Maths II

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Maths II

  1. 1. ECGE 1230 Math´matiques en ´conomie et gestion e e Paul Henrard et Etienne Loute Seconde partie Analyse ou Calcul Diff´rentiel e des fonctions de plusieurs variables Ann´e acad´mique 2008/2009 e e R´daction : P.Henrard e
  2. 2. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Chapitre 1 Notions de base Fonctions de plusieurs variables Repr´sentations g´om´triques e e e Limites et continuit´ e 1 2. 3. Nous abordons le d´but de l’analyse des fonctions de plusieurs variables r´elles e e a ` valeurs, soit dans R, soit dans Rp . La plupart des notions que nous verrons ont d´j` ´t´ ´tudi´es dans le cours Math´matique et Analyse de premi`re ann´e eaeee e e e e dans le cas particulier des fonctions de 2 variables ` valeurs dans R qui reste a le support graphique et intuitif du cas g´n´ral. On pourra donc se reporter au e e syllabus de ce cours. Nous revoyons ici les outils qui permettent de repr´senter e 3 une fonction de 2 variables dans l’espace habituel ( R ), ` savoir les sections a et, en particulier, les courbes de niveau, outils utilis´s intens´ment par la suite e e pour introduire et illustrer de nombreuses notions th´oriques. Nous revenons e ensuite sur les concepts de limites, de continuit´, de d´riv´es partielles et de e e e diff´rentiabilit´. e e La vision des repr´sentations g´om´triques dans R3 n’est pas simple ` acqu´rir. e e e a e Si cette maˆtrise n’est pas indispensable ` la compr´hension des mati`res de ı a e e l’analyse infinit´simale, elle donne cependant un avantage d´cisif en terme e e d’intuition et de vision globale. Tout effort pour y arriver est donc un investissement qui peut rapporter gros. 1
  3. 3. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Les fonctions de plusieurs variables R´f´rences ee • Les fonctions de plusieurs variables S & B : § 8.1, pp. 173-177 Syll. Math.et An. Chap.3, § 3.1-3.2 pp. 49 ` 51 a • Repr´sentation des fonctions de deux variables e S & B : 8.1, 8.2 Syll. Math.et An. Chap.3, § 4 pp. 51 ` 59 a • Limites et continuit´ e S & B : 8.3 Syll. Math.et An. Chap.3, § 5 - 6 - 7 - 8 pp. 59 ` 70 a Les fonctions de plusieurs variables 1. Le Calcul matriciel nous a familiaris´ avec les fonctions de Rp dans Rq , mais e avec la restriction importante que les fonctions consid´r´es ´taient des applie e e cations lin´aires. Cette restriction n’est ´videmment plus de mise dans cette e e seconde partie. . Fonctions et applications 1.1. 1.1.1. Expliquez la phrase suivante (adapt´e du Syllabus de premi`re ann´e) e e e Une fonction de Rp dans Rq est un m´canisme Input-Output qui associe ` cere a tains p-uples (x1 , x2 , . . . , xp ) un q-uple (y1 , y2 , . . . , yq ) qui d´pend enti`rement e e et sans ambigu¨t´ des (x1 , x2 , . . . , xp ). ıe Que veulent dire les math´maticiens en disant que ce dispositif a un caract`re e e fonctionnel ? e 1.1.2. On parlait d’applications lin´aires, et maintenant de fonctions quelconques. Quelle distinction faut-il faire entre les applications et les fonctions ? 1.1.3. D´finissez le domaine (not´ dom f ), d’une fonction f de Rp dans Rq . e e ← D´f. e Pourquoi ne se pr´occupait-on pas du domaine des applications (lin´aires) ? e e Illustrations 1.1.a 2+2 = ? Donnez un exemple concret d’une fonction de R3 dans R2 qui ne soit pas une application lin´aire. e 2
  4. 4. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Les fonctions de plusieurs variables Composantes 1.2. 1.2.1. On donne la fonction de R2 dans R3 d´finie par e  2  x y − sin(x − y 3 ) . x5 + 3x3 y 2 f (x, y) =  2 2 log(x + y ) Que veut-on dire en disant que la donn´e de cette fonction correspond en fait e a ` la donn´e de trois fonctions de R2 dans R ? Quelles sont les trois fonctions e dont on parle ? 1.2.2. D´finissez ce que sont les composantes d’une fonction de Rp dans Rq . e Combien y en a-t-il ? En passant aux composantes, on obtient une v´ritable diminution de la come p plexit´ de l’examen des fonctions de R dans Rq . Presque tous les probl`mes, e e d´finitions, conditions, th´or`mes . . . sur les fonctions de Rp dans Rq peuvent e e e se ramener ` q probl`mes, d´finitions, conditions, th´or`mes . . . correspondants a e e e e pour les q composantes de la fonction. 1.2.3. D´montrez que le domaine d’une fonction de Rp dans Rq est l’intersection des e q.e.d. domaines de ses q composantes. Illustrations 1.2.a 2+2 = ? On consid`re l’application lin´aire correspondant ` la matrice e e a   1 2 3  3 2 1 . 4 5 6 Quelles sont ses composantes ? R´duction de la complexit´ e e 1.3. 1.3.1. Expliquez l’affirmation suivante faite dans le cours de premi`re ann´e. e e Une fonction de R2 dans R n’est jamais qu’une infinit´ de fonctions e de R dans R. Voyez comment l’on peut retrouver dans une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) des fonctions de une, deux , trois ou (p − 1) variables. Ici aussi, on a une r´duction de complexit´ puisque l’on passe d’une fonction e e p de R dans R ` des (mais une infinit´ de !) fonctions de R dans R. On ne a e s’´tonnera donc pas que cette r´duction soit bien moins efficace puisque l’on e e ne peut pas se permettre de ramener un probl`me, une d´finition, une condition e e 3
  5. 5. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Repr´sentations g´om´triques e e e ou un th´or`me ` une infinit´ de probl`mes, d´finitions, conditions, th´or`mes e e a e e e e e .... Nous essayerons cependant de tirer parti de ce type de r´duction chaque fois e que cela sera possible. Repr´sentations g´om´triques e e e Sections et courbes de niveau 2.1.1. Reportez-vous au syllabus de Math´matique et Analyse et au livre de r´f´rence e ee (S&B), pp. 177 ` 187. A partir de cette lecture, rappelez les d´finitions de a e – sections iso-x et iso-y, . . . des fonctions de R2 dans R ; – courbes de niveau des fonctions de R2 dans R. 2. 2.1. ← D´f. e ← D´f. e 2.1.2. Les graphes des sections iso-x, des sections iso-y et des courbes de niveau se repr´sentent naturellement dans un des plans suivants : celui des x, y, celui des e x, z ou celui des y, z. Quel graphe dans quel plan ? 2.1.3. Remarquez que les graphes des sections iso-x et des sections iso-y sont des graphes de fonctions. Pourquoi en est-il ainsi ? Voyez qu’il n’en est pas n´cessairement de mˆme pour les graphes des courbes e e de niveau. Donnez un exemple de fonction de R2 dans R dont les courbes de niveau ne sont pas des fonctions. Illustrations 2.1.a Pour la fonction z = x + y 2 , 2+2 = ? – Dessiner quelques sections iso-x, p.ex. x = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ; – Dessiner sections iso-y, p.ex. y = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ; – Donner une description g´om´trique du graphe de la fonction dans l’espace e e et en faire un croquis – Donner quelques courbes de niveau p.ex. z = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ; – Dessiner ces courbes de niveau sur le graphe de la fonction et dans le plan des x, y. 2.1.b Mˆmes questions pour la fonction z = x2 + y 2 . e 2+2 = ? 4
  6. 6. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´ e Limites et continuit´ e D´finitions e 3. 3.1. 3.1.1. Reportez-vous au cours de premi`re ann´e. e e Pour une fonction f : Rn −→ R, d´finissez en termes intuitifs e – le domaine de f ; – l’adh´rence de ce domaine ; e – la limite de f en un point qui adh`re au domaine de f ; e – la continuit´ de f en un point a de son domaine. e 3.1.2. Expliquez pourquoi la notion de limite est d´finie pour les points qui adh`rent e e au domaine de f . Pourquoi pas uniquement pour les points du domaine de f ? Pourquoi pas pour les points qui n’adh`rent pas au domaine de f . e 3.1.3. Formalisez les notions pr´c´dentes. Donnez des d´finitions pr´cises des concepts e e e e ci-dessous en termes de distance, boules, ε et δ. – le point a adh`re au domaine de f ; e – b est la limite de la fonction f (x) quand x tend vers a – f est continue au point a de son domaine. Donnez ces d´finitions e – pour une fonction f de R dans R ; – pour une fonction f de R2 dans R ; – pour une fonction f de Rp dans R. Pr´cisez le contexte de chacune de ces d´finitions et les notations les plus e e fr´quentes. e ← D´f. e ← D´f. e ← D´f. e 3.1.4. Que faudrait-il faire pour d´montrer que la fonction +, d´finie par +(x, y) = e e x + y, est partout continue ? Il s’agit bien d’un th´or`me et il en va de mˆme pour les fonctions “diff´rence” e e e e x et “produit”. La fonction “quotient”, , est, elle, continue sur son domaine y (y = 0). Composantes 3.2. 3.2.1. G´n´ralisez les notions pr´c´dentes pour les fonctions de Rp dans Rq . e e e e Donnez, par exemple, la d´finition pr´cise en ε et δ de e e la limite de f (x), quand x tend vers a , est b ← D´f. e pour f une fonction de Rp dans Rq , a ∈ Rp et b ∈ Rq . 5
  7. 7. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´ e 3.2.2. On a d´j` annonc´ que des concepts ` propos des fonctions de Rp dans Rq ea e a pouvaient souvent se ramener ` des concepts correspondants ` propos de leurs a a composantes. On peut ainsi d´montrer, par exemple, que e Une fonction f de Rp dans Rq est continue en un point a de son domaine si et seulement si chacune de ses composantes f1 , f2 ,. . . , fq est continue en a. ← Th. 3.2.3. Par d´duction, ou simplement par imitation, du th´or`me pr´c´dent, ´noncez e e e e e e un th´or`me liant la limite de f en un point a ` la limite de chacune de ses e e a composantes f1 , f2 ,. . . , fq en ce mˆme point. e ← Th. Illustrations  3.2.a 2+2 = ?  On donne la fonction f de R dans R3 d´finie par f (x) =  e x3 −1 x2 +2 sin x x x   . e Calculez lim x→0 f (x). Composition de fonctions 3.3.1. Dans le cas des fonctions de R dans R, on avait un th´or`me qui pouvait e e s’´noncer rapidement sous la forme suivante. e La compos´e de deux fonctions continues est une fonction continue e Ce th´or`me a ´t´ d´j` pr´cis´ et partiellement g´n´ralis´ en premi`re ann´e . e e ee ea e e e e e e e Pr´cisez et g´n´ralisez ce th´or`me pour le cas de la compos´e g ◦ f de f une e e e e e e p q q k fonction de R dans R et g une fonction de R dans R . 3.3. ← Th. ← Th. Le cas int´ressant est celui de la compos´e g ◦ f quand f est une fonction de e e Rp dans Rq et g est une fonction de Rq dans R. Pourquoi ? 3.3.2. Donnez un th´or`me correspondant pour les limites de compos´es de deux e e e fonctions. ← Th. Inspirez vous du th´or`me sur limites et composition ´tudi´ en premi`re ann´e. e e e e e e G´n´ralisez. e e 3.3.3. Reformulez, en le g´n´ralisant, le th´or`me cit´ dans le syllabus du cours e e e e e ”Math´matique et Analyse” : e Les fonctions des variables x1 , x2 , . . . , xp construites en composant des fonctions continues d’une ou plusieurs variables et des op´rations arithm´tiques, sont des fonctions continues sur tout leur e e domaine. Illustrez au moyen de quelques exemples. 6
  8. 8. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´ e Illustrations 3.3.a 2+2 = ? D´montrez que la fonction f (x, y) = sin(xy) est partout continue. e Donnez lim (x,y)→(1,π) f (x, y). D´montrez que la fonction g(x, y, z) = exy cos(ln(1 + y 2 ) + z) est e partout continue. Donnez lim (x,y,z)→(2,0,π) g(x, y, z). 3.3.b 2+2 = ? Chemins particuliers 3.4. 3.4.1. Relisez d’abord ce qui a ´t´ ´crit ` ce propos dans le syllabus de premi`re ee e a e ann´e e Soit f une fonction de 2 variables et a = (a, b) ∈ R2 un point qui adh`re au e domaine de f . (1) D´finissez la notion de “chemin particulier passant par le point (a, b)”. e (2) Quelle proposition relie la limite de f en (a, b) ` la limite de f au-dessus a d’un chemin particulier passant par (a, b) ? Exprimez ce lien en terme de condition n´cessaire ou suffisante. e (3) Quelle est l’utilit´ pratique de cette proposition ? Permet-elle de mone trer l’existence de certaines limites ? (4) Permet-elle de montrer la non-existence de certaines limites ? Comment ? Illustrations 3.4.a On consid`re la fonction f (x, y) = e 2+2 = ? x2 xy . + y2 (1) Quel est le domaine de d´finition de f ? e (2) Que peut-on en conclure ` propos de la continuit´ de f ? Pourquoi ? a e (3) Calculez lim (x,y)→(1,0) f (x, y). (4) Etudiez le comportement de f sur les chemins particuliers y = 0, y = x, y = 2x,. . . . Que peut-on en conclure ` propos de lim (x,y)→(0,0) f (x, y) ? a (5) La fonction f admet-elle un prolongement continu en (0, 0) ? 7
  9. 9. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´ e Th´or`me du coin¸age e e c 3.5. 3.5.1. Retrouvez d’abord ce th´or`me dans le paragraphe du syllabus de premi`re e e e ann´e consacr´ aux limites par coin¸age des fonctions de deux variables. e e c Ecrivez le th´or`me du coin¸age pour des fonctions de R2 dans R. e e c G´n´ralisez le th´or`me pour des fonctions de Rp dans R. e e e e ← Th. ← Th. 3.5.2. Expliquez pourquoi on ne peut ´crire un th´or`me de coin¸age que pour les e e e c fonctions de Rp dans R et pas pour les fonctions de Rp dans Rq . Expliquez aussi pourquoi ce n’est pas gˆnant. e Illustrations 3.5.a Dans le syllabus de premi`re ann´e, on d´montre par coin¸age que e e e c xy lim = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y2 Imitez cette d´monstration pour d´montrer que e e xyz lim = 0. 2 + y2 + z2 (x,y,z)→(0,0,0) x 2+2 = ? 8
  10. 10. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base D´finitions e D´finitions du Chapitre 1 e Domaine d’une fonction de Rp dans Rq Le domaine d’une fonction f de Rp dans Rq – not´ dom(f ) – e e semble des vecteurs x de Rp pour lesquels f (x) est d´fini. est l’en- Autrement dit dom(f ) = {x ∈ Rp | f (x) est d´fini } e Sections iso-x et iso-y Si z = f (x, y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une fonction iso-x de f en fixant une valeur de x ( p.ex. x = a) et en consid´rant la fonction e z = f (a, y) qui est une fonction de la seule variable y. La “section iso-x ” correspondante est le graphe de cette fonction dans le plan des yz. Courbe de niveau Si z = f (x, y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une courbe de niveau de f en fixant une valeur de z ( p.ex. z = c ) et en consid´rant, dans le plan e des xy, l’ensemble {(x, y) | f (x, y) = c} . En g´n´ral, ces points d´crivent une courbe dans le plan des x, y. Mais cette e e e courbe n’est pas (n´cessairement) le graphe d’une fonction, contrairement aux e sections iso-x ou iso-y. Point adh´rant - Adh´rence e e si A est une partie de Rp , on dit que le point a adh`re ` e a points de A aussi proche que l’on veut de a. A s’il existe des Autrement dit a adh`re ` A e a L’ adh´rence e ssi ∀ε > 0 ∃x ∈ A t.q. d(a, x) < ε. de A est l’ensemble des points qui adh`rent ` A. e a 9
  11. 11. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base D´finitions e Limites Si f est une fonction de Rp dans Rq , et a un point qui adh`re ` dom(f ), alors e a on dit que b est la limite de f (x) quand x tend vers a, et on note b = lim f (x) x→a ssi ∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.q. ∀x ∈ dom(f ) si d(x, a) < ε alors d(f (x), b) < δ . Continuit´ d’une fonction en un point e Si f est une fonction de Rp dans R, et a un point de dom(f ), alors on dit que f est continue au point a si f (a) est la limite de f (x) quand x tend vers a. Autrement dit f est continue au point a ssi ∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.q. ∀x ∈ dom(f ) si d(x, a) < ε alors d(f (x), f (a)) < δ . Continuit´ d’une fonction e Une fonction f est dite continue (ou partout continue) si elle est continue en tous les points de son domaine. Chemin particulier Si f (x, y) est une fonction de R2 dans R, et a = (a, b) un point de dom(f ), alors un chemin particulier passant par le point a est une fonction y = φ(x) continue en a et telle que b = φ(a) ou une fonction x = ψ(y) continue en b et telle que a = ψ(b) . 10
  12. 12. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Principaux th´or`mes e e Principaux th´or`mes du Chapitre 1 e e Continuit´ des fonctions de Rp dans Rq : r´duction de complexit´ e e e p q Une fonction f de R dans R est continue en un point a de son domaine si et seulement si chacune de ses composantes f1 , f2 ,. . . , fq est continue en a. Autrement dit   f1 (x)  f2 (x)  f (x) =  .  est continue en a  .  . fq (x)   f1 (x) est continue en a   f2 (x) est continue en a ssi . .  .   fq (x) est continue en a Limite des fonctions de Rp dans Rq : r´duction de complexit´ e e Soit f une fonction de Rp dans Rq et a un point qui adh`re ` dom(f ). e a Alors, b est la limite de f (x) quand x tend vers a ssi cela est vrai composante par composante. Autrement dit b = lim f (x) x→a ssi  lim  b1 = x→a f1 (x)    b = lim f (x)  2 2 x→a . .   .    bq = lim fq (x) x→a Compos´e de fonctions continues e La compos´e de deux fonctions continues est une fonction continue. e Autrement dit Soit f une fonction de Rp dans Rq et g une fonction de Rq dans Rn . Si f est continue en a et si g est continue en b = f (a), alors la compos´e g ◦ f e est continue en a. Limite de compos´e e Soit f une fonction de Rp dans Rq et a un point qui adh`re ` dom(f ) tels que e a b = lim f (x) ; x→a et g une fonction de Rq dans Rn telle que b adh`re ` dom(g) et c = lim f (x). e a x→b Alors c = lim (g ◦ f )(x). x→a Autrement dit 11
  13. 13. 2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Principaux th´or`mes e e Avec les hypoth`ses d’existence sous-entendues dans les ´critures, e e lim g(y) lim (g(f (x)) = x→a y → lim f (x) x→a Limite et chemins particuliers Soit f une fonction de R2 dans R, et (a, b) un point qui adh`re ` dom(f ). e a Si c est la limite de f (x) quand x tend vers (a, b), alors c est la limite de f (x) quand x tend vers (a, b) sur tous les chemins particuliers passant par (a, b). Autrement dit Dans le contexte d´crit, e si lim f (x) = c et si y = φ(x) est une fonction continue telle que φ(a) = b x→(a,b) (c.`-d. un chemin particulier passant par (a, b) ), a alors lim f (x, φ(x)) = c . x→a Th´or`me du coin¸age e e c Soit f , g et h trois fonctions de Rp dans R et a un point qui adh`re au domaine e des trois fonctions. Si la fonction h est coinc´e entre les fonctions f et g, e et si les limites de f et g quand x tend vers a existent et prennent la mˆme e valeur c, alors la limite de h quand x tend vers a existe elle aussi et vaut c. Autrement dit Avec les conditions d’adh´rence ci-dessus, e si et si alors ∀x f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ou g(x) ≤ h(x) ≤ f (x) lim f (x) = lim g(x) = c x→a x→a lim h(x) = c x→a 12
  14. 14. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Chapitre 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e ´ D´riv´es partielles - Elasticit´s partielles e e e Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e R`gle de d´rivation en chaˆ (Chain rule) e e ıne D´riv´es d’ordre sup´rieur e e e 4. 5. 6. 7. R´f´rences ee • D´riv´es partielles e e S & B : 9.1, 9.2, 9.3 Syll. Math.et An. Chap.3, § 9 pp. 71 ` 73 a ´ • Elasticit´s partielles e Tout bon cours d’´conomie e S & B pp.199-200 • Diff´rentielle e • Gradient S & B : 9.4 Syll. Math.et An. Chap.3, § 10 pp. 74 ` 77 a S & B : pp. 305 et 306 S & B : pp. 608 et 613 Syll. Math.et An. Chap.3, § 4.4, pp. 57 ` 59 a Syll. Math.et An. Chap.3, § 10.6, pp. 78 et 79 • R`gle de d´rivation en chaˆ (Chain rule) e e ıne Rappels pour une variable Fonctions de plusieurs variables S & B : pp.75-80 S & B : pp.311-313 S & B : pp.211-214 13
  15. 15. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e • D´riv´es d’ordre sup´rieur e e e D´riv´es et ´lasticit´s partielles e e e e S & B : pp.215-220 S & B : pp.304-305 D´riv´es et ´lasticit´s partielles e e e e Nombres d´riv´es partielles e e 4. 4.1. e e e 4.1.1. Relisez d’abord le paragraphe du syllabus de premi`re ann´e consacr´ aux d´riv´es partielles des fonctions de deux variables. e e La mˆme mati`re est abord´e dans S & B , § 9.1 ` 9.3, pp. 195 ` 202, dans le e e e a a cas des fonctions de n variables. e e e a 4.1.2. D´finissez le “nombre d´riv´e partielle” d’une fonction f (x, y) par rapport ` la ∂f (a, b). variable x au point (a, b). Notez ce nombre ∂x Suggestion : Utilisez la fonction G(x) = f (x, b). 4.1.3. Donnez une interpr´tation g´om´trique de e e e par (a, b). ← D´f. e ∂f (a, b) dans le plan iso-y passant ∂x 4.1.4. Faites de mˆme (d´finition et interpr´tation) pour le nombre d´riv´e partielle e e e e e par rapport ` y. a Illustrations 4.1.a 2+2 = ? On donne f (x, y) = 4x3 − xy 2 . Calculez ∂f ∂f (1, 2) et (1, 2) . ∂x ∂y 4.1.b Est-ce qu’il y a toujours une d´riv´e partielle par rapport ` x, pour e e a n’importe quelle fonction, et en n’importe quel point ? Donnez un exemple simple d’une fonction qui n’admet pas de d´riv´e partielle e e par rapport ` x en un point. a 2+2 = ? 4.1.c Est-ce que les existences d’une d´riv´e partielle par rapport ` x et e e a d’une d´riv´e partielle par rapport ` y sont li´es ? e e a e Donnez un exemple d’une fonction simple qui, en un point, admet une d´riv´e e e partielle par rapport ` une variable et pas par rapport ` l’autre. a a 2+2 = ? 14
  16. 16. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´riv´es et ´lasticit´s partielles e e e e Fonctions d´riv´es partielles e e 4.2.1. Pour une fonction f (x, y) de R2 dans R, d´finissez les deux fonctions d´riv´es e e e ∂f ∂f partielles (x, y) et (x, y). ∂x ∂x 4.2.2. Comment calcule-t-on en pratique les fonctions d´riv´es partielles ? e e 4.2. ← D´f. e 4.2.3. Comment calcule-t-on en pratique les nombres d´riv´es partielles ? e e 4.2.4. G´n´ralisez les notions ci-dessus au cas des fonctions de trois variables ou plus. e e – D´finissez les nombres d´riv´es partielles d’une fonction f (x, y, z) de trois e e e variables, ou d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables. ← D´f. e Ramenez-vous ` des nombres d´riv´es de fonctions d’une variable. Lesa e e quelles ? Pr´cisez bien le contexte, les ´critures, les notations, . . . e e – D´finissez les fonctions d´riv´es partielles d’une fonction f (x, y, z) de trois e e e variables, ou d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables. ← D´f. e Combien y a-t-il de fonctions d´riv´es partielles ? Combien chacune a-te e elle de variables ? Illustrations 4.2.a 2+2 = ? Pour la mˆme fonction f (x, y) = 4x3 −xy 2 qu’au paragraphe pr´c´dent, e e e ∂f ∂f calculez (a, b) et (a, b) en un point quelconque (a, b) de R2 . ∂x ∂y Les d´riv´es partielles comme limites e e 4.3.1. D´finissez le nombre d´riv´e partielle comme une limite. e e e 4.3. ← D´f. e Rappelez-vous de la d´finition en terme de limite du nombre d´riv´e d’une e e e fonction d’une variable. De l`, passez aux fonctions de 2, 3 ou p variables. a Illustrations 4.3.a 2+2 = ? On donne la fonction f de R3 dans R d´finie par e  4 3 2  x +y +z si (x, y, z) = (0, 0, 0) x2 + y 2 + z 2 f (x, y, z) =  0 si (x, y, z) = (0, 0, 0) 15
  17. 17. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´riv´es et ´lasticit´s partielles e e e e Calculez, si elles existent, les trois d´riv´es partielles de f en (0, 0, 0). e e Divers 4.4. 4.4.1. Relevez diff´rentes notations pour les d´riv´es partielles. e e e e e 4.4.2. Qu’est-ce qui est “partiel ” dans une d´riv´e partielle ? 4.4.3. Les ´conomistes parlent souvent d’´tudier le lien entre des variations de deux e e variables ´conomiques “toutes autres choses restant ´gales” (en latin Ceteris e e paribus sic stantibus ou en abr´g´ Ceteris paribus). e e Comment retrouve-t-on ce concept dans le contexte des d´riv´es partielles ? e e 4.4.4. Quelle diff´rence faut-il faire entre les notations e df ∂f et ? dx ∂x 4.4.5. Comment reconnait-on sur le graphe des courbes de niveau d’une fonction de deux variables les grandes ou les petites valeurs de ses d´riv´es partielles ? e e Illustrations 4.4.a Le graphe ci-contre donne des courbes de niveau d’une fonction f de R2 dans R. 2+2 = ? y 0 2 1 2 1. A partir de ce graphe, faites un croquis du graphe de la fonction G(x) = f (x, 1). 1 2 3 4 2. A partir ce nouveau graphe, donnez une ´valuation de la valeur de e 1 3 4 ∂f (1, 1) ∂x 1 2 x et de ∂f (2, 1). Donnez-en au ∂x moins le signe et une estimation de la valeur absolue. 3. Faites un croquis de la fonction G (x) = 4. Donnez aussi une ´valuation de e ∂f (1, 1) ∂y ∂f (x, 1). ∂x et de ∂f (1, 2). ∂y 16
  18. 18. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e ´ Elasticit´s partielles e 4.5. e a e e 4.5.1. Consultez un livre d’´conomie ` propos de l’´lasticit´ (pour les fonctions d’une variable). Voyez par exemple ce que S & B en disent dans un contexte ´conomique e (pp.199-200). 4.5.2. Pour une fonction z = f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables, interpr´tez le concept e de “ l’´lasticit´ de z par rapport ` une des variables” (p.ex. x2 ), toutes autres e e a choses restant ´gales. e e e e a 4.5.3. D´finissez l’´lasticit´ (partielle) de z par rapport ` la variable xi . ← D´f. e Illustrations 4.5.a 2+2 = ? Pour la fonction z = x2 x3 x4 , calculez les ´lasticit´s partielles de z e e 1 2 3 par rapport ` chacune des trois variables, au point (1, 2, −1). a Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e La diff´rentielle e 5. 5.1. 5.1.1. Relisez d’abord le paragraphe du syllabus de premi`re ann´e consacr´ aux e e e diff´rentielles des fonctions de deux variables. Lisez le paragraphe 9.4 de S & e B (pp. 203-207) intitul´ “Diff´rentielle totale”. e e 5.1.2. On consid`re une fonction z = f (x) = f (x, y) et un point a = (a, b) de son e domaine. On cherche ` comprendre comment la variable z s’accroit ou diminue par a rapport ` f (a, b), quand x et y varient par rapport ` a et b respectivement. a a On notera h l’accroissement (ou la diminution) de x par rapport ` a. Quelle a est l’´quation qui lie x et h ? e (Est-ce x + a + h = 0, x + a = h, x = a + h ou x + h = a ?) On notera k l’accroissement (ou la diminution) de y par rapport ` b. Quelle a est l’´quation qui lie y et k ? e Exprimez maintenant l’accroissement de z par rapport ` f (a, b) correspondant a a ` un accroissement (h, k) de (x, y) par rapport ` (a, b). a 5.1.3. A partir de ce que vous venez de faire, donnez un sens ` l’expression a f (a + h, b + k) − f (a, b) ou f (a + h) − f (a) On pourrait la noter [∆(a,b) z](h, k) ou [∆(a,b) f ] (h, k). Pourquoi ? 17
  19. 19. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e 5.1.4. D´finissez pr´cis´ment la notion de diff´rentielle d’une fonction f (x, y) au point e e e e (a, b). ← D´f. e 5.1.5. Qu’appelle-t-on le quotient diff´rentiel ? e 5.1.6. Faites un relev´ de quelques notations usuelles pour d´signer la diff´rentielle. e e e La notation la plus fr´quente, et que nous utiliserons, est d(a,b) f (h, k), ou e da f (h). Mais, en utilisant la mˆme logique que celle qui nous a fait ´crire [∆(a,b) f ](h, k), e e on pourrait plus prudemment ´crire [d(a,b) f ](h, k). e O` est est la nuance ? Elle est dans la d´finition et l’ordre des “op´rations” u e e que l’on effectue. A partir de la fonction f et du point (a, b) on construit une autre fonction [d(a,b) f ]. C’est cette nouvelle fonction que l’on applique ensuite ` la variable a d’accroissement (h, k). La notation d(a,b) f (h, k) peut laisser croire que c’est la fonction f qui est appliqu´e ` la variable (h, k) pour donner f (h, k), et qu’ensuite une myst´rieuse e a e op´ration d(a,b) est appliqu´e au r´sultat (un nombre r´el !) pour donner d(a,b) f (h, k) ; e e e e ce qui, dans ce cas, serait mieux ´crit d(a,b) [f (h, k)] mais n’a pas de sens. e 5.1.7. Interpr´tez la diff´rentielle comme approximation lin´aire de la fonction diff´rence. e e e e 5.1.8. Donnez un sens pr´cis ` l’´criture e a e f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + d(a,b) f (h, k). ← Th. Illustrations 5.1.a On pose f (x, y) = 3x(y − 2)2 et (a, b) = (2, 3). 2+2 = ? – – – – Calculez concr`tement la fonction [∆(a,b) f ](h, k). e D´veloppez et ´crivez la sous la forme d’un polynˆme en h et k. e e o Ce polynˆme n’a pas de terme ind´pendant. Pourquoi ? o e Il y a donc dans ce polynˆme un terme en h, un terme en k, et des termes o de degr´ sup´rieur : en hk, en hk 2 , . . . , etc. Pour des valeurs petites de h et e e k, les termes de degr´ deux ou plus deviennent tr`s petits et n´gligeables e e e par rapport aux termes de degr´ 1. e A partir de l`, justifiez l’´criture a e [∆(2,3) z](h, k) ≈ 3h + 12k – Utilisez cette formule pour donner une valeur approch´e de f (2.03, 2.98). e Appliquez cette d´marche pour la fonction z = f (x, y) = 2x2 − y 3 e pr`s du point (2, 2), afin de construire un polynˆme du premier e o degr´ en h et k qui donne une bonne approximation de [∆(2,2) f ](h, k). e 5.1.b 2+2 = ? 18
  20. 20. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e Ces polynˆmes du premier degr´ qui approchent la fonction “diff´rence” [∆(a,b) f ](h, k) o e e sont “ la diff´rentielle” de f au point (a, b). e La m´thode de calcul utilis´e ci-dessus (pour des fonctions polynomiales) n’est e e pas g´n´ralisable. Mais la notion de ”diff´rentielle” l’est. e e e 5.1.c Sachant que la diff´rentielle de la fonction f (x, y) au point (1, 2) e est 3h + 6k, et que f (1, 2) = 6, donnez une approximation de f (0.9, 2.03). 2+2 = ? Diff´rentielle et d´riv´es partielles e e e 5.2. 5.2.1. Donnez le lien entre les coefficients de la diff´rentielle et les d´riv´es partielles. e e e 5.2.2. Ecrivez ce lien sous la forme d’un th´or`me pr´cis, en donnant bien les hye e e poth`ses et la th`se. e e ← Th. 5.2.3. L’existence des d´riv´es partielles de f en a est-elle une condition n´cessaire, e e e suffisante ou n´cessaire et suffisante de l’existence de la diff´rentielle de f en e e a? 5.2.4. On parle de d´riv´es partielles et de diff´rentielle totale. Pourquoi ? e e e Illustrations 5.2.a Calculez la diff´rentielle de la fonction 3x3 e(y−2) en (2, 2). e 2+2 = ? Plan tangent 5.3.1. Ecrivez sous forme fonctionnelle ( z = t(x, y) ) l’´quation du plan tangent ` la e a surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) en fonction des d´riv´es partielles de e e f en (a, b). 5.3. ← Th. 5.3.2. Ecrivez la mˆme ´quation en y faisant apparaˆ la diff´rentielle d(a,b) f . e e ıtre e 5.3.3. Le plan tangent ` la surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) est un espace a affine. Quel est son plan directeur ? Illustrations 5.3.a 2+2 = ? Donnez l’´quation du plan tangent ` la surface z = x2 + y 3 au point e a (2, −1, 3). 19
  21. 21. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e Tangente ` une courbe de niveau - Gradient a 5.4. 5.4.1. On donne la fonction z = f (x, y) et le point a = (a, b) avec f (a) = c. – Ecrivez l’´quation du plan tangent au graphe de cette fonction au point e (a, b, c) sous une forme fonctionnelle z = T (x, y). – Ecrivez les ´quations des courbes de niveau ` hauteur c de la fonction e a f (x, y) et de la fonction T (x, y). – Que sont ces deux courbes l’une par rapport ` l’autre ? a – T (x, y) = c est un sous-espace affine. Donnez une ´quation cart´sienne e e de son sev directeur. – Quelle est la direction orthogonale ` ce sev ? a – Comment appelle-t-on ce vecteur ? 5.4.2. Relisez ce qui est dit ` propos du gradient dans le syllabus de premi`re candia e dature et dans S & B . 5.4.3. D´finissez le gradient d’une fonction f (x, y) en un point (a, b). e 5.4.4. Le vecteur gradient de la fonction f (x, y) au point (a, b) est not´ e f (a, b). Comment appelle-t-on le signe ? Quelle est l’origine de ce mot ? ← D´f. e (a,b) f ou 5.4.5. Quel est le lien entre le gradient et ce que l’on appelle “la plus grande pente ” ? O` sont le haut et le bas de cette pente ? u 5.4.6. Indiquez comment le gradient permet de distinguer la partie du plan o` f (x, y) > u c et celle o` f (x, y) < c de part et d’autre de la courbe de niveau f (x, y) = c. u Illustrations On donne la fonction z = f (x, y) = x2 + y 2 et le point a = (2, −1) avec c = f (a) = 5. Ecrivez l’´quation du plan tangent au graphe de cette fonction au point e (2, −1, 5) sous une forme fonctionnelle z = T (x, y). Dessinez sur un mˆme graphe les courbes de niveau ` hauteur 5 de la e a fonction f (x, y) et de la fonction T (x, y). Qu’y a-t-il de remarquable ? Expliquez le ph´nom`ne. e e T (x, y) = 5 est un sous-espace affine. Donnez une ´quation cart´sienne de e e son sev directeur. Quelle est la direction orthogonale ` ce sev ? a 5.4.a 2+2 = ? – – – – – On consid`re la fonction f (x, y) = x3 y 2 + exy . e On ne voit pas bien comment dessiner le graphe de la courbe de niveau ` hauteur 1. Pouvez-vous donner une id´e de son comportement pr`s a e e de (0, 0) ? 5.4.b 2+2 = ? 20
  22. 22. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e Les fonctions de p variables 5.5. 5.5.1. G´n´ralisez la notion de diff´rentielle au cas des fonctions de Rp dans R. e e e – Reprenez les ´critures en utilisant la variable x = (x1 , x2 , . . . , xp ), le point e a = (a1 , a2 , . . . , ap ) et l’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp ) – D´finissez la fonction diff´rence [∆(a) f ](h). e e – D´finissez la fonction diff´rentielle d(a) f (h). e e – D´finissez le quotient diff´rentiel qui mesure la ” proximit´” de [∆(a) f ](a) e e e et d(a) f (h). – D´finissez l’expression “la fonction f est diff´rentiable au point a de son e e domaine ”. ← D´f. e 5.5.2. Donnez le lien entre les coefficients de la diff´rentielle d’une fonction de p vae riables en un point et les d´riv´es partielles de la fonction en ce point. e e Exprimez s’il s’agit d’une condition n´cessaire, suffisante ou n´cessaire et sufe e fisante. ← Th. 5.5.3. Pour que la diff´rentielle soit une notion utile, il faut que l’on soit sˆr de son e u existence pour une classe suffisamment large de fonctions et de points. Donnez une condition suffisante sur les d´riv´es partielles assurant la diff´e e e rentiablilit´ d’une fonction en un point. e ← Th. 5.5.4. Donnez les liens logiques entre les affirmations suivantes. Exprimez-les en terme de conditions n´cessaires et de conditions suffisantes. e – La fonction f est continue en (a, b). – La fonction f est diff´rentiable en (a, b) e – Les nombres d´riv´es partielles de f existent en (a, b) e e – Les fonctions d´riv´es partielles de f existent pr`s de (a, b) et sont contie e e nues en (a, b). ← Th. 5.5.5. G´n´ralisez la notion de gradient pour les fonctions de Rp dans R. e e ← D´f. e 5.5.6. Pour les fonctions de R3 dans R, que sont – les surfaces de niveau ? – le sous-espace affine tangent ` une de ces surfaces en un point ? a – la direction de plus grande pente ? – les vecteurs gradients ? Illustrations 5.5.a 2+2 = ? 2 Calculez la diff´rentielle en (1, 0, −2, 1) de f (x) = x2 cos(x1 x2 )ex3 +2x . e 1 Tirez-en une valeur approch´e de la fontion en (1.02, −0.03, −2.01, 0.98). e 21
  23. 23. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient e Pour la fonction f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , repr´sentez la surface de e 2+2 = ? niveau ` “hauteur” 14. a Donnez le plan tangent ` cette surface en (1, 2, 3). Donnez la direction de “plus a grande pente”. 5.5.b Lignes ou colonnes ? 5.6. Pour le Calcul Matriciel, nous avions convenu que les vecteurs de Rp , variables     x1 1  x2  ou constants comme a =  2 , se repr´sentaient sous comme x = e x3 3 la forme de vecteurs colonnes . Par contre, nous venons d’´crire plusieurs fois f (x) pour f (x1 , x2 , . . . , x3 ). Et e dans ce cas, ce (x1 , x2 , . . . , x3 ) se pr´sente comme un vecteur ligne. e Certains auteurs plus pointilleux recommandent d`s lors d’´crire syst´matiquement e e e t x pour (x1 , x2 , . . . , xp ), allant par exemple jusqu’` parler de la diff´rentielle de a e f (xt ) au point at = (1, 2, 3), ou au point a = (1, 2, 3)t . Mais nous ne les suivrons pas. Ce ne sera pas le seul exemple, tant en langue naturelle qu’en langage math´matique, o` l’usage consacre des mots ou des e u notations dont le sens varie avec le contexte. Nous serons donc attentifs ` utiliser avec soin les notations matricielles para tout o` ces notations se r´f`rent ` un contexte de calcul matriciel. Mais nous u ee a n’h´siterons pas ` utiliser avec quelque ambigu¨ e la notation usuelle f (x) pour e a ıt´ les fonctions de plusieurs variables, o` encore l’´criture a = (a1 , a2 , . . . , ap ) u e pour d´signer un vecteur de Rp . e D’ailleurs nous n’avions pas h´sit´, d´j`, ` parler d’une forme quadratique e e ea a q(x1 , x2 , . . . , xp ) = q(x) = xt Ax, en utilisant d’un cˆt´ q(x) sans trop se deoe mander si x y d´signait une ligne ou une colonne, mais de l’autre cˆt´, une e oe notation strictement matricielle xt Ax, o` x devait ˆtre interpr´t´ absolument u e ee comme une colonne. Fonctions de Rp dans Rq 5.7. On cherche ` g´n´raliser la notion de diff´rentielle au cas des fonctions de Rp a e e e dans Rq . 5.7.1. Assurez-vous des notations utilis´es dans ce cas. e Bien que nous continuerons ` utiliser l’abus d’´criture f (x), il faudra ˆtre a e e attentif, pour ´viter des confusions ult´rieures, ` noter en colonne les vecteurs e e a images. On aura ainsi 22
  24. 24. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e R`gle de d´rivation en chaˆ e e ıne   f1 (x)  f (x)   f (x) =  2  ...  fq (x) 5.7.2. Ecrivez la fonction diff´rence pour une fonction de Rp dans Rq . e e 5.7.3. Ecrivez le quotient diff´rentiel dans ce contexte Rp dans Rq . Attention ! La fonction diff´rence et la diff´rentielle sont ici des fonctions vectoe e rielles ` valeur dans Rq . Il en va de mˆme pour leur diff´rence et le num´rateur a e e e du quotient diff´rentiel est un donc vecteur. Pour exprimer que ce vecteur est e petit, on exprime que sa norme est petite. On est ainsi ramen´ ` un num´rateur ea e qui est un nombre r´el. e 5.7.4. D´finissez l’expression e “f (x) est diff´rentiable au point a e p quand f est une fonction de R dans Rq . 5.7.5. La diff´rentielle est dans ce cas une application de Rp dans Rq . Elle est donc e elle aussi faite de q composantes. Quel est le lien entre les composantes de la diff´rentielle de f et les diff´rentielles e e de ses composantes ? 5.7.6. Qu’appelle-t-on “matrice Jacobienne” d’une fonction f en un point a ? ← D´f. e ← Th. ← D´f. e 5.7.7. Pouvez-vous interpr´ter la jacobienne (d’une fonction f en un point a) comme e matrice repr´sentant une application lin´aire ? Laquelle ? e e Illustrations 5.7.a 2+2 = ? 5.7.b 2+2 = ? Calculez la diff´rentielle en (1, 2, 1) de la fonction e   x2 + y 2 z f (x, y, z) =  sin(x2 y) + 2x  4xy ln(x, z) La diff´rentielle est une application lin´aire, donc matricielle. e e Ecrivez la diff´rentielle calcul´e ` l’exercice pr´c´dent sous forme e e a e e matricielle. 5.7.c 2+2 = ? Calculez la matrice Jacobienne de la fonction de l’exercice pr´c´dent e e en un point (x, y, z) 23
  25. 25. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e R`gle de d´rivation en chaˆ e e ıne R`gle de d´rivation en chaˆ e e ıne Rappel pour les fonctions d’une variable 6. 6.1. 6.1.1. Revoyez le contexte et les r`gles de la d´rivation de fonctions compos´es pour e e e les fonctions d’une variable. Illustrations 6.1.a Ecrivez la fonction f (x) = sin(ln x) comme compos´e de deux fonce tions. Calculez la d´riv´e de cette compos´e en x = 1. e e e 2+2 = ? G´n´ralisation au cas de plusieurs variables e e 6.2. 6.2.1. D´crivez le contexte de la composition de fonctions pour des fonctions de e plusieurs variables. 6.2.2. Donnez des exemples concrets de compos´es g ◦ f , pour diff´rents cas. Par e e exemple quand • f est une fonction de R2 dans R et g une fonction de R dans R. • f est une fonction de R dans R3 et g une fonction de R3 dans R. • f est une fonction de R2 dans R2 et g une fonction de R2 dans R. • f est une fonction de R2 dans R3 et g une fonction de R3 dans R2 . 6.2.3. Reconnaissez-vous une composition de fonctions de ce genre dans l’´criture e f (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)) ? Imaginez des ´critures similaires pour chacun des cas de l’exercice pr´c´dent. e e e 6.2.4. Pour chacun des cas pr´cit´s, d´crivez le probl`me de la d´rivation partielle e e e e e et/ou de la diff´rentiation. e – Quelle diff´rentielle ou d´riv´es partielles recherche-t-on ? e e e – En quel point ? – A partir de quelles diff´rentielles ou d´riv´es partielles va-t-on les calculer ? e e e – En quels points ? 24
  26. 26. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e R`gle de d´rivation en chaˆ e e ıne Commentaire Pour la pratique, il sera surtout utile de pouvoir maˆ ıtriser les probl`mes de d´rivation en chaˆ dans quelques cas simples. Mais la voie e e ıne th´orique la plus directe pour y arriver consiste ` ´tudier le probl`me de la e a e e diff´rentielle dans son contexte le plus g´n´ral. C’est donc par l` que nous e e e a commen¸ons. c 6.2.5. On consid`re des fonctions f de Rp dans Rq et g de Rq dans Rs ; et a un point e p de R . Faites apparaˆ dans un sch´ma les ´l´ments suivants et les relations entre ıtre e ee eux. – f , a, f (a), da f ; – g, f (a), g(f (a)), df (a) g ; – g ◦ f , a, g ◦ f (a), da (g ◦ f ). 6.2.6. Dans le contexte de la question pr´c´dente, ´tudiez la signification du th´or`me e e e e e Si f est diff´rentiable en a et si g est diff´rentiable en f (a), alors g ◦ f est e e diff´rentiable en a. e De plus, la diff´rentielle de la compos´e g◦f en a est la compos´e des diff´rentielles e e e e de g en f (a) et de f en a. ← Th. ← Th. Donnez une ´criture symbolique du th´or`me. e e e Compl´tez-le par la description des points en lesquels les diff´rentes diff´rentielles e e e sont calcul´es. e 6.2.7. Le th´or`me pr´c´dent implique un lien entre les jacobiennes de f , g et g ◦ f e e e e (en des points bien choisis). Exprimez ce lien. Faites-le en d´tail pour une fonction f de R2 dans R3 et g de R3 dans R2 . e Commentaire Pour le calcul concret des d´riv´es partielles des fonctions e e compos´es, il suffit de maˆtriser le cas particulier o` f est une fonction de R e ı u q q dans R et g une fonction de R dans R. 6.2.8. f est une fonction de R dans Rq et g une fonction de Rq dans R. Explicitez les notations qui permettent d’´crire la compos´e sous la forme e e g(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t)). 6.2.9. Ecrivez la Jacobienne de f en a et la Jacobienne de g en f (a). q.e.d. Effectuez le produit de ces Jacobiennes et d´duisez-en la formule permettant e de calculer la d´riv´e par rapport ` t de g(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t)). e e a ← Th. 6.2.10. Pour des fonctions f de Rp dans Rq et g de Rq dans Rs , la Jacobienne de g ◦ f contient les d´riv´es partielles de chacune des s composantes gi ◦ f par rapport e e a ` chacune des p variables xj . Voyez comment chacune de ces s × p d´riv´es partielles peut se calculer en e e utilisant la formule vue ci-dessus. 25
  27. 27. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´riv´es d’ordre sup´rieur e e e Illustrations On donne les fonctions G(x, y) = (2x2 − y, −y 3 ) et F (u, v) = (u − v, u2 ) . Calculez les Jacobiennes de G(x, y) et F (u, v). Evaluez ces Jacobiennes aux points ad´quats pour pouvoir calculer la e Jacobienne de F (G(x, y)) au point (x, y) = (1, 1). Calculez cette Jacobienne. ∂F1 (G(x, y)) ∂F2 (G(x, y)) Tirez-en les valeurs de et ∂x ∂y au point (x, y) = (1, 1). 6.2.a 2+2 = ? (1) (2) (3) (4) On donne la fonction z = f (x, y) = (2x2 y−y) o` x et y d´pendent u e 2 d’une mˆme variable t par x(t) = 1 − t et y(t) = t − 2t2 . e d z(t) . (1) Utilisez la Chain Rule pour calculer dt (2) Effectuez la substitution de x(t) et y(t) dans f (x, y) pour obtenir une expression explicite de z(t). 6.2.b 2+2 = ? z(t) (3) Calculez d dt ` partir de cette expression et comparez avec le r´sultat a e obtenu en 1. 6.2.c Reprenez l’exercice 6.2.a ci-dessus et calculez la Jacobienne demand´e en calculant toutes les d´riv´es partielles de la fa¸on d´crite e e e c e en 6.2.9. et 6.2.10. 2+2 = ? D´riv´es d’ordre sup´rieur e e e D´finitions et notations e 7. 7.1. 7.1.1. Reprenez les concepts de d´riv´es seconde, troisi`me, . . . , pour les fonctions e e e d’une variable. 7.1.2. D´finissez les d´riv´es partielles secondes d’une fonction de Rp dans R. e e e ← D´f. e 7.1.3. Passez en revue les diff´rentes notations pour les d´riv´es partielles secondes. e e e Par exemple ∂( ∂f ) ∂2f 2 ∂x = = ∂yx f = fyx = fyx = Dyx f ∂y ∂y∂x Soyez attentif ` l’ordre des d´rivations indiqu´ par la notation. a e e 7.1.4. Qu’appelle-t-on “d´riv´es partielles secondes crois´es” d’une fonction de deux e e e variables ? Et pour une fonction de p variables ? ← D´f. e 26
  28. 28. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´riv´es d’ordre sup´rieur e e e 7.1.5. D´finissez l’expression “f est une fonction de classe C 2 au point a”. e Que sont les fonctions de classe C 1 ? Et celles de classe C 0 ? 7.1.6. D´finissez les d´riv´es d’ordre sup´rieur (` 2) d’une fonction f de p variables. e e e e a ← D´f. e 7.1.7. Passez en revue les diff´rentes notations pour les d´riv´es partielles d’ordre e e e 3,4, . . . . 7.1.8. D´finissez les fonctions de classe C k . e ← D´f. e Illustrations 7.1.a 2+2 = ? 7.1.b 2+2 = ? Calculez les fonctions d´riv´es successives de ln(x). e e Calculez les nombres d´riv´es successives de ln(x) en x = 1. e e On donne la fonction f (x, y) = x2 y + y 3 + sin(x2 + y). Calculez les deux fonctions d´riv´es partielles ∂f (x, y) et e e ∂x ∂f (x, y). ∂y Il s’agit de nouvelles fonctions des deux variables x et y. Calculez les d´riv´es e e partielles de ces deux fonctions par rapport ` chacune de leur deux variables. a 7.1.c 2+2 = ? 7.1.d 2+2 = ? 7.1.e 2+2 = ? 7.1.f 2+2 = ? Combien de d´riv´es partielles secondes a une fonction de p vae e riables. Calculez les 9 fonctions d´riv´es partielles secondes de la fonction e e f (x, y, z) = xy 2 z 3 . Pour la mˆme fonction f (x, y, z) = xy 2 z 3 que ci-dessus, calculez e ∂3f ∂3f (x, y, z) et (2, 1, −1) . ∂z∂y∂z ∂z∂y∂z Combien de d´riv´es partielles d’ordre 3 a une fonction de p vae e riables ? Et ` l’ordre 4, 5, . . . n ? a Le th´or`me de Young e e 7.2.1. Dans l’exemple trait´ au 7.1.d., les d´riv´es secondes crois´es sont ´gales. e e e e e Expliquez pourquoi en ´non¸ant le th´or`me de Young. e c e e 7.2. ← Th. Expliquez la distinction : elles sont ´gales mais pas identiques. e 7.2.2. D´finissez la “matrice Hessienne” d’une fonction f de p variables en un point e a. Le th´or`me de Young se traduit par une propri´t´ de cette matrice. Laquelle ? e e ee ← D´f. e 27
  29. 29. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´riv´es d’ordre sup´rieur e e e 7.2.3. G´n´ralisez le th´or`me de Young pour l’interversion de l’ordre des d´rivations e e e e e partielles jusqu’` l’ordre 3, 4, . . . . a ← Th. Illustrations 7.2.a 2+2 = ? 7.2.b 2+2 = ? Calculez la matrice Hessienne de la fonction de l’exercice 7.1.d. f (x, y, z) = xy 2 z 3 . Donnez H(x,y,z) et H(3,2,1) . L’exemple suivant montre qu’on ne peut pas se passer des hypoth`ses de continuit´ pour le th´or`me de Young. e e e e (1) On donne la fonction x3 y si (x, y) = (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0).   (2) V´rifiez par le calcul que e  4 2 3  x + 3x y si (x, y) = (0, 0) ∂f (x2 + y 2 )2 (x, y) =  ∂x 0 si (x, y) = (0, 0) (3) V´rifiez par le calcul que e  5 3 2  x − x y si (x, y) = (0, 0) ∂f (x2 + y 2 )2 et (x, y) =  ∂y 0 si (x, y) = (0, 0). ∂2f (x, y) = 0 ∂y∂x et ∂2f (x, y) = 1. ∂x∂y (4) Commentez. 28
  30. 30. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´finitions e D´finitions du Chapitre 2 e Nombre d´riv´e partielle e e Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R, et a = (a1 , a2 , . . . , ap ) un point de dom(f ), alors le nombre “d´riv´e partielle” de f par rapport ` sa premi`re variable en a, e e a e ∂f not´ e (a), ∂x1 est, s’il existe, le nombre d´riv´e au point a1 de la fonction d’une variable e e F (x1 ) = f (x1 , a2 , . . . , ap ). Autrement dit ∂f (x1 , x2 , . . . , xp ) d f (x1 , a2 , . . . , ap ) (a1 , a2 , . . . , ap ) = (a1 ) ∂x1 d x1 Autrement dit ∂f (x1 , x2 , . . . , xp ) f (a1 + h1 , a2 , . . . , ap ) − f (a1 , a2 , . . . , ap ) (a1 , a2 , . . . , ap ) = lim h1 →0 ∂x1 h1 On d´finirait de mˆme le nombre d´riv´e partielle de f (x1 , x2 , . . . , xp ) par e e e e rapport ` chacune de ses variables. a On dit que la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) est d´rivable en un point a si ses p e ∂f d´riv´es partielles ∂xi existent en ce point. e e Vecteur gradient Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R dont les d´riv´es partielles e e existent toutes au point a = (a1 , a2 , . . . , ap ) de dom(f ), alors le vecteur gradient de f en a, not´ a f est le vecteur des d´riv´es partielles de e e e f en a.  ∂f   ∂f  (a) ∂x1 ∂x1  ∂f   ∂f   ∂x2 (a)   ∂x2   =  af =  .   .  . . .    .  ∂f ∂f (a) ∂xp ∂xp (a) Le symbole se prononce nabla. 29
  31. 31. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´finitions e Fonction d´riv´e partielle e e Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R, alors la fonction “d´riv´e partielle” de f par rapport ` sa premi`re variable en a, e e a e ∂f (x), not´e e ∂x1 est la fonction qui ` chaque point x de Rp fait correspondre, s’il existe, le a nombre d´riv´e de f par rapport ` sa premi`re variable en ce point. e e a e C’est donc aussi une fonction de Rp dans R. Elle n’est d´finie que pour les e points de dom(f ) en lesquels le nombre d´riv´e partielle est d´fini. e e e Elasticit´ - Elasticit´ partielle e e Si y = f (x) est une fonction de R dans R d´rivable en a, l’´lasticit´ de f par e e e rapport ` x au point a est le nombre a ε(f /x)(a) = f (a) ·a f (a) Si y = f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R d´rivable en a, e l’´lasticit´ de f par rapport ` xi au point a est le nombre e e a ∂f (a) ∂xi ε(f /xi )(a) = f (a) · ai Matrice Jacobienne On consid`re une fonction f de Rp dans Rq : e  f1 (x)  f2 (x)  f (x) =  .   .  .  fq (x) et a un point int´rieur au domaine de f . e La matrice Jacobienne, ou plus simplement la Jacobienne, de f au point a est la matrice q × p des d´riv´es partielles des fi au point a. e e    J(a) =    ∂f1 (a) ∂x1 ∂f2 (a) ∂x1 . . . ∂fq (a) ∂x1 ∂f1 (a) ∂x2 ∂f2 (a) ∂x2 ... ... . . . . . . ∂fq (a) . . . ∂x2 ∂f1 (a) ∂xp ∂f2 (a) ∂xp . . . ∂fq (a) ∂xp    =   ∂fi (a) . ∂xj 30
  32. 32. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e On note souvent, plus simplement,  ∂f ∂f  ∂f 1 1 . . . ∂x1 ∂x1 ∂x2 p  ∂f2 ∂f2 ∂f   ∂x1 ∂x2 . . . ∂x2  p  J(a) =  . .  . . ... .  .  . .  . ∂fq ∂x1 ∂fq ∂x2 ... ∂fq ∂xp ∂1 f1 ∂2 f1  ∂1 f2 ∂2 f2 ou  . .  . . . . ∂1 fq ∂2 fq  D´finitions e  . . . ∂p f1 . . . ∂p f2  .  .  ... . . . . ∂p fq (a) (a) • La Jacobienne d’une fonction de Rp dans R est la matrice ligne des d´riv´es e e partielles de la fonction. Diff´rentielle des fonctions de Rp dans R e Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R et a un point int´rieur au e domaine de f , alors la diff´rentielle de f , si elle existe, est une application lin´aire en les variables e e h1 , h2 , . . . , hp G(h) = b1 h1 + b2 h2 + . . . + bp hp qui approche la fonction diff´rence f (a1 +h1 , a2 +h2 , . . . , ap +hp )−f (a1 , a2 , . . . , ap ) e en ce sens que f (a + h) − f (a) − G(h) = 0. h→0 h lim La diff´rentielle de f en a, si elle existe, est not´e da f . Dans ce cas, on dit e e aussi que f est diff´rentiable en a. e • Si la fonction f est diff´rentiable en a, les coefficients b1 , b2 , . . . , bp de sa diff´rentielle e e sont les d´riv´es partielles de f en a. On peut donc dire que, si la diff´rentielle e e e existe, ce ne peut ˆtre que e da f (h) = ∂f ∂f ∂f (a) · h1 + (a) · h2 + . . . + (a) · hp ∂x1 ∂x2 ∂xp Diff´rentielle des fonctions de Rp dans Rq e Si f est une fonction de Rp dans Rq et a un f , on dit que l’ application lin´aire G de Rp dans Rq , e    G1 (h) b11 b12 . . .  G (h)   b21 b22 . . .  2   G(h) =  = . . . . . ... .   . . . bq1 bq2 . . . Gq (h) point int´rieur au domaine de e   b1p h1 b2p   h2  .   .  = Bh .  .  . . bqp hp 31
  33. 33. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´finitions e est la diff´rentielle de f au point a ssi : e ||f (a + h) − f (a) − G(h)|| = 0. h→0 ||h|| lim e La diff´rentielle de f en a, si elle existe, est not´e da f . e e • Si f est diff´rentiable en a, alors B est la matrice Jacobienne de f . da f (h) = J(a) · h D´riv´es partielles d’ordre sup´rieur e e e Les fonctions d´riv´es partielles de la fonction f (x), ´tant ` leur tour des fonce e e a tions de Rp dans R, sont susceptibles d’ˆtre elles-mˆmes d´riv´es par rapport e e e e a ` chacune de leurs variables. On peut ainsi d´finir le nombre d´riv´e partielle seconde, ou d’ordre deux, par e e e rapport ` la variable xj puis xi en un point a a ∂i2j f (a) = ∂i ∂j f (a) = ∂2f ∂ (a) = ∂xi ∂xj ∂xi ∂f ∂xj comme la d´riv´e partielle par rapport ` xi de la fonction e e a 2 ∂ f On a donc (a) = ∂xi ∂xj lim h→0 ∂f (a1 , . . . , ai−1 , ai ∂xj + h, ai+1 , . . . , ap ) − (a) ∂f . ∂xj ∂f (a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , ap ) ∂xj h . • On peut aussi d´finir des fonctions d´riv´es partielles d’ordre deux, qui sont e e e elles-mˆmes des fonctions de Rp dans R. e • On peut d´finir des nombres et des fonctions d´riv´es partielles d’ordre 3, e e e d’ordre 4, et ainsi de suite. On a par exemple, ∂ ∂ ∂f ∂3f 3 = ∂213 f = ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3 obtenu en d´rivant f d’abord par rapport ` x3 , puis par rapport ` x1 et enfin e a a par rapport ` x2 . a • Si une fonction f de Rp dans R est d´rivable jusqu’` l’ordre k, elle admet e a 2 p d´riv´es partielles premi`res, p d´riv´es partielles d’ordre 2, p3 d´riv´es e e e e e e e partielles d’ordre 3, . . . et pk d´riv´es partielles d’ordre k. e e • Il faut bien distinguer les d´riv´es partielles obtenues en d´rivant par rapport e e e ∂2f aux mˆmes variables mais dans un ordre diff´rent. Ainsi, ∂x2 ∂x3 est obtenu e e par une op´ration diff´rente de celle permettant de calculer e e d´riv´es partielles sont donc a priori distinctes. e e ∂2f . ∂x3 ∂x2 Ces deux 32
  34. 34. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e D´finitions e Classes de continuit´ : fonction de classe C k e Une fonction f de Rp dans R est dite ˆtre de classe C k en un point a e ssi toutes les fonctions d´riv´es partielles de f jusqu’` l’ordre k sont d´finies dans e e a e un voisinage de a et sont continues en a. Les fonctions de classe C 0 en a sont les fonctions continues en a. Une fonction de classe C k est aussi de classe C k−1 , C k−2 , . . . , C 1 et C 0 . 33
  35. 35. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Principaux th´or`mes e e Principaux th´or`mes du Chapitre 2 e e Diff´rentielle et d´riv´es partielles : condition n´cessaire e e e e Soit f une fonction de Rp dans R et a un point de dom(f ). Si f est diff´rentiable e en a, alors f est d´rivable en a et les coefficients de la diff´rentielle sont les e e d´riv´es partielles de f en a e e Autrement dit Si f est diff´rentiable en a, alors e ∂f ∂f ∂f da f (h) = (a) · h1 + (a) · h2 + . . . + (a) · hp ∂x1 ∂x2 ∂xp Diff´rentielle et continuit´ : condition n´cessaire e e e p Soit f une fonction de R dans R et a un point de dom(f ). Si f est diff´rentiable en a, alors f est continue en a . e Diff´rentielle et d´riv´es partielles : condition suffisante e e e Soit f une fonction de Rp dans R et a un point de dom(f ). Si toutes les fonctions d´riv´es partielles de f sont d´finies dans un e e e voisinage de a et sont continues en a, alors f est diff´rentiable en a. e Equation du plan tangent ` la surface z = f (x, y) a Soit f (x, y) une fonction de R2 dans R diff´rentiable au point a. e Le plan tangent ` la surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) est donn´ par a e l’´quation fonctionnelle e ∂f ∂f (a, b) · (x − a) + (a, b) · (y − b) z = t(x, y) = f (a, b) + ∂x ∂y On peut y reconnaˆ l’´criture ıtre e z = t(x, y) = f (a, b) + d(a,b) f (h, k) o` d(a,b) f (h, k) est la diff´rentielle de f en (a, b) et h et k sont les accroissements u e h = (x − a) et k = (y − b). 34
  36. 36. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Principaux th´or`mes e e Diff´rentielle et approximation lin´aire e e Le rˆle de la diff´rentielle est de fournir une bonne approximation lin´aire (et o e e mˆme la meilleure possible) des valeurs de f pr`s du point a . e e On aura donc que f (a + h) ≈ f (a) + da f (h) Ou, plus pr´cis´ment, e e ∂f ∂f f (a1 + h1 , . . . , ap + hp ) ≈ f (a1 , . . . , ap ) + (a) · h1 + . . . + (a) · hp ∂x1 ∂xp Cette approximation est ´videmment d’autant meilleure que les hi sont petits. e Diff´rentielle d’une compos´e de fonctions e e p Soit f une fonction de R dans Rq et g une fonction de Rq dans Rs . Si e f est diff´rentiable en a et g est diff´rentiable en f (a), e alors la diff´rentielle de la compos´e g◦f en a est la compos´e des diff´rentielles e e e e de g en f (a) et de f en a. da (g ◦ f ) = (df (a) g) ◦ (da f ) . c.-`-d. a Jacobienne d’une compos´e de fonctions e Le th´or`me pr´c´dent peut ´videmment se traduire en terme de matrices e e e e e jacobiennes. Avec les mˆmes hypoth`ses que dans le t´or`me pr´c´dent, on a que e e e e e e la matrice Jacobienne de la compos´e g ◦ f en a est le produit des matrices e Jacobiennes de g en f (a) et de f en a. c.-`-d. a  ∂1 (g1 ◦ f ) ∂2 (g1 ◦ f ) . . . ∂p (g1 ◦ f )  ∂1 (g2 ◦ f ) ∂2 (g2 ◦ f ) . . . ∂p (g2 ◦ f )    . . . .   . . . . . . . . ∂1 (gs ◦ f ) ∂2 (gs ◦ f ) . . . ∂p (gs ◦ f ) a     ∂1 g1 ∂2 g1 . . . ∂q g1 ∂1 f1 ∂2 f1 . . . ∂p f1  ∂1 f2 ∂2 f2 . . . ∂p f2   ∂1 g2 ∂2 g2 . . . ∂q g2   . = . . . . . .  . .   .  . . . .  . . .  . . . . . . . . ∂1 fq ∂2 fq . . . ∂p fq a ∂1 gs ∂2 gs . . . ∂q gs f (a)  35
  37. 37. 2008 Analyse Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles e e e Principaux th´or`mes e e Chain Rule : d´riv´es partielles dans les compos´es de fonctions e e e Les th´or`mes pr´c´dents permettent aussi le calcul des d´riv´es partielles des e e e e e e fonctions compos´es. e Dans la pratique, le cas particulier suivant permet de retrouver les autres. Soit f une fonction de R dans Rq , et g une fonction de Rq dans R, les deux fonctions ´tant suppos´es diff´rentiables aux points consid´r´s. e e e ee   x1 (t)  x2 (t)  e Si on note g(x1 , x2 , . . . , xq ), et f =  . , on peut ´crire  .  . xq (t) dg(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t)) = dt ∂g dx1 (t) ∂g dx2 (t) ∂g dxq (t) (x(t)) · + (x(t)) · + ... + (x(t)) · ∂x1 dt ∂x2 dt ∂xq dt Th´or`me de Young : interversion de l’ordre de d´rivation e e e Soit f (x, y) une fonction de R2 dans R et a un point de son domaine. Si alors f est de classe C 2 en a, on peut intervertir l’ordre des d´rivations partielles secondes de f ; e ∂2f ∂2f (a) = (a). ∂y∂x ∂x∂y c.-`-d. a Th´or`me de Young : g´n´ralisation e e e e On peut facilement g´n´raliser le th´or`me pr´c´dent aux cas de fonctions de e e e e e e plus de deux variables et de d´riv´es d’ordre sup´rieur ` 2. e e e a On aura, par exemple. Si alors c.-`-d. a et etc.. . . f (x, y, z) est de classe C 3 en a, on peut intervertir l’ordre des d´rivations partielles troisi`mes de f ; e e ∂3f ∂3f ∂3f (a) = (a) = (a) = . . . ∂x∂y∂z ∂x∂z∂y ∂y∂x∂z ∂3f ∂3f ∂3f (a) = (a) = (a) ∂x2 ∂z ∂x∂z∂x ∂z∂x2 36
  38. 38. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites Chapitre 3 Fonctions implicites R´f´rences ee • Fonctions implicites S & B : Ch. 22 Le th´or`me des fonctions implicites e e Vocabulaire 8. 8.1. 8.1.1. V´rifiez que vous comprenez les termes suivants : variables exog`nes, ind´pendantes, e e e libres ; variables endog`nes, d´pendantes, li´es. e e e Pr´cisez bien le contexte dans lequel apparaˆ ce vocabulaire. e ıt 8.1.2. Utilisez ce vocabulaire dans les situations suivantes : a. y = f (x) b. z = g(u1 , u2 , u3 ) c. t1 = t1 (v1 , v2 , v3 ) t2 = t2 (v1 , v2 , v3 ) 8.1.3. Que veulent dire les expressions suivantes ? – y est explicitement fonction de x – z d´pend fonctionnellement de u1 , u2 , u3 . e Donnez des contextes, ou des exemples, o` ces expressions ont un sens. u Premier cas : Un lien entre deux variables 8.2. On consid`re d’abord le cas o` deux variables, x et y par exemple, sont li´es e u e par une ´quation du type G(x, y) = 0. e On cherche ` savoir si cette relation ne d´finit pas “implicitement” une fonca e tion, en ce sens qu’elle pourrait s’identifier, au moins localement, ` une ´criture a e qui lierait “explicitement” y et x par une fonction, sous la forme y = φ(x) ou x = ψ(y). 37
  39. 39. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites 8.2.1. Reconnaissez que l’ensemble des points (x, y) qui v´rifient la relation e G(x, y) = 0 est la courbe de niveau, ` hauteur 0, de la fonction G(x, y). C’est a une courbe de l’ensemble des x, y. 8.2.2. D´finissez math´matiquement l’expression e e “L’application y = φ(x) est une explicitation de la relation G(x, y) = 0”. 8.2.3. D´finissez math´matiquement l’expression e e “L’application y = φ(x) est une explicitation locale de la relation G(x, y) = 0 pr`s du point (a, b)”. e ← D´f. e 8.2.4. Ce sont les explicitations locales qui nous int´resseront. e Pourquoi ? e 8.2.5. Commentez et pr´cisez la remarque suivante Pour que la relation G(x, y) = 0 puisse s’expliciter localement sous la forme y = φ(x) pr`s du point (a, b), il faut et il suffit que le graphe de la relation e puisse se confondre, dans un voisinage du point, avec celui d’une application. 8.2.6. Commentez et pr´cisez la remarque suivante. e Pour que la relation G(x, y) = 0 puisse s’expliciter localement sous la forme y = φ(x) pr`s du point (a, b), il faut et il suffit que e ← Th. ← Th. (1) la variable x puisse varier “librement” pr`s de (a, b) e (2) la variable y soit li´e “fonctionnellement” ` la variable x pr`s de (a, b). e a e c.-`-d. que pour tout x proche de a, il existe un et un seul y pour lequel a G(x, y) = 0. Illustrations 8.2.a Ecrivez des ´quations du type e 3 4xy − sin xy = 7 ou 5xy y − yez = sous la forme G(x, y, . . .) = 0. 2+2 = ? 3x cos yz x2 +y 2 +z 2 On consid`re la relation 3x + 7y − 27 = 0. e Montrez que, pour cette relation, x peut s’expliciter comme fonction de y, et y comme fonction de x. 8.2.b 2+2 = ? 8.2.c 2+2 = ? 8.2.d 2+2 = ? Montrez que, pour la relation x2 + y 2 = 1, on ne peut expliciter ni y en fonction de x, ni x en fonction de y. Expliquez bien pourquoi. On consid`re la relation x2 + y 2 = 1. e Donnez, si c’est possible, une sous la forme y = φ(x) pr`s des points e 38
  40. 40. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites suivants : a. b. c. d. e. (0, 1)√ √ ( 22 , 22 ) (1, 1) (0, −1) (1, 0) Les r´ponses sont oui - oui - non - oui - non. Si c’est oui, donnez une e explicitation ; si c’est non, expliquez pourquoi. On consid`re la relation x2 + y 2 = 0. e Quel est son graphe ? Cette relation ne peut pas s’expliciter localement pr`s de (0, 0). Pourquoi ? e Si vous ne pouvez r´pondre maintenant, passez aux questions suivantes. La e mˆme question reviendra plus tard. e 8.2.e 2+2 = ? 8.2.f Expliquez pourquoi, quand les variables x et y sont li´es par la e 2 relation x − y = 0 , la variable y ne peut pas varier librement pr`s de (0, 0). e 2+2 = ? 8.2.g Expliquez pourquoi, quand les variables x et y sont li´es par la e 2 2 relation x − y = 0 , la variable y n’est pas li´e fonctionnellement e a ` x pr`s de (0, 0). e 2+2 = ? 8.2.h 2+2 = ? La figure ci-contre repr´sente la e courbe d’´quation G(x, y) = 0 e Pr`s de quels points de la courbe e ne peut-on pas expliciter y en fonction de x ? Et x en fonction de y ? Justifiez chaque fois pourquoi il n’y a pas explicitation. y x Le th´or`me des fonctions implicites dans R2 e e 8.3.1. Enoncez tr`s pr´cis´ment le th´or`me des fonctions implicites dans le cas d’un e e e e e lien entre deux variables. Ecrivez le th´or`me pour le cas de l’explicitation de y en fonction de x et pour e e le cas de l’explicitation de x en fonction de y. 8.3. ← Th. 8.3.2. Constatez que le th´or`me des fonctions implicites n’est pas un th´or`me e e e e constructif. Il prouve l’existence d’une explicitation, sans la donner concr`tement. e Par contre, le th´or`me donne une information pr´cise sur la d´riv´e de l’exe e e e e plicitation. 39
  41. 41. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites 8.3.3. Constatez que le th´or`me des fonctions implicites donne seulement une condie e tion suffisante pour l’existence d’une explicitation. Il peut y avoir des cas o` le th´or`me n’est pas applicable, mais o` il y a quand u e e u mˆme explicitation. Donnez-en l’un ou l’autre exemple simple. e e 8.3.4. Soyez toujours attentif au fait que le probl`me des fonctions implicites et sa solution n’ont de sens que pr`s d’un point (a, b) qui satisfait la relation ´tudi´e e e e (c.-`-d. tel que G(a, b) = 0). a 8.3.5. D´finissez e – point singulier – point r´gulier e – courbe r´guli`re. e e ← D´f. e ← D´f. e ← D´f. e 8.3.6. Voyez qu’un point r´gulier est un point o` une au moins des explicitations est e u garantie par le th´or`me des fonctions implicites ; et qu’un point singulier est un e e point o` le th´or`me des fonctions implicites ne garantit aucune explicitation u e e (mais ne les interdit pas non plus). ← Th. Illustrations Examinez les relations y − x2 = 0 et y − x3 = 0 pr`s de (0, 0). e Y a-t-il explicitation de y en fonction de x ? de x en fonction de y ? Que raconte le th´or`me des fonctions implicites ? e e 8.3.a 2+2 = ? 8.3.b On donne la relation G(x, y) = 3xy + 2y − x2 − 5 = 0. 2+2 = ? (1) V´rifiez que cette relation est satisfaite au point (−1, −6). e (2) Dans ce cas particulier, on peut donner de mani`re effective une exe plicitation y = Y (x) de cette relation. Calculez cette explicitation, sa fonction d´riv´e Y (x) et la valeur de cette d´riv´e en x = −1. e e e e ∂G ∂G (3) D’autre part, calculez (x, y) et (x, y) et leurs valeurs en (−1, −6). ∂x ∂y (4) Le th´or`me des fonctions implicites garantit-il que la relation G(x, y) = e e 0 est explicitable sous la forme y = ψ(x) pr`s de (−1, −6) ? e dψ (5) Utilisez le th´or`me des fonctions implicites pour calculer e e (−1). dx (6) Comparez avec Y (−1). On consid`re la relation G(x, y) = x2 y 3 − 2x3 y + exy−1 = 0. On e ne peut pas dire grand chose, ` premi`re vue, du graphe de cette a e relation qui passe au moins par le point (1, 1). 8.3.c 2+2 = ? (1) Peut-on expliciter y = φ(x) pr`s de ce point ? e (2) Si oui, quelle est la d´riv´e de φ au point ad´quat ? e e e (3) Peut-on expliciter x = ψ(y) pr`s de ce point ? e 40
  42. 42. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites (4) Si oui, quelle est la d´riv´e de ψ au point ad´quat ? e e e (5) Quelle est la tangente au graphe de la relation au point (1, 1) ? (6) Comparez avec ce que le gradient pouvait vous apprendre sur cette tangente. (7) Donnez une valeur approch´e d’un y qui v´rifie la relation G(1.02, y) = e e 0. Deuxi`me cas : Un lien entre plusieurs variables e 8.4. Ce cas, o` l’on a une relation du type G(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0, n’est pas fondau mentalement diff´rent du premier cas. Il faudra ici faire le (bon) choix d’une e variable d´pendante (ou endog`ne), et la lier aux p − 1 autres variables supe e pos´es donc ind´pendantes ou exog`nes. e e e Le recours ` l’intuition g´om´trique devient ´videmment moins accessible quand a e e e il y a plus de deux variables en cause. 8.4.1. Enoncez tr`s pr´cis´ment le th´or`me des fonctions implicites dans le cas d’un e e e e e lien entre p variables. ← Th. 8.4.2. Reprenez le th´or`me pour le cas d’un lien entre 3 variables x, y et z. e e Ecrivez le th´or`me pour l’explicitation de x en fonction de y et z, pour l’exe e plicitation de y en fonction de x et z et pour l’explicitation de z en fonction de x et y. Illustrations On consid`re la relation x3 − x + 2x2 y − 3xyz + 3z = −1 qui est e satisfaite au point (1, 1, 2) . Quelle(s) variable(s) peut-on expliciter en fonction des autres pr`s de ce point ? e Sous quelle forme ? Donnez les d´riv´es (partielles ?) de chacune des explicitations possibles pr`s e e e de ce point. 8.4.a 2+2 = ? Plusieurs liens entre plusieurs variables 8.5. C’est ce que S & B appellent syst`me de fonctions implicites. e Le premier probl`me consiste ` savoir, dans ce cas, combien de variables poure a raient devenir ind´pendantes ou exog`nes et combien de variables d´pendantes e e e ou endog`nes. e Ensuite, il faudra g´n´raliser le th´or`me des fonctions implicites (pour choie e e e sir les variables endog`nes) et les formules de d´rivation (liant la variation des e e variables endog`nes ` celle des variables exog`nes.) e a e 41
  43. 43. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites 8.5.1. Un syst`me e   G1 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0   G2 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0 .  .  .  Gq (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0 de q liens entre k variables comprend q ´quations. e Pour exprimer la d´pendance de p variables endog`nes par rapport aux k − p e e autres variables, par exemple   x1 = φ1 (xp+1 , xp+2 , . . . , xk )   x2 = φ2 (xp+1 , xp+2 , . . . , xk ) .  .  .  xp = φp (xp+1 , xp+2 , . . . , xk ) il faut p ´quations. e S’il n’y a pas plus d’informations sur les k variables dans une ´criture que dans e l’autre, que peut-on en d´duire ` propos de q et p ? e a 8.5.2. Interpr´tez la fable suivante. e Au d´but du probl`me, il y avait k variables. Elles furent cr´´es libres et e e ee ind´pendantes, chacune pouvant varier ` son gr´ sans tenir compte des autres. e a e On disait que ce monde avait k degr´s de libert´. e e Puis vinrent les lois, au nombre de q. Chacune liait les variables entre elles par une ´quation de la forme Gi (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0. Chacune de ces lois supe primait un degr´ de libert´. e e Combien de degr´s de libert´ sont-ils rest´s apr`s la r´v´lation des lois ? e e e e e e Ensuite, le maˆtre du probl`me souhaita s´parer les variables en variables ı e e exog`nes et en variables endog`nes. Les variables exog`nes seraient enti`rement e e e e libres de varier ` leur gr´ (au moins localement) sans tenir compte les unes des a e autres. Elles disposeraient donc, chacune, d’un degr´ complet de libert´. Mais e e les variables endog`nes n’auraient aucune libert´, ´tant soumises aux variables e e e exog`nes auxquelles elles seraient li´es par des liens fonctionnels. e e Quel est le nombre des variables exog`nes ? Quel est le nombre des variables e endog`nes ? e 8.5.3. Retrouvez les notions de degr´ de libert´, de variables exog`nes et endog`nes, e e e e dans le cas d’un syst`me lin´aire homog`ne de k ´quations ind´pendantes ` n e e e e e a inconnues. 8.5.4. Enoncez tr`s pr´cis´ment le th´or`me des fonctions implicites dans le cas e e e e e g´n´ral de q liens entre k variables. e e Suggestion : pour exprimer plus facilement le th´or`me et faire apparaˆ les e e ıtre variables exog`nes et endog`nes, on pose k = p + q et on appelle x1 , x2 , . . . , xp e e les variables qui deviendront exog`nes et y1 , y2 , . . . , yq les variables qui deviene dront endog`nes. e ← Th. 42
  44. 44. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites 8.5.5. Quand on parle d’un syst`me de q fonctions implicites ` k variables, on suppose e a implicitement que p < k. Pourquoi ? 8.5.6. Qu’appelle-t-on point r´gulier d’un syst`me de q ´quations implicites ? e e e R´f´rez-vous ` l’existence, ou non, d’explicitation garantie par le th´or`me des ee a e e fonctions implicites. Illustrations 8.5.a 2+2 = ? On donne les relations xz 3 + y 2 v 4 = 2 xz + yvz 2 = 2 entre les variables (x, y, z, v). Calculez la matrice des d´riv´es partielles au point (1, 1, 1, 1). Pouvez-vous en e e extraire une sous matrice 2 × 2 inversible ? Le th´or`me des fonctions implicites permet-il d’en d´duire l’existence d’exe e e plicitation de certaines variables en fonction des autres au voisinage du point (1, 1, 1, 1) ? Lesquelles ? Pour une des explicitations possibles, calculez les d´riv´es partielles au point e e ad´quat (` pr´ciser). e a e 43
  45. 45. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites D´finitions e D´finitions du Chapitre 3 e Explicitation locale : une relation ` deux variables a Soient g une fonction de R2 dans R et a un point de R2 . L’application y = φ(x) est une explicitation locale de la relation g(x, y) = 0 au voisinage de a ssi g(a) = 0 et il existe un voisinage V de a tel que ∀(x, y) ∈ V g(x, y) = 0 ssi y = φ(x) . Explicitation locale : une relation ` p variables a Soient g une fonction de Rp dans R et a un point de Rp . L’application xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) est une explicitation locale de la relation g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 au voisinage de a ssi g(a) = 0 et il existe un voisinage V de a tel que ∀(x1 , x2 , . . . , xp ) ∈ V g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 ssi xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) . Explicitation locale : q relations ` p + q variables a Soient g1 , g2 , . . . , gq     Les applications    des fonctions de Rp+q dans R et a un point de Rp+q . y1 = φ1 (x1 , x2 , . . . , xp ) y2 = φ2 (x1 , x2 , . . . , xp ) . . . yq = φq (x1 , x2 , . . . , xp ) sont une explicitation locale au voisinage de a de la relation   g1 (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0   g2 (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0 .  .  .  gq (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0 ssi g1 (a) = g2 (a) = . . . = gq (a) = 0 et il existe un voisinage V de a tel que ∀(x, y) ∈ V g1 (x, y) = g2 (x, y) = . . . = gq (x, y) = 0 ssi y1 = φ1 (x) et y2 = φ2 (x) . . . et yq = φq (x) . 44
  46. 46. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites D´finitions e Point r´gulier d’une relation f (x, y) = 0 e Un point (a, b) est un point r´gulier de la relation f (x, y) = 0 si c’est un point e de la relation en lequel les d´riv´es partielles de f existent et ne sont pas toutes e e les deux nulles. Autrement dit   f (a, b) = 0 est d´fini e (a, b) est un point r´gulier de f (x, y) = 0 ssi e (a,b) f  (a,b) f = 0 Point r´gulier d’une relation f (x1 , x2 . . . , xp ) = 0 e Un point a = (a1 , a2 , . . . , ap ) est un point r´gulier de la relation f (x) = 0 si e c’est un point de la relation en lequel f les d´riv´es partielles de f existent et e e ne sont pas toutes nulles. Autrement dit   f (a) = 0 est d´fini e a est un point r´gulier de f (x) = 0 ssi e af  af = 0 Point r´gulier : q relations ` k variables e a Soit g une fonction de Rk dans Rq et la relation g(x) = 0 qui peut aussi s’´crire e  g1 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0    g2 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0 .  .  .  gq (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0 Le point a est un point r´gulier de g(x) = 0 si c’est un point de la relation e en lequel la Jacobienne est d´finie et est de rang complet (= q) . e Autrement dit   g(a) = 0 Ja g est d´finie . e a est un point r´gulier de g(x) = 0 ssi e  r(Ja g) = q 45
  47. 47. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites Principaux th´or`mes e e Principaux th´or`mes du Chapitre 3 e e Th´or`me des fonctions implicite : une relation ` deux variables e e a Soit g(x, y) une fonction de R2 dans R de classe C 1 au voisinage de a = (a, b), et telle que g(a) = 0. Si ∂g (a) ∂y alors il existe une explicitation locale y = φ(x) de la relation g(x, y) = 0 = 0, au voisinage de a. et de plus, φ est d´rivable pr`s de a et e e dφ (x) = − dx ∂g (x, φ(x)) ∂x . ∂g (x, φ(x)) ∂y Th´or`me des fonctions implicites : une relation ` p variables e e a Soient g une fonction de Rp dans R de classe C 1 au voisinage de a, et telle que g(a) = 0. Si ∂g (a) ∂xp alors il existe une explicitation locale xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) de la relation g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 au voisinage de a. et de plus, les d´riv´es partielles de φ existent pr`s de a et e e e ∂φ = − ∂x1 ∂g ∂x1 ∂g ∂xp = 0, ∂φ = − ∂x2 ∂g ∂x2 ∂g ∂xp ... ∂φ = − ∂xp−1 ∂g ∂xp−1 ∂g ∂xp . On devrait ´crire plus compl`tement e e ∂φ (x1 , x2 , . . . , xp−1 ) = − ∂x1 ∂g (x1 , x2 , . . . , xp ) ∂x1 ∂g (x1 , x2 , . . . , xp ) ∂xp 46
  48. 48. 2008 Analyse Ch. 3 Fonctions implicites Principaux th´or`mes e e Th´or`me des fonctions implicites : q relations ` p + q variables e e a Soient g1 , g2 , . . . , gq des fonctions r´elles des p + q variables x1 , x2 , . . . , xp , e y 1 , y2 , . . . , y q . On suppose que ces fonctions sont de classe C 1 au voisinage de a et telles que g1 (a) = 0, g2 (a) = 0, . . . , gq (a) = 0.  ∂g1  ∂g (a) . . . ∂y1 (a) ∂y1 q   . . . ∂g . . . Si la matrice ( ∂y )(a) =   est inversible, . . . ∂gq (a) ∂y1 ... ∂gq (a) ∂yq alors il existe une explicitation locale y1 = φ1 (x) , y2 = φ2 (x) , . . . , yq = φq (x) de la relation g1 (x, y) = 0, . . . , gq (x, y) = 0 au voisinage de a et de plus, les d´riv´es partielles des φi existent au voisinage de a et e e  ∂φ1 ∂x1  .  . . ∂φq ∂x1 ... . . . ... ∂φ1 ∂xp   ∂g1 ∂y1 .  = −  . .   . . . ∂φq ∂xp x ∂gq ∂y1 ... . . . ... ∂g1 ∂yq −1  .  .  . ∂gq ∂yq ∂g1 ∂x1  .  . . (x,y) ∂gq ∂x1 ... . . . ... ∂g1 ∂xp  .  .  . ∂gq ∂xp . (x,y) 47
  49. 49. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Chapitre 4 Polynˆmes de Taylor o Optimisation libre Polynˆmes de Taylor o Optimisation libre 9. 10. R´f´rences ee • Polynˆmes de Taylor o Rappels pour une variable S & B : pp.856-861 Syllabus de Math´matique et Analyse, pp. 8-15 e Fonctions de plusieurs variables S & B : pp.861-865 • Optimisation libre Rappels pour une variable Fonctions de plusieurs variables S & B : pp.53-61 S & B : Ch. 23-pp.639-648 Polynˆmes de Taylor o Rappels pour les fonctions d’une variable 9. 9.1. 9.1.1. Revoyez la th´orie et la pratique des polynˆmes de Taylor pour les fonctions e o d’une variable. 9.1.2. Qu’appelle-t-on le “reste ” d’un polynˆme de Taylor ? o Donnez-en une expression. Voyez que dans certains cas on peut d´terminer le signe de ce reste pour de e petites valeurs de l’accroisement h. 9.1.a 2+2 = ? Calculez le polynˆme de Taylor d’ordre 3, 4, 5 et 6 de f (x) = cos(x) o pr`s de 0. e 48
  50. 50. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Optimisation libre Donnez chaque fois l’expression du reste correspondant. Peut-on d´terminer le signe de ces restes ? e Qu’est-ce que cela signifie ? e o e 9.1.3. Quelle est l’utilit´ des polynˆmes de Taylor ? Dans les applications concr`tes ? Comme outil th´orique ? e Retrouvez leur utilisation dans la th´orie des extr´mums de fonctions d’une e e variable. Illustrations 9.1.b V´rifiez sur quelques exemples que vous pouvez encore manipuler e les polynˆmes de Taylor des fonctions d’une variable. o Donnez par exemple les polynˆmes de Taylor d’ordre 5 pr`s de 0 de ex , cos x o e √ et 1 + x. √ Utilsez-les pour calculer une valeur approch´e de e0.1 et de 1, 21. e 2+2 = ? Fonctions de plusieurs variables 9.2.1. Ecrivez l’approximation de Taylor d’ordre 1 pour une fonction de trois variables f (x1 , x2 , x3 ) pr`s d’un point a = (a1 , a2 , a3 ). e - explicitement ; - en utilisant la diff´rentielle. e 9.2. ← D´f. e Appliquez la formule ci-dessus pour calculer le polynˆme d’ordre 1 pr`s de o e 2 2y+z−1 (−1, 0, 1) de la fonction f (x, y, z) = x e 9.2.2. Donnez une expression du reste (d’ordre 2) de ce polynˆme d’ordre 1. Exprimezo le comme une forme quadratique en utilisant la Hessienne. ← D´f. e Donnez concr`tement ce reste pour l’exemple pr´c´dent. e e e 9.2.3. Ecrivez l’approximation de Taylor d’ordre 2 pour une fonction de trois variables f (x1 , x2 , x3 ) pr`s d’un point a = (a1 , a2 , a3 ). e - explicitement ; - en utilisant la diff´rentielle et la Hessienne. e Appliquez la formule ci-dessus pour calculer le polynˆme d’ordre 2 pour l’exemple o d´j` trait´ plus haut. ea e Illustrations 9.2.a Calculez le polynˆme d’ordre 2 pr`s de (1, 0) de la fonction xex−y−1 . o e 2+2 = ? 49
  51. 51. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Optimisation libre Optimisation libre 10. Le mot optimisation est utilis´ par les ´conomistes pour parler de la e e recherche d’extr´mums, maximums ou minimums, de fonctions. Pourquoi ? e Avez-vous un commentaire ? Fonctions d’une variable 10.1. 10.1.1. Revoyez la th´orie des extr´mums des fonctions d’une variable. e e e e • Donnez des d´finitions pr´cises des notions de minimum, maximum, global ou local, strict ou non, pour les fonctions d’une variable. N’oubliez pas de parler du domaine de la fonction, des voisinages du point . . . • Retrouvez les th´or`mes principaux qui concernent ces notions. e e Distinguez bien • les conditions n´cessaires et les conditions suffisantes ; e • les conditions de premier ordre et les conditions de second ordre (ou mˆme e sup´rieur) ; e • l’int´rieur et les bords du domaine ; e • les points o` la d´riv´e existe et les autres ; u e e • les extr´mums locaux et les extr´mums globaux. e e Fonctions de plusieurs variables - Conditions n´cessaires e 10.2. 10.2.1. D´finissez math´matiquement l’expression e e a d´termine un maximum global de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xn ). e ← D´f. e 10.2.2. Faites de mˆme pour maximum local, minimum global et minimum local. e Distinguez aussi le cas d’un extremum strict. ← D´f. e 10.2.3. Pourquoi ne fait-on pas de th´orie des extr´mants pour des fonctions de Rp e e dans Rq ? 10.2.4. Montrez que si a = (a1 , a2 , . . . , an ) d´termine un maximum local de la fonction e q.e.d. f (x1 , x2 , . . . , xn ), alors a1 d´termine un maximum local de la fonction d’une e variable g1 (x) = f (x, a2 , . . . , an ). ← Th. 10.2.5. Voyez que l’on peut d´duire de la remarque pr´c´dente le th´or`me suivant. e e e e e q.e.d. Si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles e e e existent, et si a d´termine un maximum local de la fonction f , e alors g1 (a1 ) = ∂f (a) ∂x1 = 0. 50
  52. 52. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Optimisation libre 10.2.6. Voyez que le mˆme raisonnement peut s’appliquer aux autres variables pour e arriver au th´or`me suivant. e e e e e Si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles existent, et si a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f , e  ∂f  ∂x1 (a) = 0    ∂f  (a) = 0 ∂x2 alors .  .    ∂f .  (a) = 0 ∂xn ← Th. 10.2.7. Remarquez que le th´or`me pr´c´dent fournit des “conditions n´cessaires d’exise e e e e tence d’extr´mums”, et qu’il s’agit de “conditions du premier ordre ”. e Qu’est-ce que cela veut dire ? 10.2.8. D´finissez les points stationnaires de la fonction f . e ← D´f. e 10.2.9. Le th´or`me ci-dessus donne-t-il des informations (lesquelles ?) sur l’existence e e d’extr´mums locaux de la fonction f pour les cat´gories de points suivantes ? e e • les points stationnaires • les points o` les d´riv´es partielles de f ne sont pas toutes d´finies u e e e • les points du bord du domaine de f Peut-on trouver des extr´mums en d’autres points que ceux cit´s ci-dessus ? e e 10.2.10. Reprenez les informations ci-avant sous la forme d’un th´or`me qui commene e cerait par Les extr´mums de f , s’il y en a, doivent ˆtre recherch´s parmi e e e les points suivants . . . ← Th. Illustrations 10.2.a 2+2 = ? Quels sont les points du domaine de la fonction z = 2x3 − 6xy + 3y 2 qui sont susceptibles de correspondre ` un extr´mants de la fonction ? a e 10.2.b Quels sont les points du domaine de la fonction 2+2 = ? z = 1− x2 + y 2 qui sont susceptibles de correspondre ` un extr´mant de la fonction ? a e Faites d’abord un croquis du graphe de la fonction. Pour cela, commencez par faire un croquis du graphe de la fonction d’une variable √ z = 1 − x2 = | 1 − | x | | 51
  53. 53. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Optimisation libre A quoi correspondent les points qui sont des extr´mants manifestes de cette e fonction ? Variations pour les rus´s - Paragraphe optionnel e 10.3. 10.3.1. La fonction z = f (x, x2 , . . . , xp ) peut aussi se voir comme ´tablissant une relae tion G(z, x1 , x2 , . . . , xp ) = f (x1 , x2 , . . . , xp ) − z = 0 entre les variables z, x1 , x2 ,. . . , xp . Il est ´vident que cette relation permet d’expliciter z en fonction des autres e variables. Comment ? Cela est confirm´ par le th´or`me des fonctions implicites. Comment ? e e e Peut-on aussi expliciter les (ou une des) variables xi en fonction de z et des autres xj ? Qu’en dit le th´or`me des fonctions implicites ? e e Si le point (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine un maximum c = f (a1 , a2 , . . . , ap ), alors e la variable z ne peut pas varier librement pr`s de c, puisqu’elle ne peut pas e prendre de valeur sup´rieure au maximum c. Pr`s de ce point, z ne peut donc e e pas ˆtre consid´r´ comme une variable ind´pendante. Il faut en conclure que, e ee e pr`s de ce point, on ne peut expliciter aucune des variables xi en fonction de e z et des autres xj . Comment cela se traduit-il ` travers le th´or`me des fonctions implicites ? a e e Comparez avec les conditions n´cessaires pour que (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine e e un maximum de f . Adaptez le raisonnement pour un minimum Fonctions de plusieurs variables - Conditions suffisantes 10.4. Dans ce qui va suivre, on utilisera la matrice Hessienne d’une fonction en la traitant comme une forme quadratique, et donc comme une matrice sym´trique. e On supposera donc que les d´riv´es partielles secondes existent et qu’elles sont e e continues de mani`re ` pouvoir utiliser le th´or`me de Young. e a e e N’oubliez donc pas, dans tous les th´or`mes que vous ´noncerez ci-dessous, de e e e rajouter l’hypoth`se e f est une fonction de classe C2 dans un voisinage du point a consid´r´. ee 10.4.1. Ecrivez la forme g´n´rale du polynˆme de Taylor d’ordre 1 d’une fonction e e o q.e.d. f (x, y, z) pr`s d’un point (a, b, c), avec le reste d’ordre 2 exprim´ comme une e e forme quadratique au moyen de la matrice Hessienne. Simplifiez cette ´criture en ajoutant l’hypoth`se que (a, b, c) est un point stae e tionnaire de f . Exprimez f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) ` partir de cette ´criture. a e 52
  54. 54. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Optimisation libre 10.4.2. Quelles conditions faut-il sur f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) pour que (a, b, c) d´termine un maximum global de f ? Et un minimum global ? e Quelles conditions faut-il sur f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) pour que (a, b, c) d´termine un maximum local de f ? Et un minimum local ? e Que faut-il changer dans le cas d’un extremum strict ? 10.4.3. L’existence d’un extr´mum en (a, b, c) est donc li´e (comment ?), au genre de e e la Hessienne de f en un point proche de (a, b, c). Et le genre de la Hessienne de f en un point proche de (a, b, c) est li´, par e continuit´, au genre de la Hessienne au point (a, b, c). e 10.4.4. Pr´cisez le lien cit´ ci-dessus entre le genre de la Hessienne de f en a et le e e genre de f en des points a + h assez proches de a ? Si Ha est DP alors Ha+h est aussi DP pour des a + h assez proches. Pourquoi ? 10.4.5. On a un th´or`me analogue pour des Ha de genre DN ou des Ha de genre e e IND. Enoncez le. ´ 10.4.6. Enoncez compl`tement le th´or`me donnant des conditions suffisantes de pree e e mier et de second ordre pour qu’un point stationnaire d’une fonction f de p variables d´termine un maximum local strict de f . e ´ Enoncez le th´or`me analogue pour le minimum. e e Et si la Hessienne est ind´finie ? e ← Th. ← Th. ← Th. 10.4.7. D´finissez les “points de selle ” ou “points de col ”. e Quelle est l’origine de ces expressions ? ← D´f. e Illustrations 10.4.a 2+2 = ? Reprenez la fonction z = 2x3 − 6xy + 3y 2 dont on a d´termin´ plus e e haut les points stationnaires (2.2.a). D´terminez maintenant si ces points donnent lieu ` un maximum, un minimum e a ou un point de selle de la fonction. Le cas ind´termin´ e e 10.5. 10.5.1. Par contre, on ne peut rien d´duire ` propos du genre de Ha+h dans le cas o` e a u Ha est de genre SDP ou SDN. Pourquoi ? Comparez avec ce que l’on avait dans le cas des fonctions d’une variable. On parle alors d’ind´termination ? Pourquoi ? e 53
  55. 55. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Optimisation libre On entend par l` que le th´or`me ne permet pas de d´terminer la nature du a e e e point en question, et pas que sa nature est intrins`quement ind´termin´e. e e e 10.5.2. On a dit ci-dessus que l’on ne pouvait rien d´duire sur le genre de Ha+h dans e le cas o` Ha est SDP (ou SDN). Ce n’est pas tout ` fait vrai. On a en effet u a Si Ha est SDP, alors Ha+h ne peut ˆtre que IND, SDP ou DP. e ´ Enoncez le th´or`me analogue pour le cas SDN. e e 10.5.3. Enoncez compl`tement le th´or`me donnant des conditions n´cessaires (de e e e e premier et) de second ordre pour qu’un point d’une fonction f de p variables d´termine un maximum local de f . e Et un minimum. ← Th. 10.5.4. On suppose que a est un point stationnaire d’une fonction f de classe C2 ` a l’int´rieur de son domaine. e Reprenez sous forme de tableau ce que l’on peut d´duire, ` propos de la pose a sibilit´ d’avoir un extremum en a, ` partir du genre de la matrice sym´trique e a e Ha . Illustrations 10.5.a 2+2 = ? Recherchez les minima, maxima et points de selle de la fonction x4 + x2 − 6xy + 3y 2 54
  56. 56. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre D´finitions e D´finitions du Chapitre 4 e Matrice Hessienne Soit f une fonction de Rp dans R d´rivable jusqu’` l’ordre 2 au point a. e a La matrice Hessienne de f en a est la matrice de toutes les d´riv´es partielles e e secondes de f en a (dans l’ ordre convenable). Autrement dit La matrice Hessienne de f (x) en a est la matrice  ∂2f ∂2f (a) . . . (a) ∂x1 ∂x2 ∂x2 1   ∂2f ∂2f (a) . . .  ∂x2 ∂x1 (a) ∂x2 2 Ha f =  . . .  . . .  . . .  2f 2f ∂ ∂ (a) ∂xp ∂x2 (a) . . . ∂xp ∂x1 ∂2f (a) ∂x1 ∂xp  ∂2f (a) ∂x2 ∂xp        . . . ∂2f (a) ∂x2 p C’est une matrice sym´trique (voir th´or`me de Young). e e e Polynˆmes de Taylor : rappel ` une variable, ordre k o a Pour une fonction f de R dans R de classe C (k+1) dans un voisinage du point a, le polynˆme de Taylor d’ordre k pr`s de a est le polynˆme en la variable o e o d’accroissement h f (a) 2 f (a) 3 f (k) (a) k Tk (h) = f (a) + f (a) h + h + h + ... + h 2 3! k! Le reste ( d’ordre (k+1) ) de ce polynˆme en ce point est l’expression o Rk+1 (h) = hk+1 (k+1) f (a + θh) (k + 1)! Polynˆmes de Taylor : plusieurs variables et ordre 1 o Pour une fonction f de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a, le polynˆme de Taylor d’ordre 1 pr`s de a est le polynˆme en la variable o e o d’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp ) ∂f ∂f ∂f (a) h1 + (a) h2 + . . . (a) hp T1 (h) = f (a) + da f (h) = f (a) + ∂x1 ∂x2 ∂xp Le reste (d’ordre 2) de ce polynˆme en ce point est l’expression o 1 t R2 (h) = h H(a+θh) f h 2 C’est une forme quadratique. 55
  57. 57. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre D´finitions e Polynˆmes de Taylor : plusieurs variables et ordre 2 o Pour une fonction f de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a, le polynˆme de Taylor d’ordre 2 pr`s de a est le polynˆme en la variable o e o d’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp ) T2 (h) = f (a) + da f (h) + 1 t h H(a)f h 2 Maximum global d’une fonction de Rp dans R Si f est une fonction de Rp dans R et a un point de dom f , on dit que a d´termine un maximum (global) de f ssi la valeur de f en a est sup´rieure e e (ou ´gale) ` la valeur de f en n’importe quel autre point du domaine. e a Autrement dit a d´termine un maximum (global) de f e ssi ∀x ∈ dom f f (x) ≤ f (a) On d´finira de mˆme la notion de minimum global . e e Minimum local d’une fonction de Rp dans R Si f est une fonction de Rp dans R et a un point de dom f , on dit que a d´termine un minimum local de f ssi il existe un voisinage de a tel que e la valeur de f en a est inf´rieure (ou ´gale) ` la valeur de f en n’importe quel e e a autre point du voisinage. Autrement dit a d´termine un maximum local de f e ssi ∃ V voisinage de a t.q. ∀x ∈ (V ∩ dom f ) f (x) ≥ f (a) On d´finira de mˆme la notion de maximum local . e e Point stationnaire d’une fonction de Rp dans R Si f est une fonction de Rp dans R d´rivable au point a de dom f , on dit que e a est un point stationnaire de f ssi toutes les d´riv´es partielles de f en a e e sont nulles. Autrement dit a est un point stationnaire de f ssi toutes les d´riv´es partielles de f en a existent et sont nulles e e ssi f (a) = 0 56
  58. 58. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre D´finitions e Point de selle Un point de selle d’une fonction de Rp dans R est un point stationnaire de f qui ne d´termine pas un extr´mum de f . e e 57
  59. 59. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Principaux th´or`mes e e Principaux th´or`mes du Chapitre 4 e e Th´or`me de Taylor : une variable, ordre k e e Si f est une fonction de R dans R de classe C (k+1) dans un voisinage de a, alors, quelque soit l’accroissement h, (tel que a + h reste dans le voisinage consid´r´), il existe un nombre θ, 0 < θ < 1, pour lequel ee f (a + h) = Tk (h) + Rk+1 (h) = f (a) + f (a) h + f (a) 2 h2 + f (a) 3! h3 + . . . + f (k) (a) k! hk + hk+1 (k+1) f (a + θh) (k+1)! Si h est petit, et k grand, et si on peut fixer des bornes ` f (k+1) (a + θh), a on pourra assurer que le reste (ou l’erreur) est petit et que le polynˆme de o Taylor fournit une bonne approximation de f (a + h). Th´or`me de Taylor : p variables, ordre 1 e e Si f est une fonction de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a, alors, quelque soit le vecteur d’accroissement h (tel que a + h reste dans le voisinage consid´r´), il existe un nombre θ, 0 < θ < 1, pour lequel ee t f (a + h) = T1 (h) + R2 (h) = f (a) + da f (h) + h H(a+θh) f h Extr´mum et extr´mum sur les sections e e Soit f une fonction de Rp et R. a = (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine un maximum (ou un minimum) local e Si de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ), alors a1 d´termine un maximum (ou un minimum) local de la fonction d’une e variable g1 (x) = f (x, a2 , . . . , ap ). Extr´mum et d´riv´es partielles e e e Du th´or`me pr´c´dent et avec les mˆmes notations, on peut d´duire que e e e e e e Si et si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles e e e existent, a d´termine un extr´mum local de la fonction f , e e ∂f alors g1 (a1 ) = ∂x1 (a) = 0. Le mˆme raisonnement peut ´videmment s’appliquer aux autres variables. e e Ce qui permet d’arriver au th´or`me suivant. e e 58
  60. 60. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Principaux th´or`mes e e Extr´mum libre : Conditions n´cessaires de premier ordre e e Si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles e e e existent, et si a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f , e  ∂f  ∂x1 (a) = 0    ∂f  (a) = 0 ∂x2 alors .  .    ∂f .  (a) = 0 ∂xp Autrement dit et si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles e e e existent, a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f , e alors a est un point stationnaire de f . Si Extr´mums libres : o` les chercher ? e u On d´duit du th´or`me pr´c´dent que e e e e e les points qui sont susceptibles de d´terminer un extr´mum local de la fonction e e f de Rp dans R sont • les points qui ne sont pas ` l’int´rieur de dom f , c.-`-d. les points de la a e a fronti`re, ou sur le bord, du domaine ; e • les points o` les d´riv´es partielles de f n’existent pas toutes ; u e e • les points stationnaires. Extr´mums libres : Conditions suffisantes de second ordre e Soit f une fonction de Rp dans R. – Si a est un point stationnaire de f et que la matrice Hessienne de f en a est DP, alors a d´termine un minimum local de f . e – Si a est un point stationnaire de f et que la matrice Hessienne de f en a est DN, alors a d´termine un maximum local de f . e – Si a est un point stationnaire de f et que la matrice Hessienne de f en a est IND, alors a d´termine un point de selle de f . e 59
  61. 61. 2008 Analyse Ch. 4 Optimisation libre Principaux th´or`mes e e Extr´mums libres : Conditions n´cessaires de second ordre e e p Soit f une fonction de R dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a. Si a d´termine un maximum local de f , e alors la Hessienne de f en a ne peut ˆtre que DN ou SDN . e On en d´duit que si le point a est un point stationnaire en lequel la Hessienne e est SDP, il ne peut d´terminer qu’un minimum ou un point de selle de f . e On peut ´videmment ´crire un th´or`me dual en changeant maximum en mie e e e nimum, DN en DP, . . . etc. 60

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