Technique de traitement du signal pour la caracteristation par ultrason des materiaux complexes.pdf

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITE DE JIJEL
FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
MEMOIRE
Présenté pour Obtenir le Diplôme
de
MAGISTER EN ELECTRONIQUE
Par
ZAGHBA LAYACHI
THEME
TECHNIQUES DE TRAITEMENT DU SIGNAL POUR LA
CARACTERISATION PAR ULTRASONS DES MATERIAUX
COMPLEXES
Soutenue le : / /2005 devant les membres du Jury :
Président : N. BOUTAOUI Maître de conférence Université de Jijel
Rapporteur : A. BOUHADJERA Maître de conférence Université de Jijel
Examinateur : Y. FERDI Maître de conférence Université de Skikda
Examinateur : N. BRIHI Maître de conférence Université de Jijel
Laboratoire des Essais Non- Destructifs par Ultrasons
Université de Jijel

Résumé
Dans ce travail, nous présentons les notions élémentaires de la propagation des
ondes acoustiques ainsi que les différentes méthodes et techniques des essais non-
destructives par ultrasons les plus utilisées. Spécifiquement nous employons la
technique du prisme sur deux matériaux (mortier et béton). Nous présentons
aussi les différentes techniques de traitement du signal pour mesurer le temps de
retard entre deux échos de la propagation des ondes ultrasonores d’un échantillon
de forme prismatique (transformation de corrélation et la transformation de
Hilbert) et améliorer la visibilité de l’écho en présence du bruit (Split spectrum
processing, transformation en ondelettes).
A partir de la mesure d'e l’épaisseur et du temps de parcours entre l’écho
d’entrée, et l’écho de fond des ondes longitudinales et transversales, il est facile
de calculer la vitesse longitudinale et transversale respectivement, pour ensuite
déterminer les constantes élastiques (Module de Young, coefficient de
Poisson,…) qui nous permettent de décrire l’évolution des propriétés et
caractéristiques mécaniques des matériaux.

‫ذ‬ ‫ين‬‫ي‬ ‫ذع‬ ‫ي‬‫ي‬ ‫ت‬ ‫ف‬ ‫وتذ‬ ‫ي‬‫ي‬ ‫عرذع‬ ‫ي‬‫ي‬‫مذعنف‬ ‫ي‬‫ي‬‫اذعمتي‬ ‫ي‬‫ي‬‫يوتذو‬‫ي‬‫ت‬ ‫اولذعنت‬ ‫ي‬‫ي‬‫قس‬ ‫ذع‬ ‫ي‬‫ي‬‫يلمذان‬‫ي‬‫ذمض‬ ‫ي‬‫ي‬‫نق‬ ‫يلعذع‬‫ي‬‫يهذا‬‫ي‬‫ف‬
‫ولذ‬ ‫ذمي‬ ‫ي‬ ‫ذايلعذ‬ ‫معذ‬ ‫هي‬ ‫ق‬ ‫ضيتذع‬ ‫نقةذان‬ ‫ذاي‬ ‫قويتذ‬ ‫تيل‬ ‫وينذع‬ ‫ميذ‬ ‫تري‬ ‫ذفيهذع‬ ‫ثذعنكثنذعتيتنق‬ ‫تضنو‬ ‫ع‬
‫مةذ‬ ‫هي‬ ‫ريتذع‬ ‫ذفن‬ ‫ذاين‬ ‫نقي‬ ‫ذفيهذايلعذع‬ ‫ض‬ ‫ذمننضذأ‬.)‫قالا‬ ‫ع‬ ‫كذ‬ ‫بو‬ ‫عذدذ(ع‬ ‫ق‬ ‫سولذفلذع‬ ‫ت‬ ‫ف‬
‫ىذهفيلذ‬ ‫ضوي‬
‫تييرقنذاييو‬ ‫ع‬
‫ل‬
‫ذ‬
‫هيي‬ ‫ذف‬ ‫ذهيي‬ ‫يي‬ ‫ونييتذ‬ ‫عرذذفييهذ‬ ‫مذعنفيي‬ ‫ييلتذعمتييي‬ ‫ولذ‬ ‫م‬ ‫إهيي‬
‫م‬
‫ذ‬
( Inter corrélation,
transformation de Hilbert‫يتذ‬‫ي‬‫يتذفننف‬‫ي‬‫مو‬ ‫إف‬ ‫رعذ‬ ‫ي‬‫ي‬‫ي‬ ‫دذ‬ ‫ي‬‫ي‬ ‫يتذ‬‫ي‬ ‫يهذو‬‫ي‬‫يلتذف‬‫ي‬ ‫يتذع‬‫ي‬ ‫يولذمة‬‫ي‬‫حس‬ ‫)ذ‬
‫ضنوته‬
‫ذذ‬
( (Split spectrum processing, Ondelette.
‫ذ‬
‫فلذقال‬
‫ا‬
‫ذ‬
‫قستغن‬ ‫وفلذع‬ ‫ذع‬ ‫سقكذ‬ ‫ىذع‬ ‫قو‬
‫ذ‬
)‫ترقن‬ ‫(هفلذع‬
‫ذ‬
‫ذ‬
‫ا‬ ‫يلق‬ ‫ايولذديلتذع‬
‫ذ‬
‫نونيت)ذ‬ ‫لذع‬ ‫(ديلتذفيلذتي‬
‫يقلذ‬‫ي‬‫س‬ ‫تيهذ‬ ‫ننضيوتذع‬ ‫ع‬ ‫ويتذ‬ ‫تذع‬ ‫ين‬‫ي‬‫س‬ ‫يذع‬ ‫يلذوسي‬ ‫ق‬ ‫ننضيوتذ‬ ‫ع‬ ‫يتذ‬‫ي‬‫و‬ ‫عرذع‬ ‫افي‬ ‫نونيتذ‬ ‫ضنينذ‬ ‫ديلتذع‬
‫و‬ ‫مو‬ ‫قو‬ ‫ئةذع‬ ‫ع‬ ‫معثذ‬ ‫ت‬ ‫اقننفتذع‬
‫ت‬
‫ذ‬
‫ف‬ ‫مغعذفن‬ ‫ذ‬ ‫ف‬ ‫عدذ(فن‬ ‫ق‬
‫ذ‬
)...,‫ك‬ ‫عت‬
Abstract
In this work, we present the elementary notions of the propagation of the acoustic
waves as well as the different methods and techniques of the non- destructive testing of
materials using ultrasound. Specifically we use the technique of the prism on two materials
(mortar and concrete). We also present several signal processing techniques, for measuring
the time delays of the echoes within the transducer-cell (cross-correlation, Hilbert transform),
and for improving the visibility of the echo in the case of the presence of the noise and the
impossibility to position the echo correctly (Split spectrum processing, Wavelet transform).
From the measurement of the thickness and the transit-times between the face echo and the
bottom echo (backsurface) of the longitudinal and transverse waves, we calculate the
longitudinal and transverse velocity respectively, and determine the elastic constants (Young
modulus, Poisson’s ratio,…) that allow us to describe the properties and mechanical features
of the materials.

INTRODUCTION GENERALE........................................................................................... 1
CHAPITRE I : PROPAGATION DES ONDES ULTRASONORES
I.1 Rappels sur les ultrasons .................................................................................................... 3
I.1.1 Sons, ultrasons ............................................................................................................. 3
I.1.2 Caractéristique et paramètre de l'onde sonore............................................................. 3
I.1.3 Traducteur ultrasonore ................................................................................................. 5
I.1.4 Effet piézoélectrique .................................................................................................... 5
I.1.5 Emission/Réception des ultrasons................................................................................ 6
I.2 Propagation des ondes ........................................................................................................ 7
I.2.1 Définition générale...................................................................................................... 7
I.2.2 Propagation de l’onde ultrasonore .............................................................................. 8
I.2.3 Equation de propagation d’une onde ultrasonore ....................................................... 8
I.2.4 Vitesse de propagation................................................................................................ 9
I.2.5 Les différents types d'ondes ultrasonores.................................................................. 10
I.2.5.1 Ondes progressives et stationnaires.............................................................. 10
I.2.5.2 Ondes longitudinales et transversales........................................................... 10
a- Onde longitudinale................................................................................... 10
b- Onde transversale .................................................................................... 13
I.2.6 Atténuation................................................................................................................. 16
I.2.7 Ondes guidées ............................................................................................................ 17
a -Ondes de surfaces..................................................................................... 17
b -Ondes de plaques ..................................................................................... 19
I.2.8 Dispersion ................................................................................................................. 19
I.2.9 Phénomènes affectant la propagation des ondes....................................................... 20
I.2.10 Conversion de mode................................................................................................. 20
CHAPITRE II: TECHNIQUES DES ESSAIS NON-DESTRUCTIFS
II.1 Introduction… ................................................................................................................... 22
II.2 Emission acoustique .......................................................................................................... 22
II.3 Contrôle par radiographie.................................................................................................. 22

II.4 Contrôle par magnétoscopie.............................................................................................. 23
II.5 Contrôle visuel et optique.................................................................................................. 24
II.6 Contrôle par courant de Foucault ...................................................................................... 24
II.7 Contrôle par ultrasons........................................................................................................ 25
II.7.1 Méthode Pulse- écho................................................................................................. 26
a- Contrôle par contact ............................................................................................. 27
b- Contrôle par immersion ....................................................................................... 27
II.7.2 Méthode par transmission directe (Through transmission) ...................................... 27
II.7.3 Méthode Impact-écho ............................................................................................... 28
II.7.4 Méthode de pitch-catch............................................................................................. 30
II.7.5 Techniques pratiques ................................................................................................ 32
a- Technique de la plaque tournante (Rotating plate technique) ............................ 32
b- Technique du prisme ........................................................................................... 33
CHAPITRE III: TECHNIQUES DE TRAITEMENT DU SIGNAL
III.1 Introduction….................................................................................................................. 36
III.2 L'intercorrélation des signaux.................................................................................... 37
III.2.1 Définition ......................................................................................................... 37
III.2.2 Signaux analogiques ....................................................................................... 37
III.2.3 Signaux numériques ........................................................................................ 37
III.2.4 Propriété de la fonction d'intercorrélation .................................................. 38
III.2.5 Mesure du temps de retard............................................................................. 39
III. 3 La transformation de Hilbert........................................................................................... 40
III. 3.1 Définition............................................................................................................ 40
III. 3.2 Calcul du temps de retard ................................................................................... 41
III.4 Split Spectrum Processing (SSP).................................................................................. 41
III.4 .1 Transformation de Fourier rapide (FFT) ......................................................... 42
III.4 .2 les filtres............................................................................................................. 43
a- Le nombre de filtre passe bande .................................................................. 44
b- Largeur totale de bande du filtre ................................................................. 44
c- Largeur de bande de chaque filtre .............................................................. 44
d- Type de filtre ................................................................................................. 44
e- Chevauchement des filtres passe bande ...................................................... 44

III.4.3 Recombinaison des signaux filtrés.................................................................... 45
III.5 Les Ondelettes.................................................................................................................. 47
III.5.1 Introduction......................................................................................................... 47
III.5.2 Transformée de Fourier à fenêtre glissante...................................................... 47
III.5.3 Spectrogramme ................................................................................................... 48
III.5.4 Transformée en ondelettes ................................................................................. 48
III.5.5 Transformée en ondelettes contunie-discrete................................................... 49
III.5.6 Analyse multi-résolution.................................................................................... 50
III.5.7 Scalogramme....................................................................................................... 52
III.5.8 Application sur les ultrasons ............................................................................. 52
CHAPITRE IV: MESURES ET ANALYSES DES RESULTATS
IV.1 Expérience 1 (Mortier) .................................................................................................. 54
IV.1.1 Représentation des échos ..................................................................................... 54
a - Echo de la face principale .................................................................................. 54
b - Echo du réflecteur.............................................................................................. 54
c - Echo relatif aux ondes longitudinales ................................................................ 55
d - Echo relatif aux ondes transversales.................................................................. 55
IV.1.2 L’intercorrélation ................................................................................................ 56
IV.1.3 Transformation de Hilbert................................................................................... 57
IV.1.4 Split spectrum processing ................................................................................... 58
a - Echo de la face principale ................................................................................. 58
b- Echo relatif aux ondes longitudinales................................................................ 60
c- Echo relatif aux ondes transversales .................................................................. 61
IV.1.5 Transformation en ondelettes.............................................................................. 62
a- Echo de la face principale .................................................................................. 63
IV.2 Expérience 2 (Béton) ..................................................................................................... 67

b- Echo relatif aux ondes transversales.................................................................. 74
IV.3 Application d’un bruit (Mortier) ................................................................................... 76
a- Echo relatif aux ondes longitudinales ................................................................ 76
a- Echo relatif aux ondes longitudinales ................................................................ 78
CONCLUSION GENERALE ............................................................................................... 82
ANNEXE
BEBLIOGRAPHIE
GLOSSAIRES

Les ultrasons, comme les sons, les infrasons, ou les hypersons, sont des vibrations
mécaniques, leur propagation ne peut se faire qu’en présence d’un support matériel. Ils sont
devenues l’outil privilégié pour le contrôle non-destructif qui a pris depuis plus deux décades,
une place croissante dans le domaine industriel, biologique et médical et se trouve de plus en
plus intégré aux cycles de fabrication (nettoyage, usinage, soudage,…).
Dans la caractérisation des matériaux, les mesures des vitesses longitudinales et transversales
ont une grande importance pratique puisqu’elles amènent à la détermination des constants
élastiques à partir des formules bien connues.
Les techniques de mesures dans le domaine du contrôle non destructif ne sont pas
universelles. Elles varient d’une application à l’autre selon le besoin. Chaque méthode a des
avantages et des inconvénients une fois comparés à d’autres méthodes pour une même
application. Ces méthodes ont pour but de détecter les défauts et de caractériser les matériaux.
Parmi les nombreuses méthodes existantes, le contrôle par ultrasons est l’une des plus
utilisées du fait de sa grande sensibilité, de sa commodité d’emploi et son coût raisonnable.
Pour notre travail nous avons employé le mode pule-echo, et spécifiquement la technique de
prisme.
Durant la production de certains produits à base des matières premières, plusieurs défauts
peuvent s’introduire à l’intérieur des matériaux (grain, fissure,…). Donc, il est nécessaire de
connaître les caractéristiques des matériaux et identifier la présence des défauts et de
déterminer leurs postions et leur nature.
Dans le contrôle non destructif, la présence du bruit dû à la structure interne de certains
matériaux complexes masque souvent le signal du défaut, ce qui rend difficile la détection et
l’identification de ce dernier.
C’est dans ce cadre que s’inscrit le travail que nous avons développé pour appliquer les
différentes techniques de traitement de signal pour améliorer le rapport signal bruit (Split
spectrum processing, transformation en ondelette), qui nous permet ensuite de mesurer le
retard des différents échos. (transformation de corrélation, transformation de Hilbert).

L'objectif principal de notre travail est de pouvoir calculer avec précision les vitesses des
ondes longitudinales et transversales pour caractériser les matériaux, en particulier cela nous
permet de localiser avec précision les défauts et de déterminer certains constantes élastiques
(module de Young et coefficient de poisson) qui ont une relation directe avec la résistance
des matériaux.
Ce travail est organisé en quatre parties :
La première partie est consacrée aux éléments de la physique ultrasonore. Elle fournit un bref
rappel des notions de propagation d'une onde plane élastique ainsi que l’émission et la
réception des ultrasons. Elle donne également une description de la transmission des ondes
acoustiques entre deux milieux et en particulier le phénomène de conversion de mode.
La seconde partie est consacrée aux méthodes des Essais Non-Destructifs par ultrasons
(ENDs) le plus utilisé. Cette partie décrit aussi certaines techniques pratiques qui sont basées
sur les méthodes des END, à savoir la technique de la plaque tournante et la technique du
prisme.
La troisième partie est consacrée aux techniques de traitement de signal utilisées telles que la
transformation de corrélation, la transformée de Hilbert, Split spectrum Processing, et la
transformée en ondelettes.
La quatrième partie, présente les résultats des mesures et leurs interprétations.
On termine ce projet par une conclusion générale et des recomendations.

Chapitre I
Propagation des ondes
ultrasonores

I.1 Rappels sur les ultrasons
I.1.1 Sons, ultrasons
Les ultrasons sont des sons dont la fréquence est supérieure à 20 000 Hz; ils sont inaudibles
pour l'oreille humaine. Dans la gamme 1MHz-20Mhz, les ultrasons sont appliqués
industriellement au contrôle non destructif, nettoyage, usinage, soudage,…etc.
I.1.2 Caractéristique et paramètre de l'onde sonore
Les sons sont émis par des corps animés d'un mouvement vibratoire et se propagent sous
forme d'ondes mécaniques susceptibles de subir des réflexions (échos), des réfractions, et des
interférences. La propagation des sons ne peut se faire que dans la matière. Les sons ne sont
pas transmis par le vide, contrairement aux rayonnements électromagnétiques (rayons x,…).
Les molécules du milieu traversé subissent des phénomènes de compression et de relaxation
successifs et transmettent ces modifications aux molécules voisines. L'onde sonore en
déplacement dans un milieu donné est caractérisée par sa fréquence (f) et sa longueur
d'onde (). Ces 2 caractéristiques permettent de déterminer la vitesse de propagation des sons
(v) dans le milieu :
V =  x f (1.1)
La vitesse de propagation des sons dans la matière dépend essentiellement des caractéristiques
du milieu (élasticité, densité), tableau 1.
Milieu Vitesse de propagation (m/sec)
Air 330
Eau 1480
Béton 4500
Tableau 1 : Valeur de la célérité (Air, Eau, Béton)


Les ondes sonores sont classées en quatre catégories, selon leur caractéristique fréquentielle,
tableau2.
Onde sonore Fréquence
Infrasons < 20 Hz
Sons audible 20 Hz - 20 KHz
Ultrasons 20 KHz - 100 MHz
Hypersons > 100 MHz
Tableau 2 : Classification de l'onde sonore selon sa fréquence
Les paramètres déterminants dans la propagation des sons dans les différents milieux sont la
densité ou masse volumique (  ) et la vitesse de propagation des sons ( v). L'impédance
acoustique (Z) est définie par le produit de ces 2 caractéristiques du milieu :
v
Z .

 (1.2)
La vitesse de propagation dans les différents milieux dépend beaucoup de leur compressibilité
ou dureté (tableau 3). L'impédance acoustique dépend donc essentiellement de la dureté
des milieux.
Matériel Impedance acoustique
(Kg/m2
/s)
Aluminium 1.7x107
Cuivre 4.3 x107
Or 6.4 x107
Acier 4.3-4.7 x107
Nickel 5.0 x107
Perspex 3.2 x106
PZT 3.6 x107
huile 1.3-1.6 x106
Eau 1.5 x106
Air 430
Tableau 3 : Impédance acoustique dans quelques matériaux

I.1.3 Traducteur ultrasonore
Le traducteur ultrasonore est un dispositif permettant d’émettre et /ou recevoir des ultrasons.
Il est principalement constitué d’un oscillateur qu’on appelle aussi le transducteur et qui est
un élément capable de transformer une forme d’énergie en une autre. Pour un cristal
piézoélectrique, il permet de transformer l’énergie mécanique en énergie électrique et
réciproquement [1].
I.1.4 Effet piézoélectrique
L'effet piézoélectrique a été découvert en 1880 par Jacques Curie. Son principe est que
certains matériaux, comme les cristaux de quartz, ont la propriété de se charger lorsqu'ils sont
comprimés et, inversement, de se déformer (comprimer) lorsqu'ils sont chargés (figure 1.1).
Les transducteurs contenus dans les essais non-destructifs sont généralement des céramiques
de Plomb Zirconate de Titane (PZT).
Figure 1.1 : Principe de la piézoélectricité
En appliquant un courant alternatif sur un cristal piézoélectrique, le cristal se comprime et se
décomprime alternativement et émet donc un son. Dans une sonde, l'excitation du cristal
piézoélectrique est réalisée par une impulsion électrique, à la manière d'une cloche que l'on
frappe. Le cristal entre alors en résonance et émet des ultrasons dont la fréquence dépend de
e
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+
+ +
+ +
+
-
-
-
- -
-
Pression

l'épaisseur du cristal (figure 1.2). La fréquence est d'autant plus élevée que le cristal est
mince.
Figure 1.2 : Relation entre la taille de cristal et la fréquence de signal ultrasons
I.1.5 Emission/Réception des ultrasons
 Le contrôle non destructif par ultrason ne peut se faire avec une source continue, car il
faut prendre le temps d’écouter les signaux éventuels provoqués à la suite de
l’émission (figure 1.3).
Il en résulte que :
 l’émission doit se faire par impulsions.
 Elle doit être assez amortie pour pouvoir recevoir les signaux.
 Le niveau du signal à la réception est très faible, il faut amplifier le signal.
L’amplificateur présente souvent une largeur de bande réglable. Le choix de celle-ci
résulte d’un compromis :
 Une bande trop large provoque du bruit.
 Une bande trop étroite provoque des distorsions.

Figure 1.3 : Emission et réception des ultrasons
I.2 Propagation des ondes
I.2.1 Définition générale.
On appelle une onde le phénomène de propagation d’une perturbation dans un milieu sans
transport de matière à une vitesse qui dépend des propriétés élastiques de milieu.
Les sortes de perturbation et de milieux peuvent être différents. Quelques exemples :
 Onde de surface : le milieu est la surface libre d’un liquide, la perturbation correspond au
déplacement des particules du liquide par rapport à leur position de repos.
 Onde électromagnétique : le milieu est la matière ou le vide. La perturbation correspond
à une variation du champ électromagnétique, la cause de cette perturbation étant due `a
l’accélération des charges électriques (la lumière, les ondes radio, micro-ondes ....)
 Onde ultrasonore : le milieu est un solide, liquide ou gaz, la perturbation est une
variation de pression

I.2.2 Propagation de l’onde ultrasonore
Tout corps (gaz, liquide, solide) possède une certaine élasticité, c'est à dire qu'il peut se
déformer sous l'action d'une force et reprendre sa forme lorsque la force disparaît. Un milieu
élastique peut être schématisé sous la forme d'un ensemble de particules élémentaires,
réparties régulièrement dans l'espace, reliées entre elles par des ressorts assurant leurs
cohésions (figure 1.4). On peut donc dire en utilisant ce modèle qu'une vibration ultrasonore
correspond à l'ébranlement de l'équilibre de ces particules. Chaque particule oscille et
transmet de proche en proche son mouvement vibratoire a ses voisines dans tout le milieu :
c'est la propagation de l'onde ultrasonore.
Figure 1.4 : Déformation d’un milieu élastique sous l’action dune force.
On peut classifie les onde selon deux catégories :
 La propagation dans l’espace libre (vide, air, milieu massif,…etc)
 La propagation guidée (l’onde optique, guide d’onde,…etc)
I.2.3 Equation de propagation d’une onde ultrasonore
L'équation générale qui décrit la propagation d'une onde U

dans l'espace libre, dans un milieu
linéaire homogène et isotrope est :
2
2
2
2
1
t
U
v
U


 


(1.3)
U

: décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel).
:
v la vitesse de propagation de l'onde, comme nous le verrons plus bas. Si on s'intéresse à ce
qui se passe pour chacune des composantes deU

, nous obtenons une équation portant sur un
scalaire, appelée équation d'Alembert :

2
2
2
1
2
t
U
v
U




Intéressons nous à la propagation selon la seule direction z :
t
U
v
z
U
2
2
2
1
2
2





Pour une onde plane, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :
)
(
)
(
)
,
( vt
z
g
vt
z
f
t
z
U 



Le premier terme décrit une onde qui se propage vers les z croissants, et le deuxième terme
vers les z décroissants.
I.2.4 Vitesse de propagation
Il est intéressant de voir qu'en réalité, l'onde U(z,t) ne dépend pas simplement de z et de t,
mais des quantités z - vt et z + vt. Pour comprendre ce que cela signifie, considérons le cas
d'une onde plane progressive vers les z croissants :
)
(
)
,
( vt
z
f
t
z
U 

)
(
)
,
( vt
z
f
t
z
U 
 Regardons la structure de l'onde au point z + Δz :
))
(
(
))
)
(
(
)
(
)
,
( t
t
v
z
f
v
z
t
v
z
f
vt
z
z
f
t
z
z
U 













L'expression ci-dessus nous montre que la structure de l'onde au point z + Δz est la même
qu'au point z à l'instant t - Δt, avec Δt = Δz / v. Ce raisonnement nous permet de comprendre
pourquoi une dépendance en vt
z  de l'onde signifie que celle-ci se déplace sans déformation,
i.e qu'il s'agit d'une onde progressive. Nous pouvons alors définir la vitesse de propagation de
l'onde par :
v
t
z



(1.8)
(1.4)
(1.7)
(1.5)
(1.6)

I.2.5 Les différents types d'ondes ultrasonores
Il existe des ondes élastiques progressives et stationnaires et des ondes transversales et
longitudinales.
I.2.5.1 Ondes progressives et stationnaires
L'équation d'une onde sinusoïdale qui se propage vers la droite dans un milieu infini est
y(x, t) = Asin(t - x/v). (1.9)
La longueur finie des milieux étudiés introduit des conditions aux limites se traduisant par
l'apparition d'ondes réfléchies aux extrémités. Ainsi pour une corde de longueur L dont les
deux extrémités sont fixes la solution doit satisfaire : y(0, t) = 0 et y(L, t) = 0.
Pour x = 0 : f1(t) =  f2(t) . Pour x = L : f2(t  L/v) =  f1(t + L/v) = f2(t + L/v) . La fonction f2
(et par suite f1) doit être une fonction périodique de x. Si la valeur de x est changée de L ,
En -L, la fonction doit conserver la même valeur. Sa période est donc égale à 2L.
On envisage les solutions de la forme f1(t) = Asin( t) et donc f2(t) =  Asin( t) soit :
y(x, t) = Asin  (t + x/v)  Asin  (t  x/v) (1.10)
Pour satisfaire les conditions aux limites en L, il faut que 2L. /v = k.2  (avec k entier).
Seules les valeurs  k = k.  .v/L de la pulsation permettent de satisfaire les conditions aux
limites. La solution cherchée est donc :
y(x, t) = 2A.sin( kx/v).cos  kt. (1.11)
On obtient des ondes stationnaires (ou modes propres) sur la corde. En dehors des extrémités,
il existe des points qui restent en permanence immobiles. Ce sont les noeuds. Si l'on suppose
qu'une extrémité est fixe et que l'autre est libre, on observe également des ondes stationnaires
pour des fréquences qui sont égales à  k = (k + ½). .v/L.
I.2.5.2 Ondes longitudinale et transversale
On peut distinguer différents types d'ondes caractérisées par le mode de vibration des
particules au cours de la propagation de l’onde.
a- Onde longitudinale (compression)
Les ondes longitudinales ou de compressions (les ondes P), Le déplacement des particules
se fait par dilatation et compressions successives parallèlement à la direction de propagation
de l'onde (figure 1.5).

Ces ondes ont la particularité de ne se propager que dans les solides et les liquides.
Cela est dû au fait que les fréquences des ondes ultrasonores sont très élevées et que
l'atténuation de l'onde ultrasonore est extrêmement élevée dans les gaz dans ce domaine de
fréquence.
 Onde de compression dans un barreau
Soit un barreau de section S, fabriquer dans un matériau de masse volumique  et de module
de YoungY . On donne un coup de marteau à une extrémité. Avec quelle vitesse
l’ébranlement va-t-il se propager vers l’autre extrémité (figure 1.6).
Figure 1.5: Ondes longitudinales
Compressions Dilatations
Sens de propagation

Sens de propagation
Direction de oscillation

Figure 1.6 : Compression dans un barreau
Considérons une première tranche située à la distance x de l’origine, d’épaisseur dx, et une
seconde tranche située à la distance x+l, l’épaisseur dx+dl. La contrainte normale CL est la
force par unité de surface, agissant perpendiculairement à la section transversale :
S
F
CL  .
La déformation normale DL est la déformation suivant l’axe par unité de longueur
dx
dl
DL  .
On écrit la loi de Hooke DL
Y
C L 
D’où
x
l
YS
F


 .
Pour une tranche, cette relation donne :
x
l
d
dxYS
x
F
dx
dF
F
F 2
2
'






 (1.13)
Par ailleurs la masse de la tranche est Sdx
dm 
 ,son accélération est
t
l
d
a 2
2

 et l’équation
dynamique s’écrit :
x
l
d
S
dx
F 2
2


  (1.14)
Par comparaison avec (1.12) on obtient l’équation d’onde :
x
l
d
Y
t
l
d
2
2
2
)
(
2


 
Correspond à une vitesse de propagation le long du barreau :
dx+dl
x dx
F F’
l
l’
(1.15)
(1.12)

2
/
1
)
(

Y
V L  (1.16)
b- Onde transversale
Une onde est transversale ou de cisaillement (onde S) lorsque la direction de vibration des
particules est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (figure 1.7). (C’est le cas
de la corde : la direction de propagation de l’onde est celle de la corde (horizontale) et la
déformation de la corde a lieu perpendiculairement à la corde [1].
L’onde de phase à une onde transversale 2
/
1
)
(

G
VT  .
Figure 1.7 ondes transversales
Les ondes ultrasonores ne se propagent que dans les solides et les liquides très visqueux.
 Onde de cisaillement dans un barreau
C’est le même problème que le précédent mais pour le choc latéral. Il suffit de remplacer le
module d’Young par le module de cisaillement G, la contrainte normale par la contrainte

tangentielle GT et la déformation normale par la déformation normale par la déformation
tangentielle DT .On obtient comme vitesse de propagation le long de barreau :
2
/
1
)
(


G
VT (1.17)
- Les deux types d’ondes longitudinales et transversales vérifient donc une équation d’onde de
la forme :
0
2
2
2
1
2
2






t
s
v
x
s
(1.18)
Avec v
v L
 ouvT . D’Alembert a montré que la solution générale de cette équation était la
somme des deux ondes progressives de sens contraires :
)
(
)
(
)
,
( vt
x
g
vt
x
f
t
x
s 



f et g étant des fonctions déterminées par les conditions aux limites. En l’absence
d’obstacle, on g = 0.
Si la source est un oscillateur harmonique de pulsation w de période T et de la fréquence v
l’onde est sinusoïdale :
)
(
cos
)
,
(
v
x
t
A
t
x
s 


Tout les points situés à la même abscisse x sont dans le même états vibratoire ; ils sont dite
en phase et constituent une surface d’onde, qui est ici plane l’équation (I.19) peut encore
s’écrire :
)
(
2
cos
)
,
(




x
T
t
A
t
x
s
Deux points dont la différence d’abscisse est un multiple de , sont de la même états
vibratoire ; est appelé la longueur d’onde.




v
vT Avec  : la fréquence
On utilise aussi le nombre d’onde :




2
v
w
k
Ce qui permet d’écrire l’équation (1.19) sous la forme :
)
(
cos
)
,
( kx
t
A
t
x
s 


Dans un milieu homogène, la vitesse de propagation est indépendante de la fréquence. Le
tableau donne la vitesse de phase des ondes longitudinales et transversales dans quelques
(1.19)
)
(1.20)
(1.21)
(1.22)

matériaux ; on a approximativement T
L V
V 2
 mais les ondes transversales ne se propagent
pas dans les matériaux sans rigidité )
0
( 
 . L’indication de la masse volumique permet de
calculer l’impédance acoustique (tableau 4).
Matériaux Masse volumique
)
/
,
( 3
m
Mg

Vitesse longitudinale
)
/
,
( s
m
V L
Vitesse transversale
)
/
,
( s
m
VT
Acier 7.8 5900 3230
Air (sec, 20°
C) 10-3
340 (1)
Aluminium 2.7 6320 3080
Araldite 1.2 2500 1070
Béton 2.0 4500
Caoutchouc (mou) 0.9 1500 (1)
Cuivre 8.9 4700 2260
Eau (20°
C) 1.0 1483 (2) (1)
Etoile à neutrons 1015
3.108
3.108
Fonte (grise) 7.2 4600 2160
Glycérine 1.3 1920 (1)
Huile 0.8 1500 (1)
Laiton 8.5 3830 2050
Magnésium 1.7 5800 3080
Plexiglas 1.2 2730 1430
Plomb 11.4 2160 700
Uranium 18.7 3370 2020
Verre (crown) 2.5 5660 3420
Zirconium 6.4 4650 2300
(1) Matériaux sans rigidité )
0
( 
 , ne transmet pas les ondes transversales.
(2) Augmente rapidement avec la température (4.8 m/s/ C°)
Tableau 4: Vitesse des ondes longitudinales et transversales dans quelques matériaux

I.2.6 Attenuation
Par expérience, l'intensité d'un son diminue au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source
ou que l'on place des interfaces entre l'émetteur et le récepteur du son. Cette atténuation des
ultrasons est due aux multiples interactions qui diminuent l'intensité du faisceau lorsque celui-
ci pénètre dans les tissus telle que :
 La diffusion (dispersion), par quoi l’énergie ultrasonore est transportée par des ondes se
propageant dans d’autres directions que celle de l’onde incidente.
 L’absorption, par quoi l’énergie ultrasonore est directement convertie en chaleur.
 Réflexion- Réfraction.
Cette atténuation est bien décrite par la loi de Lambert :
)
exp(
0 x
P
P 

 (1.23)
x Est l’épaisseur traversée.
 Coefficient d’atténuation.
L’atténuation s’exprimer par le rapport
P
P
0
on exprime l’atténuation en % ou bien décibel,
c'est-à-dire par )
log(
20
0
P
P
Le coefficient d’atténuation est la somme de deux termes :




 dif
abs
att (1.24)
 Le coefficient d’absorption est proportionnel à la fréquence
 Le coefficient de diffusion dépend de l’anisotropie et de la structure du matériau .Les
métaux, dont la taille des grains est voisine de la demi- longueur d’onde, sont pratiquement
incontrôlable par suite des bruits provoqués par la diffusion. Il en résulte, que les matériaux
atténuants doivent être contrôlés à des fréquences assez basses.
Le tableau (5) donne un ordre de grandeur des coefficients d’atténuation dans quelques
matériaux, pour des ondes longitudinales à 2 MHz.

MATERIAU acier aluminium eau Fonte laiton plexiglass
)
/
( m
dB
 5-50 1-5 1 20-200 50-200 500
Tableau 5 : Atténuation dans quelque matériaux
(Onde longitudinal à 2 MHz)
L'atténuation des ultrasons dépend des milieux traversés, mais aussi des caractéristiques de
L'onde ultrasonore, et en particulier de la fréquence des ultrasons : plus la fréquence des
ultrasons augmente, plus l'atténuation est importante.
La fréquence des ultrasons a donc une influence déterminante sur les possibilités d'exploration
(tableau 6).
Fréquence des ultrasons Profondeur d'exploration
maximale
2,5 - 3,5 MHz > 15 cm
5 MHz 10 cm
7,5 MHz 5-6 cm
10 - 12 MHz 2-3 cm
Tableau 6 : Profondeur maximale en fonction de fréquence des ultrasons
I.2.7 Ondes guidées
Le milieu de propagation ne peut pas toujours être considéré comme illimité, surtout dans le
cas des solides : les ondes sont alors guidées par les côtés limitant de milieu, suivant la
configuration, un très grand nombre de types d’ondes peuvent être engendrées et c’est ce qui
fait la complexité de l’acoustique, comparée à l’optique. Mais, en contrôle non destructif,
nous n’aurons à considérer que deux types d’ondes guidé : les ondes de surface et les ondes de
plaque [2].
a- Ondes de surface
Les ondes de surface se propagent à la surface de solide ou de liquide sur une épaisseur de
l’ordre d’une longueur d’onde où les vibrations des particules sont très complexes. On peut
dire que les ondes de surface sont constitués par la superposition de deux ondes se propageant

à la même vitesse en quadrature l’une étant longitudinale et l’autre transversale. Les plus
connues sont les ondes de Rayleigh et les ondes de Love.
Onde de Love : Le déplacement est essentiellement le même que celui des ondes
transversales sans mouvement vertical. Les ondes de Love provoquent un ébranlement
horizontal qui est la cause de nombreux dégâts aux fondations des édifices (figure 1.8).
Figure 1.8 : Ondes de Love
Onde de Rayleigh :
Le déplacement est complexe, assez semblable à celui d'une poussière portée par une vague,
un mouvement à la fois horizontal et vertical, elliptique. Les ondes de Love se propagent à
environ 4 Km/s, elles sont plus rapides que les ondes de Rayleigh (figure 1.9).
Figure 1.9 : Ondes de Rayleigh
Sens de propagation de l’onde
Direction de vibration

b- Ondes de plaque
Les ondes de plaques (appelée aussi les ondes de Lamb) apparaissent lorsque le milieu
élastique a une épaisseur de quelques longueurs d'ondes. Elles se propagent alors tout le long
de ce milieu.
On distingue deux modes de vibrations pour ces ondes: Le mode symétrique et le mode
asymétrique (figure 1.10).
Figure 1.10 : Ondes de plaque (Le mode symétrique et Le mode asymétrique)
I.2.8 Dispersion
La dispersion est un renvoi de l’onde dans toutes les directions de l’espace. Un milieu est dit
dispersif si la vitesse de propagation de l’onde dépend de sa fréquence.
La plupart des signaux dans les essais-non destructifs sont formées par des échos de
dispersion dans un milieu hétérogène, dont l’intensité dépend de l’inhomogénéité des
matériaux (figure 1.11).

Sens de propagation
Sens de propagation
Le mode asymétrique Le mode symétrique
Figure 1.11: Dispersion

I.2.9 Phénomènes affectant la propagation des ondes
Lorsque le faisceau ultrasonore rencontre une interface, une partie de l'énergie incidente est
transmise (elle traverse l'interface) tandis que l'autre partie est réfléchie. Les directions de la
transmission et de la réflexion seront fonction de l'angle d'incidence de l'onde sonore.
Si l'incidence est directe (perpendiculaire à l'interface), la transmission se fait dans la même
direction et le même sens que l'onde sonore, tandis que la réflexion se fait dans la même
direction et dans le sens inverse (figure 1.12).
Si l'incidence n'est pas perpendiculaire à l'interface, l'onde transmise subit une déviation avec
un angle qui dépend de la vitesse de propagation des 2 milieux concerné, il s’agit du
phénomène de réfraction. L'onde réfléchie est également déviée d'un angle égal à celui de
l'onde incidente par rapport à la normale de l'interface.
La proportion des énergies transmise et réfléchie ainsi que l'angle de réfraction est fonction de
la différence d'impédance entre les 2 milieux. Plus la différence d'impédance sera importante,
plus la part de réflexion sera élevée.
Il existe également un phénomène de diffusion lorsque la taille de l'interface est inférieure à
la longueur d'onde des ultrasons. La diffusion est un renvoi de l'onde incidente dans toutes les
directions de l’espace [2].
Il existe enfin un phénomène d'absorption de l'énergie par les milieux traversés qui
transforme l'énergie acoustique en énergie calorique.
I.2.10 Conversion de mode
Le phénomène de réfraction se complique lorsqu'il existe deux modes de propagation dans le
second milieu, ce qui est habituellement le cas lors du contrôle d'une pièce (figure1.12). Ainsi
est il possible de convertir totalement ou partiellement une onde longitudinal on une onde
transversale et inversement. Si on désigne par VL2 et VS2 respectivement les vitesses des
ondes longitudinale et transversale dans le second milieu, le faisceau se devise après le dioptre
en deux faisceaux, avec respectivement des angles de réfraction 2 et4 .

Figure 1.12: Conversion de mode
La direction, des ondes de réflexion et de transmission sont déterminées par la loi de Snell-
Descarte :
V
θ4
sin
V
θ3
sin
V
θ2
sin
V
θ1
sin
S2
S1
L2
L1



Où
VL1 : est la vélocité de l'onde longitudinale (longitudinal wave) dans la matière 1.
VL2
: est la vélocité de l'onde longitudinale (longitudinal wave) dans la matière 2.
VS1
: est la vélocité de l'onde transversal (shear wave) dans la matière 1.
VS2
: est la vélocité de l'onde transversal (shear wave) dans la matière 2.
Lorsqu'on augmente progressivement l'angle d'incidence et qu'on a, comme c'est
généralement le cas V
V
V L2
S2
L1

 , on observe l'existence d'un premier angle critique quand
on atteint 
 90
θ2 , puis d'un second pour 
 90
θ4 .les angles d'incidence corresponds sont
respectivement:
V
V
θ
sin
L2
L1
L
1  et
V
V
θ
sin
T2
L1
T
1  (1.26)
Au-delà du second angle critique, on a réflexion totale mais il faut surtout remarquer que,
entre les deux angles critiques, les ondes transmises sont uniquement transversales.
(1.25)
2
1

Chapitre II
Techniques des Essais
Non Destructifs par
Ultrasons

II.1 Introduction
Les Essais Non Destructifs (ENDs) jouent un grand rôle dans l’économie d’un pays. Ils sont
utilisés chaque fois que l’on construit des systèmes aussi divers qu’un pont, une centrale
nucléaire, un train ou une voiture.
Au cours de sa vie, une canalisation de centrale nucléaire, une pièce de moteur de voiture, une
arche sur un pont, subissent des contraintes : mises en mouvement, variations de température,
pressions.
Le matériau utilisé pour fabriquer ces objets ne doit pas contenir de défaut, de fissure ou de
corps étranger qui pourrait sous l’action des contraintes amener la pièce à se rompre et nuire à
la fiabilité ou la sécurité de l’ensemble d’un système.
Il est donc souvent nécessaire de voir à l’intérieur d’une pièce, sans la couper, si elle ne
contient pas des défauts. Cette action s’appelle un contrôle non destructif.
Les essais non destructifs sont devenues l’outil essentiel pour l’évaluation des caractéristiques
mécaniques des matériaux en vue de détecter les défauts dans ces derniers.
On peut dire que l'essai non destructif est la détection des défauts d’homogénéité dans les
matériaux par des techniques qui n’endommagent pas le produit contrôlé [2].
Parmi les nombreuses méthodes de contrôle non destructif existantes on peut citer :
II.2 Emission acoustique
Quand une matière solide est stressée, les imperfections dans la matière émettent sous des
éclats d'énergie acoustique. Comme dans l'essai ultrasonique, les émissions acoustiques
peuvent être détectées par des récepteurs spéciaux. Les sources d'émission peuvent être
évaluées par l'étude de leur intensité, taux, et endroit.
II.3 Contrôle par radiographie
La radiographie utilise le même principe que la radio médicale. Un rayonnement X ou gamma
traverse la pièce à contrôler pour être ensuite détecter par un film.
Le développement de ce film permet d'obtenir une image à l'intérieur de la pièce, (figure 2.1).
Les imperfections sont indiquées par les niveaux du gris qui sont fonction de la densité de la
matière.

Figure 2.1: Contrôle par radiographie
II.4 Contrôle par magnétoscopie
Le contrôle par magnétoscopie utilise la propriété magnétique des matériaux (figure 2.2). Un
champ magnétique est appliqué sur une pièce, qui est recouverte d’une poudre de particule de
fer. Les défauts de surface ou ceux qui sont proches de la surface se manifestent par une
distorsion des lignes du champ magnétique.
Figure 2.2: Contrôle par magnétoscopie
High Electrical Potential
Electrons
-
+
X-ray Generator or Radioactive
Source Creates Radiation
Exposure Recording Device
Radiation Penetrate
the Sample

II.5 Contrôle visuel et optique
Probablement la plus vieille et la plus commune des méthodes des ENDs est l’examen visuel
qui à de nombreuses applications industrielles et commerciales (figure 2.3).
L’inspection visuelle implique l’emploi des yeux d’un inspecteur pour rechercher des défauts.
L’inspecteur peut également utiliser des outils spéciaux tels que des loupes, des miroirs, ou
des endoscopes pour accéder et pour inspecter des endroits difficiles.
Les techniques visuelles sont utilisées avec toutes les autres méthodes des ENDs.
Figure 2.3: Contrôle visuel et optique
II.6 Contrôle par courants de Foucault
Des courants électriques sont produits dans un matériau conducteur provoqués (induits) par
un champ magnétique variable. L’interruption dans l’écoulement des courants de Foucault
provoqué par des imperfections, des changements dimensionnels, ou des changements des
propriétés conductrice et de perméabilité du matériau causera des changements dans le
champ magnétique détecté , et indique la présence d’un changement dans l’objet (figure 2.4).

Figure 2.4: Contrôle par courants de Foucault
II.7 Contrôle par ultrasons
Les techniques des ENDs par ultrasons utilisent la transmission de l'onde sonore de haute
fréquence pour la détermination des caractéristiques des matériaux et la détection des défauts
ou pour localiser des changements dans les propriétés de ces matériaux, (figure 2.5).
Ils sont utilisés comme lors d'un examen d'échographie au cours d'une grossesse. Des
ultrasons sont envoyés dans la pièce à contrôler, leurs réflexions sur les différents obstacles
dans la pièce permettent d'obtenir une image de l'intérieur de celle-ci.
Figure 2.5: Contrôle par ultrasons
Matériau
Conducteur
Bobine
Champ magnétique
de la bobine
Champ magnétique
de courant de Foucault
Courant de
Foucault

Il existe plusieurs méthodes de contrôle par ultrasons on peut citer :
II.7.1 Méthode Pulse-écho
Pulse-echo est une méthode ultrasonique pour la détection et caractérisation des défauts dans
la matière (figure 2.6). Un transducteur piézoélectrique transmis l’énergie ultrasonique. Les
signaux ultrasoniques réfléchis par la face opposée de la matière, ou par la discontinuité, vides
ou éléments inclus dans la matière sont reçus par le même transducteur ou l’énergie convertie
en un signal électrique. Le signal électrique est traité par un ordinateur et afficher par écran.
L’affichage peut montrer l’épaisseur relative (profondeur), où les défauts sont localisés.
Les défauts causent une diminution dans l'amplitude de la réflexion [3-5].
Figure 2.6: méthode pulse- écho
plate
crack
0 2 4 6 8 10
initial
pulse
crack
echo
back surface
echo

Selon le couplage de traducteur avec la pièce à contrôler, on distingue deux catégories :
a- Contrôle par contact
C’est un contrôle où le capteur est appliqué contre la pièce contrôlée, par l’intermédiaire d’un
film de couplant (figure 2.7).
Figure 2.7: Contrôle par contact
b- Contrôle par immersion
C’est un contrôle où le couplage est obtenu en immergeant localement ou totalement la pièce
contrôlée dans un liquide (figure 2.8).
Figure 2.8: contrôle par immersion
II.7.2 Méthode de transmission directe (Through-transmission)
Cette technique emploie deux transducteurs qui sont placés sur deux côtés opposés de la
matière à tester, l’un pour produire et l’autre pour recevoir les ultrasons. Le contrôle par
transmission est une technique ultrasonique pour la localisation des défauts. Les impulsions
ultrasoniques se propagent à travers l’éprouvette et sont reçues sur le côté opposé. Si un
défaut existe dans le parcours des ultrasons entre les deux transducteurs, il provoque leur
interruption (figure 2.9).

Figure 2.9: Contrôle par transmission
II.7.3 Méthode Impact-echo
Impact-écho est une méthode qui est surtout utilisée pour l'évaluation non-destructive du
béton. Elle est basée sur l'utilisation des ondes d’impact qui se propagent dans le béton (la
structure) et peuvent être réfléchies par des fissures internes et les surfaces externes [6-8].
e = 4 cm
Transduteur
0
5
1
0
1
5
2
0
2
5
3
0
3
5
4
0
4
5
-
3
-
2
-
1
0
1
2
3
m
i
c
r
o
s
e
c
O
u
t
p
u
t
s
i
g
n
a
l
C
o
d
e
m
e
s
u
r
e
s
:
t
r
a
n
s
m
S
i
g
n
a
l
:
c
:

m
o
r
t
i
e
r

t
r
a
n
s
m

T
a
d
_
2
8
.
t
x
t
Pièce
0
5
1
0
1
5
2
0
2
5
3
0
3
5
4
0
4
5
-
3
-
2
-
1
0
1
2
3
m
i
c
r
o
s
e
c
O
u
t
p
u
t
s
i
g
n
a
l
C
o
d
e
m
e
s
u
r
e
s
:
t
r
a
n
s
m
S
i
g
n
a
l
:
c
:

m
o
r
t
i
e
r

t
r
a
n
s
m

T
a
d
_
2
8
.
t
x
t
PC

Un exemple bien connu, c’est de frapper un objet avec un marteau et écouter les variations du
son qui sont fonction de l’épaisseur et de l’endroit des fissures, ou d’autre défaut dans les
dalles de béton (figure 2.10).
Figure 2.10: Contrôle par impacte
Cependant, dû aux caractéristiques de l'anisotropie du béton, les signaux sont multiples et
bruités, et sont très difficile à identifier exactement dans le domaine du temps.
La transformation de Fourier est employée pour transformer les signaux du domaine du temps
aux domaine de la fréquence.
Dans l'analyse fréquentielle, l'objectif est de déterminer la fréquence dominante qui apparaît
comme un maximum dans le spectre, qui permet de déterminer l'épaisseur de la structure et
éventuellement l'endroit des fissures (figure 2.11).
L'équation fondamentale de l'impact écho est
2f
v
d  (2.1)
Où
d: représente l’épaisseur du béton.
v: la vitesse de l'onde.
f: la fréquence dominante du signal.

Figure 2.11:Diagramme schématique, illustrant comment l'impact écho fonctionne.
Amplitude de spectre
II.7.4 Méthode de pitch-catch
Dans cette méthode, deux transducteurs sont utilisés pour l’émission et la réception des
ultrasons. Les ondes ultrasoniques sont introduites dans la matière avec un angle approprié
afin d’obtenir un trajectoire convenable. Pour cela, on utilise des fréquences basses de l’ordre
de 50 KHz (figure 2.12), ou bien on utilise un traducteur d’angle (figure 2.13).

Figure 24: méthode de Pitch- Catch
Figure 2.12: Méthode de Pitch-Catch avec des traducteurs basses fréquences
Figure 2.13: Détection des défauts utilisant un traducteur d’angle

II.7.5 Techniques pratiques
Parmis les techniques utilisées pour la caractérisation des matériaux on peut citer:
a- Technique de la plaque tournante (Rotating plate technique)
Le but de cette technique est d’étudier la propagation des ondes acoustiques dans les liquides
et les solides, et de constater en particulier qu'il existe deux modes de propagation du son dans
les solides alors qu'il n'y en a qu'un dans les liquides (figure 2.14). Cette propriété est
fondamentale en géophysique, lorsqu'il s'agit de déduire la nature du sous-sol à partir de
mesures sismiques.
Dispositif expérimental
Figure 2.14: Technique de la plaque tournante
Les deux transducteurs ultrasonores sont identiques et fonctionnent indifféremment en
émetteur ou en récepteur. Ce sont des piézoélectriques qui transforment une impulsion
électrique en impulsion mécanique et réciproquement. Ils ont une fréquence propre de
résonance de 1MHz, qui constitue donc leur fréquence naturelle d'utilisation.
Pour réaliser des mesures on rempli la cuve avec de l’eau de telle sorte que les transducteurs
soient immergés. Ces transducteurs ont une impédance acoustique adaptée à celle de l'eau. Le
but du goniomètre est de faire tourner l’échantillon avec précision afin de pouvoir générer les
ondes longitudinale et transversales par réfraction.

b- Technique du prisme
Elle est basée sur la technique pulse-écho, et l'application de la réflexion et réfraction des
ondes entre deux milieux liquide/ solide séparé par une interface [9-10].
La particularité de cette technique réside dans l'usage d'un échantillon sous forme d'un prisme
et la configuration spécial de la cuve qui permet de générer les ondes longitudinales et
transversales en utilisant un seul transducteur.
La vitesse d'onde est calculée à partir d'une formule spéciale. Elle est fonction de la trajectoire
et le temps pris par l’impulsion ultrasonique pour passer de la face du transducteur à travers
l'interface de l'eau et l’échantillon (figure 2.15).
Figure 2.15:Trajectoire du faisceau ultrasonique
La vitesse du son dans l’échantillon est égale à la longueur du chemin traversé par l'onde
divisé par le temps pris par l'onde pour atteindre le côté inférieur de l’échantillon.
)
( 1
,
,
t
T
a
T
l
T
l
v 
 (2.2)
Une autre expression de l’équation qui est indépendante de la dimension de l’échantillon est
la suivante :
)
1
-
(
1
)
1
-
2
(
2
,
,
t
T
t
t
t
R
T
l
T
l
v  (2.3)
Surface
principale
a
Faisceau
Ultrasonique
Transducteur
R
Réflecteur

Où
t1 : Est le temps de vol dans l’eau avec l’échantillon en place (réflexion normale de la face
principale de l’échantillon).
t2 : Est le temps de vol dans l’eau sans échantillon (réflexion normale du réflecteur).
T T
l, : Est le temps du vol avec la présence de l’échantillon et quand la réfraction se produit à
un angle de 45°
degrés à l’intérieur du l’échantillon pour l’onde longitudinal et transversal.
R : Est le rayon de cercle fait par le transducteur autour de l’échantillon.
Description de système (l’appareil)
Le schéma synoptique de l’appareil ultrasonique est montré dans la figure (2.16).
Il contient :
- Un émetteur/Récepteur ultrasonique
- Un transducteur à immersion de 1 MHz
- Un oscilloscope numérique
- Un ordinateur portable avec un logiciel d’acquisition de données
Figure 2.16: Schéma synoptique de l’appareil à ultrasons
Emetteur
Récepteur
Transducteur
Oscilloscope
Numérique
Sy
n.
R
F
Ordinateur
T/R
Echantillon

Opération du système
Au début de l’expérience, l’onde incidente est normale sur la face de prisme. Il y aura
réflexion totale du faisceau (figure 2.15). C’est le temps de vole t1. Il permet aussi de calculer
le rayon R. Ensuite l’angle d’incidence est augmenté lentement jusqu'à la disparition du
premier écho et l’apparition d’un deuxième écho, en rapport avec les ondes longitudinales.
Ca nous permet de calculer le temps de volTl .
Si on augmente d’avantage l’angle, ce deuxième écho disparaît, et il y aura apparition d’un
troisième écho, qui représente les ondes transversales dans l’échantillon. Ca nous permet de
calculer le temps de volTT .
La précision des mesures dépend seulement d’un seul paramètre, à savoir le temps de vol de
l’onde ultrasonique, qui peut être déterminé avec deux manières différentes :
- Soit par le positionnement exact des curseurs au niveau de l’oscilloscope numérique.
- Soit par les techniques de traitement du signal qui font l’objet du chapitre suivant.

Chapitre III
Techniques de
Traitement du signal

III.1 Introduction
Un signal c’est la traduction d’une information et il peut prendre n’importe quelle forme,
optique, acoustique ou autre à la seule condition qu’il puisse informer. Traiter un signal c’est
le rendre mieux informatif et de meilleure qualité.
Il existe plusieurs opérations de traitement du signal, selon le but espéré et les applications
préconisées. Cependant, plusieurs de ces opérations de traitement sont devenues universelles.
Parmi ces opérations, le filtrage, la détection, la mesure, l’amplification, le codage, la
compression, la segmentation, etc.
Les techniques numériques de traitement des signaux interviennent dans la quasi-totalité des
domaines. En effet, il n’existe pratiquement plus de domaines grand public ou professionnels
où les signaux ne figurent pas comme moyens d’observation des informations. A titre
d’exemple nous pouvons citer certains de ces domaines :
- L’astrophysique
- La biomédecine
- La prospection pétrolière
- Les radars et sonars
- La reconnaissance de formes
- Les Essais Non Destructifs : basés essentiellement sur des expériences pratiques, à base
d’appareils électriques ou électroniques pour déceler les secrets de la matière (caractérisation
des matériaux et la recherche des défauts) [20-21].
Les techniques de traitement du signal développés dans ce chapitre sont :
- L’intercorrélation.
- Transformée de Hilbert
- Split spectrum processing
- Transformation de Fourier à fenêtre glissante
- Les ondelettes
Le rôle de ces techniques est de :
- Mesurer l’épaisseur des matières très minces.
- Améliorer le rapport signal/bruit.
- Améliorer la sensibilité de détection des défauts.
- Identifier les fissures dans les matériaux et obtenir une haute probabilité de la détection
des défauts pour caractériser les matériaux.

III.2 L’intercorrélation des signaux :
Les mesures des vélocités ultrasoniques sont utiles pour déterminer plusieurs paramètres de la
matière, comme le module de Young et le coefficient de Poisson. Pour cela, on utilise la
transformation de corrélation pour calculer le temps de retard et avoir une mesure précise de
la vélocité [12-13].
II.2.1 Définition :
Dans le traitement des signaux, il est souvent nécessaire de comparer deux signaux, ceci peut
se faire de plusieurs manières. Une méthode possible dont on fait grand usage est appelée
l’intercorrelation. Cette méthode consiste à décaler l’un des signaux par rapport à l’autre, et
de mesurer leur similitude en fonction du décalage [14-15]
II.2.2 Signaux analogiques :
- On définit la fonction d’intercorrélation de 2 signaux à énergie finie :
dt
t
y
t
x
Rxy )
(
)
(
)
( *








- Pour 2 signaux à puissance moyenne finie, la fonction d’intercorrélation devient :
dt
t
y
t
x
T
R
T
T
T
xy )
(
)
(
1
lim
)
(
2
2
*









On parle d'autocorrélation si les deux fonctions sont identiques.
II.2.3 Signaux numériques :
Pour calculer l’intercorrélation à l’aide d’un ordinateur, celui-ci n’ayant qu’un nombre limité
de mots de taille finie, on est amené a discrétiser le signal (échantillonnage) et tronquer
temporellement ce signal [16]. On obtient ainsi une suite de N termes
)
)(
(
)
)(
( yi
iTe
y
et
xi
iTe
x 

L'intercorrélation de deux suites discrètes x(n) et y(n) est définie par l'une ou l'autre des
expressions suivantes
 




n
xy k
n
y
n
x
k
R )
(
).
(
)
(
- On parle d'autocorrélation si les deux fonctions sont identiques :
 




n
xx k
n
x
n
x
k
R )
(
).
(
)
(
- La valeur de la fonction d'autocorrélation à l'origine représente l'énergie du signal.
(3.3)
(3.4)
(3.1)
(3.2)

)
(
)
(
)
0
( 2
n
x
x
E
R
n
xx 





On peut énumérer les différents étapes et opérations intervenant dans le calcule d’une fonction
de corrélation de la manière suivante :
- le signal y (k) est décalé d’une certaine quantité k
- le produit x (k) y (l+k) est effectué échantillon par échantillon pour toute les valeur de l.
- les valeurs ainsi obtenues sont additionnées pour obtenir une valeur )
(k
xy
R
Ces étapes sont répétées autant de fois que nécessaire.
III.2.4 Propriétés de la fonction d’autocorrélation :
- La fonction d’autocorrélation en 0 représente l’énergie du signal :
- La fonction d’autocorrélation d’un signal réel est paire :
En posant t+= t1:
- La fonction d’autocorrélation d’un signal complexe est à symétrie hermitienne :
- La fonction d’autocorrélation est maximale en 0 (inégalité de Schwarz) :
D’où la possibilité de normaliser les fonctions d’autocorrélation pour les comparer entre elles
et d’obtenir la fonction d’autocorrélation normalisée:
0
)
0
( 
 E
ss
R
)
(
)
( 


 ss
ss C
R
1
)
1
(
*
)
1
(
))
(
(
*
)
(
)
( dt
t
s
t
s
dt
t
s
t
s
ss
R  


 











)
(
*
)
( 


 ss
ss R
R
)
0
(
)
( ss
ss R
R 

)
0
(
)
(
)
(
ss
ss
ss
R
R 



(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.6)
(3.10)
(3.11)
(3.5)

III.2.5 Mesure du retard
Les applications des fonctions de corrélation sont très riches par la réalisation pratique qui en
découle. L’application essentielle de l’intercorrelation c’est un moyen de comparaison et
permet de mesurer le décalage entre deux signaux x (t) et y (t) retardé de .
Exemple :
Imaginons deux signaux identiques à un retard prés, et un facteur de proportionnalité prés :
)
(t
x et )
(
)
( 0
t
t
x
t
y 
 
Nous observons les deux signaux )
(
)
( t
y
et
t
x additionnés à deux bruits )
(
)
( 2
1 t
b
et
t
b centrés
et décorrélés entre eux et décorrélés de )
(t
x :
)
(
)
(
)
( 1
1 t
b
t
x
t
r 

)
(
)
(
)
( 2
2 t
b
t
y
t
r 

Comment mesurer le décalage temporel 0
t entre )
(t
x et )
(t
y ?
Cette situation se rencontre dans de nombreux problèmes de mesure de retard. On la rencontre
dans la mise en œuvre du sonar, du radar et dans de nombreuses mesures de distance. Citons,
en particulier, les systèmes de positionnement par satellite (G.S.P : global positionning
systems) dans lesquels la position est déduite de la mesure de la date d’arrivée des signaux
émis par satellites [17].
Considérons la fonction d’intercorrelation :
 

T
r
r dt
t
r
t
r
T
t
C
0
1
2
2
1 )
(
)
(
1
lim
)
(  (3.12)
Par suite de la décorrélation des différents signaux :
)
(
)
(
)
( 0
2
1 


 

 xx
yx
r
r C
C
t
C (3.13)
Cette dernière relation donne le principe de la méthode de mesure le retard 0
 .
Comme l’autocorrection )
(
2
1 
r
r
C est maximale en 0


Ce retard correspond à l’abscisse du maximum de l’intercorrelation, )
(
2
1 
r
r
C des deux signaux
observés (figure 3.1).
Cette mesure est évidemment mise en défaut pour des signaux périodiques dont
l’intercorrelation périodique, fait apparaître des maximas à chaque période [17].
L’intercorrelation peut être aussi appliquée dans :
- L’extraction d’un signal périodique noyé dans le bruit.
- La mesure des caractéristiques dynamiques des systèmes linéaires.
- La réduction du bruit.

- Le calcule de la densité spectrale de puissance qui est égale à la transformée de Fourier de
la fonction d’autocorrélation
Figure 3.1 : Mesure du retard entre deux signaux en utilisant la transformation de
corrélation
III.3 La transformation de Hilbert
III.3.1 Définition
Le système linéaire dont la fonction de transfert: )
u
(
isign
)
u
(
G 

A pour seul effet d'avancer la phase de
2

est appelé un filtre en quadrature.
La réponse impulsionnelle
t
t
g


1
)
(
Permet d'obtenir la réponse du système à une entrée )
(t
e






 


 d
t
e
t
s
)
(
1
)
(
Par définition )
(t
s est appelée la transformation de Hilbert de )
(t
e et nous utiliserons la
notion suivante :
  )
(
*
1
)
(
)
( t
f
t
t
f
t
FHi




La transformation de Hilbert intervient lorsqu'on étudie les signaux causaux.
Les signaux non-stationnaires sont souvent étudiés via leur signal analytique.
Celui-ci est calculé en utilisant la transformation de Hilbert. La transformation de Hilbert
permet de calculer le signal analytique [18].
 
)
(
)
(
)
( t
f
i
t
f
t
f a 


Associé à )
(t
f , Le module du signal analytique fournit l'enveloppe de )
(t
f .
(3.14)
(3.16)
(3.17)
(3.15)

III.3.2 Calcul du temps de retard (le temps de décalage)
Une autre technique développée en [1991], utilise les propriétés de la transformation de
Hilbert d'un signal afin de déterminer le décalage temporel entre deux signaux. Il s'agit
d'étudier la transformée de Hilbert de la réponse impulsionnelle du filtre propagatif [19]. Dans
le cas d'un retard pur t
 entre deux signaux, la réponse impulsionnelle )
(t
h est de la forme
Par conséquent, la transformée de Hilbert de )
(t
h n'est autre que:
La transformée de Hilbert possède ainsi la propriété intéressante de traduire un retard pur en
une blanche hyperbolique d'asymptote verticale facilement repérable (figure 3.2); qui permet
de déterminer également avec précision le temps de retard. Le retard t
 correspond au temps
pour le quel la fonction   )
(t
h
Hi coupe l'axe des abscisses [19].
)
(t
y )
(t
r )
(t
h
(a) (b)
Figure 3.2: (a) Représentation schématique de deux signaux )
(t
r et )
(t
y décalés par t

(b) transformée de Hilbert de la réponse impulsionnelle )
(t
h telle que )
)(
*
(
)
( t
y
h
t
r 
III.4 Split Spectrum Processing (SSP)
Vers la fin des années 70’s, une technique appelée Split Spectrum Processing a été
développée pour la mise en oeuvre de concept de la diversité de fréquences (frequency
diversity), pour améliorer le rapport signal bruit, afin de pouvoir traiter les signaux issus des
matériaux granuleux comme le béton[20-27].
Un ensemble diversité de fréquences est créé à partir d’un seul signal d’entrée à large bande,
en utilisant un nombre parallèle de filtres passe-bandes de forme gaussienne comme l’indique
la figure 3.3.
t

t

(3.18)
(3.19)
)
t
t
(
)
t
(
h 


 
)
(
1
)
(
t
t
t
h
Hi





Les spectres résultants sont transformés au domaine du temps au moyen de la transformée de
Fourier inverse, ils sont ensuite multipliés par des facteurs W1,…WN. Ces facteurs sont
choisis tel que l'amplitude de chaque signal de la bande étroite est normalisée à une unité.
Les N signaux de bandes étroites W1X1 (t)….WNXN (t) sont traités et recombinés en utilisant
plusieurs opérations linéaires et non linéaires pour obtenir un signal de sortie en fonction du
temps [28-33].
Figure 3.3: Schémas ploc de la technique Split Spectrum Processing
III.4.1 Transformation de Fourier rapide (FFT) :
Un signal ultrasonique typique peut être représenté par











ailleurs
T
t
t
n
t
m
t
r
0
0
0
)
(
)
(
)
(
(3.20)
Où )
(t
m : Le signal reçu.
)
(t
r : Signal bruité.
T : La duré du signal.
Le spectre de l’écho a été obtenu à l’aide de la transformation de Fourier rapide.
Y (n)
FFT IFFT
Recombinaison
X (n)
W2
X1(n)
X2(n)
XN(n)
f1 f2 fN
b
IFFT
IFFT
W1
WN
b
f1
Filtre passe-bande (f2, b)
b
f2
b
f1
Filtre passe-bande (fN, b)
b
fN
b
f1
Filtre passe-bande (f1, b)
b
f1

III.4.2 Les filtres
La première étape dans la technique SSP est d’obtenir un certain nombre de composants de
fréquences d’un signal ultrasonique spécifique. Ceci peut être réalisé en filtrant le signal
original à l’aide d’un ensemble de filtres passe-bandes comme l’illustre la figure 3.4.
Figure 3.4: Schéma du filtrage avec SSP
La séparation optimale de fréquences des filtres hz
T
f
1


Théoriquement, un signal limité dans le temps produit une largeur de bande infinie.
Cependant, en raison de la réponse fréquentielle du filtre, le spectre utilisable est limité à une
bande de fréquence B Hz.
Le nombre N de bandes de fréquences non corrélatives de largeur de bande B est BT
f
B
N 



Ainsi le nombre réel de filtre N qui pourraient être utilisés est 1
BT
1
N
N 




Dans SSP le filtre est gaussien dont la fonction est définie par :
)
2
)
(
exp(
)
2
(
)
( 2
2
2
/
1
2





  m
n
n
G
Où
m : La valeur moyenne

2
: La variance du filtre gaussien
D’après la figure 33, les filtres passe-bandes gaussiens des valeurs moyennes différentes
N
f
f
f ,....,
, 2
1 , et des variances constants de
2
f
.
(3.21)
f1 f2 fN
f3
Fréquence
Transducteur
spectrum
B

Parmi les caractéristiques importantes du filtre, on peut citer :
- Le nombre de filtres passe-bandes
- La largeur totale de bande du filtre
- La largeur de bande de chaque filtre
- Le type de filtre
- Le chevauchement des filtres
a- Le nombre de filtres passe-bandes
Le nombre de filtres passe-bandes peut varier de trois jusqu'a deux cent bandes. La raison
principale c’est que chaque fréquence dans le spectre peut être exploitée.
D’après la littérature le rapport final signal/bruit est proportionnel au nombre de bandes de
fréquence.
b- La largeur totale de bande du filtre
La largeur de bande d'un capteur est habituellement définie par le point de descente de -6 dB
(Amplitude de 50 %), et ceci est appliqué dans la plupart des applications de SSP. La bande
utilisable peut être augmentée par un facteur de 1.14 d’après [34-35]. Dans certains cas, des
filtres ont été proposés qui ont une limite supérieurs de fréquence qui inférieure à celle du
transducteur utilisé.
c- La largeur de bande de chaque filtre
En générale, on utilise des filtres à bandes de fréquence égale [34-35]. Un cas particulier,
c’est l’utilisation des filtres dont la largeur de bande est proportionnelle à la fréquence. Celle-
ci peut être mise à profit pour optimiser le filtrage par ondelettes dans la technique SSP.
d- Le type de filtre
Le type de filtre le plus utilisé est le filtre gaussien [34-35]. On peut aussi faire appel à
d’autres filtres, tels que le filtre de Wiener [34-35], qui utilise un algorithme SSP modifié.
e- Le chevauchement des filtres
Dans la pratique on tolère un chevauchement de 0 jusqu'à 25% (figure 3.5). Un manque de
chevauchement conduit à la perte des composantes de fréquence, tandis qu’un grand
chevauchement conduit à la perte des avantages du SSP [34-35].

Figure 3.5 : Chevauchement des filtres passe-bandes
III.4.3 Recombinaison des signaux filtrés
Une fois que le signal a été décomposé en un certain nombre de bandes de fréquences, ces
dernières sont ensuite recombinées. Cette technique de recombinaison permet de localiser ces
fréquences, et par conséquent déterminer la partie du signal qui représente l’écho.
Un certain nombre de techniques ont été développées :
- La variance
- Maximisation
- Maximisation
- Moyenne géométrique (Geometric mean)
- Seuil de la polarité (Polarity threshold)
- Seuil de la polarité avec échelle (polarity threshold with scaling)
- multiplication de la fréquence (frequency multiplication)
- Mettre au carré et addition des composants de fréquence (squaring and adding frequency
components)
- La déviation de phase (phase deviation)

Les équations représentant chacun de ces algorithmes de recombinaison sont indiquées dans
le tableau 7.
Dans tous ces algorithmes la notation suivante est employée:
A: Amplitude du signal après recombinaison.
X: Amplitude du signal après filtrage.
n: Indice inférieur pour le nombre de filtre (par exemple entre 1 et 6 pour un système de 6
filtres).
i: Le nombre d'échantillonnage.
Ai: L'amplitude du signal recombiné au point i.
Xni : L'amplitude du signal du point i de filtre n.
minimization
The minimum amplitude is used:
Ai = min (|X1i|,|X2i|,|X3i|...|Xni|)
Polarity threshold
Ai = min|X1i,X2i,X3i...Xni| if all Xni > 0
Ai = min|X1i,X2i,X3i...Xni| if all Xni < 0
Ai = 0 otherwise
Polarity threshold with scaling
Posi=number of amplitudes which are positive
Negi=n-Posi
Ai = (((Posi) - (Negi)) / n)^(n/2) * min(|X1i|,|X2i|,|X3i|...|Xni|) * 4n
Frequency multiplication.
Ai = |X1i * X2i * X3i *…* Xni|
Squaring and adding frequency components
Ai = X1i2 + X2i2 + X3i2 +…+ Xni2
Power x and adding frequency components
Ai = (|X1i| ^x) + (|X2i| ^x) + (|X3i| ^x) +…+ (|Xni| ^x)
Where x is a constant ranging between 0.25 and 4.
Maximization
Ai = max (|X1i|,|X2i|,|X3i|...|Xni|)
Geometric mean
Ai = (|X1i|,|X2i|,|X3i|...|Xni|)1/n
Variance
Ai = Var (|X1i|,|X2i|,|X3i|...|Xni|)
Tableau 7 : Méthodes de recombinaison des signaux filtrés

III.5 Les Ondelettes
III.5.1 Introduction
Depuis les années 1940, la transformé de Fourier est l’outil majeur dans l’analyse et le
traitement des signaux. Elle permet de réaliser des opérations de filtrage par simple
multiplication dans le domaine fréquentiel [38].
La transformée de Fourier est une transformation linéaire et inversible permettant de
décomposer un signal )
(t
f sur la base des exponentielles complexes. Le spectre obtenu
permet alors de rendre compte de la composition fréquentielle du signal original.
 





dt
t
j
t
f
TF )
exp(
)
(
)
( (3.22)
III.5.2 Transformation de Fourier à fenêtre glissante
La transformation de Fourier permet de décrire la répartition des composantes fréquentielles
du signal, mais pas de localiser l’endroit ou les instants de ces fréquences apparaissent ou
disparaissent. Car il agit sur la totalité du signal. Les renseignements fréquentielles ainsi
obtenus sont détriments de la description temporelle explicite de signal. Cette méthode ne
convient donc pas à tous les types des signaux notamment des signaux non-stationnaires qui
se caractérisent par l’apparition d’événement transitoire. Pour pallier à cette déficience, il faut
calculer la transformation de Fourier à fenêtre glissante (TFFG), introduit par le physicien
Gabor dès les années quarante. Dans cette transformation, on fait intervenir une fenêtre
temporelle dont le rôle est de limiter le domaine d’intégration temporelle que l’on fait glisser
d’un bout à l’autre de signal. On obtient alors une représentation temps-fréquence avec une
localisation de l’information [37-38]. On peut dire que La transformée de Fourier fenêtrée
remplace la sinusoïde de la transformée de Fourier par le produit d'une sinusoïde et d'une
fenêtre localisée en temps.
La définition mathématique de TFFG continue est donnée par l’équation :






 ds
s
j
t
s
g
s
f
t
TFFG )
exp(
)
(
)
(
)
,
( 
 (3.23)

III.5.3 Spectrogramme
Le carré du module de la transformée de Fourier fenêtrée est le spectrogramme du signal:
2
2
)
exp(
)
(
)
(
)
,
(  








ds
s
j
t
s
g
s
f
t
TFFG
Ps
Le spectrogramme de Fourier donne une distribution temps-fréquence de l’énergie dans le
signal.
L’inconvénient de cette procédure, outre sa faible résolution conjointe temps fréquence, c’est
que la taille de fenêtre est constante (figure 3.6). Il serait plus pertinent d’adapter la taille de la
fenêtre d’analyse aux caractéristiques locales du signal, c à d on associe une petite fenêtre
aux hautes fréquences (HF) et une grande fenêtre pour les basses fréquences (BF). L’analyse
en ondelettes, vise à apporter une solution à ce problème.
Figure 3.6 : Plan temps-fréquence (TFFG)
III.5.4 Transformée en ondelettes
Les ondelettes forment un tout nouvel outil mathématique, puisqu’elles sont apparues dans
les années 1970 avec les travaux de Y.MAYER qui travaillait à l’élaboration des techniques
pour permettre d’améliorer la prospection pétrolière et l’exploitation de cette source naturelle.
Il analysait notamment les réponses sismiques (signaux ondulatoires) par simulation des
spectres lors de prospection pétrolière. Cette découverte fut ensuite reprise par
fonctionnement central de physique de France qui ont proposé pour la première foie le
concept des ondelettes sous sa forme théorique actuelle.

Dans le début des années 1980 qui en ont fait une véritable outil mathématique comme
l’algorithme de Stephane Mallat en 1988 utilisable dans nombreuses application physique et
informatique [38]. Depuis lors, la recherche sur les ondelettes est devenue un axe de
recherche important.
De la même façon que la transformée de Fourier peut se définir comme étant une projection
sur la base des exponentielles complexes, on introduit la transformée en ondelettes comme la
projection sur la base des fonctions ondelettes.
On peut dire que La transformée en ondelettes remplace la sinusoïde de la transformée de
Fourier par une famille de translation et dilatation d'une même fonction d'ondelettes. Les
coefficients d’ondelettes sont définit comme suit :
dt
a
b
t
t
f
a
b
a
TO )
(
)
(
1
)
,
( 






avec 0
, 

 a
b
a (3.24)
dt
t
f
b
a
TO b
a
 




,
)
(
)
,
( avec )
(
1
)
(
,
a
b
t
a
t
b
a



 (3.25)
Les coefficients d’ondelettes (TO(a; b)) dépendant de deux paramètres a et b,où a est le facteur
d’échelle et b le facteur de translation. Le pas de translation à l’échelle a est : b/a.
Les fonctions (t)
Ψ a,b sont obtenues à partir de la dilatation et de la translation de la fonction
ondelette mèreΨ(t). Les (t)
Ψ a,b sont parfois appelées les ondelettes filles.
III.5.5 Transformée en ondelette continue - transformée en ondelettes discrète
La formule (III.24) dépend des réels a et b, on peut décider d’une infinité de valeur pour ces
deux paramètres ; on peut les faire varier continuellement : on parle alors de transformée en
ondelettes continue. De par cet aspect, la transformée telle qu’elle est définit est redondante,
c’est à dire que l’on obtient plus des coefficients d’ondelettes qu’il n’en est nécessaire pour
décrire le signal de manière exhaustive. On va donc essayer de réduire cette redondance, car il
est claire que pour des petites variations sur les valeurs de a ou b entraînent des petites
variations sur les coefficients TO(a; b).
En pratique, on a le plus sauvant à faire à des signaux discrets, mais mêmes sans cela on a
intérêt à discrétiser les valeurs de a et b. La figure 3.7 illustre bien, comment est découpé le
plan temps fréquence pour chaque type de transformée.

Le pavage temps-échelle utilisé sur la figure précédente suggère une méthode de
discrétisation exponentielle pour les échelles et pour le temps.
Soit : am
a 0
 et bn
b 0
 avec 

b
a 0
.
0 .
On obtient alors une transformation en ondelette discrète :
dt
b
n
t
a
t
f
a
n
m
TO m
m
)
(
)
(
)
,
( 0
0
2
/
0 
 








(3.26)
Si on choisi 2
0 
a et 1
0 
b , on parle alors de la transformée en ondelette dyadique
dt
n
t
t
f
n
m
TO m
m
)
2
(
)
(
)
2
(
)
,
( 
 







(3.27)
III.5.6 Analyse multi-résolution
La transformé en ondelettes discrète est l’approche la plus utilisée pour filtrer un signal par un
banc des filtres passe-bas et passe-haut complémentaires. Cette méthode est appelée
transformé discrète ou analyse multi – résolution produit par filtrage et décimation successif.
Figure 3.7 : Plan temps- fréquence ou temps- échelle
- Les basses fréquences ont des fenêtres temporellement larges et par conséquente haute
résolution de la fréquence.
- Les hautes fréquences ont des fenêtres temporellement courtes peu de temps et par conséquente
faible résolution de la fréquence.
Fréquence

Le principe de transformation en ondelettes discrète est de séparer le signal en deux
composantes, l’une représentant l’allure générale du signal ou l’approximation, et l’autre
représentant ses détails.
L’allure générale d’une fonction est représentée par ses basses fréquences (BF), par contre les
détails par ses hautes fréquences (HF). Pour séparer les deux composantes (BF, HF), on a
besoin de deux filtres ; l’un passe bas pour l’allure générale et l’autre passe haut pour estimer
les détails (figure 3.8).
Figure 3.8: Décomposition du signal en approximation et détail
L’approximation contient encore des informations et peut être décomposer en une autre
approximation et détails, ce processus peut se poursuit comme il est montré dans la figure 3.9.
S
D1
S
A1
A2
A3
D2
D3
f
f
f
S D1
A1
A2
A3
D2
D3
S
S
D1
D2 D1
DWT1
DWT3
DWT2
Approximation Détails B 2B 4B
S=A1+D1
S =A2 +D2+D1
S=A3+D3+D2+D
1

Figure 3.9 : Décomposition de signal à trois niveaux (Arbre de décomposition)
III.5.7 Scalogramme
Le scalogramme est une représentation temps-echelle (le temps sur l'axe horizontal, l'échelle
sur l'axe vertical et la valeur de niveau de gris de la couleur l’amplitude).
Le scalogramme est exprimé à partir de la transformation en ondelettes continue. Il est défini
comme le carré du module de la transformation en ondelettes [39].
2
2
1
2
)
(
)
(
)
,
( 




a
a
dt
a
b
t
t
f
a
b
a
TO  (III.28)
III.5.8 Application sur les ultrasons
La transformation en ondelettes, est une représentation multi-résolution d’un signal. Elle est
devenue un outil très puissant pour les essais non destructifs et le contrôle par les ultrasons.
Elle permet de filtrer le signal pour détecter et caractériser les types des défauts (planaire ou
volumétrique) des matériaux et d’améliorer le rapport signal sur bruit [40-42].

Chapitre VI
Mesures et analyses
des résultats

Dans ce travail, nous avons opté pour la technique du prisme, pour les raisons suivantes :
- Cette technique nécessite qu’un seul transducteur pour mesurer la vitesse des deux
ondes longitudinales et transversales.
- Il y a un couplage facile entre le transducteur et l’échantillon (une caractéristique
principale des essais par immersion).
- La formule spéciale utilisée, indique que la vitesse est indépendante de l’angle de
rotation du traducteur vis-à vis de l’échantillon. Ceci représente un avantage
considérable, par rapport aux autres méthodes.
- Les échantillons prismatiques, sont faciles à préparer. On a utilisé un moule, sous la
forme d’un cube divisé en deux, le long de la diagonale, pour donner deux prismes.
Pour cette expérience, nous avons utilisé deux échantillons :
1 er
échantillon: c’est un mélange, eau, ciment et sable, avec un rapport eau/ciment w/c = 0.45,
et un rapport sable/ciment s/c=1.
2 eme
échantillon : c’est un mélange, eau, ciment, sable et gravier (béton).
Une vue générale de l’appareil de mesure est représentée sur la figure (4.1). Les échantillons
sous forme de prisme se trouvent à droite de la figure.
Figure 4.1 : Vue générale de l’appareil

IV.1 Expérience 1 (Mortier)
IV.1.1 Représentation des échos
Les quatre signaux (figure 4.2, 4.3, 4.4 et 4.5), montrent les résultats obtenus par la
technique du prisme sur des échantillons qui provient d’un cube de départ (45x45x45 mm3
),
et en utilisant un transducteur de fréquence centrale de 1MHz.
a-Echo de la face principale :
20 40 60 80 100 120 140
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
temps (us)
Amplitude
(volte)
1 er écho "Face echo"
t1=53 us
Figure 4.2 : Echo de la face principale de l’échantillon
t1 : est le temps de vol dans l’eau avec l’échantillon dans sa place (réflexion normale de la face
principale de l’échantillon).
b- Echo du réflecteur :
20 40 60 80 100 120 140
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
temps (us)
Amplitude
(volte)
2eme écho"sans echantilon"
t2=101 us
Figure 4.3 : Echo du réflecteur
t2 : est le temps de vol dans l’eau sans échantillon (réflexion normale du réflecteur)

c-Echo relatif aux ondes longitudinales :
20 40 60 80 100 120 140
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
temps (us)
Amplitude
(volte)
3 eme echo"Onde longitudinale"
tL=66 us
Figure 4.4 : Ondes longitudinales
Si on augmente l’angle d’incidence (en faisant tourner le traducteur autour de l’échantillon), il
apparaît un troisième écho, représentant les ondes longitudinales.
tL : est le temps de vol avec la présence de l’échantillon, lorsque la réfraction se produit à un
angle de 45°
à l’intérieur de l’échantillon.
d-Echo relatif aux ondes transversales :
20 40 60 80 100 120 140
-6
-4
-2
0
2
4
6
temps (us)
Amplitude
(volte)
4 eme Onde transversal
tT =77us
Figure 4.5 : Ondes transversales
Si on augmente d’avantage l’angle d’incidence, le troisième écho disparaît (les ondes
longitudinales), et il y aura apparition d’un quatrième écho qui représente les ondes
transversales.
tT : est le temps de vol avec la présence de l’échantillon et quand la réfraction se produit à un
angle de 45°
à l’intérieur de l’échantillon, pour une onde transversale.

Nous allons imposé ci-dessous les résultats de traitement des signaux par ordinateur en
utilisant le logiciel MATLAB version 5.3. Ces résultats sont obtenus par les techniques
suivantes : La transformation de corrélation, la transformée de Hilbert, Split spectrum
processing, la transformation de Fourier a fenêtre glissante, et la transformée en ondelettes,
pour et calculer le temps de retard, et déterminer l’endroit exact des échos, on présence du
bruit.
IV.1.2 L’intercorrélation
Pour élucider le retard qui peut exister entre deux échos, nous avons superposés sur la figure
4.6 l’écho émanent de la face principale de l’échantillon, et l’écho qui provient du réflecteur.
La figure 4.7 représente, l’autocorrélation du singal de la face principale (a), et
l’intercoorélation entre les signaux de la face principale et du réflecteur (b).
L’autocorrélation est maximal pour un retard nul )
0
(
)
( C x
C x 
 (inégalité de Schwartz).
Le retard est donné par l’abscisse du maximum de l’intercorrélation entre deux échos.
Cette abscisse correspond au nombre d’échantillons (1185) qui représente la différence entre
l’écho du réflecteur (nombre d’échantillon=1880) et l’écho de la face principale (nombre
d’échantillon =695).
- Le nombre d’échantillon 1880 correspond à un temps t =101 µs (l’écho de réflecteur)
- Le nombre d’échantillon 695 correspond à un temps t=53 µs (l’écho de la face principale)
- Le nombre d’échantillon 1185 correspond à un temps t=101-53=48 µs (le retard entre l’écho
du réflecteur et l’écho de la face principale).
0 500 1000 1500 2000 2500
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
Echantillon
Amplitude
(volte)
n=695 n=1880
Retard=1880-695 =1185
n(1185)=48 us
Figure 4.6: Deux échos superposés (écho de la face principale et écho du réflecteur)

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
echantillon
Autocorrelation
Autocorrélation
Amplitude max pour
nombre échantillon=0
-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
echantillon
l'intercorrélation
L'intercorrélation
Amplitude maximale
pour nombre échantillon=1185 us
(a) (b)
Figure 4.7 (a) Auto corrélation (b) Inter corrélation
IV.1.3 Transformation de Hilbert :
On peut aussi calculer le temps de retard en utilisant la transformée de Hilbert (figure 4.8). Le
retard est donné par l’abscisse du maximum de la transforme de Hilbert.
La valeur du temps de retard par la transformée de Hilbert est égale à 48 µs (nombre
d’échantillon 1185). Il a exactement la même valeur que celle trouvé par la méthode
précédente.
0 500 1000 1500 2000 2500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
nombre échantillon(amplitude max)=1185
nombre échantillon(1885)=48 us
Figure 4.8 : Représentation de Hilbert

IV.1.4 Split Spectrum Processing (SSP)
a- Echo de la face principale « Face écho »
L’écho de la face principale (figure 4.9) est transformé au domaine de fréquence en utilisant
la transformation de Fourier rapide (figure 4.10). Le spectre est filtré à l’aide de quatre filtres
gaussiens de même largeur de bande b=0.29 MHz, et de fréquences centrales différentes
5MHz,10MHz,15 MHz et 20 MHz, avec une intersection de -6 dB (chevauchement de 50%
(figure 4.11), qui résulte en quatre signaux filtrés, comme l’illustre la figure 4.12. Les signaux
filtrés sont traités et recombinés en utilisant plusieurs algorithmes de recombinaison
(minimisation, maximisation, moyen et moyen géométrique), dans la gamme de fréquence 0-
25 MHz, en utilisant un incrément de fréquence Δ f=10 KHz pour obtenir la sortie en fonction
du temps (figure 4.13).
20 40 60 80 100 120 140
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
temps (s)
Amplitude
Figure 4.9 : Echo de la face principale
0 5 10 15 20 25
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
frequence (s)
Amplitude
0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
frequence
Amplitude
les narraw bandfilters
Figure 4.10 : Spectre d’amplitude Figure 4.11 : Les filtres passe- bandes

0 50 100 150
0
0.5
1
1.5
2
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.01
0.02
0.03
0.04
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.01
0.02
0.03
0.04
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.5
1
1.5
2
temps (s)
Amplitude
(a) (b)
(c) (d)
Figure 4.12 : Les sorties des filtres a, b, c et d.
0 50 100 150
0
0.01
0.02
0.03
0.04
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.5
1
1.5
2
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
1
2
3
4
x 10
-4
temps (s)
Amplitude
(a) (b)
(c) (d)
Figure 4.13 : Les résultats de la technique SSP
(a) minimisation (b) maximisation
(c) moyen (d) moyen géométrique

On va appliquer la même méthode sur les échos relatifs aux ondes longitudinales (figure 4.14)
et transversales (figure 4.16), en utilisant les mêmes filtres et les mêmes algorithmes de
recombinaison, avec les mêmes paramètres.
Les résultats de cette technique sont illustrés dans les figures 4.15, 4.17.
b- Echo relatif aux ondes longitudinales
20 40 60 80 100 120 140
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.05
0.1
0.15
0.2
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.5
1
1.5
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
2
4
6
x 10
-3
temps (s)
Amplitude
(a) (b)
(c) (d)

c- Echo relatif aux ondes transversales
20 40 60 80 100 120 140
-6
-4
-2
0
2
4
6
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.05
0.1
0.15
0.2
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.5
1
1.5
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
temps (s)
Amplitude
0 50 100 150
0
2
4
6
8
x 10
-3
temps (s)
Amplitude
(a) (b)
(c) (d)
Comme on peut constater, les signaux de départ dans cette première expérience sont clairs
(large écho). Le but de cette expérience est de démontrer la puissance de la technique SSP.
D’après les quatre opérations, on peut facilement isoler les pics d’amplitude, et déterminer le
temps de vol. On a trouvé les résultats suivants :
- t1 = 53 us (représente le temps de vol pour la réflexion de la face principale).
- tL = 66 us (représente le temps de vol pour les ondes longitudinales).
- tT = 77 us (représente le temps de vol pour les ondes transversales).

D’après ces résultas, il est claire que l’algorithme du moyen géométrique (geometric mean)
donne des échos plus prononcés, et par conséquent, permet une détermination plus précise du
temps. Ceci sera d’une importance capitale lorsque les échos sont noyés dans le bruit.
IV.1.5 La transformation en ondelettes
Dans cette partie, nous avons appliqué la transformée en ondelettes (scalogramme) et la
transformée de Fourier à fenêtre glissante (spectrogramme) sur les mêmes signaux traités
précédemment:
- Echo de la face principale (figure 4.18)
- Echo des ondes longitudinales (figure 4.22)
- Echo des ondes transversales (figure 4.26)
Le but de cette technique est le même que celui de SSP. C’est de détecter et de localiser
l’emplacement exact des échos et la suppression du bruit (le cas échéant).
Les figures (4.19, 4.23, 4.27) représentent l’allure des coefficients d’approximations et
détails d’ondelettes de Debauchies. Nous constatons que les variations du signal suivent le
contenu du signal original, où il y a une faible variation des coefficients dans la partie non
bruitée, et une forte variation des coefficients dans la partie bruitée.
La représentation temps-échelle (Scalogramme) est illustrée dans les figures (4.20, 4.24,
4.28). Les basses fréquences se trouvent en haut de l’image, tandis que les hautes fréquences
se trouvent en bas de celle-ci.
La représentation temps-fréquence (Spectrogramme) est montrée dans les figures (4.21, 4.25,
4.29). Pour cette représentation, la variation de la fréquence coïncide avec l’une des
ordonnées.
Scalogramme et spectrogramme indiquent que les échos fondamentaux sont concentrés autour
de :
- nombre d’échantillons =695 (t1=53 µs), pour l’écho de la face principale figures (4.20, 4.21).
- nombre d’échantillons =1012 (tL=66 µs), pour les ondes longitudinales figures (4.24, 4.25).
- nombre d’échantillons =1287 (tT=77 µs), pour les ondes transversales figures (4.28, 4.29).

Nous remarquons aussi l’apparition des raies verticales (nombre d’échantillons 500-1000).
Ces raies représentent le bruit de la face principale.
On peut utiliser les deux représentations (scalogramme et spectrogramme) pour afficher le
niveau d’énergie du signal dans le plan temps-fréquence, où l’amplitude est donnée par la
valeur du niveau du gris de la couleur.
a- Echo de la face principale
0 500 1000 1500 2000 2500
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
nombre d'echantillon
Amplitude
Figure 4.18 : Echo de la face principale
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
-50
0
50
ca1
0 100 200 300 400 500 600 700
-50
0
50
ca2
0 50 100 150 200 250 300 350
-10
-5
0
5
ca3
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
-5
0
5
cd1
0 100 200 300 400 500 600 700
-40
-20
0
20
cd2
0 50 100 150 200 250 300 350
-50
0
50
cd3
Figure 4.19 : Coefficients d’approximations et détails (3 niveaux)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...
time (or space) b
Scale
500 1000 1500 2000 2500
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
Figure 4.20 : Scalogramme
Echo

-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Time
Frequency
spectrogram
0 500 1000 1500 2000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Figure 4.21 : Spectrogramme
b- Echo relatif aux ondes longitudinales
0 500 1000 1500 2000 2500
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Amplitude
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
-10
0
10
ca1
0 100 200 300 400 500 600 700
-5
0
5
10
ca2
0 50 100 150 200 250 300 350
-5
0
5
ca3
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
-1
0
1
cd1
0 100 200 300 400 500 600 700
-5
0
5
cd2
0 50 100 150 200 250 300 350
-10
0
10
cd3
Figure 4.23 : Coefficients d’approximations et détails d’ondelettes (3 niveaux)
Echo

2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...
time (or space) b
Scale
500 1000 1500 2000 2500
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
Figure 4.24 : Scalogramme
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Time
Frequency
spectrogram
0 500 1000 1500 2000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Figure 4.25 : Spectrogramme
c- Echo relatif aux ondes transversales
0 500 1000 1500 2000 2500
-6
-4
-2
0
2
4
6
Amplitude
Echo
Echo

Technique de traitement du signal pour la caracteristation par ultrason des materiaux complexes.pdf

Technique de traitement du signal pour la caracteristation par ultrason des materiaux complexes.pdf

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Technique de traitement du signal pour la caracteristation par ultrason des materiaux complexes.pdf

Similaire à Technique de traitement du signal pour la caracteristation par ultrason des materiaux complexes.pdf (17)

Technique de traitement du signal pour la caracteristation par ultrason des materiaux complexes.pdf