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1. Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- MOHAMED ALOUAT Encadré par: Mme. EDDAHABI Raja Université Abdelmalek Essaadi Faculté des Sciences Tetouan Département de Mathématiques Licence Mathématiques fondamentales 28 Juin 2017 SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 1 / 39

2. Objectifs Plan de la présentation 1 Objectifs 2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Notion d’idéal, Anneau Quotient Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Opérations sur les idéaux Idéaux premiers et idéaux maximaux Décompositions d’un idéal 3 Modules sur anneau commutatif Généralités 4 Les anneaux Noethériens Généralités Décomposition primaire dans les anneaux noethériens SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 2 / 39

3. Objectifs Objectifs Donner des notions de base sur les anneaux commutatifs. étudier un cas particulier très important d’anneau commutative, les anneaux noethériens . faire connaitre ses propriétés. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 3 / 39

4. Objectifs Plan de la présentation 1 Objectifs 2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Notion d’idéal, Anneau Quotient Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Opérations sur les idéaux Idéaux premiers et idéaux maximaux Décompositions d’un idéal 3 Modules sur anneau commutatif Généralités 4 Les anneaux Noethériens Généralités Décomposition primaire dans les anneaux noethériens SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 4 / 39

5. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Plan de la présentation 1 Objectifs 2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Notion d’idéal, Anneau Quotient Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Opérations sur les idéaux Idéaux premiers et idéaux maximaux Décompositions d’un idéal 3 Modules sur anneau commutatif Généralités 4 Les anneaux Noethériens Généralités Décomposition primaire dans les anneaux noethériens SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 5 / 39

6. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Anneaux commutatifs Définition Un anneau A est un ensemble muni d’une addition (x, y) → x + y et d’une multiplication (x, y) → x.y vérifiant 1 (A, +) est un groupe abélien. 2 La multiplication est associative. (xy)z = x(yz) et distributive par rapport à l’addition. x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx 3 Il existe dans A un élément 1 vérifiant: x1 = 1x = x, ∀x ∈ A 1 s’appelle l’unité de A 4 A est dit commutatif si la multiplication est commutative: ∀x, y ∈ A, xy = yx SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 6 / 39

7. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Exemples 1 (Z, +, ·), (R, +, ·), (Q, +, ·), (C, +, ·) 2 Un ensemble A, réduit à un seul élément 0, avec 0+0=0 et 0*0=0, est un anneau unitaire commutatif. 3 (P(E), 4, ∩); avec E Ensemble quelconque 4 Si A est un anneau et X un ensemble F(X, A) l’ensemble des fonctions de X dans A muni de (f, g) → f + g(x → f(x) + g(x)) (f, g) → f.g(x → f(x).g(x)) Est un anneau commutatif si A est commutatif. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 7 / 39

8. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Règles de calcul 1 x.0 = 0 ∀x ∈ A 2 (−1).x = −x (l’opposé de x pour +) Remarque Si 1 = 0 alors A = {0} car ∀x ∈ A x = x.1 = x.0 = 0 A n’a qu’un seul élément, 0. Dans ce cas,A est l’anneau zéro, noté 0 (par abus de notation). SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 8 / 39

9. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Règles de calcul 1 x.0 = 0 ∀x ∈ A 2 (−1).x = −x (l’opposé de x pour +) Remarque Si 1 = 0 alors A = {0} car ∀x ∈ A x = x.1 = x.0 = 0 A n’a qu’un seul élément, 0. Dans ce cas,A est l’anneau zéro, noté 0 (par abus de notation). SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 8 / 39

10. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Définition Un sous anneau B de A est par définition un sous-groupe de groupe additif A, stable pour la multiplication tel que 1A ∈ B B muni des lois induites est alors un anneau, et l’injection canonique i : b ∈ B → b ∈ A est un homomorphisme d’anneaux Théorème Pour qu’une partie non vide B d’un anneau A soit un sous-anneau de A il faut et il suffit que : 1 ∈ B et (a ∈ B et b ∈ B) ⇒ (a − b ∈ B et ab ∈ B) SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 9 / 39

11. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Définition Un sous anneau B de A est par définition un sous-groupe de groupe additif A, stable pour la multiplication tel que 1A ∈ B B muni des lois induites est alors un anneau, et l’injection canonique i : b ∈ B → b ∈ A est un homomorphisme d’anneaux Théorème Pour qu’une partie non vide B d’un anneau A soit un sous-anneau de A il faut et il suffit que : 1 ∈ B et (a ∈ B et b ∈ B) ⇒ (a − b ∈ B et ab ∈ B) SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 9 / 39

12. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Exemples 1 Z est un sous anneau de (R, +, ×) 2 l’ensemble des fonctions continues de R vers R forme un sous-anneau de l’anneau de toutes les fonctions de R vers R Attention Dans l’anneau Z des entiers relatifs, les ensembles nZ (n 2) ne sont pas des sous-anneaux, bien qu’ils vérifient les deux premières conditions de la définition, puisqu’il ne contient pas 1. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 10 / 39

13. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Exemples 1 Z est un sous anneau de (R, +, ×) 2 l’ensemble des fonctions continues de R vers R forme un sous-anneau de l’anneau de toutes les fonctions de R vers R Attention Dans l’anneau Z des entiers relatifs, les ensembles nZ (n 2) ne sont pas des sous-anneaux, bien qu’ils vérifient les deux premières conditions de la définition, puisqu’il ne contient pas 1. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 10 / 39

14. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Homomorphisme d’anneaux Définition un homomorphisme d’anneaux est une application f d’un anneau A dans un anneau B telle que, ∀x, x0 ∈ A      f(x + x0 ) = f(x) + f(x0 ) f(x.x0 ) = f(x).f(x0 ) f(1A) = 1B SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 11 / 39

15. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Exemples 1 L’application identité Id : A → A est un homomorphisme de l’anneau (A, +, ·) vers lui-même. 2 l’application ϕ : k ∈ Z → k.1A ∈ A est un homomorphisme d’anneaux. 3 l’application i qui associé a un nombre complexe z son conjugué z est un homomorphisme d’anneaux. Règles de calcul f(0A) = 0B f(−x) = −f(x) SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 12 / 39

16. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Exemples 1 L’application identité Id : A → A est un homomorphisme de l’anneau (A, +, ·) vers lui-même. 2 l’application ϕ : k ∈ Z → k.1A ∈ A est un homomorphisme d’anneaux. 3 l’application i qui associé a un nombre complexe z son conjugué z est un homomorphisme d’anneaux. Règles de calcul f(0A) = 0B f(−x) = −f(x) SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 12 / 39

17. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient Notion d’idéal Définition Un Idéal a de l’anneau(commutatif) A est une partie de A qui est un sous-groupe du groupe additif A telle que: (a ∈ A et x ∈ a) =⇒ ax ∈ a Exemples 1 {0A} et A sont des idéaux de (A,+,×). 2 Les seuls idéaux de Z sont les nZ, n 0 3 Le noyau d’un morphisme d’anneaux ϕ : A → A0 est un idéal de (A, +, ×) SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 13 / 39

18. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient Notion d’idéal Définition Un Idéal a de l’anneau(commutatif) A est une partie de A qui est un sous-groupe du groupe additif A telle que: (a ∈ A et x ∈ a) =⇒ ax ∈ a Exemples 1 {0A} et A sont des idéaux de (A,+,×). 2 Les seuls idéaux de Z sont les nZ, n 0 3 Le noyau d’un morphisme d’anneaux ϕ : A → A0 est un idéal de (A, +, ×) SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 13 / 39

19. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient Remarque 1 1 L’image d’un idéal par un homomorphisme d’anneaux n’est pas toujours un idéal 2 Si l’homomorphisme est surjective alors l’image d’un idéal est un idéal. Exemple i : x ∈ Z → x ∈ Q i(Z) = Z n0 est pas un idéal de Q Remarque 2 Si a contient 1, alors a = A SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 14 / 39

22. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient Les anneaux quotients Définition Soit a un idéal de A, (x̄ + ȳ = x + y ou x̄ = {u ∈ A/u − x ∈ a}) On muni le groupe quotient A/a d’une multiplication x y = xy (A/a, +, ·) est alors un anneau appelé anneau quotient de l’anneau A par l’idéal a Exemple Z/nZ SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 15 / 39

23. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient Les anneaux quotients Définition Soit a un idéal de A, (x̄ + ȳ = x + y ou x̄ = {u ∈ A/u − x ∈ a}) On muni le groupe quotient A/a d’une multiplication x y = xy (A/a, +, ·) est alors un anneau appelé anneau quotient de l’anneau A par l’idéal a Exemple Z/nZ SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 15 / 39

24. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient Remarque L’application p : x ∈ A → x ∈ A/a est un homomorphisme d’anneau surjectif. Définition on appelle radical d’un idéal a dans un anneau commutatif A l’ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à a. On le note √ a avec √ a = {a ∈ A / ∃n ∈ N∗, an ∈ a } SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 16 / 39

25. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient Remarque L’application p : x ∈ A → x ∈ A/a est un homomorphisme d’anneau surjectif. Définition on appelle radical d’un idéal a dans un anneau commutatif A l’ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à a. On le note √ a avec √ a = {a ∈ A / ∃n ∈ N∗, an ∈ a } SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 16 / 39

26. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Définitions 1 Un élément a ∈ A est dit diviseur de 0 s’il existe b 6= 0 dans A tel que ab = 0 2 A est dit un anneau d’intégrité si 1 6= 0 et si 0 est le seul diviseur de zéro A intègre ⇔ 1 6= 0 et (ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0) 3 Un élément x ∈ A est dit nilpotent s’il existe n 1 tel que xn = 0 . toute élément nilpotent est diviseur de zéro, mais pas inversement (sauf si A = 0). Exemple 2 est nilpotent dans Z/4Z car: 2 2 = 0. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 17 / 39

27. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Définitions 1 Un élément a ∈ A est dit diviseur de 0 s’il existe b 6= 0 dans A tel que ab = 0 2 A est dit un anneau d’intégrité si 1 6= 0 et si 0 est le seul diviseur de zéro A intègre ⇔ 1 6= 0 et (ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0) 3 Un élément x ∈ A est dit nilpotent s’il existe n 1 tel que xn = 0 . toute élément nilpotent est diviseur de zéro, mais pas inversement (sauf si A = 0). Exemple 2 est nilpotent dans Z/4Z car: 2 2 = 0. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 17 / 39

28. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Remarque L’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal de A appelé nilradical de A est noté parfois η(A) Définition Un élément a ∈ A est dit une unité de A s’il existe b ∈ A tel que ab = 1. Exemple Les unités de Z/nZ sont les k où k V n = 1 Remarque Soit a un idéal de A. si a contient une unité u, alors a = A. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 18 / 39

31. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Corps Définition Un corps est un anneau tel que 1 6= 0 et tout non nul est une unité de A. Théorème Soit A un anneau, on a: A corps ⇔ {0} et A sont les seuls idéaux de A SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 19 / 39

32. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Corps Définition Un corps est un anneau tel que 1 6= 0 et tout non nul est une unité de A. Théorème Soit A un anneau, on a: A corps ⇔ {0} et A sont les seuls idéaux de A SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 19 / 39

33. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux Somme des idéaux soient a et b deux idéaux. a + b = {a + b/a ∈ a et b ∈ b} est un idéal de A, appelé somme des deux idéaux. Plus généralement Si (ai)i∈I est une famille d’idéaux, on note: P i∈I ai l’ensemble des sommes finies P i∈I ai où ai ∈ ai, (les ai tous nuls sauf un nombre fini). c’est un idéal de A. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 20 / 39

34. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux Somme des idéaux soient a et b deux idéaux. a + b = {a + b/a ∈ a et b ∈ b} est un idéal de A, appelé somme des deux idéaux. Plus généralement Si (ai)i∈I est une famille d’idéaux, on note: P i∈I ai l’ensemble des sommes finies P i∈I ai où ai ∈ ai, (les ai tous nuls sauf un nombre fini). c’est un idéal de A. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 20 / 39

35. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux Intersection des idéaux soit (ai)i∈I une famille d’idéaux. T i∈I ai est un idéal de A. Produit des idéaux Le produit de deux idéaux a et b dans A est l’idéal ab engendré par tous les produits xy où x ∈ a et y ∈ b C’est l’ensemble de toutes les sommes finies P i∈I xiyi Où chaque xi ∈ a et chaque yi ∈ b Plus généralement: a1a2 . . . an est l’ensemble des sommes d’élément de la forme, a1a2 . . . an où ai ∈ ai ∀i ∈ {1, 2, ..., n} En particulier, pour n ≥ 1 an désigne les sommes d’éléments de la forme a1a2 . . . an où ai ∈ a ∀i = {1, 2, ..., n} Par convention a0 = A SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 21 / 39

36. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux Intersection des idéaux soit (ai)i∈I une famille d’idéaux. T i∈I ai est un idéal de A. Produit des idéaux Le produit de deux idéaux a et b dans A est l’idéal ab engendré par tous les produits xy où x ∈ a et y ∈ b C’est l’ensemble de toutes les sommes finies P i∈I xiyi Où chaque xi ∈ a et chaque yi ∈ b Plus généralement: a1a2 . . . an est l’ensemble des sommes d’élément de la forme, a1a2 . . . an où ai ∈ ai ∀i ∈ {1, 2, ..., n} En particulier, pour n ≥ 1 an désigne les sommes d’éléments de la forme a1a2 . . . an où ai ∈ a ∀i = {1, 2, ..., n} Par convention a0 = A SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 21 / 39

37. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux Idéal engendré par un ensemble Soit A un anneau et S ⊂ A. On appelle idéal engendré par S l’idéal a défini par a = { n P k=1 xk sk , n ∈ N∗ xk ∈ A, sk ∈ S} C’est le plus petit idéal contenant S. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 22 / 39

38. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux idéaux premiers Définition Dans un anneau commutatif A, un idéal P est dit premier,si i) P est un idéal propre de A.(6= A) ii) P vérifié l’une des conditions équivalentes suivantes: 1 ((x, y) ∈ A × A et xy ∈ P) ⇒ x ∈ P ou y ∈ P. 2 (a et b idéaux de A et ab ⊆ P) ⇒ a ⊆ P ou b ⊆ P. Théorème Dans un anneau commutatif A, a est un idéal premier ⇔ A/a est intègre SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 23 / 39

39. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux idéaux premiers Définition Dans un anneau commutatif A, un idéal P est dit premier,si i) P est un idéal propre de A.(6= A) ii) P vérifié l’une des conditions équivalentes suivantes: 1 ((x, y) ∈ A × A et xy ∈ P) ⇒ x ∈ P ou y ∈ P. 2 (a et b idéaux de A et ab ⊆ P) ⇒ a ⊆ P ou b ⊆ P. Théorème Dans un anneau commutatif A, a est un idéal premier ⇔ A/a est intègre SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 23 / 39

40. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux Corollaire Si A est un anneau commutatif, alors A est intègre si et seulement si (0) est un idéal premier. Exemple On sait que Z/nZ est intègre si et seulement si n=0 ou n est un nombre premier; on en déduit que les idéaux premier de Z sont (0) et les pZ, pour p premier. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 24 / 39

41. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux Corollaire Si A est un anneau commutatif, alors A est intègre si et seulement si (0) est un idéal premier. Exemple On sait que Z/nZ est intègre si et seulement si n=0 ou n est un nombre premier; on en déduit que les idéaux premier de Z sont (0) et les pZ, pour p premier. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 24 / 39

42. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux Idéaux maximaux Définition Un idéal maximal d’un anneau commutatif est un idéal tel qu’il existe exactement deux idéaux le contenant, lui-même et l’anneau entier. Exemples 1 Les idéaux maximaux de l’anneau euclidien Z des entiers relatifs sont les idéaux de la forme pZ, pour p un nombre premier. 2 Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l’anneau K[X] sont les idéaux engendrés par les polynômes irréductibles. Théorème Dans un anneau commutatif A, on a: a est un idéal maximal ⇔ A/a est un corps. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 25 / 39

43. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux Idéaux maximaux Définition Un idéal maximal d’un anneau commutatif est un idéal tel qu’il existe exactement deux idéaux le contenant, lui-même et l’anneau entier. Exemples 1 Les idéaux maximaux de l’anneau euclidien Z des entiers relatifs sont les idéaux de la forme pZ, pour p un nombre premier. 2 Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l’anneau K[X] sont les idéaux engendrés par les polynômes irréductibles. Théorème Dans un anneau commutatif A, on a: a est un idéal maximal ⇔ A/a est un corps. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 25 / 39

44. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Décompositions d’un idéal Décomposition d’un idéal en idéaux primaires, idéaux irréductibles Définition un idéal a est dit irréductible si a = b ∩ c ⇒ (a = b ou a = c) . Définition On définit ensuite un idéal primaire a comme un idéal propre d’un anneau commutatif A vérifiant la propriété suivante : pour tous a et b de A tels que ab ∈ a , si a / ∈ a alors il existe un entier naturel n tel que bn ∈ a SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 26 / 39

45. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Décompositions d’un idéal Décomposition d’un idéal en idéaux primaires, idéaux irréductibles Définition un idéal a est dit irréductible si a = b ∩ c ⇒ (a = b ou a = c) . Définition On définit ensuite un idéal primaire a comme un idéal propre d’un anneau commutatif A vérifiant la propriété suivante : pour tous a et b de A tels que ab ∈ a , si a / ∈ a alors il existe un entier naturel n tel que bn ∈ a SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 26 / 39

46. Modules sur anneau commutatif Plan de la présentation 1 Objectifs 2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Notion d’idéal, Anneau Quotient Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Opérations sur les idéaux Idéaux premiers et idéaux maximaux Décompositions d’un idéal 3 Modules sur anneau commutatif Généralités 4 Les anneaux Noethériens Généralités Décomposition primaire dans les anneaux noethériens SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 27 / 39

47. Modules sur anneau commutatif Généralités Généralités sur les modules Définition 1 Un A-module (M, +, ·) est un ensemble équipé d’une loi interne + et d’une loi externe A × M → M, (α, m) → αm vérifiant : • (M, +) est un groupe abélien. • On a en plus les quatre propriétés suivantes: 1 α(m + m0) = αm + αm0 2 (α + β)m = αm + βm 3 (αβ)m = α(βm) 4 1.m = m pour tous α, β ∈ A et tous m, m0 ∈ M. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 28 / 39

48. Modules sur anneau commutatif Généralités Définition 2 Soit M un A-module. Un sous-module N de M est un sous groupe de (M, +) qui est en plus stable pour la multiplication externe par tout élément de A. Autrement dit une partie N de M est un sous-module si et seulement s’il contient 0, et si pour tous x, y de N et tout α de A on a : x + y ∈ N et αx ∈ N. Définition 3 Un A-module M est dit de type fini s’il existe une partie finie S de M tel que M soit engendré par S. Il est dit libre s’il admet une base, i.e. une famille (xi)i∈I telle que tout élément x de M s’écrive de manière unique x = P i∈I αixi , avec (αi)i∈I famille presque nulle d’éléments de A. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 29 / 39

49. Modules sur anneau commutatif Généralités Définition 2 Soit M un A-module. Un sous-module N de M est un sous groupe de (M, +) qui est en plus stable pour la multiplication externe par tout élément de A. Autrement dit une partie N de M est un sous-module si et seulement s’il contient 0, et si pour tous x, y de N et tout α de A on a : x + y ∈ N et αx ∈ N. Définition 3 Un A-module M est dit de type fini s’il existe une partie finie S de M tel que M soit engendré par S. Il est dit libre s’il admet une base, i.e. une famille (xi)i∈I telle que tout élément x de M s’écrive de manière unique x = P i∈I αixi , avec (αi)i∈I famille presque nulle d’éléments de A. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 29 / 39

50. Modules sur anneau commutatif Généralités Exemples 1 A est un A-module, l’opération externe étant la multiplication dans A. 2 Tout groupe abélien M peut être considéré comme un Z-module pour la loi externe : αm = m + m + ... + m (α termes) si α 0, αm = (−α)(−m) si α 0 et 0.m = 0. 3 Soit a une partie de A. Alors a est un sous A-module de A si et seulement si c’est un idéal de A. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 30 / 39

51. Les anneaux Noethériens Plan de la présentation 1 Objectifs 2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux Notion d’idéal, Anneau Quotient Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau Opérations sur les idéaux Idéaux premiers et idéaux maximaux Décompositions d’un idéal 3 Modules sur anneau commutatif Généralités 4 Les anneaux Noethériens Généralités Décomposition primaire dans les anneaux noethériens SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 31 / 39

52. Les anneaux Noethériens Généralités Généralités Définition Un anneau A est dit Noethérien s’il vérifie ces trois propriétés équivalentes: 1 Tout idéal de A est engendré par un nombre fini d’éléments. 2 Toute suite croissante (pour l’inclusion) (In)n∈N∗ d’idéaux est stationnaire. 3 Toute famille non vide d’idéaux de A a un élément maximal. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 32 / 39

53. Les anneaux Noethériens Généralités Exemples 1 Tout anneau principal est noethérien. 2 L’anneau K[(Xn)n∈N∗ ] n’est pas noethérien. 3 si A est noethérien tout quotient de A l’est encore. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 33 / 39

54. Les anneaux Noethériens Généralités Théorème de la base de Hilbert La plupart des anneaux avec lesquels on travaille en algèbre sont noethériens, via le théorème suivant: Théorème Soit A un anneau noethérien. Alors A[X] est noethérien. Corollaire Si A est noethérien, alors l’anneau A[X1; . . . ; Xn] est noethérien. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 34 / 39

55. Les anneaux Noethériens Généralités Théorème de la base de Hilbert La plupart des anneaux avec lesquels on travaille en algèbre sont noethériens, via le théorème suivant: Théorème Soit A un anneau noethérien. Alors A[X] est noethérien. Corollaire Si A est noethérien, alors l’anneau A[X1; . . . ; Xn] est noethérien. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 34 / 39

56. Les anneaux Noethériens Généralités Théorème Soient A un anneau noethérien et M un A−module de type fini, alors tout sous-module de M est de type fini. Proposition Soit A un anneau noethérien, a un idéal de A. Alors A/a est noethérien. Proposition Soit B un anneau. Si A est un anneau noethérien et ϕ : A → B est un homomorphisme bijective. Alors B est noethérien. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 35 / 39

59. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens Lemme 1 dans un anneau noethérien A tout idéal est une intersection finie d’idéaux irréductibles. Lemme 2 Dans un anneau noethérien A tout idéal irréductible est primaire. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 36 / 39

60. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens Lemme 1 dans un anneau noethérien A tout idéal est une intersection finie d’idéaux irréductibles. Lemme 2 Dans un anneau noethérien A tout idéal irréductible est primaire. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 36 / 39

61. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens Théorème dans un anneau noethérien A, tout idéal admet un décomposition primaire. Proposition Dans un anneau noethérien A, tout idéal a contient une puissance de son radical. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 37 / 39

62. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens Théorème dans un anneau noethérien A, tout idéal admet un décomposition primaire. Proposition Dans un anneau noethérien A, tout idéal a contient une puissance de son radical. SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 37 / 39

63. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens Corollaire 1 Dans un anneau noethérien, le nilradical est nilpotent. Corollaire 2 Soit A un anneau noethérien, m un idéal maximal de A, a idéal quelconque de A, alors les assertions suivants sont équivalentes. 1 √ a = m ( √ a = rad(a)) 2 mn ⊆ a ⊆ m pour certain n 0 Proposition Soit A un anneau intègre noethérien. Alors tout élément x non nul de A s’écrit : x = up1 . . . pr avec u ∈ A∗ et les pi irréductibles. ... SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 38 / 39

66. Les anneaux Noethériens Fin de la présentation Merci de votre attention! SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales) Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 39 / 39

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