Igrv2017

Bruno Lévy
Programmeur Mathématique
ALICE Géométrie & Lumière
CENTRE INRIA Nancy Grand-Est
Simuler la physique avec un ordinateur
Mécanique des fluides
Bruno Lévy – Inria – équipe NEWPOINT (ALICE 2.0)

Least Squares Conformal Maps
2002

Plan
> La Physique (1)
> Le principe de moindre action
> Fluides et transport optimal
> La Physique (2)
> Vers l infini et au delà…

De quoi va-ton parler ?
De physique
De mathématiques
D informatique graphique

La musique: un langage pour parler
- du temps

- du temps
- du rythme

- du temps
- du rythme
- de la hauteur des sons

Ut queant laxi,
Resonare fibris,
Mira gestorum,
Famuli tuorum,
Solve polluti,
Labii reatum.

Ut queant laxi,
Resonare fibris,
Mira gestorum,
Famuli tuorum,
Solve polluti,
Labii reatum.
Afin que tes serviteurs
Puissent chanter
à gorge déployée
Tes accomplissements merveilleux
Ote le péché
De leurs lèvres souillées
Saint Jean.

- du temps
- du rythme
- de la hauteur des sons
- delaforcedessons…

The connection machine – D. Hillis
R. Feynman,
Playing bongos

La physique: un langage pour parler
- du temps

- du temps
- de la matière

- du temps
- de la matière
- de l énergie

- du temps
- de la matière
- de l énergie
- de la lumière

- du temps
- de la matière
- de l énergie
- de la lumière
- desforces…

René Descartes - 1663
Des tourbillons
dans l éther ?

Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
(1) Inertie
En l absence de forces, le mouvement s effectue en ligne droite à vitesse constante

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
(1) Inertie
x position

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
(1) Inertie
x position
x vitesse

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
(1) Inertie
x position
x vitesse
x = constante

x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s
Comment simuler ce comportement sur un ordinateur ?
A chaque seconde
Décaler le rond vert
d’1m m vers la droite

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
x position
x vitesse
x accélération
F = m x

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
x position
x vitesse
x accélération
F = m x
Force

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
x position
x vitesse
x accélération
F = m x
Force
Masse

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = gComment simuler ce comportement
sur un ordinateur ?
A chaque seconde
soustraire 9.81 m/s de la
composante verticale de la vitesse
déplacer le point vert suivant
la vitesse

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On fait les calculs avec une certaine précision

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On peut augmenter cette précision

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On peut augmenter cette précision
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Les dérivées f’(x )
df(t)
dt
df(x)
dx

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
df(t)
dt
df(x)
dx
Variation de quelquechose
par rapport au temps

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
df(t)
dt
df(x)
dx
par rapport à l espace

Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Les dérivées – Le calcul différentiel
“fantômes de quantités disparues”
Newton et Leibniz
df(t)
dt
df(x)
dx
par rapport à l espace

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
Deux corps qui agissent l un sur l autre le font avec une force d’intensité égale
mais de sens opposé.

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
Deux corps qui agissent l un sur l autre le font avec une force d intensité égale
F = -FAB BA

Isaac Newton
1623-1727
1687
(1) Inertie
Deux corps qui agissent l un sur l autre le font avec une force d intensité égale
F = -F = -G mA mBAB BA
d2
Gravitation

Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x
Dérivée seconde
en temps

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
Corde fixée à ses deux extremités –
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
sin(ωx)

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
sin(ωx) ω cos(ωx)
∂
∂x

∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
sin(ωx) ω cos(ωx) -ω2 sin(ωx)
∂
∂x
∂
∂x

Euler Lagrange
∫t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Hamilton, Legendre, Maupertuis

Euler Lagrange
∫t1
t2
Lois de la nature = minimiser l Action

Euler Lagrange
∫t1
t2
Lois de la nature = minimiser l Action = de l énergie X du temps

∫t1
t2
Lois de la nature = minimiser l Action = de l énergie X du temps

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Le principe de moindre action
Axiome 1: Il existe une fonction L(x,x,t) Qui décrit l’é ta t
du système
Axiome 2: Le mouvement du
système minimise l intégrale suivante
Sources:
Cours de physique théorique – Volume 1 – mécanique Landau & Lifschitz
Emmy Noether s Wonderful Theorem – Dwight E. Neuenschwander

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
du système
t=0
t=1

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
du système
Théorème 1: (équation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
t=0
t=1

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Théorème 1: (Equation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
x’
t’ =
x+vt
t
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
x’
t’ =
x+vt
t
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l énergie

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
x’
t’ =
x+vt
t
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité de l espace →
Conservation de la quantité de mvt

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
x’
t’ =
x+vt
t
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Isotropie de l espace →
Conservation du moment cinétique angulaire

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
x’
t’ =
x+vt
t
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Quantités conservées:
“Intégrales du mouvement”
Théorème de Noeter

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 3:
x’
t’ =
x+vt
t
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Conservation de l’énergie
Particule libre:
Theorem 3: v = cte (1ère loi de Newton)
Expression du Lagrangien:
L = ½ m v2

∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 3:
x’
t’ =
x+vt
t
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Conservation de l’énergie

Axiom 1: There exists L
Axiom 2: The movement minimizes ∫ L
Theorem 1: (Lagrange equation):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiom 3:
Invariance w.r.t. change of
Gallileo frame + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Particule libre:
Théorème 3: v = cte (N ew to n ’s la w I)
Expression du Lagrangian:
L = ½ m v2
Expression de l’E n e rg ie:
E = ½ m v2
Particule dans un champ:
Expression du Lagrangian:
L = ½ m v2 – U(x)
Expression de l’E n e rg ie:
E = ½ m v2 + U(x)
Théorème 4:
mx = - U (2ème loi de Newton)

Axiome 2: Le mouvement minimise ∫ L
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à un changement
de repère de Lorentz
x’
t’ =
(x-vt) x γ
(t – vx/c2) x γ
γ = 1 / ( 1 – v2 / c2)
en mécanique relativiste

∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
x’
t’ =
(x-vt) x γ
(t – vx/c2) x γ
γ = 1 / ( 1 – v2 / c2)
Théorème 5:
E = ½ γ m v2 + mc2

∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
x’
t’ =
(x-vt) x γ
(t – vx/c2) x γ
γ = 1 / ( 1 – v2 / c2)
Théorème 5:
E = ½ γ m v2 + mc2
E0 = mc2

en mécanique quantique

Fluides
Partons des coordonnées de Lagrange:
“trajectoires des particules”: X(t,x)
Charactéristiques
Au temps t:
où est la particule qui était
en x à t=0

Fluides
Minimiser
l Action:
∫t1
t2
1/2
∫Ω
∂X (t,x)
∂t
dxdt
(ρ = cte)
2
Charactéristiques
Au temps t:
en x à t=0

Fluides
Minimiser
l Action:
∫t1
t2
1/2
∫Ω
∂X (t,x)
∂t
dxdt
(ρ = cte)
sous la contrainte que X soit incompressible
2
Charactéristiques
Au temps t:
en x à t=0

?
T
Fluides & Transport Optimal
ρ1 ρ2

?
T
Minimiser
A(ρ,v) =
∫t1
t2
(t2-t1)
∫Ω
ρ(x,t) ||v(t,x)||2
dxdt
s.t. ρ(t1,.) = ρ1 ; ρ(t2,.) = ρ2 ; d ρ
dt
= - div(ρv)
ρ1 ρ2

?
T
∫t1
t2
(t2-t1)
∫Ω
ρ(x,t) ||v(t,x)||2
dxdt
s.t. ρ(t1,.) = ρ1 ; ρ(t2,.) = ρ2 ; d ρ
dt
= - div(ρv)
ρ1 ρ2
Minimiser C(T) =
∫Ω
|| x – T(x) ||2 dx
s.t. T préserve la mesure
ρ1(x)
Benamou-BrenierMinimiser
A(ρ,v) =

Fluides &
Transport
Optimal
Première: écolé d été gdr-im, Nancy, Mars 2018

Gaspard Monge - 1784
ANR TOMMI Workshop

Cédric Villani
Optimal Transport Old & New
Topics on Optimal Transport
Yann Brenier
The polar factorization theorem
(Brenier Transport)
Le Transport Optimal – De Monge a Villani

(X;μ) (Y;ν)
Deux mesures μ, ν telles que: ∫dμ(x) = ∫dν(x)
X Y

Une application T est une application de transport entre μ et
ν si :
μ(T-1(B)) = ν(B) pour tout ss-ens. mesurable B de Y
(X;μ) (Y;ν)

B
(X;μ) (Y;ν)
ν si :

B
T-1(B)
(X;μ) (Y;ν)
ν si :

Continu
Semi-discret
Discret
(X;μ) (Y;ν)

(X;μ) (Y;ν)

Diagramme de Voronoi: Vor(xi) = { x | d2(x,xi) < d2(x,xj) }

Diagramme de puissance: Pow(xi) = { x | d2(x,xi) – ψi < d2(x,xj) – ψj }
Diagramme de Voronoi: Vor(xi) = { x | d2(x,xi) < d2(x,xj) }

Le schéma [Mérigot-Gallouet]
Applications en graphisme: [De Goes et.al] (power particles)

Ampère, l électro-aimant et le bonhomme
André-Marie Ampère
1775 - 1836
La physique (2)

Ampère, l électro-aimant et le bonhomme
André-Marie Ampère
1775 - 1836
Expériences…
La physique (2)

Maxwell et le champ éléctromagnétique
James Clerk Maxell
1831 - 1879
La physique (2)

x E =
∂H
∂t
μ-
Champ électrique

Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
x E =
∂H
∂t
μ-

Champ électrique
Variations en temps
Opérateur “tourbillon” (rotationnel)
x E =
∂H
∂t
μ-

Champ électrique
Variations en temps
E
x E =
∂H
∂t
μ-

Champ électrique
Variations en temps
E
var. temp.
de H
x E =
∂H
∂t
μ-

Hx H =
∂E
∂t
ε
var. temp.
de H
x E =
∂H
∂t
μ-

.E = 0
.H = 0
Dans tout patatoide élémentaire,
ce qui rentre est égal à ce qui sort
(valable pour Electricité et Magnétisme)
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε

∂2E
∂t2
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
= 2E1
με
Constantes – unités relatives utilisées en
éléctricité et en magnétisme

∂2E
∂t2
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
= 2E= 2E1
με
c2
Leur produit vaut 1/c2
(c: vitesse de la lumière)

Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
∂2E
∂t2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε

Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C est l équation d ondes !!!∂2E
∂t2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε

Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
∂2E
∂t2
=c2 2E
∂2H
∂t2
=c2 2H
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
C est l équation d ondes !!!

Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
Vitesse de propagation: c
∂2E
∂t2
=c2 2E
∂2H
∂t2
=c2 2H
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε

Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
Vitesse de propagation: c
La lumière est une onde
électromagnétique !!!!!
∂2E
∂t2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε

Géométrie différentielle
Carl Friedrich Gauss 1800
Bernhard Riemann 1850
L espace courbe

L espace courbe – La relativité
Anselme Lanturlu – Jean-Pierre Petit - http://www.savoir-sans-frontieres.com/
Le Geometricon / Le Topologicon / Le trou noir / Tout est relatif

Simuler tout l univers dans un ordinateur…

René Descartes - 1663
Des tourbillon dans l éther ?
(pas tout à fait, il n y a pas d éther)
Le“ fluide” cosmique
Vers l infini et au delà …

Reconstruction de l univers primordial
Les données – Fond de rayonnement cosmologique
COBE 1992

Les données – Fond de rayonnement cosmologique
WMAP 2003
2006
2008
2010

Les données – campagnes d’acquisition red-shift

The millenium simulation project, Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)

Reconstruction de l état primordial de l univers
La piscine universelle

Inverser les équations de Newton / Einstein pour remonter
le temps de 14 milliards d années
The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 light years)

En 2002: 5 heures de calcul
sur un super-ordinateur / 5000 points

Il serait déraisonnable de faire le
calcul avec plus de 100 000 points

Peut-on faire le calcul avec
1 000 000 points ?

Peut-on faire le calcul avec
1 000 000 points ?
Oui si on attend (4500 ans !!)

hi

Il y a quelques années(2002), 5 heures de calcul sur un super-ordinateur
Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins de 2 secondes sur un PC !
Expériences numériques: performances
Calcul pour 5000 points (5000 amas de galaxies)

Prendrait 4500 ans (même sur un ordinateur actuel), algorithme en O(n3)
Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins de 5 min. sur un PC portable !
Expériences numériques: performances
Calcul pour 1000000 points

Expériences numériques: Early Universe Reconstruction
Coopération avec
- Roya Mohayaee, Jean-Michel Alimi (Institut Astrophysique de Paris)
- Quentin Mérigot, Yann Brenier, Jean-David Benamou (Inria MOKAPLAN)

Ressources
Des liens sur ma page web (google-chercher “bruno levy inria”)
Sur la physique:
Ian Stewart, 17 equations qui ont changé le monde
Landau & Lifschitz, physique théorique, volume 1 (mécanique)
le cours et la thèse de Feynman
la thèse de Hawking & the large-scale structure of space-time
Emmy Noethers Wondeful Theorem, D.E. Neuenschwander
Sur le transport:
Les deux bouquins de Villani et celui de Filippo Santambrogio
Yann Brenier, le théorème de factorisation polaire
Christian Lenoard – ponts browniens & régularisation entropique
Mon cours gdr-im, notre article (sur arXiv)
Code:
geogram (google-chercher “inria geogram”)
Remerciements
IGRV
Inria EXPLORAGRAM, ANR MAGA
Q. Mérigot, J.-D. Benamou, Y. Brenier
R. Mohayaee, J.-M. Alimi

Epilogue – des forêts de symboles…

Le dernier tableau noir de Richard Feynman

Le dernier tableau noir de Richard Feynman
A mon copain Thierry Valentin, parti bien avant son heure,

Igrv2017

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