rappel statistiques et probabilité

1. Statistiques
Inférentielles
Abaida Abdellah

2. Plan 2

3. Pourquoi étudier les statistiques ? 3

4. ► Savoir présenter, décrire des données.
► Savoir tirer des conclusions sur des populations à partir de calculs conduits sur des échantillons.
► Savoir comment améliorer des processus.
► Savoir faire de “bonnes” prévisions.
2 domaines
4

5. Statistique descriptive
Organisation, présentation et analyse
des données en mettant les points
importants en évidence.
Statistique inférentielle
Raisonner par inférence, prendre des
décisions sur une population à partir
d’un échantillon.

6. Le matériau de départ
5
NUMERO SALAIRE SEXE AGE ANC NIVEAU
1 129472 F 42 3 B
2 212696 M 54 10 B
3 210888 M 47 10 A
4 213692 M 47 1 B
5 202408 M 44 5 B
6 196132 M 42 10 A
7 97580 M 30 5 A
8 97580 F 52 6 A
9 172496 M 48 8 A
10 95900 F 58 4 A
11 212696 M 46 4 C
12 234060 M 36 8 C
13 225176 M 49 10 B
14 197532 F 55 10 B
15 179536 M 41 1 A
16 213716 F 52 5 B
17 186296 M 57 8 A
18 235872 F 61 10 B
19 212696 M 50 5 A
20 214508 M 47 10 B
21 196132 M 54 5 B
22 219924 M 47 7 A
23 250120 M 50 10 B
24 110100 F 38 3 A
25 97580 M 31 5 A
26 227536 M 47 10 A

7. Un tableau de données…
Définitions
Population
Ensemble de référence
x
x
6x
xx
x x x
Individu
x
x xx
x
x
x
x x
Elément de la
population
x
x
x
x
xx

8. xx x
x
x x
x
Echantillon x
x
x
x x
Sous-ensemble de la population.
x
x
Caractère, variable
x x
x x
x
x
x x x
x
xx x
Paramètre / Statistique
Etude d’un seul caractère
7
variable

9. qualitative quantitative
nominale ordinale discrète continue
Description de base
8

10. ► Un graphique
► Des paramètres

11. L’analyse des tris à plat
9
• Elle consiste à traiter une seule variable à la fois. Il s’agit d'analyse
uni-variée.
• Il est question de se concentrer sur une
description des résultats.

12. ²
Analyse descriptive
Caractéristiques de
tendance centrales :
Moyenne arithmétique :
10
1
p

13. X
∑=
=
1
n
i
xin
i
Xi : nombre de voyages à l’étranger
Yi : représente des revenus
Analyse descriptive

14. 11
Caractéristiques de dispersion :
La variance :
1
1 p p
= −
∑
( )
∑
V x2
( )
xix n
i
n
V x ( )
= − ( ) ( )
xinix
2 2
n
i = 1 i = 1
L’écart type :
σ(x) = v(x)

15. Le coefficient de variation
(risque) ( )σ
x( )
γ =
x
X
Présentations graphiques 12

17. Analyse bivariée 13

18. L’analyse des tris croisés
14
• Le tri croisé consiste à traiter simultanément deux questions pour
mesurer la relation qui peut
exister entre les deux variables étudiées et
mettre en évidence comment les réponses
apportées à la première question influencent les réponses apportées
à l’autre.

19. L’analyse des tris croisés 15
Variables
Nominale
Nominale
Correspondance
Tableau d’effectifs
(tableau croisé)
Test Chi²
Carte AFC
Numérique
Comparaison
Tableau de
moyennes Analyse
de la variance Test
de Fisher

20. Numérique Comparaison
Tableau de
moyennes Analyse
de la variance Test
de Fisher
Corrélation
Modèle de
régression Nuage
de points
Test de Corrélation
L’analyse des tris croisés
16
Séries à deux variables :
Coefficient de corrélation linéaire
Cov X Y
( , )

21. r X Y
σ σ
( , ) =
X Y
L’analyse des tris croisés: ex.1
17
Le tableau croisé de 2 variables qualitatives donne lieu à un tableau
de contingence :
• Echantillon : 240 personnes

22. • Variables : relatives à deux questions :
Sexe: deux modalités (Masculin; Féminin)
Lieu d’achat du dentifrice : 3 modalités (Pharmacie; ailleurs; NSP)
L’analyse des tris croisés: ex.1
18

23. Le tableau croisé de 2 variables qualitatives donne lieu à un tableau
de contingence :
L’analyse des tris croisés: ex.1
19

24. Principe Général du Test d’indépendance
Tableau de
contingence observé
2 Var
Quali
Tableau de
contingence théorique
Ecart

25. Indépendance ou dépendance
L’analyse des tris croisés: ex.1
20
Le tableau croisé de 2 variables qualitatives donne lieu à un
tableau de contingence :

26. n n
*
=
∑ χ2 = 49,24
=2
χ−

27. 2 ( )
t. .
i j
n t ij ij
ij
N
t
i j
,
ij
L’analyse des tris croisés: ex.1 21

28. L’analyse des tris croisés
22
On a interrogé des habitants de Casablanca,
de Rabat et de Salé sur l’appréciation de 4
stations de radio :

29. Casa Rabat Salé
Radio
Journal
18 18 11
Radio
Music
12 15 18
Radio
sport
32 20 23
Radio
social
15 12 6
L’analyse des tris croisés

30. Casa Rabat Settat ni.
18 18 11
12 15 18
32 20 23
15 12 6
Radio 1 47 Radio 2 45 Radio 3 75 Radio 4 33 n.j 77 65 58 200
23

31. Probabilité 24
V/ Théories des probabilités :
25
La théorie des probabilités est la partie la plus

32. abstraite de la statistique. Elle traite des
phénomènes aléatoires et s’est développée dans
des salles de jeu, ce qui explique le fait que la
majorité des
exemples retenus sont empruntés aux jeux de
hasard.
26
La théorie des probabilités est
l’intermédiaire entre la statistique descriptive qui

33. traite des séries
statistiques directement, et
l’inférence statistique qui comprend les valeurs
statistiques comme les indicateurs indirects de
valeurs
vraies mesurées par
échantillonnage
I/ Éléments du calcul des probabilités
27
Vocabulaire probabiliste:

34. Expérience aléatoire:
Une expérience est dite aléatoire si :
a- On ne peut prédire avec certitude son résultat
b- On peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles.
Exemple : jet d'un dé ; lancer d'une pièce de monnaie,
comportement d’achat d’une personne.
Ensemble fondamental :
28

35. (appelé également univers des possibles, espace
échantillonnal ou référentiel) représente l'ensemble des
résultats possibles d'une expérience aléatoire ; il est noté Ω.
Exemple : Si on lance un dé une seul fois, l’ensemble des
résultats possibles sont Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Événement :
29

36. c'est un élément ou sous ensemble de Ω. On distingue
l'événement élémentaire : obtenir 2 de l'événement
composé, obtenir un nombre
impair.

37. Définition classique d’une
probabilité : 30
Soit Ω un ensemble fondamental et A un événement quelconque de Ω
:
Nombre de cas favorables Card A
P(A) = =
Nombre de cas possibles Card Ω

38. Exemple :
31
Soit une urne contenant 10 boules dont 2 blanches, 5 rouges et 3 bleu. On tire une
boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit de couleur blanche ?
Soit A l'événement : « obtenir une boule blanche »
P(A) = 2/10 =1/5

39. Exemple :
32
Un professeur de statistique a enseigné à 12848
personnes, parmi celles-ci 542 ont échoué

40. La probabilité d’échouer est
542/12848=0.0422
Les règles de calcul des probabilités :
33
► La probabilité de réalisation d’un événement impossible
est égale à 0.
► La probabilité de réalisation d’un événement certain est
égale à 1.

41. ► Si A et B sont deux événements incompatibles, alors la
probabilité de la réalisation simultanée des deux
événements est la somme des probabilité : P (A ∪B) = P(A) +
P(B).
► La probabilité de l’événement contraire de A est 1- P(A)
Remarque :
34

42. Si A et b ne sont pas deux événements
compatible, alors :
∩
P(A∪B) = P(A) +P(B)-P (A B)

43. Exemple :
35
On jette un dé une seule fois, soient les deux
événements suivants :
A : obtenir un chiffre pair
B : obtenir un chiffre inférieur à 3
Calculer p(A /B) ?

44. Exemple :
36
P(A) = 3/6
P(B) = 3/6
P(A∩B) = 1/6
P( A/B) = (1/6) / (3/6) = 1/3
Si A est dépendant de B, cela signifie que si B s'est produit, la probabilité que A se
produise n'est pas la même que si B ne l'est pas.

45. En retenant les données de l’exemple précédent, on peut dire que A et B sont deux
événements dépendants car : p(A) ≠ p(A/B)
Remarque :
37
► La notion d’indépendance peut être étendu à plus de deux événements

46. ► Il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité
Théorèmes
Fondamentaux38 Théorème des probabilités
totales
A U B (lire A ou B) est l’éven qui se réalise si au – un des
2 éven se réalise.

47. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Si A ∩ B = ∅ (A et B sont incompatibles) P(A U B) = P(A) + P(B)
Probabilité conditionnelle
����) =��(�� ∩ ��)
��( ൗ
Théorème des
probabilités
composées
��(��)
P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A)=P(B) * P(A/B) Si A & B sont quelconques
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) Si A & B sont indépendants

48. Théorèmes Fondamentaux
39

49. Théorème de Bayes
Théorèmes Fondamentaux
40
Théorème de Bayes: Exemple 1
► Une Ese marocaine importe des pièces auprès de quatre entreprises (E1, E2, E3,
E4). Elle importe de l’E1 (respectivement E2, E3, et E4) 40%, 30%, 20%, et 10%. On sait
par ailleurs que l’E1 produit 95% de pièces de bonne qualité (respectivement 80%,
70%, et 60% de E2, E3, et E4).
► Lors de la réception des pièces, on contrôle leur qualité et on trouve qu’une

50. pièce tirée est de bonne qualité. Déterminer la probabilité qu’elle soit en
provenance de l’E2.
Théorèmes Fondamentaux
41
Théorème de Bayes: Exemple 2
▪ Soit une usine où 3 machines A,B, C fabriquent un même modèle, ▪ 40% fabriquées
par A (dont 0.1% sont défectueux)
▪ 30% fabriquées par A (dont 0.3% sont défectueux)
▪ 30% fabriquées par A (dont 0.8% sont défectueux)

51. ► Quelle est la probabilité que le modèle fabriqué par la machine C soit
défectueux ?