Th2630

N° d’ordre : 03/2002 - M/G.M
République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique
Université des Sciences et de la Technologie
HOUARI BOUMEDIENE
Faculté de Génie Mécanique et de Génie des Procédés
Institut de Génie Mécanique
THESE
Pour l’obtention du diplôme de
MAGISTER
en Génie Mécanique
Option : Processus de Transport dans les Milieux Poreux
Par : BOUABDELLAH FARID
Thème :
Soutenue publiquement le : 11 mai 2002
Devant le Jury composé de :
Mr. D. TENIOU Professeur – USTHB Président
Mme. K. BOUHADEF Professeur – USTHB Directeur de thèse
Mr. A. MAZOUZI Chercheur PED/Sonatrach Co-directeur de thèse
Mr. Dj. TIAB Professeur – University of OKLAHOMA, USA Examinateur
Mr. S. CHIKH M.C. – USTHB Examinateur
Mr. A. AZZOUGUENE Chercheur PED/Sonatrach Examinateur
ETUDE ANALYTIQUE ET NUMERIQUE DU
PHENOMENE DE CROSS-FLOW ET SON EFFET
SUR LA REPONSE TRANSITOIRE

ETUDE ANALYTIQUE ET NUMERIQUE DU
PHENOMENE DE CROSS-FLOW ET SON EFFET SUR LA
REPONSE TRANSITOIRE

Résumé :
Dans cette étude, des solutions analytiques et numériques pour décrire le comportement
transitoire de la pression aux puits horizontaux, drainant des réservoirs multicouches, sont
développées. Le but de cette étude est destinée à voir l’impact de la stratification sur la réponse
transitoire de la pression au puits ainsi que sur la productivité.
D’une part, la solution analytique est développée grâce à l’utilisation de transformations
intégrales de Laplace et de Fourier conjointement avec la formulation de Green. De plus, cette solution
analytique utilise une nouvelle méthode appelée : « Transmission – Réflexion » pour tenir compte de
la présence des différentes couches de la formation. D’autre part, la solution numérique est basée sur
l’utilisation de la méthode des volumes finis pour la discrétisation spatiale conjointement avec le
schéma Fully Implicit pour la discrétisation temporelle. Les équations obtenues à partir des différentes
opérations de discrétisation sont résolues par la méthode du Gradient Biconjugué. Cette dernière a
l’avantage d’être plus précise et moins coûteuse, surtout avec l’utilisation du mode « Row Indexed
Storage Mode » pour le stockage des matrices et vecteurs en mémoire.
Il est montré à partir de cette étude que si le système possède un nombre réduit de couches, il
peut posséder une caractéristique propre. Si, par contre, le système possède plusieurs couches, il peut
ne pas montrer de caractéristique propre. D’où la difficulté d’estimer les paramètres du réservoir à
partir des tests de puits conventionnels. Il est montré aussi que la position du puits représente un
facteur d’une grande influence sur la productivité surtout lorsque le contraste de perméabilité entre les
couches est important. Finalement, les modèles à simple couche ne peuvent pas, en générale, être
utilisés pour décrire les réservoir multicouche à moins que le contraste entre les couches est faible.
Abstract :
In this study, analytical and numerical solutions for the description of horizontal wells
transient pressure behavior, in layered reservoirs, are developed. The main aim of this work is to study
and to assess the effects of layering on the transient behavior and on the productivity of horizontal
wells.
From one hand, the analytical solution is developed using successive Laplace and Fourier
transforms conjointly with Green’s formulation. In addition, this analytical solution uses a new
method called « Transmission and Reflection » in order to account for the presence of different layers.
From the other hand, the numerical solution is based on the use of the finite volume method for the
space discretization conjointly with Fully Implicit scheme for time discretisation. The different
equations obtained after these discretization procedures are solved with the Biconjugate Gradient
Method with the use of the « Row Indexed Storage Mode » for time and space optimization.
From this study, it is shown that if the system has only a few layers, it may exhibit the
transient characteristic feature of the system. If the number of layers increases substantially, the
system behavior may not show any characteristic features. It is also shown that well location
represents a crucial factor for the productivity especially when the permeability contrast among the
layers is large. Finally, if the layer permeability variations are large, a multilayer system should not be
treated as an equivalent single layer system with average properties.
Mots clés : Crossflow, Réservoir multicouche, Puits horizontal, Formulation de Green, Transformées
de Fourier et de Laplace, Méthode de Transmission – Réflexion, Régression non Linéaire, Well
Testing, Méthode des Volumes finis, Schéma Fully Implicit, Méthode du Gradient BiConjugué.

Je tiens à remercier vivement mon directeur de thèse Pr. K. BOUHADEF et mon Codirecteur
de thèse Dr. A. MAZOUZI qui ont accepté d’encadrer et de diriger ce travail pendant plusieurs mois.
Je remercie également le président et les membres du Jury qui ont accepté de discuter et
d’examiner ce travail malgré leurs multiples occupations.
Je remercie également tous les enseignants qui ont contribué à ma formation : Dr. S. CHIKH,
Pr. K. BOUHADEF, Dr. R. KIBOUA et Dr. A. BOUMEDIEN.
Je remercie tout particulièrement Mr. K. KARTOBI, Mr. S. MEZIANI et leur collègues
ingénieurs du CRD pour leur gentillesse et leur disponibilité ainsi que Mr. A. AZOUGUEN du PED
(DP) Sonatrach pour ses efforts et encouragements.
Mes remerciements vont aussi à tous ceux, qui de près ou de loin, m’ont aidé à l’élaboration
de ce travail.

Ai : Constante1 tenant compte des conditions d’interface et aux limites pour la couche i
Bi : Constante2 tenant compte des conditions d’interface et aux limites pour la couche i
B0 : Facteur volumétrique de formation
C : Coefficient du Wellbore storage
ct : Compressibilité totale isotherme
G : Fonction de Green
hi : Epaisseur de la couche i
(kx)i ,(ky)i ,(kz)i : Perméabilités dans les directions : x, y et z respectivement pour la couche i
Lw : La moitié de la longueur du puits
→
n : Vecteur normal extérieur
n
k
j
i
p ,
, : Pression au nœud i,j,k et à l’instant n∆t.
(p)i : Pression dans la couche i
(pD)i : Pression adimensionnelle dans la couche i
P0 : Pression initiale dans le réservoir
q : Débit d’écoulement
Qsand : Débit au fond du puits
Q : Débit total à la surface
r, θ , z : Coordonnées cylindriques.
r : Vecteur position, r = (x,y,z)
rw : Rayon du puits
R : Coefficient local de réflection
Ru : Coefficient global de réflection montant
RD : Coefficient global de réflection descendant
s : Paramètre de Laplace
S : Coefficient du Skin
t : temps
T : Coefficient local de transmission
x, y, z : Coordonnées cartésiennes.
zs : Distance entre le puits et la limite supérieure de la couche source
zw = hs – zs : Distance entre le puits et la limite inférieure de la couche source (standoff).
∆x, ∆y, ∆z : Les dimensions du volume de contrôle entourant le nœud P.

Symboles Grec :
β
α, : Paramètres de la transformation double de Fourier
( )
r
r ′
−
δ : Fonction de Dirac
φ : Porosité
µ : Viscosité du fluide
ξ
γ , : Constantes de frontière
χ
σ, : Constante de conversion
λ : Rapport des perméabilités
i
η : Diffusivité hydraulique de la couche i
i
κ : Rapport de la diffusivité hydraulique de la couche i sur celle de la couche s
Ω : Domaine d’étude
Γ : Frontière du domaine d’étude
Indices :
0 : Initiale
D : Adimensionnel
h : Horizontal
i : Couche de numéro i
sh : Solution homogène pour la couche source s
ss : Solution particulière pour la couche source s
s : Couche source
t : Total
u : Montant (upgoing)
v : Vertical
w : Well (puits)
wf : Pression pour un puits en écoulement (Well flowing) (valable pour un drawdown)
x,y,z : Indicateur de coordonnée.
w : Interface située entre les nœuds P et W suivant x (coté ouest du nœud n
k
j
i
p ,
, )
e : Interface située entre les nœuds P et E suivant x (coté est du nœud n
k
j
i
p ,
, )
s : Interface située entre les nœuds P et S suivant y (coté sud du nœud n
k
j
i
p ,
, )
n : Interface située entre les nœuds P et N suivant y (coté nord du nœud n
k
j
i
p ,
, )
b : Interface située entre les nœuds P et B suivant z (coté inférieure du nœud n
k
j
i
p ,
, )
t :Interface située entre les nœuds P et T suivant z (coté supérieure du nœud P(i,j,k)) ;

Exposant :
: Variable dans le domaine de Laplace
: Variable dans le domaine de Fourier.
n
: Indique le temps, i.e. n*∆t.

INTRODUCTION GÉNÉRALE :……………………………………………..……………………..…1
CHAPITRE 1: GÉNÉRALITÉS-BIBLIOGRAPHIE ............................................................................ 3
1.1 Introduction :............................................................................................................................... 3
1.2 Notions générales : ...................................................................................................................... 3
1.3 Recherche bibliographique :........................................................................................................ 6
1.4 Conclusion :................................................................................................................................. 9
Chapitre 2 : VUE GÉNÉRALE SUR LA TECHNOLOGIE DU PUITS HORIZONTAL ................... 10
2.1 Introduction :............................................................................................................................. 10
2.2 Techniques de forage : .............................................................................................................. 12
2.3 Les applications des puits horizontaux :.................................................................................... 14
2.4 Techniques de complétion :....................................................................................................... 15
2.5 Limitations des puits horizontaux : ........................................................................................... 17
Chapitre 3 : QUELQUES CONCEPTS DE RESERVOIR ENGINEERING ....................................... 18
3.1 Introduction :............................................................................................................................. 18
3.2 La loi de Darcy :........................................................................................................................ 18
3.3 L’équation de diffusivité : ......................................................................................................... 20
3.4 Conditions aux limites et initiales : ........................................................................................... 22
3.4.1 Conditions initiales :.......................................................................................................... 22
3.4.2 Conditions aux puits :........................................................................................................ 22
3.4.3 Conditions aux frontières : ................................................................................................ 22
3.5 Les effets du skin :..................................................................................................................... 23
3.6 Wellbore storage : ..................................................................................................................... 24
3.7 Les régimes d’écoulements : ..................................................................................................... 26
3.8 L'indice de productivité :........................................................................................................... 28
3.9 Conclusion :............................................................................................................................... 28
Chapitre 4 : APPROCHE ANALYTIQUE ........................................................................................... 29
4.1 Introduction :............................................................................................................................. 29
4.1 Définition du problème : ........................................................................................................... 29
4.1.1 Equations gouvernantes :................................................................................................... 30
4.1.2 Conditions aux limites et initiale :..................................................................................... 30
4.2 Equations et paramètres adimensionnels :................................................................................. 31
4.3 Résolution : ............................................................................................................................... 35
4.3.1 Formulation de Green :...................................................................................................... 36

4.3.2 Obtention des fonctions de Green : ................................................................................... 37
4.3.3 Solution fondamentale à une source ponctuelle :.............................................................. 40
4.4 Solution pour un puits horizontal :............................................................................................ 41
4.4.1 Milieu transversalement isotrope : .................................................................................... 42
4.4.2 Solution pour une seule couche :....................................................................................... 43
4.5 La réponse de la pression avec Skin et Wellbore storage : ....................................................... 44
4.6 Résultats et discussions : ........................................................................................................... 45
4.7 Application au Well Testing : ................................................................................................... 58
4.7.1 Introduction :..................................................................................................................... 58
4.7.2 Concepts de Well Testing :................................................................................................ 58
4.7.3 Régression non linéaire : ................................................................................................... 59
4.7.4 Exemple d’application :..................................................................................................... 60
4.8 Solution pour le cas d’un réservoir fermé latéralement :........................................................... 64
4.9 Conclusion :............................................................................................................................... 64
Chapitre 5 : APPROCHE NUMÉRIQUE ............................................................................................. 65
5.1 Introduction :............................................................................................................................. 65
5.2 Définition du problème : ........................................................................................................... 65
5.2.1 Equations gouvernantes :................................................................................................... 66
5.2.2 Conditions aux limites et initiales : ................................................................................... 66
5.3 Résolution numérique : ............................................................................................................. 67
5.3.1 Maillage :........................................................................................................................... 67
5.3.2 Intégration spatiale de l’EDP (Méthode des volumes finis) :............................................ 69
5.3.3 Intégration temporelle de l’EDP (schéma Fully Implicit) :............................................... 70
5.3.4 Conditions aux limites et initiales discrétisées :................................................................ 71
5.3.5 Solution des équations algébriques : ................................................................................. 73
5.4 Résultats et discussions : ........................................................................................................... 74
5.5 Conclusion :............................................................................................................................... 85
CONCLUSION GÉNÉRALE :………………………………………...……………………………...86
ANNEXE A : INTRODUCTION AUX FONCTIONS DE GREEN
ANNEXE B : MÉTHODE DE LA MATRICE GLOBALE
ANNEXE C : MÉTHODE DE TRANSMISSION – REFLEXION
ANNEXE D : SOLUTION POUR LE CAS D’UN RÉSERVOIR FERMÉ LATÉRALEMENT
ANNEXE E : MÉTHODE « ADI »
ANNEXE F : MÉTHODE DU GRADIENT BI-CONJUGUÉ
ANNEXE G : DESRIPTION DU MINI SOFTWARE DE GÉNÉRATION DES SOLUTIONS

Introduction Générale 1
Avec les récents développements dans la technologie du forage, les puits horizontaux sont
devenus une alternative attractive et bien établie dans le développement de l’industrie pétrolière. En
effet, grâce à son succès dans l’augmentation de la productivité, l’ajout de nouvelle réserves et
l’amélioration du coût global des opérations d’investissement, le puits horizontal n’est plus une
application spéciale pour exploiter la plupart des réservoirs d’hydrocarbure, mais réellement une
routine pour démarrer les projets nouveaux ou améliorer la productivité des réservoirs déjà exploités.
En les comparant avec les puits verticaux ou inclinés conventionnels, les puits horizontaux
augmentent la productivité d’une manière significative par l’augmentation de la surface de contact
avec le réservoir. Par suite, ils sont idéalement appropriés pour les réservoirs à faible perméabilité,
grande anisotropie, à couches minces, et à fractures naturelles ou dans les réservoirs avec des
problèmes de Water et/ou gas coning. Par ailleurs, les puits horizontaux peuvent être plus efficaces
dans les projets de recouvrement EOR (Enhanced Oil Recovery) comme l’injection de vapeur, par
l’amélioration des indices d’injectivité, et dans les environnement Offshore par le forage de plusieurs
puits horizontaux à partir d’une seule plate-forme centrale.
Bien qu’un progrès significatif ait été fait durant les deux dernières décennies dans le
développement d’équipements de production et de mesure (hardware), de modèles mathématiques
(analytiques ou numériques) de description du comportement de la pression au puits ou des techniques
d’interprétation, le test des puits horizontaux et l’étude de leur productivité restent un défi (challenge)
en terme de mesure, d’interprétation et de prédiction de leurs performances à cause de la nature et la
configuration géologique compliquées des réservoirs qui les drainent.
En effet, il est bien connu que la plupart des formations ou réservoirs d’hydrocarbure sont
constituées de plusieurs unités pouvant communiquer verticalement (Formation Cross-Flow).
L’identification géologique de ces réservoirs a été observée et confirmée par l’utilisation des
techniques de séismique 3D et de « Wirelines Logs » à grande résolution. Dans ces réservoirs les plus
prolifiques dans le monde, les propriétés de la roche varient considérablement dans la direction
verticale. Selon l’environnement de déposition, les propriétés de la formation peuvent varier
graduellement ou rapidement. Par exemple, les couches formées de chert ou de limon sont souvent des
formations à faible perméabilité. Les formations conglomérées sont, par contre, très conductrices.
Chaque couche peut aussi contenir un fluide différent, pourvu que les frontières de ces fluides ne
changent pas d’une manière substantielle durant la production (un test de Drawdown par exemple).

Introduction Générale 2
Les solutions présentées dans la littérature pour les puits horizontaux, sont pour la plupart
développées pour le cas d’une seule couche homogène. Les formules d’indice de productivité pour les
puits horizontaux, sont elles aussi développées pour le cas d’une seule couche. Les réservoirs
multicouches produits par des puits verticaux ont été étudiés, mais les débits de chaque couche étaient
indépendants (pas de Cross-Flow) et par suite le système était découplé.
Quelques tentatives ont été faites afin d’utiliser les solutions relatives à une seule couche pour
le cas d’un système multicouche. Ces tentatives réussissaient uniquement pour le cas de réservoirs
multicouche à faible contrast de perméabilité entre les couches [23].
Des études numériques ont également été effetuées pour déterminer la réponse de la pression
au puits horizontal ou la productivité dans un réservoir multicouche [24]. Cependant, ces solutions ne
pouvaient pas s’appliquer au Well Testing car elles nécessitaient un temps énorme pour être générer,
et en plus, la plupart d’entre elles étaient développées pour le régime pseudo-permanent ou permanent.
C’est dans le but d’étudier le Crossflow dans les réservoirs d’hydrocarbures multicouches et
produits par des puits horizontaux que le présent travail est entrepris. Pour cela, une solution
analytique donnant la pression transitoire au puits sera développée pour le cas d’un réservoir infini
latéralement. Cette solution sera basée sur l’utilisation de transformations intégrales et sur l’utilisation
de la méthode de Transmission – Réflexion [22], qui permet de tenir compte de la présence des
différentes couches. La solution trouvée sera utilisée en Well Testing par le biais d’une méthode de
régression non linéaire, afin d’interpréter les données de pression obtenues à partir d’un test de puits
horizontal réel. Plusieurs exemples seront étudiés dans le but de voir l’influence de la stratification sur
la réponse transitoire de la pression.
En plus de l’approche analytique, une approche numérique sera effectuée afin de comparer les
résultats et plus particulièrement, calculer la productivité du puits horizontal. La productivité n’a pas
pu être calculée par la solution analytique développée pour le cas d’un réservoir fermé car elle était
très lente à converger (double séries infinies ; voir Annexe D). La procédure numérique, quant à elle,
sera basée sur l’utilisation de la méthode des volumes finis et le schéma Fully Implicit pour profiter de
sa stabilité. Ainsi, l’impact de la stratification sur la productivité sera étudié et les calculs développés
peuvent être utilisés comme un outil de contrôle avant ou durant le forage afin d’obtenir la meilleure
position du puits horizontal pour maximiser la productivité.

Chapitre 1 : Généralités - Bibliographie 3
1.1 Introduction :
Dans ce chapitre, nous allons revoir en bref les définitions de base de quelques notions
spécifiques au Reservoir Engineering que nous allons rencontrer le long de cette thèse. Quelques
notions importantes seront revues en détail dans les chapitres qui vont suivre.
Dans ce chapitre aussi, nous allons exposer en bref quelques travaux de recherche menés dans
ce domaine. Les hypothèses utilisées, les modèles proposés, les méthodes développées et
éventuellement les résultats obtenus seront présentés.
1.2 Notions générales :
Dans ce qui suit, nous allons définir brièvement les principales notions relatives au Reservoir
Engineering afin de familiariser le lecteur à certaines expressions spécifiques.
™ Puits horizontal : un puits horizontal est un nouveau puits d’une longueur variant entre 600 à
4000 ft, foré à partir de la surface. Il peut être aussi défini comme un puits parallèle aux plans qui
limitent le réservoir.
™ Perméabilité, k : la perméabilité, exprimée normalement en milidarcy en unité oilfield, exprime la
capacité d’écoulement d’un fluide à travers la formation.
1. Perméabilité horizontale, h
k : la perméabilité horizontale est mesurée dans le plan horizontal
de la formation ou du réservoir.
2. Perméabilité verticale, v
k : la perméabilité verticale est mesurée dans le plan vertical de la
formation ou du réservoir.
3. Perméabilité effective du réservoir, h
vk
k : si les perméabilités dans la direction horizontale
et verticale sont différentes, la perméabilité effective du réservoir est généralement approchée
par h
vk
k . Cette dernière est surtout utilisée pour décrire le premier écoulement radial
autour du puits.
4. Le rapport des perméabilités, h
v k
k / : c’est le rapport de la perméabilité verticale sur la
perméabilité horizontale.

™ Drainhole : les drainholes sont forés à partir d’un puits vertical existant, en utilisant la technique
de forage « short radius » ou « ultra short radius ». La longueur des drainholes est limitée à
quelques centaines de feet seulement.
™ Test de Drawdown : ceci est un test dans lequel le puits est produit à un débit constant. Durant ce
test, la pression au fond du puits diminue avec le temps de production.
™ Test de build-up : ceci est un test dans lequel le puits est fermé et la pression en son fond
augmente. Les tests de Drawdown et de build-up sont conduits afin d’évaluer les propriétés du
puits et du réservoir.
™ Les régimes d’écoulement : un puits en production passe par plusieurs régimes d’écoulement :
1. Infnite Acting : ce régime a lieu dès que le puits est mis en production. Durant ce régime, le
puits ne détecte aucune frontière physique ou artificielle. Par suite, il est appelé Infinite
Acting.
2. Régime de transition : c’est un régime dans lequel le puits a détecté une frontière physique
mais il n’a pas encore détecté les autre frontières. Pour un puits vertical, il y a deux frontières
dans le plan horizontal. Cependant, un puits horizontal possède trois frontières : deux
frontières dans le plan horizontal et une frontière dans le plan vertical.
3. Régime pseudo-permanent : ce régime est défini lorsque le front du signal de la pression a
atteint toutes les frontières de la zone de drainage du puits, en l’occurrence le réservoir. Au fur
et à mesure que le fluide est retiré, la pression moyenne dans le réservoir ainsi que celle aux
frontières diminuent avec le temps
4. Régime permanent : dans ce régime, on peut maintenir une pression constante dans le puits
ainsi qu’aux frontières du réservoir. Les frontières sont généralement maintenues par des
aquifères. Dans ce cas, la chute de pression est indépendante du temps. En réalité, cette
condition aux frontières est rarement atteinte. Cependant, les solutions pour ce régime
permanent sont mathématiquement simples.
™ Les fractures : il y a deux types de fractures. Les fracture créées artificiellement et les fracture
naturelles. Elle peuvent être caractérisées comme suit :
1. Fractures à conductivité infinie : dans ces fractures, la chute de pression est nulle. Ceci est
une condition idéale du point de vue mathématique, qui est souhaitable dans les opérations de
fracturation. Dans les réservoirs à perméabilité faible, si la fracture a une perméabilité très
grande par rapport à la formation, alors dans les calculs, on considère qu’elle se comporte
comme une fracture à conductivité infinie
2. Fracture à flux uniforme : dans ces types de fracture, une quantité constante est produite par
unité de longueur de la fracture. Afin d’atteindre cette condition, cela signifie,
mathématiquement, qu’une chute de pression doit exister dans cette fracture, avec une valeur
minimale en son centre et une pression maximale à ses extrémités.

3. Fractures à conductivité finie : bien que les fractures à conductivité infinie soient préférées
durant les opérations de fracturation, les opérations actuelles comme la fracturation à l’eau ou
à l’acide, génèrent des fractures à conductivité finie. Les conductivités des fractures varient
selon l’acide utilisé.
™ Indice de productivité : l’indice de productivité J ou parfois PI (Productivity index) est défini
comme le débit produit par unité de chute de pression (B/D/psi). Cet indice nous renseigne sur
l’énergie potentielle contenue dans le réservoir.
™ Facteur de Skin : le facteur de Skin est un concept qui est introduit afin de tenir compte de l’excès
de chute de pression qui a lieu autour du puits. Plusieurs causes peuvent être à l’origine de cette
chute de pression. Par exemple, la pénétration partielle ou l’endommagement dû à l’invasion de la
boue de forage peuvent générer une chute de pression additionnelle (effet de peau = skin).
Normalement, un nouveau puits récemment foré doit avoir un facteur de Skin entre 1 et 10. Un
facteur de Skin négatif signifie que le puits est stimulé. Dans un puits qui est stimulé par
acidization par exemple, la perméabilité au voisinage du puits est plus grande que dans le reste du
réservoir. Ceci va engendrer une chute de pression inférieure dans cette région voisine que ce
qu’elle devrait l’être si le puits n’était pas endommagé. Afin de tenir compte de cela, des facteurs
de Skin négatifs sont utilisés.
™ Wellbore Storage : le wellbore storage est le résultat de la décompression du fluide dans le puits.
Dans un puits horizontal où l’on peut avoir des longueurs importantes (partie horizontale du puits),
la période du wellbore storage peut occuper une partie non négligeable du well test. Par suite, dans
la mesure du possible, il est recommandé de conduire un well test d’un puits horizontal avec des
outils de mesure de la pression et du débit au fond du puits.
™ Les puits inclinés : ces puits ont une certaine inclinaison par rapport à l’axe vertical. Ils sont aussi
appelés « puits déviés » avec un angle de déviation α .
™ Water & gas coning : Water & gas coning est la situation dans laquelle des fluides indésirables
(eau et gaz) sont produits avec l’huile. Par exemple, dans les puits verticaux, afin d’éviter
l’aspiration de l’eau avec l’huile, le puits est perforé seulement dans la portion supérieure du
réservoir. Ce qui permet de minimiser le Water coning.
™ Excentricité du puits ou standoff (zw) : l’excentricité d’un puits horizontal ou communément
appelée le standoff zw, est définie par la distance qui sépare le puits horizontal de la couche
inférieure de la zone de drainage.

1.3 Recherche bibliographique :
L’idée d’utiliser les puits horizontaux pour augmenter la surface de contact avec le réservoir,
date depuis le début des années quarante, dans l’ancien bloc soviétique. Cette technique n’a vu le jour
dans l’Europe de l’ouest et l’Amérique du Nord que vers la fin des années soixante dix [2].
Dans l’Europe de l’ouest, entre 1979 et 1983, la société française Elf-Aquitaine, en association
avec l’Institut Français du Pétrole (IFP), a foré quatre puits horizontaux. Trois d’entre eux étaient forés
au « Lac Supérieur » au sud de la France [2], le quatrième était foré au « Rospo Mare » à partir d’une
plate-forme offshore au nord de la mer Adriatique [2]. Lors de l’exploitation de ces derniers puits, il a
été constaté que la productivité était vingt fois plus grande que celle des autres puits verticaux et puits
inclinés voisins.
En Amérique du Nord , en 1979, la société ARCO [5] a foré un puits horizontal en Alaska
dans une tentative de réduire les problèmes de Water & gas coning. Le coefficient du GOR (Gas Oil
Ratio) a diminué considérablement après ce forage. Puis cette nouvelle technique s’est propagée
rapidement dans le monde avec le développement de la technologie du forage.
Vu l’extension de cette technologie, il était indispensable de développer des outils de
production et de mesure (hardware equipement) et des outils mathématiques (analytiques ou
numériques) afin de mieux caractériser les réservoirs en production, mieux connaître leurs propriétés,
mieux estimer la productivité des puits qui les drainent et en général, mieux contrôler et maîtriser les
paramètres de production.
C’est dans cette perspective que plusieurs recherches ont été menées. Ainsi, Giger et al [3] en
1984 ont présenté quelques aspects de Reservoir Engineering relatifs au forage horizontal. Ils ont
conclu que le coefficient du Skin était relativement important par rapport au puits verticaux à cause du
temps important de forage. Ils ont souligné aussi le fait qu’il était difficile de garder une trajectoire
droite lors du forage, vu la difficulté de contrôler correctement les moteurs immergés utilisés.
En 1987, Reiss [4] a présenté les bilans de production après cinq ans d’exploitation d’un
certain nombre de puits horizontaux et verticaux. Il a aussi présenté une étude des coûts relatifs des
puits horizontaux sur la productivité globale en étudiant l’espacement entre les puits et la nature
géologique du réservoir. Ces calculs ont montré aussi que les puits horizontaux pouvaient augmenter
considérablement l’efficacité du balayage.
Joshi [5] en 1988 ainsi que Babu et Odeh [6] en 1990 et Peaceman [7] en 1991, ont eux aussi
étudié la productivité des puits horizontaux. Pour cela, ils ont développé des solutions analytiques de
la distribution de pression au puits et par suite de l’indice de productivité et ceci pour le cas d’un
régime permanent et pseudo-permanent.. Les solutions analytiques trouvées sont sous forme de séries
infinies, et ne s’appliquent que pour le cas d’une seule couche homogène.

En terme de Well Testing (tests de puits), l’objectif majeur des chercheurs dans cette
discipline, était d’obtenir des solutions analytiques de la distribution de pression au puits afin de se
doter de modèles avec lesquels on peut superposer les données de pression mesurées (généralement
par des algorithmes de régression non linéaire) et pouvoir ainsi caractériser le réservoir.
Cinco et al [8] en 1982, ont présenté une solution analytique de la distribution transitoire de la
pression créée par un puits foré d’une manière directionnelle. Gringarten et al [9] en 1974 et
Rodriguez et al [10] en 1984 ont obtenu des solutions analytiques au problème de l’écoulement
transitoire des fluides vers les fractures verticales, à pénétration totale ou partielle, pour le cas de puits
verticaux. Ces solutions pouvaient s’appliquer aux puits horizontaux en faisant quelques
modifications. La méthode mathématique utilisée pour résoudre ces problèmes, était basée sur
l’utilisation des fonctions source et de Green, dont l’utilité pour résoudre ce type de problème a été
démontrée par Gringarten et Ramey [11]. Cependant, l’obtention de ces solutions et la forme des
résultats obtenus sont compliquées et l’extension de ces méthodes à l’analyse des test de puits
horizontaux n’est pas évidente à priori. Dn plus, toutes les solutions trouvées, étaient applicables
uniquement pour des réservoirs monocouche homogènes. Une liste importante d’articles peut être
trouvée dans la référence [2] traitant le cas du Well Testing et les solutions analytiques développées
dans ce cadre.
En matière de simulation numérique, plusieurs travaux ont été menés utilisant plusieurs
méthodes de discrétisation des équations régissant l’écoulement des fluides dans le réservoir, avec
plusieurs types de maillage et, éventuellement, avec plusieurs techniques de résolution des équations
obtenues.
A titre d’illustration, nous citerons quelques travaux effectués dans le cadre de l’étude des
performances des puits verticaux et horizontaux.
Ponting et al [12] en 1981, ont présenté un simulateur pour modéliser les réservoirs de la mer
du nord. Le simulateur développé (PORES) utilise le schéma Fully Implicit pour la discrétisation
temporelle et la méthode des différences finies pour la discrétisation spatiale. Les équations non
linéaires obtenues sont résolues, pour chaque itération dans le temps, par la procédure de Newton-
Raphson. Les équations linéaires résultantes, sont ensuite résolues par la méthode du gradient
conjuguée.
En 1991, Babu et Odeh [13] ont développé une équation analytique qui permet de calculer le
rayon effectif dans un bloc contenant le puits horizontal, appelé connexion (Well block connection).
Ce rayon effectif r0 est utilisé dans la relation connue de Peaceman pour ajuster la pression au puits
calculée par le simulateur (to fine tune). Peaceman lui même [14] en 1991, a repris l’étude de sa
relation afin de développer des conditions pour son applicabilité. En fait, cette relation n’est valable
que pour le cas d’un régime pseudo-permanent ou permanent.
En 1986, Aziz et Pedroza [15], ont présenté une nouvelle technique pour améliorer le
traitement des puits dans les simulateurs par l’utilisation d’un maillage curvilinéaire orthogonal

(cylindrique ou elliptique) dans le voisinage immédiat du puits, et un maillage rectangulaire ailleurs
dans le réservoir. Cette technique (maillage hybride) a l’avantage de mieux décrire les écoulements
autour du puits.
Economides et al [16] en 1993, ont développé une technique numérique basée sur la méthode
des éléments finis pour la discrétisation spatiale et le schéma Fully Implicit pour la discrétisation
temporelle. La méthode des éléments finis utilisée, permet tout particulièrement de manipuler des
problèmes avec des réservoirs à configurations compliquées.
En 2000, Vicente et al [17] ont mis au point un simulateur tridimensionnel utilisant la méthode
des différences finies et le schéma Fully Implicit avec un maillage hybride et raffiné autour du puits.
Ce simulateur était destiné à résoudre simultanément les équations qui régissent l’écoulement des
fluides dans le réservoir et ceux dans le puits. Ce travail a montré que pour des débits élevés et des
coefficients importants de perte de charge dans le puits, l’idéalisation du puits par une conductivité
infinie n’est pas vraiment correcte. Les articles sur la simulation numérique des réservoirs sont trop
nombreux à citer, une liste importante peut être trouvé dans la référence [26].
Vers la fin des années quatre vingt, quelques travaux ont été menés pour étudier le phénomène
du Crossflow ayant lieu dans les réservoirs stratifiés produits par des puits verticaux.
Prijambodo et al [18] en 1985, ainsi que Economides et Joseph [19] en 1987, ont étudié les
effets du Crossflow entre les couches sur la réponse de la pression ainsi que l’influence du Skin
individuel de chaque couche.
Kuchuk et al [20] en 1986, décrivaient l’application de la régression non linéaire pour
l’interprétation des tests de puits verticaux drainant les réservoir multicouches, mais ils soulignaient
l’importance et la nécessité de déterminer les débits individuels de chaque couche. Comme il est
impossible de mesurer continuellement les débits d’écoulement à toutes les profondeurs, ces auteurs
ont proposé une méthode de test dans laquelle le puits est mis en production avec différents débits,
avec l’utilisation, en plus, d’un outil de mesure du débit au sommet de chaque couche, pour chaque
période d’écoulement. Les réponses séparées de chaque couche sont, par suite, combinées moyennant
la convolution. La réponse totale est ensuite calée avec une technique de régression non linéaire.
Cette approche a été encore plus développée par Economides [21] en 1993. Il a décrit une
méthode de desuperposition des débits individuels afin de faire ressembler les réponses individuelles
de pression au comportement normal d’une seule couche. Cette technique est similaire au concept de
normalisation des débits (rate normalization) [30]. La procédure peut être utilisée soit pour une analyse
graphique ou pour fournir les paramètres initiaux pour la régression non linéaire.
En 1992, Kuchuk et Habashy [22], ont développé une nouvelle méthode appelée :
Transmission - Réflexion en Reservoir Engineering selon laquelle on pouvait tenir compte de la
présence des couches latérales constituant le réservoir. Le puits vertical drainant ce réservoir
composite était à pénétration totale. Ils ont montré qu’un réseau de failles et de fractures à
communication partielle, peut être modélisé par un système composite.

En matière de Crossflow dans les réservoirs multicouches produits par des puits horizontaux,
Suzuki et Namba [23] en 1991, ont exploré les solution analytiques disponibles pour le cas d’une seule
couche afin de les utiliser pour le cas multicouche. Pour cela, ils ont fait des analyses des tests de puits
horizontaux drainant les réservoirs multicouches. Ils ont conclu qu’il était possible d’utiliser les
modèles à simple couche pour modéliser les systèmes multicouches avec des techniques appropriées
de calcul de la moyenne. Cependant, pour des systèmes fortement hétérogènes où le contraste de
perméabilité entre les couches est important, les modèles à simple couche ont échoué.
En 1993, Lee et Miliken [24] ont montré que la technique de Réflexion (basée sur le principe
des images) et la théorie du corps mince, permettaient d’obtenir l’indice de productivité dans les
réservoirs hétérogènes. Cette indice est utilisé pour bien ajuster la pression au puits (fine tune) calculé
par un simulateur basé sur la méthode des différences finies. Le relation développée pour l’indice de
productivité s’est avérée plus efficace que celle développée par Peaceman qui ne tenait pas compte de
la présence des autres couches.
En 1996, Kuchuk et Habashy [25], ont réutilisé leur méthode de Transmission – Réflexion
pour développer une solution analytique qui donne la pression au puits pour le cas d’un réservoir
multicouche infini latéralement où l’huile est produite par un puits horizontal.
1.4 Conclusion :
Nous avons dans ce chapitre, présenté les définitions de base de quelques notions importantes
en Reservoir Enginering. Nous avons présenté aussi, une description de la recherche bibliographique
que nous avons menée.
Pour notre part, dans le cadre du sujet qui nous a été proposé, nous allons d’une part, nous
baser sur le travail de Kuchuk et Habashy [25] afin de développer une solution analytique qui donne
la réponse transitoire de la pression au puits horizontal, pour le cas d’un réservoir multicouche infini
latéralement. Plusieurs exemples seront étudiés afin de voir l’influence de la stratification sur la
réponse transitoire de la pression. La solution trouvée sera exploitée en Well Testing à travers un
exemple où on montre l’utilité de la solution analytique à déterminer les propriétés désirées d’un
réservoir multicouche via une procédure de régression non-linéaire. De plus, nous allons étendre la
solution trouvée afin de déterminer la réponse de la pression pour le cas d’un réservoir multicouche
fermé latéralement.
D’autre part, nous allons résoudre numériquement l’équation de diffusivité et ceci par
l’utilisation de la méthode des volumes finis et le schéma Fully Implicit. Ce dernier a été choisi afin
d’exploiter sa stabilité. Nous allons ainsi nous procurer d’un moyen de vérification de la solution
analytique trouvée, déterminer la pression pour le cas d’un réservoir multicouche fermé latéralement
et, plus particulièrement, calculer l’indice de productivité. L’impact de la stratification sur la
productivité des puits horizontaux drainant les réservoirs multicouches sera ainsi étudié.

Chapitre 2 : Vue générale sur la technologie du puits horizontal 10
2.1 Introduction :
Dans les dernières années, de nombreux puits horizontaux ont été forés à travers le monde. Le
but principal de forer les puits horizontaux est d’augmenter la surface de contact avec le réservoir et
par suite augmenter la productivité de ces puits. Pour le cas d’un puits d’injection, un long puits
horizontal va fournir une grande surface de contact et ainsi augmente l’injectivité du puits qui est très
importante pour la phase de recouvrement EOR (Enhanced Oil Recovery).
En général, un puits horizontal est un puits foré parallèlement aux plans qui limitent le
réservoir (bedding planes). Un puits vertical est un puits qui coupe le bedding plane à 90°, (Figure
2.1). Si les plans limiteurs du réservoir sont verticaux, alors un puits vertical conventionnel va être
foré parallèlement aux plans limiteurs (bedding planes) et, théoriquement parlant, il va être considéré
comme un puits horizontal. Comme indiqué sur la figure (2.2), il est encore possible de forer vers le
bas verticalement puis de forer latéralement (de coté). L’objectif par cette manœuvre est de traverser
plusieurs couches productrices. (Du point de vue forage, il est peut être plus facile de rester dans une
seule zone afin de mieux contrôler la trajectoire de l’outil).
h
Huile
L
Figure 2.1 : Schéma d’un puits horizontal et d’un puits vertical.
Bedding Plane

Type de puits Diamètre du trou
(in)
Rayon de courbure
(ft)
Longueur enregistrée
(ft)
Longueur prévue
(ft)
Ultrashort 2 1-2 100 100-200
Short 4.75 30 425 250-350
Medium 6 300 2200 1000-2000
Long 8.5 1000 4000 1000-3000
Un projet typique de puits horizontal est différent de celui d’un puits vertical car la productivité d’un
puits dépend de sa longueur. De plus la longueur du puits dépend de la technique de forage qui a été
utilisée pour le forer (voir tableau 2.1). Ainsi, il est essentiel que les ingénieurs réservoir et de forage
travaillent conjointement pour choisir la technique de forage appropriée qui donnera la longueur
désirée du puits horizontal.
Une autre considération importante est le schéma de complétion. En effet, la complétion étant
l’ensemble des opérations qui précèdent et permettent la mise en production d’un puits, il convient d’y
prêter une attention particulière. Ainsi, on peut avoir un trou ouvert, insérer un conduit encoché
(slotted liner), insérer un conduit avec des bouchons externes (external packers), ou caser le trou puis
perforer la couverture (casing). Tout dépend des besoins locaux de complétion et d’expérience. Le
type de complétion va affecter les performances d’un puits horizontal, et certains types de complétion
sont possibles uniquement avec certains types de techniques de forage. Ainsi, la longueur du puits, la
position du puits dans le réservoir, la tolérance dans la position du forage et le type de complétion
dépendent vigoureusement de la méthode de forage. Par suite, il est très important pour les ingénieurs
réservoir de comprendre les techniques de forage, leurs avantages et inconvénients. D’une manière
similaire, les ingénieurs de forage, les ingénieurs de complétion, les ingénieurs de production doivent
aussi comprendre et apprécier les différents facteurs qui influent sur les performances d’un puits
h
Zone 1 Zone 2
Figure 2.2 : Un puits horizontal dans un réservoir à plusieurs couches verticales.
Tableau 2.1 : Quelques exemples de longueurs de puits horizontaux [1].

horizontal. De là, la coopération et l’esprit du travail d’équipe des différents professionnels sont
essentiels pour assurer le succès d’un projet de puits horizontal.
2.2 Techniques de forage :
Les techniques de forage des puits horizontaux et les drainholes sont classées en quatre
catégories, selon le rayon de courbure (turning radius). Le rayon de courbure est le rayon nécessaire
pour tourner de la position verticale à la direction horizontale.
Figure 2.3 : La technique d’injection d’eau pour le forage d’un puits horizontal. (Nomenclature en Anglais) [1].

Les quatre catégories de forage sont :
a) Ultrashort : Le rayon de courbure est de 1 à 2 ft ; l’angle de déviation est de 45° à 60°/ft. Dans
cette technique, des drainholes de 100 à 200 ft sont forés en utilisant l’injection d’eau (water jets).
Le diamètre du tubage du drainhole varie de 1.25 à 2.5 pouces selon le système de forage utilisé.
Après forage, l’espace annulaire entre le tubage et la formation est rempli par du gravier (gravel-
packed), puis il est disjoint et le prochain drainhole est foré à la même cote. Il est possible de forer
plusieurs drainholes à une certaine cote comme les rayons d’une roue de bicyclette.
b) Short : Le rayon de courbure est de 20 à 40 ft ; l’angle de dérivation est de 2° à 5°/ft. Dans cette
technique, les drainholes sont forés à travers des puits verticaux casés ou non. Les récents
systèmes de forage utilisent des foreuse de surface pour faciliter le forage. Avec cette technique, il
est possible de forer des trous de 4.5 à 6 pouces avec des longueurs prévues entre 250 à 450 ft. La
longueur maximale obtenue par cette technique est de 890 ft. L’une des limitations de ce système
était la limitation du contrôle de la direction. Récemment, des systèmes ont été développés qui, en
utilisant des moteurs immergés, fournissent un bon contrôle de direction.
c) Medium : Le rayon de courbure est de 300 à 800 ft ; l’angle de déviation est de 6° à 20°/ft. Cette
technique est devenue la méthode prédominante pour forer les puits horizontaux. Vu la grandeur
du rayon de courbure, il est possible d’utiliser la plupart des outils de chantier conventionnels.
Des moteurs immergés spécialement conçus sont utilisés pour le forage. Un moteur de déviation
(angle-build motor) est utilisé pour former l’angle de déviation et un moteur de maintien d’angle
(angle-hold motor) est utilisé pour forer la partie horizontale (d’une longueur de 2000 à 3000 ft).
d) Long : Le rayon de courbure est de 1000 à 3000 ft ; l’angle de déviation est de 2° à 6°/ft. Cette
technique utilise une combinaison de foreuses rotatives et des moteurs immergés (drainhole mud
motor) pour forer ces puits. D’une manière similaire au forage directionnel conventionnel, des
outils courbés sont utilisés pour donner le coup d’envoi et former l’angle de déviation. Des
moteurs immergés peuvent êtres utilisés pour forer la section horizontale.
Figure 2.4 : Schéma des différentes catégories de forage des puits horizontaux. [1].

2.3 Les application des puits horizontaux :
Les puits horizontaux ont été utilisés efficacement dans les applications suivantes [1] :
Les réservoirs naturellement fracturés : les puits horizontaux ont été utilisés pour traverser les
fractures et par suite drainer le réservoir efficacement (exemple : Bakken formation, NorthDakota,
USA ; AustinChalk formation, Texas, USA).
Les réservoirs avec des problèmes de « water et gas coning » : les puits horizontaux ont été utilisés
pour minimiser les problèmes de coning et améliorer la production de l’huile (exemple : RospoMare
field, offshore Italy ; PrudhoeBaye, Alaska, USA).
La Production du gaz : les puits horizontaux peuvent être utilisés aussi bien dans les réservoirs à faible
perméabilité que les réservoirs à perméabilité élevée. Dans les réservoirs à faible perméabilité, les
puits horizontaux peuvent améliorer la surface de drainage par puits et réduire le nombre de puits
nécessaire au drainage du réservoir. Dans les réservoirs à perméabilité élevée mis en production par
des puits verticaux, dans lesquels les vitesses du gaz au voisinage du puits sont élevées, les puits
horizontaux peuvent être utilisés pour réduire ces turbulences. Une application récente d’un puits
horizontal dans le champ gazier de Zuidwal en Hollande, confirme l’efficacité des puits horizontaux à
réduire les turbulences au voisinage du puits [1].
Les applications de recouvrement EOR : les puits horizontaux ont été utilisés dans les EOR (Enhanced
Oil Recovery) thermiques. Ceci est spécialement bénéfique dans ce genre d’application car
l’injectivité est un problème. Il faut noter aussi qu’une orientation convenable des puits horizontaux,
spécialement dans les réservoirs naturellement fracturés, peut améliorer l’efficacité du balayage dans
les applications EOR d’une manière significative. Récemment, les puits horizontaux ont été utilisés
aussi dans les applications de récupération assistée par injection d’eau : « waterflood » et injection de
Polymère : « Polymerflood » afin d’améliorer l’efficacité du balayage.
D’autres applications des puits horizontaux sont principalement reliées au souci de résoudre
les problèmes du coût de forage. Pour les puits offshore, dans les régions lointaines et dans les zones
environnementalement sensibles, où le coût du forage peut être réduit uniquement par la minimisation
du nombre de puits nécessaires au drainage du volume du réservoir, les puits horizontaux sont
largement préconisés, car ils fournissent des avantages uniques. Par exemple, pour les puits Offshore,
les coûts des plates-formes sont proportionnels au nombre de slots. Les puits horizontaux longs,
peuvent être utilisés non seulement pour réduire le nombre de puits qui sont nécessaires au drainage du
volume du réservoir, mais ils peuvent aussi augmenter le volume passible d’être drainé par une seule
plate-forme, et réduire d’une manière significative les coûts des projets Offshore.

2.4 Techniques de complétion :
Comme nous l’avons indiqué plus haut, le choix de la méthode de complétion peut avoir une
influence significative sur les performances du puits. Dans ce qui suit, nous allons discuter les
différentes options de complétion ainsi que leurs avantages et inconvénients.
Les options de complétion (voir figure 2.5) ainsi que leurs différents aspects sont décrites ci-dessous :
1. Trou ouvert (Open hole) : la complétion open hole n’est pas coûteuse mais elle est limitée aux
formations de roche compétentes et consolidées. De plus, il est difficile de stimuler les puits
horizontaux « open hole » et de contrôler soit l’injection ou la production le long du puits.
Quelques puits horizontaux ont fait l’objet d’une complétion « open hole » mais la tendance
actuelle est loin d’utiliser ce type de complétion, excepté pour les formations consolidées comme
AustinChalk ,Texas, USA.
2. Conduits encochés (Slotted liners) : Le but principal d’insérer un « slotted liner » dans un puits
horizontal est la prévention contre l’effondrement du puits. De plus, un conduit (liner) offre un
moyen convenable pour insérer plusieurs outils comme des tubes articulés dans un puits
horizontal. Trois types de liners sont utilisés : des « liners » perforés, des « slotted liners » où des
rainures sont usinées le long du conduit et des « prepacked liners ».
Les « slotted liners » permettent de contrôler la granulométrie du gravier ou du sable par la
sélection des dimensions des trous et des rainures. Cependant, ces conduits sont susceptibles de se
boucher. Dans les formations non consolidées, des filtres introduits dans les « slotted liners » ont
été utilisés efficacement pour contrôler la production du gravier et du sable. L’inconvénient
majeur d’un slotted liner est la difficulté de réaliser une stimulation effective du puits à cause de
l’espace annulaire ouvert entre le puits et le conduit.
3. Conduits avec isolation partielle : Récemment, des « casings packers externes » (des colliers à
l’extérieur des enveloppes ou des tubages) (ECPS) ont été installés à l’extérieur des « slotted
liners » afin de diviser un long puits horizontal en petites sections, qui peuvent être utilisées pour
contrôler la stimulation ou la production le long du puits. Le département d’énergie de l’état de
Virginie (DOEV) a utilisé des conduits avec collier dans la formation DevonianShale en Virginie,
USA. De plus, des « casing packers externes » ont été utilisés pour diviser un long puits horizontal
en plusieurs sections. Le puits a été stimulé avec succès en utilisant la fracturation en mousse
(foam fracturing) dans plusieurs zones sélectionnées .
En général, les puits horizontaux, ne sont pas parfaitement horizontaux ; ils ont plusieurs
courbures. Dans un trou avec plusieurs courbures, il est parfois difficile d’insérer un liner
(conduit) avec plusieurs « casings packers externes ».

4. Conduits cimentés et perforés : Il est possible de cimenter et de perforer les puits de type
Medium et Long. Comme indiqué précédemment, il n’est pas possible, économiquement parlant,
de cimenter les puits de type short. Le ciment utilisé dans les puits horizontaux doit avoir d’une
manière significative une contenance faible en eau par rapport au ciment utilisé dans la
cimentation d’un puits vertical. Ceci est dû au fait que dans un puits horizontal, l’effet de gravité
fait en sorte que l’eau (free water) isole la portion supérieure du puits de la portion inférieure qui
est occupée par le ciment lourd. Ceci conduit à une réduction du rôle du ciment. Afin d’éviter cela,
il est important de conduire un test d’eau du ciment (free water cement test) au moins à 45°, en
plus ou au lieu du test conventionnel (API free water test) qui est conduit dans une position
verticale.
Figure 2.5 : Schéma des différentes techniques de complétion utilisées dans les puits horizontaux. [1].

2.5 Limitations des puits horizontaux :
Comme indiqué précédemment, l’avantage majeur d’un puits horizontal est l’importance de la
surface de contact avec le réservoir. Actuellement, on peut forer des puits de longueur allant de 3000 à
4000 ft fournissant une large surface de contact encore plus importante qu’un puits vertical.
L’inconvénient est que seule une couche productrice peut être drainée par puits horizontal.
Récemment, des puits horizontaux ont été utilisés pour drainer plusieurs couches. Ceci peut être
accompli par deux méthodes :
1/ On peut forer un puits de type escalier (staircase) où les portions horizontales longues sont forées
dans plusieurs couches.
2/ On peut cimenter le puits et le stimuler par fracturation. Les fractures verticales perpendiculaires
aux puits, peuvent traverser plusieurs couches productrices et de cette façon drainer des zones
multiples. Il est important de noter que parfois à cause de la solidité ou de la consolidation de chaque
zone productrice et des barrières intermédiaires, il n’est peut être pas possible d’intersecter des
couches à différentes élévations par fracturation des puits horizontaux.
L’autre inconvénient des puits horizontaux est leur coût. Typiquement, ils coûtent entre 1.4
jusqu’à 3 fois plus cher qu’un puits vertical selon la méthode de forage et la technique de complétion
utilisée. Le coût élevé des forages des puits horizontaux par rapport aux puits verticaux a été réduit
d’une manière significative durant ces dernières années.
L’analyse des coûts des projets de puits horizontaux a montré [1] que durant la fin des années 70 et le
début des années 80, les coûts des puits horizontaux étaient de 6 à 8 fois plus élevés que les coûts des
puits verticaux. A la fin des années 80, les coûts typiques des forages horizontaux étaient de 2 à 3 fois
plus élevés que les coûts des puits verticaux.
Un autre facteur dans la détermination du coût est l’expérience de forage dans la zone
considérée. En général, le premier puits horizontal va coûter plus que le second. A chaque fois que
plusieurs puits sont forés dans la zone considérée, l’incrément du coût de forage par rapport au puits
vertical est réduit. L’expérience dans le domaine et les résultats publiés sur les coûts des puits
horizontaux [1], montrent une réduction significative des coûts de forage avec le temps et
l’expérience. Dans ces projets, le coût du premier puits horizontal était de 2 à 3 fois supérieur à celui
d’un puits vertical, mais après avoir foré quelques puits, le coût typique d’un puits horizontal est
seulement 1.4 fois supérieur à celui d’un puits vertical. Dans quelques cas avec une expérience de
forage extensive, les coûts des puits horizontaux sont appelés à être à peu près les mêmes ou même
inférieurs aux coûts des puits verticaux. Ceci nous renseigne sur le fait que, pour avoir un succès
économique, l’option préférée est d’entreprendre un programme à multi-puits plutôt qu’un programme
à un seul puits horizontal, et de plus, il faut que les réserves produites à partir des puits horizontaux
soient non seulement proportionnellement plus grandes, mais elles doivent être produites en un temps
plus réduit que pour les puits verticaux.

Chapitre 3 : Quelques concepts de Reservoir Engineering 18
3.1 Introduction :
Dans ce chapitre, nous allons revoir la loi de Darcy, revoir en détail toutes les étapes à partir
des hypothèses de base jusqu’à l’obtention de l’équation de diffusivité pour un réservoir homogène et
enfin rappeler les conditions aux frontières et au puits, ainsi que les conditions initiales.
Avant de discuter les différents régimes d’écoulement dans un réservoir monocouche mis en
production par un puits horizontal, nous allons revoir aussi quelques concepts de base intervenant en
Reservoir Engineering.
3.2 La loi de Darcy :
C’est dans l’expérience originale de Henry Darcy (1856), comme montré ci-dessous, que
l’équation d’écoulement d’un fluide à travers un milieu poreux a été établie. La loi de Darcy est la loi
la plus fondamentale utilisée en Reservoir Engineering. Elle relie le débit d’écoulement à travers une
surface au gradient de pression à travers cette même surface.
L
Q
Q
∆P
A
Figure 3.1 Description de l’expérience de Darcy.

L’équation obtenue par Darcy pour la description de l’écoulement d’un fluide à travers un
milieu poreux est la suivante (en unités oil field):
kA
Q
L
P µ
2
.
887
−
=
∆
(3.1)
où :
Q : Débit d’écoulement (bbl/day) ;
A : Surface d’écoulement (ft2
) ;
k : Perméabilité (mD) ;
L : Longueur (ft);
µ : Viscosité (cp);
∆P :Gradient de pression (psi).
Dans sa forme différentielle, cette équation peut être utilisée en termes de coordonnées
linéaires pour un écoulement linéaire ou en termes de coordonnées cylindriques pour un écoulement
radial dans un milieu isotrope. Pour un écoulement radial, le débit d’écoulement est supposé positif
pour un puits producteur, c-à-d un écoulement dans la direction du puits :
Ecoulement linéaire :
kA
q
x
p µ
2
.
887
−
=
∂
∂
(3.2)
Ecoulement radial :
kh
q
r
p
r
µ
2
.
141
=
∂
∂
(3.3)
La loi de Darcy stipule que la chute de pression entre deux points, suffisamment rapprochés pour
considérer tous les paramètres constants, va être :
• Proportionnelle à la densité du flux (q/A) ;
• Proportionnelle à la viscosité du fluide (µ) ;
• Inversement proportionnelle à la perméabilité du réservoir (k).
X
A
r
h

3.3 L’équation de diffusivité :
L’écoulement d’un fluide dans un milieu poreux est régi par l’équation de diffusivité. Pour obtenir
cette équation, nous allons supposer plusieurs hypothèses valables dans un réservoir d’hydrocarbure:
• Le réservoir est homogène ;
• Le fluide est faiblement compressible et monophasique ;
• Les gradients de pression sont faibles et la loi de Darcy s’applique.
Dans ce qui suit, nous n’allons pas considérer les effets de gravité car ces derniers sont
négligeables. Cependant ils peuvent être ajoutés en corrigeant la pression par l’ajout du gradient de
pression statique. Aussi, nous allons considérer l’écoulement dans une seule direction (x), puis à la fin,
nous allons ajouter les termes similaires pour les directions y et z.
Pour un élément de roche de faibles dimensions δx, δy et δz, l’application du principe de
conservation de la masse entre les temps t et t+δt, donne :
Avant
Après
out
in M
M
on
Accumulati
M
M −
=
=
− (3.4)
Comme :
hr
ft
day
bbl 3
23394
.
0
1 = , l’équation (3.4) s’exprime par :
( ) ( ) ( ) ( )t
t
t
x
x
x
x
x z
y
x
z
y
x
δt
q
.
δt
q
. δ
δ
ρφδ
δ
δ
ρφδ
ρ
ρ δ
δ −
=
− +
+
23394
0
23394
0 (3.5)
Après factorisation des termes constants, division des deux cotés de l’équation par δx.δt, puis par ρφ ,
l’équation (3.5) devient :
( ) ( ) z
y
t
x
q
.
-
z
y
t
x
q
.
- x
δ
δ
δ
ρφ
δ
ρφ
δ
δ
φ
δ
δ
δ
ρφ
δ
δ
δ
ρ x 1
1
23394
0
23394
0 =
⇒
= (3.6)
Nous considérons que ρ et φ sont fonction de la pression uniquement. Donc, l’équation (3.6)
devient :
( ) ( )
t
p
p
p
t
p
p
p
t
p
p
t δ
δ
δ
δφ
φ
δ
δρ
ρ
δ
δ
δ
δφ
ρ
δ
δρ
φ
ρφ
δ
δ
δ
ρφ
δ
ρφ
δ
ρφ
δ
ρφ 





+
=






+
=
=
1
1
1
1
1
(3.7)
Les deux termes entre crochets (dans la dernière équation) sont : la compressibilité du fluide(que nous
allons supposer constante) et la compressibilité de la formation. L’équation (3.7) devient (vu (3.6)):
( ) z
y
t
p
c
z
y
t
p
c
c
z
y
t
p
p
p
x
q
. t
roche
fluide
x
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δφ
φ
δ
δρ
ρ
δ
δ
φ
=
+
=






+
=
1
1
1
23394
0
- (3.8)
x
δz
δx
δy

Les premiers termes de l’équation précédente peuvent être évalués en utilisant la loi de Darcy :
x
x
p
z
y
k
x
q
x
p
z
y
k
q x
x
x
x
δ
δ
φµ
δ
δ
δ
δ
φ
µ
δ
δ






∂
∂
=
⇒
∂
∂
−
= 0002637
.
0
1
0.23394
-
2
.
887
(3.9)
En remplaçant dans l’équation (3.8) :
t
p
x
x
p
c
k
.
z
y
t
p
c
x
x
p
z
y
k
.
t
x
t
x
δ
δ
δ
δ
φµ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
φµ
δ
δ
=






∂
∂
⇒
=






∂
∂
0002637
0
0002637
0 (3.10)
Lorsque x
δ et t
δ tendent vers 0, on obtient l’équation différentielle suivante :
t
p
c
x
p
k t
x
∂
∂
=
∂
∂
0002637
.
0
2
2
φµ
(3.11)
Nous avons considéré l’écoulement uniquement dans la direction x. En considérant les 3
directions, il vient :
t
p
c
z
p
k
y
p
k
x
p
k t
z
y
x
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0002637
.
0
2
2
2
2
2
2
φµ
(3.12)
Ceci est l’équation de diffusivité qui a été obtenue par la combinaison de la loi de conservation de la
masse, la loi de Darcy et l’hypothèse d’un fluide faiblement compressible. Dans cette équation, les
paramètres sont en unités oil field comme suit :
p : la pression, en psi ;
t : le temps , en hr ;
k : la perméabilité, en mD ;
φ : la porosité, adimensionnelle ;
µ : la viscosité du fluide, en cp ;
ct : la compressibilité du fluide + roche, en psi-1
;
x, y, z : la distance linéaire, en ft.
Pour comprendre physiquement ce que la diffusion veut dire, on peut voir à partir de
l’équation de diffusivité que le taux de variation de la pression, à un point donné, va être fonction de
quelques paramètres caractéristiques et de la courbure du profil de la pression autour de ce point.
Ainsi, ce taux va être :
• proportionnel à la perméabilité ;
• inversement proportionnel à la viscosité du fluide ;
• inversement proportionnel à la porosité du réservoir ;
• inversement proportionnel à la compressibilité totale ;
• proportionnel à la courbure locale du profil de la pression.

3.4 Conditions aux limites et initiales :
L’équation de diffusivité précédente traduit la façon avec laquelle un élément du réservoir va
réagir à une perturbation de pression. Ainsi, par sa résolution, on peut avoir la distribution spatio-
temporelle de la pression. Pour cela et afin de définir complètement le problème, les informations
suivantes sont nécessaires :
• Le temps initial et les conditions initiales du réservoir à cet instant ;
• L’origine(s) de la perturbation (l’historique des puits) ;
• Le domaine de validité (les limites du réservoir) et les conditions de flux à ces limites.
3.4.1 Conditions initiales :
La condition initiale la plus commune est une pression uniforme dans tout le réservoir au moment du
début de la production, qui est pris comme temps de référence t=0. Par suite, pt=0,r = P0 .
3.4.2 Conditions aux puits :
Les conditions aux puits décrivent l’écoulement à l’interface puits/réservoir. Ainsi, on peut aller des
modèles les plus simples aux plus complexes. Parmi les modèles les plus utilisés, on peut citer : un
puits pris comme une source linéique, un puits avec un rayon fini, un puits avec un rayon fini mais
avec skin et wellbore storage (voir les paragraphes suivants). Le modèle du puits pris comme une
source linéique est peut être le plus simple et le moins physique, mais la solution obtenue avec ce
modèle est la plus facile à générer. Un modèle plus physique mais très compliqué est celui où on fait
un couplage entre l’équation de diffusivité dans le réservoir et les équations qui régissent l’écoulement
dans le puits (généralement écoulement turbulent).
3.4.3 Conditions aux frontières :
Le cas le plus simple est celui d’un réservoir à extension infinie, traduit par :
[ ] 0
)
,
(
lim P
t
r
p
r
=
∞
→
(3.13)
D’autres conditions aux frontières suggèrent que, à certains points du réservoir, une pression constante
est supposée, ou bien, qu’aucun écoulement n’est permis à travers quelques barrières :
Pas d’écoulement : 0
,
=








∂
∂
→
t
M
n
p
(3.14)
Pression constante : pM,t =P0 (3.15)
D’autres conditions aux frontières peuvent être plus complexes, comme des frontières à fermeture
partielle (partially sealing boudaries), des mobilités variables, etc.

3.5 Les effets du skin :
La transmission de pression dans le réservoir n’est pas uniforme, car elle est affectée par les
hétérogénéité locales. Ces dernières n’affectent pas la distribution de pression dans le puits, sauf celles
qui se trouvent au voisinage immédiat du puits. En particulier, il y a souvent une zone autour du puits
qui est envahie par la boue et le ciment durant les opérations de forage et de complétion du puits. Cette
zone peut avoir une perméabilité inférieure à celle du réservoir, par suite elle se comporte comme une
peau « skin » autour du puits, causant une chute de pression. Ceci est montré dans la figure suivante :
La chute de pression ∆ps à travers le skin est la différence entre la pression réelle dans le puits en
écoulement et la pression que nous aurions dû avoir si le puits n’était pas endommagé.
Le facteur de skin (S) est une variable utilisée pour quantifier la valeur de l’effet du skin. De
par sa définition, le facteur de skin est une pression adimensionnelle. Il est défini (en unités oil field)
par :
s
sand
p
q
kh
S ∆
=
µ
2
.
141
(3.16)
où :
qsand : est le débit traversant la zone endommagée et entrant dans le puits ;
h : est la longueur de la zone endommagée (généralement toute la longueur du puits) ;
k : est la perméabilité de la formation.
En général, la valeur du skin est indépendante du débit, mais la chute de pression correspondante ∆ps
l’est. De plus, on a constaté que l’endommagement lié au forage dans un réservoir à perméabilité
élevée est inférieur à celui dans un réservoir à perméabilité faible.
Pression à un puits non endommagé
Pression à un puits endommagé
∆ps
ks k
rs
rw
Figure 3.2 : Les effets du skin au voisinage du puits.

Pour la même valeur d’endommagement (le même skin), l’influence de l’endommagement sur la
productivité d’un puits horizontal n’est pas aussi déterminante que pour un puits vertical. Donc, les
puits horizontaux peuvent subir des endommagements importants par rapport aux puits verticaux sans
une perte significative de la productivité. Cependant, en raison du temps de forage additionnel encouru
dans les puits horizontaux, ces derniers peuvent exhiber un endommagement au voisinage du puits
plus important que pour le cas des puits verticaux. Une procédure adéquate doit donc être adoptée pour
minimiser cet endommagement sévère ou l’enlever carrément (par acidization par exemple).
Récemment, des équations mathématiques ont été proposées pour estimer l’influence de
l’endommagement sur la productivité d’un puits horizontal. Des informations supplémentaires sur ces
équations ou la notion du skin pour les puits horizontaux, sont fournies dans la référence [1].
3.6 Wellbore storage :
On a constaté que le débit au fond du puits (dans la zone productrice) n’est pas constant, même
si le puits est ouvert à une obturation fixe durant un drawdown (fermeture puis production). La
distance entre le fond du puits et son sommet (là où il y a le dispositif de fermeture) va créer un
déphasage dans la réponse. Ceci est appelé le Wellbore Storage. Ainsi, initialement, l’écoulement à la
surface est dû essentiellement à la décompression du fluide à l’intérieur du puits. Eventuellement, les
effets de décompression deviennent négligeables et le débit au fond du puits approche celui à la
surface :
Pour un build-up (production puis fermeture), l’inverse se produit. Pour un moment, ‘le fond du puits
ne sait pas ce que le sommet est entrain de faire’, et le réservoir continue de débiter dans le puits après
fermeture au sommet. Ceci est connu sous le non de :« afterflow », ou également Wellbore Storage : le
principe est le même que pour un drawdown et les effets sur la pression sont identiques.
Débit de surface Débit de surface
drawdown Build-up
Débit au fond
Débit au fond
it
q q
temps temps
Figure 3.3 : Illustration de l’effet du Wellbore Storage.

L’effet du Wellbore Storage est quantifié par l’introduction d’une constante additionnelle C.
cette constante est définie comme étant le volume du fluide produit par le puits au fond (at sandface)
pour une chute de pression unitaire :
wf
sand
p
V
C
∆
∆
−
= (3.17)
Par cette définition, on peut aussi quantifier le déphasage entre le sommet et le fond du puits afin
d’exprimer la relation entre le débit du fond qsand et celui de la surface Qsurf car c’est ce dernier qui est
donné en général.
L’application du principe de conservation de la masse au fluide contenu dans le puits permet
d’écrire :
on
accumulati
masse
masse out
in =
− (3.18)
Ce qui se traduit par : sand
sand
surf
sand
sand
sand V
t
Q
t
q ρ
ρ
ρ ∆
=
∆
−
∆
24
24
(3.19)








∆
∆
∆
∆
+
=
∆
∆
+
=
⇒
wf
sand
sand
sand
wf
sand
sand
sand
surf
p
V
t
p
Q
t
V
Q
q
ρ
ρ
ρ
ρ 1
24
24
sand (3.20)
puisque :








∆
∆
=








∆
∆
−
=
∆
∆
−
=
wf
sand
sand
sand
wf
sand
sand
sand
wf
sand
p
V
p
V
V
V
p
V
C
ρ
ρ
1
1
(3.21)
t
p
C
Q
q
wf
surf
sand
∆
∆
+
= 24 (3.22)
la relation entre le débit à la surface Qsurf et celui au fond qsand est donc :
dt
dp
C
Q
q
wf
surf
sand 24
+
= (3.23)
Il faut noter que le débit de surface Qsurf peut être corrigé par un coefficient qui tient compte des
conditions de stockage, appelé Bo . L’équation précédente devient donc :
dt
dp
C
B
Q
q
wf
o
surf
sand 24
+
= (3.24)
Dans les chapitres qui suivent, on va utiliser un terme générique pour le débit de surface comme suit :
o
surf B
Q
Q = (3.25)

3.7 Les régimes d’écoulements :
Les puits horizontaux dans une seule couche peuvent exhiber des régimes d’écoulement
différents durant la phase transitoire. Selon la valeur des paramètres du réservoir, un ou plusieurs
régimes peuvent être absents. Les paramètres qui ont une influence importante sur le comportement
transitoire de la pression dans les puits horizontaux sont : le rapport des perméabilités verticale et
horizontale (kv/kh), la position du puits par rapport à l’épaisseur de la formation (zw/h) et le rapport de
la longueur effective du puits sur l’épaisseur de la formation (Lw/h).
A moins qu’il soit couvert par les effets du Wellbore storage, le premier régime d’écoulement apparent
est « Le premier écoulement radial », comme illustré dans la figure (3.4). Durant cette période, la
présence des frontières supérieure et inférieure n’est pas encore ressentie par le puits. Ainsi, le puits se
comporte comme s’il était dans un milieu infini. Bien qu’on attribue à ce régime le nom de
« écoulement radial », il est important de noter que la différence importante entre les perméabilités
verticale et horizontale va rendre l’écoulement plutôt elliptique. Si l’épaisseur de la formation est
faible ou si le rapport (kv/kh) est faible, ce premier écoulement radial peut ne pas être visible.
Après le premier écoulement radial, il se peut qu’il y ait parfois une période intermédiaire
d’écoulement radial si le puits est trop près d’une des frontières verticales. Ce régime est connu sous le
nom de « écoulement hémiradial » ; il est illustré dans la figure (3.5). Ce régime n’est pas visible à
moins que le rapport zw/h soit trop proche du zéro ou de la valeur 1.
Figure 3.4 : Le premier écoulement radial
Figure 3.5 : Ecoulement hémiradial

Après le premier écoulement radial et l’écoulement hémiradial (s’il est présent), il peut y avoir un
régime d’écoulement linéaire, comme illustré dans la figure (3.6). Durant ce régime, les frontières
supérieure et inférieure exercent leur influence pendant que la longueur du puits horizontal est encore
importante par rapport au rayon d’investigation. Ce régime d’écoulement linéaire peut ne pas être
visible si la formation est trop épaisse ou si le rapport kv/kh est faible.
Vers la fin de la phase transitoire, l’influence des frontières supérieure et inférieure peut causer un
autre régime d’écoulement dont l’axe d’écoulement est vertical, comme illustré dans la figure (3.7).
L’écoulement est radial dans le plan horizontal, et le puits horizontal se comporte comme une source
ponctuelle. Ceci a lieu lorsque le rayon d’investigation est grand par rapport à la longueur du puits. Ce
« deuxième écoulement radial », peut ne pas être visible si les frontières extérieures sont détectées en
premier lieu et ne sera pas visible définitivement si la pression est supportée par un aquifère ou une
calotte de gaz.
Figure 3.6 : Ecoulement linéaire
Figure 3.7 : Le deuxième écoulement radial

3.8 L’indice de productivité :
L’indice de productivité est un moyen de mesure du potentiel d’un puits ou de sa capacité à
produire. Cette indice est défini par :
wf
p
p
q
J
−
= (3.26)
dans l’équation (3.26), p est la pression moyenne dans le réservoir, q est le débit stabilisé et pwf la
pression au puits lors de la production (well flowing pressure). Les unités de J sont bbl/day/psi ou
m3
/day/kPa.
Si le réservoir est limité par une frontière à pression constante, alors p deviendra pe (pression
externe constante). Ceci va nous donner l’indice de productivité permanent (steady state productivity
index). Cependant, dans les opérations de recouvrement primaires, dans lesquelles le réservoir produit
naturellement, cette différence de pression p - pwf change avec le temps à chaque fois que l’huile est
extraite du réservoir ; par suite, cet indice de productivité sera variable dans cette période transitoire.
On l’appellera indice de productivité dynamique.
En général, lors de la production, si on connaît le débit de production q et le drawdown correspondant
pwf , l’indice de productivité est déterminé à partir de l’équation (3.26). Ce dernier peut être utilisé
pour comparer les productivités de deux puits différents dans un même réservoir.
3.9 Conclusion :
Dans ce chapitre nous avons revu la loi de Darcy ainsi que les différentes étapes qui nous ont
permis d’obtenir l’équation de diffusivité. Nous avons revu aussi quelques concepts de base comme le
Skin, l’effet du Wellbore Storage et l’indice de Productivité intervenant en Reservoir Engineering.
Dans les chapitres qui vont suivre, nous allons résoudre analytiquement et numériquement
cette équation de diffusivité qui régit l’écoulement des fluides dans les milieux poreux et ceci pour le
cas d’un réservoir multicouche produit par un puits horizontal.

Chapitre 4 : Approche Analytique. 29
4.1 Introduction :
Dans ce chapitre, nous allons résoudre analytiquement l’équation de diffusivité pour le cas d’un
réservoir multicouche présentant un contraste plus ou moins fort entre les couches. Ce réservoir est
produit par un puits horizontal avec ou sans effet du Skin et du Wellbore storage. Le phénomène du
Crossflow entre les couches, dans ce type de réservoir, est permis.
La stratégie que nous allons adopter pour résoudre cette équation de diffusivité, consiste à
appliquer les transformations intégrales de Laplace et de Fourier avec la formulation de Green.
L’équation différentielle obtenue sera résolue conjointement avec une nouvelle méthode appelée
« transmission – réflexion », qui tient compte de la présence des couches. Cette dernière est utilisée
principalement pour résoudre l’équation d’onde dans les milieux hétérogènes.
4.1 Définition du problème :
Considérons un puits horizontal foré dans un milieu anisotrope infini latéralement dans le plan
horizontal (couche source), limité par le haut et par le bas par d’autres couches productrices
horizontales où le Crossflow est permis. L’origine du système de coordonnée est le centre du puits
comme indiqué sur la figure(4.1) ci-dessous :
Couche 1
Couche 2
Couche s-1
Couche s
Couche s+1
Couche n
x
y
z
Lw
Lw
zs
zw
hs
Figure 4.1 Configuration d’un réservoir stratifié mis en production par un puits horizontal.

Les perméabilités de chaque couche dans les directions principales, sont notées par : (kx)i, (ky)i et (kz)i .
L’indice « i » indique le numéro de la couche productrice horizontale, compté à partir de la couche
supérieure comme indiqué sur la même figure (4.1). Chaque couche productrice « i » possède une
épaisseur hi . La couche source dans laquelle est foré le puits, est caractérisée par l’indice « s », et
chaque propriété de cette couche est suivie par ce même indice. Comme on peut le voir aussi sur la
figure précédente, zs est la distance entre le puits et la limite supérieure de la couche source et zw = hs –
zs est la distance entre le puits et la limite inférieure de cette même couche source (standoff).
4.1.1 Equations gouvernantes :
L’écoulement d’un fluide peu compressible, de compressibilité et de viscosité constante, est
supposé dans chaque couche de ce réservoir stratifié. Ces hypothèses permettent l’application de la loi
de Darcy et donc de l’équation de diffusivité. Cette dernière exprime la diffusion de la pression dans la
ième
couche et est donnée à partir de l’équation (3.12) (en unités oil field) par :
t
p
c
z
p
k
y
p
k
x
p
k i
i
t
i
i
z
i
i
y
i
i
x
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0002637
.
0
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
φµ
(4.1)
où :
pi : est la distribution de pression dans la couche « i », égale à pi(r,t) et où r est le vecteur
de position r = r(x,y,z).
4.1.2 Conditions aux limites et initiale :
™ Condition initiale : La condition initiale est une pression uniforme dans tout le réservoir à l’instant
t = 0, ce qui revient à dire que :
( ) 0
, P
t
pi =
r à t = 0. (4.2)
™ Conditions aux frontières : Les conditions aux frontières supérieure et inférieure du système (dans
la direction z) sont : Pas d’écoulement (No-flow) ou Pression constante (Constant-pressure).
Mathématiquement, on peut les traduire comme suit :
( )
( ) ( ) 0
,
, 0 =
∂
∂
+
−
z
t
p
P
t
p i
i
r
r ξ
γ (4.3)
pour i = 1 ( ∑
−
=
+
=
1
1
s
i
i
s h
z
z ) et pour i = n ( 





+
−
= ∑
+
=
n
s
i
i
w h
z
z
1
)
Ainsi, par un choix convenable de γ et de ξ , l’équation (4.3) peut représenter la condition de No-
flow ( 1
,
0 =
= ξ
γ ) ou la condition de Constant-pressure ( 0
,
1 =
= ξ
γ ).

Par contre, les conditions aux frontières latérales, qui sont à l’infini (dans le plan x-y), sont celles
d’une pression constante, c-à-d :
( ) 0
, P
t
pi =
r pour x et y tendant vers l’infini (4.4)
™ Conditions aux puits : Dans notre formulation, le puits est modélisé par une source linéique à flux
uniforme fini (comme cela été discuté dans le paragraphe 3.4 du chapitre 3). Ainsi, on peut
traduire ce modèle par :
( )






<
<
>
<
=
∂
∂
→
→ Lw
x
uits) -Lw
rieur du p
(à l'inlé
t
q
Lw
x
-Lw,
ts) x
eur du pui
à l'extéri
n
t
z
y
x
p
r
(
)
(
0
,
,
,
lim
0
χ (4.5)
où : →
∂
∂
n
est la dérivé conormale à la source linéique, 2
2
z
y
r +
= et χ une constante.
™ Conditions aux interfaces : Les conditions aux interfaces entre les couches sont les conditions de
continuité de la pression et du débit, ce qui ce traduit par :
continuité de la pression : ( ) ( )
t
p
t
p i
i ,
, 1 r
r +
= à z = zi (4.6)
continuité du débit :
( ) ( )
z
t
p
k
z
t
p
k i
i
z
i
i
z
∂
∂








=
∂
∂







 +
+
,
, 1
1
r
r
µ
µ
à z = zi (4.7)
4.2 Equations et paramètres adimensionnels :
Dans le problème précédent, quelques paramètres ont un effet quantitatif, mais ils n’affectent
pas la réponse qualitativement. Le principe d’adimensionnalisation des variables, consiste donc à
remplacer les variables physiques (pression, temps, distance, etc.) par des variables adimensionnelles
qui « absorbent » ces paramètres physiques afin de résoudre le problème une fois pour toutes. Dans ce
qui suit, on va montrer comment les variables adimensionnelles sont définies, tout en raisonnant par
rapport à la couche source (s), qui est prise comme couche de référence.
Le premier paramètre que nous pouvons éliminer est Lw. Donc, si on définit une distance
adimensionnelle suivant x comme :
w
D
L
x
x = (4.8)
alors, l’équation (4.1) devient (pour i = s) :
t
p
c
z
p
k
y
p
k
x
L
p
k s
s
t
s
s
z
s
s
y
D
w
s
s
x
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0002637
.
0
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
φµ
(4.9)
ou bien :
( ) t
p
k
L
c
z
p
k
k
L
y
p
k
k
L
x
p s
s
x
w
s
t
s
s
x
z
w
s
s
x
y
w
D
s
∂
∂
=
∂
∂








+
∂
∂








+
∂
∂
0002637
.
0
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
φµ
(4.10)

Pour ce qui est des distances adimensionnelles suivant y et z, l’équation (4.10) suggère de définir :
w
s
y
x
D
L
y
k
k
y








= (4.11)
w
s
z
x
D
L
z
k
k
z 







= (4.12)
L’équation (4.10), après la définition de ces deux variables adimensionnelles, devient :
( ) t
p
k
L
c
z
p
y
p
x
p s
s
x
w
s
t
D
s
D
s
D
s
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0002637
.
0
)
( 2
2
2
2
2
2
2
φµ
(4.13)
Afin de définir la pression adimensionnelle, nous allons utiliser la loi de Darcy pour le cas d’un puits
horizontal (en faisant une analogie avec le puits vertical, équation (3.3)) :
( )
w
s
z
y
s
sand
s
L
k
k
q
r
p
r
2
)
(
2
.
141 µ
=
∂
∂
(4.14)
où : s
z
yk
k )
( est la moyenne dans le plan (y-z) qui représente la perméabilité radiale et ( w
L
2 ) est la
longueur totale de la partie horizontale du puits.
La pression initiale P0 quant à elle, peut être éliminée en remplaçant la variable p par (P0 –p) dans
l’équation (4.14). De plus, comme (P0 –p) devient la seule variable dans l’équation (4.14), on peut
éliminer les autres termes par la division de (P0 –p) par le coté droit de cette équation. Ainsi, on peut
définir une pression adimensionnelle comme suit :
( )
( )
s
s
sand
w
s
z
y
s
D p
P
q
L
k
k
p −
= 0
2
.
141
2
)
(
)
(
µ
, mais comme qsand n’est pas constant, on va plutôt utiliser le débit
de surface Qsurf B0 égal à Q (comme ça été discuté dans le paragraphe 3.6 du chapitre 3) qui est
constant et connu. Ainsi, la nouvelle définition de la pression adimensionnelle est :
( )
( )
s
s
w
s
z
y
s
D p
P
Q
L
k
k
p −
= 0
2
.
141
2
)
(
)
(
µ
(4.15)
L’équation (4.13) devient :
( ) t
p
k
L
c
z
p
y
p
x
p s
D
s
x
w
s
t
D
s
D
D
s
D
D
s
D
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )
(
0002637
.
0
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
φµ
(4.16)
Si on introduit de plus l’effet du Skin et du wellbore storage (voir le paragraphe 3.5 et 3.6 du chapitre
3), les équations (3.16) et (3.24) deviennent :
Effet du Skin : ( ) S
Q
q
p
p sand
wfD
s
D −
=
− (4.17)
Effet du Wellbore storage :
( )
( ) dt
dp
L
k
k
Q
C
Q
q
wfD
w
s
z
y
s
sand
2
)
(
2
.
141
24
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
µ
(4.18)

L’élimination de Q est rapide à partir de l’équation (4.18), en définissant le débit adimensionnel
suivant :
Q
q
q sand
D = (4.19)
( )
( ) dt
dp
L
k
k
C
q
wfD
w
s
z
y
s
D
2
)
(
2
.
141
24
1
⋅
⋅
⋅
−
=
µ
(4.20)
Le temps est la seule variable restante dans l’équation de diffusivité. A partir de l’équation (4.16), on
peut définir le temps adimensionnel comme suit :
( )
( )
t
L
c
k
t
w
s
t
s
x
D 2
0002637
.
0
φµ
= (4.21)
l’équation de diffusivité (4.16) pour la couche source devient, sous sa forme adimensionnelle finale,
comme suit :
D
s
D
D
s
D
D
s
D
D
s
D
t
p
z
p
y
p
x
p
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
(4.22)
L’équation (4.20) devient :
( ) ( )
( )
( )( ) D
wfD
w
s
t
w
s
z
y
s
x
s
D
dt
dp
L
c
L
k
k
k
C
q 2
2
)
(
0002637
.
0
2
.
141
24
1
φµ
µ
⋅
⋅
⋅
−
= (4.23)
qui se ramène à :
D
wfD
D
D
dt
dp
C
q −
=1 (4.24)
où :
( ) s
v
h
w
s
t
D
k
k
L
c
C
C 







= 3
4468
.
0
φ
(4.25)
Si : s
v
s
z
s
s
y
s
x k
k
et
k
k
k h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( =
=
= .
Pour ce qui est des autres couches, la définition de la pression adimensionnelle est la même
que pour la couche source en remplaçant uniquement l’indice s par i. Ainsi, la définition de la pression
adimensionnelle pour n’importe quelle couche, y compris la couche source, est :
( )
( )
i
s
w
s
z
y
i
D p
P
Q
L
k
k
p −
= 0
2
.
141
2
)
(
)
(
µ
(4.26)

L’équation de diffusivité pour n’importe quel couche « i », s’écrit donc comme suit (y compris la
couche source) :
( ) ( )
D
i
D
i
D
i
D
i
z
D
i
D
i
y
D
i
D
t
p
z
p
y
p
x
p
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )
(
1
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
κ
λ
λ (4.27)
où :
( )
s
y
x
i
x
y
i
y
k
k
k
k
















=
λ (4.28)
( )
s
z
x
i
x
z
i
z
k
k
k
k
















=
λ (4.29)
s
i
i
η
η
κ = (4.30)
i
t
x
i
c
k








=
φµ
η (4.31)
Notons que pour la couche source (i = s), ( ) ( ) 1
=
=
= i
i
z
i
y κ
λ
λ et que l’équation (4.27) reprend la
forme de l’équation (4.22). Donc, l’équation (4.27) est plus générale.
Les conditions aux limites et initiale deviennent :
™ Condition initiale : ( ) 0
, =
D
D
D t
p r à tD = 0. (4.32)
™ Conditions aux frontières supérieures et inférieures :
( ) ( )
( ) ( )
0
,
, =
∂
∂
+
D
D
D
i
D
D
D
i
D
z
t
p
t
p
r
r β
γ pour i = 1 et i = n (4.33)
Par un choix convenable de γ et de β , l’équation (4.33) peut représenter la condition de No-flow
( 1
,
0 =
= β
γ ) ou la condition de Constant-pressure ( 0
,
1 =
= β
γ ).
™ Conditions aux frontières latérales :
( ) ( ) 0
, =
D
D
i
D t
p r pour xD ,yD tendant vers l’infini. (4.34)
™ Conditions aux puits :
( )
( ) 





<
<
−
>
−
<
=
∂
∂
→
→ 1
1
1
1
0
,
,
,
lim
0
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
r x
pour
t
q
et x
pour x
n
t
z
y
x
p
D
σ (4.35)
™ Conditions aux interfaces :
continuité de la pression : ( ) ( ) ( ) ( )
D
D
i
D
D
D
i
D t
p
t
p ,
, 1
r
r +
= à ( )i
D
D z
z = (4.36)
continuité du débit :
( ) ( ) ( ) ( )
D
D
D
i
D
i
z
D
D
D
i
D
i
z
z
t
p
k
z
t
p
k
∂
∂








=
∂
∂







 +
+
,
, 1
1
r
r
µ
µ
à ( )i
D
D z
z = (4.37)

Le problème de diffusion de la pression dans le domaine anisotrope donné par l’équation (4.1)
est résolu dans un domaine transformé isotrope donné par l’équation (4.22) (pour la couche source) où
le puits circulaire devient un puits elliptique ( yDy=rw ≠ zDz=rw ) . Par suite, le rayon adimensionnel
effectif équivalent (correct) du puits est la moyenne de yDy=rw et zDz=rw comme suit [25] :


















+








s
z
x
s
y
x
w
w
k
k
k
k
L
r
2
(4.38)
Ce rayon adimensionnel effectif doit être modifié pour des conditions au puits différentes.
4.3 Résolution :
Afin de résoudre l’équation (4.27) avec les conditions aux limites et initiale (4.32) jusqu’à
(4.37), nous allons adopter une stratégie qui consiste à réduire le nombre de variables indépendantes
dans cette équation aux dérivées partielles, et ceci par l’utilisation de transformations intégrales de
Laplace et de Fourier avec la formulation de Green. L’enchaînement des séquences est le suivant :
La transformation de Laplace est appliquée à l’équation (4.27) pour éliminer la dépendance de
l’équation par rapport à la variable temporaire t. Puis, l’application de la formulation de Green à
l’équation obtenue permettra d’avoir une nouvelle équation dont la solution représente la réponse
impulsionnelle à une source ponctuelle. Cette réponse impulsionnelle est obtenue par l’utilisation des
transformées de Fourier. Ces dernières sont utilisées afin d’éliminer deux variables spatiales et donc
simplifier le problème. La fonction de Green obtenue (solution ou réponse impulsionnelle à une source
ponctuelle) est utilisée pour développer la fonction de Green pour une source linéique à flux uniforme
fini (qui représente le puits), dans un système tridimensionnel multicouche, infini latéralement, et qui
est limité par le haut et par le bas par des frontières imperméables ou à pression constante.
Dans le domaine de Laplace, l’équation de diffusion de la pression donnée par l’équation
(4.27) et vu la condition initiale (équation (4.32)), s’écrit comme suit :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0
2
2
2
2
2
2
=
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
i
D
i
D
i
D
i
z
D
i
D
i
y
D
i
D
p
s
z
p
y
p
x
p
κ
λ
λ (4.39)
où : s est la variable de Laplace.
L’équation (4.39) est une équation de Helmotz modifiée, tridimensionnelle où ( )i
D
p est réel et la
variable fréquentielle (
i
s
κ
− ) est négative. (l’équation de Helmotz s’écrit (∆+f2
) u = 0, où ∆ est
l’opérateur de Laplace, f2
est la variable fréquentielle et u la fonction inconnue. L’équation de Helmotz
modifiée s’écrit (∆-f2
) u = 0 ).

4.3.1 Formulation de Green :
On peut réécrire l’équation (4.39) comme suit :
( ) 0
2
=








−
∇ i
D
i
i p
s
κ
(4.40)
où l’opérateur de Laplace modifié 2
i
∇ est défini comme suit :
( ) ( ) 2
2
2
2
2
2
2
D
i
z
D
i
y
D
i
z
y
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇ λ
λ (4.41)
En utilisant la formulation de Green, comme il a été discuté auparavant (voir annexe A), le problème
(équation (4.40)) est réécrit comme suit :
Pour la couche source (i = s) :
( ) ( ) ( )
D
D
D
D
s
D
D
D
D
s
G
s
z
y
x
r
r
r
r ′
−
=
′








−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
δ
;
,
2
2
2
2
2
2
(4.42)
Pour la couche i (i ≠ s) :
( ) ( ) ( )( ) 0
;
,
2
2
2
2
2
2
=
′








−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
D
D
i
D
i
D
i
z
D
i
y
D
s
G
s
z
y
x
r
r
κ
λ
λ (4.43)
où :
( )i
D
G : fonction de Green pour la couche i dans le domaine de Laplace ;
( )
D
D
D
D z
y
x ,
,
r : vecteur position de détection de la source ;
( )
D
D
D
D z
y
x ′
′
′
′ ,
,
r : vecteur position de la source ;
( )
D
D r
r ′
,
δ : fonction de Dirac (Delta, voir Annexe A).
Les conditions aux frontières et aux interfaces deviennent :
( )( ) 0
;
, =
′
D
D
i
D s
G r
r pour xD et yD →∝ (4.44)
( )( ) ( ) ( )
D
D
i
D
D
D
i
D s
G
s
G r
r
r
r ′
=
′ +
;
,
;
, 1
pour zD = (zD)i (4.45)
( )( ) ( ) ( )
D
D
D
i
D
i
z
D
D
D
i
D
i
z
z
s
G
k
z
s
G
k
∂
′
∂








=
∂
′
∂







 +
+
r
r
r
r ;
,
;
, 1
1
µ
µ
pour zD = (zD)i (4.46)
La condition aux frontières supérieure et inférieure sera explicitée ultérieurement lors de l’introduction
de la méthode de transmission - réflexion.
Les équations (4.44) jusqu’à (4.46) s’appliquent pour toutes les couches y compris la couche source.
Dans ce qui suit, l’indice D sera omis temporairement pour des raisons de commodité
d’écriture, car tous les paramètres sont adimensionnels (donc pas d’ambiguïté).

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