Presoutenance

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Presoutenance

  1. 1. Estimations ensemblistes des états et application à la détection Jun XIONG Sous la direction de Carine Jauberthie et Louise Travé-Massuyès LAAS-CNRS, Groupe DIagnostic Supervision et COnduite 12 Septembre 2013
  2. 2. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Cadre général Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration 2 / 39
  3. 3. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Cadre général Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration ...mais n’oublions pas, il y a aussi des... Incertitudes Que connaissons-nous sur le système dynamique ? 2 / 39
  4. 4. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Cadre général Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration ...mais n’oublions pas, il y a aussi des... Incertitudes Que connaissons-nous sur le système dynamique ? Bruits de mesure et sur la dynamique incertains, modélisés comme des variables aléatoires suivant une loi de probabilité connue à priori, gaussienne e.g. Example :Les bruits de mesure a une valeur aleatoire mais avec une moyenne nul dans une longue periode 2 / 39
  5. 5. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Cadre général Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration ...mais n’oublions pas, il y a aussi des... Incertitudes Que connaissons-nous sur le système dynamique ? Bruits de mesure et sur la dynamique incertains, modélisés comme des variables aléatoires suivant une loi de probabilité connue à priori, gaussienne e.g. Example :Les bruits de mesure a une valeur aleatoire mais avec une moyenne nul dans une longue periode Tolérances paramétriques tolérances sur les valeurs de paramètres et les mesures, modélisées par des incertitudes bornées Example :La valeur de tension fonctionnelle peut etre configurée entre 2 volts et 4 volts 2 / 39
  6. 6. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Sommaire 1 Contexte et problématique Contexte de travail Point départ de la thèse 2 Calcul par intervalles Analyse par intervalle Optimisation de solution 3 Estimation ensembliste des états et détection Espérance et variance ensembliste Méthode existant et son problème Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Application à la détection 4 Exemples numériques Estimation des états d’un cas d’étude Détection de faute d’un cas d’étude 5 Conclusion et perspectives 3 / 39
  7. 7. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection 1ère partie Contexte et problématique 4 / 39
  8. 8. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Origines des incertitudes Jamis un modele peut représenter le systeme reel parfaitement ! 5 / 39
  9. 9. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Origines des incertitudes Jamis un modele peut représenter le systeme reel parfaitement ! Connaissance d’expert Un expert donne une valeur pragmatique Example :Un boulanger croit que le temps de fermentation des pâtes est supérieur a 1 heure mais inférieur a 2 heures Tolérance outillage Un outillage de mesure donne une valeur arrondie Example :Un règle de longeur enlève un mesure avec une précision de ± 1 mm Limitation de modélisation Un modèle ne peut pas inclure tout possibilités Example :Un modeleur de système n’a pas pris en compte tout les configurations possibles Fait physique Les bruits sont statistiquement distribués Example :Les mesures de capteur électrique sont bruités mais le bruit est moyennment nul sur longue terme 5 / 39
  10. 10. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Approximation des incertitudes L’approche stochastique Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . . 6 / 39
  11. 11. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Approximation des incertitudes L’approche stochastique Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . . Exigence de connaissance de caractéristique statistique en avance, Fusion des lois distributions (multiple capteurs) dégrade le taux de croyance. 6 / 39
  12. 12. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Approximation des incertitudes L’approche stochastique Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . . Exigence de connaissance de caractéristique statistique en avance, Fusion des lois distributions (multiple capteurs) dégrade le taux de croyance. L’approche ensembliste Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par : ellipsoïdes, zonotopes, polytopes, unions de pavés. . . 6 / 39
  13. 13. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Approximation des incertitudes L’approche stochastique Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . . Exigence de connaissance de caractéristique statistique en avance, Fusion des lois distributions (multiple capteurs) dégrade le taux de croyance. L’approche ensembliste Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par : ellipsoïdes, zonotopes, polytopes, unions de pavés. . . Exigence de temps et de puissance de calcul, Pessimisme de résultat par sur-estimation, moins precise dans certain cas d’utilisation. 6 / 39
  14. 14. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Détection de faute : modélisation Actuators Residuals input output Residual generation tools System dynamics Sensors Actuators faults Component fault Disturbances Sensor fault Noise Controller Un résidus r(t) dépend un modèle, un vecteur d’entrée u(t) et un vecteur de mesure y(t) : r(t) = g(u(t), y(t)), Pour concrètement, cela peut etre simplifiée à : r(t) = ym(t) − ˆy(t). 7 / 39
  15. 15. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Contexte de travail Détection de faute : modélisation Actuators Residuals input output Residual generation tools System dynamics Sensors Actuators faults Component fault Disturbances Sensor fault Noise Controller Un résidus r(t) dépend un modèle, un vecteur d’entrée u(t) et un vecteur de mesure y(t) : r(t) = g(u(t), y(t)), Pour concrètement, cela peut etre simplifiée à : r(t) = ym(t) − ˆy(t). Approche d’observateur Estimer les états a partir d’un modèle. Méthode paramétrique Estimer les parametres a partir d’un modèle. Redondance analytique Analyser des relations parités. 7 / 39
  16. 16. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Point départ de la thèse Tous uni ensemble ! Méthode d’estimation Système linéaire Filtre de Kalman Moindre carrée ... Système non-linéaire Filtrage particulaire Kalman étendu ... 8 / 39
  17. 17. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Point départ de la thèse Tous uni ensemble ! Méthode d’estimation Système linéaire Filtre de Kalman Moindre carrée ... Système non-linéaire Filtrage particulaire Kalman étendu ... + Modèle d’incertitude Ensembliste Ellipsoïde Polytope Zonotope Intervalle(Pavé) ... Stockastique Normal distribution Uniforme Loi de poisson ... 8 / 39
  18. 18. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Point départ de la thèse Tous uni ensemble ! Méthode d’estimation Système linéaire Filtre de Kalman Moindre carrée ... Système non-linéaire Filtrage particulaire Kalman étendu ... + Modèle d’incertitude Ensembliste Ellipsoïde Polytope Zonotope Intervalle(Pavé) ... Stockastique Normal distribution Uniforme Loi de poisson ... + Diagnostique Observateur Paramétrique Parité 8 / 39
  19. 19. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Point départ de la thèse Tous uni ensemble ! Méthode d’estimation Système linéaire Filtre de Kalman Moindre carrée ... Système non-linéaire Filtrage particulaire Kalman étendu ... + Modèle d’incertitude Ensembliste Ellipsoïde Polytope Zonotope Intervalle(Pavé) ... Stockastique Normal distribution Uniforme Loi de poisson ... + Diagnostique Observateur Paramétrique Parité 8 / 39
  20. 20. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Point départ de la thèse Uncertain stochastic system Motivés par les observations ci-dessus, nous traitons le problème de l’intégration d’incertitudes statistiques et à erreurs bornées pour les systèmes linéaires à temps discret. Formulation du système    xk+1 = Axk + Buk + wk, A ∈ A, B ∈ B, yk = Cxk + Duk + vk, C ∈ C, D ∈ D, A ∈ IRn×n , B ∈ IRn×p , C ∈ IRm×n , D ∈ IRm×p , k = 0, 1, 2, ... E{wk, wl} = Qδkl, E{vk, vl} = Rδkl, E{wk, vl} = E{wk, x0} = E{vk, x0} = 0, ∀k, l = 0, 1, 2, ... Système Stochastique Incertain (USS) Paramètres bornées + bruit statistique Example :Satellite avec signal bruité + tolérance de changment de masse etc 9 / 39
  21. 21. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Point départ de la thèse Objectif général Etape 1 Estimer les états ou les paramètres d’un modèle dynamique, en prenant en compte les incertitudes bornee et les bruits statistique, Etape 2 Optimiser les méthodes ensemblistes pour mieux adapter la détection de faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat, Etape 3 Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de fautes et au diagnostic, 10 / 39
  22. 22. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection 2ème partie Calcul par intervalles 11 / 39
  23. 23. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : la base Definition (Interval) An interval x in R is a closed set of connected real values noted by x = [x, x] = {x ∈ R|x x x} where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound. 12 / 39
  24. 24. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : la base Definition (Interval) An interval x in R is a closed set of connected real values noted by x = [x, x] = {x ∈ R|x x x} where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound. Definition (Opérateurs) the interval width : w(x) = x − x, the interval center : mid(x) = (x + x)/2, the interval radius : rad(x) = (x − x)/2. the interval bounds : sup/inf (x) = x/x. 12 / 39
  25. 25. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : la base Definition (Interval) An interval x in R is a closed set of connected real values noted by x = [x, x] = {x ∈ R|x x x} where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound. Definition (Opérateurs) the interval width : w(x) = x − x, the interval center : mid(x) = (x + x)/2, the interval radius : rad(x) = (x − x)/2. the interval bounds : sup/inf (x) = x/x. Definition (Natural arithmetic) x y = [{x y | x ∈ x, y ∈ y}], with ∈ {+, −, ×, /}. 12 / 39
  26. 26. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : la base Definition (Interval) An interval x in R is a closed set of connected real values noted by x = [x, x] = {x ∈ R|x x x} where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound. Definition (Opérateurs) the interval width : w(x) = x − x, the interval center : mid(x) = (x + x)/2, the interval radius : rad(x) = (x − x)/2. the interval bounds : sup/inf (x) = x/x. Definition (Natural arithmetic) x y = [{x y | x ∈ x, y ∈ y}], with ∈ {+, −, ×, /}. Definition (Fonction d’inclusion) The interval function f of IRn in IR is called inclusion function of f if and only if : ∀x ∈ IRn , f (x) ⊆ f (x). 12 / 39
  27. 27. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : la base, suite... Definition (Interval vector) An interval vector noted by : x = (x1, x2, ..., xn)T , is a vector in which the elements are intervals. x ∈ IRn which is the ensemble of interval variables in IR. For all i ∈ 1, ..., n, the interval xi corresponds to the ith component of x. 13 / 39
  28. 28. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : la base, suite... Definition (Interval vector) An interval vector noted by : x = (x1, x2, ..., xn)T , is a vector in which the elements are intervals. x ∈ IRn which is the ensemble of interval variables in IR. For all i ∈ 1, ..., n, the interval xi corresponds to the ith component of x. Definition (Interval box) An interval box x in IRn is the Cartesian product of n intervals : x = [x1, x1] × ... × [xn, xn] = x1 × ... × xn. 13 / 39
  29. 29. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : la base, suite... Definition (Interval vector) An interval vector noted by : x = (x1, x2, ..., xn)T , is a vector in which the elements are intervals. x ∈ IRn which is the ensemble of interval variables in IR. For all i ∈ 1, ..., n, the interval xi corresponds to the ith component of x. Definition (Interval box) An interval box x in IRn is the Cartesian product of n intervals : x = [x1, x1] × ... × [xn, xn] = x1 × ... × xn. Definition (Bisection) The bisection is an operation that partitions an interval box x into two other interval boxes L(x) and R(x) which are : L(x) [x1, x1] × ... × xj, xj + xj 2 × ... × [xn, xn], R(x) [x1, x1] × ... × xj + xj 2 , xj × ... × [xn, xn], where the jth component of x is bisected. 13 / 39
  30. 30. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : pessimisme Pessimisme : Dépendance Example : Given x = [−1, 2], y = [2, 3], then x × y × x = [−6, 12]. But there exists a constraint : Cx = {x1 × y × x2 | x1 = x2, x1 ∈ x, x2 ∈ x}. As the more compact yet exact result should be [0, 12]. The constraint Cx is lost. 14 / 39
  31. 31. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : pessimisme Pessimisme : Dépendance Example : Given x = [−1, 2], y = [2, 3], then x × y × x = [−6, 12]. But there exists a constraint : Cx = {x1 × y × x2 | x1 = x2, x1 ∈ x, x2 ∈ x}. As the more compact yet exact result should be [0, 12]. The constraint Cx is lost. Pessimisme : Effet enveloppe Example : Consider successive rotations of a dimension 2 box x = x1 × x2 submitted to a rotation matrix : M = cos θ sin θ − sin θ cos θ . x2 x1 f(x(0)) f(x(0)) f(f(x(0))) f(f(x(0))) x(0) 14 / 39
  32. 32. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Analyse par intervalle Analyse par intervalle : pessimisme Pessimisme : Dépendance Example : Given x = [−1, 2], y = [2, 3], then x × y × x = [−6, 12]. But there exists a constraint : Cx = {x1 × y × x2 | x1 = x2, x1 ∈ x, x2 ∈ x}. As the more compact yet exact result should be [0, 12]. The constraint Cx is lost. Pessimisme : Effet enveloppe Example : Consider successive rotations of a dimension 2 box x = x1 × x2 submitted to a rotation matrix : M = cos θ sin θ − sin θ cos θ . x2 x1 f(x(0)) f(x(0)) f(f(x(0))) f(f(x(0))) x(0) Conséquence Pas de zero, perte de contraintes entre variable, calcul lente, résultat divergeant... 14 / 39
  33. 33. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Optimisation de solution Inversion des intervalles par méthode récursive Outil de l’inversion Set Inverter Via Interval Analysis (SIVIA) Find the solution set S : S = u ∈ U|ϕ(u) ∈ [y] = ϕ − 1([y]) ∩ U 15 / 39
  34. 34. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Optimisation de solution Inversion des intervalles par méthode récursive Outil de l’inversion Set Inverter Via Interval Analysis (SIVIA) Find the solution set S : S = u ∈ U|ϕ(u) ∈ [y] = ϕ − 1([y]) ∩ U If ϕ([u]) ⊆ [y], then [u] is a feasible box and added to S (inner enclosure). If ϕ([u]) ∩ [y] = ∅, then box [u] is unfeasible and disregarded. Else, no conclusion can be reached so [u] is said to be undetermined. It is bisected in two sub-boxes. Termination criterion : size of [u] lower than > 0. SIVIA est utilisé pour trouver la solution plus compacte et exacte et pour optimiser le resultat garanti ! 15 / 39
  35. 35. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Optimisation de solution Calcul par contraintes Definition (Constraint Satisfaction Problem, CSP) A Constraint Satisfaction Problem H = (X, D, C) is defined by : - a set of variables X = {x1, ..., xn}, - a set of value domains D = {D1, ..., Dn} where Di is the domain associated to the variable xi, - a set of constraints C = {C1, ..., Cm}, linking variables X. Example :An interval linear system of the form 0 ∈ AX − B can be represented as a CSP as CSP(A ∈ A, B ∈ B, X ∈ X, AX = B) 16 / 39
  36. 36. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Optimisation de solution Calcul par contraintes Definition (Constraint Satisfaction Problem, CSP) A Constraint Satisfaction Problem H = (X, D, C) is defined by : - a set of variables X = {x1, ..., xn}, - a set of value domains D = {D1, ..., Dn} where Di is the domain associated to the variable xi, - a set of constraints C = {C1, ..., Cm}, linking variables X. Example :An interval linear system of the form 0 ∈ AX − B can be represented as a CSP as CSP(A ∈ A, B ∈ B, X ∈ X, AX = B) Definition (Contracteur) A contractor R for a CSP H1 = (X, D1, C) is an operator that can shrink the defined domain D1 into a domain D2, such that : D2 ⊂ D1. The new CSP H2 is equivalent to H1. Il y a des contracteurs a choisir selon les criteres differents : propagation avant/arrière, Gausse, Newton, Krawczyk... ! 16 / 39
  37. 37. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Optimisation de solution Inversion des matrice des intervalles Definition (regularity of interval matrix) An interval matrix A ∈ IRn×n is called regular if and only if it satisfies :∀A ∈ A, det A = 0, otherwise it is called singular. 17 / 39
  38. 38. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Optimisation de solution Inversion des matrice des intervalles Definition (regularity of interval matrix) An interval matrix A ∈ IRn×n is called regular if and only if it satisfies :∀A ∈ A, det A = 0, otherwise it is called singular. Methode de Rohn Calculer A−1 par approximation de Ayz = Ac − Ty∆Tz , ou A = Ac + ∆, Ac = mid(A), ∆ = rad(A), and Y , Z sont vecteurs de ±1 . 17 / 39
  39. 39. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Optimisation de solution Inversion des matrice des intervalles Definition (regularity of interval matrix) An interval matrix A ∈ IRn×n is called regular if and only if it satisfies :∀A ∈ A, det A = 0, otherwise it is called singular. Methode de Rohn Calculer A−1 par approximation de Ayz = Ac − Ty∆Tz , ou A = Ac + ∆, Ac = mid(A), ∆ = rad(A), and Y , Z sont vecteurs de ±1 . Proposition (Inversion de la matrice des intervalles par SIVIA) Given an interval matrix A ∈ IRn×n and B ∈ IRn×m , for a linear system like AX = B, if the solution of X exists, it must satisfy the following constraints and each constraint can be solved by SIVIA algorithm : Ci,j : n p=1 ai,pxp,j = bi,j, i = {1, · · · , n}, j = {1, · · · , m}. Inversion des matrice des intervalles par SIVIA est plus flexible pour balancer la vitesse et la précision ! 17 / 39
  40. 40. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection 3ème partie Estimation ensembliste des états et détection 18 / 39
  41. 41. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Espérance et variance ensembliste Espérance et variance ensembliste xk = Axk−1 + wk−1, w ∼ N(µ, σ2 ). 19 / 39
  42. 42. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Espérance et variance ensembliste Espérance et variance ensembliste xk = Axk−1 + wk−1, w ∼ N(µ, σ2 ). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 200 400 600 800 1000 1200 µ ∈ [0, 2], σ fixed 19 / 39
  43. 43. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Espérance et variance ensembliste Espérance et variance ensembliste xk = Axk−1 + wk−1, w ∼ N(µ, σ2 ). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 200 400 600 800 1000 1200 µ ∈ [0, 2], σ fixed −15 −10 −5 0 5 10 15 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 µ fixed, σ ∈ [1, 3] 19 / 39
  44. 44. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Espérance et variance ensembliste Espérance et variance ensembliste xk = Axk−1 + wk−1, w ∼ N(µ, σ2 ). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 200 400 600 800 1000 1200 µ ∈ [0, 2], σ fixed −15 −10 −5 0 5 10 15 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 µ fixed, σ ∈ [1, 3] −15 −10 −5 0 5 10 15 20 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 µ ∈ [0, 2], σ ∈ [1, 3] 19 / 39
  45. 45. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Espérance et variance ensembliste Esperance et variance ensembliste, suite Theorem Giving x a random continuous variable characterised by the density function : f (x; µ, σ2 ) = 1 σ √ 2π exp − (x − µ)2 2σ2 , ∀x ∈ R. it has an mean E(x) = µ and variance V(x) = σ2. Theorem Giving x a random continuous variable x in one dimension with normal distribution characterised by x ∼ N(mx, V(x)),the variable y evaluated from the linear combination : y = Ax + b = g(x), is also a random continuous variable with normal distribution characterised by y ∼ N(Amx + b, AV(x)AT ). if and only if A is invertible. 20 / 39
  46. 46. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Méthode existant et son problème Filtre de Kalman ensembliste sub-optimal (sIKF) Algorithme IKF Initialisation : ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0), ˆP0|0 = P0, Prédiction : ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk , ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT + Q, k = 0, 1, ... Correction : Kk+1 = ˆPk+1|k CT C ˆPk+1|k CT + R −1 , ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k , ˆxk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1 yk+1 − ˆyk+1|k , k = 0, 1, ... Structure identique dans le sens classique, Implémentation facile, Efficace pour les systèmes linéaire. 21 / 39
  47. 47. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Méthode existant et son problème Filtre de Kalman ensembliste sub-optimal (sIKF) Algorithme IKF Initialisation : ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0), ˆP0|0 = P0, Prédiction : ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk , ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT + Q, k = 0, 1, ... Correction : Kk+1 = ˆPk+1|k CT C ˆPk+1|k CT + R −1 , ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k , ˆxk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1 yk+1 − ˆyk+1|k , k = 0, 1, ... Structure identique dans le sens classique, Implémentation facile, Efficace pour les systèmes linéaire. Mais... Nécessite revoir la deduction, Manque de contrôle de pessimisme, Conséquence : Fausse alarme dans la détection de faute, 21 / 39
  48. 48. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Méthode existant et son problème Filtre de Kalman ensembliste sub-optimal (sIKF) Algorithme IKF Initialisation : ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0), ˆP0|0 = P0, Prédiction : ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk , ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT + Q, k = 0, 1, ... Correction : Kk+1 = ˆPk+1|k CT C ˆPk+1|k CT + R −1 , ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k , ˆxk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1 yk+1 − ˆyk+1|k , k = 0, 1, ... Détournement sub-optimal (sIKF) Kk+1 = ˆPk+1|k CT × sup C ˆPk+1|k CT + R −1 . Structure identique dans le sens classique, Implémentation facile, Efficace pour les systèmes linéaire. Mais... Nécessite revoir la deduction, Manque de contrôle de pessimisme, Conséquence : Fausse alarme dans la détection de faute, Perte de solution en remplaçant la matrice des intervalles par son borne supérieur 21 / 39
  49. 49. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Méthodes de l’amélioration Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA) Kk+1 C ˆPk+1|kCT + R = ˆPk+1|kCT . 22 / 39
  50. 50. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Méthodes de l’amélioration Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA) Kk+1 C ˆPk+1|kCT + R = ˆPk+1|kCT . We define Sk+1 = C ˆPk+1|kCT + R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT , Kk+1Sk+1 = Tk+1. where Kk+1 ∈ IRn×m , Sk+1 ∈ IRm×m , Tk+1 ∈ IRn×m . 22 / 39
  51. 51. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Méthodes de l’amélioration Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA) Kk+1 C ˆPk+1|kCT + R = ˆPk+1|kCT . We define Sk+1 = C ˆPk+1|kCT + R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT , Kk+1Sk+1 = Tk+1. where Kk+1 ∈ IRn×m , Sk+1 ∈ IRm×m , Tk+1 ∈ IRn×m . Every component in matrix K is considered separately and the search space is the Cartesian product of each component : K (1,1) k+1 × K (1,2) k+1 × ... × K (n,m) k+1 . This search space is then bisected and tested under SIVIA properly adapted to matrix operations. 22 / 39
  52. 52. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Méthodes de l’amélioration Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA) Kk+1 C ˆPk+1|kCT + R = ˆPk+1|kCT . We define Sk+1 = C ˆPk+1|kCT + R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT , Kk+1Sk+1 = Tk+1. where Kk+1 ∈ IRn×m , Sk+1 ∈ IRm×m , Tk+1 ∈ IRn×m . Every component in matrix K is considered separately and the search space is the Cartesian product of each component : K (1,1) k+1 × K (1,2) k+1 × ... × K (n,m) k+1 . This search space is then bisected and tested under SIVIA properly adapted to matrix operations. 22 / 39
  53. 53. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Méthodes de l’amélioration Proposition (Propagation par contrainte) Décomposer une equation avec les vairables intéressé f (x1, ..., xn) = 0 à une séquence des opérations élémentaires primitives pour construire une liste de contrainte, afin de compacter la zone de recherche des valeurs 23 / 39
  54. 54. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Méthodes de l’amélioration Proposition (Propagation par contrainte) Décomposer une equation avec les vairables intéressé f (x1, ..., xn) = 0 à une séquence des opérations élémentaires primitives pour construire une liste de contrainte, afin de compacter la zone de recherche des valeurs Proposition (Règle de l’intersection de multiples intervalles, n > 2) n i=1 Mi ( n−1 i=1 Mi) · Mn ∩ M1 · ( n−1 i=1 Mi+1) . 23 / 39
  55. 55. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Méthodes de l’amélioration Proposition (Propagation par contrainte) Décomposer une equation avec les vairables intéressé f (x1, ..., xn) = 0 à une séquence des opérations élémentaires primitives pour construire une liste de contrainte, afin de compacter la zone de recherche des valeurs Proposition (Règle de l’intersection de multiples intervalles, n > 2) n i=1 Mi ( n−1 i=1 Mi) · Mn ∩ M1 · ( n−1 i=1 Mi+1) . Proposition (Calibration adaptative) ˆxk Ck, Pk = P0, si w(x(i)k+1|k+1) w(x(i)∗ k+1), i = 1, ..., n, 23 / 39
  56. 56. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Filtre de Kalman ensembliste amélioré (iIKF) Algorithme iIKF Initialisation ˆx0|0 = x0, x0 ∼ N(m0, P0), ˆP0|0 = P0, Prediction ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk , ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT + Q, Cp : ˆP (i,i) k+1|k 0, i = 1, 2..., n, Correction ΣKk+1 = s a=1 Kk+1|a | Kk+1|a C ˆPk+1|k CT + R = ˆPk+1|k CT , Cp : [C ˆPk+1|k CT ](i,i) 0, i = 1, 2..., n, ˆPk+1|k+1 = s a=1 (In − Kk+1|aC) ˆPk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1 , ˆxk+1|k+1 = s a=1 ˆxk+1|k + Kk+1|a yk+1 − ˆyk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1 , k = 0, 1, ... 24 / 39
  57. 57. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Filtrage de Kalman ensembliste amélioré Filtre de Kalman ensembliste amélioré (iIKF) Algorithme iIKF Initialisation ˆx0|0 = x0, x0 ∼ N(m0, P0), ˆP0|0 = P0, Prediction ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk , ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT + Q, Cp : ˆP (i,i) k+1|k 0, i = 1, 2..., n, Correction ΣKk+1 = s a=1 Kk+1|a | Kk+1|a C ˆPk+1|k CT + R = ˆPk+1|k CT , Cp : [C ˆPk+1|k CT ](i,i) 0, i = 1, 2..., n, ˆPk+1|k+1 = s a=1 (In − Kk+1|aC) ˆPk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1 , ˆxk+1|k+1 = s a=1 ˆxk+1|k + Kk+1|a yk+1 − ˆyk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1 , k = 0, 1, ... 24 / 39
  58. 58. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Application à la détection Application à la détection : Seuil adaptative Seuil dans le context conventionel The confidence interval at 99.7% on the ith component of ˆyk+1|k (i = 1, ..., n) can be used for fault detection thresholding : Ii ˆy,k+1|k = [µi k+1 − q × σi k+1, µi k+1 + q × σi k+1], where the µi k+1 is the ith component of the a priori output estimate ˆyk+1|k, σi k+1 is the standard deviation of ˆyk+1|k and q = 3 (to obtain a confidence interval at 99.7%). 25 / 39
  59. 59. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Application à la détection Application à la détection : Seuil adaptative Seuil dans le context conventionel The confidence interval at 99.7% on the ith component of ˆyk+1|k (i = 1, ..., n) can be used for fault detection thresholding : Ii ˆy,k+1|k = [µi k+1 − q × σi k+1, µi k+1 + q × σi k+1], where the µi k+1 is the ith component of the a priori output estimate ˆyk+1|k, σi k+1 is the standard deviation of ˆyk+1|k and q = 3 (to obtain a confidence interval at 99.7%). Il peut etre etendu au contexte ensembliste : Proposition (Seuil adaptative) Ii ˆy,k+1|k is given, for i = 1, ..., n, by : Ii ˆy,k+1|k = ˆyi k+1|k − q × σi k+1 , ˆyi k+1|k + q × σi k+1 , where ˆyi k+1|k is the ith component of ˆyk+1|k and σi k+1 represents the standard deviation of ˆyi k+1|k, which is approximated by the a priori measurement error standard deviation. 25 / 39
  60. 60. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Application à la détection Application à la détection : Indicateur de faute Proposition (Indicateur de faute par tester l’intersection) A binary fault indicator variable indexed by the time instant τk+1 which infers : τk+1 = 1 if there exists at least an index i such that Ii y,m,k+1 ∩ Ii ˆy,k+1|k = ∅, 0 otherwise. where Ii y,m,k+1 represents the ith component of the confidence interval (at 99,7%) of the measured output yi m,k+1. 26 / 39
  61. 61. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Application à la détection Application à la détection : Indicateur de faute Proposition (Indicateur de faute par tester l’intersection) A binary fault indicator variable indexed by the time instant τk+1 which infers : τk+1 = 1 if there exists at least an index i such that Ii y,m,k+1 ∩ Ii ˆy,k+1|k = ∅, 0 otherwise. where Ii y,m,k+1 represents the ith component of the confidence interval (at 99,7%) of the measured output yi m,k+1. Proposition (Indicateur de faute par tester l’existence de zero) the tolerated interval I∗ ˆy,k+1|k is used in this approach and compared directly with measured output : rk+1 = I∗ ˆy,k+1|k − ym,k+1, We denote ri k+1 the ith component of the vector rk. The τk+1 defined previously now becomes : τk+1 = 1 if there exists at least an index i such that 0 ∈ ri k+1 0 otherwise. 26 / 39
  62. 62. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection 4ème partie Exemples numériques 27 / 39
  63. 63. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Contexte d’exemple 1 Example (Systeme de tracking simple) xk+1 = Axk + wk, yk = Cxk + vk, k = 0, 1, 2, ... Système dispose 2 états, 2 entrées et 1 sortis de mesure Donnée initiale A = 0.4 0.1 −0.1 0.2 , C = 0 1 , Q = 10 0 0 10 , R = 1. A = [−0.1, 0.1] [−0.15, 0.15] 0 [−0.25, 0.25] , C = 0 [−0.1, 0.1] , Q = [−2, 2] 0 0 [−2, 2] , R = [−0.9, 1.1], E{x0} = x01 x02 = 1 1 , Cov{x0} = P00 P01 P10 P11 = 0.5 0.0 0.0 0.5 . 28 / 39
  64. 64. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude Indices for comparison N : number of calibration times, O : number of times that the estimate envelope does not contain real state, D : criterion describing the characteristic of the estimate envelope. D = K k=1 d( ˆxk, xk)T d( ˆxk, xk) K k=1 x2 k , d( ˆxk, xk) = (sup( ˆxk) − xk) + (inf ( ˆxk) − xk). p : number of iteration steps, : predefined precision for bisection in SIVIA t : execution time 29 / 39
  65. 65. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude Banc d’essai IKF Chen sIKF Chen iIKF = 0.5 iIKF = 0.2 iIKF = 0.05 Indices for comparison N : number of calibration times, O : number of times that the estimate envelope does not contain real state, D : criterion describing the characteristic of the estimate envelope. D = K k=1 d( ˆxk, xk)T d( ˆxk, xk) K k=1 x2 k , d( ˆxk, xk) = (sup( ˆxk) − xk) + (inf ( ˆxk) − xk). p : number of iteration steps, : predefined precision for bisection in SIVIA t : execution time 29 / 39
  66. 66. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude, résultat sIKF 30 / 39
  67. 67. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude, résultat sIKF iIKF 30 / 39
  68. 68. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude, résultat Filter N O D t IKF - 18 14 18.4770 0.93s sIKF - 0 56 0.85 0.75s iIKF 1 0 0 1.5382 11s 0.2 0 0 1.5098 55s 0.05 0 0 1.5036 791s 31 / 39
  69. 69. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude, résultat Filter N O D t IKF - 18 14 18.4770 0.93s sIKF - 0 56 0.85 0.75s iIKF 1 0 0 1.5382 11s 0.2 0 0 1.5098 55s 0.05 0 0 1.5036 791s Compare to original IKF : Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval operation. IKF is highly limited to the singularity problem. 31 / 39
  70. 70. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude, résultat Filter N O D t IKF - 18 14 18.4770 0.93s sIKF - 0 56 0.85 0.75s iIKF 1 0 0 1.5382 11s 0.2 0 0 1.5098 55s 0.05 0 0 1.5036 791s Compare to original IKF : Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval operation. IKF is highly limited to the singularity problem. Compare to original sIKF : Our approach keeps all bounded uncertainty in its loop, both the real state and optimal solution from conventional Kalman filter are entirely contained. While sIKF is no longer guaranteed for parameter uncertainty. 31 / 39
  71. 71. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude, résultat Filter N O D t IKF - 18 14 18.4770 0.93s sIKF - 0 56 0.85 0.75s iIKF 1 0 0 1.5382 11s 0.2 0 0 1.5098 55s 0.05 0 0 1.5036 791s Compare to original IKF : Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval operation. IKF is highly limited to the singularity problem. Compare to original sIKF : Our approach keeps all bounded uncertainty in its loop, both the real state and optimal solution from conventional Kalman filter are entirely contained. While sIKF is no longer guaranteed for parameter uncertainty. Compare to itself when changes The smaller is, the better accuracy is achieved, but the longer time it takes. 31 / 39
  72. 72. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimation des états d’un cas d’étude Estimation des états d’un cas d’étude, résultat Filter N O D t IKF - 18 14 18.4770 0.93s sIKF - 0 56 0.85 0.75s iIKF 1 0 0 1.5382 11s 0.2 0 0 1.5098 55s 0.05 0 0 1.5036 791s Compare to original IKF : Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval operation. IKF is highly limited to the singularity problem. Compare to original sIKF : Our approach keeps all bounded uncertainty in its loop, both the real state and optimal solution from conventional Kalman filter are entirely contained. While sIKF is no longer guaranteed for parameter uncertainty. Compare to itself when changes The smaller is, the better accuracy is achieved, but the longer time it takes. Kalman gain obtained from SIVIA is “smaller”. 31 / 39
  73. 73. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Détection de faute d’un cas d’étude Contexte d’exemple 2 Example (Attitude Control System (ACS))    ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + w, y(t) = Cx(t) + D + v, w ∼ N(0, 0.01), v ∼ N(0, 0.01). Système dispose 6 états, 3 entrées et 3 sortis de mesure Système retenu après discretisation et simplification xk+1 = A∗ dxk + wk, yk = C∗ d xk + vk, k = 0, 1, 2, ... A∗ d =   1 0 −0.0041 0 1 0 0.0041 0 1   , C∗ d =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   , Q = R =   0.001 0 0 0 0.001 0 0 0 0.001   , A = A∗ d + A, A =   0 0 [−0.0001, 0.0001] 0 0 0 [−0.0001, 0.0001] 0 0   . 32 / 39
  74. 74. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Détection de faute d’un cas d’étude Détection de faute de cas d’étude, résultat Example :Une faute additive de capteur sur tout les chaines de sortie ym(k) = ym(k)∗ + fa, ∀k ∈ [50, 80] 33 / 39
  75. 75. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Détection de faute d’un cas d’étude Détection de faute de cas d’étude, résultat ym(k) = ym(k) + fa, ∀k ∈ [50, 80] 33 / 39
  76. 76. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection 5ème partie Conclusion et perspectives 34 / 39
  77. 77. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Objectif général : rappel Etape 1 Estimer les états ou les paramètres d’un modèle dynamique, en prenant en compte les incertitudes bornee et les bruits statistique Etape 2 Optimiser les méthodes ensemblistes pour mieux adapter la détection de faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat Etape 3 Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de fautes et au diagnostic 35 / 39
  78. 78. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Conclusion V Etape 1 Une nouvelle approche de l’estimation dans un contexte ensembliste et statistique unifié, Définition raffinée de l’espérance et de la variance ensembliste pour système linéaire, Nouvelle technique de l’inversion de matrice intervalle par SIVIA et CSP, Etape 2 Optimiser les méthodes ensemblistes pour mieux adapter la détection de faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat Etape 3 Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de fautes et au diagnostic 35 / 39
  79. 79. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Conclusion V Etape 1 Une nouvelle approche de l’estimation dans un contexte ensembliste et statistique unifié, Définition raffinée de l’espérance et de la variance ensembliste pour système linéaire, Nouvelle technique de l’inversion de matrice intervalle par SIVIA et CSP, V Etape 2 Implémentation de différentes contrainte pour limiter le sur-estimation, Calcul de gain Kalman par l’inversion de matrice intervalle avec SIVIA, Obtention de résultat "garanti" en conservant tout les configurations définis par les paramètres bornées, Etape 3 Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de fautes et au diagnostic 35 / 39
  80. 80. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Conclusion V Etape 1 Une nouvelle approche de l’estimation dans un contexte ensembliste et statistique unifié, Définition raffinée de l’espérance et de la variance ensembliste pour système linéaire, Nouvelle technique de l’inversion de matrice intervalle par SIVIA et CSP, V Etape 2 Implémentation de différentes contrainte pour limiter le sur-estimation, Calcul de gain Kalman par l’inversion de matrice intervalle avec SIVIA, Obtention de résultat "garanti" en conservant tout les configurations définis par les paramètres bornées, V Etape 3 Implémentation de estimation ensembliste a la détection de faute. 35 / 39
  81. 81. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Perspectives Améliorer l’efficacité et la vitesse de l’algorithme iIKF, Optimiser profondément le résultat par introduire nouvelle contrainte, Estimation ensembliste pour système non linéaire stochastique incertain. 36 / 39
  82. 82. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Merci de votre attention 37 / 39
  83. 83. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Bibliographie Guanrong Chen, Jianrong Wang, and Leang S. Shieh. Interval kalman filtering. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 33(1) :250–259, 1997. Luc Jaulin, Michel Kieffer, O Didrit, and Eric Walter. Applied interval analysis. Springer-Verlag, January 2001. Ramon E. Moore. Interval analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, January 1966. J Rohn. Inverse interval matrix. SIAM Journal on Numerical Analysis, 30(3) :864–870, 1993. 38 / 39
  84. 84. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin Estimations ensemblistes des états et application à la détection Publication J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Set-membership estimation for linear system with bounded parameters and statistical noises.Small Workshop on Interval Methods, Oldenburg, Germany, 2012 J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. New computation aspects for existing Interval Kalman Filtering and application.15th Workshop on Control Applications of Optimization, Rimini, Italy, 2012 J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Improvements in computational aspects of Interval Kalman Filtering by using constraint propagation.11th International Workshop IEEE ECMSM, Toulouse, France, 2013 J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Fault Detection using Interval Kalman Filtering enhanced by Constraint Propagation.52nd IEEE Conference on Decision and Control, Florence, Italy, 2013 39 / 39

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