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![Exemple
s
Programme lin
´eaire
R´esolution
graphique
Points
extrˆemes
Forme standard,
bases
Bilan
Exemples simples de programmes non lin
´eaires (2)
Σ n
i =1 ci xi
mi
n sous les
contraintes
Σ n
i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . , m)
xi ∈ R ∩ [l1, u1] ∩ [l2, u2], (i = 1, . . . ,
n)
Σ n
i =1 ci xi
mi
n sous les
contraintes
Σ n
i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . ,
m) x1 = x2 ou x1 = x3
xi ∈ R, (i = 1, . . . , n)](https://image.slidesharecdn.com/coursdeprogrammationlinaire-250324164611-73e86ccf/85/Cours-de-maths-Programmation-Lineaire-pptx-24-320.jpg)
![Exemple
s
Programme lin
´eaire
R´esolution
graphique
Points
extrˆemes
Forme standard,
bases
Bilan
Poly`edres et points extrˆemes (1)
Defin´ ition
Un polyedr` e convexe est l’ensemble des solutions d’un
systeme` fini d’inega´ lites´ linea´ ires.
L’ensemble des solutions admissibles d’un PL est donc un
polyed` r
e convexe.
On s’interes´sera dans un premier temps aux polyed` res
born´es.
Rappel : S est convexe si
∀x, y ∈ S , ∀λ ∈ [0, 1], λx + (1 − λ)y ∈ S.](https://image.slidesharecdn.com/coursdeprogrammationlinaire-250324164611-73e86ccf/85/Cours-de-maths-Programmation-Lineaire-pptx-45-320.jpg)
Cours de maths - Programmation Linéaire.pptx
- 1. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Pointsextrˆemes Forme standard, bases Bilan Programmation Lin´eaire Cours 1 : programmes lin´eaires, mod ´elisation et r´esolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Universit´e Bordeaux 1 Bˆat A33
- 2. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Motivationet objectif du cours Introduction `a la programmation lin ´eaire Un outil qui permet de : • mod´eliser • r´esoudre toute une classe de probl`emes d’optimisation. Existence de solveurs efficace pour la PL
- 3. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Ouvragesde r´ef ´erence • V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. • R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions, Springer-Verlag, 2008. • C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire : 65 probl`emes d’optimisation mod´elis´es et r ´esolus avec Visual Xpress, Eyrolles, 2000. • C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d’optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel, Eyrolles, 2011.
- 4. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Sommaire Introductionpar l’exemple Exemple 1 : Production Exemple 2 : Transport Exemple 3 : Planification Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases
- 5. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Pointsextrˆemes Forme standard, bases Bilan Probl`eme de production Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de matieres` premieres` . A B Fraise 2 1 Lait 1 2 Sucre 0 1 On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4€ et 5€. Le fabricant cherche `a maximiser son profit.
- 6. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Sur quelles quantit´es peut-on travailler ? • Que cherche-t-on `a optimiser ? • Quelles sont les contraintes du probl`eme ?
- 7. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Sur quelles quantit´es peut-on travailler ? • Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourts A et B produites • On parle de variables • On les notera xA et xB • Que cherche-t-on `a optimiser ? • Quelles sont les contraintes du probl`eme ?
- 8. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Sur quelles quantit´es peut-on travailler ? • Variables : xA et xB • Que cherche-t-on `a optimiser ? • Le profit z • Calcul´e `a partir de xA et xB • On parle de fonction objectif • z = 4xA + 5xB • Quelles sont les contraintes du probl`eme ?
- 9. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Sur quelles quantit´es peut-on travailler ? • Variables : xA et xB • Que cherche-t-on `a optimiser ? • max z = 4xA + 5xB • Quelles sont les contraintes du probl`eme ? • Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles • la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA + xB • 2xA + xB ≤ 800
- 10. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Sur quelles quantit´es peut-on travailler ? • Variables : xA et xB • Que cherche-t-on `a optimiser ? • max z = 4xA + 5xB • Quelles sont les contraintes du probl`eme ? 2xA+ xB ≤ 800 (fraises ) xA+ 2xB ≤ 700 (lait) xB ≤ 300 (sucre)
- 11. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Sur quelles quantit´es peut-on travailler ? • Variables : xA et xB • Que cherche-t-on `a optimiser ? • max z = 4xA + 5xB • Quelles sont les contraintes du probl`eme ? 2xA+ xB ≤ 800 (fraises) xA+ 2xB ≤ 700 (lait) xB ≤ 300 (sucre) xA, xB ≥ 0 positivit´e !
- 12. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Monpremier programme lin ´eaire max 4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 xB ≤ 300 xA, xB ≥ 0
- 13. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Probl`eme de transport Approvisionner au moindre couˆt les clients `a partir des usines. Usines (i ∈ I ) Bordeaux Biarritz Toulouse Productions (pi ) 25 15 20 Clients (j ∈ J) Pau Bayonne Bordeaux Libourne Demandes (dj ) 20 12 9 14 Prix/unit´e (ci ,j ) Pau Bayonne Bordeaux Libourne Bordeaux 26 19 0 4 Biarritz 12 2 20 24 Toulouse 19 30 24 28
- 14. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Variables : xi ,j : quantit´e transport´ee de i `a j
- 15. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Objectif : • Variables : xi ,j : quantit´e transport´ee de i `a j Minimiser Σ i ∈I Σ j ∈ J ci ,jxi ,j
- 16. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Variables : xi ,j : quantit´e transport´ee de i `a j • Objectif : Σ Σ i ∈I j∈J c x i ,j i ,j Minimiser • Contraintes : j∈J i ,j i x ≤ p , Σ i ∈I xi ,j = dj , xi ,j ≥ 0, ∀i ∈ I (Capacit´e de production) ∀j ∈ J (Demandes `a satisfaire) ∀i ∈ I , j ∈ J
- 17. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemesForme standard, bases Bilan Probl`eme de planification Planifier la production d’articles `a moindre couˆt pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / mois Surcouˆt heures sup : 7 euros / article Stockage : 3 euros / article / mois mois 1 mois 2 mois 3 mois 4 Demande s 900 1100 1700 1300
- 18. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod´elisation •Variables : xt : production normale en peri´ ode t = 1, . . . , 4 yt : production en heure sup en periode t = 1, . . . , 4 st : stock en fin de peri´ ode t = 1, . . . , 3
- 19. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Mod ´elisation •Variables : xt : production normale en p´eriode t = 1, . . . , 4 yt : production en heure sup en periode t = 1, . . . , 4 st : stock en fin de p´eriode t = 1, . . . , 3 • Objectif : t=4 t=1 t y + 3 Σ Σ t=3 t=1 st Minimiser 7 • Contraintes :x1+ y1 = 900+ s1 s1+ x2+ y2 = 1100+ s2 s2+ x3+ y3 = 1700+ s3 s3+ x4+ y4 = 1300 0 ≤ xt ≤ 1200, t = 1, . . . , 4 0 ≤ yt ≤ 400, t = 1, . . . , 4 st ≥ 0, t = 1, . . . , 3
- 20. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Sommaire Introductionpar l’exemple Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan
- 21. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Pointsextrˆemes Forme standard, bases Bilan R`egles de r´e´ecriture (1) Toute contrainte d’´egalit´e peut s’´ecrire comme deux in ´egalit´es : n Σ i =1 i i ( Σ n i =1 aixi ≤ b a x = b ≡ Σn i =1 i i a x ≥ b Toute contrainte ≥ peut s’´ecrire comme une contrainte ≤ : n n Σ Σ i i i i a x ≥ b ≡ −a x ≤ −b i =1 i =1 Tout probleme` de minimisation peut s’ecri´ re comme un probleme` de maximisation : n n Σ Σ i =1 i =1 max c x ≡ min −c x i i i i
- 22. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Ecritureg´en´erale d’un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avec n variables x1, . . . , xn et m contraintes. Σ n i =1 ci xi ma x sous les contraintes Σ n i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . , m) xi ∈ R, (i = 1, . . . , n) • Lin´earit´e : Objectif et contraintes sont des fonctions linea´ ires des variables de deci´ sion (les coefficients ci et aij des variables sont constants) • Continuit´e : Les variables peuvent prendre n’importe quelle valeur reel´ le respectant les contraintes linaires
- 23. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Exemplessimples de programmes non lin ´eaires (1) Σ n i =1 xi xi mi n sous les contraintes Σ n i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . , m) xi ∈ R, (i = 1, . . . , n) Σ n i =1 xi mi n sous les contraintes Σ n i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . , m) xi ∈ N, (i = 1, . . . , n)
- 24. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Exemplessimples de programmes non lin ´eaires (2) Σ n i =1 ci xi mi n sous les contraintes Σ n i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . , m) xi ∈ R ∩ [l1, u1] ∩ [l2, u2], (i = 1, . . . , n) Σ n i =1 ci xi mi n sous les contraintes Σ n i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . , m) x1 = x2 ou x1 = x3 xi ∈ R, (i = 1, . . . , n)
- 25. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Formenormale d’un programme lin ´eaire Tout programme lin´eaire peut s’´ecrire sous forme normale. Σ n i =1 ci xi ma x sous les contraintes Σ n i =1 aijxi ≤ bj , (j = 1, . . . , m) xi ≥ 0, xi ∈ R, (i = 1, . . . , n) i i Si on a une variable xi ∈ R, on introduit x + ≥ 0 et x − ≥ 0 et on i i pose xi = x + + x − .
- 26. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Sommaire Introductionpar l’exemple Programme lin´eaire R´esolution graphique Repr´esentation graphique d’un PL R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan
- 27. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan R´esolution graphique •On dispose d’un outil (la PL) pour mod´eliser des probl`emes • Comment r´esoudre les probl`emes `a l’aide de la PL ? • Plusieurs algorithmes existent, dont le simplexe (prochain cours) • Pour des probl`emes avec deux variables, on peut r ´esoudre graphiquement (aide `a comprendre la structure du probl`eme)
- 28. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Repr´esentation graphique max4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 xB ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xA xB
- 29. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemesForme standard, bases Bilan Repr´esentation graphique max 4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 xB ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xA xB 2xA + xB ≤ 800
- 30. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemesForme standard, bases Bilan Repr´esentation graphique max 4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 xB ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xA xB 2xA + xB ≤ 800 xA + 2xB ≤ 700
- 31. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemesForme standard, bases Bilan Repr´esentation graphique max 4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 xB ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xA xB 2xA + xB ≤ 800 xA + 2xB ≤ 700 xB ≤ 300
- 32. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Terminologi e •Solution : affectation de valeurs aux variables • Solution r´ealisable : solution r´ealisable si les valeurs satisfont l’ensemble des contraintes • R´egion r´ealisable : ensemble des solutions r ´ealisables. xA xB 2xA + xB ≤ 800 xA + 2xB ≤ 700 xB ≤ 300 x = (80, 150)
- 33. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Terminologi e •Solution : affectation de valeurs aux variables • Solution r´ealisable : solution r´ealisable si les valeurs satisfont l’ensemble des contraintes • R´egion r´ealisable : ensemble des solutions r ´ealisables. xA xB 2xA + xB ≤ 800 xA + 2xB ≤ 700 xB ≤ 300
- 34. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan R´esolution graphique Max4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 xB ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xA xB 2xA + xB ≤ 800 xA + 2xB ≤ 700 xB ≤ 300
- 35. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan R´esolution graphique B Max4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 x ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xA + 2 4xA + xB ≤ 4xA 4xA + 5xB = 1000 4xA + 5xB = 0 xA xB
- 36. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan R´esolution graphique B Max4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 x ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xA + 2 4xA + xB ≤ 4xA 4xA + 5xB = 1000 4xA + 5xB = 0 xA xB
- 37. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan R´esolution graphique B Max4xA+ 5xB 2xA+ xB ≤ 800 xA+ 2xB ≤ 700 x ≤ 300 xA, xB ≥ 0 xB ≤ 4xA xA + 2 4xA + 5xB = 2200 4xA + 5xB = 1000 xA 4xA + 5xB = 0 xB
- 38. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan R´esolution graphique AB Max 4xA+ 2x + 5xB x ≤ 800 xA+ xA, 2xB xB xB ≤ 700 ≤ 300 ≥ 0 xB ≤ 4xA + 5xB = 2900 xA + 2 4xA + 5xB = 2200 4xA + 5xB = 1000 xA 4xA + 5xB = 0 xB
- 39. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Existenced’une solution (optimale) Quatre possibilit ´es min x + 2y s.t. x ≤ 5 x + y ≥ 3 x , y ≥ 0 Une solution optimale unique. ✲ x ✻ y
- 40. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Existenced’une solution (optimale) Quatre possibilit ´es max x + 2y s.t. x ≤ 5 x + y ≥ 3 x , y ≥ 0 Solution non born ´ee. ✲ x ✻ y
- 41. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan maxx + 2y s.t. x ≤ 5 x + y ≥ 3 x + y ≤ −1 x , y ≥ 0 Pas de solution. ✲ x ✻ Existence d’une solution (optimale) Quatre possibilites´ y
- 42. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Existenced’une solution (optimale) Quatre possibilit ´es max x s.t. x ≤ 5 x + y ≥ 3 x , y ≥ 0 Infinit´e de solutions. ✲ x ✻ y
- 43. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Sommaire Introductionpar l’exemple Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Points extrˆemes et convexit´e Algorithme g ´eom`etrique Forme standard,
- 44. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Notionde point extrˆeme Proposition S’il en existe, il y a toujours une solution optimale sur un sommet (point extrˆeme) de la r´egion r ´ealisable Corollaire Pour trouver l’optimum, il ”suffit” d’examiner les points extrˆemes de la r ´egion r´ealisable xB ≤ 4xA + 5xB = 2900 xA + 2 4xA + 5xB = 2200 4xA + 5xB = 1000 xA 4xA + 5xB = 0 xB
- 45. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Poly`edreset points extrˆemes (1) Defin´ ition Un polyedr` e convexe est l’ensemble des solutions d’un systeme` fini d’inega´ lites´ linea´ ires. L’ensemble des solutions admissibles d’un PL est donc un polyed` r e convexe. On s’interes´sera dans un premier temps aux polyed` res born´es. Rappel : S est convexe si ∀x, y ∈ S , ∀λ ∈ [0, 1], λx + (1 − λ)y ∈ S.
- 46. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Poly`edreset points extrˆemes (2) Defin´ ition Un point x0 d’un ensemble convexe S est un point extremeˆ de S s’il n’existe pas deux points x1, x2 ∈ S t.q. x = λx1 + (1 − λx2). Th´eor`eme Soit S un ensemble convexe borne´ de Rn et Se l’ensemble de ses points extremesˆ . Si x ∈ S alors x peut s’ecri´ re comme une combinaison convexe de n + 1 ´elemen´ ts de Se . Rappel : soit x, y, z ∈ Rn. Si x = λy + (1 − λ)z alors pour tout a ∈ Rn, ax ≤ max{ay, az}. Th´eor`eme Si le polyed` re forme´ par l’ensemble des solutions d’un PL est
- 47. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 4xA + 5xB = 0 xA xB
- 48. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 4xA + 5xB = 0 xA xB
- 49. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 4xA + 5xB = 0 xA xB
- 50. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 4xA + 5xB = 0 xA xB
- 51. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 xA 4xA + 5xB = 1500 xB
- 52. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 xA 4xA + 5xB = 1500 xB
- 53. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 4xA + 5xB = 1900 xA xB
- 54. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 4xA + 5xB = 1900 xA xB
- 55. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 4xA + 5xB = 2200 xA xB
- 56. Exemple s Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Formestandard, bases Bilan Algorithme g´eom ´etrique 1. Partir d’un point extrˆeme x de la r´egion r´ealisable 2. D´eterminer une arˆete le long de laquelle l’objectif augmente. S’il n’en existe pas, x est optimal, STOP 3. Se d´eplacer le long de l’arˆete jusqu’au point extrˆeme y suivant. S’il n’existe pas, le probl`eme est non born´e, STOP Sinon, poser x → y et revenir en 2 4xA + 5xB = 2200 xA xB
- 57. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Sommaire Introductionpar l’exemple Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan
- 58. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Formestandard Jusqu’a` pres´ ent on a utilise´ la forme normale pour repres´ enter u n programme linea´ ire. On introduit la forme standard qui va ˆetre utilisee´ dans l’algorithme du simplex. max z = 4x1 + 5y1 max z = 4x1 + 5x2 +0s1 + 0s2 +0s3 2x1 + x2 ≤ 4 2x1 + x2 +s1 = 4 x1 + 2x2 ≤ 10 x1 + 2x2 + s2 = 10 — x2 ≤ −2 — x2 +s3 = −2 x1,x2 ≥ 0 x1,x2, s1,s2, s3 ≥ 0
- 59. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Formestandard A` partir de tout PL sous forme normale, on peut construire un PL sous forme standard n Σ i =1 max z = ci xi n Σ i =1 aijxi ≤ bj (j = 1, . . . , m) xi ≥ 0(i = 1, . . . , n) n Σ i =1 max z = c x i i n Σ i =1 ij i j j a x + s = b (j = 1, . . . , m) xi ≥ 0(i = 1, . . . , n) sj ≥ 0(i = 1, . . . , m)
- 60. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Interpr´etationde la forme standard Les variables supplemen´ taires si sont appelees´ variables d’´ecart. Chaque variable d’ecart´ est associee´ `a une contrainte. max 5x + y x + y ≤ 10 x − y ≤ 1 x ≤ 3 x , y ≥ 0 + s2 max 5x + y x + y +s1 x − y x x ,y , s1,s2, = 10 = 1 +s3 = 3 s3 ≥ 0 Quand s1 = 0, la contrainte x + x ≤ 10 est v´erifi´ee `a l’´egalit´e.
- 61. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Formestandard et points extrˆemes max 5x + y x + y + s1 = 10 x − y + s2 = 1 x + s3 = 3 x , y , s1, s2, s3 ≥ 0 ✲ x ✻ A B C D y E Points extrˆemes : intersection d’hyperplans (contraintes) x = 0, y = 0 : A x = 0, s2 = 0 : B s2 = 0, s3 = 0 : C s1 = 0, s3 = 0 : D y = 0, s1 = 0 : E
- 62. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Interpr´etationde la forme standard max 5x + y x + y + s1 = 10 x − y + s2 = 1 x + s3 = 3 x , y , s1, s2, s3 ≥ 0 ✲ x ✻ A B C D y E Si on annule s2 et s3, il reste ce syst`eme qui a pour solution x = 3, y = 3, s1 = 4 x + y + s1 = 10 x − y = 0 x = 3 (x , y , s1 ≥
- 63. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Sommets= bases • On dispose d’un PL `a n + m variables et m contraintes. • Si on annule n variables, on obtient un systeme` de m ´equations `a m inconnues • Si la matrice associee´ est de rang m (base), le systeme` admet une solution unique • Une base = une solution • Pour res´ oudre le probleme` obtenu : pivot de Gauss ! • Attention : si la solution n’a pas des valeurs positives, elle n’est pas valide !
- 64. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Basenon r ´ealisable max 5x + y x + y + s1 = 10 x − y + s2 = 1 x + s3 = 3 x , y , s1, s2, s3 ≥ 0 ✲ x ✻ A B C D y E y = 0, s1 = 0 Solution x = 10, s2 = −9, s3 = −3, non valide ! x = 10 x + s2 = 1 x + s3 = 3 (x , s2, s3 ≥
- 65. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Id´eede r ´esolution • Si on a une base r´ealisable, on a un point extrˆeme = une solution dominante • Pour calculer les valeurs des variables pour ces points : pivot de Gauss Il reste `a voir • comment trouver une premi`ere base r´ealisable • comment passer d’une base r´ealisable `a une autre
- 66. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Sommaire Introductionpar l’exemple Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan
- 67. Exemple s Programme lin ´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Bilan A`travailler en TD • Model´ isation linea´ ire d’un probleme` • Mise sous forme normale • Res´ olution graphique • Mise sous forme standard A` retenir pour la suite • Solution, polyed` re convexe, point extremeˆ Prochain cours • Met´ hode pour res´ oudre les problemes` linea´ ires : le simplex