-Demonstration of an analytical formula for Call Options on stocks paying stochastic dividends in the Black-and-Scholes framework from the Korn-Rogers model -Development of a pricer using VBA and Matlab programs

1. Le pricing des options américaines avec
dividendes en temps discret
Orion Jeremy - Royer Julien
2015
Abstract
Abstract :
Le marché des produits dérivés s’est considérablement développé depuis les années
70 et, avec plus de 693 000 milliards de dollar d’encours en 2014, est le marché
financier le plus important en terme de volume. C’est au début de cet essor que
Black, Scholes[1], et Merton[2], récompensés pour leurs travaux par le prix Nobel
d’Economie en 1997, développèrent le modèle qui s’est imposé comme la référence
en terme de pricing d’options. Ce modèle de valorisation en temps continu com-
porte toutefois des limites à l’application numérique aux pratiques et condition de
marché et a été la base de nombreuses évolutions (modèles à volatilité stochastique
par exemple). Une de ces limites est la gestion des dividendes en temps discret.
Notre travail s’attache à proposer un modèle de pricing d’options dans un cadre
proche de celui de Black & Scholes, et s’appuie sur les travaux de Roll[3], Geske[4]
et Whaley[5] puis plus récemment de Rogers et Korn[6] pour proposer des formules
analytiques prenant en compte le caractère discret des dividendes.
1

2. Remerciements
Nous remercions chaleureusement Mr. Mathis pour avoir accepté de nous diriger
pour la rédaction de ce mémoire. Nous tenons aussi à remercier Mr. Peltrault pour
sa disponibilité et Mr. Lemoine pour son aide et ses conseils.
2

3. Table des matières
1 Le modèle de Korn-Rogers et le pricing 5
1.1 Hypothèses sur l’évolution du sous jacent . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Pricing d’une option européenne avec plusieurs dividendes . . . . . 9
1.3 Pricing d’une option américaine avec un unique dividende stochastique 12
1.4 Pricing d’une option américaine avec un unique dividende connu . . 21
1.5 Pricing d’une option américaine avec plusieurs dividendes stochas-
tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Pricing d’une option américaine avec un dividende connu suivi de
plusieurs dividendes stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Application numérique du modèle 31
2.1 Calibrage des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Application Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Pricer d’un call européen sans dividende . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Pricer d’un call européen avec dividendes . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Pricer d’un call américain avec un dividende stochastique . . 33
2.2.4 Pricer d’un call américain avec un dividende connu . . . . . 34
2.2.5 Pricer d’un call américain avec plusieurs dividendes stochas-
tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.6 Pricer d’un call américain avec un dividende connu suivi de
plusieurs dividendes stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Frontière d’exercice 42
3.1 La notion de frontière d’exercice pour un call américain . . . . . . . 42
3.2 Application Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Simulation du mouvement du sous jacent . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Construction de la frontière d’exercice . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Précisions sur le code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3

4. Introduction
En 1973, Black et Scholes[1] définissent un modèle de pricing d’options qui révo-
lutionne les pratiques financières en créant, à partir des travaux de Samuelson et
Merton[7], une relation entre le prix d’une option et l’évolution de son sous-jacent.
Très vite ce modèle devient la référence pour la valorisation des produits structu-
rés et s’étend à d’autres secteurs financiers, le modèle de Vasicek[8], qui permet de
simuler des taux d’intérêts, s’en inspire par exemple.
Toutefois, ce modèle reste très contesté sur sa représentation réelle des marchés
financiers. Sans remettre totalement en cause les fondements de la théorie fi-
nancière moderne développés par Markowitz[10] et Bachelier[9] comme le fait
Mandelbrot[11] en critiquant notamment l’utilisation de la loi normale pour si-
muler l’évolution des sous jacents, il apparaît que le modèle de Black et Scholes
a ses limites. Deux d’entre elles sont particulièrement critiques et ont entrainé le
développement de modèles alternatifs de pricing restant dans le cadre du modèle.
La première de ces critiques est la définition de la volatilité comme une constante
au cours de la durée de vie de l’option. Or il apparaît que la volatilité implicite
présente un smile sur les marchés. Cette critique a été le point de départ d’un
grand nombre d’extension du modèle de Black et Scholes comme les modèles à
volatilités stochastiques, développés notamment par Heston[12], ou les modèles à
volatilité locale comme le modèle de Dupire[13].
La seconde critique porte sur la gestion des dividendes. En effet, l’hypothèse de la
dynamique du sous jacent du modèle exclut les dividendes et, s’il est facile d’appli-
quer ce modèle avec le cas d’un taux de dividende constant, le cas des dividendes
en temps discret est plus problématique. C’est à ce problème que nous tenterons
de répondre dans notre mémoire.
Nous définirons d’abord le modèle à dividendes stochastiques de Korn et Rogers[6].
Puis nous dériverons de ce modèle, à l’aide des travaux de Kruse et Muller[14], un
pricer d’options américaines dont le sous jacent verse un unique dividende. Puis,
nous proposerons une formule générale pour la valorisation d’un call américain
dont le sous jacent verse plusieurs dividendes en raisonnant par récurrence. Nous
développerons ensuite un pricer sous Matlab afin d’appliquer nos résultats théo-
riques. Enfin, nous aborderons la notion de frontière d’exercice, concept clé dans
la compréhension du fonctionnement des options américaines.
4

5. 1 Le modèle de Korn-Rogers et le pricing
Dans cette première partie nous définirons le modèle développé par Korn et Ro-
gers pour le pricing d’une option européenne avec dividendes stochastiques[6] et
reprendrons le travail de Kruse et Muller sur l’application et l’ouverture de ce
modèle aux options américaines avec dividendes en explicitant les démonstrations
proposées et les concepts utilisés.
1.1 Hypothèses sur l’évolution du sous jacent
Une des hypothèses clés du modèle de Korn-Rogers est que le prix d’un titre est
la valeur actualisée de l’ensemble de ses dividendes futurs. Ainsi, en t, le prix d’un
titre payant des dividendes D(ti) aux dates ti > t est donné par
S(t) = E
+∞
i=1
e−r(ti−t)
D(ti) .
Par ailleurs, on suppose que les dividendes sont versés à intervalles de temps
constants et réguliers h.
Soit D1, D2..., Dl les l premiers dividendes versés en 0 < t1 < t2 = t1 + h <
... < tl = t1 + (l − 1)h connus, et donc déterministes, et Dl+1, Dl+2, ... les divi-
dendes suivant versés en t1 + lh, t1 + (l + 1)h, ... inconnus, et donc stochastiques.
Korn et Rogers définissent les dividendes stochastiques à l’aide de processus de
Levy, ainsi
D(tj) = λX(tj)
avec j > l, λ une constante positive et X un processus de Levy tel que, pour un
µ < r
E[Xt] = X0eµt
où r est le taux sans risque.
On notera, par la suite, k le nombre de dividendes distribués entre 0 et t.
Nous fixons λ = 1 comme le suggère Korn et Rogers, et afin de suivre la même
logique que Kruse et Muller dont nous souhaitons développé les travaux[14].
Ainsi, on a
S(t) = E
+∞
i=1
e−r(ti−t)
D(ti)
⇔ S(t) = E
l
m=1
e−r(t1+(m−1)h−t)
Dm +
+∞
i>l
e−r(t1+(i−1)h−t)
X(t1 + (i − 1)h
5

6. Or pour tout k ≥ 0 on a
E
+∞
i>k
e−r(t1+(i−1)h−t)
X(t1 + (i − 1)h)
= E
+∞
i>k
e−r(t1+(i−1)h−t)
X(t)eµ(t1+(i−1)h−t)
= E
+∞
i>k
e−(r−µ)(t1+(i−1)h−t)
X(t)
= X(t)
e−(r−µ)(t1+kh−t)
1 − e−(r−µ)h
Ainsi on a
S(t) =



l
m=1
e−r(t1+(m−1)h−t)
Dm + X(t)
e−(r−µ)(t1+lh−t)
1 − e−(r−µ)h
si k = 0
l
m=k+1
e−r(t1+(m−1)h−t)
Dm + X(t)
e−(r−µ)(t1+lh−t)
1 − e−(r−µ)h
si 1 ≤ k < l
X(t)
e−(r−µ)(t1+kh−t)
1 − e−(r−µ)h
si k ≥ l.
On suppose maintenant que X suit un mouvement brownien géométrique, on a
alors
dXt = µXtdt + σXtdWt
où Wt est un processus de Wiener.
Pour tout k ≥ 0, on a
S(t) = φ(t) + ψ(t)Xt
⇔ S(t) − φ(t) = ψ(t)Xt
⇔ ln(S(t) − φ(t)) = ln(ψ(t)Xt).
Rappelons ici le lemme d’Itô, comme il est défini par John Hull[15] :
"Supposons que la valeur d’une variable x suive un processus d’Itô :
dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz
où z est un processus de Wiener standard et a et b des fonctions de x et t. Le
processus x a un drift égal à a et un paramètre de variance égal à b2
. Le lemme
d’Itô montre qu’une fonction G de x et t est caractérisée par le processus suivant :
dG =
∂G
∂x
a +
∂G
∂t
+
1
2
∂2
G
∂x2
b2
dt +
∂G
∂x
b dz.
6

7. où z est le même processus de Wiener que celui qui apparaît dans l’équation [pré-
cédente]"
On définit alors
G = ln(ψ(t)Xt)
ainsi
∂G
∂x
=
1
ψ(t)Xt
∂2
G
∂x2
=
−1
ψ(t)X2
t
∂G
∂t
=
ψ (t)
ψ(t)
alors d’après le lemme d’Itô
dG =
∂G
∂x
µψ(t)Xt +
∂G
∂t
+
1
2
∂2
G
∂x2
(σXt)2
ψ(t) dt +
∂G
∂x
σψ(t)Xt dWt.
⇔ dG = µ +
ψ (t)
ψ(t)
−
1
2
σ2
dt + σdWt
or
ψ (t) = (r − µ)
e−(r−µ)(t1+kh−t)
1 − e−(r−µ)h
⇔ ψ (t) = (r − µ)ψ(t)
⇔
∂G
∂t
= (r − µ)
donc
dG = µ + r − µ −
1
2
σ2
dt + σdWt
⇔ dG = r −
1
2
σ2
dt + σdWt
⇔ d(ln(ψ(t)Xt)) = r −
1
2
σ2
dt + σdWt
⇔ d(ln(S(t) − φ(t))) = r −
1
2
σ2
dt + σdWt.
7

8. On peut donc réécrire l’équation précédente comme
ln(S(t) − φ(t)) − ln(S(0) − φ(0)) ∼ N r −
1
2
σ2
t, σ
√
t
⇔ ln(S(t) − φ(t)) ∼ N ln(S(0) − φ(0)) + r −
1
2
σ2
t, σ
√
t
⇔ S(t) = (S(0) − φ(0))e(r−1
2
σ2)t+σWt
+ φ(t)
On obtient donc
S(t) =



S0 −
l
m=1
e−r(t1+(m−1)h)
Dm e(r−1
2
σ2)t+σWt
+
l
m=1
e−r(t1+(m−1)h−t)
Dm
si k = 0
S0 −
l
m=1
e−r(t1+(m−1)h)
Dm e(r−1
2
σ2)t+σWt
+
l
m=k+1
e−r(t1+(m−1)h−t)
Dm
si 1 ≤ k < l
S0 −
l
m=1
e−r(t1+(m−1)h)
Dm e(r−1
2
σ2)t+σWt
e−(r−µ)(k−l)h
si k ≥ l.
où k est le nombre de dividendes distribués entre 0 et t.
Ainsi le sous jacent peut être représenté graphiquement comme ci dessous :
Figure 1 – Evolution d’un sous jacent avec l=0 et n = 5
8

9. 1.2 Pricing d’une option européenne avec plusieurs divi-
dendes
On se place ici dans le cas d’une option européenne dont le sous jacent distribue
n dividendes jusqu’à la maturité.
La formule analytique du pricing est donnée par Kruse et Muller[14] comme suit :
Enoncé
Soit un call européen de strike K et de maturité T sur un titre versant des di-
videndes avec un prix de marché S0 et n dividendes D1, ..., Dn distribué jusqu’à
la maturité. Les l premiers dividendes, versés en t1, ..., t1+h(l−1) sont connus et
donc déterministes, tandis que les dividendes suivant Dl+1 = X(t1 + hl), ...Dn =
X(T1 + h(n − 1)) suivent un mouvement brownien géométrique.
Le prix de cette option est donné par :
˜S0N( ˜d1) − Ke−rT
N( ˜d2)
avec N(.) la fonction de repartition d’une loi normale centrée réduite et
˜d1 =
ln
˜S0
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
˜d2 = ˜d1 − σ
√
T
où
˜S0 = S0 −
l
m=1
Dme−r(t1+h(m−1))
e−(r−µ)(n−l)h
Preuve :
Le prix d’un call européen est donné par :
e−rT
E[max(S(T) − K; 0)]
Or on a que :
S(T) = S0 −
l
m=1
Dme−r(t1+h(m−1))
e−(r−µ)(n−l)h
e(r−1
2
σ2)T+σWT
⇔ f(WT ) = S(T)
9

10. La fonction f est une fonction bijective de R dans R il existe donc une fonction
f−1
telle que f−1
(S(T)) = WT .
WT =f−1
(S(T))
⇔ WT =
1
σ



ln




S(T)
S0 −
l
m=1
Dme−r(t1+h(m−1)) e−(r−µ)(n−l)h



 − (r −
1
2
σ2
)T




⇔ WT =
1
σ
ln
S(T)
˜S0
− (r −
1
2
σ2
)T
De plus WT est un processus de Wiener et il suit donc une loi normale N(0,
√
T).
On a donc que
X =
1
√
T
WT
suit une loi normale centrée réduite.
Ainsi :
E[max(S(T) − K; 0)]=
+∞
K
(S(t) − K)g(S(t))dS(t)
avec g(S(T)) la fonction de densité de probabilité de S(T). On effectue le change-
ment de variable
X =
1
σ
√
T
ln
S(T)
˜S0
− (r −
1
2
σ2
)T
et on obtient donc en notant h(X) la fonction de densité de probabilité de la loi
normale centrée réduite
E[max(S(T) − K; 0)]
=
+∞
1
σ
√
T
ln K
˜S0
−(r−1
2
σ2)T
˜S0e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
− K h(X)dX
= ˜S0
+∞
1
σ
√
T
ln K
˜S0
−(r−1
2
σ2)T
e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
h(X)dX
−K
+∞
1
σ
√
T
ln K
˜S0
−(r−1
2
σ2)T
h(X)dX
10

11. Or
e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
h(X)=
1
√
2π
e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX−X2
2
⇔ e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
h(X)=
1
√
2π
erT
e−1
2
(X2−2σ
√
TX+σ2T)
⇔ e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
h(X)=
1
√
2π
erT
e−1
2
(X−σ
√
T)2
⇔ e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
h(X)=erT
h(X − σ
√
T)
On a ainsi
E[max(S(T) − K; 0)]
= erT ˜S0
+∞
1
σ
√
T
ln K
˜S0
−(r−1
2
σ2)T
h(X − σ
√
T)dX
−K
+∞
1
σ
√
T
ln K
˜S0
−(r−1
2
σ2)T
h(X)dX
En notant N(x) la probabilité qu’une variable normale centrée-réduite soit infé-
rieure à x, on obtient
+∞
1
σ
√
T
ln K
˜S0
−(r−1
2
σ2)T
h(X − σ
√
T)dX
= 1 − N
1
σ
√
T
ln
K
˜S0
− (r −
1
2
σ2
)T − σ
√
T
= N
1
σ
√
T
− ln
K
˜S0
+ (r −
1
2
σ2
)T + σ
√
T
= N
1
σ
√
T
ln
˜S0
K
+ (r +
1
2
σ2
)T
= N( ˜d1)
et
+∞
1
σ
√
T
ln K
˜S0
−(r−1
2
σ2)T
h(X)dX
= 1 − N
1
σ
√
T
ln
K
˜S0
− (r −
1
2
σ2
)T
= N
1
σ
√
T
ln
˜S0
K
+ (r −
1
2
σ2
)T
= N( ˜d1 − σ
√
T)
= N( ˜d2)
11

12. Ainsi
E[max(S(T) − K; 0)] = erT ˜S0N( ˜d1) − KN( ˜d2)
On a donc bien que le prix du call est
e−rT
E[max(S(T) − K; 0)] = ˜S0N( ˜d1) − Ke−rT
N( ˜d2)
1.3 Pricing d’une option américaine avec un unique divi-
dende stochastique
On se place dans ici dans le cas d’une option américaine dont le sous jacent verse
un unique dividende inconnu en 0 < t1 < T.
Le pricing de l’option américaine sous ces conditions est donné, comme défini par
Kruse et Muller[14] par la formule suivante :
Enoncé
Soit un titre payant un dividende inconnu D1 = X(t1) en t1. Le prix C0,1
D d’un call
américain de strike K et de maturité T > t1 est donné par :
C0,1
D (S0, 0, T, K) = S0Π0,1
1 (S0, 0) − Ke−rT
Π0,1
2 (S0, 0)
avec
Π0,1
1 (S0, 0) = N(d1
1) + e−(r−µ)h
N d1
2, −d1
1, −
t1
T
Π0,1
2 (S0, 0) = er(T−t1)
N(d2
1) + N d2
2, −d2
1, −
t1
T
et
d1
1 =
ln S0e−(r−µ)h
S∗ + (r + 1
2
σ2
)t1
σ
√
t1
et d2
1 = d1
1 − σ
√
t1
d1
2 =
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
et d2
1 = d1
1 − σ
√
T
où N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite, N(., ., ρ)
est la fonction de répartition d’une loi normale bivariée avec une corrélation ρ, et
S∗
est l’unique prix du titre tel que
CBlack & Scholes(S∗
, t1, T, K) = S∗
+ D∗
− K
avec
D∗
= S∗ 1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
12

13. Preuve :
On se place dans le cas d’un titre payant un unique dividende à la date t1, il
apparaît donc que seule cette date est un point critique pour l’exercice anticipé de
l’option américaine. On se donne alors un prix du titre S∗
tel que si S(t1) > S∗
le call devrait être exercé et si S(t1) ≤ S∗
l’option d’achat devrait être conservée.
Alors, S∗
est tel que défini par Roll dans sa démonstration du pricing d’un call
américain sur un sous jacent versant des dividendes connus[3] (cette définition de
S∗
est reprise par Geske[4] et Whaley[5] pour la formule de Roll-Geske-Whaley
comme nous le développerons par la suite) :
CBlack & Scholes(S∗
, t1, T, K) = S∗
+ D∗
− K
On peut donc écrire le prix de l’option comme suit :
E e−rt1
C0,0
D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0
+E e−rt1
(S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0
où
C0,0
D (S(t1), t1, T, K)=CBlack & Scholes(S(t1), t1, T, K)
⇔ C0,0
D (S(t1), t1, T, K)=S(t1)N(d1
(t1)) − Ke−r(T−t1)
N(d2
(t1))
avec
d1
(t1) =
ln S(t1)
K
+ (r + 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
d2
(t1) = d1
(t1) − σ T − t1
Etudions tout d’abord le cas où S(t1) > S∗
.
On a :
D(t1) = S(t1)
1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
Alors
S(t1) + D(t1) − K=S(t1) + S(t1)
1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
− K
⇔ S(t1) + D(t1) − K=S(t1) 1 +
1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
− K
⇔ S(t1) + D(t1) − K=e(r−µ)h
S(t1) − K
13

14. Ainsi
E e−rt1
(S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0
= E e−rt1
(e(r−µ)h
S(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0
= e−rt1
+∞
S∗
(e(r−µ)h
S(t1) − K)g(S(t1))dS(t1)
avec g(S(t1)) la fonction de densité de probabilité de S(t1).
On a montré que :
S(t) = S0 −
l
m=1
Dme−r(t1+h(m−1))
e−(r−µ)(k−l)h
e(r−1
2
σ2)t+σWt
On est ici dans le cas d’un unique dividende inconnu, on a donc l = 0 et k = 1,
ainsi
S(t1) = S0e−(r−µ)h
e(r−1
2
σ2)t1+σWt1
⇔ f(Wt1 ) = S(t1)
La fonction f est une fonction bijective de R dans R+
il existe donc une fonction
f−1
telle que f−1
(S(t1)) = Wt1 .
Wt1 =f−1
(S(t1))
⇔ Wt1 =
1
σ
ln
S(t1)
S0e−(r−µ)h
− (r −
1
2
σ2
)t1
De plus Wt1 est un processus de Wiener et il suit donc une loi normale N(0,
√
t1).
On a donc que
X =
1
√
t1
Wt1
suit une loi normale centrée réduite.
On effectue le changement de variable
X =
1
σ
√
t1
ln
S(t1)
S0e−(r−µ)h
− (r −
1
2
σ2
)t1
14

15. et on obtient donc en notant h(X) la fonction de densité de probabilité de la loi
normale centrée réduite
e−rt1
+∞
S∗
(e(r−µ)
S(t1) − K)g(S(t1))dS(t1)
= e−rt1
+∞
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
(e(r−µ)
S0e(r−µ)h
e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X
− K)h(X)dX
= e−rt1

S0
+∞
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X
h(X)dX
−K
+∞
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
h(X)dX


Or
e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X
h(X)=
1
√
2π
e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X−X2
2
⇔ e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X
h(X)=
1
√
2π
ert1
e−1
2
(X2−2σ
√
t1X+σ2t1)
⇔ e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X
h(X)=
1
√
2π
ert1
e−1
2
(X−σ
√
t1)2
⇔ e(r−1
2
σ2)T+σ
√
t1X
h(X)=ert1
h(X − σ
√
t1)
15

16. On obtient donc
e−rt1
+∞
S∗
(e(r−µ)
S(t1) − K)g(S(t1))dS(t1)
= S0
+∞
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
h(X − σ
√
t1)dX
−Ke−rt1
+∞
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
h(X)dX
= S0 1 − N
1
σ
√
t1
ln
S∗
S0e−(r−µ)h
− (r −
1
2
σ2
)t1 − σ
√
t1
−Ke−rt1
1 − N
1
σ
√
t1
ln
S∗
S0e−(r−µ)h
− (r −
1
2
σ2
)t1
= S0N
1
σ
√
t1
ln
S0e−(r−µ)h
S∗
+ (r −
1
2
σ2
)t1 + σ
√
t1
−Ke−rt1
N
1
σ
√
t1
ln
S0e−(r−µ)h
S∗
+ (r −
1
2
σ2
)t1
= S0N
1
σ
√
t1
ln
S0e−(r−µ)h
S∗
+ (r +
1
2
σ2
)t1
−Ke−rt1
N
1
σ
√
t1
ln
S0e−(r−µ)h
S∗
+ (r −
1
2
σ2
)t1
= S0N(d1
1) − Ke−rt1
N(d2
1)
Considérons maintenant le cas S(t1) ≤ S∗
On a :
E e−rt1
C0,0
D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0
= E e−rt1
(S(t1)N(d1
(t1)) − Ke−r(T−t1)
N(d2
(t1)))1{S(t1)≤S∗}|F0
où
d1
(t1) =
ln S(t1)
K
+ (r + 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
d2
(t1) = d1
(t1) − σ T − t1
On a montré que :
S(t1) = S0e−(r−µ)h
e(r−1
2
σ2)t1+σW(t1)
16

17. Alors
d1
(t1)=
ln S(t1)
K
+ (r + 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
⇔ d1
(t1)=
ln S0e−(r−µ)he(r− 1
2 σ2)t1+σW (t1)
K
+ (r + 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
⇔ d1
(t1)=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)t1 + σW(t1) + (r + 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
⇔ d1
(t1)=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T + σW(t1) − σ2
t1
σ
√
T − t1
⇔ d1
(t1)=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T − σ2
t1
σ
√
T − t1
+
1
√
T − t1
W(t1)
⇔ d1
(t1)=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T − σ2
t1
σ
√
T − t1
+
t1
T − t1
X
⇔ d1
(t1)=β1 + α1X
et
d2
(t1)=
ln S(t1)
K
+ (r − 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
⇔ d2
(t1)=
ln S0e−(r−µ)he(r− 1
2 σ2)t1+σW (t1)
K
+ (r − 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
⇔ d2
(t1)=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)t1 + σW(t1) + (r − 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
⇔ d2
(t1)=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)T
σ
√
T − t1
+
1
√
T − t1
W(t1)
⇔ d2
(t1)=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)T
σ
√
T − t1
+
t1
T − t1
X
⇔ d2
(t1)=β2 + α2X
17

18. avec X une variable normale centrée réduite.
Ainsi
E e−rt1
(S(t1)N(d1
(t1)) − Ke−r(T−t1)
N(d2
(t1)))1{S(t1)≤S∗}|F0
= E e−rt1
(S(t1)N(β1 + α1X) − Ke−r(T−t1)
N(β2 + α2X))1{S(t1)≤S∗}|F0
= e−rt1
S∗
0
S(t1)N(β1 + α1X)g(S(t1))dS(t1)
−Ke−rt1
e−r(T−t1)
S∗
0
N(β2 + α2X)g(S(t1))dS(t1)
= e−rt1
S∗
0
S(t1)N(β1 + α1X)g(S(t1))dS(t1)
−Ke−rT
S∗
0
N(β2 + α2X)g(S(t1))dS(t1)
On a montré précédemment que
X =
1
σ
√
t1
ln
S(t1)
S0e−(r−µ)h
− (r −
1
2
σ2
)t1
On effectue donc le changement de variable pour obtenir
E e−rt1
(S(t1)N(d1
(t1)) − Ke−r(T−t1)
N(d2
(t1)))1{S(t1)≤S∗}|F0
= e−rt1
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
−∞
S0e−(r−µ)h
e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X
N(β1 + α1X)h(X)dX
−Ke−rt1
e−r(T−t1)
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
−∞
N(β2 + α2X)h(X)dX
On peut réécrire la deuxième partie de l’équation comme suit :
Ke−rt1
e−r(T−t1)
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
−∞
N(β2 + α2X)h(X)dX
= Ke−rT
1
σ
√
t1
− ln
S0e−(r−µ)h
S∗ −(r−1
2
σ2)t1
−∞
N(β2 + α2X)h(X)dX
= Ke−rT
−d2
1
−∞
N(β2 + α2X)h(X)dX
En appliquant la propriété 2 de en annexe, on obtient alors
Ke−rT
−d2
1
−∞
N(β2 + α2X)h(X)dX = Ke−rT
N
β2
1 + α2
2
, −d2
1,
−α2σX
1 + α2
2σ2
X
18

19. avec
β2
1 + α2
2
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)T
σ
√
T − t1
1 +
t1
T − t1
−1
2
⇔
β2
1 + α2
2
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)T
σ
√
T − t1
T − t1
T
⇔
β2
1 + α2
2
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)T
σ
√
T
⇔
β2
1 + α2
2
=d2
2
et, X suivant une loi normale centrée réduite, σX = 1,
−α2σX
1 + α2
2σ2
X
=−
t1
T − t1
1 +
t1
T − t1
⇔
−α2σX
1 + α2
2σ2
X
=−
t1
T − t1
T
T − t1
⇔
−α2σX
1 + α2
2σ2
X
=−
t1
T
Ainsi, on a
Ke−rT
−d2
1
−∞
N(β2 + α2X)h(X)dX = Ke−rT
N d2
2, −d2
1, −
t1
T
De même, on peut réécrire
e−rt1
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
−∞
S0e−(r−µ)h
e(r−1
2
σ2)t1+σ
√
t1X
N(β1 + α1X)h(X)dX
= S0e−(r−µ)h
−d2
1
−∞
1
√
2π
e−1
2
(X−σ
√
t1)2
N(β1 + α1X)dX
= S0e−(r−µ)h
−d2
1
−∞
N(β1 + α1X)h(X − σ
√
t1)dX
19

20. On effectue le changement de variable
Y = X − σ
√
t1
et on obtient ainsi
S0e−(r−µ)h
−d2
1
−∞
N(β1 + α1X)h(X − σ
√
t1)dX
= S0e−(r−µ)h
−d2
1+σ
√
t1
−∞
N(β1 + α1(Y + σ
√
t1))h(Y )dY
= S0e−(r−µ)h
−d1
1
−∞
N(β1 + α1Y )h(Y )dY
avec
β1 = β1 + α1σ
√
t1
Alors, par la même propriété que précédemment, on a
S0e−(r−µ)h
−d1
1
−∞
N(β1 + α1Y )h(Y )dY = S0e−(r−µ)h
N
β1
1 + α2
1
, −d1
1,
−α1σY
1 + α2
1σ2
Y
avec
β1
1 + α2
1
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T − σ2
t1
σ
√
T − t1
+
√
t1
√
T − t1
σ
√
t1 1 +
t1
T − t1
−1
2
⇔
β1
1 + α2
1
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T − σ2
t1 + −σ2
t1
σ
√
T − t1
√
T − t1
√
T
⇔
β1
1 + α2
1
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
⇔
β1
1 + α2
1
=d1
2
et, X suivant une loi normale centrée réduite, σY = 1,
−α1σY
1 + α2
1σ2
Y
=−
t1
T − t1
1 +
t1
T − t1
⇔
−α1σY
1 + α2
1σ2
Y
=−
t1
T − t1
T
T − t1
⇔
−α1σY
1 + α2
1σ2
Y
=−
t1
T
20

21. Ainsi :
S0e−(r−µ)h
−d1
1
−∞
N(β1 + α1Y )h(Y )dY = S0e−(r−µ)h
N d1
2, −d1
1, −
t1
T
On a donc que
E e−rt1
C0,0
D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0
= S0e−(r−µ)h
N d1
2, −d1
1, −
t1
T
− Ke−rT
N d2
2, −d2
1, −
t1
T
Enfin, on a
E e−rt1
C0,0
D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0
+E e−rt1
(S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0
= S0e−(r−µ)h
N d1
2, −d1
1, −
t1
T
− Ke−rT
N d2
2, −d2
1, −
t1
T
+S0N(d1
1) − Ke−rt1
N(d2
1)
= S0Π0,1
1 (S0, 0) − Ke−rT
Π0,1
2 (S0, 0)
1.4 Pricing d’une option américaine avec un unique divi-
dende connu
On suppose maintenant que le sous-jacent de notre option distribue un unique
dividende dont le montant D1 est connu. On se place alors dans le cas l = 1 et
n = 1.
Sous ces conditions, le pricing d’un call américain est obtenu par la formule de
Roll-Geske-Whaley[3][4][5] comme définie par M.Kruse et M.Müller[14] :
Enoncé
Soit un titre payant un dividende D1 en t1. Le prix C1,0
D d’un call américain de
strike K et de maturité T > t1 est donné par :
C1,0
D (S0, 0, T, K) = (S0 − D1e−rt1
)Π1,0
1 (S0, 0) − Ke−rT
Π1,0
2 (S0, 0) + D1e−rt1
N(d2
1)
avec
Π1,0
1 (S0, 0)=N(d1
1) + N d1
2, −d1
1, −
t1
T
Π1,0
2 (S0, 0)=er(T−t1)
N(d2
1) + N d2
2, −d2
1, −
t1
T
21

22. et
d1
1 =
ln S0−D1e−rt1
S∗ + (r + 1
2
σ2
)t1
σ
√
t1
et d2
1 = d1
1 − σ
√
t1
d1
2 =
ln S0−D1e−rt1
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
et d2
1 = d1
1 − σ
√
T
où N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite, N(., ., ρ)
est la fonction de répartition d’une loi normale bivariée avec une corrélation ρ, et
S∗
est l’unique prix du titre tel que
CBlack & Scholes(S∗
, t1, T, K) = S∗
+ D1 − K
Preuve
La demonstration de ce théorème reprend la preuve de la formule du prix d’un call
américain avec un unique dividende stochastique développée précédemment.
Le sous-jacent de notre option d’achat verse un unique dividende en t1, il apparaît
donc que seule cette date est un point critique pour l’exercice anticipé de l’option.
On peut alors définir un prix S∗
du sous jacent en t1 tel que si S(t1) ≤ S∗
l’option
n’est pas exerccée et si S(t1) > S∗
l’option est exercée.
Dans son article An analytic formula for unprotected Call options on stocks with
known dividends[3], Roll définit
CBlack & Scholes(S∗
, t1, T, K) = S∗
+ D1 − K.
L’existence de S∗
est démontrée par Smith[16] en construisant deux portefeuilles
A et B à partir d’un titre versant un dividende D en T, date de maturité d’une
option tels que
A : on achète un call européen de maturité T et de strike K et on place K + D
sur le marché monétaire
B : on achète une unité du titre sous jacent
et en montrant qu’il existe un S(T) tel que si S(T) < K, alors V ∗
a > V ∗
b , et
si S(T) ≥ K, alors V ∗
a = V ∗
b .
On peut donc écrire le prix de l’option comme suit :
E e−rt1
C0,0
D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0
+E e−rt1
(S(t1) + D1 − K)1{S(t1)>S∗}|F0
22

23. Si l’on se place en t1, nous sommes dans le cas où l = 1 et k = 1, on a donc
S(t1) = (S0 − D1e−rt1
)e(r−1
2
σ2)t1+σW(t1)
En remplaçant S(t1) dans l’équation précédente et en suivant les mêmes étapes que
pour la preuve de la formule du prix d’un call américain avec un unique dividende
stochastique, on obtient le résultat souhaité.
1.5 Pricing d’une option américaine avec plusieurs dividendes
stochastiques
On a démontré précédemment la formule pour la valorisation d’un call améri-
cain sur un sous jacent versant un unique dividende stochastique. On se place
maintenant dans le cas d’un call américain dont le sous jacent verse n dividendes
stochastiques aux dates t1, t1 + h, ..., t1 + (n − 1)h < T.
La formule de valorisation pour une telle option est donnée par Kruse et Muller[14]
comme suit :
Enoncé
Le prix d’un call américain de strike K et de maturité T sur un sous jacent versant
n dividendes stochastiques et de prix S0 est donné par
C0,n
D (S0, 0, T, K) = S0Π0,n
1 (S0, 0) − Ke−rT
Π0,n
2 (S0, 0)
avec
Π0,n
1 (S0, 0)= N(d1
1) +
n
i=1
e−(r−µ)ih
Ni+1(δ1
i+1; C(i+1)
)
Π0,n
2 (S0, 0)= er(T−t1)
N(d1
2) +
n−1
i=1
er(T−(t1+ih))
Ni+1(δ2
i+1; C(i+1)
)
+Nn+1(δ2
n+1; C(n+1)
)
avec, pour a = 1, 2 et pour i = 1, ..., n
δa
i+1 = (da
i+1, −da
i , ..., −da
2, −da
1)
23

24. et
d1
i =
ln
(S0 − D1e−rt1
)e−(r−µ)(i−1)h
S∗
i
+ (r + 1
2
σ2
)(t1 + (i − 1)h)
σ t1 + (i − 1)h
d2
i = d1
i − σ t1 + (i − 1)h
d1
n+1 =
ln
(S0 − D1e−rt1
)e−(r−µ)(n−1)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
d2
n+1 = d1
n+1 − σ
√
T
où les S∗
i sont les prix critiques aux dates de versement de dividendes définis pour
i = 1, ..., n comme
C0,n−i
D (S∗
i , t1 + (i − 1)h, T, K) = S∗
i + D∗
i − K
avec pour i = 1, ..., n, D∗
i les dividendes stochastiques versés en t1 + (i − 1)h et
définis par
D∗
i = S∗
i
1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
.
Par ailleurs, N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite
et Ni+1(.; C(i+1)
) est la fonction de répartition d’une loi normale mutlivariée de
dimension i + 1 et de matrice de corrélation C(i+1)
= (c
(i+1)
kj ) définie comme suit :
24

25. c
(i+1)
kj =



˜c
(i)
kj (i − j + 1)h (i − k + 1)h + t1
t1 + (i − j + 1)h t1 + (i − k + 1)h
pour i = 2, ..., n − 1;
j = 1, ..., i et k = j + 1, ..., i
−
t1
t1 + (i − j + 1)h
pour i = 1, ..., n − 1;
j = 1, ..., i et k = i + 1
˜c
(n)
1k (T − t1) (n − k + 1)h + t1
√
T t1 + (n − k + 1)h
pour i = n; j = 1
et k = 2, ..., n
˜c
(n)
kj (n − j + 1)h (n − k + 1)h + t1
t1 + (n − j + 1)h t1 + (n − k + 1)h
pour i = n;
j = 2, ..., n et k = j + 1, ..., n
−
t1
T
pour i = n; j = 1;
et k = n + 1
−
t1
t1 + (n − j + 1)h
pour i = n; j = 2, ..., n
et k = n + 1
où ˜C(i+1)
= ˜ckj
(i+1)
, pour i = 1, ..., n − 1, est la matrice de corrélation calculée
pour le prix d’un call américain dans le cas avec n − 1 dividendes stochastiques
payés en t1 + h < ... < t1 + (n − 1)h < T.
Preuve
On raisonne ici par récurrence sur n.
Montrons d’abors que la formule précédente est vérifiée pour n = 1.
Si n = 1, alors on est dans le cas du pricing d’une option américaine dont le
sous jacent verse un unique dividende stochastique. La formule analytique d’une
telle option a été démontrée précédemment et on donc
C0,1
D (S0, 0, T, K) = S0Π0,1
1 (S0, 0) − Ke−rT
Π0,1
2 (S0, 0)
25

26. avec
Π0,1
1 (S0, 0) = N(d1
1) + e−(r−µ)h
N d1
2, −d1
1, −
t1
T
Π0,1
2 (S0, 0) = er(T−t1)
N(d2
1) + N d2
2, −d2
1, −
t1
T
et
d1
1 =
ln S0e−(r−µ)h
S∗ + (r + 1
2
σ2
)t1
σ
√
t1
et d2
1 = d1
1 − σ
√
t1
d1
2 =
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
et d2
1 = d1
1 − σ
√
T
où N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite, N(., ., ρ)
est la fonction de répartition d’une loi normale bivariée avec une corrélation ρ, et
S∗
est l’unique prix du titre tel que
CBlack & Scholes(S∗
, t1, T, K) = S∗
+ D∗
− K
avec
D∗
= S∗ 1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
.
On a donc bien que si n = 1, la formule est vérifiée.
On suppose maintenant la formule vraie à un rang n − 1 quelconque et on va
montrer que la formule est vérifiée au rang n.
Si la formule est vraie au rang n − 1, alors on a
C0,n−1
D (S(t1), t1, T, K) = S(t1)Π0,n−1
1 (S(t1), t1) − Ke−rT
Π0,n−1
2 (S(t1), t1)
avec Π0,n−1
1 (S(t1), t1)et Π0,n−1
2 (S(t1), t1) définis par la propriété pour n − 1.
Montrons maintenant que la formule est vraie au rang n.
De la même façon que dans les preuves précédentes, on peut montrer qu’il existe
un S∗
1 tel que si S(t1) > S∗
1 il est rationnel d’exercer l’option et si S(t1) ≤ S∗
1 il est
rationnel d’exercer l’option.
Notons que si l’on conserve l’option, en t1 notre option américaine est une option
26

27. américaine dont le sous jacent verse n − 1 dividendes stochastiques jusqu’à la ma-
turité de l’option.
Ainsi, on peut écrire :
C0,n−1
D (S0, 0, T, K)=E e−rt1
(S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗
1 }|F0
+E e−rt1
C0,n−1
D (S∗
1, t1, T, K)1{S(t1)≤S∗
1 }|F0
avec
D(t1) = S(t1)
1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
.
On a montré précédemment que
E e−rt1
(S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗
1 }|F0 = S0N(d1
1) − Ke−rt1
N(d2
1)
avec
d1
1 =
1
σ
√
t1
ln
S0e−(r−µ)h
S∗
1
+ (r +
1
2
σ2
)t1
d2
1 = d1
1 − σ
√
t1.
Par ailleurs, on est dans le cas où l’intégralité des dividendes sont stochastiques
donc l = 0, la dynamique du sous jacent est donc donnée par
S(t1) = S0e−(r−µ)h
e(r−1
2
σ2)t1+σW(t1)
Alors, comme on l’a fait dans la preuve pour un unique dividende stochastique, on
peut réécrire pour i = 1, ..., n − 1
d1
i (t1)=
ln S0e−(r−µ)(i+1)h
S∗
i+1
+ (r + 1
2
σ2
)(t1 + ih) − σ2
t1
σ
√
T − t1
+
1
√
ih
W(t1)
d1
i (t1)=
ln S0e−(r−µ)(i+1)h
S∗
i+1
+ (r + 1
2
σ2
)(t1 + ih) − σ2
t1
σ
√
T − t1
+
t1
ih
X
⇔ d1
(t1)=β1
n−i + α1
n−iX
et pour i = n
d1
n(t1)=
ln S0e−(r−µ)nh
K
+ (r + 1
2
σ2
)T − σ2
t1
σ
√
T − t1
+
1
√
T − t1
W(t1)
d1
n(t1)=
ln S0e−(r−µ)nh
K
+ (r + 1
2
σ2
)T − σ2
t1
σ
√
T − t1
+
t1
T − t1
X
⇔ d1
(t1)n=β1
1 + α1
1X
27

28. avec X une variable normale centrée réduite.
Ainsi, en suivant la même méthode que dans la preuve pour la formule d’un call
américain avec un unique dividende stochastique, et en utilisant les propriétés 2,
3, 4 et 5 définies par Kruse et Muller et reportées en annexes, on obtient le résultat
souhaité.
On a donc montré que si la propriété était vraie à un rang n − 1, elle était vraie
au rang n. Comme la propriété est vraie au rang n = 1, elle est vraie pour tout
n ∈ N∗
.
1.6 Pricing d’une option américaine avec un dividende connu
suivi de plusieurs dividendes stochastiques
On se place maintenant dans le cas d’un call américain dont le sous jacent verse n
dividendes aux dates t1, t1 + h, ..., t1 + (n − 1)h < T, tel que le premier dividende,
versé en t1 est connu, et les suivants sont stochastiques.
Le pricing d’une telle option est donné par Kruse et Muller[14] comme suit :
Enoncé
Le prix d’un call américain de strike K et de maturité T sur un sous jacent versant
un dividende connu suivi de n−1 dividendes stochastiques et de prix S0 est donné
par
C1,n−1
D (S0, 0, T, K) =
(S0 − D1e−rt1
)Π1,n−1
1 (S0, 0) − Ke−rT
Π1,n−1
2 (S0, 0) + D1e−rt1
N(d2
1)
avec
Π1,n−1
1 (S0, 0)= N(d1
1) +
n
i=1
e−(r−µ)(i−1)h
Ni+1(δ1
i+1; C(i+1)
)
Π1,n−1
2 (S0, 0)= er(T−t1)
N(d1
2) +
n−1
i=1
er(T−(t1+ih))
Ni+1(δ2
i+1; C(i+1)
)
+Nn+1(δ2
n+1; C(n+1)
)
avec, pour a = 1, 2 et pour i = 1, ..., n
δa
i+1 = (da
i+1, −da
i , ..., −da
2, −da
1)
28

29. et
d1
i =
ln
(S0 − D1e−rt1
)e−(r−µ)(i−1)h
S∗
i
+ (r + 1
2
σ2
)(t1 + (i − 1)h)
σ t1 + (i − 1)h
d2
i = d1
i − σ t1 + (i − 1)h
d1
n+1 =
ln
(S0 − D1e−rt1
)e−(r−µ)(n−1)h
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
d2
n+1 = d1
n+1 − σ
√
T
où les S∗
i sont les prix critiques aux dates de versement de dividendes définis pour
i = 1, ..., n comme
C0,n−i
D (S∗
i , t1 + (i − 1)h, T, K) = S∗
i + D∗
i − K
avec D∗
1 = D1 le premier dividende connu versé en t1 et pour i = 2, ..., n les D∗
i les
dividendes stochastiques versés en t1 + (i − 1)h et définis par
D∗
i = S∗
i
1 − e−(r−µ)h
e−(r−µ)h
Preuve
Le pricing d’un call américain versant n − 1 dividendes stochastiques est donné
par la formule précédemment définie, ainsi on a
C0,n−1
D (S0, 0, T, K) = S0Π0,n−1
1 (S0, 0) − Ke−rT
Π0,n−1
2 (S0, 0)
avec
Π0,n−1
1 (S0, 0) = N(d1
1) +
n−1
i=1
e−(r−µ)ih
Ni+1(δ1
i+1; C(i+1)
)
Π0,n
2 (S0, 0) = er(T−t1)
N(d1
2) +
n−2
i=1
er(T−(t1+ih))
Ni+1(δ2
i+1; C(i+1)
) + Nn(δ2
n; C(n)
)
et les δa
, a = 1, 2 définis comme précédemment.
On peut déterminer un prix critique S∗
1 en t1 tel que, si S(t1) ≤ S∗
1, il est ra-
tionnel de conserver l’option, et si S(t1) > S∗
1, il est rationnel d’exercer l’option.
Comme pour les preuves précédentes, S∗
1 est donné par
C0,n−1
D (S∗
1, t1, T, K) = S∗
1 + D∗
1 − K
29

30. où D∗
1 est connu et donc D∗
1 = D1.
On peut donc écrire le prix de l’option en t = 0 comme suit :
C0,n−1
D (S0, 0, T, K)=E e−rt1
(S(t1) + D1 − K)1{S(t1)>S∗
1 }|F0
+E e−rt1
C0,n−1
D (S∗
1, t1, T, K)1{S(t1)≤S∗
1 }|F0
En t1, le dividende connu est versé, on est donc dans le cas l = 1 et k = 1. Ainsi,
S(t1) est donné par
S(t1) = (S0 − D1e−rt1
)e(r−1
2
σ2)t1+σW(t1)
En remplaçant S(t1) dans l’équation précédente et en suivant les mêmes étapes
que pour la preuve de la formule du prix d’un call américain avec n dividendes
stochastiques, on obtient le résultat souhaité.
30

31. 2 Application numérique du modèle
On a déterminé dans la partie précédente des formules analytiques pour le pricing
d’options américaines et européennes dont le sous jacent verse des dividendes.
Nous proposons dans cette partie une application numérique de ces résultats et
développons ainsi un pricer sous Matlab.
2.1 Calibrage des paramètres
Notre pricing est basé sur le modèle de Korn-Rogers[6] comme développé précé-
demment, toutefois pour la mise en place numérique des résultats, il convient de
fixer les valeurs des paramètres de ce modèle. Nous avons déjà fixé λ = 1 pour
simplifier les résultats comme le font Kruse et Muller dans leur développement du
modèle[14]. Certains paramètres sont facilement observables comme le taux sans
risque r que l’on fixe à 5%, cependant certains paramètres se doivent d’être cali-
brés, c’est le cas de la volatilité et du facteur µ simplement supposé inférieur à r.
Afin de calibrer ces deux facteurs, nous nous basons sur une utilisation des données
historiques. Nous avons décider de considérer les dix plus grosses capitalisations
actuelles du CAC40 comme base de données. Ainsi nous avons récupéré les cours
et les distributions de dividendes de ces dix actions depuis le 1er janvier 2006. La
volatilité de notre modèle est ainsi obtenu comme la moyenne équipondérée de la
volatilité, soit l’écart type annualisé, de chaqu’un des titres de notre base. Nous
obtenons σ = 32.8794%
Le calibrage de µ à partir de données historiques est possible via la relation définie
par Korn et Rogers[6] :
e−(r−µ)h
S(t−) = S(t−) − ∆
⇔ 1 − e−(r−µ)h
=
∆
S(t−)
⇔ µ = r +
1
h
ln 1 −
∆
S(t−)
si t est la date exacte de versement de dividende et ∆ représente le saut de valeur
entre t− = lim x
x→t,x<t
et t, soit la différence entre le cours de clôture du sous jacent la
veille de l’ExDate et le cours d’ouverture à l’ExDate.
Notons que
1 −
∆
S(t−)
< 1
⇔ ln 1 −
∆
S(t−)
< 0
⇔ µ < r
31

32. vérifie l’hypothèse du modèle.
En définissant le µ de notre modèle comme la moyenne équipondérée des µ de
chaque titre de notre base on obtient µ = 2.7634% sous l’hypothèse r = 5%. 1
2.2 Application Matlab
2.2.1 Pricer d’un call européen sans dividende
La fonction BlackScholes
function [ C ] = BlackScholes( S0,K,T,r,sigma )
C=S0*normcdf(((log(S0/K)+(r+0.5*sigmaˆ2)*T)/(sigma*sqrt(T)))) ;
C=C-K*exp(-r*T)*normcdf(((log(S0/K)+(r-0.5*sigmaˆ2)*T)/(sigma*sqrt(T)))) ;
end
2.2.2 Pricer d’un call européen avec dividendes
La fonction Eur_call
function [ optionprice ] = Eur_call( S0,d1,K,r,T,d2 )
alineaoptionprice = S0* normcdf(d1) -K*exp(-r*T)*normcdf(d2) ;
end
La fonction Parametre_eur
function [ d1,d2,S0mod ] = Parametre_eur( S0,K,r,sigma,T,D,t1,h,mu,n)
% il faut calculer la somme des dividendes avant
total_div = 0 ;
l = length(D) ; % nombre de dividendes connus
if l*h>T %on ne doit pas incorporer les dividendes connus après la fin de vie
de l’option
alineaerror(’Il y a trop de dividendes connus par rapport à la durée de vie de
alineal”option’)
1. Les données permettant ce calcul sont disponibles en annexe
32

33. elseif n*h>T
alineaerror(’Il y a trop de dividendes par rapport à la durée de vie de
alineal”option’)
elseif l>n
alineaerror(’Incompatibilité des données’)
end
%on calcule la somme des dividendes connus
for j = 1 :l
alineatotal_div = total_div+ D(j,1)* exp( -r *( t1 + h * (j-1))) ;
end
%calcul de S0mod
S0mod = (S0 -total_div)* exp(-(r-mu)*(n-l)*h) ;
%calcul de d1 et d2
d1 = (log(S0mod/K)+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ;
d2 = d1 -sigma*sqrt(T) ;
end
2.2.3 Pricer d’un call américain avec un dividende stochastique
La fonction Am_call_1div_stocha
function [ price ] = Am_call_1div_stocha( S0,Pi1,Pi2,K,r,T )
alineaprice = S0*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2 ;
end
La fonction Parametre_amer_1div_stocha
function [ d11,d12,d21,d22,Pi1,Pi2] =
Parametre_amer_1div_stocha( S,r,mu,sigma,t1,T,K,h )
%cette fonction sous entend qu’il ne reste qu’un dividende à payer, quelque soit la
maturité de l’option
%Définition de Setoile
Setoile=@(S)BlackScholes(S,K,(T-t),r,sigma)
-S-S*((1-exp(-(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ;
33

34. Set = fzero(@(S)Setoile(S),T*K) ;
% paramètres à incorporer dans la loi normale bivariée
d11 = (log(S*exp(-(r-mu)*h)/Set)+(r+(sigmaˆ2)/2)*t1)/(sigma*sqrt(t1)) ;
d21 = d11-sigma*sqrt(t1) ;
d12 = (log(S*exp(-(r-mu)*h)/K)+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ;
d22 = d12-sigma*sqrt(T) ;
% calcul de Pi1 et Pi2
mat_cov = [ 1 -sqrt(t1/T) ; -sqrt(t1/T) 1] ; % matrice variance/covariance
X = [d12 -d11] ; % matrice comprenant les parametres de la loi normale bivariée
Pi1 = normcdf(d11)+exp(-(r-mu)*h)*mvncdf(X,0,mat_cov) ; % Le 0 represente la
moyenne
X = [d22 -d21] ;
Pi2 = exp(r*(T-t1))*normcdf(d21)+mvncdf(X,0,mat_cov) ;
end
2.2.4 Pricer d’un call américain avec un dividende connu
La fonction Am_call_1Div_known
function [ Price ] = Am_call_1Div_known(S0,D,Pi1,Pi2,K,r,T,t1,d21)
alineaPrice = (S0-D*exp(-r*t1))*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2
alinea+D*exp(-r*t1)*normcdf(d21) ;
end
La fonction Parametre_amer_1div_known
function [ d11,d12,d21,d22,Pi1,Pi2 ] =
Parametre_amer_1div_known(S,D,r,sigma,t1,T,K)
%cette fonction sous entend qu’il ne reste qu’un dividende connu à payer, quelque
soit la maturité de l’option
%Définition de Setoile
34

35. Setoile=@(S)BlackScholes(S,K,(T-t),r,sigma)-S-D+K ;
Set = fzero(@(S)Setoile(S),T*K) ;
% paramètres à incorporer dans la loi normale bivariée
d11 = (log((S-D*exp(-r*t1))/Set)+(r+(sigmaˆ2)/2)*t1)/(sigma*sqrt(t1)) ;
d21 = d11-sigma*sqrt(t1) ;
d12 = (log((S-D*exp(-r*t1))/K)+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ;
d22 = d12-sigma*sqrt(T) ;
% calcul de Pi1 et Pi2
mat_cov = [ 1 -sqrt(t1/T) ; -sqrt(t1/T) 1] ; % matrice variance/covariance
X = [d12 -d11] ; % paramètre de la loi normale multivariée
Pi1 = normcdf(d11)+mvncdf(X,0,mat_cov) ;
X = [d22 -d21] ;
Pi2 = exp(r*(T-t1))*normcdf(d21)+mvncdf(X,0,mat_cov) ;
end
2.2.5 Pricer d’un call américain avec plusieurs dividendes stochas-
tiques
La fonction Am_call_N_stocha
function [ price ] = Am_call_N_stocha( S0,Pi1,Pi2,K,r,T )
alineaprice = S0*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2 ;
end
La fonction Parametre_amer_n_div_stoch
function [ d11,d21,Pi1,Pi2] =
Parametre_amer_n_div_stocha( S,r,mu,sigma,t1,T,K,h,n )
%on s’assure que les données de base sont compatibles avec la réalité
if t1+(n-1)*h> T
alineaerror(’Données incompatibles’)
elseif n*h>T
35

36. alineaerror(’Données incompatibles’)
end
options = optimset(’TolFun’, 0.01) ; %optimisation options
d11 = zeros(n+1,1) ; %on dimensionne les différentes matrices utilisées
d21 = zeros(n+1,1) ;
cor = 1 ; %cela deviendra une matrice grace aux concatenations successives
total1 = 0 ; % résultat des sommes utilisées plus tard
total2 = 0 ;
% boucle afin de réaliser la somme des différentes lois normales multivariées
for i=1 :n
alineatemps =t1+(i-1)*h ;
alinea%il faudra à chaque fois recalculer le Setoile
alineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S-S*((1-exp(-
alinea(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ;
alineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ;
alineaX1 = zeros(1,i+1) ; % Il y a le d(i+1) et i fois -d donc i+1 colonnes
alineapour chaque X, il se redimensionnera à chaque boucle
alineaX2 = zeros(1,i+1) ;
alinea%concaténation afin d’agrandir la matrice corrélation en gardant les
alineaanciennes données
alineaconca = ones(i,1) ;
alineacor = [ cor conca] ; % on rajoute une colonne
alineaconca = ones(1,i+1) ;
alineacor = [ cor ;conca] ; % on rajoute une ligne
alinea% calcul des d allant de 1 a i qui seront transformés en -d après
alinead11(i,1) = (log(S*exp(-(r-mu)*(i*h))/Set)+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+(i-1)*h))
alinea/(sigma*sqrt(t1+(i-1)*h)) ;
alinead21(i,1) = d11(i,1)-sigma*sqrt(t1+(i-1)*h) ;
alineafor j=1 :i
alinea% calcul de la matrice de corrélation, on calcule seulement la partie
alineasupérieure de la matrice
alineaalineaif i==1
alineaalineaalinea% la matrice est une 2*2 donc un seul calcul à faire
36

37. alineaalineaalineacor(1,i+1)= -sqrt(t1/((t1+1)*h)) ;
alineaalinea% cas où i>1 and i<n
alineaalineaelseif i>1 && i<n
alineaalineaalineafor k =j+1 :i
alineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1)
alineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ;
alineaalineaalineaend
alineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ;
alineaalinea% cas où i = n, T intervient et il faut donc modifier quelque peu la
alineaalineacondition
alineaalineaelseif i ==n
alineaalineaalineaif j==1
alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i
alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt(T-t1)*sqrt((i-k+1)*h)+t1)
alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(T)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ;
alineaalineaalineaalineaend
alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/T) ;
alineaalineaalineaelseif j >1
alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i
alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1)
alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ;
alineaalineaalineaalineaend
alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ;
alineaalineaalineaend
alineaalineaend
alineaend
alinea% on remplit la matrice de covariance car nous avons calculé seulement la
alineapartie supérieure de la matrice
alineafor j=1 :i+1
alineaalineafor k=1 :j
alineaalineaalineacor(j,k)=cor(k,j) ;
alineaalineaend
alineaend
alinea% le i+1 utilise K et non pas Set
alineaif i <n
alineaalinea%on recalcule Set pour i+1
alineaalineatemps =t1+i*h ;
alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S-S*((1-exp(-
alineaalinea(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ;
alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ;
37

38. alineaalinead11(i+1,1) = (log(S*exp(-(r-mu)*((i+1)*h))/Set)
alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+i*h))/(sigma*sqrt(t1+i*h)) ;
alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(t1+i*h) ;
alineaelseif i==n
alineaalinead11(i+1,1) = (log(S*exp(-(r-mu)*((i)*h))/K)
alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ;
alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(T) ;
alineaend
alinea%création du vecteur pour la loi mvn
alineaX1(1,1)= d11(i+1,1) ;
alineaX2(1,1)= d21(i+1,1) ;
alineafor j=1 :i
alineaalineaX1(1,j+1)= -d11(j,1) ;
alineaalineaX2(1,j+1)= -d21(j,1) ;
alineaend
alinea%calcul de la loi multivarié
alineatotal1 = total1 +exp(-(r-mu)*i*h)*mvncdf(X1,0,cor,options) ;
alineaif i<n
alineaalineatotal2 = total2+exp(r*(T-(t1+i*h)))*mvncdf(X2,0,cor,options) ;
alineaend
end
% somme totale
Pi1 = total1+normcdf(d11(1,1)) ;
Pi2= total2+exp(r*(T-t1))*normcdf(d21(1,1))+mvncdf(X2,0,cor,options) ;
end
2.2.6 Pricer d’un call américain avec un dividende connu suivi de plu-
sieurs dividendes stochastiques
La fonction Am_call_1known_and_N-1_stocha
function [ price ] =
Am_call_1known_and_N-1_stocha( S0,D,Pi1,Pi2,K,r,T,t1,d21 )
alineaprice = (S0 -D*exp(-r*t1))*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2
alinea+D*exp(-r*t1)*normcdf(d21) ;
end
La fonction Parametre_amer_1known_and_many_div_stocha
function [ d11,d21,Pi1,Pi2] =
Parametre_amer_1known_and_many_div_stocha( S,D,r,mu,sigma,t1,T,K,h,n)
38

39. if t1+(n-1)*h> T
alineaerror(’Données incompatibles’)
elseif n*h>T
alineaerror(’Données incompatibles’)
end
%il faudra a chaque fois recalculer le Setoile
options = optimset(’TolFun’, 0.01) ; %optimisation options
d11 = zeros(n+1,1) ; %on dimensionne les différentes matrices utilisées
d21 = zeros(n+1,1) ;
cor = 1 ;
total1 = 0 ; %résultat des sommes
total2 = 0 ;
%boucle afin de réaliser la somme des différentes MVN
for i=1 :n
alineaif i == 1
alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-t1),r,sigma)-S-D+K ;
alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ;
alineaelseif i>1
alineaalineatemps =t1+(i-1)*h ;
alineaalinea%il faudra a chaque fois recalculer le Setoile
alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S
alineaalinea-S*((1-exp(-(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ;
alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ;
alineaend
alineaX1 = zeros(1,i+1) ; % Il y a le d(i+1) et i fois -d donc i+1 colonnes pour
alineachaque X
alineaX2 = zeros(1,i+1) ;
alinea%concaténation afin d’agrandir la matrice corrélation en gardant les
alineaanciennes données
alineaconca = ones(i,1) ;
alineacor = [ cor conca] ;
alineaconca = ones(1,i+1) ;
alineacor = [ cor ;conca] ;
alineafor j=1 :i
alinea% calcul des d allant de 1 a i qui seront transformés en -d après
alineaalinead11(i,1) = (log((S-D*exp(-r*t1))*exp(-(r-mu)*((i-1)*h))/Set)
alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+(i-1)*h))/(sigma*sqrt(t1+(i-1)*h)) ;
39

40. alineaalinead21(i,1) = d11(i,1)-sigma*sqrt(t1+(i-1)*h) ;
alineaalinea% calcul de la matrice de corrélation
alineaalineaif i==1
alineaalinea% la matrice est une 2*2 donc un seul calcul à faire
alineaalineaalineacor(1,i+1)= -sqrt(t1/((t1+1)*h)) ;
alineaalineaelseif i>1 && i =n
alineaalineaalineafor k =j+1 :i
alineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1)
alineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ;
alineaalineaalineaend
alineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ;
alineaalineaelseif i ==n
alineaalineaalineaif j==1
alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i
alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt(T-t1)*sqrt((i-k+1)*h)+t1)
alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(T)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ;
alineaalineaalineaalineaend
alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/T) ;
alineaalineaalineaelseif j >1
alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i
alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1)
alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ;
alineaalineaalineaalineaend
alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ;
alineaalineaalineaend
alineaalineaend
alineaend
alinea% on remplit la matrice de covariance car nous avons calculé seulement la
alineapartie supérieure de la matrice
alineafor j=1 :i+1
alineaalineafor k=1 :j
alineaalineaalineacor(j,k)=cor(k,j) ;
alineaalineaend
alineaend
alinea% le i+1 qui utilise K et non pas Set
alineaif i <n
alineaalineatemps =t1+(i-1)*h ;
alineaalinea%il faudra a chaque fois recalculer le Setoile
alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S
alineaalinea-S*((1-exp(-(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ;
alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ;
40

41. alineaalinead11(i+1,1) = (log((S-D*exp(-r*t1))*exp(-(r-mu)*i*h)/Set)
alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+i*h))/(sigma*sqrt(t1+i*h)) ;
alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(t1+i*h) ;
alineaelseif i==n
alineaalinead11(i+1,1) = (log((S-D*exp(-r*t1))*exp(-(r-mu)*((i-1)*h))/K)
alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ;
alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(T) ;
alineaend
alinea %création du vecteur pour la loi mvn
alineaX1(1,1)= d11(i+1,1) ;
alineaX2(1,1)= d21(i+1,1) ;
alineafor j=1 :i
alineaalineaX1(1,j+1)= -d11(j,1) ;
alineaalineaX2(1,j+1)= -d21(j,1) ;
alineaend
alinea%calcul de la loi multivariée
alineatotal1 = total1 +exp(-(r-mu)*(i-1)*h)*mvncdf(X1,0,cor,options) ;
alineaif i<n
alineaalineatotal2 = total2+exp(r*(T-(t1+i*h)))*mvncdf(X2,0,cor,options) ;
alineaend
end
% somme totale
Pi1 = total1+normcdf(d11(1,1)) ;
Pi2= total2+exp(r*(T-t1))*normcdf(d21(1,1))+mvncdf(X2,0,cor,options) ;
end
41

42. 3 Frontière d’exercice
Cette partie se focalise sur la particularité de l’option américaine. En effet, l’option
européenne ne permet à son détenteur de toucher son payoff, en cas d’activation,
qu’à la maturité, soit la date T, tandis que l’option américaine permet à son déten-
teur de l’activer à tout moment entre l’acquisition et la maturité. Comme démontré
par Roll et expliqué précédemment, les seules dates auxquelles une activation de
l’option d’achat pourrait être bénéfique au détenteur sont les dates de distribution
de dividendes. Ainsi, si l’on considère un sous jacent entre 0 et T et que l’on note
∆t l’écart entre chaque pas, on a que les dates d’évaluation des payoffs de l’option
sont t ∈ {∆t, 2∆t, ..., n∆t = T}. Il n’y a donc pas un unique payoff à considérer
comme pour une option européenne mais n∆t payoffs possibles. Il faut alors déci-
der à chaques pas (ie à chaques ∆t) d’exercer ou non son option en tenant compte
des possibles payoff futurs.
3.1 La notion de frontière d’exercice pour un call américain
La frontière d’exercice est le prix du sous jacent en t tel que si S(t) > S∗
t il est
rationnel d’exercer l’option et si S(t) ≤ S∗
t , il est rationnel de la conserver.
Dans le cas où le taux d’intérêt de l’économie est positif, une option américaine
sans dividende ne présente pas plus d’intérêt qu’une option européenne de mêmes
caractéristiques (même maturité, même strike...). Merton a d’ailleurs démontré
qu’un call américain portant sur un sous jacent ne versant pas de dividende avait
le même prix qu’un call européen[2]. C’est donc le dividende qui est à l’origine de
la différence entre les deux types d’options et c’est à cet égard que l’option améri-
caine devient plus intéressante. En effet, exercer son droit avant le paiement peut
être préférable, afin d’éviter une inévitable baisse du prix du call, un versement de
dividende entraînant ineluctablement une baisse du prix du sous-jacent. Notons
que dans le cas d’un put, le problème ne se pose pas puisque la baisse du prix du
sous jacent entraîne, de façon symétrique au cas d’un call, une augmentation de
la valeur de l’option.
L’activation d’un call américain, ne s’effectuant au plus tôt que la veille d’une
tombée de dividende, le versement d’un dividende définissant une date critique,
nécessite alors la vérification de certaines conditions. Le payoff, que l’on considère
être la valeur intrinsèque de l’option, doit être supérieur à ce que l’on nomme la
valeur de continuation. Cette valeur représente l’actualisation des flux monétaires
possibles. Si la valeur de continuation de l’option est supérieure à sa valeur intrin-
sèque en t, il n’y a aucune raison d’activer notre droit en t.
Il est alors possible de tracer dans le plan [t; S(t)] la courbe définit dans l’ouvrage
de Racicot comme suit : "Aussi longtemps que le cours de l’actif sous-jacent S(t)
ne franchit pas cette courbe, un exercice anticipé n’est pas intéressant (il est donc
42

43. préférable de garder l’option) mais dès que le cours franchit la courbe, il est alors
intéressant d’exercer et il est même préférable de le faire sans attendre."[17]
Bien qu’il n’existe pas de formule explicite de la frontière d’exercice, une caracté-
risation est possible en utilisant la méthode des arbres binomiaux[17].
Ainsi, on peut obtenir le graphique suivant :
Figure 2 – Frontière d’exercice
On peut observer que la courbe ne commence pas réellement en 0 mais un peu plus
tard. En réalité, la frontière n’est pas définie entre 0 et le point auquel la frontière
devient positive. Cela est dû à l’approximation de l’arbre binomial qui nous em-
pêche de calculer précisément le S minimum de la frontière pour les premiers pas.
Par ailleurs, on peut voir une chute de la frontière au voisinage de la maturité,
causée par la vitesse de convergence de l’algorithme.
3.2 Application Matlab
3.2.1 Simulation du mouvement du sous jacent
function [ SJ,div_temps,div_prix,dt] = Sous_jacent_mvt( S,r,mu,sigma,T,t1,n,dt,h)
SJ= ones(T/dt,1) ;% on y gardera l’évolution de S
SJ(1,1) =S ; % point de départ S0
t1 = t1/dt ; % on recalibre
43

44. div_temps = ones(n,1) ; % Nous permettras de savoir quand faire tomber les
dividendes
div_temps(1,1)=t1 ; % 1er dividende qui tombera
div_prix = ones(n,1) ; % ici on aura le prix au moment du div ( utile pour notre
graphique à la fin)
paye=0 ; % nombre de dividende payé dans la période concernée
compteur = 1 ; % afin de bouger dans notre matrice des prix
for j=2 :n
alineadiv_temps(j,1) = t1+(j-1)*h/dt ;
end
div_temps(1,1) = div_temps(2,1)- 1/dt ; %probleme de format de t1
j=2 ;
for j=2 :T/dt
alineapaye =0 ;
alineafor c=1 :n
alineaalineaif j == div_temps(c,1)
alineaalineaalineadiv_prix(compteur,1)= SJ(j-1,1) ;
alineaalineaalineacompteur = compteur +1 ;
alineaalineaalineapaye =1 ;
alineaalineaend
alineaend
alineaSJ(j,1) = SJ(j-1,1)*exp(-(r-mu)*(paye*h))*exp((r-0.5*sigmaˆ2)*dt
alinea+sigma*sqrt(dt)*normrnd(0,1)) ;
end
end
3.2.2 Construction de la frontière d’exercice
% script permettant la construction et la représentation graphique de la frontière
efficiente
S = 100 ; %Sous jacent
X = 95 ; %Strike
rf = 0.05 ; %Taux sans risque
T = 5 ; % Maturité de l’option
sigma = 0.328714 ; %volatilité
t1 = 0.3 ; % temps du futur dividende
h=1 ; %1/nombre de dividende payés dans l’année
44

45. mu=0.027634 ;
fe = 0 ; %frontiere
N = 1000 ;
dt = 1 / N ; %pas
n=4 ; % nombre de dividendes attendus
abscisse = 1 :1 :T/dt ;
zero = zeros(T/dt,1) ;
Smat = zeros(T/dt,1) ;
cash = zeros(T/dt,1) ;
frontiere = zeros(T/dt,1) ;
%Calcul de la probabilité
u = exp(sigma * sqrt(dt)) ;
d = exp(-sigma * sqrt(dt)) ;
p = (exp((rf - mu) * dt) - d) / (u - d) ;
Disc = exp(-rf * dt) ;
%calcul du prix à la dernière période
Smat(1) = S * (d ˆ(T/dt)) ;
for i = 2 :T/dt
alineaSmat(i) = Smat(i - 1) * (u / d) ;
end
%Calcul des flux monétaires de l’option de vente à la dernière période for i =
1 :T/dt
alineacash(i) = max(zero(i), Smat(i) - X) ;
alineaif Smat(i) - X > 0 && fe == 0
alineaalineafe = Smat(i) ;
alineaend
end
frontiere(T/dt,1) = fe ;
%actualisation des prix de l’option
for i = T/dt - 1 :-1 :1
alineafe = 0 ;
alineafor j = 1 :i
alineaalineacash(j) = Disc * (p * cash(j + 1) + (1 - p) * cash(j)) ;
alineaalinea%permet d’appliquer notre règle d’exercice
alineaalineaSmat(j) = Smat(j) / d ;
alineaalineacash(j) = max(cash(j), Smat(j) - X) ;
45

46. alineaalineaif cash(j) == Smat(j) - X && fe == 0
alineaalineaalineafe = Smat(j) ;
alineaalineaend
alineaend
alineafrontiere(i ) = fe ;
end
.[ SJ,temps,prix,dt ] = Sous_jacent_mvt(S,rf,mu,sigma,T,t1,n,dt,h) ;
plot(abscisse,frontiere’) ;
xlabel(’Temps (dt)’) ;
ylabel(’Prix du Sous-Jacent’) ;
title(’Frontiere d exercice’) ;
axis ([0 T/dt 0 S*3]) ;
legend(’Frontiere Exercice’,’Sous-Jacent’,’Dividendes’) ;
plot(abscisse,frontiere’,abscisse,SJ,temps,prix,’r*’) ;
3.2.3 Précisions sur le code
Nous passons par l’utilisation d’un modèle d’arbre binomial qui est la méthode
la plus utilisée pour la représentation de la frontière d’exercice, car elle permet
parfaitement l’illustration du temps discret que nous étudions. Premièrement, nous
calculons tous les prix possibles du sous-jacents à la date de maturité de l’option,
c’est-à-dire le dernier step. Une fois que tous les prix sont calculés, nous pouvons
passer aux possibles cash-flow que l’on conservera dans la matrice Cash. Cela nous
permet de savoir à quel niveau de l’arbre (en fonction de u et de d) le payoff de
l’option passera de 0 à une valeur strictement positive. Ce niveau sera le prix en
T auquel il faudra activer ou non son option si celle-ci n’a pas encore été activée.
On procède alors par une récurrence inverse (backward induction) de l’avant dernier
step de l’arbre jusqu’au premier en prenant en compte les données des steps futurs
déjà calculés. Nous appliquons simplement la formule
exp(rf*dt)*(p*cash(j+1)+(1-p)*cash(j))
sur tous les niveaux de l’arbre à chaque pas afin d’obtenir tous les cash-flow pos-
sibles.
On applique alors la définition de la frontière d’exercice afin de la caractériser :
on reprend le prix du sous-jacent de la période future que l’on multiplie par 1
d
,
afin d’obtenir les prix de S pour la période actuelle pour tous les niveaux. Nous
recalculons encore cash en utilisant
cash = Max(cash ; S(t)-K)
46

47. Cela permet de savoir à quel niveau de S(t), la valeur intrinsèque S-K sera supé-
rieure à la valeur de continuation en t. Alors, en dessous de ce S, il faut conserver
l’option tandis qu’au dessus de ce S, il est rationnel d’activer son droit. Le S le
plus faible qui justifie
S-K>cash
représente notre frontière d’exercice en t. Nous relançons alors la boucle de T − 1
jusqu’à 1 pour obtenir une frontière complète.
47

48. Conclusion
Nous avons donc, en reprenant les résultats dérivés du modèle de Korn et Rogers
par Kruse et Muller, développé un système d’équations en formules fermées afin de
déterminer le prix d’options européennes ou américaines dont le sous jacent verse
des dividendes de façon discrète. Ce modèle reflète plus justement la réalité des
marchés, les dividendes étant versés de façon ponctuelle et non de façon continue.
Toutefois notre modèle reste dans le cadre du modèle de Black and Scholes et
ne s’affranchit donc pas des limites qui y sont associées. Ainsi, le problème de la
volatilité implicite constante n’est pas résolu. Une combinaison de ce modèle avec
d’autres extensions, comme le modèle de Heston, pourrait alors s’avérer être la
parfaite alternative au modèle étudié dans notre travail. Par ailleurs, comme le
souligne Korn et Rogers, nous pourrions aussi impacter le niveau des dividendes
versés dans le temps en ne fixant plus λ comme une constante mais en la définissant
comme un processus stochastique positif, par exemple un processus de Poisson. Il
faudrait toutefois que ce processus soit indépendant du processus de Levy que suit
X.
48

49. Annexes 1
Propriétés fondamentales
Nous reportons ici les propriétés définies par Kruse et Muller dans l’article sur
lequel se base les preuves de nos formules analytiques de pricing.[14]
Notre but n’étant pas de démontré ces propriétés mais de pouvoir les utiliser dans
les démonstrations de notre première partie, nous ne les démontrerons pas mais
vous invitons à les consulter, si vous le souhaitez.[14]
On note Nn(z1, ...zn; ˆC) la fonction de répartition de la loi normale multivariée
ayant poour matrice de corrélation ˆC pour les valeurs z1, ...zn.
Propriété 1
Soit X ∼ N(µ, σ2
) une variable aléatoire gaussienne et Y = (Y1, ..., Yn) ∼
Nn(0n, ˆC) un vecteur aléaoire de matrice de corrélation ˆC d’éléments ˆcjk.
On suppose que X et Y sont indépendants et on définit un vecteur aléatoire U tel
que
U = (Y1 − α1X, ..., Yn − αnX, X)
Alors la matrice de corrélation de U est donnée par la matrice carrée C de taille
(n + 1) telle que les éléments de la diagonales sont égaux à 1 et les éléments hors
diagonales sont données par
cjk =



ˆcjk + αjαkσ2
1 + α2
j σ2 1 + α2
kσ2
pour j = k et j, k = 1...n
−αjσ
1 + α2
j σ2
pour k = n + 1 et j = 1...n
−αkσ
1 + α2
kσ2
pour j = n + 1 et k = 1...n
Propriété 2
On note fX la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite.
On a
γ
−∞
Nn(α1x + β1, ..., αnx + βn; ˆC)fX(x)d(x)
= Nn+1
β1
1 + α2
1
, ...,
βn
1 + α2
n
, γ; C
avec C obtenue à partir de la propriété 1.
49

50. Propriété 3
On note fX la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite.
On a
γ
−∞
Nn(α1x + β1, ..., αnx + βn; ˆC)eδ+ηx
fX(x)d(x)
= eδ+1
2
η2
Nn+1
β1
1 + α2
1
, ...,
βn
1 + α2
n
, γ; C
avec C obtenue à partir de la propriété 1.
Propriété 4 : Comment construire la matrice C(i+1)
avec i < n
On considère la suite de points {t1, t2 = t1 + h, ..., ti+1 = t1 + hi} avec i < n, alors
σj = t1 + (i − j)h pour j = 1, ..., i
σjk =
1
(j − k + 1)h
pour tout j = 1, ..., i; k = 1, ..., j; j ≥ k
et les éléments hors diagonales de la matrice C(i+1)
sont donnés par :
si i = 1
c
(2)
12 =
−α11σ1
1 + α2
11σ2
1
= −
t1
t1 + h
si i > 1



c
(i+1)
j,i+1 =
−αijσi
1 + α2
ijσ2
i
= −
t1
t1 + (i − j + 1)h
pour j = 1, ..., i
c
(i+1)
jk =
ˆc
(i)
jk + αijαikσ2
i
1 + α2
ijσ2
i 1 + α2
ikσ2
i
pour j = 1, ..., i; k = j + 1, ..., i
=
ˆc
(i)
jk (i − j + 1)h (i − k + 1)h + t1
t1 + (i − j + 1)h t1 + (i − k + 1)h
Propriété 5 : Comment construire la matrice C(n+1)
avec i = n
On considère la suite de points {t1, t2 = t1 + h, ..., tn = t1 + (n − 1)h, tn+1 = T},
alors
σj = t1 + (n − j)h pour j = 1, ..., i
σj1 =
1
T − t1 − (n − j)h
σjk =
1
(j − k + 1)h
pour tout j = 2, ..., n; k = 2, ..., j; j ≥ k
50

51. et les éléments hors diagonale de la matrice C(n+1)
sont donnés par :
si n = 1
c
(2)
12 =
−α11σ1
1 + α2
11σ2
1
= −
t1
T
si n > 1



c
(n+1)
1,n+1 =
−αn1σn
1 + α2
n1σ2
n
= −
t1
T
c
(n+1)
1k =
ˆc
(n)
1k + αn1αnkσ2
n
1 + α2
n1σ2
n 1 + α2
nkσ2
n
pour k = 2, ..., n;
=
ˆc
(n)
1k
√
T − t1 (n − k + 1)h + t1
√
T t1 + (n − k + 1)h
c
(n+1)
j,n+1 =
−αnjσn
1 + α2
njσ2
n
pour j = 2, ..., n;
= −
t1
t1 + (n − j + 1)h
c
(n+1)
jk =
ˆc
(n)
jk + αnjαnkσ2
n
1 + α2
njσ2
n 1 + α2
nkσ2
n
pour j = 2, ..., n; k = j + 1, ..., n
=
ˆc
(n)
jk (n − j + 1)h (n − k + 1)h + t1
t1 + (n − j + 1)h t1 + (n − k + 1)h
51

52. Annexes 2
Données historiques pour le calcul de la volatilité
Volatilités annuelles
2006 2007 2008 2009 2010
Airbus Group 43.03% 26.36% 61.92% 43.01% 31.32%
Axa 22.92% 26.36% 75.06% 63.14% 41.41%
BNP Paribas 21.63% 26.43% 61.54% 62.97% 42.11%
EDF 26.71% 22.19% 49.03% 33.78% 21.69%
GDF Suez 20.9% 22.19% 56.65% 33.85% 26%
L’Oreal 19.03% 19.6% 41.75% 27.21% 23.11%
LVMH 22.31% 18.73% 46.99% 37.74% 28.91%
Sanofi 20.52% 18.65% 42.41% 28.64% 21.77%
Schneider Electric 25.23% 26.41% 57.99% 42.11% 31.8%
Total 18.11% 20.44% 48.04% 29.68% 22.44%
2011 2012 2013 2014 2015
Airbus Group 36.45% 32.26% 25.91% 26.9% 28.36%
Axa 54.18% 35.56% 25.6% 22.8% 23.94%
BNP Paribas 59.68% 42.13% 27.47% 23.82% 31.09%
EDF 33.35% 27.77% 24.96% 23.06% 29.8%
GDF Suez 33.93% 26.14% 22.66% 22.31% 25.21%
L’Oreal 21.2% 20.06% 20.81% 16.54% 20.06%
LVMH 31.71% 26.41% 21.14% 19.38% 27.56%
Sanofi 25.7% 20.82% 22.94% 22.53% 23.39%
Schneider Electric 43.68% 35.61% 25.35% 24.26% 23.88%
Total 24.58% 20.37% 16.72% 24.43% 29.22%
Volatilités sur l’ensemble de la période observée : du 1er
janvier 2006
au 10 mars 2015
Airbus Group 37.89%
Axa 44.38%
BNP Paribas 43.80%
EDF 30.40%
GDF Suez 31.21%
L’Oreal 24.29%
LVMH 29.57%
Sanofi 25.78%
Schneider Electric 36.20%
Total 26.61%
52

53. Données historiques pour le calcul de µ
Airbus Group
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
29/05/2014 28/05/2014 53.12 52.52 3.8641%
31/05/2013 30/05/2013 44.24 43.99 4.422%
04/06/2012 01/06/2012 26.15 25.74 3.4197%
01/06/2011 31/05/2011 22.88 22.7 4.2322%
03/06/2009 02/06/2009 12 11.96 4.7496%
11/05/2007 10/05/2007 23.22 23.11 4.5251%
10/05/2006 09/05/2006 31.86 31.3 3.2267%
Axa
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
02/05/2014 30/04/2014 18.77 18.22 1.9719%
09/05/2013 07/05/2013 14.86 14.29 1.0887%
04/05/2012 03/05/2012 10.54 9.93 -0.9042%
29/04/2011 28/04/2011 15.69 15.12 1.3325%
03/05/2010 30/04/2010 15.1 14.6 1.6327%
07/05/2009 06/05/2009 13.13 13.04 4.3281%
24/04/2008 23/04/2008 23.5 22.61 1.1644%
21/05/2007 18/05/2007 32.45 31.82 3.0541%
12/05/2006 11/05/2006 28.41 27.7 2.4717%
BNP Paribas
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
20/05/2014 19/05/2014 52.2 50.88 2.4387%
21/05/2013 17/05/2013 46.49 45.9 3.7228%
30/05/2012 29/05/2012 26.28 24.88 -0.4353%
20/05/2011 19/05/2011 54.34 52.7 1.9355%
19/05/2010 18/05/2010 49.3 47.59 1.4597%
20/05/2009 19/05/2009 46.09 45.58 3.8974%
26/05/2008 23/05/2008 66.06 63.08 0.3858%
24/05/2007 23/05/2007 91.6 88.48 1.5348%
31/05/2006 30/05/2006 72.16 69 0.5242%
53

54. EDF
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
15/12/2014 12/12/2014 22.98 22.4 2.4877%
03/06/2014 02/06/2014 25.76 24.96 1.8258%
12/12/2013 11/12/2013 25.85 25.14 2.2348%
06/06/2013 05/06/2013 18.38 18.01 2.9664%
06/06/2013 05/06/2013 18.38 18.01 2.9664%
12/12/2012 11/12/2012 14.28 13.8 1.6521%
01/06/2012 31/05/2012 15.56 15.25 2.9555%
13/12/2011 12/12/2011 19.23 18.68 2.125%
01/06/2011 31/05/2011 28.18 27.72 3.3184%
14/12/2010 13/12/2010 31.82 31.42 3.7352%
31/05/2010 28/05/2010 36.05 35.51 3.4907%
29/05/2009 28/05/2009 37.62 37.6 4.9335%
12/12/2008 11/12/2008 40.85 39 0.3655%
28/05/2008 27/05/2008 68.13 67.72 4.3964%
27/11/2007 26/11/2007 84.96 84 3.8636%
04/06/2007 01/06/2007 71.38 70 3.0478%
20/06/2006 19/06/2006 39.13 38.36 3.0126%
GDF Suez
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
13/10/2014 10/10/2014 18.5 17.94 1.8992%
30/04/2014 29/04/2014 18.96 18.25 1.1834%
15/11/2013 14/11/2013 18.54 17.76 0.7569%
25/04/2013 24/04/2013 16.6 15.9 0.7218%
25/09/2012 24/09/2012 19.46 18.58 0.3737%
25/04/2012 24/04/2012 18.26 17.62 1.4879%
10/11/2011 09/11/2011 20.08 19.1 0.0213%
04/05/2011 03/05/2011 27.82 27.32 3.2227%
10/11/2010 09/11/2010 28.87 27.69 0.8268%
05/05/2010 04/05/2010 27 26.81 4.2938%
15/12/2009 14/12/2009 29.9 29.2 2.631%
06/05/2009 05/05/2009 27.9 26.6 0.2285%
22/05/2008 21/05/2008 43.95 42.15 0.8182%
30/05/2007 29/05/2007 37.3 36.6 3.1055%
30/05/2006 29/05/2006 27.11 26.43 2.4597%
54

55. L’Oreal
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
29/04/2014 28/04/2014 123.25 121 3.1576%
07/05/2013 06/05/2013 136 134.7 4.0395%
27/04/2012 26/04/2012 93.33 91.05 2.5267%
29/04/2011 28/04/2011 86.77 85.15 3.1153%
30/04/2010 29/04/2010 79.99 79 3.7546%
21/04/2009 20/04/2009 51.76 50.82 3.1771%
25/04/2008 24/04/2008 73.83 72.99 3.8557%
03/05/2007 02/05/2007 87.95 86.89 3.7874%
10/05/2006 09/05/2006 74.4 73.5 3.7829%
LVMH
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
02/12/2014 01/12/2014 129.55 128.88 4.4769%
14/04/2014 11/04/2014 127.25 125.54 3.6453%
28/11/2013 27/11/2013 127.66 126.8 4.3271%
22/04/2013 19/04/2013 111.12 109.95 3.9401%
20/04/2012 19/04/2012 110.94 110.49 4.593%
29/11/2011 28/11/2011 101.21 100.94 4.7325%
20/05/2011 19/05/2011 108.51 107.79 4.3333%
29/11/2010 26/11/2010 108.01 107.97 4.9583%
20/05/2010 19/05/2010 77.65 77.36 4.6279%
27/11/2009 26/11/2009 63.52 62.18 2.8778%
20/05/2009 19/05/2009 55.09 54.49 3.9062%
20/05/2008 19/05/2008 69.36 68.22 3.3492%
15/05/2007 14/05/2007 77.23 76.24 3.7198%
18/05/2006 17/05/2006 68.18 67.46 3.9369%
55

56. Sanofi
ExDate ExDate-1 jour Prix avant dividende Prix après dividende µ
12/05/2014 09/05/2014 78.38 76.07 2.0085%
09/05/2013 07/05/2013 84.85 83.12 2.94%
10/05/2012 09/05/2012 58.1 56 1.3186%
16/05/2011 13/05/2011 56.26 53.9 0.7147%
20/05/2010 19/05/2010 50.38 48.68 1.5674%
23/04/2009 22/04/2009 42.6 40.8 0.6945%
16/05/2008 15/05/2008 48.5 48.4 4.7936%
07/06/2007 06/06/2007 69.58 68.52 3.4649%
07/06/2006 06/06/2006 72.55 71.95 4.1695%
Schneider Electric
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
14/05/2014 13/05/2014 69.68 68.25 2.9264%
02/05/2013 30/04/2013 57.9 56.8 3.0819%
11/05/2012 10/05/2012 45.21 43.52 1.1902%
29/04/2011 28/04/2011 60.62 59.05 2.3677%
04/05/2010 03/05/2010 42.9 42.04 2.9631%
04/05/2009 30/04/2009 28.96 27.44 -0.3741%
25/04/2008 24/04/2008 40.92 40 2.7383%
02/05/2007 30/04/2007 52.04 51 2.9909%
09/05/2006 05/05/2006 45.76 45.02 3.3651%
56

57. Total
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
15/12/2014 12/12/2014 41.14 40.76 4.0965%
23/09/2014 22/09/2014 50.13 49.62 3.9774%
24/03/2014 21/03/2014 47.56 46.7 3.1647%
16/12/2013 13/12/2013 41.56 41.07 3.814%
24/09/2013 23/09/2013 42.71 42.52 4.5659%
24/06/2013 21/06/2013 36.51 36.3 4.4369%
18/03/2013 15/03/2013 39.16 38.14 2.348%
17/12/2012 14/12/2012 39.46 38.89 3.545%
24/09/2012 21/09/2012 40.8 39.99 2.9947%
18/06/2012 15/06/2012 35.43 35.16 4.235%
19/03/2012 16/03/2012 42.53 42.09 3.96%
19/12/2011 16/12/2011 36.85 36.1 2.9163%
19/09/2011 16/09/2011 33.3 32.07 1.2213%
23/05/2011 20/05/2011 41.07 40.03 2.4351%
12/11/2010 10/11/2010 40.75 39.3 1.3769%
27/05/2010 26/05/2010 37.6 37.21 3.9706%
13/11/2009 12/11/2009 43 41.8 2.1813%
19/05/2009 18/05/2009 41.95 41.2 3.196%
20/05/2008 19/05/2008 58.2 56.84 2.6181%
16/11/2007 15/11/2007 54.6 53.78 3.4868%
17/11/2006 16/11/2006 56.5 54.8 1.945%
18/05/2006 17/05/2006 51.83 51.45 4.2737%
57

58. Références
[1] F. Black & M. Scholes :The Pricing of Options and Corporate Liabilities ,Jour-
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Financial Economics 5 (1977) pp.177-188
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