Solvabilité II – Risque de réserveMesure de volatilité dans les provisions pour sinistres - Approche à 1 an1
Sommaire      Risque de réserve dans le cadre du projet Solvabilité II      Adaptation des méthodes de provisionnement s...
Le principe de l’incertitude à un an3
Le principe de l’incertitude à un an4
Le principe de l’incertitude à un an5
Un peu de formalisme  avec les notations usuelles                                Année	  de	  développement	  j	         ...
Un peu de formalisme  Mack (1993) a proposé le formalisme suivant, sur la charge cumulée  i.e. hypothèse de link-ratio, ...
Un peu de formalisme  Ces estimateurs sont des estimateurs sans biais, et indépendants,  Aussi  est un estimateur sans ...
Les estimateurs / prédicteurs usuels  Pour quantifier l’incertitude d’un estimateur en statistique, on considère  Consid...
Les estimateurs / prédicteurs usuels  On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…  L’estimateur natu...
Les estimateurs / prédicteurs usuels  Pour le mean squared error de prédiction,  Notons que  qui peut alors s’écrire   ...
Les estimateurs / prédicteurs usuels  Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé f...
Les estimateurs / prédicteurs usuels  … ou plus précisément, on cherche à comparer la prédiction faite à deux dates diffé...
Incertitude d’un estimateur / prédicteur  Dans notre modèle de pile ou face, rappelons que  de telle sorte que  dont un...
Incertitude d’un estimateur / prédicteur  Pour le mean squared error de prédiction conditionnelle, rappelons que  qui pe...
Quantifier l’incertitude sans biais  Un des problèmes est que la plupart de ces estimateurs sont biaisés. Si on regarde ...
Les formules de Mack  Mack (1993) a donné des expressions numériques pour ces quantités,  où  Une alternative est d’uti...
Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  Rappelons qu’un modèle classique en provisionnement est le modèle log-Poisson...
Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  Cet estimateur est biaisé, mais en boostrapant les résidus, on peut réduire l...
Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, p...
Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, p...
De l’incertitude à un an dans les triangles  Merz & Wüthrich (2008) ont proposé d’étendre les formules de Mack en calcula...
De l’incertitude à un an dans les triangles  Pour obtenir une formule à la Mack, Merz & Wüthrich (2008) font l’hypothèse ...
Extension aux modèles GLMs  De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack   (1993), on ...
Extension aux modèles GLMs  De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack   (1993), on ...
Extension aux modèles GLMs  De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack   (1993), on ...
Contacts  Arthur Charpentier     arthur.charpentier@univ-rennes1.fr  Laurent Devineau – Senior Manager - Responsable du ...
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Milliman risque de réserve - arthur

  1. 1. Solvabilité II – Risque de réserveMesure de volatilité dans les provisions pour sinistres - Approche à 1 an1
  2. 2. Sommaire   Risque de réserve dans le cadre du projet Solvabilité II   Adaptation des méthodes de provisionnement stochastiques   Résultats et perspectives2
  3. 3. Le principe de l’incertitude à un an3
  4. 4. Le principe de l’incertitude à un an4
  5. 5. Le principe de l’incertitude à un an5
  6. 6. Un peu de formalisme  avec les notations usuelles Année  de  développement  j   Année  de  développement  j   Exercice  i   1   2   …   I   Exercice  i   1   2   …   I   1   1   2   2   …   …   I   I   augmentation de l’information disponible6
  7. 7. Un peu de formalisme  Mack (1993) a proposé le formalisme suivant, sur la charge cumulée  i.e. hypothèse de link-ratio, classique dans Chain-Ladder  i.e. hypothèse d’hétéroscédasticité  Et une hypothèse d’indépendance entre années de survenances  Alors on peut utiliser les facteurs de développement pour prédire la charge ultime  Pour prédire la charge ultime, on utilise l’estimateur Chain-Ladder du link-ratio7
  8. 8. Un peu de formalisme  Ces estimateurs sont des estimateurs sans biais, et indépendants,  Aussi  est un estimateur sans biais, i.e.  Pour le paramètre de volatilité, on peut considérer  qui est également un estimateur sans biais du paramètre de volatilité, i.e.  avec8
  9. 9. Les estimateurs / prédicteurs usuels  Pour quantifier l’incertitude d’un estimateur en statistique, on considère  Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé9
  10. 10. Les estimateurs / prédicteurs usuels  On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…  L’estimateur naturel de cette quantité est  On distingue trois types de mesures d’incertitude10
  11. 11. Les estimateurs / prédicteurs usuels  Pour le mean squared error de prédiction,  Notons que  qui peut alors s’écrire estimation error process error11
  12. 12. Les estimateurs / prédicteurs usuels  Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé  On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…12
  13. 13. Les estimateurs / prédicteurs usuels  … ou plus précisément, on cherche à comparer la prédiction faite à deux dates différentes  i.e. avec davantage d’information…  On s’intéresse alors à quantifier l’erreur associée à  i.e. on cherche13
  14. 14. Incertitude d’un estimateur / prédicteur  Dans notre modèle de pile ou face, rappelons que  de telle sorte que  dont un estimateur naturel est  En revanche,  dont une estimateur naturel est14
  15. 15. Incertitude d’un estimateur / prédicteur  Pour le mean squared error de prédiction conditionnelle, rappelons que  qui peut s’écrire  Un estimateur naturel de cette quantité est alors  i.e. on perd l’estimation de la process error. Mack (1993) proposait d’utiliser une information partielle pour estimer le second terme,  et donc15
  16. 16. Quantifier l’incertitude sans biais  Un des problèmes est que la plupart de ces estimateurs sont biaisés. Si on regarde  comme  alors  qui est un estimateur biaisé (cf. inégalité de Jensen).  On peut utiliser le bootstrap pour réduire le biais de cet estimateur.16
  17. 17. Les formules de Mack  Mack (1993) a donné des expressions numériques pour ces quantités,  où  Une alternative est d’utiliser des méthodes économétriques, en particulier la régression log- Poisson, qui donne la même prédiction de réserve que Mack (1993), mais propose un traitement différent de l’incertitude associée à cette estimation.17
  18. 18. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  Rappelons qu’un modèle classique en provisionnement est le modèle log-Poisson (surdispersé), i.e.  où  (avec un effet ligne et un effet colonne). Alors  (par la Delta méthode, i.e. asymptotiquement). Or comme on utilise un lien logarithmique  On en déduit18
  19. 19. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  Cet estimateur est biaisé, mais en boostrapant les résidus, on peut réduire le biais19
  20. 20. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de survenance20
  21. 21. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs  En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de survenance21
  22. 22. De l’incertitude à un an dans les triangles  Merz & Wüthrich (2008) ont proposé d’étendre les formules de Mack en calculant non plus une incertitude à ultime, mais une incertitude à un an  avec  et22
  23. 23. De l’incertitude à un an dans les triangles  Pour obtenir une formule à la Mack, Merz & Wüthrich (2008) font l’hypothèse suivante  qui permet d’utiliser un développement limité  alors23
  24. 24. Extension aux modèles GLMs  De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack (1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)24
  25. 25. Extension aux modèles GLMs  De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack (1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)25
  26. 26. Extension aux modèles GLMs  De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack (1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)26
  27. 27. Contacts  Arthur Charpentier arthur.charpentier@univ-rennes1.fr  Laurent Devineau – Senior Manager - Responsable du pôle R&D laurent.devineau@milliman.com 06 87 30 44 3027

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