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23/04/2012Application N°5 (Suite):          Application N°5 (Suite): :                             81                     ...
23/04/2012Chapitre IV Approche harmonique des systèmes linéaires     1.   Principe                                        ...
23/04/2012                                             1.   Définition d’un SAL                                           ...
23/04/2012                                       1.   Définition d’un SAL                                              1. ...
23/04/2012                                                       1.   Définition d’un SAL                                 ...
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  1. 1. 23/04/2012 Ouvrage de Référence Discipline: Automatique I Mekki KSOURI Professeur à lÉcole Nationale dIngénieurs de Tunis ESPRIT 2010-2011 Pierre BORNE Professeur à lÉcole Centrale de Lille Logiciel de Base Contenu du Cours Chapitre I Introduction Chapitre II Représentation Fréquentielle Des Systèmes Continus Linéaires : Transformée De Laplace Chapitre III Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires Chapitre IV Approche Harmonique Des Systèmes Linéaires Chapitre V Analyse Des Systèmes Asservis Linéaires Continushttp://www.mathworks.com 1
  2. 2. 23/04/2012 1. Systèmes continus Introduction Introduction 2. linéaires Systèmes asservis 3. ApplicationsPlan du Chapitre: SYSTÈMES CONTINUS LINÉAIRES 1. Systèmes continus linéaires Les Systèmes Continus Linéaires sont des systèmes dont lévolution peut être décrite par un 2. Systèmes asservis système déquations différentielles à coefficients constants. 3. Applications ∑ ∗ =∑ ∗ avec(m<n) 1. Systèmes continus 1. Systèmes continus linéaires linéairesIntroduction 2. Systèmes asservis Introduction 2. Systèmes asservis 3. Applications 3. Applications Ensemble d’éléments, en interaction Systèmes Systèmes continus dynamique organisés pour satisfaire un besoin et atteindre un objectif. Un système peut posséder plusieurs entrées (causes) et Un système est continu, par opposition à un système plusieurs sorties (effets). Il est représenté par un bloc discret, lorsque les variations des grandeurs physiques contenant le nom du système. sont définies à chaque instant (ils sont caractérisés par des fonctions continues). On parle aussi dans ce cas de système analogique. e1(t) e(t) Système s(t) en(t) 2
  3. 3. 23/04/2012 1. Systèmes continus 1. Systèmes continusIntroduction 2. linéaires Systèmes asservis Introduction 2. linéaires Systèmes asservis 3. Applications 3. Applications Systèmes Continus Linéaires Systèmes Continus Linéaires Proportionnalité Un système est dit linéaire si la fonction qui décrit son comportement est elle- même linéaire. Cette dernière vérifie alors les principes de proportionnalité et de superposition. 1. Systèmes continus 1. Systèmes continusIntroduction 2. linéaires Systèmes asservis Introduction 2. linéaires Systèmes asservis 3. Applications 3. Applications Invariance dans le temps: Systèmes Continus Linéaires Superposition Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, ...) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas"). 3
  4. 4. 23/04/2012 1. Systèmes continus 1. Systèmes continus linéaires linéairesIntroduction 2. Systèmes asservis Introduction 2. Systèmes asservis 3. Applications 3. Applications Régulation et asservissement Régulation : On appelle régulation, un système asservi qui doit maintenir constante la sortie conformément à la consigne (constante) indépendamment des perturbations. Ex: Régulation de température Asservissement : On appelle asservissement, un système asservi dont la sortie doit suivre le plus fidèlement possible la consigne(consigne variable). Ex: suivi de trajectoire 1. Systèmes continus 1. Systèmes continus linéairesIntroduction 2. linéaires Systèmes asservis Introduction 2. Systèmes asservis 3. Applications 3. Applications Exercice d’Application (1/ 4) Exercice d’Application (2/ 4) (Extrait de l’ouvrage de référence) Si s1(t) est solution de l’équation: ∑ On lui applique successivement, à conditions initiales nulles les ∗ =∑ ∗ avec(m<n) entrées suivantes : Que peut-on dire de s1(t-τ)? Calculer les sorties? 4
  5. 5. 23/04/2012 1. Systèmes continus 1. Systèmes continus linéaires linéairesIntroduction 2. Systèmes asservis Introduction 2. Systèmes asservis 3. Applications 3. Applications Exercice d’Application (3/ 4) Exercice d’Application (4/ 4) Filtre Passe Bas x1(t) x2(t) x3(t) Déterminer la loi de mouvement 1. Déterminer la tension capacitive pour Ve(t) est un signal sinusoïdal, une entrée de fréquence fixe. de la sortie x3(t). d’amplitude E et de fréquence F. 2. Déterminer cette tension pour une réglable entrée de fréquence variable.Conclusions à Tirer: Chapitre II Possibilité d’avoir d’autres domaines de Représentation Fréquentielle Des Systèmes représentation d’un signal: Continus Linéaires : Transformée De Laplace Temporel, Fréquentiel, etc. 1. Définition Caractériser un système 2. Propriétés de la transformée de Laplace Rapport Sortie-Entrée ≡ Fonction de Transfert 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Entrée Sortie 4. Fonction de transfert Analyser un système 5
  6. 6. 23/04/2012 TRANSFORMÉE DE LAPLACE Plan du Chapitre: CHAP II 1. Définition 2. Propriétés de la transformée de Laplace REPRÉSENTATION FRÉQUENTIELLE 3. Transformées de Laplace des signaux usuels DES SYSTÈMES CONTINUS LINÉAIRES 4. Fonction de transfert TRANSFORMÉE DE LAPLACE 21 22 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert Définition: Propriétés: Elle permet une représentation simplifiée des systèmes • Linéarité: L ( αx(t ) + βy(t)) = αX ( p) + βY ( p) linéaires dont lévolution est régie par une équation différentielle. ∞ • Dérivation: − pt V ( p) = L ( v(t)) = ∫ v(t)e dt L ( x ( k )(t)) = p k X ( p) − p k −1 x(0 + ) − p k −2 x (1) (0 + ) − L − x ( k −1) (0 + ) 0 Transformée inverse: • Intégration: + j∞  t  v(t ) = L-1 (V ( p)) = pt ∫ V ( p ) e dp L  ∫ x(λ )dλ  = X ( p)     p − j∞ 0 23 24 6
  7. 7. 23/04/2012 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert Propriétés: Transformées des signaux usuels: • Théorème de la valeur initiale: x(0 + ) = lim pX ( p) p →∞ Les signaux les plus utilisés en automatique sont • Théorème de la valeur finale: lim x(t ) = lim pX ( p) t →∞ p →0 • limpulsion de Dirac • léchelon de position, • Retard T: L ( x(t − T)) = e − pT X ( p) • léchelon de vitesse ou rampe ∞ ∞     • la sinusoïde. • Convolution: L  ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ  = L  ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ  = X ( p)Y ( p )      0   0  25 26 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert Impulsion de Dirac δ(t–t0): Echelon: d(t) = 0 si t ≠ 0 , Notons Γ(t) léchelon damplitude unité à linstant t = 0: +∞ Γ(t) = 0 pour t < 0 ∫ δ (t )dt = 1 −∞ Γ(t) = 1 pour t ≥ 0 L( δ (t)) = 1 L( Γ (t)) = Γ( p) = 1 L( δ (t − t )) = e 0 −t0 p p 27 28 7
  8. 8. 23/04/2012 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert Echelon retardé: Réponse indicielle unitaire dun processus: C’est la réponse à une entrée de type échelon unité en partant de conditions initiales nulles. −t0 p L ( Γ(t − t )) = e 0 p SYSTÈME 29 30 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert Rampe: Signal sinusoïdal: v(t) = 0 pour t < 0 v(t) = a.t pour t ≥ 0 v(t) = 0 pour t < 0 v(t) = sin(w t) pour t > 0 ω L ( v (t)) = p2 + ω 2 31 32 8
  9. 9. 23/04/2012 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert Considérons une équation différentielle de la D’où: Y(p) = F(p) U(p) forme : a0y + a1y(1) + a2y(2) + …+ an–1y(n–1) + y(n) = b0 + b1 p + ... + bm p m F ( p) = a0 + a1 p + ... + an−1 p n −1 + p n b0u + b1u(1) +…+bmu(m) L Y ( p) b0 + b1 p + ... + bm p m = U ( p ) a 0 + a1 p + ... + a n −1 p n −1 + p n y(t) = L–1(F(p) U(p)) 33 34 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert b0 + b1 p + ... + bm p m F ( p) = Si u(t) = δ(t) ; U(p) = δ (p) = 1 a0 + a1 p + ... + an−1 p n −1 + p n alors Y(p) = F(p)b0 + b1 p + ... + bm p m = 0 a0 + a1 p + ... + an −1 p n −1 + p n = 0 La fonction de transfert dun processus est donc la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle. 35 36 9
  10. 10. 23/04/2012 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert 37 38 1. Définition 1. Définition 2. Propriétés 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert Calculer la réponse indicielle à un échelon damplitude Calculer les réponses indicielles unitaires des systèmes a du système de transmittance : de transmittances (MATLAB): Y 1 = U 1+τ p en partant de la condition initiale y(0) = y0. 39 40 10
  11. 11. 23/04/2012 1. Définition 2. PropriétésTransformée de Laplace 3. Transformées de Laplace des signaux usuels 4. Fonction de transfert Discipline : Automatique I Chapitre III : On considère le système déquations suivant : Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires On demande décrire léquation différentielle reliant y à u en éliminant y1. ESPRIT 2010-2011 41 Références Bibliographiques et Netographie Introduction Automatique des systèmes continus, C. SUEUR, P. VANHEEGHE, P. [AUT97] Plan du Chapitre: BORNE, 1997, Editions TECHNIP, Paris. [WEB10] http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/equadiff.html 1. Cas général Ouvrages à consulter: 2. Systèmes du premier ordre 1. Régulation industrielle, Problèmes résolus, M. Ksouri, P. Borne, 1997, 3. Systèmes du deuxième ordre Editions TECHNIP, Paris. 2. Automatique de base, P. Siarry, 1989, Ellipses. ESPRIT 43 44 11
  12. 12. 23/04/2012Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires Linéaires 4 3Mise en équation d’un système continu linéaire d’ordre quelconque Résultat ( =0 ∀ 6 ∈ 80. . * + 1 :) 3 <8 : = > ∑B @ A ∗ > A AC e(t) Système s(t) H p =<8 = : ? > = ∑F D E∗ > E EC But à atteindre ∑ ∗ =∑ ∗ avec(m<n) Déterminer l’évolution temporelle de la sortie: s(t)Soit dans le domaine symbolique de Laplace Principe généralRappel « Le comportement temporel dun système dordre quelconque f t *u t Fp= $ !" # sétudie en décomposant sa fonction de transfert en éléments % simples et en superposant les effets de lentrée envisagée sur chacun g(t)= G p =pk*F p -∑0!1 ) *+,+1 ∗ , 0/ dentre eux. » [AUT97] 2 % ESPRIT 45 ESPRIT 46Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires LinéairesSystème du premier ordre? dyUn système continu linéaire d’entrée x et de sortie y est dit du τ. + y = K .x dtpremier ordre s’il est régi par une équation différentielle àcoefficients constants du type: En passant au domaine de Laplace : dy → p.Y ( p ) − Y (0) dy dt τ. + y = K .x dt y → Y ( p) x → X ( p) τ : Constante de temps du système (homogène à un temps) L’équation devient: K : Gain statique du système (gain en régime permanent) τ . pY ( p ) − τ .Y (0) + Y ( p ) = K . X ( p) 47 12
  13. 13. 23/04/2012 Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Linéaires Linéaires uRéponse du système en utilisant la transformée de Laplace : Réponse indicielle unitaire:En tenant compte des CI: τ . pY ( p ) − τ .Y (0) + Y ( p ) = K . X ( p) 1 Entrée: Echelon unitaire t K τ Y ( p) = X ( p) + Y (0) t≤0 0 Si t ≤0D’où : 1 + τp 1 + τp 0 u (t ) =  Si L  U ( p) =  1 1 Si tf0 Si tf0 p  K τL-1 y (t ) = L −1[ X ( p)] + L −1[ Y (0)] K K K .τ 1 + τp 1+τ.p d’où : Y ( p ) = H ( p).U ( p) = = − p(1 + τ . p ) p (1 + τ . p) Réponse du Sys. Réponse forcée Réponse libre Kτ t Résultat de l’action de sollicitation x=0 y (t ) = K .u (t ) − . e −τ .u (t ) τÉtude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 2. 3. Systèmes du premier ordre Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires LinéairesConditions initiales nulles: dy τ . + y = K .x L τ . pY ( p ) + Y ( p) = K . X ( p ) dt On appelle réponse indicielle, la réponse temporelle à un échelon pour un système linéaire initialement au Y ( p) repos. Cette réponse se compose de deux parties, laFonction de transfert: H ( p) = X ( p) première correspond au régime transitoire, la secondeD’où la fonction de transfert d’un Sys. 1er ordre s’écrit : au régime permanent. K H ( p) = 1+τ.p 1Elle admet un pôle simple: − τ 13
  14. 14. 23/04/2012 Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Linéaires LinéairesRéponse indicielle unitaire: Exercice d’application: − t Soit le système mécanique présenté comme suit:Réponse: y (t ) = K (1 − e τ )u (t ) pour t>0 Masse M 1) En appliquant le PFD, déterminer y(t) l’équation différentielle reliant la K u(t) r vitesse de déplacement de la masse M τ : constante du temps F r et la force F . Quel est l’ordre de ce système? tr: Temps de stabilisation à 5% de la valeur finale r 2) Donner l’expression de la fonction de r f transfert correspondante notée G(p). tr ≈ 3.τ F :Force appliquée t r τ tr 3) On donne: M= 500 Kg ; f=5 ; F= 10N Pour un échelon non unitaire de valeur E, le système se stabilise en K.E: f :Force de frottement r r Calculer la constante du temps τ et le f = − h.v gain statique K de ce système. Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Linéaires Linéaires Mise en situation Système de second ordre (m=0; n=2) G H = Pulsation propre/ I H J∗ H J 4 K∗ H4 Pulsation naturelle Réponse indicielle d’un système continu linéaire de second ordre J G H LM = I H HJ4JNM H 4M J Coefficient Domaine Temporel ∑J ∗ =b0*e(t) Gain statique d’amortissement J G(H) LM Domaine de Laplace I H = HJ4JNM H4M J 55 ESPRIT 56 14
  15. 15. 23/04/2012Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires Linéaires Tableau Récapitulatif Méthodologie de résolution VWBDEFX YX Z Signe de ∆ Sh Régime T(p) = p 2 / 2ξ ω 0 p / ω 0 2 ξ >1 ∆>0 Deux solutions Apériodique réelles ξ =1 ∆=0 Racine double Critique ∆′ = 2ξ 2 ω 0 2 -2ω 0 2 0<ξ [ 1 ∆ [ 0 Deux racines Pseudopériodique = 2ω 0 2 (ξ 2 -1) complexes conjuguées ξ =0 ∆<0 Deux racines Oscillatoire Soit Sh={p/ T(p)=0} imaginaires pures conjuguées 57 ESPRIT 58Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires Linéaires Régime Apériodique (ξ >1) Régime Apériodique (suite)Sh={(p1, p2)∈ ]} Décomposition de S(p) en éléments simples p1=- ^ _ 0 / _ ^ 2 +1; p 2=- ^_0 / _ ^ 2 +1 S(p) = H(p)E(p) ef%b i%(p1>p2) = gb4bhf%g4f%b g 1 1 j k1 kbOn pose p1=- et p2=- = / / a1 ab g g!g1 g!gb • Déterminons les coefficients α, β1 et β2 1 a !a p1p2=a a = _ 0 2 p1/p2= + 2 ^ _ 0 p1-p2= a a b = 2_0 ^ 2 +1 1 1 b 1 b o =p*S(p)| = qr0 p=0 ESPRIT 59 ESPRIT 60 15
  16. 16. 23/04/2012Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires Linéaires Régime Apériodique (suite) Régime Apériodique (suite) b j k1 kb tu v -1 s 1 = (p-p1)S(p) | = " ("% !"% ) S(p)= / g g!g1 / g!gb L {} p=p1 1 1 b a1babt u % b v % o=qr0 = (ab!a1) z z s(t)=[α / β 1 e ! { | / β 2 e ! { } ]u(t) tu b v w1 q r 0 s 2 = (p-p2)S(p) | = " ("% !"% ) s1 = (w2 + w1) p=p2 b b 1 a ba1t u b v = b (a !a% ) % 1 z z 1 b w2 q r 0 s(t)=KE0[1 / [ τ 1 e ! { | + τ 2 e ! { } ]]u(t) s2 = (€b!€1) (w1 + w2) ESPRIT 61 ESPRIT 62Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires Linéaires Régime Apériodique (suite) Régime Apériodique (suite) Calcul des dérivées temporelles successives Propriétés graphiques particulières z z 1 s(t)=KE0[1 / [ τ 1e !{| + τ 2 e ! { } ]]u(t) Valeur Initiale s(0) = 0 (s(0)=,ƒ„ )…())) $ (€b!€1) KE0 z z Valeur Finale s(∞) = KE0 (s(∞)=,ƒ„ )…())) s’(t)=(€ !€ ) [ e ! { } + e ! { | ]u(t) % b 1 Tangente Horizontale ∆: ˆ = ‰ Š 0 / ‰(0) z z KE0 ! ! ∆: ˆ =0 s’’(t)=€ € (€ !€ ) [ τ 2 e {| + τ 1e {} ]u(t) 1 b b 1 ESPRIT 63 ESPRIT 64 16
  17. 17. 23/04/2012Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires Linéaires Régime Apériodique (suite) Régime Apériodique (suite) Allure de la courbe traduisant les variations temporelles du signal de sortiePoint d’Inflexion M(TM, SM)/ {s’’(TM)=0 et SM=s(t=TM)} b Œ Œ ‹ ! ! b =0 w2 •| + w1 •} =0 aa a TM = a 1 b Ln(ab) !a b 1 1 •‘ •‘ 1SM = s(t=TM)=KE0[1 + [ τ 1e ! {| + τ 2 e ! { } ]] (€b!€1) ESPRIT 65 ESPRIT 66 1. Cas général 1. Cas généralExercice Récapitulatif (1/2) 2. 3. Systèmes du premier ordre Systèmes du deuxième ordre Exercice Récapitulatif (2/2) 2. 3. Systèmes du premier ordre Systèmes du deuxième ordre Présentation du système physique Enoncé de l’exercice F Ө Appliquer le principe fondamental de la dynamique relatif aux champs des moments au centre du gravité du système, c.-à-d. au point G. C F Transformer l’équation dans le domaine symbolique de Laplace. G Déterminer le coefficient d’amortissement ξ, la pulsation propre ω0 et le gain statique. J Donner l’allure de l’évolution temporelle de Ө(t) pour une excitation indicielle de courte durée. L/4 L/4 K K Caractéristiques du système Corrigé de l’exercice J: Moment d’inertie du système F: Effort d’excitation C: Frottement visqueux L: Longueur de la poutre L/2 L/2 K: Raideur du ressort ’: Angle d’excitation ESPRIT 67 ESPRIT 68 17
  18. 18. 23/04/2012 Étude Temporelle 1. Cas généralExemple d’un modèle électrique (cas d’un MCC) 2. Systèmes du premier ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Linéaires ESPRIT 69 70Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires LinéairesDe la même façon, on montre que:  − t − t   τ e τ1 − τ 2 e τ 2  ξ>1 y (t ) = k  1 − 1 τ1 −τ2          t − t  ξ=1 y(t ) = k 1 − 1 + e τ   τ      1  ξ<1 y (t ) = k 1 − e −ζ ωnt sin(ω p t + ϕ )   1−ζ 2    1−ζ 2 ϕ = arctg = arccosζ ζ 71 72 18
  19. 19. 23/04/2012Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général 2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordreDes Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordreLinéaires LinéairesPour ξ < 1, linstant t1 du premier dépassement D1, sappelle Différents cas dexcitation [WEB10]temps de pic ( tp). ζπ − y max − y ( ∞ ) 2 ζπ 1− ζ 2 D D1 (%) = =e 1− ζ 2 1 = e y (∞ ) D 2 π 2π t = t2 −t1 = p ω p ωpPour ξ = 0.7, le temps de pic est le plus court et le système admet un seuldépassement, inférieur à 4% de la réponse finale. 73 ESPRIT 74 Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires Application N°1: Calculer les réponses indicielles unitaires des systèmes suivants : Applications 1 H1(p) = p(1+ p)(1+2p) 75 76 19
  20. 20. 23/04/2012 Application N°3: (Système à Déphasage NonApplication N°2: Minimale)Calculer la réponse impulsionnelle unitaire des On considère le système de transmittance :systèmes suivants : 1− p H ( p) = (1 + p )(1 + 2 p ) 1 H 1 ( p) = ( (0.5 + p) p 2 + p + 1 ) Calculer et représenter sa réponse indicielle unitaire. Préciser la valeur de la dérivée à lorigine. Conclure. 77 78Application N°4: Application N°5:On considère le filtre RC suivant : Les courbes des figures suivantes correspondent à des réponses indicielles unitaires de systèmes dordre inférieur à 3. On demande didentifier dans chaque cas le système correspondant.Le condensateur étant initialement déchargé, on fermelinterrupteur K à linstant t = 0. Calculer et représenter lasortie y(t). préciser la valeur en régime permanent delamplitude du signal y. 79 80 20
  21. 21. 23/04/2012Application N°5 (Suite): Application N°5 (Suite): : 81 82Application N°5 (Suite): : Application N°5 (Suite): : 83 84 21
  22. 22. 23/04/2012Chapitre IV Approche harmonique des systèmes linéaires 1. Principe CHAP IV 2. Systèmes du premier ordre 3. Systèmes du deuxième ordre ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS LINÉAIRES CONTINUS 85 86 ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS 1. Définition d’un SAL Analyse des SAL 2. Schéma fonctionnel et FT LINÉAIRES CONTINUS 3. Performances des SALPlan du Chapitre: Définition:1. Définition d’un système asservi Un système asservi est un système dont une variable de sortie suit plus précisément que possible une variable d’entrée dite consigne, quelque soit l’effet des2. Schéma fonctionnel et Fonction de transfert perturbations extérieures. On parle de: Régulation3. Performances d’un système asservi Poursuite 87 C’est un système qui fonctionne en boucle fermée 88 22
  23. 23. 23/04/2012 1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SALAnalyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL Analyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SALsystèmes à retour unitaire: systèmes à retour non unitaire: Fonction de transfert en Boucle fermée Fonction de transfert en Boucle Fermée 89 90 1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SALAnalyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL Analyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SALPrise en compte des perturbations: Pour assurer le bon fonctionnement d’un système asservi, il faut garantir les 3 performances: Stabilité Précision Fonction de transfert en Boucle fermée Rapidité 91 92 23
  24. 24. 23/04/2012 1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SALAnalyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL Analyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL • Définition de la STABILITE: • Stabilité des systèmes asservis: C’est la propriété physique selon laquelle, un système Un système est stable si à une entrée finie correspond écarté de sa position d’équilibre initiale par une une sortie finie: sollicitation extérieure, revient à sa position initiale dès que cette perturbation cesse. 93 94 1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SALAnalyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL Analyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL Un système est dit stable si toutes les racines de son Plusieurs méthodes existent pour vérifier la stabilité équation caractéristique sont à parties réelles des systèmes asservis et qui peuvent s’effectuer dans le strictement négatives domaine temporel ou fréquentiel (Bode, Nyquist,…) Remarque: Remarque: On a besoin de connaitre les pôles du système pour l’analyse de stabilité. 95 96 24
  25. 25. 23/04/2012 1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SALAnalyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL Analyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL On appelle critère de Routh un critère algébrique permettant d’évaluer la stabilité d’un système sans connaitre ses pôles, à partir des coefficients du dénominateur D(p) de sa fonction de transfert en boucle fermée (FTBF). 97 98 1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SALAnalyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SAL Analyse des SAL 2. 3. Schéma fonctionnel et FT Performances des SALH(p) est la fonction de transfert du système bouclé: Enoncé du critère: Le système est stable si et seulement si tous les termes de la première colonne sont strictement positifs 99 100 25

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