Présentation de jfjjfnflfkfkfkhdbhdhhdhd

1
COLLECTION BLEMA
FICHE
D’ENSEIGNANT
TLE D
Réalise par : M. BLENON Justin, enseignant de mathématiques

2
À l’attention des enseignants de mathématiques —
Terminale D
Ce document a pour vocation de soutenir la
préparation et la conduite des séances de
mathématiques en Terminale D. Il propose des
ressources structurées, en phase avec les exigences
du programme, pour enrichir la pratique pédagogique
et faciliter la transmission des savoirs.
Bien que conçu avec soin, ce support peut présenter
certaines limites. Vos suggestions et ajustements
sont donc les bienvenus pour en améliorer la qualité
et l’adaptation.
Nous vous souhaitons une utilisation efficace et
stimulante.
Lis-moi !
Si vous êtes intéressé par ce document,
❖ Vous devez savoir que ces fiches ne représentent
en aucun cas votre fiche définitive.
❖ La partie Bloc-notes est réservée pour vos
bonifications.
❖ Vous devez prendre connaissance du contenu de la
séquence et faire vos ajustements avant de vous
présenter devant les apprenants.
❖ Faites aimer les maths aux apprenants en
changeant votre style d’évaluation de compétence.
❖ Évitez de soumettre à vos apprenants, lors des
devoirs, les épreuves des autres établissements sans
faire référence aux niveaux de compétence de vos
apprenants.
Suggestions :
WhatsApp: +229 67049014
Mail: justinblenon10@gmail.com
Pour vos Dons
MTN Momo :0167049014
MOOV Momo : 0194649105

3
Séance D’exercices : Procédures De Préparation Et
D’exécution
✓ Avant
-Identifier la/les notion(s) á renforcer ainsi que les SA
concernée (s) ;
-Concevoir une /des activité (s) appropriée (s) ;
-Concevoir une fiche pédagogique à cet effet ;
-Mettre á la disposition des apprenants l’activité ou les
activités en avance ;
✓ Pendant
- Vérifier que les apprenants ont le support ;
- Faire faire le travail individuel aux apprenants ;
- Envoyer au tableau un apprenant, au fur et á mesure ;
- Faire faire la/les correction (s) nécessaire avant la
prise de note ;
- Faire le retour et projection ;
- Donner exercice sur maison.
FICHE PEDAGOGIQUE SÉANCES D’EXERCICE
I-ELEMENTS D’IDENTIFICATION
Etablissement :_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ Année scolaire : 202…- 202…
Discipline : Mathématiques Date : ……/………/202………
Classe : Tle D Effectif :_ _ _ _ __ _ _ _ _
Nom du professeur : Contacts :_ _ _ _ __ _ _ _ _
SA N O :_ _ _ _ __ _ _ _ _ Séquence NO :_ _ _ _ __ _ _ _
SA N O :_ _ _ _ __ _ _ _ _ Séquence NO :_ _ _ _ __ _ _ _
II-ELEMENTS DE PLANIFICATION
1- Contenus de formation
Compétences
➢ Compétences disciplinaires
✓ Résoudre un problème ou une situation-problème en utilisant les concepts
et procédures du langage et du raisonnement mathématiques relatifs_ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
_ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _
✓ Appréhender les mathématiques dans leurs aspects numériques par
l’appropriation d’outils techniques et procédés conventionnels ainsi que
par le traitement des données relatives _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _
_ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _
_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _
➢ Compétence transdisciplinaire : Agir individuellement et collectivement
dans le respect mutuel et l’ouverture d’esprit.
➢ Compétences transversales : Exploiter l’information disponible-Exercer
sa pensée critique -Communiquer de façon précise et appropriée -Résoudre
une situation-problème-Travailler en coopération.
✓ Connaissances et techniques : _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
2- Stratégie objet d’apprentissage : Résolution de problèmes.
3- Stratégies d’enseignement /apprentissage/évaluation : Travail
individuel ; Travail collectif.
4- Durée :_ _ _ _ __ _ _ _ _
5- Matériel : Pour l’enseignant : Programme d’études et guide de la classe
de Tle,D craie, chiffon, instruments de géométrie, fiche pédagogique du jour
et support d’activités.
Pour l’apprenant : Supports d’activités, calculatrice, cahier de cours et de
recherche, stylos, colle, gomme, crayon, instruments de géométrie.
III-Déroulement

4
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DISCIPLINE : Mathématiques
CLASSE ET ETABLISSEMENTS : Tle D _ _ /CEG_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
SA NO _ : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ DUREE :_ _ heures
SEQUENCES NO _ :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ DUREE :_ _ heures
ELEMENTS DE PLANIFICATION
1. Contenus de formation
1.1. Compétences
a) Lescompétencesdisciplinaires:
-Résoudreunproblèmeouunesituation-problèmeenutilisantlesconceptsetprocédures
dulangageetduraisonnement mathématique relatives _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
- Appréhender la mathématique dans ses aspects géométriques par
l’appropriation des propriétés qui caractérisent _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
- Appréhender la mathématique dans ses aspects numériques par le traitement
de données relatives _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _
b) Compétence transdisciplinaire :- Se préparer à intégrer la vie
professionnelle dans une perspective de réalisation de soi d’insertion dans la
société.
c) Compétences transversales : - Exploiter l’information disponible ; -
Résoudre une situation-problème ; - Communiquer de façon précise et
appropriée ; - Exercer sa pensée critique ; - Travailler en coopération.
1.2 Connaissances et techniques : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
1.3 Stratégie objet d’apprentissage : Résolution de problèmes.
2.Stratégies d’enseignement/apprentissage : travail individuel, travail en
groupe et travail collectif.
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
4-Matériel : -Pour l’enseignant : Programme d’études et guide de la classe de Tle D
craie, chiffon, instruments de géométrie, fiche pédagogique du jour et support
d’activités. - Pour l’apprenant : Supports d’activités, calculatrice, cahier de cours et de
PHASE DE DEROULEMENT
PROGRAMME D’ETUDE DE LA CLASSE DE Tle D
SA No 1 : CONFIGURATIONS DE L’ESPACE
Séquence 1 : Vecteurs de l’espace.
Séquence 2 : Barycentre de 𝒏 points pondérés, 𝒏 ϵℕ et 𝒏≥2
Séquence 3 : Représentation paramétrique d’une droite et
d’un plan.
Séquence 4 : Equation cartésienne d’un plan-système
d’équations cartésiennes d’une droite.
Séquence 5: Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace.
Séquence 6 : Produit vectoriel et orientation de l’espace
SAN o 2: ORGANISATION DES DONNEES
Séquences 1 : Ensemble ℂ des nombres complexes
SEQUENCE 2 : Limites et continuité.
Séquence 3: Dérivabilité-Etude de fonctions
Séquence 4: Primitive, fonctions logarithmes népérien et
exponentielle et fonctions puissance.
Séquence 5 : Fonction logarithme népérien
Séquence 6 :Fonction exponentielle népérienne
Séquence 7 : Calcul intégral
Séquence 8 : Equations différentielles
Séquence 9 : Probabilités
Séquence 10 : Suite numérique.
Séquence 11 : Statistique.
SA3 : LIEUX GÉOMÉTRIQUE DANS LE PLAN
Séquence : Applications des nombres complexes aux
transformations du plan.

5
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
SITUATION D’APPRENTISSAGE n° 1 : Configurations de l’espace.
Situation de départ : Le pont de Codji.
Reliant les deux rives du fleuve, le pont conçu par l’ingénieur PIKO
demeure un chef-d’œuvre d’ingénierie que les pêcheurs admirent
chaque jour. Réalisés sur deux années, les travaux ont mobilisé une
vingtaine de pêcheurs riverains,
devenus pour l’occasion des
plongeurs spécialisés. Sonon, l’un
d’eux, prend encore plaisir à
raconter aux jeunes les longues
journées passées sur le chantier.
À la tête de tous les ateliers,
l’ingénieur PIKO veillait personnellement à chaque détail. Rien ne lui
échappait : qualité du sol, composition du béton, rigueur du dosage,
forme des poutres, implantation des piliers, sans oublier les caprices du
fleuve. Tout était contrôlé, ajusté, perfectionné.
À l’issue du chantier, le pont fut ouvert à la circulation. Des
décennies plus tard, les riverains en sont toujours fiers. Sa solidité, restée
intacte, continue d’inspirer le respect.
Aujourd’hui encore, Sonon s’émerveille des méthodes et des procédés
qui ont permis à l’ingénieur PIKO de réaliser une telle prouesse
Tâche : Tu vas te construire de nouvelles connaissances en
mathématiques ; pour cela, tu auras tout au long de la S.A, à :
- exprimer ta perception de chacun des problèmes posés ;
- analyser chacun des problèmes posés ;
- mathématiser chacun des problèmes posés;
- opérer sur l’objet mathématique que tu as identifié pour chaque
problème;
- améliorer au besoin ta production.

6
Séquence 1 : Vecteurs de l’espace.
Dans tout ce cours, E désignera l’espace et W l’ensemble des vecteurs
de l’espace.
Activité : Vecteurs colinéaires, coplanaires, non coplanaires. Base,
repère de l’espace- Coordonnées d’un point dans un repère,
coordonnées d’un vecteur dans une base.
Un usager du pont, élève en classe de Terminale scientifique observe
dans le pont un objet de forme cubique. Il voulait en collaboration de
l’ingénieur PIKO, étudier les concepts mathématiques que cache cet
objet.
Consigne 1 : Définitions-propriétés.
Soit ABCDEFGH l’un de ces préfabriqués cubiques.
1) a- Construit la figure ABCDEFGH.
b- Donne deux vecteurs colinéaires et de vecteurs orthogonaux
c- Donne trois vecteurs coplanaires
2) a- Les vecteurs 𝐀𝐁,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐀𝐃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐞𝐭 𝐀𝐄
⃗⃗⃗⃗⃗ sont-ils coplanaires ?
b- Que peux-tu dire alors du triplet ( AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ) et du quadriplet
( A, AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ?
3) a- Exprime le vecteur AG
⃗⃗⃗⃗⃗ en foction des vecteures 𝐀𝐁,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐀𝐃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐞𝐭 𝐀𝐄
⃗⃗⃗⃗⃗ ?
b- Donne les coordonnés du vecteur AG
⃗⃗⃗⃗⃗ dans la base ( AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ )
4) Détermine les coordonnés des sommets du préfabriqué cubique
ABCDEFGH dans le repère ( A, AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Stratégie : TI :...... min TC : ....... min
Résultats attendus
1 a-) Construit la figure ABCDEFGH.
b-) Donnons deux vecteurs colinéaires : AE
⃗⃗⃗⃗⃗ et BF
⃗⃗⃗⃗
Deux vecteurs orthogonaux : AE
⃗⃗⃗⃗⃗ et AB
⃗⃗⃗⃗⃗
c-) trois vecteurs coplanaires : AB
⃗⃗⃗⃗⃗ , AD
⃗⃗⃗⃗⃗ , DC
⃗⃗⃗⃗⃗ ou
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD
⃗⃗⃗⃗⃗ , GE
⃗⃗⃗⃗⃗
2-a) Non car E∉ (ABC).
b) Le triplet (AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD
⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ) est une base de l’ensemble des vecteures de
l’espace et le quadruplet (A, AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ) est un repère.
3-a) Exprimons AG
⃗⃗⃗⃗⃗ en foction des vecteures 𝐀𝐁,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐀𝐃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐞𝐭 𝐀𝐄
⃗⃗⃗⃗⃗ .
AG
⃗⃗⃗⃗⃗ = AC
⃗⃗⃗⃗⃗ + CG
⃗⃗⃗⃗⃗
= AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + BC
⃗⃗⃗⃗⃗ + AE
⃗⃗⃗⃗⃗
AG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + AD
⃗⃗⃗⃗⃗ + AE
⃗⃗⃗⃗⃗
b) Les coordonnés du vecteur AG
⃗⃗⃗⃗⃗ dans la base ( AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ )
AG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + AD
⃗⃗⃗⃗⃗ + AE
⃗⃗⃗⃗⃗ donc AG
⃗⃗⃗⃗⃗ (1,1,1)
4) Déterminons les coordonnés des sommets du préfabriqué cubique
ABCDEFGH dans le repère (A, AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ) .
A(0,0,0) ;B(1,0,0) ;C(1,1,0);D(0,1,0) ;E(0,0,1);C(1,1,0);F(1,0,1);G(1,1,1);
H(0,1,1)
Définitions- Propriétés
D1 : Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs de l’espace sont dits colinéaires lorsque l’un d’eux est le
vecteur nul ou lorsque les deux ont la même direction.
P1 : Deux vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 de l’espace sont colinéaires, si et seulement si il
existe un nombre réel 𝛼 tel que 𝑢
⃗ = 𝛼𝑣
D2 : Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l’espace sont dits orthogonaux lorsque l’un d’eux est
le vecteur nul ou lorsque les deux vecteurs dirigent deux droites
orthogonales.
D3 : Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs de l’espace sont dits coplanaires lorsque l’un d’eux est le
vecteur nul ou lorsque deux d’entre eux sont colinéaires ou encore
lorsque l’un d’eux est une combinaison linéaire des deux autres.
P2 : Trois vecteurs 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ de l’espace sont coplanaires si et seulement
si il existe un triplet non nul de réels 𝛼, 𝛽 et 𝛾 tels que 𝛼𝑢
⃗ + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤
⃗⃗ =
0
⃗
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ de l’espace sont coplanaires si et seulement
si il existe un couple de réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que 𝑤
⃗⃗ = 𝛼𝑢
⃗ + 𝛽𝑣.
D4 : Vecteurs non coplanaires
Trois vecteurs de l’espace qui ne sont pas coplanaires sont dits non
coplanaires.
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ de l’espace sont non coplanaires si et
seulement si le seul triplet de réels 𝛼, 𝛽 et 𝛾 tels que 𝛼𝑢
⃗ + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤
⃗⃗ = 0
⃗
est le triplet nul (0,0,0)
Définitions
Base de l’espace
On appelle base de l’espace, tout triplet de vecteurs non coplanaires.

7
Repère de l’espace
On appelle repère de l’espace tout quadruplet (𝑂; 𝑢
⃗ , 𝑢
⃗ , 𝑤
⃗⃗ ) où O est un
point de l’espace et (𝑢
⃗ , 𝑢
⃗ , 𝑤
⃗⃗ ) est une base de l’espace.
On appelle repère de l’espace tout quadruplet (𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐸) de points non
coplanaires. (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) ↔ ( 𝐴, 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Coordonnées d’un vecteur de l’espace relativement à une base de
l’espace
Soit (𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ) une base de l’espace. Pour tout vecteur 𝑢
⃗ de l’espace, il
existe un triplet unique (𝑥; 𝑦; 𝑧) de nombres réels tels que 𝑢
⃗ = 𝑥𝑖 +
𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
⃗ . Le triplet (𝑥; 𝑦; 𝑧) est appelé triplet de coordonnées du vecteur
𝑢
⃗ relativement à la base (𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ).
On note 𝑢
⃗ (𝑥; 𝑦; 𝑧) ou 𝑢
⃗ (
𝑥
𝑦
𝑧
).
Coordonnées d’un point de l’espace dans un repère de l’espace
Soit (𝑂; 𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ) un repère de l’espace. Pour tout point 𝑀 de l’espace, il
existe un triplet unique (𝑥; 𝑦; 𝑧) de nombres réels tels que 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 +
𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
⃗ . Le triplet (𝑥; 𝑦; 𝑧) est appelé triplet de coordonnées du point 𝑀
dans le repère (𝑂; 𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ).
On note 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) ou 𝑀 (
𝑥
𝑦
𝑧
).
Consigne 2 : Réinvestissement
ABCDEFGH est un cube. I est le centre du carré ABCD et J le milieu de
[CG]
1) Démontre que les vecteurs AG
⃗⃗⃗⃗⃗ et JI
⃗
⃗ sont colinéaires
2) Les vecteurs AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,IC
⃗⃗⃗ et FH
⃗⃗⃗⃗⃗ sont-ils coplanaires ?
3) Détermine les coordonnés des points A, B, J et H dans le repère
( I,AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Résultats attendus
1) Démontrons que les vecteurs AG
⃗⃗⃗⃗⃗ et JI
⃗
⃗ sont colinéaires
Dans le triangle ACG, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [CG] donc
(IJ) // (AG) d’où AG
⃗⃗⃗⃗⃗ et JI
⃗
⃗ sont colinéaires.
2eMéthode
JI
⃗
⃗ = JC
⃗⃗⃗ + CJ
⃗⃗⃗ =
1
2
GC
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
CA
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
(GC
⃗⃗⃗⃗⃗ + CA
⃗⃗⃗⃗⃗ )
=
1
2
GA
⃗⃗⃗⃗⃗ = -
1
2
AG
⃗⃗⃗⃗⃗ d’où AG
⃗⃗⃗⃗⃗ et JI
⃗
⃗ sont colinéaire
2) Les vecteurs AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,IC
⃗⃗⃗ et FH
⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires car FH
⃗⃗⃗⃗⃗ = BD
⃗⃗⃗⃗⃗
FH
⃗⃗⃗⃗⃗ = BD
⃗⃗⃗⃗⃗ = BA
⃗⃗⃗⃗⃗ + AD
⃗⃗⃗⃗⃗ = BA
⃗⃗⃗⃗⃗ + AC
⃗⃗⃗⃗⃗ + CD
⃗⃗⃗⃗⃗
= 2BA
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2IC
⃗⃗⃗
= -2AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2IC
⃗⃗⃗ d’où la réponse.
3) Les coordonnés des points A ;B ; J et H dans le repère ( I,AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Pour le point A On a: IA
⃗⃗⃗ = IB
⃗⃗⃗ + BA
⃗⃗⃗⃗⃗
IA
⃗⃗⃗ =
1
2
DB
⃗⃗⃗⃗⃗ + BA
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
(DA
⃗⃗⃗⃗⃗ + AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) + BA
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
DA
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ - AB
⃗⃗⃗⃗⃗
IA
⃗⃗⃗ = -
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ -
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ donc A(-
1
2
, -
1
2
, 0 )
Pour le point B. On a : IB
⃗⃗⃗ = IA
⃗⃗⃗ + AB
⃗⃗⃗⃗⃗
IB
⃗⃗⃗ =
1
2
CA
⃗⃗⃗⃗⃗ + AB
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
(CB
⃗⃗⃗⃗⃗ + BA
⃗⃗⃗⃗⃗ ) + AB
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
CB
⃗⃗⃗⃗⃗ -
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + AB
⃗⃗⃗⃗⃗ or CB
⃗⃗⃗⃗⃗ = DA
⃗⃗⃗⃗⃗ donc
IB
⃗⃗⃗ =
1
2
DA
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ -
1
2
AD
⃗⃗⃗⃗⃗ d’où B(
1
2
,
1
2
, 0)
Pour le point J. On a :IJ
⃗
⃗ = IC
⃗⃗⃗ + CJ
⃗⃗⃗
IJ
⃗
⃗ =
1
2
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
CG
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
( AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) +
1
2
CG
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
AD
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
AE
⃗⃗⃗⃗⃗ d’où J(
1
2
,
1
2
,
1
2
)
Pour le point H. On a : IH
⃗⃗⃗⃗ = ID
⃗⃗⃗⃗ + DH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
IH
⃗⃗⃗⃗ =
1
2
BD
⃗⃗⃗⃗⃗ + AE
⃗⃗⃗⃗⃗
=
1
2
(BA
⃗⃗⃗⃗⃗ + AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ) + AE
⃗⃗⃗⃗⃗
= -
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
AD
⃗⃗⃗⃗⃗ + AE
⃗⃗⃗⃗⃗ d’où H(-
1
2
,
1
2
, 1 )

8
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 2 : Barycentre de 𝒏 points pondérés, 𝒏 ϵℕ et 𝒏≥2
Activité : Définition de barycentre de 𝒏 (𝒏 𝛜 ℕ 𝐞𝐭 𝒏 ≥ 𝟐) points
pondérés- propriétés.
L’ingénieur PIKO s’est servi d’une grue sur le chantier dont le dispositif
est schématisé comme suit :
𝑚𝐴 𝑚2 𝑚𝐵
P
⃗
⃗ A P
⃗
⃗B
Tu observeras attentivement le dispositif en vue de répondre aux
différentes consignes.
Consigne 1: Notion de barycentre de deux points pondérés-
Propriété
1) Apres avoir donner la condition d’équilibre de la barre ; Détermine la
position de G.
a-Lorsque mA = mB
b-Lorsque mA = 2mB
2) Définis dans chacun de ces cas le point G en écrivant une relation
vectorielle entre les vecteurs GA
⃗⃗⃗⃗⃗ et GB
⃗⃗⃗⃗⃗ . Noter que lorsqu’un point G
est tel que αGA
⃗⃗⃗⃗⃗ + βGB
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ avec α + β ≠ 0 ; on dit que G est le barycentre
des points pondérés (A, α) et (B, β).
Résultats attendus
1-Condition d’équilibre de la barre
A l’équilibre on a : 𝑀𝑃
⃗ 𝐴
/∆= 𝑀𝑃
⃗ 𝐵
/∆, alors on a successivement :
𝑚𝐴𝑔𝐴𝐺 = 𝑚𝐵𝑔𝐺𝐵
𝑚𝐴𝐴𝐺 = 𝑚𝐵𝐺𝐵 (a)
a-Lorsque mA = mB
(α) équivaut AG = GB or A,B,G sont alignés donc G est le milieu du
segment [ AB].
A
G B

9
b- Lorsque mA = 2mB
AG × 2mB = GB × mB soit 2AG = GB
AG + GB = AB
AG + 2AG = AB
3AG = AB soit AG =
1
3
AB
2)Définissons dans chacun de ces cas le point G en écrivant une relation
vectorielle entre les vecteurs GA
⃗⃗⃗⃗⃗ et GB
⃗⃗⃗⃗⃗ .
On a : mAAG
⃗⃗⃗⃗⃗ = mBGB
⃗⃗⃗⃗⃗ équivaut à mAAG
⃗⃗⃗⃗⃗ - mBGB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
a-Lorsque mA = mB
on a : mA.AG
⃗⃗⃗⃗⃗ - mBGB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗ équivaut à
mA(AG
⃗⃗⃗⃗⃗ - GB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = O
⃗⃗
AG
⃗⃗⃗⃗⃗ - GB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
- GA
⃗⃗⃗⃗⃗ - GB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
GA
⃗⃗⃗⃗⃗ + GB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
b-Lorsque mA = 2mB
on a : mA.AG
⃗⃗⃗⃗⃗ - mBGB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
2mB.AG
⃗⃗⃗⃗⃗ - mBGB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
MB(2AG
⃗⃗⃗⃗⃗ - GB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = O
⃗⃗
2AG
⃗⃗⃗⃗⃗ - GB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
-2GA
⃗⃗⃗⃗⃗ - GB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
2GA
⃗⃗⃗⃗⃗ + GB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
D’une façon générale on a : mAGA
⃗⃗⃗⃗⃗ + mBGB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
La relation mAGA
⃗⃗⃗⃗⃗ + mBGB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗ traduit que G est le barycentre des points
A et B affectés des coefficients mA et mB ou G est le barycentre des point
pondérés (A,mA) et (B,mB)
Définitions
D1 : Point pondéré
Soit 𝐴 un point de l’espace et 𝛼 un nombre réel. Le couple (𝐴; 𝛼) est
appelé point pondéré.
𝜶 est le coefficient de pondération affecté au point 𝐴. On note aussi A(𝛼).
D2: Barycentre de deux points pondérés
Soit (𝐴, 𝛼) et (𝐵, 𝛽) deux points pondérés tels que 𝛼 + 𝛽 ≠ 0. On appelle
barycentre des points pondérés (𝐴, 𝛼) et (𝐵, 𝛽) l’unique point 𝐺 tel que
𝛼𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ .On note 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 𝛼) ; (𝐵, 𝛽)}
Propriétés
𝑃1 :Si 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 𝛼) ; (𝐵, 𝛽)} alors AG
⃗⃗⃗⃗⃗ =
β
α+β
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑜𝑢 BG
⃗⃗⃗⃗⃗ =
α
α+β
BA
⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝑃2 : Si 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 𝛼) ; (𝐵, 𝛽)} alors les points A, B et C sont alignés.
Remarque
Si 𝛼 × 𝛽 > 0 alors 𝐺 ∈ [𝐴𝐵] et si 𝛼 × 𝛽 < 0 alors 𝐺 ∉ [𝐴𝐵].
D3 :Barycentre de plus de deux points pondérés
Soient (𝐴1, 𝛼1), (𝐴2, 𝛼2),…, (𝐴𝑛, 𝛼𝑛) 𝑛 points pondérés, 𝑛 > 2 𝑒𝑡 𝛼1 +
𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑛 ≠ 0.
On appelle barycentre des points pondérés (𝐴1, 𝛼1), (𝐴2, 𝛼2),…, (𝐴𝑛, 𝛼𝑛)
l’unique point G de l’espace tel que 𝑒𝑡 𝛼1𝐺𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝐺𝐴2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝛼𝑛𝐺𝐴𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
0
⃗ .
On note G=bar {(𝐴1, 𝛼1), (𝐴2, 𝛼2),…, (𝐴𝑛, 𝛼𝑛)
Propriétés
Si 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 𝛼) ; (𝐵, 𝛽); (𝐶, 𝛾)} alors on a :
P1 : 𝐴𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
𝛼+𝛽+𝛾
(𝛽𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛾𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ou 𝐵𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
𝛼+𝛽+𝛾
(𝛼𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛾𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ou
𝐶𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
𝛼+𝛽+𝛾
(𝛼𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ )
P2 : G ∈ (ABC) si (ABC) est un plan.
Remarque
Un système dont la somme des coefficients est nulle n’a pas de
barycentre.
Consigne 2 : Propriété caractéristique et coordonnées du barycentre.
Soit (O, i, j, k
⃗ ) un repère de l’espace, G le barycentre des points pondérés
(A1 , β1) , ( A2 , β2 ) …… (An , βn ) et M un point quelconque de l’espace.
1- Exprime le vecteur : β1MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +………………+ βnMA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n en
fonction de MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2- Détermine OG
⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de OA1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , OA2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , OA3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ … … … OAn
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et déduis
les coordonnées de G dans le repère (O, i, j, k
⃗ )

10
Résultats attendus
1) Exprimons β1MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +………………+ βnMA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n en fonction de MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
β1MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +………………+ βnMA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n = β1(MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + GA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1) + β2(MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
GA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2)……….βn(MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + GA
⃗⃗⃗⃗⃗ n)
= (β1 + β2 +……+ βn)MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + β1GA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2GA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+…….βnGA
⃗⃗⃗⃗⃗ n
or G est barycentre de (A1 , β1) , ( A2 , β2 ) …… ( An , βn )
donc β1GA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2GA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…….βnGA
⃗⃗⃗⃗⃗ n = O
⃗⃗
d’où β1𝐌𝐀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2𝐌𝐀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +………+ βn𝐌𝐀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n = (β1 + β2 +……+ βn)𝐌𝐆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) Déterminons OG
⃗⃗⃗⃗⃗ . De ce qui suit :
β1MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +………+ βnMA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n = (β1 + β2 +……+ βn)MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
β1OA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2OA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2……..βnOA
⃗⃗⃗⃗⃗ n = ( β1 + β2 +………+ βn )OG
⃗⃗⃗⃗⃗ (M=O)
OG
⃗⃗⃗⃗⃗ =
β1OA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + β2OA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2……..βnOA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n
β1 + β2+⋯…+ βn
{
𝑥𝐺 =
β1𝑥𝐴1+β2𝑥𝐴2+⋯+β𝑛𝑥𝐴𝑛
β1 + β + ⋯ + β𝑛
𝑦𝐺 =
β1𝑦𝐴1+β2𝑦𝐴2+⋯+β𝑦𝐴𝑛
β1 + β2 + ⋯ + β𝑛
𝑧𝐺 =
β1𝑧𝐴1+β2𝑧𝐴2+⋯+β𝑧𝐴𝑛
β1 + β2 + ⋯ + β𝑛
Propriétés caractéristiques et coordonnées du barycentre.
P1 : Somme vectorielle
• Si 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴1, 𝛼1), (𝐴2, 𝛼2),…, (𝐴𝑛, 𝛼𝑛)} alors pour tout point M de
l’espace on a : 𝛼1𝑀𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝑀𝐴2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝛼𝑛𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ +
𝛼𝑛)𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
• Si 𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑛 = 0 alors pour tout point M de l’espace, le
vecteur 𝛼1𝑀𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝑀𝐴2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝛼𝑛𝑀𝐴𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est indépendant du point M
choisi : on dit que ce vecteur est constant.
P2 : Homogénéité
Le barycentre de plusieurs points ne change pas lorsqu’on multiplie tous
les coefficients de pondération par un même nombre réel non nul.
P3 : Barycentre partiel
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗
∖ {1}, 𝑝 < 𝑛.
Le barycentre de 𝑛 points pondérés ne change pas lorsqu’on remplace 𝑝
d’entre eux par leur barycentre affecté de la somme non nulle de leurs
coefficients de pondération.
P4 :Coordonnées du barycentre de 𝒏 points pondérés (𝒏 ≥ 2)
L’espace est muni d’un repère (𝑂 ; 𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ).
Si G = bar{(𝐴1, 𝛼1), (𝐴2, 𝛼2),…, (𝐴𝑛, 𝛼𝑛)} alors on a :
{
𝑥𝐺 =
𝛼1𝑥𝐴1+𝛼2𝑥𝐴2+⋯+𝛼𝑛𝑥𝐴𝑛
𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑛
𝑦𝐺 =
𝛼1𝑦𝐴1+𝛼2𝑦𝐴2+⋯+𝛼𝑛𝑦𝐴𝑛
𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑛
𝑧𝐺 =
𝛼1𝑧𝐴1+𝛼2𝑧𝐴2+⋯+𝛼𝑛𝑧𝐴𝑛
𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑛
Isobarycentre
On appelle isobarycentre de 𝑛 points 𝐴1, 𝐴2,…, 𝐴𝑛, (𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2) le
barycentre de ces points affectés d’un même coefficient non nul.
G isobarycentre de 𝐴1, 𝐴2,…, 𝐴𝑛 ⟺ 𝐺𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝐺𝐴𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗
Propriétés
✓ L’isobarycentre de deux points distincts A et B est le milieu du
segment [AB]
✓ L’isobarycentre de trois points non alignés A, B et C est le centre
de gravité du triangle ABC.
✓ L’isobarycentre des sommets d’un parallélogramme est le centre
de ce parallélogramme.
Dans le plan, on considère un triangle ABC. On désigne par G le
barycentre des points pondérés (A, 3); (B, 2) et (C, 1).
1-Construis le barycentre H des points pondérés (B, 2) et (C, 1).
2- Démontre que les points A ;H et G sont alignés puis construis le point
G.
3-Soient L=bar { (A, 3); (B, 2) } et M = bar{ (A, 3); (C, 1)}.
Démontre que les droites (CL), (BM), et (AH) sont concourantes.
4- L’espace est rapporté à un repère (O ; i
⃗ ; j
⃗ ; k
⃗ ).On donne A(−1; 0; 2 ) ;
B(1 ; 1 ; 3), C(2 ; −2; 0). Détermine les coordonnées de G.

11
Résultats attendus
1-Construction de barycentre : 𝐻 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐵, 2)𝑒𝑡 (𝐶, 1)}
On a : 𝐻 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐵, 2); (𝐶, 1)} alors 𝐵𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . Construction (voir
figure)
2-Démontrons que les points A, H et G sont alignés
On a : 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐴, 3); (𝐵, 2) ; (𝐶, 1)} et 𝐻 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐵, 2); (𝐶, 1)} alors
𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 3); (𝐻, 1)} (théorème de barycentre partiel).
D’où les points A, H et G sont alignés.
Construction de G : Voir figure.
3- Démontre que les droites (CL), (BM), et (AH) sont concourantes
De ce qui précède, on a : G ∈ (𝐴𝐻) (1)
𝐺 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐴, 3); (𝐵, 2) ; (𝐶, 1)} et 𝐿 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐵, 2); (𝐴, 3)} alors G=
𝑏𝑎𝑟{(𝐿, 5); (𝐶, 1) 𝑒𝑡 𝐺 ∈ (𝐶𝐿) (2),
𝐺 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐴, 3); (𝐵, 2) ; (𝐶, 1)} et 𝑀 = 𝑏𝑎𝑟 {(𝐴, 3); (𝐶, 1)} alors G=
𝑏𝑎𝑟{(𝑀, 4); (𝐵, 2) et 𝐺 ∈ (𝑀𝐵) (3).
De (1) ,(2) et (3) les droites (CL), (BM), et (AH) sont concourantes en G.
4-On trouve 𝐺(
1
3
; 0; 2).
Principe de démonstration :
➢ Pour prouver que trois points sont alignés il suffit de montrer
que l’un peut s’exprimer comme un barycentre des deux autres (en
utilisant la propriété du barycentre partiel dans tous les sens).
Activité d’approfondissement 1 :
Soit ABC un triangle, I le milieu de [AB], K le barycentre de (A,1) ; (C,2) et
J le milieu de [IC].
Montre que les points B, K et J sont alignés.
Résultats attendus
I milieu de [AB] on a I=bar{(A,1) ;(B,1)},
K =bar{ (A,1) ; (C,2) }
J milieu de [IC] on a J=bar{(I,1) ;(C,1)
=bar{(I,2) ;(C,2)} homogénéité de barycentre
=bar{(A,1) ;(B,1) ;(C,2)} barycentre partiel
=bar{(B,1) ;(K,3)} barycentre partiel
Alors J∈(BK) .D’ou les points B, K et J sont alignés.
➢ Pour prouver que les droites (AB), (CD) et (EF) sont concourantes,
il suffit de montrer qu’un certain point G peut-être obtenu comme un
barycentre de A et B, puis comme un barycentre de C et D et enfin comme
un barycentre de E et F (cela prouve en effet que G appartient aux trois
droites).
Soit ABC un triangle, P le barycentre de (A,1) ; (C, 2), Q le barycentre de
(A,2) ;(B,1) et R le barycentre de (B,1) ; (C,4).
Montre que les droites (AR), (BP) et (CQ) sont concourantes.
Résultats attendus
On a : P=bar{(A,1) ; (C, 2)}, Q=bar{(A,2) ;(B,1)} et R=bar{(B,1) ; (C,4)}
Posons G=bar{(A,2) ;(B,1) ;(C,4)}.
• G=bar{(Q,3);(C,4)} alors G∈(CQ)
• G=bar{(A,2);(R,5)} alors G∈(AR)
• G=bar{(P,6);(B,1)} car P=bar{(A,1) ; (C, 2)}=bar{(A,2) ;(C,4)}
alors G∈(BP)
D’où le résultat
Soit ABCD un tétraèdre, on désigne par I et J milieux respectifs de [AD]
et [BC] .K et L les points tels que : AK
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ et CL
⃗⃗⃗⃗ =
2
3
CD
⃗⃗⃗⃗⃗
G le barycentre des points pondérés (A,2) ; (B,1) ;(C,1) et (D,2)
1) a-Démontre que les points I,J et G sont alignés
b-Démontre que les points K,L et G sont alignés
2 – Déduis que les points I,J,K et L sont coplanaires
Résultats attendus
1) a- I milieu de [AD] alors I = bar {(A, 2); (D, 2)}
J milieu de [ BC ] alors J = bar {(B, 1), (C, 1)}
Puisque G = bar {(A, 2); (B, 1); (C, 1); (D, 2)} alors G = bar {(I, 4); (J, 2)}
d’où les points I ;J et G sont alignés.
b-Démontrons que K,L et G sont alignés
AK
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ donc K = bar {(A, 2); (B, 1)} (1)

12
CL
⃗⃗⃗⃗ =
2
3
CD
⃗⃗⃗⃗⃗ donc L = bar {(C, 1); (D, 2)} (2)
De (1) et (2) on a G = bar {(K, 3); (L, 3)} d’où les points L, K et G sont
alignés.
2) G =bar {
(I, 4); (J, 2)
(K, 3); (L, 3)
} donc (IJ) et (KL) sont sécantes en G.
D’après la question 1) , (IJ) et (KL) sont coplanaires d’où les points I,J,K
et L sont coplanaires
On considère dans l’espace (E) les points pondérés (A,2) ; (B,1) et (C,1)
G = bar {(A, 2); (B, 1); (C, 1)}
L = bar {(A, 2); (C, 1)} ; R = bar {(A, 2); (B, 1)} et I = bar {(B, 1); (C, 1)}
1) Démontre que les droites (RC) et (BL) sont sécantes en G
2) Démontre que les points A,G,I sont alignés et que G est le milieu du
segment [AI]
3) Soit les vecteurs u
⃗ = 2AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et v
⃗ = 2MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a- Donne une écriture plus simple du vecteur u
⃗ et prouve que v
⃗ = 2IA
⃗⃗⃗
b -Détermine l’ensemble des points M tels que u
⃗ et v
⃗ sont colinéaires ?
Résultats attendus
1) Démontrons que les droites (RC) et (BL) sont sécantes en G
G = bar {(A, 2); (B, 1); (C, 1)}
R = bar {(A, 2); (B, 1)} donc G = bar {(R, 3); (C, 1)} d’où G ϵ (RC) (1)
L = bar {(A, 2); (C, 1)} donc G = bar {(L, 3); (B, 1)} d’où G ϵ (BL) (2)
De (1) et (2), les droites (RC) et (BL) sont sécantes en G
2) I = bar {(B, 1); (C, 1)} donc G = bar {(A, 2); (I, 2)} d’où les points A,G et
I sont alignés.
G est barycentre de (A,2) ; (I,2) d’où G est le milieu de [AI]
3) a- u
⃗ = 2AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ or G = bar {(A, 2); (B, 1); (C, 1)} On a :
2+1+1 = 4 donc u
⃗ = 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Prouvons que v
⃗ = 2IA
⃗⃗⃗
v
⃗ = 2(MI
⃗⃗⃗⃗ + IA
⃗⃗⃗ ) – (MI
⃗⃗⃗⃗ + IB
⃗⃗⃗ ) – (MI
⃗⃗⃗⃗ + IC
⃗⃗⃗ )
= 2MI
⃗⃗⃗⃗ + 2IA
⃗⃗⃗ - MI
⃗⃗⃗⃗ - IB
⃗⃗⃗ - MI
⃗⃗⃗⃗ - IC
⃗⃗⃗
= 2MI
⃗⃗⃗⃗ - 2MI
⃗⃗⃗⃗ + 2IA
⃗⃗⃗ - IB
⃗⃗⃗ - IC
⃗⃗⃗
= 2IA
⃗⃗⃗ - IB
⃗⃗⃗ - IC
⃗⃗⃗ or I = bar {(B, 1); (C, 1)} donc IB
⃗⃗⃗ + IC
⃗⃗⃗ = O
⃗⃗ d’où v
⃗ = 2IA
⃗⃗⃗
b) u
⃗ et v
⃗ sont colinéaires ⇔ 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 2IA
⃗⃗⃗ sont colinéaires
Bloc-notes :

13
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 3 : Représentation paramétrique d’une droite et d’un plan.
Activité 1 : Définitions-Propriétés.
(O, i, j, k
⃗ ) est un repère de l’espace, A(xo, yo, zo), est un point de l’espace
u
⃗ (a, b, c) et v
⃗ (a’, b’, c’) deux vecteurs non colinéaires de 𝓌. (𝒟) est la
droite passant par A et dirigée par u
⃗ et (𝒫) le plan de 𝒞 passant par A et
dirigé par u
⃗ et v
⃗ . Soit M(x, y, z) un point de l’espace.
Consigne 1 : Représentation paramétrique d’une droite et d’un plan de
l’espace.
1- a) Traduis par une égalité vectorielle l’appartenance du point M à la
droite (D).
b) Exprime alors les coordonnées du point M en fonction de celles du
point A et du vecteur u
⃗ .
2- a) Traduis par une égalité vectorielle l’appartenance du point M à (P)
b) Exprime alors les coordonnées du point M en fonction de celles du
point A et des vecteurs u
⃗ et v
⃗ .
Résultats attendus
1) a) Traduisons par une égalité vectorielle l’appartenance du point M à
la droite (D).
𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βu
⃗ ; β ∈ ℝ .
b) Exprimons alors les coordonnées du point M en fonction de celles du
point A et du vecteur u
⃗ .
On a : 𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βu
⃗
⟺ 𝑀 {
x − xo = βa
y − yo = βb
z − zo = βc
⇒ M {
x = βa + xo
y = βb + yo
z = βc + zo
β ϵ ℝ
2- a) Traduisons par une égalité vectorielle l’appartenance du point M à
(P). 𝑀 ∈ (𝑃) ⟺ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βu
⃗ + αv
⃗ ; (α, β) ϵ ℝ2
b) Exprimons alors les coordonnées du point M en fonction de celles du
point A et des vecteurs u
⃗ et v
⃗ .
On a : 𝑀 ∈ (𝑃) ⟺ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βu
⃗ + αv
⃗
⟺ 𝑀 {
𝓍 − 𝓍o = βa + αa′
y − yo = βb + αb′
z − zo = βc + αc′
⇒ 𝑀 {
x = βa + αa′
+ xo
y = βb + αb′ + yo
z = βc + αc′ + zo

14
Définitions-Droite de l’espace.
Vecteur directeur d’une droite
Soit (∆) une droite de l’espace.
On appelle vecteur directeur de la droite (∆) tout vecteur ayant la même
direction que la droite (∆).
Repère d’une droite
➢ Soit (∆)une droite de l’espace passant par un point A et dirigée par
un vecteur 𝑢
⃗ . Le couple (𝐴; 𝑢
⃗ )est appelé un repère de la droite (∆).
➢ ∀ 𝑀 ∈ E, on a : 𝑀 ∈ (∆) ⟺ 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑢
⃗ , 𝑡 ∈ ℝ : C’est la caractérisation
vectorielle de la droite (∆).
Représentation paramétrique d’une droite
Soit (∆)la droite de repère (𝐴; 𝑢
⃗ ) avec 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) et 𝑢
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐). Alors le
système {
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥0
𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦0
𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧0
, 𝑡 ∈ ℝ est appelé représentation paramétrique de
la droite (∆).
Réciproquement, tout système de la forme {
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥0
𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦0
𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧0
, 𝑡 ∈ ℝ est une
représentation paramétrique d’une droite de repère (𝐴; 𝑢
⃗ ) avec
𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) et 𝑢
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Définitions-Plan de l’espace.
Détermination d’un plan
Les données qui permettent de déterminer un plan sont :
o Trois points non alignés ;
o Deux droites sécantes ;
o Une droite et un point n’appartenant pas à cette droite ;
o Deux droites strictement parallèles.
Vecteur directeur d’un plan
Soit (P) un plan. On appelle vecteur directeur du plan (P) tout vecteur
directeur ayant sa direction parallèle à (P).
Repère d’un plan
Soit (P) un plan contenant un point A et dirigé par des vecteurs
directeurs non colinéaires 𝑢
⃗ et 𝑣 alors le triplet
(A ; 𝑢
⃗ , 𝑣) est un repère du plan (P).
Représentation paramétrique d’un plan
Soit (P) un plan de repère (A ; 𝑢
⃗ , 𝑣) avec 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ,
𝑢
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑒𝑡 𝑣(𝑎′
, 𝑏′
, 𝑐′
). Le système {
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′
𝑡′
+ 𝑥0
𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′
𝑡′
+ 𝑦0
𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′
𝑡′
+ 𝑧0
, (𝑡, 𝑡′
) ∈ ℝ2
est
une représentation paramétrique du plan (P).
Réciproquement tout système de la forme {
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′
𝑡′
+ 𝑥0
𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′
𝑡′
+ 𝑦0
𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′
𝑡′
+ 𝑧0
, (𝑡, 𝑡′
) ∈
ℝ2
est une représentation paramétrique du plan de repère (A ; 𝑢
⃗ , 𝑣) avec
𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) , 𝑢
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑒𝑡 𝑣(𝑎′
, 𝑏′
, 𝑐′
).
Consigne 2 : Réinvestissement.
On considère un tétraèdre ABCD et on considère par I, J et K les points
des segments [AB], [AC] et [AD] tels que AI
⃗⃗⃗ =
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ , AJ
⃗⃗⃗ =
1
3
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ , AK
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
4
AD
⃗⃗⃗⃗⃗ .
On pose i = AI
⃗⃗⃗ , j = AJ
⃗⃗⃗ et k
⃗ = AK
⃗⃗⃗⃗⃗
1- a) Justifie que (A, I, J, K) est un repère de l’espace.
b) Détermine dans ce repère les coordonnées des points A, B, C et D
2- a) Ecris une relation paramétrique de la droite (BC).
b) Ecris une représentation paramétrique du plan (ICD).
Résultats attendus
1- a) figure
AI
⃗⃗⃗ =
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ; AJ
⃗⃗⃗ =
1
3
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ; AK
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
4
AD
⃗⃗⃗⃗⃗
Les points A, I, J sont non alignés dans le plan (ABC) et K ∉ (ABC) donc
les points (A, I, J, K) est un repère de l’espace.
b) Les coordonnés de A,B,C et D dans le repère (A , AI
⃗⃗⃗ , AJ
⃗⃗⃗ , AK
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
On a : A (0, 0, 0)
Pour B , On a AI
⃗⃗⃗ =
1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ donc AB
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2AI
⃗⃗⃗ d’où B (2, 0, 0)
Pour C, On a AJ
⃗⃗⃗ =
1
3
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ donc AC
⃗⃗⃗⃗⃗ = 3AJ
⃗⃗⃗ d’où C (0, 3, 0).
Pour D, On a AK
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
4
AD
⃗⃗⃗⃗⃗ donc AD
⃗⃗⃗⃗⃗ = 4AK
⃗⃗⃗⃗⃗ d’où D (0, 0, 4).
2- a) Représentation paramétrique de la droite (BC).
On a BC
⃗⃗⃗⃗⃗ (2, 3, 0) et B (2, 0, 0) soit M (x, y, z) un point de l’espace.
M∉ (BC) ⟺ ∃ α ϵ ℝ/ BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = αBC
⃗⃗⃗⃗⃗

15
On a {
x = 2α + 2
y = 3α
z = 0
α ϵ ℝ
b) Représentation paramétrique du plan (ICD).
(I, IC
⃗⃗⃗ , ID
⃗⃗⃗⃗ ) est un repère du plan (ICD) , I (0, 0, 0) ; IC
⃗⃗⃗ (-1, 3, 0) ,
ID
⃗⃗⃗⃗ (-1, 0, 4) .
Soit M (x, y, z) , M ϵ (ICD) ⟺ ∃ (α, β) ϵ ℝ2 / IM
⃗⃗⃗⃗ = αIC
⃗⃗⃗ ≠ βID
⃗⃗⃗⃗
On a {
x = −α − β + 1
y = 3α
z = 4β
; (α, β) ϵ ℝ
Activité 2 : Approfondissement.
L’espace est muni du repère (O, I, J, K). Dans cet espace on considère la
droite (D) de représentation paramétrique {
x = 1 − 2t
y = 3t
z = 5 + t
t ϵ ℝ et le point
A(1, 3, 1).
Consigne
1- a) Démontre que la droite (D) et le point A détermine un plan (P).
b) Détermine une représentation paramétrique de (P)
2- Soit (P’) le plan de représentation paramétrique (𝒫’)
{
x = 1 − t + 2t′
y = 5 + t − t′
z = 4 + 2t − 5t′
(t, t’) ∈ ℝ2. Le point A appartient-il à (P) ?
Résultats attendus
1- a) (D) : {
x = 1 − 2t
y = 3t
z = 5 + t
t ϵ ℝ A(1, 3, 1)
A ϵ (D) ⇒ {
1 = 1 − 2t
3 = 3t
1 = 5 + t
⇒ {
t = 0
t = 1
t = 4
(absurde)
A ∉ (D) alors la droite (D) et le point A détermine un plan.
b) u
⃗ (-2, 3, 1) est un vecteur directeur à (D) et B (1, 0, 5) un point de (D)
(A, u
⃗ , AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) est repère de (𝒫)
On a : AB
⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 − 1
0 − 3
5 − 1
) donc AB
⃗⃗⃗⃗⃗ (0, -3, 4)
(𝒫) :{
x = 1 − 2α
y = 3 + 3α − 3β
z = 1 + α + 4β
(α , β) ϵ ℝ2 est représentation paramétrique de
(𝒫)
2- Vérifions si A ϵ (𝒫’)
(𝒫’) {
x = 1 − t + 2t′
y = 5 + t − t′
z = 4 + 2t − 5t′
(t, t’) ∈ ℝ2
A ϵ (𝒫’) ⇔ ∃t et t’ ϵ ℝ2/ {
1 = 1 − t + 2t′
3 = 5 + t − t′
1 = 4 + 2t − 5t
⇔ {
−t + 2t = 0
t − t′
= −2
(1)+(2) ⇔ t’ = -2 , t + 2 = -2 , t = -4 ; remplaçons t et t’ dans (3)
On a 4 + 2t -5t’ = 4 + 2(-4) – 5(-2)= 4 – 8 + 10 = 6 ≠ 1 donc A ∉ (𝒫’)
Bloc-notes

16
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 4 : Equation cartésienne d’un plan-système d’équations
cartésiennes d’une droite.
Activité 1 : Notion d’équation cartésienne d’un plan-système
d’équations cartésiennes d’une droite.
Soit (P) un plan de représentation paramétrique {
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′
𝑡′
+ 𝑥0
𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′
𝑡′
+ 𝑦0
𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′
𝑡′
+ 𝑧0
,
(𝑡, 𝑡′
) ∈ ℝ2
et (∆) une droite de représentation paramétrique
{
𝑥 = 𝑎𝛼 + 𝑥0
𝑦 = 𝑏𝛼 + 𝑦0
𝑧 = 𝑐𝛼 + 𝑧0
, 𝛼 ∈ ℝ . a≠0 ;b≠0 et c≠0
Consigne : Définitions
1) A partir de la représentation paramétrique du plan (P), établis une
relation entre les coordonnées (𝑥, 𝑦 , 𝑧) d’un point quelconque M de (P).
2) A partir de la représentation paramétrique de la droite (∆),établis une
relation indépendante de 𝛼 entre les coordonnées (𝑥, 𝑦 , 𝑧) d’un point
quelconque M de (∆).
Résultats attendus
1-A partir de la représentation paramétrique du plan (P) , établissons
une relation entre les coordonnées (𝑥, 𝑦 , 𝑧) d’un point quelconque M de
(P).
On trouve : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 avec (𝑎, 𝑏, 𝑐) ≠ (0,0,0) et
𝑑 = −𝑎𝑥𝑜 − 𝑏𝑦𝑜 − 𝑐𝑧𝑜.
2-A partir de la représentation paramétrique de la droite (∆), établissons
une relation indépendante de 𝛼 entre les coordonnées (𝑥, 𝑦 , 𝑧) d’un
point quelconque M de (∆).
On trouve
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
=
𝑧−𝑧0
𝑐
car a≠0 ;b≠0 et c≠0

17
Retenons
I1 : Equation cartésienne d’un plan
A partir d’une représentation paramétrique d’un plan (P), en éliminant
le paramètre qui s’y trouve, on obtient une relation de la forme :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 avec (𝑎, 𝑏, 𝑐) ≠ (0,0,0) et 𝑑 ∈ ℝ : C’est l’équation
cartésienne du plan (P).
I2: Système d’équations cartésiennes d’une droite
Soit (𝐷) une droite de repère (𝐴; 𝑢
⃗ ) avec 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) 𝑒𝑡 𝑢
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Si 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑐 ≠ 0 alors la droite (D) a pour système d’équations
cartésiennes :
𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
Si 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 ≠ 0 alors (D) a pour système d’équations
cartésiennes :
{
𝑥 = 𝑥0
𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
Si 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 𝑒𝑡 𝑐 ≠ 0 alors (D) a pour système d’équations
cartésiennes est {
𝑥 = 𝑥0
𝑦 = 𝑦0
Soit (∆) la droite de représentation paramétrique {
𝑥 = 𝛼 + 1
𝑦 = 𝛼 − 1
𝑧 = 𝛼
et le plan
(P) d’équation cartésienne 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0. Soit I l’intersection de
(∆) 𝑒𝑡 (P).(Q) le plan dont une équation cartésienne est 2x + y + 1 = 0.
Consigne
1) Détermine les coordonnées de I.
2) a- Donne un système de représentation paramétrique du plan (Q)
b-Déduis – en un repère de (Q)
3) Soit (P’) le plan dont une représentation paramétrique est :
{
x = 1 − t + 2t′ (1)
y = 5 + t − t′ (2)
z = 4 + 2t − 5t′
(3)
(t, t’) ϵ ℝ2
Détermine une équation cartésienne de (P’).
Résultats attendus
1) Déterminons les coordonnées de I.
{I}=(𝑃) ∩ (∆) ⟺ {
𝑥𝐼 = 𝛼 + 1 (1)
𝑦𝐼 = 𝛼 − 1 (2)
𝑧𝐼 = 𝛼 (3)
𝑥𝐼 + 𝑦𝐼 + 𝑧𝐼 − 4 = 0 (4)
(1), (2), (3) dans (4) donne : 3𝛼 − 4 = 0, soit 𝛼 =
4
3
(5)
(5) dans (1), (2) et (3) donne : I(
7
3
;
1
3
;
4
3
)
2) a- Donnons un système de représentation paramétrique du plan (𝒬)
Posons x = t ; y = -2t – 1 et z = t’
{
x = t
y = 2t − 1
z = t′
(t, t’) ∈ ℝ2
b- Soit A (0, -1, 0) ; u
⃗ (1, -2, 0) ; v
⃗ (0, 0, 1) ; repère : (A, u
⃗ , v
⃗ )
3) Détermine une équation cartésienne de (P’)
{
x = 1 − t + 2t′ (1)
y = 5 + t − t′ (2)
z = 4 + 2t − 5t′
(3)
⇒ {
x − 1 = −t + 2t′
y − 5 = t − t′
z − 4 = 2t − 5t′
⇒ {
−t + 2t′
= x − 1 (1)
t − t′
= y − 5 (2)
t’ = x – 1 + y – 5 ⇒ t’ = x + y – 6 ; remplaçons t’ dans (2) on a t – (x + y – 6)
= y – 5 ⇒ t – x - y + 6 = y – 5 ⇒ t = x + 2y - 11 ; remplaçons t et t’ dans (3)
on a z – 4 = 2(x + 2y – 11) – 5(x + y – 6) ⇒ z – 4 = 2x + 4y – 22 – 5x – 5y +
30 ⇒ -3x – y – z + 12 = 0
3x + y + z - 12 = 0
Activité 3 : Approfondissement
On considère la droite (D) de système d’équation cartésiennes
x−2
3
=
−2y + 1
2
= z + 1
Consigne
1- Donne un repère de (D).
2- Soit (D’) la droite de représentation paramétrique : {
x = 1 − 2α
y = −3 + α
z = 3
(α
ϵ ℝ) ; Donne un système d’équation de (D’).

18
Résultats attendus
1) Posons
x−2
3
= t
x−2
3
= t ⇒ x – 2 = 3t ; x = 3t + 2 ;
−2y + 1
2
= t ⇒ -2y + 1 = 2t ⇒ y =
−2t+1
2
⇒ y =
-t -
1
2
z + 1 = t ⇒ z = t – 1 {
x = 3t + 2
y = −t −
1
2
z = t − 1
soit A (
−1
−
1
2
−1
) un point de (D) et u
⃗ (
3
−1
1
)
un vecteur directeur de (D) d’où le couple (A, u
⃗ ) est un repère de (D)
2) {
x = 1 − 2α (1)
y = −3 + α (2)
z = 3 (3)
(α ϵ ℝ) ; de (1) on a α =
x−1
−2
remplaçons (1) dans
(2) ⇒ {
x−1
−2
= y + 3
z = 3
Bloc-notes :

19
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 5: Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace.
Activité : Définitions-Propriétés
L’ingénieur Piko arrive même à estimer l’effort fourni par un ouvrier
pour déplacer par exemple une charrette remplie de paquets de ciment
d’une position A à une position B. Un élève de la classe de terminale D
déclare qu’il a calculé le travail effectué par l’ouvrier.
Consigne 1 : Notion du produit scalaire
Désignons par F
⃗ la force exercée par l’ouvrier pour déplacer la
charrette du point A au point B comme l’indique schéma ci-dessous :
θ = mes(AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Exprime en fonction de F, AB, et θ le travail W effectué par l’ouvrier pour
déplacer la charrette.
Résultats attendus
Expression de W en fonction de F, AB et θ
On a : 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 et 𝑊𝐹= 𝑊𝐹1
+ 𝑊𝐹2
or 𝑊𝐹2
= 0. Donc
𝑊𝐹= 𝑊𝐹1
==𝐹1 × 𝐴𝐵. Or 𝐹1 = 𝐹𝑐𝑜𝑠θ alors W=𝐹 × 𝐴𝐵 × 𝑐𝑜𝑠𝜃
En posant F=‖𝐹‖ , AB = ‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ et θ = cos (AB
⃗⃗⃗⃗⃗ , AC
⃗⃗⃗⃗⃗
̂
) alors on a :
W=‖𝐹‖ × ‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ × cos(AB
⃗⃗⃗⃗⃗ , AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )
̂
= F
⃗ . AB
⃗⃗⃗⃗⃗ .
F
⃗ . AB
⃗⃗⃗⃗⃗ est appelé le produit scalaire du vecteur F
⃗ par le vecteur AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Définition
Soit 𝑢
⃗ et 𝑣 deux vecteurs non nuls de l’espace.
Le produit scalaire du vecteur 𝑢
⃗ par le vecteur 𝑣 est le nombre réel noté
𝑢
⃗ .𝑣 (𝑢
⃗ 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑣
⃗⃗⃗ ) et défini par 𝑢
⃗ .𝑣 =‖𝑢
⃗ ‖ × ‖𝑣‖ × cos(𝑢
⃗ , 𝑣)
̂ .

20
Propriétés
Soit 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ trois vecteurs de l’espace et 𝛼 un nombre réel. On a :
𝑃1 : 𝑢
⃗ . 𝑣 = 𝑣. 𝑢
⃗ ;( 𝛼𝑢
⃗ ). 𝑣= 𝑢
⃗ .(𝛼𝑣)= 𝛼(𝑢
⃗ . 𝑣) ; 𝑢
⃗ . (𝑣 + 𝑤
⃗⃗ ) = 𝑢
⃗ . 𝑣 + 𝑢
⃗ . 𝑤
⃗⃗ ;
𝑢
⃗ . 𝑢
⃗ = ⃦𝑢
⃗ ⃦2
(𝑢
⃗ .𝑢
⃗ est appelé le carré scalaire de 𝑢
⃗ ) et 𝑢
⃗ . 0
⃗ = 0
⃗ . 𝑢
⃗ .
𝑃2 : 𝑢
⃗ ⊥ 𝑣 ⟺ 𝑢
⃗ . 𝑣 = 0
𝑃3: L’espace est muni d’un repère (𝑂; 𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ) est orthonormé si, et
seulement si {
⃦𝑖 ⃦ = ⃦𝑗 ⃦ = ⃦𝑘
⃗ ⃦ = 1
𝑖. 𝑗 = 𝑖. 𝑘
⃗ = 𝑘
⃗ . 𝑗 = 0
Expression analytique du produit scalaire dans une base
orthonormée- Norme d’un vecteur.
L’espace est muni d’un repère orthonormé (𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ).Soit 𝑢
⃗ (𝑥,𝑦, 𝑧) et
𝑣(𝑥’ ; 𝑦’ ; 𝑧’) deux vecteurs de l’espace, on a :
• 𝑢
⃗ .𝑣 = 𝑥𝑥′
+ 𝑦𝑦′
+ 𝑧𝑧′ : c’est l’expression analytique du produit
scalaire.
• 𝐿a norme du vecteur 𝑢
⃗ est ∥ 𝑢
⃗ ∥= √𝑥2+𝑦2 + 𝑧2
Consigne 2 : consolidation des acquis.
Soit ABCDEFH un parallélépipède rectangle tel que AD=AE=1 et AB=2.
Soit I le centre du carre ADHE et J le milieu du segment [GH].
1) Justifie que π =
(A ;
1
2
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ) est un repère
orthonormé.
2) Détermine les coordonnées
des points I ; J et F dans π.
3) Calcule 𝐽𝐼
⃗⃗⃗ . 𝐽𝐹
⃗⃗⃗⃗ ,en déduis cos
(𝐼𝐽𝐹
̂ ).
4) L’espace est muni d’un repère
orthonormé (O ; 𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ). On donne les
vecteurs 𝑢
⃗ (8 ; −2 ; 0 ) 𝑒𝑡 𝑣(1 ; 4 ; −7)
a- Calcule 𝑢
⃗ .𝑢
⃗ .
b- Calcule 𝑢
⃗ .𝑣 et conclus.
Résultats attendus (Exécuter avec les apprenants)
Consigne 3 : Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d’un
plan.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
(O ; i, j, k
⃗ ). Soit (P) un plan donné et (D) une droite orthogonale à (P) et
dirigé par un vecteur 𝑢
⃗ . On considère deux points A et B de (P).
1) Justifie que 𝑢
⃗ . AB
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.
2) Le vecteur 𝒖
⃗
⃗ est appelé un vecteur normal à (P).
Définis alors un vecteur normal à un plan.
3) On suppose que A(𝑥0 , y0, z 0) , M(𝑥, y, z) et 𝑢
⃗ (a, b, c). Démontre que
M ϵ (P) équivaut à : a𝑥 + by + cz + d = 0 ou d est un réel à préciser.
La relation 𝐚𝒙 + 𝐛𝐲 + 𝐜𝐳 + 𝐝 = 𝟎 où d est une constante réelle, est
appelée l’équation cartésienne du plan (P).
4) On donne A(1 ; 2 ; 3) et 𝑢
⃗ (−2 ; 1 ; 2). Détermine l’équation
cartésienne de (P).
Résultats attendus
1) Justifions que 𝑢
⃗ .AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
A∈ (𝑃) et B∈ (P) alors (D)⊥ (𝐴𝐵). Par suite 𝑢
⃗ ⊥ AB
⃗⃗⃗⃗⃗ . D’où 𝑢
⃗ .AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
2) Définition d’un vecteur normal à un plan : On appelle vecteur normal
à un plan tout vecteur directeur d’une droite perpendiculaire à ce plan.
3) On suppose que A(𝑥0 , y0, z 0) , M(𝑥, y, z) et 𝑢
⃗ (a, b, c). Démontrons que
M ϵ (P) équivaut à : a𝑥 + by + cz + d = 0 où d est un réel à préciser.
On a : M ϵ (P) ⇔ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑢
⃗ = 0.
AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 − 𝑥0; 𝑦 − 𝑦0; 𝑧 − 𝑧0) et 𝑢
⃗ (a, b, c) alors
AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑢
⃗ = 0 ⟺ 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0
⟺ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + (−𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0) = 0
⟺ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑 = (−𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0)
4-On donne A(1 ; 2 ; 3) et 𝑢
⃗ (−2 ; 1 ; 2).Déterminons l’équation
cartésienne de (P).
Soit M un point de l’espace de coordonnées (𝑥, 𝑦, 𝑧).
M ∈ (P) ⇔ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑢
⃗ = 0
⟺ −2(𝑥 − 1) + 1(𝑦 − 2) + 2(𝑧 − 3) = 0
⟺ −2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 6 = 0. D’où l’équation cartésienne du plan (P) est
−2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 6 = 0.

21
Retenons
o Soit (P) un plan de vecteur normal 𝑛
⃗ et passant par un point A. Pour
tout point M de l’espace, on a : M ϵ (P) ⇔ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑛
⃗ = 0.
o Soit (P) un plan de vecteur normal 𝑛
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐) avec (𝑎, 𝑏, 𝑐) ≠
(0,0,0).Alors (P) a pour équation cartésienne :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 ; 𝑑 ∈ ℝ
o Réciproquement toute équation cartésienne de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +
𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 ; ∈ ℝ , (𝑎, 𝑏, 𝑐) ≠ (0,0,0) est celle d’un plan de vecteur
normal 𝑛
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Distance d’un point à un plan
➢ Soit (P) un plan contenant un point A et ayant pour vecteur normal
𝑛
⃗ . Alors pour tout point M de l’espace, la distance de M au plan (P)
est : 𝑑(𝑀; (𝑃)) =
৷𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .𝑛৷
⃗⃗⃗
∥𝑛
⃗ ∥
× 𝑢𝑙 ; 𝑢𝑙= unité de longueur.
➢ Si M(𝑥0 , y0, z 0) , 𝑛
⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐) et (P) : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 ; 𝑑 ∈ ℝ,
alors 𝑑(𝑀; (𝑃)) =
৷𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑৷
√𝑎2+𝑏2+𝑐2
× 𝑢𝑙
Propriétés
✓ Deux droites sont orthogonales si, et seulement si un vecteur
directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de
l’autre
✓ Deux droites sont parallèles si, et seulement si un vecteur
directeur de l’une est colinéaire à un vecteur directeur de
l’autre.
✓ Une droite est perpendiculaire à un plan si, et seulement si un
vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur normal
à ce plan.
✓ Une droite est parallèle à un plan si, et seulement si un vecteur
directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal à ce
plan.
✓ Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si un vecteur
normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.
✓ Deux plans sont parallèles si, et seulement si un vecteur normal
à l’un est colinéaire à un vecteur normal à l’autre plan.
Consigne 4 :Réinvestissement
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; i
⃗ , j
⃗ , k
⃗⃗ ).On donne
A(1 ; −1 ; 1), B(−1 ; 0 ; 2) et n
⃗ (−1 ; 2 ; 1)
1) Détermine une équation cartésienne du plan (P) passant par A
et de vecteur normal n
⃗ .
2) a) Le point B appartient-t-il à (P) ?
b) Détermine les coordonnées du projeté orthogonal H de B sur
le plan (P).
c) Déduis-en la distance du point B au plan (P).
3) Soit (D) la droite de repère (𝐵 ; 𝑢
⃗ ) avec 𝑢
⃗ (2; 1; 0).
Prouve que la droite (D) et le plan (P) sont strictement
parallèles.
Résultats attendus
1)On trouve (𝑃) : − 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 2 = 0
2) a-Vérifions si le point B appartient à (P).
Supposons que B appartient à (P).
B appartient à (P) ⟺ −𝑥𝐵 + 2𝑦𝐵 + 𝑧𝐵 + 2 = 0
−𝑥𝐵 + 2𝑦𝐵 + 𝑧𝐵 + 2 = 5 ; 5 ≠ 0 alors −𝑥𝐵 + 2𝑦𝐵 + 𝑧𝐵 + 2 ≠ 0.
Par conséquent le pont B n’appartient pas à (P).
b-On trouve H(
−1
6
;
−5
3
;
7
6
)
c-On trouve 𝑑(𝐵; (𝑃)) =
5√6
6
𝑢𝑙.
3) Prouvons que la droite (D) et le plan (P) sont strictement
parallèles.
𝑛
⃗ . 𝑢
⃗ = 2(−1) + 2(1) + 1 × 0 = 0. De plus 𝐵 ∉ (𝑃) d’après 2)-a,
alors la droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
Bloc-notes :

22
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 6 : Produit vectoriel et orientation de l’espace
Activité 1 : Définition - propriétés - Calcul d’aire et de volume.
L’ingénieur PIKO a contemplé les mouvements de la grue utilisée sur le
chantier en vue de soulever les lourdes charges lors de la réalisation des
piliers. Il observe minutieusement les mouvements les mouvements de
translation et de rotation que décrit le déplacement de la grue.
Il résume la position du conducteur par rapport aux dits mouvements
comme l’indique dans la consigne suivante.
L’espace est muni d’un repère (O ; i
⃗ , j
⃗ , k
⃗⃗ ).
Consigne 1 : Définition du produit vectoriel.
On considère un observateur placé debout en O sur le plan (P) de
repère(O ; i
⃗ , j
⃗ )tel que le vecteur 𝑘
⃗ soit dirigé de ses pieds vers sa tête.
Si l’observateur regarde dans la direction indiquée par le vecteur 𝑖,
indique dans les cas suivants lequel de ses bras indique la direction du
vecteur 𝑗.
Résultats attendus
1er cas : c’est son bras gauche qui indique la direction du vecteur 𝑗
2ème cas : c’est le bras droit qui indique la direction du vecteur 𝑗
3ème cas : c’est le bras gauche qui indique la direction du vecteur 𝑗
Retenons
➢ Le sens trigonométrie dans un plan dans l’espace est relatif à
l’observateur : pour définir une orientation dans un plan de l’espace,
il faut donc donner un vecteur normal à ce plan.
➢ Dans les conditions décrites ci-dessus, on peut déduire que dans
l’espace, il n’existe que deux classes de repère : la classe des repères
où c’est le bras gauche de l’observateur qui indique la direction de
j et qui est appelé classe des repères directes ; et la classe des repères
où c’est le bras droit qui indique la direction de jet qui est alors la
classe des repères indirecte.

23
Définitions
Orientation de l’espace
✓ Orienter l’espace, c’est pouvoir préciser pour chaque repère si il est
direct ou indirecte, c’est à dire si elle appartient à l’un ou l’autre des
classes.
✓ Une base (u
⃗⃗⃗ , v
⃗⃗ , w
⃗⃗⃗⃗ ) de W est directe lorsque pour tout point Ode
l’espace, le repère (O ; u
⃗⃗⃗ , v
⃗⃗ , w
⃗⃗⃗⃗ )) est directe, dans le cas contraire, la
base est dite indirecte.
Remarques
➢ Lorsqu’on permute deux vecteurs d’une base, son orientation
change. Par exemple les bases (i, j, k
⃗ ) 𝑒𝑡 (j, i, k
⃗ ) sont d’orientations
contraires ;
➢ Permuter de façon circulaire les trois vecteurs d’une même base ne
change pas son orientation. Par exemple les bases (i, j, k
⃗ ) 𝑒𝑡 (j, k
⃗ , i)
ont la même orientation ;
➢ Remplacer un vecteur d’une base par son opposé c’est changer son
orientation. Par exemple (i, j, k
⃗ ) 𝑒𝑡 (−i, j, k
⃗ ) sont d’orientations
contraires.
Produit vectoriel
Soit 𝑢
⃗ et 𝑣 deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vectoriel de 𝑢
⃗ et
𝑣 le vecteur noté u
⃗ ᴧv
⃗ et on lit << 𝑢
⃗ vectoriel 𝑣>>défini par
{
(u
⃗ ᴧv
⃗ ) ⊥ 𝑢
⃗
(u
⃗ ᴧv
⃗ ) ⊥ 𝒗
⃗
⃗
(𝒖
⃗
⃗ , 𝒗
⃗
⃗ , u
⃗ ᴧv
⃗ )𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙′
𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒.
ǁ 𝑢
⃗ ᴧ 𝑣 ǁ = ǁ 𝑢
⃗ ǁ × ǁ 𝑣 ǁ × ৷ 𝐬𝐢𝐧 (u
⃗ , v
⃗ )৷.
̂
Propriétés
Pour tous vecteurs 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ de W et pour tout nombre réel α on a :
➢ u
⃗ ᴧv
⃗ = - v
⃗ ᴧu
⃗
➢ (α𝑢
⃗ ) 𝑣 = α (𝑢
⃗ 𝑣) = 𝑢
⃗ (α𝑣)
➢ u  (𝑣 + 𝑤
⃗⃗ ) = 𝑢
⃗  𝑣
⃗⃗⃗ + 𝑢
⃗ 𝑤
⃗⃗
➢ (𝑢
⃗ + 𝑣)  𝑤
⃗⃗ = (𝑢
⃗  𝑤
⃗⃗ ) + (𝑣 𝑤
⃗⃗ )
➢ Pour tous vecteurs 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ de W
(𝑢
⃗ et 𝑣
⃗⃗⃗ sont colinéaires)  (𝑢
⃗  𝑣 = 0
⃗ )
➢ Etant donné un point O et trois vecteurs 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ de l’espace, le
quadruplet (O ;𝑢
⃗ , 𝑣 ,𝑤
⃗⃗ ) est un repère orthonormé direct de
l’espace si, seulement si :{
∥ 𝑢
⃗ ∥=∥ 𝑣 ∥= 1
𝑢
⃗ . 𝑣 = 0
𝑢
⃗ ⋀𝑣 = 𝑤
⃗⃗
Expression analytique du produit vectoriel
Propriétés
✓ Si (𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ) est une base orthonormée directe de W
alors 𝑖  𝑗 = 𝑘
⃗ ; 𝑘
⃗  𝑖 = 𝑗 ; 𝑗  𝑘
⃗ = 𝑖
✓ Dans l’ensemble W muni d’une base orthonormée directe, si les
vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 ont respectivement pour coordonnées (x, y, z) et
(x’, y’, z’) alors le vecteur 𝑢
⃗  𝑣 a pour coordonnées :
(𝑦𝑧’ − 𝑧𝑦’ ; 𝑧𝑥’ − 𝑥𝑧’ ; 𝑥𝑦’ − 𝑦𝑥’)
Soit A (-1 ;0 ;1) ; B(1 ;-1 ;2) et C(0 ;-1 ;1) trois points de l’espace muni du
repère orthonormé direct (𝑂; 𝑖; 𝑗; 𝑘
⃗ ).
1) Justifie que les points A ; B et C sont non alignes.
2) Déduis-en une équation cartésienne du plan (ABC).
3) On considère les vecteurs. 𝑢
⃗ = 5𝑖
⃗⃗⃗ +3𝑗
⃗⃗⃗ − 2𝑘
⃗ et 𝑣=-2 𝑖+4 𝑗+ 𝑘
⃗⃗⃗ .
a- Calcule 𝑢
⃗ ᴧ𝑣.
b- Exprime de deux façons différentes ǁ 𝑢
⃗ ᴧ𝑣ǁ puis évalue en radian
l’angle α entre les vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 .
Résultats attendus
1) Justifions que A ;B et C sont non alignes.
On a : AB
⃗⃗⃗⃗⃗ (
2
−1
1
) et AC
⃗⃗⃗⃗⃗ (
1
−1
0
)
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ (|
−1 1
−1 0
| ; |
1 2
0 1
| ; |
2 − 1
1 − 1
|)
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ (1, 1, -1) donc AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ O
⃗⃗ d’où les points A, B, C sont non alignés
2) Equation cartésienne du plan (ABC).
On a : AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ (1, 1, -1) est un vecteur normal du plan (ABC) .
(ABC) : x + y – z+ d = 0 ; Déterminons d

24
A ∈ (ABC) ⟹ -1 + 0 – 1 + d = 0 ⇒ d = 2
D’où (ABC) : x + y – z + 2 = 0
3) a-Calculons 𝑢
⃗ ᴧ𝑣.
𝑢
⃗ (5 ;3 ;-2) et 𝑣(-2 ;4 ;1) alors 𝑢
⃗ 𝑣(11; −1; 26)
b-Exprimons de deux façons différentes ǁ 𝑢
⃗ ᴧ𝑣ǁ
*ǁ 𝑢
⃗ ᴧ𝑣ǁ=√112+(−1)2 + 262 =√798
*ǁ 𝑢
⃗ ᴧ𝑣ǁ= ǁ 𝑢
⃗ ǁ × ǁ 𝑣 ǁ × ৷ sin(u
⃗ , v
⃗ )
̂ ৷=√798 × ৷ sin(u
⃗ , v
⃗ )
̂ ৷
Evalue en radian l’angle α entre les vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣
ǁ 𝑢
⃗ ᴧ𝑣ǁ = √798 et ǁ 𝑢
⃗ ᴧ𝑣ǁ = √798 × ৷ sin(u
⃗ , v
⃗ )
̂ ৷ alors
৷ sin(u
⃗ , v
⃗ )
̂ ৷ = 1.D’où mes(u
⃗ , v
⃗ )
̂ = ±
𝜋
2
Applications du produit vectoriel
➢ Pour tous points A, B et C de l’espace E,
(A, B et C sont alignés)  (𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ )
➢ Pour tous points A, B et C non alignés de l’espace,
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur normal au plan (ABC).
➢ Pour tous vecteurs 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗⃗⃗ de W,
(𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ sont coplanaires)  𝑢
⃗ .(𝑣  𝑤
⃗⃗ ) = 0
➢ Pour tous points A, B, C et D de l’espace E
(A, B, C et D sont coplanaires)  𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ .(𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
Remarque
Pour tous points A, B, C et D de l’espace E
(A, B, C et D sont non coplanaires)  𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ .(𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ )≠0
Dans ce cas A, B, C et D sont les sommets d’un tétraèdre.
Distance d’un point à une droite-distance d’un point à un plan
Propriété
• Soit (∆) une droite de repère (𝐴 ; 𝑢
⃗ ). Pour tout point M de
l’espace, on a :
𝑑(𝑀; (∆)) =
ǁ 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ᴧ𝑢
⃗ ǁ
ǁ 𝑢
⃗ ǁ
× 𝑢𝑙
• Soit (P) un plan de vecteur passant par un point A et de vecteur
normal 𝑛
⃗ . Pour tout point M de l’espace, on a :
𝑑(𝑀; (𝑃)) =
ǁ 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑛
⃗⃗⃗ ǁ
ǁ 𝑛
⃗ ǁ
× 𝑢𝑙
Aire d’un triangle
Soit ABC un triangle. Alors l’aire A du triangle ABC est
A=
𝟏
𝟐
× ǁ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ᴧ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ǁ × 𝒖. 𝒂
Remarque :L’aire d’un parallélogramme ABCD est A =ǁ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ᴧ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ǁ × 𝒖. 𝒂
Volume d’un tétraèdre : Soit ABCD un tétraèdre. Alors son volume V est
donné par 𝑉 =
1
6
৷𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )৷ × 𝑢. 𝑣
Consigne 3: Réinvestissement
L’espace orienté E est muni du repère orthonormé direct (O ; i , j, k
⃗ ). On
considère les points A(1 ;1 ;1), B(0 ; −1 ; 0) , C( −2 ; 0 ; 1) et
D(0 ; 0 ; −1) et la droite (∆) de représentation paramétrique :
(∆) : {
𝑥 = 𝑡 + 3
𝑦 = −2
𝑧 = −4𝑡 − 1
,𝑡ϵ ℝ ;
1) Calcule d(A ; (∆))
2) Calcule l’aire A du triangle BCD.
3) Vérifie que ABCD est un tétraèdre.
4) Calcule la distance du point A au plan (BCD).
5) Calcule le volume du tétraèdre ABCD de deux façons différentes.
Résultats attendus
1) Calculons d(A ; (∆)). On a : d(A ; (∆)) =
ǁ 𝐴𝐼
⃗⃗⃗⃗ ᴧ𝑢
⃗
⃗ ǁ
ǁ 𝑢
⃗
⃗ ǁ
× 𝑢𝑙
(∆) a pour repère (𝐼; 𝑢
⃗ ) avec I(3 ;-2 ;-1) et 𝑢
⃗ (1 ;0 ;-4). Alors on a:
𝐴𝐼
⃗⃗⃗⃗ (2 ;-3 ;-2) , 𝐴𝐼
⃗⃗⃗⃗  𝑢
⃗ = 12𝑖 +6𝑗 +3𝑘
⃗ , ǁ 𝑢
⃗ ǁ = √17,
ǁ 𝐴𝐼
⃗⃗⃗⃗  𝑢
⃗ ǁ= √189 et d(A ; (∆)) = =
√2448
17
× 𝑢𝑙
2) Calculons l’aire A du triangle BCD .
A =
𝟏
𝟐
× ǁ 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ǁ × 𝐮𝐚
On a: 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ (−2; 1; 1) ; 𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0; 1; −1) ; 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2𝑖 -2𝑗 -2𝑘
⃗ et
ǁ 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ǁ= 2√3 . D’où A =√𝟑 𝒖𝒂
3) Vérifions que ABCD est un tétraèdre
𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ (1 ;2 ;1) et 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (-2 ;-2 ;-2) alors 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ . (𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −8 ; −8 ≠ 0.
Ainsi les points A, B, C et D sont non coplanaires. Par conséquent ABCD
est un tétraèdre.
4°) Calculons la distance du point A au plan (BCD).

25
d(A ;(ABC)) =
৷𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )৷
ǁ 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ǁ
=
4√3
3
𝑢𝑙
5°) Calcul du volume de ABCD de deux manières différentes
Soit V ce volume, on a : V=
1
6
৷𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . (𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )৷=
4
3
𝑢𝑣 donc
V =
1
3
× A × d(A ;(ABC)) =
4
3
𝑢𝑣
Ensemble de points
L’ensemble
des points M
tels que
Dans le plan Dans l’espace
𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .𝑢
⃗ = 0 La droite de
repère
(𝐴 ; 𝑣)où 𝑣 ⊥
𝑢
⃗
Le plan passant par A et de
vecteur normal 𝑢
⃗
𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 Le cercle de
diamètre
[AB]
La sphère de diamètre [AB ]
AM=BM La
médiatrice
du segment
[AB]
Le plan médiateur du
segment [AB]
AM= r ; r ∈
ℝ∗
+
Le cercle de
centre A et de
rayon r
La sphère de centre A et de
rayon r
𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑢
⃗ = 0
⃗ La droite de repère(𝐴 ; 𝑢
⃗ )
𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝐵𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ La droite (AB)
Activité 2 : Approfondissement
I- Soit OABCDEFG un cube d'arête OA de longueur 1 unité. Dans l'espace
muni du repère orthonormé (0 ; OA
⃗⃗⃗⃗⃗ , 0C
⃗⃗⃗⃗ ,OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
On considère les points L et K définis par DL
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
DG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et EK
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
EA
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1- Détermine les coordonnées des points Let K.
2-a) Détermine les coordonnées du point N pied de la hauteur issue du
sommet L dans le triangle OLK.
b) En déduire que l'aire du triangle OLK est de
1
8
√21u.a.
II- ABC est un triangle, G le barycentre des points pondérés (A, 3) ;
(B, 2) ;(C,1)
1- Construis G
2- On pose H=bar {(B, 2), (C, 1) } ; AL
⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ et CA
⃗⃗⃗⃗⃗ =
4
3
𝐶𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) Exprime L comme barycentre des points A et B.
b) Exprime M comme barycentre des points A et C.
c) Justifie que les droites (AH), (CL) et (BM) sont concourantes au point
G.
III- A,B et C sont trois points distincts de l'espace, I le milieu de [AB] et G
le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, 2), (C, 1). Détermine
l'ensemble des points M de l'espace tel que:
1 a) 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
b) (𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐶). (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
c) (𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).( 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0
2 a) (𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )∆𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
b) 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0.
C) 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
d) (𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )∆( 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
IV- L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; i , j, k
⃗ ).On
considère les points M(4; 6; - 2) ,N(2; - 2; 6), R(- 2; 3; 1) et les vecteurs
𝑢
⃗ = 𝑖 + 2𝑗 − 5𝑘
⃗ 𝑒𝑡 𝑣 = −5𝑖 + 8𝑗 − 8𝑘
⃗ .
1- Démontre que:
a) Les points M,N et R ne sont pas alignés.
b) Les vecteurs 𝑣, 𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑀𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires.
2- Soit le point S(4; 7; 0) et (∆) la droite de repère (S; 𝑢
⃗ ).
a) Démontre que (∆) n'est pas parallèle au plan (MNR)
b) Détermine les coordonnées du point d'intersection T de la droite (∆)
et du plan (MNR).
3-On considère la droite (D) définie par {
x = 2
y − 1 = z
a) Démontre que (∆) et (D) ne sont pas coplanaires.
b) Etudie la position relative de (D) et (MNR).

26
Résultats attendus
1- Déterminons les coordonnés des points L et K
Pour L, on a : OL
⃗⃗⃗⃗⃗ = OD
⃗⃗⃗⃗⃗ + DL
⃗⃗⃗⃗⃗ = OD
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
DG
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
OC
⃗⃗⃗⃗⃗ + OD
⃗⃗⃗⃗⃗ donc L (0,
1
2
, 1)
Pour K, On a : OK
⃗⃗⃗⃗⃗ = DA
⃗⃗⃗⃗⃗ + AK
⃗⃗⃗⃗⃗ = OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
AE
⃗⃗⃗⃗⃗ = OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
OD
⃗⃗⃗⃗⃗ donc K (1, 0,
1
2
)
2- a-Déterminons les coordonnés de N ; soit N (x, y, z) ;
LN
⃗⃗⃗⃗⃗ (x, y-
1
2
, z-1) OK
⃗⃗⃗⃗⃗ (1, 0,
1
2
)
LN
⃗⃗⃗⃗⃗ . OK
⃗⃗⃗⃗⃗ = x +
1
2
z -
1
2
= 0 (1)
N ϵ (OK) ⇒ ON
⃗⃗⃗⃗⃗ = tOK
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ {
x = t
y = 0
z =
1
2
𝑡
; t +
1
2
(
1
2
t) -
1
2
= 0 ⇒ t =
2
5
𝑁 {
x =
2
5
y = 0
z =
1
5
N (
2
5
, 0,
1
5
)
b- Soit 𝒜 l’aire du triangle OLK .On a : 𝒜 =
OK ×LN
2
u.a ; 𝐿𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗ (
2
3
, -
1
2
, -
4
5
) et
OK
⃗⃗⃗⃗⃗ (1, 0,
1
2
)
II
1- Construisons le point G
G = bar {(A, 3); (B, 2); (C, 1)} ⟹ AG
⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
6
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
6
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
6
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ .
2- a- On a H = bar {(B, 2); (C, 1)} ; AL
⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ alors L = bar {(B, 2); (A, 3)}
𝑏 − CA
⃗⃗⃗⃗⃗ =
4
3
CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 3CA
⃗⃗⃗⃗⃗ = 4CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
3
4
CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ M = bar {(A, 3); (C, 1)}
c-Justifions que les droites (AH), (CL) et(BM) sont concourantes en G
On a G = bar {(A, 3); (B, 2); (C, 1)} ; H = bar {(B, 2); (C, 1)} ⇒ G = bar
{(A, 3); (H, 3)} alors G ϵ (AH) (1) ;
on a également L = bar {(B, 2); (A, 3)} ⇒ G = bar{(L; 5); (C, 1)} alors G ϵ
(CL) (2) ;
On a M = bar {(A, 3); (C, 1)} ⇒ G = bar {(M, 4); (B, 2)} alors G ϵ (BM) (3)
De (1) ; (2) et (3) on déduit que (AH),(BM) et (CL) sont concourantes en
G
III
Déterminons l’ensemble des points pondérés tels que :
1- a- AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AB
⃗⃗⃗⃗⃗ = AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AC
⃗⃗⃗⃗⃗
AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AB
⃗⃗⃗⃗⃗ - AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AC
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(AB
⃗⃗⃗⃗⃗ - AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(- BA
⃗⃗⃗⃗⃗ - AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(- BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 donc AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CB
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
L’ensemble des points M de l’espace tels que AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AB
⃗⃗⃗⃗⃗ = AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AC
⃗⃗⃗⃗⃗ est un plan
passant par A et dont CB
⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur normal.
b-(MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
G est le barycentre des points pondérés (A,1) ;(B,2) ;(C,1) donc
MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BA
⃗⃗⃗⃗⃗
on a alors (MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 ⇔ 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BA
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⇒MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BA
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
L’ensemble des points M de l’espace tel que (MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
= 0 est le plan passant par G et de vecteur normal BA
⃗⃗⃗⃗⃗ .
c-(MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
G est le barycentre des points pondérés (A,1) ;(B,2) ;(C,1)
alors MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2MI
⃗⃗⃗⃗ ;
(4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).(2MI
⃗⃗⃗⃗ ) = 0
(MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 ⇔ 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .2MI
⃗⃗⃗⃗ = 0 ⇔ MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .MI
⃗⃗⃗⃗ = 0 ;
L’ensemble des points M de l’espace tel que (MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
= 0 est la sphère de diamètre [IG]
2- a-(MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋀ BC
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗ ⟺ 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ BC
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗ ⟺ MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ BC
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
L’ensemble des points M tel que (MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋀ BC
⃗⃗⃗⃗⃗ est la droite
passant par G et de vecteur directeur BC
⃗⃗⃗⃗⃗ .
b-MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .( MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = O
⃗⃗ ⟺ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .[ MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ (MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )] = O
⃗⃗
⇔ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .[ (MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ (MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )] = O
⃗⃗
⇔ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .[ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ + AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ] = O
⃗⃗ ⇔ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .[ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ (AC
⃗⃗⃗⃗⃗ - AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) +
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ] = O
⃗⃗ ⟺ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) + MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .( AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = O
⃗⃗ ⟺ MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .( AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )
= O
⃗⃗
1ercas A, B, C sont alignés ; l’ensemble des points M est l’espace.
2èmecas A, B, C ne sont pas alignés ; l’ensemble des points est le plan
passant par A et de vecteur normal ( AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) donc c’est le plan (ABC)
c-( AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ( AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⇔ ( AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) - ( AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = O
⃗⃗ ⇔ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ (AB
⃗⃗⃗⃗⃗
– AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = O
⃗⃗ ⟺ AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ CB
⃗⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗
L’ensemble des points est la droite passant par A de vecteur directeur CB
⃗⃗⃗⃗⃗

27
d-(MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋀ ( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = O
⃗⃗ (1)
G =bar {(M, 1); (B, 2); (C, 1)} donc MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
I = bar {(A, 1); (B, 1)} donc MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2MI
⃗⃗⃗⃗
(1) ⇔ 4MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ 2MI
⃗⃗⃗⃗ = O
⃗⃗ ⇔ MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MI
⃗⃗⃗⃗ L’ensemble des points tel que
(MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋀ ( MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est la droite (GI)
IV
a) Calculons MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (-2, -8, 8) ; MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (-6, -3, 3) on a MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |
−8 − 3
8 3
| i + |
8 3
−2 − 6
| j +
|
−2 − 6
−8 − 3
| k
⃗
MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -42j - 42k
⃗ ; MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ O
⃗⃗ donc les points M, N et R ne sont
pas alignés.
b- v
⃗⃗ . (MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (5×0) + (8×-42) + (-8×-42) = -8×42 + 8×42 = 0 alors
les vecteurs v
⃗⃗ , MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires.
a- Démontrons que (△) n’est pas parallèle au plan (MNR).
(△) a pour repère (S, u
⃗ ) avec u
⃗ (1, 2, -5) ;
On a : u
⃗ .( MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (1)(0) + (2)(-42) + (-5)(-12) = 126 ≠ 0
d’où (△) n’est pas parallèle au plan (MNR)
b- (MNR) : y + z + d = 0 or M ∈ (MNR) ⟹ 6-2 + d = 0 ⇒ d = - 4
(MNR) : y + z – 4 = 0 ; une représentation paramétrique de (△) est
{
x = α + 4
y = 2α + 7
z = −5α
;α ϵ ℝ
On a {
T ϵ (MNR)
T ϵ (D)
⇔ {
yt − zt − 4 = 0
xt = α + 4
yt = 2α + 7
zt = −5α
; T ∈ (MNR) ⇒ (2α + 7) -5α – 4 = 0
⇒ α = 1
T ∈ (D) ⇒ {
x = 1 + 4
y = 2 + 7
z = −5
; T (5, 9, -5)
On considère la droite (D) définie par {
x = 2
y − 1 = z
Démontrons que (D) et (△) ne sont pas coplanaires
Posons z = α ; α ϵ ℝ (D) {
x = 2
y = α + 1
z = α
, α ϵ ℝ ; soit u1
⃗⃗⃗⃗ (0, 1, 1) le vecteur
directeur de (D)
u
⃗ ⋀ u1
⃗⃗⃗⃗ = |
2 1
−5 1
| i + |
−5 1
1 0
| j + |
1 0
2 1
| k
⃗ ⇒ u
⃗ ⋀ u1
⃗⃗⃗⃗ = 7i - j + k
⃗ ;
soit B (2, 1, 0) un point de (D) ; SB
⃗⃗⃗⃗ (-2, -6, 0) ;
SB
⃗⃗⃗⃗ . (u
⃗ ⋀ u1
⃗⃗⃗⃗ ) = (-2)(7) + (-6)(-1) + (0)(1) = -8 ≠ 0 alors (D) et (△) ne sont
pas coplanaires
MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0, −42, −42) ; u1
⃗⃗⃗⃗ .( MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ MR
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (o)(o) + (1)(-42) + (1)(-42)
= 0 la droite (D) et le plan (MNR) sont parallèles.
Bloc-notes :
Retour et projection

28
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
SAN o 2: ORGANISATION DES DONNEES
Situation de départ
Texte : Les nombres dans le Fâ
Dansou, brillant élève de Terminale D, se prépare activement pour les
examens du baccalauréat fixés au 16 juin 2025. À l’approche de cette
échéance cruciale, sa mère lui demande de consulter le Fâ, comme l’exige
la tradition familiale lors des événements importants.
Le 14 mars 2025, Dansou se rend chez Gouton, un devin du Fâ. Pour
procéder à la consultation, celui-ci utilise quatre cauris dont les dos sont
rognés. Après les rituels d’usage, il les lance sur une surface spécialement
aménagée. Trois cauris fermés et un ouvert apparaissent. Il relance les
cauris, cette fois tous fermés. Gouton en déduit que de nombreux
sacrifices sont nécessaires pour garantir la réussite à l’examen.
Il interroge alors Dansou : le marché de Tokpa, qui se tient tous les quatre
jours, coïncidera-t-il avec l’un des trois jours de composition du
baccalauréat ? Et si oui, quel jour de la semaine correspondra à ce
marché ?
Parmi les sacrifices demandés, Gouton exige que Dansou apporte au
marché d’Adjara 1069 citrons, répartis de la manière suivante :
7 citrons forment un tas
7 tas composent un filet
7 filets remplissent un panier
Troublé par cette exigence, Dansou décide de solliciter un second avis. Il
se rend alors chez Adandé, un autre devin du Fâ, également adepte des
quatre cauris. Après les rites, Adandé effectue un premier jet : deux
cauris ouverts, deux fermés. Il jette une seconde fois : trois cauris
ouverts, un fermé. Les signes sont clairs à ses yeux : Dansou réussira
brillamment son baccalauréat.
Rassuré mais songeur, Dansou repart avec de nouvelles interrogations.
Tâche :Tu vas te construire de nouvelles connaissances en
mathématiques à travers les consignes ci-dessous.
- exprimer ta perception de chacun des problèmes posés ;
- analyser chacun des problèmes posés ;
- mathématiser chacun des problèmes posés;
- améliorer au besoin ta production.

29
Séquences 1 : Ensemble ℂ des nombres complexes.
Activité 1 : Forme algébrique (ou cartésienne) d’un nombre
complexe.
Après avoir retrouvé ses esprits, DANSOU a repris la préparation
de son examen. Il veut d’abord résoudre l’équation du second degré
(E) : x2 + 4 = 0
Consigne 1 : Le nombre imaginaire i.
1) Résous dans ℝ, l’équation (E).
2) On suppose qu’il existe un nombre 𝒾 tel que 𝒾2 = -1 ; détermine
les solutions de (E) en fonction de 𝒾
3) Ecris sous la forme α + 𝒾β, α et β ∈ ℝ ; les solutions de l’équation
(x + 2 )2 + 9 = 0
Résultats attendus
1) Résolvons dans ℝ, l’équation (E).
x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = -4 (absurde) ; l’équation n’admet pas de solution
dans ℝ d’où Sℝ={ }
2) Déterminons les solutions de (E) en fonction de 𝒾
On a : 𝒾2 = -1
x2 = 4𝒾2 = (2𝒾)2 ⟺ x2 - (2𝒾)2 = 0 ⇔ x = -2𝒾 ou x = 2𝒾
3) Ecrivons sous la forme α + 𝒾β, α et β ∈ ℝ ; les solutions de
l’équation
(x + 2 )2 + 9 = 0
(x + 2 )2 + 9 = 0 ; si 𝒾2 = -1 On a : -(3𝒾)2 = 9 donc (x + 2 )2 -(3𝒾)2 = 0
[(x+2) + (3𝒾)][(x+2) – (3𝒾)] = 0 ⟺ x + 2 +3𝒾 = 0 ou x + 2 - 3𝒾 = 0
d’où
x = -2 -3𝒾 ou x = -2 + 3𝒾
Les solutions de (𝐄) sont appelées des nombres complexes.
Définitions
Soit a et b deux nombres réels
* z= a + ib, avec i² = -1 est un nombre complexe
* l’écriture a + ib est appelée forme algébrique de z,
* le nombre réel a est appelé partie réelle de z et noté Re(z)
* le nombre réel b est appelé partie imaginaire de z et noté Im(z) ;
* si b =0 alors z = a ; z est un nombre réel.
* si a = 0, alors z = ib, le nombre complexe z est dit imaginaire.
* si a = 0 et b ≠ 0 alors z = ib ; le nombre complexe z est dit
imaginaire pur.
* L’ensemble des imaginaires purs est noté iℝ∗
* L’ensemble des imaginaires est noté iℝ
Propriétés
Soit z et z’ deux nombres complexes.
On a :
* z = z’ si et seulement si Re (z) = Re (z’) et Im(z) = Im(z’)
*z = 0 si et seulement si Re(z) = 0 et Im(z) =0
Notation
*L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ
*L’ensemble des nombres complexes non nuls est noté ℂ∗
Remarque :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Consigne 2 : Opération sur les nombres complexes.
1°) Soient 𝑧 𝑒𝑡 𝑧′
deux nombres complexes tels que
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑒𝑡 𝑧′
= 𝑎′
+ 𝑖𝑏′
avec 𝑎, 𝑏, 𝑎′
𝑒𝑡 𝑏′
des nombres réels.
Ecris les nombres complexes 𝑧 + 𝑧′
et 𝑧 × 𝑧′
sous la forme
algébrique
2°) On suppose que z est non nul et on pose 𝑢 =
1
𝑎2+𝑏2
(𝑎 − 𝑖𝑏).
a-Calcule 𝑧 × 𝑢. Que représente 𝑢 pour 𝑧 ?
b-Déduis-en la forme algébrique de
1
𝑧

30
Résultats attendus
1) On a :𝑧 + 𝑧′
= (𝑎 + 𝑎′) + 𝑖(𝑏 + 𝑏′) et
𝑧 × 𝑧′
= (𝑎𝑎′
− 𝑏𝑏′) + 𝑖(𝑎𝑏′
+ 𝑎′𝑏)
2) a-On suppose que z est non nul et on pose 𝑢 =
1
𝑎2+𝑏2 (𝑎 − 𝑖𝑏).
On a :𝑧 × 𝑢 = 1 alors 𝑢 est l’inverse de 𝑧
b-Déduction
On a :
1
𝑧
= 𝑢 =
1
𝑎2+𝑏2
(𝑎 − 𝑖𝑏)
Consigne 3 : Application
1) Détermine le nombre complexe z tel que (1-3i)z-iz=2.
2) Soit x un nombre réel. Détermine x pour que le nombre complexe z =
(1+i)x2 – (1+4i)x – 6 + 3i soit nul.
3) Ecris sous forme algébrique : Z1 = 3i(7 – 5i) ; Z2 =(i)80 – 11(i)2011 ; Z3
= (-3 + √2 - i√3)2
Strategies: TI :...... min TC : ....... min
Résultats attendus
1) (1-3i)z – iz = 2 ⇔ z – 3zi – iz = 2 ⇔ z(1-4i) = 2 ⇔ z =
2
1−4i
2) z = (1+i)x2 – (1+4i)x – 6 + 3i
= x2 + ix2 – x – 4xi – 6 + 3i
= (x2 – x – 6) + i(x2-4x+3)
z = 0 ⇒ {
𝑥2
– x – 6 = 0 (1)
𝑥2
– 4x + 3 = 0 (2)
De (1) on a x2 – x – 6 = 0 ;
△ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4(1)2(-6) = 25
x1 =
−b−√△
2a
=
−(−1)−√25
2
= - 2 ; x2 =
−b+√∆
2a
= 3 ; remplaçons x1 et x2 dans
(2) on a : (-2)2 – 4 (-2) + 3 = 15 ≠ 0 ; (3)2 – 4 (3) + 3 = 0 alors x = 0
3) J’écris sous forme algébrique
Z1 = 3i (7 – 5i) ; z1 = 21i + 15i ⇒ Z1 = 15 + 21i
Z2 = (i)80 – 11(i)2011 = 1 – 11(i)2008x (i)3 = 1 – 11(i)(-1) = 1- 11(-i)
Z2 = 1 + 11i
Z3 = (-3 + √2 - i√3)2 = (-3 + √2)2 – 2(-3 + √2)(i√3) + (i√3)2
= [(-3)2 + 2(-3)(√2) + (√2)2] + 6i√3 – 2i√6 - 3
Z3 = - 6√𝟐 + 8 + i(6√𝟑 - 2√𝟔)
Remarque :
𝑖0
= 1
𝑖1
= 𝑖
𝑖2
= −1
𝑖3
= −𝑖
𝑖4
= 1
Pour tout entier naturel 𝑛, on a :
𝑖4𝑛
= 1
𝑖4𝑛+1
= 𝑖
𝑖4𝑛+2
= −1
𝑖4𝑛+3
= −𝑖
Puissance entière d’un nombre complexe
z étant un nombre complexe non nul. N un entier naturel non nul.
On a : 𝑧0
= 1, 0𝑛
= 0, 𝑧𝑛
× 𝑧 = 𝑧𝑛+1
Pour tous nombres complexes non nuls u et v et pour tout entier
naturel non nul n on a : (𝑢 + 𝑣)𝑛
= ∑ 𝐶𝑛
𝑘
𝑢𝑛−𝑘
𝑣𝑘
𝑛
𝑘=0 ;Formule du
binôme de Newton
Les coefficients 𝐶𝑛
𝑘
s’obtiennent facilement par le triangle de
pascal.
Triangle de Pascal

31
Propriété :
Soit z et z’ deux nombres complexes.
On a : (zz’ =0) si et seulement si (z = 0 ou z’ =0)
Remarque
Conjugue d’un nombre complexe
Soit z=a+ib ; a ,b deux nombres réels.
On appelle conjugue de z le nombre complexe note 𝑧̅ et défini 𝑧̅ =
𝑎 − 𝑖𝑏
Propriétés
Soit z et z’ deux nombres complexes et 𝑛 un entier relatif :
* z= a+ib ; a et b réels alors on a :
z z = a2 + b2
z + z = 2a = 2 Re (z)
z - z = 2ib = 2i Im (z)
* (z est réel) si et seulement si )
( z
z =
* ( z est imaginaire pur)  ( z
z −
= et z  0)
* z
z =
* z
z −
=
−
* '
' z
z
z
z +
=
+
* '
' z
z
zz =
* (
1
𝑧
)
̅̅̅̅
=
1
𝑧̅
* )
0
'
(
'
'

=






z
z
z
z
z
* ( ) )
0
( 
= z
z
z
n
n
Consigne 4 : Complexe conjugue.
Soit n∈ ℕ*,On pose u=(1- 4i)n+(1+4i)n et v=(1-4i)n- (1+4i)n
1) a-Justifie que u est réel.
b-Justifie que v est imaginaire pure.
2) Ecris sous forme algébrique, les nombres complexes
suivants.
Z1 =
2+7i
4−5i
; Z2 =
3+i
4i
et Z3 =
(2−3i)
(2+3i)(2−3i)
Stratégies: TI :...... min TC : ....... min
Résultats attendus
1) a-Justifions que u est réel
u = (1 – 4i)n + (1 + 4i)n ;
u
̅ = (1 − 4i)n + (1 + 4i)n
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (1 − 4i)n
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (1 + 4i)n
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
u
̅ = (1 – 4i)n + (1 + 4i)n ; Donc u
̅ = u alors u est un réel.
b-Justifions que v est imaginaire pur.
v = (1 – 4i)n - (1 + 4i)n ;
v
̅ = (1 − 4i)n − (1 + 4i)n
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (1 – 4i)n
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ - (1 + 4i)n
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
v
̅= (1 + 4i)n - (1 - 4i)n = -[(1 – 4i)n - (1 + 4i)n] ; Donc v
̅ = -v par
conséquent v est imaginaire pur
2) Ecrivons sous forme algébrique, les nombres complexes
suivants
Z1 =
2+7i
4−5i
=
(2+7i)(4+5i)
16 + 25
=
8+10i+28i−35
41
=
−27+38i
41
=
−27
41
+
38
41
i
Z2 =
3+i
4i
=
(3+i)(4i)
−16
=
22i−4
−16
=
1
4
-
22
16
i
Z3 =
(2−3i)
(2+3i)(2−3i)
=
2−3i
4+9
=
2
13
-
3
13
i
(𝑢 − 𝑣)𝑛
= ∑(−1)𝑘
𝐶𝑛
𝑘
𝑢𝑛−𝑘
𝑣𝑘
𝑛
𝑘=0

32
Activité 2 : Représentation géométrique d’un nombre complexe
Après la découverte des nombres
complexes, Dansou poursuit ses
recherches et constate qu’on peut les
représenter géométriquement. Pour en
savoir plus, il sollicite ton apport et tu dois
l’aider.
Le plan complexe (P) est muni d’un
repère orthonormé direct (O ;𝑢
⃗ , 𝑣).
Consigne 1: Notion de représentation
géométrique d’un nombre complexe
A tout nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, avec (a, b)ϵℝ2
,on associe le point
M(x, y) et réciproquement. Le point M est appelé point-image du
nombre complexe z et le nombre complexe z est appelé l’affixe du
point M ou du vecteur 𝐎𝐌
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
1) Détermine les coordonnées des points A, B et C d’affixes respectives
3-2i ; -4 et i dans le repère (O ; 𝑢
⃗ , 𝑣).
2) Détermine l’affixe 𝑧𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ du vecteur AC
⃗⃗⃗⃗⃗ et l’affixe 𝑧𝐼 du point I milieu du
segment [AB].
Stratégies: TI :...... min TC : ....... min
Résultats attendus
1) On a : 𝐴( 3
−2
) , 𝐵(−4
0
) et 𝐶(0
1
)
2) Déterminons l’affixe du vecteur 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ et l’affixe du point 𝐼 milieu du
segment [AB].On a : 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ (−3
3
) alors 𝑧𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = −3 + 3𝑖 ;𝐼 (
−
1
2
−1
) alors 𝑧𝐼 =
−
1
2
− 𝑖
Affixe d’un point- affixe d’un vecteur
Le plan complexe (P) est muni d’un repère orthonormé direct (O ;𝑢
⃗ , 𝑣).
A tout nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, avec (a, b)ϵℝ2
,on associe le point
M(a, b) et réciproquement. Le point M est appelé point-image du nombre
complexe z et le nombre complexe z est appelé l’affixe du point M ou du
vecteur OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Propriétés
Le plan complexe (P) est muni d’un repère orthonormé direct (O ;𝑢
⃗ , 𝑣).
Soit 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 trois points d’affixes respectives 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵 et 𝑧𝐶
• 𝑧𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴
• Si le point 𝐼 est le milieu du segment [AB] alors on a :
𝑧𝐼 =
𝑧𝐴 + 𝑧𝐵
2
• Si le point 𝐺 est le barycentre des points pondérés (𝐴, 𝛼) , (𝐵, 𝛽) et
(𝐶, 𝛾) alors on a :
𝑧𝐺 =
𝛼𝑧𝐴 + 𝛽𝑧𝐵 + 𝛾𝑧𝐶
𝛼 + 𝛽 + 𝛾
• Si le point 𝐺 est le centre de gravité du triangle 𝐴𝐵𝐶 alors
𝑧𝐺 =
𝑧𝐴+𝑧𝐵+𝑧𝐶
3
Module d’un nombre complexe
On appelle module d’un nombre complexe z le nombre
𝑟éel positif noté │z│ et défini par : │z│ = √𝑧z
̅
On pose z = 𝑥 + 𝑖𝑦, avec (𝑥, 𝑦)ϵℝ2
On a alors |𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2
Consigne 2 : Propriétés sur modules d’un nombre complexe.
On donne les nombres complexes suivants : z=a+ib et z’=a’+ib’ ou a,b,a’
et b’ sont des nombres réels. Compare :
a-| z | , |z| et |-z| b -|zz’| et |z|×|z’|
c-
z
z
1
1
= (z )
o
 d-| zn| = |z|n (z )
o

e- )
0
'
(
'
'

= z
z
z
z
z
f-|z+z’|  |z| + |z’|
Stratégies : TI :...... min TC : ....... min
Résultats attendus
Z = a + ib ; z’ = a’ + ib’ ; comparons :
a) -z = -a – ib ; z
̅ = a – ib ; |z| = √a2 + b2 ; |−z| = √(−a)2 + (−b)2 ; |z
̅|
= √(a)2 + (−b)2 = √a2 + b2 d’où |z| = |−z| = |z
̅|
b) |zz′| = √zz′zz′
̅̅̅̅ = √zz′z
̅z′
̅ = √zz
̅ . z′z′
̅ = √zz
̅ × √z′. z′
̅ = |z|.|z′|

33
Propriétés :
Soit z et z’ deux nombres complexes et 𝑛 un entier relatif. On a :
* |z| = 0  z = 0
* | z | = |z| = |-z|
* |zz’| = |z|×|z’|
*
z
z
1
1
= (z )
o

* | zn| = |z|n (z )
o

* )
0
'
(
'
'

= z
z
z
z
z
*|z+z’|  |z| + |z’|
Interprétation géométrique du module d’un nombre complexe
Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé d’origine O, pour
tous points A et B d’affixes respectives 𝑧𝐴 et 𝑧𝐵 on a :
• 𝐴𝐵 = |𝑧𝐴 − 𝑧𝐵| = |𝑧𝐵 − 𝑧𝐴|
• L’ensemble des points M du plan tel que |𝑧𝑀 − 𝑧𝐴| = 𝑘 avec 𝑘 ∈
ℝ+
∗
est le cercle du centre A et de rayon 𝑘
• L’ensemble des points M du plan tel que |𝑧𝑀 − 𝑧𝐴| = |𝑧𝑀 − 𝑧𝐵|
est la médiatrice du segment [𝐴𝐵]
1- Dans le plan complexe muni du repère (𝑂, 𝑒1
⃗⃗⃗ , 𝑒2
⃗⃗⃗ ) orthonormé direct,
on considère les points A(1, 1) B(2, - 1) et c(2, - 2)
a) Détermine l'affixe de chacun de ces points.
b) Détermine l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
2) Détermine l'affixe:
a) Du point A' symétrique de A par rapport à 0.
b) Du point B' Symétrique de B par rapport à l'axe des réels.
c) Du point c' symétrique de C par rapport à l'axe des imaginaires.
3- Détermine l'ensemble des points M du plan d'affixe z pour que :
a) (z -
9
𝑧
) ∈ ℝ(z≠0) b) |z - 2| = |4 - 3i| C) |
Z − 1 − 2i
Z − 2 + 4i
| = 1
On pourra utiliser la méthode analytique ou géométrique pour b) et c).
Résultats attendus
1- a) Déterminons l’affixe de chacun de ses points
A (1, 1) ⇒ ZA= 1 + i ; B (2, -1) ⇒ ZB = 2 – i ; C (2, -2) ⇒ ZC = 2 – 2i
b) Déterminons l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ = DC
̅̅̅̅ ⇒ ZB - ZA = ZC - ZD donc ZD = ZC + ZA − ZB = -(2-i) + (1+i) + (2-
2i) = - 2 + i + 1 + i + 2 – 2i = - 2 + 1 + 2 + i + i – 2i = 1 ⇒ ZD = 1
2- Déterminons l’affixe
a) Du point A’ symétrique de A par rapport à O ; soit
ZA′ = - ZA = - (1 + i) = - 1 – i
b) Du point B’ symétrique de B par rapport à l’axe des réels ; soit
ZB′ = ZB
̅̅̅
ZB′ = 2 − i
̅̅̅̅̅̅ = 2 + i
c) Du point C’ symétrique de C par rapport à l’axe des imaginaires ; soit
Zc′ = - Zc
̅ = -(2 − 2i
̅̅̅̅̅̅̅̅) = - ( 2 + 2i) = - 2 – 2i
3- Déterminons l’ensemble des points M du plan d’affixe Z pour que :
a) (Z -
9
Z
) ∈ ℝ ( z ≠ 0)
(Z -
9
Z
) ∈ ℝ ( z ≠ 0) ⟹ Z -
9
Z
= Z −
9
Z
̅̅̅̅̅̅̅̅
⟹ (Z - Z
̅)(ZZ
̅ + 9) = 0 ;
Posons Z = x + iy ,
(Z - Z
̅)(ZZ
̅ + 9) = 0 ⇔ y = 0 ou x2 + y2 + 9 = 0 ;
∀(x, y) ∈ ℝ2 , x2 + y2 + 9 ≠ 0
L’ensemble des points M du plan d’affixe Z tel que (Z -
9
Z
) ∈ ℝ avec Z ≠ 0
est la droite d’équation y = 0 privé de l’origine.
b) |Z − 2| = |4 − 3i| ;
Posons ZA = 2 et Z = ZM
On a : Z – 2 = ZM - ZA ⇔ |Z − 2| = |ZM − ZA| = |ZAM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = AM ;
|4 − 3i| = √42 + (−3)2 = √25 = 5 ;
Alors |Z − 2| = |4 − 3i| ⇔ AM = 5s
L’ensemble des points M du plan d’affixe Z tel que |Z − 2| = |4 − 3i|
est le cercle de centre A et de rayon r = 5
c) |
Z−1−2i
Z−2+4i
| = 1
Posons ZA = 1 + 2i et ZB = 2 – 4i et Z = ZM

34
soit |
Z−1−2i
Z−2+4i
| = |
ZM−ZA
ZM−ZB
| = |
ZAB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ZBM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| =
|ZAM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|ZBM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
AM
BM
;
|
Z−1−2i
Z−2+4i
| = 1 ⇔
AM
BM
= 1 ⇔ AM = BM ;
L’ensemble des points M du plan d’affixe Z tel que |
Z−1−2i
Z−2+4i
| = 1 est la
médiatrice de [AB] .
Activité 3: Formes trigonométrique et exponentielle d’un nombre
complexe non nul.
Dans sa démarche vers la découverte des nombres complexes, Dansou
découvre qu’en dehors de la forme algébrique, qu’il existe d’autres
façons d’écrire les nombres complexes. Pour en savoir plus, il sollicite
ton aide et tu dois l’accompagner.
Consigne 1: Forme trigonométrique et argument d’un nombre
complexe non nul
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 avec (a, b)ϵℝ2, un nombre complexe non nul de point-
image M. On pose θ = mes(OI
⃗⃗⃗⃗ , OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) et │z│ = r.
1) Place le point M dans le repère (O ; I, J).
2) Exprime a et b en fonction de θ et r.
3) Propose alors une autre écriture de z en fonction de r et θ.
Résultats attendus
1) Plaçons le point M dans le repère (O ; I, J).
2) Exprimons a et b en fonction de θ et r.
On a :
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
𝑟
alors 𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑠𝑖𝑛𝜃 =
𝑏
𝑟
alors 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
3)Ainsi on obtient :
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 soit 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)
Argument d’un nombre complexe non nul
Définition :
Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 avec (a, b)ϵℝ2, un nombre complexe non nul de point-
image M dans un repère orthonormé direct (O ; I, J). On appelle
argument 𝑧 toute mesure de l’angle orienté (OI
⃗⃗⃗⃗ , OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). Il est noté arg (𝑧)
Propriétés :
Soit z et z’ deux nombres complexes non nuls et n un entier relatif.
z = z’ si et seulement si |z| = |z’| et argz = argz’ + 2 k ; kєz
arg (-z) =  + argz + 2 k , kєZ
arg (zz’) = argz + arg (z’) + 2 k , kєZ
arg ,
2
arg
)
( 
k
z
z +
−
= k єZ
arg ,
2
arg
1

k
z
z
+
−
=






k є Z
arg 
k
z
z
z
z
2
'
arg
arg
'
+
−
=






, k єZ
arg (zn) = n arg z + 2k , k єZ
Remarque
Soit 𝑧 un nombre complexe non nul et 𝜃 un argument de 𝑧
On a :
{
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑅𝑒(𝑧)
|𝑧|
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
𝐼𝑚(𝑧)
|𝑧|
La mesure principale d’un argument d’un nombre complexe non nul 𝑧
est noté 𝐴𝑟𝑔(𝑧)
Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
Soit 𝑧 un nombre complexe non nul de module 𝑟 et d’argument 𝜃
On appelle forme trigonométrique de 𝑧 l’écriture : 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)

35
Rappels : Lignes trigonométriques de quelques angles
1- Ecris sous forme trigonométrique les nombres suivants.
Z1 = 1 ; Z2 = i ; Z3 = -√3 + 3i ; Z4 = m(1+i) m ϵ ℝ
2- Ecris sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants.
Z5 = 1 + itan x(x ≠
π
2
+ kπ, k ϵ ℤ); Z6 = 4(− cos
π
4
+ i sin
π
4
) et
Z7 = 8(sin x + cos x)
Résultats attendus
1)
Z1 = 1 ⟺ |Z1| = √12 + 02 = √1 = 1 ; Cherchons l’argument θ
{
cos θ =
1
1
= 1
sin θ =
0
1
= 0
donc θ = 0 + 2kπ ; Z1 = (cos(0) + isin(0))
Z2 = i On a : |Z2| = √02 + 1 = √1 = 1 ; Cherchons l’argument θ
{
cos θ =
0
1
= 0
sin θ =
1
1
= 1
donc θ =
π
2
+ 2kπ ; Z2 = (cos
π
2
+ sin
π
2
)
Z3 = -√3 + 3i On a : |Z3| = √(−√3)2 + (3)2 = √12 = 2√3
Cherchons l’argument θ
{
cos θ =
−√3
2√3
=
−1
2
sin θ =
3
2√3
=
√3
2
donc θ =
2π
3
+ 2kπ Z3 = 2√3(cos
2π
3
+ sin
2π
3
)
Z4 = m(1+i) m ϵ ℝ ; Z4 = m + im ; si m = 0 Z4 n’admet pas d’argument ;
si m ≠ 0 |Z4| = √m2 + m2 = √2m2 = |m|√2 ; cherchons l’argument θ
{
cos θ =
m
|m|√2
sin θ =
m
|m|√2
si m > 0 on a : {
cos θ =
√2
2
sin θ =
√2
2
⟺ θ =
π
4
+ 2kπ ;
Z4 = m√2(cos
π
4
+ sin
π
4
) ; si m < 0 on a {
cos θ =
−√2
2
sin θ =
−√2
2
donc θ =
−3
4
+ 2kπ ;
Z4 = -m√2 [cos(
−3π
4
) + sin(
−3π
4
)]
2)Ecrivons sous forme trigonométrique les formes suivants :
Z5 = 1 + itan x(x ≠
π
2
+ kπ, k ϵ ℤ) On a : tan x =
sin x
cosx
;
Z5 = 1 + i(
sin x
cosx
) =
cos x+i sin x
cosx
=
1
cosX
(cos x + sin x) ;
si x ϵ ]
−π
2
+ 2kπ|
π
2
+ 2kπ[ on a cos x > 0 ; |Z5| =
1
cosx
et argZ5 = x + 2kπ
si x ϵ ]
π
2
+ 2kπ, π + 2kπ[ ∪ ]−π + 2kπ,
−π
2
+ 2kπ[ cos x < 0 ; |Z5| =
−1
cos x
et argZ5 = π + x + 2kπ
Z6 = 4(− cos
π
4
+ i sin
π
4
) ; -cos α = cos(π − α) donc -cos
π
4
= cos (π −
π
4
)
= cos
3π
4
Z6 = 4(cos
3π
4
+ i sin
3π
4
)
Z7 = 8(sin x + cos x) = 8[cos (
π
2
− x) + i sin (
π
2
− x)]

36
Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
Soit 𝑧 un nombre complexe non nul de module 𝑟 et d’argument 𝜃
On appelle forme exponentielle de 𝑧 l’écriture : 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
Propriétés
Soit z et z’ deux nombres complexes non nuls tels que z = re 
i
et
z’ = r’eiθ’ avec  et  ’ des nombres réels r > 0, r’ > 0. Soit n un entier
relatif, on a :
• zz’ = rr’ei( + ’)
• -z = rei( 
 + )
• 
i
e
r
z
−
=
1
1
• z = re-iα
• )
'
(
'
'

 −
= i
e
r
r
z
z
• zn = rnein
Consigne 3: Réinvestissement.
Soit z=
1+𝑖√3
1+𝑖
1) Ecris z sous forme trigonométrique.
2) Déduis-en la valeur exacte de cos (
𝜋
12
) et sin(
𝜋
12
).
3) Soit θ ∈ [0 ;2π], Détermine le module et un argument de z =
1−𝑒𝑖𝜃
1+𝑒𝑖𝜃
.
Stratégies : TI : ...... min TC : ....... min
Résultats attendus
1) Posons u = 1 + i√3 et v = 1 + i ; |u| = √12 + 3 = 2 ; soit θ un
argument de u {
cos θ =
1
2
sin θ =
√3
2
⇒ θ =
π
3
+ 2kπ ; |u| = |1 + i| = √2 ;
soit θ’ un argument de v {
cos θ =
√2
2
sin θ =
√2
2
⇒ θ’ =
π
4
+ 2kπ
Z =
u
v
; |z| =
|u|
|v|
=
2
√2
= √2 ; arg z = arg
u
v
= arg u – arg v + 2kπ =
π
3
−
π
4
+ 2kπ =
π
12
+ 2kπ
Z = √2 (cos
π
12
+ i sin
π
12
)
2) Z =
u
v
⇒ z =
1+i√3
1+i
=
(1+i√3)(1−i)
2
=
1−i+i√3+√3
2
=
1+√3−i+i√3
2
=
1+√3
2
+
(−1+√3)
2
i ;
cos
π
12
=
1+√3
2
√2
=
1+√3
2√3
=
√2+√6
4
; sin
π
12
=
√3−1
2
√2
=
√3−1
2√2
=
√2−√6
4
3) Z =
1−eiθ
1+eiθ
;
1 - eiθ
= eiθ
- eiθ
= - ei
θ
2 [ei
θ
2 − e−i
θ
2] = −ei
θ
22sin
θ
2
1 + eiθ
= eiθ
+ eiθ
= ei
θ
2 [e−i
θ
2 + ei
θ
2] = ei
θ
22cos
θ
2
Z =
(−2i sin
θ
2
)e
i
θ
2
(2 cos
θ
2
)e
i
θ
2
=
−i sin
θ
2
cos
θ
2
= -itan
θ
2
; |z|= |tan
θ
2
| ; θ ϵ [0, 2π] ⇒
θ
2
ϵ
[0, π] ;
θ
2
ϵ [0,
π
2
[ ∪ ]
π
2
, π] ∪ {
π
2
}
si θ = 0, z = 0 si θ ϵ ]0, π[ tan
θ
2
> 0 ; |z| = tan
π
2
, arg z = -
θ
2
+ 2kπ
si θ ∈ ]π, 2π] tan
θ
2
< 0
|Z| = - tan
θ
2
; arg z =
π
2
+ 2kπ ; z = Ωeiθ
; z’ = Ωeiθ′
; Ω > 0
z + z’ = Ω (eiθ
+ eiθ′
)
Propriétés :
Soit 𝑥 𝜖 ℝ on a cos𝑥=
𝑒𝑖𝑥+𝑒−𝑖𝑥
2
et sin𝑥=
𝑒𝑖𝑥−𝑒−𝑖𝑥
2𝑖
Si de plus 𝑛 𝜖ℤ, on a : 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥=
𝑒𝑖𝑛𝑥+𝑒−𝑖𝑛𝑥
2
et sin𝑛𝑥=
𝑒𝑖𝑛𝑥−𝑒−𝑖𝑛𝑥
2𝑖
Ces égalités sont appelées formules d’Euler
Linéarisation
Pour linéariser 𝑐𝑜𝑠𝑘
𝑥 ou 𝑠𝑖𝑛𝑘
𝑥,on utilise les formules de Euler et la
formule du binôme de Newton
𝑐𝑜𝑠𝑘
𝑥 = (
𝑒𝑖𝑥+𝑒−𝑖𝑥
2
)
𝑘
et 𝑠𝑖𝑛𝑘
𝑥=(
𝑒𝑖𝑥−𝑒−𝑖𝑥
2𝑖
)
𝑘
eiα
+ eiβ
= ei(
α+β
2
)
[ei(
α−β
2
)
+ e−i(
α−β
2
)
]

37
Consigne 4 : Formule de Moivre.
Soit z =(cosα+isinα) α∈ℝ et u=𝑧𝑛
,n∈ℕ
1) Détermine |𝑢| et arg(u) en fonction de |𝑧| et arg(z).
2) Déduis-en la forme trigonométrique de u ;et compare
(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑛
et u.
Résultats attendus
Z = cos α + isin α ; u = zn
, n ϵ ℕ
1- |u| = |zn| = |z|n
= 1 ; arg u = argzn
= n arg z + 2kπ
2- (cos α + i sin α)n
= cos nα + isin nα
Formule de Moivre
Pour tout 𝑥 𝜖ℝ et pour tout 𝑛 𝜖ℤ, on a :
(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑛
= 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑥).
Cette égalité est appelée formule de Moivre.
On donne z = −√3 + i.
1) Ecris z sous forme trigonométrique ;
2) En déduis le module et un argument de z2019.
3) Linéarise 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛3
𝑥
Résultats attendus
1) On trouve 𝑧 = 2 (𝑐𝑜𝑠
5𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
5𝜋
6
)
2) On a :
𝑧2019
= 22019
(𝑐𝑜𝑠
2019 × 5𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
2019 × 5𝜋
6
)
Or
2019×5𝜋
6
= 1682𝜋 +
𝜋
2
alors
𝑧2019
= 22019
(𝑐𝑜𝑠 (1682𝜋 +
𝜋
2
) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (1682𝜋 +
𝜋
2
))
𝑧2019
= 22019
(𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
𝜋
2
)
D’où 𝑧2019
= 𝑖22019
3) On trouve :
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 =
1
8
𝑐𝑜𝑠4𝑥 +
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
3
8
𝑠𝑖𝑛3
𝑥 = −
1
4
𝑠𝑖𝑛3𝑥 +
3
4
𝑠𝑖𝑛𝑥
Remarque
Soit 𝑛 ∈ ℕ, n ≥ 2. Pour exprimer 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥ou 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 en fonction
de 𝑐𝑜𝑠𝑥 et 𝑠𝑖𝑛𝑥, on peut procéder comme suit :
• Utiliser la formule de Moivre en utilisant l’expression (𝑐𝑜𝑠𝑥 +
𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑛
• Utilise la formule de Binôme de Newton en considérant la même
expression.
• Appliquer la propriété relative à l’égalité de deux nombres
complexes.
Activité 4 : Résolution d’équations dans ℂ.
Dansou toujours dans le but de maîtriser l’ensemble ℂ veut savoir
comment déterminer les racines carrées, les racines cubiques d’un
nombre complexe non nul.
Consigne 1 : Racines carrées d’un nombre complexe non nul
On se propose de déterminer un nombre complexe u tel que u2=3+4i.
1) Que représente u pour le nombre 3+4i ?
2) En posant 𝑢 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (𝑥ϵℝ et yϵℝ) et en admettant que deux
nombres complexes z et z’ sont égaux ⟺{
│z│ = │z’│
Re(z) = Re(z’)
Im(z) = Im(z’)
et
Détermine u.
Résultats attendus
1) 𝑢2
= 3 + 4𝑖 alors 𝑢 est une racine carrée de 3 + 4𝑖
2) On pose 𝑢 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Déterminons 𝑢
On a : |𝑢2| = 5 donc on a :
𝑢2
= 3 + 4𝑖 ⟺ {
𝑥2
+ 𝑦2
= 5
𝑥2
− 𝑦2
= 3
2𝑥𝑦 = 4
et on trouve 𝑢 = 2 + 𝑖 ou 𝑢 = −2 − 𝑖
Définition
On appelle racine carrée d’un nombre complexe non nul u, tout nombre
z tel que 𝑧2
=u.
Propriété
Soit 𝑧 un nombre complexe non nul.
𝛿 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ( 𝑥 ∈ ℝ 𝑒𝑡 𝑦 ∈ ℝ ) une racine carrée de 𝑧.

38
𝛿2
= 𝑧 ⟺ {
𝑥2
+ 𝑦2
= |𝑧|
𝑥2
− 𝑦2
= 𝑅𝑒(𝑧)
2𝑥𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧)
La résolution du système ci-dessus permet de trouver x et y puis 𝛿
Remarques.
• Les racines carrées d’un nombre complexe non nul sont
opposées.
• Si 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
; r > 0 ;𝜃 ∈ ℝ alors les racines carrées de Z sont𝑧1 =
√𝑟𝑒𝑖
𝜃
2 et 𝑧1 = −√𝑟𝑒𝑖(
𝜃
2
+𝜋)
Racines 𝐧𝐢è𝐦𝐞𝐬
d’un nombre complexe.
Soit 𝑍 un nombre complexe non nul et 𝑛 ∈ ℕ ;(𝑛 ≥ 2).
On appelle racine 𝑛𝑖è𝑚𝑒
de 𝑍 tout nombre complexe 𝑧 tel que 𝑧𝑛
=
𝑍
Propriété :
Soit ∈ ℕ ∖ {0; 1} . On appelle racine 𝑛𝑖è𝑚𝑒
d’un nombre complexe
non nul 𝑢; tout nombre complexe 𝑧 tel que 𝑧𝑛
= 𝑢.
Soit 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
un nombre complexe non nul r > 0;𝜃 ∈ ℝ et n
un entier naturel non nul (𝑛 ≥ 3).𝑧 admet 𝑛racines 𝑛𝑖è𝑚𝑒
𝑧𝑘 tel que
𝑧𝑘 = √𝑟
𝑛
𝑒𝑖(
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
)
; 𝑘 ∈ {0; 1; 2; … ; 𝑛 − 1}
Remarques
• Pour n ≥ 3 les points images de ces racines nièmes sont les
sommets d’un polygone régulier à 𝑛 côtés inscriptibles dans le
cercle de centre O et de rayon n
r , O désigne l’origine du repère
choisi dans le plan complexe.
• Si 𝑢 = 1 on parle alors de racine 𝑛𝑖è𝑚𝑒
de l’unité et les 𝑛 racines
𝑛𝑖è𝑚𝑒
de l’unité sont les nombres complexes définis par 𝑧𝑘 =
𝑒𝑖(
2𝑘𝜋
𝑛
)
avec 𝑘 ∈ {0; 1; 2; … ; 𝑛 − 1}
Consigne 2: Réinvestissement.
1) Calcule (1 + 𝑖)3
2) Détermine sous forme algébrique les racines cubiques de −8i.
Résultats attendus
1) On trouve (1 + 𝑖)3
= 2 − 2𝑖
2) On a : −8𝑖 = 8𝑒−𝑖
𝜋
2 alors les racines cubiques de −8𝑖 sont
𝑧𝑘 = √8
3
𝑒
𝑖(
−
𝜋
2
+2𝑘𝜋
3
)
𝑘 ∈ {0; 1; 2}
𝑧𝑘 = √8
3
𝑒
𝑖(
−𝜋+4𝑘𝜋
6
)
; 𝑘 ∈ {0; 1; 2} or √8
3
= 2
Donc 𝑧0 = 2𝑒
𝑖(
−𝜋
6
)
= √3 − 𝑖
𝑧1 = 2𝑒
𝑖(
𝜋
2
)
= 2𝑖
𝑧3 = 2𝑒
𝑖(
7𝜋
6
)
= −√3 − 𝑖
Equation du second degré dans ℂ
L’équation de la forme az2 +bz +c = 0 , avec aϵℂ∗
et (b,c) ϵℂ2 ;
On calcule ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐
• Si ∆> 0 alors les solutions de (E) sont
𝑧1 =
−𝑏−√∆
2𝑎
et 𝑧2 =
−𝑏+√∆
2𝑎
• Si ∆= 0 alors (E) admet une solution unique
𝑧0 =
−𝑏
2𝑎
• Si ∆< 0 alors les solutions de (E) sont
𝑧1 =
−𝑏−𝑖√|∆|
2𝑎
et 𝑧2 =
−𝑏+𝑖√|∆|
2𝑎
• Si ∆∈ ℂ − ℝ alors on détermine les racines carrées de ∆.
Soit 𝛿 une racine carrée de ∆ alors les solutions de (E) sont
𝑧1 =
−𝑏−𝛿
2𝑎
et 𝑧2 =
−𝑏+𝛿
2𝑎
Remarque
Soit 𝑎 un nombre réel strictement positif. On a.
𝑎𝑖 = [√
𝑎
2
(1 + 𝑖)]
2
et −𝑎𝑖 = [
√𝑎
2
(1 − 𝑖)]
2
Résous dans ℂ
1) z2
- √2z + 1 = 0
2) – 9z2
+ 6iz + 1 = 0
3) 𝑧2
+ (1 − 2𝑖)𝑧 + 1 + 5𝑖 = 0

39
Résultats attendus
Résolvons ce qui suit
1) z2
- √2z + 1 = 0
∆ = (−√2)
2
- 4(1)(1) = - 2 = (i√2)2
; Z1 =
√2−i√2
2
; Z2 =
√2+i√2
2
; soit
S∁ l’ensemble solution S∁ = {
√2−i√2
2
,
√2+i√2
2
}
2) – 9z2
+ 6iz + 1 = 0
△ = (6)2
- 4(-9)(1) = 0 ; Z1 =
−b
2a
=
−6i
2(−9)
=
−6i
−18
=
1
3
i ; S∁ = {
1
3
i }
3) 𝑧2
+ (1 − 2𝑖)𝑧 + 1 + 5𝑖 = 0
On a : ∆= −7 − 24𝑖
Les racines carrées de ∆ sont −3 + 4𝑖 et 3 − 4𝑖 alors les solutions de
𝑧2
+ (1 − 2𝑖)𝑧 + 1 + 5𝑖 = 0 sont :𝑧1 = 1 − 𝑖 et 𝑧2 = −2 + 3𝑖
Consigne 4: Equations de n degrés, n ϵℕ,n≥ 𝟑.
On pose 𝑃(𝑧) = 𝑧3
− (1 + 2𝑖)𝑧2
− (1 − 9𝑖)𝑧 − 2 − 10𝑖
On considère l’équation (E) : P(z) = 0.
1) Démontre que l’équation (E) admet une solution réelle 𝑧0 que l’on
déterminera.
2)a-Détermine le polynôme Q(z) de degré 2 tel que
∀ z ϵ ℂ, 𝑃(𝑧) = (𝑧 − 𝑧0)𝑄(𝑧).
b) En déduire la résolution de l’équation (E) dans ℂ.
Résultats attendus
1) En posant 𝑧0 = 𝑎 , 𝑎 ∈ ℝ on trouve 𝑧0 = 2
2) a) En passant par la méthode d’identification ou par la division
euclidienne, on trouve 𝑄(𝑧) = 𝑧2
+ (1 − 2𝑖)𝑧 + 1 + 5𝑖.
b) Les solutions de l’équation (E) dans ℂ sont 𝑧0 = 2 , 𝑧1 = 1 − 𝑖 et
𝑧2 = −2 + 3𝑖
Propriété
Si P(z) est un polynôme de degré n, (n ≥ 3) et z0 est une racine de P(z) alors
il existe un polynôme Q(z) de degré (n-1) tel que P(z) = (z-z0) Q(z)
Remarque
Soit l’équation (E): 𝑎𝑧3
+ 𝑏𝑧2
+ 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 où 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒𝑡 𝑑 sont des
constantes complexes et 𝑎 non nul. Si 𝑧1, 𝑧2 𝑒𝑡 𝑧3 sont les solutions de de
(E) alors 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 =
−𝑏
𝑎
et 𝑧1 × 𝑧2 × 𝑧3 =
−𝑑
𝑎
Nombres complexes et lieux géométriques
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;u
⃗ ;v
⃗ ). Soit A
et B deux points du plan distincts, d’affixes respectives zA ; zB ,
M un point quelconque d’affixe z avec z≠zA et z≠zB.
arg(
z−zA
z−zB
) =mes(MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= α + 2kπ; k ∈ 𝕫 . L’ensemble des points M tels
que :
∗ α = 2kπ; k ∈ 𝕫 est la droite (AB) privée du segment [AB]
∗ α = π + 2kπ; k ∈ 𝕫 est le segment [AB] privé des points A
∗ α =
π
2
+ 2kπ; k ∈ 𝕫 est le demi-cercle de diamètre [AB] privé des
points A et B .Les points B; A et M étant lu dans le sens direct s’ils sont
dans cet ordre.
∗ α = −
π
2
+ 2kπ; k ∈ 𝕫 est le demi-cercle de diamètre [AB] privé des
points A et B ; les points A;B et M étant lus dans le sens indirect s’ils sont
dans cet ordre.
∗ α = kπ; k ∈ 𝕫 est la droite (AB) privé des points A et B.
∗ α =
π
2
+ kπ; k ∈ 𝕫 est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et
B.
∗ ৷
z−zA
z−zB
৷ = 1 est la médiatrice du segment [AB].
Nombres complexes et configurations planes
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J).
* A et B étant deux points distincts du plan
mes(𝑂𝐼
⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
̂ )= arg (zB –zA) + 2k , 𝑘 ∈ ℤ
*A, B, C et D sont quatre points du plan tels que A ≠ B et C ≠ D
mes(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
̂ )= arg 
k
z
z
z
z
A
B
C
D
2
+
−
−
, 𝑘 ∈ ℤ
*Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si
A
B
A
C
z
z
z
z
−
−
∈
ℝ∗
* A, B, C et D étant quatre points distincts du plan (AB) ⊥ (CD) si et
seulement si 
−
−
A
B
C
D
z
z
z
z
∈ 𝑖ℝ∗

40
* Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si
A
B
A
C
z
z
z
z
−
−
∈ 𝑖ℝ∗
* Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A si et seulement si
A
B
A
C
z
z
z
z
−
−
∈ ±𝑖
* Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si
A
B
A
C
z
z
z
z
−
−
= 𝑒𝑖𝜃
avec
𝜃 ∈ ℝ∗
* Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si
A
B
A
C
z
z
z
z
−
−
= 𝑒±𝑖
𝜋
3
*Les points A, B, C et D sont cocycliques si
𝑧𝐷−𝑧𝐴
𝑧𝐶−𝑧𝐴
𝑧𝐷−𝑧𝐵
𝑧𝐶−𝑧𝐵
∈ ℝ∗
* ABCD est un parallélogramme si, et seulement si 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 = 𝑧𝐶 − 𝑧𝐷
Retenons
Pour montrer qu’un quadrilatère ABCD est un
✓ rectangle, on pourra montrer que ABCD est un parallélogramme
dont le triangle ABC est rectangle en B.
✓ Carré, on pourra montrer que ABCD est un parallélogramme
dont le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
✓ Losange, on pourra montrer que ABCD est un
Parallélogramme tel que (AC)⊥(BD).
Equation d’un cercle
Soit (𝒞) un cercle alors son équation est de la forme : 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑥 +
𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Si son centre est 𝐼(𝑥0; 𝑦0) et son rayon est 𝑅 alors son équation réduite
est de la forme :
(𝑥 − 𝑥0)2
+ (𝑦 − 𝑦0)2
= 𝑅2
Remarque :
Si le cercle (𝒞) a pour diamètre un segment [𝐴𝐵] alors :
Son rayon est 𝑅 =
|𝑧𝐴−𝑧𝐵|
2
Son centre 𝐼 est tel que 𝑧𝐼 =
𝑧𝐴+𝑧𝐵
2
Activité :Approfondissement.
On donne dans un plan complexe muni d’un repère orthonormé direct
(𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽) les points 𝐴 , 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives 3𝑖 , 2 + 𝑖 et −2 + 𝑖
On pose 𝑃(𝑧) = 𝑧4
− 2𝑧3
+ 9𝑧2
− 2𝑧 + 8 et l’équation (𝐸): 𝑃(𝑧) = 0
Consigne :
1) Justifie que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle.
2) Détermine une équation du cercle (𝒞) circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶
3) Justifie que si un nombre complexe 𝑧0 est solution de (𝐸) alors son
conjugué 𝑧̅0 est aussi solution de (𝐸)
4) a) Calcule 𝑃(𝑖)
b) Donne alors deux solutions imaginaires de (𝐸)
c) Trouve 𝑄(𝑧) tel que 𝑃(𝑧) = (𝑧2
+ 1)𝑄(𝑧)
5) Résous dans ℂ l’équation (𝐸)
Résultats attendus (Exécuter avec les apprenants)
Remarque :
Soit (𝐸) une équation à coefficients réels d’inconnue complexe. Si un
nombre complexe 𝑧0 est solution de l’équation (𝐸) alors son conjugué
𝑧̅0 est aussi solution de l’équation (𝐸)
Bloc-notes :

41
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
SEQUENCE 2 : Limites et continuité.
Activité 1: Limites
Conscient que l’étude des fonctions est incontournable pour réussir le
BAC D, Dansou a décidé de commencer sa préparation en se concentrant
sur les notions de limites et continuité. Avant de suivre les pas de
Dansou, il est essentiel de consolider certaines notions de base. Ce rappel
te permettra de mieux comprendre les étapes à venir.
Limites des fonctions élémentaires
𝐥𝐢𝒎 𝒌 = 𝒌
𝒙 → 𝒂
; Si n ∈ ℕ* ; alors
li m 𝑥𝑛
= 𝑎𝑛
𝑥 → 𝑎
Si 𝒂 ≥ 0 alors 𝐥𝐢 𝐦 √𝒙 = √𝒂
𝒙 → 𝒂
;
𝐥𝐢 𝐦 |𝒙| = |𝒂|
𝒙 → 𝒂
lim
𝑥→+∞
𝑥 = +∞ ; 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒙 = −∞ ; lim
𝑥→±∞
𝑥² = +∞ ; 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
√𝒙 = +∞
lim
𝑥→0
𝑥>0
1
𝑥
= +∞ ; 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙<𝟎
𝟏
𝒙
= −∞ ; lim
𝑥→0
𝑥<0
1
𝑥²
= +∞ ; 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
√𝒙
= +∞
lim
𝑥→±∞
1
𝑥
= 0 ; 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝟏
𝒙²
= 𝟎 ; lim
𝑥→+∞
1
√𝑥
= 0
Limite de la somme de deux fonctions
lim
𝑥→𝛼
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝐿 𝐿 +∞ −∞ +∞
lim
𝑥→𝛼
𝑔(𝑥) = 𝐿′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
lim
𝑥→𝛼
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
=
𝐿
+ 𝐿′
+∞ −∞ +∞ −∞ F.I.*
* Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle.
Limite du produit de deux fonctions
∞ désigne +∞ ou −∞
lim
𝑥→𝛼
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝐿 ∞ 0
lim
𝑥→𝛼
𝑔(𝑥) = 𝐿′ ∞ ∞ ∞
lim
𝑥→𝛼
𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) = 𝐿 × 𝐿′ ∞ ∞ F.I.
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞.

42
Limite de QUOTIENT d’une fonction
∞ désigne +∞ ou −∞
lim
𝑥→𝛼
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝐿 ≠ 0 𝐿 ∞ ∞ 0
lim
𝑥→𝛼
𝑔(𝑥) = 𝐿′ ≠ 0 0 ∞ 𝐿 ∞ 0
lim
𝑥→𝛼
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝐿′
∞ 0 ∞ F.I. F.I.
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou
−∞.
Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture :
∞ − ∞ 0 × ∞
∞
∞
0
0
Limite à l’infini
* A l’infini, un polynôme a même limite que son monôme de plus haut degré.
* A l’infini une fraction rationnelle a même limite que le quotient des monômes
de plus haut degré du numérateur et du dénominateur
Consigne 1: Calcul de la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opération
Déterminer les limites suivantes :
a) lim
𝑥→−∞
(𝑥 − 5)(3 + 𝑥2) ; b) lim
𝑥→3−
1−2𝑥
𝑥−3
c) lim
𝑥→+∞
−3𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥 + 1 ; d) lim
𝑥→+∞
2𝑥2−5𝑥+1
6𝑥2−5
e) lim
𝑥→−∞
3𝑥2+2
4𝑥−1
; f ) lim
𝑥→+∞
√𝑥 + 1 − √𝑥 ; g) lim
𝑥→5
√𝑥−1−2
𝑥−5
Résultats attendus
a) lim
𝑥→−∞
(𝑥 − 5)(3 + 𝑥2) = ?
{
lim
𝑥→−∞
𝑥 − 5 = −∞
lim
𝑥→−∞
𝑥2
= +∞ 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑥→−∞
3 + 𝑥2
= +∞
Comme limite d'un produit : lim
𝑥→−∞
(𝑥 − 5)(3 + 𝑥2) = −∞
b) lim
𝑥→3−
1−2𝑥
𝑥−3
= ?
{
lim
𝑥→3−
1 − 2𝑥 = 1 − 2 × 3 = −5
lim
𝑥→3−
𝑥 − 3 = 0−
Une limite de la forme «
5
0
» est égale à « ∞ ».
Donc, d’après la règle des signes, une limite de la forme «
−5
0− » est égale à
« +∞ ».D’où, comme limite d'un quotient : lim
𝑥→3−
1−2𝑥
𝑥−3
= +∞.
c) lim
𝑥→+∞
−3𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥 + 1 =?
• {
lim
𝑥→+∞
−3𝑥3
= −∞
lim
𝑥→+∞
2𝑥2
= +∞.
On reconnait une forme indéterminée du type "∞ − ∞".
• Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut
degré :
−3𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥 + 1 = 𝑥3
(−3 +
2
𝑥
−
6
𝑥2
+
1
𝑥3
)
• lim
𝑥→+∞
2
𝑥
= lim
𝑥→+∞
6
𝑥2 = lim
𝑥→+∞
1
𝑥3 = 0.
Donc, par limite d’une somme :
lim
𝑥→+∞
−3 +
2
𝑥
−
6
𝑥2
+
1
𝑥3
= − 3
• {
lim
𝑥→+∞
−3 +
2
𝑥
−
6
𝑥2
+
1
𝑥3
= − 3
lim
𝑥→+∞
𝑥3
= +∞
Donc, par limite d’un produit :
lim
𝑥→+∞
𝑥3
(−3 +
2
𝑥
−
6
𝑥2
+
1
𝑥3
) = −∞
Soit : lim
𝑥→+∞
−3𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥 + 1 = −∞.
d) lim
𝑥→+∞
2𝑥2−5𝑥+1
6𝑥2−5
=
1
3
.
e) lim
𝑥→−∞
3𝑥2+2
4𝑥−1
= −∞.
f ) lim
𝑥→+∞
√𝑥 + 1 − √𝑥 =?
• lim
𝑥→+∞
√𝑥 + 1 = +∞ et lim
𝑥→+∞
√𝑥 = +∞
Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞ − ∞".
• Levons l'indétermination à l'aide de l'expression conjuguée :

43
lim
𝑥→+∞
(−1 + 𝑥) = lim
𝑥→+∞
(−1 + 𝑥) = +∞
√𝑥 + 1 − √𝑥 =
(√𝑥 + 1 − √𝑥)(√𝑥 + 1 + √𝑥)
√𝑥 + 1 + √𝑥
=
(√𝑥 + 1)
2
− (√𝑥)
2
√𝑥 + 1 + √𝑥
=
𝑥 + 1 − 𝑥
√𝑥 + 1 + √𝑥
=
1
√𝑥 + 1 + √𝑥
• Comme limite d’une somme : lim
𝑥→+∞
√𝑥 + 1 + √𝑥 = +∞.
Et donc, comme limite d’un quotient : lim
𝑥→+∞
1
√𝑥+1+√𝑥
= 0.
Soit lim
𝑥→+∞
√𝑥 + 1 − √𝑥 = 0.
g) lim
𝑥→5
√𝑥−1−2
𝑥−5
=?
• {
lim
𝑥→5
√𝑥 − 1 − 2 = √5 − 1 − 2 = 0
lim
𝑥→5
𝑥 − 5 = 5 − 5 = 0
Il s'agit d'une forme indéterminée du type "
0
0
".
• Levons l'indétermination à l'aide de l'expression conjuguée :
√𝑥 − 1 − 2
𝑥 − 5
=
(√𝑥 − 1 − 2)(√𝑥 − 1 + 2)
(𝑥 − 5)(√𝑥 − 1 + 2)
=
𝑥 − 1 − 4
(𝑥 − 5)(√𝑥 − 1 + 2)
=
𝑥 − 5
(𝑥 − 5)(√𝑥 − 1 + 2)
=
1
√𝑥 − 1 + 2
• lim
𝑥→5
√𝑥 − 1 + 2 = √5 − 1 + 2 = 4
Donc, comme limite d’un quotient, on a : lim
𝑥→5
1
√𝑥−1+2
=
1
4
.
Soit : lim
𝑥→5
√𝑥−1−2
𝑥−5
=
1
4
.
Propriété
Soit u une fonction, 𝑥 0 un nombre réel et 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏 une fonction affine
non constante.La fonction 𝑥𝑢(𝑎𝑥 + 𝑏) admet une limite en 𝑥0 si
seulement si u admet une limite en 𝑎𝑥 0 + 𝑏.
On a alors 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒖(𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝒂𝒙𝟎+𝒃
𝒖(𝒕)
Propriété
gof étant la composée d’une fonction f par une fonction g, 𝑎 un
élément ou une borne d’un intervalle sur lequel gof est définie, si
lim
𝑥→𝑎
𝑓= b et lim
𝑥→𝑏
𝑔= l alors lim
𝑥→𝑎
𝑔𝑜𝑓=l
Consigne 2 : Théorème de comparaison
On considère les fonctions f et g telles que 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 et
𝑔(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑐𝑜𝑠𝑥.
1) lim
𝑥→+∞
√2 −
1
𝑥
.
2) Démontre que ∀ 𝑥 ∈ ℝ , −1 + 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 + 𝑥
3) Déduis-en la limite de 𝑓 en +∞
4) a) Démontre que la fonction 𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑠𝑥 est majorée.
b) Déduis-en la limite de 𝑔 en −∞
5) a) Démontre que la fonction 𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑠𝑥 est minorée.
b) Déduis-en la limite de 𝑔 en +∞
Résultats attendus
1)On a : lim
𝑥→+∞
1
𝑥
= 0, donc lim
𝑥→+∞
2 −
1
𝑥
= 2
Donc, comme limite d’une fonction composée : lim
𝑥→+∞
√2 −
1
𝑥
= √2
En effet, si 𝑥 → +∞, on a : 𝑋 = 2 −
1
𝑥
→ 2 et donc : lim
𝑋→2
√𝑋 = √2.
2) Démontrons que ∀ 𝑥 ∈ ℝ , −1 + 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 + 𝑥
∀ 𝑥 ∈ ℝ , on a successivement :
−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 1
−1 + 𝑥 ≤ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 1 + 𝑥
−1 + 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 + 𝑥
3) Déduction
On a
Alors lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞
4) a) On a ∀ 𝑥 ∈ ℝ , −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1 alors la fonction 𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑠𝑥 est majorée par 1
b) Déduction
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1

44
lim
𝑥→−∞
(𝑥3
+ 1) = −∞ lim
𝑥→−∞
𝑔(𝑥) = −∞
lim
𝑥→+∞
(𝑥3
− 1) = +∞ lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞
−1 + 𝑥3
≤ 𝑥3
+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝑥3
+ 1
−1 + 𝑥3
≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑥3
+ 1
Or donc
5-a) On a ∀ 𝑥 ∈ ℝ , −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1 alors la fonction 𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑠𝑥 est minorée par −1
b) Déduction
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1
−1 + 𝑥3
≤ 𝑥3
+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝑥3
+ 1
−1 + 𝑥3
≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑥3
+ 1
Or donc
Théorèmes de comparaison
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur un intervalle 𝐼 = ]𝑎 ; +∞[.
- Si pour tout 𝑥 de 𝐼, on a : {
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ alors lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞
- Si pour tout 𝑥 de 𝐼, on a {
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = −∞ alors lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞
Théorème des gendarmes :
Soit 𝑓, 𝑔 et ℎ trois fonctions définies sur un intervalle 𝐼 = ]𝑎 ; +∞[.
Si pour tout 𝑥 de 𝐼, on a : {
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
𝑥→+∞
ℎ(𝑥) = 𝐿
alors lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = 𝐿.
Limites d’une fonction croissante :
Soit f une fonction croissante sur  
b
a; (a IR, b IR tels que a < b)
* si f est majorée sur 
b
a; , alors f admet une limite finie à gauche en b ;
* si f est non majorée sur 
b
a; , alors f a pour limite (+ ) à gauche en b ;
* si f est minorée sur 
b
a; , alors f admet une limite finie à droite en a ;
* si f est non minorée sur  
b
a; , alors f a pour limite (-  ) à droite en a
Propriété
Lorsqu’une fonction 𝑓 est définie en 𝑎 et admet une limite en 𝑎, alors
cette limite est égale à 𝑓(𝑎).
Activité 2 : Continuité.
Dansou veut maintenant étudier la continuité du sentier qu’il emprunte
pour aller au cours, au niveau des points de jonction entre les courbes de
deux fonctions différentes en particulier, mais aussi la continuité le long
du sentier en général.
Consigne 1 : Prolongement par continuité.
On considère la fonction numérique de variable réelle 𝑥 définie
par : 𝑓(𝑥)=
𝑥2−36
𝑥−6
.
1) Détermine l’ensemble de définition de f.
2) Etudie la limite de f en 6.
3) Définis une fonction g définie sur ℝ, continue en 6 et qui coïncide avec
𝑓 sur ℝ{6} .On dit que g est le prolongement par continuité de f en
6.
Résultats attendus
1) 𝐷𝑓 = ℝ{6}
2) lim
𝑥→6
𝑓(𝑥) = 12
3) On a :
𝑔(𝑥) = {
𝑥2−36
𝑥−6
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 6
12 𝑠𝑖 𝑥 = 6
ou {
𝑔(𝑥) =
𝑥2−36
𝑥−6
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 6
𝑔(6) = 12
Prolongement par continuité
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐷𝑓 , 𝑥0 un nombre réel tel
que 𝑥0 ∉ 𝐷𝑓 .
Si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑙 avec 𝑙 un nombre réel alors 𝑓 admet un prolongement
par continuité en 𝑥0 .
Si g est ce prolongement par continuité, on a : 𝑔(𝑥) = {
𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑥0
𝑙 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0
ou {
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑥0
𝑔(𝑥0) = 𝑙

45
lim
𝑥→𝑥0
<
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
lim
𝑥→𝑥0
>
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
lim
𝑥→𝑥0
<
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
>
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
Propriétés : Soit une fonction 𝑓 définie sur un intervalle 𝐼
contenant un réel 𝑎.
- 𝑓 est continue en 𝑎 si : lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
- 𝑓 est continue sur 𝐼 si 𝑓 est continue en tout point de 𝐼.
Continuité à gauche et à droite en un point.
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐾 contenant 𝑥0
On dit que 𝑓 est continue à gauche en 𝑥0 lorsque
On dit que 𝑓 est continue à droite en 𝑥0 lorsque
On dit que 𝑓 est continue en 𝑥0 lorsqu’elle est continue à gauche et à
droite en 𝑥0 c’est à dire
Et on note : lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
Remarque
Une fonction dite est continue en a lorsqu’elle est définie en a et admet
une limite en a.
Reconnaissance graphique d’une fonction continue en un point a
Continuité des fonctions élémentaires
Les fonctions suivantes sont continues sur l’intervalle donné.
Fonction Intervalle
|𝑥| ℝ
𝑥𝑛
(𝑛 ∈ ℕ) ℝ
Polynôme ℝ
√𝑥 [0 ; +∞[
1
𝑥
]−∞ ; 0[
et ]0 ; +∞[
sin 𝑥 ℝ
cos 𝑥 ℝ
Opérations sur les fonctions continues
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle 𝐾.
• Les fonctions 𝑓 + 𝑔 et 𝑓 × 𝑔 sont continues sur 𝐾
• Si 𝑓 est positive sur 𝐾 alors 𝑥 ⟼ √𝑓(𝑥) est continue sur 𝐾
• Si 𝑔 est non nulle sur 𝐾 alors
1
𝑔
𝑒𝑡
𝑓
𝑔
sont continues sur 𝐾

46
Consigne 2 : Consolidation des acquis.
Soit 𝑓 la fonction numérique de la variable réelle 𝑥 définie par
{
𝑓(𝑥) =
3+𝑥
𝑥−1
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑓(𝑥) = 2𝑥3
− 𝑥 − 3 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 2
𝑓(𝑥) =
6𝑥
𝑥+4
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
1) Détermine l’ensemble de définition E de 𝑓.
2) Etudie la continuité de 𝑓 en 0 et en 2.
3) Etudie la continuité de 𝑓sur E.
Résultat attendu (Exécutez avec les apprenants)
Image d’un intervalle par une fonction continue
Si 𝑓 est une fonction continue sur un intervalle I, alors 𝑓(𝐼) est un
intervalle ;
Si f est une fonction continue sur [a, b] (a∈IR, b ∈IR tels que a < b),
alors il existe deux nombres réels m et M (m ≤ M) tels que f([a, b])
= [m, M]
Propriété
a et b sont des éléments de IR tels que a < b, 𝑓 est une fonction
admettant une limite à droite en a et une limite à gauche en b.
* si 𝑓 est continue et strictement croissante sur [a ; b] alors
𝑓(([𝑎 ; 𝑏]) = [𝑓(𝑎) ; 𝑓(𝑏)]
* si f est continue et strictement décroissante sur [a ; b] alors
𝑓([𝑎 ; 𝑏]) = [𝑓(𝑏) ; 𝑓(𝑎)]
* si f est continue et strictement croissante sur  
b
a;
alors 𝑓(  =
)
;b
a 





→ a
x
x
f
x
f )
(
lim
);
(
lim
(a pouvant être
éventuellement - ∞ et b, +∞)
* si 𝑓 est continue et strictement décroissante sur  
b
a;
alors 𝑓(   





→
=
b
x
x
f
x
f
b
a
)
(
lim
);
(
lim
)
;
Théorème des valeurs intermédiaires :
● On considère la fonction 𝑓 continue sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏].
Pour tout réel 𝑘 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏), l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑘
admet au moins une solution comprise entre 𝑎 et 𝑏.
● Dans le cas où la fonction 𝑓 est strictement monotone sur l'intervalle
[𝑎 ; 𝑏], alors la solution est unique.
x b
→
x→a

47
Dans la pratique :utilisation du théorème des valeurs
intermédiaires
Soit 𝑓 une fonction numérique à variables réelles définie sur un
intervalle 𝐾 contenant deux réels 𝑎 et 𝑏(𝑎 < 𝑏).
Equation du type 𝒇(𝒙) = 𝒄 , 𝒄 ∈ ℝ
Pour justifier que l’équation du type 𝑓(𝑥) = 𝑐 , 𝑐 ∈ ℝ admet au
moins une solution dans ]𝑎 ; 𝑏[ ,
• On justifie 𝑓 est continue sur [𝑎 ; 𝑏]
• On calcule 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏)
• On vérifie que le réel 𝑐 est strictement compris entre 𝑓(𝑎) et
𝑓(𝑏)
Si de plus la fonction 𝒇 est strictement monotone sur [𝒂 ; 𝒃]
alors la solution devient unique.
Equation du type 𝒇(𝒙) = 𝟎
Pour justifier que l’équation du type 𝑓(𝑥) = 0 admet au moins une
solution dans ]𝑎 ; 𝑏[ ,
• On calcule 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0
Si de plus la fonction 𝒇 est strictement monotone sur [𝒂 ; 𝒃]
alors la solution devient unique.
Equation du type 𝒇(𝒙) = 𝒙
Pour justifier que l’équation du type 𝑓(𝑥) = 𝑥 admet au moins une
solution dans ]𝑎 ; 𝑏[ ,
➢ 1ère méthode
• On pose 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑥
• On justifie que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet au moins une solution
dans ]𝑎 ; 𝑏[
➢ 2ème méthode
• On justifie que 𝑓([𝑎 ; 𝑏]) ⊂ [𝑎 ; 𝑏]
Pour chaque méthode, si de plus la fonction 𝒇 est strictement
monotone sur [𝒂 ; 𝒃] alors la solution devient unique.
Résultat attendu

48
Propriétés
• Soit f une fonction continue sur un intervalle K.
* S’il existe deux éléments a et b (a< b) de K tels que f(a) et f(b)
sont de signes contraires, alors l’équation f(x) = 0 dans K admet au
moins une solution appartenant à  
b
a, ;
* Si 𝑓 ne s’annule pas sur K, alors f garde un signe constant sur K.
• Soit a et b deux nombres réels tels que a < b
si 𝑓 est continue sur [a, b] alors le sens de variation de 𝑓 sur [a ; b]
est celui de f sur  
b
a,
Propriété
K est un intervalle non vide, 𝑓 une fonction numérique définie sur
K, g une fonction définie de K dans 𝑓(K) telle que, pour tout 𝑥
élément de K,
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) ;
si 𝑓 est continue et strictement monotone sur K alors g est bijective
et g-1 est continue et strictement monotone sur f(K) et g-1 varie dans
le même sens que g. (Dans ce cas, f réalise une bijection de K sur
f(K))
Remarque
Toue fonction continue et strictement monotone est bijective.
Consigne 4 :Application sur la bijection
Soit f une fonction continue sur ]0; +∞[ dont le tableau de variation est
dressé ci-dessous :
x 0 +∞
f’(x) +
f(x)
2
-1
1) Démontre que f admet une bijection réciproque que l’on notera 𝑓−1
2) a-Donne le sens de variation de 𝑓−1
.
b-Dresse le tableaude variation de 𝑓−1

49
Résultat attendu
Consigne 5 : Fonction racine nième et Puissance d’exposant
rationnel d’un nombre réel
Soit 𝑛 un nombre entier naturel 𝑛 ≥ 2
On considère la fonction ϕn suivante :
𝜙 : ℝ+ → ℝ+
𝑥 ↦ 𝑥𝑛
Démontre que ϕ est bijective.
Résultat attendu
Démontre que ϕ est bijective.
La fonction 𝜙 est définie, continue et dérivable sur ℝ+ car étant
polynôme.
Pour tout 𝑥 ∈ ℝ+, on a 𝜙′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
≥ 0 alors la fonction 𝜙 est
strictement croissante sur ℝ+.
La fonction 𝜙 est continue et strictement croissante sur ℝ+ alors
elle bijective.
Définition
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
la fonction racine nième est la bijection réciproque de la fonction
𝜙 : ℝ+ → ℝ+
𝑥 ↦ 𝑥𝑛
Puissance d’exposant rationnel d’un nombre réel strictement positif
Soit p є Z ; q єIN* et x єIR* on appelle puissance d’exposant
q
p
de x
et on note 𝑥
𝑝
𝑞, le nombre défini par 𝑥
𝑝
𝑞 = (𝑥
1
𝑞)
𝑝
Propriétés :
soit r et r’ deux nombres rationnels non nuls, x et y deux nombres
réels strictement positifs
* xr × yr = (xy)r ;
* (xr)r’ = x r r’
*
r
r
r
y
x
y
x








=
* xr × xr’ = xr+r’
Remarque :
Soit p є Z ; q єIN* ; x є IR+ * , y є IR+ * et q єIN*.
On a :
√𝑥
𝑛
= 𝑥
1
𝑛
√𝑥𝑝
𝑞
= (𝑥𝑝)
1
𝑞 = 𝑥
𝑞
𝑝
√𝑥𝑛
𝑛
= (𝑥𝑛)
1
𝑛 = 𝑥
𝑛
𝑛 = 𝑥
𝑥𝑛
= 𝑦 ⟺ 𝑥 = √𝑦
𝑛
⟺ 𝑥 = 𝑦
1
𝑛
Calcule les nombres : √32
5
; √0,000064
6
, 16
3
4 𝑒𝑡
√32
3
× √0,064
3
√4
3
× √8
3
Résultat attendu
√32
5
= 2 ; √0,000064
6
=
1
5
; 16
3
4 = 8

50
𝑓
𝑔
′
(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
<
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
𝑓𝑑
′
(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
>
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 3: Dérivabilité-Etude de fonctions
Activité 1 : Dérivabilité en un point
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐾 contenant un nombre réel 𝑥0 et
(𝒞) sa courbe.
On pose :
• Si 𝑓𝑔
′
(𝑥0) ∈ ℝ , alors la fonction 𝑓 est dérivable à gauche en 𝑥0 et la courbe
(𝒞) admet à gauche en 𝑥0 un demi tangent d’équation
{
𝑦 = 𝑓𝑔
′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0)
𝑥 ≤ 𝑥0
• Si 𝑓𝑑
′
(𝑥0) ∈ ℝ , alors la fonction 𝑓 est dérivable à droite en 𝑥0 et la courbe
(𝒞) admet à droite en 𝑥0 un demi tangent d’équation
{
𝑦 = 𝑓𝑑
′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0)
𝑥 ≥ 𝑥0
• Si la fonction 𝑓 est dérivable à gauche et à droite en 𝑥0 et 𝑓𝑔
′(𝑥0) = 𝑓𝑑
′
(𝑥0)
alors la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥0 et on note 𝑓′(𝑥0) = 𝑓𝑔
′(𝑥0) = 𝑓𝑑
′(𝑥0)
son nombre dérivé. Dans ce cas la courbe (𝒞) admet en 𝑥0 une tangente
d’équation :
(T) : 𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0)
• Si lim
𝑥→𝑥0
>
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
= ±∞ alors la fonction 𝑓 n’est pas dérivable à gauche en
𝑥0
• Si lim
𝑥→𝑥0
<
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
= ±∞ alors la fonction 𝑓 n’est pas dérivable à droite en 𝑥0
Consigne 1 : Application sur dérivabilité en un point.
{
𝑓(𝑥) =
𝑥3−𝑥−1
𝑥−1
𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) =
1
𝑥+√1+𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑓(0) = 1
1) Détermine l’ensemble de définition de 𝑓.
2) Étudier la dérivabilité de f en 0 .

51
Résultat attendu
1) Soit D l’ensemble de définition. On a D= ℝ
2) Étudions la dérivabilité de f en 0.
Interprétation géométrique du nombre dérive
Nombre dérivée Interprétation
géométrique
Représentatio
n graphique
lim
𝑥→𝑥0
<
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
= −∞
La courbe (𝒞) admet à
gauche en 𝑥0 un demi
tangent (verticale)
dirigée vers le haut.
Son équation est :
{
𝑥 = 𝑥0
𝑦 ≥ 𝑓(𝑥0)
lim
𝑥→𝑥0
<
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
= +∞
gauche en 𝑥0 un demi
tangent (verticale)
dirigée vers le bas.
Son équation est :
{
𝑥 = 𝑥0
𝑦 ≤ 𝑓(𝑥0)
lim
𝑥→𝑥0
>
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
= −∞
droite en 𝑥0 un demi
tangent (verticale)
dirigée vers le bas.
Son équation est :
{
𝑥 = 𝑥0
𝑦 ≤ 𝑓(𝑥0)
lim
𝑥→𝑥0
>
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
= +∞
droite en 𝑥0 un demi
tangent (verticale)
dirigée vers le haut.
Son équation est :
{
𝑥 = 𝑥0
𝑦 ≥ 𝑓(𝑥0)
Opérations sur les fonctions dérivables
➢ Une fonction 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐾 lorsqu’elle est
dérivable en tous points de 𝐾
➢ Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables sur un intervalle 𝐾.
• Les fonctions 𝑓 + 𝑔 et 𝑓 × 𝑔 sont dérivables sur 𝐾
• Si 𝑓 est strictement positive sur 𝐾 alors 𝑥 ⟼ √𝑓(𝑥) est dérivable
sur 𝐾
• Si 𝑔 est non nulle sur 𝐾 alors
1
𝑔
𝑒𝑡
𝑓
𝑔
sont dérivables sur 𝐾.

52
M0
M0
M0
Points particuliers d’une courbe
Extremum d'une fonction
La fonction admet un maximum au
point où la dérivée s’annule et
change de signe.
La fonction admet un minimum au
point où la dérivée s’annule et
change de signe.
Point anguleux :
Cf est la courbe représentative d’une fonction f. M0 est le point de C
d’abscisse x0. M0 est un point anguleux lorsque C admet en M0 deux demi-
tangentes de supports distincts. C’est le cas par exemple lorsque fg’(x0) et
fd’(x0) existent et sont différents.
Point d’inflexion :
Cf est la courbe représentative d’une fonction f. M0 est le point de C
d’abscisse x0. M0 est un point d’inflexion lorsque la tangente à C en M0
traverse C. C’est le cas par exemple lorsque f’(x) s’annule sans changer de
signe.
Consigne 2 : réinvestissement
En utilisant les données de la consigne précédente ;
1) Préciser l’intervalle de IR sur lesquels f est dérivable.
2) Donner une interprétation géométrique des résultats.
Résultat attendu
1) Les fonctions 𝑥 ↦
𝑥3−𝑥−1
𝑥−1
𝑒𝑡 𝑥 ↦
1
𝑥+√1+𝑥2
𝑠𝑜𝑛𝑡 respectivement dérivables sur ]−∞; 0[ et
]0; +∞[
De plus 𝑓 est dérivable à droite et à gauche en 0 et on a
𝑓
𝑔
′(0) ≠ 𝑓𝑑
′(0)
Donc 𝑓 n’est pas dérivable en 0.
Alors 𝑓 est dérivable en tout point de IR*.
2) Une interprétation géométrique des résultats :
La courbe (c) de la fonction admet en son point d’abscisse 0,
deux demi-tangentes, l’une à gauche et l’autre à droite,
définies respectivement par
Soit

53
Dérivées des fonctions élémentaires
Fonction f Dérivée f’ Ensemble de
dérivabilité
𝑥 ⟼ 𝑘 ; 𝑘 ∈ ℝ 𝑥 ⟼ 0 ℝ
𝑥 ⟼ 𝑥 𝑥 ⟼ 1 ℝ
𝑥 ⟼
1
𝑥
𝑥 ⟼ −
1
𝑥2
ℝ∗
𝑥 ⟼ 𝑥𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ∗
𝑥 ⟼ 𝑛𝑥𝑛−1
ℝ∗
, 𝑠𝑖 𝑛 < 0
ℝ , 𝑠𝑖 𝑛 > 0
𝑥 ⟼ √𝑥
𝑥 ⟼
1
2√𝑥
ℝ+
∗
𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ℝ
𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 ⟼ −𝑠𝑖𝑛𝑥 ℝ
𝑥 ⟼ 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 ⟼ 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 ℝ ∖ {
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
Dérivées et opérations sur les fonctions
Fonction f Dérivée f’
𝑢 + 𝑣 𝑢′
+ 𝑣′
𝑘𝑢 ; 𝑘 ∈ ℝ 𝑘𝑢′
𝑢𝑣 𝑢′
𝑣 + 𝑣′𝑢
1
𝑣
−
𝑣′
𝑣2
𝑢
𝑣
𝑢′
𝑣 − 𝑣′𝑢
𝑣2
𝑢𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ∗
𝑛𝑢′𝑢𝑛−1
√𝑢 𝑢′
2√𝑢
𝑥 ⟼ 𝑢(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑥 ⟼ 𝑎𝑢(𝑎𝑥 + 𝑏)
Consigne 3 : Dérivée successive, développement limité
Soit f la fonction numérique de variable réelle x définie sur ]-1 ;
+∞[ par
𝑓(𝑥) =
1
𝑥+1
.
1) Détermine la fonction dérivée première de 𝑓.
2) Détermine la fonction dérivée première de 𝑓′ . Notons 𝑓’’ cette
dérivée.
3) Détermine la fonction dérivée première 𝑓(3) de 𝑓 ’’.
Résultat attendu (Exécutez avec les apprenants)
Dérivées successives
Soit 𝑓 une fonction 𝑛 fois dérivable où 𝑥 est la variable.
• La dérivée première de la fonction 𝑓 est notée 𝑓’ ou
𝑑𝑓
𝑑𝑥
• La dérivée seconde de la fonction 𝑓 est la dérivée première
de la fonction 𝑓′ et est notée 𝑓′’ ou
𝑑2𝑓
𝑑𝑥2
• La dérivée d’ordre 3 de la fonction 𝑓 est la dérivée première
de la fonction 𝑓′′ et est notée 𝑓′’′ ou 𝑓(3)
ou encore
𝑑3𝑓
𝑑𝑥3
• D’une manière générale, la dérivée d’ordre 𝑛 de la fonction
𝑓 est notée ou 𝑓(𝑛)
ou
𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑥𝑛
Développement limité d’ordre 𝒏 en 𝟎
Soit 𝑢 une fonction 𝑛 𝑓𝑜𝑖𝑠 dérivable sur un intervalle 𝐾, 0 ∈ 𝐾 et
𝑛 ∈ {1,2,3}
Alors le développement limité d’ordre 𝑛 de 𝑢 au voisinage de 0 est :
𝑥 ⟼ 𝑢(0) +
𝑢′(0)
1!
𝑥 +
𝑢′′(0)
2!
𝑥2
+ ⋯ +
𝑢(𝑛)(0)
𝑛!
𝑥𝑛
+ 𝑥𝑛
𝜀(𝑥) avec
𝜀(𝑥) = 0
𝑥→0
𝑙𝑖𝑚

54
On pose 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
et 𝑢(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥
1) Détermine le développement limité d’ordre 3 de 𝑢 en 0.
2) Déduis-en que la fonction 𝑓 admet un prolongement par
continuité en 0 que tu préciseras.
Résultat attendu
1) On trouve 𝑥 ⟼ 𝑥 −
𝑥3
6
+ 𝑥3
𝜀(𝑥) avec 𝜀(𝑥) = 0
𝑥→0
𝑙𝑖𝑚
2)𝐷𝑓 = ℝ{0} et lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 1.
Alors la fonction 𝑓 admet un prolongement par continuité en 0.
Soit 𝑔 ce prolongement par continuité en 0.
On a :𝑔(𝑥) = {
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
1 𝑠𝑖 𝑥 = 0
Dérivabilité de la composée de deux fonctions.
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle K, g une fonction
dérivable sur un intervalle contenant f(K). Alors la fonction gof est
dérivable sur K et on a : (gof)’ = f ’ × g’of
Dérivabilité de la bijection réciproque d’une fonction.
Propriété
Soit 𝑓 une fonction numérique dérivable, strictement monotone
sur un intervalle K, telle que :  x K, f’(x) ≠ 0.
Soit φ l’application définie de K dans 𝑓(K) par φ (𝑥) = 𝑓 (𝑥). φ est
bijective et sa réciproque φ-1 est dérivable sur 𝑓 (𝐾) et
(φ-1)’ = 1
'
1
−

 o
;
Remarque
Lorsque f est dérivable sur K, l’ensemble de dérivabilité de φ-1 est
D= {x f(K), f ’ (φ-1 (x)) ≠ 0}
{
𝑓(𝑥) =
𝑥3−𝑥−1
𝑥−1
𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) =
1
𝑥+√1+𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑓(0) = 1
Et 𝑢 la fonction definie par 𝑢(𝑥) = 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 2 telle que :
∀ 𝑥𝜖] − ∞; 𝛼[, 𝑢(𝑥) < 0 ; ∀ 𝑥𝜖]𝛼; +∞[, 𝑢(𝑥) > 0 ; −
4
3
< 𝛼 < −
2
3
𝑓 est dérivable en tout point de IR*.
Partie A
1) a-Calculer f ’(x) pour x<0 (on exprimera f ’(x) en fonction de
u(x)).
b-Déduis-en le signe de f (x) et précise le sens de variation de f.
2) Calcule f ‘(x) pour x≥0.
3) Résous l’équation 𝑥 + √1 + 𝑥2 = 0 et déduis-en le sens de
variation de f sur ]0 ; +∞[ .
4) a-Calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de
définition.
b) Dresse le tableau de variation de f sur IR.
c)Étudie les branches infinies de (C).
5) Montre que 𝑓(𝑥) =
1
2
(3𝛼 + 1 −
3
𝛼−1
𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒
2
15
< 𝑓(𝛼) <
2
5
6) Trace la courbe représentative (C) de 𝑓
Partie B
Soit g la fonction la restriction de f sur I=]0 ; +∞[ vers f( ]0 ; +∞[)
1) Déterminer f(I).
2) a- Démontre que g admet une application réciproque 𝑔−1
.
b) Étudier la continuité et la dérivabilité de 𝑔−1
sur son ensemble
de définition.
c) Tracer la courbe représentative de 𝑔−1
dans le même repère que
(C).
3) Expliciter 𝑔−1
(𝑥) , ∀ x ∈ I.

55
Résultat attendu
Partie A
1) a-Calculons f ’(x) pour x<0
b-Le signe de f (x) et le sens de variation de f.
2) Calculons f ‘(x) pour x≥0.
3) Résolvons l’équation 𝑥 + √1 + 𝑥2 = 0 .
Le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[.
4) a-Calculons les limites de f aux bornes de son ensemble de
définition.
On a : D= IR
b) Le tableau de variation de f sur IR.
c)Étudions les branches infinies de (C).
5) Montrons que 𝑓(𝑥) =
1
2
(3𝛼 + 1 −
3
𝛼−1
𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒
2
15
< 𝑓(𝛼) <
2
5
Encadrement
2
15
< 𝑓(𝛼) <
2
5

56
6)La courbe représentative (C) de 𝑓
Partie B
1) Déterminons f(I).
2) a- Démontrons que g admet une application réciproque 𝑔−1
.
c) Traçons la courbe représentative de 𝑔−1
dans le même repère
que (C).
3) Explicitons 𝑔−1
(𝑥) , ∀ x ∈ I.

57
Résultat attendu

58
Consigne 6 : Inégalités des accroissements finis
𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle K, a et b deux éléments de
K (a < b). Il existe deux nombres réels m et M tels que pour tout x élément
de [a, b], 𝑚 ≤ 𝑓’(𝑥) ≤ 𝑀
1) On pose 𝑔(𝑥) = 𝑀𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 ℎ(𝑥) = 𝑚𝑥 − 𝑓(𝑥).
a-Détermine le sens de variation de 𝑔 𝑒𝑡 ℎ 𝑠𝑢𝑟 𝐾
b-Déduis-en que pour a et b deux éléments de K (a < b) on a
𝑓(𝑏)– 𝑓(𝑎) ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑒𝑡 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓(𝑏) – 𝑓(𝑎).
C) Conclure.
2) Donner un encadrement de √10001 en utilisant les inégalités des
accroissements finis.
Résultat attendu
1) a-Déterminons le sens de variation de 𝑔 𝑒𝑡 ℎ 𝑠𝑢𝑟 𝐾.
• 𝑔 est dérivable sur 𝐾 .
∀ 𝑥 𝜖 𝐾;𝑔′(𝑥) = 𝑀 − 𝑓′(𝑥) or 𝑓’(𝑥) ≤ 𝑀 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑀 − 𝑓′(𝑥) ≥ 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
𝑔′(𝑥) ≥ 0 ainsi 𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝐾.
• ℎ est dérivable sur 𝐾 .
∀ 𝑥 𝜖 𝐾;ℎ′(𝑥) = 𝑚 − 𝑓′(𝑥) or 𝑚 ≤ 𝑓’(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑚 − 𝑓′(𝑥) ≤ 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
ℎ′(𝑥) ≤ 0 ainsi ℎ 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝐾.

59
b-Déduction
Soit a et b deux éléments de K telle que a < b.
• On a : 𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝐾 donc 𝑔(𝑎) ≤ 𝑔(𝑏) alors
𝑀𝑎 − 𝑓(𝑎) ≤ 𝑀𝑏 − 𝑓(𝑏) ainsi 𝒇(𝒃)– 𝒇(𝒂) ≤ 𝑴(𝒃 − 𝒂)
• On a : ℎ 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝐾 donc ℎ(𝑏) ≤ ℎ(𝑎) alors
𝑚𝑏 − 𝑓(𝑏) ≤ 𝑚𝑎 − 𝑓(𝑎) ainsi 𝒎(𝒃 − 𝒂) ≤ 𝒇(𝒃) – 𝒇(𝒂).
c-Conclusion : 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓(𝑏) – 𝑓(𝑎) ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎).
C’est le théorème des inégalités des accroissements finis.
2) Donnons un encadrement de √10001 en utilisant les inégalités des
accroissements finis.
Propriété (Théorème des inégalités des accroissements finis)
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle K, a et b deux
éléments de K (a < b). S’il existe deux nombres réels m et M
tels que pour tout x élément de [a, b],
𝑚 ≤ 𝑓’(𝑥) ≤ 𝑀, alors 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓(𝑏) – 𝑓(𝑎) ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎).
Théorème des inégalités des accroissements finis avec
valeurs absolues :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle K, a et b deux éléments de
K .
S’il existe un nombre réel M tel que pour tout x de l’intervalle
[a, b],
| 𝑓’(𝑥)| ≤ 𝑀, alors | 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| ≤ 𝑀 |𝑏 − 𝑎|
Activité 2: Etude de fonction
Parité d’une fonction
Soit 𝑓 une fonction définie sur 𝐷𝑓
Si ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑒𝑡 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) alors la fonction 𝑓 est paire.
Si ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑒𝑡 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) alors la fonction 𝑓 est impaire.
Remarque
Etudier la parité d’une fonction revient à vérifier si elle est paire, impaire
ou si elle n’est ni paire ni impaire.
Périodicité d’une fonction
Soit 𝑓 une fonction définie sur 𝐷𝑓 et 𝑇 ∈ ℝ∗
. On dit que 𝑓 est périodique
de période T lorsque :
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐷𝑓 𝑒𝑡 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥)
Eléments de symétrie
Axe de symétrie
Méthode 1
Le repère (O, I, J) est orthogonal. Soit 𝑓 une fonction et (Cf) sa
représentation graphique. Df son ensemble de définition.
Pour démontrer que la droite (D) d’équation x=a est un axe de symétrie
de (Cf), on peut vérifier que pour tout nombre réel h tel que
(a+h) Df, on a : (a-h)Df et 𝒇(a-h) = 𝒇(a+h)
Méthode 2

60
Le repère (O, I, J) est orthogonal. Soit 𝑓 une fonction et (Cf) sa
représentation graphique. Df son ensemble de définition.
Pour démontrer que la droite (D) d’équation x=a est un axe de symétrie
de (Cf), on peut vérifier que pour tout nombre réel
xDf, on a : (2a-x)Df et 𝒇(2a-x) = 𝒇(x).
Centre de symétrie
Méthode 1
Soit 𝑓 une fonction et (Cf) sa représentation graphique. Df son ensemble
de définition.
Pour démontrer que le point  (a,b) est un centre de symétrie de (Cf), on
peut vérifier que, pour tout nombre réel h tel que
(a+h)  Df, on a : (a-h)Df et
( ) ( ) b
h
a
f
h
a
f
=
−
+
+
2
Méthode 2
Soit 𝑓 une fonction et (Cf) sa représentation graphique. Df son ensemble
de définition.
Pour démontrer que le point  (a,b) est un centre de symétrie de (Cf), on
peut vérifier que, pour tout nombre réel
xDf, on a : (2a-x)  Df et 𝒇(2a-𝒙) + f(x)=2b
Branches infinies
Soit 𝑓 une fonction et (𝒞𝑓) sa représentation graphique.
Asymptote verticale
𝑥0 est un nombre réel. Si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = ±∞ alors la droite d’équation
𝑥 = 𝑥0 est asymptote verticale à la courbe (𝒞𝑓)
Asymptote horizontale
𝑦0 est un nombre réel.
Si lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = 𝑦0 alors la droite d’équation 𝑦 = 𝑦0 est asymptote
horizontale à la courbe (𝒞𝑓) au voisinage de ±∞
Asymptote oblique
Si lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = ±∞ alors on dit qu’il y a possibilité d’asymptote
oblique et on calcule
1er cas lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
Si lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= ±∞ alors la courbe (𝒞𝑓) admet une branche parabolique
de direction celle de l’axe des ordonnées au voisinage de ±∞.
2ème cas
Si lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 0 alors la courbe (𝒞𝑓) admet une branche parabolique de
direction celle de l’axe des abscisses au voisinage de ±∞.
3ème cas
Si lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑎 avec 𝑎 ∈ ℝ∗
, on calcule lim
𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥] et on a les cas
suivants :
i)Si lim
𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥] = ±∞ alors la courbe (𝒞𝑓) admet une branche
parabolique de direction celle de la droite d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 au
voisinage de ±∞
ii) Si lim
𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥] = 𝑏 avec 𝑏 ∈ ℝ alors la droite d’équation 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏 est asymptote oblique à la courbe (𝒞𝑓) au voisinage de ±∞
Remarque
Soi Soit 𝑓 un fonction, (𝒞𝑓) sa représentation graphique et
(𝐷): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 une droite avec 𝑎 et 𝑏 des nombres réels.
Si lim
𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0 alors la droite d’équation
(𝐷): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 est asymptote oblique à la courbe (𝒞𝑓) au voisinage de
±∞

61
On considère la fonction numérique de variable réelle définie par :
On désigne par (𝐶) sa courbe représentative dans le plan muni d’un
repère orthonormé (𝑂, 𝑖; 𝑗).
1) a- Déterminer l’ensemble de définition D de 𝑓.
b-Etudier la continuité de 𝑓 en
𝜋
2
puis conclure quant à la
continuité de 𝑓 sur 𝔇.
2) a- Étudier la dérivabilité de 𝑓 en 0 et en
𝜋
2
puis déduis-en
l’ensemble de dérivabilité E de 𝑓.
b-La fonction 𝑓 a-t-elle un point anguleux 0 en ou en
𝜋
2
?
3) a-Calculer la dérivée première 𝑓′
de 𝑓 pour tout 𝑥 de E puis donner
le signe de 𝑓′.
b-Vérifier si 𝑓 admet un point d’inflexion.
4) Calculer les limites de 𝑓 aux bornes de D puis dresser le tableau de
variation de 𝑓.
5) Étudier les branches infinies de (𝐶) puis dresser la courbe
représentative (𝐶) de 𝑓.
Résultat attendu

62
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 4: Primitive, fonctions logarithmes népérien et exponentielle
et fonctions puissance.
Activité : Primitives
Dansou après avoir pris connaissance de la notion des dérivées, veut
connaître les liens entre une fonction et sa dérivée.
Consigne 1: Découverte-Propriétés.
Soit les fonctions de ℝ vers ℝ définies par :
𝑓(𝑥) = 2𝑥2
−
3
√1−𝑥
+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 ; 𝐹(𝑥) =
2
3
𝑥3
+ 6√1 − 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥 et
𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 𝑜ù 𝑐 ∈ ℝ
1- Calcule 𝐹′
(𝑥) et 𝐺′
(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ ] − ∞; 1[
2- Que constate-on ? On dit les fonctions 𝑭 et 𝑮 sont des primitives de
la fonction 𝒇.
Résultat attendu
1)𝑓(𝑥) = 2𝑥2
−
3
√1−𝑥
+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 𝑒𝑡 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 𝑜ù 𝑐 ∈ ℝ
Calculons 𝐹′
(𝑥) et 𝐺′
(𝑥)
• 𝐹est dérivable sur ] − ∞; 1[ et pour tout 𝑥 ∈] − ∞; 1[,
𝐹(𝑥) = 2𝑥2
−
3
√1−𝑥
+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2
• 𝐹 étant dérivable sur ] − ∞; 1[ et 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 𝑜ù 𝑐 ∈ ℝ
alors 𝐺 est dérivable sur ] − ∞; 1[ et pour tout
𝑥 ∈] − ∞; 1[, 𝐺′(𝑥) = 𝐹′(𝑥)
2) On constate que 𝐹′
(𝑥) = 𝐺′(𝑥)=𝑓(𝑥)
Exploitation des résultats
F et G sont des fonctions dérivables sur ] − ∞; 1[ et pour tout
𝑥 ∈ ] − ∞; 1[, 𝐹′
(𝑥) = 𝐺′(𝑥)=𝑓(𝑥). On dit que les fonctions 𝑭 et 𝑮 sont
des primitives de la fonction 𝒇 sur ] − ∞; 1[.
Définition :
𝑓 est une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive sur I de la fonction 𝑓 toute fonction F dérivable sur
I telle que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Propriétés
✓ Toute fonction continue sur un intervalle I admet de primitives sur I.
✓ Soit 𝑓 une fonction admettant une primitive particulière F sur un
intervalle I. Alors, pour toute constante réelle C, la fonction 𝑥 ⟼ F(𝑥)

63
+ C est une primitive de 𝑓 sur I et, toute primitive de 𝑓 sur I, est de la
forme ↦ F(𝑥) + C.
✓ 𝑓 est une fonction continue sur un intervalle I, 𝑥0 un nombre réel de
I et 𝑦0 un nombre réel. Il existe une et une seule primitive de la
fonction 𝑓 sur I qui prend la valeur 𝑦0 en 𝑥0.
✓ Si F et G sont des primitives respectives des fonctions 𝑓 et 𝑔 sur un
intervalle I alors, pour tous nombres réels 𝑎 et 𝑏, la fonction (𝑎F+𝑏G)
est une primitive de la fonction 𝑎𝑓 + 𝑏𝑔 sur I.
Primitives des fonctions élémentaires
𝐹𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 Une primitive de 𝑓 Sur l’intervalle
𝑥 ↦ 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ 𝑥 ↦ 𝑎𝑥 ℝ
𝑥 ↦ 𝑥𝑟
,𝑟 ∈ ℝ∗
−
{−1}
𝑥 ↦
1
𝑟 + 1
𝑥𝑟+1 ℝ
𝑥 ↦
1
𝑥𝑟
, 𝑟 ∈ ℝ∗
∖ {1} 𝑥 ↦
−1
(𝑟 − 1)𝑥𝑟−1
]-∞; 0[ 𝑜𝑢 ]0; +∞[
𝑥 ↦ √𝑥
𝑥 ↦
2
3
𝑥√𝑥
]0; +∞[
𝑥 ↦
1
√𝑥
𝑥 ↦2√𝑥 ]0; +∞[
𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 ↦ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ℝ
𝑥 ↦ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 ↦ −𝑐𝑜𝑠𝑥 ℝ
𝑥 ↦
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑥 ↦ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ]−
𝜋
2
;
𝜋
2
+ 𝑘𝜋[, 𝑘 ∈ ℤ
𝑥 ↦
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥 ↦-co𝑡𝑎𝑛𝑥 ]𝑘𝜋; 𝜋 + 𝑘𝜋[, 𝑘 ∈ ℤ
𝐏𝐫𝐨𝐩𝐫𝐢é𝐭é𝐬
✓ Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle I, 𝑓’ sa dérivée et 𝑛 un
nombre entier naturel non nul :
• La fonction 1
1
1 +
+
n
f
n
est une primitive sur I de la fonction 𝑓’𝑓𝑛
.
Si 𝑓 ne s’annule pas sur I, alors la fonction n
f
n
−
−
1
1
1
est une primitive sur I de
la fonction : n
f
f '
, 𝑛 ≠ 1
• Si 𝑓 est strictement positive sur I, alors la fonction f est une primitive
sur I de la fonction :
f
f
2
'
✓ Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle I, 𝑓’ sa dérivée, 𝑔 une
fonction dérivable sur K avec 𝑓(I) K.
La fonction gof est une primitive sur K de la fonction f‘×(g’of).
Consigne 2 : Réinvestissement-Propriété
1) Dans chaque cas, déterminer une primitive 𝐹 de la fonction 𝑓.
a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)(𝑥2
− 5𝑥 + 4)2
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥2+1
d) 𝑓(𝑥) = cos(5𝑥) − 3 sin(3𝑥 − 1)
2) On donne la fonction de ℝ vers ℝ définie par :𝑓(𝑥) =
2𝑥3−7𝑥2+4𝑥−1
(𝑥−2)2
a- Précise l’ensemble de définition 𝐷 de 𝑓
b-Détermine les réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que pour tout 𝑥 élément de 𝐷 on ait :
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑐
(𝑥 − 2)2
c- Détermine la primitive 𝐹 de 𝑓 qui prend la valeur −2 en 3.
Résultat attendu
1) a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)(𝑥2
− 5𝑥 + 4)2
du type 𝑢′𝑢𝑛
, avec 𝑛 = 2.
En effet : 𝑢(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 4 → 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 − 5
Une primitive de 𝑢′𝑢2
est de la forme
1
3
𝑢3
Soit : 𝐹(𝑥) =
1
3
(𝑥2
− 5𝑥 + 4)3
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥2+1
=
1
2
×
2𝑥
√𝑥2+1
du type
𝑢′
√𝑢
.
En effet : 𝑢(𝑥) = 𝑥2
+ 1 → 𝑢′(𝑥) = 2𝑥
Une primitive de
𝑢′
√𝑢
est de la forme 2√𝑢.
Soit : 𝐹(𝑥) =
1
2
× 2√𝑥2 + 1 = √𝑥2 + 1

64
c) 𝑓(𝑥) = cos(5𝑥) − 3 sin(3𝑥 − 1) =
1
5
× 5 cos(5𝑥) − 3 sin(3𝑥 − 1)
Donc 𝐹(𝑥) =
1
5
× sin(5𝑥) + cos(3𝑥 − 1)
2) a-Précisons l’ensemble de définition 𝐷 de 𝑓.
D={𝑥 ∈ ℝ/𝑥 − 2 ≠ 0} ; 𝐷 =] − ∞; 2[∪]2; +∞[
b-Déterminons les réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que pour tout 𝑥 élément de 𝐷 on ait
: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑐
(𝑥−2)2
Par la méthode de division euclidienne, on trouve 𝑎 = 2 ; 𝑏 = 1 𝑒𝑡
𝑐 = −5 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 −
5
(𝑥 − 2)2
c- Déterminons la primitive 𝐹 de 𝑓 qui prend la valeur −2 en 3.
Soit F une primitive de 𝑓 sur D.
On a : 𝐹(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 +
5
𝑥−2
+ 𝑐; 𝑐 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒.
F prend la valeur -2 en 3⇔ 𝐹(3) = 2 ⟺ 𝑐 = −19 et
𝐹(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 +
5
𝑥−2
− 19.

65
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 5 : Fonction logarithme népérien
Activité 1 : Découverte
Dansou, dans son approfondissement de la notion de primitive, découvre
dans un livre de Maths une fonction notée "𝒍𝒏" appelée le logarithme
népérien qui est une primitive de la fonction 𝑥 ↦
1
𝑥
sur ℝ+
∗
. Etonné,
Dansou amène cette information vers ses camarades qui lui ont proposé
de remplir le tableau ci-dessous pour voir le comportement de cette
fonction.
𝑥 -5 -1,4 0 0,1 0,5 0,9 1 1,8 3 18
𝑙𝑛𝑥
Consigne 1 : Définition-Domaine de définition-Propriété
1) A l’aide de ta calculatrice, complète ce tableau. (On prendra deux
chiffres après la virgule)
2) En te basant sur le tableau de la question 1°), propose le domaine de
définition de la fonction 𝑙𝑛.
3) Quels sont les éléments ayant une image négative ?
4) Quels sont les éléments ayant une image positive ?
Résultat attendu
1) A l’aide de la calculatrice, complétons le tableau. (On prendra deux
chiffres après la virgule)
𝑥 -5 -1,4 0 0,1 0,5 0,9 1 1,8 3 18
𝑙𝑛𝑥 ? ? ? -2,3 -0,65 -0,1 0 0,39 1,9 2,89
2) Proposons le domaine de définition de la fonction 𝑙𝑛.
D’après le tableau précédent, on peut déduire que le domaine de
définition de la fonction 𝑙𝑛 est [ 𝑜𝑢 ]0; +∞[.
3)Les éléments ayant une image négative sont les éléments de
l’intervalle ]0 ;1[
4) Les éléments ayant une image positive sont les éléments de
l’intervalle
] 1,+ ∞ [.

66
Définition
On appelle fonction logarithme népérien notée la primitive de la fonction
𝑥
x
1
 sur  
+
;
0 qui s’annule en 1. On la note 𝑙𝑛 ou 𝐿𝑜𝑔
Donc ∀ 𝑥 ∈ ]0; +∞[, (𝑙𝑛)′(𝑥) =
1
𝑥
.
𝑵𝑩 : 𝑙𝑛(𝑎) 𝑛’𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℝ+
∗
Remarque :
Etant donné un nombre réel strictement positif 𝒂, lorsqu’il n’y a pas de
risque de confusion 𝒍𝒏(𝒂) peut- être simplement s’écrit 𝒍𝒏𝒂
Propriétés immédiates
Pour tous nombres réels strictement positifs 𝑥 et 𝑦
𝑙𝑛(𝑥 × 𝑦) = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛𝑦 ;
Pour tous nombres réels 𝑥 et 𝑦 éléments de 
+
;
0 , pour tout 𝑟 élément
de ℚ,
*𝑙𝑛 x
x
ln
1
−
=






;
* 𝑙𝑛 y
x
y
x
ln
ln −
=








;
* 𝑙𝑛 (𝑥𝑟
) = 𝑟𝑙𝑛𝑥
Remarque
• Soit 𝑥 ∈ ℝ+
∗
,𝑙𝑛√𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥
1
2) =
1
2
𝑙𝑛𝑥. Donc ∀ 𝑥 ∈ ℝ+
∗
, 𝑙𝑛√𝑥 =
1
2
𝑙𝑛𝑥.
• Pour tous nombres réels non nuls 𝑥 et 𝑦 de même signe on a :
𝑙𝑛(𝑥𝑦) = 𝑙𝑛৷𝑥৷ + 𝑙𝑛৷𝑦৷
Consigne 2: Réinvestissement sur propriétés immédiates.
Simplifier les expressions suivantes :
𝐴 = ln(3 − √5) + ln(3 + √5)
𝐵 = 3 ln(2) + ln(5) − 2 ln(3)
Résultat attendu
𝐴 = ln(3 − √5) + ln(3 + √5) = ln ((3 − √5)(3 + √5)) = ln(9 − 5) = ln(4)
𝐵 = 3 ln(2) + ln(5) − 2 ln(3)
= ln(23
) + ln(5) − ln(32) = ln (
23
× 5
32 ) = ln (
40
9
)
Consigne 3 :Etude de la fonction 𝒍𝒏.
Etudie la fonction numérique à variable réelle 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑙𝑛𝑥
Résultat attendu
Etudions la fonction numérique à variable réelle 𝑥 ↦ 𝑙𝑛𝑥
*Par définition, la fonction 𝑥 ↦ 𝑙𝑛𝑥 est dérivable sur ]0; +∞[ donc elle
est définie et continue sur ]0; +∞[
*Et ∀ 𝑥 ∈ ]0; +∞[, (𝑙𝑛)′(𝑥) =
1
𝑥
.
*Puisque ∀ 𝑥 ∈ ]0; +∞[ ,
1
𝑥
> 0 alors la fonction 𝑙𝑛 est strictement
croissante sur ]0; +∞[
*Limites de 𝑙𝑛 aux bornes de ]0; +∞[
On admet que lim
𝑥→+∞
𝑙𝑛(𝑥) = +∞
Calculons lim
𝑥→0+
𝑙𝑛(𝑥)
Posons 𝑦 =
1
𝑥
. Si 𝑥 → 0+
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑦 → +∞. Et Alors
𝑦 =
1
𝑥
⇒ 𝑥 =
1
𝑦
lim
𝑦→+∞
𝑙𝑛 (
1
𝑦
)=−lim
𝑦→+∞
𝑙𝑛(𝑦)=−∞. D’où lim
𝑥→0+
𝑙𝑛(𝑥)=-∞
*Tableau de variation de 𝑙𝑛
*Etude de branches infinies de la courbe ( C ) de 𝑙𝑛
lim
𝑥→0+
𝑙𝑛(𝑥)=-∞ ⇒ la droite d’équation 𝑥 = 0 est asymptote verticale à C
lim
𝑥→+∞
𝑙𝑛(𝑥) = +∞et on admet que
lim
𝑥→+∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥
= 0 . Donc au voisinage de +∞ ( C ) admet une branche
parabolique dont la direction est celle de l’axe des abscisses.
*Point remarquable
• 𝑙𝑛(1) = 0 ⇒ ( C ) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 1
• 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (T ) à ( C ) 𝑒𝑛 𝑥 = 1. On a : (T ) :𝑦 = 𝑥 − 1
*Construction de (C )

67
Conséquence de l’étude
*La fonction 𝑙𝑛 est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[ puis
𝑙𝑛(]0; +∞[) = ℝ. Donc 𝑙𝑛 est une bijection de ℝ+
∗
sur ℝ.
*Le nombre 𝒆
𝑙𝑛 est une bijection de ℝ+
∗
sur ℝ et 1 ∈ ℝ ,alors il existe un unique
élément de ℝ+
∗
noté 𝒆tel que 𝒍𝒏𝒆 = 𝟏
𝒆 est un 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒏𝒆𝒍 et on a : 𝑒 ≈ 2,718281
Notons pour tout 𝑟 𝑑𝑒 ℚ, 𝑜𝑛 𝑎 ∶ ln(𝑒𝑟) = 𝑟
Propriétés
Soit 𝒂 et 𝒃 deux nombres réels strictement positifs, on a :
✓ 𝑙𝑛𝑎 = 𝑙𝑛𝑏 ⇔ 𝑎 = 𝑏
✓ 𝑙𝑛𝑎 < 𝑙𝑛𝑏 ⇔ 𝑎 < 𝑏
✓ 𝑙𝑛𝑎 < 0 ⇔ 𝑎 ∈ ]0; 1[
✓ 𝑙𝑛𝑎 > 0 ⇔ 𝑎 > 1
1) Résoudre l’équation ln(𝑥 − 3) + ln(9 − 𝑥) = 0 dans l’intervalle
𝐼 =]3 ; 9[.
2) Résoudre dans un intervalle 𝐼 à déterminer l’inéquation
ln(3 − 𝑥) − ln(𝑥 + 1) ≤ 0.
Résultat
1) On résout l’équation dans l’intervalle 𝐼 = ]3 ; 9[, car 𝑥 − 3 > 0 et 9 −
𝑥 > 0.
Soit 𝑥 > 3 et 𝑥 < 9.
ln(𝑥 − 3) + ln(9 − 𝑥) = 0
ln((𝑥 − 3)(9 − 𝑥)) = 0
ln((𝑥 − 3)(9 − 𝑥)) = ln 1
(𝑥 − 3)(9 − 𝑥) = 1
−𝑥2
+ 12𝑥 − 27 = 1
−𝑥2
+ 12𝑥 − 28 = 0
∆ = 122
− 4 × (−1) × (−28) = 32
𝑥1 =
−12 + √32
−2
= 6 − 2√2 et 𝑥2 =
−12 − √32
−2
= 6 + 2√2
Les solutions sont donc 6 − 2√2 et 6 + 2√2 car elles appartiennent à
l’intervalle 𝐼 = ]3 ; 9[.
2) Intervalle d’étude :
ln(3 − 𝑥) et ln(𝑥 + 1) sont définis pour 3 − 𝑥 > 0 et 𝑥 + 1 > 0.
Soit : 𝑥 < 3 et 𝑥 > −1
L’inéquation est donc définie sur l’intervalle 𝐼 = ]−1 ; 3[.
ln(3 − 𝑥) − ln(𝑥 + 1) ≤ 0
ln(3 − 𝑥) ≤ ln(𝑥 + 1)
3 − 𝑥 ≤ 𝑥 + 1
2 ≤ 2𝑥
1 ≤ 𝑥
L'ensemble solution est donc ]−1 ; 3[ ∩ [1 ; +∞[ soit [1 ; 3[.
Ensemble de définition de quelques fonctions logarithmiques
Soit 𝑢 une fonction numérique d’ensemble de définition 𝐷𝑢
On a le tableau récapitulatif ci-dessous
Fonction Ensemble de définition
𝑥 ↦ 𝑙𝑛[𝑢(𝑥)] {𝑥 ∈ 𝐷𝑢 /𝑢(𝑥) > 0}
𝑥 ↦ 𝑙𝑛৷𝑢(𝑥)৷ {𝑥 ∈ 𝐷𝑢/𝑢(𝑥) ≠ 0}
𝑥 ↦ 𝑙𝑛(√𝑢(𝑥)) {𝑥 ∈ 𝐷𝑢/𝑢(𝑥) > 0}
𝑥 ↦ 𝑙𝑛 ([𝑢(𝑥)]2
) {𝑥 ∈ 𝐷𝑢/𝑢(𝑥) ≠ 0}

68
Consigne 5 :Détermination d’ensemble de définition
Dans chacun des cas suivants, détermine l’ensemble de définition de la
fonction 𝑓.
a)𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(1 − 2𝑥) ; 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛│𝑥2+2𝑥 − 3│;
c)𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛[(2𝑥 − 3)(1 − 𝑥)];
d)𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(2𝑥 − 3) + 𝑙𝑛(1 + 𝑥);
e)𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(
2𝑥+1
3𝑥−2
) .
Résultat attendu
Domaine de définition
a-𝐷 =] − ∞;
1
2
[ ; b-𝐷 = ℝ ∖ {1; −3} ; 𝑐 − 𝐷 =]1;
3
2
[ ; 𝑑 − 𝐷 =]
3
2
; +∞[ ;
𝑒 − 𝐷 =] − ∞;
1
2
[∪]
2
3
; +∞[
Dérivabilité de quelques fonctions logarithmiques
Propriétés
✓ Si 𝑢 est une fonction continue, dérivable et strictement positive sur
un intervalle I alors la fonction 𝑙𝑛𝑜𝑢 est dérivable sur I et ∀ 𝑥 ∈
𝐼, (𝑙𝑛𝑜𝑢)′(𝑥) =
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
✓ Si 𝑢 est une fonction dérivable sur un intervalle I sur lequel elle ne
s’annule pas alors la fonction 𝑙𝑛𝑜৷𝑢৷ est dérivable sur I et
∀ 𝑥 ∈ 𝐼 (𝑙𝑛𝑜৷𝑢৷)′
=
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
On a le tableau récapitulatif ci-dessous.
𝐹𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐷é𝑟𝑖𝑣é𝑒
𝑥 ↦ 𝑙𝑛 [𝑢(𝑥)]
𝑥 ↦
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
𝑥 ↦ 𝑙𝑛৷𝑢(𝑥)৷
𝑥 ↦
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
𝑥 ↦ ln (√𝑢(𝑥))
𝑥 ↦
𝑢′(𝑥)
2𝑢(𝑥)
Propriété : Une nouvelle primitive
Si 𝑢 est une fonction dérivable sur un intervalle I sur lequel elle ne
s’annule pas alors la fonction 𝑙𝑛𝑜৷𝑢৷ est une primitive sur I de la fonction
𝑢′
𝑢
Note : La fonction
𝒖′
𝒖
est appelée dérivée logarithmique de 𝒖.
Consigne6:Dérivée de quelques fonctions
logarithmiques
1) 𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑐ℎ𝑎𝑐𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠, é𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒 𝑙𝑎 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑡
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑓’(𝑥) 𝑠𝑢𝑟 𝐼 :𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(−2𝑥 + 1) ; 𝐼 =] − ∞;
1
2
[ ;
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛│𝑥2
+ 2𝑥 − 3│;I=ℝ ∖ {1; −3}
2) 𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑐ℎ𝑎𝑐𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠, 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝐼 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 : 𝑓(𝑥) =
5
3−𝑥
; 𝐼 =] − ∞ ; 3[ ; 𝑏) 𝑓(𝑥) =
−𝑥
𝑥2+1
, 𝐼 = ℝ.
Résultat attendu
1)Dans chacun des cas suivants, étudions la dérivabilité de 𝑓 et calculons
𝑓’(𝑥).
a- 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(−2𝑥 + 1)
La fonction 𝑥 ↦ −2𝑥 + 1 est dérivable sur ] − ∞;
1
2
[ et y est strictement
positive alors la fonction 𝑓 est dérivable sur ] − ∞;
1
2
[ et
∀ 𝑥 ∈ ] − ∞;
1
2
[, 𝑓′(𝑥) =
−2
−2𝑥+1
b- La fonction 𝑥 ↦ 𝑥2
+ 2𝑥 − 3 est dérivable sur dérivable sur chacun
des intervalles]-∞;-3[,]-3;1[ et ]1;+∞[ et ne s'y annule pas alors 𝑓 est
dérivable sur chacun de ces intervalles et pout tout 𝑥 ∈ ℝ ∖
{1; −3}, 𝑓′(𝑥) =
2𝑥+2
𝑥2+2𝑥−3
2) Détermination de primitives
a-𝑓(𝑥) =
5
3−𝑥
; 𝐼 =] − ∞ ; 3[ . Soit F une primitive de 𝑓 sur I. on a
𝐹(𝑥) = −5𝑙(3 − 𝑥) + 𝑐; 𝑐 ∈ ℝ.
b- 𝑓(𝑥) =
−𝑥
𝑥2+1
, 𝐼 = ℝ. Soit F une primitive de 𝑓. On a
𝐹(𝑥) = −
1
2
𝑙𝑛(𝑥2
+ 1) + 𝑐; 𝑐 ∈ ℝ.

69
Quelques limites remarquables
lim
𝑥⟶+∞
𝑙𝑛𝑥 = +∞ ;
lim
𝑥⟶0+
𝑙𝑛𝑥 = −∞
lim
𝑥⟶+∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥
= 0, 𝑎𝑣𝑒𝑐
𝑙𝑛𝑥
𝑥
> 0 ;
lim
𝑥⟶0+
𝑥𝑙𝑛𝑥 = 0, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥𝑙𝑛𝑥 < 0
lim
𝑥⟶0+
𝑥𝑟
𝑙𝑛𝑥 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟 ∈ ℚ+
∗
lim
𝑥⟶1
𝑙𝑛𝑥
𝑥 − 1
= 1
lim
𝑥⟶0
ln (𝑥 + 1)
𝑥
= 1
Etudie les limites suivantes :
𝑎 − lim
𝑥→+∞
(5𝑥 + 1 − 𝑙𝑛𝑥) ;
𝑏 − lim
𝑥→+∞
1+2𝑙𝑛𝑥
5−3𝑙𝑛𝑥
et
𝑐 − lim
𝑥→0+
ln (1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑥
Résultat attendu
Etude de limite
𝑎 − lim
𝑥→+∞
(5𝑥 + 1 − 𝑙𝑛𝑥)= lim
𝑥→+∞
𝑥(5 +
1
𝑥
−
𝑙𝑛𝑥
𝑥
) = +∞
𝑏 − lim
𝑥→+∞
1 + 2𝑙𝑛𝑥
5 − 3𝑙𝑛𝑥
= −
2
3
( 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑋 = 𝑙𝑛𝑥)
𝑐 − lim
𝑥→0
ln(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑥
= 1(𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑋 = 𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝐅𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫𝐢𝐭𝐡𝐦𝐞 𝐝𝐞 𝐛𝐚𝐬𝐞 𝐚 ; 𝒂 ∈ ℝ+
∗
∖ {𝟏}
Soit 𝒂 ∈ ℝ+
∗
∖ {𝟏}
La fonction logarithme de base 𝑎 est la fonction notée 𝑙𝑜𝑔𝑎 et définie sur
]0; +∞[ par 𝑙𝑜𝑔𝑎 =
𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛𝑎
Propriétés
✓ Si 𝑎 ∈ ]0; 1[ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎est strictement décroissante sur ]0; +∞[
✓ Si 𝑎 ∈]1; +∞[ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎 est strictement croissante sur ]0; +∞[
Fonction logarithme décimal
Définition
On appelle fonction logarithme décimal( ou fonction logarithme de base
10) la fonction
ℝ+
∗
⟶ ℝ
𝑥 ↦
𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛10
. On la note 𝑙𝑜𝑔10 𝑜𝑢 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑜𝑔. Donc ∀ 𝑥 ∈
ℝ+
∗
, log(𝑥) =
𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛10
Propriété
La fonction 𝑙𝑜𝑔 a les mêmes propriétés que la fonction 𝑙𝑛 .
Remarque
log(𝑥)𝑒 =
𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛𝑒
= 𝑙𝑛𝑥. 𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑛.
Consigne 8 : Étudier une fonction du type ln(𝑢)
On considère la fonction 𝑓 définie sur ]−2 ; 1[ par :
𝑓(𝑥) = ln (
𝑥 + 2
1 − 𝑥
)
a) Calculer les limites de 𝑓 aux bornes de son ensemble de définition et
en déduire les équations des asymptotes à la courbe.
b) Déterminer le sens de variations de la fonction 𝑓.
c) Tracer la courbe représentative de 𝑓.
Résultat attendu
a) ● lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = ?
{
lim
𝑥→−2
𝑥 + 2 = 0
lim
𝑥→−2
1 − 𝑥 = 3
Donc, comme limite d’un quotient : lim
𝑥→−2
𝑥+2
1−𝑥
= 0

70
Et donc, comme limite d’une fonction composée :
lim
𝑥→−2
ln (
𝑥 + 2
1 − 𝑥
) = −∞
En effet, si 𝑥 → −2, on a : 𝑋 =
𝑥+2
1−𝑥
→ 0 et donc : lim
𝑋→0
ln(𝑋) = −∞.
● lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = ?
{
lim
𝑥→1
𝑥 + 2 = 3
lim
𝑥→1
1 − 𝑥 = 0+
, car 𝑥 < 1
Donc, comme limite d’un quotient : lim
𝑥→1
𝑥+2
1−𝑥
= +∞
Et donc, comme limite d’une fonction composée :
lim
𝑥→1
ln (
𝑥 + 2
1 − 𝑥
) = +∞
En effet, si 𝑥 → 1, on a : 𝑋 =
𝑥+2
1−𝑥
→ +∞ et donc : lim
𝑋→+∞
ln(𝑋) = +∞.
La courbe de fonction 𝑓 admet deux asymptotes verticales d’équations :
𝑥 = −2 et 𝑥 = 1.
b) 𝑓(𝑥) = ln (
𝑥+2
1−𝑥
) = ln(𝑢(𝑥)), avec 𝑢(𝑥) =
𝑥+2
1−𝑥
→ 𝑢′(𝑥) =
1 × (1 − 𝑥) − (𝑥 + 2) × (−1)
(1 − 𝑥)2
=
1 − 𝑥 + 𝑥 + 2
(1 − 𝑥)2
=
3
(1 − 𝑥)2
Donc :
𝑓′
(𝑥) =
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
=
3
(1−𝑥)2
𝑢(𝑥)
La fonction 𝑢 est strictement positive sur ]−2 ; 1[ et
3
(1−𝑥)2 > 0.
Donc 𝑓′(𝑥) > 0.
On présente le sens de variations de 𝑓 dans le tableau :
c)
𝑥 -2 1
𝑓′(𝑥) +
𝑓(𝑥)
+∞
−∞

71
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 6 : Fonction exponentielle népérienne
Activité 1 : Découverte
Dansou a remarqué que 𝑙𝑛 est une bijection de ]0; +∞[ vers ℝ et désire
étudier cette bijection réciproque.
Consigne 1 :Définition-Propriétés
Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓:
ℝ+
∗
⟶ ℝ
𝑥 ⟼ 𝑙𝑛𝑥
1) Démontre que la fonction 𝑓 admet une bijection réciproque 𝑓−1
2) Dresse le tableau de variation de 𝑓−1
3) Déduis-en les limites de 𝑓−1
aux bornes de ℝ
Résultat attendu
1) Démontrons que la fonction 𝑓 admet une bijection réciproque 𝑓−1
La fonction 𝑙𝑛 est une bijection de ℝ+
∗
sur ℝ. Par conséquent elle admet
une bijection réciproque. D’où 𝑓 admet une bijection réciproque 𝑓−1
2)Tableau de variation de 𝑓−1
.
3) Déduction de limites de 𝑓−1
aux bornes de ℝ.
D’après le tableau de variation de 𝑓−1
on a :
lim
𝑥⟶−∞
𝑓−1 (𝑥) = 0
lim
𝑥⟶+∞
𝑓−1(𝑥) = +∞
𝐿𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓−1
𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑛é𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒 et est
notée 𝑒𝑥𝑝.
Définition : Fonction exponentielle népérienne
On appelle fonction exponentielle népérienne la bijection réciproque de
la fonction logarithme népérien. On la note 𝑒𝑥𝑝

72
Propriétés
✓ 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 ℝ, 𝑒𝑥𝑝(𝑥) > 0 ;
✓ 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 ℝ+
∗
, 𝑒𝑥𝑝(𝑙𝑛𝑥) = 𝑥 ;
✓ 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 ℝ , 𝑙𝑛 [𝑒𝑥𝑝(𝑥)] = 𝑥
✓ 𝐿𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 ℝ 𝑠𝑢𝑟 ℝ+
∗
. 𝐸𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℝ .
✓ 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 ℚ, [𝑟 = 𝑙𝑛(𝑒𝑟
)  𝑒𝑥𝑝 (𝑟) = 𝑒𝑟
] ;
Remarque : Autre notation
On convient d’étendre la notation 𝑒𝑥𝑝 = 𝑒𝑟
à 𝑡𝑜𝑢𝑡 ℝ. 𝐴𝑖𝑛𝑠𝑖 𝑜𝑛 𝑎: ∀ 𝑥 ∈
ℝ, exp(𝑥) = 𝑒𝑥
Propriétés
𝑷𝟏 :𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑎 𝑒𝑡 𝑏, 𝑜𝑛 𝑎 :
✓ 𝑒 𝑎
= 𝑒𝑏
⇔ 𝑎 = 𝑏 ;
✓ 𝑒 𝑎
< 𝑒𝑏
⇔ 𝑎 < 𝑏
𝑷𝟐 :
𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑒𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙 𝑟, 𝑜𝑛 𝑎 :
✓ 𝑒𝑎+𝑏
= 𝑒𝑎
× 𝑒𝑏
✓ 𝑒 −𝑏
=
1
𝑒𝑏
✓ 𝑒𝑎−𝑏
=
𝑒𝑎
𝑒𝑏
✓ 𝑒𝑎×𝑟
= (𝑒𝑎
)𝑟
Consigne 2 :Résolution d’équations et inéquations
a) Résoudre l’équation 𝑒𝑥+1
= 5.
b)Résoudre l’inéquation 𝑒𝑥
+ 5 > 4 𝑒𝑥
.
c)Résoudre l’inéquation ln(6𝑥 − 1) ≥ 2 sur l’intervalle 𝐼 = ]
1
6
; +∞[.
Résultat attendu
a) 𝑒𝑥+1
= 5
𝑒𝑥+1
= 𝑒ln(5)
𝑥 + 1 = ln(5)
𝑥 = ln(5) − 1
b ) 𝑒𝑥
+ 5 > 4 𝑒𝑥
𝑒𝑥
− 4 𝑒𝑥
> −5
−3 𝑒𝑥
> −5
𝑒𝑥
<
5
3
𝑒𝑥
< 𝑒
ln(
5
3
)
𝑥 < ln (
5
3
)
L'ensemble solution est donc l’intervalle ]−∞ ; ln (
5
3
)[.
c)On résout l’inéquation dans l’intervalle 𝐼 = ]
1
6
; +∞[, car 6𝑥 − 1 > 0.
Soit 𝑥 >
1
6
.
ln(6𝑥 − 1) ≥ 2
ln(6𝑥 − 1) ≥ ln(𝑒2)
6𝑥 − 1 ≥ 𝑒2
6𝑥 ≥ 𝑒2
+ 1
𝑥 ≥
𝑒2+1
6
L'ensemble solution est donc l’intervalle [
𝑒2+1
6
; +∞[ car il est inclu dans
𝐼 = ]
1
6
; +∞[.
Représentation graphique de la fonction 𝒆𝒙𝒑
Les fonctions 𝑙𝑛 et 𝑒𝑥𝑝 étant réciproques l’une de l’autre, leurs courbes
représentatives dans un repère orthonormé du plan sont symétriques
par rapport à la première bissectrice ( c-à d la droite d’équation 𝑦 = 𝑥)
Fonction comportant la fonction 𝒆𝒙𝒑
Soit 𝑢 une fonction numérique d’ensemble de définition 𝐷𝑢. L’ensemble
de définition de la fonction 𝑥 ↦ 𝑒𝑢(𝑥)
est 𝐷𝑢
Dérivation et primitive
𝑷𝟏 : La fonction 𝑒𝑥𝑝 est dérivable sur ℝ et est égale à sa dérivée ( c’est-à
dire la fonction𝑥 ↦ exp (𝑥)a pour dérivée la fonction 𝑥 ↦ exp (𝑥)
𝑷𝟐 : Si 𝑢 est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑢 est dérivable sur I et on a : (𝑒𝑥𝑝𝑜𝑢)′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)(𝑒𝑥𝑝𝑜𝑢)(𝑥) c’est-
à-dire la fonction 𝑥 ↦ 𝑒𝑢(𝑥)
a pour dérivée la fonction 𝑥 ↦ 𝑢′(𝑥)𝑒𝑢(𝑥)
.

73
Propriété : Une nouvelle primitive
Si 𝑢 est une fonction dérivable sur l’intervalle I alors la fonction expo𝑢
est une primitive sur I de la fonction 𝑢’×expo𝑢. C’est – à-dire que la
fonction 𝑥 ↦ 𝑢′𝑒𝑢(𝑥)
est une primitive sur I de la fonction 𝑥 ↦ 𝑒𝑢(𝑥)
.
Quelques limites remarquables
Propriétés
lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
= +∞
lim
𝑥⟶−∞
𝑒𝑥
= 0
lim
𝑥⟶+∞
𝑒𝑥
𝑥
= +∞
lim
𝑥→−∞
𝑥𝑒𝑥
= 0
lim
𝑥⟶+∞
𝑒𝑥
𝑙𝑛𝑥
= +∞
lim
𝑥⟶0
𝑒𝑥
− 1
𝑥
= 1
Calcule chacune des limites suivantes :
a= lim
𝑥→+∞
(5𝑥 + 1 − 𝑒𝑥
) ; b=lim
𝑥→0
5𝑒𝑥−3
5−2𝑒𝑥
; c=lim
𝑥→0
𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥−1
𝑥
et d= lim
𝑥→+∞
𝑥(𝑒
1
𝑥 − 1)
Résultat attendu
a- lim
𝑥→+∞
(5𝑥 + 1 − 𝑒𝑥
) = −∞ ; b=−
5
2
; c=1 et d=1.
Fonction exponentielles-Fonctions puissances
✓ Puissance d’exposant réel d’un nombre réel strictement positif.
𝑎 étant un nombre réel strictement positif et  un nombre réel
quelconque, on appelle puissance de 𝑎 d’exposant  le nombre réel,
noté𝑎𝛼
, défini par : 𝑎𝛼
= 𝑒𝛼𝑙𝑛𝑎
; 𝑎𝛼
se lit : « 𝑎 exposant »
Propriétés
* Pour tout nombre réel strictement positif 𝑎, pour tout nombre réel  ,
on a :𝑙𝑛𝑎𝛼
= 𝛼𝑙𝑛𝑎 ;
* Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tous nombres
réels  et  ,
• a
× 𝑏𝛼
= (a b)
;
• a
×a 
= a

+
• (𝑎𝛼
)𝛽
= 𝑎𝛼𝛽
•









=
b
a
b
a
• 



−
= a
a
a
✓ Fonction exponentielle de base 𝒂(𝒂 > 0)
Soit 𝑎 un nombre réel strictement positif. On appelle fonction
exponentielle de base la fonction 𝑥 ↦ 𝑎𝑥
. On la note 𝑒𝑥𝑝𝑎. Donc x ∀ 𝑥 ∈
ℝ, 𝑎𝑥
= 𝑒𝑥𝑙𝑛𝑎
Remarque importante !
o Pour 𝑎 = 1, la fonction exponentielle de base 1 est la fonction
constante 𝑥 ⟼ 1
o Pour 𝑎 = 𝑒, la fonction 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 n’est rien
d’autre que la fonction exponentielle népérienne (𝑒𝑥
)
Propriétés
𝑎 étant un nombre réel strictement positif, différent de 1, la fonction
𝑒𝑥𝑝𝑎 est une bijection de ℝ sur ℝ+
∗
, elle est strictement monotone sur
ℝ ;
*Si 0 <𝑎 <1 alors 𝑒𝑥𝑝𝑎 est strictement décroissante sur ℝ;
*Si 𝑎> 1 alors 𝑒𝑥𝑝𝑎 est strictement croissante sur ℝ;
*𝑎 étant un nombre réel strictement positif, différent de 1,  et 
deux nombres réels :
• (𝑎 
= 𝑎 
)  ( )

 =
• Si 0 <𝑎< 1 alors ( )
 


a
a   ( )

  ;
Si 𝑎 1 alors ( )
 


a
a   ( )
 

 

74
✓ Fonction puissance d’exposant réel 𝜶
Soit  étant un nombre réel, on appelle fonction puissance d’exposant
 , l’application :
ℝ+
∗ → ℝ+
∗
x ⟼ x
On la note , fα.
Donc  x ∈ ℝ+
∗
, fα (x)= 
x = eαlnx
Propriétés
• α étant un nombre réel différent de 0, la fonction puissance
d’exposant
 est une bijection strictement monotone de ℝ+
∗
sur ℝ+
∗
:
*si  <0 alors 𝑓α est strictement décroissante sur ℝ+
∗
;
*si >0 alors f est strictement croissante sur ℝ+
∗
;
•  est un nombre réel, différent de 0, 𝑎 et 𝑏 des nombres réels
strictement positifs, on a :
*𝑎𝛼
= 𝑏𝛼
 𝑎 = 𝑏
* si 𝛼 <0 alors ( )


b
a   ( )
b
a  ;
*si  0
 alors ( )


b
a   ( )
b
a  ;
•  étant un nombre réel différent de 0 :
*la fonction 𝑓
𝛼: ℝ+
∗ → ℝ+
∗
𝑥 ⟼ 𝑥𝛼
est dérivable sur ℝ+
∗
 𝑥 ϵℝ+
∗
, 𝑓′𝛼 (𝑥) =𝛼𝑥𝛼−1
• si g est une fonction dérivable et strictement positive sur un
intervalle I alors la fonction 𝑔 est dérivable sur I et on a :
x
 ϵ I, (g )’(𝑥) =  g’(𝑥)g -1 (𝑥)
*  étant un nombre réel différent de -1 :
une primitive sur ]0 ; + [ de la fonction 𝑥 ⟼ 𝑥 est
la fonction 𝑥 ⟼
1
1
+

𝑥 +1 ;
• si 𝑔 est une fonction dérivable et strictement positive sur un
intervalle I alors une primitive sur I de la fonction g’g est la
fonction
1
1
+

g +1 ;
✓ Limites remarquable –croissances comparées des fonctions 𝒙 ↦
𝒍𝒏𝒙, 𝒙 ↦ 𝒆𝒙
𝐞𝐭 𝐱 ↦ 𝒙𝜶
Propriétés
𝛼 est un nombre réel non nul.
𝑃1:
- Si 𝛼 > 0 alors on a : lim
𝑥⟶0+
𝑥𝛼
= 0 et lim
𝑥→+∞
𝑥𝛼
= +∞
- Si 𝛼 < 0 alors on a : lim
𝑥⟶0+
𝑥𝛼
= +∞ et lim
𝑥→+∞
𝑥𝛼
= +∞
𝑃2 : Si 𝛼 > 0, 𝑜𝑛 𝑎: lim
𝑥→+
𝑙𝑛𝑥
𝑥𝛼
= 0
𝑃3 : lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑥𝛼
𝑃4: Soit α > 0, 𝑜𝑛 𝑎: lim
𝑥→0+
𝑥𝛼
𝑙𝑛𝑥 = 0.𝑃5 : lim
𝑥→−∞
৷𝑥৷
𝛼
𝑒𝑥
= 0
𝑭𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝒖𝒗
Soit et v deux fonction numériques d’ensemble de définition respectifs
𝐷𝑢 𝑒𝑡 𝐷𝑣.
Posons : 𝑓(𝑥) = (𝑢(𝑥))𝑢(𝑥)
.
Le domaine de définition de la fonction 𝑓 𝑒𝑠𝑡 {𝑥 ∈ 𝐷𝑢 ∩ 𝐷𝑣/ 𝑢(𝑥) > 0}

75
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 7 : Calcul intégral
Activité 1 : Définitions-Propriétés
Après la découverte des primitives, Dansou désire aborder la notion du
calcul intégral. Tu dois l’aider à travers les consignes suivantes :
Consigne 1 : Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réel a et b.On
désigne par F et G deux primitives de f sur I.
1) Ecris pour tout 𝑥 élément de I, G(𝑥) en fonction de F(𝑥).
2) Compare F(b) − F(a) et G(b) − G(a)
3) Que peut − on dire de F(b) − F(a)
Résultat attendu
1) Ecrivons pour tout 𝑥 élément de I, G(𝑥) en fonction de F(𝑥).
∀𝑥 élément de I, G(𝑥) = F(𝑥) + 𝑐,où c est une constants réelle.
2) Compareons F(b) − F(a) et G(b) − G(a)
𝐺(𝑏) = 𝐹(𝑏) + 𝑐 𝑒𝑡 𝐺(𝑎) = 𝐹(𝑎) + 𝑐. Alors
𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎) = 𝐹(𝑏) + 𝑐 − (𝐹(𝑎) + 𝑐) = 𝐹(𝑏) + 𝑐 − 𝐹(𝑎) − 𝑐.
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
3) Le réel 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ne dépend pas de la primitive choisie pour la
fonction 𝑓
Définition
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle K, 𝑎 et 𝑏 deux éléments de
I.
On appelle intégrale de a à b de 𝑓, le nombre réel F (b)-F (a), où F est une
primitive de 𝑓 sur I. On note : ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥
b
a
ou
F (b)-F (a).Donc ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥
b
a
= [F(𝑥)]ab= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Lecture
∗ ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥
b
a
se lit ‘’ intégrale de a à b, 𝑓(𝑥), 𝑑𝑥’’
*F (b)-F(a) se lit ‘’ 𝑓(𝑥) pris entre a et b’’
Calcule chacune des intégrales suivantes :
I=∫ (𝑥2
1
0
+ 2𝑥 + 6)dx ; J=∫
e𝑥
1+e𝑥
1
ln3
d𝑥 ;

76
Résultat attendu
Calculons chacune des intégrales suivantes
I=[
1
3
𝑥3
+ 𝑥2
+ 6𝑥]0
1
= [
1
3
(1)3
+ (1)2
+ 6(1)] − [
1
3
(0)3
+ (0)2
+ 6(0)]
𝐼 =
22
3
J=[ln(1 + e𝑥)]𝑙𝑛3
1
= ln (1 + 𝑒) − ln (4)
Remarques
*Dans l’écriture∫ 𝑓(𝑥)d𝑥
b
a
, les réels a et b sont les bornes de l’intégrale
*𝑑𝑥 indique que la fonction dont on veut calculer l’intégrale est une
fonction de variation 𝑥 ; 𝑥 est alors appelé variable d’intégration. C’est
une variable muette. Ainsi on a :
∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)d𝑢 = ∫ 𝑓(𝑦)d𝑦 = ⋯ ∫ 𝑓(𝑧)d𝑧
b
a
b
a
b
a
b
a
Propriétés :
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle I
* I
a
 , I
b
 ,
• 
b
a
dx
x
f )
( = - 
a
b
dx
x
f )
(
• 
a
a
dx
x
f )
( = 0 ;
* I
a
 , I
b
 , I
c
 ,

c
a
dx
x
f )
( = 
b
a
dx
x
f )
( + 
c
b
dx
x
f )
( (relation de Chasles)
* I
a
 , I
b
 , R


•  +
b
a
dx
x
g
f )
)(
( = 
b
a
dx
x
f )
( + 
b
a
dx
x
g )
(

b
a
dx
x
f )
(
 =  
b
a
dx
x
f )
( .
1) Calcule ∫ 3𝑥2
−5
2
𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑡
2) On pose : 𝐴 = ∫ cos2
𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥 et 𝐵 = ∫ sin2
𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥
a) Calculer 𝐴 + 𝐵 et 𝐴 − 𝐵.
b) En déduire 𝐴 et 𝐵.
Résultat attendu
1) Calculons ∫ 3𝑥2
−5
2
𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑡
∫ 3𝑥2
−5
2
𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑡 = [(3𝑥2
𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑡]2
−5
= −21𝑥2
𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
2) a) Calculer 𝐴 + 𝐵 et 𝐴 − 𝐵.
𝐴 + 𝐵 = ∫ cos2
𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥 + ∫ sin2
𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥
= ∫ cos2
𝑥
2𝜋
0
+ sin2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 1
2𝜋
0
𝑑𝑥
= [𝑥]0
2𝜋
= 2𝜋
𝐴 − 𝐵 = ∫ cos2
𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥 − ∫ sin2
𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥
= ∫ cos2
𝑥
2𝜋
0
− sin2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ cos 2𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥
= [
1
2
sin 2𝑥]
0
2𝜋
=
1
2
sin(2 × 2𝜋) −
1
2
sin(2 × 0) = 0
b) On a ainsi :
{
𝐴 + 𝐵 = 2𝜋
𝐴 − 𝐵 = 0
donc {
2𝐴 = 2𝜋
𝐴 = 𝐵
soit : 𝐴 = 𝐵 = 𝜋

77
Propriétés : Intégrale et inégalité
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle I.
* Si 𝑓 est positive sur I alors on a : I
a
 , I
b
 , (a b),
 
b
a
dx
x
f 0
)
(
* Si f est négative sur I alors on a : I
a
 , I
b
 , (ab)  
b
a
dx
x
f 0
)
(
*si f ≥ g sur I, alors on a : pour tous a, b éléments de I, (a≤b)
 

b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f )
(
)
(
* I
a
 , I
b
 avec a ≤b, dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a 
  )
(
)
(
* S’il existe un nombre réel M tel qu’on ait : pour tout 𝑥 de [a, b], a
I, bI, a<b, M
x
f 
)
( alors  −

b
a
a
b
M
dx
x
f ;
)
(
* I
a
 , I
b
 avec a ≤b, dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a 
  )
(
)
(
* S’il existe un nombre réel M tel qu’on ait : pour tout x de [a, b], a
I, bI, a<b, M
x
f 
)
( alors  −

b
a
a
b
M
dx
x
f ;
)
(
Remarque
Soit 𝑓, 𝑔 et ℎ trois fonctions continues sur un intervalle I
Si 𝑓 ≤ 𝑔 ≤ ℎ sur I alors ∀𝑎 ∈ 𝐼, ∀ 𝑏 ∈ 𝐼, 𝑎 < 𝑏, on a :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Soit un entier naturel non nul𝑛.
1)- Démontre que ∀𝑥𝜖[0 ; 1],
1
2
𝑥𝑛
≤
𝑥𝑛
1+𝑥4
≤ 𝑥𝑛
.
2)-En déduire que∀𝑛 ϵ ℕ* ,
1
2(𝑛+1)
≤ ∫
𝑥𝑛
1+𝑥4
𝑑𝑥
1
0
≤
1
𝑛+1
Résultat attendu
1)- Démontre que ∀𝑥𝜖[0 ; 1],
1
2
𝑥𝑛
≤
𝑥𝑛
1+𝑥4
≤ 𝑥𝑛
.
𝑥 ∈ [0,1] ⇔ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
⇔
1
2
≤
1
𝑥2 + 1
≤ 1 (1 )
Or ∀ 𝑥 ∈ [0; 1]𝑜𝑛 𝑎: 𝑥𝑛
≥ 0 ∀ 𝑛 ∈ ℕ∗
(2)
(1) et (2)⇒
1
2
𝑥𝑛
≤
𝑥𝑛
1+𝑥4
≤ 𝑥𝑛
∀ 𝑥 ∈ [0; 1]
2)déduisons-en que ∀𝑛 ϵ ℕ* ,
1
2(𝑛+1)
≤ ∫
𝑥𝑛
1+𝑥4
𝑑𝑥
1
0
≤
1
𝑛+1
1
2
𝑥𝑛
≤
𝑥𝑛
1+𝑥4
≤ 𝑥𝑛
∀ 𝑥 ∈ [0; 1] ⇒ ∫
1
2
𝑥𝑛
𝑑𝑥 ≤ ∫
𝑥𝑛
1+𝑥4
1
0
1
0
𝑑𝑥 ≤
∫
1
𝑛+1
d𝑥
1
0
.D’où ∀𝑛 ϵ ℕ* ,
1
2(𝑛+1)
≤ ∫
𝑥𝑛
1+𝑥4
𝑑𝑥
1
0
≤
1
𝑛+1
Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment de ℝ
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec (a<b), m et M
des nombres réels :
* Si pour tout élément x de [a, b], m ≤ 𝑓(𝑥) ≤ M, alors
m ≤  
−
b
a
M
dx
x
f
a
b
)
(
1
(inégalité de la moyenne)
* Il existe au moins un nombre réel c de l’intervalle [a, b] tel que
𝑓(c) = 
−
b
a
dt
t
f
a
b
.
)
(
1
Le nombre 
−
b
a
dt
t
f
a
b
.
)
(
1
est appelé la valeur moyenne de 𝑓 sur [a, b]
Définition :
Soit 𝑓 une fonction continue sur
[𝑎, 𝑏](𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ 𝑒𝑡 𝑎 < 𝑏). On appelle valeur moyenne (ou moyenne)
de 𝑓 sur [a,b] le nombre réel
1
𝑏−𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎

78
Calculer la valeur moyenne de la fonction 𝑥 ↦1-𝑥2 sur l’intervalle [-1 ;1]
Résultat attendu
Calculons la valeur moyenne de la fonction 𝑥 ↦1-𝑥2 sur l’intervalle [-
1 ;1]
Soit m cette valeur. On a :
𝑚 =
1
2
∫ (1 − 𝑥2
1
−1
)𝑑𝑥 =
1
2
[𝑥 −
1
3
𝑥3
]−1
1
=
1
2
(1 −
1
3
+ 1 −
1
3
). D’où 𝑚 =
2
3
Consigne 6 : Techniques de calcul des intégrales : utilisation des
primitives
1)- a- Détermine trois réels a, b et c tels que ∀𝑥𝜖ℝ˴{1},
f(𝑥)=
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1
= a 𝑥+b +
𝑐
𝑥−1
.
b- En déduire le calcul de l’intégrale J=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
2
2)-a- Démontre que ∀𝑥𝜖 ℝ˴{−1; 1}, 𝑔(𝑥) =
−𝑥−5
𝑥2−1
=
2
𝑥+1
-
3
𝑥−1
.
b- En déduire le calcul de l’intégrale K=∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3
2
Résultat attendu
1)- a- Déterminons trois réels a, b et c tels que ∀𝑥𝜖ℝ˴{1},
f(𝑥) =
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1
= 𝑎 𝑥 + 𝑏 +
𝑐
𝑥−1
.
Par la méthode de division euclidienne, on trouve 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 et 𝑐 = 3
b- Déduisons-en le calcul de l’intégrale J=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
2
J=∫ ( 𝑥 + 2 +
3
𝑥−1
)𝑑𝑥
3
2
= [
1
2
𝑥2
+ 2𝑥 + 3 ln(𝑥 − 1)]2
3
J=
21+6𝑙𝑛2
2
2)-a- Démontrons que ∀𝑥𝜖 ℝ˴{−1; 1},
𝑔(𝑥) =
−𝑥−5
𝑥2−1
=
2
𝑥+1
-
3
𝑥−1
.
∀𝑥𝜖 ℝ˴{−1; 1},
2
𝑥+1
-
3
𝑥−1
=
2(𝑥−1)−3(𝑥+1)
𝑥−1
. D’où
∀𝑥𝜖 ℝ˴{−1; 1}, 𝑔(𝑥)=
2
𝑥+1
-
3
𝑥−1
.
b- Déduisons-en le calcul de l’intégrale K=∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3
2
K=∫ (
2
𝑥+1
−
3
𝑥−1
) 𝑑𝑥 = [2 ln(𝑥 + 1) − 3 ln(𝑥 − 1)]2
3
3
2
; 𝐾 = 𝑙𝑛 (
2
9
)
Consigne 7: Méthode d’intégration par parties.
Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Soient a et b deux éléments de I.
1) -Complète ce qui suit : ∀𝑥ϵ I, (𝑓𝑔)’(𝑥) = ⋯ … … … … … … … … … ..
2)En déduire que ∫ (𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]𝑎
𝑏
−
𝑏
𝑎
∫ 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
.
Cette méthode utilisée est la méthode d’intégration par partie
Résultat attendu
1)-Complète ce qui suit : ∀𝑥𝜖I,
(𝑓𝑔)’(𝑥) = 𝑓′
𝑔 + 𝑔′𝑓
2)-Déduisons-en que ∫ (𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]𝑎
𝑏
−
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(𝑓𝑔)’(𝑥) = ⋯ (𝑓′
(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥) ⟹
𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥)= (𝑓𝑔)’(𝑥) − (𝑓′
(𝑥)𝑔(𝑥) ⟹
∫ 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ [(𝑓𝑔)’(𝑥) − (𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
; d’où
∫ (𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]𝑎
𝑏
−
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Calculer les intégrales suivantes :
𝐴 = ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
𝐵 = ∫ 𝑥2
cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
𝐶 = ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑒2
1
Résultat attendu
𝐴 = ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
On pose : 𝑣(𝑥) = 𝑥 → 𝑣′(𝑥) = 1
𝑢′(𝑥) = sin 𝑥 → 𝑢(𝑥) = − cos 𝑥
Ainsi, en intégrant par parties, on a :
𝐴 = ∫ 𝑢′(𝑥) 𝑣(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
= [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]0
𝜋
2
− ∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)
𝜋
2
0
𝑑𝑥
= [− cos 𝑥 × 𝑥]0
𝜋
2
− ∫ − cos 𝑥 × 1
𝜋
2
0
𝑑𝑥

79
= [−𝑥 cos 𝑥]0
𝜋
2
+ ∫ cos 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥
= −
𝜋
2
cos
𝜋
2
+ 0 × cos 0 + [sin 𝑥]0
𝜋
2
= sin
𝜋
2
− sin 0 = 1
𝐵 = ∫ 𝑥2
cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
On pose : 𝑣(𝑥) = 𝑥2
→ 𝑣′(𝑥) = 2𝑥
𝑢′(𝑥) = cos 𝑥 → 𝑢(𝑥) = sin 𝑥
𝐵 = ∫ 𝑢′(𝑥) 𝑣(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
= [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]0
𝜋
2
− ∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)
𝜋
2
0
𝑑𝑥
= [sin 𝑥 × 𝑥2]0
𝜋
2
− ∫ sin 𝑥 × 2𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥
= [𝑥2
sin 𝑥]0
𝜋
2
− 2 ∫ 𝑥 sin 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥
Or, dans le terme de droite, on reconnait l’intégrale 𝐴 de la question
précédente qui a été calculée par parties. Il s’agit ici d’une double
intégration par parties.
On a donc :
𝐵 = (
𝜋
2
)
2
sin
𝜋
2
− 02
sin 0 − 2 × 1
=
𝜋2
4
− 2
𝐶 = ∫ 1 × ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑒2
1
On pose : 𝑣(𝑥) = ln 𝑥 → 𝑣′(𝑥) =
1
𝑥
𝑢′(𝑥) = 1 → 𝑢(𝑥) = 𝑥
𝐶 = ∫ 𝑢′(𝑥) 𝑣(𝑥)𝑑𝑥
𝑒2
1
= [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]1
𝑒2
− ∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)
𝑒2
1
𝑑𝑥
= [𝑥 ln 𝑥]1
𝑒2
− ∫ 𝑥
1
𝑥
𝑒2
1
𝑑𝑥
= 𝑒2
ln 𝑒2
− 1 ln 1 − ∫ 1
𝑒2
1
𝑑𝑥
= 𝑒2
× 2 ln 𝑒 − [𝑥]1
𝑒2
= 𝑒2
× 2 − 𝑒2
+ 1
= 𝑒2
+ 1
Consigne 9 : Changement de variable.
Calculer l’intégrale I = ∫
t+1
√2t+3
3
O
dt
(on pourra poser 𝑥= 2𝑡 + 3 )
Résultat attendu
Calculons l’intégrale I = ∫
t+1
√2t+3
3
O
dt
𝑃𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑥 = 2𝑡 + 3
𝑆𝑖 𝑡 = 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥 = 3
𝑆𝑖 𝑡 = 3 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥 = 9
𝑥 = 2𝑡 + 3 ⇒ 𝑡 =
𝑥 − 3
2
𝑥 = 2𝑡 + 3 ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 =
1
2
𝑑𝑥
Alors I=∫
𝑥−3
2
+1
√𝑥
9
3
×
1
2
𝑑𝑥 =
1
4
∫ (√𝑥 −
1
√𝑥
9
3
)𝑑𝑥
=
1
4
[3
2
𝑥√𝑥 − 2√𝑥]3
9
= 3
D’où I=3

80
Propriétés
*Si 𝑓 est une fonction paire et continue sur un intervalle contenant les
nombres réels 0 et a alors
•  
−
=
0
;
)
(
)
(
a
a
o
dx
x
f
dx
x
f
•  
−
=
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
)
(
* Si 𝑓 est une fonction impaire et continue sur un intervalle contenant les
nombres réels 0 et a, alors :
•  
−
−
=
0
;
)
(
)
(
a
a
o
dx
x
f
dx
x
f
• −
=
a
a
dx
x
f 0
)
(
* Si 𝑓 est continue sur ℝ et périodique de période T alors on a : pour tout
a élément de ℝ,  
+
=
T
a
a
T
dx
x
f
dx
x
f
0
;
)
(
)
(
Soit 𝑓(𝑥)=
𝑥3(𝑒𝑥2
+𝑙𝑛 (1+𝑥2)
1+𝑥4
1)- Justifier que 𝑓 est impaire
2)- Déduire –en le calcule de J=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5
−5
.
Résultat attendu
1)- Justifions que 𝑓 est impaire
Le domaine de définition de la fonction 𝑓 est ℝ
∀ 𝑥 ∈ ℝ, −𝑥 ∈ ℝ 𝑒𝑡 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Donc 𝑓 est impaire
2)- Déduisons –en le calcule de J=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5
−5
Puisque 𝑓 est impaire alors J=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5
−5
= 0
Calcule d’aires
Unité d’aire
Le plan est muni du repère orthonormé (O ; I,J).On appelle unité d’aire et
on note 𝑢. 𝑎 l’aire du rectangle construit sur le côté [OI] et [OJ]. On a :
𝑂𝐼 × 𝑂𝐽
Propriété 1
Si 𝑓 est une fonction positive admettant une primitive sur un intervalle I
et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal,
le nombre ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
est l’aire, exprimée en unité d’aire du domaine plan
délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations
𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏
Remarque
Le domaine hachuré est l’ensemble
des points 𝑀 (
𝑥
𝑦) qui vérifie le système
{
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)
Propriété 2
𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions continues sur un intervalle [a, b]
(a<b) telles que :  
b
a
x ,

 , 𝑓(𝑥)≥ 𝑔(𝑥).
l’aire de la partie du plan limitée par les courbes (𝐶𝑓) et (𝐶𝑔),
représentations graphiques respectives des fonctions 𝑓 et 𝑔,
et les droites d’équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est
( )
( ) ;
.
)
( a
u
dx
x
g
x
f
b
a





 −

Conséquence
(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥)𝑢. 𝑎
𝑑
𝑐
𝑐
𝑏
𝑏
𝑎
Propriété 3
Soit 𝑓 une fonction continue et négative sur l’intervalle [a, b] (𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈
𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏)
Le domaine du plan délimité par la courbe (𝐶𝑓), l’axe des abscisses
d’équation et les droites d’équations
𝑥 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑥 = 𝑏 a pour aire (∫ −𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
)𝑢. 𝑎

81
Conséquence
Le domaine ci-dessus hachuré a pour aire
(∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)])𝑑𝑥
𝑐
𝑏
𝑏
𝑎
u.a
Consigne 11: Calcule d’aires
On considère les fonctions 𝑓 et 𝑔
définies par 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 1 et
𝑔(𝑥) = −𝑥2
+ 2𝑥 + 5. On
admet que pour tout 𝑥 de
[−1 ; 2], on a 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥).
Déterminer l'aire délimitée par
les courbes représentatives de 𝑓
et de 𝑔 sur l'intervalle [−1 ; 2].
Résultat attendu
Cela revient à calculer la différence des intégrales :
𝐴 = ∫ 𝑔(𝑥)
2
−1
𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)
2
−1
𝑑𝑥
= ∫ −𝑥2
+ 2𝑥 + 5
2
−1
𝑑𝑥 − ∫ 𝑥2
+ 1
2
−1
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑥2
+ 2𝑥 + 5
2
−1
−𝑥2
− 1) 𝑑𝑥 = ∫ (−2𝑥2
+ 2𝑥 + 4)
2
−1
𝑑𝑥
A = 9 𝑢. 𝑎.
Calcule de volume

82
Valeur approchée d’une intégrale.
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle K contenant les
réels a et b. Il y a des fonctions dont on n’arrive pas à en trouver une
primitive pour l’intégrer et même si on procède par intégration par
parties ou par changement de variable, on n’y arrive pas. Ceci indique
qu’il n’est pas toujours possible de calculer I=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. Dans ces
conditions,
on peut donner une valeur approchée de cette intégrale par deux
méthodes : la méthode des rectangles et la méthode des trapèzes.
Consigne 12 :Valeur approchée d’une intégrale-Réinvestissement
Résultat attendu

83
Fonction définie par une intégrale.
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏].
La fonction 𝐹 définie sur [𝑎 ; 𝑏] par 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
𝑑𝑡 est la
primitive de 𝑓 qui s’annule en 𝑎.
Consigne 13 : Fonction définie par une intégrale.

86
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 8 : Equations différentielles
Activité 1 :Notions d’équations différentielles
Dansou découvre dans un livre de la classe de Tle D l’équation
suivante (𝐸): 𝑓’’(𝑥) − 𝑓’(𝑥) − 2𝑓(𝑥) = 0. Il se demande comment
trouver une solution à cette équation.
Consigne 1 : Définition
On pose f :↦ 5e-x-3e2x, pour tout x ϵ de ℝ.
Vérifie que f est solution de l’équation (E ).
Résultat attendu
La fonction est deux fois dérivables sur ℝ et on a :
𝑓′(𝑥) = −5𝑒−𝑥
− 6𝑒2𝑥
et 𝑓′′(𝑥) = 5𝑒−𝑥
− 12𝑒2𝑥
alors
𝑓′′(𝑥) − 𝑓′(𝑥) − 2𝑓(𝑥)
= (5𝑒−𝑥
− 12𝑒2𝑥) − (−5𝑒−𝑥
− 6𝑒2𝑥) − 2(5𝑒−𝑥
− 3𝑒2𝑥)
𝑓′′(𝑥) − 𝑓′(𝑥) − 2𝑓(𝑥) = 0 d’où la fonction 𝑓 est une solution de
l’équation (E ).
Définition : 1
On appelle équation différentielle toute équation de la forme : 𝑎0𝑓(𝑥) +
𝑎1𝑓′(𝑥) + 𝑎2𝑓′′(𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓(𝑛)
(𝑥) = 𝑢(𝑥) où 𝑓′
, 𝑓′′
, …, 𝑓(𝑛)
sont des
dérivées successives de la fonction 𝑓 et 𝑢 est une fonction.
Exemples
(𝐸0) : 𝑦’’ − 𝑦’ − 2𝑦 = 2𝑥 − 8 ;
(𝐸1) : 𝑦’’ + 𝑦 = 𝑒−𝑥
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 ;
(𝐸2) : 𝑦’’ − 2𝑦’ + 5𝑦 = 𝑒−𝑥
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2𝑥
Définition :2
𝑢(𝑥) = 0 , on parle d’équation différentielle homogène ( ou sans second
membre)
Exemples
(𝐸0) : 𝑦’ − 2𝑦 = 0
(𝐸1) : 𝑦’’ + 2𝑦’ + 𝑦 = 0 ;
(𝐸2) : 𝑦’’ − 2𝑦’ + 5𝑦 = 0.
Résolution d’une équation différentielle
Résoudre ou intégrer une équation différentielle revient à déterminer
les fonctions qui sont solutions de cette équation différentielle

87
Consigne 2 : Equation différentielle du type y’= u(𝒙) où 𝒇 est une
fonction continue
Soit (𝐸): 𝑦′
= 𝑢(𝑥) une équation différentielle. Les solutions de
l’équation différentielle (𝐸) sont les primitives de la fonction 𝑢.
Soit 𝑓 ces solutions on note :𝑓(𝑥) = ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑥
1) Résoudre l’équation différentielle (E0) : 𝑦’ = 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
2) Résoudre l’équation (E1) : 𝑦’’ = 𝑒−𝑥
− 𝑠𝑖𝑛𝑥.
Résultat attendu
1) Les solutions de (E0) sont les fonctions 𝑥 ⟼
1
2
𝑥2
+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 ; 𝑐 ∈ ℝ
définies sur ℝ
2) Les solutions de (E1) sont les fonctions 𝑥 ⟼ 𝑒−𝑥
+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑥 +
𝑑 ; 𝑐 ∈ ℝ et 𝑑 ∈ ℝ définies sur ℝ
Consigne 3: Equation différentielle du type ay’+by=0 où (a ϵ ℝ.* et b
ϵ ℝ. )
Soit (𝐸): 𝑎𝑦′
+ 𝑏𝑦 = 0 où (a ϵℝ* et b ϵ ℝ ) une équation différentielle.
1) Démontre que 𝑓 est solution de (𝐸) si et seulement si 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒−
𝑏
𝑎
𝑥
avec k ϵ ℝ.
2) Détermine la solution f de (E1) : 2y’-4y=0,qui vérifie la condition
f(0)=5
Résultat attendu
1) Soit f une solution de (𝐸): 𝑎𝑦′
+ 𝑏𝑦 = 0
f est une solution de (𝐸): 𝑎𝑦′
+ 𝑏𝑦 = 0 équivaut successivement
𝑎𝑓′(𝑥) + 𝑏𝑓(𝑥) = 0 equ 𝑎𝑓′(𝑥) = −𝑏𝑓(𝑥) equ
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
= −
𝑏
𝑎
𝑙𝑛|𝑓(𝑥)| = −
𝑏
𝑎
𝑥 + 𝑐 ; 𝑐 ∈ ℝ equ 𝑒𝑙𝑛|𝑓(𝑥)|
= 𝑒−
𝑏
𝑎
𝑥+𝑐
; 𝑐 ∈ ℝ
|𝑓(𝑥)| = 𝑒−
𝑏
𝑎
𝑥+𝑐
; 𝑐 ∈ ℝ
|𝑓(𝑥)| = 𝑒𝑐
𝑒−
𝑏
𝑎
𝑥
; 𝑐 ∈ ℝ
𝑓(𝑥) = ±𝑒𝑐
𝑒−
𝑏
𝑎
𝑥
; 𝑐 ∈ ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒−
𝑏
𝑎
𝑥
; 𝑘 = ±𝑒𝑐
∈ ℝ
2) Les solutions de (𝐸): 2y’ − 4y = 0 sont les fonctions 𝑥 ⟼ 𝑘𝑒2𝑥
avec k ϵ ℝ. définies sur ℝ. et on trouve 𝑘 = 5 alors la solution
cherchée est la fonction 𝑓 définie sur ℝ. par 𝑓(𝑥) = 5𝑒2𝑥
Propriété :
Soit (𝐸): 𝑎𝑦′
+ 𝑏𝑦 = 0 où (a ϵℝ* et b ϵ ℝ ) une équation différentielle.
Les solutions de (𝐸) sont les fonctions 𝑥 ⟼ 𝑘𝑒−
𝑏
𝑎
𝑥
avec k ϵ ℝ. définies
sur ℝ.
Equation différentielle du type 𝒂𝒚’’ + 𝒃𝒚’ + 𝒄𝒚 = 𝟎 où 𝒂 est non nul
et 𝒃 et 𝒄 des réels
Soit (𝐸): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 0 où 𝑎 est non nul et 𝑏 et 𝑐 des réels une
équation différentielle
Equation caractéristique :
L’équation (𝐸𝑐): 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 +c=0 est appelée équation caractéristique
associée à l’équation différentielle (𝐸)
Résolution d’une équation différentielle du type 𝒂𝒚’’ + 𝒃𝒚’ + 𝒄𝒚 =
𝟎 où 𝒂 est non nul et 𝒃 et 𝒄 des réels
Soit (𝐸): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 0 où (a ϵ ℝ.* , b ϵ ℝ. et c ϵ ℝ. ) et
(𝐸𝑐): 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 +c=0 son équation caractéristique associée.
On pose ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐 et on a le tableau suivant :
Signe de ∆=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
L’équation
caractéristique
(𝐸𝑐): 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 +c=0
admet
Les solutions de l’équation
différentielle (𝐸): 𝑎𝑦’’ +
𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 0 sont les
fonction définies sur ℝ par :
∆> 0 2 solutions réelles 𝑟1 et
𝑟2
𝑥 ⟼ 𝐴𝑒𝑟1𝑥
+ 𝐵𝑒𝑟2𝑥
; A ϵ ℝ
et B ϵ ℝ
∆= 0 Une solution réelle 𝑟0 𝑥 ⟼ (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒𝑟0𝑥
; A ϵ ℝ
et B ϵ ℝ
∆< 0 2 solutions complexes
conjuguées
𝑟1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 et 𝑟2 = 𝛼 −
𝑖𝛽
𝑥 ⟼ (𝐴𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 +
𝐵𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥)𝑒𝛼𝑥
; A ϵ ℝ et B
ϵ ℝ
Consigne 4 :Réinvestissement :
Résoudre chacune des équations différentielles suivantes :
(E1) : y’’- 4y’+3y=0 ;
(E2) : 6y’’- 12y’+10y=0 ;

88
Résultat attendu
(E1) : y’’- 4y’+3y=0 ;
(E2) : 6y’’- 12y’+10y=0 ;
Consigne 4 : Equation différentielle avec second membre
Soit les équations différentielles (𝐸): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 𝑢(𝑥)
et (𝐸0): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 0 et 𝑔 une solution de (𝐸).
Démontre qu’une fonction 𝑓 est solution de l’équation
différentielle (𝐸) si et seulement si 𝑓 − 𝑔 est solution de
l’équation différentielle (𝐸0).
Résultat attendu
On sait 𝑔 est solution de (𝐸): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 𝑢(𝑥) alors 𝑎𝑔’’(𝑥) +
𝑏𝑔’(𝑥) + 𝑐𝑔(𝑥) = 𝑢(𝑥)
Soit 𝑓 une solution de l’équation différentielle (𝐸)
𝑓 est une solution de l’équation différentielle (𝐸) équivaut
successivement à :
𝑎𝑓’’(𝑥) + 𝑏𝑓’(𝑥) + 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)
𝑎𝑓’’(𝑥) + 𝑏𝑓’(𝑥) + 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔’’(𝑥) + 𝑏𝑔’(𝑥) + 𝑐𝑔(𝑥) car 𝑎𝑔’’(𝑥) +
𝑏𝑔’(𝑥) + 𝑐𝑔(𝑥) = 𝑢(𝑥)
𝑎𝑓’’(𝑥) + 𝑏𝑓’(𝑥) + 𝑐𝑓(𝑥) − 𝑎𝑔’’(𝑥) − 𝑏𝑔’(𝑥) − 𝑐𝑔(𝑥) = 0
𝑎(𝑓 − 𝑔)’’(𝑥) + 𝑏(𝑓 − 𝑔)’(𝑥) + 𝑐(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 0
𝑓 − 𝑔 est solution de l’équation différentielle (𝐸0).
Autre méthode :
On sait 𝑔 est solution de (𝐸): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 𝑢(𝑥) alors 𝑎𝑔’’(𝑥) +
𝑏𝑔’(𝑥) + 𝑐𝑔(𝑥) = 𝑢(𝑥)
Soit 𝑓 − 𝑔 une solution de l’équation différentielle (𝐸0)
𝑓 − 𝑔 est une solution de l’équation différentielle (𝐸0) équivaut
successivement à :
𝑎(𝑓 − 𝑔)’’(𝑥) + 𝑏(𝑓 − 𝑔)’(𝑥) + 𝑐(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 0
𝑎𝑓’’(𝑥) − 𝑎𝑔’’(𝑥) + 𝑏𝑓’(𝑥) − 𝑏𝑔’(𝑥) + 𝑐𝑓(𝑥) − 𝑐𝑔(𝑥) = 0
𝑎𝑓’’(𝑥) + 𝑏𝑓’(𝑥) + 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔’’(𝑥) + 𝑏𝑔’(𝑥) + 𝑐𝑔(𝑥) or 𝑎𝑔’’(𝑥) +
𝑏𝑔’(𝑥) + 𝑐𝑔(𝑥) = 𝑢(𝑥)
𝑎𝑓’’(𝑥) + 𝑏𝑓’(𝑥) + 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)
𝑓 est une solution de l’équation différentielle (𝐸)
Propriété :
Soit (𝐸): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 𝑢(𝑥) une équation différentielle et 𝑔 une
solution de (𝐸).
Si les solutions de (𝐸0): 𝑎𝑦’’ + 𝑏𝑦’ + 𝑐𝑦 = 0 sont les fonctions 𝑓 alors les
solutions de (𝐸) sont les fonctions définies sur par ℝ. 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

89
Activité d’approfondissement
Résolution

91
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 9 : Probabilités
Activité 1 : Langages probabilistes.
Au cours d’une recréation, Dansou et ses camarades discutent sur
la chance d’apparition d’un numéro sur un dé cubique numérote de
1 à 6. Rapidement, ils ont de divergences d’opinion et décide de
demander l’avis de leur professeur. Ce dernier décide de les
clarifier sur la notion de probabilité.
Consigne 1 : Expérience aléatoire et les évènements.
1) a- Peut-on prévoir avec certitude le numéro qui apparaitra lors du
lancer d’un de cubique ?
b- Donne le nom d’une telle situation.
2) Soit l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé cubique (non
truqué) et à lire le numéro inscrit sur la face supérieure du dé.
On définit les événements suivants :
A = " Obtenir un nombre pair " est l’événement : {2 ; 4 ; 6} qui est réalisé
lorsque 2, 4 ou 6 est réalisé.
 = " Obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 " = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
 = " Obtenir 7 " = { 7 }
H= " Obtenir 2 " = { 2 }
a- Trouve le nom des évènements  ;  et H.
b- Donne l’évènement contraire de A
Résultat attendu
1) a- Non on ne peut pas prévoir avec certitude un tel numéro.
b-Il s’agit d’une expérience aléatoire
2) a-Trouvons le nom des évènements  ;  et H.
 = " Obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 " = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } est l'événement
certain.
 = " Obtenir 7 " = { 7 } est l'événement impossible.
H= " Obtenir 2 " = { 2 } cet événement n'a qu'une seule issue
(singleton): C'est un des 6 événements élémentaires.
b- Donnons l’évènement contraire de A.
Soit B = " Obtenir un nombre impair " = { 1 ; 3 ; 5 } est l'événement
contraire de A. On écrit : B A
= .

92
Définition
On appelle une expérience aléatoire (ou épreuve) une expérience
dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat.
Remarque
Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé éventualité, issue
ou cas possibles.
L’ensemble de toutes les éventualités est l’univers associé à
l’expérience aléatoire. L’univers est souvent noté Ω .
Vocabulaire
• Toutes les issues forment l'Univers des possibles .
• Les sous-ensembles de  sont des événements.
•  est l'événement certain.
•  est l'événement impossible.
• Les événements n'ayant qu'une seule issue (singleton) sont
des événements élémentaires de l'univers .
Si A et B sont deux événements, on note :
• AB : Evénement pour lequel A et B sont réalisés
simultanément.
• AB : Evénement pour lequel A ou B est réalisé. Cela
n'excluant pas que A et B soient tous les deux réalisés !
• A est l'événement contraire de A : Il est réalisé lorsque A
ne l'est pas.
• Si AB= , on dit que les événements A et B sont
incompatibles ou disjoints.
Activité 2 : Calcul de probabilité.
Dans ses recherches, Dansou découvre dans un livre de mathématique la
définition suivante :
Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire. Une probabilité sur Ω
est une application p de P (Ω) vers [0, 1] qui, à tout événement A de Ω
associe le nombre réel p(A) appelé probabilité de l’événement A et qui
vérifie les conditions suivantes :
* p(Ω) = 1
* Si A et B sont deux événements incompatibles alors
p(A B)= p(A) + p(B)
Consigne 1 : Définition de probabilité.
1) Soit p une probabilité définie sur l’univers Ω associé à une
expérience aléatoire et A un événement de Ω .
Détermine A ∩ A
̅ et A ∪ A
̅
2) Déduis-en que p(A) + p(A
̅) = 1
Résultat attendu
1) Détermination de 𝐴 ∩ 𝐴 𝑒𝑡 𝐴 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ 𝑒𝑡 𝐴 ∪ 𝐴 = Ω
2) Déduction : 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐴̅) = 1
𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ alors A et 𝐴 et incompatibles donc 𝑝(𝐴 ∪ 𝐴) = 𝑝(𝐴) +
𝑝(𝐴) or 𝐴 ∪ 𝐴 = Ω et 𝑝(Ω) = 1.
Définition :
Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire. Une probabilité
sur Ω est une application p de P (Ω) vers [0, 1] qui, à tout événement
A de Ω associe le nombre réel p(A) appelé probabilité de
l’événement A et qui vérifie les conditions suivantes :
* p(Ω) = 1
* Si A et B sont deux événements incompatibles alors p(A B) =
p(A) + p(B)
Propriétés
Soit 𝑝 une probabilité définie sur un univers Ω, A et B deux
événements
✓ 𝑝(A) + p( A ) = 1
✓ Si A B alors p(A) ≤ p(B)
✓ 𝑝(A B) = p(A) + p(B)- p(A B)
✓ Si A1, A2,…,An (𝑛 ≥ 2) sont des événements deux à deux
incompatibles, alors 𝑝( 
=
=
=
=
n
i
n
i
i
Ai
p
Ai
1
1
)
(
)

Casd’équiprobabilité:
Si  possède n issues équiprobables, chaque issue a une probabilité
de:
1
n
.

93
Si l'événement A possède a issues équiprobables, alors : p A
a
n
( ) = .
Evénements équiprobables
Deux événements A et B d’un univers de Ω sont dits équiprobables
pour la probabilité 𝑝 lorsque 𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐵).
Théorème
Soit p une probabilité définie sur un univers fini non vide Ω.
Si tous les événements élémentaires de Ω sont équiprobables, alors
on a : pour tout événement A de Ω, 𝑝(A) =

card
cardA
𝑝(A) =
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 à 𝐴
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
Consigne 2 : Calcul d’Equiprobabilité.
On lance un deux cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6
et on note le numéro inscrit sur sa face supérieure.
1) Ecris en extension l’univers Ω associé à cette expérience
aléatoire puis calcule card Ω.
2) Détermine la probabilité de chacun des événements ci-dessous :
A : « Avoir un chiffre pair » et B : « Avoir un chiffre impair »
Résultat attendu
1) Ecrivons en extension l’univers Ω associé à cette expérience
aléatoire puis calculons card Ω.
Ω= {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} donc card Ω.=6
2) Déterminons la probabilité de chacun des évènements ci-
dessous :
A : « Avoir un chiffre pair » et B : « Avoir un chiffre impair »
A = {2 ;4 ;6} et B = {1 ;3 ;5}
• 𝑝(𝐴) =
𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴
𝑐𝑎𝑟𝑑Ω
=
1
2
• 𝑝(𝐵) =
𝑐𝑎𝑟𝑑𝐵
𝑐𝑎𝑟𝑑Ω
=
1
2
Remarque
Les situations d’équiprobabilité sont reconnaissables à
certains indices convenus qui figure dans les textes :
Ainsi "dé parfait"; "dé non pipé"; "dé non truqué"; "une pièce de
monnaie parfaite"; "boule indiscernable au toucher"; "cartes bien
battus"; "tirage au hasard"; "..."; sont autant d’expressions qui
doivent être traduites au terme d’équiprobabilité des événements
élémentaires.
Dans le cas où les événements élémentaires sont
équiprobables ; les exercices de probabilité deviennent des
problèmes de dénombrement.
Les différents types de dénombrement peuvent se retrouver dans
les différentes façons de tirer une boule p dans une urne contenant
𝑛 boules.
Cas de probabilité conditionnelle :
Définition
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire donnée,𝑝 une
probabilité sur Ω, B un événement non impossible (𝐵 ≠ ∅) deΩ.
L’application 𝑝𝐵:
𝐴⟼𝑝𝐵(𝐴)=
p(A∩B)
𝑝(𝐵)
𝑃(Ω)→[0;1]
est une probabilité sur Ω appelé
probabilité conditionnelle.
➢ 𝑝𝐵 est la probabilité sachant que B est réalisé.
➢ 𝑝𝐵(𝐴) ou 𝑝(𝐴/𝐵) signifie la probabilité de A sachant que B
est réalisé.
➢ 𝑝𝐴(𝐵) ou 𝑝(𝐵/𝐴) signifie la probabilité de B sachant que A
est réalisé.

94
Propriétés
𝑷𝟏 : Si A et B sont deux événements tels que 𝑝(A) ≠ 0 et 𝑝(B) ≠ 0
alors 𝑝(A B) = 𝑝A(B) × 𝑝(A) = 𝑝(B) × 𝑝B (A)
C’est la formule des probabilités composées pour deux événements
𝑷𝟐 : Si B1, B2… ,Bn forment un système complet d’événements de
l’univers Ω, alors on a : pour tout événement A de Ω,
𝑝(A) = 𝑝(A B1) + 𝑝(A B2) + ………..+𝑝(A Bn).
En particulier si B est un événement non impossible de Ω alors on
a: 𝑝(A)=𝑝(A B)+𝑝(A 𝐵) = 𝑝A(B) × 𝑝(A) + 𝑝A(𝐵) × 𝑝(𝐵)
C’est la formule de Baye.
Consigne 3:Calcul de probabilité conditionnelle.
Un charlatan dispose de 28 cauris répartis comme l’indique le
tableau ci-dessous :
Lisse Rogné Total
Blanc 8 4 12
Gris 10 6 16
Total 18 10 28
Le charlatan tire un cauris au hasard.
On considère les évènements suivants :A : « Le cauris retiré est
blanc ».
B : « Le cauris retiré est lisse ».
1) Calcule la probabilité des évènements A, B et 𝐴 ∩ 𝐵
2) Le charlatan tire un cauris blanc ;Calcule la probabilité 𝑝1qu’il
soit lisse.
Résultat attendu
1) Calculons la probabilité des évènements A, B et 𝐴 ∩ 𝐵
On a : 𝑝(𝐴) =
3
7
; 𝑝(𝐵) =
9
14
et 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
2
7
2) Calculons la probabilité 𝑝1 qu’il soit lisse :
𝑝1 =
𝑝(𝐴∩𝐵 )
𝑝(𝐴)
=
2
3
Principes de construction des arbres pondérés :
✓ La racine de l'arbre est l'événement certain.
✓ De la racine partent des "branches" qui mènent à des
événements : Ces événements sont deux à deux
incompatibles et leur réunion est l'évènement certain.
• On note sur chaque branche, la probabilité de l'événement
concerné.
• La somme des probabilités de chaque branche provenant de
la racine est: 1.
✓ Après le premier niveau, partent
d'autres branches selon le même
principe, sauf qu'alors, les probabilités
inscrites sur les branches sont des
probabilités conditionnelles.
Lorsque l'arbre est terminé :
• La probabilité d'un "chemin" est le
produit des probabilités marquées sur
les branches. En effet, d'après la définition d'une probabilité
conditionnelle, on doit avoir:
(A)
p
p(B)
(B)
p
p(A)
B)
p(A B
A 
=

=
 .
Evénements indépendants
Définition
Deux événements de probabilités toutes non nulles sont
indépendants si et seulement si la probabilité de l’un n’est pas
modifiée par la réalisation ou la non réalisation de l’autre.
Propriété
A et B sont deux événements tels que 𝑝(A) ≠0 et 𝑝(B) ≠0. Les
propriétés suivantes sont équivalentes :
✓ A et B sont deux événements indépendants
✓ 𝑝B(A) = 𝑝(A) lorsque p(B) ≠ 0
✓ 𝑝A(B) = 𝑝(B) lorsque p(A) ≠ 0

95
Dans la ville où se trouve Dansou, 70 % des personnes âgés de plus
de 60 ans sont des devins ; 40% de ces devins sont des femmes et
20% de ceux qui ne le sont pas sont des hommes. Dansou, décide
de calculer la probabilité pour qu’une personne âgée de plus de 60
ans prise au hasard dans cette population soit un devin sachant
qu’elle est une femme. On désignera par D l’évènement « la
personne âgée de plus de 60 ans est un devin » ; par F l’évènement
« la personne de plus de 60 ans est une femme » et par H
l’évènement « la personne de plus de 60 ans choisie est un
homme ».
1)Inscris sur chaque chemin de l’arbre de choix suivant la
probabilité convenable
D
̅ est l’évènement contraire de D.
2)a- Calcule la probabilité pour qu’une personne de plus de 60 ans
choisie soit une femme sachant qu’elle est un devin.
b) Calcule de même p(F/D
̅), p(H/D) et p(H /D
̅)
3)a- Calcule la probabilité des évènements F⋂D et F⋂D
̅
b-Déduis-en la probabilité de F puis la probabilité voulue par
Dansou.
Résultat attendu
1) Inscrivons sur chaque chemin de l’arbre de choix la probabilité
convenable
2)a- Calculons la probabilité pour qu’une personne de plus de 60
ans choisie soit une femme sachant qu’elle est un devin P(F/D)=
40
100
b) Calculons : p(F/D
̅), p(H/D) et p(H /D
̅)
p(F/D
̅) =
80
100
; p(H/D) =
60
100
et p(H /D
̅) =
20
100
3)a- Calculons la probabilité des évènements F⋂D et F⋂D
̅
𝑝(F⋂D = 𝑝D(F) × 𝑝(D) =
28
100
; 𝑝(F⋂D) = 𝑝𝐷(F) × 𝑝(𝐷)=
24
100
b-Déduisons-en la probabilité de F puis la probabilité voulue par
Dansou.
𝑝(F) = 𝑝(F D) + 𝑝(F 𝐷) =
28
100
+
24
100
=
52
100
.
La probabilité voulue par Dansou est 𝑝F(D) =
𝑝(𝐷∩𝐹)
𝑃(𝐹)
=
28
52
Activité 3 : Variable aléatoire réelle
Un couple de futurs parents décide d'avoir 3 enfants.
On fait l'hypothèse (pas tout à fait exacte) que les bébés garçons et
filles sont équiprobables.
A chaque événement élémentaire, on associe le nombre de garçon
qu'il possède.
‘’F’’ : File ; ‘’G’’ :Garçon

96
Consigne 1 : Notion de variable aléatoire.
1) Détermine tous les événements élémentaires.
2) Réalise un diagramme qu’a chaque événement élémentaire
associe le nombre de garçon. Et déduis-en une partition de
l'univers en 4 sous-ensembles disjoints.
3) Calculer la probabilité des événements suivants:
a-Ils auront 3 garçons.
b-Ils auront 3 filles.
c-Ils auront 2 garçons et 1 fille.
d-Ils auront 1 garçon et 2 filles.
Résultat attendu
1) Déterminons tous les événements élémentaires.
Il y a 8 issues possibles qui sont
{FFF} ;{FFG} ;{FGG} ;{FGF} ;{GGG} ;{GGF} ;{GFF} et {GFG}
2) Réalisons un diagramme qu’a chaque événement élémentaire
associe le nombre de garçon. Et déduisons une partition de
l'univers en 4 sous-ensembles disjoints.
{FFF}  0
{FFG}  1
{FGF}  1
{GFF}  1
{GGF}  2
{GFG}  2
{FGG}  2
{GGG}  3
En construisant une telle fonction, on dit qu'on définit une variable
aléatoire sur l'univers formé des 8 issues possibles.
Ceci permet de réaliser une partition de l'univers en 4 sous-
ensembles disjoints. En notant G la variable aléatoire "nombre de
garçons", la partition de l'univers est alors constituée des 4
événements incompatibles notés:( G = 0), ( G = 1 ) , ( G = 2 ) et (
G = 3 )
3) Calculons la probabilité des événements suivants :
a-( G = 3) = {GGG} de probabilité : p(G = 3 ) =
8
1
b- ( G = 0 ) = {FFF} de probabilité: p( G = 0 ) =
8
1
c-( G = 2 ) = {FGG}  {GGF}  {GFG} de probabilité: p( G = 2 ) =
8
3
d-( G = 1 ) = {FFG}  {GFF}  {FGF} de probabilité: p( G = 1 ) =
8
3
La connaissance de chaque probabilité pour les valeurs prises par
la variable aléatoire G définit la loi de probabilité de la variable
aléatoire G. Elle est souvent donnée sous forme de tableau:
Nombre de garçons : n 0 1 2 3
Probabilités : p( G = n ) 8
1
8
3
8
3
8
1
Les événements ( G = 0 ) , ( G = 1 ) , ( G = 2 ) et ( G = 3 ) réalisant
une partition de l'univers, sont appelés événements élémentaires
de la variable aléatoire G. La somme des probabilités de ces
événements est évidemment égale à 1.
Variable aléatoire réelle
Définition
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire donnée. On appelle
variable aléatoire réelle toute application de Ω vers ℝ. On note X, Y,
T, Z…
Ainsi X :Ω → ℝ est une variable aléatoire et 𝑋(Ω) est l’univers
image
Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle.
Soit X une variable aléatoire réelle défini sur un univers Ω muni
d’une probabilité 𝑝.
Lorsqu’à chaque 𝑥𝑖 ∈ 𝑋(Ω), on associe la probabilité 𝑝𝑖 = 𝑝(𝑋 =
𝑥𝑖). On dit qu’on définit une loi de probabilité de X.
La loi de probabilité de X est souvent représentée par un tableau .
X=𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 …………….. 𝑥𝑛
𝑝𝑖 = 𝑝(𝑋 =
𝑥𝑖)
𝑝1 𝑝2 …………….. 𝑝𝑛

97
Fonction de répartition d’une variable réelle.
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω muni
d’une probabilité 𝑝.
On appelle fonction de répartition de la variable X, l’application F
définie par
𝐹:𝑥↦𝐹(𝑥)=𝑝(𝑋≤𝑥)
ℝ→[0;1]
Si la loi de probabilité de X est
X=𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 …………….. 𝑥𝑛
𝑥𝑖)
𝑝1 𝑝2 …………….. 𝑝𝑛
Alors la fonction de réparation F est définie par
𝐹(𝑥) =
{
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑥1
𝑝1,𝑠𝑖 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2
𝑝1 + 𝑝2,, 𝑠𝑖 𝑥2 ≤ 𝑥 < 𝑥3
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝2, 𝑠𝑖 𝑥3 ≤ 𝑥 < 𝑥4
.
.
.
1; 𝑠𝑖 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛
Espérance mathématique, variance et écart-type
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω muni
d’une probabilité 𝑝 dont la loi de probabilité est
X=𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 …………….. 𝑥𝑛
𝑥𝑖)
𝑝1 𝑝2 …………….. 𝑝𝑛
o L’espérance mathématique de X ou moyenne de X.
On appelle espérance mathématique de la variable X le nombre
réel noté 𝐸(𝑋) et défini par : 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋𝑖𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 . On note encore 𝑋
o Variance de X
On appelle variance de la variable réelle 𝑋 le nombre réel positif
noté V(𝑋) et défini par
V(𝑋) = ∑ 𝑝(𝑥𝑖 − 𝑋 )2
𝑛
𝑖=1 = ∑ 𝑋𝑖
2
𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 -(∑ 𝑋𝑖𝑝𝑖)
𝑛
𝑖=1
2
= 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2
o L’écart-type de 𝑿
On appelle L’écart-type de 𝑋 le réel positif 𝜎(𝑋) tel que 𝜎(𝑋) =
√V(𝑋)
Consigne 2: applications
En utilisant les données précédentes :
1) Calcul l’espérance mathématiques de G et interprète le
résultat.
2) Calcul la variance et l’écart-type de G .
Résultat attendu
1) Espérance mathématique de G: E(G) = 0 
8
1
+ 1 
8
3
+ 2 
8
3
+
3 
8
1
= 1,5
Ce résultat peut être interprété de la façon suivante :
"Lorsqu'on a 3 enfants, on peut espérer avoir, en moyenne, 1,5
garçons !"
2) Variance de G: E(G):
V(G) =  2
3
n
0
n
2
)
G
(
E
)
n
G
(
p
n −
=


=
=
V(G) = 02 
8
1
+ 12 
8
3
+ 22 
8
3
+ 32 
8
1
− 1,52 =
4
3
Ecart-type de G:
C'est la racine carrée de la variance: (G) = )
G
(
V
Ici: (G) = 87
,
0
2
3
4
3

=

98
Loi de Bernoulli
Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire
à deux issues que l'on peut nommer "succès" ou "échec".
Définition : Une loi de Bernoulli est la loi de probabilité d’une
épreuve de Bernoulli qui suit le schéma suivant :
- la probabilité d'obtenir un succès est égale à 𝒑,
- la probabilité d'obtenir un échec est égale à 𝟏– 𝒑.
𝒑 est appelé le paramètre de la loi de Bernoulli.
Loi binomiale.
Définition : Un schéma de Bernoulli est la répétition de 𝑛
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes pour lesquelles
la probabilité du succès est 𝑝.
Définition : On réalise un schéma de Bernoulli composé de 𝑛
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Une loi binomiale est une loi de probabilité définie sur l'ensemble
{0 ; 1 ; 2 ; … ; 𝑛} qui donne le nombre de succès de l'expérience.
Remarque: 𝑛 et 𝑝 sont les paramètres de la loi binomiale.
Propriété : On réalise une expérience suivant un schéma de
Bernoulli de paramètres 𝑛 et 𝑝.
On associe à l'expérience la variable aléatoire 𝑋 qui suit la loi
binomiale 𝐵(𝑛 ; 𝑝).
Pour tout entier naturel 𝑘 tel que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, la loi de probabilité de
𝑋 est : 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝐶
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes. Une
expérience consiste à tirer au hasard 4 fois de suite une boule et de
la remettre.
On appelle 𝑋 la variable aléatoire qui associe le nombre de tirages
gagnants.
a) Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale.
b) Calculer la probabilité d'obtenir 3 boules gagnantes.
Résultat attendu
1) On répète 4 fois de suite de façon identique et indépendante une
épreuve à deux issues :
boules gagnantes (5 issues) ; boules perdantes (7 issues).
Le succès est d’obtenir une boule gagnante.
La probabilité du succès sur un tirage est égale à
5
12
.
La variable aléatoire 𝑋 suit donc la loi binomiale de paramètres :
𝑛 = 4 et 𝑝 =
5
12
.
b)
𝑃(𝑋 = 3) = (𝐶
4
3
) (
5
12
)
3
(1 −
5
12
)
4−3
= (𝐶
4
3
) (
5
12
)
3
(
7
12
)
1
= 4 ×
125
1 728
×
7
12
=
875
5 184
≈ 0,17.
Propriété : Soit la variable aléatoire 𝑋 qui suit la loi binomiale de
paramètres n et p. et de la loi binomiale
On a : Espérance : 𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 ;
Variance : 𝑉(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝); écart-type :(𝑋) = √𝑉(𝑋)
Un sac contient 2 boules rouges et 3 boules noires, toutes indiscernables
au toucher.
1) On tire successivement et sans remise 2 boules du sac. Calcule la
probabilité de l’événement A′′ obtenir 2 boulesde couleurs différentes′′
2) On recommence trois fois de suite l’expérience de 1°) dans les mêmes
conditions. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de fois
que l’événement A est réalisé.
a-Détermine la loi de probabilité de X.
Nombre de combinaisons de
3 succès parmi 4 épreuves.
Probabilité des
3 succès.
Probabilité des 4 −
3 = 1 échec.
En effet, (𝐶
4
3
) = 4

99
b-Calcule E(X) et V(X)
3) On recommence maintenant 20 fois de suite l’expérience de 1°) dans
les mêmes conditions. Calcule la probabilité d’obtenir :
a-Exactement 3 fois l’événement A
b-uniquement l’événement A aux 3 premières expériences.
c-seulement l’événement A aux 3 dernières expériences.
d-l ’événement A pour la première fois à la 5ème expérience.
e-l ’événement A pour la première fois à la 3ème expérience et pour la
4ème fois à la 9ème expérience.
Résultat attendu
1) Calculons la probabilité de l’événement A′′ obtenir 2 boulesde
couleurs différentes′′.
Soit Ω l’univers possible associé à cette épreuve. On a : card Ω = 𝐴3
2
= 20
𝑝(𝐴) =
𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴
𝑐𝑎𝑟𝑑Ω
=
2!×𝐴2
1×𝐴3
1
20
=
3
5
2) a-Déterminons la loi de probabilité de X.
X suit une loi binomiale de paramètre 3 et
3
5
.
L’ensemble des valeurs prises par X est {0 ;1 ;2 ;3,4}
*𝑝({𝑋 = 0}) = 𝐶3
0
× (
3
5
)0
× (
2
3
)
3
=
8
125
*𝑝({𝑋 = 1}) = 𝐶3
1
× (
3
5
)1
× (
2
3
)
2
=
36
125
*𝑝({𝑋 = 2}) = 𝐶3
2
× (
3
5
)2
× (
2
3
)
1
=
54
125
*𝑝({𝑋 = 3}) = 𝐶3
3
× (
3
5
)3
× (
2
3
)
0
=
27
125
On a le tableau de la loi de probabilité suivant :
𝑥𝑖 0 1 2 3
𝑝({𝑋 = 𝑥𝑖})
8
125
36
125
54
125
27
125
b-Calculons E(X) et V(X)
* E(X) = 𝑛 × 𝑝 = 3 ×
3
5
=
9
5
* V(X) = 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = 3 ×
3
5
×
2
5
=
18
25
3) Calculons la probabilité d’obtenir :
a-Exactement 3 fois l’événement A
Soit 𝑝1 cette probabilité.
𝑝1 = 𝐶20
3
× (
3
5
)3
× (
2
5
)
17
b-uniquement l’événement A aux 3 premières expériences.
Soit 𝑝2 cette probabilité
𝑝2 = (
3
5
)3
× (
2
5
)
17
c-seulement l’événement A aux 3 dernières expériences
𝑝3 = (
2
5
)
17
× (
3
5
)3
d-l’événement A pour la première fois à la 5ème expérience.
𝑝4 = (
2
5
)
4
× (
3
5
)1
e- l’événement A pour la première fois à la 3ème expérience et pour la
4ème fois à la 9ème expérience.
Soit 𝑝5cette probabilité
𝑝5 = (
2
5
)2
×
3
5
× 𝐶5
2
× (
3
5
)2
× (
2
5
)3
×
3
5
.
On dispose d’un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Lorsqu’on lance ce dé, on suppose que la probabilité d’apparition d’une
face dont le numéro est impair est la moitié de celle d’apparition d’une
face dont le numéro est pair.
1) Calcule la probabilité d’obtenir chaque face
2) Une personne qui lance le dé obtient les résultats suivants « Si la face
1 ou 6 apparait, elle gagne 1 000FCFA ; si la face 3 apparait elle
ne gagne rien »
« si une autre face apparait, elle gagne 500F »
a) Détermine la loi de probabilité de X
b) Calcule E(X) ; V(X) et l’écart type de X
c) Donne la fonction de répartition F et sa représentation
Bloc-notes :

100
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 10 : Suites numériques.
Dansou, ne se rappelle plus des notions de suite numérique.
Tu va aider, Dansou tout au long de cette séquence.
Activité 1 : Rappel : définition d’une suite numérique.
Définition
On appelle suite numérique, toute application U de
ℕ 𝑣𝑒𝑟𝑠 ℝ 𝑝𝑎𝑟 𝑈: 𝑛⟶ 𝑈(𝑛)
ℕ⟶ℝ
Notation et vocabulaire
Soit E l’ensemble de définition d’une suite numérique U
✓ Notation fonctionnelle
𝑈: 𝑛⟼𝑈(𝑛)
𝐸→ℝ
✓ Notation indicielle
(𝑈𝑛)𝑛∈ℕ ou plus simplement (𝑈𝑛) est appelé terme d’indice n.
L’image d’un entier naturel n se note 𝑈𝑛 et non U(n)
Il y a deux manières de définir une suite
• Formule explicite
C’est le cas d’une suite définie par 𝑈𝑛 = 𝑓(𝑛) où f est une fonction
numérique.
Ex 𝑈𝑛 = −5𝑛 +
1
8
On peut associer à U la fonction f(x)=-5x+
1
8
• Formule de récurrence
C’est le cas de la suite 𝑉
𝑛 définie par {
𝑉0 =
1
2
𝑉𝑛+1 = 𝑉
𝑛 + 2 ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛 ≥ 0
Consigne 1 : Calcul de terme d’une suite.
1) Calcule les trois premiers termes de la suite (𝑈𝑛).
2) Calcule 𝑉1 ; 𝑉2 𝑒𝑡 𝑉3.
Résultat attendu (exécuter avec les apprenants )
Consigne 2 : Démonstration par récurrence.
On considère la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 2𝑛 + 3 et 𝑢0 = 1.
Démontrer par récurrence que : 𝑢𝑛 = (𝑛 + 1)2
.

101
Résultat attendu
Initialisation pour 𝒏 = 0 :
(0 + 1)2
= 1 = 𝑢0.
La propriété est donc vraie pour 𝑛 = 0.
Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier 𝑘 :
𝑢𝑘 = (𝑘 + 1)2
.
- Démontrons que :La propriété est vraie au rang 𝑘 + 1, soit :
𝑢𝑘+1 = (𝑘 + 1 + 1)2
, soit encore :𝑢𝑘+1 = (𝑘 + 2)2
???
𝑢𝑘+1 = 𝑢𝑘 + 2𝑘 + 3, par définition
= (𝑘 + 1)2
+ 2𝑘 + 3, par hypothèse de récurrence
= 𝑘2
+ 2𝑘 + 1 + 2𝑘 + 3
= 𝑘2
+ 4𝑘 + 4
= (𝑘 + 2)2
Conclusion :
La propriété est vraie pour 𝑛 = 0 et héréditaire à partir de ce rang.
D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier
naturel 𝑛, soit : 𝑢𝑛 = (𝑛 + 1)2
.
Définition : On dit qu’une propriété est héréditaire à partir d’un
certain rang : Si la propriété est vraie pour un entier 𝑘, alors elle est
vraie pour l’entier 𝑘 + 1.
Principe du raisonnement par récurrence :
Si la propriété 𝑃 est : - vraie au rang 𝑛0 (Initialisation),
- héréditaire à partir du rang 𝑛0 (Hérédité),
alors la propriété 𝑃 est vraie pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑛0.
Remarque: On tente d’utiliser une démonstration par récurrence,
lorsqu'une démonstration classique n'est pas possible ou est trop
difficile.
Activité 2: Limite d’une suite numérique.
- On dit que la suite (𝑢𝑛) admet pour limite +∞ si tout intervalle
]𝑎 ; +∞[, 𝑎 réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain
rang et on note : lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = +∞.
- On dit que la suite (𝑢𝑛) admet pour limite −∞ si tout intervalle
]−∞ ; 𝑏[, 𝑏 réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain
rang et on note : lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = −∞.
-On dit que la suite (𝑢𝑛) admet pour limite 𝐿 si tout intervalle ouvert
contenant 𝐿 contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang
et on note : lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 𝐿.
Consigne 1 :Calcul de limite.
Calculer les limites : a) lim
𝑛→+∞
(
1
√𝑛
+ 1) (𝑛2
+ 3) ; b) lim
𝑛→+∞
2
−𝑛2−3
;
c) lim
𝑛→+∞
√𝑛 + 2 − √𝑛
Résultat attendu
a) lim
𝑛→+∞
(
1
√𝑛
+ 1) (𝑛2
+ 3) = ?
{
lim
𝑛→+∞
1
√𝑛
= 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑛→+∞
(
1
√𝑛
+ 1) = 1
lim
𝑛→+∞
𝑛2
𝑛→+∞
(𝑛2
+ 3) = +∞
D'après la propriété donnant la limite d’un produit :
lim
𝑛→+∞
(
1
√𝑛
+ 1) × (𝑛2
+ 3) = +∞
b) lim
𝑛→+∞
2
−𝑛2−3
= ?
{
lim
𝑛→+∞
2 = 2 ← 𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑜𝑛 𝑛𝑒 𝑙′
é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑝𝑎𝑠, 𝑐𝑎𝑟 é𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 !
lim
𝑛→+∞
𝑛2
𝑛→+∞
−𝑛2
= −∞ 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑛→+∞
−𝑛2
− 3 = −∞
D'après la propriété donnant la limite d'un quotient : lim
𝑛→+∞
2
−𝑛2−3
= 0
c) lim
𝑛→+∞
√𝑛 + 2 − √𝑛
• {
lim
𝑛→+∞
√𝑛 + 2 = +∞
lim
𝑛→+∞
√𝑛 = +∞
Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞ − ∞".
• Levons l’indétermination par la méthode de l’expression conjuguée :

102
√𝑛 + 2 − √𝑛 =
(√𝑛 + 2 − √𝑛)(√𝑛 + 2 + √𝑛)
√𝑛 + 2 + √𝑛
=
(√𝑛 + 2)
2
− (√𝑛)
2
√𝑛 + 2 + √𝑛
=
𝑛 + 2 − 𝑛
√𝑛 + 2 + √𝑛
=
2
√𝑛 + 2 + √𝑛
• Or, comme limite d'une somme : lim
𝑛→+∞
√𝑛 + 2 + √𝑛 = +∞
Et donc, comme limite d’un quotient : lim
𝑛→+∞
2
√𝑛+2+√𝑛
= 0.
Soit : lim
𝑛→+∞
√𝑛 + 2 − √𝑛 = 0.
Définition :
On dit que la suite (𝑢𝑛) admet pour limite 𝑳,si 𝑢𝑛 est aussi proche de 𝐿
que l’on veut à partir d'un certain rang et on note : lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 𝐿.
Une telle suite est dite convergente.
Définition : Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
Limites et comparaison
Propriété 1:Soit deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛).
Si, à partir d'un certain rang, on a {
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛
lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 𝑙.
lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛 = 𝑙′
alors 𝑙 ≤ 𝑙′
Propriété 2:
Soit trois suites (𝑢𝑛), (𝑣𝑛) et (𝑤𝑛).
Si, à partir d'un certain rang, on a : {
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 ≤ 𝑤𝑛
lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 𝐿
lim
𝑛→+∞
𝑤𝑛 = 𝐿
alors lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛 = 𝐿.
Propriété 3:
Soit deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛).
Si, à partir d'un certain rang, on a {
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛
lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = +∞ alors lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛 = +∞.
Propriété 4:
Soit deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛).
Si, à partir d'un certain rang, on a : {
𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛
lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = −∞ alors lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛 = −∞.
Consigne 2 : Application et Démonstration.
1) Déterminer la limite suivante : lim
𝑛→+∞
1 +
sin(𝑛)
𝑛
2) Déterminer la limite suivante : lim
𝑛→+∞
𝑛2
+ (−1)𝑛
.
3) Soit (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) deux suites. Démontre que s’il existe un nombre
réel 𝑙 et un entier naturel 𝑛0 tel qu’on ait : pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑛0 ;
|𝑢𝑛 − 𝑙| ≤ 𝑣𝑛 et lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛 = 0 alors lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 𝑙
Résultat attendu
1) Déterminons la limite suivante : lim
𝑛→+∞
1 +
sin(𝑛)
𝑛
On a : −1 ≤ sin(𝑛) ≤ 1, donc :
−
1
𝑛
≤
sin(𝑛)
𝑛
≤
1
𝑛
Or : lim
𝑛→+∞
−
1
𝑛
= lim
𝑛→+∞
1
𝑛
= 0 donc d'après le théorème des gendarmes :
lim
𝑛→+∞
sin(𝑛)
𝑛
= 0. Et donc lim
𝑛→+∞
1 +
sin(𝑛)
𝑛
= 1.
2) Déterminons la limite suivante : lim
𝑛→+∞
𝑛2
+ (−1)𝑛
.
On a : (−1)𝑛
≥ −1 donc : 𝑛2
+ (−1)𝑛
≥ 𝑛2
− 1
Or, lim
𝑛→+∞
𝑛2
− 1 = +∞, donc par comparaison, lim
𝑛→+∞
𝑛2
+ (−1)𝑛
= +∞.
3) Démonstration :
Soit (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) .
On a : |𝑢𝑛 − 𝑙| ≤ 𝑣𝑛 ⟹ −𝑣𝑛 ≤ 𝑢𝑛 − 𝑙 ≤ 𝑣𝑛
⟹ 𝑙 − 𝑣𝑛 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑙 + 𝑣𝑛
Or lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛 = 0 donc lim
𝑛→+∞
𝑙 − 𝑣𝑛 = 𝑙 et lim
𝑛→+∞
𝑙 + 𝑣𝑛 = 𝑙 alors lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 =
𝑙
Propriété : Soit (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) deux suites, s’il existe un nombre réel 𝑙 et
un entier naturel 𝑛0 tel qu’on ait : pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑛0 ;
|𝑢𝑛 − 𝑙| ≤ 𝑣𝑛 et lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛 = 0 alors lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 𝑙
Remarque : On utilise le théorème de comparaison pour démontrer une
limite infinie et le théorème d’encadrement pour une limite finie.

103
Suites monotones :
Sens de variation d'une suite :
Si pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a: 𝑢𝑛 ≤ 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑛+1
Sens de variation de (𝑢𝑛) (𝑢𝑛)croissante (𝑢𝑛)constante
(𝑢𝑛)décroissant
e
Variation absolue 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≥ 0 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 0 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≤ 0
Quotient (termes
strictement positifs)
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
≥ 1
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
= 1
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
≤ 1
Consigne 3 : Convergence des suites monotones
On considère la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par
𝑢𝑛+1 =
1
3
𝑢𝑛 + 2 et 𝑢0 = 2.
1) Démontrer par récurrence que la suite (𝑢𝑛) est croissante.
2) Démontrer par récurrence que la suite (𝑢𝑛) est majorée par 3.
Résultat attendu
1) Démontrons par récurrence que la suite (𝑢𝑛) est croissante.
On va démontrer que pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛
On a : 𝑢0 = 2 et 𝑢1 =
1
3
𝑢0 + 2 =
1
3
× 2 + 2 =
8
3
> 2 donc 𝑢1 ≥ 𝑢0.
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier 𝑘 : 𝑢𝑘+1 ≥ 𝑢𝑘.
- Démontrons que : La propriété est vraie au rang 𝑘 + 1, soit : 𝑢𝑘+2 ≥ 𝑢𝑘+1.
On a 𝑢𝑘+1 ≥ 𝑢𝑘 donc :
1
3
𝑢𝑘+1 ≥
1
3
𝑢𝑘 ainsi
1
3
𝑢𝑘+1 + 2 ≥
1
3
𝑢𝑘 + 2
Soit 𝑢𝑘+2 ≥ 𝑢𝑘+1.
Conclusion :
La propriété est vraie pour 𝑛 = 0 et héréditaire à partir de ce rang.
D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel
𝑛, soit : 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 et donc la suite (𝑢𝑛) est croissante.
2) Démontrons par récurrence que la suite (𝑢𝑛) est majorée par 3.
On a : 𝑢0 = 2 < 3
- Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier 𝑘 : 𝑢𝑘 < 3.
- Démontrons que : la propriété est vraie au rang 𝑘 + 1 : 𝑢𝑘+1 < 3.
On a : 𝑢𝑘 < 3 . Donc :
1
3
𝑢𝑘 <
1
3
× 3 ainsi
1
3
𝑢𝑘 + 2 <
1
3
× 3 + 2
Soit : 𝑢𝑘+1 < 3
Conclusion :La propriété est vraie pour 𝑛 = 0 et héréditaire à partir de
ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier
naturel 𝑛, soit : 𝑢𝑛 < 3. Donc (𝑢𝑛) est majorée.
La suite (𝒖𝒏) est donc croissante et majorée, on dit que la suite (𝒖𝒏)
est convergente.
Propriétés :
• Toute suite décroissante et minorée est convergente ;
• Toute suite croissante et majorée est convergente ;
• Toute suite croissante et non majorée est divergente ;
• Toute suite décroissante et non minorée est divergente ;
Limite de l’image d’une suite numérique par une fonction :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Si (𝑢𝑛)
converge vers un nombre réel a et si lim
𝑥→+a
𝑓(𝑥) = 𝑏 (b  IR) alors
lim
𝑛→+∞
𝑓(𝑢𝑛) = 𝑏.
Limite d’une suite définie par une formule de récurrence
Soit g une fonction continue sur un intervalle K. Soit (𝑢𝑛) une suite à
valeurs dans K définie par la formule de récurrence 𝑢𝑛+1= g(𝑢𝑛). Si (𝑢𝑛)
converge vers  alors  est une solution de l’équation g(x) = x dans
l’ensemble K ;
Activité 3: Suite arithmétique- suite géométrique

104
Consigne 1 : Consolidation.
Un investisseur dépose 5 000 € sur un compte rémunéré à 3 % par an.
Chaque année suivante, il dépose 300 € de plus sur ce compte.
On note (𝑢𝑛) la somme épargnée à l'année 𝑛.
On a alors : 𝑢𝑛+1 = 1,03𝑢𝑛 + 300 et 𝑢0 = 5 000.
1) Calculer 𝑢1 et 𝑢2.
2) Prouver que la suite (𝑣𝑛) définie pour tout entier 𝑛 par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +
10 000 est géométrique et donner sa raison et son premier terme.
3) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
4) En déduire 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛. Puis calculer 𝑢10.
5) Étudier les variations de (𝑢𝑛).
Résultat attendu
1) 𝑢1 = 1,03𝑢0 + 300 = 5 450
𝑢2 = 1,03𝑢1 + 300 = 5 913,5
2) 𝑣𝑛+1 = 𝑢𝑛+1 + 10 000
= 1,03𝑢𝑛 + 300 + 10 000
= 1,03𝑢𝑛 + 10 300
= 1,03(𝑣𝑛 − 10 000) + 10 300, car 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 + 10 000
= 1,03𝑣𝑛 − 10 300 + 10 300
= 1,03𝑣𝑛
Donc (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme
𝑣0 = 𝑢0 + 10 000 = 5 000 + 10 000 = 15 000.
3) Pour tout 𝑛, on a : 𝑣𝑛 = 15 000 × 1,03𝑛
.
4) 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛 − 10 000 = 15 000 × 1,03𝑛
− 10 000
On a alors : 𝑢10 = 15 000 × 1,0310
− 10 000 ≈ 10 158,75
5) 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 15 000 × 1,03𝑛+1
− 10 000 − (15 000 × 1,03𝑛
−
10 000)
= 15 000 × (1,03𝑛+1
− 1,03𝑛)
= 15 000 × 1,03𝑛
× (1,03 − 1)
= 450 × 1,03𝑛
> 0
Donc la suite (𝑢𝑛) est strictement croissante.
La limite d'une suite géométrique.
Soit (𝑣𝑛) suite géométrie de 1er terme 𝑣0 et raison q telle que 𝑣𝑛 = 𝑣0𝑞𝑛
𝑞 𝑞 ≤ −1 −1 < 𝑞 < 1 𝑞 = 1 𝑞 > 1
lim
𝑛→+∞
𝑞𝑛
Pas de limite 0 1 +∞
Limite des suites du type 𝒂𝒏
et 𝒏𝜶
avec a ∈ IR*+ et ∈ ∈ IR*
Activité 4: Approfondissement
Soit la suite géométrique (𝑈𝑛) n ∈ IN*, de raison strictement
positive et de premier terme 𝑈1 =
1
2
et telle que 81𝑈10 = 16𝑈6.
Consigne :

106
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Séquence 11 : Statistique.
Activité 1 :Série statistique à deux variables.
A l’issue des épreuves de la session du baccalauréat 2024-2025, Maya
s’est intéressée aux notes conjointement attribuées à un groupe de
candidats de la série D par un professeur de SVT et un professeur de
PCT.Les notes varient de 8 à 12. Désignant respectivement par X et Y les
notes de PCT et SVT obtenues par chaque candidat du groupe-cible.
Maya a pu réaliser le tableau suivant :
𝑥𝑖 de X
𝑦𝑗 de y
8 9 10 11 12
8 1 0 1 3 1
9 0 2 0 0 1
10 0 0 3 0 1
11 1 1 0 2 3
12 2 0 1 1 2
Consigne 1 : Description-série marginale.
1) Nomme le tableau de l’activité.
2) Précise l’effectif de chacune des modalités suivantes : (8 ;11) ; (11 ;8)
et (10 ;10)
3) Quel est l’effectif total N de cette série statistique ?
4) a) Construis le tableau des effectifs de la variable X.
a) Construis le tableau des effectifs de la variable Y.
Résultat attendu
1) Le tableau de l’activité a pour nom Tableau à double entrée.
2)
Modalités (8 ;11) (11 ;8) (10 ;10)
Effectifs 1 3 3
3) L’effectif total de cette série statistique est 26.

107
4) a- Le tableau des effectifs de la variable X.
Variables
Xi
8 9 10 11 12 Total
Effectifs
ni
4 3 5 6 8 26
b- le tableau des effectifs de la variable Y.
Variables
Yj
8 9 10 11 12 Total
Effectifs
nj
6 3 4 7 6 26
Les deux tableaux sont des tableaux des séries marginales
(𝒙𝒊; 𝒏𝒊) 𝒆𝒕 (𝒚𝒋; 𝒏𝒋)
Consigne 2 : Nuage de points-Point moyen.
En utilisant les informations de l’activité 1,
1) Représente dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖, 𝑗) les points M de
coordonnées ( en indiquant à coté de chaque point l’effectif
du couple correspondant.
2) a-Calcule la moyenne 𝑥̅ de la série relative au caractère X.
b- Calcule la moyenne 𝑦
̅ de la série relative au caractère Y.
c-Déduis-en les coordonnées du point moyen G et place-le dans le
repère orthonormé (𝑂; 𝑖, 𝑗).
Résultat attendu
1) Représentons dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖, 𝑗) les points M de
coordonnées ( en indiquant à coté de chaque point l’effectif
du couple correspondant.
2) a-Calculons la moyenne 𝑥̅ de la série relative au caractère X.
𝑥̅ =
8 × 4 + 9 × 3 + 10 × 5 + 11 × 6 + 12 × 8
26
= 𝟏𝟎, 𝟒𝟐
b-Calculons la moyenne 𝑦
̅ de la série relative au caractère Y.
𝑦
̅ =
8 × 6 + 9 × 3 + 10 × 4 + 11 × 7 + 12 × 6
26
= 𝟏𝟎, 𝟏𝟓
c-Les coordonnées du point moyen G( 𝑥̅ ; 𝑦
̅) Soit G (10,42 ;10,15).
Définition : Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points 𝑀𝑖 de
coordonnées (𝑥𝑖 ; 𝑦𝑖), avec 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, est appelé le nuage de points
associé à la série statistique (𝑥1 ; 𝑦1), (𝑥2 ; 𝑦2), … , (𝑥𝑛 ; 𝑦𝑛) à deux
variables.
Définition : Le point G de coordonnées (𝑥̅ ; 𝑦
̅), où 𝑥̅ et 𝑦
̅ sont les
moyennes respectives des 𝑥𝑖 et des 𝑦𝑖, est appelé le point moyen du
nuage de points associé à la série statistique
(𝑥1 ; 𝑦1), (𝑥2 ; 𝑦2), … , (𝑥𝑛 ; 𝑦𝑛) à deux variables.

108
Activité 2 : Ajustement linéaire par la méthode de Mayer.
Le tableau suivant présente l’évolution du budget publicitaire et du
chiffre d’affaires d’une société au cours des 6 dernières années :
Consigne :
1) a-Réaliser le tableau à double entrée de cette série statistique.
b- Dans un repère, représenter le nuage de points simple (𝑥𝑖 ; 𝑦𝑖).
2) Soit G1, le point moyen associé aux trois premiers points du nuage et
G2 le point moyen associé aux trois derniers points du nuage.
a) Calculer les coordonnées de G1 et G2.
b) On prend (G1G2) comme droite d’ajustement. Tracer cette droite.
3) À l’aide du graphique :
a) Estimer le chiffre d’affaires à prévoir pour un budget publicitaire de
22 000 €.
b) Estimer le budget publicitaire qu’il faudrait prévoir pour obtenir un
chiffre d’affaires de 100 000 €.
Résultat attendu
1) a-Le tableau à double entré de cette série statistique.
𝑥𝑖 de X
𝑦𝑗 de y
8 10 12 14 16 18 Total
40 1 0 0 0 0 0 1
55 0 1 1 0 0 0 2
70 0 0 0 1 0 0 1
75 0 0 0 0 1 0 1
95 0 0 0 0 0 1 1
total 1 1 1 1 1 1 6
b-
On a représenté ci-dessus le nuage de points de la série (𝑥𝑖 ; 𝑦𝑖).
2) a) 𝑥1
̅̅̅ = (8 + 10 + 12) : 3 = 10
𝑦1
̅̅̅ = (40 + 55 + 55) : 3 = 50.
Le point moyen G1 a pour coordonnées (10 ; 50).
𝑥2
̅̅̅ = (14 + 16 + 18) : 3 = 16
𝑦2
̅̅̅ = (70 + 75 + 95) : 3 = 80.
Le point moyen G2 a pour coordonnées (16 ; 80).
b)

109
3) On lit graphiquement ci-dessus :
a) Le chiffre d’affaire à prévoir pour un budget publicitaire de 22 000 €
est de 110 000 €.
b) Le budget publicitaire qu’il faudrait prévoir pour obtenir un chiffre
d’affaire de 100 000 € est de 20 000€.
Définition : Lorsque les points d’un nuage sont sensiblement alignés, on
peut construire une droite, appelé droite d’ajustement (ou droite de
régression), passant « au plus près » de ces points. La droite
d’ajustement (G1G2) est appelée droite de Mayer.
Activité 3 :Ajustement par la méthode des Moindres carrées.
On considère la série statistique à deux variables données dans le
tableau suivant :
Information : 𝑐𝑜𝑣(𝑥; 𝑦) =
1
𝑛
((𝑥1 − 𝑥̅)(𝑦1 − 𝑦
̅) + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥̅)(𝑦𝑛 − 𝑦
̅))
est la covariance de (𝑥, 𝑦) et 𝑣𝑎𝑟(𝑥) =
1
𝑛
((𝑥1 − 𝑥̅)2
+ ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥̅)2) est
la variance de 𝑥.
Consigne 1: Ajustement affine.
1) Calcule V(x) ; V(y) et Cov(x ;y).
2) a-Déterminer une équation de la droite d’ajustement par la méthode
des moindres carrés.
b-Représenter le nuage de point et la droite d’ajustement de 𝑦 en 𝑥.
3) Estimer graphiquement la valeur de 𝑥 pour 𝑦 = 70. Retrouver ce
résultat par calcul.
Résultat attendu
1) Calculons V(x) ; V(y) et Cov(x ;y).
On commence par calculer, les moyennes 𝑥̅ et 𝑦
̅ ∶
𝑥̅ =
5 + 10 + ⋯ + 40
8
= 𝟐𝟐, 𝟓
𝑦
̅ =
13 + 23 + ⋯ + 90
8
= 𝟒𝟗, 𝟐𝟓
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =
1
8
((5 − 22,5)(13 − 49,25) + ⋯ + (40 − 22,5)(90 − 49,25))
≈ 280,625
𝑣𝑎𝑟(𝑥) =
1
8
((5 − 22,5)2
+ ⋯ + (40 − 22,5)2) ≈ 131,25
𝑣𝑎𝑟(𝑦) =
1
8
((13 − 49,25)2
+ ⋯ + (90 − 49,25)2) ≈ 604,4375
2) a-Par la méthode des moindres carrés, la droite d’ajustement de 𝑦 en
𝑥 a pour équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 avec :
𝑎 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥; 𝑦)
𝑣𝑎𝑟(𝑥)
≈ 2.138
Et 𝑏 = 𝑦
̅ − 𝑎𝑥̅ ≈ 49,25 − 2,138 × 22,5 = 1,145
D’où une équation de la droite d’ajustement est : 𝑦 = 2,138𝑥 + 1,145.
b-Représentons la droite d’ajustement de 𝑦 en 𝑥.
Pour tracer la droite, il suffit de calculer les coordonnées de deux points
de la droite d’ajustement :
- Si 𝑥 = 0 alors 𝑦 = 2,1 × 0 + 1,1 = 1,1 donc le point de coordonnées
(0 ; 1,1) appartient à la droite d’ajustement.
- Si 𝑥 = 10 alors 𝑦 = 2,1 × 10 + 1,1 = 22,1 donc le point de coordonnées
(10 ; 22,1) appartient à la droite d’ajustement.

110
3) - Pour 𝑦 = 70, on lit graphiquement 𝑥 ≈ 33.
- Par calcul, si 𝑦 = 70, alors 70 = 2,1𝑥 + 1,1
Soit 2,1𝑥 = 70 − 2,1 𝑑𝑜𝑛𝑐 2,1𝑥 = 68,9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥 =
68,9
2,1
≈ 32,8
Retenons :
Il existe deux droites qui réalisent le meilleur ajustement au sens des
moindres carrés ordinaires. Ces droites s’appellent droites de
régression.
• L’une appelée droite de régression de Y en X a une équation de la forme
: y = ax+b.
• L’autre appelée droite de régression de X en Y a une équation de la
forme : x = a’y+ b’
Propriété
• Pour la droite de régression de Y en X admettant pour équation
y = ax+b., on a :
Consigne 2 : Coefficient de corrélation.
En reprenant les données de la méthode précédente, calculer le
coefficient de corrélation et interpréter le résultat.
Résultat attendu
Soit :
𝑟 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
√𝑣𝑎𝑟(𝑥)𝑣𝑎𝑟(𝑦)
≈
280,625
√131,25 × 604,4375
≈ 0,996
Le coefficient de corrélation est proche de 1 donc la corrélation
entre les deux variables est forte. Les points du nuage sont proches
de la droite d’ajustement.

111
Qualité d’ajustement linéaire.
Interprétation du coefficient de corrélation linéaire r.
• Si |r|=1, alors on dit que l’ajustement est parfait. Dans ce cas, les
résultats sont fiables.
• Si 0,87≤ r <1, alors on dit qu’il y a une forte corrélation entre les
variables. Dans ce cas, les résultats sont encore fiables.
• Si |r|<0,87, alors on dit que la liaison entre les deux variables est lâche.
Dans ce cas, les résultats ne sont pas fiables.
• Si |r| est voisin de 0, on dit qu’il y a indépendance linéaire statistique.

112
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
SA3 : Lieux géométrique dans le plan
Situation de départ : La coupe d’une tenue
Codjo est un élève en classe terminale. Son frère aîné
Adotévi, un étudiant, l’envoie chez son couturier pour la confection
d’un gilet. Il dessine la coupe du gilet sur une feuille de papier et la
lui remet avec le tissu. Impressionné, Codjo désire savoir les
principes mathématiques ayant guidé son frère dans la réalisation
de ce dessin.
Tâche : Tu vas te construire des connaissances nouvelles en
mathématiques. Pour cela tu auras à :
Activité 0
1- Lire le texte de la situation de départ.
2- Reformule le problème en tes propres termes
3- Formule toutes les idées et question que t’inspire la situation
de départ.

113
Séquence : Applications des nombres complexes aux
transformations du plan.
Activité 1: Écriture complexe d’une transformation plane.
Consigne 1 : Ecriture complexe d’une translation
Soit u
⃗ un vecteur du plan d’affixe b; t la translation du vecteur u
⃗ , M(z) un
point quelconque du plan d’affixe z, M’(z’) l’image de M par la translation
t, d’affixe z’. Détermine l’écriture complexe de t.
Application : Détermine l’écriture complexe de la translation de vecteur
u
⃗ (-2, 3)
Résultat attendu
Déterminons l’écriture complexe de la translation de vecteur u
⃗ (-2, 3 )
L’affixe du vecteur u
⃗ (-2, 3) est zu
⃗
⃗ = - 2 + 3i ; L’écriture complexe de la
translation de vecteur u
⃗ (-2, 3) est z’ + z = zu
⃗
⃗ ⟹ z’ = zu
⃗
⃗ + z = z – 2 + 3i
Consigne 2 : Ecriture complexe d’une homothétie.
Soit Ω (𝓌) un point donné du plan, k un nombre réel non nul, h
est l’homothétie de centre Ω et de rapport k. Détermine l’écriture
complexe de h.
Application : Détermine l’écriture complexe de l’homothétie de centre S
et de rapport
3
4
, avec S(0,
11
2
).
Résultat attendu
Déterminons l’écriture complexe de l’homothétie de centre S(0 ;
11
2
) et de
rapport k =
3
4
L’affixe du centre S (0,
11
2
) est
11
2
; L’écriture complexe de l’homothétie de
centre S (0,
11
2
) et de rapport
3
4
est : z’ - zs = k (z – zs) ⟹ z’ – (
11
2
i) =
3
4
(z -
11
2
i) =
3
4
z -
33
8
i +
11
2
i = =
3
4
z -
33
8
i +
44
8
i ;
z’ =
3
4
z +
11
8
i
Définition
1- Soit u
⃗ un vecteur du plan. On rappelle translation t de vecteur u
⃗ ,
l’application du plan dans lui-même qui a tout point M associe le
point M’ tel que tu
⃗
⃗ (M) = M’ ⇔ MM′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = u
⃗
2- Soit Ω un point donné du plan et k un nombre réel non nul. On
appelle homothétie h de centre Ω et de rapport k, l’application
du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M’ tel
que h(M) = M’ ⇔ ΩM′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = kΩM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Consignes 3 : Ecriture complexe d’une rotation
Soit θ un nombre réel et Ω (𝓌) un point donné du plan, r la rotation de
centre Ω et d’angle θ. Détermine l’écriture complexe de r.
Application : Détermine l’écriture complexe de la rotation r(I ; -
π
4
).
Résultat attendu
Déterminons l’écriture complexe de rotation de la rotation I et d’angle θ
= -
π
4
. L’écriture complexe de r est sous la forme : z’ – z = eiθ
(z - zI) avec θ
= -
π
4
et I(1, 1) ;
z’ – (1 + i) = eiθ
(z – (1 + i)) = e−i
π
4(z – 1 – i ) = (
√2
2
−
i√2
2
) (z − 1 − i)
Donc z’ = (
√2
2
−
i√2
2
) (z − 1 − i) + (1 + i) =
√2
2
z -
√2
2
-
√2
2
i -
i√2
2
z +
i√2
2
-
√2
2
+ 1 +
i
Z’ = (
√2
2
−
i√2
2
)z - √2 + 1 + i
Définition
Soit Ω un point donné du plan et θ un nombre réel. On appelle rotation
r de centre Ω et d’angle ∈, l’application du plan dans lui-même qui a
tout point M associe le point M’ tel que
• Si M = Ω alors M’ = Ω
• Si M’ = Ω alors {
ΩM′
= ΩM
mes(ΩM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ΩM′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = θ
RETENONS
Transformations Ecriture complexe
Translation de vecteur
d’affixe b
𝑧′
= 𝑧 + 𝑏
Homothétie de centre Ω
et de rapport 𝑘
𝑧′
− 𝑧Ω = 𝑘(𝑧 − 𝑧Ω)
Rotation de centre Ω et
d’angle 𝜃
𝑧′
− 𝑧Ω = 𝑒𝑖𝜃
(𝑧 − 𝑧Ω)

114
FICHE PEDAGOGIQUE
IDENTIFIANT
NOM ET PRENOMS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CORPS : _ _ _ _ _ __ _
DATE : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EFFECTIFS : _ _
TITLES
1.1. Compétences
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
société.
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
3.Durée : _ _ _ _ _ _ Séance NO : _ _ __ _ _ _
Activité 2: Similitude plane directe.
Une transformation du plan 𝑓 est une similitude de rapport 𝑘
signifie que pour tout points M et N du plan 𝑓(𝑀𝑁) = 𝑘𝑀𝑁.
Autrement écrit, est une similitude, toute application bijective qui
multiplie toutes les distances par un même nombre réel
(𝑀’𝑁’ = 𝑘𝑀𝑁).
Lorsque la similitude conserve les angles orientés on l’appelle
similitude plane directe.
Consigne 1 : Propriété fondamentale.
Soit 𝑘 un nombre réel strictement positif. Complète l’énoncée
suivante pour en faire une propriété
« une application 𝑓 est une similitude directe de rapport 𝑘 ≠ 1, de
centre I et d’angle 𝜃 si et seulement si pour tout point M distinct de I,
d’image M’ on a
𝐼𝑀′
= ⋯ 𝐼𝑀 et (𝐼𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐼𝑀′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) … [2𝜋] »
Résultat attendu
« une application 𝑓 est une similitude directe de rapport 𝑘 ≠ 1, de
centre I et d’angle 𝜃 si et seulement si pour tout point M distinct de I,
d’image M’ on a 𝐼𝑀′
= 𝑘𝐼𝑀 et (𝐼𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐼𝑀′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜃[2𝜋] »
Consigne 2 : Ecriture complexe d’une similitude plane directe.
1) Complète la phrase suivante pour en faire une propriété
« L’écriture complexe d’une similitude plane directe est toute écriture de
la, forme Z’= ………….
2) Donne les caractéristiques en complétant :
* Le rapport de la similitude est ……..
* Son angle est un argument de ……
* Son centre est le point d’affixe………..

115
Résultat attendu
« L’écriture complexe d’une similitude plane directe est toute écriture de
la, forme z’= az+b.
Donne les caractéristiques en complétant :
* Le rapport de la similitude est |a|.
* Son angle est un argument de 𝑎𝑟𝑔(𝑎)
* Son centre est le point d’affixe
𝑏
1−𝑎
Propriété
•Toute similitude plane directe de rapport k (𝑘 > 0) est soit une
translation, soit une homothétie, soit une rotation ou soit la composée
d’une homothétie et d’une rotation de rapport 𝑘
•Soit 𝑓 une similitude plane directe d’écriture complexe 𝑧′
= 𝑎𝑧 + 𝑏.
On a :
Valeur de 𝑎 Nature et caractéristique de 𝑓
𝑎 = 1 𝑓 est la translation de vecteur 𝑢
⃗ d’affixe b
𝑎 ∈ ℝ∗{1}
𝑓 est l’homothétie de centre Ω d’affixe
𝑏
1−𝑎
et de
rapport a
𝑎 ∈ ℂ∗
ℝ et |𝑎| = 1
𝑓 est la rotation de centre Ω d’affixe
𝑏
1−𝑎
et d’angle
𝑎𝑟𝑔(𝑎)
𝑎 ∈ ℂℝ et |𝑎| ≠ 1
𝑓 est la composée de rotation de centre Ω
d’affixe
𝑏
1−𝑎
, d’angle 𝑎𝑟𝑔(𝑎) et d’une homothétie
de centre Ω d’affixe
𝑏
1−𝑎
et de rapport |𝑎|
•Si 𝑎 ≠ 1 alors 𝑓 admet un seul point invariant Ω
•Si 𝑎 = 1 et 𝑏 = 0 alors 𝑓 est l’identité du plan
1. Soit A(2 + 3i) ; B(4 + 6i) et C(1 +
3
2
i) ; Détermine l’écriture complexe
de la similitude plane directe f qui transforme C en A et A en B ( tu
préciseras sa nature et ses caractéristiques).
2. Détermine la nature et les éléments caractéristiques des applications
du plan dans le plan ci-dessous :
g : z’ = -2z + 2 + 3i ; h : z’ = (
1
2
+ i
√3
2
)z + i.
Résultat attendu
1. A(2 + 3i) ; B(4 + 6i) et C(1 +
3
2
i) ; Déterminons l’écriture complexe de
la similitude plane directe f qui transforme C en A et A en B :
On a ; S(C) = A ⟹ zA = azc + b ; S(C) = B ⇒ zB = azA + b
Translation |a| = 1 {
zA = azc + b (1)
zB = azA + b (2)
⟹ {
−ZA = −aZC − b
ZB = aZA + b
⟹
ZB − ZA = a(ZA − ZC) ⟹ a =
ZB−ZA
ZA−ZC
or ZA = 2 + 3i ; ZB = 4 + 6i ; ZC = 1
+
3
2
i donc
a =
4 + 6i−2−3i
2 + 3i−1−
3
2
i
=
26
13
; a = 2 mettons (a) dans (2) donne zB = azA + b ;
homothétie |a| ≠ 1, |a| > 0 ; 4 + 6i = 2(2 + 3i) + b
⟹ b = 4 + 6i – 4 – 6i = 0 alors on a z’ = 2z. La nature et les
caractéristiques de f. On constate que a ϵ ℝ-{1} alors f est une
homothétie de centre Ω =
b
1−a
avec b = 0, on a Ω (0, 0).
2. a-Déterminons la nature et les éléments caractéristiques des
applications du plan :
(u) :gr
:z’ = -2z + 2 + 3i ; on constate que a ϵ ℝ-{1} alors g est une
homothétie de rapport k = 2 et de centre rotation |u|= 1, a ϵ ℂ∗
;
composée commutatif |a| = 1 a ϵ ℂ∗
d’homothétie et de rotation Ω =
b
1−a
avec b = 2 + 3i et a = -2 on a ; Ω =
2+3i
1+2
=
2+3i
3
+
2
3
+ i ; Ω (
2
3
; 1)
b-h : z’ = (
1
2
+ i
√3
2
)z + i ; on constate que a ϵ ℂ∗
avec |a| = √(
1
2
)
2
+ (
√3
2
)
2
=
1 ; |a| = 1 alors h est une rotation de centre Ω =
b
1−a
=
i
1−
1
2
+
√3
2
i
=
i
1
2
+
√3
2
i
=
1
2
i+
√3
2
−
1
2
=
−
1
2
i−
√3
2
1
2
= -i-√3
⟹ Ω (-√3 ; - 1) ; soit θ l’angle de cette rotation θ = arg(a) ; |a| = 1
⟹ θ =
π
3
[2π]

116
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0,u
⃗ ,v
⃗ ). Soit s la
transformation qui associe au point M (x, y), le point M’(x’, y’) tel que :
{
x′
= −x − y + 4
y′
= x − y + 8
1. On désigne par z l’affixe du point M et par z’ celle du point M’. Donne
l’écriture complexe de s.
2. Donne la nature et les éléments caractéristiques de s.
3. Détermine l’ensemble (Γ) des points M d’affixe z tels que |z′| = 3√2.
4. Détermine une équation cartésienne de (C’) image de (Γ) par s.
5. Soit h la transformation du plan d’écriture complexe z’ =
√2
2
z +
√2
2
+ i.
Détermine la nature et les éléments caractéristiques de h.
Résultat attendu
1. Ecriture complexe de s est sous la forme (s) : z’ = az + b ;
{
x′
= −x − y + 4 (1)
y′
= x − y + 8 (2)
Multiplions (2) par i on a
{
x′
= x − y + 4
y′
i = xi − yi + 8i
⟹ x’ + y’i = (- x – yi) + (y + xi) + (4 + 8i)
X’ + y’i = - (x + iy) + i(x + iy) + (4 + 8i) = - z + iz + (4 + 8i) = z(i – 1)
+ (4 + 8i)
2. On constate que, a ϵ ℂ∗
avec |a| = √2 alors s est un composé
commutatif d’homothétie et de rotation de centre Ω =
b
1−a
; Ω =
4+8i
1−i+1
=
4+8i
2+i
=
20i
5
= 4i ; Ω(0, 4) d’angle θ = arg(a)
⟹ θ =
3π
4
[2π] et de rapport k = √2.
3. Déterminons l’ensemble (Γ) des points M d’affixe z tels que |z′| =
3√2.
|Z′| = 3√2. ;
|(1 + i)z + (4 + 8i)| = 3√2 ⟹|1 + i| |z − (
−4−8i
1+i
)| = 3√2
⟹ |z − (
−4−12i
2
)| = 3
|z − (2 − 6i)| = 3; M est le cercle de centre Ω et de rayon r = 3.

117
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