Probabilités et Statistiques 
Otheman Nouisser 
Ecole Nationale de Commerce et Gestion 
Kénitra 
20 septembre 2012 
Othema...
Plan 
1. Chapitre I : Analyse Combinatoire. Dénombrement 
1. Chapitre II : Calcul des probabilités 
2. Chapitre III : Vari...
I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétitio...
I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétitio...
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Probabilités et statistiques 1ère partie

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1. Chapitre I : Analyse Combinatoire. Dénombrement
1. Chapitre II : Calcul des probabilités
2. Chapitre III : Variables Aléatoires
3. Chapitre IV : Lois usuelles de Probabilités
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra

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Probabilités et statistiques 1ère partie

  1. 1. Probabilités et Statistiques Otheman Nouisser Ecole Nationale de Commerce et Gestion Kénitra 20 septembre 2012 Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  2. 2. Plan 1. Chapitre I : Analyse Combinatoire. Dénombrement 1. Chapitre II : Calcul des probabilités 2. Chapitre III : Variables Aléatoires 3. Chapitre IV : Lois usuelles de Probabilités Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  3. 3. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie Introduction Exemple Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 boules blanches, 6 boules noires. On tire simultanément du sac 3 boules. Calculer la probabilité d’avoir : 3 boules blanches. des boules différentes. Les boules sont indescernables, les tirages sont équiprobables. Pour calculer la probabilité il faut d’abord calculer : Le nombre de tirages possibles de 3 boules parmi 10 : Cas possibles. Le nombre de tirages de trois 3 boules blanches parmi les 4 : cas favorables. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  4. 4. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie Chap I : Analyse Combinatoire. Dénombrement Définition L’analyse combinatoire est le développement de quelques techniques permettant de déterminer le nombre de résultat possibles d’une experience particulière. Elle permet de recenser les dispositions qu’il est possible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments. une disposition est un sous ensembles ordonnées ou non d’un ensemble. Les techniques de dénombrements sont utiles pour le calcul de probabilité des événements équiprobables. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  5. 5. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie I- Principe multiplicatif Soit une expérience qui comporte 2 étapes : la 1ère qui a p résultats possibles et chacun de ces résultats donne lieu à q résultats lors de la 2ème étape. Alors l’expérience a p × q résultats possibles. Autrement dit : Le principe multiplicatif peut s’énoncer ainsi : si un événement A peut se produire de p façons et si un événement B peut se produire de q façons, la réalisation de A suivie de B peut se produire de p × q façons. Remarque - Si chacune des étapes d’un choix séffectue avec chacune des autres, on applique alors la règle de multiplication. Par contre, - Si un choix peut peut se faire ou bien d’une façon ou bien d’une autre, on applique la règle d’addition. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  6. 6. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie I- Principe multiplicatif Conséquence Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantes une même expérience qui a p résultats possibles, alors on a pn = p × p × p · · · × p( n fois) résultats possibles. Exemple Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et une verte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4 × 4 = 16. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  7. 7. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie I- Principe multiplicatif Conséquence Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantes une même expérience qui a p résultats possibles, alors on a pn = p × p × p · · · × p( n fois) résultats possibles. Exemple Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et une verte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4 × 4 = 16. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  8. 8. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie I- Principe multiplicatif Exemple Jacques arrive au restaurant. Il désire prendre un repas complet (c’est à dire un potage, un plat de résistance, un légume, un dessert et une boisson). On lui présente un menu à la carte offrant un choix de 6 potages, 4 plats de résistance, 3 légumes, 5 desserts et 8 boissons. Combien de repas complets différents jacques peut-il composer ? Ici, la composition d’un repas complets suppose un choix de potage avec un choix de plat de résistance avec un choix de légume avec un choix de dessert avec enfin un choix de boisson. Pour calculer le nombre de repas complet qu’il est ainsi possible de composer, on utilise le principe de multiplication. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  9. 9. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie I- Principe multiplicatif Illustration de la règle de multiplication Souvent lorsque on a un problème qui fait appel à la règle de multiplication, on en présente la solution à l’aide de cases adjacentes à l’intérieure on inscrit le nombre de possibilités pour chacune des étapes de choix. Ainsi dans notre exemple on a : 6 4 3 5 8 - on a effectué 5 choix successifs. - Ces choix s’effectuent les uns avec les autres. - Il existe 6 façons d’effectuer le premier de ces choix. - 4 façons pour le deuxième, - 3 façons pour le troisième, - 5 façons pour le quatrième et - 8 façons pour le cinquième ; enfin, le nombre total de possibilités de repas correspond au produit des nombres qu’on retrouve dans chacune de ces cases, à savoir :6 × 4 × 3 × 5 × 8 = 2880. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  10. 10. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie I- Principe multiplicatif Exemple Jacques vient au restaurant pour prendre une collation ( c’est-à-dire ou bien un potage, ou bien un sandwich, ou bien un dessert). On lui présente un menu offrant un choix de 5 potages, 7 sandwiches et 4 desserts. Combien de collations différentes peut-il choisir ? Dans ce cas-ci, comme jacques doit effectuer son choix de la façon suivante : P ou bien S ou bien D P1 ou P2 ou · · ·P5 ou S1 ou · · ·S7 D1 ou · · ·D4. On doit faire appel à la règle d’addition pour calculer qu’il a 5 + 7 + 4 = 16 possibilités de collations différentes. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  11. 11. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie II- Permutations Définition Une permutation de n éléments distincts est une disposition ordonnée de ces n éléments. Exemple Considérons 4 personnes qui prennent places successivement sur un bac à 4 places. Combien de dispositions ordonnées (c.à.d permutations) existe-t-il ? Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  12. 12. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie II- Permutations - La première personne a le choix entre 4 places =) 4 dispositions possibles pour cette personne. - La deuxième personne n’a le choix qu’entre 3 places =) 4 × 3 dispositions possibles pour ces deux personnes. - La troisième personne n’a le choix qu’entre 2 places =) 4 × 3 × 2 dispositions possibles pour ces trois personnes. - La quatrième personne n’a le choix qu’entre une seule place =) 4 × 3 × 2 × 1 dispositions possibles pour ces personnes. Ainsi, le nombre de dispositions ordonnées (permutations) est donc : P4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  13. 13. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie II- Permutations Théorème Le nombre de permuations de n éléments distincts noté Pn est donné par : Pn = n(n − 1)(n − 2) · · · × 3 × 2 × 1 = n!. Preuve. Soit n éléments a1, a2, · · · , an. a1 : on peut le mettre dans n’importe qu’elle case, donc on a n possibilités. a2 : on peut le mettre dans n − 1 cases, donc il y a n − 1 possibilités. ... an : on peut le mettre dans une case, donc une seule possibilités. D’où il y a n(n − 1) · · · 2 = n! dispositions ordonnées. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  14. 14. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie II- Permutations Exemple 1- Donner le nombre des permutations qu’il est possible de former avec les éléments a, b, c. 2- Une étudiante a reçu 5 livres différents en cadeau. De combien de façons peut-elle les disposer entre des appuis-livres ? L’étudiante doit simplement disposer ses livres différents l’un à coté de l’autre., c.à.d., une permutation de 5 éléments. Ainsi le nombre de dispositions est le nombre de permutation qui égale à 5!. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  15. 15. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie II- Permutations Exemple 1- Donner le nombre des permutations qu’il est possible de former avec les éléments a, b, c. 2- Une étudiante a reçu 5 livres différents en cadeau. De combien de façons peut-elle les disposer entre des appuis-livres ? L’étudiante doit simplement disposer ses livres différents l’un à coté de l’autre., c.à.d., une permutation de 5 éléments. Ainsi le nombre de dispositions est le nombre de permutation qui égale à 5!. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  16. 16. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie Arrangement (Sans répétition) Définition Un arrangement de p éléments parmi n, désigne toute disposition ordonnée de p éléments distincts parmi n éléments distincts (la répétition n’étant pas permise). C’est une façon de ranger p éléments distincts pris parmi n éléments distincts en tenant compte de l’ordre. Remarque Si p n (répétition non permise) Si p = n : un arrangement est une permutation. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  17. 17. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie III- Arrangement (Sans répétition) Exemple Considérons 7 personnes qui sont condidats pour occuper 3 postes. De conbien de façon différentes peut-on pourvoir ces 3 postes. - Pour le 1er poste on a 7 possibilités. - Pour le 2ème poste on a 6 possibilités. - Pour le 3ème poste on a 5 possibilités. Au total, il y a 7 × 6 × 5 = 210 possibilités. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  18. 18. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie III- Arrangement (Sans répétition) D’une manière général, on a le résultat suivant Théorème Le nombre d’arrangements de p éléments choisis parmi n noté Apn est donné par : Apn = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) = n! (n − p)! . Preuve Pour la première place on a n possibilités. Pour la deuxième place on a n − 1 possibilités. de proche en proche on a : Pour la pième place on a :n − p + 1 possibilités. Ainsi, au total il y a n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) = n! (n − p)! . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  19. 19. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie III- Arrangement (Sans répétition) Exemple Combien de tiercés peut-on fomrer si une course comporte 12 cheveaux ? C’est un arrangement de 3 parmi 12 donc le nombre de tiercés est A3 12 = 12! 9! = 1320. Remarque Un arrangement avec répétition de p éléments parmi n est une disposition ordonnée de p éléments avec autant de répétition que l’on souhaite. Le nombre d’arrangements avec répétition est de np. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  20. 20. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie IV- Combinaisons (sans répétition) Définition Une combinaison de p éléments parmi n est une disposition non-ordonnée de p éléments distincts choisis parmi n éléments distincts. Remarque L’ordre n’intervient pas ici. Par exemple les ensembles suivants sont pareils : {a,b,c}={a,c,b}={b,a,c}={b,c,a}. Exemple Considérons l’ensemble E = {1, 2, 3}. Le nombre des combinaisons de deux éléments choisis parmi les 3 éléments est 3 à savoir {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  21. 21. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie IV- Combinaisons (sans répétition) D’une manière générale, on a le résultat suivant. Théorème Le nombre de combinaisons de p éléments choisis parmi n éléments, noté Cp n , est donné par : Cp n = n! p!(n − p)! . Preuve A partir d’une combinaison de p éléments on peut faire p! arrangements, c.à.d., Apn = p!Cp n =) Cp n = 1 p! Apn . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  22. 22. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie IV- Combinaisons (sans répétition) Proposition C0 n = Cn n = 1 Cjn +1 = Cj−1 n + Cjn (a + b)n = Xn k=0 Ck n akbn−k Formule de Binôme de Newton. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  23. 23. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie IV- Combinaisons (sans répétition) Exemple Une main est constituée de 13 cartes placées dans un ordre quelconque. Calculer le nombre de mains distinctes susceptibles d’être formées à partir d’un jeu de 52 cartes ? C’est une combinaison de 13 parmi 52, donc le nombre de mains est : C13 52 = 52! 39!13! = 635013560000. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  24. 24. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie V- Permutation avec répétition Théorème Le nombre de permutation de n objets dont n1 sont semblables, n2 n! sont semblables, · · · , nk sont semblables est : n1!n2! · · · nk ! . Exemple Quel est le nombre d’anagrammes différents ayant un sens ou non qu’il est possible de former avec les lettres du mot : SES. Ce mot comporte deux fois la lettre S. On notera S1,S2,E, alors les possibiltés qu’on a sont : ESS = ES1S2 ES2S1 ,SSE = S1S2E S2S1E ,SES = S1ES2 S2ES1 Le nombre d’angrammes avec les lettres indexées est P3 = 3! = 6, mais si on élimine la répétition on a : 3! 2! = 3. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  25. 25. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie V- Permutation avec répétition Exemple Refait le même exemple avec les mots : TETE et CASABLANCA. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  26. 26. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VI- Echantillonage Définition Soit une population de n éléments. On appelle un échantillon de taille k, toute suite ordonnée de k éléments de cette population. Exemple On extrait r boules l’une après l’autre d’une urne contenant n boules. On considère deux cas : i) Echantillon non-exhaustifs (avec remise) : Dans ce cas avant de tirer une nouvelle boule, on remet dans l’urne la boule qu’on vient d’extraire, il y a n façons différentes d’extraires chaque boule, et donc il y a n × n × n × · · · × n = nr exhantillon non-exhaustif difféfents de taille r . ii) Echantillons exhaustifs ( sans remise) : ici on ne remet pas la boule tirée, c’est donc un arrangement sans répétition de r objets parmi n, il y a donc Ar n échantillon exhaustif de taille r . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  27. 27. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VI- Echantillonage Exemple De combien de façon peut-on tirer l’une après l’autre, 3 cartes d’un jeu de 52 cartes. i) Si le tirage est non-exhautif : il y a (52)3 façons. ii) Si le tirage est exhaustif : il y a A3 52 façons. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  28. 28. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VII- Notion sur la théorie des ensembles Définitions et propriétés - Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments. - L’ensemble vide noté ; est l’ensemble qui ne contient aucun élément. - Soit un ensemble. Un ensemble A est dit un sous-ensemble de ou une partie de si tous les éléments de A sont des éléments de . L’ensemble des parties de est noté P( ). Exemple Donner l’ensemble des parties de = {a, b, c}. P( ) = {{a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ;}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  29. 29. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VII- Notion sur la théorie des ensembles Définitions et propriétés Soient ,A,B 2 P( ) Inclusion : A B signifie que tous les éléments de A sont dans B. A * B signifie qu’il existe au moins un élément de A n’appartient pas à B. Complémentaire : A est l’ensemble des éléments de qui n’appartiennent pas à A appelé complémentaire de A. Union : A [ B : (x 2 A [ B , x 2 A ou x 2 B). Intersection : A B : (x 2 A B , x 2 A et x 2 B). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  30. 30. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VII- Notion sur la théorie des ensembles Remarque 1- A [ A = A; A A = A; A [ ; = A; A ; = ;, 2- Si A B alors A [ B = B et si A B alors A B = A. Définitions et propriétés A et B sont dits disjoints si et seuleument si A B = ;. AB = A B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et qui n’appartiennent pas à B. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  31. 31. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VII- Notion sur la théorie des ensembles Proposition Soient A,B,C des parties de , on a : A [ B = B [ A A B = B A A [ (B C) = (A [ B) (A [ C) A (B [ c) = (A B) [ (A C) A B = A [ B A [ B = A B Otheman Nouisser ENCG-Kénitra
  32. 32. I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VIII- Notion de cardinal Si a un nombre fini d’éléments, alors pour tout A 2 P( ), alors A a également un nombre fini d’éléments. cardinal de A, noté card(A) est le nombre d’éléments de A. Proposition card(A) = card( ) − card(A) card(A [ B) = card(A) + card(B) − card(A B) card(A B) = card(A) − card(A B) card(;) = 0 Otheman Nouisser ENCG-Kénitra

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