Notre métier consiste à exploiter les dernières technologies de communication dans le domaine de connectivité automotive.
Dans le but de faire évoluer les réseaux de communication dans le secteur automobile, le département Automotive et Transport de Cynapsys, doté d’expériences a échelle international, développe des solutions alternatives pour les bus de communications inter et intra-véhiculaire.
L’équipe automotive vise à intégrer les technologies de contrôle sans fil dans les équipements, où les contraintes temps réel sont flexibles, tels que les systèmes de lève-vitres électriques, lave-phare, essuie-glaces, sièges électriques….Ceci est applicable aussi au systèmes de diagnostics et de calibration.
En outre, la technologie CPL (Courant Porteur en Ligne) présente des avantages importants profitant d’un support physique existant, pour véhiculer de manière fiable les données. Notre équipe travaille sur la mise au point de systèmes d’interfaçages des bus existants tel que CAN, LIN … avec la ligne de batterie.
Notre métier consiste à exploiter les dernières technologies de communication dans le domaine de connectivité automotive.
Dans le but de faire évoluer les réseaux de communication dans le secteur automobile, le département Automotive et Transport de Cynapsys, doté d’expériences a échelle international, développe des solutions alternatives pour les bus de communications inter et intra-véhiculaire.
L’équipe automotive vise à intégrer les technologies de contrôle sans fil dans les équipements, où les contraintes temps réel sont flexibles, tels que les systèmes de lève-vitres électriques, lave-phare, essuie-glaces, sièges électriques….Ceci est applicable aussi au systèmes de diagnostics et de calibration.
En outre, la technologie CPL (Courant Porteur en Ligne) présente des avantages importants profitant d’un support physique existant, pour véhiculer de manière fiable les données. Notre équipe travaille sur la mise au point de systèmes d’interfaçages des bus existants tel que CAN, LIN … avec la ligne de batterie.
La filière automobile française est confrontée à des défis considérables : le changement de regard que la société porte à une mobilité qui doit devenir « durable », les progrès technologiques indispensables pour aboutir au véhicule « propre » et la concurrence mondiale de plus en plus pressante.La transition sera réussie si elle permet simultanément de faire face aux difficultés immédiates rencontrées par les constructeurs français sur le territoire national et de se préparer au futur de l’automobile.Les recommandations de cet avis s’attachent ainsi tout particulièrement à la mise en synergie des efforts de l’ensemble des acteurs concernés au sein d’une véritable filière au service d’un maintien du site de production France et donc de l’emploi.
100 influenceurs des 10 marques influentes sur le web social par Alban Jarry ...Jérôme MONANGE
100 influenceurs des 10 marques les plus influentes sur les réseaux sociaux
Ravi d'être cité pour le groupe de luxe : LVMH
@JérômeMONANGE " Lab LUXURY and RETAIL"
En tant que l'un des leaders mondiaux de la fabrication des systèmes A/C, Valeo maitrise l'expertise technique de ces produits et poprose une offre complète de la boucle de climatisation.
Il fournit plus de 2600 références réparties en 16 familles de produits.
En tant que spécialiste multi-produits, Valeo est fier de vous présenter le catalogue Equipement Garage 2014-2015 couvrant quatre gammes de produits (Climatisation, Systèmes de Freinage, Éclairage et Signalisation, et Thermique Moteur) pour une offre complète.
Avec ce catalogue, Valeo propose :
• Une nouvelle gamme de station de charge ClimFill® incluant les pièces de rechange et accessoires
• Une mise à jour de l'offre des joints et huile
• Nettoyant A/C (ClimPur™) et Purificateur habitacle (ClimSpray™)
• Outillage atelier complémentaire :
- Testeur de liquide de frein pour vérifier le point d'ébullition de celui-ci
- Regloscope™ pour un diagnostic complet des phares
- FastFill® pour un remplissage rapide de la boucle de refroidissement moteur
Découvrez les catalogues Valeo :
• Climatisation 2014 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-air-conditioning-for-passenger-cars-lcvs-trucks-coaches-2014-955657-catalogue
• Filtre Habitacle 2014 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-air-conditioning-cabin-air-filter-for-passenger-cars-lcvs-trucks-coaches-2014-catalogue-955658
Découvrez également le catalogue Valeo Eclairage et Signalisation 2014 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-passenger-car-light-commerciavaleo-passenger-car-light-commercial-vehicles-lighting-signalling-left-hand-drive-catalogue-954099l-vehicles-lighting-signalling-left-hand-drive-catalogue-954099
Découvrez le supplément Valeo Thermique Moteur 2016-2017 / 2014 :http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-engine-cooling-2016-2017-supplement-catalogue-955606
Découvrez le catalogue Valeo Contrôle SystèmesThermiques 2014 / 2015 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-thermal-system-control-2014-2015-catalogue-955607
Valeo, la technologie automobile, naturellement
• Suivez Valeo sur Facebook : http://www.facebook.com/Valeo.Group
• Suivez Valeo sur Twitter : http://twitter.com/#!/Valeo_Group
Des explications sur les pneumatiques de la voiture. Présentation crée par le Groupe de Travail EMILE à Lleida (Catalunya). Trouvez le cours complet "La voiture" avec les fichiers originaux dans la web https://sites.google.com/a/xtec.cat/webtecnia/
Diesel cherche depuis toujours à s’éloigner des modèles identitaires traditionnels du jean’s, des réflexes classiques des communications de la mode (élégance et prestige, fausse provocation, culte du style, séduction…).
La marque n’en est pas à sa première campagne osée, passionnante pour ses clients et étrange pour les autres. Précédemment, le travail mené durant plusieurs années autour de «For a successful living », avec un remarquable succès, lui a permis de se distinguer, de prendre la place enviée de marque incarnant le monde d’aujourd’hui, son état d’esprit, son actualité.
Une capacité à être à l’unisson d’une génération, l’envie de sortir des contraintes, des stéréotypes, de l’obsession d’une image faite de culture, d’intelligence, d’élégance, donne à la marque cet impact et rend si remarquable sa stratégie créative
Ces slides ont été réalisés dans le cadre du projet IONIS Brand Culture.
Pour découvrir l'intégralité des cas étudiés, rendez-vous sur : www.ionisbrandculture.com.
L'industrie automobile concerne aussi bien les équipementiers spécialisés que les constructeurs de voitures particulières, de véhicules de loisir, ou de véhicules utilitaires et les carrossiers.
Apple « think different » est l’une des campagnes institutionnelles parmi les plus célébrées. Elle constitue un véritable manifeste de la disruption. En s’appuyant sur des géants de la culture, de la musique, de la politique, en rendant hommage à leur courage, leur engagement, leur volonté de faire autrement, Apple fait en réalité, une exceptionnelle autocélébration. Celle-ci a le mérite de se dissimuler derrière cet hommage, qu’on peut qualifier de sincère tant Steve Jobs, l’âme d’Apple et de cette campagne, incarnait le « think different ».
L’exceptionnelle qualité de la démarche vient aussi de la légitimité peu contestable de l’émetteur, solidité acquise au fil des années et des innovations. Nombre d’entreprises et de marques pourraient tenter ce parallèle, mais un nombre infime bénéficierait de la crédibilité qu’elle exige. Apple en fait partie.
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En tant que spécialiste multi-produits, Valeo est fier de vous présenter le catalogue Equipement Garage 2014-2015 couvrant quatre gammes de produits (Climatisation, Systèmes de Freinage, Éclairage et Signalisation, et Thermique Moteur) pour une offre complète.
Avec ce catalogue, Valeo propose :
• Une nouvelle gamme de station de charge ClimFill® incluant les pièces de rechange et accessoires
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• Outillage atelier complémentaire :
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- Regloscope™ pour un diagnostic complet des phares
- FastFill® pour un remplissage rapide de la boucle de refroidissement moteur
Découvrez les catalogues Valeo :
• Climatisation 2014 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-air-conditioning-for-passenger-cars-lcvs-trucks-coaches-2014-955657-catalogue
• Filtre Habitacle 2014 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-air-conditioning-cabin-air-filter-for-passenger-cars-lcvs-trucks-coaches-2014-catalogue-955658
Découvrez également le catalogue Valeo Eclairage et Signalisation 2014 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-passenger-car-light-commerciavaleo-passenger-car-light-commercial-vehicles-lighting-signalling-left-hand-drive-catalogue-954099l-vehicles-lighting-signalling-left-hand-drive-catalogue-954099
Découvrez le supplément Valeo Thermique Moteur 2016-2017 / 2014 :http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-engine-cooling-2016-2017-supplement-catalogue-955606
Découvrez le catalogue Valeo Contrôle SystèmesThermiques 2014 / 2015 : http://www.slideshare.net/ValeoService/valeo-thermal-system-control-2014-2015-catalogue-955607
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4. www.tifawt.com
sntrodu™tion
e(n de f—™iliter le tr—v—il de tousD voi™i l— qu—trième version de ™e re™ueil d9exer™i™esF v9esprit
n9— p—s ™h—ngé X simpli(er le ™on™o™t—ge des feuilles d9exer™i™es p—r un simple ™opierE™oller F
te n9—i p—s s—isi tous les exer™i™esD loin de làD je remer™ie vivement les gros ™ontri˜uteurs X
E Éli—ne gousquer Y
E pr—nçois qourio Y
E €ierreE‰ves veg—ll Y
E €—s™—l yrtiz Y
E pr—nz ‚iddeF
ƒ—ns ou˜lier tous ™eux qui m9ont fourni leurs feuilles d9exer™i™es X te—nEpr—nçois f—rr—udD géE
™ile hrouetD gornéli— hrutuD ylivier qinesteD †in™ent quir—rdelD te—nEw—r™ ré™—rtD ern—ud
rilionD te—nEw—rie ves™ureD ss—˜elle viousseD ƒylv—in w—illotD xi™ol—s w—r™oD fertr—nd wonE
thu˜ertD x—dj— ‚e˜inguetD ƒ—ndrine ‚ousselD w—rieErelène †ign—lF u9ils et elles en soient tous
remer™iésF
v— ˜i˜liothèque s9—gr—ndie en™ore X environ 2000 exer™i™esF ves (™hiers sour™es sont dispoE
e
ni˜les en v „ ˆD et ré™upér—˜les à l9—dresse suiv—nte X
i
http XGGwwwEg—tFunivElilleIFfrG ∼˜odinG
ƒur ™e siteD une p—ge permet de ré™upérer les exer™i™es qui vous intéressent en s—isiss—nt leur
numéroF gert—ins exer™i™es sont ™orrigés @environ 15%AD ™epend—nt —(n des s—uver quelques
—r˜res les ™orre™tions ne sont p—s in™luses d—ns ™ette version p—pierF fien sûr lorsque vous ré™uE
pérez des exer™i™es pour f—ire une feuille de td les ™orre™tions exist—ntes sont —utom—tiquement
—joutées en (n de feuilleF
†ous pouvez ™ontri˜uer à ™e re™ueil en m9envoy—nt vos (™hiers X
ern—udFfodind—g—tFunivElilleIFfr
hon™ n9hésitez p—s à t—per vos feuilles et ™orre™tionsD ™e ser— f—it une fois pour toutes et pour
tous 3
ern—ud fodin
6. www.tifawt.com
ƒomm—ire
s evqÈf‚i I I
I xom˜res ™omplexes I
P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IQ
Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PP
R ‚el—tion d9équiv—len™eD rel—tion d9ordre PS
S hénom˜rement PT
T erithmétique d—ns Z QH
U €olynômes RP
V pr—™tions r—tionnelles SH
ss exev‰ƒi I SP
W €ropriétés de R SP
IH ƒuites SV
II vimites de fon™tions UH
IP gontinuité et étude de fon™tions UT
IQ hériv—˜ilité VP
IR pon™tions ™ir™ul—ires et hyper˜oliques inverses VU
IS g—l™uls d9intégr—les WH
IT Équ—tions di'érentielles IHP
sss evqÈf‚i P IHU
IU isp—™es ve™toriels IHU
IV eppli™—tions liné—ires IIP
IW isp—™es ve™toriels de dimension (nie IPH
PH w—tri™es IPU
PI hétermin—ntsD systèmes liné—ires IQU
s† exev‰ƒi P ISQ
PP ƒuites X ™ompléments ISQ
PQ gontinuité et ™omp—r—ison de fon™tions ISS
PR hériv—˜ilité X ™ompléments ISU
PS héveloppements limités ISW
7. www.tifawt.com
PT sntégr—les @™omplémentsAD intégr—les impropres ITS
† evqÈf‚i Q IUH
PU qroupes X génér—lités IUH
PV enne—ux et ™orps IUT
PW qroupes (nis IVH
QH qroupes quotients IVU
QI isp—™es eu™lidiens IWH
QP indomorphismes p—rti™uliers IWW
QQ €olynômes d9endomorphismes PIH
QR ‚édu™tion d9endomorphismes X di—gon—lis—tion PIP
QS ‚édu™tion d9endomorphismes X —utres rédu™tions PPU
†s exev‰ƒi Q PQV
QT pon™tions ™onvexes PQV
QU xotions de topologie PQW
QV pon™tions de deux v—ri—˜les PRS
QW isp—™es métriques et esp—™es ve™toriels normés PSU
RH ƒuites d—ns Rn PTS
RI sntégr—les multiples PTT
RP ƒéries numériquesD séries de pourier PTV
†ss qÉywÉ„‚si PUR
RQ qéométrie —0ne PUR
RR ssométries ve™torielles PUU
RS qéométrie —0ne eu™lidienne PUV
RT gour˜es p—r—métrées PVW
RU €ropriétés métriques des ™our˜es pl—nes PWH
RV goniques PWI
RW en—lyse ve™torielle PWI
†sss gy‚‚ig„syxƒ PWQ
9. I xom˜res ™omplexes I
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€remière p—rtie
evqÈf‚i I
I xom˜res ™omplexes
IFI porme ™—rtésienneD forme pol—ire
ixer™i™e I wettre sous l— forme a + ib @a, b ∈ RA les nom˜res X
2
3 + 6i 1+i 3 + 6i 2 + 5i 2 − 5i
; + ; + .
3 − 4i 2−i 3 − 4i 1−i 1+i
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e P É™rire les nom˜res ™omplexes suiv—nts sous l— forme a + ib @a, b ∈ RA X
√ 3
5 + 2i 1 3 (1 + i)9
; − +i ; .
1 − 2i 2 2 (1 − i)7
ixer™i™e Q É™rire sous l— forme a + ib les nom˜res ™omplexes suiv—nts X
IF xom˜re de module 2 et d9—rgument π/3F
PF xom˜re de module 3 et d9—rgument −π/8F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e R €l—™er d—ns le pl—n ™—rtésienD les points d9—0xes suiv—ntes X z1 = i, z2 = 1 + i, z3 = −2 +
ixer™i™e S wettre ™h—™un des nom˜res ™omplexes suiv—nts sous l— forme a + ib, a ∈ R et
b ∈ R.
−2 1 1 + 2i 2 + 5i 2 − 5i
√ D D , + .
1 − i 3 (1 + 2i)(3 − i) 1 − 2i 1 − i 1+i
ixer™i™e T IF wettre sous forme trigonométrique les nom˜res ™omplexes suiv—nts X
√ 4
z1 =
3 + 3iD z2 = −1 − 3iD z3 = − iD z4 = −2D z5 = eiθ + e2iθ .
√
3
PF g—l™uler ( 1+i 3 )2000 F
ixer™i™e U
2
i'e™tuer les ™—l™uls suiv—nts X
IF (3 + 2i)(1 − 3i)F
PF €roduit du nom˜re ™omplexe de module 2 et d9—rgument π/3 p—r le nom˜re ™omplexe de
module 3 et d9—rgument −5π/6F
3+2i
QF F
1−3i
RF uotient du nom˜re ™omplexe de module 2 et d9—rgument π/3 p—r le nom˜re ™omplexe
de module 3 et d9—rgument −5π/6F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e V g—l™uler le module et l9—rgument des nom˜res ™omplexes suiv—ntsD —insi que de
leurs ™onjugués X
√
IF 1 + i(1 + 2)F
√ √
PF 10 + 2 5 + i(1 − 5)F
10. I xom˜res ™omplexes P
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tan ϕ−i
QF
tan ϕ+i
où ϕ est un —ngle donnéF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e W ‚eprésenter sous forme trigonométrique les nom˜res X
√
√ √ 1+i 3
1+i ; 1+i 3 ; 3+i ; √ .
3−i
ixer™i™e IH Ét—˜lir les ég—lités suiv—ntes X
√
1−i 3
√
IF (cos(π/7) + i sin(π/7))( )(1 + i) = 2(cos(5π/84) + i sin(5π/84)),
2
√ √
PF (1 − i)(cos(π/5) + i sin(π/5))( 3 − i) = 2 2(cos(13π/60) + i sin(13π/60)),
√ √
2(cos(π/12)+i sin(π/12)) 3−i
QF
1+i
= 2
.
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e II g—l™uler le module et l9—rgument de
u
u =
√
2
√
6−i 2
et v = 1 − iF in déduire le
module et l9—rgument de w = F
v
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IP É™rire sous l— forme p—rtie réelleEp—rtie im—gin—ireD puis sous l— forme moduleE
—rgument le nom˜re ™omplexe X
√ 2
1 + i − 3(1 − i)
.
1+i
ixer™i™e IQ héterminer le module et l9—rgument des nom˜res ™omplexes X
iα
ee et eiθ + e2iθ .
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IR héterminer le module et l9—rgument de
1+i
1−i
F g—l™uler ( 1+i )32 F
1−i
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IS g—l™uler
√
Z = (1 + i 3)2000 F
ixer™i™e IT g—l™uler
√ √
(1 + i 3)5 + (1 − i 3)5 et
√ √
(1 + i 3)5 − (1 − i 3)5 F
ixer™i™e IU g—l™uler le module et l9—rgument de z= 1
F
ixer™i™e IV
1+i tan α
g—l™uler les puiss—n™es nEièmes des nom˜res ™omplexes X
√
1+i 3 1 + i tan θ
z1 = ; z2 = 1 + j ; z3 = .
1+i 1 − i tan θ
ixer™i™e IW gomment ™hoisir l9entier n—turel
√
n pour que ( 3+i)n soit un réel c un im—gin—ire c
ixer™i™e PH ƒoit z un nom˜re ™omplexe de module ρD d9—rgument θD et soit z son ™onjuguéF
g—l™uler (z + z)(z 2 + z 2 ) . . . (z n + z n ) en fon™tion de ρ et θF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e PI @p—rtiel novem˜re VVA
iα iβ
ƒoient α et β
deux nom˜res réelsF wettre le nom˜re
iγ α+β
™omplexe z = e +e sous forme trigonométrique z = ρe @indi™—tion X poser u = D
2
α−β
v = 2 AF
in déduire l— v—leur de
n
p
Cn cos[pα + (n − p)β].
p=0
‘ixer™i™e ™orrigé“
11. I xom˜res ™omplexes Q
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ixer™i™e PP É™rire l9expression (1 + cos φ + i sin φ) sous forme trigonométriqueF in déduire
l9expression de (1 + cos φ + i sin φ)n .
ixer™i™e PQ wettre sous forme trigonométrique 1 + eiθ où θ ∈] − π, π[F honner une interpréE
t—tion géométriqueF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e PR wontrer que si |z| k 1 —lors 1−k |1 + z| 1 + kF p—ire un dessin et
montrer qu9il peut y —voir ég—litéF
ixer™i™e PS
2
wontrer —lgé˜riquement et géométriquement que si |z| = 1 —lors |1 + z| 1 ou
|1 + z | 1 F
ixer™i™e PT ‚ésoudre l9équ—tion exp(z) =
√
3 + 3iF
IFP ‚—™ines ™—rréesD équ—tion du se™ond degré
ixer™i™e PU g—l™uler les r—™ines ™—rrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24iF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e PV „rouver les r—™ines ™—rrées de 3 − 4i et de 24 − 10iF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e PW IF g—l™uler les r—™ines ™—rrées de
1+i
√ F in déduire les v—leurs de
2
cos(π/8) et
sin(π/8)F
PF g—l™uler les v—leurs de cos(π/12) et sin(π/12)F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e QH wontrer que les solutions de az 2 + bz + c = 0 —ve™ aD bD c réelsD sont réelles ou
™onjuguéesF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e QI ‚ésoudre d—ns C les équ—tions suiv—ntes X
√
z2 + z + 1 = 0 ; z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 ; z2 − 3z − i = 0 ;
z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ; z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 ; 4z 2 − 2z + 1 = 0 ;
z 4 + 10z 2 + 169 = 0 ; z 4 + 2z 2 + 4 = 0.
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e QP „rouver les r—™ines ™omplexes de l9équ—tion suiv—nte X
x4 − 30x2 + 289 = 0.
ixer™i™e QQ €our z ∈ C {2i}D on pose
2z − i
f (z) = .
z − 2i
IF ‚ésoudre l9équ—tion z 2 = i, z ∈ C.
PF ‚ésoudre l9équ—tion f (z) = z, z ∈ C {2i}.
ixer™i™e QR yn note j=e3.
2π
IF wettre j et j2 sous forme —lgé˜riqueF
PF †éri(er que 1 + j + j 2 = 0F
12. I xom˜res ™omplexes R
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QF p—™toriser le polynôme z 3 − 8iF
ixer™i™e QS IF g—l™uler les r—™ines ™—rrées de 1 + iD 7 + 24iD iD 5 + 12iD √
√
1+i 3
3+i
F
PF ‚ésoudre les équ—tions suiv—ntes X
@—A z2 + z + 1 = 0
@˜A z2 + z − 2 = 0
@™A z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0
@dA z 2 + 4z + 5 = 0
@eA z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0
@f A z 4 − (1 − i)z 2 − i = 0
@gA z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z − 15 = 0
ixer™i™e QT ‚ésoudre d—ns C les équ—tions suiv—ntes X
IF z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0F
PF z 3 + 3z − 2i = 0F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e QU yn ™onsidère d—ns C l9équ—tion (E) suiv—nte X
z 2 − (1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0,
où a est un p—r—mètre réelF
IF g—l™uler en fon™tion de a ∈ R les solutions z1 et z2 de (E) @indi™—tion X on pourr—
déterminer les r—™ines ™—rées ™omplexes de −2i(1 − a)2 AF
PF yn désigne p—r Z1 @respF Z2 A les points du pl—n ™omplexe d9—0xe z1 @respF z2 A et p—r M le
milieu de [Z1 , Z2 ]F „r—™er l— ™our˜e du pl—n ™omplexe dé™rite p—r M lorsque a v—rie d—ns
RF
ixer™i™e QV IF €our α ∈ RD résoudre d—ns C l9équ—tion z 2 − 2 cos(α)z + 1 = 0. in déduire
l— forme trigonométrique des solutions de l9équ—tion X
z 2n − 2 cos(α)z n + 1 = 0, où n est un entier n—turel non nulF
Pα (z) = z 2n − 2 cos(α)z n + 1.
@—A tusti(er l— f—™toris—tion suiv—nte de Pα X
α α 2π α 2(n − 1)π
Pα (z) = z 2 − 2 cos +1 z 2 − 2 cos + + 1 . . . z 2 − 2 cos +
n n n n n
@˜A €rouverD à l9—ide des nom˜res ™omplexes p—r exempleD l— formule suiv—nte X
θ
1 − cos θ = 2 sin2 , θ ∈ R.
2
@™A g—l™uler Pα (1)F in déduire
2 α α π α (n − 1)π sin2 α
sin sin2 + . . . sin2 + = 2
.
2n 2n n 2n n 4n−1
13. I xom˜res ™omplexes S
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PF €our tout α —pp—rten—nt à ]0, π[D et pour tout entier n—turel n 2D on pose X
α π α 2π α (n − 1)π
Hn (α) = sin + sin + . . . sin + .
2n 2n 2n n 2n n
@—A wontrer queD pour tout α non nulD on — X
sin(α/2)
2n−1 Hn (α) = .
sin(α/2n)
@˜A uelle est l— limite de Hn (α) lorsque α tend vers 0c
@™A in déduire queD pour tout entier n—turel n supérieur ou ég—l à 2D on —
π 2π (n − 1)π n
sin sin . . . sin = .
n n n 2n−1
IFQ ‚—™ine nEième
ixer™i™e QW IF €our quelles v—leurs de z ∈ C —EtEon |1 + iz| = |1 − iz|.
1+iz n
yn ™onsidère d—ns C l9équ—tion
1−iz
= 1+ia , où a ∈ R. wontrerD s—ns les ™—l™ulerD que
1−ia
les solutions de ™ette équ—tion sont réellesF „rouver —lors les solutionsF
√
3+i
g—l™uler les r—™ines ™u˜iques de √ F
ixer™i™e RH
3−i
€our tout nom˜re ™omplexe ZD on pose P (Z) = Z 4 − 1F
IF p—™toriser P (Z) et en déduire les solutions d—ns C de l9équ—tion P (Z) = 0F
PF héduire de IF les solutions de l9équ—tion d9in™onnue z X
((2z + 1)/(z − 1))4 = 1
ixer™i™e RI ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion suiv—nte X
√
z 4 = (1 − i) / 1 + i 3 .
ixer™i™e RP ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion
1
z 3 = 4 (−1 + i) et montrer qu9une seule de ses soluE
tions — une puiss—n™e qu—trième réelleF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e RQ „rouver les r—™ines ™u˜iques de 2 − 2i et de 11 + 2iF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e RR
√
1+i 3
π
g—l™uler √ 2
2(1+i)
—lgé˜riquementD puis trigonométriquementF in déduire cos 12 D
2
sin 12 D tan 12 D tan 5π F
π π
12
‚ésoudre d—ns C l9équ—tion z 24 = 1F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e RS „rouver les r—™ines qu—trièmes de 81 et de −81F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e RT IF wontrer queD pour tout n ∈ N∗ et tout nom˜re z ∈ CD on — X
(z − 1) 1 + z + z 2 + ... + z n−1 = z n − 1,
et en déduire queD si z = 1D on — X
zn − 1
1 + z + z 2 + ... + z n−1 = .
z−1
14. I xom˜res ™omplexes T
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ix x
PF †éri(er que pour tout x∈R D on — exp(ix) − 1 = 2i exp 2
sin 2
.
∗
QF ƒoit n∈N F g—l™uler pour tout x ∈ R l— somme X
Zn = 1 + exp(ix) + exp(2ix) + ... + exp((n − 1)ix),
et en déduire les v—leurs de
Xn = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos((n − 1)x)
Yn = sin(x) + sin(2x) + ... + sin((n − 1)x).
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e RU g—l™uler l— somme Sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e RV IF ‚ésoudre z3 = 1
et montrer que les r—™ines s9é™rivent 1D j D j 2 F g—l™uler
1+j+ j et en déduire les r—™ines de 1 + z + z 2 = 0F
2
PF ‚ésoudre z n = 1 et montrer que les r—™ines s9é™rivent 1, ε, . . . , εn−1 F in déduire les r—™ines
de 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0F g—l™ulerD pour p ∈ ND 1 + εp + ε2p + · · · + ε(n−1)p F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e RW ‚ésoudre d—ns C X
IF z5 = 1F
PF z5 = 1 − iF
QF z3 = −2 + 2iF
RF z5 = z.
¯
ixer™i™e SH IF g—l™uler les r—™ines nEièmes de −i et de 1 + iF
PF ‚ésoudre z 2 − z + 1 − i = 0F
2n
QF in déduire les r—™ines de z − z n + 1 − i = 0F
ixer™i™e SI ƒoit ε une r—™ine nEième de l9unité Y ™—l™uler
S = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 .
ixer™i™e SP ‚ésoudreD d—ns CD l9équ—tion (z + 1)n = (z − 1)n F
ixer™i™e SQ ‚ésoudreD d—ns CD l9équ—tion zn = z où n 1F
ixer™i™e SR ‚ésoudre les équ—tions suiv—ntes X
√
1+i 3 1−i
z6 = √ ; z4 = √ .
1−i 3 1+i 3
ixer™i™e SS ‚ésoudre
6
z + 27 = 0 z ∈ C F @ A
ixer™i™e ST @p—rtiel novem˜re WIA IF ƒoient z1 D z2 D z3 trois nom˜res ™omplexes distin™ts
—y—nt le même ™u˜eF
ixprimer z2 et z3 en fon™tion de z1 F
PF honnerD sous forme pol—ireD les solutions d—ns C de X
z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0.
@sndi™—tion X poser Z = z3 Y ™—l™uler (9 + i)2 A
‘ixer™i™e ™orrigé“
15. I xom˜res ™omplexes U
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ixer™i™e SU ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion 27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0F
ixer™i™e SV héterminer les r—™ines qu—trièmes de −7 − 24iF
ixer™i™e SW ƒoit β∈C tel que β7 = 1 et β = 1F wontrer
β β2 β3
+ + = −2
1 + β2 1 + β4 1 + β6
IFR qéométrie
ixer™i™e TH héterminer l9ensem˜le des nom˜res ™omplexes z tels que X
z−3
IF = 1,
z−5
√
z−3 2
PF = .
z−5 2
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e TI IF ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion @IA (z − 2)/(z − 1) = i. yn donner— l— solution
sous forme —lgé˜riqueF
PF ƒoit M, A, et B les points d9—0xes respe™tives z, 1, 2F yn suppose que M = A et que
M = B F snterpréter géométriquement le module et un —rgument de (z − 2)/(z − 1) et
retrouver l— solution de l9équ—tion @IAF
ixer™i™e TP ve pl—n P est r—pporté à un repère orthonormé et identi(é à l9ensem˜le C des
nom˜res ™omplexes p—r
M (x, y) → x + iy = z,
où z est —ppelé l9—0xe de M. ƒoit f : P rg P qui à tout point M d9—0xe z —sso™ie M d9—0xe
z−i
z = z+i
.
IF ƒur quel sous ensem˜le de PD f estEelle dé(nie c
PF g—l™uler |z | pour z —0xe d9un point M situé d—ns le demi pl—n ouvert
H := {M (x, y) ∈ P | y 0.}?
QF in déduire l9im—ge p—r f de H.
ixer™i™e TQ ve pl—n P est r—pporté à un repère orthonormé et on identi(e P à l9ensem˜le des
nom˜res ™omplexes C p—r
M (x, y) → x + iy = z,
où z
est —ppelé l9—0xe de M. ƒoit g : P rg P qui à tout point M d9(xe z = −1 —sso™ie g(M )
1−z
d9—0xe z = F
1+z
IF g—l™uler ¯
z +z pour |z| = 1F
PF in déduire l9im—ge du ™er™le de r—yon 1 de ™entre 0 privé du point de ™oordonnées (−1, 0)
p—r l9—ppli™—tion g.
ixer™i™e TR ƒoit C l— ™our˜e d9équ—tion x2 − xy + y 2 = 0 d—ns le pl—n P r—pporté à un repère
orthonorméF
16. I xom˜res ™omplexes V
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IF v— ™our˜e C —EtEelle des points d9interse™tion —ve™ le re™t—ngle ouvert R dont les sommets
sont X
A = (−3, 2)
B = (4, 2)
C = (4, −1)
D = (−3, −1).
PF wême question pour le re™t—ngle fermé R de sommets X
A = (−1, 4)
B = (2, 4)
C = (2, 1)
D = (−1, 1).
ixer™i™e TS
z−3
héterminer p—r le ™—l™ul et géométriquement les nom˜res ™omplexes
z−a
z tels que
z−5
= 1F qénér—liser pour
z−b
= 1F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e TT
z−3
héterminer p—r le ™—l™ul et géométriquement les nom˜res ™omplexes
z−a
z tels que
z−5
= k @k 0D k = 1AF qénér—liser pour
z−b
= kF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e TU IF ƒoit AD B D C trois points du pl—n ™omplexe dont les —0xes sont respe™tiveE
ment aD bD cF yn suppose que a+jb+j 2 c = 0 Y montrer que ABC est un tri—ngle équil—tér—l
√
@j et j 2 sont les r—™ines ™u˜iques ™omplexes de 1 plus pré™isément j = −1+i 3 AF ‚é™iE
2
proque c
PF ABC ét—nt un tri—ngle équil—tér—l dire™t du pl—n ™omplexeD on ™onstruit les tri—ngles
équil—tér—ux dire™ts BOD et OCE D ™e qui détermine les points D et E @O est l9origine
du pl—n ™omplexeAF uelle est l— n—ture du qu—dril—tère ADOE c gomp—rer les tri—ngles
OBC D DBA et EAC F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e TV ƒoit H une hyper˜ole équil—tère de ™entre OD et M un point de HF wontrer que
le ™er™le de ™entre M qui p—sse p—r le symétrique de M p—r r—pport à O re™oupe H en trois
points qui sont les sommets d9un tri—ngle équil—tér—lF
sndi™—tions X en ™hoisiss—nt un repère —déqu—tD H
— une équ—tion du type xy = 1D —utrement
2
dit en identi(—nt le pl—n de H ¯2
—u pl—n ™omplexeD z − z = 4iF in not—nt a l9—0xe de M D le
™er™le — pour équ—tion |z − a|2 = 4a¯F
a yn pose ¯
Z = z − a et on élimine Z entre les équ—tions
du ™er™le et de l9hyper˜oleF in divis—nt p—r Z + 2a pour éliminer l— solution déjà ™onnue du
3
symétrique de M D on o˜tient une équ—tion du type Z − A = 0F
ixer™i™e TW wontrer que pour u, v ∈ CD on — |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ).
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e UH ƒoient z, z ∈ C tels que erg (z) − erg(z ) = π
2
F
IF wontrer que zz + zz = 0F
PF wontrer que |z + z |2 = |z − z |2 = |z|2 + |z |2 F
17. I xom˜res ™omplexes W
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ixer™i™e UI IF héterminer l9ensem˜le des points M du pl—n ™omplexeD d9—0xe z tels que X
z(z − 1) = z 2 (z − 1)F
PF héterminer l9ensem˜le des points M du pl—n ™omplexeD d9—0xe z tels que les im—ges de
1D z D 1 + z 2 soient —lignéesF
ixer™i™e UP ƒoit s = (1 − z)(1 − iz)F
IF héterminer l9ensem˜le des im—ges des nom˜res ™omplexes z tel que s soit réelF
PF héterminer l9ensem˜le des im—ges des nom˜res ™omplexes z tel que s soit im—gin—ire purF
ixer™i™e UQ IF ƒoit A
un point du pl—n d9—0xe α = a
2
+ ibF héterminer l9ensem˜le des
points M du pl—n dont l9—0xe z véri(e |z| = α¯ + αz.
z ¯
z1
PF uelles ™onditions doivent véri(er les points M1 et M2 d9—0xes z1 et z2 pour que
z2
soit
réel c
QF héterminer les nom˜res ™omplexes z tels que les points du pl—n ™omplexe d9—0xes z, iz,
i forment un tri—ngle équil—tér—lF
z−1
RF ƒoit z = a + ibD mettre l9expression
z+1
sous forme A + iB D F héterminer l9ensem˜le des
z−1 π
points du pl—n ™omplexe d9—0xe z telle que l9—rgument de soit F
ixer™i™e UR
z+1 2
héterminer les nom˜res ™omplexes z tels que le tri—ngle —y—nt pour sommets les
2 3
points d9—0xes z, z , z soit re™t—ngle —u point d9—0xe z F
ixer™i™e US héterminer les nom˜res ™omplexes z ∈ C∗ tels que les points d9—0xes
1
z, z et
(1 − z) soient sur un même ™er™le de ™entre yF
ixer™i™e UT ‚ésoudre d—ns C le système X
|z − 1| 1, |z + 1| 1.
ixer™i™e UU @gomment ™onstruire un pent—gone réguliercA (A0 , A1 , A2 , A3 , A4 ) un
ƒoit
pent—gone régulierF yn note O son ™entre et on ™hoisit un repère orthonorm9e (O, − , − ) —ve™
→ →
u v
→ −→
u
−
− = OA0 D qui nous permet d9identi(er le pl—n —ve™ l9ensem˜le des nom˜res ™omplexes CF
IF honner les —0xes ω0 , . . . , ω4 des points A0 , . . . , A4 F wontrer que ωk = ω1 k pour k ∈
2 3 4
{0, 1, 2, 3, 4}F wontrer que 1 + ω1 + ω1 + ω1 + ω1 = 0F
PF in déduire que cos( 2π )
5
est l9une des solutions de l9équ—tion 4z 2 + 2z − 1 = 0F in déduire
l— v—leur de cos( 2π )F
5
π
QF yn ™onsidère le point d9—0xe −1F g—l™uler l— longueur BA2 en fon™tion de sin
B puis
√ π 2π
10
de 5 @on rem—rquer— que sin 10 = cos 5 AF
i 1
RF yn ™onsidère le point I d9—0xe D le ™er™le C de ™entre I de r—yon et en(n le point
2 2
J d9interse™tion de C —ve™ l— demiEdroite [BI)F g—l™uler l— longueur BI puis l— longueur
BJ F
SF eppli™—tion X hessiner un pent—gone régulier à l— règle et —u ™omp—sF ixpliquerF
‘ixer™i™e ™orrigé“
18. I xom˜res ™omplexes IH
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IFS „rigonométrie
ixer™i™e UV yn r—ppelle l— formule @ θ ∈ RA X
eiθ = cos θ + i sin θ.
IF it—˜lir les formules d9iuler @ θ ∈ RA X
eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ
cos θ = et sin θ = .
2 2i
PF in utilis—nt les formules d9iulerD liné—riser @ou tr—nsformer de produit en sommeA @ a, b ∈
RA X
2 cos a cos b ; 2 sin a sin b ; cos2 a ; sin2 a.
QF e l9—ide de l— formule X eix eiy = ei(x+y) @x, y ∈ RAD retrouver ™elles pour sin(x + y)D
cos(x + y) et tan(x + y) en fon™tion de sinusD ™osinus et t—ngente de x ou de y Y en déduire
les formules de ™—l™ul pour sin(2x)D cos(2x) et tan(2x) @x, y ∈ RAF
x
RF g—l™uler cos x et sin x en fon™tion de tan @x = π + 2kπ , k ∈ ZAF
2
SF it—˜lir l— formule de woivre @ θ ∈ RA X
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
TF in utilis—nt l— formule de woivreD ™—l™uler cos(3x) et sin(3x) en fon™tion de sin x et cos xF
ixer™i™e UW IF g—l™uler cos 5θ D cos 8θ D sin 6θ D sin 9θ D en fon™tion des lignes trigonométriques
de l9—ngle θF
3 4 5 6
PF g—l™uler sin θ D sin θ D cos θ D cos θ D à l9—ide des lignes trigonométriques des multiples
entiers de θ F
ixer™i™e VH in utilis—nt les nom˜res ™omplexesD ™—l™uler cos 5θ et sin 5θ en fon™tion de cos θ
et sin θF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e VI IF ƒoit θ ∈ RF e l9—ide de l— formule de woivre exprimer en fon™tion de cos θ
et de sin θ X
@—A cos(2θ) et sin(2θ)F
@˜A cos(3θ) et sin(3θ)F in déduire une équ—tion du troisième degré —dmett—nt pour soE
π
lution cos( ) et l— résoudreF
3
PF viné—riser les polynomes trigonométriques suiv—nts X 1 + cos2 xD cos3 x + 2 sin2 xF
ixer™i™e VP (cos 5x)(sin 3x)
ixprimer en fon™tion de sin x et cos xF
ixer™i™e VQ x ƒoit un nom˜re réelF yn note C = 1+cos x+cos 2x+. . .+cos nx
n
= n
k=0 cos kxD
etS = sin x + sin 2x + . . . + sin nx = k=0 sin kxF g—l™uler C et S F
ixer™i™e VR ‚ésoudre d—ns
R les équ—tions X
1 1
sin x = , cos x = − , tan x = −1,
2 2
et pl—™er sur le ™er™le trigonométrique les im—ges des solutions Y résoudre d—ns R l9équ—tion
2π
cos(5x) = cos −x .
3
19. I xom˜res ™omplexes II
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ixer™i™e VS g—l™uler sin(25π/3), cos(19π/4), tan(37π/6).
ixer™i™e VT ‚ésoudre l9équ—tion X 2 sin2 x−3 sin x−2 = 0D puis l9inéqu—tion X 2 sin2 x−3 sin x−
20 F
ixer™i™e VU itudier le signe de l— fon™tion donnée p—r f (x) = cos 3x + cos 5x.
ixer™i™e VV ƒimpli(erD suiv—nt l— v—leur de
√
x ∈ [−π, π]D l9expression 1 + cos x + | sin x/2|F
ixer™i™e VW ‚ésoudre d—ns R les équ—tions suiv—ntes X @donner les v—leurs des solutions —pE
p—rten—nt à ]−π, π] et les pl—™er sur le ™er™le trigonométriqueAF
2π
IF sin (5x) = sin 3
+x D
π x
PF sin 2x − 3
= cos 3
D
QF cos (3x) = sin (x)F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e WH e quelle ™ondition sur le réel m l9équ—tion
√
√
3 cos(x) + sin(x) = m —EtEelle une
solution réelle c ‚ésoudre ™ette équ—tion pour m = 2F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e WI ‚ésoudre d—ns R les inéqu—tions suiv—ntes X
cos(5x) + cos(3x) cos(x)
2 cos2 (x) − 9 cos(x) + 4 0.
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e WP ‚ésoudre d—ns R les équ—tions suiv—ntes X
IF cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x)F
PF cos4 (x) − sin4 (x) = 1F
‘ixer™i™e ™orrigé“
IFT hivers
ixer™i™e WQ1+ir
wontrer que tout nom˜re ™omplexe z non réel de module 1 peut se mettre sous
l— forme D où r ∈ RF
ixer™i™e WR
1−ir
ƒoit uD v des nom˜res ™omplexes non réels tels que |u| = |v| = 1 et uv = −1F
u+v
wontrer que est réelF
ixer™i™e WS
1+uv
g—l™uler les sommes suiv—ntes X
n n
k
cos(kx) ; Cn cos(kx).
k=0 k=0
ixer™i™e WT @intiers de q—ussA ƒoit Z[i] = {a + ib ; a, b ∈ Z}F
IF wontrer que si α et β sont d—ns Z[i] —lors α+β et αβ le sont —ussiF
PF „rouver les élements inversi˜les de Z[i]D ™9estEàEdire les éléments α ∈ Z[i] tels qu9il existe
β ∈ Z[i] —ve™ αβ = 1F
QF †éri(er que quel que soit ω∈C il existe z ∈ Z[i] tel que |ω − z| 1F
20. I xom˜res ™omplexes IP
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RF wontrer qu9il existe sur Z[i] une division eu™lidienneD ™9estEàEdire queD quels que soient α
et β d—ns Z[i] il existe q et r d—ns Z[i] véri(—nt X
α = βq + r —ve™ |r| |β|.
α
@sndi™—tion X on pourr— ™onsidérer le ™omplexe A
β
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e WU wontrer que ∀z ∈ C
| (z)| + | (z)|
√
2
|z| | (z)| + | (z)|F Étudier les ™—s
d9ég—litéF
ixer™i™e WV ƒoit (a, b, c, d) ∈ R4 tel que ad − bc = 1 et c = 0F wontrer que si z=−
d
c
—lors
az + b (z)
( )= F
cz + d |(cz + d)|2
ixer™i™e WW ue dire de trois ™omplexes aD bD c non nuls tels que |a + b + c| = |a| + |b| + |c|F
ixer™i™e IHH IF Étudier l— suite (zn )n∈N dé(nie p—r X z0 = 4, zn+1 = f (zn ) où f est
l9—ppli™—tion de C sur luiEmême dé(nie p—r X
1 √
∀z ∈ C, f (z) = i + (1 − i 3)z.
4
sndi™—tion X on ™ommen™er— p—r re™her™her les ™oordonnées ™—rtésiennes de l9unique point
α tel que f (α) = αD puis on s9intéresser— à l— suite (xn )n∈N dé(nie p—r X
∀n ∈ N, xn = zn − α.
PF yn pose ∀n ∈ N, ln = |zn+1 − zn |F g—l™uler
n
lim lk
n→∞
k=0
et interpréter géométriquementF
ixer™i™e IHI @ix—men o™to˜re IWWWA yn dé(nit une fon™tion f de C − {i} d—ns C − {1}
en pos—nt
z+i
.f (z) =
z−i
IF yn suppose z réelF uel est le module de f (z) c
PF „rouver les nom˜res ™omplexes z tels que f (z) = z F
ixer™i™e IHP @ix—men novem˜re PHHIA
1+z
ƒoit f l— fon™tion de C d—ns C dé(nie p—r f (z) =
F
1−z
IF g—l™uler les points (xes de l— fon™tion fD ™9est à dire les nom˜res ™omplexes z tels que
f (z) = z F
PF héterminer les nom˜res ™omplexes z pour lesquels f (z) est réelF
ixer™i™e IHQ IF wontrer que si x + y + z = aD yz + zx + xy = bD xyz = cD —lors xD y et
z sont solutions de l9équ—tion Z 3 − aZ 2 + bZ − c = 0F „rouver xD y et z si on suppose
a = b = 0 et c = −8F
PF ‚ésoudre le système
x+y+z = 4
x + y2 + z2 = 4
2
3
x + y3 + z3 = 1
‘ixer™i™e ™orrigé“
21. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IQ
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P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements
PFI vogique
ixer™i™e IHR ƒoient R et S des rel—tionsF honner l— nég—tion de R ⇒ SF
ixer™i™e IHS hémontrer que (1 = 2) ⇒ (2 = 3)F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IHT ƒoient les qu—tre —ssertions suiv—ntes X
(a) ∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y 0 ; (b) ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y 0 ;
(c) ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y 0 ; (d) ∃x ∈ R ∀y ∈ R y 2 x.
IF ves —ssertions aD bD cD d sontEelles vr—ies ou f—usses c
PF honner leur nég—tionF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IHU ƒoit f une —ppli™—tion de R d—ns RF xierD de l— m—nière l— plus pré™ise possi˜leD
les énon™és qui suivent X
IF €our tout x ∈ R f (x) 1F
PF v9—ppli™—tion f est ™roiss—nteF
QF v9—ppli™—tion f est ™roiss—nte et positiveF
RF sl existe x ∈ R+ tel que f (x) 0F
yn ne dem—nde p—s de démontrer quoi que ™e soitD juste d9é™rire le ™ontr—ire d9un énon™éF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IHV gompléter les pointillés p—r le ™onne™teur logique qui s9impose X ⇔, ⇐, ⇒ .
2
IF x ∈ R x = 4 ...... x = 2Y
PF z ∈ C z = z ...... z ∈ RY
QF x ∈ R x = π . . . . . . e2ix = 1F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IHW
2
h—ns R2 D on dé(nit les ensem˜les F1 = {(x, y) ∈ R2 , y 0} et F2 = {(x, y) ∈
R , xy 1, x 0}F Év—luer les propositions suiv—ntes X
−−
−→
IF ∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 / ||M1 M2 || ε
−−
−→
PF ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 / ∀ε ∈]0, +∞[ ||M1 M2 || ε
−−
−→
QF ∃ε ∈]0, +∞[ / ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 ||M1 M2 || ε
−−
−→
RF ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 ∃ε ∈]0, +∞[ / ||M1 M2 || ε
u—nd elles sont f—ussesD donner leur nég—tionF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IIH xier l— proposition X tous les h—˜it—nts de l— rue du r—vre qui ont les yeux
˜leus g—gneront —u loto et prendront leur retr—ite —v—nt SH —nsF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e III É™rire l— nég—tion des —ssertions suiv—ntes où P, Q, R, S sont des propositionsF
IF P ⇒ QD
PF P et non QD
22. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IR
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QF P et @ Q et RAD
RF P ou @Q et RAD
SF @P et QA ⇒ (R ⇒ S)F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IIP xier les —ssertions suiv—ntes X
IF tout tri—ngle re™t—ngle possède un —ngle droit Y
PF d—ns toutes les é™uriesD tous les ™hev—ux sont noirs Y
QF pour tout entier xD il existe un entier y tel queD pour tout entier zD l— rel—tion z x
implique le rel—tion z x + 1Y
RF ∀ε 0 ∃α 0 / |x − 7/5| α ⇒ |5x − 7| εF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IIQ @ve missionn—ire et les ™—nni˜—lesA ves ™—nni˜—les d9une tri˜u se prép—rent
à m—nger un missionn—ireF hésir—nt lui prouver une dernière fois leur respe™t de l— dignité et de
l— li˜erté hum—ineD les ™—nni˜—les proposent —u missionn—ire de dé™ider luiEmême de son sort
en f—is—nt une ™ourte dé™l—r—tion X si ™elleE™i est vr—ieD le missionn—ire ser— rôtiD et il ser— ˜ouilli
d—ns le ™—s ™ontr—ireF ue doit dire le missionn—ire pour s—uver s— vie c @d9—près gerv—ntèsA
ixer™i™e IIR v— proposition P ∧Q (¬P ) ∨ Q estEelle vr—ie c
ixer™i™e IIS yn suppose que l— proposition P est vr—ie —insi que les propositions suiv—ntes X
IF (¬Q) ∧ P ¬S F
PF S (¬P ) ∨ QF
QF P R ∨ SF
RF S∧Q ¬P F
SF R ∧ ¬(S ∨ Q) TF
TF R (¬P ) ∨ (¬Q)F
v— proposition T estEelle vr—ie c
ixer™i™e IIT i™rire l— nég—tion des phr—ses suiv—ntes X
IF (∀x)(∃n)/(x n)F
PF (∃M )/(∀n)(|un | M )F
QF (∀x)(∀y)(xy = yx)F
RF (∀x)(∃y)/(yxy −1 = x)F
SF (∀ε 0)(∃N ∈ N)/(∀n N )(|un | ε)F
TF (∀x ∈ R)(∀ε 0)(∃α 0)/(∀f ∈ F)(∀y ∈ R)(|x − y| α |f (x) − f (y)| ε)F
ixer™i™e IIU gomp—rer les di'érentes phr—ses @sontEelles équiv—lentesD ™ontr—iresD quelles sont
™elles qui impliquent les —utresFFFA
IF (∀x)(∃y)/(x y)F
PF (∀x)(∀y)(x y)F
QF (∃x)(∃y)/(x y)F
RF (∃x)/(∀y)(x y)F
SF (∃x)/(∀y)(y x)F
23. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IS
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TF (∃x)(∃y)/(y x)F
UF (∀x)(∃y)/(x = y)F
ixer™i™e IIV P (x) ƒi est une proposition dépend—nt de x ∈ X D on note P = {x ∈ X/P (x) est vr—ie }F
P
ixprimer en fon™tion de et Q les ensem˜les ¬P , P ∧ Q, P ∨ Q, P Q, P ⇔ QF
ixer™i™e IIW wontrer que ∀ε 0 ∃N ∈ N tel que (n N 2−ε 2n+1
n+2
2 + εAF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IPH f, g ƒoit deux fon™tions de R d—ns RF „r—duire en termes de qu—nti(™—teurs les
expressions suiv—ntes X
IF f est m—jorée Y
PF f est ˜ornée Y
QF f est p—ire Y
RF f est imp—ire Y
SF f ne s9—nnule j—m—is Y
TF f est périodique Y
UF f est ™roiss—nte Y
VF f est stri™tement dé™roiss—nte Y
WF f n9est p—s l— fon™tion nulle Y
IHF f n9— j—m—is les mêmes v—leurs en deux points dist™in™ts Y
IIF f —tteint toutes les v—leurs de NY
IPF f est inférieure à gY
IQF f n9est p—s inférieure à gF
‘ixer™i™e ™orrigé“
PFP insem˜les
ixer™i™e IPI wontrer que ∅ ⊂ XD pour tout ensem˜le XF
ixer™i™e IPP wontrer p—r ™ontr—position les —ssertions suiv—ntesD E ét—nt un ensem˜le X
IF ∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B D
PF ∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IPQ ƒoit A, B deux ensem˜lesD montrer (A ∪ B) = A ∩ B et (A ∩ B) = A ∪ B F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IPR E et F deux ensem˜lesD f : E → F F
ƒoient hémontrer que X
∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B))D
∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)D
∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)D
∀A, B ∈ P(F ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)D
∀A ∈ P(F ) f −1 (F A) = E f −1 (A)F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IPS A et B ét—nt des p—rties d9un ensem˜le ED démontrer les lois de worg—n X
A ∪ B = (A ∩ B) et A ∩ B = (A ∪ B).
24. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IT
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ixer™i™e IPT hémontrer les rel—tions suiv—ntes X
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
ixer™i™e IPU wontrer que si F et G sont des sousEensem˜les de E X
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = G) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = E).
in déduire que X
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = F ) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = ∅).
ixer™i™e IPV E F ƒoit A⊂E
et B⊂F
des ensem˜lesF ƒi et montrer que A × B ⊂ E × FF
ixer™i™e IPW A = {a , a , a , a } B = {b , b , b , b , b }
ƒoit 1 2 3 4 et 1 2 3 4 5 F É™rire le produit ™—rtésien
A×B A×B
F uel est le nom˜re de p—rties de c
ixer™i™e IQH E ƒoit n
un ensem˜le à
p
élémentsF uel est le nom˜re d9éléments de Ep c uel
E
est le nom˜re de p—rties de c
ixer™i™e IQI x y z D D ét—nt des nom˜res réelsD résoudre le système X
(x − 1)(y − 2)z = 0
(x − 2)(y − 3) = 0
‚eprésenter gr—phiquement l9ensem˜le des solutionsF
ixer™i™e IQP ƒoit A une p—rtie de E D on —ppelle fon™tion ™—r—™téristique de A l9—ppli™—tion f
de E d—ns l9ensem˜le à deux éléments {0, 1}D telle que X
0 si x∈A
/
f (x) =
1 si x∈A
ƒoit A et B deux p—rties de ED f et g leurs fon™tions ™—r—™téristiquesF wontrer que les fon™tions
suiv—ntes sont les fon™tions ™—r—™téristiques d9ensem˜les que l9on déterminer— X
IF 1 − fF
PF f gF
QF f + g − f gF
ixer™i™e IQQ ƒoit un ensem˜le E et deux p—rties A et B de E F yn désigne p—r A B l9ensem˜le
(A ∪ B) (A ∩ B)F h—ns les questions ™iE—près il pourr— être ™ommode d9utiliser l— notion de
fon™tion ™—r—™téristiqueF
IF hémontrer que A B = (A B) ∪ (B A)F
PF hémontrer que pour toutes les p—rties AD B D C de E on — (A B) C = A (B C)F
QF hémontrer qu9il existe une unique p—rtie X de E telle que pour toute p—rtie A de ED
A X = X A = AF
RF hémontrer que pour toute p—rtie A de ED il existe une p—rtie A de E et une seule telle
que A A =A A = XF
ixer™i™e IQR IF É™rire l9ensem˜le de dé(nition de ™h—™une des fon™tions numériques suiE
√ 1 √ 1
v—ntes X x→ xD x → x−1 D x → x + x−1 F
PF ƒimpli(er [1, 3] ∩ [2, 4] et [1, 3] ∪ [2, 4]F
25. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IU
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QF €our tout n ∈ ND on note nZ l9ensem˜le des entiers rel—tifs multiples de n X nZ = {np | p ∈
Z}F ƒimpli(er2Z ∩ 3ZF
ixer™i™e IQS yn dé(nit les ™inq ensem˜les suiv—nts X
A1 = (x, y) ∈ R2 , x+y 1
A2 = (x, y) ∈ R2 , |x + y| 1
A3 = (x, y) ∈ R2 , |x| + |y| 1
A4 = (x, y) ∈ R2 , x + y −1
A5 = (x, y) ∈ R2 , |x − y| 1
IF ‚eprésenter ™es ™inq ensem˜lesF
PF in déduire une démonstr—tion géométrique de
(|x + y| 1 et |x − y| 1) ⇔ |x| + |y| 1.
ixer™i™e IQT wontrer que ™h—™un des ensem˜les suiv—nts est un interv—lleD éventuellement
vide ou réduit à un point
+∞ +∞
1 1
I1 = 3, 3 + 2 et I2 = −2 − , 4 + n2 .
n=1
n n=1
n
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IQU wontrer que ™h—™un des ensem˜les suiv—nts est un interv—lleD éventuellement
vide ou réduit à un point
+∞ +∞
1 1 1
I1 = − ,2 + et I2 = 1+ ,n .
n=1
n n n=1
n
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IQV Eƒoient A, B, C
un ensem˜le et E A∪B = A∪C
trois p—rties de telles que
etA∩B =A∩C B=C
F wontrer que F
ixer™i™e IQW Eƒoient A, B, C
un ensem˜le et E trois p—rties de F
wontrer que(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) F
ixer™i™e IRH A, B, C ⊂ E A ∪ B = B ∩ C
honner les positions rel—tives de si F
ixer™i™e IRI P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
istEil vr—i que P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) c it c
ixer™i™e IRP A∩B =A∩C ⇔A∩ B =A∩ C
wontrer que F
ixer™i™e IRQ P(P({1, 2}))
honner l— liste des éléments de F
ixer™i™e IRR A, B ⊂ E
ƒoient X⊂E
F ‚ésoudre les équ—tions à l9in™onnue
IF A ∪ X = BF
PF A ∩ X = BF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IRS E, F, G
ƒoient trois ensem˜lesF wontrer que (E × G) ∪ (F × G) = (E ∪ F ) × GF
ixer™i™e IRT E, F, G, H
ƒoient qu—tre ensem˜lesF gomp—rer les ensem˜les (E × F ) ∩ (G × H)
et(E ∩ G) × (F ∩ H) F
ixer™i™e IRU E ƒoit l9ensem˜le des fon™tions de N d—ns {1, 2, 3}F €our i = 1, 2, 3 on pose
Ai = {f ∈ E/f (0) = i}F wontrer que les Ai forment une p—rtition de EF
26. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IV
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PFQ e˜surde et ™ontr—posée
ixer™i™e IRV wontrer que
√
2 ∈ QF
/
ixer™i™e IRW ƒoit X un ensem˜le et f une —ppli™—tion de X d—ns l9ensem˜le P(X) des p—rties
de X F yn note A l9ensem˜le des x ∈ X véri(—nt x ∈ f (x)F hémontrer qu9il n9existe —u™un x ∈ X
/
tel que A = f (x)F
ixer™i™e ISH (fn )n∈N une suite d9—ppli™—tions de l9ensem˜le N d—ns luiEmêmeF yn dé(nit
ƒoit
une —ppli™—tion f de N d—ns N en pos—nt f (n) = fn (n) + 1F hémontrer qu9il n9existe —u™un
p∈N tel que f = fp F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e ISI IF ƒoit p1 , p2 , . . . , pr r nom˜res premiersF wontrer que l9entier N = p1 p2 . . . pr +
1 n9est divisi˜le p—r —u™un des entiers pi F
PF …tiliser l— question pré™édente pour montrer p—r l9—˜surde qu9il existe une in(nité de
nom˜res premiersF
‘ixer™i™e ™orrigé“
PFR ‚é™urren™e
ixer™i™e ISP hémontrerD en r—isonn—nt p—r ré™urren™eD que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisi˜le
p—r111 quel que soit n ∈ NF @sndi™—tion X 1000 = 9 × 111 + 1 AF
ixer™i™e ISQ n
wontrer X
n(n + 1)
IF k= ∀n ∈ N∗ .
k=1
2
n
n(n + 1)(2n + 1)
PF k2 = ∀n ∈ N∗ .
k=1
6
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e ISR in quoi le r—isonnement suiv—nt estEil f—uxc
ƒoit P(n) X n ™r—yons de ™ouleurs sont tous de l— même ™ouleurF
! P(1) est vr—ie ™—r un ™r—yon de ™ouleur est de l— même ™ouleur que luiEmêmeF
! ƒupposons P(n)F ƒoit n + 1 ™r—yonsF yn en retire 1F ves n ™r—yons rest—nts sont de l— même
™ouleur p—r hypothèse de ré™urren™eF
‚eposons ™e ™r—yon et retironsEen un —utre Y les n nouve—ux ™r—yons sont à nouve—u de l—
même ™ouleurF ve premier ™r—yon retiré ét—it don™ ˜ien de l— même ™ouleur que les n —utresF
v— proposition est don™ vr—ie —u r—ng n + 1F
! yn — don™ démontré que tous les ™r—yons en nom˜re in(ni dénom˜r—˜le sont de l— même
™ouleurF
ixer™i™e ISS ƒoit l— suite (xn )n∈N dé(nie p—r x0 = 4 et xn+1 =
2x2 − 3
n
xn + 2
F
IF wontrer que X ∀n ∈ N xn 3F
PF wontrer que X ∀n ∈ N xn+1 − 3 3 (xn − 3)F
2
3 n
QF wontrer que X ∀n ∈ N xn 2
+ 3F
RF v— suite (xn )n∈N estEelle ™onvergente c
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IST
27. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IW
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IF h—ns le pl—nD on ™onsidère trois droites ∆1 , ∆2 , ∆3 form—nt un vr—i tri—ngle X elles ne
sont p—s ™on™our—ntesD et il n9y en — p—s deux p—r—llèlesF honner le nom˜re R3 de régions
@zones ˜l—n™hesA dé™oupées p—r ™es trois droitesF
PF yn ™onsidère qu—tre droites ∆1 , . . . , ∆4 D telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntesD ni
deux p—r—llèlesF honner le nom˜re R4 de régions dé™oupées p—r ™es qu—tre droitesF
QF yn ™onsidère n droites ∆1 , . . . , ∆n D telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntesD ni deux
p—r—llèlesF ƒoit Rn le nom˜re de régions délimitées p—r ∆1 . . . ∆n D et Rn−1 le nom˜re de
régions délimitées p—r ∆1 . . . ∆n−1 F wontrer que Rn = Rn−1 + nF
RF g—l™uler p—r ré™urren™e le nom˜re de régions délimitées p—r n droites en position génér—leD
™9estEàEdire telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntes ni deux p—r—llèlesF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e ISU ƒoit
n+1
X un ensem˜leF €our f ∈ F(X, X)D on dé(nit f 0 = id et p—r ré™urren™e
pour n∈Nf = fn ◦ fF
IF wontrer que ∀n ∈ N f n+1 = f ◦ f n F
PF wontrer que si f est ˜ije™tive —lors ∀n ∈ N (f −1 )n = (f n )−1 F
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e ISV wontrer que
n+1
n
∀n 2, n! .
2
ixer™i™e ISW €our tout entier n—turel nD on pose
Sn = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1) · n
hémontrer que l9on —
1
Sn = n(n − 1)(n + 1)
ixer™i™e ITH
3
€our n∈N on ™onsidère l— propriété suiv—nte X
Pn : 2n n2
IF €our quelles v—leurs de n l9impli™—tion Pn =⇒ Pn+1 estEelle vr—ie c
PF €our quelles v—leurs de n l— propriété Pn estEelle vr—ie c
ixer™i™e ITI ue pensezEvous de l— démonstr—tion suiv—nte c
IF €our tout n 2D on ™onsidère l— propriété X
P (n) : n points distin™ts du pl—n sont toujours —lignés
PF sniti—lis—tion X P (2) est vr—ie ™—r deux points distin™ts sont toujours —lignésF
QF rérédité X yn suppose que P (n) est vr—ie et on v— démontrer P (n + 1)F
ƒoit don™ A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distin™tsF h9—près l9hypothèse de ré™urren™eD
A1 , A2 , . . . , An sont —lignés sur une droite dD et A2 , . . . , An , An+1 sont —lignés sur une
droite d F ves deux droites d et d —y—nt n−1 points ™ommuns A2 , . . . , An sont ™onfonduesF
hon™ A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont —lignésD ™e qui montre l9hérédité de l— propriétéF
RF gon™lusion X l— propriété P (n) est vr—ie pour tout n 2F
ixer™i™e ITP IF hémontrer que pour tout entier n—turel nD 9 divise 10n − 1F
28. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements PH
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PF ƒoit k un entier stri™tement positifF Étudier l— propriété suiv—nte X pour tout entier n—turel
n
nD k divise (k + 1) + 2F
ixer™i™e ITQ hémontrer que pour n 1D le produit de n entiers imp—irs est un entier imp—irF
ixer™i™e ITR yn ™onsidère une suite (un )n∈N telle que X
u0 = 0 et u1 = 1 et ∀n 1, un+1 = un + 2un−1
hémontrer que X
IF ∀n ∈ N, un ∈ ND
1
PF ∀n ∈ N, un = 3 (2n − (−1)n )F
ixer™i™e ITS ƒoitb 2 un entier (xéF hémontrer que pour tout N ∈ N∗ D il existe un entier
n∈N et des entiers a0 , a1 , . . . , an —pp—rten—nt à { 0, 1, . . . , b − 1 } tels que Y
N = a0 + a1 b + · · · + an bn et an = 0
hémontrer que pour ™h—que ND le système (n, a0 , a1 , . . . , an ) est déterminé p—r l— propriété
™iEdessusF
yn dit que a0 , a1 , . . . , an sont les ™hi'res de l9é™riture du nom˜re N suiv—nt l— ˜—se bF
ixer™i™e ITT hémontrer p—r ré™urren™e que pour tout k ∈ ND k! divise le produit de k entiers
™onsé™utifs X
∀n ∈ N, k! | n(n + 1) · · · (n − k + 1)
ixer™i™e ITU ves propriétés
Pn : 3 | 4n − 1 , ∀n ∈ N,
et
Qn : 3 | 4n + 1 , ∀n ∈ N,
sontEelles vr—ies ou f—usses c
ixer™i™e ITV IF g—l™uler les restes de l— division eu™lidienne de 1, 4, 42 , 43 p—r 3F
PF pormulerD pour tout n ∈ ND une hypothèse P(n) ™on™ern—nt le reste de l— division eu™liE
n
dienne de 4 p—r 3F hémontrer que P(n) est véri(ée pour tout n ∈ NF
QF €our tout n ∈ ND le nom˜re 16n + 4n + 3 estEil divisi˜le p—r 3F
ixer™i™e ITW hémontrerD en r—isonn—nt p—r ré™urren™eD que 32n+2 − 2n+1 est divisi˜le p—r 7
n∈N
quel que soit F
ixer™i™e IUH IF hémontrer p—r ré™urren™e X
n
n(n + 1)
k=
k=0
2
PF g—l™uler de deux m—nières di'érentes X
n+1 n
3
k − (k + 1)3 .
k=1 k=0
QF in déduire X
n
1
k 2 = (2n3 + 3n2 + 3n).
k=0
6
29. P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements PI
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ixer™i™e IUI wontrer que pour tout entier n 1 X
1 1 1 n
+ + ... + = .
1.2 2.3 n.(n + 1) n+1
ixer™i™e IUP hémontrerD en le détermin—nt qu9il existe un entier n0 tel que
∀n n0 , 2n (n + 2)2 .
ixer™i™e IUQ hémontrer p—r ré™urren™e sur n que pour tout n 2 l9impli™—tion
[x −1, x = 0] ⇒ [(1 + x)n 1 + nx]
est vr—ieF
ixer™i™e IUR IF ƒoit n ∈ NY montrer que pour tout entier k 1 on —
nk + knk−1 (n + 1)k .
PF ƒoit b un réel positif ou nulF wontrer p—r ré™urren™eD que pour tout n 1 on —
nb (nb)2 (nb)n
(1 + b)n 1+ + + ... + .
1! 2! n!
ixer™i™e IUS wontrer p—r ré™urren™e que pour tout entier n ∈ ND
n
(a + b)n = Cn ak bn−k ,
k
k=0
pour tout réel a et bF
ixer™i™e IUT yn dé(nit une suite (Fn ) de l— f—çon suiv—nte X
Fn+1 = Fn + Fn−1 ; F0 = 1, F1 = 1 .
IF g—l™uler Fn pour 1 n 10F
PF wontrer que l9équ—tion x2 = x+1 —dmet une unique solution positive a que l9on ™—l™uler—F
QF wontrer queD pour tout n 2D on —
an−2 Fn an−1 .
ixer™i™e IUU wontrer que X
π √
cos = 2+ 2 + . . . 2.
2n
ixer™i™e IUV €our n ∈ N, n 2, trouver une loi simpli(—nt le produit X
1 1
(1 − )...(1 − ).
4 n
ixer™i™e IUW €our n ∈ N, soient a0 , . . . , an des nom˜res réels de même signe tel que ai −1,
montrer que X
(1 + a0 )...(1 + an ) 1 + a0 + . . . + an .
30. Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PP
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PFS hivers
ixer™i™e IVH n 4n n! c
ixer™i™e IVI
uels sont les entiers tels que
wontrer que X
n
1
∀n 2, un = ∈ N.
/
k=1
k
sndi™—tion X montrer que
2pn + 1
∀n 2, ∃(pn , qn ) ∈ (N∗ )2 , un = .
2qn
ixer™i™e IVP ƒoit f : N ∗ → N∗ une —ppli™—tion véri(—nt X
∀n ∈ N∗ , f (n + 1) f (f (n)).
wontrer que f = IdN∗ . sndi™—tions X que dire de k ∈ N tel que f (k) = inf{f (n)|n ∈ N} c in
déduire que ∀n 0, f (n) f (0). wontrer ensuite que ∀n ∈ N, on — X ∀m n, f (m) f (n) et
∀m n, f (m) m @on pourr— introduire k tel que f (k) soit le plus petit entier de l— forme
f (m) —ve™ m nAF in déduire que f est stri™tement ™roiss—nte et qu9il n9existe qu9une seule
solution —u pro˜lèmeF v—quelle c
ixer™i™e IVQ €our p ∈ {1, 2, 3} on note Sp =
n
k=0
kpF
IF e l9—ide du ™h—ngement d9indi™e i=n−k d—ns S1 D ™—l™uler S1 F
PF p—ire de même —ve™ S2 F ue se p—sseEtEil c
QF p—ire de même —ve™ S3 pour l9exprimer en fon™tion de n et S2 F
in utilis—nt l9exer™i™e ISQD ™—l™uler S3 F
ixer™i™e IVR
RF
€our ™—l™uler des sommes port—nt sur deux indi™esD on — intérêt à représenter l—
zone du pl—n ™ouverte p—r ™es indi™es et à sommer en lignesD ™olonnes ou di—gon—lesFFF g—l™uler X
IF ij F
1 i j n
PF i(j − 1)F
1 ij n
QF (i − 1)j F
1 ij n
RF (n − i)(n − j)F
1 i j n
SF (p + q)2 @on poser— k = p + q AF
1 p,q n
Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion
QFI eppli™—tion
ixer™i™e IVS ƒoient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1F eEtEon
f ◦g =g◦fc
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IVT ƒoit l9—ppli™—tion de R d—ns RD f : x → x2 F
IF héterminer les ensem˜les suiv—nts X f ([−3, −1])D f ([−2, 1])D f ([−3, −1]∪[−2, 1]) et f ([−3, −1]∩
[−2, 1])F ves ™omp—rerF
PF wêmes questions —ve™ les ensem˜les f −1 (]−∞, 2])D f −1 ([1, +∞[)D f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[)
−1
et f (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[)F
31. Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PQ
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QFP snje™tionD surje™tion
ixer™i™e IVU honner des exemples d9—ppli™—tions de R d—ns R @puis de R2 d—ns RA inje™tive
et non surje™tiveD puis surje™tive et non inje™tiveF
ixer™i™e IVV ƒoit f :R→R dé(nie p—rf (x) = x3 − xF
−1
f estEelle inje™tive c surje™tive c héterminer f ([−1, 1]) et f (R+ )F
ixer™i™e IVW ves fon™tions suiv—ntes sontEelles inje™tives c surje™tives c ˜ije™tives c
f : Z → Z, n → 2n ; f : Z → Z, n → −n
f : R → R, x → x2 ; f : R → R+ , x → x 2
f : C → C, z → z 2 .
ixer™i™e IWH ves —ppli™—tions suiv—ntes sontEelles inje™tivesD surje™tivesD ˜ije™tives c
N→N
IF f:
n→n+1
Z→Z
PF g:
n→n+1
R2 → R2
QF h:
(x, y) → (x + y, x − y)
R − {1} → R
RF k: x+1
x → x−1
ixer™i™e IWI ƒoit f :R→R dé(nie p—r f (x) = 2x/(1 + x2 )F
IF f estEelle inje™tive c surje™tive c
PF wontrer que f (R) = [−1, 1]F
QF wontrer que l— restri™tion g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x) est une ˜ije™tionF
RF ‚etrouver ™e résult—t en étudi—nt les v—ri—tions de fF
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e IWP v9—ppli™—tion f : C {0} → C, z → z + 1/z estEelle inje™tive c surje™tive c
˜ije™tive c
honner l9im—ge p—r f du ™er™le de ™entre 0 et de r—yon 1F
honner l9im—ge ré™iproque p—r f de l— droite iRF
ixer™i™e IWQ yn ™onsidère qu—tre ensem˜les A, B, C et D et des —ppli™—tions f : A → BD
g : B → C D h : C → DF wontrer que X
g◦f inje™tive ⇒f inje™tiveD
g◦f surje™tive ⇒g surje™tiveF
wontrer que X
g◦f et h◦g sont ˜ije™tives ⇔ f, g et h sont ˜ije™tives .
‘ixer™i™e ™orrigé“