Resolution de F(X) = 0 SIDIBE Ali

RESOLUTION ANALYTIQUE ET
NUMERIQUE DE F(X)=0
SIDIBE Ali-Broma
Marrakech, le 25 Juin 2007

REMERCIEMENTS
Cette modeste oeuvre n’a pas pu être réalisée sans la participation directe ou indirecte de nom-
breuses bonnes volontés.
A mes parents qui m’ont inculqué les valeurs morales et fondamentales de la vie.
Mes vifs et sincères remerciements s’addressent à :
A Mr MANSOURI Abdelatif pour l’interêt qu’il a accordé à ce thème, son amour du
travail bien fait, sa disponibilté et l’excellente qualité de son encadrement. Qu’il trouve en ceci
la preuve de ma plus profonde gratitude envers lui et sa famille.
A Monsieur MAKKI Naciri et Monsieur Idriss BOUZIANE pour leur appui considérable
à mon parcour académique.Qu’ils trouvent en ceci la preuve de ma plus haute considération.
A Monsieur El-Hadj Ait DADS pour ses précieux conseils constructifs à la fin de de chaque
cours.
A l’ensemble du corps professoral du Département de Mathématiques pour l’excellente qualité
de leur enseignement.Qu’ils trouvent à travers ceci le signe de ma plus profonde reconnaissance.
Enfin je remercie tous mes amis qui de loin ou de près ont contribué à la réalisation de ce
projet notamment mon ami SIDI ZAKARI Ibrahim pour son appui technique et mon voi-
sin HOUSSOU D Landry P. pour ses précieux conseils à la communauté malienne et mes
camarades de classe.
Dédié à Mr MODIBO KEITA, Premier Président de la République du Mali, et à
Tchédioukou Broma SIDIBE
2

Table des matières
AVANT-PROPOS 4
1 Résolution des équations polynômiales et diophantiennes 6
1.1 Résolution algébrique des équations polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Qu’est-ce que résoudre un polynôme ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 L’existence, nombre et nature des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Résolution par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Relation entre les coefficients d’un polynôme et ses racines . . . . . . . . 10
1.1.7 Les équations du 1er degré et du 2ème degré . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.8 Les équations du 3ème degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.9 La méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Les équations du 4ème degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Les équations bicarrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Les équations du 5ème degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 La résolution des équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Le triplet pythagoricien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Equation de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 le triangle de rêve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Résolution des systèmes linéaires et fonctions numériques 18
2.1 Résolution des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 L’égalité entre le nombre d’inconnues et d’équations . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Plus d’équations que d’inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Plus d’inconnues que d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.5 Différence l’homme-machine sur le système Ax=b . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6 Limiter les dégats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.7 Le conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.8 Interprétation du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.9 Les Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.10 Méthode de Jacobi, Gauss-Seidel et de Relaxation . . . . . . . . . . . . 22
2.1.11 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Les Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Les hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3

2.3 Les Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Théorème de Rolle 1652-1749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Le théorème des points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Les extremums et formes standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Extremum simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Extremum lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Résolution numérique des équations et systèmes non linéaires 28
3.1 Les fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Méthode de dichotomie ou de bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.4 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.5 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.6 Analyse de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Résolution des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Réference Bibliographique 36
4

AVANT-PROPOS
L’histoire de la résolution de F(X) = 0 où F,X de natures quelconques se confond avec
celle des Mathématiques. Dans le but de répondre à ses problèmes ou se sentir à l’aise l’homme
s’attaqua à de nombreux problèmes dont la résolution par une interprétation mathématique se
ramène à résoudre F(X) = 0.
Les Sages les plus réputés dans l’histoire de chaque peuple étaient ceux qui trouvaient les solu-
tions des devinettes dont leur résolution se résume à une équation mathématique.
L’histoire de chaque peuple est confrontée à un problème mathematique de genre du thème.
Par exemple il était gravé sur une tablette de Babylon l’expression : ”A 11 fois la surface de mon
carré, j ’ajoute 7 fois le côté pour obtenir 25
4
” qui se traduit aujourd’hui par : 11x2
+ 7x = 25
4
.
Aussi l’histoire mathématique italienne a été confrontée à ce problème : ”Quel est l’arête in-
connu d’un cube dont le volume ajouté à cinq fois l’arête donne 378. Ainsi pour répondre à ce
problème un nombre remarquable de savants italiens dont Nicolo Fontana, Jerome Cardano,
ludicio Ferrari, Paolo Rufini travaillèrent dans ce domaine.
De même qu’au sud du Mali une devinette à parcouru des siècles : ”Trouver le nombre de
lions et d’aˆıgles qu’un chasseur pourrait tuer sachant qu’il a ramené cinquante quatre pattes et
dix-neuf têtes”.
A ceux-ci on peut ajouter d’autres problèmes dans la vie courante tel que trouver un triangle
de même aire qu’un carré, maximiser les bénéfices d’une entreprise ou minimiser les coûts d’un
projet.
La résolution de tous ces problèmes se ramène ou passe par la résolution de F(X) = 0.
Les cours traditionnels de Mathématiques nous enseignent des théories et des méthodes qui per-
mettent de résoudre de fa¸con analytique un certain nombre de problèmes de la forme F(X) = 0.
Face au problème de temps et d’efficacité, on est appélé à faire recours à d’autres méthodes qui
peuvent tout résoudre rapidement :Les méthodes numériques. Les méthodes numériques contrai-
rement aux méthodes analytiques, sans restriction, ne résolvent pas exactement les problèmes
mais fournissent rapidement leurs solutions approximatives.
5

Chapitre 1
Résolution des équations polynômiales
et diophantiennes
Introduction : La résolution de l’équation F(X) = 0 demande d’abord la connaissance
de la nature de F, de X et de l’ensemble dans lequel on travaille. Suivant la nature de F et
de X, l’équation admet ou non une solution. Pour la détermination des éventuelles solutions
existantes, des méthodes de résolution appropriées s’appliquent. Nous distinguerons les cas où
F est un polynôme, un système linéaire, une fonction à une ou plusieurs variables, un opérateur
( le Laplacien, le gradient)...etc. Il existe d’autres natures de F mais nous nous restreignons à
ces trois premiers cas cités. La nature de X est étroitement liée à celle de F et se présente sous
la forme d’un inconnu complexe dans le cas polynômial, d’un vecteur dans le cas des systèmes
linéaires, d’un entier dans celui des équations diophantiennes comme dans le grand théorème
de Fermat.
Avant de rentrer dans le vif du sujet, nous rappelerons quelques notions de structures algébriques
qui seront citées dans ce chapitre.
Définition 1 1. Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne(qu’on
abrège par Lci), notons ⊗, toute application de E X E dans E.
L :EXE −→ E
(x, y) −→ x ⊗ y
2.On appelle groupe, un ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗ telle que :
– ∗ est associative : ∀x, y, z ∈ G x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
– ∗ admet un élément neutre e (e ∗ x = x ∗ e = x)
– Tout élément admet un symétrique : ∀x ∈ G, ∃y ∈ G tel que x ∗ y = y ∗x = e
Un groupe (G, ∗) est dit commutatif ou abélien (du nom d’Abel ) si :∀ x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x.
Définition 2 : On appelle anneau ,un ensemble A muni de deux lois de composition interne
∗, ⊕ noté (A, ∗, ⊕) tel que :
– (A, ∗) est un groupe abélien.
– ⊕ est associative.
– ⊕ est distributive par rapport à ∗.
Un anneau est commutatif si ⊕ l’est et unitaire si ⊕ possède un élément neutre.
Définition 3 : Enfin on appelle corps tout ensemble (A, ∗, ⊕) tel que :
6

i (A, ∗, ⊕) est un anneau.
ii (A − {0}, ∗) est un groupe.
Il revient à dire qu’un corps est un anneau dans lequel tout élément non nul est inversible dans
A
Un corps est dit commutatif si la loi ⊕ est commutative. Dans N, l’addition + est une Lci mais
la soustraction n’est pas une Lci car la soustration de deux entiers n’est pas nécessairement
dans N.
1 L’ensemble (Z, +) est un groupe et (Z, +, .) est un anneau.
2 Les ensembles (Q, +, .) (R, +, .) (C, +, .) sont des corps commutatifs de caracteristique 0.
3 L’ensemble M = {M ∈ Mn(R) ; det M = 0} muni de + et . est un corps non commutatif.
4 L’ensemble Z/pZ (p premier) est un corps fini de caractéristique p.
1.1 Résolution algébrique des équations polynômiales
1.1.1 Les polynômes
La résolution des équations polynômiales a beaucoup contribué à l’évolution de l’algèbre.
Définition 4 Soit K un corps ou anneau. Un polynôme de degré n dans K[X] (n un entier)
est une somme algébrique de monômes et se présente sous la forme :
P(X) = anXn
+ an−1Xn−1
+ · · · · · · + a1X + a0 avec an = 0, a0, a1, · · · , an ∈ K.
1.1.2 Qu’est-ce que résoudre un polynôme ?
Définition 5 : Soit P un polyôme dans K[X]. résoudre l’équation P(x) = 0, dans le corps ou
anneau K c’est exprimer ses éventuelles racines en fonction de ses coefficients an , an−1, · · · a1 , a0
dans K.
Propriété : Soit
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · · · · + a1x + a0 = 0.
En posant z = x − an−1
nan
on se ramène à :
P(z) = anzn
+ an−2zn−2
+ · · · · · · + a1z + a0 = 0.
Cette translation nous sera très utile dans la suite.
1.1.3 L’existence, nombre et nature des racines
Les deux théorèmes suivants permettent de nous assurer au préalable l’existence et le nombre
des racines d’une équation polynômiale.
Théorème 1.1.1 Le corps des complexes C est algébriquement clos.
C’est-à-dire tout polynôme à coefficients dans le corps des complexes C peut être décomposé
en produits de facteurs du 1er degré.
Théorème 1.1.2 Tout polynôme de degré n dans le corps des complexes C admet exactement
n racines complexes distinctes ou non.
7

Ce théorème a été énoncé par Albert Girard, la démonstration a été commencée par Jean le
Rond D’Alembert et achévée par Gauss.
Pour les équations à coefficients réels, Réné Descarte proposa une idée sur les signes des
éventuelles racines.
Le nombre de racines positives de P(x) = 0 est égal, au plus, au nombre de variations de
signes de P(x) ou la différence de ces deux nombres est impaire. L’équation x3
− 2x2
− 2 = 0 a
deux variations de signe donc possède au plus deux racines positives. On pourrait croire que les
deux précédents théorèmes achèvent l’étude des polynômes mais un problème persiste :quelle
méthode faut-il employer pour trouver les n racines d’un polynôme de degré n avec n quel-
conque dans N ?La résolution des équations du 1er et 2ème degré laisse présager l’exitence
d’une méthode générale. Cependant on saura dans ce qui va suivre que seules les équations
de degré 1, 2, 3 et 4 admettent une méthode de résolution générale : Résolution par radicaux.
Aujourd’hui au-delà de quatre, il n’existe pas ”encore” une méthode capable de résoudre toutes
les équations de degré n avec n ≥ 5.
Ainsi, rassurés de l’existence des racines de tout polynôme de tout degré, nous allons main-
tenant envisager l’obtention d’une méthode générale, nous permettant de trouver ces racines.
L’unique méthode naturelle que nous connaissons aujourd’hui est la résolution par radicaux
que nous exposerons ci-dessous.
1.1.4 Résolution par radicaux
Dans tout ce qui suit K sera considéré comme un corps commutatif de caractéristique 0.
Définition 6 : Un élément a de K est dit algébrique s’il existe un polynôme P ∈ K[X] tel que
P(a) = 0 (a est alors dit racine de P). Dans le cas contraire, on dit qu’il est transcendant.
Le réel
√
2 est algébrique car il annule le polynôme X2
− 2. Il a aussi été démontré que π
et e sont transcendants dans Q. C’est-à-dire il n’existe pas de polynôme à coefficients dans Q
qui s’annule en π ou e.
Définition 7 : On appelle corps de décomposition de P le corps des racines de P c’est-à- dire :
E = { x ∈ K tel que P(x) = 0}.
Le corps E = Q(−
√
2 ,
√
2) est le corps de décomposition du polynôme P(X) = X2
− 2.
Définition 8 : Une extension est dite algébrique si tous ses éléments le sont.
Le corps suivant est une extension algébrique de Q :
Q(
√
2) = {a + b
√
2; a, b ∈ Q}.
Définition 9 : On appelle polynôme minimal de a dans K, l’unique polynôme unitaire irréductible
de K[X] défini par :
M(a) = 0; ∀P ∈ K[X], P(a) = 0 =⇒ M|P
Le polynôme P(X) = X2
− 2 dans Q est irréductible (par le critère d’Eseinstein), unitaire
et verifie P(
√
2) = 0 donc c’est le polynôme minimal de
√
2
Définition 10 : Un polynôme est dit séparable dans un corps K si toutes ses racines dans une
clôture algébrique de K sont toutes simples.
8

Le polynôme P(X) = X2
− 2 est séparable dans Q car ses racines dans C sont simples.
Définition 11 : Un élément a est dit séparable si son polynôme minimal est séparable.
L’irrationnel
√
2 est séparable.
Définition 12 : Une extension est séparable si tous ses éléments le sont.
Le corps E = Q(
√
2, −
√
2) le corps des racines de P,est séparable.
Définition 13 : Une extension E est normale sur K si :
– E est algébrique.
– Tout polynôme irréductible de K[X] admettant une racine dans E se décompose en un
produit de facteurs du 1er degré.
Définition 14 : Enfin une extension galoisienne est une extension normale et séparable.
Le corps des racines d’un polynôme est une extension galoisienne.
1.1.5 Groupe de Galois
La théorie du groupe rélève d’un domaine mathématique dans lequel on formalise le concept
de symétrie.
Définition 15 : Soit E une extension galoisienne sur K. On appelle groupe de Galois de E sur
K qu’on note Gal(E/K) le groupe des automorphismes de E laissant invariants les éléments
de K.
Autrement dit :
Gal(E/K) = {σ : E −→ E, automorphisme; ∀ x ∈ K, σ(x) = x}.
Définition 16 : Un groupe de Galois est résoluble lorsqu’il existe une suite finie σ0, σ1, · · · , σn
sous groupes de G tels que : σ0 ⊂ σ1 ⊂ σ2 ⊂ · · · ⊂ σn = G où ∀ i = 0, 1, 2, · · · , n − 1 , σi
est un sous groupe distingué dans σi+1 et σi+1/σi est abélien.
Tout groupe abélien en particulier les groupes de permutation S1 S2, S3 et S4 sont résolubles.
Définition 17 : Soient P ∈ K[X], un polynôme et E son corps de racines.On appelle groupe
de Galois de P le groupe de Galois de E sur K.
Nous allons avec la proposition suivante caractériser les groupes de Galois avec les groupes de
permutation dont nous savons beaucoup de leurs propriétés
Proposition 1 : Soit E = K(x1, x2, · · · xn). Alors le groupe de Galois de E sur K est isomorphe
à Sn.
Preuve 1 Soit ϕ l’application de Gal(E/K) sur Sn définie par : ϕ(σ) = π avec σ(xi) =
xπ(i) et 1 ≤ i ≤ n.
Par construction ϕ est un homomorphisme de groupe surjectif,
kerϕ = {σ ∈ gal(E/K), ϕ(σ) = IdE = π} = {σ ∈ gal(E/K); ∀i σ(xi) = xi} = {id} =⇒ ϕ est injectif.
D’où le résultat.
9

Définition 18 -Soit E et F deux corps commutatifs. On appelle radical de F dans E un élément
a de E tel qu’il existe une puissance de a dans E.
-On dit qu’un élément a de E s’exprime par radicaux de K si et seulement si il existe une suite
Si tel que :
- S0 est une suite de K.
- Si i ∈ {1, 2, · · · p − 1} alors il exite une suite de combinaisons linéaires à coefficients dans K
de radicaux de la suite Si−1.
-Dans K, a est une combinaison linéaire à coefficients éléments de la suite Sp−1.
-On dit qu’un polynôme est résoluble par radicaux si et seulement si toutes ses racines s’ex-
priment par radicaux de K.
Il s’agit maintenant de determiner le lien entre les polynomes et leur groupe galoisienne.Autrement
dit avec le corps de ses racines.
Théorème 1.1.3 (Abel-Ruffini) : Un polynôme est résoluble par radicaux si et seulement si
son groupe de galois l’est.
Proposition 2 Les polynômes de degré n avec n ≤ 4 sont résolubles par radicaux.
Preuve 2 Pour n = 1, 2 c’est évident .
Faisons pour n = 3, soit Q un polynôme irréductible :
Q(x) = a3X3
+ a2X2
+ a1X + a0.
Quitte à faire la translation énoncée dans la propriété précédente, on peut se ramener à la
forme :
P(x) = X3
+ pX − q.
Notons x1 , x2 et x3 les trois racines de P et E son corps des racines.
Le polynôme P est irréductible unitaire et vérifie P(x1) = 0 alors P est le polynôme minimal de
x1. Comme E contient x1 alors 3=degré(P) divise [E : K]. D’après la proposition précédente ,
E est isomorphe à un sous groupe de S3 donc [E : K] ∈ {3, 6}.
Si [E : K] = 3 =⇒ E isomorphe à A3 donc résoluble (car A3 est abélien ).
Sinon [E : K] = 6 alors isomorphe à S3. Comme S3 contient A3 abélien et S3/A3 abélien ( ne
contient que deux éléments), donc S3 est résoluble et par isomorphisme E est résoluble. D’où
par le théorème d’Abel Ruffini les polynômes de degré 3 sont résolubles par radicaux.
De même pour les polynômes de degré quatre.
1.1.6 Relation entre les coefficients d’un polynôme et ses racines
Soient Sn le groupe des permutations de 1 à n et K un corps commutatif.
Définition 19 : Un polynôme P ∈ K[X1, X2, · · · Xn] est dit symétrique si
∀σ ∈ Sn P(Xσ(1), Xσ(2) · · · Xσ(n)) = P(X1, X2, · · · Xn).
On appelle polynôme symétrique élémentaire les polynômes notés σi et définis par :
σ1(X1, X2, · · · Xn) = X1 + X2 + · · · + Xn ; σp(X1, X2, · · · Xn) = i1<i2···ip
Xi1 · · · Xip
σn(X1, X2, · · · Xn) = X1X2 · · · Xn.
10

Proposition 3 : Soit P un polynôme de la forme : P = Xn
+ a1Xn−1
+ · · · + aiXi
+ · · · +
an−1X + an ∈ K[X] scindé sur K et (u1, u1, · · · un) ses racines .
Alors on a :
(−1)i
ai = σi(u1, u1, · · · un)
Nous sommes maintenant munis d’une méthode de résolution des équations polynomiales :
résolution par radicaux qui est capable de résoudre toutes équations en polynômes de degré n
avec n ≤ 4.
1.1.7 Les équations du 1er degré et du 2ème degré
L’un des plus anciens patrimoines de l’histoire mathématique, la méthode de résolution des
équations du sécond degré a été découverte par les summériens et babyloniens il y’a plus 5000
ans, par Diophante, par les Hindous et finalement par les Arabes au XIème siècle. Dans son
livre ”Abrégé du calcul par restauration et comparaison” (al jabr-wal muquabla), Al-khararizm
décrit les six équations canoniques du sécond degré ainsi que les méthodes pour s’y ramener.
D’où la naissance de l’algorithme et de l’algèbre .
(E2) aX2
+ bX + c = 0; a = 0.
Discriminant Nature des racines Forme des racines
b2
− 4ac > 0 x1 et x2 réelles x1 = −b+
√
b2−4ac
2a
; x2 = −b−
√
b2−4ac
2a
b2
− 4ac = 0 x1 et x2 réelles x2 = x1 = −b
2a
b2
− 4ac < 0 z1 et z2 complexes et conjugués z1 = z2 = −b+i
√
b2−4ac
2a
Exemple 1 : L’exemple babylonnien. Soit : 11x2
+ 7x − 25
4
= 0 .
En appliquant directement ce qui précède on a : ∆ = b2
− 4ac = 324 , x1 = −7+
√
324
22
= 11
et x2 = −7−
√
324
22
(à réjeter). Le côté d’un tel carré est 11.
1.1.8 Les équations du 3ème degré
La méthode de résolution des équations du 3ème degré a été premièrement obtenue au
XVIème siècle par Scipion Del Ferro. Vingt trois ans après, Nicolo Fontana dit Tartaglia la
découvrit et l’utilisa en gagnant le grand concours de Mathématique en 1535. En 1545 dans son
livre ” Ars Magna”( le grand art) Jeromeo Cardano, après l’avoir obtenue auprès de Tartaglia ,
la publia . En 1771 Lagrange, se basant sur les relations entre les racines d’un polynôme et ses
coefficients, obtient une autre méthode qui porte son nom. Dès lors, il existe plusieurs méthodes
de résolution parmi lesquelles on peut citer la méthode de Descartes, de Bézout, de Sotta...etc.
Nous choisirons la méthode de Lagrange grâce à ses concepts sur les groupes de Galois.
11

1.1.9 La méthode de Lagrange
Soit l’équation
(E3) a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0 = 0.
Quitte à faire une translation, on se ramène à : x3
+ px + q = 0.
Notons x1 , x2 , x3 les trois racines de E3. Si on trouve un polynôme P en trois variables ( X, Y , Z
) qui ne prend que deux valeurs A et B par toutes permutations effectuées sur (X, Y , Z) on
saura, grâce à ce qui précède, trouver un polynôme de degré 2 qui s’annule aux deux valeurs
prises par P en ( X , Y , Z) ; on est ainsi raméné au cas du deuxième degré ( déjà résolu).
Soit x1 , x2 , x3 les trois racines de x3
+ px + q = 0.
Le polynôme P(X, Y, Z) = X + jY + j2
Z (où j est la racine 3ème de l’unité) ne prend au point
(x1 , x2 , x3) que deux valeurs A et B par toutes les permutations effectuées sur les x1 , x2 , x3
qui sont :
A = (x1 + jx2 + j2
x3)3
; B = (x1 + jx3 + j2
x2)3
.
Compte tenu du fait que :
σ1 = x1 + x2 + x3 = 0; σ2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = p, ; et σ3 = x1x2x3 = −q.
On a alors :
A + B = −27p; AB = −27p3
.
Ainsi A et B sont les racines de l’équation :
Z2
+ 27qZ − 27p3
= 0.
Les nombres A et B étant connus (maintenant), en choisissant une racine cubique u de A et v
de B de fa¸con que uv = −3p, on se ramène au :



x1 + x2 + x3 = 0
x1 + jx2 + j2
x3 = u
x1 + jx3 + j2
x2 = v
=⇒



x1 = 1
3
(u + v)
x2 = 1
3
(j2
u + jv)
x3 = 1
3
(ju + j2
v)
La nature des racines se conclut par le tableau suivant :
∆ = 27(4p3
+ 27q2
); w =
3
−q + i
√
∆
2
; u =
3
−q −
√
∆
2
; v =
3
−q + i
√
∆
2
.
Discriminant Nature des racines Formes des racines
∆ < 0 1 racine réelle ;1 racine double réelle x1 = 3q
p
; x2 = x3 = −3q
2p
∆ = 0 3 racines réelles xi = ji
w + jiw; i ∈ {0, 1, 2}
∆ > 0 1 racine réelle ; 2 racines complexes xi = ji
u + jiv; i ∈ {0, 1, 2}
Exemple 2 : La recherche des racines évidentes résoud généralement beaucoup d’équations du
3ème degré de la manière qu’on pourrait voir facilement les racines de :
x3
+ 2x2
− x − 2 = 0; (x1 = −1; x2 = 1; x3 = 2).
12

Ces techniques s’arrêtent là où les racines ne sont plus évidentes.
Exemple 3 : Naissance des nombres complexes Soit (E)
x3
− 15x2
− 4 = 0.
Par la recherche des racines évidentes on trouve x1 = 4 et pourtant par la méthode de Cardan
on a :
x1 = 3
2 +
√
−121 + 3
2 −
√
−121.
Parmi les racines, x = 4 n’ y figure pas et pourtant la méthode est vraie.Mais c’est le terme√
−121 qui pose problème.Bombelli franchit la barre des réels ,en proposant :
u3
= 2+
√
−121 = 2+11
√
−1 et v3
= 2−11
√
−1 et s’apercoit que (2+
√
−1)3
= 2+2
√
−121 =
2 + 11
√
−1 = 2 + 11i alors x = u + v = 4. Par conséquent le nombre i tel que i2
= −1 est né
( nombre sophistiqué) que Gauss baptisa le nombre complexe ou imaginaire.
1.2 Les équations du 4ème degré
1.2.1 Les équations bicarrées
Ce sont les équations de degré quatre, paires ( les monômes de degré impairs n’y figurent
pas) pouvant se mettre sous la forme :
ax4
+ bx2
+ d = 0.
Par la parité si x est racine alors −x est aussi racine. En posant Z = x2
on se ramène aux
équations du sécond degré( déjà résolues).
x4
− x2
− 2 = 0 (1). Posons z = x2
alors (1) devient z2
− z − 2 = 0 dont les racines sont
z1 = 2; z2 = −1. Par extraction les racines de (1) sont :
x1 =
√
2; x2 = −
√
2; x3 = −i; x4 = i.
1.2.2 Méthode de Lagrange
En 1540 Ferrari, se basant sur la méthode de son maˆıtre Cardan, mˆıt au point la formule
de la résolution du 4ème degré. Par ailleurs il existe la méthode de Lagrange, de Sotta et de
Bézout. Pour la même raison que la précédente, nous développerons la méthode de Lagrange.
E4 a4x4
+ a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0 = 0.
En posant x = z − a3
4a4
on se ramène à : z4
+ az2
+ bz + c = 0. Soit x1, x2, x3 et x4 les quatre
racines de cette dernière.
Le polynôme P(X, Y, Z, Z) = XZ + Y T ne prend que trois valeurs par toute permutation
effectuée sur x1, x2, x3, x4 qui sont :
A = x1x2 + x3x4; B = x1x3 + x2x4 ; C = x1x4 + x2x3.
Et on a :
σ1(x1, x2, x3, x4) = 0 ; σ2(x1, x2, x3, x4) = a; σ3(x1, x2, x3, x4) = b ; σ4(x1, x2, x3, x4) = c.
13

On a alors :
A + B + C = σ2; AB + AC + BC = σ1σ2 − 4σ4 = −4c; ABC = b2
− 4ac.
Les nombres A, B et C sont obtenus comme racines de
r3
− ar2
− 4cr − b2
+ 4ac = 0.
Cette équation est du troisième degré que l’on sait résoudre. En notant u, v et w ces trois
racines, on aura alors le système suivant :
S =



x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1x2 + x3x4 = u
x1x3 + x2x4 = v
x1x4 + x2x3 = w
⇐⇒



x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (1)
(x1 + x2)(x3 + x4) = v + w (2)
(x1 + x4)(x2 + x4) = u + v (3)
(x1 + x3)(x2 + x4) = u + w (4)
A l’aide de (1) et (2) on a :
(I) x1 + x2 = ρ1 et x3 + x4 = −ρ1 avec ρ1 =
√
−u − w.
A l’aide de (1) et(3) on a :
(II) x1 + x4 = ρ2 et x2 + x4 = −ρ2 avec ρ2 =
√
−u − v.
A l’aide de (2) et (3) on a :
(III) x1 + x3 = ρ3 et x2 + x4 = −ρ3 avec ρ3 =
√
−v − w.
Pour qu’il y’ait équivalence entre ( I,II et III) et le système (S) il faut et il suffit que ρ1 , ρ2 ρ3
soient choisis de fa¸con que : ρ1ρ2ρ3 = −b sachant que :
(x1 + x2)(x1 + x3)(x1 + x4) = x1(x1 + x2 + x3 + x4) + σ3 = −b
Maintenant on voit que les racines sont :



x1 = 1
2
(ρ1 + ρ2 + ρ3)
x2 = 1
2
(ρ1 − ρ2 − ρ3)
x3 = 1
2
(−ρ1 − ρ2 + ρ3)
x4 = 1
2
(−ρ1 + ρ2 − ρ3)
Cependant, pour n ≥ 5, nous n’avons pas de méthodes universelles pour tous les polynômes
de degré n. Nous allons montrer que la résolution par radicaux n’est pas générale pour tout
polynôme.
1.3 Les équations du 5ème degré
En 1799 Paolo Ruffini affirma que les équations du 5ème degré en polynômes n’étaient pas
toutes résolubles, une proposition réjétée par les mathématiciens de l’époque. En1824 Abel
donna une preuve complète mais sans concepts. Finalement, Galois balaya le doute par la
notion et le concept des groupes de Galois en fournissant une condition nécessaire et suffisante
de la non-résolubilité des équations de degré n avec n ≥ 5 . Soit l’équation :
P(x) = a5x5
+ a4x4
+ a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0 = 0.
14

Et soient x1, x2, x3, x4 et x5 ses cinq racines et E le corps des racines de P.
On définit son groupe de Galois par :
Gal(E/K) = {σ : E −→ E, ∀ i σ(xi) = xj, 1 ≤ i, j ≤ 5}.
Pour montrer que le groupe de Galois n’est pas résoluble, par isomorphisme il suffit de
montrer que S5 n’est pas résoluble. Comme dans le cas de degré inférieur ou égal à quatre, on
a trouvé un polynôme en (X, Y, Z) ou un polynôme en (X, Y, , Z, T, W) qui ne prend respecti-
vement que 2 ou 3 valeurs. Il s’agit alors de prouver qu’il n’ existe pas un polynôme en cinq
indéterminées ( X, Y, Z, T, W) qui prend 4 ou 3 valeurs par toute permutation effectuée sur
X, Y, Z, T et W.
Proposition 4 : Le groupe de permutation S5 n’est pas résoluble.
Lemme 1.3.1 : Pour n ≥ 3 , A5 est engendré par les cycles de longueur 3.
Preuve 3 Alors montrons que S5 n’est pas résoluble avec ce lemme.
Soit H un sous groupe de S5 tel que [S5 : H] ≤ 4
Montrons que H contient tous les cycles de longueur 5.
Soit λ un cycle de longueur 5, ∀ i ∈ {0, 2, 3, 4, 5} card(λi
H) = card(H).
Comme card(H) ≤ 4 alors les sous groupes H , λH , λ2
H , λ3
H , λ4
H , λ5
H ne peuvent pas
être disjoints car ils prennent leur cardinal dans {1, 2, 3, 4} donc il existe i = j 0 ≤ i < j ≤ 4
tel que λi
H λj
H = φ =⇒ λj−i
∈ H ∈ or 1 < j − i < 5 donc λj−i
engendre le cycle < λ >
d’ordre 5 premier.
Comme H contient tous les cycles d’ordre 5 alors par la relation :
(i, j, k) = (k, j, i, a1, a2) = (i, k, j, a2, a1) ∈ H.
Donc H contient les cycles d’ordre 3 qui engendrent A5. Donc A5 ⊂ H.
A5 ⊂ H =⇒
card(S5)
2
= card(A5) < card(H).
Or card(S5) = card(H).card(S5 : H) < 2card(H) donc [S5 : H] ∈ {1, 2} (card(S5) = 5! donc
fini).
Enfin Card(H)card(S5 : H) < 2cardH d’où [S5 : H] ∈ {1, 2}.
Ainsi il n’existe pas de sous groupe H de S5 tel que [S5 : H] ∈ {3, 4} ce qui implique que
Gal(E/K) n’est pas résoluble.
De même pour les polynômes de degré supérieur à 5.
1.4 La résolution des équations diophantiennes
Définition 20 : Une équation diophantienne est une équation de la forme :
P(x1, x2, · · · xn) = 0 avec P un polynôme à coefficients dans Z et dont la solution est cherchée
dans Z.
Les cas de telles équations résolubles sont rares, leur résolution demande aussi souvent un outil
mathématique très moderne.
15

1.4.1 Le triplet pythagoricien
Problème 1 : Il s’agit de résoudre dans Z l’équation :
x2
+ y2
= z2
.
Elle a été étudiée et résolue par Diophante. En supposant z = 0 et en divisant l’égalité par z2
on aura :
(
x
z
)2
+ (
y
z
)2
= 1.
La recherche des solutions de cette dernière revient à retrouver les coordonnées rationnelles du
cercle unité.
Solution 1 : On suppose que x, y et z sont tous non nuls. Quitte à diviser par le (pgcd(x, y, z))2
on peut se ramener au cas où x, y et z sont premiers entre eux.
-Etudions la parité de x,y et z.
Soit q un nombre impair. Alors q2
= (2n + 1)2
= 4n2
+ 4n + 1 =⇒ pour tout q impair q ≡
1[4].Alors si x et y sont impairs z2
= x2
+ y2
≡ 2[4] et z pair =⇒ z2
≡ 0[4]. Contradiction.
Alors supposons x pair et y impair. Etant donné que x et z sont premiers entre eux, x pair
=⇒ z impair. Par conclusion x est pair, y et z sont impairs.
Et z et y impairs =⇒ les entiers z − y et z + y sont pairs (z−y
2
a donc un sens dans Z).
x2
= z2
− y2
⇐⇒ (
x
2
)2
= (
z − y
2
)2
(
z + y
2
)2
.
les nombres (z−y
2
)et (z+y
2
) sont des carrés entiers sinon la décomposition de x
2
entraˆınera l’exis-
tence d’un nombre premier p tel que p|(z+y
2
) et p|(z+y
2
) ce qui implique que p|(z+y
2
)+(z+y
2
) = z et
p|(z+y
2
) − (z+y
2
) = y, absurde (pgcd(z, y) = 1). Finalement il existe (m, n) ∈ Z tel que z−y
2
= n2
et (z+y
2
) = m2
.
Alors le triplet (x,y,z )sont :



x = (2kmn), k ∈ N
y = k(m2
− n2
), m ∈ N
z = k(m2
+ n2
), n ∈ N, n < m
ou



x = k(m2
− n2
), k ∈ N
y = (2kmn), m ∈ N
z = k(m2
+ n2
), n ∈ N, n < m
La présence du facteur entier k s’explique par le fait que l’équation est homogène : si le triplet
(x, y, z) est solution =⇒ ∀n ∈ N(nx, ny, nz) est aussi solution.
1.4.2 Equation de Fermat
Théorème 1.4.1 : Pour n ≥ 3 il n’existe pas d’entiers strictement positifs x, y et z vérifiant
l’équation :
xn
+ yn
= zn
,
Pour n = 1, on a tout entier de la droite x + y = z avec z paramètre.
Pour n = 2, elle devient l’équation pythagoricienne déjà démontrée.
Le cas n < 100 a été démontré par Ernst Kummer. Cette équation proposée par Fermat en
1637 a inspiré de nombreuses générations de mathématiciens notammant Euler, David Hil-
bert, Mme Emmy Noéther. La recherche des solutions de cette égalité a beaucoup contribué à
l’évolution des Mathématiques. En 1995, le théorème a été démontré par Andrew Whiles. Gra-
phiquemment, on peut également comprendre ce théorème en considerant la courbe d’équation
(x
z
)n
+(y
z
)n
= 1 avec n > 2 et remarquer que cette courbe ne passe par aucun point à coordonnée
rationnelle non nulle.
16

1.4.3 le triangle de rêve
Il s’agit de trouver un triangle rectangle dont les cotés obéissent au triplet pytagoricien et
l’aire est celle d’un carré. Autrement, dit résoudre ce système dans N :
x2
+ y2
= z2
et
xy
2
= t2
avec x, y, z, t ∈ N
En fait ce triangle n’existe pas et s’explique par la transcendance de π.
Par ailleurs, il existe d’autres équations diophantiennes telles que l’équation de Pell, de Cata-
lan...etc.
17

Chapitre 2
Résolution des systèmes linéaires et
fonctions numériques
2.1 Résolution des systèmes linéaires
Historiquemnt parlant, l’algèbre linéaire naˆıt de l’étude des systèmes linéaires. Abordée en
1678 par Leibniz , la résolution des systèmes linéaires à 2 ou 3 inconnues revient à Mac Laurin en
1748 et complétée dans le cas général par Cramer en 1754. La notation matricielle fut adoptée
premièrement par Gauss et se formalisa par Cayley et Grassman. Lorsqu’on revient à l’exemple
concret donné dans le cas des chasseurs du Mali on retrouve le système suivant :
4x + 2y = 54, x= nombre de lions
x + y = 19, y= nombre d’aigles
Il existe plusieurs méthodes pour la résolution des systèmes linéaires parmi lesquelles, on peut
citer : la méthode de Cramer , méthode de Gauss, méthode de Crout, de Cholesky...etc. La
méthode de Cramer, non applicable que si det = 0, est lourde d’application puisqu’il faut
plus de 3 millions d’années pour résoudre un système de moins de 30 inconnues avec une
vitesse d’éxécution de plus 3 millions d’opérations par séconde alors qu’avec celle de Gauss,
sans condition, il nous faut seulement moins de 3 sécondes avec la même hypothèse. Les autres
méthodes étant des dérivées de celle de Gauss, alors le choix de la méthode de Gauss pour les
études ultérieures est justifié.
2.1.1 Méthode de Gauss
Soit le système suivant :
(S)
n
k=1
aikxik = bi; 1 ≤ i ≤ m.
Dans cette expression, m répresente le nombre d’équations et n le nombre d’inconnues.
En posant
A = (aij)1≤j≤n
1≤i≤m ; B = (bi)1≤i≤m et X = (xi)1≤i≤n.
On obtient cette forme compacte :
AX = B.
18

Quitte à permuter les lignes, on peut supposer que ∀ i aii = 0. Par les opérations
élémentaires (permutation des lignes ou colonnes - addition des lignes ou des colonnes- multi-
plication par un scalaire non nul des lignes ), on peut ramener le système à la forme suivante :
(S)
n
k=i
aikxik = bi; 1 ≤ i ≤ m.
L’ensemble solution de ce dernier système varie selon le nombre d’équations et d’inconnues
dans le système . Nous distinguons trois cas qui sont : l’égalité entre le nombre d’équations et
d’inconnues, le nombre d’équations dépasse celui d’inconnues ou vice-versa.
2.1.2 L’égalité entre le nombre d’inconnues et d’équations
Dans ce premier cas m = n l’unicité de la solution est rassurée mais on ne peut rien dire
de l’existence. Par la décomposition de Gauss, la solution si elle existe, se déduit par rémontée.
Le système après Gauss se présente comme suit.
(S)
n
k=i
aikxik = bi; 1 ≤ i ≤ n.
Exemple 4 : Soit le système :
(M) =
4x + 2y = 54, x nombre de lions ;
x + y = 19, y nombre d’aigles.
Le système admet le couple (8 lions ,11 aigles ) comme solution.
2.1.3 Plus d’équations que d’inconnues
Lorsque le nombre d’équation dépasse le nombre d’inconnues ,les m−n équations s’appellent
les équations auxiliaires. Après la méthode de Gauss on se ramène à :



p
k=i aikxik = bi 1 ≤ i ≤ p
bp+1 = 0
bp+2 = 0
· · ·
bm = 0
S’il existe j ∈ {p + 1, p + 2, · · · , m} tel que bj = 0, le système n’admet pas de solution.
On suppose maintenant que ∀j ∈ {p + 1, p + 2, · · · , m} bj = 0.
Dans ce cas si p = n alors le système devient le premier cas, donc si la solution existe elle est
unique.
Dans le dernier cas si p < n les xp+1, xp+2, · · · , xn sont des variables auxiliaires et libres ainsi
le système admet une infinité de solutions.
2.1.4 Plus d’inconnues que d’équations
Les n − m inconnues s’appellent des inconnues auxiliaires et se comportent comme des
paramètres . La solution est alors selon les valeurs prises par ces variables libres.
19

Exemple 5 : Dans R3
le système
x + y + 2z = 4
x − y = 2
admet comme solution le triplet (3 − λ, 1 − λ, λ; λ ∈ R).
Les applications sont multiples surtout dans la télécommunication la météo...etc. Bien que
dans la vie tout n’est pas linéaire, la résolution de beaucoup de systèmes non linéaires peut se
ramener à celle des systèmes linéaires. Nous y verrons dans la partie numérique.
2.1.5 Différence l’homme-machine sur le système Ax=b
Jusqu’à présent nous avons considéré l’arithmétique exacte effectuée à la main. Mais étant
donné que la plupart de ces résolutions s’effectuent sur la machine et que la réprésentation
machine est differente de celle de homme, il nous sera utile d’analyser le comportement de la
machine. Pour mieux visualiser la différence main-machine regardons cet exemple.
0.0003 3.0000
1.0000 1.0000
x1
x2
= −
2.0001
1.0000
Par la main la solution est (1
3
, 2
3
)T
. Par la machine la solution est (0, 0.667)t
. Ces deux solutions
sont bien différentes.
En faite l’arithmétique flottante, effectuée à la machine provoque inévitablement des petites
modifications de chaque terme dans la décomposition de Gauss. Il est alors possible que ces
erreurs aient d’importantes répercussions sur la solution, par conséquent le résultat machine
sera éloigné de la soluton exacte.
2.1.6 Limiter les dégats
Le problème vient au fait qu’on a divisé par un pivot presque nul. La solution à cela, consiste
à permuter les lignes pour avoir le plus grand pivot( même si le pivot n’est pas nul). Ainsi faite
la nouvelle solution est (0.3334, 0.6666)t
, proche de la réalité.
La deuxième alternative consiste à diviser chaque ligne du système linéaire par le plus grand
élément de la ligne correspondante de la matrice sans tenir compte des éléments du vecteur b.
2.1.7 Le conditionnement d’une matrice
L’exemple suivant montre que certaines matrices sont très sensibles aux erreurs dûes généralement
à la réprésentation de ses coefficients sur la machine.
1 3
1.1 2
x1
x2
= −
10
10.4
La solution est (4, 3)t
et si on remplace 1.1 par 1.05 la solution est (8, 1)t
. Nous allons essayer
de mesurer cette sensibilité.
20

Définition 21 : L’application
L :Mn(R) −→ R+
A −→ L(A) = A
est dite norme matricielle si :
A = 0 ⇐⇒ A = 0.
λA = |λ| A .
A + B ≤ A + B .
AB ≤ A B .
Soit A une matrice carré d’ordre n les applications suivantes sont des normes matricielles :
A 1 = max1≤j≤n
n
i=1
|aij| A j = max1≤i≤n
n
j=1
|aij|
Définition 22 : Le conditionnement d’une matrice ( noté cond A) est défini par
condA = A A−1
.
Par AB ≤ A B et cond(I) = 1, le conditionnement est toujours supérieur à 1. Une ma-
trice M est dite mal conditionnée si cond M est très éloigné de 1.
La matrice identité est une matrice bien conditionnée.
La matrice de Hilbert d’ordre n est un exemple de matrice mal conditionée : H(n) = (h(i, j))1≤i,j≤n
avec (h(i, j) = 1
i+j−1
.
Pour n=6, cond(H(6)) = 1, 4951.107
(calcul éffectué sur Matlab).
Théorème 2.1.1 : Soit le système Ax = b avec b = 0, on note ¯x la solution approchée, x la
solution exacte r = b − A¯x, le vecteur résidu et e = x − ¯x . Alors :
1
condA
r
b
≤
e
x
≤ condA
r
b
2.1.8 Interprétation du théorème
Si cond(A) est proche de 1, si le réel r est aussi petit, l’erreur relative approximative,
coincée entre deux petites valeurs ne peut qu’être petite.
Par contre si cond(A) est grand l’erreur relative se trouve quelque part entre 0 et un nombre
relativement grand.
Un mauvais algorithme aussi peut conduire à un résultat erroné.
Théorème 2.1.2 : Soit le système Ax = b, E une perturbation du système initial(due par
exemple aux erreurs de réprésentation des coefficients de A sur la machinele système Ax = b
dévient (A + E)x = b. Alors :
x − ¯x
¯x
≤ condA
E
A
Le terme x−¯x
¯x
est une approximation de l’erreur relative.
21

Si cond(A) est petite, une petite perturbation sur A entraˆınera une autre sur la solution x.
Par contre si cond A est grand, une petite perturbation sur A peut resulter en une très grande
perturbation sur la solution du système.
2.1.9 Les Méthodes itératives
La résolution numérique des grands systèmes linéaires peut parfois nécessiter l’emploi de
méthodes autres que les méthodes directes. Ces méthodes rapides sont des méthodes itératives.
Cependant avec les méthodes itératives contrairement à celle de Gauss, le succès n’est pas
toujours au rendez vous.
Nous présenterons rapidement la méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation.
2.1.10 Méthode de Jacobi, Gauss-Seidel et de Relaxation
Soit le système Ax = b, avec A = (aij)1≤i,j≤n. Quitter à permuter les lignes on peut supposer
aii = 0 ∀ i. Posons M = (mij)1≤i,j≤n avec mij = 0 si i = j et mii = aii puis N = (nij)1≤i,j≤n
avec nij = −aij et nii = 0. Alors le système dévient (M − N)x = b.
Par suite x = M−1
Nx + M−1
b.
Ce qui nous donne à la (k+1)ième itération :
xk+1
i =
1
aii
[bi −
n
j=i,j=1
aijxk
j ].
Dans cette expression pour le calcul de xk+1
i , on peut remplacer les composantes xk
1 , xk
2, , · · · , xk
i−1
par xk+1
1 , xk+1
2 , · · · , xk+1
i−1 (déjà calculés et constituent une plus bonne approximation ).
On obtient ainsi la méthode de Gauss :
xk+1
i =
1
aii
[bi −
i−1
j=1
aijxk+1
j +
n
j=i+1
aijxk
j ].
En insérant un facteur w non nul (wAx = b) pour mieux contrôler la vitesse et la convergence
on obtient la méthode de relaxation :
xk+1
i = xk
i +
w
aii
[bi −
i−1
j=1
aijxk+1
j +
n
j=i+1
aijxk
j ]
2.1.11 Convergence
1. Si la matrice A est à diagonale strictement dominante ( |aij| < |aii| pour j = i) la
méthode de Jacobi et de Gauss-Seidel converge.
2. Si M est symétrique définie positive la méthode de Gauss-Seidel converge.
Si la matrice 2M-A est définie positive, Jacobi converge.
La méthode de relaxation converge toujours pour w ∈ [0, 2].
Lorsque w ∈ [1, 2], on parle de sur-relaxation utilisée pour accélérer la convergence.
Lorsque w ∈ [0, 1], on l’appelle sous-relaxation utilisée pour converger les suites divergentes.
22

Exemple 8 (tiré dans le contrôle 1 d’anlyse numérique) Soit
A =


2 1 1
1 2 1
1 1 2

 et b =


4
4
4


En résolvant itérativement avec x0 = (0, 0, 0). Avec la méthode de Jacobi le résultat alterne
entre le vecteur ( 0,0,0) et (2,2,2), donc diverge. Avec Gauss il converge .
2.2 Les Formes linéaires
: Soit E un K-espace vectoriel. On appelle forme linéaire, toute application linéaire de E
vers K. u :E −→ K linéaire.
2.2.1 Les hyperplans
Soit E un K-espace vectoriel, on caractérise les hyperplans par la proposition suivante :
Proposition 5 : Un sous espace vectoriel H de E est dit hyperplan si et seulement si il existe
une forme linéaire de E vers K de noyau H.
Dans R2
les formes linéaires sont :
f :R2
−→ R
(x, y) −→ f(x, y) = ax + by.
Leur noyau est une droite confondue à un hyperplan.
Les espaces suivants sont des hyperplans :
H = {M ∈ Mn(R); trace(M) = 0}.
H = {P ∈ K[X], P(0) = 0} .
Les solutions des équations de la forme n
i=0 aixi = bi sont les hyperplans de dimension n − 1.
Pour n = 3, les hyperplans sont des plans d’équation : ax + by + cz − d = 0.
Pour n = 2 , les hyperplans sont des droites d’équation ax + by = c.
2.2.2 Formes quadratiques
La notion de forme quadratique apparaˆıt avec l’étude des coniques de Fermat. Vers 1700
Euler mena leur étude.
Définition 23 On appelle forme quadratique toute application de la forme :
q :E −→ R
x −→ q(x) = f(x, x)
où f est une application bilinéaire.
23

Autrement dit une forme quadratique est la diagonale de l’application bilinéaire associée.
: Soit q : E −→ R, une forme quadratique, un vecteur x ∈ E est dit isotrope pour q si
q(x) = 0.
On appelle le cône isotrope pour q noté Cq l’ensemble :
Cq = { x ∈ E; q(x) = 0}.
Cet ensemble est un cône convexe.
On dira que la forme quadratique q est définie positive si pour tout x ∈ E, q(x) > 0 et q(x) =
0 =⇒ x = 0. : Elles interviennent dans la recherche des extrémums.
Exemple 9 Les applications suivantes sont des formes quadratiques :
q :Mn(R) −→ R
A −→ det(A)
q :Mn(R) −→ R
A −→ tr(t
AA)
2.3 Les Fonctions numériques
Pour désigner des grandeurs géométriques dépendant d’un autre(par exemple la température
dépend du lieu), Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) utilisa le terme fonction en 1692 pour la
première fois . Aussi naˆıt le concept de derivée chez Newton alors que Leibniz utilsa la notation
df
dx
pour la désigner. Alors qu’on pensait que toute fonction était égale à sa série de, Taylor
Cauchy apporta un contre-exemple : x −→ exp(− 1
x2 )
2.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Enoncé par Bernhard Bolzano, ce théorème est à la base de la méthode de dichotomie que
nous évoquerons dans la partie numérique.
Théorème 2.3.1 : Soientt f : D −→ R continue a et b ∈ D tel que f(a)f(b) ≤ 0.
Alors il existe c ∈ [a, b] tels que f(c) = 0.
Ce théorème, moins d’hypothèse est très utile. Il permet même de trouver les zéros d’une
fonction par dichotomie et nous justifie la présence d’au moins d’une racine réelle dans la
résolution des polynômes de degré impair. Soit P un polynôme de degré impair on a :
( lim
x→+∞
P(x)).( lim
x→−∞
P(x)) < 0.
Alors il existe a, b ∈ R tel que P(a)P(b) < 0.
En particulier pour les polynômes de degré 3 il y a toujours une racine réelle.
2.3.2 Théorème de Rolle 1652-1749
Enoncé dans le cadre des polynômes ,le théorème de Rolle est incontournable dans la
construction de l’analyse et nous précise la relation entre les racines d’un polynôme et celle
de sa derivée.
Théorème 2.3.2 : Soit f : [a, b] −→ R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ tel que f(a) =
f(b).
Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.
24

Preuve 4 : Si f est constante ,c’est évident. Sinon , il exite x ∈]a, b[ tel que f(x) = f(a) par
exemple f(a) < f(x). La fonction f continue sur le compact [a, b] est donc bornée alors il existe
c ∈ [a, b] tel que f(c) = sups∈[a,b](f(s) or f(a) = f(b) < f(x) < f(c) alors c ∈]a, b[ et f(c) un
extremum de f d’où f (c) = 0.
2.3.3 Le théorème des points fixes
Le théorème des points fixes est un outil topologique très utilisé qui permet de résoudre
beaucoup d’équations de la forme f(x) = 0 et d’assurer souvent l’unicité du zéro de cette
équation. Pour résoudre une telle équation, il suffit de montrer l’existence d’un point fixe de
l’application g(x) = f(x) − x. En effet f(x) = 0 ⇐⇒ x − f(x) = x ⇐⇒ g(x) = x avec
g(x) = x − f(x). Il est issu de Banach et possède plusieurs versions telles que celle de Brower.
Théorème 2.3.3 : Soit E un espace métrique complet f : E −→ E une application telle que :
∃k ∈]0, 1[ ∀(x, y) ∈ E , d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y).
Alors, il existe un unique a ∈ E tel que f(a) = a.
D’une manière générale, la version du théorème de Brower permet d’assurer l’existence d’un
point fixe dans un compact convexe pour k ∈]0, 1].
Théorème 2.3.4 Soit K un espace compact convexe d’un espace vectoriel normé f : K −→ K
une application continue tel que
∀ (x, y) ∈ K f(x) − f(y) ≤ x − y
Alors f admet au moins un pint fixe.
Preuve 5 Soit a ∈ K. on définit une suite de fonction
fn : K −→ K x −→
1
n
a + (1 −
1
n
)f(x).
De la relation
fn(x) − fn(y) = (1 −
1
n
) f(x) − f(y) ≤ (1 −
1
n
) x − y .
fn est (1 − 1
n
) contractante.Comme K est complet alors le théorème du point fixe assure
l’existence de xn tel que fn(xn) = xn. La suite xn prenant ses valeurs dans un compact admet
alors une sous -suite convergente xϕ(n) dont la limite appartient à K. L’inégalité :
f(x) − fn(xn) = f(x) − fn(x) + fn(xn) − fn(x) ≤
1
n
( a + f(x) ) + x − xn .
montre que fϕ(n)(xϕ(n)) converge vers f(x). En passant à la limite dans l’égalité fϕ(n)(xϕ(n)) =
xϕ(n) on obtient f(x) = x.
Il existe d’autres théorèmes tel que le théorème des fonctions implicites mais qui résolvent le
problème dans d’autres contextes qui entrent dans d’autre domaines tel qu’analyse fonctionnelle.
25

2.4 Les extremums et formes standards
Maximiser la satisfaction et minimiser les dépenses est un problème fréquent dans la vie
quotidienne dont la résolution se traduit par la recherche du maximum ou du minimum d’une
fonction f(x), cela passe souvent par la résolution de f (x) = 0 ou de f(x) = 0.
Pour mieux visualiser regardons ce système.



Maximiser ou Minimiser f(x, y, z) = 0,
g1(x, y, z) ≤ 0,
g2(x, y, z) ≥ 0,
g3(x, y, z) ≤ 0, x ≥ 0; y ≥ 0; z ≤ 0,
Cette résolution passe par la forme stantard



f(x, y, z) = 0,
g1(x, y, z) = 0,
g2(x, y, z) = 0,
g3(x, y, z) = 0, x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0,
Qui n’est autre qu’une forme de F(X) = 0.
2.4.1 Extremum simple
Définition 24 : Point critique.
Soient U un ouvert de Rp
, f une application de U vers R et a ∈ U.
On dit que a est un point critique si f (a) = 0.
Proposition 6 : Soit a un point critique et Q la forme quadratique définie par :
Q(h) =
i,j
hihj
∂2
f(a)
∂xixj
.
Alors si la forme quadratique est définie positive f admet un minimum en f(a).
Réciproquement si f admet un minimum en a, la forme quadratique est positive .
Mais si la forme quadratique est seulement positive, on ne peut pas conclure comme le prouve
l’exemple classique f(x) = x3
. Son application est très vaste dans la vie courante surtout si l’on
veut déterminer la température maximale d’un lieu, le gain maximal d’une entreprise, le coût
minimal d’un projet. Il intervient surtout aussi dans l’optimisation.
Un cas particulier intéressant en dimension 2 : Soient f : R2
−→ R de classe C2
et A sa matrice
hessienne associée. Alors A est définie par :
A = (
∂2
f(a)
∂xixj
)1≤i,j≤2
Par le théorème de Schawrtz A est symétrique réelle donc diagonalisable, soit λ1 et λ2 les
deux valeurs propres.
Notons
r =
∂2
f(a)
∂x2
; t =
∂2
f(a)
∂y2
; s =
∂2
f(a)
∂xy
; A =
r s
s t
26

Supposons detA > 0 ; detA = rt − s2
= λ1.λ2 > 0 .(1) et trace(A) = λ1 + λ2 = r + t (2).
Par (1) et (2) on a : (λ1 et λ2) et (r et t) sont de même signe.
On conclut par le tableau suivant : Si rt − s2
> 0 et r < 0 : maximum
au point f(a).
Si rt − s2
> et r > 0 : minimum au point f(a).
Si rt − s2
< 0 : pas d’extremum au point f(a).
Si rt − s2
= 0 : on ne peut rien conclure au point f(a).
2.4.2 Extremum lié
Proposition 7 : Soient toujours U un ouvert de R2
et f, g1, g2 · · · gr r+1 applications de U
dans R de classe C1
. Posons
Γ = {x ∈ U, g1(x) = g2(x) = · · · gr(x) = 0}.
Alors :
Si f/Γ admet un extremum relatif en a et si les fonctions linéaires dg1(a), ..., dgr(a) sont
linéairement indépendantes alors il existe λ1, λ2 · · · λr scalaires appelés multiplicateurs de La-
grange tel que :
dfa =
r
1
λkdgk(a).
C’est un cas particulier des conditions de KKT. Son application est très importante surtout en
programmation non linéaire.
Exemple 10 : Soit σ(x, y, z) une fonction réprésentant la température de Oukaidem(région de
Marrakech). Il s’agit de déterminer le maximum de σ (la température maximale) dans le rayon
de 200 m et d’altitude 100 m. Ici on a :
Γ = {(x, y, z) ∈ R3
; x2
+ y2
= 200 et z = 100}
Exemple 11 : Déterminer parmi les parallélépipèdes en maintenant le volume constant celle
qui a la plus petite surface.
f(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz et Γ = {(x, y, z) ∈ U tel que xyz = c, c ∈ R}
Par la proposition précédente on a :
x + z
xy
=
x + y
xz
=
y + z
yz
=⇒ x = y = z
Donc le cube est le parallélipipède recherché de volume x3
et de surface 6x2
.
27

Chapitre 3
Résolution numérique des équations et
systèmes non linéaires
Nous venons d’étudier les équations de la forme f(x) = 0 avec f un polynôme de degré infe-
rieur ou égal à quatre ou un système linéaire. La résolution de ces deux problèmes malgré leur
domaine d’application trop restreint ; demande aussi souvent un temps de calcul très énorme :un
de leur défaut. Mais naturellement, nous sommes confrontés à un problème lorsqu’il s’agit de
résoudre l’équation au-delà de ces deux cas, même dans les cas les plus simples que polynômiaux
tel que : exp(−x) − x = 0.
Il sera alors plus important de résoudre le problème rapidement même s’il s’agit de fa¸con ap-
proximative. D’où la nécessité et l’utilité d’une méthode donnant des solutions approximatives
mais de fa¸con rapide :Les méthodes numériques. Il reste toutefois à signaler que l’efficacité
d’une méthode dépend de ses propriétés topologiques(convergence, précision...)que de sa faci-
lité d’utilisation et son comportement sur la machine.
Définition 25 1. Une suite xn convergente vers α est dite d’ordre p si : ∃C > 0 tel que
xk+1−α
xk−α p < C à partir d’un certain rang.
Si p = 1, la convergence est linéaire et si p = 2 la convergence est dite quadratique.
2. Soit x un nombre réel et ¯x une valeur approchée de x.
L’erreur absolue est donnée par : ∆x = |x − ¯x|.
L’erreur relative est donnée par : Er(x) = |x−¯x|
|x|
= ∆x
x
.
3. Une valeur a vérifiant f(a) = 0 est appélée racine ou zéro de f.
Elle est dite racine simple si f (a) = 0 Elle est dite multiple d’ordre m si :
f(a) = f (a) = f (a) = · · · fm
(a) = 0 et fm+1
(a) = 0.
4.On appelle l’itération maximale qu’on notera itmax, le plus grand nombre d’itérations qu’on
se fixe, à ne pas dépasser, au-delà duquel la méthode est dite divergente.
3.1 Les fonctions réelles
Nous avons plusieurs méthodes telles que la méthode de dichotomie ( du Grec dikhoto-
mia : action de partager en deux), la méthode de Newton et sa dérivée(méthode de sécante),
la méthode du point fixe. Nous développerons la première, vue sa simplicité et son concept
élémentaire et la deuxième méthode, vue son efficacité, et son utilisation dans la résolution des
systèmes non linéaires. Nous supposerons la fonction continûment differentiable autant qu’il
faut.
28

3.1.1 Méthode de dichotomie ou de bissection
La méthode de bissection répose sur une idée toute simple :le théorème des valeurs in-
termédiaires.
3.1.2 Principe
Soient f une fonction réelle continue et [x1, x2] un intervalle dans R tel que f(x1)f(x2) < 0.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, on sait qu’il existe a ∈ [x1, x2] tel que f(a) = 0.
Dans le but de s’approcher à a, posons xm = x1+x2
2
alors nécessairement on a : f(x1)(f(xm) < 0
ou f(xm)f(x2) < 0. Ainsi, il suffit de prendre l’un des deux intervalles [x1, xm] ou [xm, x2]
dans lequel il y’a un changement de signes, et ainsi de suite. Par le même processus nous
nous approchons à la solution recherchée en contrôlant l’erreur. Ceci nous amène à l’algorithme
suivant.
Algorithme 1 : il se présente ainsi :
1.Etant donné x1, x2 deux réels tels que f(x1)f(x2) < 0 ; un critère d’arrêt ε, un nombre
maximal d’itérations itmax.
2. Poser xm = x1+x2
2
.
3.Si |x1−x2|
|2xm|
< ε.
– Convergence atteinte.
– Ecrire la racine xm et f(xm).
– Arrêt.
4. Si f(x1)f(xm) < 0; x2 = xm.
5. Si f(x2)f(xm) < 0; x1 = xm.
6. Si le nombre maximal d’itérations itmax est atteint.
– Convergence non atteinte en itmax itérations.
– Arrêt.
7. Retour à l’étape 3.
La méthode de dichotomie converge toujours mais lentement. Pour cette raison, on l’utilise pour
initier les méthodes rapides. La méthode de dichotomie à l’avantage de connaˆıtre au préalable
le nombre d’itérations nécessaires à la convergence. En effet soit L = |x1 −x2|, après n itérations
la longueur de l’intervalle vaut : L
2n . Ainsi on obtient une idée sur n : L
2n < ∆x =⇒ n >
ln( L
∆x
)
ln2
.
Les défauts de la méthode de dichotomie :
La première situation critique est celle où f est tangente à l’axe de x. La deuxième situation
est celle où il y a un nombre pair de racines dans l’intervalle initial. Dans ces deux cas, il n’ y
a pas changement de signe d’où son imperfection.
3.1.3 Méthode de Newton
La méthode de Newton est l’une des méthodes la plus utilisée et se trouve à la base de
plusieurs méthodes.
29

3.1.4 Principe
Supposons f’ non nulle en x0.
A partir d’une valeur initiale x0 de la solution, quelle quantité faut -il ajouter à x0 pour annuler
la fonction f(x) i.e 0 = f(x0 + δx) ? Cette quantité δx s’appelle la correction.
Par le développement de Taylor autour de x = x0 on a :
0 = f(x0 + δx) = f(x0 + f (x0)δx +
f (x0)
2!
(δx)2
+
f (x0)
3!
(δx)3
+ ...
En négligeant les termes d’ordre supérieur ou égal à 2 en δx on obtient :
0 f(x0) + f (x0)δx
On peut alors isoler la correction cherchée δx = − f(x0)
f (x0)
. Puisqu’on a négligé les termes d’ordre
supérieur ou égal à 2 dans le développement de Taylor, la correction δx n’est pas exacte. Par
le même processus, on pose x1 = x0 + δx en cherchant à le corriger x1 d’une autre correction
δx de la même manière que précédemment.
3.1.5 Interprétation géométrique
La figure ci- dessous permet de donner une interprétation géométrique assez simple de la
méthode de Newton. Sur cette figure, on a réprésenté la fonction f(x) , la valeur initiale x0 et
le point de la courbe (x0, f(x0)). La droite tangente à la courbe au point x0 est de pente f (x0)
et a pour équation :
y = f(x0) + f (x0)(x − x0)
qui correspond au développement de Taylor d’ordre 1 autour de x0. Cette droite coupe l’axe
des x en y = 0. Alors x1 = x0 − f(x0)
f (x0)
devient la nouvelle valeur approchée de la solution. On
refait le même raisonnement à partir du point (x1, f(x1). Et ainsi de suite. D’où la figure.
Par le principe et le graphe, on obtient l’algorithme suivant.
Algorithme 2 :
30

1. Etant donner un critère d’arrêt, un nombre maximal d’itérations, une valeur initiale de la
solution x0.
2. Effectuer : xn+1 = xn − f(xn
f (xn)
.
3. Si |xn+1−xn|
|xn+1|
< ε.
– Convergence atteinte en xn+1.
– Ecrire la solution xn+1.
– Arrêt.
– Arrêt.
5. Retour à l’étape 2.
3.1.6 Analyse de la convergence
Dans l’algorithme précédent, on a considéré un x0 quelconque, mais il faut toute fois signaler
qu’un bon choix de la valeur initiale x0 est nécessaire à la convergence. Par conséquent il nous
sera très utile d’énoncer ce théorème afin de nous donner une idée sur la valeur initiale de la
solution.
Théorème 3.1.1 : Si f est de classe C1
, et possède une racine a simple et séparée dans l’in-
tervalle [a, b], alors il existe un intervalle I ⊂ [a, b] et contenant x tel que : ∀ x0 ∈ I la méthode
de Newton converge.
Si de plus f est de classe C2
la méthode est d’ordre 2 on a :
lim
n→∞
xn+1 − a
(xn − a)2
= −
f (a)
f (a)
Nous sommes rassurés de la convergence de la méthode de Newton avec ce choix de x0. Mais
cette convergence est-elle rapide ?
Théorème 3.1.2 : Supposons que f est de classe C1
sur un intervalle I = [x − r, x + r] tel que
f (x) = 0 , ∀ x ∈ I. Soit M = max |f(x)|
|f (x)|
et h = min(r, 2
M
). Alors
x0 ∈ [x − h, x + h] |xn − ¯x| ≤
2
M
(
M
2
|x0 − ¯x|)2n
.
Ceci prouve que la méthode est quadratique. Dans l’algorithme précédent, on a supposé les
racines simples, on est convaincu qu’il n’est pas évident d’avoir toujours que des racines simples.
On peut toujours se ramener, au cas où les racines sont simples. En effet, il suffit de transformer
le problème en un problème équivalent ayant les mêmes racines mais de multiplicité 1. Dans ce
but, on considère
u(x) =
f(x)
f (x)
=
(x − a)m
h(x)
mh(x) + (x − a)mh (x)
.
Puisque h(a) = 0, alors u(a) = 0, par dérivation on a u (a) = 1
m
= 0. On peut maintenant
appliquer l’algorithme de la méthode de Newton sans se soucier si la dérivée s’annule ou pas.
Le calcul de la dérivée pose souvent problème, on peut l’éviter par l’approximation :
f (xn) =
f(xn) − f(xn−1)
xn − xn−1
.
On obtient par cette approximation la méthode de Sécante.
31

Exemple 12 :La fonction f(x) = exp(−x) − x = 0.
xn+1 = xn −
exp(−xn) − xn
− exp(−xn) − 1
Voici le tableau à la cinquième itération :
n xn en
en
en−1
0 0.0000000 0.567110+0
1 0.5000000 0.671410−1
0.118310+0
2 0.5663110 0.832310−3
0.123910−1
3 0.5671437 0.125010−6
0.150110−3
4 0.5671433 0.409710−9
On remarque ici la rapidité de la convergence et sa quadrature.
3.2 Résolution des systèmes non linéaires
Les systèmes linéaires ne constituent pas plus que 30% des systèmes qu’on rencontre dans
dans la pratique. En pratique, les phénomènes non linéaires sont extrêmement fréquents. Dans
cette section nous examinerons comment transformer un système non linéaire en un système
linéaire auquel cas on peut appliquer la méthode de Gauss. Au fait le problème consiste à
trouver le ou les vecteur ¯x = [x1, x2, · · · , xn]T
vérifiant les n équations non linéaires suivantes :



f1(x1, x2, · · · , xn) = 0
f2(x1, x2, · · · , xn) = 0
· · · · · ·
fn(x1, x2, · · · , xn) = 0
Contrairement aux systèmes linéaires, il n’existe pas de condition qui peut assurer l’unicité de
la solution. Les méthodes de résolution des systèmes non linéaires sont nombreuses mais nous
nous limiterons à exposer la plus utilisée soit la méthode de Newton. Nous commencerons par
un système de deux équations et la généralisation au cas n découlera facilement. Considérons
le système :
f1(x1, x2) = 0
f2(x1, x2) = 0
Soit (x0
1, x0
2) une approximation initiale de la solution, le but est de déterminer la correction
(δx1, δx2) de telle sorte que :
0 = f1(x0
1 + δx1, x0
2 + δx2)
0 = f2(x0
1 + δx1, x0
2 + δx2)
En négligeant les termes d’ordre supérieur ou égal à 2 en (δx1, δx2) dans le développement
de Taylor en deux variables au point (x0
1, x0
2) on obtient le système suivant :
∂f1(x0
1,x0
2)
∂x1
δx1 +
∂f1(x0
1,x0
2)
∂x2
δx2 = −f1(x1, x2),
∂f2(x0
1,x0
2)
∂x1
δx1 +
∂f2(x0
1,x0
2)
∂x2
δx2 = −f2(x1, x2),
32

En notant J(x0
1, x0
2) la matrice jacobienne de f au point (x0
1, x0
2), δx = (δx1, δx2) le vecteur
correction cherché et R(x0
1, x0
2) = (f1(x1, x2), f1(x1, x2))T
on obtient :
J(x0
1, x0
2)δx = −R(x0
1, x0
2).
On peut résoudre par exemple ce système linéaire en appliquant la méthode de Gauss. On refait
la même opération avec :
x1
1 =, x0
1 + δx1, x1
2 = x0
2 + δx2
x1
1 =, x0
1 + δx1 ;
x1
2 = x0
2 + δx2 .
En généralisant au cas n on, obtient l’algorithme suivant.
Algorithme 3 :
1. Etant donné ε, itmax, le vecteur initial, x0
= ([x0
1, x0
2, · · · , x0
n]T
.
2. Résoudre J(xi
)δxi = −R(xi
).
3. Si R(xi
) ≤ ε et δxi
δxi+1
≤ ε.
– Convergence atteinte.
– Ecrire la solution xi+1
.
– Arrêt.
– Arrêt.
5. Retour à 2.
Exemple 13
f1(x, y) = exp(x) − y = 0.
f2(x, y) = x2
+ y2
− 16 = 0.
J(x,y)=
exp(x) −1
2x 2y
Graphiquement :
33

Le graphe nous indique qu’une solution est au voisinage du vecteur (2.8, 2.8). donc on prend
x0
0 = (2.8; 2.8) A l’itération 1 on a :
exp(2.8) −1
2(2.8) 2(2.8)
δx1
δx2
= −
exp(2.8) − 2.8
2(2.8)2
+ 2(2.8)2
Ainsi, on obtient le tableau suivant à l’itération 5 :
n δx R x
1 (0.77890 ; 0.83604) (13.645 ; -0.3200 ) (2.024 ; 3.63604)
2 ( -0.5048 ;0.10106 ) (3.9106 ; 1.3056 ) (1.5163 ; 3.7371)
3 ( 0.17208 ;0.34355 ) (0.81824 ; 0.2650 ) (1.3442 ; 3.7715)
4 (0.0161616 ;0.0163847 ) (0.063617 ; 0.031086 ) (1.3280 ; 3.7731)
5 (9,03 e-5 ; 9.25e-6) (0.348866e-3 ; 0.16946e-3) (1.3281 ; 3.7731)
La convergence de la méthode de Newton dépend crucialement de l’approximation initiale du
vecteur x0 de la solution.
Un mauvais choix résultera à un algorithme divergent.
La convergence est quadratique et cet caractère se perd si la matrice n’est pas inversible.
Il existe plusieurs variantes de la Méthode de Newton qui peuvent éviter le calcul de la dérivée./.
34

Conclusion
Sachant que la résolution des problèmes mathématiques aboutit en géneral à la naissance
d’autres nouveaux concepts et notions mathématiques. La communauté mathématique doit ac-
tiver ses recherches pour les résolutions analytiques non seulement pour résoudre des équations
d’ordre quelconque mais aussi pour la contribution de cette recherche en mathématique notam-
ment la naissance d’autres concepts comme fut née la notion du groupe avec Evariste Galois (à
la recherche des méthodes du cinquième degré ) et la naissance des ideaux et anneaux par Emmy
noéther Hilbert...etc (dans la recherche des solutions de l’équation du Fermat). Les méthodes
numériques avec l’évolution exponentielle de la technologie peuvent combler la demande de
l’homme préssé pour la résolution des problèmes mathématiques auquels il est confronté.
35

Chapitre 4
R´eference Bibliographique
36

Bibliographie
[1] Vodney Donev , Dictionnaire de Mathématique, Mouscou
[2] FORTIN André, Analyse numérique pour l’ingénieur,Edit :Ecole polytechnique de
Montréal-1995 .
[3] GOURDON Xavier Tome d’Anlyse et d’algèbre Ellipse,1994 .
[4] LEMBARKI Alami, Analyse numérique 1-2 Département de Mathématique -FSSM ,Mar-
rakech 2005
[5] Algèbre 2 -SMA Département de Mathématique -FSSM,Marrakech ;2005
[6] Peruzo Bordas Encyclopedie -Mathématique- ,Bordas ;1970.
Department of Mathematics, University Cadi Ayyad, Faculty of Sciences Semlalia
P.O. Box : 2390, Marrakesh, Morocco. http ://www.ucam.ac.ma.
SIDIBE Ali Broma ; jahbromo@yahoo.fr ; http ://www.jahbromo.tk
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