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Université d’Orléans - Licence Economie et Gestion
Statistique Mathématique
C. Hurlin. Examen Décembre 2006
Exercice 1 Tests UPP et Théorème de Neyman Pearson. Risque Bancaire. Barème : 12 points.
Soit X une variable désignant le nombre d’incidents de paiement pour un crédit à la consomma-
tion observés sur la durée du prêt. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre ( > 0) :
On dispose d’un échantillon de N clients appartenant à une banque A. On note fX1; ::; XN g ce
N-échantillon où Xi désigne le nombre d’incidents observés pour l’individu i: On suppose que les
variables Xi sont i:i:d: de même loi que X et l’on rappelle que :
P (Xi = k) = e
k
k!
(1)
avec
E (Xi) = V (Xi) = (2)
Question 1 (1 point) On cherche à tester si les clients de cette banque sont en moyenne de
”bons” clients. Traduisez cette demande sous la forme d’un test d’hypothèse simple contre
hypothèse simple, puis sous la forme d’un test d’hypothèse simple contre hypothèse multiple
unilatéral.
Question 2 (2 points) On considère le test suivant :
H0 : = 0 (3)
H1 : = 1 (4)
avec 0 < 1: Démontrez que la région critique du test UPP de niveau est alors de la forme
W = X1; ::; XN j XN > K (5)
où XN = (1=N) N
i=1Xi désigne la moyenne empirique des variables Xi:
Question 3 (2 points) En utilisant le théorème central limite, démontrez que dans la cas d’une
taille d’échantillon asymptotique (N ! 1), le seuil critique K associé au test précédent
s’écrit sous la forme :
K 0 + 1
(1 )
r
0
N
(6)
où (:) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Question 4 (1.5 points) On souhaite tester l’hypothèse nulle selon laquelle les clients de la
banque A sont faiblement risqués sous la forme suivante : H0 : = 1 contre H1 : = 2:
En utilisant les résultats des questions 2 et 3, que pouvez vous conclure pour un risque de
première espèce de 5% si pour un échantillon de 1332 clients de la banque A on observe les
évenements suivants :
Incidents 0 1 2 3 4 5 6 Total
Ni : Nombre d’individus 510 500 226 70 19 6 1 1332
C. Hurlin. Examen Décembre 2006 page 2
Question 5 (1 point) On admet que la région critique du test UPP de niveau = 5% de
l’hypothèse H0 : = 1 contre l’hypothèse H1 : = 2 est dé…nie par :
W = X1; ::; XN j XN > 1:0451 (7)
Quel est le risque que ce test conduise à déclarer les clients non risqués alors qu’ils sont
réellement risqués ?
Question 6 (1.5 points) On souhaite tester l’hypothèse nulle selon laquelle les clients de la
banque A sont faiblement risqués sous la forme du test unilatéral :
H0 : = 1 (8)
H1 : > 1 (9)
En utilisant les di¤érents éléménts des questions précédentes, que pouvez conclure pour un
niveau de risque de 5% ? Vous détaillerez précisément votre démarche.
Question 7 (2 points) On souhaite en…n tester l’hypothèse :
H0 : = 1 (10)
H1 : 6= 1 (11)
(i) Construisez la région critique associée à ce test pour un niveau de risque de première
espèce de 5% et (ii) concluez à partir des éléments précédents.
Question 8 (1 point) Donnez la formule de la puissance du test bilatéral (question 7) en fonction
de la valeur de :
Exercice 2 Test d’Indépendance : Application à l’Etude de la Relation Salaire / Diplôme (à partir
d’un examen de Mme Bessec, Université Paris IX Dauphine). Barème : 4 points.
On considère un échantillon établi par le CEREQ (Centre d’Etudes et de Recherches sur les
Quali…cations) et constitué de 705 jeunes peu diplômés sortis du système scolaire en juin 1989. On
s’intéresse à la liaison entre le niveau de salaire des jeunes en euros (noté X) et leur niveau de
formation (variable Y ). On vous demande de tester au seuil de 5%, puis de 10% l’indépendance
du niveau de salaire des jeunes à leur niveau de formation. Vous détaillerez précisément votre
démarche.
X n Y Bac BEP-CAP Sixième Total
600-750 115 284 30 429
750-900 65 109 11 185
900-1650 45 44 2 91
Total 225 437 43 705
2
C. Hurlin. Examen Décembre 2006 page 3
Exercice 3 Test d’Adéquation : Application à l’Etude du Volume des Ventes (à partir d’un examen
de Mme Bessec, Université Paris IX Dauphine). Barème : 5 points.
On suppose que le nombre journalier d’acheteurs d’un produit ménager est une variable aléatoire
suivant une loi de Poisson de paramètre (réel strictement positif). On note Xi le nombre de
personnes ayant e¤ectué un achat le ieme jour de l’étude où i = 1; ::; N: La consultation des registres
des ventes d’un grand magasin réalisées sur une 100 journées consécutives conduit aux résultats
suivants :
Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total
ni 25 31 22 16 4 1 1 0 0 100
où ni représente l’e¤ectif associé à la modalité Xi = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 et +g.
Question 1 (2 points) Construisez un estimateur du Maximum de Vraisemblance du paramètre
et proposez une estimation ponctuelle. Remarque : on rappelle que si Xi suit une loi P ( ) ;
alors :
P (Xi = k) = e
k
k!
(12)
Question 2 (2 points) Soit b un estimateur convergent du paramètre ; on admet qu’une réal-
isation de cet estimateur sur cet échantillon est b = 1:5: Testez au seuil de 5%, l’hypothèse
selon laquelle les ventes quotidiennes suivent une loi de Poisson de paramètre estimé b = 1:5.
Indication : Vous construirez le tableau des e¤ectifs théoriques et empiriques et e¤ectuerez
si nécessaire des regroupements de modalités a…n de satisfaire la condition sur les e¤ectifs
théoriques.
Question 3 (1 point) On admet que, pour un risque de première espèce de 5%, le test d’adéquation
ne permet pas de rejeter l’hypothèse selon laquelle les ventes quotidiennes suivent une loi de
Poisson de paramètre 1; 5. La direction Marketing juge que le produit est économiquement
rentable si la probabilité qu’il ne soit pas acheté n’excède pas 25% ? Compte tenu des pro-
priétés des tests d’adéquation, peut on garantir à la Direction Marketing que ce produit
ménager est économiquement rentable ?
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  • 1. Université d’Orléans - Licence Economie et Gestion Statistique Mathématique C. Hurlin. Examen Décembre 2006 Exercice 1 Tests UPP et Théorème de Neyman Pearson. Risque Bancaire. Barème : 12 points. Soit X une variable désignant le nombre d’incidents de paiement pour un crédit à la consomma- tion observés sur la durée du prêt. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre ( > 0) : On dispose d’un échantillon de N clients appartenant à une banque A. On note fX1; ::; XN g ce N-échantillon où Xi désigne le nombre d’incidents observés pour l’individu i: On suppose que les variables Xi sont i:i:d: de même loi que X et l’on rappelle que : P (Xi = k) = e k k! (1) avec E (Xi) = V (Xi) = (2) Question 1 (1 point) On cherche à tester si les clients de cette banque sont en moyenne de ”bons” clients. Traduisez cette demande sous la forme d’un test d’hypothèse simple contre hypothèse simple, puis sous la forme d’un test d’hypothèse simple contre hypothèse multiple unilatéral. Question 2 (2 points) On considère le test suivant : H0 : = 0 (3) H1 : = 1 (4) avec 0 < 1: Démontrez que la région critique du test UPP de niveau est alors de la forme W = X1; ::; XN j XN > K (5) où XN = (1=N) N i=1Xi désigne la moyenne empirique des variables Xi: Question 3 (2 points) En utilisant le théorème central limite, démontrez que dans la cas d’une taille d’échantillon asymptotique (N ! 1), le seuil critique K associé au test précédent s’écrit sous la forme : K 0 + 1 (1 ) r 0 N (6) où (:) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Question 4 (1.5 points) On souhaite tester l’hypothèse nulle selon laquelle les clients de la banque A sont faiblement risqués sous la forme suivante : H0 : = 1 contre H1 : = 2: En utilisant les résultats des questions 2 et 3, que pouvez vous conclure pour un risque de première espèce de 5% si pour un échantillon de 1332 clients de la banque A on observe les évenements suivants : Incidents 0 1 2 3 4 5 6 Total Ni : Nombre d’individus 510 500 226 70 19 6 1 1332
  • 2. C. Hurlin. Examen Décembre 2006 page 2 Question 5 (1 point) On admet que la région critique du test UPP de niveau = 5% de l’hypothèse H0 : = 1 contre l’hypothèse H1 : = 2 est dé…nie par : W = X1; ::; XN j XN > 1:0451 (7) Quel est le risque que ce test conduise à déclarer les clients non risqués alors qu’ils sont réellement risqués ? Question 6 (1.5 points) On souhaite tester l’hypothèse nulle selon laquelle les clients de la banque A sont faiblement risqués sous la forme du test unilatéral : H0 : = 1 (8) H1 : > 1 (9) En utilisant les di¤érents éléménts des questions précédentes, que pouvez conclure pour un niveau de risque de 5% ? Vous détaillerez précisément votre démarche. Question 7 (2 points) On souhaite en…n tester l’hypothèse : H0 : = 1 (10) H1 : 6= 1 (11) (i) Construisez la région critique associée à ce test pour un niveau de risque de première espèce de 5% et (ii) concluez à partir des éléments précédents. Question 8 (1 point) Donnez la formule de la puissance du test bilatéral (question 7) en fonction de la valeur de : Exercice 2 Test d’Indépendance : Application à l’Etude de la Relation Salaire / Diplôme (à partir d’un examen de Mme Bessec, Université Paris IX Dauphine). Barème : 4 points. On considère un échantillon établi par le CEREQ (Centre d’Etudes et de Recherches sur les Quali…cations) et constitué de 705 jeunes peu diplômés sortis du système scolaire en juin 1989. On s’intéresse à la liaison entre le niveau de salaire des jeunes en euros (noté X) et leur niveau de formation (variable Y ). On vous demande de tester au seuil de 5%, puis de 10% l’indépendance du niveau de salaire des jeunes à leur niveau de formation. Vous détaillerez précisément votre démarche. X n Y Bac BEP-CAP Sixième Total 600-750 115 284 30 429 750-900 65 109 11 185 900-1650 45 44 2 91 Total 225 437 43 705 2
  • 3. C. Hurlin. Examen Décembre 2006 page 3 Exercice 3 Test d’Adéquation : Application à l’Etude du Volume des Ventes (à partir d’un examen de Mme Bessec, Université Paris IX Dauphine). Barème : 5 points. On suppose que le nombre journalier d’acheteurs d’un produit ménager est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre (réel strictement positif). On note Xi le nombre de personnes ayant e¤ectué un achat le ieme jour de l’étude où i = 1; ::; N: La consultation des registres des ventes d’un grand magasin réalisées sur une 100 journées consécutives conduit aux résultats suivants : Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total ni 25 31 22 16 4 1 1 0 0 100 où ni représente l’e¤ectif associé à la modalité Xi = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 et +g. Question 1 (2 points) Construisez un estimateur du Maximum de Vraisemblance du paramètre et proposez une estimation ponctuelle. Remarque : on rappelle que si Xi suit une loi P ( ) ; alors : P (Xi = k) = e k k! (12) Question 2 (2 points) Soit b un estimateur convergent du paramètre ; on admet qu’une réal- isation de cet estimateur sur cet échantillon est b = 1:5: Testez au seuil de 5%, l’hypothèse selon laquelle les ventes quotidiennes suivent une loi de Poisson de paramètre estimé b = 1:5. Indication : Vous construirez le tableau des e¤ectifs théoriques et empiriques et e¤ectuerez si nécessaire des regroupements de modalités a…n de satisfaire la condition sur les e¤ectifs théoriques. Question 3 (1 point) On admet que, pour un risque de première espèce de 5%, le test d’adéquation ne permet pas de rejeter l’hypothèse selon laquelle les ventes quotidiennes suivent une loi de Poisson de paramètre 1; 5. La direction Marketing juge que le produit est économiquement rentable si la probabilité qu’il ne soit pas acheté n’excède pas 25% ? Compte tenu des pro- priétés des tests d’adéquation, peut on garantir à la Direction Marketing que ce produit ménager est économiquement rentable ? 3