Articles fr les mathematiques_7

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Articles fr les mathematiques_7

  1. 1. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 1 sur 8 Imagerie mentale et mathématiques Maurice Laurent Introduction Les mots n'ont pas de sens en eux-mêmes : ils ne sont à l'oral que des suites arbitraires de sons. Mais ils déclenchent en nous des images qui, ayant été engendrées par nos perceptions, sont porteuses de significations. D'où viennent ces images ? D'abord de la faculté que nous avons de percevoir le monde qui nous entoure et en nous des états ou des mouvements divers, autrement dit de la faculté que nous avons d'être sensibles à des impacts énergétiques en provenance de l'extérieur sous différentes formes et à des mouvements d'énergie qui nous sont internes. Ensuite du pouvoir que nous avons d'en conserver des traces structurées et objectivées. Enfin du pouvoir que nous avons de rappeler ces traces, de les évoquer. Puisque fabriquer des images et les évoquer sont des pouvoirs du Moi à disposition, et puisque la perception est la source des significations, il est de bon sens d'en tenir compte lorsqu'on veut aider autrui à apprendre, et tout particulièrement dans notre enseignement des mathématiques, si nous voulons que cette activité ait un sens pour celles et ceux qui ont à la pratiquer. Il ne s'agit en fait que de permettre à autrui de transférer des pouvoirs acquis à un type d'activité où ils ont à l'évidence leur place. Sur la base d'un exemple précis, l'objet de cet article est de montrer comment il est possible de solliciter chez des élèves ce pouvoir d'imager afin qu'ils le mettent, tout en l'éduquant, au service d'une activité mathématique véritable. 1. Créer un être mathématique sur commande (Figure 1) Imaginez un rectangle dont un des côtés est horizontal. Appelez A le sommet situé en haut et à gauche. Si vous parcourez des yeux, depuis A et dans le sens des aiguilles d'une montre, le pourtour de votre rectangle, vous rencontrez dans l'ordre les sommets B, puis C, puis D. Regardez et nommez, partant de A, mais dans l'autre sens, la suite des sommets consécutifs. Imaginez maintenant qu'un point rouge appelé V et placé d'abord en A, ait la liberté - et seulement cette liberté - de se rendre en ligne droite en B puis de retourner de même en A. Nous dirons alors qu'il parcourt - ou décrit- le segment de droite [AB], et qu'il appartient au segment [AB](1) . Imaginez encore qu'un autre point rouge, V', qui appartient à [DC], ait aussi la liberté de le parcourir d'une extrémité à l'autre, dans les 2 sens, et à n'importe quelle vitesse. Faites-le se déplacer, accélérez ou ralentissez son mouvement, arrêtez-le entre D et C ...
  2. 2. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 2 sur 8 Placez maintenant V et V' respectivement en A et D. On dit alors qu'ils sont respectivement confondus avec A et D. Imaginez qu'ils se mettent en mouvement simultanément, qu'ils se déplacent à la même vitesse et que leur vitesse ne varie pas - soit constante. Où se trouve V' sur [DC] lorsque V, parti de A, a parcouru la moitié de [AB] ? le quart de [AB] ? les 3/5 de [AB] ? Où est V sur [AB] lorsque V', parti de D, a parcouru 1/3 de [DC] ? a encore les 2/7 de [DC] à parcourir pour atteindre C ? Vous êtes désormais conscient(e) du fait que les mouvements de V sur [AB] sont liés à ceux de V' sur [DC] et vice versa, autrement dit que le déplacement et la position de l'un déterminent le déplacement et la position de l'autre. Tracez maintenant le segment de droite qui a pour extrémités V et V'. Dès lors, de nouvelles questions peuvent vous être posées. Quelle figure balaie [VV'] lorsque V décrit [AB] ? Quels sont les éléments de votre figure qui ont la même direction que [VV'](2) . Quels sont les éléments de votre figure dont les directions sont perpendiculaires ? Et quelle que soit la position de Ventre A et B, est-ce toujours vrai(3) ? Et comment le savez-vous ? 2. Aborder la distributivité (Figure 2) Nous allons maintenant regarder la même situation sous un autre angle. Combien voyez-vous de rectangles lorsque V n'est confondu ni avec A, ni avec B ? Nommez- les tous les trois. Que mesure [AB] si [AV] mesure 7 cm, si [VB] mesure 4 cm, et si 7 et 4 sont les seuls nombres admis pour l'exprimer ? Si [AD] mesure 8 cm, quelle est alors l'aire de ABCD(4) ? de AVV'D ? de VBCV' ? Existe-t-il une relation entre ces 3 aires ? Si vous regardez d'abord [DA], puis [AV], puis [V'V], puis [VB], vous percevez immédiatement que : 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴(𝐴𝑉𝑉′𝐷) + 𝐴(𝑉𝐵𝐶𝑉′)
 8 × (7 + 4) = 8 × 7 + 8 × 4 Et si vous regardez les deux petits rectangles avant le grand, vous percevez immédiatement que : 8 × 7 + 8 × 4 = 8 × (7 + 4) Dans quel ordre faut-il regarder les éléments de la figure pour lire : (7 + 4) × 8 = 7 × 8 + 4 × 8 8 × (4 + 7) = 8 × 4 + 8 × 7 (4 + 7) × 8 = 4 × 8 + 7 × 8 7 × 8 + 4 × 8 = (7 + 4) × 8. .. De tels exercices - il suffit de changer les valeurs numériques pour en créer d'autres - peuvent être conduits jusqu'à ce qu'ils deviennent si faciles pour les élèves qu'ils n'offrent plus d'intérêt. Ce faisant, ils pratiquent la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition, à gauche et à droite, la symétrie de l'égalité, et se donnent une structure mentale nouvelle. Mais plus encore ici, conduire les élèves à la facilité, c'est les conduire à l'indifférence aux valeurs numériques et à mettre l'accent sur les opérations, autrement dit leur donner accès à l'algèbre.
  3. 3. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 3 sur 8 C'est la prise de conscience du fait que, quelles que soient les mesures de [AD], [AV] et [AB], la relation entre les trois aires est permanente, qui va le permettre. Appelez 𝑥 la longueur de [AD], 𝑎 celle de [AV] et 𝑏 celle de [VB]. Quels segments de la figure sont aussi de longueur 𝑥 ? de longueur 𝑎 ? de longueur 𝑏 ? Exprimez la relation entre les trois aires au moyen de 𝑥, 𝑎 𝑒𝑡 𝑏, et de huit manières différentes : 𝑥(𝑎 + 𝑏) = 𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 … 𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) Ayant lu, dit et écrit une des huit égalités, par exemple 𝑥(𝑎 + 𝑏) = 𝑥𝑎 + 𝑥𝑏, peut-on trouver les sept autres sans évoquer ni "lire" la figure ? Et au moyen de quelles propriétés de l'addition et de la multiplication (5) ? 3. Double distributivité (Figure 3) De même que vous avez lié les mouvements de V, de V' et de [VV'], liez maintenant selon les mêmes contraintes ceux de H, point appartenant à [AD], de H', point appartenant à [BC], et de [HH']. Imaginez maintenant que V et H soient en A, et que V mette le même temps pour parcourir [AB] que H pour parcourir [AD], quelles que soient les longueurs de ces deux segments. Où est H sur [AD] si V a parcouru la moitié de [AB], le tiers de [AB], les 3/4 de [AB] ?... Où est V sur [AB] si H a parcouru les 2/5, les 3/7 de [AD] ?... Où est V'... Où est H'... Combien de rectangles voyez-vous si V n'est ni en A ni en B ? Sachant que [VV'] coupe [HH'] en I, nommez-les, les neuf, puisque tel est leur nombre. Supposez que AH = 3 cm, HD = 4 cm, DV' = 5 cm, V'C = 6 cm.(6) Regardez, lisez et exprimez le fait que l'aire du grand rectangle égale la somme des aires de deux rectangles, de deux autres rectangles, de quatre rectangles... Appelez 𝑎 la longueur de [DV'], 𝑏 celle de [V'C], 𝑐 celle de [CH'], 𝑑 celle de [H'B]. Lisez et écrivez les égalités que vous percevez, si V n'est ni en A ni en B. Comme sous (2), nous parviendrons aisément à passer des expressions numériques aux expressions littérales, de l'expression de cas particuliers à celle de tous les cas... (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎(𝑐 + 𝑑) + 𝑏(𝑐 + 𝑑) (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = (𝑎 + 𝑏)𝑐 + (𝑎 + 𝑏)𝑑 (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 (𝑐 + 𝑑)(𝑏 + 𝑎) = 𝑐𝑏 + 𝑐𝑎 + 𝑑𝑏 + 𝑑𝑎 𝑎(𝑐 + 𝑑) + 𝑏(𝑐 + 𝑑) = (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) (𝑎 + 𝑏)𝑐 + (𝑎 + 𝑏) = ⋯ 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 = ⋯ 𝑐𝑏 + 𝑐𝑎 + 𝑑𝑏 + 𝑑𝑎 =. .. Les différentes formes de l'égalité sont plus nombreuses ici. Écrivez-les toutes ou/et déterminez-en le nombre si le cœur vous en dit ! La prise de conscience la plus importante ici est que toutes ces égalités sont à disposition, car toutes perceptibles, tangibles, ne différant les unes des autres que par l'ordre que j'impose à mon regard.
  4. 4. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 4 sur 8 4. Une introduction au calcul littéral Sur la base des images mentales dynamiques précédemment structurées - Figure 2 et Figure 3 - des exercices nombreux, variés et gradués en difficulté pourront être proposés aux élèves, qu'ils exécuteront facilement, qui les amèneront à aborder le calcul littéral sur la base du sens, et au cours desquels sera introduite la terminologie adéquate. Nous ne donnerons ici que quelques orientations possibles. Évoquez d'abord la Figure 2. Précisons qu'une fois pour toutes, une unité de longueur a été choisie : cm, dm... ou n'importe quel segment unité. 1. Si vous donnez à 𝑎 la valeur 2, voyez-vous que : 𝑥(2 + 𝑏) = 𝑥 × 2 + 𝑥 × 𝑏 = 2𝑥 + 𝑏𝑥? 2𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥 × 2 + 𝑥 × 𝑏 = 𝑥(2 + 𝑏)? 2. Si vous imaginez que 𝑎 et 𝑥 ont la même longueur, voyez-vous que : 𝑥(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 × 𝑥 + 𝑥 × 𝑏 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 … 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 … 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑥 × 𝑥 + 𝑥 × 𝑏 = 𝑥(𝑥 + 𝑏)? 3. Si b est l'unité de longueur, voyez-vous que : 𝑥(𝑎 + 1) = 𝑥 × 𝑎 + 𝑥 × 1 = 𝑎𝑥 + 𝑥 … 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 … 𝑎𝑥 + 𝑥 = 𝑥 × 𝑎 + 𝑥 × 1 = 𝑥(𝑎 + 1)? 4. Et si x = 2a ?... 5. Et si x = a = b ?... Évoquez maintenant la figure 3. Dessinez si besoin est. 1. 𝑆𝑖 𝑎 = 2𝑐 𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑑 = 2𝑏, voyez-vous que: (2𝑐 + 𝑏)(𝑐 + 2𝑏) = 2𝑐2 + 4𝑏𝑐 + 𝑏𝑐 + 2𝑏2 = 2𝑐2 + 5𝑏𝑐 + 2𝑏2 ? 2. 𝑆𝑖 𝑏 = 1 𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑑 = 1, voyez-vous que : 
(𝑎 + 1)(𝑐 + 1) = 𝑎𝑐 + 𝑎 + 𝑐 + 1 ? Les conventions de lecture et d'écriture et les notations généralement utilisées pourront être peu à peu introduites lors de ces exercices, lorsqu'elles seront nécessaires à la concision, la facilité d'expression, son élégance : place des coefficients numériques dans l'expression des monômes (𝑥 × 2 = 2 𝑥 𝑒𝑡 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥), lettres ordonnées alphabétiquement (𝑥 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑥 = 𝑏𝑥 ), notation des produits de facteurs semblables sous forme de puissance ( 𝑎 × 𝑎 = 𝑎2 )... Seront introduits également les mots qui rendent compte des transformations algébriques que l'on peut faire subir à un produit ou à une somme, afin de leur donner une autre apparence : développer un produit, réduire les monômes semblables, factoriser une somme... Et ces exercices seront exécutés avec sûreté s'ils continuent à l'être sur la base de la perception. 5. Produits de sommes et de différences Évoquez de nouveau la Figure 2! 𝑥 demeurant la longueur de [AD], appelez 𝑎 celle de [DC] et 𝑏 celle de [V'C]. Exprimez alors
  5. 5. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 5 sur 8 la longueur de [DV'], puis l'aire du rectangle AVV'D. Et quelle que soit la position de V, est- ce toujours vrai ? Voyez-vous que : 𝑥(𝑎 − 𝑏) = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 = (𝑎 − 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 ? Évoquez maintenant, selon les mêmes contraintes, la Figure 3. Conservez DV' = 𝑎 et V'C = 𝑏. Prenez CB = 𝑐 et H'B = 𝑑. Voyez-vous que : (𝑎 + 𝑏)(𝑐 − 𝑑) = 𝑎(𝑐 − 𝑑) + 𝑏(𝑐 − 𝑑) (𝑎 + 𝑏)(𝑐 − 𝑑) = (𝑎 + 𝑏)𝑐 − (𝑎 + 𝑏)𝑑 (𝑎 + 𝑏)(𝑐 − 𝑑) = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑏𝑑 (𝑎 + 𝑏)(𝑐 − 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 − 𝑏𝑑 Reprenez une fois encore la Figure 3 et modifiez-la comme il convient pour exprimer : (𝑎 − 𝑏)(𝑐 + 𝑑), de quatre manières différentes. Vous voudriez enfin exprimer (𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑). Si DC = 𝑎, V'C = 𝑏, CB = 𝑐, H'B = 𝑑, est-ce bien l'expression de l'aire du rectangle DHIV' ? Voyez-vous que si l'on retire au rectangle ABCD les rectangles ABH'H et BCV'V, on lui retire deux fois le rectangle VBH'I, si l'on ne veut conserver que le rectangle DHIV, autrement dit (𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑) ? Alors, vous voyez que : (𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑) = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 6. Longueurs, aires et fractions (Figure 4) Évoquez de nouveau la Figure 3. Transformez-la, de façon que [AB] et que [AD] aient désormais la même longueur. Quelle figure est devenue le rectangle ABCD ? Quelle que soit la position du point V entre A et B, quels segments ont-ils maintenant la même longueur que [AV] ? et que [VB] ? Dès lors, qu'ont de particulier les rectangles AVIH et CV'IH' ? Si V, depuis A, a parcouru moins de la moitié de [AB], que pouvez-vous dire de l'aire de AVIH, comparée à celle de CV'IH' ? Quelle condition imposer à la position de V entre A et B - ou à H entre A et D - si l'on veut que l'aire de AVIH soit supérieure à celle de CV'IH' ? Et que se passe-t-il lorsque V est en A ? en B ? au milieu de [AB] ? Lorsque V est au 1/3 de [AB] à partir de A, quelle distance lui reste-t-il à parcourir pour atteindre B, par rapport à celle qu'il a déjà parcourue ? Voyez-vous qu'il s'agit du double, c'est-à-dire des 2/3 de [AB] ? Quelle fraction de [AB] reste-t-il à parcourir à V s'il a déjà parcouru 1/4 de [AB] ? 1/7 de [AB] ? 2/7 de [AB] ? 5/9 de [AB] ? [AB] (7) ? Vous voyez que lorsque V est aux 5/11 de [AB], il lui en reste 6/11 à parcourir : on dit alors que AV et VB sont dans le rapport 5/6 et que VB et AV sont dans le rapport 6/5. On note : 𝐴𝑉 𝑉𝐵 = 5 6 𝑒𝑡 𝑉𝐵 𝐴𝑉 = 6 5 Dans quel rapport sont AV et VB lorsque V, depuis A, a parcouru 1/4 de [AB] ? 1/5 de [AB] ?... 3/4 de [AB] ?... de [AB] ? de [AB] ? Voyez-vous que si V a parcouru 13 29 de [AB], AV et VB sont dans le rapport 13 29−13 ou 29−13 13 , selon que V est parti de A ou de B ? que si V a parcouru de [AB], AV et VB sont dans le rapport 𝑎 𝑛−𝑎 ou 𝑛−𝑎 𝑎 ? Et dans chacun des cas ci-dessus, dans quel rapport sont les aires des carrés AVIH et IH'CV' ?
  6. 6. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 6 sur 8 Notez, si nécessaire, vos observations dans un tableau à 4 colonnes : AV VB AV/VB Aire (AVIH)/Aire (IH'CV') 1/4 de AB 3/4 de AB 1/3 1/9 Vous voyez que, quelle que soit la fraction de [AB] parcourue par V depuis A, vous voyez aussi celle qui lui reste à parcourir pour atteindre B. Qu'en même temps vous connaissez le rapport de AV à VB, et immédiatement après celui des aires des deux carrés qui ont respectivement comme côté AV et VB... Parce que vous avez été conduit(e) à considérer simultanément AV et VB d'une part, leur rapport et le rapport des aires des carrés les ayant comme côté d'autre part, ont été forcées les prises de conscience qui permettent d'énoncer : 1. Si un point est situé aux d'un segment, il le partage dans le rapport 𝑎 𝑛−𝑎 ou 𝑛−𝑎 𝑎 . 2. Si 2 carrés sont tels que le rapport de leurs côtés est 𝑎 𝑏 , (𝑏 = 𝑛 − 𝑎), le rapport de leurs aires est égal à 𝑎.𝑎 𝑏.𝑏 = 𝑎2 𝑏2 ; autrement dit, que le rapport de leurs aires est égal au rapport des carrés de leurs côtés. Des travaux similaires basés sur l'imagerie peuvent être menés qui conduiront à comparer les aires des carrés et des rectangles de cette Figure 4, soit l'un par rapport à l'autre ou aux autres, soit l'un par rapport à lui-même lorsque V occupe un ensemble de positions, ou des positions particulières entre A et B. Faites-le vous-même si le cœur vous en dit, afin de vous assurer par exemple du bien-fondé des assertions ci-dessous : 1. Si 𝐴𝑉 < 𝑉𝐵,
 alors 𝐴(𝐴𝑉𝐼𝐻) < 𝐴(𝐻𝐼𝑉′𝐷) < 𝐴(𝐼𝐻′𝐶𝑉′). 2. Lorsque V parcourt [AB], de A vers B, l'aire du rectangle VBH'I croît de 0 à 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) 4 puis décroît jusqu'à 0. 3. Si V n'est pas au milieu de [AB], alors 𝐴(𝐴𝑉𝐼𝐻) + 𝐴(𝐼𝐻′𝐶𝑉′) > 𝐴(𝑉𝐵𝐻𝐼) + 𝐴(𝐻𝐼𝑉′𝐷). 4. Si V est situé aux 𝑎 𝑏⁄ de [AB], le rectangle VBH'I a la même aire que si V est situé aux (𝑏 − 𝑎) 𝑏⁄ de [AB]. 5. ad libitum... 7. Identités remarquables (produits remarquables) Maintenant que la Figure 4 constitue une image mentale à disposition, nous aurons directement accès aux 3 identités remarquables de base, qui seront reconnues vérifiées quelle que soit la longueur du côté du carré ABCD, et quelle que soit la position de V entre A et B. En effet, si 𝐴𝑉 = 𝑎 et si 𝑉𝐵 = 𝑏, alors 𝐴𝐵 = 𝑎 + 𝑏. Dès lors, regardez votre Figure 4 et lisez : 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 =𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (1ère identité remarquable). Vérifiez aussi que : 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏 … 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 … (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎2 + 𝑏2 ) = 2𝑎𝑏. Si vous appelez maintenant 𝑎 la longueur de [AB] et 𝑏 celle de [AV], 𝑎 × 𝑎 = 𝑎2 exprime l'aire du carré ABCD et 𝑏2 celle du carré AVIH.
  7. 7. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 7 sur 8 Imaginez que le carré ABCD soit blanc et qu'on lui ait superposé le carré rouge AVIH. L'aire de la partie restée blanche, 𝑎 2 − 𝑏2 , est la différence des aires des 2 carrés. Regardez cette partie blanche. Faites tourner, d'un quart de tour et dans le sens des aiguilles d'une montre, le rectangle VBH'I autour de son sommet H. Il emporte avec lui le nom de ses sommets. Que pouvez-vous dire maintenant de [CH'] et de [H'I], côté du rectangle qui a tourné ? Faites glisser vers le bas le rectangle IH'BV jusqu'à ce que son sommet H' soit en C. Voyez-vous qu'alors, son sommet I est confondu avec H' ? Vous pouvez voir maintenant un nouveau rectangle, HVBD. N'hésitez pas à recommencer l'opération, jusqu'à ce que vous soyez sûr(e) de votre image mentale... Exprimez la longueur et la largeur de ce nouveau rectangle au moyen de 𝑎 et de 𝑏, puis son aire. Ainsi, vous percevez l'aire de la partie blanche, soit comme (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏), soit comme 𝑎2 − 𝑏2 : (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 (2ème identité remarquable). (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + 𝑏2 = 𝑎2 Quant à la perception de la dernière identité, elle n'exigera rien d'autre de vous que de regarder votre Figure 4 comme vous avez regardé votre Figure 3 à la fin du paragraphe (5) : Si AB = 𝑎 et si VB = 𝑏, alors AV = 𝑎 − 𝑏 et AH = 𝑎 − 𝑏 𝐴(𝐴𝑉𝐼𝐻) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (3ème identité remarquable). Quelques considérations à propos du tout 1. C'est aux pouvoirs du Moi d'imager et d'évoquer qu'il a été fait appel. 2. Les mots déclenchent chez ceux qui les lisent ou les entendent des images mentales. 3. Les mots sont arbitraires, mais les images déclenchées ne le sont pas : elles sont tangibles et ont un sens. 4. Il est donc possible de créer chez les autres des êtres mathématiques sur commande. (A noter que la présence des élèves, qui au fur et à mesure vous livrent leurs feed-back, rend la tâche bien plus aisée.) 5. Les images engendrées présentaient des éléments fixes et des éléments mobiles : il existe une algèbre dans ces images parce qu'elles sont dynamiques. Seul le mouvement permet de prendre conscience de relations permanentes qui structurent une situation, par opposition à des relations qui ne sont vraies que dans des cas particuliers. 6. Les images engendrées sont labiles, sans cesse transformables : il est possible d'effacer, d'ajouter, d'en transformer les éléments. 7. L'image de départ est si simple - elle ne demande pratiquement pas de prérequis - que quiconque peut aborder la situation. 8. A partir de presque rien, il est possible de faire faire beaucoup, en particulier de forcer de très nombreuses prises de conscience. 9. Modifier un seul élément, ou en ajouter un seul, ou opérer un seul changement de point de vue, permet d'aborder un nouveau "chapitre" ; une seule situation de base, correctement modifiée, est suffisante pour aborder de multiples notions de manière adéquate. 10. Au fur et à mesure que l'image mentale est "manipulée", sa structuration, en conséquence la maîtrise qu'on en a, croît, et le temps nécessaire à voir décroît ;
  8. 8. http://www.uneeducationpourdemain.org Page 8 sur 8 évoquer des images, les animer, les transformer, prendre conscience des relations qui les structurent, sont des activités éducables. Bien des élèves échouent en mathématiques parce que les mots, les symboles et les notations restent pour eux désespérément vides de sens car ils n'évoquent rien lorsqu'ils les lisent ou les entendent. Si nous voulons que nos élèves réussissent et apprécient les mathématiques, autrement dit si nous voulons qu'ils sachent ce qu'ils font et aient la possibilité de le contrôler, il convient, comme nous l'avons proposé, de leur en donner les moyens ; les moyens de leur autonomie, de leur indépendance et de leur responsabilité. Notes : (1) A partir de maintenant, lire "le segment d'extrémités A et B" pour [AB], lire "le point V" pour V, lire "le point V prime" pour V'. (2) Deux droites, demi-droites, segments parallèles ont la même direction, et il existe sur chacun d'eux deux sens de parcours. (3) Age des élèves. Avec des élèves de début de cycle primaire, des étapes doivent précéder un tel travail d'imagerie mentale, dont l'objectif sera qu'ils prennent conscience d'abord que l'action sur des situations réelles engendre des images virtuelles, ensuite qu'il est possible d'agir directement sur des images virtuelles. Avec des élèves de fin de cycle primaire, on acceptera la logique de la perception : à cet âge, action et perception - ici action virtuelle sur des éléments de la figure et perception de certaines relations non permanentes ou permanentes entre eux - est la voie de connaissance privilégiée. Avec des élèves de cycle secondaire, de telles questions conduiront à des échanges qui exigeront d'eux, en plus de l'expression précise de leur pensée, des raisonnements rigoureux, sur la base des propriétés des droites parallèles et perpendiculaires et de celles des quadrilatères. (4) L'aire est la mesure de la surface. (5) La symétrie de l'égalité et la commutativité de l'addition et de la multiplication. (6) Lire "la mesure de [AH] est 3 cm" pour AH = 3 cm ... (7) 𝑎 et 𝑛 représentent n'importe quel nombre entier positif, mais 𝑎 reste inférieur ou égal à 𝑛. (8) < se lit : ... "est strictement plus petit que" ... > se lit : ... "est strictement plus grand que" ... © Maurice Laurent La Science de l'Education en Questions - N° 9 - juin 1993

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