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1 - Rappel Statistiques et probabilités.pdf

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  1. 1. Statistiques Inférentielles Abaida Abdellah
  2. 2. Plan 2
  3. 3. Pourquoi étudier les statistiques ? 3
  4. 4. ► Savoir présenter, décrire des données. ► Savoir tirer des conclusions sur des populations à partir de calculs conduits sur des échantillons. ► Savoir comment améliorer des processus. ► Savoir faire de “bonnes” prévisions. 2 domaines 4
  5. 5. Statistique descriptive Organisation, présentation et analyse des données en mettant les points importants en évidence. Statistique inférentielle Raisonner par inférence, prendre des décisions sur une population à partir d’un échantillon.
  6. 6. Le matériau de départ 5 NUMERO SALAIRE SEXE AGE ANC NIVEAU 1 129472 F 42 3 B 2 212696 M 54 10 B 3 210888 M 47 10 A 4 213692 M 47 1 B 5 202408 M 44 5 B 6 196132 M 42 10 A 7 97580 M 30 5 A 8 97580 F 52 6 A 9 172496 M 48 8 A 10 95900 F 58 4 A 11 212696 M 46 4 C 12 234060 M 36 8 C 13 225176 M 49 10 B 14 197532 F 55 10 B 15 179536 M 41 1 A 16 213716 F 52 5 B 17 186296 M 57 8 A 18 235872 F 61 10 B 19 212696 M 50 5 A 20 214508 M 47 10 B 21 196132 M 54 5 B 22 219924 M 47 7 A 23 250120 M 50 10 B 24 110100 F 38 3 A 25 97580 M 31 5 A 26 227536 M 47 10 A
  7. 7. Un tableau de données… Définitions Population Ensemble de référence x x 6x xx x x x Individu x x xx x x x x x Elément de la population x x x x xx
  8. 8. xx x x x x x Echantillon x x x x x Sous-ensemble de la population. x x Caractère, variable x x x x x x x x x x xx x Paramètre / Statistique Etude d’un seul caractère 7 variable
  9. 9. qualitative quantitative nominale ordinale discrète continue Description de base 8
  10. 10. ► Un graphique ► Des paramètres
  11. 11. L’analyse des tris à plat 9 • Elle consiste à traiter une seule variable à la fois. Il s’agit d'analyse uni-variée. • Il est question de se concentrer sur une description des résultats.
  12. 12. ² Analyse descriptive Caractéristiques de tendance centrales : Moyenne arithmétique : 10 1 p
  13. 13. X ∑= = 1 n i xin i Xi : nombre de voyages à l’étranger Yi : représente des revenus Analyse descriptive
  14. 14. 11 Caractéristiques de dispersion : La variance : 1 1 p p = − ∑ ( ) ∑ V x2 ( ) xix n i n V x ( ) = − ( ) ( ) xinix 2 2 n i = 1 i = 1 L’écart type : σ(x) = v(x)
  15. 15. Le coefficient de variation (risque) ( )σ x( ) γ = x X Présentations graphiques 12
  16. 16. Analyse bivariée 13
  17. 17. L’analyse des tris croisés 14 • Le tri croisé consiste à traiter simultanément deux questions pour mesurer la relation qui peut exister entre les deux variables étudiées et mettre en évidence comment les réponses apportées à la première question influencent les réponses apportées à l’autre.
  18. 18. L’analyse des tris croisés 15 Variables Nominale Nominale Correspondance Tableau d’effectifs (tableau croisé) Test Chi² Carte AFC Numérique Comparaison Tableau de moyennes Analyse de la variance Test de Fisher
  19. 19. Numérique Comparaison Tableau de moyennes Analyse de la variance Test de Fisher Corrélation Modèle de régression Nuage de points Test de Corrélation L’analyse des tris croisés 16 Séries à deux variables : Coefficient de corrélation linéaire Cov X Y ( , )
  20. 20. r X Y σ σ ( , ) = X Y L’analyse des tris croisés: ex.1 17 Le tableau croisé de 2 variables qualitatives donne lieu à un tableau de contingence : • Echantillon : 240 personnes
  21. 21. • Variables : relatives à deux questions : Sexe: deux modalités (Masculin; Féminin) Lieu d’achat du dentifrice : 3 modalités (Pharmacie; ailleurs; NSP) L’analyse des tris croisés: ex.1 18
  22. 22. Le tableau croisé de 2 variables qualitatives donne lieu à un tableau de contingence : L’analyse des tris croisés: ex.1 19
  23. 23. Principe Général du Test d’indépendance Tableau de contingence observé 2 Var Quali Tableau de contingence théorique Ecart
  24. 24. Indépendance ou dépendance L’analyse des tris croisés: ex.1 20 Le tableau croisé de 2 variables qualitatives donne lieu à un tableau de contingence :
  25. 25. n n * = ∑ χ2 = 49,24 =2 χ−
  26. 26. 2 ( ) t. . i j n t ij ij ij N t i j , ij L’analyse des tris croisés: ex.1 21
  27. 27. L’analyse des tris croisés 22 On a interrogé des habitants de Casablanca, de Rabat et de Salé sur l’appréciation de 4 stations de radio :
  28. 28. Casa Rabat Salé Radio Journal 18 18 11 Radio Music 12 15 18 Radio sport 32 20 23 Radio social 15 12 6 L’analyse des tris croisés
  29. 29. Casa Rabat Settat ni. 18 18 11 12 15 18 32 20 23 15 12 6 Radio 1 47 Radio 2 45 Radio 3 75 Radio 4 33 n.j 77 65 58 200 23
  30. 30. Probabilité 24 V/ Théories des probabilités : 25 La théorie des probabilités est la partie la plus
  31. 31. abstraite de la statistique. Elle traite des phénomènes aléatoires et s’est développée dans des salles de jeu, ce qui explique le fait que la majorité des exemples retenus sont empruntés aux jeux de hasard. 26 La théorie des probabilités est l’intermédiaire entre la statistique descriptive qui
  32. 32. traite des séries statistiques directement, et l’inférence statistique qui comprend les valeurs statistiques comme les indicateurs indirects de valeurs vraies mesurées par échantillonnage I/ Éléments du calcul des probabilités 27 Vocabulaire probabiliste:
  33. 33. Expérience aléatoire: Une expérience est dite aléatoire si : a- On ne peut prédire avec certitude son résultat b- On peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles. Exemple : jet d'un dé ; lancer d'une pièce de monnaie, comportement d’achat d’une personne. Ensemble fondamental : 28
  34. 34. (appelé également univers des possibles, espace échantillonnal ou référentiel) représente l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire ; il est noté Ω. Exemple : Si on lance un dé une seul fois, l’ensemble des résultats possibles sont Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Événement : 29
  35. 35. c'est un élément ou sous ensemble de Ω. On distingue l'événement élémentaire : obtenir 2 de l'événement composé, obtenir un nombre impair.
  36. 36. Définition classique d’une probabilité : 30 Soit Ω un ensemble fondamental et A un événement quelconque de Ω : Nombre de cas favorables Card A P(A) = = Nombre de cas possibles Card Ω
  37. 37. Exemple : 31 Soit une urne contenant 10 boules dont 2 blanches, 5 rouges et 3 bleu. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit de couleur blanche ? Soit A l'événement : « obtenir une boule blanche » P(A) = 2/10 =1/5
  38. 38. Exemple : 32 Un professeur de statistique a enseigné à 12848 personnes, parmi celles-ci 542 ont échoué
  39. 39. La probabilité d’échouer est 542/12848=0.0422 Les règles de calcul des probabilités : 33 ► La probabilité de réalisation d’un événement impossible est égale à 0. ► La probabilité de réalisation d’un événement certain est égale à 1.
  40. 40. ► Si A et B sont deux événements incompatibles, alors la probabilité de la réalisation simultanée des deux événements est la somme des probabilité : P (A ∪B) = P(A) + P(B). ► La probabilité de l’événement contraire de A est 1- P(A) Remarque : 34
  41. 41. Si A et b ne sont pas deux événements compatible, alors : ∩ P(A∪B) = P(A) +P(B)-P (A B)
  42. 42. Exemple : 35 On jette un dé une seule fois, soient les deux événements suivants : A : obtenir un chiffre pair B : obtenir un chiffre inférieur à 3 Calculer p(A /B) ?
  43. 43. Exemple : 36 P(A) = 3/6 P(B) = 3/6 P(A∩B) = 1/6 P( A/B) = (1/6) / (3/6) = 1/3 Si A est dépendant de B, cela signifie que si B s'est produit, la probabilité que A se produise n'est pas la même que si B ne l'est pas.
  44. 44. En retenant les données de l’exemple précédent, on peut dire que A et B sont deux événements dépendants car : p(A) ≠ p(A/B) Remarque : 37 ► La notion d’indépendance peut être étendu à plus de deux événements
  45. 45. ► Il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité Théorèmes Fondamentaux38 Théorème des probabilités totales A U B (lire A ou B) est l’éven qui se réalise si au – un des 2 éven se réalise.
  46. 46. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Si A ∩ B = ∅ (A et B sont incompatibles) P(A U B) = P(A) + P(B) Probabilité conditionnelle ����) =��(�� ∩ ��) ��( ൗ Théorème des probabilités composées ��(��) P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A)=P(B) * P(A/B) Si A & B sont quelconques P(A ∩ B) = P(A) * P(B) Si A & B sont indépendants
  47. 47. Théorèmes Fondamentaux 39
  48. 48. Théorème de Bayes Théorèmes Fondamentaux 40 Théorème de Bayes: Exemple 1 ► Une Ese marocaine importe des pièces auprès de quatre entreprises (E1, E2, E3, E4). Elle importe de l’E1 (respectivement E2, E3, et E4) 40%, 30%, 20%, et 10%. On sait par ailleurs que l’E1 produit 95% de pièces de bonne qualité (respectivement 80%, 70%, et 60% de E2, E3, et E4). ► Lors de la réception des pièces, on contrôle leur qualité et on trouve qu’une
  49. 49. pièce tirée est de bonne qualité. Déterminer la probabilité qu’elle soit en provenance de l’E2. Théorèmes Fondamentaux 41 Théorème de Bayes: Exemple 2 ▪ Soit une usine où 3 machines A,B, C fabriquent un même modèle, ▪ 40% fabriquées par A (dont 0.1% sont défectueux) ▪ 30% fabriquées par A (dont 0.3% sont défectueux) ▪ 30% fabriquées par A (dont 0.8% sont défectueux)
  50. 50. ► Quelle est la probabilité que le modèle fabriqué par la machine C soit défectueux ?

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