Cours d’analyse topologie leçon 4 - t. masrour

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Cours d’analyse topologie leçon 4 - t. masrour

  1. 1. Leçon 4 Définition (densité). Soient un espace métrique et vide de contient des points de . . On dit que est dense dans N.B. On peut restreindre la définition aux boules ouvertes i.e. : Propriété. ssi tout ouvert non . c est dense dans ssi . Preuve.  Si alors , on a Or ouvert non vide , On a alors : ouvert, on a et donc . cqfd.  Supposons que soit dense dans et montrons que Soit on sait que: est un ouvert de et il est non vide. Comme est dense dans alors ce qui veut dire que . cqfd. 19 http://tawfik-masrour.blogpost.com . , T. Masrour - Analyse 2
  2. 2. Exemples.   Si  Si , sont denses dans . est ouvert alors est fermé alors  , et 8. Fonctions continues sur des espaces métriques. Soient ( et deux espaces métriques. Définition (continuité en un point). Soient une function et . On dit que est continue en ssi: ou de manière équivalente : Théorème. (Continuité sur E). Les quatres assertions suivantes sont équivalentes : (C1) est continue sur . (C2) L’image inverse par de tout ouvert de est un ouvert de ( (C3) L’image inverse par de tout fermé de est un fermé de ( (C4) . . . Preuve. L’idée : On démontre que (C1) Montrons par exemples que : 20 http://tawfik-masrour.blogpost.com (C2) ) (C3) ) (C4) ) (C1) T. Masrour - Analyse 2
  3. 3. (C1) (C2) ] Soit ’ un ouvert de . 1er Cas. Si ’ , alors et le vide est un ouvert. 2ème Cas. Si ’ , il existe alors un certain tel que et donc : . Or cqfd. Remarques.  Si ouvert ! est continue de dans ’ ’ on n’a pas forcèment l’image de tout ouvert est un Par exemples : t.q. , on a bien que continue pourtant qui est un fermé ! Cette propriété quand elle est vérifiée par une fonction on dit qu’elle est ouverte.  De même on n’a pas l’image de tout fermé est un fermé ! cette propriété quand elle est vérifiée on dit que l’application est fermée. 9. Homéomorphismes et difféomorphismes (Transfert de propriétés topologiques). Définition. Soient (E,d) et (E’,d’) deux espaces métriques. est un homéomorphisme ssi :  est continue,  est bijective  et est continue sur ’. On dit, dans ce cas que et ’ ’ sont homéomorphes. 21 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  4. 4. Exercices de cours.  Montrer que est homéomorphe à On peut considerer l’application : (quand ) Correction:  Montrer que est homéomorphe à . On peut considerer l’application Correction:  Montrer que la sphère homéomorphe à privée de ses pôles nord et sud (i.e. . est Correction:  Soient , , et ( ) Montrer qu’ils sont tous homéomorphes. Correction: 22 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2

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