Le document traite des commutations en assurance vie, qui permettent de calculer les primes et provisions à l'aide de tables de mortalité et de taux d'actualisation. Il aborde les différences entre approches individuelles et collectives dans le calcul des primes, ainsi que l'importance des provisions mathématiques pour évaluer les engagements financiers des assureurs envers les assurés. Enfin, il présente des méthodes de calcul de ces provisions à l'aide d'approches prospective et comptable.

1. 1
Mr OUIA AZIZ
Actuariat
Assurance des personnes
Chapitre II : Les commutations
Elles permettent de calculer facilement les différents paramètres de
l’équation de l’équité financière (équilibre actuariel) des contrats pour déterminer
d’une part les primes (pure et commerciale) et d’autre part, les provisions.
En effet, les formules que nous avons développées, jusqu’à présent, sont
très difficiles à calculer. Elles utilisent, presque, les mêmes termes ce qui conduit à
leurs simplifications en cas de multiplication ou de division.
Grâce au développement des nouvelles technologies, les logiciels d’actuariat
ou tout simplement en utilisant un tableur tel que celui d’Excel, on peut facilement
élaborer les différentes tables de commutations.
Les commutations les plus utilisées en assurance vie sont fonction d’une
part de la table de mortalité choisie et d’autre part du taux d’actualisation technique.
Les commutations les plus utilisées sont les suivantes :
La commutation Dx :
Dx= x
x
i
P
)
1
(
0

: c’est la probabilité actualisée de vivre x années à partir de la
naissance.
En utilisant la propriété des probabilités composées : n+n’Px = nPx*n’Px+n, on obtient :
x
n
x
D
D 
= 




 


x
x
n
x
x
n
x
i
P
i
P
P
)
1
(
)
1
(
*
i)
(1
P
i)
(1
P
0
0
x
0
x
n
x
0
n
x
n
x
n
i
P
)
1
( 
=nEx
La commutation Nx :
Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 +…..+ DW (W=106ans)
= x
x
i
P
)
1
(
0

+ 1
0
1
)
1
( 

 x
x
i
P
+ ……+ x
W
x
W
i
P


 )
1
(
0

2. 2
La commutation Cx :
Cx =
2
1
1
0
)
1
(
*
)
1
( i
d
i
P x
x
x


avec : 1dx= (1- 1Px) : c’est la probabilité de décès entre les
âges x et x+1 années.
La commutation Mx :
Mx = 






x
W
k
k
x
x
k
k
x
x
i
P
q
P
0 2
1
1
0
)
1
(
*
* = Cx + Cx+1 + Cx+2 +…..+ CW
Les commutations dans les formules
x
x
D
N
: C’est la prime (égale à 1 dh) versée par l’assuré à l’âge x pour une rente
viagère immédiate
x
x
D
M
: C’est la prime correspondant à l’engagement de l’assureur de payer 1dh au
décès de l’assuré quel que soit la date, si l’assuré est d’âge x à la souscription du
contrat.
x
n
x
x
D
N
N 

: C’est la prime de contrat garantissant le versement annuel en cas de
vie pendant n années. La prime étant payée au nième
anniversaire.
x
n
x
x
D
M
M 

: est la prime de 1 dh versée en cas de décès entre vie entière à partir de
x et vie entière à partir de x+n années (c-à-d entre âges x et x+n)
Exemple d’application : capital différé sans contre assurance
Soit un capital différé sans contre assurance de 100000 dh. Durée 5 ans
Taux d’actualisation : 4% et la table de mortalité : TV 88-90
Âge de l’assuré 50 ans.
Frais de gestion 12%
1,8% annuel de frais de gestion sur le capital décès.
En utilisant les commutations :
1) Calculer la prime pure
a) Dans le cas d’une prime unique
b) Dans le cas d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale selon les deux cas précédents.
V Méthodologies de fixation des prix : comparaison de l'approche individuelle
et collective

3. 3
Prenons l'exemple de trois personnes qui souscrivent une police d’assurance
décès prévoyant le versement d'un capital fixe de 100 dh. Leur probabilité de décès
dans l'année est respectivement de 1 %, 2 % et 5 %. Le coût attendu des sinistres
pour ce groupe est donc :
(1%*100 dh = 1 dh) + (2%*100 dh =2 dh) + (5%*100 dh= 5 dh) = 8 dh
Si l'on adopte l'approche individuelle, ces trois personnes paieront
respectivement 1, 2 et 5 dh. Le total des primes perçues sera de 8 dh.
Si l'on adopte l'approche collective, le taux est calculé pour l'ensemble des
membres du pool de risques. Prenons, par exemple, un coût attendu des sinistres de
8 dh. Le capital assuré total est de trois fois 100 dh, soit 300 dh. Le taux de prime
est donc 8/300 = 2,67 % pour l'ensemble du groupe. Chaque personne paiera donc
cette prime multipliée par le montant de son indemnité (100 dh dans chaque cas),
soit 2,67 dh.
L'assureur perçoit donc la même prime totale dans les deux cas et ce
montant est équivalent au montant attendu des sinistres. Seule différence, dans le
deuxième cas de figure, les personnes présentant un risque faible subventionnent les
primes des personnes à risques élevés.
1- Effet du risque covariant sur des pools de risques de tailles
différentes
Supposons que cinq des cent personnes ayant souscrit une assurance décès, de 1 dh
par personne, leur garantissant un capital de 50 dh décèdent dans un accident de la
circulation. Aucun autre sinistre n'est enregistré pendant l'année. Le total des
indemnités à verser est de 250 dh, c'est-à-dire 250% du coût attendu des sinistres. Le
ratio-sinistres à primes pour l'année est de 250 %.
Supposons maintenant qu'il y ait 10.000 assurés. La prime de risque totale
(et le coût attendu des sinistres) serait de 10.000 dh. Si les cinq mêmes personnes
décèdent, et sont les seuls à mourir sur la période, le total des indemnités versées
sera de 250 dh, soit 2,5 % du coût attendu des sinistres. L'impact sur le ratio-
sinistres à primes est dans ce cas minime.
Chapitre III : Les provisions mathématiques
I- analyse des provisions mathématiques
L'activité d'assurance et/ou de réassurance se caractérise par :

4. 4
 Une inversion du cycle de la production : la prime est encaissée
immédiatement, alors que la prestation et le règlement de l'indemnité
interviennent ultérieurement ;
 Une promesse de prestation qui peut se réaliser comme elle peut ne pas se
réaliser ;
 Un décalage possible entre la survenance du fait dommageable, générateur du
paiement de l'indemnité et le règlement effectif de cette indemnité.
1- Définition de la provision mathématique
Il s'agit de la différence, à la date d'inventaire, entre les valeurs actuelles des
engagements respectivement pris par l'assureur et les assurés. Ce calcul est réalisé à
la clôture de chaque arrêté comptable. Les entreprises d’assurance doivent évaluer et
comptabiliser les provisions mathématiques d'assurance vie relatives aux contrats en
portefeuille.
La provision mathématique d'assurance vie comprend la valeur actuarielle
estimée des engagements de l'entreprise d'assurance, y compris les participations
aux bénéfices déjà allouées et déduction faite de la valeur actuarielle des primes
futures. Elle doit être calculée séparément pour chaque contrat individuel
d'assurance vie. Les techniques et méthodes statistiques peuvent être utilisées pour
les contrats groupe. Dans ce cas, un résumé des principales hypothèses retenues doit
être fourni dans les notes aux états financiers.
Le calcul des provisions mathématiques d'assurance vie doit être fait sur la
base de la prime d'inventaire c'est-à-dire de la prime commerciale en excluant les
chargements d'acquisition des contrats. Il est fait annuellement à la date d'inventaire.
2) Les raisons des provisions mathématiques :
L’importance des provisions mathématiques peut s’expliquer par trois
raisons :
a) En assurance vie, les provisions sont de deux natures :
 Les provisions pour sinistres à payer (capitaux décès, rentes… etc.)
 Les provisions pour risques en cours (provisions mathématiques)

5. 5
Dans ces conditions, les assureurs doivent provisionner une partie de la
prime commerciale pour couvrir des engagements s’étalant sur plusieurs années
selon la durée du contrat.
b) En assurance vie, la période des engagements des assureurs vis-à-vis des assurés
est généralement longue (allant de 5 ans jusqu’à une vie entière).
c) En assurance vie, il est, normal, que la prime augmente automatiquement avec le
temps. Ce qui peut être expliqué, du côté de l’assuré, par une augmentation du
risque qu’il encourt. Pour éviter ce problème, les assureurs pratiquent un
nivellement des primes périodiques des contrats.
Exemple : Soit deux contrats de temporaire décès à 40 ans et à 50 ans
C=50000 dh
Durée 5 ans
Taux d’actualisation = 5%
Table TD 73-77
Donner une comparaison des primes pures théoriques (non nivelée) et des primes
pures annuelles effectives nivelée.
Pour le cas de prime pure théorique (non nivelée)
Pour le cas de l’assuré à 40 ans
P40/41=C*
40
41
40
D
M
M 
=169,058
P41/42=186,4 dh
P42/43=208,139 dh
P43/44=234,368 dh
P44/45=261,489 dh
Pour le cas de l’assuré à 50 ans
P50/51=C*
50
51
50
D
M
M 
=427,881 dh
P51/52=460,63 dh
P52/53=497,633 dh
P53/54=542,526 dh
P54/55=591,138 dh

6. 6
La prime, non nivelé, augmente logiquement avec le temps et selon l’âge de
l’assuré.
Pour le cas de prime pure annuelle (nivelée)
La détermination de la prime P est calculée de la manière suivante :
P(1+1Ex + 2Ex + 3Ex + 4Ex) = C*(Mx –Mx+n)/Dx
Pour le cas de l’assuré à l’âge de 40 ans et pour une durée n=5ans, on a :
P(1+1E40 + 2E40 + 3E40 + 4E40) = C*(M40 –M40+5)/D40
P=209,438 dh
Pour le cas de l’assuré à l’âge de 50 ans et pour une durée n=5ans, on a :
P(1+1E50 + 2E50 + 3E50 + 4E50) = C*(M50 –M50+5)/D50
P=499,186 dh
On remarque que la prime nivelée augmente elle aussi avec l’âge de la
personne assurée.
II- Calcul des provisions mathématiques
Deux méthodes peuvent être utilisées :
1- La méthode prospective de calcul
La provision mathématique est le résultat du paiement par l’assuré de sa
prestation avant sa réalisation. Elle constitue, donc, une dette de l’assureur vis-à-vis
de l’assuré et elle est égale, selon la méthode prospective, à : la différence entre la
valeur actuelle probable des engagements futurs de l’assureur et la valeur actuelle
probable des engagements futurs de l’assuré.
a) calcul de la provision mathématique
Soient les données suivantes :
 C : prestation ;
 i : taux d’actualisation technique ;
 x : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
 n : durée des engagements ;
 Vt : provision mathématique à al date t, avec (0≤ t ≤n).
En cas du paiement par l’assuré d’une prime unique alors :

7. 7
A l’instant t=0 on a V0=0 (principe de l’équité financière)
A l’instant t=1 on a : Engagement assuré = 0
Engagement assureur : verser C dans (n-1) ans si l’assuré
est en vie à l’âge x+n ans.
V1= C*n-1Px+1*(1+i)-(n-1)
V1=0 si l’assuré est décédé
A l’instant t=2 on a : Engagement assuré = 0
Engagement assureur : verser C dans (n-1) ans si l’assuré
est en vie à l’âge x+n ans.
V2= C*n-2Px+2*(1+i)-(n-2)
V2=0 si l’assuré est décédé
… …
… …
… …
A l’instant t=n on a Vn= C*n-nPx+n*(1+i)-(n-n)
= C (versement de la prestation C)
Donc comme conclusion, nous pouvons dire que : à n’importe quelle date
tet pour un contrat de durée égale à n on a :
Vt= C*n-tPx+t*(1+i)-(n-t)
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance:
 C = 50000 ;
 i =5% ;
 50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
 5 : durée des engagements ;
 Vt : provision mathématique à la date t, avec (0≤ t ≤5) ;
 Prime unique.
Vt= C*n-tPx+t*(1+i)-(n-t)
La provision mathématique constituée la première année est égale à :
V1= C*4P51*(1+i)-4
2- La méthode comptable/rétrospective
A coté de la méthode prospective, il y a aussi une autre méthode
rétrospective appelée aussi comptable car, elle se base sur l’approche de l’égalité
entre les ressources et les emplois de la comptabilité pour chaque exercice (année).
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance:
 C : prestation ;
 i : taux d’actualisation technique ;
 x : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;

8. 8
 n : durée des engagements ;
 Vt : provision mathématique à la date t, avec (0≤ t ≤n) ;
 Prime unique.
A l’instant t= 0 on a : V0=0 et la prime P=C*nEx = C*nPx*(1+i)-n
A l’instant t= 1 on a :
Emplois Ressources
Constitution de la provision
mathématique de fin d’exercice
V1* 1Px
Si l’assuré est en vie
0 si non
Prime perçue
C*nPx*(1+i)-n
Produits financiers générés par le
placement de la prime
C*nPx*(1+i)-n
* i
On sait qu’à la fin de tout exercice, on a l’égalité entre les ressources et les
emplois :
Ressources = Emplois

V1* 1Px = C*nPx*(1+i)-n
+ C*nPx*(1+i)-n
* i
= C* nPx*(1+i)-n
*(1+i)
= C* nPx*(1+i)-n-1
On sait que : n+n’Px= nPx* n’Px+n ce qui permet d’écrire :
nPx = (1+ n-1)Px= 1Px* n-1Px+1
On obtient : V1* 1Px = C*1Px* n-1Px *(1+i)-n-1
 V1= C* n-1Px+1 *(1+i)-n-1
Donc on peut conclure qu’avec la méthode comptable, on obtient le même
résultat que celle de la méthode prospective.
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance:
 C = 50000 ;
 i =5% ;
 50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
 5 : durée des engagements ;

9. 9
 Vt : provision mathématique à la date t, avec (0≤ t ≤5) ;
 Prime unique.
En premier exercice du contrat on a :
Ressources = Emplois 
V1* 1P50 = C*5P50*(1+i)-5
+ C*5P50*(1+i)-5
* i
V1* 1P50 = C* 5P50*(1+i)-5
*(1+i)
V1* 1P50 = C* 5P50*(1+i)-4
 V1= C* 4P51 *(1+i)-4
3) Evolution des provisions mathématiques
Comme dans le cas de l’évolution des primes pures et commerciales,
l’évolution des provisions mathématiques dépend du taux d’actualisation technique
et de la table de mortalité utilisée.
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance :
 C = 50000 ;
 i =5% ;
 50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
 n=5 : durée des engagements ;
 Prime unique.
La provision mathématique à la date t=0 est égale à :
V0= C* 5P50 *(1+i)-5
Après un an, on a : V1= C* 4P51 *(1+i)-4
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance :
 C = 50000 ;
 i =5% ;
 50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
 vie entière ;
 Frais de gestion : 10%
 1,4‰ du capital sous risque par année de gestion du contrat.
 Prime unique.
 Table de mortalité TD 73-77


10. 10
1) Calculer la prime pure
2) Calculer la prime commerciale
3) Calculer : V1, V2, V3 et V12.
1) La prime pure P est égale à : 17744,097 dh
2) La prime commerciale unique P’ est égale à : 19715,685 dh
3) Les provisions mathématiques aux dates (t=1 ; t=2 ; t=3 et t=12)
V1= C*M51/D51 +0,0014*N51/D51 = 18342,294
V2= C*M52/D52 +0,0014*N52/D52 = 18955,316
V3= C*M53/D53 +0,0014*N53/D53 = 19580,253
V12= C*M62/D62 +0,0014*N62/D62 = 25709,754
Exercice : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance :
 C = 100000 ;
 i =4,5% ;
 40 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
 vie entière ;
 Frais de gestion : 12%
 1,5‰ du capital sous risque par année de gestion du contrat.
 Prime unique.
 Table de mortalité TD 73-77
1) Calculer la prime pure
2) Calculer la prime commerciale
Calculer : V1, V2, V3 et V12.