Ce chapitre présente une introduction aux langages formels, abordant les concepts fondamentaux tels que les alphabets, les mots, et les langages. Il définit les opérations sur les mots, y compris la concaténation, et introduit des notions comme le mot vide, la longueur d'un mot, ainsi que les propriétés des mots comme les palindromes et les facteurs. Les définitions incluent aussi les préfixes, suffixes, et sous-mots, établissant une base pour la compréhension des structures linguistiques formelles.

1. Chapitre 1 :
Introduction aux langages formels
Prof. A. Dargham
Facult´ des Sciences, Oujda
e
Fili`re SMI- S4
e
Universit´ Mohamed Premier
e
Septembre, 2012

2. Sommaire du chapitre 1
Alphabets, mots et langages
Op´rations sur les mots
e
Mono¨ıdes
Op´rations sur les langages
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

3. Alphabets, mots et langages
Aphabets
D´finition 1.1
e
Un alphabet est un ensemble fini de symboles (ou lettres).
Exemples 1.2
A = {0, 1}
A = {a, b, c, ..., x, y , z}
A = {if , else, a, b}
A = {←, →, ↑, ↓}
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

4. Alphabets, mots et langages
Mots
D´finition 1.3
e
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e,
e
´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet.
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

5. Alphabets, mots et langages
Mots
D´finition 1.3
e
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e,
e
´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet.
e ee
C’est une concat´nation de symboles.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

6. Alphabets, mots et langages
Mots
D´finition 1.3
e
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e,
e
´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet.
e ee
C’est une concat´nation de symboles.
e
Exemples 1.4
A = {0, 1}. 10001 et 11 sont deux mots sur A.
A = {a, b, c, ..., x, y , z}. ”smi ” et ”tlc” sont deux
mots sur A.
A = {if , else, a, b}. if a else b est un mot sur A.
A = {←, →, ↑, ↓}. ←←→↓↑← est un mot sur A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

7. Alphabets, mots et langages
Mot vide
D´finition 1.5
e
Sur tout alphabet A, on d´fini un mot, appel´ mot vide
e e
correspondant ` une s´quence vide de symboles de A.
a e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

8. Alphabets, mots et langages
Mot vide
D´finition 1.5
e
Sur tout alphabet A, on d´fini un mot, appel´ mot vide
e e
correspondant ` une s´quence vide de symboles de A.
a e
Ce mot est unique pour tout les alphabets, et on le note
par ε.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

9. Alphabets, mots et langages
Longueur d’un mot
D´finition 1.6
e
La longueur d’un mot w sur un alphabet A est le
nombre de symboles constituant ce mot. On la note
par |w |.
Le mot vide ε est de longueur 0.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

10. Alphabets, mots et langages
Longueur d’un mot
D´finition 1.6
e
La longueur d’un mot w sur un alphabet A est le
nombre de symboles constituant ce mot. On la note
par |w |.
Le mot vide ε est de longueur 0.
Exemples 1.7
Sur A = {0, 1} : |10001| = 5 et |11| = 2.
Sur A = {if , else, a, b}. |if a else b| = 4.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

11. Alphabets, mots et langages
Notations
Notations 1.8
Soient A un alphabet, u et w des mots sur A.
|w | = 0 ⇔ w = ε.
Si |w | = n ≥ 1, on note par wi le i eme symbole de w , et
l’on ´crit w = w1 w2 ...wn .
e
On note par |w |u le nombre d’occurrences du mot u dans
le mot w : c’est le nombre de fois o` le mot u apparaˆ
u ıt
dans w comme facteur.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

12. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.9
e
Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, fini
ou infini) de mots sur A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

13. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.9
e
Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, fini
ou infini) de mots sur A.
Exemples 1.10
A = {0, 1} : L = {0, 00, 10, 000, 010, 100, ...} est un
langage sur A.
A = {a, b}. Le langage des mots sur A de longueur
inf´rieure ` 3 est L = {a, b, aa, ab, ba, bb}.
e a
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

14. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.11
e
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet
A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

15. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.11
e
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet
A.
C’est aussi un langage sur A (appel´ langage universel
e
sur A).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

16. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.11
e
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet
A.
C’est aussi un langage sur A (appel´ langage universel
e
sur A).
Un ensemble L est alors un langage sur A, si et seulement
si L ⊆ A∗ .
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17. Op´rations sur les mots
e
Concat´nation ou produit
e
D´finition 1.12
e
Soit un alphabet A et u = u1 u2 ...un et v = v1 v2 ...vm deux
mots sur A de longueurs respectives n et m.
La concat´nation de u et de v consiste ` ”coller” le mot v
e a
juste apr`s le mot u. On obtient un mot de longueur n + m,
e
not´ u.v ou tout simplement uv : uv = u1 u2 ...un v1 v2 ...vm .
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

18. Op´rations sur les mots
e
Concat´nation ou produit
e
D´finition 1.12
e
Soit un alphabet A et u = u1 u2 ...un et v = v1 v2 ...vm deux
mots sur A de longueurs respectives n et m.
La concat´nation de u et de v consiste ` ”coller” le mot v
e a
juste apr`s le mot u. On obtient un mot de longueur n + m,
e
not´ u.v ou tout simplement uv : uv = u1 u2 ...un v1 v2 ...vm .
e
Exemples 1.13
A = {0, 1}, u = 101 et v = 001.
Alors uv = 101001 et vu = 001101
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

19. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

20. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation :
ee e
∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

21. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation :
ee e
∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concat´nation n’est pas commutative.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

22. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation :
ee e
∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concat´nation n’est pas commutative.
e
∗
4 ∀u, v ∈ A : |uv | = |vu| = |u| + |v |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

23. Op´rations sur les mots
e
Puissance
D´finition 1.15
e
Soient A un alphabet, n un nombre entier et w un mot sur A.
On d´finit la puissance neme du mot w par :
e
ε si n = 0;
wn =
w n−1 w si n ≥ 1.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

24. Op´rations sur les mots
e
Puissance
Exemples 1.16
Soit A = {a, b} et w = bab.
w0 = ε.
w1 = w 0 w = w = bab.
w2 = w 1 w = ww = babbab.
w3 = w 2 w = www = babbabbab.
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25. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la puissance
e e
∀w ∈ A∗ : w 0 = ε.
∀w ∈ A∗ , ∀n, m ≥ 0 : (w n )m = w nm .
∀w ∈ A∗ , ∀n, m ≥ 0 : w n w m = w n+m .
∀w ∈ A∗ , ∀n ≥ 0 : |w n | = n|w |.
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26. Op´rations sur les mots
e
Egalit´ de deux mots
e
D´finition 1.17
e
Deux mots u et v sur un mˆme alphabet A sont ´gaux
e e
(u = v ), si et seulement si :
ils ont la mˆme longueur : |u| = |v | (disons un entier n).
e
l’ordre des symboles dans u est identique ` celle dans v .
a
Autrement dis, u = v si et seulement si ui = vi , pour tout i
allant de 1 ` n o` n = |u| = |v |.
a u
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27. Op´rations sur les mots
e
Miroir
D´finition 1.18
e
Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w ,
not´ w est le mot obtenu en inversant l’ordre des
e
symboles dans w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

28. Op´rations sur les mots
e
Miroir
D´finition 1.18
e
Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w ,
not´ w est le mot obtenu en inversant l’ordre des
e
symboles dans w .
Voici une d´finition r´cursive du miroir d’un mot :
e e
ε si w = ε;
w=
au si w = ua, u ∈ A∗ , a ∈ A.
Exemples 1.19
Soit w = ababca sur A = {a, b, c}. Alors w = acbaba.
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29. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s du miroir
e e
Proposition 1.20
w = w (le miroir est une op´ration involutive).
e
uv = v u.
|w | = |w |.
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30. Op´rations sur les mots
e
Palindromes
D´finition 1.21
e
Un mot w sur un alphabet A est un palindrome si w est
identique ` son miroir, c’est-`-dire, si w = w .
a a
Exemples 1.22
1001, 10101 sont des palindromes sur A = {0, 1}.
radra, ´t´, non et ici sont des palindromes Fran¸ais.
e e c
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31. Op´rations sur les mots
e
Facteurs
D´finition 1.23
e
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un facteur d’un
mot w si, w = xuy pour certains mots x ∈ A∗ et y ∈ A∗ .
Exemples 1.24
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les facteurs de w sont :
ε, a, b, c, ab, bc, ca, abc, bca, abca = w .
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32. Op´rations sur les mots
e
Pr´fixes
e
D´finition 1.25
e
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un pr´fixe ou
e
facteur gauche d’un mot w si, w = uv pour un certain mot
v ∈ A∗ .
Exemples 1.26
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les pr´fixes de w sont :
e
ε, a, ab, abc, abca = w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

33. Op´rations sur les mots
e
Suffixes
D´finition 1.27
e
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un suffixe ou
facteur droit d’un mot w si, w = vu pour un certain mot
v ∈ A∗ .
Exemples 1.28
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les suffixes de w sont :
ε, a, ca, bca, abca = w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

34. Op´rations sur les mots
e
Sous-mots
D´finition 1.29
e
Soit A un alphabet. Un sous-mot u d’un mot w est une suite
extraite de w . Autrement dis, on obtient le mot u en
supprimant un certain nombre (´ventuellement nul) de
e
symboles de w .
Exemples 1.30
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les sous-mots de w sont :
ε, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bc, ca, aba, abc, aca, abca = w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

35. Op´rations sur les mots
e
Facteur, pr´fixe, suffixe et sous-mot propre
e
D´finition 1.31
e
Soit A un alphabet. Un facteur (resp. pr´fixe, suffixe ou
e
sous-mot) propre d’un mot w est un facteur (resp. pr´fixe,
e
suffixe ou sous-mot) u tel que u = ε et u = w .
On note par :
Fact(w ) : l’ensemble des facteurs de w .
Pref (w ) : l’ensemble des pr´fixes de w .
e
Suff (w ) : l’ensemble des suffixes de w .
SMots(w ) : l’ensemble des sous-mots de w .
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36. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

37. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

38. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

39. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

40. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Exemples 1.33
(IN, +, 0) est un mono¨
ıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

41. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Exemples 1.33
(IN, +, 0) est un mono¨
ıde.
(IN, ×, 1) est un mono¨
ıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

42. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Exemples 1.33
(IN, +, 0) est un mono¨ ıde.
(IN, ×, 1) est un mono¨ ıde.
(A∗ , ., ε) le langage universel sur A muni de la
concat´nation est un mono¨
e ıde.
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43. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

44. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

45. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E ,
ıde , e) si et seulement si :
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

46. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E ,
ıde , e) si et seulement si :
X ⊆ E.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

47. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E ,
ıde , e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

48. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E , , e) si et seulement si :
ıde
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi : x y ∈ X , ∀x, y ∈ X .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

49. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

50. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

51. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Exemples 1.37
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

52. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de g´n´rateurs de (IN, +).
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

53. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de g´n´rateurs de (IN, +).
e e
L’ensemble des nombres premiers est un ensemble de
g´n´rateurs de (IN, ×).
e e
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54. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

55. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
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56. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
Exemples 1.39
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

57. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de g´n´rateurs ind´pendants de
e e e
(IN, +).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

58. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de g´n´rateurs ind´pendants de
e e e
(IN, +).
L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemble
de g´n´rateurs ind´pendants de (IN, ×).
e e e
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59. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

60. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
D´finition 1.40
e
Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble
ıde ıde e
de g´n´rateurs ind´pendants.
e e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

61. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
D´finition 1.40
e
Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble
ıde ıde e
de g´n´rateurs ind´pendants.
e e e
Exemples 1.41
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

62. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
D´finition 1.40
e
Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble
ıde ıde e
de g´n´rateurs ind´pendants.
e e e
Exemples 1.41
Si A est un alphabet non vide, alors A∗ est un mono¨
ıde
libre. En effet, A est un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de A∗ .
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

63. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

64. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

65. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
L’union est associative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

66. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

67. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
L’union poss`de un ´l´ment neutre : ∅.
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

68. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

69. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

70. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

71. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

72. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
L’intersection poss`de un ´l´ment neutre : A∗ .
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

73. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

74. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.46
e
Compl´mentaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w ∈ L}.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

75. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.46
e
Compl´mentaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w ∈ L}.
e
D´finition 1.47
e
Diff´rence : L, M ⊆ A∗ : LM = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
e
w ∈ M}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

76. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

77. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

78. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
∗
2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la
e
puissance neme du langage L, not´ Ln , par :
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

79. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
∗
2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la
e
puissance neme du langage L, not´ Ln , par :
e
{ε} si n = 0;
Ln = n−1
L L si n ≥ 1.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

80. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
∗
2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la
e
puissance neme du langage L, not´ Ln , par :
e
{ε} si n = 0;
Ln = n−1
L L si n ≥ 1.
Remarques 1.48
Ln repr´sente le langage de tous les mots obtenus en
e
concat´nant n mots pris dans L.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

81. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

82. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
∗
1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

83. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
∗
1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}.
´ e ∗
2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : not´e L et d´finie
e
par :
L∗ = ∪∞ Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
n=0
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

84. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
∗
1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}.
´ e ∗
2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : not´e L et d´finie
e
par :
L∗ = ∪∞ Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
n=0
3 ´
Etoile positive : not´´ L+ et d´finie par :
ee e
L+ = ∪∞ Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... = L ∪ L2 ∪ L3 ∪ ...
n=1
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

85. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

86. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

87. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

88. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

89. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

90. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

91. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = M L
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

92. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = M L
8 ∀L ∈ A∗ : L = L
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels