10 cách giải hệ phương trình

1. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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Heä phöông trình giaûi ñöôïc baèng 10 caùch
Baøi toaùn. Giaûi heä phöông trình .
Giaûi
Ñieàu kieän : .
Caùch 1:
Töø heä phöông trình ñaõ cho, ta suy ra
(*)
Xeùt haøm soá ;
.
Suy ra haøm soá ñoàng bieán treân .
Töø (*) ta coù . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
.
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm .
9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
x y
y x
    

   
9 7
9 7
x
y
  

  
9 7 9 7x y y x      
9 7 9 7x x y y      
   9 7 9 7f t t t t      
   1 1
' 0, 9;7
2 9 2 7
f t t
t t
     
 
 f t 9;7  
   f x f y x y  
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2 7 7
2 63 0
9 9
x y
x x
x y
   
      
    
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
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2. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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Caùch 2:
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình sau
. Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
.
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm .
Caùch 3:
Giaûi heä phöông trình ñaõ cho chuùng ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau :
TH1: Neáu thì ta coù vaø suy ra
maø neân (voâ lí).
TH2: Neáu thì ta coù vaø suy ra
 
 
2
2
9 7 169 7 4
9 7 4 9 7 16
x yx y
y x y x

       
 
        

9 7 2 9. 7 16
9 7 2 9. 7 16
x y x y
x y y x
       
 
      
2 9. 7 0
2 9. 7 0
x y x y
x y y x
     
 
    
2 9. 7 2 9. 7 7 63 9 7 63 9x y y x x xy y y xy x            
16 16x y x y   
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2 7 7
2 63 0
9 9
x y
x x
x y
   
      
    
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
x y 9 9x y   7 7y x  
9 7 9 7x y y x      
9 7 4
9 7 4
x y
y x
    

   
4 4
x y 9 9x y   7 7y x  
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3. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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maø neân (voâ lí).
TH3: Neáu , theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
.
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm .
Caùch 4:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù (*)
Ta coù :
suy ra (3);
suy ra (4).
Töø (3) vaø (4) ta coù .
Vaäy ñeå (*) xaûy ra thì ôû (3) vaø (4) phaûi ñaït daáu baèng.
.
9 7 9 7x y y x      
9 7 4
9 7 4
x y
y x
    

   
4 4
x y
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2 7 7
2 63 0
9 9
x y
x x
x y
   
      
    
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
   9 7 7 9 8x x y y       
 
2
9 7 16 2. 9. 7 16x x x x        9 7 4x x   
 
2
9 7 16 2. 9. 7 16y y y y        9 7 4y y   
9 7 9 7 8x x y y       
  
  
9
9 7 0 79. 7 0
99 7 09. 7 0
7
x
x x xx x
yy yy y
y
  
        
   
           
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4. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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Thay bôûi vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
nghieäm cuûa heä phöông trình laø .
Caùch 5:
Ñaët . Ta thu ñöôïc heä
phöông trình :
Töø (1) vaø (2) ;
Töø (3) vaø (4)
Töø (5) vaø (6) ta ñöôïc
(vì )
(7) .
Maët khaùc, töø (5)
Töø (7) vaø (8) vaø .
 ;x y        9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9   
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
9 0 ; 7 0 ; 9 0 ; 7 0u x v y z y t x           
2 2
2 2
4 (1)
4 (2)
16 (3)
16 (4)
u v
z t
u t
z v
  

 

 
  
(5)u v z t   
2 2 2 2 2 2 2 2
u t z v u v z t       
      (6)u v u v z t z t     
           
u v z t
u v u v z t u v
u v u v z t z t
   
     
    
         0 0u v u v z t u v z t             4 0u v  
u z v t   
(8)u v z t u z t v       
u z v t t v v t        u z
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5. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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.
Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình :
.
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm .
Caùch 6:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù (*)
Xeùt haøm soá , .
;
.
Ta coù .
. Do ñoù, (*) xaûy ra khi
ta coù .
Thay bôûi vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
9 9
7 7
x y
x y
x y
   
  
  
x y
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2 7 7
2 63 0
9 9
x y
x x
x y
   
      
    
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
   9 7 7 9 8x x y y       
  9 7f t t t    9;7t    
   1 1 1 7 9
' . , 9;7
22 9 2 7 9. 7
t t
f t t
t t t t
  
    
   
   ' 0 7 9 7 9 1 9;7f t t t t t t             
     9 4; 7 4; 1 4 2f f f    
     9;7
in 9 7 4M f t f f
  
         4 4 8f x f y    
 
 
         
4
; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9
4
f x
x y
f y
 
     

 ;x y        9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9   
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6. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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nghieäm cuûa heä phöông trình laø .
Caùch 7:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù (*)
Xeùt haøm soá , .
;
.
Baûng bieán thieân
+ -
Töø baûng bieán thieân ta suy ra .
. Do ñoù, (*) xaûy ra khi ta coù
.
Thay bôûi vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
   9 7 7 9 8x x y y       
  9 7f t t t    9;7t    
   1 1 1 7 9
' . , 9;7
22 9 2 7 9. 7
t t
f t t
t t t t
  
    
   
   ' 0 7 9 7 9 1 9;7f t t t t t t             
x 9 1 7
 'f x 0
 f x 4 2
4 4
     9;7
in 9 7 4M f t f f
  
   
     9;7
2. in 2.4 8f x f y M f t
  
    
 
 
         
4 9 7 4
; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9
4 7 9 4
f x x x
x y
f y y y
      
       
     
 ;x y        9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9   
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nghieäm cuûa heä phöông trình laø .
Caùch 8:
Xeùt heä phöông trình
Ñaët , (ñieàu kieän toàn taïi caên thöùc laø ). Ta thu
ñöôïc heä phöông trình vôùi aån vaø laø :
.
Töø (3) suy ra vaø töø (4) suy ra . Vaäy ñeå (3) vaø (4) ñoàng thôøi
xaûy ra thì ta phaûi coù .
Vaäy heä (3), (4) trôû thaønh
.
Maø vôùi neân .
Keát luaän: heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm laø .
Caùch 9:
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
x y
y x
    

   
x m y  7 0; 9 0x m x m     
m x
9 7 4 9 7 2 9. 7 16
9 7 4 9 7 2 9. 7 16
x x m x x m x x m
x m x x m x x m x
               
 
               
2 9. 7 0 (3)
2 9. 7 0 (4)
m x x m
m x m x
     
 
    
0 0m m    0m 
0m 
9. 7 0 9 0 9
9. 7 0
7 0 79. 7 0
x x x x
x x
x xx x
        
       
      
x m y  0m  x y
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
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8. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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Ta coù
Ñaët . Ta thu ñöôïc heä phöông trình vôùi aån vaø laø :
.
Do neân , suy ra .
Ta laïi ñaët vôùi . Ta thu ñöôïc heä phöông trình
vôùi aån vaø laø :
. (*)
Do
neân .
Vaäy (*) xaûy ra khi ta coù :
   
   
1 8 8 1 49 7 4
9 7 4 1 8 8 1 4
x yx y
y x y x
           
 
           
1 ; 1x u y v    u v
8 8 4
8 8 4
u v
v u
    

   
9 7
9 7
x
y
  

  
8 1 8
8 1 8
x
y
   

   
8 8
8 8
u
v
  

  
8cos2 ; 8cos2u a v b  , 0;
2
a b
 
  
 
a b
   
   
8 cos2 1 8 1 cos2 48cos2 8 8 8cos2 4
8cos2 8 8 8cos2 4 8 cos2 1 8 1 cos2 4
a ba b
b a b a
         
 
         
   
   
2 2
2 2
8 2cos 8 2sin 4 4 cos 4 sin 4
4 cos 4 sin 48 2cos 8 2sin 4
a b a b
b ab a
      
  
    
cos sin 1
cos sin cos sin 2
cos sin 1
a b
a b b a
b a
  
     
 
2 2 2 2
cos cos ; sin sin ; cos cos ; sin sina a b b b b a a   
2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos sin 2a b b a a b b a       
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( löu yù )
.
Laïi do neân ta chæ caàn xeùt vôùi
.
TH1:
.(thoûa maõn baøi toaùn)
TH2:
.( khoâng thoûa maõn baøi toaùn)
2
2 2
2 2 2
2 22
2 22
cos cos cos cos cos cos 0
sin sin sin sin sin sin 0
cos cos cos cos 0cos cos
sin sin sin sin 0sin sin
a a a a a a
b b b b b b
b b b bb b
a a a aa a
             
   
    
     
, 0;
2
a b
 
  
 
cos 0
cos 1
sin 0 cos 0 cos 0 cos 1 cos 1
sin 1 sin 1 sin 1 sin 0 sin 0
; ; ;
cos 0 cos 1 cos 0 cos 1cos 1
sin 1 sin 0 sin 1 sin 0cos 0
sin 1
sin 0
a
a
b a a a a
b a a a a
b b b bb
b b b bb
a
a
 


            
       
     
       
          
 




2 2 2 2
cos sin 1;cos sin 1a a b b   
cos 0 cos 0 cos 1 cos 1
; ; ;
cos 0 cos 1 cos 0 cos 1
a a a a
b b b b
      
   
      
1 cos2
0
cos 0 cos2 12
cos 0 1 cos2 cos2 1
0
2
a
a a
b b b
 
   
   
     

8 1 8 9
8 1 8 9
u x x
v y y
        
    
        
1 cos2
0
cos 0 cos2 12
cos 1 1 cos2 cos2 1
1
2
a
a a
b b b
 
   
   
    

8 1 8 9
8 1 8 7
u x x
v y y
        
    
     
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10. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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TH3:
.( khoâng thoûa maõn baøi toaùn)
TH4:
.(thoûa maõn baøi toaùn)
Keát luaän: heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm laø .
Caùch 10:
Xeùt heä phöông trình
Ñaët , ta coù :
; .
Laïi do neân ñeå toàn taïi caùc caên thöùc baäc hai ta caàn coù
. Vôùi thì .
Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình :
1 cos2
1
cos 1 cos2 12
cos 0 1 cos2 cos2 1
0
2
a
a a
b b b
 
  
   
     

8 1 8 7
8 1 8 9
u x x
v y y
     
    
        
1 cos2
1
cos 1 cos2 12
cos 1 1 cos2 cos2 1
1
2
a
a a
b b b
 
  
   
    

8 1 8 7
8 1 8 7
u x x
v y y
     
    
     
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
x y
y x
    

   
x m y 
7 0 7 0 7y x m x m         9 0 9 0 9y x m x m         
9 7x  
7 7
9 9
m
m
  

   
0
0
0
m
m
m
 
  

0m  x y
x y
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11. 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
TranTuanAnh858@gmail.com Page 11
.
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm .
Baøi vieát cuûa: Traàn Tuaán Anh – TranTuanAnh858@gmail.com
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2 7 7
2 63 0
9 9
x y
x x
x y
   
      
    
9 7
;
9 7
x x
y y
   
 
   
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