
기둥이 오른쪽으로 좌굴될 경우
( ) 0M Pv    M Pv  (왼쪽의 경우와 동일)
굽힘모멘트 방정식 EIv M Pv   
 0EIv Pv  
Note-1: 9/10 장의 경우와 동일한 미분방정식을 사용
Note-2: 9/10 장에서는 M 은 하중만의 함수 (변형에 무관)
Note-3: 좌굴해석시의 M 은 처짐 자체의 함수
 미분방정식의 해
2 P
k
EI
 로 정의하면 미분방정식은
2
0v k v  
이 식의 일반해는 1 2sin cosv C kx C kx 
경계조건 (0) 0v   2 0C 
경계조건 ( ) 0v L   1 sin 0C kL 
해-1) 1 0C  ; 자명한 해 (trivial solution)  곧은 위치에서 평형상태에 있는 이상기둥
해-2) sin 0kL   0, , 2 ,kL   
0kL  은 자명한 해 이므로 1, 2, 3,kL n n  
즉
2 2
2
1, 2, 3,
n EI
P n
L

  , 이때 처짐곡선 방정식은 1 sin 1, 2, 3,
n x
v C n
L

  

 임계하중
임계하중은 1n  일 때 얻어짐.
2
2cr
EI
P
L

 , 이때의 모드형상 (좌굴형상)은 1 sin
x
v C
L


Note
1. 1C 은 기둥 중앙점에서의 처짐을 나타냄
2. 1C 의 값은 작은 값이나, 불확정적임.
3. 제 1 모드에서 양단 핀 고정  기둥좌굴의 기본형
4. 이상형 탄성기둥에 대한 임계하중  Euler 하중
5. 고차모드에 대한 좌굴은 관심대상이 아님
6. 우측 그림의 B 점 아래에서 안정.
 일반적 유의사항
- 임계하중은 EI 에 비례, 길이의 제곱에 반비례
- 비례한도/항복하중이 커져도 좌굴과는 무관
- E 혹은 I 를 증가시키면 임계하중 증가
- 1 2I I 이면 1-1평면에서 좌굴발생
- 이 경우 2I (작은 값)을 계산에 사용함

 임계응력
2 2
2 2
( / )
cr
cr
P EI E
A AL L r
 
    ,
여기서
I
r
A
 로 정의함
세장비 (slenderness ratio) =
L
r
- 세장비는 기둥의 치수에만 좌우됨.
- 임계응력: 하중이 임계치에 도달하는 순간의
평균압축응력
- 임계응력 vs 세장비의 그래프 구성 가능
이 그래프는 비례한도보다 작은 경우에서만 사용함
 큰 처짐, 결함 및 비탄성 거동의 영향
- Hooke 의 법칙을 따르는 완벽한 보의 경우  임계하중의 식을 사용
- 이상기둥의 이론은 v에 대한 선형화된 식을 사용 하였슴  작은 처짐에만 사용 가능
- 곡률에 대한 정확한 식 (9-2 절의 식 9-13)을 사용하면 임계하중은 곡선 B 를 따름.
- 초기 결함을 가지는 보 (곡선 C 를 따름)
o 초기에 작은 형태의 곡률을 가짐
o 시초부터 처짐을 발생시킴
o 처음에는 직선 A 에 접근함
o 나중에는 B 에 접근함
- 비례한도 초과응력, non-Hookean 재료
o 곡선 D 를 따라 움직임
o 처음에는 C 를 따라 움직임
o 나중에는 비탄성 거동 곡선을 따름.

 기둥의 최적형상
- 굽힘모멘트가 큰 부분을 보강하여 재료를 절약할 수 있다.
- 같은 크기의 재료인 경우 단면적의 형상에 따라 임계하중이 다름
- 최적의 단면은 정삼각형!! (원형의 경우에 비하여 21% 더 큰 임계하중)
 예제 11-1
문제
기둥 ABC ; 양단 핀 지지
그림의 평면에 중간 지지점 B
3
29 10 ksiE   , 42 ksipl 
WF(W8 28) 강철, 25 ftL 
안전계수 2.5n  를 사용하여 allowP 구하기
풀이
부록 E-1 에서 WF(W8 28) 의 상수는
4 4 2
1 298.0 in , 21.7 in , 8.25 inI I A  

a) 그림의 평면 내에서 좌굴이 생기는 경우 (굽힘은 2-2 축에 대하여 발생함)
이 경우는 횡지지점 사이의 거리가 / 2 12.5 ftL  가 됨.
2 2 2 3 4
2 2
2 2 2
4 4 (29 10 ksi)(21.7 in )
276 k
( / 2) [(25 ft)(12 in/ft)]
cr
EI EI
P
L L
   
   
b) 그림의 평면에 대해 수직으로 좌굴이 생기는 경우 (굽힘은 1-1 축에 대해 발생함)
이 경우는 중간 지지점 B 의 영향이 없으며 횡 지지점 사이의 거리는 25 ftL  가 됨.
2 2 3 4
1
2 2
(29 10 ksi)(98.0 in )
312 k
[(25 ft)(12 in/ft)]
cr
EI
P
L
  
  
- 기둥의 임계하중은 276 kcrP  (두 값 중 작은 값)
- 더 큰 임계하중에 대한 응력은 pl2
312 k
37.8 ksi<
8.25 in
cr
cr
P
A
    ; 비례한도 이내이므로 O.K.
- 허용하중은 allow
276 k
110 k
2.5
crP
P
n
   

11.4 그 밖의 지지조건을 갖는 기둥
지지점의 조건이 다른 경우도 pin-pin column 의 해석 절차와 동일함
1) 좌굴상태를 가정한 기둥에 대해 굽힘모멘트에 대한 식을 구함
2) 굽힘모멘트 방정식 ( )EIv M  을 이용하여 처짐곡선의 미분방정식 수립
3) 미분방정식을 풀어 일반해를 구함
4) 처짐 v 와 기울기 v 에 관련된 경계조건 적용
5) 임계하중과 좌굴된 기둥의 처짐모양 구함

 하단은 고정되고 상단이 자유로운 기둥 (Fix-Free Column)
( )EIv M P v   
2 2
v k v k    여기서
2 P
k
EI

1 2sin cosHv C kx C kx 
Pv 
1 2sin cos
P
H
v C kx C kx
vv
  

경계조건 (0) 0v   2C  
경계조건 (0) 0v   1 0C 
따라서 (1 cos )v kx  ; 처짐 곡선의 형상만 보여주며,  은 임의의 미소 크기를 가짐.
경계조건 ( )v L   cos 0kL 

해-1) 0  자명해 (trivial solution); 기둥은 곧은 상태 유지, 좌굴은 일어나지 않음
해-2) cos 0kL   1, 3, 5,
2
n
kL n

  
임계하중
2 2
2
1, 3, 5,
4
cr
n EI
P n
L

  
좌굴 모드형상 1 cos 1, 3, 5,
2
n x
v n
L


 
   
 

최저 임계하중은 1n  일 때
2
2
4
cr
EI
P
L


이 때 모드형상은 1 cos
2
x
v
L


 
  
 
 기둥의 유효 길이
길이가 L 인 fix-free column 은
길이가 2L 인 pin-pin column 과 동일함. (그림 참조)
이 경우의 2L 은 유효길이 (effective length) eL
처짐곡선 내의 변곡점 (모멘트가 0) 사이의 거리  eL
Fix-free column 의 경우 2eL L
유효길이를 이용하여 임계하중을 표현하면,
2
2cr
e
EI
P
L


유효길이는 보통 eL KL 로 표현됨. (fix-free 의 경우 2K  )
이 경우는
2
2
( )
cr
EI
P
KL



 회전되지 않도록 양단이 고정된 기둥 (fix-fix column)
1
2
eL L (그림참조)
1
2
K 
2 2
2 2
4
( )
cr
EI EI
P
KL L
 
 
 하단이 고정되고 상단이 핀으로 지지된 기둥 (Fix-pin column)
이 경우는 기하학적 대칭 조건을 이용할 수 없으므로 관찰에 의해 eL (혹은 K )를 구할 수 없음
 처짐곡선의 미분방정식을 풀어서 구함.

A 점에서의 반력은 수직반력 P , 수평반력 R , 모멘트 반력 0M 이며,
이중에 0M RL 임을 전체 구조물에서 확인.
하단으로부터 x 떨어진 곳의 좌굴된 기둥에서의 굽힘모멘트는
0 ( )M M Pv Rx Pv R L x      
따라서, ( )EIv M Pv R L x     
2 P
k
EI
 로 하고 정리하면,
2
( )
R
v k v L x
EI
   
1 2sin cos ( )
H
P
R
v C kx C kx L x
P
v
v
   


경계조건: (0) 0 (0) 0 ( ) 0v v v L  
 2 1 1 20 0 tan 0
RL R
C C k C kL C
P P
     
해-1) 1 2 0C C R   ; 자명해 (trivial solution); 기둥은 곧은 상태 유지, No Buckling
해-2) 처음 두 식에서 R 소거  1 2 0C kL C  또는 2 1C C kL  , 이 식을 마지막 식에 대입
 좌굴방정식이 구해짐. tankL kL ; 이 식은 수치해법으로 풀면 (해석적인 해는 없음)
4.4934kL 
따라서
2
2 2
20.19 2.046
cr
EI EI
P
L L

 
- Fix-pin column 은 예상대로 Pin-pin column 과 Fix-fix column 사이의 임계하중.
- 식을 비교하여, 0.699 0.7eL L L 
- 모드형상은 2 1C C kL  과 1 0RC k
P
  을 일반해에 대입하여,
- 1[sin cos ( )]v C kx kL kx k L x   
제한: 처짐이 작아야함, Hooke 의 법칙을 따르는 경우만 유효

 요약
 예제 11-2
문제
3.25 mL  , 100 mmd  , 100 kNP 
안전계수 3n  ,을 고려하여 두께 t 구하기.
pl( 72 GPa, 480 MPa)E  
풀이
기둥은 fix-pin 으로 모델링함.
이 경우
2
2
2.046
cr
EI
P
L


4 4
( 2 )
64
I d d t

    
100 mm 0.1 md   이므로
4 4
(0.1 m) (0.1 m 2 )
64
I t

    

기둥은 다음의 하중에 의해 설계되어야 함. 3(100 kN) 300 kNcrP nP  
2 9
4 4
2
2.046 (72 10 Pa)
300,000 N (0.1 m) (0.1 m 2 )
(3.25 m) 64
t
   
     
 
 0.006825 m 6.83 mmt   
보조계산
4 4 6 4
( 2 ) 2.18 10 mm
64
I d d t

      
2 2 4
( 2 ) 1,999 mm
4
A d d t

      , 33.0 mm
I
r
A
 
98L
r
 (가느다란 기둥), 15d
t
 (국부 좌굴 방지 범위에 들어감)
cr 2
300 kN
150 MPa
1999 mm
crP
A
    , 이 값은 비례한도 pl 480 MPa  보다 작으므로
Euler 좌굴이론을 이용한 임계하중에 대한 계산은 유효함.
11.5 편심 축하중을 받는 기둥
- 이상기둥
1) 임계하중 도달시 까지는 곧은 상태
2) 임계하중 도달 후 급격한 굽힘 (불확정한 크기)
- 편심기둥
1) 하중이 작용하면 즉시 굽힘 발생 (확정된 크기)
2) 하중이 커지면 처짐량도 증가
0 ( )EIv M M P v Pe Pv      
2 2
v k v k e  
여기서
2 Pk
EI

1 2sin cos
P
H
v C kx C kx e
vv
  

경계조건 (0) 0 ( ) 0v v L 

 2 1
(1 cos )
tan
sin 2
e kL kL
C e C e
kL

     
처짐곡선 방정식은
tan sin cos 1
2
kL
v e kx kx
 
    
 
기둥 중앙에서의 처짐은
tan sin cos 1 sec 1
2 2 2 2 2
L kL kL kL kL
v e e
     
            
     
한편
2
2
cr cr
P P P
k
EI P L L P
 
   
cr
P
kL
P

sec 1
2 cr
P
e
P


  
    
   
( P 에 대한 비선형식)
1) 0 when 0e  
2) 0 when 0P  
3) when crP P   
 최대 굽힘모멘트
max ( )M P e  
max sec sec
2 2 cr
kL P
M Pe Pe
P
 
    
 
 다른 단부 조건
- Fix-Free 의 경우는 2eL L 로 하면 앞의 식을
그대로 사용가능
- Fix-Pin 의 경우는 0.699eL L 로 하여도 앞의 식을 사용할 수 없음
이 경우는 미분방정식을 다시 수립하여 해석하여야 함
- Fixed End 에 편심이 있으면 그 영향이 없음.

 예제 11-3
문제
B 단에 편심 0.45 in, 1500 lbe P  ,
1.2 in, 0.6 inh b 
0.12 inallow  일 때 최대 허용길이 maxL =?
6
( 16 10 psi)E  
풀이
3 3
4(1.2 in)(0.6 in)
0.02160 in
12 12
hb
I   
2 2 4 2
2 2 2
(16,000,000 psi)(0.02160 in ) 852,700 lb-in
4 4 4
cr
EI
P
L L L
 
  
이 값을
sec 1
2 cr
P
e
P


  
    
   
에 대입하면,
2
1500 lb
0.12 in (0.45 in) sec 1
2 852,700 / L
  
    
   
0.2667 sec(0.06588 ) 1L 
 max 10.0 inL  

11.6 기둥에 대한 시컨트 공식
최대응력  기둥의 중앙점에 발생
(압축력에 의한 응력과 굽힘응력의 합성응력)
max
max
M cP
A I
  
여기에 max sec
2 cr
P
M Pe
P
 
   
 
,
2 2
2 ,cr
EIP I Ar
L
  ( r 은 회전반지름)
등등을 대입하면
max 2
sec 1 sec
2 2
P Pec L P P ec L P
A I r EA A r r EA

    
          
     
 시컨트 공식 (secant formula)
여기서 편심비 (eccentricity ratio)는 2
ec
r (0~3 사이의 값, 보통 1 보다 작은 값)

 0e  인경우 임계하중에 상응하는 최대응력은 임계응력이 됨. (위 그림에서 Euler’s Curve)
2 2
2 2
( / )
cr
cr
P EI E
A AL L r
 
    (11-61)
 시컨트 공식에 대한 논의
- 세장비
L
r 가 증가함에 따라, 특히
L
r 값의 중간 구간에서 하중-지지능력이 급격히 감소
 길고 가느다란 기둥은 짧고 뭉툭한 기둥보다 덜 안정적임
- 하중-지지능력은 편심 e 가 증가함에 따라 감소함.
 이러한 영향은 긴 기둥보다 짧은 기둥에 대하여 상대적으로 더 큼.
- 시컨트 공식은 2eL L 로 하면 Fix-Free Column 에서도 적용 가능
(그러나 다른 단부 조건에서는 사용할 수 없음)
- 기둥은 항상 결함이 있으므로 편심비 2
ec
r 를 적절히 가정하여 사용함.
(구조용 강재의 경우 0.25)
 예제 11-4
문제
W14 82 WF 기둥, 25 ftL  , 중앙하중 1 320 kP  , 편심하중 2 40 kP  , 편심위치 13.5 in
(a) 30,000 ksiE  인 경우 시컨트공식을 이용한 최대압축응력 구하기
(b) 항복응력 42 ksiY  일 때 항복에 대한 안전계수는?

풀이
(a) 최대압축응력:
두개의 조합 하중은 그림 (c)와 같이 편심 1.5 ine  , 크기 360 kP  인 하중과 등가.
부록 표 E-1 으로부터
2 14.31 in24.1 in 6.05 in 7.155 in
2
A r c   
시컨트공식에 필요한 상수 계산
2 2 2
360 k (1.5 in)(7.155 in)
14.94 ksi 0.2932
24.1 in (6.05 in)
P ec
A r
   
6
2
(25 ft)(12 in/ft) 360 k
49.59 497.9 10
6.05 in (30,000 ksi)(24.1 in )
L P
r EA

    
시컨트 공식에 대입하면,
max 2
1 sec (14.94 ksi)(1 0.345) 20.1 ksi
2
P ec L P
A r r EA

  
       
   

오목한 쪽의 기둥 중간 높이에서 발생함.
(b) 항복에 대한 안전계수
42 ksiY  을 최대응력으로 하는 하중 YP 를 구하여야 한다.
Note: 처음의 하중 P 에 (a)에서 구한 max/Y  의 곱으로는 구해지지 않음
 시컨트 공식은 하중에 대해서 비선형 식이기 때문.
즉 2
1 sec
2
Y Y
Y
P Pec L
A r r EA

  
    
   
을 YP 에 대해 풀어야 함
2 2
49.59
42 ksi 1 0.2932sec
24.1 in 2 (30,000 ksi)(24.1 in )
Y YP P  
    
   
 1012 k 1 0.2932sec 0.02916Y YP P  
  이 식을 수치적으로 풀면 716 kYP 
716 k
1.99
360 k
YP
n
P
   

11.7 탄성 및 비탄성 기둥의 거동
Euler 곡선이 유효한 세장비의 하한값은
2 2
2 2
( / )
cr
cr
P EI E
A AL L r
 
    에서
임계응력이 비례한도와 같은 경우이다.

2
c pl
L E
r


 
 
  (C 점에 해당)
- AB 구간: 아주 짧은 보
 재료의 항복과 파쇄에 의한 파괴
- BC 구간: 중간 길이 보
 비탄성 좌굴에 의한 파괴
임계하중은 오일러 하중보다 작음
- CD 구간: 긴 기둥  오일러 법칙을 따름.
- Secant formula line: CD 구간과 달리 P 가 감소하여도 max pl  은 항상 유지됨
11.8 비탄성 좌굴
중간길이의 기둥
 오일러 하중에 도달하기 이전에 응력은 비례한도에 도달함
 비탄성 좌굴 이론이 필요함
 접선계수 이론
비례한도 위의 점 A 점에서 접선계수 (tangent modulus)는
t
d
E
d


 (비례한도 이내에서는 탄성계수 E 와 동일)
곧은 상태에서 A 점의 응력으로부터 변형이 되므로
2
2
1
t
d v M
dx E I


  
굽힘 모멘트 M Pv  이므로
0tE Iv Pv  (앞 식에서 E 를 tE 로 바꾼 식)
이 식을 풀면

2
2
(11 67)t
t
E
P
L

 
그리고
2
2
( / )
t t
t
P E
A L r

  
접선계수 tE 는
P
A
  에 따라 변하므로,
1) tP 를 추정값 1P 을 정함 (이 하중은 pl A 보다 큰 값임)
2)
1
1
P
A
 
3) 응력 변형률 선도에서 tE 를 구함
4)
2
2
(11 67)t
t
E
P
L

  에서 새로운 tP 의 추정값을 구함.
위의 과정을 반복함.
Note: L 대신 eL 를 이용하여 다른 지지점 조건에서도 사용 가능.
Note: 우측 그림에 세장비에 대한 값을 도시.
 감소계수 이론
- 곧은 위치를 벋어나기 시작할 때  압축응력
P
A 에 새로 생기는 굽힘응력이 더해짐
- 오목한 쪽; 압축 굽힘응력이 더해지므로 재료는 tE 를 따름
- 볼록한 쪽; 인장 굽힘응력이 더해지므로 하중제거 커브를 따르므로 E 를 따름.
 두가지 재료로 구성된 보와 같은 거동을 함.  tE 와 E 의 중간값 rE 의 기둥처럼 거동함
rE : 감소계수 (reduced modulus); 응력의 크기 및 단면 모양에 좌우됨. (2 중 계수 로도 불리움)
예-1) 직사각형 단면 기둥
 
2
4 t
r
t
EE
E
E E


예-2) WF 보에서 강한 축에 대한 굽힘에서는
2 t
r
t
EE
E
E E


2
2
r
r
E
P
L

 그리고
2
2
( / )
t r
r
P E
A L r

  
접선계수 이론과 마찬가지로 반복 시행을 통하여 구해짐.

 센리 (Shanley) 이론
- tP 과 rP 은 crP 보다 작은 값이므로 기둥이 오일러
좌굴과 유사한 방법으로 비탄성 좌굴을 이으키는
것은 불가능함.
- 처진 모양이 하중변화 없이 갑자기 발생하는
중립 평형 대신 계속 증가하는 축하중을 가진
기중을 고려하여야 함.
- 이 경우 중립평형 대신 하중-처짐 사이 명확한
관계를 가지는 기둥을 고려하여 해석함
 Shanley 이론
- Note-1: Shanley 이론은 비탄성 좌굴의 정설로 입증됨
- Note-2: 그러나 계산상의 실용적인 이유로 접선계수 하중을 적용하는 것이 일반적임.
11.9 기둥설계 공식
1. 허용응력 allow 를 예측
2. 주어진 축하중 P 를 예측된 허용응력으로 나누어 단면적 A 의 근사값 계산
3. 계산/단편 도표에서 기둥을 선정  기둥의 크기/형상 결정
4. 기둥의 치수로부터 적절한 설계공식을 선택하고 allow 를 결정
5. allow allowP A 에서 allowP 를 구하여 실제하중 P 와 비교
6. 이 과정을 2-3 회 반복하면 적절한 기둥을 설계할 수 있음

 구조용 강재 (AISC 표준)
AISC (Americal Institute of Steel Construction) Formula
세장비 /L r 이 클 때, 최대응력은 Euler 하중을 근거로 함.
즉
2
max 2
( / )
E
KL r

  , 여기서 KL 은 유효길이임. (11-74)
(이 식은 max pl  인 경우만 유효함)
WF 단면과 같은 압연 강판은 잔류응력을 고려하여 다음 식을 사용함.
max 0.5 Y  (11-75)
(11-74), (11-75)로부터 임계세장비를 구하면
2
2
c Y
KL E
r


 
 
 
(11-76)
식 (11-74)는 세장비가  / c
KL r 보다 큰 경우 유효하며, 무차원화하면
22
max
2 2
( / )
( / ) 2( / )
c
cY Y
KL rE KL KL
KL r KL r r r
 
 
 
    
 
; Euler 곡선 (11-77)
 / / c
KL r KL r 인 비탄성조굴 구간에서는 다음 실험식을 사용함
2
max
2
( / )
1
2( / )
c
cY
KL r KL KL
KL r r r


 
    
 
(11-78)

최대응력에서 허용응력을 얻기위한 AISC 안전계수는
3
1 3
5 3( / ) ( / )
3 8( / ) 8( / ) cc c
KL r KL r KL KL
n
KL r KL r r r
 
     
 
(11-79)
2
23
1.92
12 c
KL KL
n
r r
 
    
 
(11-80)
(안전계수는 / 0KL r  일 때 0 에서  / / c
KL r KL r 일 때 23/12 까지 점진적으로 증가후 고정)
허용응력은 최디응력 max 를 안전계수로 나누어 구함
2
2
1
( / )1
1
2( / )
allow c
cY
KL r KL KL
n KL r r r


   
     
  
(11-81)
2
2
2
( / )
2 ( / )
allow c
cY
KL r KL KL
n KL r r r


 
   
 
(11-82)
Note: AISC 에서는 / 200KL r  으로 제한함

 알루미늄 (알루미늄 협회의 시방서)
10Y
allow
Y
KL
S
n r

    ; 항복 응력에 근거 (11-83a)
1 2
1
allow c c
u
KL KL
B D S S
n r r

 
    
 
; 접선계수 이론에 근거 (11-83b)
2
22
( / )
allow
u
E KL
S
n KL r r

   ; Euler 공식에 근거 (11-83c)
1. 합금 2014-T6; 1 20, 55S S 
30.7 0.23 ksi 0 55allow
KL KL
r r

 
    
 
(11-84a)
2
54,000 ksi
55
( / )
allow
KL
KL r r
   (11-84b)
2. 합금 6061-T6; 1 20, 66S S 
20.2 0.126 ksi 0 66allow
KL KL
r r

 
    
 
(11-85a)
2
51,000 ksi
66
( / )
allow
KL
KL r r
   (11-85b)

 목재 (미국 삼림 및 종이 협회의 목재 건축에 대한 설계시방서)
- 제재목, 합판, 둥근 막대기, 파일등
- 품종, 등급등이 중요 인자.
기둥 단면에 작용, 목재 결에 평행한 압축 허용응력  cF로 표시
허용축하중: allow allow cP A F A   (11-86)
허용응력:
* *
c c P C PF F C C F C   (11-87)
 설계응력 cF ; 목재의 특정 품종 및 등급에 대한 압축설계응력
 조정계수
*
C ; 하중 작용 기간, 젖음 조건, 및 고온을 포함한 실제 사용조건에 따른 계수
 기둥안정성계수 PC ; 유사한 좌굴에 관한 고려사항에 근거한 계수
2* * *
1 ( / ) 1 ( / ) /
2 2
cE c cE c cE c
P
F F F F F F
C
c c c
  
   
 
(11-89)
Euler 좌굴계수: 2
( / )
cE
cE
e
K E
F
L d

 , cEK 는 좌굴계수 /eL d 는 목재세장비, E 는 조정된 탄성계수
1. 기둥은 직사각형 단면의 제재목 또는 합판
2. 조정계수
*
1.0C  , c allow c PF F C  
*
CF F , allow c c PP F A F C A  (11-92)
3. 제재목: 0.8c  , 합판: 0.9c 
4. 제재목: 0.3cEK  , 합판: 0.418cEK 
5. E E 
2
( / )
cE
cE
e
K E
F
L d
 (11-93)
* 2
( / )
cE cE
c c e
F K E
F F L d
   (11-94)
2
1 1
2 2
PC
c c c
    
   
 
(11-95)

 예제 11-5
문제
W10 60 WF 단면의 pin-pin column, 29,000 ksiE  , 36 ksiY 
(a) 기둥의 길이 20 ftL  이면 허용 축하중은?
(b) 기둥이 축하중 200 kP  을 받으면 최대 허용길이는?
풀이
AISC 공식을 사용함.
부록 표 E-1 에서 작은 회전 반지름은 2.57 inr  , 단면적
2
17.6 inA 
임계 세장비는 식 (11-76)에서
2 2
2 2 (29,000 ksi)
126.1
36 ksic Y
KL E
r
 

 
   
 
(a) 허용 축하중
이 경우 세장비는
(20 ft)(12 in/ft)
93.4
2.57 in
L
r
 
임계값보다 작으므로 식 (11-79), (11-81)을 사용함
3 3
1 3 3
5 3( / ) ( / ) 5 3(93.4) (93.4)
1.89
3 8( / ) 8( / ) 3 8(126.1) 8(126.1)c c
KL r KL r
n
KL r KL r
      
2 2
2 2
1
( / )1 1 (93.4)
1 1 0.384
2( / ) 1.89 2(126.1)
allow c
Y
KL r
n KL r


   
       
  
0.384 0.384(36 ksi) 13.8 ksiallow Y   
2
(13.8 ksi)(17.6 in ) 243 kallow allowP A   

(b) 최대허용길이
축하중 200 kP  일때 최대 길이를 구하기 위해 길이를 예측하고 시행착오법 사용함.
Note: (a)에서 243 kallowP  일 때 20 ftL  이므로, 이경우 길이는 20 ftL  보다 커야 한다.
초기 길이를 25 ftL  로 가정함.
이 길이에 대한 세장비는,
(25 ft)(12 in/ft)
116.7
2.57 in
L
r
 
임계값보다 작으므로 식 (11-79), (11-81)을 사용함
3 3
1 3 3
5 3( / ) ( / ) 5 3(116.7) (116.7)
1.925
3 8( / ) 8( / ) 3 8(126.1) 8(126.1)c c
KL r KL r
n
KL r KL r
      
2 2
2 2
1
( / )1 1 (116.7)
1 1 0.299
2( / ) 1.915 2(126.1)
allow c
Y
KL r
n KL r


   
       
  
0.299 0.299(36 ksi)=10.8 ksiallow Y  
따라서 길이 25 ftL  에 대응하는 축하중은
2
(10.8 ksi)(17.6 in ) 190 kallow allowP A  
이 하중은 주어진 하중 200 kP  보다 작다.  허용길이는 25 ftL  보다 작다.
유사한 방법으로 시행 착오에 의하여,
24.0 ftL  201 kallowP 
보간법에 의해 , 200 kallowP  에 대응하는 기둥의 최대허용길이는 max 24.1 ftL  

 예제 11-6
문제
축하중 240 kNP  , 길이 3.6 mL  , 지름 160 mmd  ,
사용 재료는 강재: 200 GPaE  , 250 MPaY 
강재의 요구되는 최소두께 mint 구하기.
Fix-Free Column 조건으로 가정함.
풀이
AISC 공식을 사용함.
Fix-Free Column, 2(3.6 m) 7.2 meL KL  
임계 세장비는 식 (11-76)에서
2 2
2 2 (200 GPa)
125.7
250 MPac Y
KL E
r
 

 
   
 
첫번째 시행:
7.0 mmt  로 가정함.
4 4 4 4 6 4
( 2 ) (160 mm) (146 mm) 9.866 10 mm
64 64
I d d t
 
            
2 2 2 2 2
( 2 ) (160 mm) (146 mm) 3365 mm
4 4
A d d t
 
           
6 4
2
9.866 10 mm
54.15 mm
3365 mm
I
r
A

  
기둥의 세장비는
2(3.6 m)
133.0
54.15 mm
KL
r
 
  
 
임계값보다 큰 값이므로 식 (11-80), (11-82)를 사용함
2 1.92n 
2 2
2 2
2 2
( / ) (125.7)
0.2326
2 ( / ) 2(1.92) (133.0)
allow c
Y
KL r
n KL r n


  

0.2326 0.2326(250 MPa) 58.15 MPaallow Y   
2
(58.15 MPa)(3365 mm ) 196 kNallow allowP A  
이 하중은 요구되는 하중 240 kNP  보다 작은 값이므로, 더 큰 두께값 t 를 사용해야함.
추가적인 시행.
7.0 mmt  196 kNallowP 
보간법에 의해 , 8.9 mmt  가 하중 240 kNP  에 대응 됨을 알 수 있다.
 min 8.9 mmt  
 예제 11-7
문제
유효길이 16.0 inL  의 알루미늄 관 (합금 2014-T6)
축하중 5.0 kP  , 두께 t 가 바깥지름 d 의 1/10일 경우
요구되는 최소 바깥지름 d 구하기
풀이
1K  로 하고, 관의 세장비가 55보다 작다고 가정함
 식 (11-84a)를 사용함
30.7 0.23 ksiallow
KL
r

 
   
 
(c)
단면적은
2 2 2 2 2
( 2 ) (0.8 ) 0.2827
4 4
A d d t d d d
 
           
 2 2
5.0 k 17.69
0.2827
P
A d d
  , 이 값을 allow 로 하여 식 (c)에 대입하면,

2
17.69
30.7 0.23 ksi
KL
d r
 
   
 
(e)
여기서
4 4 4 4 4
( 2 ) (0.8 ) 0.02898
64 64
I d d t d d d
 
           
4
2
0.02898
0.3202
0.2827
I d
r d
A d
  
16.0 in 49.97 in
0.3202
L
r d d
 
이 값을 (e)에 대입하면,
2
17.69 49.97
30.7 0.23
d d
 
   
 
즉
2
30.7 11.49 17.69 0d d  
 0.97 ind 
확인: 이 값으로 세장비를 계산하면,
49.97 in
51.5
0.97 in
L
r
 
세장비는 55보다 작으므로, 처음 가장은 유효함.  min 0.97 ind  
 예제 11-8
문제
직사각형 형상의 목재 (Pin-Pin Column)
압축설계응력 11 MPacF  , 탄성계수 13 GPaE  인 미송.
(제재목, 상수 0.8c  , 0.3cEK  )
(a) 1.8 m, 120 mm, 160 mmL b h   일때 allowP 구하기
(b) 100 kN, 120 mm, 160 mmP b h   일때 maxL 구하기
(c) 기둥이 정사각형, 125 kN, 2.6 mP L  일때 minb 구하기

풀이
(a) 허용축하중은 식 (11-92)로부터
allow c c PP F A F C A  을 이용하여야 한다.
여기서 11 MPacF  ,
3 2
(120 mm)(160 mm) 19.2 10 mmA bh   
안정성계수 PC 를 구하기 위해 세장비를 계산하면,
1.8 m
15
120 mm
eL
d
  (여기서 d 는 단면의 작은 쪽 치수임)
* 2 2
(0.3)(13 GPa)
1.5758
( / ) (11 MPa)(15)
cE cE
c c e
F K E
F F L d
     (11-94)
2 2
1 1 1 1.5758 1 1.5758 1.5758
0.8212
2 2 1.6 1.6 0.8
PC
c c c
        
         
   
(11-95)
따라서
3 2
(11 MPa)(0.8212)(19.2 10 mm ) 173 kNallow c PP F C A    
(b) 최대허용길이
식 (11-92)에서 allow c PP F C A 에서 3 2
100 kN
0.47348
(11 MPa)(19.2 10 mm )
allow
P
c
P
C
F A
  

이 값을 식 (11-95)에 대입하고 0.8c  로 하면
2
1 1
0.47348
1.6 1.6 0.8
PC
    
    
 
시행오차법으로 수치적으로 풀어서 0.55864 
이 값을 식 (11-94)에 대입하면,
2
0.55864
( / )
cE
c e
K E
F L d
  

(0.3)(13 GPa)
25.19
(0.55864) (0.55864)(11 MPa)
cE
c
K EL
d F
  
25.19 (25.19)(120 mm) 3.02 mL d   

(c) 정사각형 단면의 최소 폭 minb 은 (a)의 절차를 사용하여 시행착오법으로 구함.
(1) b 의 시행 값(trial value)을 정함
(2) 세장비 / 2.6 /L d b 을 계산한다.
(3) 식 (11-94)로부터 비  를 계산한다.
2
2 2
(0.3)(13 GPa)
52.44
( / ) (11 MPa)(2.6 / )
cE
c e
K E
b
F L d b
   
(4)  를 식 (11-95)에 대입하여 PC 을 계산한다.
2
1 1
2 2
PC
c c c
    
   
 
(5) 식 (11-92)에서 하중을 계산한다.
2 2
(11 MPa)( )( ) 11,000c P P PP F C A C b C b  
(6) 계산된 P 값을 주어진 하중 125 kN 과 비교한다.
P 가 125 kN 보다 작으면 더 큰 b 를 선택하고
P 가 125 kN 보다 더 크면 더 작은 b 를 선택한다.
(1) 130 mm 0.130 mb   을 시행 값으로 정하면
(2) 세장비 / 2.6 / 20L d b 
(3)
2
52.44 0.88637b  
(4) 0.64791PC 
(5)
2
11,000 120.4 kNPP C b 
(6) 계산된 P 값을 주어진 하중 125 kN 보다 작으므로 더 큰 132 mm 0.132 mb   를 선택함.
계속 반복하면,
0.132 mb  126.3 kNP 
0.131 mb  123.4 kNP 
: min 0.132 m 132 mmb   

Lecture note 108

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