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conditionnelles
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Un peu d’histoire
Probabilité sur un ensemble fini
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Un peu d’histoireA
C’est au XVIIe
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· On désigne par A, B, C, D, E et F les événements suivants :
A « obtenir deux numéros 6 » ;
B « obte...
Séquence 4 – MA01104
b) L’événement est formé de 10 couples : , , , , , ,
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D’où .
Calculons .
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» Probabilité
Soit Ω un univers constitué de n éléments que l’on peut écrire sous la forme .
̈ Définir...
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̈ l’intersection de deux événements distincts est vide.
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̈ 35 % des personnes interrogées ont moins de 25 ans et, parmi celles-ci, 80 % déclarent être inté-
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Pour ቩ, ቪ, ቫ et ቭ on obtient les résultats par différences.
· a) Les probabilités demandées sont donn...
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On choisit un individu au hasard dans cette population, tous les choix étant équiprobables.
On note :...
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· Définition – Propriété
Comparons dans l’exemple » les probabilités et .
On a : .
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On remarque que l...
111Séquence 4 – MA01
Quelques règles concernant les arbres pondérés.
̈ Les branches de la « seconde colonne » sont pondéré...
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Énoncé
On reprend l’énoncé de l’exemple ».
³ Comparer et .
· Comparer et .
Solution
³ On a calculé ; ...
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Quand un animal est malade, le test est positif dans 87 % des cas.
Quand un animal n’est pas malade, ...
Séquence 4 – MA01114
Ainsi
» On sait que .
forme une partition de l’univers.
Les événements et sont incompatibles.
La form...
115Séquence 4 – MA01
L’alcootest
Énoncé
Un laboratoire a mis au point un alcootest.
Les essais effectués ont conduit aux r...
Séquence 4 – MA01116
· Analyse de la valeur d’un test de dépistage
Pour diagnostiquer une maladie, on dispose, le plus sou...
117Séquence 4 – MA01
Comme et sont incompatibles, la formule des probabilités totales nous donne :
.
Ainsi .
¿ On sait que...
Séquence 4 – MA01118
.
̈ On fait de même pour les faux négatifs.
.
La probabilité pour une personne dont l’alcootest est p...
119Séquence 4 – MA01
Solution
³ Les données nous permettent de construire l’arbre pondéré.
· ̈ Déterminons .
On a
.
D’où ....
Séquence 4 – MA01120
Déterminons la dérivée.
.
La fonction g est décroissante sur car .
̈ Tableau de valeurs.
¿ On sait qu...
121Séquence 4 – MA01
Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela il a droit à deux tentatives : un premier ser...
Séquence 4 – MA01122
Un concours de recrutement de techniciens hautement qualifiés est ouvert aux étudiants venant
exclusiv...
123Séquence 4 – MA01
On note • A l’événement « l’alarme se déclenche » ;
• I l’événement « un incident se produit ».
• et ...
Synthèse
124 Séquence 4 – MA01
̈ Définition et propriétés d’une probabilité
Soit l’univers .
En notant , on a :
• pour tout...
125Séquence 4 – MA01
Un arbre de probabilité correctement rempli constitue une preuve.
• La somme des probabilités portées...
Exercices d’entraînement
Séquence 4 – MA01126
L’objectif de cet exercice est d’étudier la probabilité de faire apparaître ...
127Séquence 4 – MA01
Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement : une filière A, une filière...
Séquence 4 – MA01128
a) Reproduire et compléter l’arbre suivant :
b) Exprimer en fonction de x ; en déduire .
» Un client ...
129Séquence 4 – MA01
Aides
aux exercices d’entraînement
³ a) On peut représenter chaque éventualité par un couple .
b) Les...
Séquence 4 – MA01130
³ On traduit l’énoncé en termes probabilistes.
· a) La probabilité n’apparaît pas sur l’arbre.
b) On ...
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  1. 1. 97Séquence 4 – MA01 > Probabilités conditionnelles © Cned – Académie en ligne
  2. 2. 99Sommaire séquence 4 – MA01 Un peu d’histoire Probabilité sur un ensemble fini Probabilités conditionnelles Applications aux tests de dépistage Exercices d’apprentissage AA ABB AC D E Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................101 Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................126 Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................129 Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................124 © Cned – Académie en ligne
  3. 3. 101Séquence 4 – MA01 Cours Un peu d’histoireA C’est au XVIIe siècle que débute véritablement le calcul des probabilités lorsque s’établit une corres- pondance entre PASCAL (1623-1662) et FERMAT (1601-1665) à propos de problèmes posés par le chevalier de MÉRÉ concernant les jeux de hasard. Voici un extrait de la première lettre de Pascal à Fermat, datée du 29 juillet 1654. Cet extrait de lettre est tiré d’un livre intitulé « Œuvres complètes de Blaise Pascal », édité en 1880. Si on entreprend de faire un 6 avec un dé, il y a avantage de l’entreprendre en 4, comme de 671 à 625. Si on entreprend de faire sonnez avec deux dés, il y a désavantage de l’entreprendre en 24. Et néanmoins 24 est à 36, qui est le nombre des faces de deux dés, comme 4 à 6, qui est le nombre des faces d’un dé. Pascal. Le 29 juillet 1654. C’est HUYGHENS (1596-1687) qui publia en 1657 le premier traité sur les probabilités. Mais c’est aux XVIIIe et XIXe siècles que le calcul des probabilités connu un grand essor sous l’impulsion, entre autres, de LAPLACE (1749-1827), POINCARÉ (1854-1912) et BOREL (1871-1956). BLAISE PASCAL DE ŒUVRES COMPLÈTES T O M E T R O I S I È M E PARIS LIBRAIRIE HACHETTE ET Cie 79, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, 79 1880 Première lettre de Pascal à Fermat. © Cned – Académie en ligne
  4. 4. Séquence 4 – MA01102 Voici ce que disait Henri POINCARÉ, à propos du calcul des probabilités, dans le chapitre XI de son ouvrage « La Science et l’Hypothèse » dont la première édition date de 1902. Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe : la probabilité, opposée à la certi- tude, c’est ce qu’on ne sait pas, et comment peut-on calculer ce que l’on ne connaît pas ? Cependant, beaucoup de savants éminents se sont occupés de ce calcul, et l’on ne saurait nier que la science n’en ait tiré quelque profit. Com- ment expliquer cette apparente contradiction ? La probabilité a-t-elle été définie ? Peut-elle même être définie ? Et, si elle ne peut l’être, comment ose-t-on en raisonner ? La définition, dira-t-on, est bien simple : la probabilité d’un événement est le rapport du nombre de cas favorables à cet événement au nombre total des cas possibles. Un exemple simple va faire comprendre com- bien cette définition est incomplète. Je jette deux dés ; quelle est la probabilité pour que l’un des deux dés au moins amène un six ? Chaque dé peut amener six points différents : le nombre des cas possibles est ; le nombre des cas favorables est 11 ; la probabilité est . C’est la solution correcte. Mais ne pourrais-je pas dire tout aussi bien : les points amenés par les deux dés peuvent former combinaisons différentes ? Parmi ces combinaisons, 6 sont favorables ; la probabilité est . Pourquoi la première manière d’énumérer les cas possibles est-elle plus légitime que la seconde ? En tout cas, ce n’est pas notre définition qui nous l’apprend. On est donc réduit à compléter cette définition en disant : « ... au nombre total des cas possibles, pourvu que ces cas soient également probables ». Nous voilà donc réduits à définir le probable par le probable. Ce n’est qu’en 1933 que le mathématicien russe KOLMOGOROV (1903-1987) écrivit les axiomes per- mettant de définir rigoureusement une probabilité. L’étude d’un exemple va nous permettre de revoir les notions acquises en première et de préciser le vocabulaire des probabilités. ³ Étude d’un exemple Énoncé On lance deux dés cubiques non pipés dont l’un est bleu et l’autre vert. Les faces de chacun des dés sont numérotées de 1 à 6. On note b le nombre marqué sur la face supérieure du dé bleu et v le nom- bre marqué sur la face supérieure du dé vert. ³ Trouver une représentation qui permette de visualiser toutes les éventualités. On appelle Ω l’ensemble de toutes les éventualités. Bibliothèque de Philosophie scientifique H. POINCARÉ ERNEST FLAMMARION, ÉDITEUR 26, RUE RACINE, PARIS 1927 Droits de traduction et de reproduction réservés pour les pays, y compris la Suède et la Norvège. MEMBRE DE L'INSTITUT La Science et l'hypothèse 6 6× 36= 11 36 ----- 6 7× 2 ------------ 21= 6 21 ----- Probabilité sur un ensemble finiB Exemple ³ © Cned – Académie en ligne
  5. 5. 103Séquence 4 – MA01 · On désigne par A, B, C, D, E et F les événements suivants : A « obtenir deux numéros 6 » ; B « obtenir deux numéros identiques » ; C « la somme des deux numéros est égale à 8 » ; D « la somme des deux numéros est strictement inférieure à 8 » ; E « la somme des deux numéros est supérieure ou égale à 8 » ; F « la somme des deux numéros est divisible par 3 ». a) Calculer la probabilité de chacun des 6 événements précédents. b) Comparer et . c) Comparer et . d) Calculer . Que peut-on dire de D et de E ? Solution ³ Une éventualité peut être représentée par un couple où b et v sont des entiers compris entre 1 et 6. On peut écrire tous les couples possibles dans un tableau à double entrée (voir figure 1). Fig. 1 L’univers Ω est donc formé de 36 couples . · a) Chacun des 36 couples a la même probabilité d’apparaître sur les dés. On dit qu’il y a équipro- babilité. On sait que dans ce cas la probabilité d’un événement K est égale à : ̈ Pour A : il y a un seul événement élémentaire inclus dans A, d’où . ̈ Pour B : il y a 6 couples avec des numéros identiques, d’où . ̈ Pour C : il y a 5 couples dont la somme des numéros est égale à 8, d’où . ̈ Pour D : il y a 21 couples dont la somme des numéros est strictement inférieure à 8, d’où . ̈ Pour E : il y a 15 couples dont la somme des numéros est supérieure ou égale à 8, d’où . ̈ Pour F : la somme des numéros peut être soit 3, soit 6, soit 9, soit 12. Il y a 2 couples ayant pour somme 3 ; 5 couples ayant pour somme 6 ; 4 couples ayant pour somme 9 et 1 couple ayant pour somme 12. D’où . b v 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 p B C∪( ) p B( ) p C( )+ p C F∪( ) p C( ) p F( )+ p D( ) p E( )+ b v,( ) 1 1,( ) 2 1,( ) 3 1,( ) 4 1,( ) 5 1,( ) 6 1,( ) 1 2,( ) 2 2,( ) 3 2,( ) 4 2,( ) 5 2,( ) 6 2,( ) 1 3,( ) 2 3,( ) 3 3,( ) 4 3,( ) 5 3,( ) 6 3,( ) 1 4,( ) 2 4,( ) 3 4,( ) 4 4,( ) 5 4,( ) 6 4,( ) 1 5,( ) 2 5,( ) 3 5,( ) 4 5,( ) 5 5,( ) 6 5,( ) 1 6,( ) 2 6,( ) 3 6,( ) 4 6,( ) 5 6,( ) 6 6,( ) Ω 1 1,( ) 2 1,( ) ... 5 6,( ) 6 6,( ), , , ,{ }= p K( ) nombre de « cas favorables » nombre de « cas possibles » -------------------------------------------------------------------= p A( ) 1 36 -----= p B( ) 6 36 ----- 1 6 --= = p C( ) 5 36 -----= p D( ) 21 36 ----- 7 12 -----= = p E( ) 15 36 ----- 5 12 -----= = p F( ) 2 5 4 1+ + + 36 ------------------------------ 1 3 --= = © Cned – Académie en ligne
  6. 6. Séquence 4 – MA01104 b) L’événement est formé de 10 couples : , , , , , , , , , . D’où . Calculons . On a donc . Cette inégalité est due au fait que le couple , qui est dans B et dans C, ne compte qu’une fois pour . On a . c) L’événement est formé des 5 couples de C et des 12 couples de F car si la somme est égale à 8 elle ne peut pas être divisible par 3. D’où . Calculons . On a donc . On a car et . d) Calculons . On a . On peut donc dire que D et E sont deux événements contraires. · Vocabulaire des probabilités ̈ L’ensemble de toutes les éventualités constitue l’univers. ̈ Toute partie de l’univers est un événement. ̈ Un événement comprenant une seule éventualité est un événement élémentaire. ̈ L’événement contraire de A, noté , est constitué des événements élémentaires ne se trouvant pas dans A. ̈ L’événement certain est l’univers Ω. ̈ L’événement impossible est noté . Étant donné deux événements A et B d’un même univers Ω : ̈ L’événement est l’intersection des deux événements. ̈ L’événement est la réunion des deux événements. ̈ Les événements A et B sont incompatibles si . ̈ A et sont toujours incompatibles. ̈ Deux événements élémentaires sont toujours incompatibles. Conclusion événements A B C D E F probabilités 1 36 ------ 1 6 --- 5 36 ------ 7 12 ------ 5 12 ------ 1 3 --- B C∪ 1 1,( ) 2 2,( ) 3 3,( ) 4 4,( ) 5 5,( ) 6 6,( ) 2 6,( ) 3 5,( ) 5 3,( ) 6 2,( ) p B C∪( ) 10 36 ----- 5 18 -----= = p B( ) p C( )+ 1 6 -- 5 36 -----+ 11 36 -----= = p B C∪( ) p B( ) p C( )+< 4 4,( ) B C∪ p B C∪( ) p B( ) p C( ) p B C∩( )–+= C F∪ p C F∪( ) 5 12+ 36 --------------- 17 36 -----= = p C( ) p F( )+ 5 36 ----- 12 36 -----+ 17 36 -----= = p C F∪( ) p C( ) p F( )+= p C F∪( ) p C( ) p F( )+= C F∩ ∅= p ∅( ) 0= p D( ) p E( )+ 7 12 ----- 5 12 -----+ 1= = D E∪ Ω= D E∩ ∅=⎩ ⎨ ⎧ A ∅ A B∩ A B∪ A B∩ ∅= A Remarque Remarque Remarques © Cned – Académie en ligne
  7. 7. 105Séquence 4 – MA01 » Probabilité Soit Ω un univers constitué de n éléments que l’on peut écrire sous la forme . ̈ Définir une probabilité p sur l’univers Ω c’est associer à chaque événement élémentaire un nombre , compris entre 0 et 1, tel que . ̈ La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. Notation pour . ¿ Propriétés Cas particulier ´ Équiprobabilité On se trouve en situation d’équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. On écrit parfois . Attention cependant à n’appliquer cette formule qu’en situation d’équiprobabilité. ² Formule des probabilités totales Soit , , , quatre événements d’un même univers Ω. On dit que ces quatre événements forment une partition de Ω, ou encore un système complet d’événements de Ω, si les conditions suivantes sont vérifiées : ̈ aucun événement n’est impossible. Propriété ³ et . Propriété · Soit A et B deux événements d’un même univers Ω. . Propriété » Si A et B sont deux événements incompatibles alors : car . Propriété ¿ Soit A un événement et son événement contraire. . Propriété ´ En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est : . Ω ω1 ω2 ... ωn, , ,{ }= ωi{ } pi p1 p2 ... pn+ + + 1= pi p ωi{ }( )= 1 i n≤ ≤ p ∅( ) 0= p Ω( ) 1= p A B∪( ) p A( ) p B( ) p A B∩( )–+= ➠ p A B∪( ) p A( ) p B( )+= p A B∩( ) p ∅( ) 0= = A p A( ) p A( )+ 1= p A( ) nombre d′événements élémentaires constituant A nombre total d′événements élémentaires ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= p A( ) nombre de cas « favorables » nombre de cas « possibles » -------------------------------------------------------------------= B1 B2 B3 B4 Définition ³ Définition · Remarque Définition » © Cned – Académie en ligne
  8. 8. Séquence 4 – MA01106 ̈ l’intersection de deux événements distincts est vide. ̈ la réunion des quatre événements est égale à Ω. La définition d’une partition donnée pour 4 événements est valable pour un nombre quelconque d’événements (il en faut au moins deux). Soit une partition de Ω et A un événement quelconque de Ω. L’événement A peut alors s’écrire comme la réunion de 4 événements (voir figure 2). Fig. 2 . L’un des événements (voire plusieurs événements) « » peut être l’événement impossible. Cette propriété reste vraie pour une partition . On a alors : . Cas particulier Un événement et son contraire forment toujours une partition de l’univers Ω (voir figure 3). Fig. 3 On obtient alors la propriété suivante qui est bien un cas particulier de la propriété ². ³ Étude de deux exemples Sondage sur Internet Énoncé Voici les résultats d’un sondage effectué auprès de 1 000 personnes, à propos d’Internet : ̈ 40 % des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ; Propriété ² (dite formule des probabilités totales) Soit un système complet d’événements de Ω et A un événement quelconque de Ω. On a alors : . Propriété ¶ . B1 B2 B3 B4, , ,{ } B1 B2 B3 B4 Ω A A A B1∩( ) A B2∩( ) A B3∩( ) A B4∩( )∪ ∪ ∪= A Bi∩ B1 B2 B3 B4, , ,{ } p A( ) p A B1∩( ) p A B2∩( ) p A B3∩( ) p A B4∩( )+ + += B1 B2 ... Bn, , ,{ } p A( ) p A Bi∩( ) i 1= n ∑= ➠ B B Ω A p A( ) p A B∩( ) p A B∩( )+= Probabilités conditionnellesC Remarque Remarque Remarque Exemple · © Cned – Académie en ligne
  9. 9. 107Séquence 4 – MA01 ̈ 35 % des personnes interrogées ont moins de 25 ans et, parmi celles-ci, 80 % déclarent être inté- ressées par Internet ; ̈ 30 % des personnes interrogées ont plus de 50 ans et, parmi celles-ci, 85 % ne sont pas intéressées par Internet. ³ Reproduire et compléter le tableau suivant : · On choisit au hasard une personne parmi les 1 000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies. On considère les événements suivants : A : « la personne interrogée a moins de 25 ans » ; B : « la personne interrogée a plus de 50 ans » ; I : « la personne interrogée est intéressée par Internet ». a) Calculer les probabilités , et . b) Définir par une phrase l’événement et calculer . c) Calculer et en déduire . » On sait maintenant que la personne interrogée n’est pas intéressée par Internet. Quelle est la pro- babilité qu’elle ait plus de 50 ans ? Qu’elle ait 50 ans ou moins de 50 ans ? ¿ On sait maintenant que la personne interrogée n’a pas plus de 50 ans. Quelle est la probabilité qu’elle soit intéressée par Internet ? Solution ³ On peut remplir le tableau dans l’ordre des numéros inscrits dans les k. Pour ቢ . Pour ባ . Pour ቤ . Pour ብ . Pour ቦ . Pour ቧ . Pour ቨ . Intéressés par Internet Non intéressés par Internet Total Moins de 25 ans De 25 à 50 ans Plus de 50 ans Total 1 000 p A( ) p B( ) p I( ) B p B( ) p A I∩( ) p A I∪( ) 1 000 40 100 --------× 400= 1 000 400– 600= 1 000 35 100 --------× 350= 350 80 100 --------× 280= 350 280– 70= 1 000 30 100 --------× 300= 300 85 100 --------× 255= © Cned – Académie en ligne
  10. 10. Séquence 4 – MA01108 Pour ቩ, ቪ, ቫ et ቭ on obtient les résultats par différences. · a) Les probabilités demandées sont données dans l’énoncé sous forme de pourcentage. . b) L’événement peut se définir ainsi : : « la personne interrogée a 50 ans ou moins de 50 ans ». Calculons . . c) L’événement peut se définir ainsi : : « la personne interrogée a moins de 25 ans et est intéressée par Internet ». Le tableau nous montre qu’il y a 280 personnes qui ont moins de 25 ans et qui sont intéressées par Internet. Ainsi . On en déduit : . . . » La personne interrogée n’est pas intéressée par Internet. Parmi les 600 personnes non intéressées par Internet, il y en a 255 qui ont plus de 50 ans. On calcule alors la probabilité de B sachant que est réalisé. On écrit . Sur les 600 personnes non intéressées par Internet il y en a 345 qui ont 50 ans ou moins de 50 ans. On calcule la probabilité de sachant que est réalisé. . ̈ Dans cette question, on a été amené à changer d’univers. Au lieu de prendre l’ensemble des 1 000 personnes, on a seulement considéré l’ensemble des 600 « non internautes ». ̈ « B sachant » et « sachant » sont deux événements contraires. Enquête sur le cinéma Énoncé Une enquête faite auprès d’une population comprenant 51 % de femmes et 49 % d’hommes montre que 20 % des femmes et 15 % des hommes de cette population ne vont jamais au cinéma. Intéressés par Internet Non intéressés par Internet Total Moins de 25 ans 280 ብ 70 ቦ 350 ቤ De 25 à 50 ans 75 ቭ 275 ቫ 350 ቪ Plus de 50 ans 45 ቩ 255 ቨ 300 ቧ Total 400 ቢ 600 ባ 1 000 p A( ) 0 35 ; p B( ), 0 30 ; p I( ), 0 40,= = = B B p B( ) 1 p B( )–= p B( ) 0 70,= A I∩ A I∩ p A I∩( ) 0 28,= p A I∪( ) p A( ) p I( ) p A I∩( )–+= p A I∪( ) 0 35 0 40 0 28,–,+,= p A I∪( ) 0 47,= I p B sachant( ) 255 600 -------- 0 425,= =I B I p B sachant( ) 345 600 -------- 0 575,= =I I B I Remarques Exemple » © Cned – Académie en ligne
  11. 11. 109Séquence 4 – MA01 On choisit un individu au hasard dans cette population, tous les choix étant équiprobables. On note : ̈ F l’événement « l’individu choisi est une femme » ; ̈ C l’événement « l’individu choisi va au cinéma ». ³ Construire un arbre pondéré décrivant cette enquête. · Donner , , . » a) Calculer , puis . b) En écrivant , calculer . En déduire . Solution ᕡ L’arbre pondéré est construit sur la figure 4. Les quatre probabilités qui sont entourées sont données dans l’énoncé. Les deux autres probabilités ont été déduites en considérant que la somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même « nœud » est égale à 1. ¿ L’énoncé nous donne : . On en déduit : .Ainsi . ´ a) L’événement est « l’individu choisi est une femme qui va au cinéma ». Pour calculer la probabilité de cette intersection, on fait le produit des probabilités portées par les branches qui mènent à F puis à C. D’où .Ainsi . De même .Ainsi . b) On peut faire un schéma donnant une partition de la population (voir figure 5). On a bien : . Fig. 5 Les événements et sont incompatibles. On a donc : . . . On en déduit : . . p F( ) p C sachant F( ) p C sachant F( ) p F C∩( ) p F C∩( ) C F C∩( ) F C∩( )∪= p C( ) p C( ) C C F 0,80 0,20 C C 0,85 0,15 F 0,51 0,49 p(F ∩ C) = 0,80 ϫ 0,51 = 0,408 p(F ∩ C) = 0,20 ϫ 0,51 = 0,102 p(F ∩ C) = 0,85 ϫ 0,49 = 0,4165 p(F ∩ C) = 0,15 ϫ 0,49 = 0,0735 somme = 1Fig. 4 p F( ) 0 51 ; p C sachant F( ), 0 20,= = p C sachant F( ) 1 0 20,– 0 80,= = p C sachant F( ) 0 80,= F C∩ p F C∩( ) 0 80, 0 51,× 0 408,= = p F C∩( ) 0 408,= p F C∩( ) 0 49, 0 85,× 0 416 5,= = p F C∩( ) 0 416 5,= F F C F ∩ C F ∩ C C F C∩( ) F C∩( )∪= F C∩ F C∩ p C( ) p F C∩( ) p F C∩( )+= p C( ) 0 408, 0 416 5,+= p C( ) 0 824 5,= p C( ) 1 p C( )– 1 0 824 5,–= = p C( ) 0 175 5,= © Cned – Académie en ligne
  12. 12. Séquence 4 – MA01110 · Définition – Propriété Comparons dans l’exemple » les probabilités et . On a : . . On remarque que l’on a : . Soit A et B deux événements d’un même univers tels que . La probabilité conditionnelle de B sachant A est définie par : . Notation . Il existe une autre notation : . On peut de même définir à condition que . . On sait que . D’où . On peut énoncer la propriété suivante : » Arbre pondéré Un arbre pondéré peut se présenter de la manière suivante : Propriété º Si et on a : . p C sachant F( ) p F C∩( ) p F( ) --------------------- p C sachant F( ) 0 80,= p F C∩( ) p F( ) --------------------- 0 80, 0 51,× 0 51, --------------------------- 0 80,= = p C sachant F( ) p F C∩( ) p F( ) ---------------------= p A( ) 0≠ p B sachant A( ) p B A∩( ) p A( ) ----------------------= pA B( ) p B A∩( ) p A( ) ----------------------= p B sachant A( ) pA B( ) p B A⁄( )= = p A sachant B( ) p B( ) 0≠ p A sachant B( ) pB A( ) p A B∩( ) p B( ) ----------------------= = B A∩ A B∩= p B A∩( ) pA B( ) p A( )× pB A( ) p B( )×= = p A( ) 0≠ p B( ) 0≠ p A B∩( ) pA B( ) p A( )× pB A( ) p B( )×= = B B A B B A probabilités conditionnelles p(A) pA(B) pA(B) + pA(B) = 1 p(B) = p(B∩A) + p(B∩A) pA(B) ϫ p(A) = p(B∩A) pA(B) ϫ p(A) = p(B∩A) pA(B) ϫ p(A) = p(B∩A) pA(B) ϫ p(A) = p(B∩A) pA(B) pA(B) pA(B) p(A) p(B) = p(B∩A) + p(B∩A)pA(B) + pA(B) = 1 somme = 1 p(A) + p(A) = 1 Définition ¿ Remarque © Cned – Académie en ligne
  13. 13. 111Séquence 4 – MA01 Quelques règles concernant les arbres pondérés. ̈ Les branches de la « seconde colonne » sont pondérées par des probabilités conditionnelles. ̈ La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1. ̈ La probabilité d’un événement correspondant à un chemin, qui est la probabilité d’une intersection, est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. ¿ Événements indépendants Énoncé On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. On considère les événements suivants : A : « la carte tirée est un cœur » ; B : « la carte tirée est un roi ». ³ Calculer , , , . · Comparer et puis et . » Comparer et . Solution ³ Il y a 8 cœurs et 4 rois dans un jeu de 32 cartes. D’où ; . ̈ Pour calculer , on peut soit changer d’univers, soit appliquer la définition. Prenons comme nouvel univers l’ensemble des 8 cœurs car on sait que la carte tirée est un cœur. Parmi ces 8 cœurs, il y a un seul roi. D’où . ̈ Pour calculer appliquons la définition. Calculons d’abord . L’événement est « la carte tirée est le roi de cœur ». D’où . Ainsi . · On note que : . On dit dans ce cas que A et B sont indépendants. » Calculons . D’où . Conclusion . p A( ) p B( ) pA B( ) pB A( ) pA B( ) p B( ) pB A( ) p A( ) p A B∩( ) p A( ) p B( )× p A( ) 8 32 ----- 1 4 --= = p B( ) 4 32 ----- 1 8 --= = pA B( ) pA B( ) 1 8 --= pB A( ) p A B∩( ) A B∩ p A B∩( ) 1 32 -----= pB A( ) p A B∩( ) p B( ) ---------------------- 1 32 ----- 4 32 ----- ------ 1 4 --= = = p A( ) 1 4 -- ; p B( ) 1 8 -- ; pA B( ) 1 8 -- ; pB A( ) 1 4 --= = = = pA B( ) p B( )= pB A( ) p A( )= p A( ) p B( )× 1 4 -- 1 8 --× 1 32 -----= = p A( ) p B( )× p A B∩( )= Exemple ¿ © Cned – Académie en ligne
  14. 14. Séquence 4 – MA01112 Énoncé On reprend l’énoncé de l’exemple ». ³ Comparer et . · Comparer et . Solution ³ On a calculé ; . On a : . On dit dans ce cas que C et F sont dépendants. · On a calculé . Calculons . On a : . Deux événements A et B sont dits indépendants lorsque . Conséquence ̈ Supposons A et B indépendants. On a alors . . ̈ Réciproquement, supposons que l’on ait . On a alors . On a ainsi montré que si l’on a alors les événements A et B sont indépendants. On peut aussi dire : A et B indépendants équivaut à . Attention Il ne faut pas confondre événements indépendants et événements incompatibles. Soit A et B deux événements incompatibles et de probabilités non nulles. On a alors . Comme et on a aussi . Ainsi deux événements incompatibles et de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants. Dans ce paragraphe, on va appliquer la formule des probabilités totales (voir propriétés ² et ¶). ᕡ Étude de deux exemples Un test diagnostic Énoncé Une grave maladie affecte le cheptel bovin d’un pays. On estime que 7 % des bovins sont atteints. On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer cette maladie. Propriété ¾ Deux événements A et B sont indépendants équivaut à dire que . pF C( ) p C( ) p F C∩( ) p F( ) p C( )× pF C( ) 0 80,= p C( ) 0 824 5,= pF C( ) p C( )≠ p F C∩( ) 0 408,= p F( ) p C( )× 0 51, 0 824 5,× 0 420 495,= = p F C∩( ) p F( ) p C( )×≠ p A B∩( ) p A( ) p B( )×= pA B( ) p A B∩( ) p A( ) ---------------------- p A( ) p B( )× p A( ) ----------------------------- p B( )= = = pB A( ) p A B∩( ) p B( ) ---------------------- p A( ) p B( )× p B( ) ----------------------------- p A( )= = = pA B( ) p B( )= p A B∩( ) pA B( ) p A( )× p B( ) p A( )×= = pA B( ) p B( )= pA B( ) p B( )= pB A( ) p A( )= p A B∩( ) p ∅( ) 0= = p A( ) 0≠ p B( ) 0≠ p A( ) p B( )× 0≠ Application aux tests de dépistageD Exemple ´ Définition ´ Remarque Exemple ² © Cned – Académie en ligne
  15. 15. 113Séquence 4 – MA01 Quand un animal est malade, le test est positif dans 87 % des cas. Quand un animal n’est pas malade, le test est négatif dans 98 % des cas. Un animal prélevé au hasard passe le test. On note ̈ M l’événement « l’animal est malade » ; ̈ T l’événement « le test est positif ». ³ Donner les probabilités suivantes : ; ; ; ; ; . · Construire un arbre pondéré représentant la situation. Déterminer, d’après une lecture de l’arbre, , , et . » En déduire la probabilité que l’animal ait un test positif. ¿ Quelle est la probabilité pour qu’un animal ayant subi un test négatif soit malade (donner une valeur arrondie ayant 4 décimales) ? ´ Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant : Solution ³ L’énoncé nous donne : . On en déduit : . . . Ainsi . · Les résultats précédents nous permettent de construire l’arbre pondéré. Les probabilités des « événements intersections » sont égales aux produits des probabilités inscrites sur chaque branche. p M( ) p M( ) pM T( ) pM T( ) p M T( ) p M T( ) p M T∩( ) p M T∩( ) p M T∩( ) p M T∩( ) M M T M M T p M( ) 0 07 ; pM T( ) 0 87,= ; p M T( ) 0 98,=,= p M( ) 1 p M( )– 1 0 07,– 0 93,= = = pM T( ) 1 pM T( )– 1 0 87,– 0 13,= = = p M T( ) 1 p M T( )– 1 0 98,– 0 02,= = = p M( ) 0 93 ; pM T( ) 0 13,= ; p M T( ) 0 02,=,= T p (T∩M) = 0,87 ϫ 0,07 = 0,0609 p (T∩M) = 0,13 ϫ 0,07 = 0,0091 p (T∩M) = 0,02 ϫ 0,93 = 0,0186 p (T∩M) = 0,98 ϫ 0,93 = 0,9114 T M 0,07 0,93 T T M 0,87 0,13 0,02 0,98 © Cned – Académie en ligne
  16. 16. Séquence 4 – MA01114 Ainsi » On sait que . forme une partition de l’univers. Les événements et sont incompatibles. La formule des probabilités totales nous donne : . . . La probabilité que l’animal ait un test positif est donc : . ¿ On veut calculer . On sait que : . D’où En prenant une valeur arrondie ayant 4 décimales on obtient : . ´ Pour compléter l’arbre, il faut d’abord calculer certaines probabilités. ̈ Calculons ̈ Calculons ̈ Calculons ̈ On a déjà calculé . On va arrondir les probabilités en prenant 4 décimales. Il faut bien vérifier que l’on ait : et . On peut maintenant construire l’arbre pondéré demandé. La probabilité qu’un animal ayant subi un test négatif soit malade est environ égale à 0,009 9. p T M∩( ) 0 060 9 ; p T M∩( ) 0 009 1,= ; p T M∩( ) 0 018 6 ; p T M∩( ) 0 911 4,=,=,= T T M∩( ) T M∩( )∪= M ; M{ } T M∩ T M∩ p T( ) p T M∩( ) p T M∩( )+= p T( ) 0 060 9, 0 018 6,+= p T( ) 0 079 5,= p T( ) 0 079 5,= p T M( ) p T M( ) p M T∩( ) p T( ) ----------------------- p M T∩( ) 1 p T( )– -----------------------= = p T M( ) 0 009 1, 1 0 079 5,– --------------------------- 0 009 88...,= = p T M( ) 0 009 9,≈ pT M( ) p M T∩( ) p T( ) ----------------------- 0 060 9, 0 079 5, ------------------ 0 766 03...,= = = pT M( ) p M T∩( ) p T( ) ----------------------- 0 018 6, 0 079 5, ------------------ 0 233 96...,= = = p T M( ) p M T∩( ) p T( ) ----------------------- 0 911 4, 1 0 079 5,– --------------------------- 0 990 11...,= = = p T M( ) 0 009 9,≈ pT M( ) pT M( )+ 1= p T M( ) p T M( )+ 1= M M T M M T 0,9205 0,9901 0,0099 0,2340 0,7660 0,0795 © Cned – Académie en ligne
  17. 17. 115Séquence 4 – MA01 L’alcootest Énoncé Un laboratoire a mis au point un alcootest. Les essais effectués ont conduit aux résultats suivants : ̈ quand une personne est en état d’ébriété, 96 fois sur 100 l’alcootest se révèle positif. ̈ quand une personne n’est pas en état d’ébriété, 1 fois sur 100 l’alcootest se révèle positif. On suppose que dans une région donnée 2 % des conducteurs conduisent en état d’ébriété. Calculer la probabilité pour qu’une personne de cette région dont l’alcootest est positif ne soit pas en état d’ébriété. Que peut-on penser du résultat obtenu ? Solution Désignons par E l’événement « la personne est en état d’ébriété » ; T l’événement « l’alcootest se révèle positif ». L’énoncé nous donne les résultats suivants : ; ; . On veut calculer . On sait que : . ̈ Calcul de . On a . ̈ Calcul de . On a . forme une partition de l’univers. Les événements et sont incompatibles. La formule des probabilités totales nous donne : . Soit . On a donc Interprétation du résultat obtenu La probabilité trouvée peut paraître surprenante car il y a environ une chance sur trois qu’une per- sonne contrôlée positive ne soit pas en état d’ébriété ! Ce résultat est du au faible taux (2 %) de conducteurs en état d’ébriété. On rencontre le même phénomène en médecine quand on cherche à diagnostiquer une maladie dite rare. La probabilité qu’une personne dont l’alcootest est positif ne soit pas en état d’ébriété est environ égale à 0,338. p E( ) 0 02,= pE T( ) 0 96,= p E T( ) 0 01,= pT E( ) pT E( ) p E T∩( ) p T( ) ---------------------= p E T∩( ) p E T∩( ) p E T( ) p E( )×= p E T∩( ) 0 01, 0 98,×= p E T∩( ) 0 009 8,= p T( ) T T E∩( ) T E∩( )∪= E ; E{ } T E∩ T E∩ p T( ) p T E∩( ) p T E∩( )+= p T( ) pE T( ) p E( )× p E T( ) p E( )×+= p T( ) 0 96, 0 02,× 0 009 8,+= p T( ) 0 029,= pT E( ) 0 009 8, 0 029, ------------------ 0 337 9...,= = Exemple ¶ Remarque © Cned – Académie en ligne
  18. 18. Séquence 4 – MA01116 · Analyse de la valeur d’un test de dépistage Pour diagnostiquer une maladie, on dispose, le plus souvent, de tests. Malheureusement, il est extrê- mement rare qu’un test soit parfait. Énoncé On suppose que l’on effectue un test de dépistage d’une certaine maladie auprès d’une population. Désignons par M l’événement « la personne testée est malade » et par T l’événement « le test s’est révélé positif ». On appelle : ̈ p la probabilité qu’une personne soit malade ; ̈ x la probabilité qu’une personne malade ait un test positif ; ̈ y la probabilité qu’une personne bien portante ait un test négatif. ³ Déterminer ; ; ; ; ; . · Construire un arbre pondéré représentant la situation. » Exprimer la valeur prévisionnelle positive (en abrégé VPP) définie par en fonction des variables p, x et y. ¿ Exprimer la valeur prévisionnelle négative (en abrégé VPN) définie par en fonction des variables p, x et y. ´ Exprimer la probabilité des « faux positifs », c’est-à-dire , et la probabilité des « faux négatifs », c’est-à-dire , en fonction des variables p, x et y. Solution ³ L’énoncé nous donne : ; ; . On en déduit : ; ; . · Arbre pondéré représentant la situation : » On sait que . Exprimons en fonction de p, x et y. On a : . p M( ) p M( ) pM T( ) pM T( ) p M T( ) p M T( ) pT M( ) p T M( ) pT M( ) p T M( ) p M( ) p= pM T( ) x= p M T( ) y= p M( ) 1 p–= pM T( ) 1 x–= p M T( ) 1 y–= T T M T T M probabilités conditionnelles p (T∩M) = px p (T∩M) = p (1–x) p (T∩M) = (1–p) (1–y) p (T∩M) = (1–p) y p 1–p x 1–x 1–y y pT M( ) p T M∩( ) p T( ) -----------------------= p T( ) T T M∩( ) T M∩( )∪= Exemple º © Cned – Académie en ligne
  19. 19. 117Séquence 4 – MA01 Comme et sont incompatibles, la formule des probabilités totales nous donne : . Ainsi . ¿ On sait que . Exprimons en fonction de p, x et y. On a : . Comme et sont incompatibles, la formule des probabilités totales nous donne : . Ainsi . ´ Exprimons la probabilité des « faux positifs ». . . Exprimons la probabilité des « faux négatifs ». . . ̈ La probabilité conditionnelle est appelée sensibilité du test et notée . ̈ La probabilité conditionnelle est appelée spécificité du test et notée . » Influence de la probabilité Étude comparative pour deux valeurs de p : 0,02 et 0,05 Énoncé On reprend l’exemple ¶ sur une population différente. Les contrôles ayant lieu après le réveillon, on suppose que 5 % des conducteurs conduisent en état d’ébriété. Calculer la probabilité des faux positifs. Calculer la probabilité des faux négatifs. Solution ̈ Un raisonnement identique nous donne : T M∩ T M∩ p T( ) p T M∩( ) p T M∩( )+= p T( ) px 1 p–( ) 1 y–( )+= pT M( ) px px 1 p–( ) 1 y–( )+ --------------------------------------------- VPP= = p T M( ) p T M∩( ) p T( ) -----------------------= p T( ) T T M∩( ) T M∩( )∪= T M∩ T M∩ p T( ) p T M∩( ) p T M∩( )+= p T( ) p 1 x–( ) 1 p–( )y+= p T M( ) 1 p–( )y p 1 x–( ) 1 p–( )y+ --------------------------------------------- VPN= = pT M( ) pT M( ) p T M∩( ) p T( ) -----------------------= pT M( ) 1 p–( ) 1 y–( ) px 1 p–( ) 1 y–( )+ ---------------------------------------------= p T M( ) p T M( ) p T M∩( ) p T( ) -----------------------= p T M( ) p 1 x–( ) p 1 x–( ) 1 p–( )y+ ---------------------------------------------= pM T( ) Se p M T( ) Sp p p M( )= pT E( ) p T E( ) pT E( ) p E T∩( ) p T( ) --------------------- p E T∩( ) p T E∩( ) p T E∩( )+ ------------------------------------------------= = Remarques Exemple ¾ © Cned – Académie en ligne
  20. 20. Séquence 4 – MA01118 . ̈ On fait de même pour les faux négatifs. . La probabilité pour une personne dont l’alcootest est positif de ne pas être en état d’ébriété reste encore assez forte, bien qu’elle ait diminué de moitié environ (de 33 % à 16,5 %). Par contre la probabilité pour une personne dont l’alcootest est négatif d’être en état d’ébriété est assez faible. Étude pour p variable Énoncé On reprend l’exemple ¶ en supposant que la probabilité pour un conducteur de conduire en état d’ébriété est p. ³ Faire un arbre pondéré représentant la situation. · Montrer que . On pose pour . Étudier le sens de variation de f sur . Remplir un tableau de valeurs pour les valeurs suivantes de p : 0,001 ; 0,005 ; 0,01 ; 0,02 ; 0,05 ; 0,10 ; 0,20. » Montrer que . On pose pour . Étudier le sens de variation de g sur . Remplir un tableau de valeurs pour les mêmes valeurs de p. ¿ On pose pour . Vérifier que et trouver le sens de variation de h sur . Remplir un tableau de valeurs pour les mêmes valeurs de p. ´ On pose pour . Vérifier que et trouver le sens de variation de k sur . Remplir un tableau de valeurs pour les mêmes valeurs de p. ² Quel(s) commentaire(s) peut-on faire au sujet de cet alcootest ? La probabilité des faux positifs est . La probabilité des faux négatifs est . pT E( ) 0 95, 0 01,× 0 96, 0 05,× 0 01, 0 95,×+ -------------------------------------------------------------= pT E( ) 0 165 2...,= pT E( ) 0 165,≈ p T E( ) p E T∩( ) p T( ) --------------------- p E T∩( ) p T E∩( ) p T E∩( )+ ------------------------------------------------= = p T E( ) 0 05, 0 04,× 0 05, 0 04,× 0 95, 0 99,×+ -------------------------------------------------------------= p T E( ) 0 002 1...,= p T E( ) 0 002,≈ pT E( ) 96p 95p 1+ ------------------= f p( ) 96p 95p 1+ ------------------= 0 p 1≤ ≤ 0 ; 1[ ] p T E( ) 99 1 p–( ) 99 95p– ----------------------= g p( ) p T E( )= 0 p 1≤ ≤ 0 ; 1[ ] h p( ) pT E( )= 0 p 1≤ ≤ h p( ) 1 f p( )–= 0 ; 1[ ] k p( ) p T E( )= 0 p 1≤ ≤ k p( ) 1 g p( )–= 0 ; 1[ ] Remarque Exemple µ © Cned – Académie en ligne
  21. 21. 119Séquence 4 – MA01 Solution ³ Les données nous permettent de construire l’arbre pondéré. · ̈ Déterminons . On a . D’où . ( ) ̈ Posons . Déterminons la dérivée. . La fonction f est croissante sur car . ̈ Tableau de valeurs. » ̈ Déterminons . On a . D’où . ( ) ̈ Posons . p 0 1 0 1 p 0,001 0,005 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,087 7 0,325 4 0,492 3 0,662 1 0,834 8 0,914 3 0,96 T T E T T E p (T∩E) = 0,96 p p (T∩E) = 0,04 p p (T∩E) = 0,01 (1–p) p (T∩E) = 0,99 (1–p) p 1–p 0,96 0,04 0,01 0,99 pT E( ) p T E∩( ) p T( ) ---------------------= p T( ) p T E∩( ) p T E∩( )+= p T( ) 0 96p, 0 01 1 p–( ),+= p T( ) 0 95p, 0 01,+= pT E( ) 0 96p, 0 95p, 0 01,+ ------------------------------ 96p 95p 1+ ------------------= = VPP= f p( ) 96p 95p 1+ ------------------ 96 p 95p 1+ ------------------×= = f′ p( ) 96 95p 1+( ) 95p– 95p 1+( )2 --------------------------------------× 96 95p 1+( )2 -------------------------= = 0 ; 1[ ] f′ p( ) 0> f p( ) f p( ) p T E( ) p T E∩( ) p T( ) ---------------------= p T( ) 1 p T( )– 1 0 95p, 0 01,+( )–= = p T( ) 0 95p,– 0 99,+= p T E( ) 0 99 1 p–( ), 0 95p,– 0 99,+ ------------------------------------ 99 1 p–( ) 99 95p– ----------------------= = VPN= g p( ) 99 1 p–( ) 99 95p– ----------------------= © Cned – Académie en ligne
  22. 22. Séquence 4 – MA01120 Déterminons la dérivée. . La fonction g est décroissante sur car . ̈ Tableau de valeurs. ¿ On sait que , d’où . Posons . D’où . Comme la fonction f est croissante sur , h est décroissante sur . ̈ Tableau de valeurs. ´ On sait que , d’où . Posons . D’où . Comme la fonction g est décroissante sur , k est croissante sur . ̈ Tableau de valeurs. ² Quelques commentaires. ̈ Les probabilités conditionnelles VPP et VPN varient en sens contraires. ̈ VPN reste proche de 1 : cela signifie que la probabilité de laisser « filer » un conducteur en état d’ébriété est faible. ̈ Lorsque p est faible, la probabilité qu’avec un test positif le conducteur ne soit pas en état d’ébriété est relativement élevée. p 0 1 1 0 p 0,001 0,005 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,999 9 0,999 8 0,999 6 0,999 2 0,997 9 0,995 5 0,99 p 0 1 1 0 p 0,001 0,005 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,912 3 0,674 6 0,507 7 0,337 9 0,165 2 0,085 7 0,04 p 0 1 0 1 p 0,001 0,005 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,000 04 0,000 2 0,000 4 0,000 8 0,002 1 0,004 5 0,01 g′ p( ) 99 99– 95p 95 95p–+ +( ) 99 95p–( )2 ---------------------------------------------------------------- 4– 99× 99 95p–( )2 ----------------------------= = 0 ; 1[ ] g′ p( ) 0< g p( ) g p( ) pT E( ) pT E( )+ 1= pT E( ) 1 pT E( )–= h p( ) pT E( )= h p( ) 1 f p( )–= 0 ; 1[ ] 0 ; 1[ ] h p( ) h p( ) p T E( ) p T E( )+ 1= p T E( ) 1 p T E( )–= k p( ) p T E( )= k p( ) 1 g p( )–= 0 ; 1[ ] 0 ; 1[ ] k p( ) k p( ) © Cned – Académie en ligne
  23. 23. 121Séquence 4 – MA01 Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela il a droit à deux tentatives : un premier ser- vice, suivi, s’il n’est pas réussi, d’un deuxième service. La probabilité pour que le premier service réussisse est ; s’il a échoué, la probabilité pour que le deuxième service réussisse est . Lorsque les deux services échouent, on dit qu’il y a « double faute » ; sinon la mise en jeu est réussie. Déterminer les probabilités des événements suivants : A : « sur une mise en jeu le joueur fait une double faute » ; B : « la mise en jeu est réussie ». Une urne contient trois boules blanches, deux boules rouges et une boule verte. Les boules sont indis- cernables au toucher. On extrait au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l’urne. ³ Faire un arbre de probabilité représentant la situation. · Déterminer la probabilité des événements suivants : : « la première boule tirée est blanche » ; C : « les deux boules tirées sont de la même couleur ». Les événements et C sont-ils indépendants ? » On sait que la seconde boule tirée est blanche. Quelle est la probabilité que la première boule aussi soit blanche ? On s’intéresse aux abonnés d’un magazine. Une enquête porte sur les abonnés de l’année en cours. Ils sont de deux types : ̈ les nouveaux abonnés (25 %) ; ̈ les anciens abonnés (75 %). Cette enquête a démontré que ces abonnés ont choisi l’une des deux formules proposées dans les proportions suivantes : Un sondage téléphonique est effectué auprès des lecteurs abonnés. On considère les événements suivants : N : « le lecteur interrogé est un nouvel abonné » ; S : « le lecteur interrogé a souscrit un abonnement de 6 mois ». ³ Calculer la probabilité des événements suivants à l’aide d’un arbre pondéré : A : « le lecteur est un nouvel abonné et a souscrit l’abonnement d’un an » ; B : « le lecteur est un ancien abonné et a choisi l’abonnement de 6 mois » ; C : « le lecteur s’est abonné pour un an ». · D’après les estimations, 40 % des nouveaux abonnés et 80 % des anciens abonnés reprendront un abonnement une fois terminé l’abonnement en cours. a) Montrer que la probabilité qu’un lecteur abonné se réabonne est égale à 0,7. b) Sachant que le lecteur interrogé se réabonne, quelle est la probabilité qu’il fasse partie des nou- veaux abonnés ? Nouveaux abonnés Anciens abonnés Abonnement de 6 mois 37 % 28 % Abonnement d’un an 63 % 72 % Exercices d’apprentissageE 2 3 -- 4 5 -- B1 B1 Exercice ³ Exercice · Exercice » © Cned – Académie en ligne
  24. 24. Séquence 4 – MA01122 Un concours de recrutement de techniciens hautement qualifiés est ouvert aux étudiants venant exclusivement de deux écoles : l’une est l’école Archimède, l’autre l’école Ptolémée. On dispose des informations suivantes concernant les taux de réussite à ce concours pour l’année 2002 : ̈ le taux de réussite pour les candidats issus de l’école Archimède est de 85 % ; ̈ le taux de réussite pour les candidats issus de l’école Ptolémée est de 80 % ; ̈ le taux de réussite pour l’ensemble des candidats est de 82 %. On peut interpréter ces données en termes probabilistes ; on suppose pour cela que l’on choisisse un candidat au hasard. On note ̈ R l’événement « le candidat est reçu » ; ̈ A l’événement « le candidat est issu de l’école Archimède ». ³ Interpréter les données numériques de l’énoncé en termes probabilistes. Les événements A et R sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. · L’objet de cette question est de déterminer la proportion de candidats issus de l’école Archimède parmi les candidats. On note x cette proportion : c’est aussi la probabilité qu’un candidat, choisi au hasard, soit un candi- dat de l’école Archimède. a) Exprimer en fonction de x. b) Déterminer la valeur de x. N.B. On pourra faire un arbre pondéré. Dans une usine automobile, trois chaînes « a », « b » et « c » fournissent respectivement 25 %, 35 % et 40 % de la production de moteurs. Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes : ̈ 5 % pour la chaîne « a » ; ̈ 4 % pour la chaîne « b » ; ̈ 1 % pour la chaîne « c ». On prend un moteur au hasard et on définit les événements suivants : A : " le moteur est issu de la chaîne « a » “ ; B : " le moteur est issu de la chaîne « b » “ ; C : " le moteur est issu de la chaîne « c » “. D : « le moteur est défectueux ». Les résultats des calculs seront arrondis à près. ³ Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités. Faire un arbre pondéré pour représenter la situation. · Calculer . » Quelle est la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « a » sachant qu’il est défectueux ? ¿ Quelle est la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « c » sachant qu’il n’est pas défectueux ? Une usine est dotée d’un système d’alarme qui se déclenche en principe lorsqu’un incident survient sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet des études statistiques ont montré que, sur une journée : ̈ la probabilité que l’alarme se déclenche par erreur, c’est-à-dire sans qu’il y ait d’incident, est égale à . ̈ la probabilité qu’un incident survienne sans que l’alarme se déclenche est égale à . ̈ la probabilité qu’un incident se produise est égale à . p R( ) 10 4– p D( ) 1 50 ----- 1 500 -------- 1 100 -------- Exercice ¿ Exercice ´ Exercice ² © Cned – Académie en ligne
  25. 25. 123Séquence 4 – MA01 On note • A l’événement « l’alarme se déclenche » ; • I l’événement « un incident se produit ». • et leurs événements contraires respectifs. Ainsi, par exemple, représente l’événement « l’alarme se déclenche sans qu’il y ait incident ». ³ Écrire les données de l’énoncé en termes de probabilités d’événements. On pourra esquisser un arbre probabiliste partiel, c’est-à-dire avec seulement quelques probabilités d’inscrites. · Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l’alarme se déclenche. En déduire la probabilité que l’alarme se déclenche. » Quelle est la probabilité que, dans une journée, le système d’alarme soit mis en défaut ? ¿ L’alarme vient de se déclencher. Calculer la probabilité que ce soit une fausse alerte. A I A I∩ © Cned – Académie en ligne
  26. 26. Synthèse 124 Séquence 4 – MA01 ̈ Définition et propriétés d’une probabilité Soit l’univers . En notant , on a : • pour tout i tel que , . • . ; ; . . En situation d’équiprobabilité : . ̈ Formule des probabilités totales Soit une partition de Ω et A une partie de Ω. On a alors . Cas particulier important . ̈ Probabilités conditionnelles . . . ̈ Arbre pondéré Ω ω1 ω2 ... ωn, , ,{ }= pi p ωi{ }( )= 1 i n≤ ≤ 0 pi 1≤ ≤ p1 p2 ... pn+ + + 1= p Ω( ) 1= p ∅( ) 0= p A( ) p A( )+ 1= p A B∪( ) p A( ) p B( ) p A B∩( )–+= p A( ) nombre d′événements élémentaires constituant A nombre total d′événements élémentaires -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------= B1 B2 B3 B4, , ,{ } p A( ) p A B1∩( ) p A B2∩( ) p A B3∩( ) p A B4∩( )+ + += ➠ p A( ) p A B∩( ) p A B∩( )+= p B sachant A( ) pA B( ) p A B∩( ) p A( ) ----------------------= = p A B∩( ) pA B( ) p A( )× pB A( ) p B( )×= = pA B( ) pA B( )+ 1= B B A B B A probabilités conditionnelles p(A) pA(B) pA(B) ϫ p(A) = p(A∩B) pA(B) ϫ p(A) = p(A∩B) pA(B) ϫ p(A) = p(A∩B) pA(B) ϫ p(A) = p(A∩B) pA(B) pA(B) pA(B) p(A) © Cned – Académie en ligne
  27. 27. 125Séquence 4 – MA01 Un arbre de probabilité correctement rempli constitue une preuve. • La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1. • La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. • . ̈ Événements indépendants A et B sont deux événements indépendants dès que l’une des 3 conditions suivantes est vérifiée : • • • . ̈ Tests de dépistage Les tests de dépistage peuvent être étudiés par des arbres de probabilité (voir l’arbre du paragraphe D. ᕢ). p B( ) p B A∩( ) p B A∩( )+= p B( ) p B A∩( ) p B A∩( )+= p A B∩( ) p A( ) p B( )×= pA B( ) p B( )= pB A( ) p A( )= © Cned – Académie en ligne
  28. 28. Exercices d’entraînement Séquence 4 – MA01126 L’objectif de cet exercice est d’étudier la probabilité de faire apparaître au moins un 6 lors de lancers successifs d’un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Le résultat obtenu per- met d’éclairer une phrase de Pascal, extraite d’une lettre à Fermat datée du 29 juillet 1654 : « Si on entreprend de faire un 6 avec un dé, il y a avantage de l’entreprendre en 4, comme de 671 à 625. » ³ On lance le dé deux fois de suite. On gagne si on fait apparaître au moins un 6. a) Déterminer le nombre total d’éventualités possibles. b) Déterminer le nombre de résultats qui ne font jamais apparaître le 6. c) En déduire le nombre de résultats comportant au moins un 6. d) Calculer le rapport R du nombre de cas gagnants à celui des perdants (on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible). Calculer la probabilité p de gagner. · Reprendre les questions a), b), c), d) lorsqu’on lance le dé une seule fois, trois fois, quatre fois de suite. On indiquera les résultats dans le tableau suivant qui sera recopié et complété : » Quel est le nombre minimal de lancers tel que ? ¿ Comment peut-on rédiger, dans un langage mathématique plus actuel, la phrase de Pascal ? Les mille billets d’une loterie sont tous numérotés à l’aide d’une suite de 3 chiffres, distincts ou non, pris dans l’ensemble . Les billets sont donc numérotés de 000 à 999. Les billets gagnants sont ceux qui se terminent par 06, par 32 ou par 70.Tous les billets sont supposés vendus. ³ Monsieur Ixe achète un billet au hasard. Calculer la probabilité des deux événements suivants : • G « son billet est gagnant » ; • Z « son billet porte un numéro contenant au moins un zéro ». · Sachant que le numéro du billet de Monsieur Ixe contient au moins un zéro, quelle est la probabi- lité pour que ce soit un billet gagnant ? » Les événements G et Z sont-ils indépendants ? nombre de lancers 1 2 3 4 nombre total de cas nombre de cas perdants nombre de cas gagnants rapport R probabilité de gagner : p p 1 2 --> 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9{ } Exercice ¶ Exercice º © Cned – Académie en ligne
  29. 29. 127Séquence 4 – MA01 Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement : une filière A, une filière B et une filière C. Chaque étudiant de l’université est inscrit dans une des trois filières et une seule. Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B. Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C. On sait de plus que : ̈ 20 % des étudiants de la filière A sont des filles ; ̈ 30 % des étudiants de la filière B sont des filles ; ̈ 40 % des étudiants de la filière C sont des filles. On choisit au hasard un étudiant de cette université. On note : ̈ A l’événement « l’étudiant est inscrit dans la filière A » ; ̈ B l’événement « l’étudiant est inscrit dans la filière B » ; ̈ C l’événement « l’étudiant est inscrit dans la filière C » ; ̈ F l’événement « l’étudiant est une fille ». ³ Calculer , et ; on vérifiera que . · Calculer la probabilité que l’étudiant soit inscrit dans la filière A et soit une fille. Calculer . » Calculer la probabilité que l’étudiant soit inscrit dans la filière A sachant que c’est une fille. ¿ L’étudiant, choisi au hasard, n’est pas inscrit dans la filière A. Calculer alors la probabilité que ce soit une fille. À l’entraînement, un jeune basketteur effectue des tentatives pour marquer un panier. Pour chaque tentative, il dispose de deux essais. On considère que la tentative est réussie si le premier essai est réussi ou, sinon, lorsque le second essai est réussi. Après plusieurs jours, son entraîneur a constaté que : ̈ la probabilité de réussir le premier essai est 0,5 ; ̈ la probabilité de réussir le second essai, sachant que le premier a été raté, est 0,4. ³ Le joueur effectue une tentative. Montrer que la probabilité de succès est 0,7. · Le jouer effectue deux tentatives successives indépendantes. a) Construire un arbre pondéré décrivant les deux tentatives. b) Calculer la probabilité des événements suivants : • A : « réussir les deux tentatives » ; • B : « réussir seulement une tentative sur les deux ». Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et il dispose d’un répondeur. Quand l’artisan est absent, il branche toujours son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois. Quand un client téléphone, il a quatre chances sur cinq d’obtenir le répondeur et une chance sur cinq d’obtenir l’artisan. Un client téléphone à l’artisan. On note : ̈ R l’événement « le client obtient le répondeur » ; ̈ A l’événement « l’artisan est présent ». ³ Donner, d’après l’énoncé, les probabilités , et . · On désigne par x la probabilité que l’artisan soit présent. p A( ) p B( ) p C( ) p B( ) 0 3,= p F( ) p R( ) p A R( ) pA R( ) Exercice ¾ Exercice µ Exercice ¸ © Cned – Académie en ligne
  30. 30. Séquence 4 – MA01128 a) Reproduire et compléter l’arbre suivant : b) Exprimer en fonction de x ; en déduire . » Un client téléphone et obtient le répondeur. Calculer la probabilité que l’artisan soit présent. Dans une grande ville, une maladie à incubation lente touche 0,1 % de la population. Un test de dépistage est proposé : ̈ quand une personne est malade, le test est positif dans 95 % des cas et négatif dans 5 % des cas ; ̈ quand une personne n’est pas malade, le test est négatif dans 96 % des cas et positif dans 4 % des cas. Lorsqu’une personne, prise au hasard, passe le test, on note : ̈ M l’événement « la personne est malade » ; ̈ T l’événement « le test est positif ». ³ Construire l’arbre probabiliste. · Montrer que est égale à 0,040 91. » Dans cette question, les probabilités seront arrondies à près. Calculer la probabilité d’être un « faux positif », c’est-à-dire . Calculer la probabilité d’être un « faux négatif », c’est-à-dire . Calculer la probabilité pour que le test donne un résultat non conforme à la réalité. ¿ Le maire de la ville passe le test : il est positif. Calculer la probabilité, arrondie à près, que le maire soit effectivement malade. A R R R A p R( ) x p A( )= p T( ) 10 5– pT M( ) p T M( ) 10 3– Exercice ¹ © Cned – Académie en ligne
  31. 31. 129Séquence 4 – MA01 Aides aux exercices d’entraînement ³ a) On peut représenter chaque éventualité par un couple . b) Les nombres a et b ne peuvent prendre que les valeurs 1, 2, 3, 4 ou 5. c) Penser à l’événement contraire. d) On utilise les trois questions précédentes. · Les raisonnements sont analogues. Pour un lancer, une éventualité est un nombre a. Pour trois lancers, une éventualité est un triplet . Pour quatre lancers, une éventualité est un quadruplet . » On cherche le plus petit entier naturel n qui donne . ¿ L’expression « il y a avantage » signifie que . Le rapport apparaît dans le tableau. ³ On trouve 3 billets gagnants par centaine. Sachant qu’il y a équiprobabilité, on obtient ainsi . Pour calculer , il faut penser à l’événement contraire : « son billet porte un numéro ne conte- nant pas de zéro ». · On applique la définition donnant . L’événement est l’événement : « son billet est gagnant et contient au moins un zéro ». On peut énumérer tous ces billets. » Il suffit d’observer les résultats des deux questions précédentes. ³ On peut désigner l’effectif de la filière C par x. On exprime les effectifs des autres filières en fonction de x. On trouve alors les probabilités demandées. · On traduit les pourcentages donnés dans l’énoncé en termes de probabilités conditionnelles. Bien qu’un arbre pondéré ne soit pas demandé il est conseillé de le faire. On calcule alors . Pour calculer , on applique la formule des probabilités totales car A, B, C forment un système complet d’événements. » Pour calculer , on applique une formule. ¿ Pour calculer , on applique une formule. Pour calculer , on utilise la formule des probabilités totales. ³ On peut construire un arbre probabiliste. La tentative peut être un succès de deux manières : réussite au premier essai ou bien réussite seule- ment au second essai. · a) Bien voir que les deux tentatives sont indépendantes l’une de l’autre. La probabilité de succès reste donc la même à chaque tentative. b) Soit on réussit seulement la première tentative, soit on réussit seulement la seconde. a ; b( ) a ; b ; c( ) a ; b ; c ; d( ) p 1 2 --> p 1 2 --> 671 625 -------- p G( ) p Z( ) Z pZ G( ) Z G∩ p A F∩( ) p F( ) pF A( ) p A F( ) p A F∩( ) Exercice ¶ Exercice º Exercice ¾ Exercice µ © Cned – Académie en ligne
  32. 32. Séquence 4 – MA01130 ³ On traduit l’énoncé en termes probabilistes. · a) La probabilité n’apparaît pas sur l’arbre. b) On utilise la formule des probabilités totales pour exprimer en fonction de x. Pour calculer x, on résout une équation. » On cherche en appliquant une formule. ³ Pour l’arbre il suffit de bien lire l’énoncé. · M et étant deux événements contraires, on utilise la formule des probabilités totales. » Pour calculer et , on utilise la formule donnant la probabilité conditionnelle de B sachant A. Le test n’est pas conforme dans deux cas : • La personne a subi un test positif et elle n’est pas malade. • La personne a subi un test négatif et elle est malade. ¿ On calcule en appliquant la définition. ■ 4 5 -- p R( ) pR A( ) M pT M( ) p T M( ) pT M( ) Exercice ¸ Exercice ¹ © Cned – Académie en ligne

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