Maths II

ECGE 1230
Math´matiques en ćonomie et gestion
e
e
Paul Henrard et Etienne Loute

Seconde partie

Analyse
ou

Calcul Diff´rentiel
e
des fonctions de plusieurs variables

Anné acad´mique 2008/2009
e
e
R´daction : P.Henrard
e

2008

Analyse

Ch. 1 Notions de base

Chapitre 1

Notions de base

Fonctions de plusieurs variables
Repr´sentations góm´triques
e
e
e
Limites et continuit´
e

1
2.
3.

Nous abordons le d´but de l’analyse des fonctions de plusieurs variables rélles
e
e
a
` valeurs, soit dans R, soit dans Rp . La plupart des notions que nous verrons
ont d´j` ´t´ ´tudiés dans le cours Math´matique et Analyse de premi`re anné
eaeee
e
e
e
e
dans le cas particulier des fonctions de 2 variables ` valeurs dans R qui reste
a
le support graphique et intuitif du cas gń´ral. On pourra donc se reporter au
e e
syllabus de ce cours. Nous revoyons ici les outils qui permettent de repr´senter
e
3
une fonction de 2 variables dans l’espace habituel ( R ), ` savoir les sections
a
et, en particulier, les courbes de niveau, outils utilis´s intens´ment par la suite
e
e
pour introduire et illustrer de nombreuses notions thóriques. Nous revenons
e
ensuite sur les concepts de limites, de continuit´, de d´rivés partielles et de
e
e e
diff´rentiabilit´.
e
e
La vision des repr´sentations góm´triques dans R3 n’est pas simple ` acqu´rir.
e
e e
a
e
Si cette maˆtrise n’est pas indispensable ` la compr´hension des mati`res de
ı
a
e
e
l’analyse infinit´simale, elle donne cependant un avantage dćisif en terme
e
e
d’intuition et de vision globale. Tout effort pour y arriver est donc un investissement qui peut rapporter gros.

1

2008

Analyse


Les fonctions de plusieurs variables

R´f´rences
ee
• Les fonctions de plusieurs variables
S & B : § 8.1, pp. 173-177
Syll. Math.et An. Chap.3, § 3.1-3.2 pp. 49 ` 51
a
• Repr´sentation des fonctions de deux variables
e
S & B : 8.1, 8.2
Syll. Math.et An. Chap.3, § 4 pp. 51 ` 59
a

• Limites et continuit´
e

S & B : 8.3
Syll. Math.et An. Chap.3, § 5 - 6 - 7 - 8 pp. 59 ` 70
a


1.

Le Calcul matriciel nous a familiaris´ avec les fonctions de Rp dans Rq , mais
e
avec la restriction importante que les fonctions consid´rés ´taient des applie e e
cations lináires. Cette restriction n’est ´videmment plus de mise dans cette
e
e
seconde partie. .
Fonctions et applications

1.1.

1.1.1. Expliquez la phrase suivante (adapté du Syllabus de premi`re anné)
e
e
e
Une fonction de Rp dans Rq est un mćanisme Input-Output qui associe ` cere
a
tains p-uples (x1 , x2 , . . . , xp ) un q-uple (y1 , y2 , . . . , yq ) qui d´pend enti`rement
e
e
et sans ambigu¨t´ des (x1 , x2 , . . . , xp ).
ıe
Que veulent dire les math´maticiens en disant que ce dispositif a un caract`re
e
e
fonctionnel ?
e
1.1.2. On parlait d’applications lináires, et maintenant de fonctions quelconques.
Quelle distinction faut-il faire entre les applications et les fonctions ?
1.1.3. D´finissez le domaine (not´ dom f ), d’une fonction f de Rp dans Rq .
e
e

← D´f.
e

Pourquoi ne se próccupait-on pas du domaine des applications (lináires) ?
e
e
Illustrations
1.1.a
2+2 = ?

Donnez un exemple concret d’une fonction de R3 dans R2 qui ne
soit pas une application lináire.
e

2

2008

Analyse



Composantes

1.2.

1.2.1. On donne la fonction de R2 dans R3 d´finie par
e
 2

x y − sin(x − y 3 )
.
x5 + 3x3 y 2
f (x, y) = 
2
2
log(x + y )
Que veut-on dire en disant que la donné de cette fonction correspond en fait
e
a
` la donné de trois fonctions de R2 dans R ? Quelles sont les trois fonctions
e
dont on parle ?
1.2.2. D´finissez ce que sont les composantes d’une fonction de Rp dans Rq .
e
Combien y en a-t-il ?
En passant aux composantes, on obtient une v´ritable diminution de la come
p
plexit´ de l’examen des fonctions de R dans Rq . Presque tous les probl`mes,
e
e
d´finitions, conditions, thór`mes . . . sur les fonctions de Rp dans Rq peuvent
e
e e
se ramener ` q probl`mes, d´finitions, conditions, thór`mes . . . correspondants
a
e
e
e e
pour les q composantes de la fonction.
1.2.3. D´montrez que le domaine d’une fonction de Rp dans Rq est l’intersection des
e
q.e.d.
domaines de ses q composantes.
Illustrations
1.2.a
2+2 = ?

On consid`re l’application lináire correspondant ` la matrice
e
e
a


1 2 3
 3 2 1 .
4 5 6

Quelles sont ses composantes ?
R´duction de la complexit´
e
e

1.3.

1.3.1. Expliquez l’affirmation suivante faite dans le cours de premi`re anné.
e
e
Une fonction de R2 dans R n’est jamais qu’une infinit´ de fonctions
e
de R dans R.
Voyez comment l’on peut retrouver dans une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) des
fonctions de une, deux , trois ou (p − 1) variables.
Ici aussi, on a une r´duction de complexit´ puisque l’on passe d’une fonction
e
e
p
de R dans R ` des (mais une infinit´ de !) fonctions de R dans R. On ne
a
e
s’´tonnera donc pas que cette r´duction soit bien moins efficace puisque l’on
e
e
ne peut pas se permettre de ramener un probl`me, une d´finition, une condition
e
e

3

2008

Analyse


e
e
e

ou un thór`me ` une infinit´ de probl`mes, d´finitions, conditions, thór`mes
e e
a
e
e
e
e e
....
Nous essayerons cependant de tirer parti de ce type de r´duction chaque fois
e
que cela sera possible.

e
e
e
Sections et courbes de niveau
2.1.1. Reportez-vous au syllabus de Math´matique et Analyse et au livre de r´f´rence
e
ee
(S&B), pp. 177 ` 187. A partir de cette lecture, rappelez les d´finitions de
a
e
– sections iso-x et iso-y, . . . des fonctions de R2 dans R ;
– courbes de niveau des fonctions de R2 dans R.

2.
2.1.

← D´f.
e
← D´f.
e

2.1.2. Les graphes des sections iso-x, des sections iso-y et des courbes de niveau se
repr´sentent naturellement dans un des plans suivants : celui des x, y, celui des
e
x, z ou celui des y, z. Quel graphe dans quel plan ?
2.1.3. Remarquez que les graphes des sections iso-x et des sections iso-y sont des
graphes de fonctions. Pourquoi en est-il ainsi ?
Voyez qu’il n’en est pas nćessairement de mˆme pour les graphes des courbes
e
e
de niveau. Donnez un exemple de fonction de R2 dans R dont les courbes de
niveau ne sont pas des fonctions.
Illustrations
2.1.a

Pour la fonction z = x + y 2 ,

2+2 = ?

– Dessiner quelques sections iso-x, p.ex. x = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
– Dessiner sections iso-y, p.ex. y = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
– Donner une description góm´trique du graphe de la fonction dans l’espace
e e
et en faire un croquis
– Donner quelques courbes de niveau p.ex. z = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
– Dessiner ces courbes de niveau sur le graphe de la fonction et dans le plan
des x, y.
2.1.b

Mˆmes questions pour la fonction z = x2 + y 2 .
e

2+2 = ?

4

2008

Analyse


e

e
D´finitions
e

3.
3.1.

3.1.1. Reportez-vous au cours de premi`re anné.
e
e
Pour une fonction f : Rn −→ R, d´finissez en termes intuitifs
e
– le domaine de f ;
– l’adh´rence de ce domaine ;
e
– la limite de f en un point qui adh`re au domaine de f ;
e
– la continuit´ de f en un point a de son domaine.
e
3.1.2. Expliquez pourquoi la notion de limite est d´finie pour les points qui adh`rent
e
e
au domaine de f .
Pourquoi pas uniquement pour les points du domaine de f ?
Pourquoi pas pour les points qui n’adh`rent pas au domaine de f .
e
3.1.3. Formalisez les notions prć´dentes. Donnez des d´finitions prćises des concepts
e e
e
e
ci-dessous en termes de distance, boules, ε et δ.
– le point a adh`re au domaine de f ;
e
– b est la limite de la fonction f (x) quand x tend vers a
– f est continue au point a de son domaine.
Donnez ces d´finitions
e
– pour une fonction f de R dans R ;
– pour une fonction f de R2 dans R ;
– pour une fonction f de Rp dans R.
Prćisez le contexte de chacune de ces d´finitions et les notations les plus
e
e
fr´quentes.
e

← D´f.
e
← D´f.
e
← D´f.
e

3.1.4. Que faudrait-il faire pour d´montrer que la fonction +, d´finie par +(x, y) =
e
e
x + y, est partout continue ?
Il s’agit bien d’un thór`me et il en va de mˆme pour les fonctions “diff´rence”
e e
e
e
x
et “produit”. La fonction “quotient”,
, est, elle, continue sur son domaine
y
(y = 0).
Composantes

3.2.

3.2.1. Gń´ralisez les notions prć´dentes pour les fonctions de Rp dans Rq .
e e
e e
Donnez, par exemple, la d´finition prćise en ε et δ de
e
e
la limite de f (x),

quand x tend vers a , est b

← D´f.
e

pour f une fonction de Rp dans Rq , a ∈ Rp et b ∈ Rq .

5

2008

Analyse


e

3.2.2. On a d´j` annonc´ que des concepts ` propos des fonctions de Rp dans Rq
ea
e
a
pouvaient souvent se ramener ` des concepts correspondants ` propos de leurs
a
a
composantes. On peut ainsi d´montrer, par exemple, que
e
Une fonction f de Rp dans Rq est continue en un point a de son domaine si
et seulement si chacune de ses composantes f1 , f2 ,. . . , fq est continue en a.

← Th.

3.2.3. Par d´duction, ou simplement par imitation, du thór`me prć´dent, ńoncez
e
e e
e e
e
un thór`me liant la limite de f en un point a ` la limite de chacune de ses
e e
a
composantes f1 , f2 ,. . . , fq en ce mˆme point.
e

← Th.

Illustrations

3.2.a
2+2 = ?


On donne la fonction f de R dans R3 d´finie par f (x) = 
e

x3 −1
x2 +2
sin x
x
x



.

e

Calculez lim x→0 f (x).
Composition de fonctions
3.3.1. Dans le cas des fonctions de R dans R, on avait un thór`me qui pouvait
e e
s’ńoncer rapidement sous la forme suivante.
e
La composé de deux fonctions continues est une fonction continue
e
Ce thór`me a ´t´ d´j` prćis´ et partiellement gń´ralis´ en premi`re anné .
e e
ee ea e e
e e
e
e
e
Prćisez et gń´ralisez ce thór`me pour le cas de la composé g ◦ f de f une
e
e e
e e
e
p
q
q
k
fonction de R dans R et g une fonction de R dans R .

3.3.

← Th.

← Th.

Le cas int´ressant est celui de la composé g ◦ f quand f est une fonction de
e
e
Rp dans Rq et g est une fonction de Rq dans R. Pourquoi ?
3.3.2. Donnez un thór`me correspondant pour les limites de composés de deux
e e
e
fonctions.

← Th.

Inspirez vous du thór`me sur limites et composition ´tudi´ en premi`re anné.
e e
e
e
e
e
Gń´ralisez.
e e
3.3.3. Reformulez, en le gń´ralisant, le thór`me cit´ dans le syllabus du cours
e e
e e
e
”Math´matique et Analyse” :
e
Les fonctions des variables x1 , x2 , . . . , xp construites en composant des fonctions continues d’une ou plusieurs variables et des
op´rations arithm´tiques, sont des fonctions continues sur tout leur
e
e
domaine.
Illustrez au moyen de quelques exemples.

6

2008

Analyse


e

Illustrations
3.3.a
2+2 = ?

D´montrez que la fonction f (x, y) = sin(xy) est partout continue.
e
Donnez lim (x,y)→(1,π) f (x, y).

D´montrez que la fonction g(x, y, z) = exy cos(ln(1 + y 2 ) + z) est
e
partout continue.
Donnez lim (x,y,z)→(2,0,π) g(x, y, z).
3.3.b

2+2 = ?

Chemins particuliers

3.4.

3.4.1. Relisez d’abord ce qui a ´t´ ćrit ` ce propos dans le syllabus de premi`re
ee e
a
e
anné
e
Soit f une fonction de 2 variables et a = (a, b) ∈ R2 un point qui adh`re au
e
domaine de f .
(1) D´finissez la notion de “chemin particulier passant par le point (a, b)”.
e
(2) Quelle proposition relie la limite de f en (a, b) ` la limite de f au-dessus
a
d’un chemin particulier passant par (a, b) ? Exprimez ce lien en terme
de condition nćessaire ou suffisante.
e
(3) Quelle est l’utilit´ pratique de cette proposition ? Permet-elle de mone
trer l’existence de certaines limites ?
(4) Permet-elle de montrer la non-existence de certaines limites ? Comment ?

Illustrations
3.4.a

On consid`re la fonction f (x, y) =
e

2+2 = ?

x2

xy
.
+ y2

(1) Quel est le domaine de d´finition de f ?
e
(2) Que peut-on en conclure ` propos de la continuit´ de f ? Pourquoi ?
a
e
(3) Calculez lim (x,y)→(1,0) f (x, y).
(4) Etudiez le comportement de f sur les chemins particuliers y = 0, y = x,
y = 2x,. . . .
Que peut-on en conclure ` propos de lim (x,y)→(0,0) f (x, y) ?
a
(5) La fonction f admet-elle un prolongement continu en (0, 0) ?

7

2008

Analyse


e

Thór`me du coin¸age
e e
c

3.5.

3.5.1. Retrouvez d’abord ce thór`me dans le paragraphe du syllabus de premi`re
e e
e
anné consacr´ aux limites par coin¸age des fonctions de deux variables.
e
e
c
Ecrivez le thór`me du coin¸age pour des fonctions de R2 dans R.
e e
c
Gń´ralisez le thór`me pour des fonctions de Rp dans R.
e e
e e

← Th.
← Th.

3.5.2. Expliquez pourquoi on ne peut ćrire un thór`me de coin¸age que pour les
e
e e
c
fonctions de Rp dans R et pas pour les fonctions de Rp dans Rq .
Expliquez aussi pourquoi ce n’est pas gˆnant.
e
Illustrations
3.5.a

Dans le syllabus de premi`re anné, on d´montre par coin¸age que
e
e
e
c
xy
lim
= 0.
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
Imitez cette d´monstration pour d´montrer que
e
e
xyz
lim
= 0.
2 + y2 + z2
(x,y,z)→(0,0,0) x
2+2 = ?

8

2008

Analyse


D´finitions
e

D´finitions du Chapitre 1
e
Domaine d’une fonction de Rp dans Rq
Le domaine d’une fonction f de Rp dans Rq – not´ dom(f ) –
e
e
semble des vecteurs x de Rp pour lesquels f (x) est d´fini.

est l’en-

Autrement dit
dom(f ) = {x ∈ Rp | f (x) est d´fini }
e
Sections iso-x et iso-y
Si z = f (x, y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une fonction iso-x de
f en fixant une valeur de x ( p.ex. x = a) et en consid´rant la fonction
e
z = f (a, y)
qui est une fonction de la seule variable y.
La “section iso-x ” correspondante est le graphe de cette fonction dans le plan
des yz.

Courbe de niveau
Si z = f (x, y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une courbe de niveau
de f en fixant une valeur de z ( p.ex. z = c ) et en consid´rant, dans le plan
e
des xy, l’ensemble
{(x, y) | f (x, y) = c} .
En gń´ral, ces points dćrivent une courbe dans le plan des x, y. Mais cette
e e
e
courbe n’est pas (nćessairement) le graphe d’une fonction, contrairement aux
e
sections iso-x ou iso-y.
Point adh´rant - Adh´rence
e
e
si A est une partie de Rp , on dit que le point a adh`re `
e a
points de A aussi proche que l’on veut de a.

A s’il existe des

Autrement dit
a adh`re ` A
e a
L’

adh´rence
e

ssi

∀ε > 0 ∃x ∈ A t.q. d(a, x) < ε.

de A est l’ensemble des points qui adh`rent ` A.
e
a

9

2008

Analyse


D´ﬁnitions
e

Limites
Si f est une fonction de Rp dans Rq , et a un point qui adh`re ` dom(f ), alors
e a
on dit que b est la limite de f (x) quand x tend vers a, et on note
b = lim f (x)
x→a

ssi
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.q. ∀x ∈ dom(f ) si d(x, a) < ε alors d(f (x), b) < δ .
Continuit´ d’une fonction en un point
e
Si f est une fonction de Rp dans R, et a un point de dom(f ), alors
on dit que f est continue au point a si f (a) est la limite de f (x) quand x tend
vers a.
Autrement dit
f est continue au point a
ssi
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.q. ∀x ∈ dom(f ) si d(x, a) < ε alors d(f (x), f (a)) < δ .

Continuit´ d’une fonction
e
Une fonction f est dite continue (ou partout continue) si elle est continue en
tous les points de son domaine.
Chemin particulier
Si f (x, y) est une fonction de R2 dans R, et a = (a, b) un point de dom(f ),
alors un chemin particulier passant par le point a est
une fonction y = φ(x) continue en a et telle que b = φ(a)
ou une fonction x = ψ(y) continue en b et telle que a = ψ(b) .

10

2008

Analyse


Principaux thór`mes
e e

Principaux thór`mes du Chapitre 1
e e

Continuit´ des fonctions de Rp dans Rq : r´duction de complexit´
e
e
e
p
q
Une fonction f de R dans R est continue en un point a de son domaine si et
seulement si chacune de ses composantes f1 , f2 ,. . . , fq est continue en a.
Autrement dit



f1 (x)
 f2 (x) 
f (x) =  .  est continue en a
 . 
.
fq (x)


 f1 (x) est continue en a

 f2 (x) est continue en a
ssi
.
.

.


fq (x) est continue en a

Limite des fonctions de Rp dans Rq : r´duction de complexit´
e
e
Soit f une fonction de Rp dans Rq et a un point qui adh`re ` dom(f ).
e a
Alors, b est la limite de f (x) quand x tend vers a
ssi
cela est vrai
composante par composante.
Autrement dit

b = lim f (x)
x→a

ssi


lim
 b1 = x→a f1 (x)


 b = lim f (x)
 2
2
x→a
.
.


.


 bq = lim fq (x)
x→a

Composé de fonctions continues
e
La composé de deux fonctions continues est une fonction continue.
e
Autrement dit
Soit f une fonction de Rp dans Rq et g une fonction de Rq dans Rn .
Si f est continue en a et si g est continue en b = f (a), alors la composé g ◦ f
e
est continue en a.
Limite de composé
e
Soit f une fonction de Rp dans Rq et a un point qui adh`re ` dom(f ) tels que
e a
b = lim f (x) ;
x→a

et g une fonction de Rq dans Rn telle que b adh`re ` dom(g) et c = lim f (x).
e a
x→b

Alors c = lim (g ◦ f )(x).
x→a

Autrement dit

11

2008

Analyse


e e

Avec les hypoth`ses d’existence sous-entendues dans les ćritures,
e
e
lim g(y)

lim (g(f (x)) =

x→a

y → lim f (x)
x→a

Limite et chemins particuliers
Soit f une fonction de R2 dans R, et (a, b) un point qui adh`re ` dom(f ).
e a
Si c est la limite de f (x) quand x tend vers (a, b), alors c est la limite de f (x)
quand x tend vers (a, b) sur tous les chemins particuliers passant par (a, b).
Autrement dit
Dans le contexte dćrit,
e
si lim f (x) = c et si y = φ(x) est une fonction continue telle que φ(a) = b
x→(a,b)

(c.`-d. un chemin particulier passant par (a, b) ),
a
alors

lim f (x, φ(x)) = c .

x→a

Thór`me du coin¸age
e e
c
Soit f , g et h trois fonctions de Rp dans R et a un point qui adh`re au domaine
e
des trois fonctions.
Si la fonction h est coincé entre les fonctions f et g,
e
et si les limites de f et g quand x tend vers a existent et prennent la mˆme
e
valeur c,
alors la limite de h quand x tend vers a existe elle aussi et vaut c.
Autrement dit
Avec les conditions d’adh´rence ci-dessus,
e
si
et si
alors

∀x f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ou g(x) ≤ h(x) ≤ f (x)
lim f (x) = lim g(x) = c

x→a

x→a

lim h(x) = c

x→a

12

2008

Analyse

Ch. 2 D´rivés et diff´rentielles
e e
e

Chapitre 2

D´rivés et diff´rentielles
e e
e

´
D´rivés partielles - Elasticit´s partielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
R`gle de d´rivation en chaˆ (Chain rule)
e
e
ıne
D´rivés d’ordre sup´rieur
e e
e

4.
5.
6.
7.

R´f´rences
ee
• D´rivés partielles
e e

S & B : 9.1, 9.2, 9.3
a

´
• Elasticit´s partielles
e

Tout bon cours d’ćonomie
e
S & B pp.199-200

• Diff´rentielle
e
• Gradient

S & B : 9.4
a
S & B : pp. 305 et 306
S & B : pp. 608 et 613
Syll. Math.et An. Chap.3, § 4.4, pp. 57 ` 59
a
Syll. Math.et An. Chap.3, § 10.6, pp. 78 et 79

• R`gle de d´rivation en chaˆ (Chain rule)
e
e
ıne
Rappels pour une variable

S & B : pp.75-80
S & B : pp.311-313
S & B : pp.211-214

13

2008

Analyse

e e
e

• D´rivés d’ordre sup´rieur
e e
e

D´rivés et ´lasticit´s partielles
e e
e
e

S & B : pp.215-220
S & B : pp.304-305

e e
e
e
Nombres d´rivés partielles
e e

4.
4.1.

e
e
e
4.1.1. Relisez d’abord le paragraphe du syllabus de premi`re anné consacr´ aux
d´rivés partielles des fonctions de deux variables.
e e
La mˆme mati`re est abordé dans S & B , § 9.1 ` 9.3, pp. 195 ` 202, dans le
e
e
e
a
a
cas des fonctions de n variables.
e
e e
a
4.1.2. D´finissez le “nombre d´rivé partielle” d’une fonction f (x, y) par rapport ` la
∂f
(a, b).
variable x au point (a, b). Notez ce nombre
∂x
Suggestion : Utilisez la fonction G(x) = f (x, b).
4.1.3. Donnez une interpr´tation góm´trique de
e
e e
par (a, b).

← D´f.
e

∂f
(a, b) dans le plan iso-y passant
∂x

4.1.4. Faites de mˆme (d´finition et interpr´tation) pour le nombre d´rivé partielle
e
e
e
e e
par rapport ` y.
a
Illustrations

4.1.a
2+2 = ?

On donne f (x, y) = 4x3 − xy 2 . Calculez

∂f
∂f
(1, 2) et
(1, 2) .
∂x
∂y

4.1.b

Est-ce qu’il y a toujours une d´rivé partielle par rapport ` x, pour
e e
a
n’importe quelle fonction, et en n’importe quel point ?
Donnez un exemple simple d’une fonction qui n’admet pas de d´rivé partielle
e e
par rapport ` x en un point.
a
2+2 = ?

4.1.c

Est-ce que les existences d’une d´rivé partielle par rapport ` x et
e e
a
d’une d´rivé partielle par rapport ` y sont liés ?
e e
a
e
Donnez un exemple d’une fonction simple qui, en un point, admet une d´rivé
e e
partielle par rapport ` une variable et pas par rapport ` l’autre.
a
a
2+2 = ?

14

2008

Analyse

e e
e

e e
e
e

Fonctions d´rivés partielles
e e
4.2.1. Pour une fonction f (x, y) de R2 dans R, d´finissez les deux fonctions d´rivés
e
e e
∂f
∂f
partielles
(x, y) et
(x, y).
∂x
∂x
4.2.2. Comment calcule-t-on en pratique les fonctions d´rivés partielles ?
e e

4.2.
← D´f.
e

4.2.3. Comment calcule-t-on en pratique les nombres d´rivés partielles ?
e e
4.2.4. Gń´ralisez les notions ci-dessus au cas des fonctions de trois variables ou plus.
e e
– D´finissez les nombres d´rivés partielles d’une fonction f (x, y, z) de trois
e
e e
variables, ou d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables.

← D´f.
e

Ramenez-vous ` des nombres d´rivés de fonctions d’une variable. Lesa
e e
quelles ?
Prćisez bien le contexte, les ćritures, les notations, . . .
e
e
– D´finissez les fonctions d´rivés partielles d’une fonction f (x, y, z) de trois
e
e e
variables, ou d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables.

← D´f.
e

Combien y a-t-il de fonctions d´rivés partielles ? Combien chacune a-te e
elle de variables ?
Illustrations
4.2.a
2+2 = ?

Pour la mˆme fonction f (x, y) = 4x3 −xy 2 qu’au paragraphe prć´dent,
e
e e
∂f
∂f
calculez
(a, b) et
(a, b) en un point quelconque (a, b) de R2 .
∂x
∂y
Les d´rivés partielles comme limites
e e

4.3.1. D´finissez le nombre d´rivé partielle comme une limite.
e
e e

4.3.
← D´f.
e

Rappelez-vous de la d´finition en terme de limite du nombre d´rivé d’une
e
e e
fonction d’une variable.
De l`, passez aux fonctions de 2, 3 ou p variables.
a
Illustrations
4.3.a
2+2 = ?

On donne la fonction f de R3 dans R d´finie par
e
 4
3
2
 x +y +z
si (x, y, z) = (0, 0, 0)
x2 + y 2 + z 2
f (x, y, z) =

0
si (x, y, z) = (0, 0, 0)

15

2008

Analyse

e e
e

e e
e
e

Calculez, si elles existent, les trois d´rivés partielles de f en (0, 0, 0).
e e

Divers

4.4.

4.4.1. Relevez diff´rentes notations pour les d´rivés partielles.
e
e e
e e
4.4.2. Qu’est-ce qui est “partiel ” dans une d´rivé partielle ?
4.4.3. Les ćonomistes parlent souvent d’´tudier le lien entre des variations de deux
e
e
variables ćonomiques “toutes autres choses restant ´gales” (en latin Ceteris
e
e
paribus sic stantibus ou en abr´g´ Ceteris paribus).
e e
Comment retrouve-t-on ce concept dans le contexte des d´rivés partielles ?
e e
4.4.4. Quelle diff´rence faut-il faire entre les notations
e

df
∂f
et
?
dx
∂x

4.4.5. Comment reconnait-on sur le graphe des courbes de niveau d’une fonction de
deux variables les grandes ou les petites valeurs de ses d´rivés partielles ?
e e
Illustrations
4.4.a

Le graphe ci-contre donne des
courbes de niveau d’une fonction f
de R2 dans R.

2+2 = ?

y

0

2

1

2

1. A partir de ce graphe, faites un
croquis du graphe de la fonction
G(x) = f (x, 1).

1
2
3
4

2. A partir ce nouveau graphe, donnez une ´valuation de la valeur de
e

1
3

4

∂f
(1, 1)
∂x

1

2

x

et de ∂f (2, 1). Donnez-en au
∂x
moins le signe et une estimation de
la valeur absolue.

3. Faites un croquis de la fonction G (x) =
4. Donnez aussi une ´valuation de
e

∂f
(1, 1)
∂y

∂f
(x, 1).
∂x

et de

∂f
(1, 2).
∂y

16

2008

Analyse

e e
e

e

´
Elasticit´s partielles
e

4.5.

e
a
e
e
4.5.1. Consultez un livre d’ćonomie ` propos de l’´lasticit´ (pour les fonctions d’une
variable).
Voyez par exemple ce que S & B en disent dans un contexte ćonomique
e
(pp.199-200).
4.5.2. Pour une fonction z = f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables, interpr´tez le concept
e
de “ l’´lasticit´ de z par rapport ` une des variables” (p.ex. x2 ), toutes autres
e
e
a
choses restant ´gales.
e
e
e
e
a
4.5.3. D´finissez l’´lasticit´ (partielle) de z par rapport ` la variable xi .

← D´f.
e

Illustrations
4.5.a
2+2 = ?

Pour la fonction z = x2 x3 x4 , calculez les ´lasticit´s partielles de z
e
e
1 2 3
par rapport ` chacune des trois variables, au point (1, 2, −1).
a

e
La diff´rentielle
e

5.
5.1.

5.1.1. Relisez d’abord le paragraphe du syllabus de premi`re anné consacr´ aux
e
e
e
diff´rentielles des fonctions de deux variables. Lisez le paragraphe 9.4 de S &
e
B (pp. 203-207) intitul´ “Diff´rentielle totale”.
e
e
5.1.2. On consid`re une fonction z = f (x) = f (x, y) et un point a = (a, b) de son
e
domaine.
On cherche ` comprendre comment la variable z s’accroit ou diminue par
a
rapport ` f (a, b), quand x et y varient par rapport ` a et b respectivement.
a
a
On notera h l’accroissement (ou la diminution) de x par rapport ` a. Quelle
a
est l’´quation qui lie x et h ?
e
(Est-ce x + a + h = 0,
x + a = h,
x = a + h ou
x + h = a ?)
On notera k l’accroissement (ou la diminution) de y par rapport ` b. Quelle
a
est l’´quation qui lie y et k ?
e
Exprimez maintenant l’accroissement de z par rapport ` f (a, b) correspondant
a
a
` un accroissement (h, k) de (x, y) par rapport ` (a, b).
a
5.1.3. A partir de ce que vous venez de faire, donnez un sens ` l’expression
a
f (a + h, b + k) − f (a, b)

ou

f (a + h) − f (a)

On pourrait la noter [∆(a,b) z](h, k) ou [∆(a,b) f ] (h, k). Pourquoi ?

17

2008

Analyse

e e
e

e

5.1.4. D´finissez prćis´ment la notion de diff´rentielle d’une fonction f (x, y) au point
e
e e
e
(a, b).

← D´f.
e

5.1.5. Qu’appelle-t-on le quotient diff´rentiel ?
e
5.1.6. Faites un relev´ de quelques notations usuelles pour d´signer la diff´rentielle.
e
e
e
La notation la plus fr´quente, et que nous utiliserons, est d(a,b) f (h, k), ou
e
da f (h).
Mais, en utilisant la mˆme logique que celle qui nous a fait ćrire [∆(a,b) f ](h, k),
e
e
on pourrait plus prudemment ćrire [d(a,b) f ](h, k).
e
O` est est la nuance ? Elle est dans la d´finition et l’ordre des “op´rations”
u
e
e
que l’on effectue.
A partir de la fonction f et du point (a, b) on construit une autre fonction
[d(a,b) f ]. C’est cette nouvelle fonction que l’on applique ensuite ` la variable
a
d’accroissement (h, k).
La notation d(a,b) f (h, k) peut laisser croire que c’est la fonction f qui est appliqué ` la variable (h, k) pour donner f (h, k), et qu’ensuite une myst´rieuse
e a
e
op´ration d(a,b) est appliqué au r´sultat (un nombre rél !) pour donner d(a,b) f (h, k) ;
e
e
e
e
ce qui, dans ce cas, serait mieux ćrit d(a,b) [f (h, k)] mais n’a pas de sens.
e
5.1.7. Interpr´tez la diff´rentielle comme approximation lináire de la fonction diff´rence.
e
e
e
e
5.1.8. Donnez un sens prćis ` l’ćriture
e a e
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + d(a,b) f (h, k).

← Th.

Illustrations
5.1.a

On pose f (x, y) = 3x(y − 2)2 et (a, b) = (2, 3).

2+2 = ?

–
–
–
–

Calculez concr`tement la fonction [∆(a,b) f ](h, k).
e
D´veloppez et ćrivez la sous la forme d’un polynˆme en h et k.
e
e
o
Ce polynˆme n’a pas de terme ind´pendant. Pourquoi ?
o
e
Il y a donc dans ce polynˆme un terme en h, un terme en k, et des termes
o
de degr´ sup´rieur : en hk, en hk 2 , . . . , etc. Pour des valeurs petites de h et
e
e
k, les termes de degr´ deux ou plus deviennent tr`s petits et n´gligeables
e
e
e
par rapport aux termes de degr´ 1.
e
A partir de l`, justifiez l’ćriture
a
e
[∆(2,3) z](h, k) ≈ 3h + 12k

– Utilisez cette formule pour donner une valeur approché de f (2.03, 2.98).
e
Appliquez cette d´marche pour la fonction z = f (x, y) = 2x2 − y 3
e
pr`s du point (2, 2), afin de construire un polynˆme du premier
e
o
degr´ en h et k qui donne une bonne approximation de [∆(2,2) f ](h, k).
e
5.1.b

2+2 = ?

18

2008

Analyse

e e
e

e

Ces polynˆmes du premier degr´ qui approchent la fonction “diff´rence” [∆(a,b) f ](h, k)
o
e
e
sont “ la diff´rentielle” de f au point (a, b).
e
La m´thode de calcul utilisé ci-dessus (pour des fonctions polynomiales) n’est
e
e
pas gń´ralisable. Mais la notion de ”diff´rentielle” l’est.
e e
e
5.1.c

Sachant que la diff´rentielle de la fonction f (x, y) au point (1, 2)
e
est 3h + 6k, et que f (1, 2) = 6, donnez une approximation de
f (0.9, 2.03).
2+2 = ?

Diff´rentielle et d´rivés partielles
e
e e

5.2.

5.2.1. Donnez le lien entre les coefficients de la diff´rentielle et les d´rivés partielles.
e
e e
5.2.2. Ecrivez ce lien sous la forme d’un thór`me prćis, en donnant bien les hye e
e
poth`ses et la th`se.
e
e

← Th.

5.2.3. L’existence des d´rivés partielles de f en a est-elle une condition nćessaire,
e e
e
suffisante ou nćessaire et suffisante de l’existence de la diff´rentielle de f en
e
e
a?
5.2.4. On parle de d´rivés partielles et de diff´rentielle totale. Pourquoi ?
e e
e
Illustrations
5.2.a

Calculez la diff´rentielle de la fonction 3x3 e(y−2) en (2, 2).
e

2+2 = ?

Plan tangent
5.3.1. Ecrivez sous forme fonctionnelle ( z = t(x, y) ) l’´quation du plan tangent ` la
e
a
surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) en fonction des d´rivés partielles de
e e
f en (a, b).

5.3.
← Th.

5.3.2. Ecrivez la mˆme ´quation en y faisant apparaˆ la diff´rentielle d(a,b) f .
e
e
ıtre
e
5.3.3. Le plan tangent ` la surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) est un espace
a
affine.
Quel est son plan directeur ?
Illustrations
5.3.a
2+2 = ?

Donnez l’´quation du plan tangent ` la surface z = x2 + y 3 au point
e
a
(2, −1, 3).

19

2008

Analyse

e e
e

e

Tangente ` une courbe de niveau - Gradient
a

5.4.

5.4.1. On donne la fonction z = f (x, y) et le point a = (a, b) avec f (a) = c.
– Ecrivez l’´quation du plan tangent au graphe de cette fonction au point
e
(a, b, c) sous une forme fonctionnelle z = T (x, y).
– Ecrivez les ´quations des courbes de niveau ` hauteur c de la fonction
e
a
f (x, y) et de la fonction T (x, y).
– Que sont ces deux courbes l’une par rapport ` l’autre ?
a
– T (x, y) = c
est un sous-espace affine. Donnez une ´quation cart´sienne
e
e
de son sev directeur.
– Quelle est la direction orthogonale ` ce sev ?
a
– Comment appelle-t-on ce vecteur ?
5.4.2. Relisez ce qui est dit ` propos du gradient dans le syllabus de premi`re candia
e
dature et dans S & B .
5.4.3. D´finissez le gradient d’une fonction f (x, y) en un point (a, b).
e
5.4.4. Le vecteur gradient de la fonction f (x, y) au point (a, b) est not´
e
f (a, b).
Comment appelle-t-on le signe ? Quelle est l’origine de ce mot ?

← D´f.
e
(a,b) f

ou

5.4.5. Quel est le lien entre le gradient et ce que l’on appelle “la plus grande pente ” ?
O` sont le haut et le bas de cette pente ?
u
5.4.6. Indiquez comment le gradient permet de distinguer la partie du plan o` f (x, y) >
u
c et celle o` f (x, y) < c de part et d’autre de la courbe de niveau f (x, y) = c.
u
Illustrations
On donne la fonction z = f (x, y) = x2 + y 2 et le point a = (2, −1)
avec c = f (a) = 5.
Ecrivez l’´quation du plan tangent au graphe de cette fonction au point
e
(2, −1, 5) sous une forme fonctionnelle z = T (x, y).
Dessinez sur un mˆme graphe les courbes de niveau ` hauteur 5 de la
e
a
fonction f (x, y) et de la fonction T (x, y).
Qu’y a-t-il de remarquable ? Expliquez le phńom`ne.
e
e
T (x, y) = 5 est un sous-espace affine. Donnez une ´quation cart´sienne de
e
e
son sev directeur.
Quelle est la direction orthogonale ` ce sev ?
a

5.4.a
2+2 = ?

–
–
–
–
–

On consid`re la fonction f (x, y) = x3 y 2 + exy .
e
On ne voit pas bien comment dessiner le graphe de la courbe de
niveau ` hauteur 1. Pouvez-vous donner une idé de son comportement pr`s
a
e
e
de (0, 0) ?
5.4.b

2+2 = ?

20

2008

Analyse

e e
e

e

Les fonctions de p variables

5.5.

5.5.1. Gń´ralisez la notion de diff´rentielle au cas des fonctions de Rp dans R.
e e
e
– Reprenez les ćritures en utilisant la variable x = (x1 , x2 , . . . , xp ), le point
e
a = (a1 , a2 , . . . , ap ) et l’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp )
– D´finissez la fonction diff´rence [∆(a) f ](h).
e
e
– D´finissez la fonction diff´rentielle d(a) f (h).
e
e
– D´finissez le quotient diff´rentiel qui mesure la ” proximit´” de [∆(a) f ](a)
e
e
e
et d(a) f (h).
– D´finissez l’expression “la fonction f est diff´rentiable au point a de son
e
e
domaine ”.

← D´f.
e

5.5.2. Donnez le lien entre les coefficients de la diff´rentielle d’une fonction de p vae
riables en un point et les d´rivés partielles de la fonction en ce point.
e e
Exprimez s’il s’agit d’une condition nćessaire, suffisante ou nćessaire et sufe
e
fisante.

← Th.

5.5.3. Pour que la diff´rentielle soit une notion utile, il faut que l’on soit sˆr de son
e
u
existence pour une classe suffisamment large de fonctions et de points.
Donnez une condition suffisante sur les d´rivés partielles assurant la diffé e
e
rentiablilit´ d’une fonction en un point.
e

← Th.

5.5.4. Donnez les liens logiques entre les affirmations suivantes. Exprimez-les en terme
de conditions nćessaires et de conditions suffisantes.
e
– La fonction f est continue en (a, b).
– La fonction f est diff´rentiable en (a, b)
e
– Les nombres d´rivés partielles de f existent en (a, b)
e e
– Les fonctions d´rivés partielles de f existent pr`s de (a, b) et sont contie e
e
nues en (a, b).

← Th.

5.5.5. Gń´ralisez la notion de gradient pour les fonctions de Rp dans R.
e e

← D´f.
e

5.5.6. Pour les fonctions de R3 dans R, que sont
– les surfaces de niveau ?
– le sous-espace affine tangent ` une de ces surfaces en un point ?
a
– la direction de plus grande pente ?
– les vecteurs gradients ?
Illustrations
5.5.a
2+2 = ?

2

Calculez la diff´rentielle en (1, 0, −2, 1) de f (x) = x2 cos(x1 x2 )ex3 +2x .
e
1
Tirez-en une valeur approché de la fontion en (1.02, −0.03, −2.01, 0.98).
e

21

2008

Analyse

e e
e

e

Pour la fonction f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , repr´sentez la surface de
e
2+2 = ?
niveau ` “hauteur” 14.
a
Donnez le plan tangent ` cette surface en (1, 2, 3). Donnez la direction de “plus
a
grande pente”.
5.5.b

Lignes ou colonnes ?

5.6.

Pour le Calcul Matriciel, nous avions convenu que les vecteurs de Rp , variables


 
x1
1
 x2  ou constants comme a =  2 , se repr´sentaient sous
comme x =
e
x3
3
la forme de vecteurs colonnes .
Par contre, nous venons d’ćrire plusieurs fois f (x) pour f (x1 , x2 , . . . , x3 ). Et
e
dans ce cas, ce (x1 , x2 , . . . , x3 ) se pr´sente comme un vecteur ligne.
e
Certains auteurs plus pointilleux recommandent d`s lors d’ćrire syst´matiquement
e
e
e
t
x pour (x1 , x2 , . . . , xp ), allant par exemple jusqu’` parler de la diff´rentielle de
a
e
f (xt ) au point at = (1, 2, 3), ou au point a = (1, 2, 3)t .
Mais nous ne les suivrons pas. Ce ne sera pas le seul exemple, tant en langue
naturelle qu’en langage math´matique, o` l’usage consacre des mots ou des
e
u
notations dont le sens varie avec le contexte.
Nous serons donc attentifs ` utiliser avec soin les notations matricielles para
tout o` ces notations se r´f`rent ` un contexte de calcul matriciel. Mais nous
u
ee
a
n’h´siterons pas ` utiliser avec quelque ambigu¨ e la notation usuelle f (x) pour
e
a
ıt´
les fonctions de plusieurs variables, o` encore l’ćriture a = (a1 , a2 , . . . , ap )
u
e
pour d´signer un vecteur de Rp .
e
D’ailleurs nous n’avions pas h´sit´, d´j`, ` parler d’une forme quadratique
e e ea a
q(x1 , x2 , . . . , xp ) = q(x) = xt Ax, en utilisant d’un cˆt´ q(x) sans trop se deoe
mander si x y d´signait une ligne ou une colonne, mais de l’autre cˆt´, une
e
oe
notation strictement matricielle xt Ax, o` x devait ˆtre interpr´t´ absolument
u
e
ee
comme une colonne.
Fonctions de Rp dans Rq

5.7.

On cherche ` gń´raliser la notion de diff´rentielle au cas des fonctions de Rp
a e e
e
dans Rq .

5.7.1. Assurez-vous des notations utilisés dans ce cas.
e
Bien que nous continuerons ` utiliser l’abus d’ćriture f (x), il faudra ˆtre
a
e
e
attentif, pour ´viter des confusions ult´rieures, ` noter en colonne les vecteurs
e
e
a
images.
On aura ainsi

22

2008

Analyse

e e
e

R`gle de d´rivation en chaˆ
e
e
ıne




f1 (x)
 f (x) 

f (x) =  2
 ... 
fq (x)
5.7.2. Ecrivez la fonction diff´rence pour une fonction de Rp dans Rq .
e
e
5.7.3. Ecrivez le quotient diff´rentiel dans ce contexte Rp dans Rq .
Attention ! La fonction diff´rence et la diff´rentielle sont ici des fonctions vectoe
e
rielles ` valeur dans Rq . Il en va de mˆme pour leur diff´rence et le num´rateur
a
e
e
e
du quotient diff´rentiel est un donc vecteur. Pour exprimer que ce vecteur est
e
petit, on exprime que sa norme est petite. On est ainsi ramen´ ` un num´rateur
ea
e
qui est un nombre rél.
e
5.7.4. D´finissez l’expression
e
“f (x) est diff´rentiable au point a
e
p
quand f est une fonction de R dans Rq .
5.7.5. La diff´rentielle est dans ce cas une application de Rp dans Rq . Elle est donc
e
elle aussi faite de q composantes.
Quel est le lien entre les composantes de la diff´rentielle de f et les diff´rentielles
e
e
de ses composantes ?
5.7.6. Qu’appelle-t-on “matrice Jacobienne” d’une fonction f en un point a ?

← D´f.
e

← Th.

← D´f.
e

5.7.7. Pouvez-vous interpr´ter la jacobienne (d’une fonction f en un point a) comme
e
matrice repr´sentant une application lináire ? Laquelle ?
e
e
Illustrations
5.7.a
2+2 = ?

5.7.b
2+2 = ?

Calculez la diff´rentielle en (1, 2, 1) de la fonction
e


x2 + y 2 z
f (x, y, z) =  sin(x2 y) + 2x 
4xy ln(x, z)
La diff´rentielle est une application lináire, donc matricielle.
e
e
Ecrivez la diff´rentielle calculé ` l’exercice prć´dent sous forme
e
e a
e e

matricielle.
5.7.c
2+2 = ?

Calculez la matrice Jacobienne de la fonction de l’exercice prć´dent
e e
en un point (x, y, z)

23

2008

Analyse

e e
e

e
e
ıne

e
e
ıne
Rappel pour les fonctions d’une variable

6.
6.1.

6.1.1. Revoyez le contexte et les r`gles de la d´rivation de fonctions composés pour
e
e
e
les fonctions d’une variable.
Illustrations
6.1.a

Ecrivez la fonction f (x) = sin(ln x) comme composé de deux fonce
tions.
Calculez la d´rivé de cette composé en x = 1.
e e
e
2+2 = ?

Gń´ralisation au cas de plusieurs variables
e e

6.2.

6.2.1. Dćrivez le contexte de la composition de fonctions pour des fonctions de
e
plusieurs variables.
6.2.2. Donnez des exemples concrets de composés g ◦ f , pour diff´rents cas. Par
e
e
exemple quand
• f est une fonction de R2 dans R et g une fonction de R dans R.
• f est une fonction de R dans R3 et g une fonction de R3 dans R.
• f est une fonction de R2 dans R2 et g une fonction de R2 dans R.
• f est une fonction de R2 dans R3 et g une fonction de R3 dans R2 .
6.2.3. Reconnaissez-vous une composition de fonctions de ce genre dans l’ćriture
e
f (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)) ?
Imaginez des ćritures similaires pour chacun des cas de l’exercice prć´dent.
e
e e
6.2.4. Pour chacun des cas prćit´s, dćrivez le probl`me de la d´rivation partielle
e e
e
e
e
et/ou de la diff´rentiation.
e
– Quelle diff´rentielle ou d´rivés partielles recherche-t-on ?
e
e e
– En quel point ?
– A partir de quelles diff´rentielles ou d´rivés partielles va-t-on les calculer ?
e
e e
– En quels points ?

24

2008

Analyse

e e
e

e
e
ıne

Commentaire
Pour la pratique, il sera surtout utile de pouvoir maˆ
ıtriser
les probl`mes de d´rivation en chaˆ dans quelques cas simples. Mais la voie
e
e
ıne
thórique la plus directe pour y arriver consiste ` ´tudier le probl`me de la
e
a e
e
diff´rentielle dans son contexte le plus gń´ral. C’est donc par l` que nous
e
e e
a
commen¸ons.
c
6.2.5. On consid`re des fonctions f de Rp dans Rq et g de Rq dans Rs ; et a un point
e
p
de R .
Faites apparaˆ dans un sch´ma les ´l´ments suivants et les relations entre
ıtre
e
ee
eux.
– f , a, f (a), da f ;
– g, f (a), g(f (a)), df (a) g ;
– g ◦ f , a, g ◦ f (a), da (g ◦ f ).
6.2.6. Dans le contexte de la question prć´dente, ´tudiez la signification du thór`me
e e
e
e e
Si f est diff´rentiable en a et si g est diff´rentiable en f (a), alors g ◦ f est
e
e
diff´rentiable en a.
e
De plus, la diff´rentielle de la composé g◦f en a est la composé des diff´rentielles
e
e
e
e
de g en f (a) et de f en a.

← Th.

← Th.

Donnez une ćriture symbolique du thór`me.
e
e e
Compl´tez-le par la description des points en lesquels les diff´rentes diff´rentielles
e
e
e
sont calculés.
e
6.2.7. Le thór`me prć´dent implique un lien entre les jacobiennes de f , g et g ◦ f
e e
e e
(en des points bien choisis).
Exprimez ce lien.
Faites-le en d´tail pour une fonction f de R2 dans R3 et g de R3 dans R2 .
e
Commentaire
Pour le calcul concret des d´rivés partielles des fonctions
e e
composés, il suffit de maˆtriser le cas particulier o` f est une fonction de R
e
ı
u
q
q
dans R et g une fonction de R dans R.
6.2.8. f est une fonction de R dans Rq et g une fonction de Rq dans R.
Explicitez les notations qui permettent d’ćrire la composé sous la forme
e
e
g(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t)).
6.2.9. Ecrivez la Jacobienne de f en a et la Jacobienne de g en f (a).
q.e.d.

Effectuez le produit de ces Jacobiennes et d´duisez-en la formule permettant
e
de calculer la d´rivé par rapport ` t de g(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t)).
e e
a

← Th.

6.2.10. Pour des fonctions f de Rp dans Rq et g de Rq dans Rs , la Jacobienne de g ◦ f
contient les d´rivés partielles de chacune des s composantes gi ◦ f par rapport
e e
a
` chacune des p variables xj .
Voyez comment chacune de ces s × p d´rivés partielles peut se calculer en
e e
utilisant la formule vue ci-dessus.

25

2008

Analyse

e e
e

e e
e

Illustrations
On donne les fonctions G(x, y) = (2x2 − y, −y 3 )
et F (u, v) = (u − v, u2 ) .
Calculez les Jacobiennes de G(x, y) et F (u, v).
Evaluez ces Jacobiennes aux points ad´quats pour pouvoir calculer la
e
Jacobienne de F (G(x, y)) au point (x, y) = (1, 1).
Calculez cette Jacobienne.
∂F1 (G(x, y))
∂F2 (G(x, y))
Tirez-en les valeurs de
et
∂x
∂y
au point (x, y) = (1, 1).

6.2.a
2+2 = ?

(1)
(2)
(3)
(4)

On donne la fonction z = f (x, y) = (2x2 y−y) o` x et y d´pendent
u
e
2
d’une mˆme variable t par x(t) = 1 − t et y(t) = t − 2t2 .
e
d z(t)
.
(1) Utilisez la Chain Rule pour calculer
dt
(2) Effectuez la substitution de x(t) et y(t) dans f (x, y) pour obtenir une
expression explicite de z(t).

6.2.b

2+2 = ?

z(t)
(3) Calculez d dt ` partir de cette expression et comparez avec le r´sultat
a
e
obtenu en 1.

6.2.c

Reprenez l’exercice 6.2.a ci-dessus et calculez la Jacobienne demandé en calculant toutes les d´rivés partielles de la fa¸on dćrite
e
e e
c
e
en 6.2.9. et 6.2.10.
2+2 = ?

e e
e
D´finitions et notations
e

7.
7.1.

7.1.1. Reprenez les concepts de d´rivés seconde, troisi`me, . . . , pour les fonctions
e e
e
d’une variable.
7.1.2. D´finissez les d´rivés partielles secondes d’une fonction de Rp dans R.
e
e e

← D´f.
e

7.1.3. Passez en revue les diff´rentes notations pour les d´rivés partielles secondes.
e
e e
Par exemple
∂( ∂f )
∂2f
2
∂x
=
= ∂yx f = fyx = fyx = Dyx f
∂y
∂y∂x
Soyez attentif ` l’ordre des d´rivations indiqu´ par la notation.
a
e
e
7.1.4. Qu’appelle-t-on “d´rivés partielles secondes croisés” d’une fonction de deux
e e
e
variables ? Et pour une fonction de p variables ?

← D´f.
e

26

2008

Analyse

e e
e

e e
e

7.1.5. D´finissez l’expression “f est une fonction de classe C 2 au point a”.
e
Que sont les fonctions de classe C 1 ? Et celles de classe C 0 ?
7.1.6. D´finissez les d´rivés d’ordre sup´rieur (` 2) d’une fonction f de p variables.
e
e e
e
a

← D´f.
e

7.1.7. Passez en revue les diff´rentes notations pour les d´rivés partielles d’ordre
e
e e
3,4, . . . .
7.1.8. D´finissez les fonctions de classe C k .
e

← D´f.
e

Illustrations
7.1.a
2+2 = ?

7.1.b
2+2 = ?

Calculez les fonctions d´rivés successives de ln(x).
e e
Calculez les nombres d´rivés successives de ln(x) en x = 1.
e e
On donne la fonction f (x, y) = x2 y + y 3 + sin(x2 + y).
Calculez les deux fonctions d´rivés partielles ∂f (x, y) et
e e
∂x

∂f
(x, y).
∂y

Il s’agit de nouvelles fonctions des deux variables x et y. Calculez les d´rivés
e e
partielles de ces deux fonctions par rapport ` chacune de leur deux variables.
a
7.1.c
2+2 = ?

7.1.d
2+2 = ?

7.1.e
2+2 = ?

7.1.f
2+2 = ?

Combien de d´rivés partielles secondes a une fonction de p vae e
riables.
Calculez les 9 fonctions d´rivés partielles secondes de la fonction
e e
f (x, y, z) = xy 2 z 3 .
Pour la mˆme fonction f (x, y, z) = xy 2 z 3 que ci-dessus, calculez
e
∂3f
∂3f
(x, y, z) et
(2, 1, −1) .
∂z∂y∂z
∂z∂y∂z
Combien de d´rivés partielles d’ordre 3 a une fonction de p vae e
riables ? Et ` l’ordre 4, 5, . . . n ?
a
Le thór`me de Young
e e

7.2.1. Dans l’exemple trait´ au 7.1.d., les d´rivés secondes croisés sont ´gales.
e
e e
e
e
Expliquez pourquoi en ńon¸ant le thór`me de Young.
e
c
e e

7.2.

← Th.

Expliquez la distinction : elles sont ´gales mais pas identiques.
e
7.2.2. D´finissez la “matrice Hessienne” d’une fonction f de p variables en un point
e
a.
Le thór`me de Young se traduit par une propri´t´ de cette matrice. Laquelle ?
e e
ee

← D´f.
e

27

2008

Analyse

e e
e

e e
e

7.2.3. Gń´ralisez le thór`me de Young pour l’interversion de l’ordre des d´rivations
e e
e e
e
partielles jusqu’` l’ordre 3, 4, . . . .
a

← Th.

Illustrations
7.2.a
2+2 = ?

7.2.b
2+2 = ?

Calculez la matrice Hessienne de la fonction de l’exercice 7.1.d.
f (x, y, z) = xy 2 z 3 .
Donnez H(x,y,z) et H(3,2,1) .
L’exemple suivant montre qu’on ne peut pas se passer des hypoth`ses de continuit´ pour le thór`me de Young.
e
e
e e

(1) On donne la fonction
x3 y
si (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2
f (x, y) =

0
si (x, y) = (0, 0).



(2) V´rifiez par le calcul que
e
 4
2 3
 x + 3x y si (x, y) = (0, 0)
∂f
(x2 + y 2 )2
(x, y) =

∂x
0
si (x, y) = (0, 0)
(3) V´rifiez par le calcul que
e

 5
3 2
 x − x y si (x, y) = (0, 0)
∂f
(x2 + y 2 )2
et
(x, y) =

∂y
0
si (x, y) = (0, 0).

∂2f
(x, y) = 0
∂y∂x

et

∂2f
(x, y) = 1.
∂x∂y

(4) Commentez.

28

2008

Analyse

e e
e

D´finitions
e

e
Nombre d´rivé partielle
e e
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R, et a = (a1 , a2 , . . . , ap ) un
point de dom(f ), alors
le nombre “d´rivé partielle” de f par rapport ` sa premi`re variable en a,
e e
a
e
∂f
not´
e
(a),
∂x1
est, s’il existe, le nombre d´rivé au point a1 de la fonction d’une variable
e e
F (x1 ) = f (x1 , a2 , . . . , ap ).
Autrement dit
∂f (x1 , x2 , . . . , xp )
d f (x1 , a2 , . . . , ap )
(a1 , a2 , . . . , ap ) =
(a1 )
∂x1
d x1
Autrement dit
∂f (x1 , x2 , . . . , xp )
f (a1 + h1 , a2 , . . . , ap ) − f (a1 , a2 , . . . , ap )
(a1 , a2 , . . . , ap ) = lim
h1 →0
∂x1
h1

On d´finirait de mˆme le nombre d´rivé partielle de f (x1 , x2 , . . . , xp ) par
e
e
e e
rapport ` chacune de ses variables.
a
On dit que la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) est d´rivable en un point a si ses p
e
∂f
d´rivés partielles ∂xi existent en ce point.
e e
Vecteur gradient
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R dont les d´rivés partielles
e e
existent toutes au point a = (a1 , a2 , . . . , ap ) de dom(f ), alors
le vecteur gradient de f en a, not´ a f est le vecteur des d´rivés partielles de
e
e e
f en a.
 ∂f
  ∂f 
(a)
∂x1
∂x1
 ∂f
  ∂f 
 ∂x2 (a)   ∂x2 

=

af = 
.
  . 
.
.
.

  . 
∂f
∂f
(a)
∂xp
∂xp
(a)

Le symbole

se prononce nabla.

29

2008

Analyse

e e
e

D´finitions
e

Fonction d´rivé partielle
e e
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R, alors
la fonction “d´rivé partielle” de f par rapport ` sa premi`re variable en a,
e e
a
e
∂f
(x),
noté
e
∂x1
est la fonction qui ` chaque point x de Rp fait correspondre, s’il existe, le
a
nombre d´rivé de f par rapport ` sa premi`re variable en ce point.
e e
a
e
C’est donc aussi une fonction de Rp dans R. Elle n’est d´finie que pour les
e
points de dom(f ) en lesquels le nombre d´rivé partielle est d´fini.
e e
e
Elasticit´ - Elasticit´ partielle
e
e
Si y = f (x) est une fonction de R dans R d´rivable en a, l’´lasticit´ de f par
e
e
e
rapport ` x au point a est le nombre
a
ε(f /x)(a) =

f (a)
·a
f (a)

Si y = f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R d´rivable en a,
e
l’´lasticit´ de f par rapport ` xi au point a est le nombre
e
e
a
∂f
(a)
∂xi

ε(f /xi )(a) =

f (a)

· ai

Matrice Jacobienne
On consid`re une fonction f de Rp dans Rq :
e

f1 (x)
 f2 (x) 
f (x) =  . 
 . 
.


fq (x)
et a un point int´rieur au domaine de f .
e
La matrice Jacobienne, ou plus simplement la Jacobienne, de f au point a est
la matrice q × p des d´rivés partielles des fi au point a.
e e



J(a) = 



∂f1
(a)
∂x1
∂f2
(a)
∂x1

.
.
.
∂fq
(a)
∂x1

∂f1
(a)
∂x2
∂f2
(a)
∂x2

...
...
.
.
.

.
.
.
∂fq
(a) . . .
∂x2

∂f1
(a)
∂xp
∂f2
(a)
∂xp

.
.
.
∂fq
(a)
∂xp




=



∂fi
(a) .
∂xj

30

2008

Analyse

e e
e

On note souvent, plus simplement,
 ∂f ∂f

∂f
1
1
. . . ∂x1
∂x1
∂x2
p
 ∂f2 ∂f2
∂f 
 ∂x1 ∂x2 . . . ∂x2 
p 
J(a) =  .
.
 .
. ... . 
. 
.
.
 .
∂fq
∂x1

∂fq
∂x2

...

∂fq
∂xp

∂1 f1 ∂2 f1
 ∂1 f2 ∂2 f2
ou  .
.
 .
.
.
.
∂1 fq ∂2 fq


D´finitions
e


. . . ∂p f1
. . . ∂p f2 
. 
. 
...
.
. . . ∂p fq

(a)

(a)

• La Jacobienne d’une fonction de Rp dans R est la matrice ligne des d´rivés
e e
partielles de la fonction.
Diff´rentielle des fonctions de Rp dans R
e
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R et a un point int´rieur au
e
domaine de f , alors
la diff´rentielle de f , si elle existe, est une application lináire en les variables
e
e
h1 , h2 , . . . , hp
G(h) = b1 h1 + b2 h2 + . . . + bp hp
qui approche la fonction diff´rence f (a1 +h1 , a2 +h2 , . . . , ap +hp )−f (a1 , a2 , . . . , ap )
e
en ce sens que
f (a + h) − f (a) − G(h)
= 0.
h→0
h
lim

La diff´rentielle de f en a, si elle existe, est noté da f . Dans ce cas, on dit
e
e
aussi que f est diff´rentiable en a.
e
• Si la fonction f est diff´rentiable en a, les coefficients b1 , b2 , . . . , bp de sa diff´rentielle
e
e
sont les d´rivés partielles de f en a. On peut donc dire que, si la diff´rentielle
e e
e
existe, ce ne peut ˆtre que
e
da f (h) =

∂f
∂f
∂f
(a) · h1 +
(a) · h2 + . . . +
(a) · hp
∂x1
∂x2
∂xp

Diff´rentielle des fonctions de Rp dans Rq
e
Si f est une fonction de Rp dans Rq et a un
f , on dit que
l’ application lináire G de Rp dans Rq ,
e

 
G1 (h)
b11 b12 . . .
 G (h)   b21 b22 . . .
 2
 
G(h) = 
= .
.
.
.
. ...
.


.
.
.
bq1 bq2 . . .
Gq (h)

point int´rieur au domaine de
e



b1p
h1
b2p   h2 
.   .  = Bh
.  . 
.
.
bqp
hp

31

2008

Analyse

e e
e

D´finitions
e

est la diff´rentielle de f au point a ssi :
e
||f (a + h) − f (a) − G(h)||
= 0.
h→0
||h||
lim

e
La diff´rentielle de f en a, si elle existe, est noté da f .
e
e
• Si f est diff´rentiable en a, alors B est la matrice Jacobienne de f .
da f (h) = J(a) · h
D´rivés partielles d’ordre sup´rieur
e e
e
Les fonctions d´rivés partielles de la fonction f (x), ´tant ` leur tour des fonce e
e
a
tions de Rp dans R, sont susceptibles d’ˆtre elles-mˆmes d´rivés par rapport
e
e
e e
a
` chacune de leurs variables.
On peut ainsi d´finir le nombre d´rivé partielle seconde, ou d’ordre deux, par
e
e e
rapport ` la variable xj puis xi en un point a
a
∂i2j f (a) = ∂i ∂j f (a) =

∂2f
∂
(a) =
∂xi ∂xj
∂xi

∂f
∂xj

comme la d´rivé partielle par rapport ` xi de la fonction
e e
a
2
∂ f
On a donc
(a) =
∂xi ∂xj
lim

h→0

∂f
(a1 , . . . , ai−1 , ai
∂xj

+ h, ai+1 , . . . , ap ) −

(a)
∂f
.
∂xj

∂f
(a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , ap )
∂xj

h

.

• On peut aussi d´finir des fonctions d´rivés partielles d’ordre deux, qui sont
e
e e
elles-mˆmes des fonctions de Rp dans R.
e
• On peut d´finir des nombres et des fonctions d´rivés partielles d’ordre 3,
e
e e
d’ordre 4, et ainsi de suite. On a par exemple,
∂
∂
∂f
∂3f
3
=
∂213 f =
∂x2 ∂x1 ∂x3
∂x2 ∂x1 ∂x3
obtenu en d´rivant f d’abord par rapport ` x3 , puis par rapport ` x1 et enfin
e
a
a
par rapport ` x2 .
a
• Si une fonction f de Rp dans R est d´rivable jusqu’` l’ordre k, elle admet
e
a
2
p d´rivés partielles premi`res, p d´rivés partielles d’ordre 2, p3 d´rivés
e e
e
e e
e e
partielles d’ordre 3, . . . et pk d´rivés partielles d’ordre k.
e e
• Il faut bien distinguer les d´rivés partielles obtenues en d´rivant par rapport
e e
e
∂2f
aux mˆmes variables mais dans un ordre diff´rent. Ainsi, ∂x2 ∂x3 est obtenu
e
e
par une op´ration diff´rente de celle permettant de calculer
e
e
d´rivés partielles sont donc a priori distinctes.
e e

∂2f
.
∂x3 ∂x2

Ces deux

32

2008

Analyse

e e
e

D´finitions
e

Classes de continuit´ : fonction de classe C k
e
Une fonction f de Rp dans R est dite ˆtre de classe C k en un point a
e
ssi
toutes les fonctions d´rivés partielles de f jusqu’` l’ordre k sont d´finies dans
e e
a
e
un voisinage de a et sont continues en a.
Les fonctions de classe C 0 en a sont les fonctions continues en a.
Une fonction de classe C k est aussi de classe C k−1 , C k−2 , . . . , C 1 et C 0 .

33

2008

Analyse

e e
e

e e

e e

Diff´rentielle et d´rivés partielles : condition nćessaire
e
e e
e
Soit f une fonction de Rp dans R et a un point de dom(f ). Si f est diff´rentiable
e
en a, alors f est d´rivable en a et les coefficients de la diff´rentielle sont les
e
e
d´rivés partielles de f en a
e e
Autrement dit
Si f est diff´rentiable en a, alors
e
∂f
∂f
∂f
da f (h) =
(a) · h1 +
(a) · h2 + . . . +
(a) · hp
∂x1
∂x2
∂xp
Diff´rentielle et continuit´ : condition nćessaire
e
e
e
p
Soit f une fonction de R dans R et a un point de dom(f ).
Si f est diff´rentiable en a, alors f est continue en a .
e
Diff´rentielle et d´rivés partielles : condition suffisante
e
e e
Soit f une fonction de Rp dans R et a un point de dom(f ).
Si

toutes les fonctions d´rivés partielles de f sont d´finies dans un
e e
e
voisinage de a et sont continues en a,

alors

f est diff´rentiable en a.
e

Equation du plan tangent ` la surface z = f (x, y)
a
Soit f (x, y) une fonction de R2 dans R diff´rentiable au point a.
e
Le plan tangent ` la surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) est donn´ par
a
e
l’´quation fonctionnelle
e
∂f
∂f
(a, b) · (x − a) +
(a, b) · (y − b)
z = t(x, y) = f (a, b) +
∂x
∂y
On peut y reconnaˆ l’ćriture
ıtre e
z = t(x, y) = f (a, b) + d(a,b) f (h, k)
o` d(a,b) f (h, k) est la diff´rentielle de f en (a, b) et h et k sont les accroissements
u
e
h = (x − a) et k = (y − b).

34

2008

Analyse

e e
e

e e

Diff´rentielle et approximation lináire
e
e
Le rˆle de la diff´rentielle est de fournir une bonne approximation lináire (et
o
e
e
mˆme la meilleure possible) des valeurs de f pr`s du point a .
e
e
On aura donc que
f (a + h) ≈ f (a) + da f (h)
Ou, plus prćis´ment,
e e
∂f
∂f
f (a1 + h1 , . . . , ap + hp ) ≈ f (a1 , . . . , ap ) +
(a) · h1 + . . . +
(a) · hp
∂x1
∂xp
Cette approximation est ´videmment d’autant meilleure que les hi sont petits.
e
Diff´rentielle d’une composé de fonctions
e
e
p
Soit f une fonction de R dans Rq et g une fonction de Rq dans Rs .
Si

e
f est diff´rentiable en a et g est diff´rentiable en f (a),
e

alors

la diff´rentielle de la composé g◦f en a est la composé des diff´rentielles
e
e
e
e
de g en f (a) et de f en a.
da (g ◦ f ) = (df (a) g) ◦ (da f ) .

c.-`-d.
a

Jacobienne d’une composé de fonctions
e
Le thór`me prć´dent peut ´videmment se traduire en terme de matrices
e e
e e
e
jacobiennes.
Avec les mˆmes hypoth`ses que dans le tór`me prć´dent, on a que
e
e
e e
e e
la matrice Jacobienne de la composé g ◦ f en a est le produit des matrices
e
Jacobiennes de g en f (a) et de f en a.
c.-`-d.
a


∂1 (g1 ◦ f ) ∂2 (g1 ◦ f ) . . . ∂p (g1 ◦ f )
 ∂1 (g2 ◦ f ) ∂2 (g2 ◦ f ) . . . ∂p (g2 ◦ f ) 


.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
∂1 (gs ◦ f ) ∂2 (gs ◦ f ) . . . ∂p (gs ◦ f ) a





∂1 g1 ∂2 g1 . . . ∂q g1
∂1 f1 ∂2 f1 . . . ∂p f1
 ∂1 f2 ∂2 f2 . . . ∂p f2 
 ∂1 g2 ∂2 g2 . . . ∂q g2 
 .
= .
.
.
.
.
.  .
. 
 .
 .
.
.
. 
.
.
. 
.
.
.
.
.
.
.
.
∂1 fq ∂2 fq . . . ∂p fq a
∂1 gs ∂2 gs . . . ∂q gs f (a)


35

2008

Analyse

e e
e

e e

Chain Rule : d´rivés partielles dans les composés de fonctions
e e
e
Les thór`mes prć´dents permettent aussi le calcul des d´rivés partielles des
e e
e e
e e
fonctions composés.
e
Dans la pratique, le cas particulier suivant permet de retrouver les autres.
Soit f une fonction de R dans Rq , et g une fonction de Rq dans R, les deux
fonctions ´tant supposés diff´rentiables aux points consid´r´s.
e
e
e
ee


x1 (t)
 x2 (t) 
e
Si on note g(x1 , x2 , . . . , xq ), et f =  . , on peut ćrire
 . 
.
xq (t)
dg(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t))
=
dt
∂g
dx1 (t)
∂g
dx2 (t)
∂g
dxq (t)
(x(t)) ·
+
(x(t)) ·
+ ... +
(x(t)) ·
∂x1
dt
∂x2
dt
∂xq
dt
Thór`me de Young : interversion de l’ordre de d´rivation
e e
e
Soit f (x, y) une fonction de R2 dans R et a un point de son domaine.
Si
alors

f est de classe C 2 en a,
on peut intervertir l’ordre des d´rivations partielles secondes de f ;
e
∂2f
∂2f
(a) =
(a).
∂y∂x
∂x∂y

c.-`-d.
a

Thór`me de Young : gń´ralisation
e e
e e
On peut facilement gń´raliser le thór`me prć´dent aux cas de fonctions de
e e
e e
e e
plus de deux variables et de d´rivés d’ordre sup´rieur ` 2.
e e
e
a
On aura, par exemple.
Si
alors
c.-`-d.
a
et
etc.. . .

f (x, y, z) est de classe C 3 en a,
on peut intervertir l’ordre des d´rivations partielles troisi`mes de f ;
e
e
∂3f
∂3f
∂3f
(a) =
(a) =
(a) = . . .
∂x∂y∂z
∂x∂z∂y
∂y∂x∂z
∂3f
∂3f
∂3f
(a) =
(a) =
(a)
∂x2 ∂z
∂x∂z∂x
∂z∂x2

36

2008

Analyse

Ch. 3 Fonctions implicites

Chapitre 3

Fonctions implicites

R´f´rences
ee
• Fonctions implicites

S & B : Ch. 22

Le thór`me des fonctions implicites
e e
Vocabulaire

8.
8.1.

8.1.1. V´rifiez que vous comprenez les termes suivants : variables exog`nes, ind´pendantes,
e
e
e
libres ; variables endog`nes, d´pendantes, liés.
e
e
e
Prćisez bien le contexte dans lequel apparaˆ ce vocabulaire.
e
ıt
8.1.2. Utilisez ce vocabulaire dans les situations suivantes :
a.

y = f (x)

b.

z = g(u1 , u2 , u3 )

c.

t1 = t1 (v1 , v2 , v3 )
t2 = t2 (v1 , v2 , v3 )

8.1.3. Que veulent dire les expressions suivantes ?
– y est explicitement fonction de x
– z d´pend fonctionnellement de u1 , u2 , u3 .
e
Donnez des contextes, ou des exemples, o` ces expressions ont un sens.
u
Premier cas : Un lien entre deux variables

8.2.

On consid`re d’abord le cas o` deux variables, x et y par exemple, sont liés
e
u
e
par une ´quation du type G(x, y) = 0.
e
On cherche ` savoir si cette relation ne d´finit pas “implicitement” une fonca
e
tion, en ce sens qu’elle pourrait s’identifier, au moins localement, ` une ćriture
a
e
qui lierait “explicitement” y et x par une fonction, sous la forme y = φ(x) ou
x = ψ(y).

37

2008

Analyse


8.2.1. Reconnaissez que l’ensemble des points (x, y) qui v´rifient la relation
e
G(x, y) = 0 est la courbe de niveau, ` hauteur 0, de la fonction G(x, y). C’est
a
une courbe de l’ensemble des x, y.
8.2.2. D´finissez math´matiquement l’expression
e
e
“L’application y = φ(x) est une explicitation de la relation G(x, y) = 0”.
e
e
“L’application y = φ(x) est une explicitation locale de la relation G(x, y) = 0
pr`s du point (a, b)”.
e

← D´f.
e

8.2.4. Ce sont les explicitations locales qui nous int´resseront.
e
Pourquoi ?
e
8.2.5. Commentez et prćisez la remarque suivante
Pour que la relation G(x, y) = 0 puisse s’expliciter localement sous la forme
y = φ(x) pr`s du point (a, b), il faut et il suffit que le graphe de la relation
e
puisse se confondre, dans un voisinage du point, avec celui d’une application.
8.2.6. Commentez et prćisez la remarque suivante.
e
Pour que la relation G(x, y) = 0 puisse s’expliciter localement sous la forme
y = φ(x) pr`s du point (a, b), il faut et il suffit que
e

← Th.

← Th.

(1) la variable x puisse varier “librement” pr`s de (a, b)
e
(2) la variable y soit lié “fonctionnellement” ` la variable x pr`s de (a, b).
e
a
e
c.-`-d. que pour tout x proche de a, il existe un et un seul y pour lequel
a
G(x, y) = 0.

Illustrations
8.2.a

Ecrivez des ´quations du type
e
3
4xy − sin xy = 7 ou 5xy y − yez =
sous la forme G(x, y, . . .) = 0.
2+2 = ?

3x cos yz
x2 +y 2 +z 2

On consid`re la relation 3x + 7y − 27 = 0.
e
Montrez que, pour cette relation, x peut s’expliciter comme fonction
de y, et y comme fonction de x.
8.2.b

2+2 = ?

8.2.c
2+2 = ?

8.2.d
2+2 = ?

Montrez que, pour la relation x2 + y 2 = 1, on ne peut expliciter ni
y en fonction de x, ni x en fonction de y. Expliquez bien pourquoi.
On consid`re la relation x2 + y 2 = 1.
e
Donnez, si c’est possible, une sous la forme y = φ(x) pr`s des points
e

38

2008

Analyse


suivants :
a.
b.
c.
d.
e.

(0, 1)√
√
( 22 , 22 )
(1, 1)
(0, −1)
(1, 0)

Les r´ponses sont oui - oui - non - oui - non. Si c’est oui, donnez une
e
explicitation ; si c’est non, expliquez pourquoi.
On consid`re la relation x2 + y 2 = 0.
e
Quel est son graphe ?
Cette relation ne peut pas s’expliciter localement pr`s de (0, 0). Pourquoi ?
e
Si vous ne pouvez r´pondre maintenant, passez aux questions suivantes. La
e
mˆme question reviendra plus tard.
e
8.2.e

2+2 = ?

8.2.f

Expliquez pourquoi, quand les variables x et y sont liés par la
e
2
relation x − y = 0 , la variable y ne peut pas varier librement
pr`s de (0, 0).
e
2+2 = ?

8.2.g

Expliquez pourquoi, quand les variables x et y sont liés par la
e
2
2
relation x − y = 0 , la variable y n’est pas lié fonctionnellement
e
a
` x pr`s de (0, 0).
e
2+2 = ?

8.2.h
2+2 = ?

La figure ci-contre repr´sente la
e
courbe d’´quation G(x, y) = 0
e
Pr`s de quels points de la courbe
e
ne peut-on pas expliciter y en
fonction de x ? Et x en fonction
de y ?
Justifiez chaque fois pourquoi il
n’y a pas explicitation.

y

x

Le thór`me des fonctions implicites dans R2
e e
8.3.1. Enoncez tr`s prćis´ment le thór`me des fonctions implicites dans le cas d’un
e
e e
e e
lien entre deux variables.
Ecrivez le thór`me pour le cas de l’explicitation de y en fonction de x et pour
e e
le cas de l’explicitation de x en fonction de y.

8.3.
← Th.

8.3.2. Constatez que le thór`me des fonctions implicites n’est pas un thór`me
e e
e e
constructif. Il prouve l’existence d’une explicitation, sans la donner concr`tement.
e
Par contre, le thór`me donne une information prćise sur la d´rivé de l’exe e
e
e e
plicitation.

39

2008

Analyse


8.3.3. Constatez que le thór`me des fonctions implicites donne seulement une condie e
tion suffisante pour l’existence d’une explicitation.
Il peut y avoir des cas o` le thór`me n’est pas applicable, mais o` il y a quand
u
e e
u
mˆme explicitation. Donnez-en l’un ou l’autre exemple simple.
e
e
8.3.4. Soyez toujours attentif au fait que le probl`me des fonctions implicites et sa
solution n’ont de sens que pr`s d’un point (a, b) qui satisfait la relation ´tudié
e
e
e
(c.-`-d. tel que G(a, b) = 0).
a
8.3.5. D´finissez
e
– point singulier
– point r´gulier
e
– courbe r´guli`re.
e
e

← D´f.
e
← D´f.
e
← D´f.
e

8.3.6. Voyez qu’un point r´gulier est un point o` une au moins des explicitations est
e
u
garantie par le thór`me des fonctions implicites ; et qu’un point singulier est un
e e
point o` le thór`me des fonctions implicites ne garantit aucune explicitation
u
e e
(mais ne les interdit pas non plus).

← Th.

Illustrations
Examinez les relations y − x2 = 0 et y − x3 = 0 pr`s de (0, 0).
e
Y a-t-il explicitation de y en fonction de x ? de x en fonction de y ?
Que raconte le thór`me des fonctions implicites ?
e e
8.3.a

2+2 = ?

8.3.b

On donne la relation

G(x, y) = 3xy + 2y − x2 − 5 = 0.

2+2 = ?

(1) V´rifiez que cette relation est satisfaite au point (−1, −6).
e
(2) Dans ce cas particulier, on peut donner de mani`re effective une exe
plicitation y = Y (x) de cette relation. Calculez cette explicitation, sa
fonction d´rivé Y (x) et la valeur de cette d´rivé en x = −1.
e e
e e
∂G
∂G
(3) D’autre part, calculez
(x, y) et
(x, y) et leurs valeurs en (−1, −6).
∂x
∂y
(4) Le thór`me des fonctions implicites garantit-il que la relation G(x, y) =
e e
0 est explicitable sous la forme y = ψ(x) pr`s de (−1, −6) ?
e
dψ
(5) Utilisez le thór`me des fonctions implicites pour calculer
e e
(−1).
dx
(6) Comparez avec Y (−1).
On consid`re la relation G(x, y) = x2 y 3 − 2x3 y + exy−1 = 0. On
e
ne peut pas dire grand chose, ` premi`re vue, du graphe de cette
a
e
relation qui passe au moins par le point (1, 1).
8.3.c

2+2 = ?

(1) Peut-on expliciter y = φ(x) pr`s de ce point ?
e
(2) Si oui, quelle est la d´rivé de φ au point ad´quat ?
e e
e
(3) Peut-on expliciter x = ψ(y) pr`s de ce point ?
e

40

2008

Analyse


(4) Si oui, quelle est la d´rivé de ψ au point ad´quat ?
e e
e
(5) Quelle est la tangente au graphe de la relation au point (1, 1) ?
(6) Comparez avec ce que le gradient pouvait vous apprendre sur cette
tangente.
(7) Donnez une valeur approché d’un y qui v´rifie la relation G(1.02, y) =
e
e
0.
Deuxi`me cas : Un lien entre plusieurs variables
e

8.4.

Ce cas, o` l’on a une relation du type G(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0, n’est pas fondau
mentalement diff´rent du premier cas. Il faudra ici faire le (bon) choix d’une
e
variable d´pendante (ou endog`ne), et la lier aux p − 1 autres variables supe
e
posés donc ind´pendantes ou exog`nes.
e
e
e
Le recours ` l’intuition góm´trique devient ´videmment moins accessible quand
a
e e
e
il y a plus de deux variables en cause.
8.4.1. Enoncez tr`s prćis´ment le thór`me des fonctions implicites dans le cas d’un
e
e e
e e
lien entre p variables.

← Th.

8.4.2. Reprenez le thór`me pour le cas d’un lien entre 3 variables x, y et z.
e e
Ecrivez le thór`me pour l’explicitation de x en fonction de y et z, pour l’exe e
plicitation de y en fonction de x et z et pour l’explicitation de z en fonction
de x et y.
Illustrations
On consid`re la relation x3 − x + 2x2 y − 3xyz + 3z = −1 qui est
e
satisfaite au point (1, 1, 2) .
Quelle(s) variable(s) peut-on expliciter en fonction des autres pr`s de ce point ?
e
Sous quelle forme ?
Donnez les d´rivés (partielles ?) de chacune des explicitations possibles pr`s
e e
e
de ce point.
8.4.a

2+2 = ?

Plusieurs liens entre plusieurs variables

8.5.

C’est ce que S & B appellent syst`me de fonctions implicites.
e
Le premier probl`me consiste ` savoir, dans ce cas, combien de variables poure
a
raient devenir ind´pendantes ou exog`nes et combien de variables d´pendantes
e
e
e
ou endog`nes.
e
Ensuite, il faudra gń´raliser le thór`me des fonctions implicites (pour choie e
e e
sir les variables endog`nes) et les formules de d´rivation (liant la variation des
e
e
variables endog`nes ` celle des variables exog`nes.)
e
a
e

41

2008

Analyse


8.5.1. Un syst`me
e

 G1 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0

 G2 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
.
 .
 .

Gq (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
de q liens entre k variables comprend q ´quations.
e
Pour exprimer la d´pendance de p variables endog`nes par rapport aux k − p
e
e
autres variables, par exemple

 x1 = φ1 (xp+1 , xp+2 , . . . , xk )

 x2 = φ2 (xp+1 , xp+2 , . . . , xk )
.
 .
 .

xp = φp (xp+1 , xp+2 , . . . , xk )
il faut p ´quations.
e
S’il n’y a pas plus d’informations sur les k variables dans une ćriture que dans
e
l’autre, que peut-on en d´duire ` propos de q et p ?
e
a
8.5.2. Interpr´tez la fable suivante.
e
Au d´but du probl`me, il y avait k variables. Elles furent cr´és libres et
e
e
ee
ind´pendantes, chacune pouvant varier ` son gr´ sans tenir compte des autres.
e
a
e
On disait que ce monde avait k degr´s de libert´.
e
e
Puis vinrent les lois, au nombre de q. Chacune liait les variables entre elles
par une ´quation de la forme Gi (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0. Chacune de ces lois supe
primait un degr´ de libert´.
e
e
Combien de degr´s de libert´ sont-ils rest´s apr`s la r´v´lation des lois ?
e
e
e
e
e e
Ensuite, le maˆtre du probl`me souhaita s´parer les variables en variables
ı
e
e
exog`nes et en variables endog`nes. Les variables exog`nes seraient enti`rement
e
e
e
e
libres de varier ` leur gr´ (au moins localement) sans tenir compte les unes des
a
e
autres. Elles disposeraient donc, chacune, d’un degr´ complet de libert´. Mais
e
e
les variables endog`nes n’auraient aucune libert´, ´tant soumises aux variables
e
e e
exog`nes auxquelles elles seraient liés par des liens fonctionnels.
e
e
Quel est le nombre des variables exog`nes ? Quel est le nombre des variables
e
endog`nes ?
e
8.5.3. Retrouvez les notions de degr´ de libert´, de variables exog`nes et endog`nes,
e
e
e
e
dans le cas d’un syst`me lináire homog`ne de k ´quations ind´pendantes ` n
e
e
e
e
e
a
inconnues.
8.5.4. Enoncez tr`s prćis´ment le thór`me des fonctions implicites dans le cas
e
e e
e e
gń´ral de q liens entre k variables.
e e
Suggestion : pour exprimer plus facilement le thór`me et faire apparaˆ les
e e
ıtre
variables exog`nes et endog`nes, on pose k = p + q et on appelle x1 , x2 , . . . , xp
e
e
les variables qui deviendront exog`nes et y1 , y2 , . . . , yq les variables qui deviene
dront endog`nes.
e

← Th.

42

2008

Analyse


8.5.5. Quand on parle d’un syst`me de q fonctions implicites ` k variables, on suppose
e
a
implicitement que p < k. Pourquoi ?
8.5.6. Qu’appelle-t-on point r´gulier d’un syst`me de q ´quations implicites ?
e
e
e
R´f´rez-vous ` l’existence, ou non, d’explicitation garantie par le thór`me des
ee
a
e e
fonctions implicites.
Illustrations
8.5.a
2+2 = ?

On donne les relations
xz 3 + y 2 v 4 = 2
xz + yvz 2 = 2

entre les variables (x, y, z, v).
Calculez la matrice des d´rivés partielles au point (1, 1, 1, 1). Pouvez-vous en
e e
extraire une sous matrice 2 × 2 inversible ?
Le thór`me des fonctions implicites permet-il d’en d´duire l’existence d’exe e
e
plicitation de certaines variables en fonction des autres au voisinage du point
(1, 1, 1, 1) ? Lesquelles ?
Pour une des explicitations possibles, calculez les d´rivés partielles au point
e e
ad´quat (` prćiser).
e
a e

43

2008

Analyse


D´ﬁnitions
e

e
Explicitation locale : une relation ` deux variables
a
Soient g une fonction de R2 dans R et a un point de R2 .
L’application y = φ(x) est une explicitation locale de la relation g(x, y) = 0 au
voisinage de a
ssi
g(a) = 0
et il existe un voisinage V de a tel que ∀(x, y) ∈ V

g(x, y) = 0 ssi y = φ(x) .

Explicitation locale : une relation ` p variables
a
Soient g une fonction de Rp dans R et a un point de Rp .
L’application xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) est une explicitation locale de la relation
g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 au voisinage de a
ssi
g(a) = 0
et il existe un voisinage V de a tel que
∀(x1 , x2 , . . . , xp ) ∈ V g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 ssi xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) .
Explicitation locale : q relations ` p + q variables
a
Soient g1 , g2 , . . . , gq




Les applications




des fonctions de Rp+q dans R et a un point de Rp+q .
y1 = φ1 (x1 , x2 , . . . , xp )
y2 = φ2 (x1 , x2 , . . . , xp )
.
.
.

yq = φq (x1 , x2 , . . . , xp )
sont une explicitation locale au voisinage de a de la relation

 g1 (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0

 g2 (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0
.
 .
 .

gq (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0
ssi
g1 (a) = g2 (a) = . . . = gq (a) = 0
et il existe un voisinage V de a tel que ∀(x, y) ∈ V

g1 (x, y) = g2 (x, y) = . . . = gq (x, y) = 0 ssi y1 = φ1 (x) et y2 = φ2 (x) . . . et yq = φq (x) .

44

2008

Analyse


D´finitions
e

Point r´gulier d’une relation f (x, y) = 0
e
Un point (a, b) est un point r´gulier de la relation f (x, y) = 0 si c’est un point
e
de la relation en lequel les d´rivés partielles de f existent et ne sont pas toutes
e e
les deux nulles.
Autrement dit

 f (a, b) = 0
est d´fini
e
(a, b) est un point r´gulier de f (x, y) = 0 ssi
e
(a,b) f

(a,b) f = 0
Point r´gulier d’une relation f (x1 , x2 . . . , xp ) = 0
e
Un point a = (a1 , a2 , . . . , ap ) est un point r´gulier de la relation f (x) = 0 si
e
c’est un point de la relation en lequel f les d´rivés partielles de f existent et
e e
ne sont pas toutes nulles.
Autrement dit

 f (a) = 0
est d´fini
e
a est un point r´gulier de f (x) = 0 ssi
e
af

af = 0
Point r´gulier : q relations ` k variables
e
a
Soit g une fonction de Rk dans Rq et la relation g(x) = 0 qui peut aussi s’ćrire
e

g1 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0


 g2 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
.
 .
 .

gq (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
Le point a est un point r´gulier de g(x) = 0 si c’est un point de la relation
e
en lequel la Jacobienne est d´finie et est de rang complet (= q) .
e
Autrement dit

 g(a) = 0
Ja g est d´finie .
e
a est un point r´gulier de g(x) = 0 ssi
e

r(Ja g) = q

45

2008

Analyse


e e

e e

Thór`me des fonctions implicite : une relation ` deux variables
e e
a
Soit g(x, y) une fonction de R2 dans R de classe C 1 au voisinage de a = (a, b),
et telle que g(a) = 0.
Si

∂g
(a)
∂y

alors

il existe une explicitation locale y = φ(x) de la relation g(x, y) = 0

= 0,

au voisinage de a.
et de plus,

φ est d´rivable pr`s de a et
e
e
dφ
(x) = −
dx

∂g
(x, φ(x))
∂x
.
∂g
(x, φ(x))
∂y

Thór`me des fonctions implicites : une relation ` p variables
e e
a
Soient g une fonction de Rp dans R de classe C 1 au voisinage de a, et telle que
g(a) = 0.
Si

∂g
(a)
∂xp

alors

il existe une explicitation locale xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) de la
relation g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 au voisinage de a.

et de plus,

les d´rivés partielles de φ existent pr`s de a et
e e
e

∂φ
= −
∂x1

∂g
∂x1
∂g
∂xp

= 0,

∂φ
= −
∂x2

∂g
∂x2
∂g
∂xp

...

∂φ
= −
∂xp−1

∂g
∂xp−1
∂g
∂xp

.

On devrait ćrire plus compl`tement
e
e
∂φ
(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) = −
∂x1

∂g
(x1 , x2 , . . . , xp )
∂x1
∂g
(x1 , x2 , . . . , xp )
∂xp

46

2008

Analyse


e e

Thór`me des fonctions implicites : q relations ` p + q variables
e e
a
Soient g1 , g2 , . . . , gq des fonctions rélles des p + q variables x1 , x2 , . . . , xp ,
e
y 1 , y2 , . . . , y q .
On suppose que ces fonctions sont de classe C 1 au voisinage de a et telles que
g1 (a) = 0, g2 (a) = 0, . . . , gq (a) = 0.
 ∂g1

∂g
(a) . . . ∂y1 (a)
∂y1
q


.
.
.
∂g
.
.
.
Si
la matrice ( ∂y )(a) = 
 est inversible,
.
.
.
∂gq
(a)
∂y1

...

∂gq
(a)
∂yq

alors

il existe une explicitation locale y1 = φ1 (x) , y2 = φ2 (x) , . . . ,
yq = φq (x) de la relation g1 (x, y) = 0, . . . , gq (x, y) = 0 au
voisinage de a

et de plus,

les d´rivés partielles des φi existent au voisinage de a et
e e



∂φ1
∂x1

 .
 .
.

∂φq
∂x1

...
.
.
.
...

∂φ1
∂xp





∂g1
∂y1

.  = −  .
. 
 .
.
.

∂φq
∂xp

x

∂gq
∂y1

...
.
.
.
...

∂g1
∂yq

−1 

. 
. 
.

∂gq
∂yq

∂g1
∂x1

 .
 .
.
(x,y)

∂gq
∂x1

...
.
.
.
...

∂g1
∂xp



. 
. 
.

∂gq
∂xp

.
(x,y)

47

2008

Analyse

Ch. 4 Optimisation libre

Chapitre 4

Polynˆmes de Taylor
o

Optimisation libre

o
Optimisation libre

9.
10.

R´f´rences
ee
• Polynˆmes de Taylor
o

S & B : pp.856-861
Syllabus de Math´matique et Analyse, pp. 8-15
e


S & B : pp.861-865

• Optimisation libre

S & B : pp.53-61
S & B : Ch. 23-pp.639-648

o
Rappels pour les fonctions d’une variable

9.
9.1.

9.1.1. Revoyez la th´orie et la pratique des polynˆmes de Taylor pour les fonctions
e
o
d’une variable.
9.1.2. Qu’appelle-t-on le “reste ” d’un polynˆme de Taylor ?
o
Donnez-en une expression.
Voyez que dans certains cas on peut d´terminer le signe de ce reste pour de
e
petites valeurs de l’accroisement h.
9.1.a
2+2 = ?

Calculez le polynˆme de Taylor d’ordre 3, 4, 5 et 6 de f (x) = cos(x)
o
pr`s de 0.
e

48

2008

Analyse


Optimisation libre

Donnez chaque fois l’expression du reste correspondant.
Peut-on d´terminer le signe de ces restes ?
e
Qu’est-ce que cela signifie ?
e
o
e
9.1.3. Quelle est l’utilit´ des polynˆmes de Taylor ? Dans les applications concr`tes ?
Comme outil thórique ?
e
Retrouvez leur utilisation dans la thórie des extr´mums de fonctions d’une
e
e
variable.
Illustrations
9.1.b

V´rifiez sur quelques exemples que vous pouvez encore manipuler
e
les polynˆmes de Taylor des fonctions d’une variable.
o
Donnez par exemple les polynˆmes de Taylor d’ordre 5 pr`s de 0 de ex , cos x
o
e
√
et 1 + x.
√
Utilsez-les pour calculer une valeur approché de e0.1 et de 1, 21.
e
2+2 = ?

9.2.1. Ecrivez l’approximation de Taylor d’ordre 1 pour une fonction de trois variables
f (x1 , x2 , x3 ) pr`s d’un point a = (a1 , a2 , a3 ).
e
- explicitement ;
- en utilisant la diff´rentielle.
e

9.2.

← D´f.
e

Appliquez la formule ci-dessus pour calculer le polynˆme d’ordre 1 pr`s de
o
e
2 2y+z−1
(−1, 0, 1) de la fonction f (x, y, z) = x e
9.2.2. Donnez une expression du reste (d’ordre 2) de ce polynˆme d’ordre 1. Exprimezo
le comme une forme quadratique en utilisant la Hessienne.

← D´f.
e

Donnez concr`tement ce reste pour l’exemple prć´dent.
e
e e
9.2.3. Ecrivez l’approximation de Taylor d’ordre 2 pour une fonction de trois variables f (x1 , x2 , x3 ) pr`s d’un point a = (a1 , a2 , a3 ).
e
- explicitement ;
- en utilisant la diff´rentielle et la Hessienne.
e
Appliquez la formule ci-dessus pour calculer le polynˆme d’ordre 2 pour l’exemple
o
d´j` trait´ plus haut.
ea
e
Illustrations
9.2.a

Calculez le polynˆme d’ordre 2 pr`s de (1, 0) de la fonction xex−y−1 .
o
e

2+2 = ?

49

2008

Analyse


Optimisation libre

Optimisation libre

10.

Le mot optimisation
est utilis´ par les ćonomistes pour parler de la
e
e
recherche d’extr´mums, maximums ou minimums, de fonctions. Pourquoi ?
e
Avez-vous un commentaire ?
Fonctions d’une variable

10.1.

10.1.1. Revoyez la thórie des extr´mums des fonctions d’une variable.
e
e
e
e
• Donnez des d´finitions prćises des notions de minimum, maximum, global ou
local, strict ou non, pour les fonctions d’une variable.
N’oubliez pas de parler du domaine de la fonction, des voisinages du point . . .
• Retrouvez les thór`mes principaux qui concernent ces notions.
e e
Distinguez bien
• les conditions nćessaires et les conditions suffisantes ;
e
• les conditions de premier ordre et les conditions de second ordre (ou mˆme
e
sup´rieur) ;
e
• l’int´rieur et les bords du domaine ;
e
• les points o` la d´rivé existe et les autres ;
u
e e
• les extr´mums locaux et les extr´mums globaux.
e
e
Fonctions de plusieurs variables - Conditions nćessaires
e

10.2.

e
e
a d´termine un maximum global de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xn ).
e

← D´f.
e

10.2.2. Faites de mˆme pour maximum local, minimum global et minimum local.
e
Distinguez aussi le cas d’un extremum strict.

← D´f.
e

10.2.3. Pourquoi ne fait-on pas de thórie des extr´mants pour des fonctions de Rp
e
e
dans Rq ?
10.2.4. Montrez que si a = (a1 , a2 , . . . , an ) d´termine un maximum local de la fonction
e
q.e.d.
f (x1 , x2 , . . . , xn ), alors a1 d´termine un maximum local de la fonction d’une
e
variable g1 (x) = f (x, a2 , . . . , an ).

← Th.

10.2.5. Voyez que l’on peut d´duire de la remarque prć´dente le thór`me suivant.
e
e e
e e
q.e.d.

Si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´rivés partielles
e
e e
existent,
et si a d´termine un maximum local de la fonction f ,
e
alors

g1 (a1 ) =

∂f
(a)
∂x1

= 0.

50

2008

Analyse


Optimisation libre

10.2.6. Voyez que le mˆme raisonnement peut s’appliquer aux autres variables pour
e
arriver au thór`me suivant.
e e
e
e e
Si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´rivés partielles
existent,
et si a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f ,
e
 ∂f
 ∂x1 (a) = 0


 ∂f

(a) = 0
∂x2
alors
.

.


 ∂f .

(a) = 0
∂xn

← Th.

10.2.7. Remarquez que le thór`me prć´dent fournit des “conditions nćessaires d’exise e
e e
e
tence d’extr´mums”, et qu’il s’agit de “conditions du premier ordre ”.
e
Qu’est-ce que cela veut dire ?
10.2.8. D´finissez les points stationnaires de la fonction f .
e

← D´f.
e

10.2.9. Le thór`me ci-dessus donne-t-il des informations (lesquelles ?) sur l’existence
e e
d’extr´mums locaux de la fonction f pour les cat´gories de points suivantes ?
e
e
• les points stationnaires
• les points o` les d´rivés partielles de f ne sont pas toutes d´finies
u
e e
e
• les points du bord du domaine de f
Peut-on trouver des extr´mums en d’autres points que ceux cit´s ci-dessus ?
e
e
10.2.10. Reprenez les informations ci-avant sous la forme d’un thór`me qui commene e
cerait par
Les extr´mums de f , s’il y en a, doivent ˆtre recherch´s parmi
e
e
e
les points suivants . . .

← Th.

Illustrations
10.2.a
2+2 = ?

Quels sont les points du domaine de la fonction
z = 2x3 − 6xy + 3y 2

qui sont susceptibles de correspondre ` un extr´mants de la fonction ?
a
e
10.2.b

Quels sont les points du domaine de la fonction

2+2 = ?

z = 1−

x2 + y 2

qui sont susceptibles de correspondre ` un extr´mant de la fonction ?
a
e
Faites d’abord un croquis du graphe de la fonction. Pour cela, commencez par
faire un croquis du graphe de la fonction d’une variable
√
z = 1 − x2 = | 1 − | x | |

51

2008

Analyse


Optimisation libre

A quoi correspondent les points qui sont des extr´mants manifestes de cette
e
fonction ?
Variations pour les rus´s - Paragraphe optionnel
e

10.3.

10.3.1. La fonction z = f (x, x2 , . . . , xp ) peut aussi se voir comme ´tablissant une relae
tion G(z, x1 , x2 , . . . , xp ) = f (x1 , x2 , . . . , xp ) − z = 0 entre les variables
z, x1 , x2 ,. . . , xp .
Il est ´vident que cette relation permet d’expliciter z en fonction des autres
e
variables. Comment ?
Cela est confirm´ par le thór`me des fonctions implicites. Comment ?
e
e e
Peut-on aussi expliciter les (ou une des) variables xi en fonction de z et des
autres xj ? Qu’en dit le thór`me des fonctions implicites ?
e e
Si le point (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine un maximum c = f (a1 , a2 , . . . , ap ), alors
e
la variable z ne peut pas varier librement pr`s de c, puisqu’elle ne peut pas
e
prendre de valeur sup´rieure au maximum c. Pr`s de ce point, z ne peut donc
e
e
pas ˆtre consid´r´ comme une variable ind´pendante. Il faut en conclure que,
e
ee
e
pr`s de ce point, on ne peut expliciter aucune des variables xi en fonction de
e
z et des autres xj .
Comment cela se traduit-il ` travers le thór`me des fonctions implicites ?
a
e e
Comparez avec les conditions nćessaires pour que (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine
e
e
un maximum de f .
Adaptez le raisonnement pour un minimum
Fonctions de plusieurs variables - Conditions suffisantes

10.4.

Dans ce qui va suivre, on utilisera la matrice Hessienne d’une fonction en la
traitant comme une forme quadratique, et donc comme une matrice sym´trique.
e
On supposera donc que les d´rivés partielles secondes existent et qu’elles sont
e e
continues de mani`re ` pouvoir utiliser le thór`me de Young.
e a
e e
N’oubliez donc pas, dans tous les thór`mes que vous ńoncerez ci-dessous, de
e e
e
rajouter l’hypoth`se
e
f est une fonction de classe C2 dans un voisinage du point a consid´r´.
ee
10.4.1. Ecrivez la forme gń´rale du polynˆme de Taylor d’ordre 1 d’une fonction
e e
o
q.e.d.
f (x, y, z) pr`s d’un point (a, b, c), avec le reste d’ordre 2 exprim´ comme une
e
e
forme quadratique au moyen de la matrice Hessienne.
Simplifiez cette ćriture en ajoutant l’hypoth`se que (a, b, c) est un point stae
e
tionnaire de f .
Exprimez f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) ` partir de cette ćriture.
a
e

52

2008

Analyse


Optimisation libre

10.4.2. Quelles conditions faut-il sur f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) pour que (a, b, c)
d´termine un maximum global de f ? Et un minimum global ?
e
Quelles conditions faut-il sur f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) pour que (a, b, c)
d´termine un maximum local de f ? Et un minimum local ?
e
Que faut-il changer dans le cas d’un extremum strict ?
10.4.3. L’existence d’un extr´mum en (a, b, c) est donc lié (comment ?), au genre de
e
e
la Hessienne de f en un point proche de (a, b, c).
Et le genre de la Hessienne de f en un point proche de (a, b, c) est li´, par
e
continuit´, au genre de la Hessienne au point (a, b, c).
e
10.4.4. Prćisez le lien cit´ ci-dessus entre le genre de la Hessienne de f en a et le
e
e
genre de f en des points a + h assez proches de a ?
Si Ha est DP alors Ha+h est aussi DP pour des a + h assez proches.
Pourquoi ?
10.4.5. On a un thór`me analogue pour des Ha de genre DN ou des Ha de genre
e e
IND.
Enoncez le.
´
10.4.6. Enoncez compl`tement le thór`me donnant des conditions suffisantes de pree
e e
mier et de second ordre pour qu’un point stationnaire d’une fonction f de p
variables d´termine un maximum local strict de f .
e
´
Enoncez le thór`me analogue pour le minimum.
e e
Et si la Hessienne est ind´finie ?
e

← Th.

← Th.
← Th.

10.4.7. D´finissez les “points de selle ” ou “points de col ”.
e
Quelle est l’origine de ces expressions ?

← D´f.
e

Illustrations
10.4.a
2+2 = ?

Reprenez la fonction z = 2x3 − 6xy + 3y 2 dont on a d´termin´ plus
e
e
haut les points stationnaires (2.2.a).

D´terminez maintenant si ces points donnent lieu ` un maximum, un minimum
e
a
ou un point de selle de la fonction.
Le cas ind´termin´
e
e

10.5.

10.5.1. Par contre, on ne peut rien d´duire ` propos du genre de Ha+h dans le cas o`
e
a
u
Ha est de genre SDP ou SDN.
Pourquoi ?
Comparez avec ce que l’on avait dans le cas des fonctions d’une variable.
On parle alors d’ind´termination ? Pourquoi ?
e

53

2008

Analyse


Optimisation libre

On entend par l` que le thór`me ne permet pas de d´terminer la nature du
a
e e
e
point en question, et pas que sa nature est intrins`quement ind´terminé.
e
e
e
10.5.2. On a dit ci-dessus que l’on ne pouvait rien d´duire sur le genre de Ha+h dans
e
le cas o` Ha est SDP (ou SDN). Ce n’est pas tout ` fait vrai. On a en effet
u
a
Si Ha est SDP, alors Ha+h ne peut ˆtre que IND, SDP ou DP.
e
´
Enoncez le thór`me analogue pour le cas SDN.
e e
10.5.3. Enoncez compl`tement le thór`me donnant des conditions nćessaires (de
e
e e
e
premier et) de second ordre pour qu’un point d’une fonction f de p variables
d´termine un maximum local de f .
e
Et un minimum.

← Th.

10.5.4. On suppose que a est un point stationnaire d’une fonction f de classe C2 `
a
l’int´rieur de son domaine.
e
Reprenez sous forme de tableau ce que l’on peut d´duire, ` propos de la pose
a
sibilit´ d’avoir un extremum en a, ` partir du genre de la matrice sym´trique
e
a
e
Ha .
Illustrations
10.5.a
2+2 = ?

Recherchez les minima, maxima et points de selle de la fonction
x4 + x2 − 6xy + 3y 2

54

2008

Analyse


D´finitions
e

e
Matrice Hessienne
Soit f une fonction de Rp dans R d´rivable jusqu’` l’ordre 2 au point a.
e
a
La matrice Hessienne de f en a est la matrice de toutes les d´rivés partielles
e e
secondes de f en a (dans l’ ordre convenable).
Autrement dit
La matrice Hessienne de f (x) en a est la matrice
 ∂2f
∂2f
(a) . . .
(a)
∂x1 ∂x2
∂x2
1

 ∂2f
∂2f
(a) . . .
 ∂x2 ∂x1 (a)
∂x2
2
Ha f = 
.
.
.

.
.
.

.
.
.

2f
2f
∂
∂
(a) ∂xp ∂x2 (a) . . .
∂xp ∂x1

∂2f
(a)
∂x1 ∂xp



∂2f
(a)
∂x2 ∂xp









.
.
.

∂2f
(a)
∂x2
p

C’est une matrice sym´trique (voir thór`me de Young).
e
e e
Polynˆmes de Taylor : rappel ` une variable, ordre k
o
a
Pour une fonction f de R dans R de classe C (k+1) dans un voisinage du point
a,
le polynˆme de Taylor d’ordre k pr`s de a est le polynˆme en la variable
o
e
o
d’accroissement h
f (a) 2 f (a) 3
f (k) (a) k
Tk (h) = f (a) + f (a) h +
h +
h + ... +
h
2
3!
k!
Le reste ( d’ordre (k+1) ) de ce polynˆme en ce point est l’expression
o
Rk+1 (h) =

hk+1 (k+1)
f
(a + θh)
(k + 1)!

Polynˆmes de Taylor : plusieurs variables et ordre 1
o
Pour une fonction f de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a,
le polynˆme de Taylor d’ordre 1 pr`s de a est le polynˆme en la variable
o
e
o
d’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp )
∂f
∂f
∂f
(a) h1 +
(a) h2 + . . .
(a) hp
T1 (h) = f (a) + da f (h) = f (a) +
∂x1
∂x2
∂xp
Le reste (d’ordre 2) de ce polynˆme en ce point est l’expression
o
1 t
R2 (h) =
h H(a+θh) f h
2
C’est une forme quadratique.

55

2008

Analyse


D´finitions
e

Polynˆmes de Taylor : plusieurs variables et ordre 2
o
Pour une fonction f de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a,
le polynˆme de Taylor d’ordre 2 pr`s de a est le polynˆme en la variable
o
e
o
d’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp )
T2 (h) = f (a) + da f (h) +

1 t
h H(a)f h
2

Maximum global d’une fonction de Rp dans R
Si f est une fonction de Rp dans R et a un point de dom f , on dit que a
d´termine un maximum (global) de f ssi la valeur de f en a est sup´rieure
e
e
(ou ´gale) ` la valeur de f en n’importe quel autre point du domaine.
e
a
Autrement dit
a d´termine un maximum (global) de f
e
ssi
∀x ∈ dom f f (x) ≤ f (a)
On d´finira de mˆme la notion de minimum global .
e
e
Minimum local d’une fonction de Rp dans R
Si f est une fonction de Rp dans R et a un point de dom f , on dit que a
d´termine un minimum local de f ssi il existe un voisinage de a tel que
e
la valeur de f en a est inf´rieure (ou ´gale) ` la valeur de f en n’importe quel
e
e
a
autre point du voisinage.
Autrement dit
a d´termine un maximum local de f
e
ssi
∃ V voisinage de a t.q. ∀x ∈ (V ∩ dom f ) f (x) ≥ f (a)
On d´finira de mˆme la notion de maximum local .
e
e
Point stationnaire d’une fonction de Rp dans R
Si f est une fonction de Rp dans R d´rivable au point a de dom f , on dit que
e
a est un point stationnaire de f ssi toutes les d´rivés partielles de f en a
e e
sont nulles.
Autrement dit

a est un point stationnaire de f
ssi
toutes les d´rivés partielles de f en a existent et sont nulles
e e
ssi
f (a) = 0

56

2008

Analyse


D´ﬁnitions
e

Point de selle
Un point de selle d’une fonction de Rp dans R est un point stationnaire de f
qui ne d´termine pas un extr´mum de f .
e
e

57

2008

Analyse


e e

e e

Thór`me de Taylor : une variable, ordre k
e e
Si f est une fonction de R dans R de classe C (k+1) dans un voisinage de a,
alors, quelque soit l’accroissement h, (tel que a + h reste dans le voisinage
consid´r´), il existe un nombre θ, 0 < θ < 1, pour lequel
ee
f (a + h) = Tk (h) + Rk+1 (h)
= f (a) + f (a) h + f

(a)
2

h2 + f

(a)
3!

h3 + . . . + f

(k) (a)

k!

hk +

hk+1 (k+1)
f
(a + θh)
(k+1)!

Si h est petit, et k grand, et si on peut fixer des bornes ` f (k+1) (a + θh),
a
on pourra assurer que le reste (ou l’erreur) est petit et que le polynˆme de
o
Taylor fournit une bonne approximation de f (a + h).
Thór`me de Taylor : p variables, ordre 1
e e
Si f est une fonction de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a,
alors, quelque soit le vecteur d’accroissement h (tel que a + h reste dans le
voisinage consid´r´), il existe un nombre θ, 0 < θ < 1, pour lequel
ee
t

f (a + h) = T1 (h) + R2 (h) = f (a) + da f (h) + h H(a+θh) f h

Extr´mum et extr´mum sur les sections
e
e
Soit f une fonction de Rp et R.
a = (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine un maximum (ou un minimum) local
e
Si
de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ),
alors a1 d´termine un maximum (ou un minimum) local de la fonction d’une
e
variable g1 (x) = f (x, a2 , . . . , ap ).
Extr´mum et d´rivés partielles
e
e e
Du thór`me prć´dent et avec les mˆmes notations, on peut d´duire que
e e
e e
e
e
Si
et si

a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´rivés partielles
e
e e
existent,
a d´termine un extr´mum local de la fonction f ,
e
e

∂f
alors
g1 (a1 ) = ∂x1 (a) = 0.
Le mˆme raisonnement peut ´videmment s’appliquer aux autres variables.
e
e
Ce qui permet d’arriver au thór`me suivant.
e e

58

2008

Analyse


e e

Extr´mum libre : Conditions nćessaires de premier ordre
e
e
Si
e
e e
existent,
et si
a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f ,
e
 ∂f
 ∂x1 (a) = 0


 ∂f

(a) = 0
∂x2
alors
.

.


 ∂f .

(a) = 0
∂xp

Autrement dit

et si

e
e e
existent,
a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f ,
e

alors

a est un point stationnaire de f .

Si

Extr´mums libres : o` les chercher ?
e
u
On d´duit du thór`me prć´dent que
e
e e
e e
les points qui sont susceptibles de d´terminer un extr´mum local de la fonction
e
e
f de Rp dans R sont
•
les points qui ne sont pas ` l’int´rieur de dom f , c.-`-d. les points de la
a
e
a
fronti`re, ou sur le bord, du domaine ;
e
•
les points o` les d´rivés partielles de f n’existent pas toutes ;
u
e e
•
les points stationnaires.
Extr´mums libres : Conditions suffisantes de second ordre
e
Soit f une fonction de Rp dans R.
– Si a est un point stationnaire de f
et que la matrice Hessienne de f en a est DP,
alors a d´termine un minimum local de f .
e
et que la matrice Hessienne de f en a est DN,
alors a d´termine un maximum local de f .
e
et que la matrice Hessienne de f en a est IND,
alors a d´termine un point de selle de f .
e

59

2008

Analyse


e e

Extr´mums libres : Conditions nćessaires de second ordre
e
e
p
Soit f une fonction de R dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a.
Si a d´termine un maximum local de f ,
e
alors la Hessienne de f en a ne peut ˆtre que DN ou SDN .
e
On en d´duit que si le point a est un point stationnaire en lequel la Hessienne
e
est SDP, il ne peut d´terminer qu’un minimum ou un point de selle de f .
e
On peut ´videmment ćrire un thór`me dual en changeant maximum en mie
e
e e
nimum, DN en DP, . . . etc.

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