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2 jours pour faire le point sur les outils:
- Les techniques de couverture du risque de change;
-
*
Outils financiers
Pr. Mohammed MERZAQ
MAD
10/05/2021
LF Semestre 4 20-21 M.MERZAQ 1

Le remboursement d’une dette (ou la constitution d’un capital) peut être
effectué par des sommes versées à intervalles de temps réguliers. La
période retenue ( la durée qui sépare deux versements successifs) peut
être le mois, le trimestre, l’année dans ce cas, les versements
correspondant à des mensualités, trimestrialités, semestrialités,
annuités....
Ces annuités peuvent avoir le même montant. Dans ce cas, elles sont
dites constantes. Mais elles peuvent aussi avoir des montants progressifs.
En particulier, cette progression peut être arithmétique ou géométrique.
Enfin, chacun des ces versements peut être effectué, soit en début de
période soit en fin de période. Le taux d’intérêt est supposé constant tout
au long de la période de placement ou de remboursement.
Chapitre IV: Les Annuités
Introduction
10/05/2021

Comme dans les problèmes d’équivalence des
capitaux, il est souvent question de déterminer la
somme des valeurs actuelles (ou acquises) des n
annuités, à une date donnée k.
En particulier, on s’intéresse à:
 la valeur acquise par les n annuités à la date du
dernier versement;
 la valeur acquise par les n annuités à une date
postérieure au dernier versement;
la valeur actuelle à l’origine (date 0);
 la valeur actuelle antérieure au premier
versement.
10/05/2021

I. Annuités constantes de fin de période
Une annuité de fin de période est aussi appelée
annuité de remboursement. Le premier versement
s’effectue une période après l’origine, comme
c’est décrit dans le schéma suivant:
a1 a2 a3 an
I I I I I I
0 1 2 3 ….. …… n
avec ai : l’annuité relative à la période i,
avec i = 1, ...., n.
10/05/2021

Dans le cas où on a le même montant a qui est versé à la fin de
chaque période, on a le schéma suivant:
a a a a
I I I I I I I
0 1 2 3 .. . . . . . . . n
a°/ Valeur acquise à la date du dernier versement:
Avec un taux de capitalisation annuel t, à la date
d’évaluation n, on capitalise les n versements, on obtient le
schéma suivant:
10/05/2021

a a a a a a
I I I I I I I I
0 1 2 3 ……………… n-2 n-1 n
a
a(1 + t)1
a(1 + t)2
.
.
.
a(1 + t)n−3
a(1 + t)n−2
a(1 + t)n−1
10/05/2021

La valeur acquise par la suite d'annuité est donc donnée par la
formule
n
Vn = ∑ a(1 + t) n−k .
k=1
C’est la somme de n termes d’une suite géométrique de raison
(1 + t) et de premier terme a. Ce qui donne:
1- (1+t)n (1+t)n -1
Vn = a = a
On déduit le montant de l’annuité:
a =
1 – (1+t)
Vn t
(1+t)n - 1
t
10/05/2021

Remarque: Si le taux ne correspond pas à la
période, il faut travailler avec un taux équivalent
correspondant à cette période (sauf si on vous
indique qu’il faut utiliser le taux proportionnel).
Exemple:
Calculer à la date du dernier versement, le
capital constitué par 25 semestrialités de
montant 2500 MAD chacune, sachant que le taux
annuel est de 9,75%.
LF Semestre 4 20-21 M.MERZAQ 8 10/05/2021

Calcul du taux trimestriel équivalent t4 au taux annuel 9%:
t2 = (1 + t)1/2 − 1 = 0,047616342
La valeur acquise par les 25 semestrialités
à la date du dernier versement est:
(1+ t2) 25 - 1
V25 = 2500 ×
t2
= 115470,45 MAD.
10/05/2021

Si n est la date du dernier versement d’une suite d’annuités,
alors la valeur acquise de cette suite, à une date n + p (p > n>0),
se calcule comme suit:
a a a a Vn+p
I I I I I I I
0 1 2 3 …… n ………………… n + p
On détermine la valeur acquise par la suite d’annuités
à la date n, ce qui donne:
Vn = a×
t
t
(1 + t)n − 1
10/05/2021
b°/ Valeur acquise à une date ultérieure à celle du
dernier versement

On capitalise la valeur Vn sur une durée de p, on obtient:
Vn+p = Vn (1 + t)p =
(1 + t)n − 1
t
a (1 + t)p
Exemple:
- Dans le cadre d’une capitalisation, on place des annuités de montant
1750 MAD chacune, au taux annuel de 9,75% sachant que la date du
1er versement était le 31/12/2005 et que celle du dernier versement
est le 31/12/2019. Calculons le capital constitué aux dates suivantes.
1/ Date du dernier versement.
2/ 15/06/2020 (considérer les solutions commerciales et rationnelles).
3/ 31/12/2022.
LF Semestre 4 20-21 M.MERZAQ 11 10/05/2021

Solution.
1/ A la date du dernier versement:
V15 = 1750
2/ Au 15/06/2020 : on se situe 5,5 mois après le dernier
versement. On peut donc résoudre le problème par les deux
solutions :
(1 + 0, 0975)15 − 1
0, 0975
= 54511,79 MAD.
(a) Solution commerciale
Vsc = V15 (1, 0975)5,5/12 = 56886,50 MAD.
10/05/2021

VSR = V15 (1 + 0, 0975× 5,5/12) = 56947,78 MAD
3/ Au 31/12/2022, on se situe 3 ans après le dernier versement.
V18 = V15 (1, 0975)3 = 72061,62 MAD
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(b) Solution rationnelle

c°/ Valeur à l’origine ou valeur actuelle
La date d’évaluation à l’origine: on actualise l’ensemble des
versements
- La valeur actuelle de la 1ère annuité à la date 0 est a(1 + t)−1
- La valeur actuelle de la 2ème annuité à la date 0 est a(1 + t)−2.
.
.
.
- La valeur actuelle de la (n − 1)ème annuité a la date 0 : a(1 + t)−n+1 .
- La valeur actuelle de la nème annuité a la date 0 : a(1 + t)−n .
a a a
0 1 2 3
a
n
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La somme de toutes ces valeurs actuelles donne:
V0 = ∑ a(1 + t)−k
n
k=1
c’est la somme de n terme d’une suite géométrique de raison
(1 + t)−1et de premier terme a (1 + t)−1 Ce qui donne:
V0 = a
1 − (1 + t)−n
t
Remarque: On peut retrouver la formule de la valeur actuelle
en actualisant la valeur acquise Vn sur n période:
V0 = Vn (1 + t)−n = a
(1+t )n - 1
t
(1 + t)−n = a
1 − (1 + t)−n
t
10/05/2021

Exemple:
Une dette est remboursable sur 25 ans par des
paiements mensuels constants de fin de période, de
montant chacun 5250 MAD, le taux d’intérêt annuel est
de 14,75%. Quel est le montant de la dette initiale ?
A la date 0, la valeur actuelle de la suite est:
V0 = 5250 ×
1- (1+ t12 )-300
t12
= 440673,04 MAD.
10/05/2021
Calcul du taux équivalent mensuel:
t12 = (1 + 0,1475 )1/12
- 1 = 0,011531452

d°/ Valeur d’une suite d’annuités à une date quelconque k .
La date d’évaluation est k:
a1 a2 a3 an
I I I I I I
0 1 2 3……………. k ……… n
Il suffit de disposer de la valeur actuelle ou de la valeur acquise de la suite
d’annuités pour avoir l’évaluation de la suite à la date k, En effet:
Vk = V0(1 + t)k
k ∈ IR, c’est-`a-dire k peut être positif ou négatif.
10/05/2021

II. Annuités constantes de début de période.
Une annuité de début de période est aussi appelée
annuité de placement. Le premier versement s’effectue à
l’origine, comme c’est décrit dans le schéma suivant:
a0 a1 a2 a3 a4 an−1
I I I I I I I
0 1 2 3 4 ….......... n-1 n
avec ai : l’annuité relative à la période i, avec i = 0, ...., n − 1.
Dans le cas où on a le même montant a qui est versé
au début de chaque période, on a la schéma suivant:
a a a a a
I I I I I I I
0 1 2 3 ………. n-1 n
10/05/2021

a°/Valeur acquise à la date n.
Avec un taux de capitalisation annuel t, à la date
d’évaluation n, on capitalise les n versements, la valeur
acquise par la suite d’annuité est donc donnée par la formule:
Vn = a(1 + t)n−k .
∑
k=0
n-1
C’est la somme de n termes d’une suite géométrique de raison
(1 + t) et de premier terme a (1 + t), ce qui donne:
Vn = a
(1 + t)n -1
t
(1 + t)
Vn = a(1+t)n+ a(1+t)n-1 + ……...+ a(1+t)2 + a(1+t)
10/05/2021

* On déduit le montant de l’annuité:
a =
(1 + t)n-1
Vn . t
(1 + t)-1
Remarque:
La différence entre les formules relatives à la valeur acquise
par une annuité de début de période et une annuité de fin
de période, est le terme (1 + t),qui est naturel, puisqu’il
correspond à une période de capitalisation de plus des
annuités de début de période, où on commence à placer les
capitaux à la date 0, au lieu de la date 1 pour les annuités de
fin de période.
10/05/2021

Exemple:
Dans le cadre d’une capitalisation, on place des annuités
de montant 1500 MAD chacune, au taux annuel de 9,25 %
sachant que la date du 1er versement était le 01/01/2005
et que celle du dernier versement est le 01/01/2019.
Calculons le capital constitué aux dates suivantes.
Questions:
1°/ un an après la date du dernier versement.
2°/ 01/06/2020 (considérer les solutions commerciales et rationnelles).
3°/ 01/01/2021.
10/05/2021

* Solution
1. A la date du 01/01/2019
V15 = 1500
(1 + 0, 0925)15 − 1
0, 0925
(1 + 0,0925)
2. Au 01/06/2019 on est situé 5 mois après la date du 01/01/2020. On peut donc
résoudre le problème par les deux solutions :
(a) Solution commerciale
VSC = V15(1, 0925)5/12 = 50913,49 MAD.
(b) Solution rationnelle
VSR = V15(1 + 0, 0925 × 5/12) = 50962,16 MAD.
3. Au 01/01/2021 situe 2 ans après le dernier versement.
V16 = V15 (1, 0925) = 53609,95 MAD
= 49070,89 MAD
10/05/2021

b°/Valeur actuelle d’une annuité de début de période.
La formule de la valeur actuelle d’une suite d’annuités de
début de période, on peut actualiser l’ensemble des
versements à la date 0, ou on peut tout simplement
utiliser le principe d’équivalence, en considérant
l’équivalent de la valeur Vn à la date 0. Ce qui donne:
V0 = Vn (1 + t)−n ou (raison (1+ t)-1 premier terme a )
V0 = a
1 − (1 + t)−n
t
(1 + t)
On peut déduire l’expression de l’annuité par :
a =
V0 . t
1 − (1 + t)−n
(1 + t)-1
V0 = a + a(1+t)-1+ a(1+t)-2 + a(1+t)-3 +…….. + a(1+t)-(n-2) + a(1+t)-(n-1)
10/05/2021

* Exemple
10/05/2021

Exercice:
Par le versement de 10 annuités de 18000 MAD chacune on
constitue, à la date du dernier versement, un capital de
300.000 MAD. Quel est le taux de capitalisation utilisé ??
V10 = 300.000= 18000 (1+t)10 -1
t
C’est un polynôme de 10ème degré dont on approche la solution par interpolation
linéaire
(1+t)10 -1
t
= 16,6666667
10,75 % --------16,5219938
t -------- 16,6666667
11 % ---------16,7220090
On obtient l’équation linéaire suivante :
t - 10,75
11-10.75
=
16,6666667 – 16,5219938
16,7220090 – 16,5219938
t = 10,93 %
10/05/2021

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