Mathématiques financières - les calculs financiers- les annuités

1. Faculté de droit, de sciences politiques et de gestion
Année Universitaire 2022-2023
Chargée du cours : Dr. Abir Melki
Matière : Mathématiques Financières

2. Les annuités
I. Découvrir le concept de l’annuité
II. Annuité de fin de période et de début de période
III. Calculer la valeur future des annuités  capital constitué
IV. Calculer la valeur actuelle des annuités  capital principal ;
actuel
Année Universitaire 2022-2023 Chargée du cours : Dr. Abir Melki
Objectifs du chapitre

3. On désigne par annuité une série de versements effectués à intervalles de
temps réguliers. Une suite d’annuité est définie si les quatre éléments
suivants sont bien précisés :
 La date du premier versement.
 La période : elle peut être annuelle, mensuelle, trimestrielle ou
semestrielle.
 Le nombre de versements.
 Le montant de chacun des versements.
Les annuités – Définition

4. Le versement d’annuités peut s’effectuer dans un double but :
 Soit dans l’objectif de constituer un capital : annuité de placement ou
de capitalisation.
 Soit dans le but de rembourser une dette (annuité de
remboursement).
Les annuités peuvent être :
 Constantes ou variables.
 Versées en début ou en fin de période.
Les annuités – Définition

5. Soit une suite d’annuités définie par :
a : montant de chaque versement
n : nombre de versements
i : taux d’intérêt
On appelle valeur acquise (désignée par Vn) d’une série de n annuités à la date du
dernier versement la somme des valeurs acquises de ces n annuités. On a:
Les annuités constantes de fin de période
 Calcul de la valeur acquise : Vn

6. À la date du dernier versement, la valeur acquise des annuités constantes n est
Vn
Ordinary Annuities
Formula of required value / Future value An
Vn est la somme des valeurs acquises de n annuités

7. = le premier intérêt produit des intérêts pendant n-1 périodes
= la dernère annuité ne produit pas des intérêts
= le troisième intérêt produit des intérêts pendant n-3 périodes
= la n-1 annuité produit des intérêts pour just une seule période
= le second intérêt produit des intérêts pendant n-2 périodes
Nous remarquons que pour aller d’un terme à un autre, on multiplie pat (1+i), d’où
il s’ait d’une suite géométrique de premier terme a et de reason (1+i)
D’où la somme Vn sera :
 Démonstration
Avec a est l’annuité constante payé
périodiquement, I est le taux d’intérêt, n
est le nombre de versement (des annuités).

8. Vous avez place 2000d annuellement pour une période de 10 ans à un
taux de 8%. Quel est le capital constitué à l’issue de ce placement,
Exemple 1

9. Example 1 - réponse
valeur future du premier paiement = 2000 x 1.089 = 3,998.01
valeur future du deuxième paiement = 2000 x 1.088 =3,701.86
valeur future du troisième paiement = 2000 x 1.087 =3,427.65
valeur future du quatrième paiement = 2000 x 1.086 =3,173.75
valeur future du cinquième paiement = 2000 x 1.085 =2,938.66
valeur future du sixième paiement = 2000 x 1.084 = 2,720.98
valeur future du septième paiement = 2000 x 1.083 =2,519.42
valeur future du huitième paiement = 2000 x 1.082 =2,332.80
valeur future du neuvième paiement = 2000 x 1.081 =2,160.00
valeur future du dixième paiement = 2000 x 1.080 = 2,000.00
valeur totale cumulée de placement à la fin des 10 ans = 28,973.13

10.  La Valeur future à travers la formule
Vn = a x (1+i)n -1
i
Avec
a = 2000; i = 8%; and n=10.
Facteur d’intérêt= [((1.08)10 - 1)/.08] = 14.486562
Vn = valeure future= 2000*14.486562  28973.13
Facteur d’intérêt

11. Avec un taux d’intérêt annuel de 4%, calculer la Valeur acquise après le
paiement de 6 annuités constantes de fin de période de 5000 dinars chacune,
Exemple 2
Réponse

12. La valeur actuelle (appelée aussi valeur à l’origine ou valeur présente) d’une
suite d’annuités est égale à la somme des valeurs actuelles des annuités.
Les annuités constantes de fin de période
 Calcul de la valeur actuelle : V0

14.  Étant donné la Valeur acquise des anuuités (Vn) , la Valeur présente (V0) est
simplement la Valeur actuelle de Vn.
Facteur d’intérêt

15. Calculer à 4% la Valeur actuelle des 6 annuités constantes de 5000d chacune,
Exemple 3
Solution

16. Les annuités constantes de début de période
 Calcul de la valeur acquise : Vn
On appelle valeur acquise (désignée par Vn) d’une série de n annuités à la date du
dernier versement la somme des valeurs acquises de ces n annuités.
On a:

17. 𝑉𝑛 = 𝑎
1 + ⅈ 𝑛
− 1
ⅈ ⋅
⋅ 1 + ⅈ

18. La valeur actuelle (appelée aussi valeur à l’origine ou valeur présente) d’une suite d’annuités est égale à la
somme des valeurs actuelles des annuités.
V0 = a + a (1 + i) -1 + a (1+i)-2 + a (1+i)-3 + …… + a (1 + i)-(n-1)
= a [1 + (1 + i) -1 + (1+i)-2 + ………+ (1 + i)-(n-1)]
= a [Somme d’une suite géométrique de n termes, de raison (1+i)-1 et de premier terme a]
Les annuités constantes de début de période
 Calcul de la valeur actuelle : V0

19. 𝑽𝟎 = 𝒂
𝟏 − 𝟏 + ⅈ −𝒏
ⅈ ⋅
⋅ 𝟏 + ⅈ
 Calcul de la valeur actuelle : V0