Slides Lycée Jules Fil 2014

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(en français) : introduction aux probabilités et au sondages (quinzaine des maths 2014)

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  1. 1. Méthodes de sondages, le pouvoir de l’alea Nathalie Villa-Vialaneix http://www.nathalievilla.org nathalie.villa@toulouse.inra.fr Chargée de recherche INRA, Statistique Lycée Jules Fil, Carcassonne - 27 Mars 2014 Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 1 / 18
  2. 2. Loi des grands nombres Outline 1 Loi des grands nombres 2 Utiliser le hasard pour un sondage 3 Théorème Centrale Limite Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 2 / 18
  3. 3. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  4. 4. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  5. 5. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  6. 6. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 2 0, 1 2 , 1 Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  7. 7. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 2 0, 1 2 , 1 3 0, 1 3 , 2 3 , 1 Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  8. 8. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 2 0, 1 2 , 1 3 0, 1 3 , 2 3 , 1 ... ... n 0, 1 n , 2 n , ..., 1 Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  9. 9. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 1 2 , 1 2 2 0, 1 2 , 1 3 0, 1 3 , 2 3 , 1 ... ... n 0, 1 n , 2 n , ..., 1 Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  10. 10. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 1 2 , 1 2 2 0, 1 2 , 1 1 4 , 1 2 , 1 4 3 0, 1 3 , 2 3 , 1 ... ... n 0, 1 n , 2 n , ..., 1 issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face} Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  11. 11. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 1 2 , 1 2 2 0, 1 2 , 1 1 4 , 1 2 , 1 4 3 0, 1 3 , 2 3 , 1 1 8 , 3 8 , 3 8 , 1 8 ... ... n 0, 1 n , 2 n , ..., 1 Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  12. 12. Loi des grands nombres Jeu de pile ou face Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face} n jeux de pile ou face ; on considère P = pile n (fréquences de “pile” parmi les lancers) n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur 1 0, 1 1 2 , 1 2 2 0, 1 2 , 1 1 4 , 1 2 , 1 4 3 0, 1 3 , 2 3 , 1 1 8 , 3 8 , 3 8 , 1 8 ... ... ... n 0, 1 n , 2 n , ..., 1 1 2n , n 2n , n×(n−1) 2n+1 , ..., 1 2n Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
  13. 13. Loi des grands nombres Répéter le jeu de pile ou face... longtemps ! Regardons comment P évolue : 1 lancer → P(1) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 4 / 18
  14. 14. Loi des grands nombres Répéter le jeu de pile ou face... longtemps ! Regardons comment P évolue : 1 lancer 2 lancers → → P(1) P(2) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 4 / 18
  15. 15. Loi des grands nombres Répéter le jeu de pile ou face... longtemps ! Regardons comment P évolue : 1 lancer 2 lancers 3 lancers ... n lancers → → → ... → P(1) P(2) P(3) ... P(n) tracer le graphique de P(n) en fonction de n... Simulons ! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 4 / 18
  16. 16. Loi des grands nombres Conclusion Quand n devient très grand, P(n) = pile n se rapproche de 1 2 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant une pièce ! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 5 / 18
  17. 17. Loi des grands nombres Conclusion Quand n devient très grand, P(n) = pile n se rapproche de 1 2 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant une pièce ! Loi des grands nombres fréquence observée d’un événement sur un grand nombre d’essais ↓ probabilité (théorique) d’obtenir cet événement sur un essai Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 5 / 18
  18. 18. Loi des grands nombres Perspective historique “Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvrage contenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas de la fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”). Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 6 / 18
  19. 19. Loi des grands nombres Perspective historique “Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvrage contenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas de la fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”). La démonstration lui prit 20 ans et fût publiée par son neveu huit ans après sa mort. On appelle loi de Bernoulli une loi qui donne la probabilité du succès d’un événement : “avoir un pile au jeu de pile ou face” (1/2), “avoir un 6 au dé” (1/6), etc... Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 6 / 18
  20. 20. Loi des grands nombres Extension au cas d’une loi quelconque Expérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution de probabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1) x1, x2, x3... Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18
  21. 21. Loi des grands nombres Extension au cas d’une loi quelconque Expérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution de probabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1) x1, x2, x3... Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité de la loi Gaussienne Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18
  22. 22. Loi des grands nombres Extension au cas d’une loi quelconque Expérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution de probabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1) x1, x2, x3... Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité de la loi Gaussienne Espérance : E(X) = xfX (x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne, E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18
  23. 23. Loi des grands nombres Convergence vers l’espérance On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xn n Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 8 / 18
  24. 24. Loi des grands nombres Convergence vers l’espérance On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xn n tracer le graphique de Xn en fonction de n... Simulons ! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 8 / 18
  25. 25. Loi des grands nombres Convergence vers l’espérance On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xn n tracer le graphique de Xn en fonction de n... Simulons ! Loi des grands nombres Xn se rapproche de E(X) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 8 / 18
  26. 26. Utiliser le hasard pour un sondage Outline 1 Loi des grands nombres 2 Utiliser le hasard pour un sondage 3 Théorème Centrale Limite Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 9 / 18
  27. 27. Utiliser le hasard pour un sondage Exemple introductif On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la pizza (noté P et inconnu) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
  28. 28. Utiliser le hasard pour un sondage Exemple introductif On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la pizza (noté P et inconnu) 1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demander si ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
  29. 29. Utiliser le hasard pour un sondage Exemple introductif On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la pizza (noté P et inconnu) 1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demander si ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!! 2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnes dans la population et calculer ˆP(n) le pourcentage de personnes qui aiment la pizza Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
  30. 30. Utiliser le hasard pour un sondage Exemple introductif On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la pizza (noté P et inconnu) 1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demander si ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!! 2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnes dans la population et calculer ˆP(n) le pourcentage de personnes qui aiment la pizza la probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P (inconnue) donc ˆP(n) P si n est assez grand Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
  31. 31. Utiliser le hasard pour un sondage Perspective historique • le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans contrôle probabiliste ; • au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace : premières estimations pour évaluer la population française à partir des naissances (choix raisonné d’échantillonnage, notion d’“erreur à craindre”) ; Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
  32. 32. Utiliser le hasard pour un sondage Perspective historique • le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans contrôle probabiliste ; • au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace : premières estimations pour évaluer la population française à partir des naissances (choix raisonné d’échantillonnage, notion d’“erreur à craindre”) ; • Arthur Bowley (∼ 1900) : premiers sondages aléatoires (notion d’intervalle de confiance) ; Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
  33. 33. Utiliser le hasard pour un sondage Perspective historique • le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans contrôle probabiliste ; • au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace : premières estimations pour évaluer la population française à partir des naissances (choix raisonné d’échantillonnage, notion d’“erreur à craindre”) ; • Arthur Bowley (∼ 1900) : premiers sondages aléatoires (notion d’intervalle de confiance) ; • approche reconnue au congrès de l’IIS en 1925 (Rome) et qui se généralise dans les instituts de sondage nationaux. Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
  34. 34. Utiliser le hasard pour un sondage Méthodes de sondage aléatoires Sondage simple On choisit au hasard n personnes dans la population. Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
  35. 35. Utiliser le hasard pour un sondage Méthodes de sondage aléatoires Sondage simple On choisit au hasard n personnes dans la population. Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
  36. 36. Utiliser le hasard pour un sondage Méthodes de sondage aléatoires Sondage par grappes La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex : les départements français) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
  37. 37. Utiliser le hasard pour un sondage Méthodes de sondage aléatoires Sondage par grappes La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex : les départements français) ⇒ on choisit au hasard quelques sous-populations pour lesquelles on interroge tout le monde : c’est moins coûteux... ! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
  38. 38. Utiliser le hasard pour un sondage Méthodes de sondage aléatoires Sondage par strates La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ont des valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
  39. 39. Utiliser le hasard pour un sondage Méthodes de sondage aléatoires Sondage par strates Simulons ! La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ont des valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges) ⇒ on choisit au hasard quelques personnes dans chaque sous-population : réduit la variabilité de l’estimation... ! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
  40. 40. Utiliser le hasard pour un sondage Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la méthode des quotas (construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire les caractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population) Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 13 / 18
  41. 41. Utiliser le hasard pour un sondage Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la méthode des quotas (construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire les caractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population) Problème : Aucune possibilité de contrôler l’ampleur de l’erreur effectuée lors de l’estimation avec une approche probabiliste ! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 13 / 18
  42. 42. Théorème Centrale Limite Outline 1 Loi des grands nombres 2 Utiliser le hasard pour un sondage 3 Théorème Centrale Limite Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 14 / 18
  43. 43. Théorème Centrale Limite Retour au jeu de pile ou face... Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) 0, 5 (le pourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%). 1 1 2 √ n est en fait l’écart type attendu de P(n). Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 15 / 18
  44. 44. Théorème Centrale Limite Retour au jeu de pile ou face... Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) 0, 5 (le pourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%). Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs séries de n tirages ? 1 1 2 √ n est en fait l’écart type attendu de P(n). Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 15 / 18
  45. 45. Théorème Centrale Limite Retour au jeu de pile ou face... Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) 0, 5 (le pourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%). Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs séries de n tirages ? Simulons ! 1 on génère m séries de n tirages chacune ; 2 pour chacune des séries, on calcule P(n) ; 3 on centre et on réduit P(n) en calculant pour chaque série : P(n)−0,5 1/(2 √ n) ;1 4 on effectue l’histogramme des m valeurs ainsi trouvées. 1 1 2 √ n est en fait l’écart type attendu de P(n). Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 15 / 18
  46. 46. Théorème Centrale Limite Conclusion des simulations Résultat : Lorsque n devient grand et que le nombre de séries de tirages devient grand aussi l’histogramme des P(n)−0,5 σ(P(n)) densité gaussienne de moyenne 0 et d’écart type 1. Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 16 / 18
  47. 47. Théorème Centrale Limite Extension pour une distribution générale Le théorème Centrale Limite La propriété précédente est vraie de manière très générale : Xn−E(X) σX est réparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écart type 1 lorsque n devient grand. Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 17 / 18
  48. 48. Théorème Centrale Limite Extension pour une distribution générale Le théorème Centrale Limite La propriété précédente est vraie de manière très générale : Xn−E(X) σX est réparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écart type 1 lorsque n devient grand. 95% des valeurs Xn−E(X) σX sont entre −1, 96 et 1, 96 (très faible probabilité). Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 17 / 18
  49. 49. Théorème Centrale Limite Application pour la recherche d’un intervalle de confiance En sondage : 1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ; 2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance : IC = X − 1, 96 × σX√ n ; X + 1, 96 × σX√ n . Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18
  50. 50. Théorème Centrale Limite Application pour la recherche d’un intervalle de confiance En sondage : 1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ; 2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance : IC = X − 1, 96 × σX√ n ; X + 1, 96 × σX√ n . Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent la bonne valeur de l’espérance E(X). Simulons ! Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18
  51. 51. Théorème Centrale Limite Application pour la recherche d’un intervalle de confiance En sondage : 1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ; 2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance : IC = X − 1, 96 × σX√ n ; X + 1, 96 × σX√ n . Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent la bonne valeur de l’espérance E(X). Simulons ! En pratique, σX n’est pas connue, comme la moyenne, on l’estime à partir de l’écart type sur l’échantillon. Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18

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