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Professeur M.El Haim - ENSAH
Méthode des Éléments Finis
Chapitre II

Introduction :
La méthode des éléments finis (MEF) est une méthode d’approximation
numérique basée sur la résolution de tous les problèmes d’équations aux
dérivées partielles (EDP).
L’appellation éléments finis vient de la décomposition du domaine
d’étude en éléments.
Cette méthode numérique trouve ses applications dans plusieurs
domaines tels que:
 L’analyse linéaire (statique et dynamique),
 L’analyse non linéaire (grands déplacements, grandes déformations,
contact et frottement…)
 La mise en forme des matériaux,
 Les transferts thermiques (en régime permanent et transitoire,…),
 La mécanique des fluides,
 L’électromagnétisme,
 La dynamique rapide (choc, impact, crash),
 L’optimisation des structures…
Module: Modélisation Numérique d’Ingénieur (GC 2 – S4) Chapitre II M. EL HAIM – ENSAH 1

Ainsi la MEF peut être appliquée dans plusieurs secteurs, en
particulier:
 Génie civil,
 Génie mécanique,
 Transport,
 Aéronautique,
 Espace,
 Nucléaire,
 Energétique,
 Militaire, …
Introduction :
LA TECHNIQUE DES ELEMENTS FINIS EST UN SUPPORT A LA MODELISATION NUMERIQUE

I- Historique de la MEF :
 L’origine de la méthode peut se trouver dans les travaux de
Fermat et Bernoulli (en 1743) avec le calcul des variations.
 Puis, il faut attendre le début du XXème siècle avec les progrès
en analyse avec la méthode de Galerkin se basant sur des
théorèmes de projection dans les espaces de Hilbert.
 En 1943, Robert Courant introduit le principe variationnel avec
des fonctions de base à support locaux ouvrant la voie à une
division d’un domaine considéré en « éléments ».
 1960, avec le développement des ordinateurs Zienckiewiz et
Argyris vont réaliser des travaux qui définissent la MEF. Ce qui
amène le succès de la méthode et sa puissance est l’apport du
calcul matriciel, introduit par un ingénieur civil anonyme. La
méthode connaît alors un développement fulgurant accompagné
par les progrès de l’informatique.

I- Historique de la MEF :
 Fin 1970, la méthode trouve ses applications dans le domaine
d’étude des fluides incompressibles visqueux.
 Début 1980, application de la MEF pour traiter les fluides
eulériens.
 Années 90, application de cette méthode pour étudier les
fluides compressibles en résolvant les équations de Navier-
Stockes.
 Aujourd'hui, la MEF est devenu un outil très puissant pour
résoudre tous type de problèmes physiques gouvernés par des
EDP dans des géométries quelconques, que ce soit en dimension
un, deux ou trois. On retrouve même des méthodes d’éléments
finis en dimension 4, soit en espace-temps.

II- Approximation nodale par éléments finis :
1- Interpolation :
Données:
Une fonction Uex est connue en n points x1 , …., xn telle que:
Uex (x1) = U1
Uex (x2) = U2
. .
. .
Uex (xn) = Un
Nous cherchons une fonction U(x) tq l’erreur e(x) = Uex (x) - U (x) soit « petite »
Et que :
U(x1) = Uex (x1) = U1
U(x2) = Uex (x2) = U2
. .
. .
U(xn) = Uex (xn) = Un
U(x) est une approximation de Uex (x)

On peut chercher U(x) :
 Sous forme d’un polynôme :
U(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
 Sous forme d’un polynôme de Lagrange, d’Hermite.
 Sous forme d’une combinaison de fonctions triangulaires.
Dans notre cas nous cherchons une approximation nodale, c.à.d :
Les Ni(x) sont les fonctions d’interpolation telles que: ( Symbole de Kronecker)
si
si
1
1
.
( ) ( ),..., ( ) .
.
n
n
u
U x N x N x
u
 
 
 
  
 
 
 
1 1
( ) ( )u ... ( )u
n n
U x N x N x
  
1
( )
0
i j ij
N x 

  

i j
i j



 Exemple :
Calculer la température en x = 0,7 ? (Autrement dit: trouver la valeur
approchée U(0,7) )
 Solution par polynôme simple:
U(x) = a0 + a1 x + a2 x2
En utilisant les données du tableau, on trouve:
U(x) = 20 + 18 x – 16 x2
Alors : U(0,7) = 24,76 °C
 Solution par polynôme de Lagrange (approximation nodale):
Avec : ; ;
On trouve alors :
Xi Uex(xi)
X1=0 U1=20°C
X2=0,5 U2=25°C
X3=1 U3=22°C
1 1 2 2 3 3
( ) ( )u ( )u ( )u
U x N x N x N x
  
2 3
1
1 2 1 3
( )( )
( )
( )( )
x x x x
N x
x x x x
 

 
1 3
2
2 1 2 3
( )( )
( )
( )( )
x x x x
N x
x x x x
 

 
1 2
3
3 1 3 2
( )( )
( )
( )( )
x x x x
N x
x x x x
 

 
1(0,7) 0.12
N   2 (0,7) 0,84
N  3(0,7) 0,28
N 
( )
( )
( )
j
i
j i i j
x x
N x
x x





(0,7) 0,12 20 0,84 25 0,28 22 24,76
U C
        

2- Approximation par éléments finis :
Lorsque le nombre de points devient très grand et si U(x) doit vérifier une condition
aux limites sur une frontière complexe, il est très avantageux d’appliquer
l’approximation par éléments finis.
a- Etapes logiques de l’approximation par EF:
Les principales étapes de construction d’un modèle éléments finis, qui seront
développées par la suite, sont les suivantes:
 Discrétisation du milieu continu en sous domaines;
 Construction de l’approximation nodale par sous domaine;
 Calcul des matrices élémentaires correspondant à la forme intégrale du
problème;
 Assemblage des matrices élémentaires;
 Prise en compte des conditions aux limites;
Résolution du système d’équations.

b- Définitions :
 Les sous domaines Ve sont appelés éléments.
 Les points Xi tels que: U(xi) = Uex (xi) sont appelés nœuds.
 les quantités Ui telles que : Ui = U(xi) = Uex (xi) sont les variables nodales.
c- Exemples :
 Exemple 1 : 1-D (Problème unidimensionnel)
i/ Définition de la géométrie des éléments:

[a,b] est divisé en intervalles [ xi ; xi+1 ].
ii/ Approximation nodale sur chaque élément:
 Pour l’élément V1 = [ x1 ; x2 ]:
et sont linéaires en x telles que:
N1(x1) = 1 ; N2(x1) = 0
N1(x2) = 0 ; N2(x2) = 1
N1(x) = a.x + b
N1(x1) = 1 = a.x1 + b
N1(x2) = 0 = a.x2 + b
Alors : Ou encore:
De même on trouve que :
1( )
N x 2 ( )
N x
1 2
1
a
x x


et 2
1 2
x
b
x x
 

2
1
1 2
( )
x x
N x
x x



1
2
2 1
( )
x x
N x
x x



1
1 1 2 2
( ) ( ). ( ).
u x N x u N x u
 
( )
( )
( )
j
i
j i i j
x x
N x
x x






Donc sur l’élément V1 = [ x1 ; x2 ] , l’approximation s’écrit comme suit:
Avec:
1
1 1 2 2
( ) ( ). ( ).
u x N x u N x u
 
2
1
1 2
( )
x x
N x
x x



1
2
2 1
( )
x x
N x
x x



et
 Pour l’élément V2 = [ x2 ; x3 ]:
Où et sont linéaires telles que:
N1(x2) = 1 ; N2(x2) = 0
N1(x3) = 0 ; N2(x3) = 1
On aura alors :
De même pour les autres trois éléments V3 = [ x3 ; x4 ], V4 = [ x4 ; x5 ] et V5 = [ x5 ; xn=b].
2
1 2 2 3
( ) ( ). ( ).
u x N x u N x u
 
1( )
N x 2( )
N x
3
1
2 3
( )
x x
N x
x x



et
2
2
3 2
( )
x x
N x
x x



 Remarques:
 est différente sur chaque élément Ve.
 L’approximation sur [a,b] est donc:
( )
e
u x
1 2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x u x u x u x u x u x
    

 Exemple 2 : 2-D (Problème bidimensionnel)
i/ Définition de la géométrie des éléments:
On considère un domaine sous forme quadrilatérale de sommets X1 (x1;y1) , X2 (x2;y2) ,
X3 (x3;y3) , X4 (x4;y4) .
Le domaine V est divisé en deux triangles de sommets X1 X2 X4 et X2 X3 X4 .
x
y
z
X1
X2
X4
X3
V1
V2

ii/ Approximation nodale sur chaque élément:
Sur chaque élément nous choisissons une approximation linéaire en x,y:
 Sur l’élément V1 dont les sommets sont X1 X2 X4 :
Avec: N1(X1) = 1 ; N2(X1) = 0 ; N3(X1) = 0
N1(X2) = 0 ; N2(X2) = 1 ; N3(X2) = 0
N1(X4) = 0 ; N2(X4) = 0 ; N3(X4) = 1
Après développement des calculs, on trouve que:
1
1 1 2 2 3 4
( , ) ( , ). ( , ). ( , ).
u x y N x y u N x y u N x y u
  
 Remarque 1:
Pour un triangle de sommets Xi (xi;yi) , Xj (xj;yj) et Xk (xk;yk):
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
i k j j k j j
N x y y y x x y
A
 
     
 
 
1 4 2 2 4 2 2
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
N x y y y x x y
A
     

 Remarque 2:
N2(x;y) et N3(x;y) s’obtiennent par permutation circulaire:
On trouve alors que:
( i=1 ; j=2 et k=4 )
( i=2 ; j=4 et k=1 )
( i=4 ; j=1 et k=2 )
i=1 i=2 i=4
j=2
k=2
k=1
j=4 j=1
k=4
 Remarque 1:
Pour un triangle de sommets Xi (xi;yi) , Xj (xj;yj) et Xk (xk;yk) :
 
1 4 2 2 4 2 2
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
N x y y y x x y
A
     
 
2 1 4 4 1 4 4
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
N x y y y x x y
A
     
 
3 2 1 1 2 1 1
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
N x y y y x x y
A
     
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
i k j j k j j
N x y y y x x y
A
 
     
 

 Sur l’élément V2 dont les sommets sont X2 X3 X4 :
Avec ( i=2 ; j=3 et k=4 )
( i=3 ; j=4 et k=2 )
( i=4 ; j=2 et k=3 )
2
1 2 2 3 3 4
( , ) ( , ). ( , ). ( , ).
u x y N x y u N x y u N x y u
  
 
1 4 3 3 4 3 3
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
N x y y y x x y
A
     
 
2 2 4 4 2 4 4
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
N x y y y x x y
A
     
 
3 3 2 2 3 2 2
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
N x y y y x x y
A
     
i=2 i=3 i=4
j=3
k=3
k=2
j=4 j=2
k=4
1
( , ) ( ).(x ) (x ).(y )
2
i k j j k j j
N x y y y x x y
A
 
     
 

III- Discrétisation (Maillage) :
1- Principe de la discrétisation :
 La construction d’une fonction approchée u(x) est difficile lorsque le nombre de
nœuds et donc de paramètres inconnus ui devient important. Le problème se
complique encore si le domaine V a une géométrie complexe et si la fonction u(x) doit
satisfaire des conditions aux limites sur la frontière de V.
 La méthode d’approximation nodale par sous-domaines simplifie la construction de
u(x). Elle consiste à:
• Identifier un ensemble de sous-domaines Ve du domaine V.
• Définir une fonction approchée ue(x) différente sur chaque sous-domaine par
la méthode d’approximation nodale. Chaque fonction ue(x) peut dépendre des
variables nodales d’autres sous-domaines.

 La méthode d’approximation nodale par éléments finis est une méthode particulière
d’approximation nodale par sous-domaines qui présente les particularités suivantes:
• L’approximation nodale sur chaque sous-domaine Ve ne fait intervenir que les
variables nodales attachées à des nœuds situés sur Ve et sur sa frontière.
• les fonctions approchées ue(x) sur chaque sous-domaine Ve sont construites
de manière à être continues sur Ve et elles satisfont des conditions de
continuité entre les différents sous-domaines. Les sous-domaines Ve sont
appelés des éléments connectés par des nœuds.

2- Règles de partition du domaine en éléments :
La partitionnement du domaine V en éléments V e doit respecter les règles suivantes:
 Deux éléments distincts ne peuvent avoir en commun que des nœuds situés sur
leur frontières, si elle existe.
 L’ensemble de tous les éléments doit constituer un domaine aussi proche que
possible du domaine donné.
 Le recouvrement de deux éléments et les trous entre éléments sont
inadmissibles:
V1
V2
V1 V2
V1
V2

3- Erreur de discrétisation géométrique :
Lorsque la frontière du domaine est constituée par des courbes ou des surfaces plus
complexes que celles qui définissent les frontières des éléments, une erreur est
inévitable. Cette erreur est appelée « erreur de discrétisation géométrique ». Elle
peut être réduite:
• En diminuant la taille des éléments.
• En utilisant des éléments à frontière plus complexes.

4- Formes d’éléments classiques :
a- Eléments à une dimension :
Élément à 2 nœuds L2 Élément à 3 nœuds Q3 Élément 4 nœuds C4

b- Eléments à deux dimensions :
élément L3 élément Q6 élément C9
élément L4
élément Q8
élément C12

c- Eléments à trois dimensions :

IV- Système continu et système discret :
1- Définitions:
 Un système est dit discret s’il possède un nombre fini de degrés de liberté. Il va
pouvoir être représenté par un système algébrique.
 Un système continu est un système d’EDP associé à des conditions aux limites (C.L)
sur l’espace et sur le temps. Un système continu n’admet pas toujours de solution
analytique facile. La méthode des éléments finis est une des méthodes de
discrétisation de ce type de problème.
a- Système discret:
Pour un système discret (système de ressort, réseaux électriques, réseaux
hydrauliques,…) , les équations de comportement peuvent en général s’écrire sous la
forme matricielle suivante:

 Significations :

b- Système continu :
D’une manière générale, le comportement d’un système continu est décrit par des
équations aux dérivées partielles (EDP) :

Les C.L : peuvent être de trois sortes:
 Condition de Dirichlet : sur S1
 Condition de Neumann : avec sur S2
Condition de Cauchy (mixte) : sur S3
n
u
f
n



( )
n s
f f

s
u
u f
n


 

( ) s
C u u f
 
S2
S3
S1
s
u
u f
n


 

n
u
f
n



s
u f

Rappel :
.
u
n
n

 

( ) 0
v
L u f
 
Sur le domaine V

 Exemple d’un problème de valeurs aux limites :

3- Quelques notions :
 Un système discret est dit linéaire si les termes de et sont des constantes
indépendantes de .
 Un système continu est linéaire si les expressions et sont linéaires en
et ses dérivées . De plus et sont indépendantes de . Alors nous
pouvons écrire:
 Un système d’équations différentielles est d’ordre m s’il fait intervenir des dérivées
de jusqu’à l’ordre m.
 Un opérateur différentielles est dit homogène si:
 
K  
F
 
U
( )
L u ( )
C u
u s
f v
f u
     
( ) .
L u L U

     
C( ) .
u C U

u
L
( 0) 0
L u  

 Un système d’équations linéaires différentielles:
est dit homogène si
 Les conditions aux limites :
sont dites homogènes si
 Un système différentiel linéaire est dit auto-adjoint ou symétrique si:
pour toutes les fonctions et qui satisfont:
et sont suffisamment dérivables et vérifient les C.L homogènes.
     
. 0
v
L U f
 
  0
v
f 
     
. s
C U f

  0
s
f 
       
. .
V V
u L v dV v L u dV

 
u v
u v

V- Formulation intégrale:
1- solution approchée et méthodes numériques :
 Un modèle mathématique d’un système physique fait intervenir plusieurs variables
ou fonctions, dites exactes Uex(x) : températures, déplacements, potentiels,
vitesses, …etc. Celles-ci sont représentées par des fonctions approchées U(x) telles
que la différence: e(x) = Uex (x) - U (x) soit « petite » (de l’ordre de grandeur de la
précision désirée).
 Pour trouver des solutions approchées aux points discrets, on utilise l’une des
méthodes numériques qui sont classées en trois catégories:
• Méthode des différences finies (MDF),
• Méthode variationnelle,
• Méthode des résidus pondérés (Base mathématique de la MEF).

2- Approximation des dérivées partielles par D.F :
Dans le cas où , supposons que possède un nombre suffisant de
dérivées partielles. La valeur de en deux points (x,y) et (x+h,y+k) se calcule en
partant de la série de Taylor:
Où le reste Rn peut s’écrire symboliquement : (erreur de troncature)
Cette relation signifie qu’il existe une constante M pour laquelle
lorsque h et k tendent vers zéros (0).
Le point appelé nœud (i,j) est inclus dans le réseau des neufs nœuds
dessiné sur le schéma suivant:
( , )
u u x y
 u
u
2 ( 1)
1 1
( , ) ( , ) ( , )u( , ) ( , ) u( , ) ... ( , ) u( , ) R
2! ( 1)!
n
n
u x h y k u x y h k x y h k x y h k x y
x y x y n x y

     
       
      
0 ( )n
n
R h k
 
 
 
( )n
n
R M h k
 
 
 
( , )
i x j y
 

En développant en série de Taylor
ui-1,j et ui+1,j autour de la valeur
centrale ui,j on obtient:
2 3 4
1,j ,j
2 3 4
1,j ,j
( ) ( ) ( )
.
2! 3! 4!
( ) ( ) ( )
.
2! 3! 4!
i i x xx xxx xxxx
i i x xx xxx xxxx
x x x
u u xu u u u
x x x
u u xu u u u


  
    
  
     
Où toutes les dérivées et x sont évaluées au nœud (i,j).
A partir de ces équations (par addition et soustraction), nous obtenons les relations
aux différences finies du premier et du second ordre au nœud (i,j):
2
2
, ,...
x xx
u u
u u
x x
 
 
 

1, j , j
, j 1, j
1, j 1, j 2
2
1, j , j 1, j 2
2 2
0( )
0( )
0( )
2
2
0( )
( )
i i
i i
i i
i i i
u u
u
x
x x
u u
u
x
x x
u u
u
x
x x
u u u
u
x
x x


 
 


  
 


  
 


  
 
 

  
 
Différence « décentré arrière » à 2 points d’ordre 1
Différence « centrée » à 2 points d’ordre 2
Différence « décentré avant » à 2 points d’ordre 1
Différence « centrée » à 3 points d’ordre 2
Des formes similaires existent pour :
et
u
y


2
2
u
y



 Exemple :
Dans le cas unidimensionnel où l’équation différentielle s’écrit en chaque point xi
sous forme:
En utilisant une différence centrée d’ordre 2 , l’équation précédente s’écrit:
''
( ) ( )
i i
u x f x
 
1 1
2
2
( )
( )
i i i
i
u u u
f x
x
 
 
 

 Remarque :
 La méthode des D.F marche plutôt pour des domaines rectangulaires.
 Il est très difficile d’écrire un code général pour cette méthode.

3- Méthode variationnelle : Méthode des résidus pondérés
Données: Soit le système continu suivant:
Problème?
Chercher la fonction u(x,y) dans le domaine V.
Nous avons un système d’EDP d’ordre m linéaire ou non linéaire.
a- Définition du résidu pondéré :
On appelle résidu la quantité qui est nulle lorsque u est
solution du système (I).
est un vecteur si (I) est un système d’EDP.
(I)

b- Forme intégrale faible ou formulation variationnelle :
On appelle forme intégrale faible (ou variationnelle) associée à (I) la quantité:
appartient à un ensemble de fonctions .
La méthode des résidus pondérés consiste à chercher u telle que:
pour toutes fonctions qui appartient à , un ensemble de fonctions, et pour
toutes fonctions u qui appartient à Eu , un ensemble de fonctions admissibles ( u
vérifie les C.L ) et dérivables d’ordre m.
est une fonction de pondération (fonction poids ou fonction test).
Le nombre de est égal au nombre de paramètres inconnus.
 
( ) ( )
V
W u R u dV

 
 E
 
( ) ( ) 0
V
W u R u dV

 

 E

( )
i x

(II)

Remarque:
o Si u est une solution de alors u est aussi solution de .
o Si u est une solution de alors u est aussi solution de à condition que
soit un ensemble de dimension infini.
o Si on choisit de dimension fini alors nous aurons une solution de qui est
seulement une approximation de .
 Exemple: Si on cherche à résoudre le problème suivant:
(I) (II)
(II) (I)
E
E (II)
(I)
Sf
Su
s
u
u f
n


 

s
u u

0
v
u f
  
(V)

La forme intégrale associée à ce problème consiste à trouver u telle que:
pour tout et un ensemble de fonctions admissibles et deux fois
dérivables.
N.B:
Pour développer cette forme intégrale il faut passer par l’étape de l’intégration par
partie.
 
( ) 0
v
V
W u u f dV

   

E
  u
u E
 

c- Intégration par partie :
Exemple : Soit le système continu suivant:
(I)
i/ Intégration par partie dans le cas de 1-D :
2 2
2 2
0
v v
s
n s
u u
f u f
x y
u u
u
u f
n
 
     

 





  



Sur Su
Sur Sf
 
2
2 2
1
1
1
. .
x
x x
x
x
x
du d
dx udx u
dx dx

 
  
 

ii/ Intégration par partie dans le cas de 2-D :
. . .
. . .
x
A A
y
A A
u
dA u dA u n d
x x
u
dA u dA u n d
y y

 

 


 

   
  


 
    
  

  
  
. . .
A A
udA u dA u nd
  

     
  
2
2
2
2
x
A A
y
A A
u u u
dA dA n d
x x x x
u u u
dA dA n d
y y y y

 

 


    
   

   


   
    
    

  
  
.
A A
u
udA udA d
n
  


      

  
x
y
A
x
y
n
d


iii/ Intégration par partie dans le cas de 3-D :
De même :
x
V V S V
y
V V S V
z
V V S V
u
dV udV un dS
x x
u
dV udV un dS
y y
u
dV udV un dS
z z

 

 

 



  
  

 

  

  

 

  
  

 


  
  
  
V V S V
udV udV undS
  

    
  
.
V V S V
u
udV udV dS
n
  


     

  
z
y
x
n
V
dS

 Application :
La forme intégrale associée au système continu (I) de l’exemple précédent s’écrit
comme suit: (II)
est deux fois dérivable et admissible.
est une fonction intégrable.
Or :
D’où : (III)
( ) ( ) 0
v
V
W u u f dV

   

u

( ) 0
v
V V
W u udV f dV
 
   
 
( ) . 0
v
V S V
u
W u udV dS f dV
n
  

      

  
u f f f
s
S S S S S
u u u u
dS dS dS dS f dS
n n n n
    
   
   
   
    
( ) . 0
f
v s
V V S
W u udV f dV f dS
  
      
  

Les conditions sur (III) sont comme suit:
- u est une fois dérivable et admissible;
- est une fois dérivable.
Le mot faible vient du fait que les conditions de dérivabilité de u sont plus faible
dans (III) que dans (II) et (I) .
L’intégrale sur la frontière:
On a choisi sur la partie de la frontière où il y a une condition au limite de
Dirichlet c.à.d (imposée).
Cela permet de tenir compte automatiquement de la condition de Dirichlet.

u f f f
s
S S S S S
u u u u
dS dS dS dS f dS
n n n n
    
   
   
   
    
0
 
s
u u


VI- Discrétisation de la forme intégrale W(u):
La méthode des résidus pondérés nous permet de remplacer la résolution d’un
système d’EDP avec les CL au problème intégrale tel que:
Il faut déterminer u qui vérifie W(u)=0 avec:
La construction d’une approximation de la solution se fait en deux étapes:
 
( ) ( ) 0
V
W u R u dV

 

1- Première étape :
On cherche une approximation de u qui peut être sur le domaine tout entier ou
par éléments finis, et elle peut être nodale ou non:
 Approximation sur V dépendant de n paramètres (a1,….., an) « non nodale » et
on écrit: 1
1
.
( ),..., ( )
.
n
n
a
u P x P x
a
 
 
 
  
 
 
 

 Approximation nodale sur V dépendant de n paramètres (u1,….., un) « variables
nodales » et on écrit:
 Approximation nodale par éléments finis; En fait le domaine V est subdivisé en
éléments Ve , et sur chaque élément Ve on écrit:
p est le nombre des nœuds de l’élément (p=N.N.E).
N.B: L’approximation doit être admissible.
1
1
.
( ),..., ( )
.
n
n
u
u N x N x
u
 
 
 
  
 
 
 
1
1
.
( ),..., ( )
.
e
p
p
u
u N x N x
u
 
 
 
  
 
 
 

2- Deuxième étape :
Elle concerne le choix des fonctions de pondérations .
Il doit y avoir autant de que de paramètres d’approximation.
Le choix de conduit à divers méthodes d’éléments finis:
 Méthode de collocation par points;
 Méthode de collocation par sous domaines;
 Méthode de Galerkin;
 Méthode des moindres carrés…
La forme intégrale W(u) devient:
. . . . .
. . . . .
1,..., n
  

i

i

1 1
( ) ( ) 0
V
W u R u dV

 

( ) ( ) 0
n n
V
W u R u dV

 


 Principe de la méthode de Galerkin:
En général, la méthode de Galerkin consiste à approximer la fonction inconnue u par:
Ou
En plus, dans la méthode de Galerkin nous choisissons la fonction telle que:
1
1
.
( ),..., ( )
.
n
n
u
u N x N x
u
 
 
 
  
 
 
 
1
1
.
( ),..., ( )
.
n
n
a
u P x P x
a
 
 
 
  
 
 
 
1
1 1
.
,..., ( ),..., ( )
.
n n
n
a
P x P x
a

  

 
 
 
   
 
 
 


Ou bien:
Donc:
Cela peut être assemblé sous la forme d’un système algébrique:
1
1 1
.
,..., ( ),..., ( )
.
n n
n
u
N x N x
u

  

 
 
 
   
 
 
 
 
( ) ( ) 0
V
V
W u L u f dV

  

     
( ) ( ) 0
i i j j i V
V V
W u u N L N u dV N f dV

 
 
  
 
 
 
 
 
 
   
( ) ( )
i i i i
N x u u N x
  
 
   
.
ij i i
K u F
  
 

VII- Exemple d’un problème aux limites :
1- Formulation du problème:
Traitons la cas d’un problème régit par une équation différentielle. Dans ce cas le
problème est formulé directement sous forme mathématique et revient à déterminer
une fonction inconnue u définie dans un domaine Ω et régie par une équation
différentielle avec des conditions aux limites.
On prend comme exemple l’équation différentielle ordinaire d’ordre un suivante:
avec
Dans ce problème, Ω = [0, 2] est un domaine de dimension 1.
Sa frontière se réduit à deux points : 0 et 2.
La solution exacte de cette équation est:
2 ( 1) 0
du
x u
dx
   (0) 0
u 

2
1 x
ex
u e
 

2- Discrétisation du domaine:
Le domaine Ω est divisé en n segments (appelés éléments) de taille 1/n. Chaque
élément contient deux nœuds sur lesquels la fonction u est interpolée.
La division du domaine Ω en plusieurs éléments est appelée maillage.
On utilise deux tableaux pour la description du maillage:
• Tableau de connectivités des éléments;
• Tableau des coordonnées des nœuds.
Pour un exemple de quatre éléments on obtient les deux tableaux comme suit:

3- Discrétisation et interpolation sur un élément :
On peut interpoler la fonction inconnue u recherchée dans un élément par un
polynôme. L’ordre du polynôme conditionne la précision de la solution approchée.
Pour un élément à deux nœuds on peut prendre:
Soit sous forme vectorielle:
0 1
u a a x
 
0
1
1
a
u x
a
 
  
 
n
u pa



Avec p vecteur ligne contenant les monômes et vecteur colonne
contenant les facteurs du polynôme.
Cette approximation de la fonction inconnue u est appelée interpolation
polynomiale, elle est fonction de a0 et a1 qui sont des coefficients sans valeurs
physique.
Pour utiliser les valeurs de u aux nœuds on cherche une interpolation en fonction
de u1 et u2 .
L’interpolation polynomiale aux nœuds s’écrit:
L’inverse de ce système d’équations donne les paramètres an :
n
x n
a



En remplaçant les an on peut maintenant approcher la fonction u par:
Avec N est un vecteur ligne contenant les fonctions de x appelées fonctions de
forme; telle que:
Avec : et
Cette interpolation est appelée interpolation nodale puisqu’elle dépend des valeurs
aux nœuds de la fonction inconnue u .
1 2
( ) ( )
N N x N x

2
1
1 2
( )
x x
N x
x x



1
2
2 1
( )
x x
N x
x x




 Propriétés des fonctions de forme :
Il est intéressant de relever les propriétés suivantes pour les fonctions de forme N :
 Elles prennent la valeur unité aux nœuds de même indice et la valeur
nulle aux autres nœuds;
 Leur somme est égale à l’unité sur tout intervalle de l’élément.

4- Matrices élémentaires :
Le calcul des matrices élémentaires passe par la réécriture du problème sous
forme intégrale:
Avec est une fonction de pondération prise égale à une perturbation de la
fonction inconnue u.
Le domaine Ω comprend l’intervalle de 0 à 2, dΩ = dx et avec l’interpolation
nodale on a:
Par commodité on écrit:
Puisque seules les fonctions N dépendent de x et les perturbations ne touchent
que les valeurs de u.
( ) 2 ( 1) 0
du
R u d x u d
dx
 
 
 
     
 
 
 

1
1 2
2
( ) ( )
n
u
dN x dN x
du dN
u
u
dx dx dx dx
 
   
 
   
( ) ( )
i i i i
N x u u N x
  
 

L’intégrale de 0 à 2 peut être remplacée par la somme des intégrales de xi à xi+1 (ou
bien: l’intégrale sur Ω est la somme des intégrales sur Ωe , avec Ωe est le domaine
de chaque élément):
La forme intégrale de l’équation différentielle devient alors pour chaque élément:
Cette écriture discrétisée est valable pour tous les types d’éléments. Dans le cas
particulier d’un élément linéaire à deux nœuds, elle s’écrit comme suit:
         
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) 2 ( ) 2 0
x x x
i
i i i i i i i i i
x x x
dN
u N x u dx u N x x N u dx u N x xdx
dx
  
  
  
   
2 2 2
1 1 1
.2 . 2 0
x x x
x x x
du
dx x u dx xdx
dx
  
 
  
 
 
  

On voit qu’il est possible de simplifier puisqu’il n’est pas nul et revient à
chaque terme.
Finalement l’équation intégrale discrétisée se met sous la forme matricielle:
( )T
n
u


Qui est un système d’équations linéaire :
Avec Ke et Fe sont appelés matrice et vecteur élémentaires du système
d’équations.
Dans le cas de la présente équation différentielle Ke est la somme de deux
matrices: Ke = Ke1 + Ke2
tel que:
e e e
K U F


En remplaçant les fonctions de forme et leurs dérivées par leurs expressions
respectives on obtient :
Soit après intégration des composantes des deux matrices:
et
x1

Le vecteur Fe est donné par :
Soit:
Finalement, la forme intégrale de l’équation différentielle devient alors pour
chaque élément Ωe = [x1, x2] sous forme matricielle qui s’écrit comme suit :
1 1 2
1 2 1 2
2 1 2 1
1 2 1 2 2 1 2
2
3
1 1
1
3
1 1 2
2 6 3
u x x
x x x x
x x x x
x x x x u x x
  
 
    
 
   
 
   
 
 
   
 
       
 
Ke Ue Fe

5- Assemblage :
Le calcul des matrices élémentaires permet d’obtenir pour les quatre éléments les
systèmes d’équations élémentaires suivants:

En notant par U les valeurs de la fonction u aux cinq nœuds, les valeurs du vecteur
élémentaire Ue
(1) de l’élément 1 correspondent aux composantes u1 et u2 vecteur
global U, celles de Ue
(2) de l’élément 2 correspondent à la seconde et troisième
composante du vecteur global U, celles de Ue
(3) à la troisième et quatrième
composante et celles de Ue
(4) à la quatrième et cinquième composante du vecteur
global U.

En réécrivant les systèmes élémentaires en fonction de toutes les composantes de
U on obtient:

En Prenant maintenant la somme ( somme des intégrales), le système global
s’écrit enfin:


6- Application des conditions aux limites :
Avant de résoudre le système il faut appliquer les conditions aux limites de la
fonction u. Au nœud 1 de coordonnée x=0 , u=0: ce qui traduit la réduction du
nombre d’équations total à résoudre. Le système global devient alors:
La ligne et la colonne d’indice 1 qui correspond à la valeur u1 ont été supprimées
de la matrice K et du vecteur F. Si alors on retranche de F le
produit de la 1ère colonne de K par a .
(0) 0
u a
  1
( )
u a


VIII- Éléments Finis Multidimensionnels
 La définition analytique des éléments de formes complexes est compliquée. Pour la
simplifier, on introduit la notion d’élément de référence.
 Dans un espace de référence on définit l’élément triangulaire de sommets
1,2,3 suivant:
Cet élément est dit élément de référence, on le notera Vr. Il est de forme simple
repéré dans un espace de référence puis transformé en Ve par une transformation
géométrique e:
h
x
(0,0) (1,0)
(0,1)
Élément de référence
1- Notion d’élément de référence:
 
,
x h
Module: Modélisation Numérique 2 (GEER 2 – S3) Chapitre II M. EL HAIM – ENSAH 68

 
,
x h  
,
x y
Où :
Où : sont les coordonnées de Xi .
 
1 1 2 2 5 5
, , , , , ,..., , ,...
x x x y x y x y
x h

 
1 1 2 2 5 5
, , , , , ,..., , ,...
y y x y x y x y
x h

 
,
i i
x y
h
x
(0,0) (1,0)
(0,1)
(x1 ,y1)
x
y
(x2 ,y2)
(x3 ,y3)
1
Transformation d’un élément de référence en élément réel
Soit : e : Vr Ve

Transformation d’un élément de référence en tous les éléments
De la même manière nous définissons les autres transformations e qui feront
passer de Vr à Ve .
Les transformations e doivent être:
• bijectives
• les nœuds 1,2,3 de l’élément de référence se transforment en nœuds i,j,k de l’élément réel Ve
• les frontières de l’élément de référence se transforment en frontières de l’élément réel.

Nous prenons les transformations e linéaires en (xn , yn ).
tel que:
Les Ni sont des polynômes appelés fonctions de transformation géométrique.
Donc on a une approximation nodale par sous-domaine de x().
e : Vr Ve
 
,
x h  
,
x y
   
i i i i
x N x et y N y
 
     
     
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
, . , . , .
, . , . , .
x N x N x N x
y N y N y N y
x h x h x h
x h x h x h
  
  
 Remarque:
Dorénavant nous travaillerons dans l’espace et nous chercherons au lieu
de .
Sachant que :
C.-à-d. : et prennent les mêmes valeurs en des points qui se correspondent
par la transformation e .
 
,
x h  
,
u x h
 
,
u x y
     
 
1 1 1 1
, , , , ,... ; , , , ,...
u u x x y y x y
x h x h x h

 
,
u x h  
,
u x y

h
x
(0,0) (1,0)
(0,1) e
(xi,yi)
x
y
(xj,yj)
(xk,yk)
Élément de référence Vr Élément réel Ve
 Élément triangulaire à trois nœuds:
Vr est défini analytiquement par :






h

x

h

x
0
0
1

Soit la transformation e linéaire en x, h
   
)
,
(
y
),
,
(
x
, h
x
h
x

h
x
Où :





















h
x
h

x


h
x










h
x
h

x


h
x
k
j
i
k
j
i
y
y
y
,
,
1
)
,
(
y
x
x
x
,
,
1
)
,
(
x

Cette transformation e vérifie-t-elle les trois conditions?
 les nœuds 1,2,3 de l’élément de référence se transforment en nœuds Xi , Xj , Xk de l’élément
réel Ve .
 le segment [2,3] a pour équation:
Donc [2,3] se transforme en [j,k]
 bijectivité: Il faut que la Jacobienne soit régulière;
(triangle réel)
1 0
x h
  
(1 )
(1 )
j k
j k
x x x
y y y
x x
x x
  



  


 
, ,
, ,
j k j k
k j k j
x x y y
x y
J
x x y y
x y
x x
h h
 
 
 
   
   
   
  2 0
Det J Aires
 

 Segments: dans le repère de référence, le domaine est:
: 1 1
r
V x
   
x
-1 1 x
1
-1 0 x
1
-1 0
-1/3 1/3
Elément à deux nœuds Elément à trois nœuds Elément à quatre nœuds
2- Autres éléments de référence:

 Triangles: dans le repère de référence, le domaine est:
1
0
0
r
V
x h
x
h
 




 

(0,1)
(1,0)
(0,0) x
h
(0,1)
(1,0)
(0,0) x
h
(1/2,1/2)
(1/2,0)
(0,1/2)
(0,1)
(1,0)
(0,0) x
h
(0,1/3)
(0,2/3)
(1/3,0) (2/3,0)
(2/3,1/3)
(1/3,2/3)

 Carrés: dans le repère de référence, le domaine est:




h



x


1
1
1
1
Vr
h
x
(1,-1)
(-1,-1)
(1,1)
(-1,1)

 Tétraèdre: dans le repère de référence, le domaine est:










h

x



h

x
0
0
0
1
Vr

h
x
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,0)

3- Approximation sur un élément de référence:
On choisit sur le domaine n nœuds d’interpolation de coordonnées xi confondus
ou non avec les nœuds géométriques. Sur chaque élément Ve, on écrit :























n
2
1
n
2
1
U
.
.
.
U
U
)
X
(
N
),...,
X
(
N
),
X
(
N
)
X
(
u

Où Un sont les valeurs de u aux n nœuds d’interpolation (variables nodales) et Ni(x)
sont les fonctions d’interpolation sur l’élément réel . On remplace l’approximation,
sur l’élément réel, par celle sur l’élément de référence:
 
n
U
)
(
N
)
(
u x

x
avec   
n
X
)
(
N
)
(
X x

x
Les fonctions d’interpolation, dans l ’élément réel, dépendent des coordonnées des
nœuds de l’élément donc différentes pour chaque élément. Par contre, les
fonctions d’interpolation, dans l ’élément de référence, sont indépendantes de la
géométrie de l’élément réel donc les mêmes fonctions sont utilisables pour tous
les éléments possédant le même élément de référence.

4- Fonctions d’interpolation d’un triangle à trois nœuds:
Les trois nœuds de cet élément sont à la fois des nœuds d’interpolation et des
nœuds géométriques. Le vecteur regroupant les variables nodales de cet
élément s’écrit :
 











k
j
i
n
U
U
U
U

L’interpolation sur cet élément est linéaire :














3
2
1
3
2
1
a
a
a
y
,
x
,
1
y
a
x
a
a
)
y
,
x
(
u
Aux nœuds d’approximation i, j, k , l’identification donne :































3
2
1
k
k
j
j
i
i
k
j
i
a
a
a
y
x
1
y
x
1
y
x
1
U
U
U

Soit après inversion :



















 













k
j
i
ji
ik
kj
ij
ki
jk
k
j
i
3
2
1
U
U
U
y
y
y
y
y
y
A
2
1
a
a
a
où

















)
y
x
y
x
y
x
(
2
1
A
y
y
y
y
x
y
x
ij
k
ki
j
jk
i
j
k
kj
j
k
k
j
i

En remplaçant les ai par leurs valeurs en fonction des Ui, l’approximation nodale
s’écrit :











k
j
i
3
2
1
U
U
U
)
y
,
x
(
N
),
y
,
x
(
N
),
y
,
x
(
N
)
y
,
x
(
u
où les fonctions d’interpolation sont données par :
     
 
     
 
     
 



























y
y
x
x
x
x
y
y
A
2
1
)
y
,
x
(
N
y
y
x
x
x
x
y
y
A
2
1
)
y
,
x
(
N
y
y
x
x
x
x
y
y
A
2
1
)
y
,
x
(
N
i
i
j
i
i
j
3
k
k
i
k
k
i
2
j
j
k
j
j
k
1

L’interpolation sur l’élément de référence s’écrit simplement :










h
x
h
x
h
x

h
x
k
j
i
3
2
1
U
U
U
)
,
(
N
),
,
(
N
),
,
(
N
)
,
(
u





h

h
x
x

h
x
h

x


h
x
)
,
(
N
)
,
(
N
1
)
,
(
N
3
2
1

L’approximation u(x,y) est identique à u(,h) si (x,y) et (,h) respectent la
transformation e :






















h
x











h
x

k
j
i
3
2
1
k
j
i
3
2
1
y
y
y
N
,
N
,
N
)
,
(
y
x
x
x
N
,
N
,
N
)
,
(
x
:

Par exemple :
Si on aura:
Dans Vr :
Dans Ve :
On trouve alors:
D’où:
0 0
1 1
4 2
et
x h
  0 0 0 0
( , ) ( , )
u u x y
x h 
 
0 0
1 1 1 1
( , ) , , 2
4 4 2 4
i
j i j k
k
u
u u u u u
u
x h
 
 
   
 
 
 
 
 
0
0
1
2
4
1
2
4
i j k
i j k
x x x x
y y y y
  
  
1 0 0 2 0 0 3 0 0
1 1 1
( , ) , ( , ) ( , )
4 4 2
N x y N x y et N x y
  
 
0 0 0 0
1
( , ) 2 ( , )
4
i j k
u x y u u u u x h
   

L’approximation u est continue ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre s si
les fonctions d’interpolation sont continues ainsi que ses dérivées jusqu’à
l’ordre s.
Un élément est dit isoparamétrique si les nœuds géométriques sont
confondus avec les nœuds d’interpolation.
Le nombre de variables nodales ui associées à l’ensemble des nœuds
d’interpolation de l’élément est appelé nombre de degrés de liberté de
l’élément.

5- Méthode de construction des fonctions d’interpolation:
Elles sont construites à partir des polynômes (base polynomiale) de type Lagrange
ou Hermite. La solution approchée s’écrit dans la base polynomiale sous la forme :
 
a
)
(
P
a
.
.
.
a
a
)
(
P
),...,
(
P
),
(
P
)
(
u
nd
2
1
nd
2
1 x























x
x
x

x
On utilise souvent des polynômes complets. Le degré de ces polynômes dépend
des degrés de liberté

Degré du
polynôme
Une dimension Deux
dimensions
Trois
dimensions
nd nd nd
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
6
10
15
21
4
10
20
35
56

6- Construction des fonctions de la transformation géométrique:
On choisit les coordonnées de la forme :
 
 
 







x

x
x

x
x

x
z
y
x
a
)
(
P
)
(
z
a
)
(
P
)
(
y
a
)
(
P
)
(
x

En écrivant la relation en chaque nœud d’interpolation, on obtient le système
suivant :
    
n
n U
a
P 
 




















x
x
x
x
x
x
x
x
x

)
(
P
.
.
.
)
(
P
)
(
P
.
.
.
)
(
P
.
.
.
)
(
P
)
(
P
)
(
P
.
.
.
)
(
P
)
(
P
P
nd
nd
nd
2
nd
1
2
nd
2
2
2
1
1
nd
1
2
1
1
n
 























nd
2
1
n
U
.
.
.
U
U
U

La résolution du système, nous permet d’écrire le vecteur sous la forme :
     
n
1
n U
P
a


L’approximation s’écrit alors sous la forme :
   
n
1
n U
P
)
(
P
)
(
u

x

x
 
n
U
)
(
N
)
(
u x

x
  1
n
P
)
(
P
)
(
N

x

x
De la même façon, on obtient les fonctions de la transformation sous la forme :
 1
n
P
)
(
P
)
(
N

x

x

7- Quadrilatère à quatre nœuds :
Le nombre de degrés de liberté pour cet exemple est égal à quatre:
Élément de référence Élément réel
(1,1)
(1,-1)
(-1,1)
(-1,-1)
1 2
3
4
x
h
(xi,yi)
x
y
(xj,yj)
(xk,yk)
(xl,yl)

Pour ce type d’élément, la base polynomiale est la suivante :
xh
h
x

x
x
x
x

x ,
,
,
1
)
(
P
),
(
P
),
(
P
),
(
P
)
(
P 4
3
2
1
Les quatre nœuds d’interpolation ont les coordonnées suivantes :































x
x
x
x
1
1
1
1
4
3
2
1































h
h
h
h
1
1
1
1
4
3
2
1

Alors les matrices  
n
P et son inverse   1
n
P

sont données par :
 



















1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
P
n
 




















1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
P
1
n
D’après les formules précédentes, les fonctions d’interpolation et de la
transformation géométrique sont de la forme :
 
4
-
1
,
4
1
,
4
-
1
,
4
-
-
1
P
)
,
(
P
)
,
(
N
),
,
(
N
),
,
(
N
),
,
(
N
)
,
(
N
1
n
4
3
2
1
xh

h

x
xh

h

x

xh

h
x

xh

h
x

h
x

h
x
h
x
h
x
h
x

h
x

)
,
(
N
)
,
(
N h
x

h
x

Appliquons maintenant la méthode des éléments finis à l’équation aux dérivées
partielles suivante :


 

L
.
C
0
f
)
u
( v
L
La forme intégrale de type Galerkin de cette équation aux dérivées partielles s’écrit :
0
d
)
f
)
u
(
u(
W v 



 
L
On remplace la forme intégrale par une somme d’intégrales sur chaque élément

 







nel
1
e
e
nel
1
e
v
e
W
d
)
f
)
u
(
W e
L
(
ue forme intégrale
élémentaire

En utilisant des intégrations par parties pour diminuer l’ordre des dérivées, la forme
intégrale élémentaire peut s’écrire :
où les quantités :
Sur chaque élément, on utilise l’approximation suivante :
  
  
 








 e
s
e
S
s
e
v
e
e
e
ds
f
u
d
f
u
u
)
(
W D
ue
,...
x
u
,...,
x
u
,
u
u 2
e
2
e
e
e






 
e
n
e
U
N
u   
e
n
e
U
N
u 



La forme intégrale élémentaire peut s’écrire sur l’élément réel:
où la matrice élémentaire et le vecteur élémentaire second membre sont donnés
par :
    
 
e
e
n
e
e
n
e
f
U
K
U
W 


     

 
 e
d
B
D
B
K
T
e
     

 


 e
e
S
s
v
e
ds
f
N
d
f
N
f
 

























.
.
.
.
x
N
N
B  


























.
.
.
.
x
N
N
B

Pour écrire la forme intégrale sur l’élément de référence, on construit d’abord les
fonctions d’interpolation sur cet élément. La transformation des dérivées se fait
par la relation suivante :
     
x




1
x J
 

























h


h


h


x


x


x



z
y
x
z
y
x
z
y
x
J

Dans le cas unidimensionnel :
 
e
n
U
d
)
(
dN
dx
d
d
du
dx
d
dx
du
x
x
x

x
x

D’une manière générale:
    
x
 B
Q
Bx
Dans le cas bidimensionnel, la matrice s’écrit sous la forme :
    
x















h


x















h


x


h


x




















 B
Q
N
N
y
y
x
x
y
N
x
N
B

La transformation du domaine d’intégration est donnée par la relation suivante :
Les limites d’intégration en x pour les éléments de références classiques sont :
1D : segment
 

 


x

 r
e
d
J
det
))
(
x
(
f
d
)
x
(
f
 


x


x
x
1
1
d
J
det
...
 
 

x

x
x


h

h
h
x
1
0
1
0
d
d
J
det
...
2D : triangle
 
 

x


x

h


h
h
x
1
1
1
1
d
d
J
det
...
2D : quadrilatère
3D : tétraèdre  
  

x

x
x


h

h
h

x






h
x
1
0
1
0
1
0
d
d
d
J
det
...

D’une manière générale, la matrice élémentaire et le vecteur élémentaire second
membre s’écrivent sur l’élément de référence sous la forme :
L’assemblage est l’opération qui consiste à construire la matrice globale et le
vecteur global des sollicitations. Après cet opération, la forme intégrale globale
est donnée par :
          

x

x 
h
x
 r
d
d
d
J
det
B
Q
D
Q
B
K
T
T
e
         

 

h
x

 e
r
S S
s
v ds
J
det
f
N
d
d
d
J
det
f
N
f
    
 
F
U
K
U
W n
n 


Le système d’équations à résoudre est le suivant :
    
F
U
K n 

Soit un domaine  représenté par deux triangles à un degré de liberté par nœud
1
2
3
4


x
y
Vecteurs globaux:












4
3
2
1
n
4
3
2
1
n
U
,
U
,
U
,
U
U
U
,
U
,
U
,
U
U
1
1 2 4
1
1 2 4
, ,
, ,
n
n
U u u u
U u u u
   
 





Vecteurs élémentaires:
2
4 3 1
2
4 3 1
, ,
, ,
n
n
U u u u
U u u u
   
 





8- Application 2D:

Formes faibles élémentaires:
    
 
1
1
n
1
1
n
1
f
U
k
U
W 





2
1
e
e
W
W
Assemblage:
Il faut écrire We en fonction de <Un> et <Un> :
    
 
1
n
1
n
1
F
U
K
U
W 


 















1
33
1
32
1
31
1
23
1
22
1
21
1
13
1
12
1
11
1
k
0
k
k
0
0
0
0
k
0
k
k
k
0
k
k
K  















1
3
1
2
1
1
1
f
0
f
f
F

    
 
2
n
2
n
2
F
U
K
U
W 


 















2
11
2
21
2
31
2
12
2
22
2
32
2
13
2
23
2
33
2
k
k
0
k
k
k
0
k
0
0
0
0
k
k
0
k
K  















2
1
2
2
2
3
2
f
f
0
f
F

La forme intégrale globale s’obtient par sommation:
2
1
W
W
W 
     
 
F
U
K
U
W n
n 


 



















2
11
1
33
2
12
1
32
2
31
1
31
2
12
2
22
2
32
1
23
1
22
1
21
2
13
1
13
2
23
1
12
2
33
1
11
K
K
K
K
K
K
K
K
0
K
K
0
K
K
K
K
K
K
K
K
K  

















2
1
1
3
2
2
1
2
2
3
1
1
f
f
f
f
f
f
F

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