1. Méthodes de sondages, le pouvoir de l’alea
Nathalie Villa-Vialaneix
http://www.nathalievilla.org
nathalie.villa@toulouse.inra.fr
Chargée de recherche INRA, Statistique
Lycée Jules Fil, Carcassonne - 27 Mars 2014
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 1 / 18
2. Loi des grands nombres
Outline
1 Loi des grands nombres
2 Utiliser le hasard pour un sondage
3 Théorème Centrale Limite
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 2 / 18
3. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
4. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
5. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
6. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1
2 0, 1
2 , 1
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
7. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1
2 0, 1
2 , 1
3 0, 1
3 , 2
3 , 1
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
8. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1
2 0, 1
2 , 1
3 0, 1
3 , 2
3 , 1
... ...
n 0, 1
n , 2
n , ..., 1
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
9. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1 1
2 , 1
2
2 0, 1
2 , 1
3 0, 1
3 , 2
3 , 1
... ...
n 0, 1
n , 2
n , ..., 1
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
10. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1 1
2 , 1
2
2 0, 1
2 , 1 1
4 , 1
2 , 1
4
3 0, 1
3 , 2
3 , 1
... ...
n 0, 1
n , 2
n , ..., 1
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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11. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1 1
2 , 1
2
2 0, 1
2 , 1 1
4 , 1
2 , 1
4
3 0, 1
3 , 2
3 , 1 1
8 , 3
8 , 3
8 , 1
8
... ...
n 0, 1
n , 2
n , ..., 1
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 3 / 18
12. Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =
pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur
1 0, 1 1
2 , 1
2
2 0, 1
2 , 1 1
4 , 1
2 , 1
4
3 0, 1
3 , 2
3 , 1 1
8 , 3
8 , 3
8 , 1
8
... ... ...
n 0, 1
n , 2
n , ..., 1 1
2n , n
2n ,
n×(n−1)
2n+1 , ..., 1
2n
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13. Loi des grands nombres
Répéter le jeu de pile ou face... longtemps !
Regardons comment P évolue :
1 lancer → P(1)
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14. Loi des grands nombres
Répéter le jeu de pile ou face... longtemps !
Regardons comment P évolue :
1 lancer
2 lancers
→
→
P(1)
P(2)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 4 / 18
15. Loi des grands nombres
Répéter le jeu de pile ou face... longtemps !
Regardons comment P évolue :
1 lancer
2 lancers
3 lancers
...
n lancers
→
→
→
...
→
P(1)
P(2)
P(3)
...
P(n)
tracer le graphique de P(n) en fonction de n...
Simulons !
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16. Loi des grands nombres
Conclusion
Quand n devient très grand,
P(n) =
pile
n
se rapproche de 1
2 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant
une pièce !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 5 / 18
17. Loi des grands nombres
Conclusion
Quand n devient très grand,
P(n) =
pile
n
se rapproche de 1
2 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant
une pièce !
Loi des grands nombres
fréquence observée d’un événement sur un grand nombre d’essais
↓
probabilité (théorique) d’obtenir cet événement sur un essai
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18. Loi des grands nombres
Perspective historique
“Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvrage
contenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas de
la fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”).
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19. Loi des grands nombres
Perspective historique
“Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvrage
contenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas de
la fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”).
La démonstration lui prit 20 ans et fût publiée par son neveu huit ans après
sa mort. On appelle loi de Bernoulli une loi qui donne la probabilité du
succès d’un événement : “avoir un pile au jeu de pile ou face” (1/2), “avoir
un 6 au dé” (1/6), etc...
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20. Loi des grands nombres
Extension au cas d’une loi quelconque
Expérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution de
probabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1)
x1, x2, x3...
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18
21. Loi des grands nombres
Extension au cas d’une loi quelconque
Expérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution de
probabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1)
x1, x2, x3...
Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité de
la loi Gaussienne
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18
22. Loi des grands nombres
Extension au cas d’une loi quelconque
Expérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution de
probabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1)
x1, x2, x3...
Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité de
la loi Gaussienne
Espérance : E(X) = xfX (x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne,
E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18
23. Loi des grands nombres
Convergence vers l’espérance
On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xn
n
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 8 / 18
24. Loi des grands nombres
Convergence vers l’espérance
On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xn
n
tracer le graphique de Xn en fonction de n...
Simulons !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 8 / 18
25. Loi des grands nombres
Convergence vers l’espérance
On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xn
n
tracer le graphique de Xn en fonction de n...
Simulons !
Loi des grands nombres
Xn se rapproche de E(X)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 8 / 18
26. Utiliser le hasard pour un sondage
Outline
1 Loi des grands nombres
2 Utiliser le hasard pour un sondage
3 Théorème Centrale Limite
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 9 / 18
27. Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductif
On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la
pizza (noté P et inconnu)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
28. Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductif
On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la
pizza (noté P et inconnu)
1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demander
si ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
29. Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductif
On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la
pizza (noté P et inconnu)
1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demander
si ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!
2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnes
dans la population et calculer ˆP(n) le pourcentage de personnes qui
aiment la pizza
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
30. Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductif
On cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment la
pizza (noté P et inconnu)
1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demander
si ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!
2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnes
dans la population et calculer ˆP(n) le pourcentage de personnes qui
aiment la pizza
la probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P
(inconnue) donc
ˆP(n) P
si n est assez grand
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
31. Utiliser le hasard pour un sondage
Perspective historique
• le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans
contrôle probabiliste ;
•
au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace :
premières estimations pour évaluer la
population française à partir des naissances
(choix raisonné d’échantillonnage, notion
d’“erreur à craindre”) ;
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
32. Utiliser le hasard pour un sondage
Perspective historique
• le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans
contrôle probabiliste ;
•
au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace :
premières estimations pour évaluer la
population française à partir des naissances
(choix raisonné d’échantillonnage, notion
d’“erreur à craindre”) ;
•
Arthur Bowley (∼ 1900) : premiers
sondages aléatoires (notion d’intervalle de
confiance) ;
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
33. Utiliser le hasard pour un sondage
Perspective historique
• le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans
contrôle probabiliste ;
•
au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace :
premières estimations pour évaluer la
population française à partir des naissances
(choix raisonné d’échantillonnage, notion
d’“erreur à craindre”) ;
•
Arthur Bowley (∼ 1900) : premiers
sondages aléatoires (notion d’intervalle de
confiance) ;
• approche reconnue au congrès de l’IIS en 1925 (Rome) et qui se
généralise dans les instituts de sondage nationaux.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
34. Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoires
Sondage simple
On choisit au hasard n personnes dans la population.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
35. Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoires
Sondage simple
On choisit au hasard n personnes dans la population.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
36. Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoires
Sondage par grappes
La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex :
les départements français)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
37. Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoires
Sondage par grappes
La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex :
les départements français) ⇒ on choisit au hasard quelques
sous-populations pour lesquelles on interroge tout le monde : c’est
moins coûteux... !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
38. Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoires
Sondage par strates
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ont
des valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
39. Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoires
Sondage par strates Simulons !
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ont
des valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges) ⇒
on choisit au hasard quelques personnes dans chaque
sous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 12 / 18
40. Utiliser le hasard pour un sondage
Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas
Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la
méthode des quotas
(construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire les
caractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 13 / 18
41. Utiliser le hasard pour un sondage
Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas
Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la
méthode des quotas
(construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire les
caractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population)
Problème : Aucune possibilité de contrôler l’ampleur de l’erreur effectuée
lors de l’estimation avec une approche probabiliste !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 13 / 18
42. Théorème Centrale Limite
Outline
1 Loi des grands nombres
2 Utiliser le hasard pour un sondage
3 Théorème Centrale Limite
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 14 / 18
43. Théorème Centrale Limite
Retour au jeu de pile ou face...
Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) 0, 5 (le
pourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%).
1 1
2
√
n
est en fait l’écart type attendu de P(n).
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 15 / 18
44. Théorème Centrale Limite
Retour au jeu de pile ou face...
Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) 0, 5 (le
pourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%).
Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs séries
de n tirages ?
1 1
2
√
n
est en fait l’écart type attendu de P(n).
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 15 / 18
45. Théorème Centrale Limite
Retour au jeu de pile ou face...
Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) 0, 5 (le
pourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%).
Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs séries
de n tirages ?
Simulons !
1 on génère m séries de n tirages chacune ;
2 pour chacune des séries, on calcule P(n) ;
3 on centre et on réduit P(n) en calculant pour chaque série :
P(n)−0,5
1/(2
√
n)
;1
4 on effectue l’histogramme des m valeurs ainsi trouvées.
1 1
2
√
n
est en fait l’écart type attendu de P(n).
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46. Théorème Centrale Limite
Conclusion des simulations
Résultat : Lorsque n devient grand et que le nombre de séries de tirages
devient grand aussi l’histogramme des
P(n)−0,5
σ(P(n))
densité gaussienne de
moyenne 0 et d’écart type 1.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 16 / 18
47. Théorème Centrale Limite
Extension pour une distribution générale
Le théorème Centrale Limite
La propriété précédente est vraie de manière très générale :
Xn−E(X)
σX
est
réparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écart
type 1 lorsque n devient grand.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 17 / 18
48. Théorème Centrale Limite
Extension pour une distribution générale
Le théorème Centrale Limite
La propriété précédente est vraie de manière très générale :
Xn−E(X)
σX
est
réparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écart
type 1 lorsque n devient grand.
95% des valeurs
Xn−E(X)
σX
sont entre −1, 96 et 1, 96 (très faible probabilité).
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 17 / 18
49. Théorème Centrale Limite
Application pour la recherche d’un intervalle de confiance
En sondage :
1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ;
2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance :
IC = X − 1, 96 × σX√
n
; X + 1, 96 × σX√
n
.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18
50. Théorème Centrale Limite
Application pour la recherche d’un intervalle de confiance
En sondage :
1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ;
2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance :
IC = X − 1, 96 × σX√
n
; X + 1, 96 × σX√
n
.
Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent la
bonne valeur de l’espérance E(X).
Simulons !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18
51. Théorème Centrale Limite
Application pour la recherche d’un intervalle de confiance
En sondage :
1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ;
2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance :
IC = X − 1, 96 × σX√
n
; X + 1, 96 × σX√
n
.
Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent la
bonne valeur de l’espérance E(X).
Simulons !
En pratique, σX n’est pas connue, comme la moyenne, on l’estime à
partir de l’écart type sur l’échantillon.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18