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Mécanique – Chapitre 3 1
Chapitre 3
Mécanique des
milieux continus
En
arrière-plan:
sur
la
poutre
d’égale
résistance.
Galilée,
Discorsi
e
dimostrazioni
matematiche…,
1638.

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Contenu du chapitre 3 (1)
 1. Introduction
 La mécanique des milieux continus (MMC)
 Secteurs de la MMC
 2. Déformation
 Le tenseur de la déformation
 Types de déformations simples
 Les déformations principales
 3. Contrainte
 La contrainte comme effort interne
 Le tenseur de la contrainte
 Les contraintes principales
 4. Les équations de bilan
 A la recherche d’équations générales
 Conservation de la masse
 Conservation de la quantité de mouvement…
 …et de son moment

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Contenu du chapitre 3 (2)
 5. Comportement des matériaux
 Nécessité d’équations supplémentaires
 Relation contrainte-déformation
 Homogénéité et isotropie
 Types de matériaux solides
 6. Élasticité
 La loi de Hooke généralisée
 L’énergie de déformation
 Élasticité anisotrope et isotrope
 Les équations de Lamé
 Les critères de résistance
 La fatigue
 7. Bibliographie
 En librairie…
 … et sur Internet

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Chapitre 3
 1. Introduction
 La mécanique des milieux continus (MMC)
 Secteurs de la MMC
En
arrière-plan:
sur
les
dimensions
des
structures
biologiques.
Galilée,
Discorsi
e
dimostrazioni
matematiche…,
1638.

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La mécanique des milieux continus (MMC) (1)
 Si la mécanique classique générale s’occupe,
traditionnellement, des corps rigides, la mécanique
des milieux continus (MMC) s’occupe du
comportement des corps continus déformables.
 On a déjà vu, au chapitre 2 (pages 14-16) les
caractéristiques essentielles du modèle de corps
continu.
 Maintenant, il ne faut que souligner la propriété
essentielle de ceux qu’on appelle milieux continus, la
déformabilité: sous l’action de certaines causes
(forces appliquées, variations de température etc.) un
milieux continu se déforme, à savoir il change, en
générale, de volume et de forme.

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 L’objet de la MMC est justement de donner les lois
physiques qui décrivent les transformations des corps
déformables, en prenant donc en compte les
déformations et en considérant les différents types de
comportement d’un milieux continu.
 La différence par rapport à la mécanique des corps
rigides est surtout dans une difficulté accrue de la
matière, surtout d’un point de vue mathématique,
nécessaire à prendre en compte la description de la
déformabilité.
 Ceci comporte l’introduction de nouveaux concepts
mécaniques et des instruments mathématiques
capables de les décrire: les tenseurs (de la
déformation, de la contrainte, de l’élasticité etc.).

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Wt
 Fixons d’abord un schéma général, auquel on reviendra plusieurs
fois, et qui va nous servir, maintenant, pour introduire toutes les
quantités qui peuvent apparaître en MMC.
 Le corps continu: on l’indiquera avec W, qui est aussi la région de
l’espace euclidien qu’il occupe à un instant donné;
 sa frontière, qu’on indiquera avec W: c’est l’enveloppe de W;
 W est formé de points matériels p, dont les déplacements sont
indiqués par u;
 la masse volumique r: elle est, en général, fonction de la position p et
du temps t: r= r(p,t);
 les forces volumiques b: ce sont les forces distribuées sur les points
de W par unité de volume (p. ex. la pesanteur); u=u *
u=u *
u=u *
u=u *
Wu
W
 les forces surfaciques t: ce sont les forces de
contact par unité de surface (p. ex. la
pression), appliquées sur une partie Wt de W;
 les déplacements de la frontière: sur une partie
Wu de W on peut avoir des déplacements
donnés (souvent nuls, p. ex. aux appuis).
W
b
u
p
r= r(p,t)

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Secteurs de la MMC
 La MMC se divise en plusieurs secteurs:
 étude de la déformation;
 étude de la contrainte;
 lois de bilan;
 rhéologie: étude du comportement des matériaux;
 mécanique des solides;
 mécanique des fluides.
 La mécanique des fluides sera introduite au chapitre 4;
dans ce chapitre on abordera les autres parties; pour
ce qui concerne la mécanique des solides, on se
bornera à une introduction à la théorie de l’élasticité.
 Dans tout ce qui suit, on n’introduira que des
grandeurs mécaniques; en particulier, on ne
s’occupera pas des phénomènes liés aux
changements de température.

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Chapitre 3
 2. Déformation
 Le tenseur de la déformation
 Types de déformations simples
 Les déformations principales
En
arrière-plan:
sur
la
résistance
des
poutres.
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Discorsi
e
dimostrazioni
matematiche…,
1638.

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Le tenseur de la déformation (1)
 Le problème qui se pose lorsqu’on souhaite étudier les
transformations d’un milieux continu est: comment mesurer les
déformations?
 Ce n’est pas une question simple, car les déformations
concernent aussi bien les changements de volume (donc des
dimensions) que de forme.
 Ensuite, il faut une mesure efficace, capable de représenter des
quantités qui ont une signification géométrique et physique
précise et si possible simple.
 Une observation peut être faite dores et déjà: comme les
déformations peuvent changer avec l’endroit, la mesure de la
déformation doit être une mesure locale, ponctuelle.
 Plusieurs mesures de la déformations sont possibles (la
déformation n’est pas une grandeur physique objective, absolue,
comme p. ex. la masse ou la longueur; elle est conventionnelle). A
l’aide d’un exemple simple nous allons voir la définition la plus
classique de la déformation.

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 Considérons donc une barrette de matériau déformable, soumise
à une traction.
 La barrette se déforme et on peut mesurer sa déformation par le
rapport entre la variation de sa longueur et sa longueur initiale:
.
o
o


 
=

o

 Cette quantité est adimensionnelle. Elle donne une
mesure de l’effet de déformation de la force appliquée.
 Si la déformation est une dilatation,  > 0, si elle est
une contraction,  < 0.
 Cette mesure de la déformation est seulement une des
mesures possibles; elle est la plus utilisée si les
déformations en jeu sont petites (hypothèse des
petites perturbations, HPP).


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 L’HPP est une hypothèse adoptée en MMC classique.
Ceci est justifié par le fait que la plupart des matériaux
qu’on étudie sont tellement rigides que les
déformations qu’ils permettent sont, normalement,
très petites.
 Or, la définition vue ci-dessus ne peut pas compléter
l’analyse de la déformation.
 En fait elle est macroscopique (la mesure est faite sur
la pièce entière, non localement) et unidirectionnelle
(on fait implicitement l’hypothèse que la seule
déformation en jeu est la dilatation le long de l’axe de
la barrette).
 Pour étudier la déformation d’un milieu continu
quelconque, il faut généraliser cette définition.

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 Cette généralisation doit pouvoir décrire localement et
complètement la déformation.
 En fait, un corps continu peut subir une déformation
qui change avec la position et la déformation ne
concerne pas que les variations de longueur, mais
aussi les autres caractéristiques géométriques,
comme par exemple les angles, les volumes etc.
 La généralisation de la mesure de la déformation se
fait par une grandeur mathématique complexe, le
tenseur de la déformation, qu’on indiquera
classiquement par .
 Voyons comment on calcule  et quelle est la
signification géométrique de ses composantes.

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 En général, lors d’une déformation, due p. ex. à l’application de
forces, les points d’un corps W se déplacent: chaque point p va
occuper une nouvelle position, p’ (très proche à p, par l’HPP), en
effectuant un déplacement u=u(p).
 Considérons deux vecteurs matériels infiniment petits, v et w,
appliqués en p, qui forment l’angle q.
 A la suite de la déformation, eux aussi résulteront déformés: en
particulier, ils se seront transformés en deux autres vecteurs
infiniment petits, v’ et w’, qui forment un angle q’.
 L’analyse de la déformation doit permettre de calculer les
variations de longueur des deux segments, la variation d’angle et
toutes les autres variations géométriques, en particulier celle du
volume.
W
W
p
W’
W’
o
x3
x2
x1
u(p) p’
v
w
q
v’
w’
q’

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 Mathématiquement, on définit  comme la partie symétrique du
gradient de déplacement:
 La quantité ui,j est la dérivée de la composante ui de u faite par
rapport à la coordonnée xj.
  est donc représenté par une matrice symétrique: 6 composantes
de  sont nécessaires pour connaître, localement, la déformation!
 Voyons à présent la façon dont  est lié au calcul de la
déformation.






















=



=










=
3
3
2
3
3
2
1
3
3
1
2
3
3
2
2
2
1
2
2
1
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
2
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
T
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u













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 Calcul de la déformation linéaire: le taux de variation de longueur
d’un vecteur v en p est donnée par
 Calcul de la variation angulaire: la variation d’angle formé par
deux vecteurs v et w est
 Calcul de la variation de volume: le taux de variation de volume
est donné par:
 Un déformation est donc isochore (sans changement de volume)
si le champ de déplacement est solénoïdal (à divergence nulle).
  .
v
v
e
,
e
e
v
v
'
v
p
,
v v
v
v 








 =

=

= 

 
 
,
sin
cos
e
e
e
e
e
e
'
p
,
w
,
v w
w
v
v
w
v
q
q



q
q
q







 




=

=
2
  .
u
div
u
u
u
tr
V
V
'
V
p
V ,
,
,

=


=


=
=

= 3
3
2
2
1
1
33
22
11 





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 Voyons maintenant la signification des composantes ij de .
 D’abord, si dans la formule on prends comme vecteur v un
des trois vecteurs des axes, ei, on a:
 Les composantes sur la diagonale de  donnent donc le taux de
variation de longueur des axes.
 Ensuite, si dans la formule on prends pour v et w deux
vecteurs des axes, on a:
 Les composantes hors diagonale de
 donnent donc la variation angulaire
des angles formés par les axes.
 
p
,
v



.
e
e
p
,
e ii
i
i
i 

 =

=



 )
(
 
p
,
w
,
v


q
.
p
,
e
,
e ij
ij
j
i )
(
2
)
( 

q =
=


q
ej
ei
ei’
ej’
q’
ij
ij

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 Extension (de valeur a en direction e1): c’est quand
 Tel est le cas de la barrette en traction vue auparavant.
 Le déplacement varie avec x1 mais la déformation est constante.
 Dilatation (de valeur l): c’est quand:
 C’est le cas, p.ex., d’un ballon qu’on gonfle ou de la déformation
due à une pression extérieure (dans ce cas l<0).
Types de déformations simples (1)
.
e
x
p
u








=

=
0
0
0
0
0
0
0
0
)
( 1
1
a

a


u(p)
.
I
x
,
x
,
x
o
p
p
u








=
=

=

=
l
l
l
l

l
l
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
( 3
2
1
 u(p)
o
e1
o

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Types de déformations simples (2)
 Glissement (de valeur  par rapport aux directions e1 et e2): c’est
quand
 On peut démontrer, entre autres, que chaque déformation peut
être décomposée en une dilatation et une combinaison isochore
de trois extensions plus trois glissements.
 Donc, ces trois simples déformations sont intéressantes aussi
comme «briques» fondamentales de toute autre déformation
possible.
 Toutefois, il y a une autre, très intéressante, représentation
particulière de la déformation, que nous allons voir.
isochore.
n
déformatio
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
2
)
0
0
(
)
(
)
( 2
1
2

=








=

=


=





tr
;
,
,
x
e
e
o
p
p
u



x1
x2
o
u(p)

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Les déformations principales
 En fait, la matrice qui représente  varie avec le repère
choisi.
 Or, on peut démontrer qu’il existe toujours un repère
particulier, le repère principale de la déformation, dans
lequel  est diagonal.
 Ceci signifie que dans ce repère les axes ne subissent
pas des transformations angulaires: ils restent
parallèles à eux-mêmes et orthogonaux entre eux.
 Dans le repère principal, les composantes diagonales
de  donnent les dilatations de trois axes principaux:
ce sont les déformations principales.
 On peut démontrer que parmi ces déformations il y a
la dilatation locale la plus grande et la plus petite.

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Chapitre 3
 3. Contrainte
 La contrainte comme effort interne
 Le tenseur de la contrainte
 Les contraintes principales
En
arrière-plan:
sur
la
résistance
à
la
traction.
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La contrainte comme effort interne (1)
 Les force qui sont appliquées à un milieux continus le
déforment, on l’a déjà dit, et cette déformation
intéresse, en règle générale, tout le corps: elle est
locale, c’est-à-dire variable avec la position.
 Mais alors, comment peut se déformer localement un
corps, sinon par le fait qu’il y a des forces internes aux
corps même, qui produisent localement la
déformation?
 En effet, les différentes parties d’un milieu continu
s’échangent entre elles de forces, par le simple fait
qu’elles sont en contact.
 Ces forces, par unité de surface, prennent le nom de
contraintes internes, ou de contraintes de Cauchy, du
nom du scientifique qui les a étudiées, ou plus
simplement de contraintes.

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
W1
p 

W1
W1
p
p

La contrainte comme effort interne (2)
 Voyons comment Cauchy a interprété le concept de contrainte
interne:
 considérons un corps continu W et un point pW;
 imaginons de sectionner W en deux parties, W1 et W2, à travers
un plan  qui passe par p;
 soit n le vecteur unitaire par p, orthogonal à  et extérieur à
W1;
 à travers la section , la partie W2 transmet une force de
contact t à W1: c’est la contrainte en p sur ;
 par le Principe d’action et réaction, W2 transmet à W1 la
contrainte égale et contraire;
W2
W2
W2
W2
W2
W2
n
t
tt
tn
W
p
 le vecteur t peut être décomposé
en deux vecteurs: la contrainte
normale, tn, selon la normale n, et
la contrainte tangentielle tt, sur le
plan .

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Le tenseur de la contrainte (1)
 Cauchy a aussi donné le théorème pour calculer la contrainte t,
c’est son théorème en or:
 Donc, selon Cauchy, la contrainte ne dépend que de la normale n,
c’est-à-dire de l’orientation du plan , outre que de la position p.
 s(p) est le tenseur de la contrainte en p; en fait, en général, ce
tenseur est local, car normalement l’état de contrainte change
avec la position.
 s décrit complètement l’état de la contrainte en correspondance
du point p:
 Voyons la signification physique des composantes sij de s.
.
n
p
n
,
p
t



)
(
)
( s
=
.








=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s

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Le tenseur de la contrainte (2)
 Pour cela, considérons un cube de matériau avec les arêtes
parallèles aux axes.
 Alors, si l’on considère les trois normales e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) et
e3=(0,0,1), on voit bien que:
 les composantes sur la diagonale représentent les contraintes
normales sur les trois faces orthogonales aux axes;
 les composantes hors diagonale représentent les deux
composantes tangentielles de la contrainte: le premier indice
est celui de l’axe auquel la composante tangentielle est
parallèle, le deuxième est celui de l’axe auquel la face est
orthogonale;
 les trois composantes de s sur une
même colonne sont les trois
composantes du vecteur contrainte sur
la face du cube orthogonale à l’axe qui a
l’indice de la colonne (le 2ème des 2
indices des composantes).
x1
x3
x2
s11
s21
s31
s12
s22
s32
s13
s33
s23

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Les contraintes principales
 Comme pour la déformation, la matrice qui représente
s varie avec le repère choisi.
 Encore comme pour , on peut démontrer qu’il existe
toujours un repère particulier, le repère principale de la
contrainte, dans lequel s est diagonal.
 L’interprétation physique est analogue: selon ces trois
directions, la matière est simplement soumise à effort
normal, pas à effort tangentiel.
 Dans le repère principal, les composantes diagonales
de s donnent les contraintes normales selon les trois
directions principales: ce sont les contraintes
principales.
 On peut démontrer que parmi ces contraintes il y a la
contrainte normale la plus grande et la plus petite.

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Chapitre 3
 4. Les équations de bilan
 A la recherche d’équations générales
 Conservation de la masse
 Conservation de la quantité de mouvement…
 …et de son moment
En
arrière-plan:
sur
le
levier.
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A la recherche d’équations générales
 Comme pour les corps rigides, il faut trouver pour les milieux
déformables des équations générales.
 Celles-ci doivent décrire les transformation qu’un corps continu
subit dans le temps, une fois connues les causes de ces
transformations (d’habitude, les forces appliquées).
 Or, il y a une technique mathématique standard, mais plutôt
compliquée, qui nous permet de trouver ces équations; elle se
base sur un bilan: le taux de variation est égal au débit des
causes de variation.
 Pour cette raison, ce équations s’appellent équations de bilan ou
de conservation.
 Il faut remarquer que le bilan est toujours écrit pour une partie
matérielle du corps continu, c’est-à-dire pour une partie
constituée, durant toute la transformation, par les mêmes
particules matérielles.
 Les équations fondamentales de bilan sont 3: de la masse, de la
quantité du mouvement et de son moment.

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Conservation de la masse
 Ici, la quantité dont on fait le bilan est la masse volumique (ou
densité) r.
 Cette équation établi que pour une partie matérielle la masse se
conserve (car une partie matérielle est formée toujours par les
mêmes particules).
 Si v indique la vitesse, cette équation est:
 Cette équation s’appelle aussi équation de continuité. Elle
exprime la variation temporelle de la densité, variation qui est liée
à la vitesse des particules du milieu.
 Pour un mouvement isochore, la densité est constante:
 Donc, une transformation isochore a non seulement le champ de
déplacement solénoïdal (page 16), mais aussi celui de la vitesse.
.
v
div 0
=


 r
r
.
v
div 0
0 =

=


r

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Conservation de la quantité de mouvement…
 La quantité de mouvement est le produit de la masse par la
vitesse.
 Le 2ème Principe de Newton stipule, pour les systèmes à masse
constante comme les parties matérielles, la variation temporelle
de la quantité de mouvement en fonction des causes, les forces
appliquées.
 Pour un corps continu, l’équation de bilan de la quantité de
mouvement donne:
 Cette équation est l’équivalent du 2ème Principe pour un corps
déformable (par unité de volume): parmi les actions, à côté des
forces de volume b il faut compter aussi la divergence de s (ce
vecteur a pour composantes la divergence de chaque ligne de s).
 En cas d’équilibre, la vitesse et nulle et on obtient ainsi les
équations d’équilibre pour un corps déformable:
.
v
div
b 


r
s =

.
o
div
b


=
 s

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…et de son moment
 La conservation du moment de la quantité de mouvement est
l’équivalent, pour un corps déformable, de la deuxième équation
du PFS.
 Cette équation de bilan a comme résultat que le tenseur de la
contrainte est symétrique:
 Donc, pour connaître l’état de contrainte en un point, il faut
connaître 6 quantités indépendantes au lieu de 9.
 Entre autres, c’est cette propriété de symétrie qui garantit
l’existence des directions principales de la contrainte (et la même
chose on peut la dire pour la déformation).
.
:
,
,
j
,
i
ji
ij








=
=

=
33
23
13
23
22
12
13
12
11
3
2
1
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s

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Chapitre 3
 5. Comportement des matériaux
 Nécessité d’équations supplémentaires
 Relation contrainte-déformation
 Homogénéité et isotropie
 Types de matériaux solides
En
arrière-plan:
sur
la
poutre
console.
Galilée,
Discorsi
e
dimostrazioni
matematiche…,
1638.

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Nécessité d’équations supplémentaires
 Les équations de bilan sont au nombre de 4: une équation de continuité
(conservation de la masse) et les trois composantes scalaires de
l’équation de mouvement.
 Toutefois, les inconnues sont 10: la densité r, les 3 composantes vi du
vecteur vitesse et les 6 composantes distinctes sij du tenseur de la
contrainte.
 Donc, pour espérer de résoudre le problème, il faut 6 équations
supplémentaires.
 Or, ces 6 équations ne peuvent pas correspondre à un principe général,
car tout ce qu’on pouvait écrire de général on l’a déjà écrit.
 En fait, les équations qui manquent doivent introduire le comportement
du milieux, spécifier le type de sa réponse aux actions.
 En effet, les équations générales ne font pas de distinction entre deux
milieux différents, mais c’est évident qu’une pièce en caoutchouc répond
de façon différente à une force appliquée que la même pièce en acier.
 Les nouvelles équations sont donc particulières à un matériau et
décrivent sa réponse: ce sont les lois de comportement.

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Relation contrainte-déformation
 Une loi de comportement (ou équation constitutive) spécifie le
type de réponse d’un certain matériau vis-à-vis d’une action
donnée (ici action est entendue en sens généralisé: force,
contrainte, température etc.).
 Une loi de comportement doit respecter certains requis (comme
le principe d’objectivité matérielle, qui stipule que le réponse ne
dépend pas de l’observateur).
 Ce type de loi met en correspondance la contrainte avec la
déformation (ou, comme en mécanique des fluides, avec la
vitesse de déformation): c’est la relation contrainte-déformation:
 Cette relation donne les six équations manquantes, car elle
exprime les six composantes de s en fonction des 6
composantes de , lesquelles sont fonctions des composantes du
vecteur déplacement: le problème peut donc être résolu.
).
(
s
s =

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Homogénéité et anisotropie (1)
 A part le type de comportement qui caractérise la
réponse d’un matériau, il existe deux propriété
générales d’un milieu continu: l’homogénéité et
l’isotropie.
 L’homogénéité est la propriété pour laquelle la loi de
comportement d’un milieu ne dépend pas de la
position. Un corps qui a cette propriété est dit
homogène, hétérogène dans le cas opposé.
 Des exemples de matériaux homogène sont les
métaux, les plastiques, les céramiques, le verre, les
fluides monophasiques, le chocolat sans noisettes etc.
 Exemples de matériaux hétérogènes sont le bois, le
béton, les composites, les fluides bi-phasiques (le
champagne!), le chocolat avec noisettes etc.

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Homogénéité et anisotropie (2)
 Finalement, si un matériau est homogène, une seule
loi de comportement suffit à le décrire, alors que s’il
est hétérogène, il faut plusieurs lois ou plutôt une loi
dont les paramètres sont fonctions de la position.
 L’isotropie est la propriété pour laquelle la réponse
d’un matériau est insensible à la direction.
 Un matériau qui a cette propriété s’appelle isotrope,
anisotrope en cas contraire.
 Exemples de matériaux isotropes sont les métaux, le
béton, les céramiques, le verre, les fluides, les
plastiques etc.
 Exemples de matériaux anisotropes sont le bois, les
composites, certaines pierres sédimentaires etc.

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Types de matériaux solides (1)
 Considérons, dans la suite de ce chapitre, seulement
des matériaux solides homogènes et isotropes.
 D’un point de vue expérimental, la caractérisation d’un
matériau se fait à l’aide d’un essai de laboratoire
classique, le test de traction.
 Ce test est le plus simple qu’on puisse faire, et donne
des indications précieuses.
 Le test se fait sur une échantillon (éprouvette) de
matériau qui a une forme et des dimensions
caractéristiques et réglementées (voir la figure).

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 La partie centrale de l’éprouvette est instrumentée
avec des jauges électriques (capteurs de déformation)
alors que des capteurs de force placés sur la machine
de traction permettent la mesure de l’effort appliqué.
 Grâce au test de traction, on peut tracer le diagramme
fondamental d’un matériau, la courbe contrainte-
déformation.
 Cette courbe a en abscisses la déformation et en
ordonnées la contrainte correspondante.
 Voyons un cas typique, celui d’un acier de
construction.

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 Le diagramme peut se diviser en plusieurs zones:
 zone élastique: le comportement est linéaire, jusqu’à la
contrainte sél; si l’on décharge l’éprouvette, on repasse par la
droite de chargement;
 zone plastique: la déformation
augmente à contrainte fixe; si
l’on décharge, on suit une
droite parallèle à la droite de
chargement et à contrainte
nulle on a une déformation
résiduelle plastique: l’épro-
uvette ne retrouve plus ses
dimensions d’origine;
 zone d’écrouissage et rupture:
la contrainte recommence à
croître, mais pas de façon
linéaire, jusqu’à la striction et
rupture totale de l’éprouvette.
s
srupt

sél
él res
res-rupt
tot-rupt
plast

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 Le test de traction permet de dire de quel type de matériau s’agit.
 L’acier de construction est un matériau élasto-plastique avec
écrouissage.
 La première phase, élastique, est présente dans presque tous les
matériaux, en mesure plus ou moins grande.
 La phase plastique, dans laquelle le matériau subit des grandes
déformations sous une contrainte constante, n’est pas présente
dans tous les matériaux; c’est une phase extrêmement importante
pour les applications et caractérise les matériaux ductiles.
 Les métaux et bon nombre de plastiques sont des typiques
matériaux ductiles.
 Les matériaux qui n’ont pas la phase plastique arrivent à rupture
à la fin de la phase élastique, avec des déformations d’habitude
très petites, presque nulles: ce sont les matériaux fragiles.

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 Le verre, les céramiques, certains composites, la terre cuite, la
fonte sont des typiques matériaux fragiles.
 La fragilité constitue un problème pour l’emploi structural d’un
matériau, car l’absence de phase plastique ne permet pas de
constater s’il y a un danger: si la force augmente au delà du
prévu, dans un matériau ductile la crise est annoncée par des
déformations très importantes, alors qu’on est encore loin de la
rupture, tandis que dans un matériau fragile, la rupture n’est pas
précédée par des signes précurseurs, car on est toujours en
phase élastique.
 Une autre particularité est celle des matériaux non résistant à la
traction: ces matériaux ont d’habitude une excellente résistance à
la compression, mais presque aucune résistance à la traction, à
tel point qu’on peut la négliger complètement. L’exemple le plus
typique est le béton (et en fait, pour l’utiliser comme on doit
l’armer avec l’acier qui, lui, résiste très bien à la traction: c’est
l’invention du béton armé!). On reviendra au chapitre 5 sur la
statique de ces matériaux.

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Chapitre 3
 6. Élasticité
 La loi de Hooke généralisée
 L’énergie de déformation
 Élasticité anisotrope et isotrope
 Les équations de Lamé
 Les critères de résistance
 La fatigue
En
arrière-plan:
sur
l’équilibre
des
corps.
Galilée,
Discorsi
e
dimostrazioni
matematiche…,
1638.

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La loi de Hooke généralisée (1)
 L’élasticité est une propriété générale des matériaux
solides.
 Cette propriété fut énoncée par Hooke en 1660: ut
tensio sic vis: la déformation est proportionnelle à
l’effort appliqué.
 Et c’est exactement ça l’élasticité: la proportionnalité
qui existe entre l’effet (la déformation) et la cause (la
contrainte).
 Cette proportionnalité comporte que l’effet disparaît si
la cause cesse: physiquement, si on décharge, le
corps reprend exactement sa forme et ses dimensions
d’origine: l’élasticité n’a pas un effet de mémoire.

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 L’autre propriété de la proportionnalité est la linéarité:
le lien entre contrainte et déformation est linéaire.
 On parle plus précisément, dans ce cas, d’élasticité
linéaire, car ils existent des matériaux pour lesquels le
lien n’est pas linéaire.
 Le lien élastique linéaire le plus général est donc du
type:
 C’est la loi de Hooke généralisée, qui caractérise les
matériaux élastiques linéaires, au moins pour leur
phase élastique, tels la plupart des métaux.
.

s C
=

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 L’opérateur C qui apparaît dans la loi de Hooke
généralisée est le tenseur de l’élasticité.
 Il contient toutes les informations, sous forme de
composantes, qui permettent de décrire
quantitativement le comportement d’un matériau
élastique linéaire.
 Or, C est un tenseur du 4ème ordre, c’est-à-dire que ses
composantes ont 4 indices et les composantes sij sont
données par:
 P. ex.:
.
kl
ijkl
ij 
s C
=
.
33
1233
12
1212
11
1211
kl
12kl
12 



s C
C
C
C 


=
= 

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 Ayant 4 indices, C a 81 composantes! Ceci serait une
grande complications parce que, p. ex., un matériaux
dont le comportement dépend de 81 paramètres
distinctes aurait besoin de 81 mesures de laboratoires
pour être caractérisé (vraiment trop compliqué!).
 Heureusement, le nombre de composantes distinctes
de C est beaucoup plus petit, et cela pour plusieurs
raisons.
 D’abord, les symétries de s et de  font en sorte que:
 Ces sont les symétries mineures, qui réduisent les
composantes distinctes de 81 à 36.
.
jilk
ijlk
jikl
ijkl C
C
C
C =
=
=

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L’énergie de déformation (1)
 L’autre réduction est due à l’existence de l’énergie de
déformation élastique, mise en évidence par Green.
 L’énergie de déformation élastique par unité de
volume est
 Elle généralise à un corps tridimensionnel l’énergie
potentielle élastique introduite pour un ressort linéaire
au chapitre 2 (page 56).
 En fait, par la loi de Hooke généralisée il est aussi
.
W ij
ij
s

s
2
1
2
1
=

=
.
2
1
kl
ij
ijkl 


 C
C =

=
2
1
W

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L’énergie de déformation (2)
 En fait, toutes les preuves de laboratoire faites sur
tous les matériaux élastiques existant, même les
cristaux à la structure la plus complexe, ont montré
l’existence de cette énergie interne.
 Or, on peut démontré que l’existence de l’énergie
interne comporte d’autres symétries sur les indices
des composantes de C:
 Ce sont les symétries majeures, qui réduisent le
nombre des composantes indépendantes de 36 à 21.
 La réduction est donc importante, mais en réalité on a
d’autres réductions possibles.
.
klij
ijkl C
C =

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Élasticité anisotrope et isotrope (1)
 En fait, les deux réductions vues ci-dessus sont
totalement générales, concernent tous les matériaux.
 Mais on peut réduire encore le nombre de constantes
indépendantes si l’on considère les éventuelles
symétries matérielles du matériaux.
 Un matériau avec 21 constantes élastiques distinctes
est dit totalement anisotrope.
 Or, on n’a jamais trouvé un tel type de matériau, car en
Nature la matière s’organise normalement selon
certaines symétries.
 L’exemple le plus classique ce sont les cristaux, qui
ont une structure régulière basée sur certaines
symétries matérielles, dépendant de la distribution des
molécules sur le réticule cristallin.

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 La présence de ces symétries matérielles réduit
ultérieurement le nombre de composantes
indépendantes de C, mais cela dépend évidemment du
matériau même: les réductions ultérieures ne sont pas
générales, mais fonction du matériau.
 La catégorie la plus importante de symétrie matérielle
est l’orthotropie: un matériau orthotrope est un
matériau qui a trois plans orthogonaux de symétrie
matérielle.
 Nombre de cristaux sont orthotropes, mais aussi les
composites renforcées par des
fibres orientées, qui créent
artificiellement les symétries
matérielles.

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 Un matériaux orthotrope a seulement 9 composantes
élastiques indépendantes.
 Des symétries plus poussées existent encore.
 D’abord, l’isotropie transverse: c’est une orthotropie
dans laquelle tous les axes qui sont orthogonaux à un
des axes d’orthotropie sont de symétrie.
 C’est le cas du bois: les fibre sont distribuées de façon
uniforme autour de l’axe central du tronc: toute
direction orthogonale à l’axe du tronc est de symétrie.
 Un matériau transversalement isotrope est caractérisé
par seulement 5 composantes indépendantes.
 Finalement, la dernière réduction est obtenue pour les
matériaux isotropes.

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Les équations de Lamé (1)
 On a déjà introduit l’isotropie comme indépendance de
la réponse matérielle de la direction.
 On peut considérer, de façon totalement équivalente,
l’isotropie comme la symétrie totale: un matériau
isotrope est un matériau pour lequel toute direction
est de symétrie matérielle.
 Ou encore: il n’y a pas de directions privilégiées, d’un
point de vue mécanique: toute direction est
mécaniquement équivalente.
 Or, on démontre que pour un matériau isotrope, le
nombre de constantes élastiques indépendantes est
seulement de 2!
 La réduction est énorme (de 81 à 2), et ces deux
constantes peuvent être déterminées à l’aide d’un seul
test de laboratoire: le test de traction qu’on a déjà vu.

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 Lamé a spécifié la loi de Hooke pour les matériaux
élastiques linéaires isotropes:
 l et m ce sont les constantes de Lamé, qui décrivent
complètement le comportement élastique d’un milieu
isotrope.
 En notation indicielle, il est
 Le terme kk indique évidemment la trace de :
.
kk
ij
ij
ij 
l
m
s 
= 2
.
I

l

m
s tr
2 
=
.
tr 33
22
11 



 

=
= kk

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 Souvent, au lieu d’utiliser directement les constantes l et m, on
préfère les remplacer par deux autres constantes, fonctions de l
et m, car de signification physique plus directe et de plus simple
mesure: le module d’Young, E, et le coefficient de Poisson, n :
 Avec E et n, les équations de Lamé deviennent:
 Les équations de Lamé inverses s’obtiennent facilement:
.
I
E









= 
n
n

n
s tr
2
1
1
.
,
E
,
E
,
E
)
(
2
3
2
)
1
(
2
)
2
)(1
1
(
m
l
l
n
l
m
l
m
m
n
m
n
n
n
l

=


=


=


=
.
I
E









= s
n
n
s
n
 tr
1
1

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 Voyons la signification physique de E et n, et pour cela, comme
déjà dit, considérons encore une fois le test de traction.
 Une fois la charge de traction appliquée, l’éprouvette s’allonge en
direction longitudinale et se rétrécie en direction transversale
(c’est l’effet Poisson).
 Dans la zone centrale de l’éprouvette, l’état de
contrainte est uniforme:
 En inversant les équations de Lamé, on obtient:
x3
x2
x1
.








=
33
0
0
0
0
0
0
0
0
s
s
.
E 









=
1
0
0
0
0
0
0
33
n
n
s


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 La signification physique de E et n est donc évidente:
 E mesure le rapport entre la contrainte normale et la
déformation qui lui correspond; c’est donc la rigidité (par
unité de surface et de déformation) du matériau;
 n mesure le rapport entre les deux déformations, transversale
et longitudinale; c’est donc une mesure de l’effet Poisson
dans un matériau donné.
 Le calcul de E et n se fait d’après la mesure de la force appliquée f
(grâce à des capteurs de force) et des déformations, longitudinale
33 et transversale, 11 ou 22, par le biais de jauges
extensimétriques collées sur l’éprouvette. Comme l’état de
contrainte est uniforme dans la partie centrale de l’éprouvette,
et donc:
.
,
A
f
E
33
22
33
11
33 



n


=

=
=
A
f
=
33
s

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 On démontre mathématiquement que E est une
quantité positive, alors que
 A remarquer que si n<0 le matériau se dilate en
direction transversale lorsqu’on le tire! C’est p. ex. le
cas du Gore-tex® ou encore d’autres matériaux
nouveaux, ainsi que de quelques composites dans
certaines directions.
 Quelques valeurs pour des matériaux courants:
.
,5
0
1 

 n
Acier Allum. Bois Béton Verre Carbone
E (GPa) 210 73 15 25 30 73 190  400
n 0.3 0.3 0.2  0.4 0.3 0.3 0.20.3

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Les critères de résistance (1)
 La théorie de l’élasticité constitue peut-être le plus complet et
rigoureux exemple de théorie mécanique.
 Elle permet de calculer l’état de contrainte et déformation dans de
nombreux cas intéressants en pratique et donne aussi la
démarche générale pour les calculer de façon numérique dans un
cas quelconque.
 Elle s’appuie sur un certain nombre de théorèmes qu’on
démontre mathématiquement, dans le cadre théorique présenté
ci-dessus (les hypothèses fondamentales restent la HPP et la loi
de Hooke généralisée).
 La théorie de l’élasticité a donc permis le développement de la
mécanique des structures, car pour celle-ci la constatation
fondamentale est que toute structure se comporte de façon
élastique.
 Nous ne verrons pas d’autres sujets en théorie de l’élasticité, car
elle est une théorie «dure» d’un point de vue mathématique.

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 Toutefois, nous avons vu lors de l’étude du test de traction, que la
zone élastique n’est pas infinie, mais elle termine, souvent, pour
les matériaux ductiles, avec une zone plastique.
 Or, on à déjà dit que les structures se comportent de façon
élastique. Ceci est très important dans les applications, car il
comporte qu’une fois la structure utilisée, elle revient à sa forme
et dimensions d’origine quand les actions cessent d’agir.
 En plus, l’élasticité linéaire signifie simplement qu’à effort double
correspond déformation double etc.
 Or, en réalité, en considérant le diagramme contrainte-
déformation, il faudrait plutôt dire qu’il faut faire en sorte qu’une
structure se comporte de façon élastique.
 En fait, les concepteurs de structures doivent s’assurer que le
matériau reste partout en zone élastique.

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 En fait, en zone plastique, les déformations sont irréversibles, et
la structure ne reprend plus sa forme et dimensions d’origine
(imaginez la Tour Eiffel que sous l’action du vent va en régime
plastique: une fois le vent cessé, elle resterait penchée…).
 Les concepteurs ont donc besoin de contrôler l’état de contrainte
dans la structure pour s’assurer qu’on n’arrive jamais à la
contrainte limite qui, pour les matériaux ductiles, est la contrainte
limite d’élasticité, sél.
 Or, si le matériau est soumis à un état monoaxial, comme pour
l’éprouvette en traction, c’est simple de faire ce contrôle, il suffit
de comparer directement la contrainte avec sél.
 Mais, comme c’est le cas le plus souvent, normalement on a
plusieurs composantes de contraintes non nulles (le tenseur
s est «plein»).
 Dans ce cas, il faut un critère, capable de transformer le tenseur
de la contrainte en une contrainte «idéale» qu’on peut comparer
avec sél.

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 Le concepteurs appelle ça un critère de résistance.
 Le critère de résistance le plus utilisé en élasticité, pour les
métaux, est le critère de Von Mises.
 Selon ce critère, la limite élastique d’un matériaux est atteinte
lorsque l’énergie de déformation responsable du changement de
forme du corps arrive à une valeur limite, qui dépend du matériau.
 C’est intéressant de voir que selon Von Mises, ce ne sont pas les
changements de volume responsables de l’obtention de l’état
limite, mais seulement les changements de forme.
 A stricte rigueur, ceci est faux: en fait, ça voudrait dire, p. ex.,
qu’on arriverait jamais à casser un ballon qu’on gonfle!
 Toutefois, dans le cadre de l’HPP c’est une modèle qui donne des
bonnes prédictions; comme, par la grande rigidité des métaux, on
est presque toujours en HPP, ce critère est universellement
accepté.

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La fatigue (1)
 Il y a toutefois un cas où un matériau peut se rompre
pour des valeurs de la contrainte maximale inférieures
à la valeur limite de rupture: c’est le cas de la fatigue.
 La fatigue est un phénomène qui se produit lorsqu’une
pièce mécanique est sollicité dynamiquement, de sorte
à ce que la contrainte oscille entre deux valeurs.
 Dans ce cas, comme dit, la rupture peut se produire,
au bout d’un certain nombre de cycles, même si, en
conditions statiques, on serait en sécurité.
 Griffith, en 1920, a donné un modèle efficace pour
expliquer le phénomène de la fatigue.
 Ceci est dû essentiellement au fait que le chargement
dynamique donne de l’énergie à la pièce et cette
énergie se transforme en énergie de création de
nouvelles surfaces.

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La fatigue (2)
 Alors, une microfissure (il y a toujours des
microfissures dans les pièces mécaniques),
commence à se propager et à un moment donné arrive
à casser complètement la pièce.
 Il faut dire qu’il s’agit d’un phénomène très complexe
et dangereux.
 Beaucoup de désastres ont été provoqués par la
fatigue: les Liberty Ship, qui se cassaient en deux, au
beau milieu de l’océan, les avions Constellation, qui
perdaient les ailes, des ponts qui se cassaient etc.
 La fatigue n’est pas un phénomène élastique, mais il
est insidieux pour les structures élastiques sollicitées
de façon dynamique: il faut toujours le considérer
avec beaucoup de précaution.

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Chapitre 3
 7. Bibliographie
 En librairie…
 … et sur Internet
En
arrière-plan:
sur
la
résistnce
des
poutres
de
différentes
dimensions.
Galilée,
Discorsi
e
dimostrazioni
matematiche…,
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________________________________
En librairie…
 A. E. H. Love: A treatise on the mathematical theory of elasticity.
Dover, 1927. (La Bible de la théorie l’élasticité…).
 C. A. Truesdell: A first course in rational continuum mechanics.
Academic Press, 1977 (2 tomes). Edition française: Introduction
à la mécanique rationnelle des milieux continus.
 M. E. Gurtin: An introduction to continuum mechanics. Academic
Press, 1981.
 J. E. Marsden, T. J. R. Hughes: Mathematical foundations of
elasticity. Dover, 1983.
 G. Duvaut, Mécanique des milieux continus. Dunod, 1990.
 P. Germain, P. Müller: Introduction à la mécanique des milieux
continus. Masson, 1993.
 J. Coirier: Mécanique des milieux continus. Dunod, 1997.

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________________________________
… et sur Internet
 P. Pedersen: Elasticity, anisotropy, laminates. Cours d’élasticité
orienté aux stratifié en composite, à télécharger à l’adresse
www.fam.dtu.dk/html/pp.html, 1997.
 J. Salençon: Mécanique des milieux continus. Tome 1. Un must
de l’Ecole Polytechnique, à télécharger à l’adresse
http://www.imprimerie.polytechnique.fr/Editions/Files/p_T1.pdf,
2001.
 J. Garrigues: Mécanique des milieux continus. Document à
télécharger à l’adresse http://esm2.imt-mrs.fr/gar/mmc.html,
2002.

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