Van Oudenhove Serge                           Ingest 5F Mémoire présenté en vue de l’obtention du     Master d’ingénieur d...
« Le savant n’étudie pas la nature parce que cela est utile ; il l’étudie parce qu’il y prendplaisir et il y prend plaisir...
RemerciementsJe tiens à remercier tout particulièrement Madame Ariane Szafarz,pour son orientation dans le choix du sujet,...
Table des matièresTable des matières ........................................................................................
4.1.1 Statistiques descriptives des séries de rendements d’actions .................................. 47     4.1.2. Analys...
Table des FiguresFigure 1: Impact dune mauvaise nouvelle sur la variance conditionnelle......................................
Table des tableauxTableau 1: Résumé des definitions: flight to quality, fligth from quality and contagion ...................
Résumé       Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par lesinvestisseurs se basent sur l...
Kim, Moshirian et Wu (2004) remarquent que le processus d’intégration financière européena eu pour conséquence d’augmenter...
Le modèle économétrique utilisé pour réaliser cette étude est le « DynamicConditional Correlation : A multivaritiate GARCH...
En ce qui concerne les liens qu’il existe entre ces deux marchés, nos résultatsindiquent la présence d’une relation négati...
I. Introduction       Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par lesinvestisseurs se bas...
D’autres études se sont focalisées essentiellement sur les liens existant entre lesrendements d’actions et d’obligations d...
Ce mémoire a pour objectif d’analyser la dynamique des volatilités et des corrélationsdes rendements d’actions et d’obliga...
II. Littérature sur la dynamique des corrélations          Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles...
rendement et la volatilité. Ils constatent que la volatilité est plus grande en période derécession, ce qui traduirait une...
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Ces différents articles confirment bien que les volatilités des rendements d’actionsvarient avec le temps et réagissent di...
Christiansen (2000) analyse l’effet des annonces macroéconomiques sur lescovariances de différentes obligations4 d’Etats a...
Ces résultats sont confirmés par Longin et Solnik (2001) qui découvrent que lescorrélations entre actions ne dépendent pas...
comme le taux d’intérêt réel ou le taux d’inflation ont des impacts sur la volatilité desrendements d’actions et d’obligat...
volatilités de ces actifs financiers. Cependant, l’impact de ces nouvelles est plus prononcépour les volatilités d’obligat...
Baur et Lucey (2006) analysent la corrélation des rendements d’actions etd’obligations européennes sur la période 1995-200...
III. Littérature et méthodologie du modèle économétrique.           « La base de l’économétrie appliquée est le modèle des...
Dans le cadre de ce mémoire, des distributions de rendements d’actions etd’obligations vont être analysées. Le rendement e...
3.1.2. La stationnarité de second ordre8                       La stationnarité est une mesure probabiliste de la régulari...
3.1.3. Le coefficient d’asymétrie : SkwenessCe coefficient mesure le degré d’asymétrie de la distribution. Il se définit c...
La figure suivante nous donne une idée générale de la non normalité de la distributionde rendements d’actifs financiers. O...
Figure 4: Autocorrélogrammes de la série de rendements du CAC 40                    Sample Autocorrelations and Robust Sta...
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Pour des écarts temporels inférieurs à 4, nous constatons que la p-valeur est inférieureà 0,1 ce qui confirme la présence ...
Pour rappel, la série de rendements d’actifs financiers est un processus stochastique :                                   ...
La variance marginale du modèle ARCH se définit comme suit :                                                              ...
L’introduction de ce modèle fut vraiment le point départ de l’analyse de la varianceconditionnelle de séries chronologique...
La variance non conditionnelle du modèle GARCH se définit comme suit :                                                    ...
L’introduction d’un paramètre supplémentaire permet d’analyser l’effet asymétriquesur la volatilité conditionnelle ce qui ...
Ce processus peut être défini comme suit.Définition 2.4 : Un processus GJR-GARCH (P,O,Q)GJR-Generalized Autoregressive Con...
3.2.5. Les « News Impact Curves » (1992)       L’analyse de l’impact d’un choc sur la variance conditionnelle peut être re...
3.2.6. Méthode d’estimation et sélection du modèle       La méthode du maximum de vraisemblance représente le choix le plu...
Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des obligations
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Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des obligations

  1. 1. Van Oudenhove Serge Ingest 5F Mémoire présenté en vue de l’obtention du Master d’ingénieur de gestionLa dynamique des volatilités et des corrélations des marchés européens des actions et des obligations Directeur de mémoire: Professeur Ariane Szafarz Commissaire de mémoire: Professeur Hugues Pirotte Année académique 2006/2007 Solvay Business School 1
  2. 2. « Le savant n’étudie pas la nature parce que cela est utile ; il l’étudie parce qu’il y prendplaisir et il y prend plaisir parce qu’elle est belle. Si la nature n’était pas belle, elle nevaudrait pas la peine d’être connue, la vie ne vaudrait pas la peine d’être vécue. Je ne parlepas ici, bien entendu, de cette beauté qui frappe les sens, de la beauté des qualités et desapparences ; non que j’en fasse fi, loin de là, mais elle n’a rien à faire avec la science ; jeveux parler de cette beauté plus intime qui vient de l’ordre harmonieux des parties, et quuneintelligence pure peut saisir » Henri Poincaré (1908) Science et méthode (1908), éd. Flammarion, 1918, p. 15-16 2
  3. 3. RemerciementsJe tiens à remercier tout particulièrement Madame Ariane Szafarz,pour son orientation dans le choix du sujet, ses conseils et sacollaboration précieuse dans l’élaboration de ce mémoire.J’adresse également mes remerciements à Monsieur Hugues Pirottepour l’obtention des données utilisées pour ce mémoire.Je remercie la Solvay Business School ainsi que Belgacom et à pourla mise à disposition d’un formidable outil de recherche.Un grand merci à mes parents et amis pour leurs suggestions,corrections et soutien moral tout au long de ce travail. 3
  4. 4. Table des matièresTable des matières .........................................................................................4Table des Figures ..........................................................................................6Table des tableaux .........................................................................................7Résumé ......................................................................................................8I. Introduction ......................................................................................12II. Littérature sur la dynamique des corrélations.................................15 2.1. La dynamique de la volatilité des actions .................................................................... 15 2.2. La dynamique des volatilités des obligations............................................................... 19 2.3. La dynamique des corrélations entre les actifs financiers............................................ 20III. Littérature et méthodologie du modèle économétrique. ...............25 3.1. Les séries temporelles .................................................................................................. 25 3.1.1. Processus Stochastique........................................................................................... 26 3.1.2. La stationnarité de second ordre............................................................................. 27 3.1.3. Le coefficient d’asymétrie : Skweness................................................................... 28 3.1.3. Le coefficient d’aplatissement : Kurtosis............................................................... 28 3.1.2. La fonction de corrélation ...................................................................................... 29 3.1.3. Les autocorrélations ............................................................................................... 29 3.1.3. L’hétéroscédasticité................................................................................................ 31 3.2. Les Modèles Univariés.................................................................................................. 32 3.2.1. Le modèle ARCH (1982) ....................................................................................... 32 3.2.2. Le modèle GARCH (1986) .................................................................................... 35 3.2.3. Le modèle EGARCH (1991).................................................................................. 36 3.2.4. Le modèle GJR-GARCH (1993) et le modèle TARCH (1994) ............................. 37 3.2.5. Les « News Impact Curves » (1992) ...................................................................... 39 3.2.6. Méthode d’estimation et sélection du modèle........................................................ 40 3.3. Les Modèles Multivariés ............................................................................................... 41 3.3.1. The Dynamic conditional correlation model (2000) .............................................. 42IV. Description des données................................................................46 4.1. Le marché des actions européennes .............................................................................. 46 4
  5. 5. 4.1.1 Statistiques descriptives des séries de rendements d’actions .................................. 47 4.1.2. Analyse de l’évolution des cours des indices boursiers européens ........................ 49 4.2. Le marché des obligations d’Etats européennes ........................................................... 50 4.2.1 Statistiques descriptives des séries de rendements d’obligations d’Etats ............... 51 4.2.2. Analyse de l’évolution des rendements à l’échéance des obligations.................... 53V. Analyse des corrélations non conditionnelles ................................55 4.1. La corrélation des actions européennes......................................................................... 55 4.2. La corrélation des obligations d’Etats européennes ...................................................... 57 4.3. Les corrélation entre les actions et les obligations européennes .................................. 58 4.4. Conclusions au niveau des corrélations non conditionnelles ........................................ 59VI. Analyse des volatilités conditionnelles .........................................60 6.1 Le marché boursier européen ......................................................................................... 60 6.1.1. Persistance de la volatilité des rendements d’actions............................................. 61 6.1.2. Les « News Impact Curves » : Marchés des actions .............................................. 62 6.1.3. La dynamique de la volatilité du marché des actions............................................. 64 6.2. Le marché obligataire européen .................................................................................... 67 6.2.1. Persistance de la volatilité des rendements d’obligations ...................................... 68 6.2.2. Les « News Impact Curves » : Marchés des obligations........................................ 69 6.2.3. La dynamique de la volatilité du marché des obligations ...................................... 70VII. Analyse des corrélations conditionnelles.....................................75 7.1 La corrélation conditionnelle des actions européennes................................................. 77 7.1.1. La dynamique des corrélations des rendements du CAC et le DAX .................... 78 7.1.2 La dynamique des corrélations des rendements du CAC et l’AEX ........................ 80 7.1.3. La dynamique des corrélations des rendements du CAC et le FTSE.................... 81 7.2 La corrélation conditionnelle des obligations européennes ........................................... 82 7.2.1. La dynamique des corrélations des rendements d’obligations européennes.......... 83 7.3 La corrélation conditionnelle des actions et des obligations......................................... 85 7.3.1. La corrélation dynamique entre les actions et les obligations européennes........... 87 7.3.2. Résumé des événements affectant la corrélation.................................................... 94 7.3.3. Liens entre les dynamiques européennes ............................................................... 94VIII. Conclusions.................................................................................96IV. Références bibliographiques .........................................................99 5
  6. 6. Table des FiguresFigure 1: Impact dune mauvaise nouvelle sur la variance conditionnelle................................................................................ 18Figure 2: Série temporelle des rendements du CAC 40............................................................................................................ 27Figure 3: Distribution des résidus de la série de rendements du CAC 40 ............................................................................. 29Figure 4: Autocorrélogrammes de la série de rendements du CAC 40..................................................................................... 30Figure 5: Autocorrélogrammes des puissances carrées de la série de rendements du CAC 40 ................................................ 30Figure 6: Autocorrélations des puissances carrées de termes d’erreurs de la série des rendements du CAC ........................... 31Figure 7: Les différents indices boursiers européens utilisés au cours de ce mémoire ............................................................. 47Figure 8: Evolution des cours des indices boursiers européens................................................................................................ 49Figure 9: Les différents indices d’obligations européennes utilisés au cours de ce mémoire .................................................. 51Figure 10: Evolution des rendements à échéance d’Obligations dEtats Européennes à 5 ans ................................................. 54Figure 11: Corrélation des rendements des indices boursiers européens (2007) ...................................................................... 56Figure 12: Corrélation des rendements des Obligations d’Etats européennes (1997-2007) ..................................................... 57Figure 13: Corrélations non conditionnelles entre le marché des actions et des obligations (1997-2007)................................ 58Figure 14: News Impact Curves des rendements d’indices boursiers européens...................................................................... 63Figure 15: Volatilité conditionnelle annuelle du rendement du CAC....................................................................................... 64Figure 16: News Impact Curves des rendements d’indices boursiers européens...................................................................... 69Figure 17: Volatilité conditionnelle annuelle des rendements d’obligations d’Etat allemandes............................................... 71Figure 18 : Volatilités conditionnelles des rendements du DAX et du CAC............................................................................ 78Figure 19 : Corrélation conditionnelle des rendements du DAX et du CAC............................................................................ 78Figure 20 : Corrélation conditionnelle des rendements de l’AEX et du CAC .......................................................................... 80Figure 21 : Corrélation conditionnelle des rendements du CAC et du FTSE ........................................................................... 81Figure 22 : Volatilités conditionnelles des rendements d’obligations allemandes et hollandaises .......................................... 82Figure 23 : Corrélation conditionnelle des obligations allemandes et hollandaises.................................................................. 83Figure 24 : Corrélation conditionnelle des obligations françaises et anglaises......................................................................... 84Figure 25 : Volatilités conditionnelles des actions et des obligations françaises...................................................................... 86Figure 26: Corrélations ente les rendements d’actions et d’obligations françaises................................................................... 87Figure 27: Variations extrêmes des estimations de la corrélation actions-obligations Française ............................................. 88Figure 29: Corrélations ente les rendements d’actions et d’obligations européennes............................................................... 95 6
  7. 7. Table des tableauxTableau 1: Résumé des definitions: flight to quality, fligth from quality and contagion ...................................... 23Tableau 2: Statistiques descriptives concernant les séries de rendements des indices boursiers européens ......... 48Tableau 3: Statistiques descriptives concernant les séries de rendements des indices obligataires européens ..... 52Tableau 4: Modèles univariés sélectionnés pour les séries de rendements d’indices Boursiers Européens.......... 60Tableau 5: Modèles univariés selectionnés pour les séries de rendements d’indices obligataires européens ....... 67Tableau 6: Paramètres des modèles DCC (1,1) pour les corrélations de rendements d’actions européennes ....... 77Tableau 7: Paramètres des modèles DCC (1,1) pour les corrélations de rendements d’obligations ..................... 82Tableau 8: Résumé des definitions: flight to quality, flight from quality and contagion ...................................... 85Tableau 9: Paramètres des modèles DCC (1,1) des corrélations de rendements d’obligations et d’actions ......... 86Tableau 10: Crise asiatique Flight to quality.................................................................................................... 89Tableau 11: Crise Russe Contagion négative ................................................................................................... 90Tableau 12: Attentats du 11 septembre Contagion négative ............................................................................. 91Tableau 13: Faillite d’Enron Flight to quality .................................................................................................. 92Tableau 14: Faillite de Worldcom Flight to quality ........................................................................................ 92Tableau 15: Élargissement et rejet français au referendum Flight From Quality.............................................. 93 7
  8. 8. Résumé Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par lesinvestisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. La première stratégie consisteà investir dans différents actifs financiers afin d’avoir une corrélation faible, voire négativetandis que la seconde consiste à investir dans des actifs similaires à travers le monde. Bienque ces deux stratégies aient de solides justifications théoriques et une forte évidenceempirique, les investisseurs doivent être conscients que les volatilités et les corrélations desactifs financiers varient avec le temps. Ces dynamiques ont dès lors un impact considérablesur le marché des capitaux. En effet, d’après la théorie du portefeuille efficient, touschangements de corrélations des actifs financiers impliquent un changement des pondérationsde ces actifs détenus dans les portefeuilles des investisseurs. Dès lors, on comprend pourquoiil est important pour l’investisseur de connaitre les facteurs qui influencent la volatilité et lescorrélations des marchés d’actions et d’obligations. Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités desrendements d’actions est le clustering de la volatilité qui met en évidence que des fortesvariations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes variations demême signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être suivies pard’autres faibles variations. Par la suite, certaines études empiriques constatent la présenced’un phénomène « d’asymétrie de la volatilité ». Ce phénomène suppose qu’un choc négatif aun impact plus important sur la volatilité des rendements d’actions qu’un choc positif demême ampleur. La littérature s’est fortement concentrée sur l’étude de ce phénomène avecpour priorité la volatilité des actions et trop rarement celle des obligations. L’étude des corrélations des rendements d’actions et des rendements d’obligations afait l’objet de nombreuses recherches au cours de ces dix dernières années. La littératurerelate une forte augmentation de la corrélation conditionnelle pour les marchés mondiauxd’actions. Engle, Sheppard et Capiello (2003) confirment bien la présence d’asymétrie dansles corrélations de rendements d’actions. Cela signifie, en d’autres mots, que les corrélationsentre actions augmentent plus fortement suite à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché.Ils constatent par ailleurs que l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999a un impact considérable sur les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers. 8
  9. 9. Kim, Moshirian et Wu (2004) remarquent que le processus d’intégration financière européena eu pour conséquence d’augmenter les corrélations au sein des marchés d’actions etd’obligations. D’autres études se sont focalisées essentiellement sur les liens existant entre lesrendements d’actions et d’obligations d’Etats. D’après Fleming, Kirby et Oestdiek (1997), unchoc affectant un seul marché provoque un changement du comportement de l’investisseur.En effet, lorsque le marché boursier voit sa volatilité augmenter suite par exemple à une crisefinancière, les investisseurs ont tendance à se réfugier sur les marchés obligataires plusstables. La conséquence directe de ce phénomène est la diminution de la corrélation entre lesrendements d’actions et d’obligations. Ce phénomène, plus connu sous le nom de Flight toquality, a fait l’objet de nombreuses études aux cours de ces dernières années. Baur et Lucey(2006) sont les premiers à regrouper les définitions des différents phénomènes ayant unimpact sur la corrélation des rendements entre ces deux marchés. Ils remarquent que lacorrélation entre les actions et les obligations européennes est très volatile ce qui traduit unefréquence élevée de ces phénomènes. Ce mémoire a pour objectif d’analyser la dynamique des volatilités et des corrélationsdes rendements d’actions et d’obligations d’Etats européennes à 5 ans de 1997 jusquà 2007.Il consiste en une étude empirique qui va tenter de répondre à trois questions. En premier lieu,il s’agit d’analyser la présence d’asymétrie dans la volatilité conditionnelle des actions et desobligations d’Etats européennes. Ensuite, nous étudions la dynamique des corrélations d’unmême actif financier entre les différents pays afin d’analyser l’impact du passage à unepolitique monétaire commune sur le marché des capitaux européens. Enfin, nous étudions demanière plus approfondie les corrélations entres les rendements d’actions et d’obligations ennous focalisant essentiellement sur les valeurs extrêmes de variations de ces corrélations aucours du temps. Nous allons dater précisément ces variations extrêmes afin de détecter laprésence de phénomène de flight to quality sur les marchés des capitaux européens au coursde la période étudiée. Contrairement aux recherches précédentes, nous réalisons une étudepréalable de la volatilité sur ces différents marchés afin de comprendre les variations extrêmesdes corrélations entre les rendements d’actions et d’obligations. 9
  10. 10. Le modèle économétrique utilisé pour réaliser cette étude est le « DynamicConditional Correlation : A multivaritiate GARCH model » (DCC) introduit par Engle(2000). Ce modèle est estimé en deux étapes. Dans un premier temps, les paramètres desséries univariés de rendements vont être estimés avec un processus GARCH. Ensuite, cemodèle utilise les résidus standards de séries univariés afin d’estimer les corrélationsconditionnelles. Ce modèle est souvent préféré car il possède la flexibilité des processusGARCH univariés et la parcimonie des modèles paramétriques d’estimation des corrélationsdynamiques. Ils ne sont pas linéaires mais peuvent être estimés très simplement avec lafonction de vraisemblance. Nos résultats confirment bien la présence d’asymétrie dans la volatilité des actionseuropéennes. En effet, la volatilité des rendements d’indices boursiers européens sembleréagir plus fortement aux mauvaises nouvelles. Nous constatons aussi une certaine persistancede la volatilité des actions et des obligations. Cela signifie, en d’autres mots, que la volatilitédes marchés d’actions et d’obligations possède une mémoire long terme. Cependant, lemarché des obligations semble réagir très faiblement aux nouveaux chocs en comparaisonavec le marché des actions qui semble beaucoup plus sensible aux nouvelles informations. Nous remarquons par ailleurs une forte similitude des dynamiques des volatilités entreles différents pays pour une même classe d’actifs, ce qui traduit un degré élevé d’intégrationfinancière en Europe. Afin d’analyser l’impact de l’harmonisation des politiques monétairessur le processus d’intégration, nous avons analysé les corrélations au sein de chaque marché.Nos résultats révèlent la présence d’une brusque augmentation de la corrélation, aussi bien ausein du marché des actions que sur le marché des obligations, environ un an avant le passage àla zone euro. D’après Kim, Moshirian et Wu (2004), ce décalage temporel s’explique par laprise en compte de ce facteur dans les anticipations des investisseurs. L’impact le plus visiblede l’harmonisation des politiques monétaires semble être la stabilisation des corrélations ausein d’une même classe d’actifs. La présence d’une forte corrélation entre les différentsindices boursiers européens a des implications importantes en gestion de portefeuilles. Celle-ci implique qu’une diversification entre les pays européens n’est pas une stratégied’investissement efficace puisqu’elle ne permet pas de réduire le risque du portefeuille. Eneffet, l’objectif encouru par la diversification est justement d’obtenir une matrice descorrélations très faibles, voire négative et ce afin d’obtenir un portefeuille ayant le risqueminimum pour un niveau de rentabilité donné. 10
  11. 11. En ce qui concerne les liens qu’il existe entre ces deux marchés, nos résultatsindiquent la présence d’une relation négative entre les rendements d’actions et d’obligationseuropéennes. D’après Baur (2007), cette relation négative s’explique par la brusqueaugmentation des corrélations d’actions entre les différents pays européens. Cette forte haussedes corrélations d’actions a grandement diminué les opportunités de diversificationgéographique des investisseurs européens. C’est pourquoi les investisseurs vont diversifierleurs portefeuilles avec des actifs plus faiblement corrélés avec les actions, comme lesobligations d’Etas européennes. La relation négative entre les actions et les obligationseuropéennes est donc la conséquence directe de la diminution des opportunités dediversification géographique en Europe, suite au processus d’intégration financièreeuropéens. Notre analyse révèle une présence élevée de variations extrêmes de la corrélation entreactions et obligations. Nous avons détecté la présence de phénomènes de Flight to qualitylors de diverses crises financières au cours de cette période. Par exemple, suite à la criseasiatique, il semble que les investisseurs aient quitté le marché d’actions relativement volatilepour se réfugier sur le marché d’obligations beaucoup plus stable. Cette préférence pour laqualité lors des crises financières a pour conséquence de diminuer fortement la corrélationentre actions et obligations. Enfin, nous constatons que le rejet français à la constitution européenne en mai 2005 aun impact considérable sur les corrélations au sein du marché d’actions et sur les corrélationsentres ces différents marchés. Ceci confirme donc bien les résultats de De Grauwe (2006) quisuggère l’existence d’un lien entre l’union politique et l’union monétaire. D’après nous, cettefatigue du processus d’intégration politique européen a profondément remis en doutel’intégration financière. La conséquence de cette remise en doute est la brusque diminutiondes corrélations de rendements d’actions ce qui améliore fortement les opportunités dediversification géographique à travers l’Europe. Les marchés boursiers étant assez stables aucours de cette période, on assiste à un retour des investisseurs sur le marché des actionseuropéennes en défaveur du marché des obligations d’Etats Ce phénomène, plus connu sousle nom de Flight from Quality, explique la brusque diminution des corrélations entre lesrendements d’actions et d’obligations à cette période. Précisons par ailleurs que cephénomène n’est pas relaté par la littérature actuelle. 11
  12. 12. I. Introduction Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par lesinvestisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. D’après la théorie classique deMarkowitz, tout changement de corrélations entre les différents actifs financiers implique unchangement de pondérations des actifs détenus dans le portefeuille. Néanmoins, la littératurerelate que les volatilités et les corrélations des actifs financiers varient avec le temps. Cesdynamiques ont dès lors un impact considérable sur le marché des capitaux. Dès lors, oncomprend pourquoi il est important pour l’investisseur de connaitre les facteurs quiinfluencent la corrélation entre les rendements d’actifs financiers. Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités desrendements d’actions est le clustering de la volatilité. Ce phénomène met en évidence que desfortes variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes variationsde même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être suivies pard’autres faibles variations. Par la suite, certaines études empiriques constatent la présenced’un phénomène « d’asymétrie de la volatilité ». Ce phénomène suppose qu’un choc négatif aun impact plus important sur la volatilité des rendements d’actions qu’un choc positif demême ampleur. La littérature s’est fortement concentrée sur l’étude de ce phénomène avecpour priorité la volatilité des actions et trop rarement celle des obligations. L’étude des corrélations des rendements d’actions et des rendements d’obligations afait l’objet de nombreuses recherches au cours de ces dix dernières années. La littératurerelate une forte augmentation de la corrélation conditionnelle pour les marchés mondiauxd’actions. Engle, Sheppard et Capiello (2003) confirment bien la présence d’asymétrie dansles corrélations de rendements d’actions. Cela signifie, en d’autres mots, que les corrélationsentre actions augmentent plus fortement suite à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché.Ils constatent par ailleurs que l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999a un impact considérable sur les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers.Kim, Moshirian et Wu (2004) remarquent que le processus d’intégration financière européena eu pour conséquence d’augmenter les corrélations au sein des marchés d’actions etd’obligations. 12
  13. 13. D’autres études se sont focalisées essentiellement sur les liens existant entre lesrendements d’actions et d’obligations d’Etats. D’après Fleming, Kirby et Oestdiek (1997), unchoc affectant un seul marché provoque un changement du comportement de l’investisseur.En effet, lorsque le marché boursier voit sa volatilité augmenter suite par exemple à une crisefinancière, les investisseurs ont tendance à se réfugier sur les marchés obligataires plusstables. La conséquence directe de ce phénomène est la diminution de la corrélation entre lesrendements d’actions et d’obligations. Ce phénomène, plus connu sous le nom de Flight toquality, a fait l’objet de nombreuses études aux cours de ces dernières années. Baur et Lucey(2006) sont les premiers à regrouper les définitions des différents phénomènes ayant unimpact sur la corrélation des rendements entre ces deux marchés. Ils remarquent que lacorrélation entre les actions et les obligations européennes est très volatile ce qui traduit unefréquence élevée de ces phénomènes. L’introduction en 1982 du modèle ARCH par Engle permet d’analyser la dynamiquedes volatilités des actifs financiers et a ainsi donné naissance à l’économétrie financièremoderne. Ce modèle résout le problème d’hétéroscédasticité des rendements d’actifsfinanciers. En effet, de nombreuses études empiriques montrent que la variance des sériestemporelles de rendements d’actifs financiers varie à travers le temps, ce qui signifie que lesdonnés sont hétéroscédastiques. L’introduction de ce modèle fut vraiment le point départ del’analyse de la variance conditionnelle de séries chronologiques des rendements d’actions. Le modèle économétrique utilisé pour réaliser ce mémoire est une version multivariéedes modèles ARCH : Le « Dynamic Conditional Correlation » (DCC) introduit par Engle(2000). Ce modèle est estimé en deux étapes. Dans un premier temps, les paramètres desséries univariés de rendements vont être estimés avec un processus GARCH. Ensuite, cemodèle utilise les résidus standards de séries univariés afin d’estimer les corrélationsconditionnelles. Ce modèle est souvent préféré car il possède la flexibilité des processusGARCH univariés et la parcimonie des modèles paramétriques d’estimation des corrélationsdynamiques. 13
  14. 14. Ce mémoire a pour objectif d’analyser la dynamique des volatilités et des corrélationsdes rendements d’actions et d’obligations d’Etats européennes à 5 ans sur une période de 10ans. Il consiste en une étude empirique qui va tenter de répondre à trois questions. En premierlieu, il s’agit d’analyser la présence d’asymétrie dans la volatilité conditionnelle des actions etdes obligations d’Etats européennes. Ensuite, nous étudions la dynamique des corrélationsd’un même actif financier entre les différents pays afin d’analyser l’impact du passage à unepolitique monétaire commune sur le marché des capitaux européens. Enfin, nous étudions demanière plus approfondie les corrélations entres les rendements d’actions et d’obligations ennous focalisant essentiellement sur les valeurs extrêmes de variations de ces corrélations aucours du temps. Nous allons dater précisément ces variations extrêmes afin de détecter laprésence de phénomène de flight to quality sur les marchés des capitaux européens au coursde la période étudiée. Contrairement aux recherches précédentes, nous réalisons une étudepréalable de la volatilité sur ces différents marchés afin de comprendre les variations extrêmesdes corrélations entre les rendements d’actions et d’obligations. 14
  15. 15. II. Littérature sur la dynamique des corrélations Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par lesinvestisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. La première consiste à investirdans différents actifs financiers afin d’avoir une corrélation faible, voire négative tandis que laseconde consiste à investir dans des actifs similaires à travers le monde. Bien que ces deuxstratégies aient de solides justifications théoriques et une forte évidence empirique, lesinvestisseurs doivent être conscients que les volatilités et les corrélations des actifs financiersvarient avec le temps. Ces dynamiques ont dès lors un impact considérable pour lesinvestisseurs averses au risque et affectent donc fortement l’investissement sur le marché descapitaux. La partie qui suit a pour but de résumer la récente et très abondante littératureconcernant la dynamique des volatilités et des corrélations des rendements d’actifs financiers.Mais avant de présenter la littérature sur les corrélations, il est utile de rappeler quelques faitsimportants concernant la dynamique des volatilités des rendements d’actifs financiers. Eneffet, les corrélations calculées au cours de ce mémoire se basent sur les volatilités de cesactifs. Il est dès lors important de comprendre l’impact qu’ont les chocs sur la volatilité desactifs financiers.2.1. La dynamique de la volatilité des actions Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités est le« Volatility Clustering 1» découvert par Mandelbrot (1963). Il fait apparaitre très clairementque des fortes variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandesvariations de même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à êtresuivies par d’autres faibles variations. Ce phénomène démontre qu’en période de récession, lavolatilité a tendance à varier énormément tandis qu’en période plus calme, les volatilitéssubissent de plus faibles variations. Un autre phénomène intéressant a été découvert suite aux travaux empiriques de Black(1976) et de Christie (1982). Il semblerait qu’il existe une relation asymétrique entre le1 Phénomène de regroupements des extrèmes 15
  16. 16. rendement et la volatilité. Ils constatent que la volatilité est plus grande en période derécession, ce qui traduirait une augmentation plus grande de la volatilité des actions après unchoc négatif qu’après un choc positif de la même amplitude. L’étude réalisée parSchwert(1989) sur le crash boursier de 1987 a largement confirmé ce phénomène. Schwert (1989) analyse la dynamique de la volatilité des actifs financiers sur unepériode de 130 ans. Il tente d’expliquer les différents facteurs qui influencent cettedynamique. Une des premières explications qu’il donne trouve sa source dans l’incertitudeéconomique. En effet, au niveau macroéconomique, la valeur de marché d’une entreprisedépend clairement de la santé de l’économie. Pour un taux d’actualisation constant, lavariance conditionnelle du prix des actions est proportionnelle à la variance conditionnelle desdividendes futurs espérés. Ces dividendes espérés se basent sur des prévisions futures quidépendent essentiellement des nouvelles informations et du niveau d’incertitude qui règnentsur les marchés financiers. Par exemple, si le niveau d’incertitude est grand, les prévisions desdividendes futurs espérés seront plus faibles et par conséquent le prix des actions diminuera,ce qui implique finalement une hausse de la volatilité des rendements d’actions. D’autre part, Schwert (1989) démontre en partie l’influence du levier financier2 surle phénomène d’asymétrie. Si le levier financier augmente, la proportion de la dette parrapport aux fonds propres augmente, ce qui rend la détention d’actions plus risquée pour lesactionnaires et provoque une augmentation de la volatilité de ces actions. Ceci explique enpartie le phénomène d’asymétrie qui suppose qu’un choc négatif a un impact plus importantsur la variance conditionnelle qu’un choc positif de même ampleur. Ce phénomèned’asymétrie sera d’ailleurs de plus en plus étudié grâce à l’apparition de modèles dérivés duGARCH. L’introduction des « News Impact Curves » par Engle et Kroner (1993) fut un autregrand pas réalisé pour l’étude de cet effet asymétrique des chocs sur la volatilitéconditionnelle car ces courbes permettent de visualiser l’ampleur d’un choc sur la variance. D’autres articles tentent d’expliquer ce phénomène d’asymétrie en déterminant larelation qu’il y a entre la volatilité et la prime de risque d’une action. D’après Braun, Nelsonet Seunier (1995), une augmentation de la volatilité du marché augmente la prime de risquedu marché. A taux d’actualisation constant, une hausse de la volatilité provoque une baissedes cours sur le marché d’actions ce qui renforce la hausse de la volatilité. Ils analysent la2 Le ratio de dette sur fonds propres 16
  17. 17. présence d’asymétrie pour le beta conditionnelle en utilisant un modèle GARCH multivarié etconstatent qu’il n’y a pas d’effet d’asymétrie des chocs sur le Beta. Kroner et Ng (1998) analysent la présence d’asymétrie des chocs pour les covariancesconditionnelles des actifs financiers. Pour ce faire, ils introduisent une généralisationmultivariée des courbes d’Engle et Kroner (1993) : « Les news Impact Surface ». Ces surfacespermettent d’analyser l’impact des chocs sur la covariance conditionnelle. Ils vont d’ailleursanalyser la dynamique des volatilités des portefeuilles composés d’entreprises de grandes etpetites capitalisations boursières. Ils constatent que l’asymétrie est plus grande pour desindices de marché que pour une action prise individuellement. Wu et Bekaert (2000) introduisent une nouvelle explication au phénomèned’asymétrie. D’après eux, ce phénomène peut aussi être expliqué par l’existence d’une primede risque qui varie avec le temps. La causalité est cependant différente de celle de l’effetlevier. En effet l’effet levier explique en partie qu’une variation des rendements provoque unchangement dans les volatilités conditionnelles tandis que la théorie de la dynamique de laprime de risque suppose que les changements de volatilité provoquent des variations derendements. Ce phénomène appelé « volatility feedback » suppose que la volatilité estpersistante3 et démontre qu’il existe une relation intertemporelle positive entre le rendementattendu et la variance conditionnelle. Cet effet de « Volatility Feedback » n’avait jamais été étudié auparavant au niveau del’entreprise individuelle. Or d’après la théorie du CAPM, la prime de risque d’une action estégale à la prime de risque du marché multiplié par un coefficient Beta. Ce coefficient, quireprésente le risque non diversifiable de l’actif, est égal à la covariance entre l’actif et lemarché divisé par la variance de ce marché. Cela signifie qui si la covariance entre un actif etson marché augmente, le Beta augmente et donc le rendement attendu augmente ce quiprovoque finalement une hausse de la volatilité Le phénomène d’asymétrie au niveau de l’entreprise individuelle est assez complexe àanalyser. Par exemple, une mauvaise nouvelle a deux impacts sur les volatilités.Premièrement, celle-ci va augmenter la volatilité générale du marché et cette augmentation va3 Un choc sur la volatilité aujourd’hui aura un impact sur les prévisions de volatilité loin dans le futur 17
  18. 18. être compensée par l’attente des investisseurs de rendements plus élevés ce qui provoque unediminution des valeurs de marché des entreprises. Cette diminution des prix continuerajusquà ce que le rendement attendu soit suffisamment haut. Le phénomène de volatlityfeedback provoque donc une augmentation de la volatilité. Deuxièmement, la diminution desprix des actions provoque une augmentation du levier financier au niveau du marché ce qui apour conséquence d’augmenter à nouveau la volatilité des rendements d’actifs. L’effet levierrenforce donc encore l’effet de feedback de la volatilité. Dans le cas d’une bonne nouvelle,l’impact sur la volatilité n’est pas encore très clair. Ces deux effets tendent à se contrebalanceret donc l’effet est plus ou moins mixte. La figure suivante tente d’expliquer ce phénomène demanière simple. Figure 1: Impact dune mauvaise nouvelle sur la variance conditionnelle Effet Levier Cours Levier Financier Volatilité Rendements conditionnelle Mauvaises nouvelles Volatility Feedback Prime de risque Rendement Cours Volatilité du marché espéré conditionnelle Source : ce tableau s’inspire d’un tableau de l’article de Bekeart et Wu (2000) Wu (2001) démontre que les 2 effets sont des déterminants importants de l’asymétriedes volatilités conditionnelles. Ils peuvent agir en même temps et amplifier l’impact du chocnégatif sur la volatilité. Néanmoins, l’effet levier aurait un impact moins considérable sur lephénomène d’asymétrie que l’effet de Volatility Feedback qui quant à lui est très significatif. 18
  19. 19. Ces différents articles confirment bien que les volatilités des rendements d’actionsvarient avec le temps et réagissent différemment aux chocs positifs et négatifs. Ce phénomèned’asymétrie, qui est une évidence empirique trouve sa source en partie dans l’effet levier etle feedback de la volatilité. La partie qui suit a pour but de résumer quelque faits de lalittérature concernant la volatilité des rendements des obligations.2.2. La dynamique des volatilités des obligations Jusqu’alors, l’analyse de la dynamique des volatilités a essentiellement concerné lemarché des actions et rarement celui des obligations. Un des premiers à s’intéresser à ladynamique de la volatilité des taux d’intérêts est Ilmanen (1995). Il analyse la prime derisque des Bons d’états de 6 pays différents. Il remarque que cette prime de risque varie avecle temps et qu’elle est fortement corrélée entre les marchés internationaux. Par après, Ball et Torous (1999) analysent la dynamique des taux d’intérêts à courtterme entre différents pays et confirment que la volatilité des taux d’intérêts possède unemémoire à long terme. Ils essayent aussi de comprendre les liens qui existent entre lesdynamiques des volatilités des marchés d’actions et d’obligations. Leur explication trouve sasource dans le fait que les chocs économiques n’ont pas le même impact sur les deuxmarchés. D’après eux, les chocs qui ont un impact considérable sur les volatilités des tauxintérêts court terme sont les annonces de la Banque Centrale et l’annonce de donnéesmacroéconomiques. Cappiello (2000) prouve bien que les actions et les obligations d’Etats répondentasymétriquement à une nouvelle mais de manière inversée. En général les banques centralesdiminuent leurs taux lorsque l’économie est en période de croissance et ce afin de diminuerl’épargne et stimuler l’investissement. Il constate que la volatilité des obligations d’Etats estplus faible lors du crash de 1987 ce qui traduirait un effet « Flight to quality ». D’après lui,les investisseurs sentent la faiblesse de l’économie et supposent que les rendements desobligations vont surperformer par rapport aux marchés boursiers. Cela pousse lesinvestisseurs à réviser la pondération entre les actions et les obligations détenues dans leursportefeuilles. 19
  20. 20. Christiansen (2000) analyse l’effet des annonces macroéconomiques sur lescovariances de différentes obligations4 d’Etats américaines. Selon elle, les variations derendements d’obligations dépendent de l’annonce d’information macroéconomique comme letaux d’intérêt réel, le taux d’inflation, la politique monétaire ou encore la politique fiscale.Elle découvre que les variances conditionnelles, les covariances conditionnelles et lescorrélations sont plus grandes les jours où cette information est diffusée. Elle remarque parailleurs que la publication des nouvelles macroéconomiques induit un mouvement semblabledes différents marchés obligataires, ce qui renforce leurs corrélations. Christiansen confirmela persistance de la volatilité des obligations et prouve qu’il n’y a pas d’effet asymétrique pourles rendements d’obligations.2.3. La dynamique des corrélations entre les actifs financiers Les corrélations entre les actions et les obligations jouent un rôle clé pour lesinvestisseurs car c’est sur celles-ci que se basent toutes les stratégies de diversification. Eneffet, d’après la théorie du portefeuille efficient, tous changements de corrélations entre lesdifférents actifs financiers impliquent un changement des pondérations de ces actifs détenusdans le portefeuille. Dès lors, on comprend pourquoi il est important pour l’investisseur deconnaitre les facteurs qui influencent la corrélation entre les rendements d’obligations etd’actions. Nous allons tout d’abord présenter la littérature concernant les corrélations au seind’un même marché et ensuite présenter les récents articles qui tentent d’expliquer le liencomplexe qui existe entre ces deux marchés. En ce qui concerne la corrélation du marché des actions, Karoly et Stulz (1996)analysent les covariances entre les rendements d’actions américaines et japonaises etdécouvrent ainsi que les covariances sont élevées quand il y a des chocs de grande ampleursur les marchés nationaux. Ils tentent d’expliquer les mouvements similaires des rendementsd’actions de ces deux pays par l’effet de contagion. L’enthousiasme des investisseursconcernant le marché des actions semble être contagieux d’une région à une autre. De plus,ils constatent que les corrélations sont très grandes lorsque les marchés sont très volatiles cequi implique que la diversification internationale n’est pas une stratégie d’investissementappropriée dans le cas d’une récession.4 Christiansen analyse les obligations d’états à 2, 3, 5, 7, 10 et 30 ans. 20
  21. 21. Ces résultats sont confirmés par Longin et Solnik (2001) qui découvrent que lescorrélations entre actions ne dépendent pas nécessairement de la dynamique des volatilitésmais sont plutôt liées aux tendances de marché. Ils constatent que les corrélations entreactions augmentent lorsque les marchés d’actions sont en baisse et inversement. L’étude du lien qu’il y a entre le marché des actions et d’obligations a fait l’objet denombreuses études aux cours de ces 15 dernières années. Afin d’expliquer la relation quiexiste entre le taux d’intérêt et les cours des actions, Shiller et Beltrati (1992) supposent que lemodèle de la valorisation des actifs implique qu’il existe une relation entre le prix d’uneaction et les taux d’intérêts d’obligations long terme. D’après les fondamentalistes, le prixd’une action et le prix d’une obligation sont égaux à la somme des valeurs actuelles despayements futurs. Les dividendes futurs des actions sont incertains et infinis dans le tempscontrairement aux payements d’obligations qui sont fixés et limités dans le temps. C’estpourquoi les facteurs qui affectent les taux d’actualisation vont faire varier le prix des actionset des obligations dans la même direction, tandis que les facteurs qui affectent uniquement lesdividendes d’actions ne vont faire varier que le prix des actions. Fleming, Kirby et Ostdiek (1997) étudient le rôle de l’information dans les liens qu’ily a entre les volatilités du marché des actions et celui des obligations. Premièrement, ilsdécouvrent que les informations macroéconomiques comme l’annonce des taux d’inflationprovoquent des chocs communs sur la volatilité de ces deux marchés. Deuxièmement, un chocqui n’affecte qu’un marché produit un changement des pondérations des différents actifsfinanciers détenus dans les portefeuilles des investisseurs. Ce changement des pondérationsimplique des chocs d’offre et de demande sur les marchés concernés, ce qui provoque desvariations de prix de ces actifs et donc de leur volatilité. Cela explique en partie pourquoi uneinformation qui affecte la volatilité d’un seul marché peut se répandre sur la volatilité desautres marchés. Ils affirment donc qu’il existe des liens entre les volatilités des différentsmarchés. Li (2002) analyse les corrélations entre les marchés d’actions et d’obligations. Il tentede déterminer la corrélation entre ces marchés en fonction de leur exposition commune auxfacteurs macroéconomiques. Selon lui, l’incertitude concernant l’inflation à long terme est undéterminant important des tendances majeures des corrélations entre les marchés des actionset des obligations. Il constate que l’incertitude concernant des facteurs macroéconomiques 21
  22. 22. comme le taux d’intérêt réel ou le taux d’inflation ont des impacts sur la volatilité desrendements d’actions et d’obligations. Le taux d’intérêt réel influence le prix des actions etdes obligations car il détermine le taux d’actualisation des payements futurs. Durant lespériodes où le risque d’inflation est élevé, les rendements d’actifs financiers tendent à êtreplus volatiles, ce qui pousse les investisseurs à diversifier le risque de leur portefeuille.Malheureusement, d’après Li (2002) ces périodes peuvent être caractérisées par une très fortecorrélation entre les marchés d’actions et d’obligations. Une des implications qui découle dece résultat est la confirmation de la loi de la diversification de Murphy « Les opportunités dediversification sont le moins disponibles lorsqu’elles sont le plus nécessaires ». Engle, Sheppard et Cappiello (2003) analysent la présence d’asymétrie dans ladynamique des corrélations des rendements d’actions et d’obligations sur la période 1987-2000. Ils découvrent la présence d’une forte augmentation de la corrélation conditionnellepour les marchés mondiaux d’actions et constatent que ces corrélations augmentent fortementen réaction à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché. Cette présence d’asymétrie dansles corrélations d’actions confirme bien la loi de Murphy. Ils constatent aussi quel’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999 a un impact considérable surles corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers. Pour finir, ils constatent avecévidence que la corrélation entre les actions et les obligations diminue fortement en périodede récession ce qui traduit d’après eux un phénomène de « flight to quality ». Kim, Moshirian et Wu (2004) analysent le processus d’intégration financière enEurope et constatent une forte augmentation des corrélations des rendements au sein dechaque marché respectif. Cette forte hausse des liens au sein des marchés est essentiellementdue au processus d’intégration financière européen en marche depuis plus de 20 ans. Ilsconstatent que ces corrélations augmentent fortement en 1996-1997 avant l’harmonisation despolitiques monétaires européennes datant du 1er janvier 1999. D’après eux, cette forte hausses’explique par la prise en compte de ce facteur dans les anticipations des investisseurs. Christiansen et Ranaldo (2005) constatent que les corrélations des rendementsd’actions et d’obligations varient en fonction du temps et de l’environnement économique. Ilsanalysent l’impact des nouvelles macroéconomiques sur ces corrélations et constatent que lacorrélations entres obligations et actions n’est pas nécessairement influencée par ce type denouvelles. Néanmoins les nouvelles macroéconomiques semblent avoir un impact sur les 22
  23. 23. volatilités de ces actifs financiers. Cependant, l’impact de ces nouvelles est plus prononcépour les volatilités d’obligations que pour les volatilités d’actions. Selon eux, ce sont lestendances générales du marché qui influencent grandement la corrélation entre le marché desactions et des obligations. Connolly, Stivers et Sung (2005) découvrent qu’il existe une relation négative entrel’incertitude et la corrélation les rendements d’actions et d’obligations. D’après eux,l’incertitude qui règne sur le marché pousse les investisseurs à réviser plus fréquemment lapondération entre obligations et actions détenues en portefeuilles. Lee, Marsh et Pfleiderer (2006) étudient la corrélation entre les bons du trésor et lesactions américaines. Ils considèrent que de brusques variations de corrélations entre deuxactifs financiers reflètent des changements de comportement de la part des investisseurs. Ilsassocient les phénomènes de flight to quality et de flight from quality à ces changements decomportements. Ils constatent aussi une sorte de mémoire à long terme de la corrélation entrerendements d’actions et bons du trésor. Cette mémoire provient en partie du régime appliquépar la politique monétaire du pays concerné. Baur et Lucey (2006) analysent la présence de phénomènes de Flight to Quality et deFligth from Quality. Ils sont les premiers à regrouper clairement les définitions des différentsphénomènes affectant les corrélations entre rendements d’actions et d’obligations. D’après lalittérature, ils définissent la contagion comme une augmentation des corrélations entre lesrendements de ces deux actifs cumulés à une baisse simultanée sur les marchés boursiers. LeFlight to quality est défini comme une baisse des corrélations d’actions et d’obligationscumulées à une baisse simultanée sur les marchés boursiers. Pour le Flight from quality, c’estune hausse des marchés boursiers cumulée à une diminution des corrélations entre ces deuxactifs. Le tableau suivant résume ces différentes définitions. Tableau 1: Résumé des definitions: flight to quality, fligth from quality and contagion Corrélations entre actions et obligations Diminution Augmentation Marché boursier en Baisse Actions obligation Fligth to qualtiy Contagion négative Marché boursier en Hausse Obligation actions Fligth from qualtiy Contagion positive Marché obligataire en Hausse Obligation actions Fligth from qualtiy Contagion négative Marché obligataire en Hausse Obligation actions Fligth to qualtiy Contagion positive Source : Baur D. et Lucey M. (2006) 23
  24. 24. Baur et Lucey (2006) analysent la corrélation des rendements d’actions etd’obligations européennes sur la période 1995-2005. Premièrement, ils constatent que cettecorrélation est très volatile ce qui traduirait une fréquence relativement élevée desphénomènes définis plus haut. Deuxièmement, ils constatent que la volatilité du marché desactions et des obligations explique en partie la variation de cette corrélation. D’après eux, lavolatilité sur le marché des obligations contribue potentiellement au phénomène de contagionet la volatilité sur le marché des actions contribue au phénomène de flight to quality lorsque lemarché boursier est en hausse. Ils pensent que la relation positive s’explique par l’expositioncommune de ces deux marchés aux facteurs macroéconomiques tandis que la relationnégative s’explique par le changement des pondérations d’actifs détenus dans lesportefeuilles. Baur (2007) analyse les liens qu’il y a entre les marchés financiers à travers le mondede 1994 à 2006. D’après lui, la corrélation entre les actions et les obligations s’explique parles liens existants entre les différents marchés financiers. Il constate que la corrélation entreles actions et les obligations européennes est relativement faible et négative sur sa période. Lesigne négatif s’explique par la forte augmentation des corrélations des rendements d’actionseuropéennes en Europe. D’après Baur (2007), la hausse des corrélations poussent lesinvestisseurs à réajuster fréquemment leurs allocations en actifs financiers détenus dans leursportefeuilles. 24
  25. 25. III. Littérature et méthodologie du modèle économétrique. « La base de l’économétrie appliquée est le modèle des moindres carrés. La versionbasique de ce modèle suppose que l’espérance mathématique des termes d’erreurs, en valeurabsolue, est égale pour chaque point donné. L’espérance mathématique de n’importe quelcarré du terme d’erreurs est donc égale à la variance de tous les termes d’erreurs ensemble.Cette hypothèse est appelée homoscédasticité. Inversement, les données pour lesquelles les espérances mathématiques des termesd’erreurs ne sont pas égales souffrent quant à elles d’hétéroscédasticité, ce qui peut poserproblème lorsqu’on utilise la méthode des moindres carrés. Car comme les intervalles deconfiance des estimations des coefficients de régression seront assez restreints, cela vaengendrer une fausse idée de précision. Parfois le sujet clé de l’analyse est la variance des termes d’erreurs elle-même. Cettequestion revient d’ailleurs souvent dans des applications financières lorsque la variabledépendante est le rendement d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs et que la variance desrendements représente le niveau de risque de ces actifs. Généralement, les donnéeshistoriques des rendements d’actifs sont hétéroscédastiques. Il est évident que lorsque l’onanalyse des données historiques de rendements d’actifs financiers, certaines périodes sontplus risquées que d’autres et donc l’espérance mathématique d’un terme d’erreur à uncertain moment peut être plus grande qu’à d’autre périodes ». Engle5 (2001)3.1. Les séries temporelles Une série temporelle est une série d’observations d’une variable y aux instantst = 1,2 ,… ..,T. y1 , y 2 ,.... yt (1.1)Les séries de cours d’actions ou d’obligations sont des séries temporelles.5 Engle, Robert, (2001) “GARCH 101: An Introduction to the Use of ARCH/GARCH models in Applied Econometrics,” Forthcoming Journal of Economic Perspectives 25
  26. 26. Dans le cadre de ce mémoire, des distributions de rendements d’actions etd’obligations vont être analysées. Le rendement est calculé sur base des séries temporelles deprix de ces différents actifs financiers : (1.2) rt = log( pt ) − log( pt −1 ) Une variable aléatoire est une variable qui prend des valeurs suivant une certainefonction de distribution. La série temporelle des rendements est une variable aléatoire qui sedécrit généralement avec deux paramètres importants. Le premier est la moyenne de la sériequi se définit6 comme suit : T −1 µ = E[r ] = T ∑r t (1.3) t =1Le deuxième paramètre très important en finance est l’écart type qui se définit comme suit : T (1.4) σt = T −1 ∑ (rt − µ t ) 2 t =1 L’écart type mesure la dispersion de la série de données autour de sa moyenne. Aussiappelé volatilité, ce paramètre est souvent préféré à la variance car il utilise les mêmes unitésque les données originales. Pour les données d’actifs financiers, ce terme représente le risqued’un actif. Ce risque est en quelque sorte une mesure de l’ampleur des variations de prix. Lesactions sont des actifs qui connaissent des grandes variations de prix tandis que les prix desobligations sont plus stables dans le temps.3.1.1. Processus Stochastique Un processus stochastique7 est une suite de variables aléatoires définie sur un même espace W, appelé espace fondamental. Un processus stochastique se formule comme suit : {Yt t ∈ Z } (1.5)La suite de rendements d’actifs financiers est un processus stochastique {rt t ∈ Z } (1.6)6 La notation avec une barre est pour différencier la moyenne marginale de la moyenne conditionnelle7 Racicot, E., et Théoret, R (2001). : Traite d’Econométrie financière, Presses de l’Université du Québec 26
  27. 27. 3.1.2. La stationnarité de second ordre8 La stationnarité est une mesure probabiliste de la régularité. Cette régularité peut être exploitée afin d’estimer des paramètres inconnus et caractériser les relations de dépendance entre les observations à différents points du temps. La stationnarité existe sous deux formes : la stationnarité au sens strict et la stationnarité au second ordre (ou stationnarité faible). Dans ce mémoire, non ne considérerons que la stationnarité faible. Un processus stochastique est faiblement stationnaire si et seulement si : E[ yt ] = `µ ∈ R pour t = 1,2... 2 (1.7) V[ yt ] = `σ ∈R pour t = 1,2... E [( yt − µ ) ( yt −s − µ )] = γ s ∈ R pour t = 1,2... pour s = 1,2, ..., t − 1. Un processus stochastique est donc stationnaire si ses moyennes, ses variances et ses covariances marginales ne dépendent pas du temps. (Mais bien de l’écart temporel dans le cas de la covariance). Les processus associés aux prix pt des actifs financiers sont d’habitude non stationnaires. En effet, les séries temporelles des cours présentent généralement une certaine tendance. Cependant, les séries temporelles de rendements vérifient le plus souvent la propriété de stationnarité au second ordre. Figure 2: Série temporelle des rendements du CAC 40 Rendement du CAC 40 (Paris) 0.05 0.04 0.03 0.02 Rd no n mtl ge e e 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 1998 2000 2002 2004 2006 années 8 Appelé aussi stationnarité faible 27
  28. 28. 3.1.3. Le coefficient d’asymétrie : SkwenessCe coefficient mesure le degré d’asymétrie de la distribution. Il se définit comme suit : T ∑ (r − µ ) t t 3 (1.8) S = t =1 3 σ • Si le Skewness est positif, la distribution est concentrée vers la droite. • Si le Skewness est négatif, la distribution est concentrée vers la gauche.Les séries temporelles de rendements d’actifs financiers ont souvent un skewness négatif cequi signifie que les rendements inférieurs à la moyenne sont plus fréquents.3.1.3. Le coefficient d’aplatissement : KurtosisLe coefficient d’aplatissement mesure le degré d’aplatissement d’une distribution. Il estassocié à l’épaisseur des queues de la distribution.Il se définit comme suit : T ∑ (r − µ ) t t 4 (1.9) K= t =1 4 σ • Si le Kurtosis est égal à trois, on dit que la distribution est mésocurtique comme c’est le cas pour la distribution normale. • Si le Kurtosis est plus grand que trois, on dit que la distribution est leptocurtique. Cette distribution possède alors une queue plus épaisse qu’une distribution normale. • Si le Kurtosis est plus faible que trois, on dit que la distribution est platicurtique. Une telle distribution possède une queue plus mince qu’une distribution normale. Les séries de rendements présentent généralement un coefficient d’aplatissement plusgrand que trois. Cette leptokurticité est une propriété typique des séries de rendements d’actifsfinanciers. Par exemple, l’indice de la bourse de Paris possède un Kurtosis égal à 4.0666 etun skewness égal à -0.1438. Cela signifie que la distribution de la série de rendements duCAC 40 a une queue plus épaisse qu’une loi normale et connait une légère asymétrie vers lagauche. 28
  29. 29. La figure suivante nous donne une idée générale de la non normalité de la distributionde rendements d’actifs financiers. On constate donc bien que les résidus de la distribution derendements ne suivent pas une distribution normale. En effet, leur distribution est plusallongée et présente une légère asymétrie. Cette hypothèse de non normalité des résidusstandards justifie en partie l’utilisation des modèles de régressions hétéroscédastiques. Figure 3: Distribution des résidus de la série de rendements du CAC 40 35 30 ψψψ 25 20 15 10 5 0 -5 -0.1 -0.05 0 0.05 0.13.1.2. La fonction de corrélationLa corrélation entre deux actifs financiers A et B mesure la relation qu’il y a entre l’évolutionde deux actifs financiers et se définit comme suit ∑ (r )( ) T t A − µ A ) rt B − µ B ) (1.10) Corr ( A, B ) = t =1 σ Aσ B3.1.3. Les autocorrélationsLes autocorrélations d’un processus stationnaire au sens faible se définissent comme suit : γ s E [( yt − µ ) ( yt − s − µ )] (1.11) ρs = = γ0 σ 2Pour les séries de rendements d’actifs financiers, les autocorrélations sont souvent très faibles. 29
  30. 30. Figure 4: Autocorrélogrammes de la série de rendements du CAC 40 Sample Autocorrelations and Robust Standard Errors of The return of CAC40 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Lag Nous constatons sur la figure 4 l’absence d’autocorrélations pour la série derendements du CAC 40. La faiblesse des autocorrélations des rendements renvoie àl’hypothèse des marchés efficients. En effet, d’après cette hypothèse9, les cours boursiers surdes marchés concurrentiels suivent une marche au hasard. Un marché est efficient si etseulement si l’ensemble des informations historiques disponibles sont immédiatementincorporées dans le cours de l’action. L’efficience informationnelle implique donc que lesvariations de prix d’une période sont indépendantes des variations de prix d’une autre période.Ce qui signifie en d’autres mots que les autocorrélations de série de rendements d’actions sontfaibles et que les rendements d’actions sont imprévisibles.La série des puissances carrées des rendements d’actions présentent des autocorrélations : Figure 5: Autocorrélogrammes des puissances carrées de la série de rendements du CAC 40 Sample Autocorrelations and Robust Standard Errors du rendement carré du Cac 40 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 LagUn des premiers tests à faire lorsqu’on veut construire des modèles de volatilitésconditionnelles de type GARCH est l’analyse des autocorrélations des séries de puissancescarrées des rendements d’actifs. En effet celle-ci représente un estimateur naturel de lavariance conditionnelle. La présence d’autocorrélations dans la série de puissances carrées des9 R. Brealey & S.Myers Principes de Gestion Financière , Pearson education, 7ième édition. 30
  31. 31. rendements justifie l’utilisation des modèles GARCH. Cette figure nous confirme bien laprésence d’autocorrélations pour les rendements carrés des actions. La présence d’autocorrélations dans les séries de puissances carrées est un indicateur du phénomène deregroupement en extrême de la volatilité.3.1.3. L’hétéroscédasticité Le terme hétéroscédasticité10 a deux racines. La première, « scédastique », estassociée à « fonction scédastique » qui signifie variance conditionnelle. La seconde,« hétéro », fait référence à « plusieurs ». Hétéroscédasticité signifie donc plusieurs variances. De nombreuses études empiriques montrent que la variance des séries temporelles derendements d’actifs financiers varie à travers le temps. On peut donc dire que la variance desactifs financiers est hétéroscédastique dans le temps. Cette hétéroscédasticité de la variancejustifie l’utilisation des modèles GARCH et nombreux dérivés. Afin d’étudier l’hétéroscédasticité des données, il convient d’analyser la présenced’autocorrélations dans la série des puissances carrées des résidus. Dans ces modèles, lerésidu est simplement le rendement non anticipé et se définit comme suit : εt = rt − µ (1.9) Ce terme est aussi une bonnne approximation naturelle de la variance conditionnelle.Pour analyser la présence d’autocorrélations, on utilise le LM test introduit par Engle (1982).Ce test est asymptotiquement distribué en chi-carrés et permet de tester la présenced’autocorrélations dans la série de résidus des rendements d’actifs financiers pour un nombreQ déterminé de Lag.Figure 6: Autocorrélations des puissances carrées de termes d’erreurs de la série des rendements du CAC P-vals from ARCH LM tests 0.7 0.6 0.5 P-value 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 Number of lags included10 Racicot, E., et Théoret, R (2001). : Traite d’Econométrie financière, Presses de l’Université du Quebec 31
  32. 32. Pour des écarts temporels inférieurs à 4, nous constatons que la p-valeur est inférieureà 0,1 ce qui confirme la présence d’autocorrélations dans la série des puissances carrées desrésidus de la série de rendement du CAC 40. Il semblerait donc qu’il existe une relation entrele terme d’erreur au carré d’aujourd’hui et les termes d’erreurs aux carrés des cinq dernièrespériodes. Ceci nous confirme bien la présence d’hétéroscédasticité, ce qui justifie l’utilisationdes modèles ARCH pour les séries de rendements d’actifs financiers.3.2. Les Modèles Univariés3.2.1. Le modèle ARCH (1982) Le problème d’hétéroscédasticité des données financières fut résolu sous l’impulsiond’Engle en 1982 avec la publication de son article «Autoregressive ConditionalHeteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation ». Cet articleprésente un outil statistique jamais encore utilisé auparavant : un modèle autorégressifconditionnel hetéroscédastique (ARCH) qui est une nouvelle gamme de processusstochastique. Ces processus ont en général une variance conditionnelle qui varie avec le tempsen fonction des erreurs du passé et une variance marginale constante. La varianceconditionnelle est la variance obtenue en t sur base de l’ensemble des informationsdisponibles en t-1. Ce modèle de régression ARCH a une grande variété de caractéristiques, ce qui fait delui un modèle assez attractif pour diverses applications économétriques. Comme en finance oùles pondérations d’actifs financiers d’un portefeuille sont des fonctions de l’espérancemathématique et de la variance des taux de rendements de ces actifs. (Comme le suppose lathéorie du portefeuille efficient basé sur le modèle Markowitz). Si le rendement est supposéêtre une régression standard ou un modèle de série chronologique classique comme leprocessus ARMA, la variance de ces rendements est immédiatement contrainte d’êtreconstante à travers le temps, ce qui n’est pas le cas avec des actifs financiers tels que desactions ou obligations. 32
  33. 33. Pour rappel, la série de rendements d’actifs financiers est un processus stochastique : {rt t ∈ Z } (2.1) Une définition rigoureuse du processus ARCH est donnée par le professeur KevinSheppard dans son cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford. Ce processus sebase sur la série de rendements des actifs financiers. Le processus ARCH se définit commesuit :Définition11 2.1 : un processus ARCH (p)Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p) (2.2) • est la moyenne conditionnelle • est la variance conditionnelle calculée avec l’information disponible en t-1 • est le résidu standard • est le choc (appelé aussi nouvelle, innovation ou rendement non anticipé) (1.1) Selon cette définition, la variance des erreurs varie avec le temps et dépend du carrédes p dernières erreurs. L’impact du choc i sur la volatilité actuelle est déterminé par leparamètre α i. En général, au plus le choc est situé loin dans le passé, au moins il aura d’effetsur la variance conditionnelle actuelle. Tous les chocs12 appartenant à une période plus vieilleque la pième période n’ont aucun impact sur la volatilité conditionnelle actuelle. La définitiondu choc ε t2 ≡ et2σ τ2 est utilisée afin de différencier l’innovation indépendante etidentiquement distribuée de la variance conditionnelle. On constate qu’un processusautorégressif a été utilisé afin de modéliser la moyenne conditionnelle. Cependant, pourbeaucoup de séries chronologiques de données financières, on suppose la moyenneconditionnelle constante et même parfois égale à 0.11 Shepard K. (2006), « cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford » http://wiki.kevinsheppard.com/mfe/.12 Ce choc représente le rendement non anticipé d’une période à une autre 33
  34. 34. La variance marginale du modèle ARCH se définit comme suit : (2.3)Une des conditions pour que la variance non conditionnelle soit finie est que1 − α1 − α 2 − .... − α p > 0.Un processus ARCH est faiblement stationnaire si et seulement si i) le modèle de la moyenne conditionnelle est stationnaire. ii) 1 − α1 − α 2 − ... − α p > 0. iii) αj ≥0 ∀j ∈ Z iv) ω > 0 L’intuition qu’il y a derrière la condition iii est le fait que si un paramètre alpha estnégatif, un choc suffisamment large peut provoquer une variance conditionnelle négative. Lacondition iv est nécessaire pour assurer la stationnarité faible.Pour être complet, il faut également considérer cette définition alternative :Définition alternative 2.2 : un processus ARCH (p)Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p) (2.4) • où est calculé avec l’ensemble des informations disponibles en t-1 et est conditionnellement normal de moyenne et de variance . • est l’ensemble informationnel disponible et contient tous les événements mesurables en t-1. Un événement mesurable contient tous les événements qui ont une probabilité assignée aux temps t-1. 34
  35. 35. L’introduction de ce modèle fut vraiment le point départ de l’analyse de la varianceconditionnelle de séries chronologiques diverses comme l’inflation ou les rendements d’actifsfinanciers. Ce modèle a ainsi donné naissance à l’économétrie financière moderne. D’ailleurs,l’étude de la dynamique des volatilités conditionnelles a été l’une des plus grandescontributions de l’économétrie financière actuelle au point de récompenser Monsieur RobertEngle du prix Nobel d’économie en 2003.3.2.2. Le modèle GARCH (1986) Le problème du processus ARCH réside dans la nécessité d’avoir de nombreux écartstemporels13 des erreurs aux carrés pour représenter adéquatement la variance conditionnelle,ce qui le rend que très peu parcimonieux. La réponse à ce problème fut apportée parBollerslev (1986) avec l’introduction du processus GARCH (p,q). Il propose unegénéralisation des processus ARCH en présentant une extension assez semblable à celleutilisée pour la transformation d’un processus autorégressif classique en un processusautorégressif à moyenne mobile. Ce processus peut être défini comme suit :Définition 2.3 : un processus GARCH (P,Q)Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p) (2.5) C’est un processus ARCH d’ordre P qui inclut Q intervalles temporels sur lesvariances conditionnelles. La variance conditionnelle actuelle est une fonction du carré deschocs passés et des variances conditionnelles passées.13 En général, Le modèle ARCH nécessite 5 à 8 lag pour estimer au mieux la variance conditionnelle. 35
  36. 36. La variance non conditionnelle du modèle GARCH se définit comme suit : (2.6)Un processus GARCH est faiblement stationnaire si et seulement si : α − ∑q=1 β q > 0 p q i) 1 − ∑ p =1 p ii) αj ≥0 ∀j ∈ Z iii) βj ≥0 ∀j ∈ Z iv) ω>0 La version la plus utilisée de ce processus est le modèle GARCH(1,1) qui est en faitun modèle ARCH(∞) déguisé. L’effet des chocs sur la volatilité conditionnelle décline demanière géométrique avec le temps.3.2.3. Le modèle EGARCH (1991) Une des faiblesses des modèles ARCH et GARCH est qu’ils supposent que seull’ampleur et non le signe du choc détermine la variance conditionnelle. De nombreuses étudesempiriques montrent que les rendements d’actifs sont négativement corrélés avec lesvariations de volatilité de ces rendements. Cela signifie que la volatilité augmente plus enréponse à un choc négatif sur les rendements qu’en réponse à un choc positif de mêmeampleur. L’effet asymétrique qu’ont les rendements sur la volatilité est dû en partie à l’effetlevier et à l’effet de feedback des volatilités. Le modèle EGARCH introduit par Nelson (1991) suppose que la varianceconditionnelle réponde avec asymétrie à un résidu positif ou négatif. Ce modèle comprend unparamètre en plus qui a l’avantage de prendre en compte l’impact du signe positif ou négatifd’un choc sur la variance conditionnelle. 36
  37. 37. L’introduction d’un paramètre supplémentaire permet d’analyser l’effet asymétriquesur la volatilité conditionnelle ce qui en fait un modèle plus efficace pour l’analyse des sérieschronologiques de rendements d’actifs financiers.Le processus EGARCH est défini comme suitDéfinition 2.3 : Un processus EGARCH (P,O,Q)Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre( p,o,q) (2.7) En général, pour des actifs financiers, le coefficient γ0 est négatif, ce qui implique quela volatilité augmente plus après un choc négatif sur les rendements qu’après un choc positif.Contrairement aux modèles GARCH, ce processus ne nécessite pas la non négativité desparamètres alpha et gamma pour être stationnaire.3.2.4. Le modèle GJR-GARCH (1993) et le modèle TARCH (1994) Le problème du modèle EGARCH est que le paramètre d’asymétrie assigne le mêmepoids à un choc positif et négatif de même ampleur. Pour palier a ce défaut, Glosten,Jagannathan et Runkle (1993) introduisent un nouveau modèle conditionnellementhétéroscédastique incluant un paramètre d’asymétrie. Afin de capturer au mieux cet effet asymétrique, ils introduisent une variabledichotomique. Cette variable est égale à 1 lorsque le choc est négatif et est nulle autrement.L’introduction de cette variable permet aux paramètres qui capturent l’asymétrie d’assignerun poids différent à un choc négatif et à un choc positif. Ceci permet d’affiner au mieuxl’étude de l’asymétrique car elle tient compte du signe du choc. Ce modèle est bien souventpréféré au modèle EGARCH qui amplifie très fortement les chocs de grandes valeurs à causede l’utilisation de la fonction exponentielle 37
  38. 38. Ce processus peut être défini comme suit.Définition 2.4 : Un processus GJR-GARCH (P,O,Q)GJR-Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p,o,q) (2.8) L’unique problème de ce modèle est que les chocs de grande ampleur ont un impactconsidérable sur la variance conditionnelle14. L’introduction par Zakoian (1994) du modèleZARCH a permis de résoudre ce problème.Définition 4.2 : Un processus TARCH (P,O,Q)Thresold Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p,o,q) (2.9) La seule différence par rapport au GJR-GARCH est qu’il utilise la valeur absolue duterme d’erreurs et non sa puissance carrée ce qui a pour avantage de ne pas trop amplifierl’effet d’un impact de grande ampleur. La valeur absolue de ce terme permet d’analyserl’ampleur de ce choc dans le sens où il provoque un grand changement de prix sansnécessairement amplifier cette variation de prix.14 Ceci s’explique par l’utilisation de la puissance du terme d’erreurs 38
  39. 39. 3.2.5. Les « News Impact Curves » (1992) L’analyse de l’impact d’un choc sur la variance conditionnelle peut être renduedifficile vu le nombre de modèles existants. Engle et Ng (1992) apportent une solution à ceproblème de diversité des modèles. Ils expliquent et introduisent les « news impact curves »qui permettent d’analyser l’impact d’un choc passé sur la variance conditionnelle. Cescourbes servent à étudier le phénomène d’asymétrie pour lequel en général un choc négatif aun impact plus important sur la variance conditionnelle qu’un choc positif de même ampleur. Dans les modèles précédents, le choc εt = rt -µ t correspond à un rendement nonanticipé. Un choc positif correspond donc à un rendement positif non anticipé, ce quireprésente une bonne nouvelle tandis qu’un choc négatif peut être assimilé à une mauvaisenouvelle. Grâce aux « News Impact Curves », on peut examiner la relation qui existe entre εt-1et la variance conditionnelle. Dans un processus GARCH (1,1), cette courbe est une fonctionquadratique centrée en εt-1. Le processus EGARCH prend en compte le signe de εt-1 ce quipermet d’analyser les effets asymétriques sur la variance conditionnelle. Sa courbe estasymétrique et augmente exponentiellement. De plus, ce processus permet aux chocsimportants d’avoir un plus grand impact sur la variance que les processus ARCH et GARCH.Pour le processus GJR GARCH, la courbe est centrée en εt-1 et a une pente différente enfonction du signe du choc passé et ce grâce à l’introduction de la variable dichotomique. Figure 2: News impact curves des différents modèles εt-1 Source : Shepard K. (2006), « Cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford » 39
  40. 40. 3.2.6. Méthode d’estimation et sélection du modèle La méthode du maximum de vraisemblance représente le choix le plus naturel afind’estimer les paramètres inconnus des différents processus GARCH. La définition de lafonction normale de vraisemblance est la suivante. On utilise généralement le log devraisemblance afin de travailler sur une somme et non sur un produit.Définition 2.6: La fonction normale de vraisemblance (2.10)Définition 2.7 : La fonction normale de logvraisemblance (2.11) Le but de cette méthode d’estimation est de maximiser la fonction normale devraisemblance. L’utilisation de cette méthode est souvent préférée car celle-ci permet àl’estimation des paramètres de converger vers leur vraie valeur et ce même si la distributionde densité conditionnelle est erronée. Afin de sélectionner le modèle le plus approprié pourchaque série de rendements d’actions, il convient de choisir le modèle qui maximise cettefonction de vraisemblance. D’autres critères de sélection ont été utilisés au cours de ce mémoire. Citonspremièrement le critère d’information d’Akaike. Ce critère est une mesure de la qualité d’unmodèle statistique est se définit comme suitDéfinition 6.3 : Le critère d’Akaike • k représente le nombre de paramètres (2.12) • L est la fonction de vraisemblanceUn autre critère utilisé est le critère de Schwarz qui pénalise plus fortement certains modèlespar rapport aux critères de Schwarz.Définition 6.4 : Le critère de Schwarz • k représente le nombre de paramètres − 2 ln( L) + k ln(T ) BIC = (2.13) • L est la fonction de vraisemblance T 40

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