Fouad SellamContact : f.sellam@ina.dzInstitut National AgronomiqueInstitut National AgronomiqueDDéépartement du Gpartement...
Objectifs et MoyensObjectifs et Moyens Etablir les bases fondamentalesbases fondamentales de lamméécanique des fluidescan...
GAZGAZGAZLIQUIDESLIQUIDESLIQUIDESCompressibilitCompressibilitééDensitDensitééViscositViscositééPression de vapeurPression ...
PLAN SOMMAIREPLAN SOMMAIRE I.- INTRODUCTION I.1.- Le Système d’Unités SI I.2.- Les Propriétés des Fluides I.2.1.- Les ...
 II.- STATIQUES DES FLUIDES II.1.- Notion de Pression II.2.- Loi de Pascal II.3.- Equation Fondamentale del’Hydrostati...
 III.- DYNAMIQUE DES FLUIDES III.1.- Les Principes de Base III.1.1.- Principe de Conservation de Masse ou Equationde Co...
SUPPORTS BIBLIOGRAPHIQUESSSUPPORTSUPPORTS BBIBLIOGRAPHIQUESIBLIOGRAPHIQUES Polycopiés d’Hydraulique Générale et Appliquée...
• 1.- Hydrostatique :- Calcul des Pressions à l’aide des manomètres- Calcul des Forces de pression hydrostatiquessur les p...
• 1.- Hydrostatique :- Centre de pression hydrostatique• 2.- Hydrodynamique :- Ecoulement à travers les orifices et ajutag...
 APPLICATIONS : Hydrologie des cours d’eau Systèmes de distribution d’eau Constructions des barrages et autres ouvrage...
TsSecondeTempsMkgKilogrammeMasseLmMètreLongueurDimensionSymboleNom de L’UnitéGrandeur de BaseI.1.- Le Système d’Unités SI
ML-1T-1Kg/m/s , N.s/m2 , kg.m-1.s-1ViscositéML-2T-2Kg/m2/s2 , N/m3 , kg.m-2.s-2Poids SpécifiqueML-3Kg/m3 , kg.m-3Masse Spé...
I.2.- Les Propriétés des FluidesI.2.1.- Les DensitésVM• Eau : ρw = 1000 kg/m3• Mercure : ρHg = 13546 kg/m3Valeurs Partic...
b.- Poids Spécifique :VMgVWValeurs Particulières :• Eau : γw = 9,814 x 1000 = 9814 N/m3• Mercure : γHg = 9,814 x 13546 ...
c.- Densité Relative :D Adimensionnel ( sans unité )• Eau : Dw = 1• Mercure : DHg = 13,6Valeurs Particulières :Unité33...
I.2.2.- Les ViscositésLa viscosité µ est une propriété d’un fluide due à la cohésion et à l’interaction entre lesmolécules...
a.- La Viscosité Dynamique112....tan smkgmsNSurfacesForcexTempceDisVitesseSurfaceForcedydudydu Remarque :  ...
b.- La Viscosité Cinématique Unité : m2/s Dimension : L2T-1Remarque : est généralement exprimée en Stokes (St) : 104 ...
)( cTf 0,2961000,477600,556500,661400,724350,804300,897251,010201,140151,310101,52051,7900υeau , m2/s ( x 10-6)Températ...
VMg Ddydu   smx /1014,1 261131014,1  sKgmx1D3/9814 mN3/1000 mKg
II.1.- Notion de PressionSurfaceForceSFP Unité : N/m2 ou kg.m-1.s-2 Dimension : ML-1T-2Remarque : La pression peut aussi...
ABE DCFsyzxxPsPyPII.2.- Loi de Pascal : Pression en un point d’un fluideBlaiseBlaise Pascal (1623Pascal (1623--1662)1...
* Selon l’axe des x :- Force due à Px : zyPABFEPF xxxx .).( - Force due à Py : 0yxF- Composante due à Ps :syzsPABCDPF...
* Selon l’axe des y:- Force due à Px : 0xyF- Force due à Py :- Composante due à Ps :sxzsPABCDPF sssy .)cos..( ca...
sx PP sy PP syx PPP La pression d’un fluide en un pointest la même dans toutes les directions
Densité ρSurface AP1P2Poids WhZ1Z2Plan de RéférencePositifII.3.- Equation Fondamentale de l’HydrostatiqueProblème :Exprime...
Densité ρ Surface AP1P2Poids WhZ1Z2Plan de RéférencePositif niF10APFAFP 2222 VgMgW 1.- Force due à la pression P1 ...
22112211 ZgPZgPgZPgZP steCgPZ 22111221 )( gZPgZPZZgPP  Sur un même plan horizontal ( axe de référe...
En posant Z2-Z1 = h et P2 = P0 , On aura :ghPP  01Et si P0 = 0 : ghP 1La pression augmente donc linéairement en fonc...
0021  APAP( car la composante du poids W selon l’horizontale est nulle )Densité ρSurface AP1P2WPositifSur un même plan ...
MhPoAu point M , la pression est égale à : ghPP oM A la surface libre du fluide , la pression est généralement représen...
On a vu que :steCgPZ avec : LZ : hauteur de position ou côte géométrique LgP: Hauteur piézométrique LgPZ : Hau...
Dans certains cas , la pression absolue est inférieure à la pression atmosphérique :atmatmM PghPP  Il se crée alors un...
On a vu que :psteECgPZ Si l’on multiplie les 2 termes de cette équation par le poids élémentaire mg ,on aura : NmmgZ...
Tube en UTube en ULe dispositif utilisé dépend de l’importance des pressions à mesurer .Il existe 2 types de dispositifs d...
ABh1h2Densité ρ∙ Mesure des pressions par les tubes manométriques :1ghPA 2ghPB - PA et PB : Pressions Manométriques- h...
ADensité ρDensité ρmPatmB CEh1h2- Le tube manométrique en forme de ‘’ ⋃ ‘’ :D’après la loi de l’hydrostatique , on peut éc...
ADensité ρDensité ρmPatmB CEh1h2 Partie Gauche : 1ghPP AB 22 ghPghPP matmmEC   Partie Droite :Et si on ne tient...
Conclusion :CB PP  21 ghghP mA  12 ghghP mA  Et finalement :Remarque :- Si le fluide de densité ρ est un gaz , sa...
Densité ρDensité ρmABEFCh1hh2- Mesure de la différence de pression par un manomètre en U :Problème :Calcul de la différenc...
ABEFCh1hh2 Branche de Gauche :1ghPP AC ghhhgPP mBE   )( 2EC PP  Branche de Droite :et commeghhhgPghP mBA  ...
- Manomètre à Eau et manomètre à Mercure :Les manomètres à eau sont utilisés pour mesurer des pressionsrelativement faible...
HDensité ρhghP gHP 0PHDensité ρhghP gHP gyP ySurface non immergée Surface immergéeIl s’agit de tracer le graphi...
SurfaceForceSFP  )(/ 2PamN
4P3P2P1P4321 PPPP 
atmPhAghPP atmA ghP A Pression AbsoluePression Effective
hP1 P2 P3 P4ghPPPP  4321La pression dans un fluide ne dépendque de la profondeuret pas de la forme du récipient.
A12DCBBA PP DC PP 
steCgPZgPZ 22111 12 2P1P2Z1Z2Axe de référence
11y = 1,6 mΔh = 0,6 m22 3344Eau ( densité ρw = 103 Kg/m3 )Mercure ( densité ρm = 13546 Kg/m3 )Patm = 0Calculer la Pression...
Selon la loi de la statique des fluides , on peut écrire que :ρ3 = 8040 Kg/m3ρ1 = 8810 Kg/m3A Bh1h2h3h4h5ρ2 = 13550 Kg/m3ρ...
APghP  111    3233222 PhhgghP  A Bh1h2h3h4h51 23 45 6h3-h2   3112332232332211PghhhgghPPhhgghghPAA...
A Bh1h2h3h4h51 23 45 6BPghghP  55446 4345 PghP  45544343445544PghghghPghPPghghBB455434 )( PghhhgPB...
 45543431123322)( PghhhgPPghhhgghPBANous avons donc :d’où :   45543431123322 )( PghhhgPghhhgghPP BA ...
SurfaceForceSFP  F = P x SF = P x SSurface Plane Surface CourbeAEauhFBAEauhFB
CasCas des surfacesdes surfaces immergimmergééeses inclininclinééesesdFhhcdydAyOxhiyiyycsinyh Problème : Exprimer la Fo...
ghdAPdAdF    ABAB ABhdAgghdAdFF ABydAgFyh  sinsin ‘’ Moment Statique ‘’ de lasurface AB par rapport à Ox...
ChChyyCy xDFPour déterminer hD , la profondeur du point d’application de la force résultante F , ilsuffit d’utiliser le p...
le terme ABdAy2oxCD IgAygy .sin.sin  Et donc :AyIycoxD représente le ‘’ Moment d’Inertie ‘’ de la surface AB par r...
3623bhIbhAcc cch32hTriangleTriangleb123bhIbhAcc cc2hhRectangleRectangleb64444422DrIDrAccccrDCercleCercler12888...
CasCas des surfacesdes surfaces immergimmergééeses verticalesverticales1sin90  AghF c0atmPdFhhcdydAhiABSurface du...
hcABCDhDFHCas des surfaces partiellement immergéesAghF cAttention !!!Seule la surface‘’mouillée’’ estprise en compte
F hABLiquidede densitéρChcSurface immergée horizontale1.- Force F : AghF c hhc  ghAF 2.- Profondeur du point d’applic...
dFxdFdAHABzxhzdFzdAxdAdFxdFzdFsindFdFx cosdFdFz dFComposante horizontaleComposante verticale
1.- Composante horizontalezx ghdAghdAdFdF   sinsin. carzdAdA sind’où :    zcAzzHx AghhdAgFdF zcH AghF a...
2.- Composante verticalexz ghdAghdAdFdF   coscos. car xdAdA cosd’où : gWdWghdAgFdFWAxxvz    gWFv Ave...
Le calcul des 2 composantes FH et FV permet ensuite de déterminer la résultante F parl’expression :22VH FFF ♦ Position d...
AABBSurface AAABBAghF cAhIhhccccD F DhDChCAABBFDhDChCyc FChCDhDsincc yh Surface ASurface AAyIyyccccD  Et puis si...
AghF cH gWFv 22VH FFF ABFFHFVProjection verticaleFHA’B’ChcDhDSurface plane !AB1.- Surface libre du liquide2.- La sur...
hW WW1.- Surface libre du liquide2.- La surface courbe AB3.- Les 2 verticales passant par les 2extrémités de la surface co...
h=1ma=2mb=3mLe schéma montre une vanne AB rectangulaire retenant un niveau d’eau etimmergée à une profondeur h . Calculer ...
my 3 mb 3mh 2FhD hCABCD3hLa vanne AB est de forme d’un triangle isocèle de base b=3m et de hauteur h=2m .On demande de ...
2.- Profondeur du centre de pression :AhIhhcCCcD 363bhICC mxhhhbhhbhhAhIhhcccccCCcD 76,37,31827,318236223Momen...
Données : H1 = 10 m ; H2 = 8 m ; y = 1 m ; a = 2 m ; b = 4 mH1H2y abAABB
H1H2yF1F221 FFFR 
H1H2yF1C1hc121 842 mxaxbA 2bmybhc 31242111 1AghF cbabybgF 21 kNF 2351 a
H1H2yC222 2AghF c    2122 6411082 mxbyHHaA mbyHHhc 5.12411082121F2bbyH 1byHH  12 b’22bhc  ?...
kNFFFR 1478823521 
33ω Kg/m10ρ:Eau h = 3mRUne vanne radiale est localisée à la base d’un mur vertical . La largeur de la vanne estL = 5m et ...
chh = 3mRCa.- Calcul de la composante horizontale FH : RLhRgAghF cH 2 h = 3mRProjection verticaleRLRL2RAghF...
b.- Calcul de la composante verticale :- Détermination du volume W :hRRW1W2 21 WWW RhLW 1LRW422  )4(221 LRRhLgWWggW...
c.- Calcul de la force résultante F :22VHR FFF kNFV 1205kNFH 4.981KNFR 155412054.981 22
Calculer la force de pression hydrostatiqueexercée par l’eau du barrage sur la vannesegment de rayon r et de largeur b = 5...
mH 20mr 20 60W1?F.2 V gWFV WW W221 WWW Hrrα/22cos2122cos222rbHWbrHbSWα 360°36036036021112112brWb...
22VH FFF kNF 997217739814 22
Cours hydrostatique tc3_v2008
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Cours hydrostatique tc3_v2008

  1. 1. Fouad SellamContact : f.sellam@ina.dzInstitut National AgronomiqueInstitut National AgronomiqueDDéépartement du Gpartement du Géénie Ruralnie RuralSection Hydraulique AgricoleSection Hydraulique Agricole
  2. 2. Objectifs et MoyensObjectifs et Moyens Etablir les bases fondamentalesbases fondamentales de lamméécanique des fluidescanique des fluides Illustrations à travers des applicationsapplicationspratiquespratiques par les TD et TP
  3. 3. GAZGAZGAZLIQUIDESLIQUIDESLIQUIDESCompressibilitCompressibilitééDensitDensitééViscositViscositééPression de vapeurPression de vapeurTension superficielleTension superficielleSTATIQUESTATIQUESTATIQUE DYNAMIQUEDYNAMIQUEDYNAMIQUE 0iF  0iFFluides au reposStatique des fluidesStatique des fluidesFluides en mouvementDynamique des fluidesDynamique des fluidesFluide = EauFluide = EauHYDROHYDROSTATIQUESTATIQUE HYDROHYDRODYNAMIQUEDYNAMIQUE
  4. 4. PLAN SOMMAIREPLAN SOMMAIRE I.- INTRODUCTION I.1.- Le Système d’Unités SI I.2.- Les Propriétés des Fluides I.2.1.- Les Densités a.- Densité de masse ou ‘’ Masse Volumique ‘’ : b.- Poids Spécifique : c.- Densité Relative : I.2.2.- Les Viscosités a.- La Viscosité Dynamique b.- La Viscosité Cinématique
  5. 5.  II.- STATIQUES DES FLUIDES II.1.- Notion de Pression II.2.- Loi de Pascal II.3.- Equation Fondamentale del’Hydrostatique II.4.- Dispositifs de mesure de la pression II.5.- Forces de Pression des Fluides surles Surfaces II.2.1.- Cas des Forces de Pression exercées parles Fluides sur des Surfaces Planes II.2.2.- Cas des Forces de Pression exercées parles Fluides sur des Surfaces Courbes
  6. 6.  III.- DYNAMIQUE DES FLUIDES III.1.- Les Principes de Base III.1.1.- Principe de Conservation de Masse ou Equationde Continuité III.1.2.- Equation Générale d’Ecoulement ou Equation deBernoulli III.1.3.- Les Régimes d’Ecoulement : Le Nombre deReynolds III.2.- Les Pertes de Charge III.2.1.- Les Pertes de Charge Linéaires ou Réparties III.2.2.- Les Pertes de Charge Locales ou Singulières III.4.- Branchements de Conduites III.4.1.- Conduite à Section Constante ( Conduite simple ) III.4.2.- Conduites à Section variable ( Conduitesmultiples )
  7. 7. SUPPORTS BIBLIOGRAPHIQUESSSUPPORTSUPPORTS BBIBLIOGRAPHIQUESIBLIOGRAPHIQUES Polycopiés d’Hydraulique Générale et Appliquée .Tome 1 et 2 . I. Naoumenko Hydraulique générale .Carlier Polycopiés ‘’ Exercices d’Hydraulique générale avec corrigés ‘’ .Tome 1-2 . F. Sellam Handbook of applied Hydraulics .Davis et Sorensen http://www.ead.univ.angers.fr/~chaussed/ http://www.nottingham.ac.uk/~eazksim/fluids1/index.html
  8. 8. • 1.- Hydrostatique :- Calcul des Pressions à l’aide des manomètres- Calcul des Forces de pression hydrostatiquessur les parois planes et courbes• 2.- Hydrodynamique :- Equation de Bernoulli et de Continuité- Branchement de conduites
  9. 9. • 1.- Hydrostatique :- Centre de pression hydrostatique• 2.- Hydrodynamique :- Ecoulement à travers les orifices et ajutages- Le Débimètre de Venturi
  10. 10.  APPLICATIONS : Hydrologie des cours d’eau Systèmes de distribution d’eau Constructions des barrages et autres ouvrageshydrauliques Irrigation et Drainage Stations de pompage d’eau ( pompes et turbineshydrauliques ) Hydraulique souterraine ( écoulements des nappes d’eausouterraines et forages d’eau )
  11. 11. TsSecondeTempsMkgKilogrammeMasseLmMètreLongueurDimensionSymboleNom de L’UnitéGrandeur de BaseI.1.- Le Système d’Unités SI
  12. 12. ML-1T-1Kg/m/s , N.s/m2 , kg.m-1.s-1ViscositéML-2T-2Kg/m2/s2 , N/m3 , kg.m-2.s-2Poids SpécifiqueML-3Kg/m3 , kg.m-3Masse SpécifiqueML-1T-2Kg/m/s2 , N/m2 , Pa (Pascal) , kg.m-1.s-2PressionML2T-3Kg.m2/s3 , N.m/s , W (Watt) , kg.m2.s-3PuissanceML2T-2Kg.m2./s2 , N.m , J (Joule) , kg.m2.s-2EnergieMLT-2Kg.m/s2 , N (Newton) , kg.m.s-2ForceLT-2m/s2 , m.s-2AccélérationLT-1m/s , m.s-1VitesseDimensionUnité SICaractéristique
  13. 13. I.2.- Les Propriétés des FluidesI.2.1.- Les DensitésVM• Eau : ρw = 1000 kg/m3• Mercure : ρHg = 13546 kg/m3Valeurs Particulières :Unités Dimensionskgm3ML-33mKg
  14. 14. b.- Poids Spécifique :VMgVWValeurs Particulières :• Eau : γw = 9,814 x 1000 = 9814 N/m3• Mercure : γHg = 9,814 x 13546 = 132940 N/m3g 3mKgUnités 2sm )(NewtonN 3mNxDimensions ML-2T-2
  15. 15. c.- Densité Relative :D Adimensionnel ( sans unité )• Eau : Dw = 1• Mercure : DHg = 13,6Valeurs Particulières :Unité33..mKgmKg
  16. 16. I.2.2.- Les ViscositésLa viscosité µ est une propriété d’un fluide due à la cohésion et à l’interaction entre lesmolécules qui présentent une résistance aux déformations .Tous les fluides sont visqueux et obéissent à la loi de viscosité établie par Newton :dydu  : Contrainte de déformation tangentielledydu: Gradient de vitesse d’écoulement : Viscosité dynamique
  17. 17. a.- La Viscosité Dynamique112....tan smkgmsNSurfacesForcexTempceDisVitesseSurfaceForcedydudydu Remarque :  est généralement exprimée en Poise (Po) : 10 Po = 1 kg.m-1.s-1Valeurs Particulières :• Eau : µw = 1,14 x 10-3 kg.m-1.s-1• Mercure : µHg = 1,552 kg.m-1.s-1
  18. 18. b.- La Viscosité Cinématique Unité : m2/s Dimension : L2T-1Remarque : est généralement exprimée en Stokes (St) : 104 St = 1m2.s-1Valeurs Particulières : • Eau : υw = 1,14 x 10-6 m2.s-1• Mercure : υHg = 1,145 x 10-4 m2.s-1
  19. 19. )( cTf 0,2961000,477600,556500,661400,724350,804300,897251,010201,140151,310101,52051,7900υeau , m2/s ( x 10-6)Température , °C
  20. 20. VMg Ddydu   smx /1014,1 261131014,1  sKgmx1D3/9814 mN3/1000 mKg
  21. 21. II.1.- Notion de PressionSurfaceForceSFP Unité : N/m2 ou kg.m-1.s-2 Dimension : ML-1T-2Remarque : La pression peut aussi s’exprimer en :Pascal ( Pa ) : 1 Pa = 1 N/m2Bar ( Bar ) : 1 Bar = 105 N/m2
  22. 22. ABE DCFsyzxxPsPyPII.2.- Loi de Pascal : Pression en un point d’un fluideBlaiseBlaise Pascal (1623Pascal (1623--1662)1662)Considérons un élément d’un fluide ABCDEF( prisme triangulaire ) et soient Px , Py etPs les pressions dans les 3 directions x , yet s :Etablissons la relation entre Px , Py et Ps !
  23. 23. * Selon l’axe des x :- Force due à Px : zyPABFEPF xxxx .).( - Force due à Py : 0yxF- Composante due à Ps :syzsPABCDPF sssx .)sin..( car sy sindonc : zyPF ssx .et puisque le fluide est en équilibre : 0FFF sxyxxx d’où : 0zy.P-zy.P sx et donc : sx PP 
  24. 24. * Selon l’axe des y:- Force due à Px : 0xyF- Force due à Py :- Composante due à Ps :sxzsPABCDPF sssy .)cos..( car sx cosdonc : zxPF ssy .et puisque le fluide est en équilibre : 0FFF syxyyy d’où : 0zx.P-zx.P sy et donc : sy PP zxPCDEFPF yyyy .).( 
  25. 25. sx PP sy PP syx PPP La pression d’un fluide en un pointest la même dans toutes les directions
  26. 26. Densité ρSurface AP1P2Poids WhZ1Z2Plan de RéférencePositifII.3.- Equation Fondamentale de l’HydrostatiqueProblème :Exprimer la variation dePression P1 – P2
  27. 27. Densité ρ Surface AP1P2Poids WhZ1Z2Plan de RéférencePositif niF10APFAFP 2222 VgMgW 1.- Force due à la pression P1 :2.- Force due à la pression P2 :3.- Poids du fluide :APFAFP 1111 VM021  WFF   01221  gZZAAPAP Volume de fluide :  12 ZZAAhV  gZZAW 12    ghZZgPP   1221
  28. 28. 22112211 ZgPZgPgZPgZP steCgPZ 22111221 )( gZPgZPZZgPP  Sur un même plan horizontal ( axe de référence OO’ ) ,le terme Z+P/ρg reste constant
  29. 29. En posant Z2-Z1 = h et P2 = P0 , On aura :ghPP  01Et si P0 = 0 : ghP 1La pression augmente donc linéairement en fonctionde la profondeur
  30. 30. 0021  APAP( car la composante du poids W selon l’horizontale est nulle )Densité ρSurface AP1P2WPositifSur un même plan horizontal , toutes les pressions sont égales( Pressions Isobares )21 PP 
  31. 31. MhPoAu point M , la pression est égale à : ghPP oM A la surface libre du fluide , la pression est généralement représentée par lapression atmosphérique Patm , d’où :ghPP atmM  : Pression AbsolueEt si l’on néglige l’influence de la pression atmosphérique ( Patm = 0 ) :ghPM  : Pression Effective
  32. 32. On a vu que :steCgPZ avec : LZ : hauteur de position ou côte géométrique LgP: Hauteur piézométrique LgPZ : Hauteur ou charge totale
  33. 33. Dans certains cas , la pression absolue est inférieure à la pression atmosphérique :atmatmM PghPP  Il se crée alors une dépression dont la hauteur correspondante ,appelée ‘’ Hauteur du Vide ‘’ , est égale à :gPPh absatmvide
  34. 34. On a vu que :psteECgPZ Si l’on multiplie les 2 termes de cette équation par le poids élémentaire mg ,on aura : NmmgZ : Energie potentielle de position NmgPmg: Energie potentielle de pression NmmgEp : Energie potentielle totale
  35. 35. Tube en UTube en ULe dispositif utilisé dépend de l’importance des pressions à mesurer .Il existe 2 types de dispositifs de mesure des pressions :II.4.- Dispositifs de mesure de la pression- Les manomètres mécaniques : utilisés pour la mesure de pressionsrelativement plus élevées ( 1 à 2 Kg/cm2 )- Les tubes manométriques : utilisés pour la mesure de pressionsrelativement faibles ( … en laboratoires )Tube VerticalTube Vertical Tube InclinTube Inclinéé
  36. 36. ABh1h2Densité ρ∙ Mesure des pressions par les tubes manométriques :1ghPA 2ghPB - PA et PB : Pressions Manométriques- h1 et h2 : Hauteurs ManométriquesC’est un dispositif utilisé uniquement pour la mesure despressions des Liquides et non les gazManomètre
  37. 37. ADensité ρDensité ρmPatmB CEh1h2- Le tube manométrique en forme de ‘’ ⋃ ‘’ :D’après la loi de l’hydrostatique , on peut écrire que :CB PP 
  38. 38. ADensité ρDensité ρmPatmB CEh1h2 Partie Gauche : 1ghPP AB 22 ghPghPP matmmEC   Partie Droite :Et si on ne tient pas compte de Patm : 2ghP mC 
  39. 39. Conclusion :CB PP  21 ghghP mA  12 ghghP mA  Et finalement :Remarque :- Si le fluide de densité ρ est un gaz , sa densité est négligeabledevant celle du liquide manométrique :2ghP mAm   12 hhgPmmA0
  40. 40. Densité ρDensité ρmABEFCh1hh2- Mesure de la différence de pression par un manomètre en U :Problème :Calcul de la différence depression PA–PBOn peut écrire que :EC PP 
  41. 41. ABEFCh1hh2 Branche de Gauche :1ghPP AC ghhhgPP mBE   )( 2EC PP  Branche de Droite :et commeghhhgPghP mBA   )( 21ghhhgPP mBA )()( 12  Et donc :et si le fluide est un gaz ( ρm >> ρ ) : ghPP mBA 
  42. 42. - Manomètre à Eau et manomètre à Mercure :Les manomètres à eau sont utilisés pour mesurer des pressionsrelativement faibles car leur utilisation pour les fortes pressionsconduirait à l’élaboration de tubes de dimensions tropexagérées. C’est pour cela, et compte tenu de sa densité élevée ,que l’on préfère utiliser du Mercure comme liquidemanométrique .Illustration :Quelle serait la hauteur manométrique nécessaire pour mesurerune pression P = 120 KN/m2 :a.- Dans le cas d’un manomètre à eaub.- Dans le cas d’un manomètre à Mercure* Cas de l’Eau : !23,1210814,91012033mxxgPhghPww * Cas du Mercure : !9,013546814,910120 3mxxgPhghPHgHg 
  43. 43. HDensité ρhghP gHP 0PHDensité ρhghP gHP gyP ySurface non immergée Surface immergéeIl s’agit de tracer le graphique d’évolution de la pression sur une surface en tenantcompte du fait que la pression varie linéairement avec la profondeur selon la loighP 
  44. 44. SurfaceForceSFP  )(/ 2PamN
  45. 45. 4P3P2P1P4321 PPPP 
  46. 46. atmPhAghPP atmA ghP A Pression AbsoluePression Effective
  47. 47. hP1 P2 P3 P4ghPPPP  4321La pression dans un fluide ne dépendque de la profondeuret pas de la forme du récipient.
  48. 48. A12DCBBA PP DC PP 
  49. 49. steCgPZgPZ 22111 12 2P1P2Z1Z2Axe de référence
  50. 50. 11y = 1,6 mΔh = 0,6 m22 3344Eau ( densité ρw = 103 Kg/m3 )Mercure ( densité ρm = 13546 Kg/m3 )Patm = 0Calculer la Pression P1Rappel : règle à suivre1.- Ecrire lEcrire l’é’équation de base du systquation de base du systèèmemegyPP  1232 PP 43 hgPhgP mm  2.- Diviser le systDiviser le systèème en branches :me en branches :Branche droite :Branche droite : Branche gauche :Branche gauche :04  atmPP4.- RevenirRevenir àà ll’é’équation de base :quation de base :hggyPPP m  132  yhggyhgP mm   1  kPamKNmNxxP 64/64/640626,110006,013546814,9:A.N. 221 3.- Exprimer les pressions par brancheExprimer les pressions par branche
  51. 51. Selon la loi de la statique des fluides , on peut écrire que :ρ3 = 8040 Kg/m3ρ1 = 8810 Kg/m3A Bh1h2h3h4h5ρ2 = 13550 Kg/m3ρ5 = 1230 Kg/m3ρ4 = 1000 Kg/m31 23 45 6h1=20 cm ; h2=8 cm ; h3=40 cm ; h4=14 cm ; h5=9 cm43.2 PP 21.1 PP Problème :Calculer PA-PB65.3 PP 
  52. 52. APghP  111    3233222 PhhgghP  A Bh1h2h3h4h51 23 45 6h3-h2   3112332232332211PghhhgghPPhhgghghPAA
  53. 53. A Bh1h2h3h4h51 23 45 6BPghghP  55446 4345 PghP  45544343445544PghghghPghPPghghBB455434 )( PghhhgPB  
  54. 54.  45543431123322)( PghhhgPPghhhgghPBANous avons donc :d’où :   45543431123322 )( PghhhgPghhhgghPP BA  et comme 43 PP  On aura donc :  554341123322 )( ghhhgghhhgghPP BA  Application numérique :Uniformisation unités : h1=0,20m ; h2=0,08m ; h3=0,40m ; h4=0,14m ; h5=0,09m    115544343232 hhhhhgPP BA  ou bien    2,0881009,0123014,010004,01000804008,0804013550814,9 xxxxxxPP BA Ce qui donne :kPamKNmNPP BA 1,17/1,17/17130 22 
  55. 55. SurfaceForceSFP  F = P x SF = P x SSurface Plane Surface CourbeAEauhFBAEauhFB
  56. 56. CasCas des surfacesdes surfaces immergimmergééeses inclininclinééesesdFhhcdydAyOxhiyiyycsinyh Problème : Exprimer la Force de pression résultante F agissant sur la surface AB ainsique la profondeur de son centre d’application .ABSurface du liquide de densité ρC0atmP
  57. 57. ghdAPdAdF    ABAB ABhdAgghdAdFF ABydAgFyh  sinsin ‘’ Moment Statique ‘’ de lasurface AB par rapport à OxAyydA cAB Ordonnée du centre degravité de la surface ABAgyAygF cc  sinsin AghF cAghF cwEau (ρ = ρω )hc : Profondeur du centrede gravité de AB
  58. 58. ChChyyCy xDFPour déterminer hD , la profondeur du point d’application de la force résultante F , ilsuffit d’utiliser le principe des moments : ‘’ Le moment , par rapport au point O , de laforce résultante est égal à la somme des moments élémentaires ‘’ :ABio Favec :AygyAyghyFF cDDcDo .sin.  et   AB ABABABABi dAygdAgydAgyyydF 22sinsinsin. ??Point d’applicationCentre de gravitéDhDy
  59. 59. le terme ABdAy2oxCD IgAygy .sin.sin  Et donc :AyIycoxD représente le ‘’ Moment d’Inertie ‘’ de la surface AB par rapport à l’axe Ox = IoxAygyF cDo .sinABio FOn aura donc :  ABOXi Ig .sinetRemarque : Utilisation du théorème de Huygens : AyII cccox2avec Icc : Moment d’inertie de la surface AB par rapport à un axe passant par son centre de gravité C .AyIyAyAyIyccccccccD 2ou bien selon la verticaleAhIhhccccD La formule précédente devient alors :avec : - A’ : Projection verticale de la surface AB- I’cc : Moment d’inertie de la surface A’ par rapport à l’axe passant par soncentre de gravité .etConclusion : Le point d’application de la résultante F se trouve toujours plus bas que le centre degravité d’une distance égale à :AhIhhhcccCD 
  60. 60. 3623bhIbhAcc cch32hTriangleTriangleb123bhIbhAcc cc2hhRectangleRectangleb64444422DrIDrAccccrDCercleCercler1288824422DrIDrAccccr rr34Demi CercleDemi Cercle44baIabAccccabEllipseEllipseSURFACE ET MOMENT DSURFACE ET MOMENT D’’INERTIE DE QUELQUES FIGURES PARTICULIERESINERTIE DE QUELQUES FIGURES PARTICULIERES
  61. 61. CasCas des surfacesdes surfaces immergimmergééeses verticalesverticales1sin90  AghF c0atmPdFhhcdydAhiABSurface du liquide de densité ρCDhDFMême raisonnement que pour la surfaceInclinée mais avec :AhIhhccccD 
  62. 62. hcABCDhDFHCas des surfaces partiellement immergéesAghF cAttention !!!Seule la surface‘’mouillée’’ estprise en compte
  63. 63. F hABLiquidede densitéρChcSurface immergée horizontale1.- Force F : AghF c hhc  ghAF 2.- Profondeur du point d’application :hhh cD Surface AavecCas particulierdes Surfacesimmergéeshorizontales
  64. 64. dFxdFdAHABzxhzdFzdAxdAdFxdFzdFsindFdFx cosdFdFz dFComposante horizontaleComposante verticale
  65. 65. 1.- Composante horizontalezx ghdAghdAdFdF   sinsin. carzdAdA sind’où :    zcAzzHx AghhdAgFdF zcH AghF avec : Az : Projection verticale de la surface courbe ABhc : Profondeur du centre de gravité de AzCONCLUSION :Le calcul de la composante horizontale FH est ramené au calculd’une force de pression sur une surface plane verticale .
  66. 66. 2.- Composante verticalexz ghdAghdAdFdF   coscos. car xdAdA cosd’où : gWdWghdAgFdFWAxxvz    gWFv Avec W : Volume délimité par :♦ La surface libre du fluide♦ Les 2 verticales menées des 2 extrémités A et B de la surface .♦ La surface courbe ABWBACONCLUSION : Le calcul de la composante verticale FV se résume doncau calcul du Poids du fluide représenté par le volume déplacé par la surface AB .
  67. 67. Le calcul des 2 composantes FH et FV permet ensuite de déterminer la résultante F parl’expression :22VH FFF ♦ Position du point d’application de la Force de Pression :Le point d’application de la résultante F est obtenu si l’on connaît les composantesFH et FV .Dans le cas général , il faudra établir l’équation de la courbe AB et celle du segmentreprésentant la force F ( équation d’une droite ) en tenant compte que l’angled’inclinaison de la force résultante F par rapport à l’horizontale est obtenu par laformule suivante :HvFFarctg
  68. 68. AABBSurface AAABBAghF cAhIhhccccD F DhDChCAABBFDhDChCyc FChCDhDsincc yh Surface ASurface AAyIyyccccD  Et puis sinDD yh 
  69. 69. AghF cH gWFv 22VH FFF ABFFHFVProjection verticaleFHA’B’ChcDhDSurface plane !AB1.- Surface libre du liquide2.- La surface courbe AB3.- Les 2 verticales passant par les 2 extrémités de la surface courbe ABRègle de délimitationW
  70. 70. hW WW1.- Surface libre du liquide2.- La surface courbe AB3.- Les 2 verticales passant par les 2extrémités de la surface courbe AB
  71. 71. h=1ma=2mb=3mLe schéma montre une vanne AB rectangulaire retenant un niveau d’eau etimmergée à une profondeur h . Calculer la force de pression exercée par l’eausur cette vanne ainsi que la profondeur hD de son point d’application- Calcul de la force F : AghF cwFhcC2bhbhc  sin230abA abhbgF   sin2Application numériqueKNNxxF 5,515150232130sin23814,910 3DhD
  72. 72. my 3 mb 3mh 2FhD hCABCD3hLa vanne AB est de forme d’un triangle isocèle de base b=3m et de hauteur h=2m .On demande de calculer la force de pression F exercée sur cette vanne ainsi que laprofondeur hDde son centre de poussée .1.- Force de pression : AghF cwmhyhc 7,332332322.32mbhA KNNAghF cw 1091089353.7,3.814,9.103 Application numérique :
  73. 73. 2.- Profondeur du centre de pression :AhIhhcCCcD 363bhICC mxhhhbhhbhhAhIhhcccccCCcD 76,37,31827,318236223Moment d’inertie d’une surface triangulaire par rapport à un axe passant par soncentre de gravité :D’où :
  74. 74. Données : H1 = 10 m ; H2 = 8 m ; y = 1 m ; a = 2 m ; b = 4 mH1H2y abAABB
  75. 75. H1H2yF1F221 FFFR 
  76. 76. H1H2yF1C1hc121 842 mxaxbA 2bmybhc 31242111 1AghF cbabybgF 21 kNF 2351 a
  77. 77. H1H2yC222 2AghF c    2122 6411082 mxbyHHaA mbyHHhc 5.12411082121F2bbyH 1byHH  12 b’22bhc  ?ba abyHHbyHHgF   121222kNF 882 
  78. 78. kNFFFR 1478823521 
  79. 79. 33ω Kg/m10ρ:Eau h = 3mRUne vanne radiale est localisée à la base d’un mur vertical . La largeur de la vanne estL = 5m et son rayon R = 4m . Déterminer la force résultante exercée sur cette vanneLRRFFFHFV22VH FFF 
  80. 80. chh = 3mRCa.- Calcul de la composante horizontale FH : RLhRgAghF cH 2 h = 3mRProjection verticaleRLRL2RAghF cH 22054 mxRLA mhRh c 53242Projection verticaleKNNFH 4,981981400 
  81. 81. b.- Calcul de la composante verticale :- Détermination du volume W :hRRW1W2 21 WWW RhLW 1LRW422  )4(221 LRRhLgWWggWFV  gWFV 1.- Surface libre du liquide2.- La surface courbe3.- Les verticales des 2 extrémités de la surface courbeWRLRhgFV )4( kNNFV 12051205159 
  82. 82. c.- Calcul de la force résultante F :22VHR FFF kNFV 1205kNFH 4.981KNFR 155412054.981 22
  83. 83. Calculer la force de pression hydrostatiqueexercée par l’eau du barrage sur la vannesegment de rayon r et de largeur b = 5 mmH 20mr 20vannebarrage 60FHFVF22VH FFF HFc H2Hhc AghF cH 2HhbHAc bHgFHbHgFHH222kNNA9814F981400052209,81410F:.N.H23H?F.1 H
  84. 84. mH 20mr 20 60W1?F.2 V gWFV WW W221 WWW Hrrα/22cos2122cos222rbHWbrHbSWα 360°36036036021112112brWbSWrSSrS2cos180212cos21360221HrrbrbHbrWWWW2cos18021  HrgrbFVkNFVNxxxxxxNA1773177281330cos20180602014,3520981421FV:..
  85. 85. 22VH FFF kNF 997217739814 22

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