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Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




                          Vers la modélisation
                       des prix spot de l’électricité

                                    Note bibliographique

                                            N.Rouveyrollis

                                             22 Avril 2004




                                    Cerna, Centre d’économie industrielle
                                Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris
                                            60, boulevard Saint Michel
                                           75272 Paris Cedex 06, France
                        Tél. : 33 (1) 40 51 91 26/ 33 (1) 40 51 90 93 Fax : 33 (1) 44 07 10
                          46rouveyrollis@cerna.ensmp.fr – http://www.cerna.ensmp.fr




                                                                                              1
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique



Tablle des matiières
Tab e des mat ères


Partie 1 :Faits stylisés et caractéristiques des prix ........................................................ 4
1. Statistiques simples................................................................................................................ 5
2. Retour à la moyenne.............................................................................................................. 6
3. Périodicité et fluctuations ..................................................................................................... 8
4. Pics de prix, et volatilité ...................................................................................................... 11
5. Corrélations ......................................................................................................................... 13

Partie 2 : Les modèles de base ...................................................................................... 18
1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes................. 19
2. Les processus « Mean-Reverting » ..................................................................................... 22
3. Autour du modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985)............................................................... 24
4. Evaluation des prix Future / Forward................................................................................ 28

Partie 3 : Autour des modèles à 1 facteur ................................................................... 34
1. Modèle à niveau d’équilibre variable ................................................................................. 34
2. Les modèle à un facteur de Lucia-Schwartz ...................................................................... 35

Partie 4 : Les modèles multi-facteurs .......................................................................... 42
1. Modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz........................................................................ 42
2. Le modèle à deux facteur de Pilipovic ................................................................................ 46
3. Le modèle de Gibson & Schwartz ....................................................................................... 47
4. Le modèle à 3 facteurs de Schwartz.................................................................................... 49

Partie 5 : Modèles à sauts ............................................................................................ 50
1. Les modèles à sauts : approche classique........................................................................... 51
2. Première généralisation : les modèles AJD........................................................................ 54

Partie 6 : Une classe générique de modèles multi- facteurs ....................................... 70
1. Le modèle multifacteur de Heath-Jarrow-Morton (HJM) ................................................ 71
2. Le modèle de Cortazar/Schwartz[15] - Les Clewlow/Strikland[12].................................. 73
3. Quelques exemples .............................................................................................................. 74
4. Extension ............................................................................................................................. 76




                                                                                                                                           2
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




Partie 7 : Les processus de Levy .................................................................................. 78
1. Généralités ........................................................................................................................... 79
2. Représentation en terme d’exposant................................................................................... 80
3. Processus de Levy et Brownien subordonné ...................................................................... 84
4. Exemples d’application ....................................................................................................... 85

Partie 8 : les modèles à volatilité non constante ................................... 105
1. Cas des modèles continus.................................................................................................. 106
2. Modèles discrets................................................................................................................. 119

Partie 9 : les modèles hybrides ................................................................................... 124
1. Les Modèles à changement de régime : approche par chaîne de Markov ...................... 125
2. Autres approches ............................................................................................................... 135




Annexe 1 : Expression analytique dans le Modèle de Black & Scholes ............. 150
Annexe 2 : Modèle du type retour vers une moyenne............................................... 152
Annexe 3 : Calculs autour du processus CIR ............................................................. 155
Annexe 4 : Modèle de Lucia & Schwartz et processus de retour vers une
moyenne............................................................................................................................... 157
Annexe 5 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Lucia & Schwartz ... 158
Annexe 6 : Autour du modèle à deux facteurs de Pilipovic .................................... 162
Annexe 7 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Gibson et Schwartz . 165
Annexe 7b : Modèles multifacteurs et changement de probabilité ....................... 170
Annexe 8 : Un cas simple de diffusion avec sauts ..................................................... 174
Annexe 9 : Exemples de Modèles AJD ......................................................................... 176
Annexe 10 : AJD à deux facteurs ................................................................................... 181
Annexe 11 : AJD et CIR .................................................................................................... 187
Annexe 12 : Autour du modèle de Kellerhals .............................................................. 189
Annexe 13 : GRS et Likelihood ....................................................................................... 201
Annexe 14 : Régression et test .............................................................................................. 204




                                                                                                                                           3
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




Partie 1 :Faiits stylliisés et caractériistiiques des priix
          Fa ts sty sés et caractér st ques des pr x


La première étape dans le processus de modélisation consiste à faire l’inventaire des
caractéristiques de l’information que l’on souhaite modéliser.


Dans cette partie nous mettons en avant les différentes propriétés que l’on peut
observer quand on s’intéresse à la dynamique des prix spot de l’électricité. Ici nous
basons notre analyse sur les données de quatre marchés qui intéressent la
littérature : NordPool, APX, Omel et Powernext.


Les prix de l’électricité dépendant directement de l’offre et de la demande, et celle-ci
ne pouvant pas être stockée de manière efficiente en terme de coût, ce lien est
d’autant plus fort. Il découle alors un fait assez important qui est la complexité de la
dynamique des prix au comptant , on peut observer :


        un effet de retour à la moyenne ou «mean reversion » ( Gibson&Schwartz[35]
    ) : du sans aucun doute à la logique économique sous-jacente à la dynamique
    définissant les prix


        des fluctuations saisonnières : en effet la demande en électricité suit des
    variations apparentées aux saisons


        des fluctuations « intra-days » et « intra-hours »: le niveau de la demande en
    électricité dépendant de l’activité, les prix ne sont pas uniformes d’un jour à l’autre
    et d’une heure à l’autre . En particulier, celle-ci est moins intense durant les
    périodes de week-ends ou de vacances …


        des pics de prix et une forte volatilité: le prix spot peut par exemple augmenter
    de plusieurs centaines de pourcentages en une heure. Cet effet dépend aussi de
    la rapidité des producteurs à répondre à des pics de demande, cette vitesse étant




                                                                                           4
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


    variable selon le type d’électricité produite (Ex : hydroélectricité Vs électricité
    nucléaire).



                1. Statistiques simples


Les outils statistiques de base que sont la variance, la moyennes et la forme des
distributions donnent rapidement des élément fondamentaux sur la dynamique qui
nous intéresse.


Le graphique qui suit représente la distribution des prix horaires (centrés – réduits)
sur Powernext pour la période allant du 3/12/2001 au 28/09/2003.



   2000,00
   1800,00
   1600,00
   1400,00
   1200,00
   1000,00
    800,00
    600,00
    400,00
    200,00
      0,00
                                     0,41
                                            0,83

                                                   1,25
                                                          1,67
                                                                 2,09

                                                                        2,51
                                                                               2,93

                                                                                      3,35
                                                                                             3,76
                                                                                                    4,18
                                                                                                           4,60

                                                                                                                  5,02
                                                                                                                         5,44
                                                                                                                                5,86

                                                                                                                                       6,28
                                                                                                                                              6,70

                                                                                                                                                     7,12
                                                                                                                                                            7,53
                                                                                                                                                                   7,95
                                                                                                                                                                          8,37

                                                                                                                                                                                 8,79
                                                                                                                                                                                        9,21

                                                                                                                                                                                                   9,63
             -0,84
                     -0,42
                             -0,01




     Figure 1: histogramme des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 8/09/2003, source de
                                                                 donnée : www.powernext.fr



Cette distribution est caractérisée par :


        une non normalité, et une asymétrie


        la présence de valeurs extrêmes : assujettie à un risque de prix


        une queue épaisse à droite et un effet de rabot à gauche




                                                                                                                                                                                               5
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


Regardons maintenant l’évolution moyenne du processus de prix et celle de sa
variabilité.


Toujours sur la même période, on calcule les moyennes et variances
hebdomadaires, le graphe suivant représente les semaines 4 à 79.


    1.50
                                                             Variance        Moyenne
    1.00

    0.50

    0.00
       4
            7
                10
                     13
                          16
                               19
                                    22
                                         25
                                              28
                                                   31
                                                        34
                                                              37
                                                                   40
                                                                        43
                                                                             46
                                                                                  49
                                                                                       52
                                                                                            55
                                                                                                 58
                                                                                                      61
                                                                                                           64
                                                                                                                67
                                                                                                                     70
                                                                                                                          73
                                                                                                                               76
   -0.50

   -1.00


Figure 2: Moyenne et variance des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 28/09/2003, source de
                                              donnée : www.powernext.fr



On constate une fluctuation dans le niveau des prix, caractérisée par l’évolution des
moyenne hebdomadaire, autour de ce niveau les prix fluctuent, et cette variabilité
n’est pas constante. Tout laisse à penser une corrélation entre le processus de prix
et sa volatilité : plus les prix sont élevés, plus ils sont volatiles.




           2. Retour à la moyenne


Dire qu’un prix suit un processus de « retour à la moyenne » implique que celui-ci
évolue dans une zone de prix significatifs. Cette zone est bornée et possède un
pouvoir attracteur qui va s’exercer dés que le prix va sortir des frontières la
définissant.




                                                                                                                                    6
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


Ce phénomène peut s’observer sur les courbes agrégées de l’offre et la demande,
dans le tableau suivant est représenté un échantillon de celles disponibles du
marché espagnol (Omel).


12h le 13 Novembre 2003                            12h le 12 Novembre 2003                           12h le 12 Octobre 2003




              ~1500 MW/h                                             ~1500 MW/h                                        ~1000 MW/h



Dans ces trois graphiques on constate que le prix à 12h varie faiblement sur un jour
et sur un mois. On peut lire se phénomène directement sur les courbes de prix (ex :
APX), les pics de prix qui surviennent ne sont pas persistants à 100% sur le niveau
d’équilibre à long terme et sont généralement accompagnés d’un retour rapide vers
la position initiale.




Cette propriété est toutefois moins visible sur NordPool (graphique suivant) et
intervient en second plan dans un facteur d’évolution à court terme des prix .


   140
   120
   100
    80
    60
    40
    20
      0
          1
              54
                    107
                          160
                                 213
                                       266
                                             319
                                                   372
                                                         425
                                                               478
                                                                      531
                                                                            584
                                                                                  637
                                                                                        690
                                                                                              743
                                                                                                    796
                                                                                                          849
                                                                                                                902
                                                                                                                      955
                                                                                                                            1008
                                                                                                                                   1061
                                                                                                                                          1114
                                                                                                                                                 1167
                                                                                                                                                        1220




                   Figure 3: NordPool, moyenne hebdomadaire des prix du 2000-01-01
                                au 2003-05-07, source de donnée : www.nordpool.no




                                                                                                                                                  7
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


                                    3. Périodicité et fluctuations


En contraste avec les séries financières, les prix au comptant de l ‘électricité sont
sujet à différentes fluctuations de nature périodiques dépendantes de l’activité
économique et des besoins.


                                    a. Périodicité intra-jour et Fluctuation intra-heure


Le tableau suivant présente une comparaison entre les processus horaires sur les 5
jours ouvrés de deux semaine significatives (en juillet et en novembre), ainsi qu’une
comparaison des processus horaires sur la période allant du 27/11/2001 au
14/11/2003.


                                                                                                       Fluctuation horaire (Powernext)

                      07/11/2003                                            06/11/2003                                            05/11/2003                                                                                                 11/07/2003                               10/07/2003                                    09/07/2003
                                                                                                                                                                                                                                             08/07/2003                               07/07/2003
                      04/11/2003                                            03/11/2003

                                                                                                                                                                                                 80
   70
                                                                                                                                                                                                 70
   60
                                                                                                                                                                                                 60
   50                                                                                                                                                                                            50
   40                                                                                                                                                                                            40
   30                                                                                                                                                                                            30
   20                                                                                                                                                                                            20
   10                                                                                                                                                                                            10
    0                                                                                                                                                                                             0
         1
                       3
                                    5
                                                  7
                                                               9
                                                                            11
                                                                                          13
                                                                                                       15
                                                                                                                    17
                                                                                                                                  19
                                                                                                                                                21
                                                                                                                                                              23




                                                                                                                                                                                                             1
                                                                                                                                                                                                                          3
                                                                                                                                                                                                                                       5
                                                                                                                                                                                                                                                     7
                                                                                                                                                                                                                                                                  9
                                                                                                                                                                                                                                                                                11
                                                                                                                                                                                                                                                                                             13
                                                                                                                                                                                                                                                                                                          15
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      17
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   19
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 21
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              23




                                                                     Processus horaires (17j, 19h, 21h, Powernext)

                                                                                                                                                Hour17                                   Hour19                                 Hour21


   500
   400
   300
   200
   100
     0
         14/11/2003

                       17/10/2003
                                     19/09/2003
                                                  22/08/2003
                                                               25/07/2003
                                                                             27/06/2003
                                                                                          30/05/2003
                                                                                                       02/05/2003
                                                                                                                     04/04/2003
                                                                                                                                   07/03/2003
                                                                                                                                                 07/02/2003
                                                                                                                                                               10/01/2003
                                                                                                                                                                            13/12/2002
                                                                                                                                                                                         15/11/2002
                                                                                                                                                                                                      18/10/2002
                                                                                                                                                                                                                   20/09/2002
                                                                                                                                                                                                                                23/08/2002
                                                                                                                                                                                                                                              26/07/2002
                                                                                                                                                                                                                                                           28/06/2002
                                                                                                                                                                                                                                                                        31/05/2002
                                                                                                                                                                                                                                                                                     03/05/2002
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  05/04/2002
                                                                                                                                                                                                                                                                                                               08/03/2002
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            08/02/2002
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         11/01/2002
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      14/12/2001




                                                                                                                                                source Powernext




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   8
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


   Sur ces graphes, certains faits sur la variation horaire des prix sont à remarquer:


         un niveau bas est observé de 1h à 8h


         à partir de 8h jusqu'à 11h, les prix augment jusqu’à un niveau plus ou moins
    stable


         à12h un maxima peut être atteint


         à partir de 17h les prix vont commencer à décroître jusqu’à 4h-5h du matin


         entre 17h et 21h à défaut de décroissance, une montée en cloche peut
    s’afficher ainsi qu’un pic de prix à 19h


Une certaine stabilité intra-jour est à constater: les processus du lundi, .., et du
vendredi semblent être issus de la même famille. La périodicité intra-jour se défini
alors comme la reproduction, avec plus ou moins de nuances, du processus horaire
du jour précédent.


             b. Week-ends et périodicité hebdomadaire


Le graphique qui suit se propose de représenter l’évolution de la moyenne
quotidienne des prix Powernext sur 10 semaines (septembre 2003 – Novembre
2003).



                                                                                         60

                                                                                         50

                                                                                         40

                                                                                         30

                                                                                         20

                                                                                         10

                                                                                         0
         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /0 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03

         /1 03
                 03
      04 /20

      06 /20

      08 /20

      10 20

      12 /20

      14 20

      16 /20

      18 /20

      20 /20

      22 20

      24 /20

      26 20

      28 /20

      30 /20

      02 /20

      04 20

      06 /20

      08 20

      10 /20

      12 /20

      14 /20

      16 20

      18 /20

      20 20

      22 /20

      24 /20

      26 /20

      28 20

      30 /20

      01 20

      03 /20

      05 /20

      07 /20

      09 20
               20
            9/



            9/




            9/



            9/




            0/



            0/




            0/



            0/




            0/



            0/




            1/

            1/
            9

            9

            9



            9



            9

            9

            9



            9



            9

            9

            9



            0



            0

            0

            0



            0



            0

            0

            0



            0



            1

            1

            1
         /0
      02




          Figure 4: évolution quotidienne des prix 09/2003 - 11/2003, source Powernext




                                                                                              9
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


Si l’on peut observer un niveau de prix plus ou moins stable pendant les jours
ouvrés, celui baisse considérablement à l’arrivée du week-end et vient se situer en
dessous de la moyenne hebdomadaire durant cette période.




On peut interpréter cet effet des week-ends comme une certaine périodicité
hebdomadaire définie en tant que cassure dans l’évolution du processus de prix.




             c. Caractère saisonnier


Les variation saisonnières correspondent aux fluctuations annuelles des prix autour
de sa dérive.


Ce comportement est assez visible sur une longue période de temps, le graphique
suivant représente l’évolution mensuelle des prix moyen sur le système nordique
entre 1996 et 2003 :



                                                     prix moyen

   600,00

   500,00

   400,00

   300,00

   200,00

   100,00

      0,00
              6



              7



              8



              9



              0



              1



              2



              3
     ja 6



     ja 7



     ja 8



     ja 9



     ja 0



     ja 1



     ja 2


            03
           -9

            9
           -9

            9
           -9

            9
           -9

            9
           -0

            0
           -0

            0
           -0

            0
           -0
         il-



         il-



         il-



         il-



         il-



         il-



         il-



         il-
        nv



        nv



        nv



        nv



        nv



        nv



        nv



        nv
       ju



       ju



       ju



       ju



       ju



       ju



       ju



       ju
     ja




                  Figure 5: Moyennes mensuelles des prix (NOK/MWh) NordPool,
                                        source : www.nordpool.no




                                                                                      10
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




Ce caractère particulier dépend de l’aspect cyclique de la demande et de l’offre, ci-
dessous sont représentées l’évolution mensuelle de la production et de la
consommation d’électricité dans l’union nordique entre le 1er janvier 2000 et le13
Novembre 2003.


                                                                                      Production
                                                                             18 773
                                                                             9 018
                                                                             13 211
                                                                             315 874 802
                                                                                      Consumption
                                                                             18 517
                                                                             9 430
                                                                             13 225
                                                                             315 751 301


             source : www.statnett.no




             4. Pics de prix, et volatilité


En terme de variabilité, on peut mesurer un caractère extrême dans la variabilité des
prix au comptant de l’électricité. Le graphique suivant illustre le calcul d’écarts types
sur différents actifs mesurés entre le 27 novembre 2001 et le 14 février 2003

                                                  Ecart Type

        30
        25
        20
        15
        10
         5
         0
                                     1


                                             2


                                                     1


                                                             2


                                                                     3




                                                                                                xt
                                                                                 x


                                                                                         ix
                                                                               ap


                                                                                       el


                                                                                              ne
                                                    z


                                                            z


                                                                    z
                                   ap


                                           ap


                                                  ga


                                                          ga


                                                                  ga




                                                                                     ph


                                                                                            er
                                 sw


                                         sw




                                                                                           w
                                                                                         po




                                                                                                     11
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


A la vue des valeurs obtenues, les prix spot de l’électricité exhibent une très forte
variabilité en comparaison avec celle des prix d’autres commodité telle que le gaz
naturel et le pétrole.


Un marché électrique très significatif de la forte volatilité qui peut exister dans la
dynamique des prix spot de l’électricité est celui d’Amsterdam. Le marché
d’échanges énergétique d’Amsterdam est sans doute « le phénomène californien »
de l’Europe. Créé en 1999, il a montré rapidement une très forte volatilité et des pics
de prix phénoménaux, comme on peut le constater sur le graphe qui suit, cette
dynamique semble se poursuivre.



   700
   600
   500
   400
   300
   200
   100
     0
         01/01/2001


                      01/03/2001


                                   01/05/2001


                                                01/07/2001


                                                             01/09/2001


                                                                          01/11/2001


                                                                                       01/01/2002


                                                                                                    01/03/2002


                                                                                                                 01/05/2002


                                                                                                                              01/07/2002


                                                                                                                                           01/09/2002


                                                                                                                                                        01/11/2002


                                                                                                                                                                     01/01/2003


                                                                                                                                                                                  01/03/2003


                                                                                                                                                                                               01/05/2003


                                                                                                                                                                                                            01/07/2003


                                                                                                                                                                                                                         01/09/2003
                                   Figure 6: Prix quotidiens sur APX du 01/01/2001 au 19/09/2003,
                                                                                       source www.apx.com



Le marché hollandais est très vulnérable, la courte période du 25 juin au 5 juillet
2001 montre l’occurrence de pics réguliers et la présence d’une certaine panique :

                                                                            Date           Hour APX Day-
                                                                            aheadPrice (€/MWh)
                                                                            25-Jun-01      17        350
                                                                            26-Jun-01      15        300
                                                                            02-Jul-01      11        600
                                                                            03-Jul-01      12        1,000
                                                                            04-Jul-01      12        1,201
                                                                            05-Jul-01      12        495
                                                                            06-Jul-01      12        1,200

En parallèle avec ce court laps de temps, des problèmes de production survenaient
en Belgique, très interconnectée avec les Pays-Bas à ce moment là. Le risque de


                                                                                                                                                                                                                                      12
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


prix très élevés est donc très présent même si le marché exhibe de part les volumes
échangés ( plus du double par rapport au marché français) une certain liquidité.
Malgré tout , chaque année une certaine stabilité existe : entre les mois de janvier et
juin (cf figure 6) , la période restante est plus incertaine et se résume à « que va-t-il
se passer ?».



                               5. Corrélations


                               d. Corrélation et variables exogènes


Le fait que l’électricité produite soit aussitôt consommée, implique une dépendance
très forte des prix spot vis à vis des besoins en électricité (demande) et de leur
déterminants (activité de travail, conditions climatiques, températures, durée du jour,
effets calendaires …).


On est donc en droit d’espérer certaines corrélations. Nous donnons dans ce qui suit
quelques exemples possibles.

Les dates d’arrêt / rechargement des centrales nucléaires

La production d’électricité par le nucléaire souffre d’un sérieux défaut : celui de

l’inflexibilité. En effet, le temps de déchargement et rechargement des réacteurs est

de l’ordre de la journée, les centrales nucléaires subissent des révisions périodiques,

enfin la production est moins modulable. Sur le graphique suivant on peut observer

l’évolution quotidienne des centrales nucléaires Allemande sur la période 2001-2003

(Données construites à partir des dates d’arrêt annuel, source Powernews Vol 10)
                                  BIBLIS A                                          BIBLIS B                                      BROKDORF                                       BRUNSBUTTEL
                                  GRAFENRHEINFELD                                   GUNDREMMINGEN B                               GUNDREMMINGEN C                                GROHNDE
  25000
                                  ISAR 1                                            ISAR 2                                        KRUMMEL                                        LIPPE-EMS
                                  NECKARWESTHEIM 1                                  OBRIGHEIM                                     PHILIPPSBURG 1                                 PHILIPPSBURG 2
  20000                           STADE                                             UNTERWESER                                    NECKARWESTHEIM 2

  15000




  10000




   5000




      0
     01/01/2001

                  01/03/2001


                                01/05/2001


                                             01/07/2001


                                                          01/09/2001


                                                                       01/11/2001


                                                                                      01/01/2002

                                                                                                   01/03/2002


                                                                                                                01/05/2002


                                                                                                                             01/07/2002


                                                                                                                                          01/09/2002


                                                                                                                                                       01/11/2002


                                                                                                                                                                    01/01/2003

                                                                                                                                                                                  01/03/2003


                                                                                                                                                                                               01/05/2003


                                                                                                                                                                                                            01/07/2003


                                                                                                                                                                                                                         01/09/2003


                                                                                                                                                                                                                                      01/11/2003




                                                                                                                                                                                                                                                   13
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


Ce dernier graphique a surtout la vocation de montrer qu’il peut exister des périodes
de production « critique » quand plusieurs générateurs sont simultanément inactifs.


Les volumes dans les réservoirs hydroélectriques


L’électricité hydraulique représente une part très significative dans l’Union Nordique :
en 2001 la production de celle-ci s’élevait à un total de 212.5 TWh contre 91 TWh
pour l’électricité nucléaire.


Les graphes suivant mettent en parallèle sur chaque semaines de l’année 2002 et
2003, le niveau d’eau dans les barrages ainsi que les prix sur le marché spot.


Comparaison des moyennes hebdomadaires de prix                       Comparaison des niveaux de l’eau dans les
(Elspot / NordPool)                                                  réservoirs (NordPool)

   120.00                                                              90
                    2002                                               80           2003
   100.00
                    2003                                               70           2002
    80.00                                                              60
    60.00                                                              50
                                                                       40
    40.00
                                                                       30
    20.00                                                              20
     0.00                                                              10
                                                                        0
            1

                6

                    11

                         16

                              21

                                   26

                                        31

                                             36

                                                  41

                                                       46

                                                            51




                                                                            1
                                                                                5
                                                                                    9
                                                                                        13
                                                                                             17
                                                                                                  21
                                                                                                       25
                                                                                                            29
                                                                                                                 33
                                                                                                                      37
                                                                                                                           41
                                                                                                                                 45
                                                                                                                                      49
                                                            Source : NordPool
Si l’on compare par semaines l’évolution moyenne des prix et le niveau d’eau
retenue dans les barrage, une certaine corrélation semble apparaître :


        en 2002, les semaines 16 et 17 sont significatives du plus bas niveau d’eau
    dans les réservoirs, dans la même période, les prix passent d’une moyenne
    hebdomadaire de 17,75€ (semaine 15) à 28.36€ (semaine 16) et 28.85€
    (semaine 17)
        sur l’année 2003, entre les semaines 1 et 36, le niveau d’eau dans les
    réservoir est inférieur d’environ 20% par rapport à celui observé en 2002 sur la
    même période, les prix en 2003 sur cet intervalle de temps sont supérieurs au
    prix 2002 A noter le phénomène de convergence qui apparaît des deux cotés à
    partir de la semaine 41.


                                                                                                                                14
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




         à partir de la semaine 36, l’augmentation des prix va de paire avec la
    diminution du niveau d’eau


La température


La température est un facteur intéressant car possédant des caractéristiques
communes en terme de saisonnalité avec celles des prix spot de l’électricité et en
particulier :


         une composante annuelle due aux saisons
    Le graphique ci-dessous représente l’évolution de l’indice NextWeather (obtenu
    comme la moyenne pondérée par la population des régions, des températures
    moyenne quotidienne des 22 régions françaises), et sa composante annuelle
    obtenue par un filtrage adaptatif.



    30
                                                                                                                 temperature
                                                                                                                 1ere composante
    25

    20

    15

    10

     5

     0
         1
             40
                  79
                       118
                             157
                                   196
                                         235
                                               274
                                                     313
                                                           352
                                                                 391
                                                                       430
                                                                             469
                                                                                   508
                                                                                         547
                                                                                               586
                                                                                                     625
                                                                                                           664
                                                                                                                 703
                                                                                                                       742
                                                                                                                             781
                                                                                                                                   820




    -5

   -10

  Figure 7: Moyenne quotidienne en France (code OMM 07999) 1er janvier 2001-25 Avril 2003,
                        source de données: http://nextweather.euronext.com




                                                                                                                             15
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




        une composante journalière

Le graphique suivant montre l’évolution demi-horaire de la température mesurée à la
Station de Violay (alt 830 m, Loire, France) entre le 1et et le 3 Août 2003


       35.0000

       30.0000

       25.0000

       20.0000

       15.0000

       10.0000

         5.0000

         0.0000
                  0:00
                         3:30
                                7:00
                                       10:30
                                               14:00
                                                       17:30
                                                               21:00
                                                                       0:30
                                                                              4:00
                                                                                     7:30
                                                                                            11:00
                                                                                                    14:30
                                                                                                            18:00
                                                                                                                    21:30
                                                                                                                            1:00
                                                                                                                                   4:30
                                                                                                                                          8:00
                                                                                                                                                 11:30
                                                                                                                                                         15:00
                                                                                                                                                                 18:30
                                                                                                                                                                         22:00
      Source : http://www.chez.com/gagnard/pageweb/violay/tempe_30_mn/sommaire.htm




On peut enfin rajouter une influence en terme de « facteur perturbateur » ou
« stimulus ». A titre d’exemple , on a pu constater pour la France des pics de
demande et de prix durant la journée du 09 Janvier 2003 (100.06 EUR/MWh à 18h et
200.09 EUR/MWh à 19h) entraînant une hausse de la moyenne des prix « day-
ahead »


                                                                       09/01/2003                           08/01/2003
                          Powernext                                    50.52                                35.26EUR/MWh
                          day-ahead                                    EUR/MWh
                          average



Et cet événement correspond à une chute de la température d’environ 5-6° en

dessous de son niveau normal (source météo France).



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Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


                               e. Corrélation entre marchés



Une certaine corrélation entre les différents marchés interconnectés semble exister.
A titre d’exemple dans le graphique qui sut, représentant l’évolution sur une courte
période de 6 indices de prix européens, on peut observer que :


     -             le pic de prix survenant le 11 / 08 / 2003 sur Powernext, contamine
                   simultanément ( ?) APX, et affecte le marché Autrichien (EXAA) avec un jour
                   de retard


     -             certains marchés ont des variations similaires (ex Phelix et EXAA)



                         Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 APX                                                                                                   Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 EXAA
                         Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 PHELIX                                                                                                Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 NP
                         Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Powernext                                                                                             Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Spain

     700


     600


     500


     400


     300


     200


     100


          0
           3


                     3


                              3


                                        3


                                                 3


                                                           3


                                                                    3


                                                                              3


                                                                                       3


                                                                                                 3


                                                                                                          3


                                                                                                                    3


                                                                                                                             3


                                                                                                                                       3


                                                                                                                                                3


                                                                                                                                                          3


                                                                                                                                                                   3


                                                                                                                                                                             3


                                                                                                                                                                                      3


                                                                                                                                                                                                3


                                                                                                                                                                                                         3


                                                                                                                                                                                                                   3


                                                                                                                                                                                                                            3


                                                                                                                                                                                                                                      3


                                                                                                                                                                                                                                               3


                                                                                                                                                                                                                                                         3


                                                                                                                                                                                                                                                                  3


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                         7/


                                   7/


                                            7/


                                                      7/


                                                               7/


                                                                         7/


                                                                                  7/


                                                                                            7/


                                                                                                     7/


                                                                                                               7/


                                                                                                                        7/


                                                                                                                                  7/


                                                                                                                                           7/


                                                                                                                                                     7/


                                                                                                                                                              8/


                                                                                                                                                                        8/


                                                                                                                                                                                 8/


                                                                                                                                                                                           8/


                                                                                                                                                                                                    8/


                                                                                                                                                                                                              8/


                                                                                                                                                                                                                       8/


                                                                                                                                                                                                                                 8/


                                                                                                                                                                                                                                          8/


                                                                                                                                                                                                                                                    8/


                                                                                                                                                                                                                                                             8/


                                                                                                                                                                                                                                                                       8/


                                                                                                                                                                                                                                                                                8/


                                                                                                                                                                                                                                                                                          8/


                                                                                                                                                                                                                                                                                                   8/
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                                                                                                                                                                                                                                        /0


                                                                                                                                                                                                                                                 /0


                                                                                                                                                                                                                                                           /0


                                                                                                                                                                                                                                                                    /0


                                                                                                                                                                                                                                                                              /0


                                                                                                                                                                                                                                                                                       /0


                                                                                                                                                                                                                                                                                                 /0
  01


           03


                     05


                              07


                                        09


                                                 11


                                                           13


                                                                    15


                                                                              17


                                                                                       19


                                                                                                 21


                                                                                                          23


                                                                                                                    25


                                                                                                                             27


                                                                                                                                       29


                                                                                                                                                31


                                                                                                                                                          02


                                                                                                                                                                   04


                                                                                                                                                                             06


                                                                                                                                                                                      08


                                                                                                                                                                                                10


                                                                                                                                                                                                         12


                                                                                                                                                                                                                   14


                                                                                                                                                                                                                            16


                                                                                                                                                                                                                                      18


                                                                                                                                                                                                                                               20


                                                                                                                                                                                                                                                         22


                                                                                                                                                                                                                                                                  24


                                                                                                                                                                                                                                                                            26


                                                                                                                                                                                                                                                                                     28


                                                                                                                                                                                                                                                                                               30




                                                                                                                                                                                                                                                                                               17
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




Partie 2 : Les modèlles de base
           Les modè es de base


Le but de cette partie est de présenter les modèles de base servant comme « point
de départ » dans tout modélisation financière.


Essentiellement, nous nous intéressons à trois type de modèles célèbres :


    -   Les processus du type Black & Scholes


    -   Les processus de retour à la moyenne (Vasicek)


    -   La famille de processus développée par Cox, Ingersoll et Ross


La dynamique régissant ces modèles est usuellement définie à partir d’équation
différentielle stochastique. Dans chaque cas nous exprimons quand cela est possible
une solution analytique pour le processus des prix Forward.


A partir des représentations analytiques qui sont obtenues pour chaque processus
de prix dans un univers de non arbitrage, les prix Forward vus comme l’anticipation
dans le futur des prix présents sont ensuite calculés.




                                                                                      18
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique




        1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de
        Black & Sholes


Le modèle d’évaluation de Black & Scholes, reste aujourd’hui encore, une référence
majeure dans la pratique du pricing d’option. Son utilisation dans la plupart des
marché organisés pour la modélisation d’actifs risqués est tellement répandue, qu’il
est logique de le présenter et dans une certaine mesure, voir si il peut s’adapter au
cas des marchés au comptant de l’électricité en Europe.


Sa forme est donc donné par l’équation différentielle stochastique suivante :


             dS (t ) = α S (t )dt + σ S (t )dW (t )
             S (0) = S0


où S(t) représente le prix de l’actif à l’instant t, W(t) représente un processus de
Wiener, dW(t) est assimilé à un bruit blanc continu standard.
Les paramètres du modèles : α et σ représentent respectivement la dérive et la
volatilité et sont supposés constants.


La résolution de cette équation différentielle stochastique par le calcul d’ Ito ( Bjork[7]
) permet de faire apparaître la forme exponentielle de ce modèle donné par :



              S (t ) = S0 .e(α −0.5σ ²)t +σ W (t )       (cf Annexe 1)




                                                                                         19
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


Exemples de Simulation


             Simulation a1         α = 0.1% σ = 0.001%
                                                                       . Forme exponentielle
                                                                       prononcée

                                                                       . Le paramètre de dérive est
                                                                       prédominant




             Simulation a2         α = 0.1% σ = 0.1%
                                                                       . le paramètre de dérive reste
                                                                       prédominant

                                                                       . la volatilité a été augmentée




             Simulation a3          α = 0.1% σ = 1%
                                                                       . augmentation de la volatilité

                                                                       . la forme exponentielle à
                                                                       tendance à disparaître




             Simulation a4           α = 1% σ = 1%
                                                                       . augmentation du paramètre
                                                                       de dérive

                                                                       . forme exponentielle




Comme on peut le constater dans ces simulations , le caractère exponentiel de la
tendance peut facilement être masqué en augmentant la volatilité.



                                                                                                         20
Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique


Les principales propriétés de ce modèle sont les suivantes :


        simplicité du modèle


        calcul analytiques associés pour le pricing d’option


        manque de flexibilité


        volatilité constante


Visuellement, ce modèle ne semble pas adapté au prix spot de l’électricité, une
raison assez naturelle étant que le marché de l’électricité est actuellement plus un
marché physique que financier et la dynamique des prix doit représenter ce fait, ce
que l’on peut imaginer sur les courbes de l’offre et la demande. Les graphiques ci-
dessous représentent lesdites courbes à 1h sur le marché espagnol (Omel) pour la
date du 17 janvier 2003.




Dans la figure de gauche, si le prix suit une logique économique, celui-ci va plus ou
moins rester dans une zone représentée par le cercle. Dans la figure de droite si prix
a plus tendance à augmenter en suivant une dynamique de taux d’intérêt classique,
alors il peut s’ensuivre aussi un déplacement vers le haut des courbes agrégées de
la demande. Le modèle de Black & Scholes qui a l’avantage d’être simple reste
cependant inadapté dans notre cas.




                                                                                        21
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  • 1. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Vers la modélisation des prix spot de l’électricité Note bibliographique N.Rouveyrollis 22 Avril 2004 Cerna, Centre d’économie industrielle Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris 60, boulevard Saint Michel 75272 Paris Cedex 06, France Tél. : 33 (1) 40 51 91 26/ 33 (1) 40 51 90 93 Fax : 33 (1) 44 07 10 46rouveyrollis@cerna.ensmp.fr – http://www.cerna.ensmp.fr 1
  • 2. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Tablle des matiières Tab e des mat ères Partie 1 :Faits stylisés et caractéristiques des prix ........................................................ 4 1. Statistiques simples................................................................................................................ 5 2. Retour à la moyenne.............................................................................................................. 6 3. Périodicité et fluctuations ..................................................................................................... 8 4. Pics de prix, et volatilité ...................................................................................................... 11 5. Corrélations ......................................................................................................................... 13 Partie 2 : Les modèles de base ...................................................................................... 18 1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes................. 19 2. Les processus « Mean-Reverting » ..................................................................................... 22 3. Autour du modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985)............................................................... 24 4. Evaluation des prix Future / Forward................................................................................ 28 Partie 3 : Autour des modèles à 1 facteur ................................................................... 34 1. Modèle à niveau d’équilibre variable ................................................................................. 34 2. Les modèle à un facteur de Lucia-Schwartz ...................................................................... 35 Partie 4 : Les modèles multi-facteurs .......................................................................... 42 1. Modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz........................................................................ 42 2. Le modèle à deux facteur de Pilipovic ................................................................................ 46 3. Le modèle de Gibson & Schwartz ....................................................................................... 47 4. Le modèle à 3 facteurs de Schwartz.................................................................................... 49 Partie 5 : Modèles à sauts ............................................................................................ 50 1. Les modèles à sauts : approche classique........................................................................... 51 2. Première généralisation : les modèles AJD........................................................................ 54 Partie 6 : Une classe générique de modèles multi- facteurs ....................................... 70 1. Le modèle multifacteur de Heath-Jarrow-Morton (HJM) ................................................ 71 2. Le modèle de Cortazar/Schwartz[15] - Les Clewlow/Strikland[12].................................. 73 3. Quelques exemples .............................................................................................................. 74 4. Extension ............................................................................................................................. 76 2
  • 3. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 7 : Les processus de Levy .................................................................................. 78 1. Généralités ........................................................................................................................... 79 2. Représentation en terme d’exposant................................................................................... 80 3. Processus de Levy et Brownien subordonné ...................................................................... 84 4. Exemples d’application ....................................................................................................... 85 Partie 8 : les modèles à volatilité non constante ................................... 105 1. Cas des modèles continus.................................................................................................. 106 2. Modèles discrets................................................................................................................. 119 Partie 9 : les modèles hybrides ................................................................................... 124 1. Les Modèles à changement de régime : approche par chaîne de Markov ...................... 125 2. Autres approches ............................................................................................................... 135 Annexe 1 : Expression analytique dans le Modèle de Black & Scholes ............. 150 Annexe 2 : Modèle du type retour vers une moyenne............................................... 152 Annexe 3 : Calculs autour du processus CIR ............................................................. 155 Annexe 4 : Modèle de Lucia & Schwartz et processus de retour vers une moyenne............................................................................................................................... 157 Annexe 5 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Lucia & Schwartz ... 158 Annexe 6 : Autour du modèle à deux facteurs de Pilipovic .................................... 162 Annexe 7 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Gibson et Schwartz . 165 Annexe 7b : Modèles multifacteurs et changement de probabilité ....................... 170 Annexe 8 : Un cas simple de diffusion avec sauts ..................................................... 174 Annexe 9 : Exemples de Modèles AJD ......................................................................... 176 Annexe 10 : AJD à deux facteurs ................................................................................... 181 Annexe 11 : AJD et CIR .................................................................................................... 187 Annexe 12 : Autour du modèle de Kellerhals .............................................................. 189 Annexe 13 : GRS et Likelihood ....................................................................................... 201 Annexe 14 : Régression et test .............................................................................................. 204 3
  • 4. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 1 :Faiits stylliisés et caractériistiiques des priix Fa ts sty sés et caractér st ques des pr x La première étape dans le processus de modélisation consiste à faire l’inventaire des caractéristiques de l’information que l’on souhaite modéliser. Dans cette partie nous mettons en avant les différentes propriétés que l’on peut observer quand on s’intéresse à la dynamique des prix spot de l’électricité. Ici nous basons notre analyse sur les données de quatre marchés qui intéressent la littérature : NordPool, APX, Omel et Powernext. Les prix de l’électricité dépendant directement de l’offre et de la demande, et celle-ci ne pouvant pas être stockée de manière efficiente en terme de coût, ce lien est d’autant plus fort. Il découle alors un fait assez important qui est la complexité de la dynamique des prix au comptant , on peut observer : un effet de retour à la moyenne ou «mean reversion » ( Gibson&Schwartz[35] ) : du sans aucun doute à la logique économique sous-jacente à la dynamique définissant les prix des fluctuations saisonnières : en effet la demande en électricité suit des variations apparentées aux saisons des fluctuations « intra-days » et « intra-hours »: le niveau de la demande en électricité dépendant de l’activité, les prix ne sont pas uniformes d’un jour à l’autre et d’une heure à l’autre . En particulier, celle-ci est moins intense durant les périodes de week-ends ou de vacances … des pics de prix et une forte volatilité: le prix spot peut par exemple augmenter de plusieurs centaines de pourcentages en une heure. Cet effet dépend aussi de la rapidité des producteurs à répondre à des pics de demande, cette vitesse étant 4
  • 5. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique variable selon le type d’électricité produite (Ex : hydroélectricité Vs électricité nucléaire). 1. Statistiques simples Les outils statistiques de base que sont la variance, la moyennes et la forme des distributions donnent rapidement des élément fondamentaux sur la dynamique qui nous intéresse. Le graphique qui suit représente la distribution des prix horaires (centrés – réduits) sur Powernext pour la période allant du 3/12/2001 au 28/09/2003. 2000,00 1800,00 1600,00 1400,00 1200,00 1000,00 800,00 600,00 400,00 200,00 0,00 0,41 0,83 1,25 1,67 2,09 2,51 2,93 3,35 3,76 4,18 4,60 5,02 5,44 5,86 6,28 6,70 7,12 7,53 7,95 8,37 8,79 9,21 9,63 -0,84 -0,42 -0,01 Figure 1: histogramme des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 8/09/2003, source de donnée : www.powernext.fr Cette distribution est caractérisée par : une non normalité, et une asymétrie la présence de valeurs extrêmes : assujettie à un risque de prix une queue épaisse à droite et un effet de rabot à gauche 5
  • 6. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Regardons maintenant l’évolution moyenne du processus de prix et celle de sa variabilité. Toujours sur la même période, on calcule les moyennes et variances hebdomadaires, le graphe suivant représente les semaines 4 à 79. 1.50 Variance Moyenne 1.00 0.50 0.00 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 -0.50 -1.00 Figure 2: Moyenne et variance des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 28/09/2003, source de donnée : www.powernext.fr On constate une fluctuation dans le niveau des prix, caractérisée par l’évolution des moyenne hebdomadaire, autour de ce niveau les prix fluctuent, et cette variabilité n’est pas constante. Tout laisse à penser une corrélation entre le processus de prix et sa volatilité : plus les prix sont élevés, plus ils sont volatiles. 2. Retour à la moyenne Dire qu’un prix suit un processus de « retour à la moyenne » implique que celui-ci évolue dans une zone de prix significatifs. Cette zone est bornée et possède un pouvoir attracteur qui va s’exercer dés que le prix va sortir des frontières la définissant. 6
  • 7. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ce phénomène peut s’observer sur les courbes agrégées de l’offre et la demande, dans le tableau suivant est représenté un échantillon de celles disponibles du marché espagnol (Omel). 12h le 13 Novembre 2003 12h le 12 Novembre 2003 12h le 12 Octobre 2003 ~1500 MW/h ~1500 MW/h ~1000 MW/h Dans ces trois graphiques on constate que le prix à 12h varie faiblement sur un jour et sur un mois. On peut lire se phénomène directement sur les courbes de prix (ex : APX), les pics de prix qui surviennent ne sont pas persistants à 100% sur le niveau d’équilibre à long terme et sont généralement accompagnés d’un retour rapide vers la position initiale. Cette propriété est toutefois moins visible sur NordPool (graphique suivant) et intervient en second plan dans un facteur d’évolution à court terme des prix . 140 120 100 80 60 40 20 0 1 54 107 160 213 266 319 372 425 478 531 584 637 690 743 796 849 902 955 1008 1061 1114 1167 1220 Figure 3: NordPool, moyenne hebdomadaire des prix du 2000-01-01 au 2003-05-07, source de donnée : www.nordpool.no 7
  • 8. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 3. Périodicité et fluctuations En contraste avec les séries financières, les prix au comptant de l ‘électricité sont sujet à différentes fluctuations de nature périodiques dépendantes de l’activité économique et des besoins. a. Périodicité intra-jour et Fluctuation intra-heure Le tableau suivant présente une comparaison entre les processus horaires sur les 5 jours ouvrés de deux semaine significatives (en juillet et en novembre), ainsi qu’une comparaison des processus horaires sur la période allant du 27/11/2001 au 14/11/2003. Fluctuation horaire (Powernext) 07/11/2003 06/11/2003 05/11/2003 11/07/2003 10/07/2003 09/07/2003 08/07/2003 07/07/2003 04/11/2003 03/11/2003 80 70 70 60 60 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Processus horaires (17j, 19h, 21h, Powernext) Hour17 Hour19 Hour21 500 400 300 200 100 0 14/11/2003 17/10/2003 19/09/2003 22/08/2003 25/07/2003 27/06/2003 30/05/2003 02/05/2003 04/04/2003 07/03/2003 07/02/2003 10/01/2003 13/12/2002 15/11/2002 18/10/2002 20/09/2002 23/08/2002 26/07/2002 28/06/2002 31/05/2002 03/05/2002 05/04/2002 08/03/2002 08/02/2002 11/01/2002 14/12/2001 source Powernext 8
  • 9. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Sur ces graphes, certains faits sur la variation horaire des prix sont à remarquer: un niveau bas est observé de 1h à 8h à partir de 8h jusqu'à 11h, les prix augment jusqu’à un niveau plus ou moins stable à12h un maxima peut être atteint à partir de 17h les prix vont commencer à décroître jusqu’à 4h-5h du matin entre 17h et 21h à défaut de décroissance, une montée en cloche peut s’afficher ainsi qu’un pic de prix à 19h Une certaine stabilité intra-jour est à constater: les processus du lundi, .., et du vendredi semblent être issus de la même famille. La périodicité intra-jour se défini alors comme la reproduction, avec plus ou moins de nuances, du processus horaire du jour précédent. b. Week-ends et périodicité hebdomadaire Le graphique qui suit se propose de représenter l’évolution de la moyenne quotidienne des prix Powernext sur 10 semaines (septembre 2003 – Novembre 2003). 60 50 40 30 20 10 0 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 03 04 /20 06 /20 08 /20 10 20 12 /20 14 20 16 /20 18 /20 20 /20 22 20 24 /20 26 20 28 /20 30 /20 02 /20 04 20 06 /20 08 20 10 /20 12 /20 14 /20 16 20 18 /20 20 20 22 /20 24 /20 26 /20 28 20 30 /20 01 20 03 /20 05 /20 07 /20 09 20 20 9/ 9/ 9/ 9/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 1/ 1/ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 /0 02 Figure 4: évolution quotidienne des prix 09/2003 - 11/2003, source Powernext 9
  • 10. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Si l’on peut observer un niveau de prix plus ou moins stable pendant les jours ouvrés, celui baisse considérablement à l’arrivée du week-end et vient se situer en dessous de la moyenne hebdomadaire durant cette période. On peut interpréter cet effet des week-ends comme une certaine périodicité hebdomadaire définie en tant que cassure dans l’évolution du processus de prix. c. Caractère saisonnier Les variation saisonnières correspondent aux fluctuations annuelles des prix autour de sa dérive. Ce comportement est assez visible sur une longue période de temps, le graphique suivant représente l’évolution mensuelle des prix moyen sur le système nordique entre 1996 et 2003 : prix moyen 600,00 500,00 400,00 300,00 200,00 100,00 0,00 6 7 8 9 0 1 2 3 ja 6 ja 7 ja 8 ja 9 ja 0 ja 1 ja 2 03 -9 9 -9 9 -9 9 -9 9 -0 0 -0 0 -0 0 -0 il- il- il- il- il- il- il- il- nv nv nv nv nv nv nv nv ju ju ju ju ju ju ju ju ja Figure 5: Moyennes mensuelles des prix (NOK/MWh) NordPool, source : www.nordpool.no 10
  • 11. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ce caractère particulier dépend de l’aspect cyclique de la demande et de l’offre, ci- dessous sont représentées l’évolution mensuelle de la production et de la consommation d’électricité dans l’union nordique entre le 1er janvier 2000 et le13 Novembre 2003. Production 18 773 9 018 13 211 315 874 802 Consumption 18 517 9 430 13 225 315 751 301 source : www.statnett.no 4. Pics de prix, et volatilité En terme de variabilité, on peut mesurer un caractère extrême dans la variabilité des prix au comptant de l’électricité. Le graphique suivant illustre le calcul d’écarts types sur différents actifs mesurés entre le 27 novembre 2001 et le 14 février 2003 Ecart Type 30 25 20 15 10 5 0 1 2 1 2 3 xt x ix ap el ne z z z ap ap ga ga ga ph er sw sw w po 11
  • 12. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique A la vue des valeurs obtenues, les prix spot de l’électricité exhibent une très forte variabilité en comparaison avec celle des prix d’autres commodité telle que le gaz naturel et le pétrole. Un marché électrique très significatif de la forte volatilité qui peut exister dans la dynamique des prix spot de l’électricité est celui d’Amsterdam. Le marché d’échanges énergétique d’Amsterdam est sans doute « le phénomène californien » de l’Europe. Créé en 1999, il a montré rapidement une très forte volatilité et des pics de prix phénoménaux, comme on peut le constater sur le graphe qui suit, cette dynamique semble se poursuivre. 700 600 500 400 300 200 100 0 01/01/2001 01/03/2001 01/05/2001 01/07/2001 01/09/2001 01/11/2001 01/01/2002 01/03/2002 01/05/2002 01/07/2002 01/09/2002 01/11/2002 01/01/2003 01/03/2003 01/05/2003 01/07/2003 01/09/2003 Figure 6: Prix quotidiens sur APX du 01/01/2001 au 19/09/2003, source www.apx.com Le marché hollandais est très vulnérable, la courte période du 25 juin au 5 juillet 2001 montre l’occurrence de pics réguliers et la présence d’une certaine panique : Date Hour APX Day- aheadPrice (€/MWh) 25-Jun-01 17 350 26-Jun-01 15 300 02-Jul-01 11 600 03-Jul-01 12 1,000 04-Jul-01 12 1,201 05-Jul-01 12 495 06-Jul-01 12 1,200 En parallèle avec ce court laps de temps, des problèmes de production survenaient en Belgique, très interconnectée avec les Pays-Bas à ce moment là. Le risque de 12
  • 13. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique prix très élevés est donc très présent même si le marché exhibe de part les volumes échangés ( plus du double par rapport au marché français) une certain liquidité. Malgré tout , chaque année une certaine stabilité existe : entre les mois de janvier et juin (cf figure 6) , la période restante est plus incertaine et se résume à « que va-t-il se passer ?». 5. Corrélations d. Corrélation et variables exogènes Le fait que l’électricité produite soit aussitôt consommée, implique une dépendance très forte des prix spot vis à vis des besoins en électricité (demande) et de leur déterminants (activité de travail, conditions climatiques, températures, durée du jour, effets calendaires …). On est donc en droit d’espérer certaines corrélations. Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples possibles. Les dates d’arrêt / rechargement des centrales nucléaires La production d’électricité par le nucléaire souffre d’un sérieux défaut : celui de l’inflexibilité. En effet, le temps de déchargement et rechargement des réacteurs est de l’ordre de la journée, les centrales nucléaires subissent des révisions périodiques, enfin la production est moins modulable. Sur le graphique suivant on peut observer l’évolution quotidienne des centrales nucléaires Allemande sur la période 2001-2003 (Données construites à partir des dates d’arrêt annuel, source Powernews Vol 10) BIBLIS A BIBLIS B BROKDORF BRUNSBUTTEL GRAFENRHEINFELD GUNDREMMINGEN B GUNDREMMINGEN C GROHNDE 25000 ISAR 1 ISAR 2 KRUMMEL LIPPE-EMS NECKARWESTHEIM 1 OBRIGHEIM PHILIPPSBURG 1 PHILIPPSBURG 2 20000 STADE UNTERWESER NECKARWESTHEIM 2 15000 10000 5000 0 01/01/2001 01/03/2001 01/05/2001 01/07/2001 01/09/2001 01/11/2001 01/01/2002 01/03/2002 01/05/2002 01/07/2002 01/09/2002 01/11/2002 01/01/2003 01/03/2003 01/05/2003 01/07/2003 01/09/2003 01/11/2003 13
  • 14. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ce dernier graphique a surtout la vocation de montrer qu’il peut exister des périodes de production « critique » quand plusieurs générateurs sont simultanément inactifs. Les volumes dans les réservoirs hydroélectriques L’électricité hydraulique représente une part très significative dans l’Union Nordique : en 2001 la production de celle-ci s’élevait à un total de 212.5 TWh contre 91 TWh pour l’électricité nucléaire. Les graphes suivant mettent en parallèle sur chaque semaines de l’année 2002 et 2003, le niveau d’eau dans les barrages ainsi que les prix sur le marché spot. Comparaison des moyennes hebdomadaires de prix Comparaison des niveaux de l’eau dans les (Elspot / NordPool) réservoirs (NordPool) 120.00 90 2002 80 2003 100.00 2003 70 2002 80.00 60 60.00 50 40 40.00 30 20.00 20 0.00 10 0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 Source : NordPool Si l’on compare par semaines l’évolution moyenne des prix et le niveau d’eau retenue dans les barrage, une certaine corrélation semble apparaître : en 2002, les semaines 16 et 17 sont significatives du plus bas niveau d’eau dans les réservoirs, dans la même période, les prix passent d’une moyenne hebdomadaire de 17,75€ (semaine 15) à 28.36€ (semaine 16) et 28.85€ (semaine 17) sur l’année 2003, entre les semaines 1 et 36, le niveau d’eau dans les réservoir est inférieur d’environ 20% par rapport à celui observé en 2002 sur la même période, les prix en 2003 sur cet intervalle de temps sont supérieurs au prix 2002 A noter le phénomène de convergence qui apparaît des deux cotés à partir de la semaine 41. 14
  • 15. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique à partir de la semaine 36, l’augmentation des prix va de paire avec la diminution du niveau d’eau La température La température est un facteur intéressant car possédant des caractéristiques communes en terme de saisonnalité avec celles des prix spot de l’électricité et en particulier : une composante annuelle due aux saisons Le graphique ci-dessous représente l’évolution de l’indice NextWeather (obtenu comme la moyenne pondérée par la population des régions, des températures moyenne quotidienne des 22 régions françaises), et sa composante annuelle obtenue par un filtrage adaptatif. 30 temperature 1ere composante 25 20 15 10 5 0 1 40 79 118 157 196 235 274 313 352 391 430 469 508 547 586 625 664 703 742 781 820 -5 -10 Figure 7: Moyenne quotidienne en France (code OMM 07999) 1er janvier 2001-25 Avril 2003, source de données: http://nextweather.euronext.com 15
  • 16. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique une composante journalière Le graphique suivant montre l’évolution demi-horaire de la température mesurée à la Station de Violay (alt 830 m, Loire, France) entre le 1et et le 3 Août 2003 35.0000 30.0000 25.0000 20.0000 15.0000 10.0000 5.0000 0.0000 0:00 3:30 7:00 10:30 14:00 17:30 21:00 0:30 4:00 7:30 11:00 14:30 18:00 21:30 1:00 4:30 8:00 11:30 15:00 18:30 22:00 Source : http://www.chez.com/gagnard/pageweb/violay/tempe_30_mn/sommaire.htm On peut enfin rajouter une influence en terme de « facteur perturbateur » ou « stimulus ». A titre d’exemple , on a pu constater pour la France des pics de demande et de prix durant la journée du 09 Janvier 2003 (100.06 EUR/MWh à 18h et 200.09 EUR/MWh à 19h) entraînant une hausse de la moyenne des prix « day- ahead » 09/01/2003 08/01/2003 Powernext 50.52 35.26EUR/MWh day-ahead EUR/MWh average Et cet événement correspond à une chute de la température d’environ 5-6° en dessous de son niveau normal (source météo France). 16
  • 17. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique e. Corrélation entre marchés Une certaine corrélation entre les différents marchés interconnectés semble exister. A titre d’exemple dans le graphique qui sut, représentant l’évolution sur une courte période de 6 indices de prix européens, on peut observer que : - le pic de prix survenant le 11 / 08 / 2003 sur Powernext, contamine simultanément ( ?) APX, et affecte le marché Autrichien (EXAA) avec un jour de retard - certains marchés ont des variations similaires (ex Phelix et EXAA) Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 APX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 EXAA Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 PHELIX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 NP Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Powernext Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Spain 700 600 500 400 300 200 100 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 01 03 05 07 09 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 17
  • 18. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 2 : Les modèlles de base Les modè es de base Le but de cette partie est de présenter les modèles de base servant comme « point de départ » dans tout modélisation financière. Essentiellement, nous nous intéressons à trois type de modèles célèbres : - Les processus du type Black & Scholes - Les processus de retour à la moyenne (Vasicek) - La famille de processus développée par Cox, Ingersoll et Ross La dynamique régissant ces modèles est usuellement définie à partir d’équation différentielle stochastique. Dans chaque cas nous exprimons quand cela est possible une solution analytique pour le processus des prix Forward. A partir des représentations analytiques qui sont obtenues pour chaque processus de prix dans un univers de non arbitrage, les prix Forward vus comme l’anticipation dans le futur des prix présents sont ensuite calculés. 18
  • 19. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes Le modèle d’évaluation de Black & Scholes, reste aujourd’hui encore, une référence majeure dans la pratique du pricing d’option. Son utilisation dans la plupart des marché organisés pour la modélisation d’actifs risqués est tellement répandue, qu’il est logique de le présenter et dans une certaine mesure, voir si il peut s’adapter au cas des marchés au comptant de l’électricité en Europe. Sa forme est donc donné par l’équation différentielle stochastique suivante : dS (t ) = α S (t )dt + σ S (t )dW (t ) S (0) = S0 où S(t) représente le prix de l’actif à l’instant t, W(t) représente un processus de Wiener, dW(t) est assimilé à un bruit blanc continu standard. Les paramètres du modèles : α et σ représentent respectivement la dérive et la volatilité et sont supposés constants. La résolution de cette équation différentielle stochastique par le calcul d’ Ito ( Bjork[7] ) permet de faire apparaître la forme exponentielle de ce modèle donné par : S (t ) = S0 .e(α −0.5σ ²)t +σ W (t ) (cf Annexe 1) 19
  • 20. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Exemples de Simulation Simulation a1 α = 0.1% σ = 0.001% . Forme exponentielle prononcée . Le paramètre de dérive est prédominant Simulation a2 α = 0.1% σ = 0.1% . le paramètre de dérive reste prédominant . la volatilité a été augmentée Simulation a3 α = 0.1% σ = 1% . augmentation de la volatilité . la forme exponentielle à tendance à disparaître Simulation a4 α = 1% σ = 1% . augmentation du paramètre de dérive . forme exponentielle Comme on peut le constater dans ces simulations , le caractère exponentiel de la tendance peut facilement être masqué en augmentant la volatilité. 20
  • 21. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Les principales propriétés de ce modèle sont les suivantes : simplicité du modèle calcul analytiques associés pour le pricing d’option manque de flexibilité volatilité constante Visuellement, ce modèle ne semble pas adapté au prix spot de l’électricité, une raison assez naturelle étant que le marché de l’électricité est actuellement plus un marché physique que financier et la dynamique des prix doit représenter ce fait, ce que l’on peut imaginer sur les courbes de l’offre et la demande. Les graphiques ci- dessous représentent lesdites courbes à 1h sur le marché espagnol (Omel) pour la date du 17 janvier 2003. Dans la figure de gauche, si le prix suit une logique économique, celui-ci va plus ou moins rester dans une zone représentée par le cercle. Dans la figure de droite si prix a plus tendance à augmenter en suivant une dynamique de taux d’intérêt classique, alors il peut s’ensuivre aussi un déplacement vers le haut des courbes agrégées de la demande. Le modèle de Black & Scholes qui a l’avantage d’être simple reste cependant inadapté dans notre cas. 21