Le document traite de l'enseignement de la résolution de problèmes en mathématiques, en soulignant l'importance de construire une compréhension explicite des problèmes pour les élèves. Il propose des démarches d'apprentissage structurées, incluant la prise en compte de différents types de problèmes et des stratégies adaptées à chaque situation. Enfin, il souligne la nécessité d'analyser les productions des élèves pour affiner l'enseignement et prendre en compte les difficultés rencontrées.

1. Enseigner la résolution
de problèmes au C.2
J. Manzoni, IEN Dijon Est
Equipe de la circonscription de Dijon Est.
Laurent Geniaux, PEMF

2. SOMMAIRE
2
Enseigner la résolution de problèmes : de
quoi parle-t-on ?
Construire construire un enseignement
explicite de la compréhension/résolution de
problèmes.
Pour conclure et pour continuer ….

3. Enseigner la résolution
de problèmes
3
1. De quoi parle-t-on ?

4. Faire des mathématiques, c’est résoudre
des problèmes.
4

5. Ce que disent les textes
5

6. Définir la notion de problème du point de vue des
chercheurs…
6
 Un problème surgit de l’écart qui se forme entre un état initial et
un état but. Résoudre un problème, c’est chercher un ensemble
de procédures qui permettent le passage d’un état à un autre.
 D’après Newell & Simon, chercheurs en psychologie cognitive, 1972
« Dans une perspective psychologique, un problème est généralement
défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant
à un sujet d'élaborer une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre
ce but. Il n'y a problème que dans un rapport sujet / situation, où la
solution n'est pas disponible d'emblée, mais possible à construire. C'est
dire aussi que le problème pour un sujet donné peut ne pas être un
problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de
développement intellectuel par exemple. »
Jean Brun (professeur en didactique des mathématiques), « La résolution de problèmes arithmétiques :
bilan et perspectives », in Math École n° 141, 1990

7. Définir la notion de problème du point de vue des enseignants…
7
Des problèmes dont la résolution vise la
construction d’une nouvelle connaissance
problèmes
pour
apprendre
Des problèmes destinés à permettre le
réinvestissement de connaissances déjà
travaillées, à les exercer
Des problèmes plus complexes que les précédents
dont la résolution nécessite la mobilisation de
plusieurs catégories de connaissances
Des problèmes centrés sur le
développement des capacités à chercher :
en général, les élèves ne connaissent pas encore
de solution experte
problèmes
ouverts

8. Définir la notion de problème du point de vue des élèves
…
8
● Une épreuve redoutée et mal-aimée.
● Un texte suivi d’une question à laquelle il
faut répondre en cherchant d’abord le
calcul à faire avec les nombres de l’énoncé
puis en faisant une phrase réponse.
● Une énigme, quelque chose qui leur résiste.

9. Définir la notion de problème du point de vue des élèves
…
9
● Un problème est forcément numérique.
● Un problème a toujours une solution et le maître/la
maîtresse la connaît.
● Pour trouver la solution, il faut faire une opération à
partir des nombres fournis dans l’énoncé.
● Pour trouver la solution, il n’y a qu’une démarche
possible.
● Pour trouver la solution, il faut déjà savoir.
● Pour trouver la solution, il faut trier les informations.
Roland Charnay

10. Les six
compétences
m athématiques
travaillées
Chercher
Modéliser
Communiquer
Calculer
Raisonner
Représenter
Résolution de problèmes et compétences fondamentales
à construire en mathématiques
Chercher
S’engager dans ne démarche de
résolution de problèmes en
observant, en posant des questions,
en manipulant, en expérimentant, en
émettant des hypothèses, si besoin
avec l’accompagnement du
professeur après un temps de
recherche autonome.
Tester, essayer plusieurs pistes
proposées par soi-même, les autres
élèves ou le professeur.
Modéliser
Utiliser des outils mathématiques
pour résoudre des problèmes
concrets, notamment des
problèmes portant sur des
grandeurs et leurs mesures.
Réaliser que certains problèmes
relèvent de structures additives,
d’autres de situations
multiplicatives, de partages ou de
groupements. .
Raisonner
Anticiper le résultat d’une
manipulation, d’un calcul ou d’une
mesure
Communiquer
U
puis quelques représentations et
q
démarches, argumenter des
raisonnements.

11. Enseigner la résolution
de problèmes
11
2. Comment construire un
enseignement explicite de la
compréhension/résolution de
problèmes ?

12. Construire une représentation fiable solide
des problèmes.
12
• A l’entrée au CP : présenter des problèmes par des
«situations» proches de la vie courante de l’élève (des pratiques où
le rapport à l’objet et les manipulations sont directs).
• Progressivement, quand l’écrit sera installé: faire comprendre que
l’énoncé écrit d’un problème n’est souvent que l’habillage particulier
d’une histoire que les élèves, ou d’autres personnes, auraient pu vivre.
Passage de situations réellement vécues à des
problèmes évoqués, et qu’il faut mentalement se
représenter
• Se dégager progressivement des manipulations, amener l’élève à
dépasser le simple stade de l’action pour s’engager dans un
processus de conceptualisation.

13. Construire une représentation fiable solide
des problèmes.
13
S’appuyer sur une classification des problèmes.
Classification de Catherine HOUDEMENT.
• Problèmes élémentaires/basiques (« one step problems »)
–Peuvent s’appuyer sur la typologie de Vergnaud
• Problèmes complexes
–Problèmes à plusieurs étapes
• Problèmes atypiques
– Problèmes qui n’ont pas de modèle mathématique identifiable,
pour lesquels il faut inventer une solution.

14. Construire une représentation fiable solide
des problèmes.
14
S’appuyer sur une classification des problèmes.
Classification de Gérard VERGNAUD.
Problèmes TOUT ou PARTIE
Problèmes de TRANSFORMATION
Problèmes de COMPARAISON

15. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
15
Une démarche reposant sur :
- Un lancement de l’apprentissage.
Privilégier l’accompagnement des élèves pendant le temps de
recherche individuelle à une longue présentation collective du
problème en début de séance.
Némo veut faire un collier pour sa maman.
Mila dit : « Il te faut 40 perles pour que le collier ait la bonne longueur ! »
Némo prend 10 perles roses, 10 perles bleues, 10 perles orange et 5
perles vertes.
Némo peut-il finir son collier ?
Source : Les mathématiques en classe de cycle 2, un travail
d’équipe avec Stella Baruk
DGESCO-Canopé

16. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
16
Une démarche reposant sur :
Un lancement de l’apprentissage.
La compréhension de l’énoncé.
Plusieurs étapes/activités.
Retrouver l’histoire et rédiger une histoire à partir d’un
énoncé.
Passer d’une histoire à des énoncés.
Produire de manière systématique des énoncés de
problèmes.
« un apprentissage à la résolution de problèmes, passant par l’écriture d’énoncés
sous contraintes et par l’analyse, permet aux élèves de mieux lire et résoudre les
problèmes et de développer des apprentissages ciblés sur la langue française »
Annie Camenisch et serge Petit APMEP (2005)

17. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
17
Une démarche reposant sur :
Un lancement de l’apprentissage.
La compréhension de l’énoncé.
Des pratiques à interroger
Repérer les mots « clés », des « indices »…
Surligner les informations utiles/barrer les infos inutiles
« Quelle opération faut-il faire ? »
Des pratiques à renforcer
Favoriser les diverses représentations (dessiner, schématiser, raconter
avec ou sans les nombres, mettre en scène, etc.)
Faire créer des problèmes (avec des contraintes)

18. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
18
Une démarche reposant sur :
Un lancement de l’apprentissage.
La compréhension de l’énoncé.
La question du contexte
s’assurer que le contexte fasse sens pour les élèves.
Le skip lâche le marteau juste avant la ligne de hog.
La pierre d’ailsite de 18 kg s’immobilise dans la maison 42 secondes plus tard, à 0,8 m du
champagne, après avoir parcouru 28,7m.
Quelle a été la vitesse moyenne de la pierre ?
La question du vocabulaire
la résolution de problème n’est pas une séance de vocabulaire
(attention à ne pas créer de doubles tâches)

19. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
19
Une démarche reposant sur :
Un lancement de l’apprentissage.
La compréhension de l’énoncé.
Règles à suivre en résolution de problèmes
Règle 1 : Dans la mesure du possible, j’évite de lire le problème. Lire le problème prend du temps et rend les
choses compliquées.
Règle 2 : Je surligne les nombres du problème, en faisant bien attention de ne pas oublier les nombres écrits
en lettres.
Règle 3 : Si la règle 2 fait apparaître au moins trois nombres, la meilleure solution est de les additionner
ensemble.
Règle 4 : Si il n’y a que deux nombres et qu’ils sont relativement proches, alors faire une soustraction devrait
donner le meilleur résultat.
Règle 5 : Si il n’y a que deux nombres et que l’un est beaucoup plus petit que l’autre, alors le mieux est
d’essayer de faire une division, si cela ne tombe pas juste alors je laisse tomber et je multiplie les deux
nombres.
Règle 6 : Si les règles 1 à 5 ne marchent pas, alors prendre les nombres repérés avec la règle 2 et remplir la
page de calculs en utilisant ces nombres. Entourer ensuite deux ou trois résultats trouvés au cas où l’un deux
seraient la bonne réponse.

20. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
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Une démarche reposant sur :
Un lancement de l’apprentissage.
La compréhension de l’énoncé.
Une analyse des travaux et des productions des élèves.
C’est essentiel et il faut les analyser en référence à deux
compétences :
• Modéliser : transformer le problème en modèle mathématique pour
effectuer les opérations nécessaires en vue d’obtenir le résultat
attendu
• Calculer : effectuer sans erreur les opérations nécessaires à la
résolution du problèmes

21. Analyse de travaux d’élèves
21
Astrid a 764 euros sur son compte en banque.
Elle va dans un magasin d’informatique où elle
achète une imprimante à 217 euros et trois
cartouches d’encre coûtant chacune 59 euros.
Combien d’argent a-t-elle sur son compte
après ses achats ?
Élève B
1 1 1 1 1
2 1 7 2 7 6 3 3 5
+ 5 9 + 5 9 + 5 9
2 7 6 3 3 5 4 9 4
6
716 4
– 4 9 4
3 7 0
Elle a 370 € sur son compte
Élève E
Double erreur calcul
qui annule l’erreur…

22. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
22
Une démarche reposant sur :
Un lancement de l’apprentissage.
La compréhension de l’énoncé.
Une analyse des travaux et des productions des élèves.
Comment étayer les élèves pour prévenir /remédier à ces
erreurs ?

23. Développer une démarche spécifique d’un enseignement à la
résolution de problèmes
Comment étayer les élèves pour prévenir /remédier à ces erreurs ?
23
 Une erreur de calcul peut se corriger rapidement, mais une erreur de modélisation nécessite un travail de fond
plus important…
 Idées d’étayage
• Faire jouer la scène avec des objets ou des images pour les objets à acheter. Changer le point de vue
(acheteur/vendeur)
• Changer le contexte
• Modifier l’énoncé pour faciliter la compréhension :
–
Montants en jeu
« Astrid a 10€ sur son compte en banque. Elle va dans un magasin d’informatique où elle achète une imprimante
à 2€ … »
–
Réduire à 1 le nombre de cartouches achetées pour identifier plus facilement le modèle
« Astrid a 764 euros sur son compte en banque. Elle va dans un magasin d’informatique où elle achète une
imprimante à 217 euros et une cartouche d’encre coûtant 59 euros. »
– Rajouter des couleurs : une cartouche bleue, une rouge et une jaune
(permet d’identifier plus facilement les trois cartouches)
• Faire raconter l’histoire sans les nombres en jeu pour aider les élèves à se centrer sur la situation en se détachant
des opérations
 Ne pas rajouter une question intermédiaire !
• Cela transforme le problème en deux problèmes basiques

24. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
24
Une démarche reposant sur :
 Un lancement de l’apprentissage.
 La compréhension de l’énoncé.
 Une analyse des travaux et des productions des élèves.
Comment étayer les élèves pour prévenir /remédier à ces erreurs ?
Comment différencier ?
Différenciation par l’étayage
Privilégier une différenciation par l’accompagnement pendant le temps de
recherche, en apportant à chacun les coups de pouce dont il a besoin.
Faut-il proposer des problèmes différents ?
Cas particuliers : ENAF allophone arrivant, certains cas d’inclusion,
etc.
On peut imaginer deux séries différentes de problèmes avec des
problèmes communs.

25. Développer une démarche spécifique d’un enseignement
à la résolution de problèmes
25
Une démarche reposant sur :
 Un lancement de l’apprentissage.
 La compréhension de l’énoncé.
 Une analyse des travaux et des productions des élèves.
Comment étayer les élèves pour prévenir /remédier à ces erreurs ?
Comment différencier ?
Différenciation par l’étayage
Privilégier une différenciation par l’accompagnement pendant le temps de
recherche, en apportant à chacun les coups de pouce dont il a besoin.
Faut-il proposer des problèmes différents ?
Cas particuliers : ENAF allophone arrivant, certains cas d’inclusion,
etc.
On peut imaginer deux séries différentes de problèmes avec des
problèmes communs.

26. Enseigner la résolution
de problèmes
26
3. Alors, finalement on enseigne
comment la résolution de
problèmes ?

27. Focaliser l’attention des élèves sur la démarche de
résolution …
27
Principe clé 1 - La résolution s’enseigne et exige
des séances/séquences construites, progressives.
Les étapes d’une démarche.
1. Présentation du problème.
2. Découverte.
3. Temps de recherche individuel.
4. Confrontation avec le groupe.
5. Mise en commun, débat et validation.
6. Institutionnalisation.

28. Focaliser l’attention des élèves sur la démarche de
résolution …
28
Principe clé 2 – Proposer des problèmes
élémentaires/basiques (« one step problems »)
Ces problèmes peuvent/doivent s’appuyer également dans leur diversité sur
la catégorisation de G. Vergnaud (appui sur les référents méthodologiques).
Haute fréquence de résolution : 10 problèmes par semaine ( comment
organiser l’emploi du temps ?)
Comparer, introduire des analogies pour aider à la modélisation.
Paul a 31 billes. Il en perd 4 à la récré (soustraction).
Paul a 31 billes. Il en perd 27 à la récré (addition à trous).
Progressivement construire leur autonomie sur ces problèmes Avec quels
outils ? Collectifs (les affichages), individuels ? (les cahiers, les aides pour
pouvoir alléger la charge cognitive…)

Un enjeu essentiel pour l’élève : mémoriser ces problèmes , leurs
représentations.

29. Focaliser l’attention des élèves sur la démarche de
résolution …
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Principe clé 3 – Les problèmes complexes
Ne pas accompagner en donnant la question
intermédiaire.
Identifier et construire les problèmes basques sous
jacents (qui ont donc été automatisés ou en cours
d’automatisation).
Connecter les informations (donner du sens)
Qualifier les résultats.

30. Focaliser l’attention des élèves sur la démarche de
résolution …
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Principe clé 4 – Les problèmes atypiques (« problèmes
ouverts »).
Permettre l’invention de procédures : oser, persévérer, prendre confiance en
soi.
Principe clé 5 – Analyser les problèmes .
S’interroger sur le choix des problèmes (contexte, lexique, syntaxe)
Quelles activités faire « avant » pour préparer à la résolution de problèmes ?
Principe clé 6 – travailler en parallèle mais avec une
fréquence différente les 3 types de problèmes
Elémentaires  complexes  atypiques.

31. Enseigner la résolution
de problèmes
31
Pour continuer , lien vers le
distanciel .

32. Les thématiques proposées
32
1. Mettre en œuvre une programmation dans
l’enseignement de la compréhension/résolution de
problèmes.
2. Développer des outils de référence (type d’affichages,
d’outils collectifs, individuels)
3. Identifier avec les élèves les « mots » des problèmes et
qu’en faire ?
4. Soigner les maux des problèmes : proposer des étayages
selon les obstacles constatés.
5. Tester des modalités de travail différentes (exs de
séances)