1. Exercices - Formes lineaires - Dualite : enonce
Exercice 1 - Une forme lineaire - L1/Math Sup - ?
Determiner la forme lineaire f de
2. nie sur R3 telle que
f(1, 1, 1) = 0, f(2, 0, 1) = 1 et f(1, 2, 3) = 4.
Donner une base du noyau de ker(f).
Exercice 2 - Une base en dimension 2 - L1/Math Sup - ?
Soient f1, f2 les deux elements de L(R2,R) de
3. nis par
f1(x, y) = x + y et f2(x, y) = x − y.
1. Montrer que (f1, f2) forme une base de (R2).
2. Exprimer les formes lineaires suivantes dans la base (f1, f2) :
g(x, y) = x, h(x, y) = 2x − 6y.
Exercice 3 - Coordonnees - L2/Math Spe - ??
Soit E = Rn[X] muni de la base B = {1,X, . . . ,Xn}. Pour tout i de {0, . . . , n}, on de
4. nit
une forme lineaire fi sur E par
8j 2 {0, . . . , n}, fi(Xj) =
(
1 si i = j
0 si i6= j.
1. Demontrer que (f0, . . . , fn) est une base de E.
2. On considere les deux elements et de E de
5. nis par, pour tout P 2 E, (P) = P(1)
et (P) = P0(0). Determiner les coordonnees de chacune des formes et dans la base
(f0, . . . , fn).
Exercice 4 - Base duale - L2/Math Spe - ??
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, (e1, e2, e3) une base de E. Soient f 1 , f 2 et f 3
les formes lineaires sur E de
6. nies par
f
1 = 2e1
+ e2
+ e3
2 = −e1
, f
+ 2e3, f
3 = e1
+ 3e2
.
Montrer que (f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de E et determiner la base (f1, f2, f3) de E dont elle est
la base duale.
Exercice 5 - Bases duales et polyn^omes - L2/Math Spe - ??
Soit E = R3[X]. On considere la famille F = {f0, f1, f2, f3} d'elements de E de
7. nis, pour
j = 0, . . . , 3, par
8P 2 E, fj(P) = P(j).
1. Montrer que la famille F est une base de E.
2. Determiner la base B de E dont F est la base duale.
Exercice 6 - Formes lineaires sur un espace de polyn^omes - L2/Math Spe - ??
Soit E = Rn[X], et x0, . . . , xn des nombres reels distincts. On pose, pour tout P 2 E,
(P) = R 1
−1
P(t)
1+cos2(t) dt. Montrer qu'il existe 0, . . . , n 2 R tels que, pour tout P 2 E, (P) =
0P(x0) + · · · + nP(xn).
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8. Exercices - Formes lineaires - Dualite : enonce
Exercice 7 - Formes lineaires multiplicatives sur les matrices - L2/Math Spe - ??
Soit une forme lineaire sur Mn(R) veri
9. ant (AB) = (BA) pour toutes matrices A,B 2
Mn(R). Montrer qu'il existe 2 R tel que (M) = Tr(M).
Exercice 8 - Separation - L2/Math Spe - ??
Soit E un espace vectoriel et x, y 2 E. Demontrer que x = y si et seulement si, pour tout
2 E, (x) = (y).
Exercice 9 - Intersection d'hyperplans - L2/Math Spe - ???
Soit E un espace vectoriel de dimension q et (fi)1ip une famille de p formes lineaires. On
rappelle que f 2 L(E,K) si et seulement si
p
i=1
ker(fi) ker(f).
1. On note F = Tp
i=1 ker(fi). Montrer que F est de dimension superieure ou egale a q − p,
avec egalite si et seulement si les formes lineaires sont independantes.
2. En deduire la dimension de F, l'espace vectoriel des matrices carrees de taille n dont la
somme de chaque ligne est nulle.
3. En appliquant le resultat de la premiere question a F et aux formes lineaires gj(M) = Pni
=1mi,j , pour j = 1, . . . , n−1, en deduire la dimension de l'espace vectoriel des matrices
carrees de taille n dont la somme de chaque ligne et la somme de chaque colonne est nulle.
Pourquoi ne considere-t-on pas (gj) pour j = 1, . . . , n ?
Exercice 10 - Hyperplans de Mn(K) - L2/Math Spe/Oral X/Agreg - ???
1. Soit ' une forme lineaire sur Mn(K). Montrer qu'il existe une matrice A 2 Mn(K) tel
que, pour tout M de Mn(K). '(M) = Tr(AM).
2. En deduire que tout hyperplan de Mn(K) contient une matrice inversible.
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