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MECANIQUE
DES
ROCHES
II
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LES
APPLICATIONS
EXCAVATIONS
SOUTERRAINES
EXCAVATIONS SOUTERRAINES
EXERCICE 1
Soit un tunnel circulaire de rayon a construit dans un massif siège d’un champ de
contraintes initiales. On suppose que le champ de contraintes initiales est hydrostatique.
La répartition des contraintes autour du tunnel est donnée par la solution de Kirsch (Cf.
Annexe 1).
1) Montrez que la contrainte ortho-radiale sera le double de la contrainte radiale pour
a
r 3
;
On suppose que le tunnel est construit dans un massif ou règne un champ de contraintes
initiales
H
V
; , tel que la contrainte ortho-radiale au point D est deux fois
supérieure à celle au point C (Figure 1).
2) Déterminez la valeur de
V
H
;
3) Déterminez les valeurs de
V
aux points A etB .
Figure 1
EXERCICE 2
Un tunnel de section circulaire est creusé dans un massif à une profondeurH . Le massif
est soumis initialement au champ de contraintes
H
V
h
1
1
. On
suppose que 0
.
Sa conception nécessite la prise en compte de facteurs de sécurité à long terme. Les
facteurs retenus pour la traction et la compression sont 8
St
F et 4
Sc
F
respectivement.
Les résistances in situ « C
R : résistance à la compression et t
R : résistance à la traction »
et le poids volumique des terrains sont définis comme suit :
3
025
.
0
10
165
m
MN
MPa
R
MPa
R
t
C
1) Quelle est la profondeur maximale max
H possible assurant la stabilité à long terme
du tunnel ?
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EXERCICE 3
Soit un puits vertical de section circulaire (Figure 2). A la profondeur m
H 850
, les
contraintes principales sont orientées W
E et S
N . Ces contraintes orientées W
E
et S
N sont égales à MPa
40 et MPa
15 respectivement. On suppose que le gradient
de la contrainte verticale le long du puits égal à
1
027
.
0
m
MPa .
1) A la profondeur m
H 850
, calculer la contrainte
verticale et les contraintes minimale et maximale
aux parements du puits.
Figure 2
EXERCICE 4
Soit un massif rocheux soumis initialement à un champ de contrainte défini comme suit :
0
h
v P
On y prévoit de creuser une excavation circulaire de
rayon a (Figure 3).
Pour comprendre le report des charges autour de cette
excavation, on s’intéresse pour des raisons de
commodité au plan horizontal passant par le centre de
l’excavation. On note S la surface du plan horizontal
passant par le centre de l’excavation.
Figure 3
On note S la surface du plan horizontal passant par le centre de l’excavation.
1) Quelle est la charge verticale qui s’exerce sur ce plan avant le creusement de
l’excavation ?
2) Etablir l'expression de la contrainte verticale le long de l'axe horizontale ;
3) Avant et après le creusement, tracer la variation de la contrainte verticale le long du
plan horizontal. Interprétez ces résultats ;
4) Etablir l'expression de la contrainte verticale due au creusement de la cavité ;
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5) Calculer la charge totale libérée par le creusement de la cavité ;
6) Déterminer l’expression de la charge reportée à une distance R à partir du centre de
la cavité ;
7) Calculer la charge totale reportée, quand
R ;
8) Tracer l'évolution du rapport
libérée
totale
e
ch
reportée
e
ch
arg
arg
en fonction de r ;
9) Application numérique : a
R 3
et a
R 5
.
EXERCICE 5
A une profondeur m
H 450
, un tunnel circulaire de diamètre m
d 3
1 est creusé dans
une roche de poids volumique 3
/
26 m
KN
et des résistances à la compression uni-
axiale MPa
Rc 60
et à la traction MPa
Rt 3
.
1) Prédire la réponse de la roche aux parements du tunnel si 3
.
0
k et 5
.
2
k ;
2) Un second tunnel, de m
d 6
2 de diamètre, est ensuite creusé parallèlement au
premier. Les deux excavations situées au même niveau ont un entraxe m
10
. Pour
les deux champs de contraintes initiales précités, analyser la stabilité des deux
tunnels.
Hypothèse : On suppose que la zone d’influence d’une excavation est définie par :
tunnel
du
rayon
a
a
r
:
20
%
5
EXERCICE 6
Soit une galerie circulaire de rayon a creusée dans un massif rocheux homogène et
élastique. On suppose qu’elle est creusée à une profondeur H suffisante pour que l’on
puisse admettre que le champ de contraintes initiales est homogène dans la zone proche
de la cavité (Figure 4).
r
: Contrainte radiale
: Contrainte ortho-radiale
r : Contrainte de cisaillement
V
H
V
k
P
0
Figure 4 : Contrainte autour d’une galerie
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La zone d’influence est définie par la relation suivante :
Situ
In
Situ
In
Induced
Pour déterminer l’étendue de la zone d’influence pour une direction quelconque, on se
propose de résoudre l’équation :
r
Situ
In
Induced
Situ
In
Situ
In
Induced
On demande :
1) L’expression de Situ
In
;
2) L’expression simplifiée de
Situ
In
Situ
In
Induced
;
3) Applications numériques : Déterminer l’étendue de la zone d’influence pour 0
et
2
. On suppose que 5
.
0
k et %
4
;
4) Tracer la zone d’influence de cette cavité. Quelle est sa forme dans le plan et dans
l’espace ?
EXERCICE 7
Soit deux tunnels circulaires 1
T et 2
T de même diamètre m
d 3
(Figure 5), creusées
dans un massif ou règne un champ de contraintes initiales isotropes
MPa
zz
yy
xx 11
. Le centre du tunnel 1
T (Figure 5) est l’origine du repère
choisi. Soit le segment AB de longueur m
14 confondue avec l’axe des abscisses. Le
point Aest situé sur le parement droit du tunnel 1
T . Les caractéristiques élastiques du
massif sont MPa
E 20000
et 25
.
0
.
On suppose que le massif est non pesant et que le long de AB il y a une faille dont le
cisaillement est régi par le critère de Mohr-Coulomb
20
;
0 f
a
f MP
C .
Figure 5
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EXCAVATIONS
SOUTERRAINES
Partie analytique
1) Calculez analytiquement le long de AB (avec un m
pas 125
.
0
), les contraintes
tangentielle et normale ;
2) Calculez le long de AB , l’angle de frottement mobilisé :
normale
e
Contra
gentielle
e
Contra
acrtg
int
tan
int
;
3) Sur le même graphique, tracez le long de AB , les contraintes tangentielle et normale
et l’angle de frottement mobilisé ;
Partie numérique
4) Elaborez un modèle 2D tel que l’on puisse avoir l’état initial et le creusement
simultané des deux tunnels. Mettre en œuvre ce modèle ;
5) Tracez le long de AB , les contraintes tangentielle et normale calculées par éléments
finis ;
6) Tracez le long de AB , l’angle de frottement mobilisé :
normale
e
Contra
gentielle
e
Contra
acrtg
int
tan
int
;
7) Y a-t-il risque de glissement le long de la faille.
NB : Les six courbes doivent être tracées sur le même graphique.
EXERCICE 8
Soit une galerie circulaire de rayon a creusée à une profondeur H dans un massif
rocheux homogène et élastique. On admet que le champ de contraintes initiales est
homogène dans la zone proche de la cavité. Ce champ est caractérisé par 1
k .
Au voisinage de cette cavité se trouve une faille parallèle à celle-ci et de pendage
(Figure 6). La répartition des contraintes autour de la cavité est donnée par la solution
de Kirsch (Cf. Annexe 1).
3
25
60
150
3
5
.
4
m
KN
m
H
m
b
m
a
Figure 6
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EXCAVATIONS
SOUTERRAINES
1) Calculer les contraintes initiales V
et H
;
2) Calculer r
,
et
r aux points A , B et C ;
3) Calculer les contraintes normale et tangentielle aux points A , B et C .
EXERCICE 9
Soit une excavation à section circulaire de rayon m
a 4
, creusée dans un massif
rocheux ou règne un champ de contraintes initiales tel que MPa
P
H
V 9
et
soumise à une pression interne
i
P . On suppose que la rupture de la roche est régie par
le critère de Mohr-Coulomb tel que :
MPa
en
K
MPa
R
K
R
p
c
p
c
3
1
3
1
;
4
8
1) Pour quelle valeur de la pression interne, la résistance de la roche est atteinte aux
.parois de la cavité ?
On se place dans le cas où la pression interne MPa
Pi
2
.
0
n’empêche pas la
rupture de la roche autour de la cavité. Un anneau constitué de roche rompue «zone
plastique » se formera autour de l’excavation (Figure 7). La résistance de la roche
rompue est régie par la relation suivante :
MPa
en
K
K
r
P
r
P
3
1
3
1
;
3
Figure 7
Sachant que l’équilibre du massif est régi par l’équation
r
dr
d r
r
.
2) Etablir les expressions des contraintes r
et
dans les zones plastique et
élastique ;
3) Etablir l’expression du rayon plastique P
r et de la pression
c
P à l’interface des deux
zones ;
4) Calculer P
r et
c
P .
NB : La répartition des contraintes autour d’une cavité soumise à une pression interne
et creusée dans un massif homogène isotrope et élastique est donnée en annexe 2.
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EXERCICE 10
Soit une galerie de section circulaire, creusée dans un massif rocheux ayant un
comportement élastoplastique non écrouissable. Nous admettons que la courbe
intrinsèque limitant la zone ou le massif à un comportement élastique peut s'écrire sous
la forme :
1
cos
sin
2
2
3
1
3
1
C
Le champ de contraintes initiales est supposé hydrostatique, soit 0
h
V
. On
peut alors étudier la distribution des contraintes autour d'une galerie à section circulaire
comme un problème à symétrie axiale.
On suppose que 0
est suffisamment élevée pour qu'autour de la cavité apparaisse une
zone plastique cylindrique de rayon P
r . Pour P
r
r le massif garde un comportement
élastique.
L'équation d'équilibre, en coordonnées polaires, s'écrit :
2
0
r
dr
d r
r
Dans le domaine élastique, les relations entre contraintes et déformations sont en
déformation plane :
3
1
1
1
1
r
u
E
dr
du
E
r
r
r
r
r
Zone élastique
1) A partir des équations
2 et
3 , établir l'équation différentielle régissant le
déplacement radial dans la zone élastique ;
2) Résoudre cette équation ;
3) En déduire les expressions des contraintes dans la zone élastique en tenant compte
éventuellement des conditions aux limites.
Zone plastique
4) Expliciter le critère de plasticité ;
5) Résoudre l’équation
2 en tenant compte éventuellement des conditions aux
limites ;
6) En déduire les expressions des contraintes dans la zone plastique en tenant compte
éventuellement des conditions aux limites ;
7) En déduire l’expression du rayon de la zone plastique p
r ;
8) Si le massif est purement cohérent, donner l’expression du rayon de la zone
plastique p
r ;
9) Dans le cas d’un massif sans cohésion, comment peut-on assurer la stabilité de la
galerie ?
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EXCAVATIONS
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Application
Tracer la distribution des contraintes autour d’une galerie de rayon m
2
a située à une
profondeur m
200
H , réalisée dans un massif homogène à comportement
élastoplastique satisfaisant au critère de Mohr-Coulomb avec une résistance en
compression simple MPa
3
Rc et un angle de frottement interne
36 . Les
contraintes initiales sont hydrostatiques et MPa
4
0
.
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SOUTERRAINES
ANNEXE 1
Soit une galerie circulaire de rayon a creusée dans un massif rocheux homogène et
élastique. On suppose qu’elle est creusée à une profondeur H suffisante pour que l’on
puisse admettre que le champ de contraintes initiales est homogène dans la zone proche
de la cavité (Figure 8).
Figure 8 : Contrainte autour d’une galerie
Cette supposée infinie (On suppose que l'axe de la galerie coïncide avec une direction
de contrainte principale), ce qui permet de travailler avec l’hypothèse des déformations
planes (les déformations sont indépendantes de la direction le long de l’axe de la galerie,
hypothèse couramment utilisée en mine et suffisamment réaliste).
La répartition des contraintes en tout point M du massif, repéré par ses coordonnées
polaires r et (Figure 8), est donnée par la solution proposée par Kirsch. La solution
est donnée par :
V
H
V
r
V
V
r
k
r
a
k
k
k
k
k
2
sin
3
2
1
1
2
2
cos
3
1
1
1
1
2
2
cos
3
4
1
1
1
1
2
4
2
4
2
4
2
2
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SOUTERRAINES
ANNEXE 2
Soit une cavité circulaire de rayona , creusée dans un massif rocheux ou règne un champ
de contraintes initiales isotropes et soumise à une pression interne
i
P (Figure 9).
Figure 9
La répartition des contraintes autour de cette cavité circulaire creusée dans un massif
homogène isotrope et élastique, est donnée par :
0
1
1
2
2
2
2
r
i
i
r
P
P
P
P
