SlideShare une entreprise Scribd logo
Cours résistance des matériaux
ECOLE SUPÉRIEURE DES TECHNIQUES AÉRONAUTIQUES
Réalisé par : Lnt/col GHAOUI Driss
1
Hypothèses et lois
Hypothèses et lois
2
Objectif de La RDM
De façon générale, Mécanique = étude des effets d’actions extérieures sur des
solides et fluides.
Choix d’une modélisation = fonction de l’application, des objectifs visés, des
hypothèses fixées…
Exemple : étude dynamique du mouvement d’un pendule  méca. des solides rigides
En mécanique des solides déformables, on étudie
▪ les déplacements relatifs entre points d’un solide (notion de déformations)
▪ les efforts intérieurs associés (notion de contraintes)
L’objectif est de déterminer, par le calcul, des pièces de machine, des éléments de
structures :
▪ Dimensionner ces pièces (objectifs d’économie)
▪ Vérifier leur tenue mécanique (déformations / contraintes limites imposées)
RDM = Etude des déformations, déplacements et contraintes d’objets de forme
simple. Dans la cadre de ce cours, des poutres.
Elle est issue de la théorie, plus générale, de la Mécanique des Milieux Continus.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 3
Introduction à la RDM Objet de la RDM
Champ d’application de la RDM
 Calcul de structures
 Bâtiments, charpentes, structures métalliques…
 Ouvrages de génie civil…
 Squelette structural de systèmes divers
 Calcul de pièces mécaniques
 Arbres de transmission
 Première approche de calculs complexes
 Etablir un premier résultat simplement
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 4
Introduction à la RDM Champ d’application de la RDM
Objectif du cours
 Savoir étudier le comportement d’une structure de type « poutre » sous des
actions (simples)…
 Calcul des contraintes
 Calcul des déformations et déplacements
 dans le but de les dimensionner / vérifier
 Actions connues + efforts/déplacements admissibles  problème de dimensionnement
 Dimensions connues + actions connues  problème de vérification
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 5
Introduction à la RDM Objet du cours
Les essais de RDM en aéronautique
En aéronautique, la RDM à une importance primordiale. En plein vol, on imagine
facilement les conséquences de la rupture d’une pièce.
On ne peut pas se permettre de surdimensionner les pièces car le poids de l’avion serait
alors trop important. Il faut donc réaliser des calculs et des vérifications très strictes des
pièces constitutives d’un avion.
Grâce aux progrès dans la connaissance des matériaux et les moyens de calcul et de
modélisation des structures, les pièces mécaniques sont de plus en pus fiables. Voici
quelques exemples :
 Test des ailes
 Test du fuselage
 Test du train d’atterrissage
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 6
Introduction à la RDM Les essais de RDM en aéronautique
objectif
 A l’équilibre
déterminer les actions de liaison qui sont a priori inconnues.
 Principe de la statique
Sous l’action des efforts extérieurs,
la structure est en équilibre ↔ chaque élément de la structure est en équilibre.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 7
Actions extérieures appliquées
 Forces de contact
 Ponctuelles
 Réparties
Introduction à la RDM Statique des structures
 Forces de volume
Les plus courantes : pesanteur
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 8
Introduction à la RDM Statique des structures
Actions de liaison
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 9
Introduction à la RDM Statique des structures
Remarque sur les charges réparties
Charge équivalente à une charge répartie
Une charge uniformément répartie sur une longueur L
est globalement équivalente à une force ponctuelle : intensité = pL point d’application : milieu
Résistance des matériaux Hypothèses et lois
4.1 Le matériau
4.1.1 Continuité de la matière :
Lorsqu’on regarde au microscope la coupe d’une
pièce en métal, on voit généralement une
structure fibreuse, ou quelquefois une structure
granulaire.
Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont très petites par rapport aux
dimensions des plus petites pièces mécaniques qui sont étudiées.
On peut alors raisonnablement considérer le matériau comme continu.
4.1.2 Homogénéité :
On admet que les matériaux ont les mêmes propriétés
mécaniques en tous points. Cela est à peu près vérifié
pour la plupart des métaux, mais il faut savoir que
cette hypothèse n’est qu’une grossière approximation
pour les matériaux tels que le bois ou le béton.
4.1.3 Isotropie
On admet que les matériaux étudiés ont, en un même
point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les
directions. Cela est à peu près vrai pour les aciers, mais
il faut savoir que cette hypothèse est loin de la réalité
pour le bois et les matériaux composites par exemple.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 10
Résistance des matériaux Hypothèses et lois
4.2 La géométrie
Poutre = volume engendré par une surface S quand G décrit une courbe C.
• C = ligne moyenne = courbe des centres de gravité des sections S.
• (Si) = sections droites, perpendiculaires localement à C en Gi.
Remarque : (S) peut varier le long de C.
Repérage
Utilisation d’un repère local à chaque section droite (Si). Défini par :
tangent à C en Gi.
dans le plan de (Si).
 
x
Gi

,
   
z
G
y
G i
i


,
,
,
hypothèses
Elancement
Dimensions transversales (Si) petites devant les dimensions longitudinales.
Remarque : sinon, autre théories : plaques et coques, ou élasticité.
Rayon de courbure : Doivent être limités.
Variations de section: Doivent être lentes et continues.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 11
Résistance des matériaux Hypothèses et lois
4.3 les forces appliqués
Charges concentrées en un point
Charge uniformément répartie
Le chargement doit être ramenée au niveau de la ligne moyenne.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 12
Résistance des matériaux Hypothèses et lois
4.4 les déformations
4.4.1 Hypothèse de Navier – Bernoulli
Au cours des déformations, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne
moyenne.
4.4.2 Hypothèse de Barré de Saint Venant
Les résultats de la RDM ne s’appliquent valablement qu’à une distance suffisamment
éloignée de la région d’application des forces concentrées. En effet, nous ne pouvons pas,
avec les équations de la RDM, calculer les déformations locales autour d’un point
d’application d’une force.
4.4.3 Elasticité linéaire
Déformation parfaitement réversible
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 13
Torseur des efforts internes
(ou de cohésion)
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
14
1. Introduction
 Passage de l’échelle globale à l’échelle locale
 Des efforts extérieurs aux efforts internes
But : connaître la répartition de ces efforts
Les risques de rupture sont liés aux efforts de cohésion de la matière !
… Et l’objectif de la RDM est de vérifier la tenue mécanique des structures !
 principe:
On réalise une coupure afin de déterminer le torseur des efforts de cohésion
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 15
2. définitions:
Coupure fictive et repère local
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
On considère une coupure fictive de la poutre (E) au niveau de la section Sx de centre de
gravité Gx :
 (E) est partagée à droite, côté x positif, en (Ed), à gauche, côté x négatif en (Eg),
 Le repère (Gx, x, y, z) est le repère local à la section droite (Sx).
 Actions extérieures appliquées à (E) :
Équilibre statique de la poutre :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 16
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Torseur des efforts internes (ou de cohésion )
Isolons le tronçon (Eg)
Actions extérieures appliquées à (Eg) :
Définition :
Le torseur des efforts internes en x est le torseur, en Gx, des actions de (Ed) sur (Eg).
Equilibre statique de (Eg)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 17
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Eléments de réduction du torseur de cohésion
En projection dans le repère local, on définit ainsi :
: effort normal N(x)
: effort tranchant selon y Ty(x)
: effort tranchant selon z Tz(x)
: moment de torsion Mt(x)
: moment fléchissant selon y Mfy(x)
: moment fléchissant selon z Mfz(x)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 18
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Cas des problèmes plans
Pour les problèmes plans (= ce cours),
se réduit à (z composante hors plan):
3. Diagramme des efforts internes
Calcul des efforts internes :
 Découpage en différents tronçons
Selon les actions mécaniques rencontrées
Selon la géométrie de la ligne moyenne
 Ecrire le PFS sur chaque tronçon dans le repère local
Coupure fictive  on isole la partie droite ou gauche
Détermination des composantes d’efforts internes grâce au bilan des actions extérieures
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 19
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Variation des efforts internes
 Etude d’un tronçon de longueur dx
Hypothèses :
Tranche dx infiniment fine
Pas d’actions ponctuelles (St Venant)
Seulement des forces réparties : px(x), py(x) (supposées constantes sur dx)
 Equilibre du tronçon dx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 20
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
4. Les différents types de sollicitations
 Traction/compression simple
 Flexion pure
 Flexion simple
 Flexion composée
 Autres (problèmes non plans)
Flexion déviée
Torsion pure
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 21
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Principe de superposition
La réponse de la structure sous l’action de F1 est R1 (contrainte ou déplacement)
La réponse de la structure sous l’action de F2 est R2 (contrainte ou déplacement )
 La réponse de la structure sous l’action de F1+ F2 sera R1+ R2
 Conditions d’application
Domaine élastique (pas de pertes d’énergie par frottement etc…)
Domaine linéaire (proportionnalité force/déplacements)
Forces extérieures indépendantes des déplacements (hypothèses de petites déformations).
En bref : les hypothèses de la RDM !
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 22
 construction des diagrammes des efforts internes d’une poutre
Types des poutres:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 23
Poutre simple
C'est une poutre reposant sur deux supports;
l'appui double et l'appui simple. Les points
d'appui sont articulés de façon à ce que les
extrémités puissent se mouvoir librement pendant
la flexion.
Poutre console
C'est une poutre encastrée dans un mur à
une l'extrémité. L'extrémité encastrée ne
bouge pas pendant la flexion, tandis que
l'autre extrémité est entièrement libre. On
appelle aussi cette poutre, poutre en porte-à-
faux ou poutre encastrée à une extrémité.
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 24
Poutre avec porte-à-faux
C'est une poutre qui repose sur deux appuis (un
simple et l'autre double) et a une ou deux
extrémités qui dépassent de façon appréciable les
appuis (porte-à-faux).
Poutre encastrée et supportée
C'est une combinaison des types A et B. On
note que la poutre est liée quatre fois (4
inconnues), c'est donc une poutre en
équilibre hyperstatique.
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Poutre continue
C'est une poutre supportée par plus de
deux supports, c'est donc une poutre en
équilibre hyperstatique.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 25
Poutre à double encastrement
C'est une poutre supportée par deux
encastrement, c'est donc une poutre en
équilibre hyperstatique.
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Poutre supportée à double encastrement
C'est une poutre soutenue par deux
encastrement et supportée par un ou
plusieurs supports, c'est donc une poutre en
équilibre hyperstatique.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 26
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Recherche des efforts en tout point d'une poutre
Afin de pouvoir tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants,
il faut connaître en tout point de la poutre quelles sont les valeurs de ces efforts et
moments. Pour ce, on doit effectuer des coupes dans la poutre afin d'appliquer les
équations d'équilibre nous permettant de connaître tous les efforts.
Règle à suivre:
1- On se déplace sur la poutre de gauche à droite et on effectue une coupe chaque fois que
les conditions de charge changent. C'est-à-dire que l'on effectue une coupe à chaque
nouvelle charge. On ne coupe jamais vis-à-vis une charge.
2- Il y a changement en entrant dans la poutre, après une charge concentrée ou réaction
d'appui, en entrant dans une charge répartie, en rencontrant une charge concentrée dans
une charge distribuée, en quittant une charge distribuée.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 27
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Convention de signes
Effort normal (ou axial) N
On place toujours l'effort normal en tension sur la coupe. Et si:
 N > 0 (ou positif (+)); on a une tension.
 N < 0 (ou négatif (-)); on a une compression.
Effort tranchant (ou de cisaillement) T
 T > 0 (ou positif (+)); si la somme des forces externes (ΣFext) sur la partie de gauche
isolée de la poutre agit vers le haut.
 T < 0 (ou négatif (-)); si la somme des forces externes (ΣFext) sur la partie de gauche
isolée de la poutre agit vers le bas.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 28
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Convention de signes
Moment fléchissant (ou de flexion) M
 M > 0 (ou positif (+)); si les charges et réactions d'appuis tendent à courber la poutre de
sorte que les fibres inférieures soient tendues.
 M < 0 (ou négatif (-)); si les charges et réactions d'appuis tendent à courber la poutre de
sorte que les fibres supérieures soient tendues.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 29
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Diagrammes de T et M à partir des équations d'équilibre
Méthode:
1- Calculer les réactions d'appuis.
2- Déterminer le nombre de coupes à effectuer et délimiter la poutre en sections.
3- Résoudre les conditions d'équilibre pour chaque coupe afin de déterminer comment
varie V et M en tout point de la section.
4- Calculer les valeurs aux limites de chaque section.
5- Tracer les diagrammes de V et M à partir des relations trouvées et des conditions aux
limites.
EXEMPLE : Tracer les diagrammes de T et de M de la poutre illustrée ci-dessous.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 30
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
solution:
L'étude des charges nous montre que l'on doit faire 4 coupes dans cette poutre afin de
trouver le comportement complet de T et de M.
Première étape on décompose les forces et on calcule les réactions d'appuis.
𝑀/𝐴 = 𝟎 → − 𝟏𝟎𝟎 × 𝟑 − 𝟏𝟓𝟎 × 𝟕, 𝟓 + 𝑩 × 𝟏𝟏 = 𝟎 D’où : 𝑩 = 𝟏𝟐𝟗, 𝟓𝟓 𝑵
𝑭𝒙 = 𝟎 → 𝑨𝒙 = 𝟎
𝑭𝒚 = 𝟎 → 𝑨𝒚 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 + 𝑩 = 𝟎 D’où : 𝑨𝒚 = 𝟏𝟐𝟎, 𝟒𝟓 𝑵
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 31
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
solution:
Maintenant effectuons la première coupe 1: 0  x  3m
D’où : 𝑇 = 120,45 𝑁
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
On place toujours l'axe des x selon l'axe de la poutre et son
origine au début. La distance jusqu'à la coupe est alors "x".
𝐹𝑦 = 120,45 − 𝑇 = 0
𝑀 = - 120,45𝑥 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = 120,45 𝑥
Une équation linéaire du premier degré. Cette équation est donc celle d'une droite (y = mx + b), où
120,45 est la pente de la droite de M(x). Curieusement on remarque que la pente de M représente
la valeur de V. On verra plus loin la relation qu'il existe entre les deux. Vérifions maintenant les
conditions aux limites, à savoir à x = 0 et à x = 3 m:
𝑥 = 0 𝑇 = 120,45 𝑁 𝑀 = 120,45 × 0 = 0
𝑥 = 3 𝑇 = 120,45 𝑁 𝑀 = 120,45 × 3 = 361,36 𝑁𝑚
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 32
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
solution:
Maintenant effectuons la deuxième coupe 2: 3  x  6m
D’où : 𝑇 = 20,45 𝑁
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 𝑇 = 0
𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 +
50 𝑥−6 𝑥−6
2
+ 𝑀 = 0
D’où : 𝑀 = −25𝑥2
+ 320,45𝑥 − 600
𝑥 = 3 𝑇 = 20,45 𝑁 𝑀 = 20,45 × 3 + 300 = 361,36 𝑁𝑚
𝑥 = 6 𝑇 = 20,45 𝑁 𝑀 = 20,45 × 6 + 300 = 422,73 𝑁𝑚
𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 50 𝑥 − 6 − 𝑇 = 0
𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 + 𝑀 = 0
D’où : 𝑀 = 20,45𝑥 + 300
Maintenant effectuons la deuxième coupe 3: 6  x  9m
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
𝑇 = −50𝑥 + 320,45
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 33
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
solution:
𝑥 = 6 𝑇 = −50 × 6 + 320,45 = 20,45 𝑁
𝑀 = −25 × 62
+320,45 × 6 − 600 = 422,7 𝑁𝑚
Une équation quadratique du second degré.
Cette équation est donc celle d'une parabole
(y = a x2 + b x + c). Si vos souvenirs sont bons,
on se rappelle que lorsque "a" > 0 la parabole à
une concavité vers le haut et lorsque "a" < 0
elle a une concavité vers le bas. Ici, a = -25 donc
< 0, la concavité sera donc vers le bas.
𝑥 = 9 𝑇 = −50 × 9 + 320,45 = −129,55 𝑁
𝑀 = −25 × 92
+320,45 × 9 − 600 = 259,05 𝑁𝑚
Cette section est beaucoup plus compliquée que les précédentes, on voit que V varie linéairement
passant de 20,45 N à x = 6 m à -129,54 N à x = 9 m tandis que M varie paraboliquement passant
de 422,73 Nm à x = 6 m à 259,09 Nm à x = 9 m.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 34
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
solution:
Maintenant effectuons la deuxième coupe 4: 9  x  11m
𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 + 150 𝑥 − 7,5 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = −129,55𝑥 +1425
𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 150 − 𝑇 = 0
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
D’où : 𝑇 = −129,55 𝑁
𝑥 = 9 𝑇 = −129,55 𝑁 𝑀 = −129,55 × 9 + 1425 = 259,09 𝑁𝑚
𝑥 = 11 𝑇 = −129,55 𝑁 𝑀 = −129,55 × 11 + 1425 = 0
traçons maintenant les diagrammes de T et de M. Une seule valeur nous est cependant inconnue.
La valeur maximale que prend M entre 6 et 9 m.
Diagrammes de T et M
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 35
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
426,91
422,7
361,36
259,05
3 6 9 11
120,45
20,45
-129,55
( T )
( M )
x
x
voyons tout d'abord la relation qu'il existe entre T et M. On a noté dans la plupart des
intervalles que la valeur de T représente la pente de M.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 36
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
3
150
=
𝑦
20,45
→ 𝑦 = 0,409
mathématiquement, on sait que la dérivée d'une équation nous donne sa pente en tout point.
Si on observe le diagramme de T dans la section entre 6 et 9 m, on s'aperçoit que T passe par "0".
Ce qui signifie que la pente de M prend la valeur "0" entre 6 et 9 m; et on ne peut avoir une pente
nulle ou "0" que si on passe par un point maximum ou minimum.
Deux façons s'offrent à nous pour trouver quel est justement ce point maximum.
Méthode graphique :
Méthode mathématique :
Si on observe le triangle tirée du diagramme de T. On
peut donc dire que:
Donc V passe par "0" à : 𝑥 = 6 + 0,409 = 6,409 𝑚
Si on veut la valeur de M, on remplace la valeur de x dans l'équation de M de cette section
(coupe 3), pour laquelle T passe par "0" et on obtient:
𝑀 = −25 × 6,4092
+320,45 × 6,409 − 600 = 426,91 𝑁𝑚 Valeur maximale de M.
- dériver l'équation de M afin de trouver l'équation de la pente de M en tous points. Et on veut
savoir à quel point cette pente est nulle.
- le fait que l'équation de T correspond déjà à la dérivée de M, donc si on possède déjà cette
équation, on a pas besoin de dériver M. Vérifions si tout cela est vrai.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 37
Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
mathématiquement, on sait que la dérivée d'une équation nous donne sa pente en tout point.
Si on observe le diagramme de T dans la section entre 6 et 9 m, on s'aperçoit que V passe par "0".
Ce qui signifie que la pente de M prend la valeur "0" entre 6 et 9 m; et on ne peut avoir une pente
nulle ou "0" que si on passe par un point maximum ou minimum.
Deux façons s'offrent à nous pour trouver quel est justement ce point maximum.
𝑇 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
=
𝑑 −25𝑥2
+ 320,45𝑥 − 600
𝑑𝑥
= −50𝑥 + 320,45
−50𝑥 + 320,45 = 0 → 𝑥 = 6,409 𝑚
Résistance des matériaux Notion de contrainte
5. Notion de contrainte
 Vecteur contrainte
Si un solide est en équilibre sous l’action d’efforts
extérieurs, il existe en un point courant M du solide des
forces intérieures qui assurent la cohésion interne de ce
solide. Ces efforts intérieurs sont appelés contraintes.
Divisant le solide en deux parties (I) et (II) par une surface
plane Sc quelconque passant par M comme indiqué sur la
figure.
Écrivons l’équilibre de la partie (I).
La section Sc de (I) est munie d’une normale unitaire n, extérieure à (I).
La partie (I) est en équilibre sous l’action :
– des forces extérieures volumiques qui s’exercent sur toutes les particules de (I) ainsi que
des forces réparties ou concentrées qui s’exercent sur la surface SI du solide ;
– des forces surfaciques sur Sc représentant l’action de (II) sur (I).
On appelle vecteur contrainte en M, relativement à la direction n, le vecteur :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 38
𝐶 𝑀, 𝑛 = lim
𝑑𝑆𝑐→0
=
𝑑𝐹 𝑀
𝑑𝑆𝑐
Résistance des matériaux Notion de contrainte
 Décomposition du vecteur contrainte
Le vecteur contrainte en M sur une facette dSc centrée en M
peut être projeté sur la normale n à la facette et dans son
plan.
On appelle contrainte normale sur dSc :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 39
Il y a quelques cas particuliers intéressants :
 si  = 0, la facette dSc est soumise à un cisaillement pur ;
 si  = 0, la facette est soumise à une traction ou à une compression pure.
 Remarques :
Unité SI : Pascal, (Pa): 1 Pa = 1 N/m² (comme la pression).
Unité couramment utilisée : Mégapascal (Mpa): 1 MPa = 1 N/mm².
 Contrainte normale:
 Contrainte tangentielle:
𝐶 𝑀 = 𝜎𝑛 + 𝜏𝑡
σ =
𝑁
𝑆
𝜏𝑧 =
𝑇𝑧
𝑆
𝜏𝑦 =
𝑇𝑦
𝑆
Résistance des matériaux Notion de contrainte
Relations contraintes  efforts internes
Torseur des actions mécaniques sur une facette dS de la section (S) :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 40
𝑑𝐹
𝐺𝑀 × 𝑑𝐹 𝐺
=
𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆
𝐺𝑀 × 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆 𝐺
Intégration sur toute la surface de (S) :
𝑒𝑓𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑥
=
𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆
𝐺𝑀 × 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆
𝐺
 𝑅𝐺 𝑥
𝑵 𝒙 = 𝜎𝑥𝑑𝑆
𝑻𝒚 𝒙 = 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑆
𝑻𝒛 𝒙 = 𝜏𝑥𝑧𝑑𝑆
𝑀𝐺 𝑥
𝑴𝒕 𝒙 = 𝜏𝑥𝑧𝑦 − 𝜏𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑆
𝑀𝑓𝑦 𝒙 = 𝜎𝑥𝑧 𝑑𝑆
𝑀𝑓𝑧 𝒙 = − 𝜎𝑥𝑦 𝑑𝑆
Les sollicitations simples
Résistance des matériaux Les sollicitations simples
41
Introduction
 Etude des sollicitations élémentaires pour identifier leurs conséquences
 Traction / compression
 Cisaillement
 Flexion
 Torsion
•Le principe de superposition permettra de traiter des sollicitations composées
 Objectif : établir les relations effort interne  contrainte / déformation
 Répartition et valeur des contraintes dans les sections droites.
 Déformée des poutres
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 42
Résistance des matériaux Les sollicitations simples
 Sera abordée : première notion de comportement des matériaux « simples »
Principe :
 Définir les déformations
 Définir / établir les hypothèses sur les contraintes
 Etablir les relation contraintes / déformation puis déplacements à partir des lois
de comportement.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 43
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Définition
 Une poutre est soumise à une sollicitation de traction/compression lorsque
a la forme :
𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙
𝑒𝑓𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑥
=
𝑁 ∙ 𝑥
0 𝐺
Traction
 Remarques :
Cas de poutres soumises à deux forces colinéaires, alignées et de sens opposés
• N > 0  traction
• N < 0  compression −𝑭
𝑭
−𝑭 𝑭
Déformation
On appelle déformation le rapport de la variation de longueur sur la longueur de
référence :
𝜖𝑥 𝑥 =
𝑑𝑙
𝑑𝑥
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 44
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Contrainte
 Hypothèses sur la répartition des contraintes
On isole un tronçon de poutre soumis à de la traction via une force F
Traction
Hypothèse (basée sur des résultats expérimentaux et sur l’hypothèse de linéarité
contrainte/déformation) : 𝜎𝑥 = 𝑐𝑡𝑒
On retrouve donc l’état de contrainte de la poutre en traction :
𝜎𝑥 =
𝑁 𝑥
𝑆 𝑥 et 𝜏 = 0 𝑐𝑎𝑟 𝑇𝑦 = 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 45
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Essai de traction:
L’essai de traction permet à lui seul de définir les caractéristiques mécaniques courantes
utilisées en RDM. La seule connaissance des paramètres de l’essai de traction permet de
prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en cisaillement, traction, compression et
flexion.
Traction
Une éprouvette
cylindrique
éprouvette cylindrique
montée dans des mors
d’une machine de traction.
machine de traction.
on applique lentement et progressivement à une éprouvette de forme et dimensions normalisées,
un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 46
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Le graphe représente la courbe classique
(conventionnelle) de traction
Traction
La striction est
une déformation
localisée

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 47
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Traction
Zone élastique OA :
l’éprouvette se comporte élastiquement (comme un ressort) et revient toujours à sa
longueur initiale dès que la charge est relâchée. Le point A, auquel correspond la limite
élastique Re, marque la fin de cette zone. La proportionnalité entre la contrainte σ et la
déformation  se traduit par la loi de Hooke .
module de Young caractérise la pente de la droite OA .
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖
𝐸 = 𝑡𝑎𝑛 𝛼
Zone de déformation plastique AE :
on distingue encore trois zones AB, BC et CD. Dans la zone AB, parfaitement plastique, la
contrainte reste constante et l’allongement se poursuit jusqu’en B. Entre B et C, zone
d’écrouissage, le matériau subit un changement de structure qui accroît sa résistance. Le
point C, auquel correspond la résistance maximale Rm, marque la fin de cette zone. Enfin,
entre C et D, l’éprouvette subit une striction amenant une diminution de la section avec
étranglement. La rupture se produit au point D, auquel correspond la résistance à la
rupture Rr.
:L’allongement relatif
𝜖 =
∆𝑙
𝑙0
:L’allongement absolu
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 48
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Traction
: est le coefficient de proportionnalité appelé module d’élasticité
ou module de YOUNG.
𝐸
Thomas Young
– 1773 à 1829;
– Médecin et physicien anglais;
– Connu pour son expérience des fentes
de Young (interférence lumineuse).
Il représente une caractéristique mécanique du matériau déterminé
expérimentalement.
Comme conduit à la déformation relative de même
engendrent des déformations relatives
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑦.
𝜖𝑥
La relation entre contrainte tangentielle est déformations relatives :
𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
Ou G est le coefficient de proportionnalité appelé module
d’élasticité transversal.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 49
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Traction
𝜖 =
𝜎
𝐸
La loi de Hooke :
Elle définie La relation contrainte-déformation qui traduit la
dépendance linéaire des déformations par rapport aux
contraintes.
Robert Hooke
– 1635 à 1703;
– Astronome, mathématicien et physicien
anglais;
– Contemporain de Isaac Newton;
– S’oppose à Newton sur le modèle de la
lumière.
Loi de Hooke généralisée:
La loi de Hooke généralisée traduit les relations linéaires entre
contraintes et déformations dans le cas tridimensionnel.
Considérons les déformations normales de l’élément (fig).
𝜖𝑥, 𝜖𝑦, 𝜖𝑧
Chaque contrainte normale provoque selon son axe
d’application une déformation relative: 𝜖 =
𝜎
𝐸
Et suivant les deux autres axes, des déformations relatives:
 est le coefficient de poisson sans dimensions
𝜖′
= −𝑣
𝜎
𝐸
0 ≤ 𝑣 ≤ 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 50
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Traction
𝜖𝑦 =
1
𝐸
𝜎𝑦 − 𝑣 𝜎𝑥 + 𝜎𝑧
𝜖𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
− 𝑣
𝜎𝑦
𝐸
−𝑣
𝜎𝑧
𝐸
=
1
𝐸
𝜎𝑥 − 𝑣 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
Donc:
De même façon :
𝜖𝑧 =
1
𝐸
𝜎𝑧 − 𝑣 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
Ces équations représentent la loi de Hooke généralisée caractérisée par les constantes
élastiques E, G et  :
𝐺 =
𝐸
2 1 + 𝑣
Conditions de résistance (Contrainte admissible ) :
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur
limite appelée contrainte pratique à l'extension pe.
On a : 𝜎𝑝𝑒 ≤
𝜎𝑒
𝑠
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁
𝑆
< 𝜎𝑝𝑒
S est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.
Matériau ductile: Matériau fragile:
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas
dépasser le seuil précédent, soit :
1,4 ≤ 𝑠 ≤ 1,6 2,5 ≤ 𝑠 ≤ 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 51
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Exercice :
Reprenons l’exemple du tirant ; si on impose une
contrainte admissible de 100 MPa, déterminons le
diamètre d minimal pour la construction de celui-
ci et les coefficients de sécurité adoptés. Rappel :
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
𝑆
=
62000
𝜋𝑑2
4
≤ 100 → 𝑑2
≥
62000 × 4
100𝜋
après calcul : d  28,l mm.
Exercice :
Pour contrôler la charge d’un avion, on place des jauges
de contraintes sur le train d’atterrissage. Une jauge, collée
sur un pied de forme tubulaire donne les indications
suivantes :
1=0.00068 1 en position déchargée et 2=0.00136 en
charge.
Déterminer la charge supplémentaire si E = 75 GPa.
𝜖1 =
𝑁1
𝑆𝐸
𝑒𝑡𝜖2 =
𝑁2
𝑆𝐸
→ 𝜖2 −𝜖1 =
𝑁2 − 𝑁1
𝑆𝐸
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 52
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Exercice :
Sollicitations dues a la variation de température
L’effet de température se manifeste sous forme de déformations (dilatation et
rétrécissement) des éléments. Ces déformations induisent des contraintes supplémentaires.
avec
𝜖 = 𝛼∆𝑇 𝜖𝑥 = 𝜖𝑦 = 𝜖𝑧
 : Coefficient de dilatation thermique (1/°c)
Cuivre :
Acier :
Béton:
19,1 × 10−6
/°𝑐
12 × 10−6
/°𝑐
11 × 10−6
/°𝑐
∆𝜖 =
∆𝑁
𝑆𝐸
→ ∆𝑁 = SE∆𝜖 =
𝜋
4
𝑑2
2
− 𝑑1
2
𝐸∆𝜖 =
𝜋
4
2002
− 1882
× 75 × 0,68 = 186497,5𝑁
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 53
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Systèmes de barres isostatiques :
Un système est isostatique quand on peut déterminer les efforts internes par les seules
équations d’équilibre.
𝑁 + 400 = 0 → 𝑁 = −400𝑘𝑁
Exemple :
Déterminer les efforts, les contraintes et les déformations dans les
différents tronçons de la colonne sachant que d1-1=50 mm, d2-2=100
mm, d3-3=200 mm et E=2.1105 N/mm2.
Section 1-1 :
𝜎 =
𝑁
𝑆
=
−400 × 103
𝜋 × 252
= −203,7 𝑁/𝑚𝑚2
∆𝐿𝐴𝐵=
𝜎𝐿
𝐸
=
−203,7 × 3000
2,1 × 105
= −2,91 𝑚𝑚
mm
E
L
L
mm
N
S
N
KN
N
N
BC 55
.
2
/
3
.
178
50
.
10
.
1400
1400
0
500
2
400
2
2
3



















𝑁 + 400 + 2 × 500 = 0 → 𝑁 = −1400𝑘𝑁
Section 2-2 :
𝜎 =
𝑁
𝑆
=
−1400 × 103
𝜋 × 502
= −178, 3 𝑁/𝑚𝑚2
∆𝐿𝐵𝐶= −2,55 𝑚𝑚
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 54
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Systèmes de barres isostatiques :
Section 3-3 :
𝑁 + 400 + 2 × 500 + 2 × 800 = 0 → 𝑁 = −3000𝑘𝑁
𝜎 =
𝑁
𝑆
=
−3000 × 103
𝜋 × 1002
= −95,5 𝑁/𝑚𝑚2
∆𝐿𝐶𝐷= −1,36 𝑚𝑚
∆𝐿𝑇𝑜𝑡= −2,91 − 2,55 − 1,36 = −6,82 𝑚𝑚
Systèmes de barres hyperstatiques :
Un système est isostatique quand on ne peut pas déterminer les efforts
internes par équations statiques uniquement.
La résolution s’effectue en considérant :
• Aspect statique: écrire les équations d’équilibre,
• Aspect géométrique: établir le rapport entre les déformations à partir de la compatibilité
géométrique.
• Aspect physique: transformer les expressions de déformations en équations ayant les efforts
normaux comme inconnus.
• Résolution du système d’équations
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 55
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Exemple :
Soit le système de barres , étant données: L1, S1, L2, S2, L3, S3, P et 
avec L2 = L3
Déterminer les efforts normaux dans les barres.
Aspect statique:
𝑁2𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑁3𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 → 𝑁2 = 𝑁3 1
𝐹𝑥 = 𝑁 = 0
𝑁1 + 𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑁3𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑃 = 0
→ 𝑁1 + 2𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃 2
𝐹𝑦 = 𝑁 = 0
Aspect géométrique:
∆𝐿2 = ∆𝐿3 = ∆𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼 3
Aspect physique:
∆𝐿1 =
𝑁1𝐿1
𝐸𝑆
et ∆𝐿2 =
𝑁2𝐿2
𝐸𝑆
4
En substituant (4) dans (3) on obtient:
𝑁2𝐿2
𝐸𝑆
=
𝑁1𝐿1
𝐸𝑆
𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑁2𝐿2 = 𝑁1𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 56
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
→ 𝑁1 +2𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃 6
synthèse et résolution des équations:
On élimine N3 de (2)
De (5) on tire 𝑁1 = 𝑁2
𝐿2
𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼
7
En combinant (6) et (7) on aura: 𝑁1 =
𝑃
1 + 2𝑐𝑜𝑠3𝛼
𝑒𝑡 𝑁2 = 𝑁3 =
𝑃𝑐𝑜𝑠2
𝛼
1 + 2𝑐𝑜𝑠3𝛼
Cas d’une enveloppe cylindrique mince :
Soit un réservoir cylindrique (E) de diamètre intérieur d , de
longueur l et d’épaisseur e avec p la pression effective à
l’intérieur du réservoir.
Le repère est le repère des sollicitations S est l’aire
de la section fictive par le plan donc S = 2el .
Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une
sollicitation d’extension telle que :
𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑥, 𝑦
𝑁 = 𝑝 ∙ 𝑙 ∙ 𝑑 𝜎 =
𝑝 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑒
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 57
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
Cas d’une enveloppe sphérique mince :
Soit un réservoir sphérique (E) de diamètre intérieur d et d’épaisseur e avec p la pression
effective à l’intérieur du réservoir.
Le repère est le repère des sollicitations S est l’aire de la section fictive par le plan
donc S = del .
Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une sollicitation d’extension telle
que :
𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑁 = 𝜋
𝑑2
4
𝜎 =
𝑝 ∙ 𝑑
4 ∙ 𝑒
𝑆 = 𝜋𝑑𝑒
Concentration de contraintes
Lorsque les poutres étudiées présentent de
brusques variations de sections (trous, gorges,
épaulements…), la relation  = N /S n’est plus
applicable. En effet, au voisinage du
changement de section, la répartition des
contraintes n’est plus uniforme et présente des
extremums. Le maximum est atteint pour les
points situés à proximité des variations : on dit
qu’il y a concentration de contraintes en ces
points. La valeur de la contrainte est alors
donnée par :
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝑡𝜎0 𝜎0 =
𝑁
𝑆
kt est appelé le coefficient de concentration de contraintes.
Il dépend de la forme de la section et du type de la variation
(voir tableaux abaques).
Des méthodes analytiques ou expérimentales (photoélasticité) permettent de déterminer la valeur
maximale max de la contrainte. À partir de cette valeur et de la valeur nominale nom calculée le
facteur Kt est défini comme:
Après la réalisation de plusieurs essais avec différents forme s des pièces on obtient les
abaques.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTA Cours RDM 58
Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression
𝑘𝑡 =
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑛𝑜𝑚
5
.
1

t
K
D
max

r
d

Contenu connexe

Tendances

Ii propriétés des fluides
Ii   propriétés des fluidesIi   propriétés des fluides
Ii propriétés des fluides
Zahir Hadji
 
Représentation graphique des routes
Représentation graphique des routesReprésentation graphique des routes
Représentation graphique des routes
Adel Nehaoua
 
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELSSBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
Marwan Sadek
 
Hydrologie Des Bassins
Hydrologie Des BassinsHydrologie Des Bassins
Hydrologie Des Bassins
OURAHOU Mohamed
 
METHODE CBR
METHODE CBR METHODE CBR
METHODE CBR
Ghiles MEBARKI
 
Construction des routes [Enregistrement automatique]1.pptx
Construction des routes [Enregistrement automatique]1.pptxConstruction des routes [Enregistrement automatique]1.pptx
Construction des routes [Enregistrement automatique]1.pptx
MeryAme3
 
Chap traction simple 1
Chap traction  simple 1Chap traction  simple 1
Chap traction simple 1
Zahir Hadji
 
Analyse de structure i4
Analyse de structure i4Analyse de structure i4
Notions mecanique-des-fluides
Notions mecanique-des-fluidesNotions mecanique-des-fluides
Notions mecanique-des-fluides
Zahir Hadji
 
Metre de batiment et tp
Metre de batiment et tpMetre de batiment et tp
Metre de batiment et tp
Chouaib Moula
 
Renforcement par chemisage en beton
Renforcement par chemisage en beton Renforcement par chemisage en beton
Renforcement par chemisage en beton
ILYES MHAMMEDIA
 
Travaux-de-Terrassement.pdf
Travaux-de-Terrassement.pdfTravaux-de-Terrassement.pdf
Travaux-de-Terrassement.pdf
NestaNesta2
 
Présentation du phénomène de liquéfaction
Présentation du phénomène de liquéfactionPrésentation du phénomène de liquéfaction
Présentation du phénomène de liquéfaction
Ghiles MEBARKI
 
Analyse granulometrique par tamisage
Analyse granulometrique par tamisageAnalyse granulometrique par tamisage
Analyse granulometrique par tamisage
Ahmed Touati
 
Gestion De Chantier
Gestion De ChantierGestion De Chantier
Gestion De Chantier
OURAHOU Mohamed
 
15 poteau-2
15 poteau-215 poteau-2
15 poteau-2
Smee Kaem Chann
 
Cours Sciences des Matériaux 2010 2011
Cours Sciences des Matériaux 2010 2011Cours Sciences des Matériaux 2010 2011
Cours Sciences des Matériaux 2010 2011
Ali Khalfallah
 
Caractéristiques géométriques des routes
Caractéristiques géométriques des routesCaractéristiques géométriques des routes
Caractéristiques géométriques des routes
Adel Nehaoua
 

Tendances (20)

Ii propriétés des fluides
Ii   propriétés des fluidesIi   propriétés des fluides
Ii propriétés des fluides
 
Représentation graphique des routes
Représentation graphique des routesReprésentation graphique des routes
Représentation graphique des routes
 
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELSSBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
 
Hydrologie Des Bassins
Hydrologie Des BassinsHydrologie Des Bassins
Hydrologie Des Bassins
 
METHODE CBR
METHODE CBR METHODE CBR
METHODE CBR
 
Construction des routes [Enregistrement automatique]1.pptx
Construction des routes [Enregistrement automatique]1.pptxConstruction des routes [Enregistrement automatique]1.pptx
Construction des routes [Enregistrement automatique]1.pptx
 
Chap traction simple 1
Chap traction  simple 1Chap traction  simple 1
Chap traction simple 1
 
Analyse de structure i4
Analyse de structure i4Analyse de structure i4
Analyse de structure i4
 
Diaphragme
DiaphragmeDiaphragme
Diaphragme
 
Notions mecanique-des-fluides
Notions mecanique-des-fluidesNotions mecanique-des-fluides
Notions mecanique-des-fluides
 
Les voies express (2)
Les voies express (2)Les voies express (2)
Les voies express (2)
 
Metre de batiment et tp
Metre de batiment et tpMetre de batiment et tp
Metre de batiment et tp
 
Renforcement par chemisage en beton
Renforcement par chemisage en beton Renforcement par chemisage en beton
Renforcement par chemisage en beton
 
Travaux-de-Terrassement.pdf
Travaux-de-Terrassement.pdfTravaux-de-Terrassement.pdf
Travaux-de-Terrassement.pdf
 
Présentation du phénomène de liquéfaction
Présentation du phénomène de liquéfactionPrésentation du phénomène de liquéfaction
Présentation du phénomène de liquéfaction
 
Analyse granulometrique par tamisage
Analyse granulometrique par tamisageAnalyse granulometrique par tamisage
Analyse granulometrique par tamisage
 
Gestion De Chantier
Gestion De ChantierGestion De Chantier
Gestion De Chantier
 
15 poteau-2
15 poteau-215 poteau-2
15 poteau-2
 
Cours Sciences des Matériaux 2010 2011
Cours Sciences des Matériaux 2010 2011Cours Sciences des Matériaux 2010 2011
Cours Sciences des Matériaux 2010 2011
 
Caractéristiques géométriques des routes
Caractéristiques géométriques des routesCaractéristiques géométriques des routes
Caractéristiques géométriques des routes
 

Similaire à Cours RDM_Hypothèses et lois.pptx

Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigésRésistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Hani sami joga
 
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.pptAnalyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
ArmandKambire
 
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
m.a bensaaoud
 
Resistancemateriaux ecole de fribourg
Resistancemateriaux ecole de fribourgResistancemateriaux ecole de fribourg
Resistancemateriaux ecole de fribourg
jean péguy thong likeng
 
Dynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL Multiphysics
Dynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL MultiphysicsDynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL Multiphysics
Dynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL Multiphysics
AlexanderABANOBI
 
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdfpolycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
dayzen1
 
MSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdf
MSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdfMSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdf
MSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdf
rimamek2016
 
Résistance des Matérieaux
Résistance des Matérieaux Résistance des Matérieaux
Résistance des Matérieaux
Thim Mengly(ម៉េងលី,孟李)
 
Pourquoi_armer_le_beton.pdf
Pourquoi_armer_le_beton.pdfPourquoi_armer_le_beton.pdf
Pourquoi_armer_le_beton.pdf
sabdou
 
Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité
Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalitéRésistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité
Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité
Abdelkader SAFA
 
Physique terminale s tome 1
Physique terminale s tome 1Physique terminale s tome 1
Physique terminale s tome 1
Chaambane Mohamed Soibaha
 
Rd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiauxRd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiaux
Beni Ludger
 
Rapport
RapportRapport
Cahier Meca 3 ST Part 2/2
Cahier Meca 3 ST Part 2/2Cahier Meca 3 ST Part 2/2
Cahier Meca 3 ST Part 2/2
Mohamed Mtaallah
 
Flexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxFlexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptx
SimoMagri
 
Comportement cyclique acier
Comportement cyclique acierComportement cyclique acier
Comportement cyclique acier
Sami Sahli
 
Cours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyy
Cours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyyCours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyy
Cours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyy
raphaelbibe1
 
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Mohamed Nader Dallaj
 
Resistance des materiaux (2)
Resistance des materiaux (2)Resistance des materiaux (2)
Resistance des materiaux (2)
Blerivinci Vinci
 

Similaire à Cours RDM_Hypothèses et lois.pptx (20)

Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigésRésistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
 
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.pptAnalyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
 
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
 
Resistancemateriaux ecole de fribourg
Resistancemateriaux ecole de fribourgResistancemateriaux ecole de fribourg
Resistancemateriaux ecole de fribourg
 
Dynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL Multiphysics
Dynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL MultiphysicsDynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL Multiphysics
Dynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL Multiphysics
 
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdfpolycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
 
MSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdf
MSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdfMSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdf
MSD Chapitre 3 - V decembre 20277770.pdf
 
Résistance des Matérieaux
Résistance des Matérieaux Résistance des Matérieaux
Résistance des Matérieaux
 
Pourquoi_armer_le_beton.pdf
Pourquoi_armer_le_beton.pdfPourquoi_armer_le_beton.pdf
Pourquoi_armer_le_beton.pdf
 
Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité
Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalitéRésistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité
Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité
 
Physique terminale s tome 1
Physique terminale s tome 1Physique terminale s tome 1
Physique terminale s tome 1
 
Rd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiauxRd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiaux
 
Rapport
RapportRapport
Rapport
 
Cahier Meca 3 ST Part 2/2
Cahier Meca 3 ST Part 2/2Cahier Meca 3 ST Part 2/2
Cahier Meca 3 ST Part 2/2
 
Rapport
RapportRapport
Rapport
 
Flexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxFlexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptx
 
Comportement cyclique acier
Comportement cyclique acierComportement cyclique acier
Comportement cyclique acier
 
Cours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyy
Cours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyyCours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyy
Cours RDM Polytechnique 23-24.gyguuigyffyy
 
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
 
Resistance des materiaux (2)
Resistance des materiaux (2)Resistance des materiaux (2)
Resistance des materiaux (2)
 

Cours RDM_Hypothèses et lois.pptx

  • 1. Cours résistance des matériaux ECOLE SUPÉRIEURE DES TECHNIQUES AÉRONAUTIQUES Réalisé par : Lnt/col GHAOUI Driss 1
  • 3. Objectif de La RDM De façon générale, Mécanique = étude des effets d’actions extérieures sur des solides et fluides. Choix d’une modélisation = fonction de l’application, des objectifs visés, des hypothèses fixées… Exemple : étude dynamique du mouvement d’un pendule  méca. des solides rigides En mécanique des solides déformables, on étudie ▪ les déplacements relatifs entre points d’un solide (notion de déformations) ▪ les efforts intérieurs associés (notion de contraintes) L’objectif est de déterminer, par le calcul, des pièces de machine, des éléments de structures : ▪ Dimensionner ces pièces (objectifs d’économie) ▪ Vérifier leur tenue mécanique (déformations / contraintes limites imposées) RDM = Etude des déformations, déplacements et contraintes d’objets de forme simple. Dans la cadre de ce cours, des poutres. Elle est issue de la théorie, plus générale, de la Mécanique des Milieux Continus. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 3 Introduction à la RDM Objet de la RDM
  • 4. Champ d’application de la RDM  Calcul de structures  Bâtiments, charpentes, structures métalliques…  Ouvrages de génie civil…  Squelette structural de systèmes divers  Calcul de pièces mécaniques  Arbres de transmission  Première approche de calculs complexes  Etablir un premier résultat simplement -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 4 Introduction à la RDM Champ d’application de la RDM
  • 5. Objectif du cours  Savoir étudier le comportement d’une structure de type « poutre » sous des actions (simples)…  Calcul des contraintes  Calcul des déformations et déplacements  dans le but de les dimensionner / vérifier  Actions connues + efforts/déplacements admissibles  problème de dimensionnement  Dimensions connues + actions connues  problème de vérification -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 5 Introduction à la RDM Objet du cours
  • 6. Les essais de RDM en aéronautique En aéronautique, la RDM à une importance primordiale. En plein vol, on imagine facilement les conséquences de la rupture d’une pièce. On ne peut pas se permettre de surdimensionner les pièces car le poids de l’avion serait alors trop important. Il faut donc réaliser des calculs et des vérifications très strictes des pièces constitutives d’un avion. Grâce aux progrès dans la connaissance des matériaux et les moyens de calcul et de modélisation des structures, les pièces mécaniques sont de plus en pus fiables. Voici quelques exemples :  Test des ailes  Test du fuselage  Test du train d’atterrissage -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 6 Introduction à la RDM Les essais de RDM en aéronautique
  • 7. objectif  A l’équilibre déterminer les actions de liaison qui sont a priori inconnues.  Principe de la statique Sous l’action des efforts extérieurs, la structure est en équilibre ↔ chaque élément de la structure est en équilibre. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 7 Actions extérieures appliquées  Forces de contact  Ponctuelles  Réparties Introduction à la RDM Statique des structures
  • 8.  Forces de volume Les plus courantes : pesanteur -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 8 Introduction à la RDM Statique des structures Actions de liaison
  • 9. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 9 Introduction à la RDM Statique des structures Remarque sur les charges réparties Charge équivalente à une charge répartie Une charge uniformément répartie sur une longueur L est globalement équivalente à une force ponctuelle : intensité = pL point d’application : milieu
  • 10. Résistance des matériaux Hypothèses et lois 4.1 Le matériau 4.1.1 Continuité de la matière : Lorsqu’on regarde au microscope la coupe d’une pièce en métal, on voit généralement une structure fibreuse, ou quelquefois une structure granulaire. Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont très petites par rapport aux dimensions des plus petites pièces mécaniques qui sont étudiées. On peut alors raisonnablement considérer le matériau comme continu. 4.1.2 Homogénéité : On admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tous points. Cela est à peu près vérifié pour la plupart des métaux, mais il faut savoir que cette hypothèse n’est qu’une grossière approximation pour les matériaux tels que le bois ou le béton. 4.1.3 Isotropie On admet que les matériaux étudiés ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions. Cela est à peu près vrai pour les aciers, mais il faut savoir que cette hypothèse est loin de la réalité pour le bois et les matériaux composites par exemple. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 10
  • 11. Résistance des matériaux Hypothèses et lois 4.2 La géométrie Poutre = volume engendré par une surface S quand G décrit une courbe C. • C = ligne moyenne = courbe des centres de gravité des sections S. • (Si) = sections droites, perpendiculaires localement à C en Gi. Remarque : (S) peut varier le long de C. Repérage Utilisation d’un repère local à chaque section droite (Si). Défini par : tangent à C en Gi. dans le plan de (Si).   x Gi  ,     z G y G i i   , , , hypothèses Elancement Dimensions transversales (Si) petites devant les dimensions longitudinales. Remarque : sinon, autre théories : plaques et coques, ou élasticité. Rayon de courbure : Doivent être limités. Variations de section: Doivent être lentes et continues. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 11
  • 12. Résistance des matériaux Hypothèses et lois 4.3 les forces appliqués Charges concentrées en un point Charge uniformément répartie Le chargement doit être ramenée au niveau de la ligne moyenne. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 12
  • 13. Résistance des matériaux Hypothèses et lois 4.4 les déformations 4.4.1 Hypothèse de Navier – Bernoulli Au cours des déformations, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne. 4.4.2 Hypothèse de Barré de Saint Venant Les résultats de la RDM ne s’appliquent valablement qu’à une distance suffisamment éloignée de la région d’application des forces concentrées. En effet, nous ne pouvons pas, avec les équations de la RDM, calculer les déformations locales autour d’un point d’application d’une force. 4.4.3 Elasticité linéaire Déformation parfaitement réversible -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 13
  • 14. Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) 14
  • 15. 1. Introduction  Passage de l’échelle globale à l’échelle locale  Des efforts extérieurs aux efforts internes But : connaître la répartition de ces efforts Les risques de rupture sont liés aux efforts de cohésion de la matière ! … Et l’objectif de la RDM est de vérifier la tenue mécanique des structures !  principe: On réalise une coupure afin de déterminer le torseur des efforts de cohésion Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 15
  • 16. 2. définitions: Coupure fictive et repère local Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) On considère une coupure fictive de la poutre (E) au niveau de la section Sx de centre de gravité Gx :  (E) est partagée à droite, côté x positif, en (Ed), à gauche, côté x négatif en (Eg),  Le repère (Gx, x, y, z) est le repère local à la section droite (Sx).  Actions extérieures appliquées à (E) : Équilibre statique de la poutre : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 16
  • 17. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Torseur des efforts internes (ou de cohésion ) Isolons le tronçon (Eg) Actions extérieures appliquées à (Eg) : Définition : Le torseur des efforts internes en x est le torseur, en Gx, des actions de (Ed) sur (Eg). Equilibre statique de (Eg) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 17
  • 18. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Eléments de réduction du torseur de cohésion En projection dans le repère local, on définit ainsi : : effort normal N(x) : effort tranchant selon y Ty(x) : effort tranchant selon z Tz(x) : moment de torsion Mt(x) : moment fléchissant selon y Mfy(x) : moment fléchissant selon z Mfz(x) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 18
  • 19. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Cas des problèmes plans Pour les problèmes plans (= ce cours), se réduit à (z composante hors plan): 3. Diagramme des efforts internes Calcul des efforts internes :  Découpage en différents tronçons Selon les actions mécaniques rencontrées Selon la géométrie de la ligne moyenne  Ecrire le PFS sur chaque tronçon dans le repère local Coupure fictive  on isole la partie droite ou gauche Détermination des composantes d’efforts internes grâce au bilan des actions extérieures -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 19
  • 20. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Variation des efforts internes  Etude d’un tronçon de longueur dx Hypothèses : Tranche dx infiniment fine Pas d’actions ponctuelles (St Venant) Seulement des forces réparties : px(x), py(x) (supposées constantes sur dx)  Equilibre du tronçon dx -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 20
  • 21. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) 4. Les différents types de sollicitations  Traction/compression simple  Flexion pure  Flexion simple  Flexion composée  Autres (problèmes non plans) Flexion déviée Torsion pure -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 21
  • 22. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Principe de superposition La réponse de la structure sous l’action de F1 est R1 (contrainte ou déplacement) La réponse de la structure sous l’action de F2 est R2 (contrainte ou déplacement )  La réponse de la structure sous l’action de F1+ F2 sera R1+ R2  Conditions d’application Domaine élastique (pas de pertes d’énergie par frottement etc…) Domaine linéaire (proportionnalité force/déplacements) Forces extérieures indépendantes des déplacements (hypothèses de petites déformations). En bref : les hypothèses de la RDM ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 22
  • 23.  construction des diagrammes des efforts internes d’une poutre Types des poutres: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 23 Poutre simple C'est une poutre reposant sur deux supports; l'appui double et l'appui simple. Les points d'appui sont articulés de façon à ce que les extrémités puissent se mouvoir librement pendant la flexion. Poutre console C'est une poutre encastrée dans un mur à une l'extrémité. L'extrémité encastrée ne bouge pas pendant la flexion, tandis que l'autre extrémité est entièrement libre. On appelle aussi cette poutre, poutre en porte-à- faux ou poutre encastrée à une extrémité. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
  • 24. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 24 Poutre avec porte-à-faux C'est une poutre qui repose sur deux appuis (un simple et l'autre double) et a une ou deux extrémités qui dépassent de façon appréciable les appuis (porte-à-faux). Poutre encastrée et supportée C'est une combinaison des types A et B. On note que la poutre est liée quatre fois (4 inconnues), c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Poutre continue C'est une poutre supportée par plus de deux supports, c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique.
  • 25. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 25 Poutre à double encastrement C'est une poutre supportée par deux encastrement, c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique. Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Poutre supportée à double encastrement C'est une poutre soutenue par deux encastrement et supportée par un ou plusieurs supports, c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique.
  • 26. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 26 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Recherche des efforts en tout point d'une poutre Afin de pouvoir tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants, il faut connaître en tout point de la poutre quelles sont les valeurs de ces efforts et moments. Pour ce, on doit effectuer des coupes dans la poutre afin d'appliquer les équations d'équilibre nous permettant de connaître tous les efforts. Règle à suivre: 1- On se déplace sur la poutre de gauche à droite et on effectue une coupe chaque fois que les conditions de charge changent. C'est-à-dire que l'on effectue une coupe à chaque nouvelle charge. On ne coupe jamais vis-à-vis une charge. 2- Il y a changement en entrant dans la poutre, après une charge concentrée ou réaction d'appui, en entrant dans une charge répartie, en rencontrant une charge concentrée dans une charge distribuée, en quittant une charge distribuée.
  • 27. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 27 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Convention de signes Effort normal (ou axial) N On place toujours l'effort normal en tension sur la coupe. Et si:  N > 0 (ou positif (+)); on a une tension.  N < 0 (ou négatif (-)); on a une compression. Effort tranchant (ou de cisaillement) T  T > 0 (ou positif (+)); si la somme des forces externes (ΣFext) sur la partie de gauche isolée de la poutre agit vers le haut.  T < 0 (ou négatif (-)); si la somme des forces externes (ΣFext) sur la partie de gauche isolée de la poutre agit vers le bas.
  • 28. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 28 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Convention de signes Moment fléchissant (ou de flexion) M  M > 0 (ou positif (+)); si les charges et réactions d'appuis tendent à courber la poutre de sorte que les fibres inférieures soient tendues.  M < 0 (ou négatif (-)); si les charges et réactions d'appuis tendent à courber la poutre de sorte que les fibres supérieures soient tendues.
  • 29. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 29 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Diagrammes de T et M à partir des équations d'équilibre Méthode: 1- Calculer les réactions d'appuis. 2- Déterminer le nombre de coupes à effectuer et délimiter la poutre en sections. 3- Résoudre les conditions d'équilibre pour chaque coupe afin de déterminer comment varie V et M en tout point de la section. 4- Calculer les valeurs aux limites de chaque section. 5- Tracer les diagrammes de V et M à partir des relations trouvées et des conditions aux limites. EXEMPLE : Tracer les diagrammes de T et de M de la poutre illustrée ci-dessous.
  • 30. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 30 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) solution: L'étude des charges nous montre que l'on doit faire 4 coupes dans cette poutre afin de trouver le comportement complet de T et de M. Première étape on décompose les forces et on calcule les réactions d'appuis. 𝑀/𝐴 = 𝟎 → − 𝟏𝟎𝟎 × 𝟑 − 𝟏𝟓𝟎 × 𝟕, 𝟓 + 𝑩 × 𝟏𝟏 = 𝟎 D’où : 𝑩 = 𝟏𝟐𝟗, 𝟓𝟓 𝑵 𝑭𝒙 = 𝟎 → 𝑨𝒙 = 𝟎 𝑭𝒚 = 𝟎 → 𝑨𝒚 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 + 𝑩 = 𝟎 D’où : 𝑨𝒚 = 𝟏𝟐𝟎, 𝟒𝟓 𝑵
  • 31. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 31 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) solution: Maintenant effectuons la première coupe 1: 0  x  3m D’où : 𝑇 = 120,45 𝑁 𝐹𝑥 = 𝑁 = 0 On place toujours l'axe des x selon l'axe de la poutre et son origine au début. La distance jusqu'à la coupe est alors "x". 𝐹𝑦 = 120,45 − 𝑇 = 0 𝑀 = - 120,45𝑥 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = 120,45 𝑥 Une équation linéaire du premier degré. Cette équation est donc celle d'une droite (y = mx + b), où 120,45 est la pente de la droite de M(x). Curieusement on remarque que la pente de M représente la valeur de V. On verra plus loin la relation qu'il existe entre les deux. Vérifions maintenant les conditions aux limites, à savoir à x = 0 et à x = 3 m: 𝑥 = 0 𝑇 = 120,45 𝑁 𝑀 = 120,45 × 0 = 0 𝑥 = 3 𝑇 = 120,45 𝑁 𝑀 = 120,45 × 3 = 361,36 𝑁𝑚
  • 32. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 32 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) solution: Maintenant effectuons la deuxième coupe 2: 3  x  6m D’où : 𝑇 = 20,45 𝑁 𝐹𝑥 = 𝑁 = 0 𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 𝑇 = 0 𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 + 50 𝑥−6 𝑥−6 2 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = −25𝑥2 + 320,45𝑥 − 600 𝑥 = 3 𝑇 = 20,45 𝑁 𝑀 = 20,45 × 3 + 300 = 361,36 𝑁𝑚 𝑥 = 6 𝑇 = 20,45 𝑁 𝑀 = 20,45 × 6 + 300 = 422,73 𝑁𝑚 𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 50 𝑥 − 6 − 𝑇 = 0 𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = 20,45𝑥 + 300 Maintenant effectuons la deuxième coupe 3: 6  x  9m 𝐹𝑥 = 𝑁 = 0 𝑇 = −50𝑥 + 320,45
  • 33. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 33 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) solution: 𝑥 = 6 𝑇 = −50 × 6 + 320,45 = 20,45 𝑁 𝑀 = −25 × 62 +320,45 × 6 − 600 = 422,7 𝑁𝑚 Une équation quadratique du second degré. Cette équation est donc celle d'une parabole (y = a x2 + b x + c). Si vos souvenirs sont bons, on se rappelle que lorsque "a" > 0 la parabole à une concavité vers le haut et lorsque "a" < 0 elle a une concavité vers le bas. Ici, a = -25 donc < 0, la concavité sera donc vers le bas. 𝑥 = 9 𝑇 = −50 × 9 + 320,45 = −129,55 𝑁 𝑀 = −25 × 92 +320,45 × 9 − 600 = 259,05 𝑁𝑚 Cette section est beaucoup plus compliquée que les précédentes, on voit que V varie linéairement passant de 20,45 N à x = 6 m à -129,54 N à x = 9 m tandis que M varie paraboliquement passant de 422,73 Nm à x = 6 m à 259,09 Nm à x = 9 m.
  • 34. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 34 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) solution: Maintenant effectuons la deuxième coupe 4: 9  x  11m 𝑀 = - 120,45𝑥 + 100 𝑥 − 3 + 150 𝑥 − 7,5 + 𝑀 = 0 D’où : 𝑀 = −129,55𝑥 +1425 𝐹𝑦 = 120,45 − 100 − 150 − 𝑇 = 0 𝐹𝑥 = 𝑁 = 0 D’où : 𝑇 = −129,55 𝑁 𝑥 = 9 𝑇 = −129,55 𝑁 𝑀 = −129,55 × 9 + 1425 = 259,09 𝑁𝑚 𝑥 = 11 𝑇 = −129,55 𝑁 𝑀 = −129,55 × 11 + 1425 = 0 traçons maintenant les diagrammes de T et de M. Une seule valeur nous est cependant inconnue. La valeur maximale que prend M entre 6 et 9 m.
  • 35. Diagrammes de T et M -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 35 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) 426,91 422,7 361,36 259,05 3 6 9 11 120,45 20,45 -129,55 ( T ) ( M ) x x voyons tout d'abord la relation qu'il existe entre T et M. On a noté dans la plupart des intervalles que la valeur de T représente la pente de M.
  • 36. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 36 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) 3 150 = 𝑦 20,45 → 𝑦 = 0,409 mathématiquement, on sait que la dérivée d'une équation nous donne sa pente en tout point. Si on observe le diagramme de T dans la section entre 6 et 9 m, on s'aperçoit que T passe par "0". Ce qui signifie que la pente de M prend la valeur "0" entre 6 et 9 m; et on ne peut avoir une pente nulle ou "0" que si on passe par un point maximum ou minimum. Deux façons s'offrent à nous pour trouver quel est justement ce point maximum. Méthode graphique : Méthode mathématique : Si on observe le triangle tirée du diagramme de T. On peut donc dire que: Donc V passe par "0" à : 𝑥 = 6 + 0,409 = 6,409 𝑚 Si on veut la valeur de M, on remplace la valeur de x dans l'équation de M de cette section (coupe 3), pour laquelle T passe par "0" et on obtient: 𝑀 = −25 × 6,4092 +320,45 × 6,409 − 600 = 426,91 𝑁𝑚 Valeur maximale de M. - dériver l'équation de M afin de trouver l'équation de la pente de M en tous points. Et on veut savoir à quel point cette pente est nulle. - le fait que l'équation de T correspond déjà à la dérivée de M, donc si on possède déjà cette équation, on a pas besoin de dériver M. Vérifions si tout cela est vrai.
  • 37. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 37 Résistance des matériaux Torseur des efforts internes (ou de cohésion) mathématiquement, on sait que la dérivée d'une équation nous donne sa pente en tout point. Si on observe le diagramme de T dans la section entre 6 et 9 m, on s'aperçoit que V passe par "0". Ce qui signifie que la pente de M prend la valeur "0" entre 6 et 9 m; et on ne peut avoir une pente nulle ou "0" que si on passe par un point maximum ou minimum. Deux façons s'offrent à nous pour trouver quel est justement ce point maximum. 𝑇 = 𝑑𝑀 𝑑𝑥 = 𝑑 −25𝑥2 + 320,45𝑥 − 600 𝑑𝑥 = −50𝑥 + 320,45 −50𝑥 + 320,45 = 0 → 𝑥 = 6,409 𝑚
  • 38. Résistance des matériaux Notion de contrainte 5. Notion de contrainte  Vecteur contrainte Si un solide est en équilibre sous l’action d’efforts extérieurs, il existe en un point courant M du solide des forces intérieures qui assurent la cohésion interne de ce solide. Ces efforts intérieurs sont appelés contraintes. Divisant le solide en deux parties (I) et (II) par une surface plane Sc quelconque passant par M comme indiqué sur la figure. Écrivons l’équilibre de la partie (I). La section Sc de (I) est munie d’une normale unitaire n, extérieure à (I). La partie (I) est en équilibre sous l’action : – des forces extérieures volumiques qui s’exercent sur toutes les particules de (I) ainsi que des forces réparties ou concentrées qui s’exercent sur la surface SI du solide ; – des forces surfaciques sur Sc représentant l’action de (II) sur (I). On appelle vecteur contrainte en M, relativement à la direction n, le vecteur : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 38 𝐶 𝑀, 𝑛 = lim 𝑑𝑆𝑐→0 = 𝑑𝐹 𝑀 𝑑𝑆𝑐
  • 39. Résistance des matériaux Notion de contrainte  Décomposition du vecteur contrainte Le vecteur contrainte en M sur une facette dSc centrée en M peut être projeté sur la normale n à la facette et dans son plan. On appelle contrainte normale sur dSc : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 39 Il y a quelques cas particuliers intéressants :  si  = 0, la facette dSc est soumise à un cisaillement pur ;  si  = 0, la facette est soumise à une traction ou à une compression pure.  Remarques : Unité SI : Pascal, (Pa): 1 Pa = 1 N/m² (comme la pression). Unité couramment utilisée : Mégapascal (Mpa): 1 MPa = 1 N/mm².  Contrainte normale:  Contrainte tangentielle: 𝐶 𝑀 = 𝜎𝑛 + 𝜏𝑡 σ = 𝑁 𝑆 𝜏𝑧 = 𝑇𝑧 𝑆 𝜏𝑦 = 𝑇𝑦 𝑆
  • 40. Résistance des matériaux Notion de contrainte Relations contraintes  efforts internes Torseur des actions mécaniques sur une facette dS de la section (S) : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 40 𝑑𝐹 𝐺𝑀 × 𝑑𝐹 𝐺 = 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆 𝐺𝑀 × 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆 𝐺 Intégration sur toute la surface de (S) : 𝑒𝑓𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑥 = 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆 𝐺𝑀 × 𝐶 𝑀, 𝑛 𝑑𝑆 𝐺  𝑅𝐺 𝑥 𝑵 𝒙 = 𝜎𝑥𝑑𝑆 𝑻𝒚 𝒙 = 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑆 𝑻𝒛 𝒙 = 𝜏𝑥𝑧𝑑𝑆 𝑀𝐺 𝑥 𝑴𝒕 𝒙 = 𝜏𝑥𝑧𝑦 − 𝜏𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑆 𝑀𝑓𝑦 𝒙 = 𝜎𝑥𝑧 𝑑𝑆 𝑀𝑓𝑧 𝒙 = − 𝜎𝑥𝑦 𝑑𝑆
  • 41. Les sollicitations simples Résistance des matériaux Les sollicitations simples 41
  • 42. Introduction  Etude des sollicitations élémentaires pour identifier leurs conséquences  Traction / compression  Cisaillement  Flexion  Torsion •Le principe de superposition permettra de traiter des sollicitations composées  Objectif : établir les relations effort interne  contrainte / déformation  Répartition et valeur des contraintes dans les sections droites.  Déformée des poutres -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 42 Résistance des matériaux Les sollicitations simples  Sera abordée : première notion de comportement des matériaux « simples » Principe :  Définir les déformations  Définir / établir les hypothèses sur les contraintes  Etablir les relation contraintes / déformation puis déplacements à partir des lois de comportement.
  • 43. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 43 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Définition  Une poutre est soumise à une sollicitation de traction/compression lorsque a la forme : 𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙 𝑒𝑓𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑥 = 𝑁 ∙ 𝑥 0 𝐺 Traction  Remarques : Cas de poutres soumises à deux forces colinéaires, alignées et de sens opposés • N > 0  traction • N < 0  compression −𝑭 𝑭 −𝑭 𝑭 Déformation On appelle déformation le rapport de la variation de longueur sur la longueur de référence : 𝜖𝑥 𝑥 = 𝑑𝑙 𝑑𝑥
  • 44. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 44 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Contrainte  Hypothèses sur la répartition des contraintes On isole un tronçon de poutre soumis à de la traction via une force F Traction Hypothèse (basée sur des résultats expérimentaux et sur l’hypothèse de linéarité contrainte/déformation) : 𝜎𝑥 = 𝑐𝑡𝑒 On retrouve donc l’état de contrainte de la poutre en traction : 𝜎𝑥 = 𝑁 𝑥 𝑆 𝑥 et 𝜏 = 0 𝑐𝑎𝑟 𝑇𝑦 = 0
  • 45. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 45 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Essai de traction: L’essai de traction permet à lui seul de définir les caractéristiques mécaniques courantes utilisées en RDM. La seule connaissance des paramètres de l’essai de traction permet de prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en cisaillement, traction, compression et flexion. Traction Une éprouvette cylindrique éprouvette cylindrique montée dans des mors d’une machine de traction. machine de traction. on applique lentement et progressivement à une éprouvette de forme et dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F.
  • 46. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 46 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Le graphe représente la courbe classique (conventionnelle) de traction Traction La striction est une déformation localisée 
  • 47. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 47 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Traction Zone élastique OA : l’éprouvette se comporte élastiquement (comme un ressort) et revient toujours à sa longueur initiale dès que la charge est relâchée. Le point A, auquel correspond la limite élastique Re, marque la fin de cette zone. La proportionnalité entre la contrainte σ et la déformation  se traduit par la loi de Hooke . module de Young caractérise la pente de la droite OA . 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖 𝐸 = 𝑡𝑎𝑛 𝛼 Zone de déformation plastique AE : on distingue encore trois zones AB, BC et CD. Dans la zone AB, parfaitement plastique, la contrainte reste constante et l’allongement se poursuit jusqu’en B. Entre B et C, zone d’écrouissage, le matériau subit un changement de structure qui accroît sa résistance. Le point C, auquel correspond la résistance maximale Rm, marque la fin de cette zone. Enfin, entre C et D, l’éprouvette subit une striction amenant une diminution de la section avec étranglement. La rupture se produit au point D, auquel correspond la résistance à la rupture Rr. :L’allongement relatif 𝜖 = ∆𝑙 𝑙0 :L’allongement absolu ∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0
  • 48. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 48 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Traction : est le coefficient de proportionnalité appelé module d’élasticité ou module de YOUNG. 𝐸 Thomas Young – 1773 à 1829; – Médecin et physicien anglais; – Connu pour son expérience des fentes de Young (interférence lumineuse). Il représente une caractéristique mécanique du matériau déterminé expérimentalement. Comme conduit à la déformation relative de même engendrent des déformations relatives 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦. 𝜖𝑥 La relation entre contrainte tangentielle est déformations relatives : 𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 𝐺 Ou G est le coefficient de proportionnalité appelé module d’élasticité transversal.
  • 49. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 49 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Traction 𝜖 = 𝜎 𝐸 La loi de Hooke : Elle définie La relation contrainte-déformation qui traduit la dépendance linéaire des déformations par rapport aux contraintes. Robert Hooke – 1635 à 1703; – Astronome, mathématicien et physicien anglais; – Contemporain de Isaac Newton; – S’oppose à Newton sur le modèle de la lumière. Loi de Hooke généralisée: La loi de Hooke généralisée traduit les relations linéaires entre contraintes et déformations dans le cas tridimensionnel. Considérons les déformations normales de l’élément (fig). 𝜖𝑥, 𝜖𝑦, 𝜖𝑧 Chaque contrainte normale provoque selon son axe d’application une déformation relative: 𝜖 = 𝜎 𝐸 Et suivant les deux autres axes, des déformations relatives:  est le coefficient de poisson sans dimensions 𝜖′ = −𝑣 𝜎 𝐸 0 ≤ 𝑣 ≤ 5
  • 50. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 50 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Traction 𝜖𝑦 = 1 𝐸 𝜎𝑦 − 𝑣 𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 𝜖𝑥 = 𝜎𝑥 𝐸 − 𝑣 𝜎𝑦 𝐸 −𝑣 𝜎𝑧 𝐸 = 1 𝐸 𝜎𝑥 − 𝑣 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 Donc: De même façon : 𝜖𝑧 = 1 𝐸 𝜎𝑧 − 𝑣 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 Ces équations représentent la loi de Hooke généralisée caractérisée par les constantes élastiques E, G et  : 𝐺 = 𝐸 2 1 + 𝑣 Conditions de résistance (Contrainte admissible ) : Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension pe. On a : 𝜎𝑝𝑒 ≤ 𝜎𝑒 𝑠 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝑁 𝑆 < 𝜎𝑝𝑒 S est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application. Matériau ductile: Matériau fragile: La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit : 1,4 ≤ 𝑠 ≤ 1,6 2,5 ≤ 𝑠 ≤ 3
  • 51. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 51 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Exercice : Reprenons l’exemple du tirant ; si on impose une contrainte admissible de 100 MPa, déterminons le diamètre d minimal pour la construction de celui- ci et les coefficients de sécurité adoptés. Rappel : 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑁 𝑆 = 62000 𝜋𝑑2 4 ≤ 100 → 𝑑2 ≥ 62000 × 4 100𝜋 après calcul : d  28,l mm. Exercice : Pour contrôler la charge d’un avion, on place des jauges de contraintes sur le train d’atterrissage. Une jauge, collée sur un pied de forme tubulaire donne les indications suivantes : 1=0.00068 1 en position déchargée et 2=0.00136 en charge. Déterminer la charge supplémentaire si E = 75 GPa. 𝜖1 = 𝑁1 𝑆𝐸 𝑒𝑡𝜖2 = 𝑁2 𝑆𝐸 → 𝜖2 −𝜖1 = 𝑁2 − 𝑁1 𝑆𝐸
  • 52. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 52 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Exercice : Sollicitations dues a la variation de température L’effet de température se manifeste sous forme de déformations (dilatation et rétrécissement) des éléments. Ces déformations induisent des contraintes supplémentaires. avec 𝜖 = 𝛼∆𝑇 𝜖𝑥 = 𝜖𝑦 = 𝜖𝑧  : Coefficient de dilatation thermique (1/°c) Cuivre : Acier : Béton: 19,1 × 10−6 /°𝑐 12 × 10−6 /°𝑐 11 × 10−6 /°𝑐 ∆𝜖 = ∆𝑁 𝑆𝐸 → ∆𝑁 = SE∆𝜖 = 𝜋 4 𝑑2 2 − 𝑑1 2 𝐸∆𝜖 = 𝜋 4 2002 − 1882 × 75 × 0,68 = 186497,5𝑁
  • 53. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 53 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Systèmes de barres isostatiques : Un système est isostatique quand on peut déterminer les efforts internes par les seules équations d’équilibre. 𝑁 + 400 = 0 → 𝑁 = −400𝑘𝑁 Exemple : Déterminer les efforts, les contraintes et les déformations dans les différents tronçons de la colonne sachant que d1-1=50 mm, d2-2=100 mm, d3-3=200 mm et E=2.1105 N/mm2. Section 1-1 : 𝜎 = 𝑁 𝑆 = −400 × 103 𝜋 × 252 = −203,7 𝑁/𝑚𝑚2 ∆𝐿𝐴𝐵= 𝜎𝐿 𝐸 = −203,7 × 3000 2,1 × 105 = −2,91 𝑚𝑚 mm E L L mm N S N KN N N BC 55 . 2 / 3 . 178 50 . 10 . 1400 1400 0 500 2 400 2 2 3                    𝑁 + 400 + 2 × 500 = 0 → 𝑁 = −1400𝑘𝑁 Section 2-2 : 𝜎 = 𝑁 𝑆 = −1400 × 103 𝜋 × 502 = −178, 3 𝑁/𝑚𝑚2 ∆𝐿𝐵𝐶= −2,55 𝑚𝑚
  • 54. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 54 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Systèmes de barres isostatiques : Section 3-3 : 𝑁 + 400 + 2 × 500 + 2 × 800 = 0 → 𝑁 = −3000𝑘𝑁 𝜎 = 𝑁 𝑆 = −3000 × 103 𝜋 × 1002 = −95,5 𝑁/𝑚𝑚2 ∆𝐿𝐶𝐷= −1,36 𝑚𝑚 ∆𝐿𝑇𝑜𝑡= −2,91 − 2,55 − 1,36 = −6,82 𝑚𝑚 Systèmes de barres hyperstatiques : Un système est isostatique quand on ne peut pas déterminer les efforts internes par équations statiques uniquement. La résolution s’effectue en considérant : • Aspect statique: écrire les équations d’équilibre, • Aspect géométrique: établir le rapport entre les déformations à partir de la compatibilité géométrique. • Aspect physique: transformer les expressions de déformations en équations ayant les efforts normaux comme inconnus. • Résolution du système d’équations
  • 55. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 55 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Exemple : Soit le système de barres , étant données: L1, S1, L2, S2, L3, S3, P et  avec L2 = L3 Déterminer les efforts normaux dans les barres. Aspect statique: 𝑁2𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑁3𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 → 𝑁2 = 𝑁3 1 𝐹𝑥 = 𝑁 = 0 𝑁1 + 𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑁3𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑃 = 0 → 𝑁1 + 2𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃 2 𝐹𝑦 = 𝑁 = 0 Aspect géométrique: ∆𝐿2 = ∆𝐿3 = ∆𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼 3 Aspect physique: ∆𝐿1 = 𝑁1𝐿1 𝐸𝑆 et ∆𝐿2 = 𝑁2𝐿2 𝐸𝑆 4 En substituant (4) dans (3) on obtient: 𝑁2𝐿2 𝐸𝑆 = 𝑁1𝐿1 𝐸𝑆 𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑁2𝐿2 = 𝑁1𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼 5
  • 56. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 56 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression → 𝑁1 +2𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃 6 synthèse et résolution des équations: On élimine N3 de (2) De (5) on tire 𝑁1 = 𝑁2 𝐿2 𝐿1𝑐𝑜𝑠𝛼 7 En combinant (6) et (7) on aura: 𝑁1 = 𝑃 1 + 2𝑐𝑜𝑠3𝛼 𝑒𝑡 𝑁2 = 𝑁3 = 𝑃𝑐𝑜𝑠2 𝛼 1 + 2𝑐𝑜𝑠3𝛼 Cas d’une enveloppe cylindrique mince : Soit un réservoir cylindrique (E) de diamètre intérieur d , de longueur l et d’épaisseur e avec p la pression effective à l’intérieur du réservoir. Le repère est le repère des sollicitations S est l’aire de la section fictive par le plan donc S = 2el . Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une sollicitation d’extension telle que : 𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦 𝑁 = 𝑝 ∙ 𝑙 ∙ 𝑑 𝜎 = 𝑝 ∙ 𝑑 2 ∙ 𝑒
  • 57. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 57 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression Cas d’une enveloppe sphérique mince : Soit un réservoir sphérique (E) de diamètre intérieur d et d’épaisseur e avec p la pression effective à l’intérieur du réservoir. Le repère est le repère des sollicitations S est l’aire de la section fictive par le plan donc S = del . Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une sollicitation d’extension telle que : 𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑁 = 𝜋 𝑑2 4 𝜎 = 𝑝 ∙ 𝑑 4 ∙ 𝑒 𝑆 = 𝜋𝑑𝑒 Concentration de contraintes Lorsque les poutres étudiées présentent de brusques variations de sections (trous, gorges, épaulements…), la relation  = N /S n’est plus applicable. En effet, au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n’est plus uniforme et présente des extremums. Le maximum est atteint pour les points situés à proximité des variations : on dit qu’il y a concentration de contraintes en ces points. La valeur de la contrainte est alors donnée par : 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝑡𝜎0 𝜎0 = 𝑁 𝑆
  • 58. kt est appelé le coefficient de concentration de contraintes. Il dépend de la forme de la section et du type de la variation (voir tableaux abaques). Des méthodes analytiques ou expérimentales (photoélasticité) permettent de déterminer la valeur maximale max de la contrainte. À partir de cette valeur et de la valeur nominale nom calculée le facteur Kt est défini comme: Après la réalisation de plusieurs essais avec différents forme s des pièces on obtient les abaques. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESTA Cours RDM 58 Résistance des matériaux Les sollicitations simples/traction_compression 𝑘𝑡 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑛𝑜𝑚 5 . 1  t K D max  r d