Mathématiques financières - calculs financiers - Intérêts composés

1. Faculté de droit, de sciences politiques et de gestion
Année Universitaire 2022-2023
Chargée du cours : Dr. Abir
Melki
Matière : Mathématiques
Financières

2. Mathématiques Financières
Les intérêts
composés
I. Découvrir le concept des intérêts composés
II. Découvrir les formules de base de calcul des intérêts
composés
III. Savoir distinguer entre actualisation et capitalisation
IV. Familiariser avec la notion d’équivalence des capitaux
V. Savoir calculer le taux proportionnel et le taux équivalent
Année Universitaire 2022-2023
Chargée du cours : Dr. Abir
Melki
Objectifs du chapitre

3.  On parle d’intérêt composé si les intérêts sont capitalisés c'est-à-dire ajoutés au
capital initial pour produire à leur tour des intérêts, le placement est alors dit à
intérêts composés.
 Le capital et les intérêts produits au terme de chaque période de l’opération sont
confondus en un nouveau capital produisant lui même de l’intérêt au cours de la
période suivante.
 Ce type est généralement appliqué aux opérations financières dont la durée
dépasse l’année (prêt voiture, logement,…)
Intérêts composés

4.  A la fin de chaque période de calcul des intérêts, l’emprunteur ne paie pas l’intérêt simple dû pour
cette période, mais cet intérêt s’ajoute au capital dû et il est ensuite capitalisé et rapporte donc un
intérêt pendant la période suivante.
 La distinction fondamentale entre les intérêts composés et les intérêts simples réside dans la
capitalisation à la fin de chaque période des intérêts acquis au-cours de cette période.

5. Formules fondamentales
 Notion de Valeur Acquise
Soient :
—C0: Capital initialement placé au début d’une période
—i : Taux d’intérêt correspondant à une période
—n : Nombre de périodes de placement
—Cn: Capital obtenu à la fin de la période (valeur acquise)

6. Périodes Capital au début
de période
Intérêt perçu Capital de fin de période
1
2
3
.
(n-1)
n
C0
C1 = C0 (1+i)
C2 = C0 (1+i)²
Cn-2 = C0 (1 + i)n-2
Cn-1 = C0 (1 + i)n-1
C0 X i
C0 (1+i) x i
C0 (1+i)² x i
C0 (1 + i)n-2 x i
= C0 (1 + i)n-1x i
C1 = C0 + C0 X i = C0 (1+i)
C2 = C0 (1+i) + C0 (1+i) x i = C0 (1+i) (1+i) = C0 (1+i)²
C3 = C0 (1+i)² + C0 (1+i)² x i = C0 (1+i)² (1+i) = C0 (1 + i)3
Cn-1 = C0 (1 + i)n-2
+ C0 (1 + i)n-2 x i = C0 (1 + i)n-2 (1 + i)
= C0 (1 + i)n-1
Cn = C0 (1 + i)n-1
+ C0 (1 + i)n-1 x = C0 (1 + i)n-1 (1 + i)
= C0 (1 + i)n

7.  Cn = C0 (1 + i)n : formule de base qui est tout à fait générale.
 Elle dépend de trois variables : le capital au début de période, le taux d’intérêt i et la
durée n. Ces derniers doivent être exprimés de la même unité.
Exemple 1
Si un capital de 3000D est placé à IC au taux annuel de 9%, quelle sera sa valeur
acquise au bout de 4 ans.
Exemple 2
Un capital d’un montant de 10 000 D est placé à intérêt composé (capitalisation
semestrielle) au taux semestriel de 5% pendant 5 ans. Calculer sa valeur acquise ainsi
que les intérêts composés.

8. Notion de valeur actuelle : Actualisation
La valeur actuelle est la valeur primitive d’un capital lors de son placement.
 L’actualisation est l’opération inverse de la capitalisation.
On appelle valeur actuelle d’un capital Cn la somme qu’il faut placer à intérêt
composé pendant n périodes à un taux i pour obtenir ce capital Cn.
Actualiser c’est déterminer la valeur actuelle d’une somme payable dans le
futur, par contre capitaliser s’est déterminer la valeur future d’une somme
placée aujourd’hui.
Actualisation : C0 = Cn / (1+i)n Capitalisation : Cn = C0 (1 + i)n

9. Exemple
On vous donne le choix entre 100MD immédiatement ou 150MD dans 3 ans, si vous pouvez
placer votre argent à 15% l’an :
Pour pouvoir comparer les deux sommes, il faut se placer à la même date 0 :
100 MD immédiatement
Ou 150 MD / (1.15)3 = 98.627 MD
100 MD > 98.627 MD
On choisit de recevoir 100 MD immédiatement

10.  Deux capitaux sont dits équivalents à un moment donné s’ils ont la même valeur actuelle
à cette date, l’actualisation étant faite au même taux et à intérêts composés.
Notion d’équivalence des capitaux
Exemple
Un industriel veut remplacer une créance de 2500 D à 4 ans par une créance de 3177,59 D.
Déterminez l’échéance de la nouvelle créance sachant que le taux d’intérêt est de 12%
2500 x(1.12)-4 = 3177.59 x(1.12)-n
1588.795 = 3177.59 x(1.12)-n
(1.12)-n = 1588.795 / 3177.59 = 0.5
-n Ln (1.12) = Ln (0.5)
n = Ln (0.5) / - Ln (1.12) = 6.116 années = 6ans + 0.116*12 mois = 6 ans et 1.392 mois = 6 ans, 1 mois et 0.392
*30= 12 j ; 6 ans, 1 mois et 12 jours

11.  Pour pouvoir remplacer plusieurs créances par une créance unique, il faut que ces
créances soient équivalents c'est-à-dire il faut que la somme des valeurs actuelles des
créances à remplacer égale à la valeur actuelle de la nouvelle créance.
Exemple
Une entreprise veut retarder l’échéance des créances suivantes :
C1 = 4000D, échéance dans 2 ans
C2 = 5000D, échéance dans 3 ans
Elle décide de les remplacer par une seule créance unique payable dans 5 ans, calculer la
valeur de cette créance sachant que le taux d’intérêt est de 10%.
4000x (1.1)-2 +5000 (1.1)-3 = C (1.1)-5
3305.78+3756.57 = C (1.1)-5
C = 7062.35 / (1.1)-5 = 11373.9853 D
Problème d’échéance commune

12. Pour déterminer l’échéance moyenne, il suffit de supposer que ces créances sont
équivalentes à une créance unique dont la valeur est la somme des créances à remplacer.
Problème d’échéance moyenne
Exemple
Soient trois créances
C1 = 3000D, échéance dans 3ans
C2 = 4000D, échéance dans 4 ans
C3 = 5000D, échéance dans 6 ans
Déterminer leur échéance moyenne sachant que le taux d’intérêt est de 9%.
3000 x (1.09)-3 + 4000 x (1.09)-4 + 5000 (1.09)-6 = 12 000 x (1.09)-n
8131.587 = 12 000 x (1.09)-n
(1.09)-n = 8131.587 / 12 000 = 0.6776
-n Ln (1.09) = Ln (0.6776)
n= Ln (0.6776) / - Ln (1.09) = 4.515 années = 4 ans, 6 mois et 6 jours