Le document traite des systèmes de numération, expliquant leur définition, leurs bases et leurs représentations logiques. Il aborde également les opérations arithmétiques de base, notamment en binaire, et fournit des exemples de conversion entre différentes bases. Des méthodes pour effectuer des opérations sur ces systèmes, telles que les compléments et la conversion entre bases, sont également présentées.

1. Licence 1ère année Math-Informatique 1
Chapitre IV
Chapitre IV
Représentation logique des
Représentation logique des
données
données

2. Définition
Définition
Un système de numération est une représentation de variables.
Ces variables codées sont basées sur un ensemble de symboles
appelés «chiffres», (digits), et de règles de composition
représentant les opérations entre ces variables.
Les opérations de base sont l’addition, la multiplication et les
autres opérations arithmétiques.

3. Base d’un système (1/2)
Base d’un système (1/2)
La base d’un système numérique est le nombre de
chiffre de l’ensemble.

4. Base d’un système (2/2)
Base d’un système (2/2)
( N )
( N )
r
r = [ (partie entière) , (fraction) ]
= [ (partie entière) , (fraction) ]
r
r
r
r 
 base
base
N
N 
 nombre
nombre
Ex. = [ 124 , 659 ]
Ex. = [ 124 , 659 ]10

5. Représentation des nombres
Représentation des nombres
 Notation juxtaposé :
( N )r
= ( an-1
an-2
… a1
a0
, a-1
a-2
… a-m
)r
0  ai
ou a-f
 r - 1
Ex. : ( 741,10)8

6.  Notation polynomiale et poids de chiffres :
 
N a r
r j
j
j m
n 1

 


[N]r= an-1• rn-1
+an-2 • rn-2
+…+
a0 • r0 +
a-m+1 • r-m+1
+a-m • r-m

7. Polynomiale
Polynomiale
Ex.: [191.27]10
1X102
+ 9X101
+ 1X100
+ 2X10-1
+ 7X10-2
Ex.:[ 4021.2]5
4X53
+ 0X52
+ 2X51
+ 1X50
+ 2x5-1

8. Quelques bases
Quelques bases
Type Base Chiffres Exemple
Décimal 10 0-9 121.9
Hexadécimal 16 0-9,A,B,C,D,E,F 1A7.F2
Octal 8 0-7 121,6
Binaire 2 0-1 1011.1101

9. Polynomiale
Polynomiale
Ex.: 191.27
1X102
+ 9X101
+ 1X100
+ 2X10-1
+ 7X10-2
Ex.: 4021.25
4X53
+ 0X52
+ 2X51
+ 1X50
+ 2x5-1

10. Le système binaire
Le système binaire

11. Le système binaire
Le système binaire
Toute l’information en électronique digital est binaire.

12. Alors…
Alors…
Equivalent décimal:
1x8 + 0x4 +1x2 + 1x1 +
1x0.5 + 1x0.25 + 0x0.125 +1x0.0625
1011.1101 = 11.8125

13. Décimal - Binaire
Décimal - Binaire
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000

14. Licence 1ère année Math-Informatique 14
Opérations arithmétiques
Opérations arithmétiques

15. Opérations
Opérations
On se souvient que:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 [ 1]
0 * 0 = 0
1 * 0 = 0 * 1 = 0
1 * 1 = 1

16. Addition
Opération sur les nombres, en
Opération sur les nombres, en
base 2
base 2

17. Multiplication

18. Compléments
Compléments
Fonction :
Utilisées pour simplifier les opérations de
soustraction en base r

19. Complément à r
Complément à r
rn
– N Si N  0
0 Si N = 0
n = Nombre de chiffres

20. Exemples r
Exemples r
Complément à 10 de [ 52520 ]10
n =5
Alors = 105
– 52520 = 47480
Complément à 10 de [ 0,3267 ]10
n =0
Alors = 1 – 0,3267 = 0,6733

21. Complément à r-1
Complément à r-1
rn
– 1 - N Si N  0
0 Si N = 0

22. Exemples r-1
Exemples r-1
Complément à 9 de [ 52520 ]10
n =5
Alors = 105
- 1 - 52520 = 99999- 5250
= 47479
Complément à 9 de [ 0,3267 ]10
n =0
Alors = 100
- 10-4
– 0,3267
= 0,9999 – 0,3267 = 0,6732

23. Complément à 2 en binaire
Complément à 2 en binaire
Changer les 0  1
Additionner 1

24. Exemple
Exemple
N = 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1
+ 1
Cà2(N) = 0 1 0 1 0 0

25. Complément à 1 en binaire
Complément à 1 en binaire
Changer les 0  1
N = 1 0 1 1 0 0
Cà1 (N) = 0 1 0 0 1 1

26. Codes décimal / octal / hexadécimal :
Codes décimal / octal / hexadécimal :
Décimal Octal Hexadécimal
0 0 0
1 1 1
… … …
6 6 6
7 7 7
8 10 8
9 11 9
10 12 A
11 13 B
12 14 C
13 15 D
14 16 E
15 17 F
16 20 10

27. A quoi ça sert?…
A quoi ça sert?…

28. Soient: M = 72532 Trouver M - N
N = 03250
Cà9(N) = 105
– 1 - 3250 = 96749
M + 96749 = 72532
+ 96749
--------------
1 69281
Soustractions
Soustractions
69281 +1 = 69282

29. Soient: M = 03250 Trouver M - N
N = 72532
Cà9(N) = 99999 - 72532 = 27467
03250
+ 27467
--------------
0 30717
Soustractions
Soustractions

30. Autre exemple
Autre exemple
Complément à 9 de 30717:
99999 – 30717 = 69282
- 69282
M – N =

31. Complément à 2 ex.1
Complément à 2 ex.1
Soient: M = 1010100 Trouver M - N
N = 1000100
Cà2(N) = 0111011 + 1 = 0 1 1 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1010100
+ 0111100
--------------
1 0010000

32. Complément à 2 ex.2
Complément à 2 ex.2
Soient: M = 1000100 Trouver M - N
N = 1010100
Cà2(N) = 0101011 + 1 = 0 1 0 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1000100
+ 0101100
--------------
0 1110000

33. Ex.2 cont…
Ex.2 cont…
Complement à 2 du résultat anterieur :
X = 1110000
Cà2(X) = 0001111 + 1 = 0 0 1 0 0 0 0
M – N = - 10000

34. Changement de base
Changement de base

35. Base N en base 10 :
Base N en base 10 :
Méthode de substitution
Ex. : (101.11)2
 ( ?)10
1X22
+ 0X21
+ 1X20
+ 1X2-1
+ 1X2-2
4 + 0 + 1 + ½ + ¼ =
5.75

36. Base 10 en base M :
Base 10 en base M :
Méthode par division et multiplication
Ex. : (19.75)10
( ?)2
Partie entière Partie
fractionnaire
19  2 = 9 + 1 .75 X 2 = 1.50
9  2 = 4 + 1 .50 X 2 = 1.00
4  2 = 2 + 0 .00 X 2 =
0.00
2  2 = 1 + 0
1  2 = 0 + 1
= 1 0 0 1 1 . 1 1 0

37. Base N en base M :
Base N en base M :
N en 10 : Substitution
10 en M : Multiplication