Cours RDM_Hypothèses et lois.pptx

Cours résistance des matériaux
ECOLE SUPÉRIEURE DES TECHNIQUES AÉRONAUTIQUES
Réalisé par : Lnt/col GHAOUI Driss
1

Hypothèses et lois
Hypothèses et lois
2

Objectif de La RDM
De façon générale, Mécanique = étude des effets d’actions extérieures sur des
solides et fluides.
Choix d’une modélisation = fonction de l’application, des objectifs visés, des
hypothèses fixées…
Exemple : étude dynamique du mouvement d’un pendule  méca. des solides rigides
En mécanique des solides déformables, on étudie
▪ les déplacements relatifs entre points d’un solide (notion de déformations)
▪ les efforts intérieurs associés (notion de contraintes)
L’objectif est de déterminer, par le calcul, des pièces de machine, des éléments de
structures :
▪ Dimensionner ces pièces (objectifs d’économie)
▪ Vérifier leur tenue mécanique (déformations / contraintes limites imposées)
RDM = Etude des déformations, déplacements et contraintes d’objets de forme
simple. Dans la cadre de ce cours, des poutres.
Elle est issue de la théorie, plus générale, de la Mécanique des Milieux Continus.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 3
Introduction à la RDM Objet de la RDM

Champ d’application de la RDM
 Calcul de structures
 Bâtiments, charpentes, structures métalliques…
 Ouvrages de génie civil…
 Squelette structural de systèmes divers
 Calcul de pièces mécaniques
 Arbres de transmission
 Première approche de calculs complexes
 Etablir un premier résultat simplement
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 4
Introduction à la RDM Champ d’application de la RDM

Objectif du cours
 Savoir étudier le comportement d’une structure de type « poutre » sous des
actions (simples)…
 Calcul des contraintes
 Calcul des déformations et déplacements
 dans le but de les dimensionner / vérifier
 Actions connues + efforts/déplacements admissibles  problème de dimensionnement
 Dimensions connues + actions connues  problème de vérification
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 5
Introduction à la RDM Objet du cours

Les essais de RDM en aéronautique
En aéronautique, la RDM à une importance primordiale. En plein vol, on imagine
facilement les conséquences de la rupture d’une pièce.
On ne peut pas se permettre de surdimensionner les pièces car le poids de l’avion serait
alors trop important. Il faut donc réaliser des calculs et des vérifications très strictes des
pièces constitutives d’un avion.
Grâce aux progrès dans la connaissance des matériaux et les moyens de calcul et de
modélisation des structures, les pièces mécaniques sont de plus en pus fiables. Voici
quelques exemples :
 Test des ailes
 Test du fuselage
 Test du train d’atterrissage
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 6
Introduction à la RDM Les essais de RDM en aéronautique

objectif
 A l’équilibre
déterminer les actions de liaison qui sont a priori inconnues.
 Principe de la statique
Sous l’action des efforts extérieurs,
la structure est en équilibre ↔ chaque élément de la structure est en équilibre.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 7
Actions extérieures appliquées
 Forces de contact
 Ponctuelles
 Réparties
Introduction à la RDM Statique des structures

 Forces de volume
Les plus courantes : pesanteur
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 8
Actions de liaison

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 9
Remarque sur les charges réparties
Charge équivalente à une charge répartie
Une charge uniformément répartie sur une longueur L
est globalement équivalente à une force ponctuelle : intensité = pL point d’application : milieu

Résistance des matériaux Hypothèses et lois
4.1 Le matériau
4.1.1 Continuité de la matière :
Lorsqu’on regarde au microscope la coupe d’une
pièce en métal, on voit généralement une
structure fibreuse, ou quelquefois une structure
granulaire.
Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont très petites par rapport aux
dimensions des plus petites pièces mécaniques qui sont étudiées.
On peut alors raisonnablement considérer le matériau comme continu.
4.1.2 Homogénéité :
On admet que les matériaux ont les mêmes propriétés
mécaniques en tous points. Cela est à peu près vérifié
pour la plupart des métaux, mais il faut savoir que
cette hypothèse n’est qu’une grossière approximation
pour les matériaux tels que le bois ou le béton.
4.1.3 Isotropie
On admet que les matériaux étudiés ont, en un même
point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les
directions. Cela est à peu près vrai pour les aciers, mais
il faut savoir que cette hypothèse est loin de la réalité
pour le bois et les matériaux composites par exemple.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 10

4.2 La géométrie
Poutre = volume engendré par une surface S quand G décrit une courbe C.
• C = ligne moyenne = courbe des centres de gravité des sections S.
• (Si) = sections droites, perpendiculaires localement à C en Gi.
Remarque : (S) peut varier le long de C.
Repérage
Utilisation d’un repère local à chaque section droite (Si). Défini par :
tangent à C en Gi.
dans le plan de (Si).
 
x
Gi

,
   
z
G
y
G i
i


,
,
,
hypothèses
Elancement
Dimensions transversales (Si) petites devant les dimensions longitudinales.
Remarque : sinon, autre théories : plaques et coques, ou élasticité.
Rayon de courbure : Doivent être limités.
Variations de section: Doivent être lentes et continues.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 11

4.3 les forces appliqués
Charges concentrées en un point
Charge uniformément répartie
Le chargement doit être ramenée au niveau de la ligne moyenne.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 12

4.4 les déformations
4.4.1 Hypothèse de Navier – Bernoulli
Au cours des déformations, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne
moyenne.
4.4.2 Hypothèse de Barré de Saint Venant
Les résultats de la RDM ne s’appliquent valablement qu’à une distance suffisamment
éloignée de la région d’application des forces concentrées. En effet, nous ne pouvons pas,
avec les équations de la RDM, calculer les déformations locales autour d’un point
d’application d’une force.
4.4.3 Elasticité linéaire
Déformation parfaitement réversible
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 13

Torseur des efforts internes
(ou de cohésion)
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
14

1. Introduction
 Passage de l’échelle globale à l’échelle locale
 Des efforts extérieurs aux efforts internes
But : connaître la répartition de ces efforts
Les risques de rupture sont liés aux efforts de cohésion de la matière !
… Et l’objectif de la RDM est de vérifier la tenue mécanique des structures !
 principe:
On réalise une coupure afin de déterminer le torseur des efforts de cohésion
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 15

2. définitions:
Coupure fictive et repère local
On considère une coupure fictive de la poutre (E) au niveau de la section Sx de centre de
gravité Gx :
 (E) est partagée à droite, côté x positif, en (Ed), à gauche, côté x négatif en (Eg),
 Le repère (Gx, x, y, z) est le repère local à la section droite (Sx).
 Actions extérieures appliquées à (E) :
Équilibre statique de la poutre :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 16

Torseur des efforts internes (ou de cohésion )
Isolons le tronçon (Eg)
Actions extérieures appliquées à (Eg) :
Définition :
Le torseur des efforts internes en x est le torseur, en Gx, des actions de (Ed) sur (Eg).
Equilibre statique de (Eg)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 17

Eléments de réduction du torseur de cohésion
En projection dans le repère local, on définit ainsi :
: effort normal N(x)
: effort tranchant selon y Ty(x)
: effort tranchant selon z Tz(x)
: moment de torsion Mt(x)
: moment fléchissant selon y Mfy(x)
: moment fléchissant selon z Mfz(x)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 18

Cas des problèmes plans
Pour les problèmes plans (= ce cours),
se réduit à (z composante hors plan):
3. Diagramme des efforts internes
Calcul des efforts internes :
 Découpage en différents tronçons
Selon les actions mécaniques rencontrées
Selon la géométrie de la ligne moyenne
 Ecrire le PFS sur chaque tronçon dans le repère local
Coupure fictive  on isole la partie droite ou gauche
Détermination des composantes d’efforts internes grâce au bilan des actions extérieures
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 19

Variation des efforts internes
 Etude d’un tronçon de longueur dx
Hypothèses :
Tranche dx infiniment fine
Pas d’actions ponctuelles (St Venant)
Seulement des forces réparties : px(x), py(x) (supposées constantes sur dx)
 Equilibre du tronçon dx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 20

4. Les différents types de sollicitations
 Traction/compression simple
 Flexion pure
 Flexion simple
 Flexion composée
 Autres (problèmes non plans)
Flexion déviée
Torsion pure
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 21

Principe de superposition
La réponse de la structure sous l’action de F1 est R1 (contrainte ou déplacement)
La réponse de la structure sous l’action de F2 est R2 (contrainte ou déplacement )
 La réponse de la structure sous l’action de F1+ F2 sera R1+ R2
 Conditions d’application
Domaine élastique (pas de pertes d’énergie par frottement etc…)
Domaine linéaire (proportionnalité force/déplacements)
Forces extérieures indépendantes des déplacements (hypothèses de petites déformations).
En bref : les hypothèses de la RDM !
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 22

 construction des diagrammes des efforts internes d’une poutre
Types des poutres:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 23
Poutre simple
C'est une poutre reposant sur deux supports;
l'appui double et l'appui simple. Les points
d'appui sont articulés de façon à ce que les
extrémités puissent se mouvoir librement pendant
la flexion.
Poutre console
C'est une poutre encastrée dans un mur à
une l'extrémité. L'extrémité encastrée ne
bouge pas pendant la flexion, tandis que
l'autre extrémité est entièrement libre. On
appelle aussi cette poutre, poutre en porte-à-
faux ou poutre encastrée à une extrémité.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 24
Poutre avec porte-à-faux
C'est une poutre qui repose sur deux appuis (un
simple et l'autre double) et a une ou deux
extrémités qui dépassent de façon appréciable les
appuis (porte-à-faux).
Poutre encastrée et supportée
C'est une combinaison des types A et B. On
note que la poutre est liée quatre fois (4
inconnues), c'est donc une poutre en
équilibre hyperstatique.
Poutre continue
C'est une poutre supportée par plus de
deux supports, c'est donc une poutre en

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 25
Poutre à double encastrement
C'est une poutre supportée par deux
encastrement, c'est donc une poutre en
Poutre supportée à double encastrement
C'est une poutre soutenue par deux
encastrement et supportée par un ou
plusieurs supports, c'est donc une poutre en

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 26
Recherche des efforts en tout point d'une poutre
Afin de pouvoir tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants,
il faut connaître en tout point de la poutre quelles sont les valeurs de ces efforts et
moments. Pour ce, on doit effectuer des coupes dans la poutre afin d'appliquer les
équations d'équilibre nous permettant de connaître tous les efforts.
Règle à suivre:
1- On se déplace sur la poutre de gauche à droite et on effectue une coupe chaque fois que
les conditions de charge changent. C'est-à-dire que l'on effectue une coupe à chaque
nouvelle charge. On ne coupe jamais vis-à-vis une charge.
2- Il y a changement en entrant dans la poutre, après une charge concentrée ou réaction
d'appui, en entrant dans une charge répartie, en rencontrant une charge concentrée dans
une charge distribuée, en quittant une charge distribuée.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 27
Convention de signes
Effort normal (ou axial) N
On place toujours l'effort normal en tension sur la coupe. Et si:
 N > 0 (ou positif (+)); on a une tension.
 N < 0 (ou négatif (-)); on a une compression.
Effort tranchant (ou de cisaillement) T
 T > 0 (ou positif (+)); si la somme des forces externes (ΣFext) sur la partie de gauche
isolée de la poutre agit vers le haut.
 T < 0 (ou négatif (-)); si la somme des forces externes (ΣFext) sur la partie de gauche
isolée de la poutre agit vers le bas.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 28
Convention de signes
Moment fléchissant (ou de flexion) M
 M > 0 (ou positif (+)); si les charges et réactions d'appuis tendent à courber la poutre de
sorte que les fibres inférieures soient tendues.
 M < 0 (ou négatif (-)); si les charges et réactions d'appuis tendent à courber la poutre de
sorte que les fibres supérieures soient tendues.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 29
Diagrammes de T et M à partir des équations d'équilibre
Méthode:
1- Calculer les réactions d'appuis.
2- Déterminer le nombre de coupes à effectuer et délimiter la poutre en sections.
3- Résoudre les conditions d'équilibre pour chaque coupe afin de déterminer comment
varie V et M en tout point de la section.
4- Calculer les valeurs aux limites de chaque section.
5- Tracer les diagrammes de V et M à partir des relations trouvées et des conditions aux
limites.
EXEMPLE : Tracer les diagrammes de T et de M de la poutre illustrée ci-dessous.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 30
solution:
L'étude des charges nous montre que l'on doit faire 4 coupes dans cette poutre afin de
trouver le comportement complet de T et de M.
Première étape on décompose les forces et on calcule les réactions d'appuis.
𝑀/𝐴 = 𝟎 → − 𝟏𝟎𝟎 × 𝟑 − 𝟏𝟓𝟎 × 𝟕, 𝟓 + 𝑩 × 𝟏𝟏 = 𝟎 D’où : 𝑩 = 𝟏𝟐𝟗, 𝟓𝟓 𝑵
𝑭𝒙 = 𝟎 → 𝑨𝒙 = 𝟎
𝑭𝒚 = 𝟎 → 𝑨𝒚 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 + 𝑩 = 𝟎 D’où : 𝑨𝒚 = 𝟏𝟐𝟎, 𝟒𝟓 𝑵

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 31
solution:
Maintenant effectuons la première coupe 1: 0  x  3m
D’où : 𝑇 = 120,45 𝑁
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
On place toujours l'axe des x selon l'axe de la poutre et son
origine au début. La distance jusqu'à la coupe est alors "x".
𝐹𝑦 = 120,45 − 𝑇 = 0
𝑀 = - 120,45𝑥 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = 120,45 𝑥
Une équation linéaire du premier degré. Cette équation est donc celle d'une droite (y = mx + b), où
120,45 est la pente de la droite de M(x). Curieusement on remarque que la pente de M représente
la valeur de V. On verra plus loin la relation qu'il existe entre les deux. Vérifions maintenant les
conditions aux limites, à savoir à x = 0 et à x = 3 m:
𝑥 = 0 𝑇 = 120,45 𝑁 𝑀 = 120,45 × 0 = 0
𝑥 = 3 𝑇 = 120,45 𝑁 𝑀 = 120,45 × 3 = 361,36 𝑁𝑚

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 32
solution:
Maintenant effectuons la deuxième coupe 2: 3  x  6m
D’où : 𝑇 = 20,45 𝑁
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 𝑇 = 0
𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 +
50 𝑥−6 𝑥−6
2
+ 𝑀 = 0
D’où : 𝑀 = −25𝑥2
+ 320,45𝑥 − 600
𝑥 = 3 𝑇 = 20,45 𝑁 𝑀 = 20,45 × 3 + 300 = 361,36 𝑁𝑚
𝑥 = 6 𝑇 = 20,45 𝑁 𝑀 = 20,45 × 6 + 300 = 422,73 𝑁𝑚
𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 50 𝑥 − 6 − 𝑇 = 0
𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 + 𝑀 = 0
D’où : 𝑀 = 20,45𝑥 + 300
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
𝑇 = −50𝑥 + 320,45

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 33
solution:
𝑥 = 6 𝑇 = −50 × 6 + 320,45 = 20,45 𝑁
𝑀 = −25 × 62
+320,45 × 6 − 600 = 422,7 𝑁𝑚
Une équation quadratique du second degré.
Cette équation est donc celle d'une parabole
(y = a x2 + b x + c). Si vos souvenirs sont bons,
on se rappelle que lorsque "a" > 0 la parabole à
une concavité vers le haut et lorsque "a" < 0
elle a une concavité vers le bas. Ici, a = -25 donc
< 0, la concavité sera donc vers le bas.
𝑥 = 9 𝑇 = −50 × 9 + 320,45 = −129,55 𝑁
𝑀 = −25 × 92
+320,45 × 9 − 600 = 259,05 𝑁𝑚
Cette section est beaucoup plus compliquée que les précédentes, on voit que V varie linéairement
passant de 20,45 N à x = 6 m à -129,54 N à x = 9 m tandis que M varie paraboliquement passant
de 422,73 Nm à x = 6 m à 259,09 Nm à x = 9 m.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 34
solution:
𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 + 150 𝑥 − 7,5 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = −129,55𝑥 +1425
𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 150 − 𝑇 = 0
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
D’où : 𝑇 = −129,55 𝑁
𝑥 = 9 𝑇 = −129,55 𝑁 𝑀 = −129,55 × 9 + 1425 = 259,09 𝑁𝑚
𝑥 = 11 𝑇 = −129,55 𝑁 𝑀 = −129,55 × 11 + 1425 = 0
traçons maintenant les diagrammes de T et de M. Une seule valeur nous est cependant inconnue.
La valeur maximale que prend M entre 6 et 9 m.

Diagrammes de T et M
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 35
426,91
422,7
361,36
259,05
3 6 9 11
120,45
20,45
-129,55
( T )
( M )
x
x
voyons tout d'abord la relation qu'il existe entre T et M. On a noté dans la plupart des
intervalles que la valeur de T représente la pente de M.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 36
3
150
=
𝑦
20,45
→ 𝑦 = 0,409
mathématiquement, on sait que la dérivée d'une équation nous donne sa pente en tout point.
Si on observe le diagramme de T dans la section entre 6 et 9 m, on s'aperçoit que T passe par "0".
Ce qui signifie que la pente de M prend la valeur "0" entre 6 et 9 m; et on ne peut avoir une pente
nulle ou "0" que si on passe par un point maximum ou minimum.
Deux façons s'offrent à nous pour trouver quel est justement ce point maximum.
Méthode graphique :
Méthode mathématique :
Si on observe le triangle tirée du diagramme de T. On
peut donc dire que:
Donc V passe par "0" à : 𝑥 = 6 + 0,409 = 6,409 𝑚
Si on veut la valeur de M, on remplace la valeur de x dans l'équation de M de cette section
(coupe 3), pour laquelle T passe par "0" et on obtient:
𝑀 = −25 × 6,4092
+320,45 × 6,409 − 600 = 426,91 𝑁𝑚 Valeur maximale de M.
- dériver l'équation de M afin de trouver l'équation de la pente de M en tous points. Et on veut
savoir à quel point cette pente est nulle.
- le fait que l'équation de T correspond déjà à la dérivée de M, donc si on possède déjà cette
équation, on a pas besoin de dériver M. Vérifions si tout cela est vrai.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 37
mathématiquement, on sait que la dérivée d'une équation nous donne sa pente en tout point.
Si on observe le diagramme de T dans la section entre 6 et 9 m, on s'aperçoit que V passe par "0".
Ce qui signifie que la pente de M prend la valeur "0" entre 6 et 9 m; et on ne peut avoir une pente
nulle ou "0" que si on passe par un point maximum ou minimum.
Deux façons s'offrent à nous pour trouver quel est justement ce point maximum.
𝑇 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
=
𝑑 −25𝑥2
+ 320,45𝑥 − 600
𝑑𝑥
= −50𝑥 + 320,45
−50𝑥 + 320,45 = 0 → 𝑥 = 6,409 𝑚

Résistance des matériaux Notion de contrainte
5. Notion de contrainte
 Vecteur contrainte
Si un solide est en équilibre sous l’action d’efforts
extérieurs, il existe en un point courant M du solide des
forces intérieures qui assurent la cohésion interne de ce
solide. Ces efforts intérieurs sont appelés contraintes.
Divisant le solide en deux parties (I) et (II) par une surface
plane Sc quelconque passant par M comme indiqué sur la
figure.
Écrivons l’équilibre de la partie (I).
La section Sc de (I) est munie d’une normale unitaire n, extérieure à (I).
La partie (I) est en équilibre sous l’action :
– des forces extérieures volumiques qui s’exercent sur toutes les particules de (I) ainsi que
des forces réparties ou concentrées qui s’exercent sur la surface SI du solide ;
– des forces surfaciques sur Sc représentant l’action de (II) sur (I).
On appelle vecteur contrainte en M, relativement à la direction n, le vecteur :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 38
𝐶 𝑀, 𝑛 = lim
𝑑𝑆𝑐→0
=
𝑑𝐹 𝑀
𝑑𝑆𝑐

 Décomposition du vecteur contrainte
Le vecteur contrainte en M sur une facette dSc centrée en M
peut être projeté sur la normale n à la facette et dans son
plan.
On appelle contrainte normale sur dSc :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 39
Il y a quelques cas particuliers intéressants :
 si  = 0, la facette dSc est soumise à un cisaillement pur ;
 si  = 0, la facette est soumise à une traction ou à une compression pure.
 Remarques :
Unité SI : Pascal, (Pa): 1 Pa = 1 N/m² (comme la pression).
Unité couramment utilisée : Mégapascal (Mpa): 1 MPa = 1 N/mm².
 Contrainte normale:
 Contrainte tangentielle:
𝐶 𝑀 = 𝜎𝑛 + 𝜏𝑡
σ =
𝑁
𝑆
𝜏𝑧 =
𝑇𝑧
𝑆
𝜏𝑦 =
𝑇𝑦
𝑆

Relations contraintes  efforts internes
Torseur des actions mécaniques sur une facette dS de la section (S) :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 40
𝑑𝐹
𝐺𝑀 × 𝑑𝐹 𝐺
=
𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆
𝐺𝑀 × 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆 𝐺
Intégration sur toute la surface de (S) :
𝑒𝑓𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑥
=
𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆
𝐺𝑀 × 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆
𝐺
 𝑅𝐺 𝑥
𝑵 𝒙 = 𝜎𝑥𝑑𝑆
𝑻𝒚 𝒙 = 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑆
𝑻𝒛 𝒙 = 𝜏𝑥𝑧𝑑𝑆
𝑀𝐺 𝑥
𝑴𝒕 𝒙 = 𝜏𝑥𝑧𝑦 − 𝜏𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑆
𝑀𝑓𝑦 𝒙 = 𝜎𝑥𝑧 𝑑𝑆
𝑀𝑓𝑧 𝒙 = − 𝜎𝑥𝑦 𝑑𝑆

Les sollicitations simples
Résistance des matériaux Les sollicitations simples
41

Introduction
 Etude des sollicitations élémentaires pour identifier leurs conséquences
 Traction / compression
 Cisaillement
 Flexion
 Torsion
•Le principe de superposition permettra de traiter des sollicitations composées
 Objectif : établir les relations effort interne  contrainte / déformation
 Répartition et valeur des contraintes dans les sections droites.
 Déformée des poutres
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 42
Résistance des matériaux Les sollicitations simples
 Sera abordée : première notion de comportement des matériaux « simples »
Principe :
 Définir les déformations
 Définir / établir les hypothèses sur les contraintes
 Etablir les relation contraintes / déformation puis déplacements à partir des lois
de comportement.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 43
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Définition
 Une poutre est soumise à une sollicitation de traction/compression lorsque
a la forme :
𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙
𝑒𝑓𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑥
=
𝑁 ∙ 𝑥
0 𝐺
Traction
 Remarques :
Cas de poutres soumises à deux forces colinéaires, alignées et de sens opposés
• N > 0  traction
• N < 0  compression −𝑭
𝑭
−𝑭 𝑭
Déformation
On appelle déformation le rapport de la variation de longueur sur la longueur de
référence :
𝜖𝑥 𝑥 =
𝑑𝑙
𝑑𝑥

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 44
Contrainte
 Hypothèses sur la répartition des contraintes
On isole un tronçon de poutre soumis à de la traction via une force F
Traction
Hypothèse (basée sur des résultats expérimentaux et sur l’hypothèse de linéarité
contrainte/déformation) : 𝜎𝑥 = 𝑐𝑡𝑒
On retrouve donc l’état de contrainte de la poutre en traction :
𝜎𝑥 =
𝑁 𝑥
𝑆 𝑥 et 𝜏 = 0 𝑐𝑎𝑟 𝑇𝑦 = 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 45
Essai de traction:
L’essai de traction permet à lui seul de définir les caractéristiques mécaniques courantes
utilisées en RDM. La seule connaissance des paramètres de l’essai de traction permet de
prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en cisaillement, traction, compression et
flexion.
Traction
Une éprouvette
cylindrique
éprouvette cylindrique
montée dans des mors
d’une machine de traction.
machine de traction.
on applique lentement et progressivement à une éprouvette de forme et dimensions normalisées,
un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 46
Le graphe représente la courbe classique
(conventionnelle) de traction
Traction
La striction est
une déformation
localisée


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 47
Traction
Zone élastique OA :
l’éprouvette se comporte élastiquement (comme un ressort) et revient toujours à sa
longueur initiale dès que la charge est relâchée. Le point A, auquel correspond la limite
élastique Re, marque la fin de cette zone. La proportionnalité entre la contrainte σ et la
déformation  se traduit par la loi de Hooke .
module de Young caractérise la pente de la droite OA .
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖
𝐸 = 𝑡𝑎𝑛 𝛼
Zone de déformation plastique AE :
on distingue encore trois zones AB, BC et CD. Dans la zone AB, parfaitement plastique, la
contrainte reste constante et l’allongement se poursuit jusqu’en B. Entre B et C, zone
d’écrouissage, le matériau subit un changement de structure qui accroît sa résistance. Le
point C, auquel correspond la résistance maximale Rm, marque la fin de cette zone. Enfin,
entre C et D, l’éprouvette subit une striction amenant une diminution de la section avec
étranglement. La rupture se produit au point D, auquel correspond la résistance à la
rupture Rr.
:L’allongement relatif
𝜖 =
∆𝑙
𝑙0
:L’allongement absolu
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 48
Traction
: est le coefficient de proportionnalité appelé module d’élasticité
ou module de YOUNG.
𝐸
Thomas Young
– 1773 à 1829;
– Médecin et physicien anglais;
– Connu pour son expérience des fentes
de Young (interférence lumineuse).
Il représente une caractéristique mécanique du matériau déterminé
expérimentalement.
Comme conduit à la déformation relative de même
engendrent des déformations relatives
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑦.
𝜖𝑥
La relation entre contrainte tangentielle est déformations relatives :
𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
Ou G est le coefficient de proportionnalité appelé module
d’élasticité transversal.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 49
Traction
𝜖 =
𝜎
𝐸
La loi de Hooke :
Elle définie La relation contrainte-déformation qui traduit la
dépendance linéaire des déformations par rapport aux
contraintes.
Robert Hooke
– 1635 à 1703;
– Astronome, mathématicien et physicien
anglais;
– Contemporain de Isaac Newton;
– S’oppose à Newton sur le modèle de la
lumière.
Loi de Hooke généralisée:
La loi de Hooke généralisée traduit les relations linéaires entre
contraintes et déformations dans le cas tridimensionnel.
Considérons les déformations normales de l’élément (fig).
𝜖𝑥, 𝜖𝑦, 𝜖𝑧
Chaque contrainte normale provoque selon son axe
d’application une déformation relative: 𝜖 =
𝜎
𝐸
Et suivant les deux autres axes, des déformations relatives:
 est le coefficient de poisson sans dimensions
𝜖′
= −𝑣
𝜎
𝐸
0 ≤ 𝑣 ≤ 5

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 50
Traction
𝜖𝑦 =
1
𝐸
𝜎𝑦 − 𝑣 𝜎𝑥 + 𝜎𝑧
𝜖𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
− 𝑣
𝜎𝑦
𝐸
−𝑣
𝜎𝑧
𝐸
=
1
𝐸
𝜎𝑥 − 𝑣 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
Donc:
De même façon :
𝜖𝑧 =
1
𝐸
𝜎𝑧 − 𝑣 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
Ces équations représentent la loi de Hooke généralisée caractérisée par les constantes
élastiques E, G et  :
𝐺 =
𝐸
2 1 + 𝑣
Conditions de résistance (Contrainte admissible ) :
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur
limite appelée contrainte pratique à l'extension pe.
On a : 𝜎𝑝𝑒 ≤
𝜎𝑒
𝑠
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁
𝑆
< 𝜎𝑝𝑒
S est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.
Matériau ductile: Matériau fragile:
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas
dépasser le seuil précédent, soit :
1,4 ≤ 𝑠 ≤ 1,6 2,5 ≤ 𝑠 ≤ 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 51
Exercice :
Reprenons l’exemple du tirant ; si on impose une
contrainte admissible de 100 MPa, déterminons le
diamètre d minimal pour la construction de celui-
ci et les coefficients de sécurité adoptés. Rappel :
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
𝑆
=
62000
𝜋𝑑2
4
≤ 100 → 𝑑2
≥
62000 × 4
100𝜋
après calcul : d  28,l mm.
Exercice :
Pour contrôler la charge d’un avion, on place des jauges
de contraintes sur le train d’atterrissage. Une jauge, collée
sur un pied de forme tubulaire donne les indications
suivantes :
1=0.00068 1 en position déchargée et 2=0.00136 en
charge.
Déterminer la charge supplémentaire si E = 75 GPa.
𝜖1 =
𝑁1
𝑆𝐸
𝑒𝑡𝜖2 =
𝑁2
𝑆𝐸
→ 𝜖2 −𝜖1 =
𝑁2 − 𝑁1
𝑆𝐸

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 52
Exercice :
Sollicitations dues a la variation de température
L’effet de température se manifeste sous forme de déformations (dilatation et
rétrécissement) des éléments. Ces déformations induisent des contraintes supplémentaires.
avec
𝜖 = 𝛼∆𝑇 𝜖𝑥 = 𝜖𝑦 = 𝜖𝑧
 : Coefficient de dilatation thermique (1/°c)
Cuivre :
Acier :
Béton:
19,1 × 10−6
/°𝑐
12 × 10−6
/°𝑐
11 × 10−6
/°𝑐
∆𝜖 =
∆𝑁
𝑆𝐸
→ ∆𝑁 = SE∆𝜖 =
𝜋
4
𝑑2
2
− 𝑑1
2
𝐸∆𝜖 =
𝜋
4
2002
− 1882
× 75 × 0,68 = 186497,5𝑁

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 53
Systèmes de barres isostatiques :
Un système est isostatique quand on peut déterminer les efforts internes par les seules
équations d’équilibre.
𝑁 + 400 = 0 → 𝑁 = −400𝑘𝑁
Exemple :
Déterminer les efforts, les contraintes et les déformations dans les
différents tronçons de la colonne sachant que d1-1=50 mm, d2-2=100
mm, d3-3=200 mm et E=2.1105 N/mm2.
Section 1-1 :
𝜎 =
𝑁
𝑆
=
−400 × 103
𝜋 × 252
= −203,7 𝑁/𝑚𝑚2
∆𝐿𝐴𝐵=
𝜎𝐿
𝐸
=
−203,7 × 3000
2,1 × 105
= −2,91 𝑚𝑚
mm
E
L
L
mm
N
S
N
KN
N
N
BC 55
.
2
/
3
.
178
50
.
10
.
1400
1400
0
500
2
400
2
2
3



















𝑁 + 400 + 2 × 500 = 0 → 𝑁 = −1400𝑘𝑁
Section 2-2 :
𝜎 =
𝑁
𝑆
=
−1400 × 103
𝜋 × 502
= −178, 3 𝑁/𝑚𝑚2
∆𝐿𝐵𝐶= −2,55 𝑚𝑚

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 54
Systèmes de barres isostatiques :
Section 3-3 :
𝑁 + 400 + 2 × 500 + 2 × 800 = 0 → 𝑁 = −3000𝑘𝑁
𝜎 =
𝑁
𝑆
=
−3000 × 103
𝜋 × 1002
= −95,5 𝑁/𝑚𝑚2
∆𝐿𝐶𝐷= −1,36 𝑚𝑚
∆𝐿𝑇𝑜𝑡= −2,91 − 2,55 − 1,36 = −6,82 𝑚𝑚
Systèmes de barres hyperstatiques :
Un système est isostatique quand on ne peut pas déterminer les efforts
internes par équations statiques uniquement.
La résolution s’effectue en considérant :
• Aspect statique: écrire les équations d’équilibre,
• Aspect géométrique: établir le rapport entre les déformations à partir de la compatibilité
géométrique.
• Aspect physique: transformer les expressions de déformations en équations ayant les efforts
normaux comme inconnus.
• Résolution du système d’équations

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 55
Exemple :
Soit le système de barres , étant données: L1, S1, L2, S2, L3, S3, P et 
avec L2 = L3
Déterminer les efforts normaux dans les barres.
Aspect statique:
𝑁2𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑁3𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 → 𝑁2 = 𝑁3 1
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
𝑁1 + 𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑁3𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑃 = 0
→ 𝑁1 + 2𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃 2
𝐹𝑦 = 𝑁 = 0
Aspect géométrique:
∆𝐿2 = ∆𝐿3 = ∆𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼 3
Aspect physique:
∆𝐿1 =
𝑁1𝐿1
𝐸𝑆
et ∆𝐿2 =
𝑁2𝐿2
𝐸𝑆
4
En substituant (4) dans (3) on obtient:
𝑁2𝐿2
𝐸𝑆
=
𝑁1𝐿1
𝐸𝑆
𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑁2𝐿2 = 𝑁1𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼 5

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 56
→ 𝑁1 +2𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃 6
synthèse et résolution des équations:
On élimine N3 de (2)
De (5) on tire 𝑁1 = 𝑁2
𝐿2
𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼
7
En combinant (6) et (7) on aura: 𝑁1 =
𝑃
1 + 2𝑐𝑜𝑠3𝛼
𝑒𝑡 𝑁2 = 𝑁3 =
𝑃𝑐𝑜𝑠2
𝛼
1 + 2𝑐𝑜𝑠3𝛼
Cas d’une enveloppe cylindrique mince :
Soit un réservoir cylindrique (E) de diamètre intérieur d , de
longueur l et d’épaisseur e avec p la pression effective à
l’intérieur du réservoir.
Le repère est le repère des sollicitations S est l’aire
de la section fictive par le plan donc S = 2el .
Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une
sollicitation d’extension telle que :
𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑥, 𝑦
𝑁 = 𝑝 ∙ 𝑙 ∙ 𝑑 𝜎 =
𝑝 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑒

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 57
Cas d’une enveloppe sphérique mince :
Soit un réservoir sphérique (E) de diamètre intérieur d et d’épaisseur e avec p la pression
effective à l’intérieur du réservoir.
Le repère est le repère des sollicitations S est l’aire de la section fictive par le plan
donc S = del .
Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une sollicitation d’extension telle
que :
𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑁 = 𝜋
𝑑2
4
𝜎 =
𝑝 ∙ 𝑑
4 ∙ 𝑒
𝑆 = 𝜋𝑑𝑒
Concentration de contraintes
Lorsque les poutres étudiées présentent de
brusques variations de sections (trous, gorges,
épaulements…), la relation  = N /S n’est plus
applicable. En effet, au voisinage du
changement de section, la répartition des
contraintes n’est plus uniforme et présente des
extremums. Le maximum est atteint pour les
points situés à proximité des variations : on dit
qu’il y a concentration de contraintes en ces
points. La valeur de la contrainte est alors
donnée par :
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝑡𝜎0 𝜎0 =
𝑁
𝑆

kt est appelé le coefficient de concentration de contraintes.
Il dépend de la forme de la section et du type de la variation
(voir tableaux abaques).
Des méthodes analytiques ou expérimentales (photoélasticité) permettent de déterminer la valeur
maximale max de la contrainte. À partir de cette valeur et de la valeur nominale nom calculée le
facteur Kt est défini comme:
Après la réalisation de plusieurs essais avec différents forme s des pièces on obtient les
abaques.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 58
𝑘𝑡 =
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑛𝑜𝑚
5
.
1

t
K
D
max

r
d

Cours RDM_Hypothèses et lois.pptx

Contenu connexe

Tendances

Similaire à Cours RDM_Hypothèses et lois.pptx

Dernier

Cours RDM_Hypothèses et lois.pptx