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Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Chapitre 1
Introduction à la théorie du signal
Magalie THOMASSIN
magalie.thomassin@univ-lorraine.fr
TELECOM Nancy
1re année
SICA1
2014–2015
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 1 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Plan
1 Classifications des signaux
2 Signaux élémentaires
3 Convolution
4 Produit scalaire
5 Complément sur l’impulsion de Dirac
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 2 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Classification dimensionnelle
Signal scalaire ou monodimensionnel 1D
Fonction d’1 seul paramètre (pas forcément le temps) ⇒s(x)
Signal vectoriel
Signal à plusieurs dimensions
I Signal bidimensionnel 2D
Fonction de 2 paramètres. Ex : une image ⇒I(x, y)
I Signal tridimensionnel 3D
Fonction de 3 paramètres. Ex : un film ⇒F (x, y, t)
Dans ce cours, on s’intéresse essentiellement aux signaux scalaires temporels
Signal à temps continu
x(t)
Signal à temps discret
x(k)
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 3 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Continu/Discret
Introduction
Définitions
Etude des signaux
Conclusion : objectifs du cours1
Classification des signaux
Puissance et énergie
Signal aléatoire
Continu / discret
Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 22/35
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 4 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Classification phénoménologique
Signal déterministe ou aléatoire
Signaux déterministes
Signaux dont l’évolution peut être parfaitement décrite par un description mathématique ou graphique
I périodiques
 Evolution déterministe ou aléatoire des signaux
 Signaux déterministes
 Sous catégories :
Signaux dont l'évolution en fonction du temps t peut être parfaiteme
décrite grâce à une description mathématique ou graphique.
 périodiques  apériodiques
support non borné support bo
Signal réel
C'est un signal représentant une grandeur physique. Son modèl
mathématique est une fonction réelle. Ex. : tension aux bornes d
)
(
)
( kT
t
x
t
x
T +
=
∃
 transitoire
∃T ∈ R, ∀t, x(t) = x(t + T )
I apériodiques
TdS
Classification phénoménologique
 Evolution déterministe ou aléatoire des signaux
 Signaux déterministes
 Sous catégories :
Signaux dont l'évolution en fonction du temps t peut être parfaitement
décrite grâce à une description mathématique ou graphique.
 périodiques  apériodiques
support non borné support borné
Signal réel
C'est un signal représentant une grandeur physique. Son modèle
mathématique est une fonction réelle. Ex. : tension aux bornes d'un C
)
(
)
( kT
t
x
t
x
T +
=
∃
 transitoire
I transitoires
Evolution déterministe ou aléatoire des signaux
 Signaux déterministes
 Sous catégories :
Signaux dont l'évolution en fonction du temps t peut être parfaitement
décrite grâce à une description mathématique ou graphique.
 périodiques  apériodiques
support non borné support borné
Signal réel
C'est un signal représentant une grandeur physique. Son modèle
mathématique est une fonction réelle. Ex. : tension aux bornes d'un C
)
(
)
( kT
t
x
t
x
T +
=
∃
 transitoire
Signal à durée limitée
= Signal à support borné
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 5 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Classification phénoménologique (suite)
Signal déterministe ou aléatoire
Signaux aléatoires (ou stochastiques)
Signaux dont l’évolution est imprévisible : on ne peut pas prédire la valeur à un temps t.
La description est fondée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne, variance, etc.)
Stationnarité : ses propriétés statistiques sont indépendantes du temps
I stationnaires
13
TdS
Classification phénoménologique
 Signaux aléatoires (stochastiques)
Signaux dont l'évolution temporelle est imprévisible et dont on ne
peut pas prédire la valeur à un temps t.
La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux
(moyenne, variance, loi de probabilité, …)
Signaux aléatoires stationnaires
Stationnaire si les caractéristiques statistiques ne varient pas au cours du temps.
Exemple résultat d'un jet de dé lancé toutes les secondes (moyenne=3.5, écart type :1.87)
 stationnaires  Non-stationnaires
I non stationnaires
13
TdS
Classification phénoménologique
 Signaux aléatoires (stochastiques)
Signaux dont l'évolution temporelle est imprévisible et dont on ne
peut pas prédire la valeur à un temps t.
La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux
(moyenne, variance, loi de probabilité, …)
Signaux aléatoires stationnaires
Stationnaire si les caractéristiques statistiques ne varient pas au cours du temps.
Exemple résultat d'un jet de dé lancé toutes les secondes (moyenne=3.5, écart type :1.87)
 stationnaires  Non-stationnaires
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 6 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Un signal aléatoire particulier : le bruit
Définition : perturbation pouvant gêner la perception ou l’interprétation d’un signal.
En général, il s’agit d’une fluctuation imprévisible due à l’environnement.
La notion de bruit est relative. Elle dépend du contexte.
exemple du technicien en télécom et de l’astronome :
I pour le technicien télécom :
• signal = ondes d’un satellite
• bruit = signaux d’une source astrophysique
I pour l’astronome :
• signal = signaux d’une source astrophysique
• bruit = ondes d’un satellite
Tout signal physique comporte du bruit ! !
Signal = composante déterministe + composante aléatoire (le bruit)
Rapport Signal sur Bruit (RSB) :
détermine la qualité du signal déterministe ou aléatoire / quantifie l’effet du bruit
RSB =
Ps
Pb
RSBdB = 10 log10

Ps
Pb

où Ps et Pb sont les puissances respectives du signal et du bruit
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 7 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Un signal aléatoire particulier : le bruit (suite)
Signal : sinusoı̈de pure (Ps = A2
2
)
Bruit : bruit blanc gaussien de moyenne nulle et de variance σ2 (Pb = σ2)
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 8 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Classification – récapitulatif Introduction
Définitions
Etude des signaux
Conclusion : objectifs du cours1
Classification des signaux
Puissance et énergie
Signal aléatoire
4.5 Classification typologique
Les signaux déterministes peuvent être prédits par un modèle mathématique connu.
Les signaux sont dit aléatoires lorsque leur comportement est imprévisible. Ces signaux sont alors
décrits avec des outils statistiques (moyenne, écart type, densité de probabilité, moments statistiques
…).
Un signal aléatoire est strictement stationnaire si sa densité de probabilité est invariante pour toute
translation temporelle.
La moyenne
d'ensemble (et
les moments
statistiques
supérieurs) est
invariante en
fonction du
temps
La moyenne
d'ensemble
=
Moyenne
temporelle
Classificati
on par les
moments
statistiques
Signaux
Déterministes Aléatoires
Périodiques Non
périodiques Stationnaires
Non
stationnaires
Sinusoïdaux
Périodiques
Complexes
Presque
périodiques
Transitoires Ergodique Classes de non
Stationnarité
Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 34/35
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 9 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Energie et puissance d’un signal
Cas d’un signal continu x(t)
I Energie totale
Ex =
R ∞
−∞ |x(t)|2dt
I Puissance moyenne totale
Px = limT →∞
R T/2
−T/2
|x(t)|2dt
Cas d’un signal discret x(k)
I Energie totale
Ex =
P+∞
k=−∞ |x(k)|2
I Puissance moyenne totale
Px = limK→∞
PK/2
k=−K/2
|x(k)|2
Remarques
Ex  ∞ ⇒ Px = 0
la puissance moyenne totale d’un signal périodique est égale à celle sur une période
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 10 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Classification énergétique
On distingue alors :
les signaux à énergie finie (⇒Px = 0) :
tous les transitoires, déterministes ou aléatoire : cas de tous les signaux physiques
les signaux à puissance moyenne finie non-nulle (⇒Ex = ∞) :
tous les signaux permanents, déterministes (périodiques ou quasi-périodiques) ou aléatoires
Résultat important
ETot  ⇤ PTot = 0
Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 25/35
Introduction
Définitions
Etude des signaux
Conclusion : objectifs du cours1
Classification des signaux
Puissance et énergie
Signal aléatoire
Classification énergétique des signaux
Signaux
Energie finie
Etot  +inf
Energie infinie
Puissance finie
Puissance nulle
PmoyTot = 0
- Signaux périodiques
- Signaux apériodiques non
transitoires
- Signaux aléatoires
permanents
Signaux transitoires
Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 27/35
P
Certains signaux théoriques n’appartiennent à aucune de ces catégories
Ex. :x(t) = exp(at) pour −∞  t  ∞, iimpulsion de Dirac, peigne de Dirac,etc.
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 11 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Plan
1 Classifications des signaux
2 Signaux élémentaires
3 Convolution
4 Produit scalaire
5 Complément sur l’impulsion de Dirac
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 12 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Signal sinusoı̈dal
s(t) = A sin(ω0t + φ0) = A sin(ω0(t + τ))
avec :
A : amplitude du signal
ω0 = 2π
T0
= 2πf0 : pulsation (en rad/s)
T0 : période du signal (en s)
f0 fréquence fondamentale (en Hz)
φ(t) = ω0t + φ0 : phase instantanée
φ0 = ω0τ : phase à l’origine (pour t = 0)
(en rad)
τ : décalage (en s) de s(t) par rapport à 0
(retard si τ  0 ; avance si τ  0)
Signal sinusoïdal
s(t)
t
0
To
A
-A
τ
€
s(t) = A sin
2π
To
(t + τ)
$
%

'
(
)
Utiliser la formule pour tracer ou déduire l’expression du
signal. Les variables sont en sec et peuvent être directement lues sur le tracé
M1205 H. Ga
Remarque : lien avec exponentielle complexe ejω0t
= cos(ω0t) + j sin(ω0t)
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 13 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
les signaux échelon et rampe
La rampe unitaire
L’échelon unitaire
I L’échelon 1(t) est la dérivée (discontinue à l’origine) de r(t). Il n’est pas défini en t = 0.
I Signal causal : signal qui est nul pour t  0 (origine des temps).
L’échelon permet d’écrire ceci de façon condensé :
x(t) =
(
0 pour t  0
Ceat
pour t 6 0
= Ce
at
.1(t)
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 14 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Impulsion de Dirac
Définition pratique
Signal essentiel : l'impulsion de Dirac!
• Définition pratique : considérons la limite de la fenêtre
rectangulaire ci-dessous lorsque T tend vers 0
δ(t) n’est pas une fonction. C’est un “être” à valeur infinie en un
point et à valeur nulle partout ailleurs qui n’est pas
représentable graphiquement.
Par convention, la représentation graphique d’une impulsion de
Dirac est une flèche verticale placée en t=0 de longueur
proportionnelle à la constante de pondération ici égale à 1.
)
t
(
)
t
(
Rect
T
1
0
T
lim T δ
=
→
t
0
RectT(t)
2
T
2
T
T
1
T
1
Aire=1
t
0
δ(t)
1
∫
∞
+
∞
−
=
δ 1
dt
)
t
(
M1205 H. Garnier
Représentation par un flèche verticale en t = 0 d’amplitude égale à l’aire (ici 1)
Ce n’est pas une fonction, mais se définit rigoureusement grâce à la théorie des distributions
Propriétés de l’impulsion de Dirac :
I
Z ∞
−∞
s(t)δ(t−t0) = s(t0) I
Z ∞
−∞
δ(t) = 1 (pour s(t) = 1, t0 = 0)
I Produit d’un signal par une impulsion de Dirac
s(t)δ(t − t0) = s(t0)δ(t − t0) s(t)δ(t) = s(0)δ(t) (pour t0 = 0)
I Changement de variable δ(at) =
1
|a|
δ(t)
Autres propriétés :
I δ(t) =
d1(t)
dt
I 1(t) =
Z t
−∞
δ(τ)dτ =
Z ∞
0
δ(t − τ)dτ
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 15 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Impulsion unitaire discrète
L’impulsion unitaire discrète
Propriétés :
I δ(k) = ∆1(k) = 1(k) − 1(k − 1)
I 1(k) =
k
X
n=0
δ(n) =
k
X
n=−∞
δ(n) =
∞
X
n=0
δ(k − n)
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 16 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Le peigne de Dirac et Signal échantillonné (échantillonnage idéal)
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 17 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Plan
1 Classifications des signaux
2 Signaux élémentaires
3 Convolution
4 Produit scalaire
5 Complément sur l’impulsion de Dirac
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 18 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Produit de convolution
Définition
On appelle produit de convolution de deux signaux x et g :
temps continu
y(t) = [x ∗ g](t) =
Z +∞
−∞
x(τ)g(t − τ)dτ
temps discret
y(k) = [x ∗ g](k) =
+∞
X
n=−∞
x(n)g(k − n)
Propriétés
Commutativité : g ∗ x = x ∗ g
Associativité : (x ∗ g1) ∗ g2 = x ∗ (g1 ∗ g2)
Distributivité : (g1 + g2) ∗ x = (g1 ∗ x) + (g2 ∗ x)
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 19 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Produit de convolution avec impulsion de Dirac
Par abus de notation, on peut écrire le produit de convolution : x(t) ∗ g(t).
Propriétés
x(t) ∗ δ(t) = x(t)
x(t) ∗ δ(t − τ) = x(t − τ)
x(t − t1) ∗ δ(t − t2) = x(t − t1 − t2)
cas particulier : δ(t − t1) ∗ δ(t − t2) = δ(t − t1 − t2)
Périodisation du signal x(t)
x(t) ∗ δT (t) = x(t) ∗
+∞
X
n=−∞
δ(t − nT) =
+∞
X
n=−∞
x(t − nT) = xT (t)
!!!!! !
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 20 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Plan
1 Classifications des signaux
2 Signaux élémentaires
3 Convolution
4 Produit scalaire
5 Complément sur l’impulsion de Dirac
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 21 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Produit de scalaire de 2 signaux
Définition
Cas de signaux complexes :
 x1, x2 =
Z +∞
−∞
x1(t).x∗
2(t)dt
où ∗ représente la conjugaison complexe
Cas de signaux rééls :
 x1, x2 =
Z +∞
−∞
x1(t).x2(t)dt
Dans le cas complexe, on remarque que  x, y 6= y, x .
En revanche, cette définition possède la symétrie hermitienne :  x, y =  y, x ∗
Cas particulier avec l’impulsion de Dirac
 f, δ =
Z +∞
−∞
f(t).δ(t)dt = f(0)
 gδ, f = δ, gf 
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 22 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Plan
1 Classifications des signaux
2 Signaux élémentaires
3 Convolution
4 Produit scalaire
5 Complément sur l’impulsion de Dirac
Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 23 / 24
Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac
Encore quelques propriétés de l’impulsion de Dirac
Changement de variable : δ(at) = |a|−1δ(t)
En particulier : δ(ω) =
1
2πδ
δ(f)
Dérivation ˙
(δf) = δ̇f + ˙
fδ
 δ̇, f = −  δ, ˙
f = − ˙
f(0)
 δ(n), f = (−1)n  δ, f(n) 
˙
(δ ∗ f) = δ̇ ∗ f = δ ∗ ˙
f
De plus, on verra, dans la suite, que la transformée de Fourier peut être étendue au cas des
distributions
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  • 1. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Chapitre 1 Introduction à la théorie du signal Magalie THOMASSIN magalie.thomassin@univ-lorraine.fr TELECOM Nancy 1re année SICA1 2014–2015 Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 1 / 24
  • 2. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Plan 1 Classifications des signaux 2 Signaux élémentaires 3 Convolution 4 Produit scalaire 5 Complément sur l’impulsion de Dirac Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 2 / 24
  • 3. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Classification dimensionnelle Signal scalaire ou monodimensionnel 1D Fonction d’1 seul paramètre (pas forcément le temps) ⇒s(x) Signal vectoriel Signal à plusieurs dimensions I Signal bidimensionnel 2D Fonction de 2 paramètres. Ex : une image ⇒I(x, y) I Signal tridimensionnel 3D Fonction de 3 paramètres. Ex : un film ⇒F (x, y, t) Dans ce cours, on s’intéresse essentiellement aux signaux scalaires temporels Signal à temps continu x(t) Signal à temps discret x(k) Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 3 / 24
  • 4. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Continu/Discret Introduction Définitions Etude des signaux Conclusion : objectifs du cours1 Classification des signaux Puissance et énergie Signal aléatoire Continu / discret Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 22/35 Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 4 / 24
  • 5. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Classification phénoménologique Signal déterministe ou aléatoire Signaux déterministes Signaux dont l’évolution peut être parfaitement décrite par un description mathématique ou graphique I périodiques  Evolution déterministe ou aléatoire des signaux  Signaux déterministes  Sous catégories : Signaux dont l'évolution en fonction du temps t peut être parfaiteme décrite grâce à une description mathématique ou graphique.  périodiques  apériodiques support non borné support bo Signal réel C'est un signal représentant une grandeur physique. Son modèl mathématique est une fonction réelle. Ex. : tension aux bornes d ) ( ) ( kT t x t x T + = ∃  transitoire ∃T ∈ R, ∀t, x(t) = x(t + T ) I apériodiques TdS Classification phénoménologique  Evolution déterministe ou aléatoire des signaux  Signaux déterministes  Sous catégories : Signaux dont l'évolution en fonction du temps t peut être parfaitement décrite grâce à une description mathématique ou graphique.  périodiques  apériodiques support non borné support borné Signal réel C'est un signal représentant une grandeur physique. Son modèle mathématique est une fonction réelle. Ex. : tension aux bornes d'un C ) ( ) ( kT t x t x T + = ∃  transitoire I transitoires Evolution déterministe ou aléatoire des signaux  Signaux déterministes  Sous catégories : Signaux dont l'évolution en fonction du temps t peut être parfaitement décrite grâce à une description mathématique ou graphique.  périodiques  apériodiques support non borné support borné Signal réel C'est un signal représentant une grandeur physique. Son modèle mathématique est une fonction réelle. Ex. : tension aux bornes d'un C ) ( ) ( kT t x t x T + = ∃  transitoire Signal à durée limitée = Signal à support borné Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 5 / 24
  • 6. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Classification phénoménologique (suite) Signal déterministe ou aléatoire Signaux aléatoires (ou stochastiques) Signaux dont l’évolution est imprévisible : on ne peut pas prédire la valeur à un temps t. La description est fondée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne, variance, etc.) Stationnarité : ses propriétés statistiques sont indépendantes du temps I stationnaires 13 TdS Classification phénoménologique  Signaux aléatoires (stochastiques) Signaux dont l'évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t. La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …) Signaux aléatoires stationnaires Stationnaire si les caractéristiques statistiques ne varient pas au cours du temps. Exemple résultat d'un jet de dé lancé toutes les secondes (moyenne=3.5, écart type :1.87)  stationnaires  Non-stationnaires I non stationnaires 13 TdS Classification phénoménologique  Signaux aléatoires (stochastiques) Signaux dont l'évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t. La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …) Signaux aléatoires stationnaires Stationnaire si les caractéristiques statistiques ne varient pas au cours du temps. Exemple résultat d'un jet de dé lancé toutes les secondes (moyenne=3.5, écart type :1.87)  stationnaires  Non-stationnaires Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 6 / 24
  • 7. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Un signal aléatoire particulier : le bruit Définition : perturbation pouvant gêner la perception ou l’interprétation d’un signal. En général, il s’agit d’une fluctuation imprévisible due à l’environnement. La notion de bruit est relative. Elle dépend du contexte. exemple du technicien en télécom et de l’astronome : I pour le technicien télécom : • signal = ondes d’un satellite • bruit = signaux d’une source astrophysique I pour l’astronome : • signal = signaux d’une source astrophysique • bruit = ondes d’un satellite Tout signal physique comporte du bruit ! ! Signal = composante déterministe + composante aléatoire (le bruit) Rapport Signal sur Bruit (RSB) : détermine la qualité du signal déterministe ou aléatoire / quantifie l’effet du bruit RSB = Ps Pb RSBdB = 10 log10 Ps Pb où Ps et Pb sont les puissances respectives du signal et du bruit Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 7 / 24
  • 8. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Un signal aléatoire particulier : le bruit (suite) Signal : sinusoı̈de pure (Ps = A2 2 ) Bruit : bruit blanc gaussien de moyenne nulle et de variance σ2 (Pb = σ2) Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 8 / 24
  • 9. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Classification – récapitulatif Introduction Définitions Etude des signaux Conclusion : objectifs du cours1 Classification des signaux Puissance et énergie Signal aléatoire 4.5 Classification typologique Les signaux déterministes peuvent être prédits par un modèle mathématique connu. Les signaux sont dit aléatoires lorsque leur comportement est imprévisible. Ces signaux sont alors décrits avec des outils statistiques (moyenne, écart type, densité de probabilité, moments statistiques …). Un signal aléatoire est strictement stationnaire si sa densité de probabilité est invariante pour toute translation temporelle. La moyenne d'ensemble (et les moments statistiques supérieurs) est invariante en fonction du temps La moyenne d'ensemble = Moyenne temporelle Classificati on par les moments statistiques Signaux Déterministes Aléatoires Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires Sinusoïdaux Périodiques Complexes Presque périodiques Transitoires Ergodique Classes de non Stationnarité Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 34/35 Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 9 / 24
  • 10. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Energie et puissance d’un signal Cas d’un signal continu x(t) I Energie totale Ex = R ∞ −∞ |x(t)|2dt I Puissance moyenne totale Px = limT →∞ R T/2 −T/2 |x(t)|2dt Cas d’un signal discret x(k) I Energie totale Ex = P+∞ k=−∞ |x(k)|2 I Puissance moyenne totale Px = limK→∞ PK/2 k=−K/2 |x(k)|2 Remarques Ex ∞ ⇒ Px = 0 la puissance moyenne totale d’un signal périodique est égale à celle sur une période Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 10 / 24
  • 11. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Classification énergétique On distingue alors : les signaux à énergie finie (⇒Px = 0) : tous les transitoires, déterministes ou aléatoire : cas de tous les signaux physiques les signaux à puissance moyenne finie non-nulle (⇒Ex = ∞) : tous les signaux permanents, déterministes (périodiques ou quasi-périodiques) ou aléatoires Résultat important ETot ⇤ PTot = 0 Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 25/35 Introduction Définitions Etude des signaux Conclusion : objectifs du cours1 Classification des signaux Puissance et énergie Signal aléatoire Classification énergétique des signaux Signaux Energie finie Etot +inf Energie infinie Puissance finie Puissance nulle PmoyTot = 0 - Signaux périodiques - Signaux apériodiques non transitoires - Signaux aléatoires permanents Signaux transitoires Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Introduction 27/35 P Certains signaux théoriques n’appartiennent à aucune de ces catégories Ex. :x(t) = exp(at) pour −∞ t ∞, iimpulsion de Dirac, peigne de Dirac,etc. Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 11 / 24
  • 12. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Plan 1 Classifications des signaux 2 Signaux élémentaires 3 Convolution 4 Produit scalaire 5 Complément sur l’impulsion de Dirac Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 12 / 24
  • 13. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Signal sinusoı̈dal s(t) = A sin(ω0t + φ0) = A sin(ω0(t + τ)) avec : A : amplitude du signal ω0 = 2π T0 = 2πf0 : pulsation (en rad/s) T0 : période du signal (en s) f0 fréquence fondamentale (en Hz) φ(t) = ω0t + φ0 : phase instantanée φ0 = ω0τ : phase à l’origine (pour t = 0) (en rad) τ : décalage (en s) de s(t) par rapport à 0 (retard si τ 0 ; avance si τ 0) Signal sinusoïdal s(t) t 0 To A -A τ € s(t) = A sin 2π To (t + τ) $ % ' ( ) Utiliser la formule pour tracer ou déduire l’expression du signal. Les variables sont en sec et peuvent être directement lues sur le tracé M1205 H. Ga Remarque : lien avec exponentielle complexe ejω0t = cos(ω0t) + j sin(ω0t) Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 13 / 24
  • 14. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac les signaux échelon et rampe La rampe unitaire L’échelon unitaire I L’échelon 1(t) est la dérivée (discontinue à l’origine) de r(t). Il n’est pas défini en t = 0. I Signal causal : signal qui est nul pour t 0 (origine des temps). L’échelon permet d’écrire ceci de façon condensé : x(t) = ( 0 pour t 0 Ceat pour t 6 0 = Ce at .1(t) Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 14 / 24
  • 15. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Impulsion de Dirac Définition pratique Signal essentiel : l'impulsion de Dirac! • Définition pratique : considérons la limite de la fenêtre rectangulaire ci-dessous lorsque T tend vers 0 δ(t) n’est pas une fonction. C’est un “être” à valeur infinie en un point et à valeur nulle partout ailleurs qui n’est pas représentable graphiquement. Par convention, la représentation graphique d’une impulsion de Dirac est une flèche verticale placée en t=0 de longueur proportionnelle à la constante de pondération ici égale à 1. ) t ( ) t ( Rect T 1 0 T lim T δ = → t 0 RectT(t) 2 T 2 T T 1 T 1 Aire=1 t 0 δ(t) 1 ∫ ∞ + ∞ − = δ 1 dt ) t ( M1205 H. Garnier Représentation par un flèche verticale en t = 0 d’amplitude égale à l’aire (ici 1) Ce n’est pas une fonction, mais se définit rigoureusement grâce à la théorie des distributions Propriétés de l’impulsion de Dirac : I Z ∞ −∞ s(t)δ(t−t0) = s(t0) I Z ∞ −∞ δ(t) = 1 (pour s(t) = 1, t0 = 0) I Produit d’un signal par une impulsion de Dirac s(t)δ(t − t0) = s(t0)δ(t − t0) s(t)δ(t) = s(0)δ(t) (pour t0 = 0) I Changement de variable δ(at) = 1 |a| δ(t) Autres propriétés : I δ(t) = d1(t) dt I 1(t) = Z t −∞ δ(τ)dτ = Z ∞ 0 δ(t − τ)dτ Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 15 / 24
  • 16. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Impulsion unitaire discrète L’impulsion unitaire discrète Propriétés : I δ(k) = ∆1(k) = 1(k) − 1(k − 1) I 1(k) = k X n=0 δ(n) = k X n=−∞ δ(n) = ∞ X n=0 δ(k − n) Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 16 / 24
  • 17. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Le peigne de Dirac et Signal échantillonné (échantillonnage idéal) Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 17 / 24
  • 18. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Plan 1 Classifications des signaux 2 Signaux élémentaires 3 Convolution 4 Produit scalaire 5 Complément sur l’impulsion de Dirac Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 18 / 24
  • 19. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Produit de convolution Définition On appelle produit de convolution de deux signaux x et g : temps continu y(t) = [x ∗ g](t) = Z +∞ −∞ x(τ)g(t − τ)dτ temps discret y(k) = [x ∗ g](k) = +∞ X n=−∞ x(n)g(k − n) Propriétés Commutativité : g ∗ x = x ∗ g Associativité : (x ∗ g1) ∗ g2 = x ∗ (g1 ∗ g2) Distributivité : (g1 + g2) ∗ x = (g1 ∗ x) + (g2 ∗ x) Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 19 / 24
  • 20. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Produit de convolution avec impulsion de Dirac Par abus de notation, on peut écrire le produit de convolution : x(t) ∗ g(t). Propriétés x(t) ∗ δ(t) = x(t) x(t) ∗ δ(t − τ) = x(t − τ) x(t − t1) ∗ δ(t − t2) = x(t − t1 − t2) cas particulier : δ(t − t1) ∗ δ(t − t2) = δ(t − t1 − t2) Périodisation du signal x(t) x(t) ∗ δT (t) = x(t) ∗ +∞ X n=−∞ δ(t − nT) = +∞ X n=−∞ x(t − nT) = xT (t) !!!!! ! Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 20 / 24
  • 21. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Plan 1 Classifications des signaux 2 Signaux élémentaires 3 Convolution 4 Produit scalaire 5 Complément sur l’impulsion de Dirac Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 21 / 24
  • 22. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Produit de scalaire de 2 signaux Définition Cas de signaux complexes : x1, x2 = Z +∞ −∞ x1(t).x∗ 2(t)dt où ∗ représente la conjugaison complexe Cas de signaux rééls : x1, x2 = Z +∞ −∞ x1(t).x2(t)dt Dans le cas complexe, on remarque que x, y 6= y, x . En revanche, cette définition possède la symétrie hermitienne : x, y = y, x ∗ Cas particulier avec l’impulsion de Dirac f, δ = Z +∞ −∞ f(t).δ(t)dt = f(0) gδ, f = δ, gf Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 22 / 24
  • 23. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Plan 1 Classifications des signaux 2 Signaux élémentaires 3 Convolution 4 Produit scalaire 5 Complément sur l’impulsion de Dirac Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 23 / 24
  • 24. Classifications signaux Signaux élémentaires Convolution Produit scalaire Complément sur l’impulsion de Dirac Encore quelques propriétés de l’impulsion de Dirac Changement de variable : δ(at) = |a|−1δ(t) En particulier : δ(ω) = 1 2πδ δ(f) Dérivation ˙ (δf) = δ̇f + ˙ fδ δ̇, f = − δ, ˙ f = − ˙ f(0) δ(n), f = (−1)n δ, f(n) ˙ (δ ∗ f) = δ̇ ∗ f = δ ∗ ˙ f De plus, on verra, dans la suite, que la transformée de Fourier peut être étendue au cas des distributions Magalie THOMASSIN (TELECOM Nancy 1re année) Ch1 – Intro Signal SICA1 2014–2015 24 / 24