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PR HAMMOUCHA YASSINE
- 1 -
Sommaire
Mathématique financière
Les intérêts simples.
A – Principes de calcul.
B – L’escompte.
C – L’équivalence.
D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
Applications
Statistiques appliquées
I-Terminologie
II- Types de critères, de caractères ou de variables
1.Caractères quantitatifs
2. Caractère qualitatif
En résumé
III- Tableaux statistiques
A- les tableaux à un seul caractère
B- Les tableaux à deux caractères
C- Les différentes distributions statistiques
IV- Représentations graphiques
1. Représentations des distributions à une dimension
3.Autres représentations graphiques
V- Caractéristiques de tendance centrale et de position
A- Mode
B- Médiane
C- Moyenne arithmétique
D- Moyenne géométrique
E- Moyenne harmonique
F- Moyenne quadratique
G- Quantiles
H- Le choix d’une caractéristique de tendance centrale
VI- Caractéristiques de dispersion
Introduction
Les écarts simples
A- l’étendue
B- Intervalle inter-quartile
C- L’écart absolu moyen
D - Variance et écart-type
E- Coefficient de variation
PR HAMMOUCHA YASSINE
- 2 -
Mathématique financière
Chapitre 1 : Les intérêts simples
Toutes les questions traitées dans ce chapitre concernent majoritairement les opérations
financières à court terme (moins d’un an). Ces opérations affectent en majorité la trésorerie des
entreprises, tel que la gestion des comptes courants, l’escompte commerciale, les emprunts à
court terme…
A – Principes de calculs.
1. Définitions.
Un intérêt est dit simple lorsqu’il est directement proportionnel au taux, au temps et au
montant monétaire.
Intérêt
Capital
Taux pour 100 dhs par an
La durée (en jours)
L’année bancaire est de 360 jours (36000 ).
Application A.1 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.2 : VOIR FIN ED CHAPITRE.
2. La notion de valeur acquise.
La valeur acquise est la somme du capital initial et des intérêts qu’il a généré au terme de sa
durée de placement.
Application A.3 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.4 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.5 : VOIR FIN ED CHAPITRE
3. Le taux moyen de placement.
On envisage différents capitaux :
Placés à des durées différentes :
Et à des taux différents :
On appellera t le taux qui, appliqué à différents capitaux et à leur durée correspondante,
produira le même intérêt global que celui à partir des taux initiaux respectifs.
Application A.6 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Pr Hammoucha Yassine
- 3 -
B – L’escompte.
1. La notion d’escompte commercial.
L’entreprise cliente reçoit de sa banque le montant de l’effet diminué de l’agio. L’agio
comprend l’intérêt (appelé escompte), des commissions diverses et de la TVA. L’escompte est
calculé selon le principe de l’intérêt simple.
Valeur nominale
Taux d’escompte
Durée en jours
Escompte
Valeur actuelle commerciale
Le taux d’escompte varie selon la qualité du client. L’escompte n’est jamais soumis à la TVA.
2. La pratique de l’escompte.
Diverses commissions sont appliquées par les banques :
a. Commission ENDOS (endossement), qui sert à rémunérer le service rendu par la banque.
Cette commission est calculée prorata temporis (en fonction du temps), et elle n’est pas
soumise à la TVA. Cette commission est systématique.
b. Les commissions de service ou de manipulation : ces commissions sont variables selon les
établissements financiers et selon la nature de l’effet.
Ces commissions sont généralement forfaitaires et soumises à la TVA. Le coût réel de
l’escompte sera représenté par l’agio hors taxe, puisque la TVA est récupérable.
La notion de taux réel de l’opération d’escompte : calculer ce taux consiste à rechercher le
taux d’un emprunt qui aurait le même montant, la même durée et le même coût que le crédit
d’escompte (pour calculer ce taux, on se base sur l’année de 365 jours). La durée réelle est
obtenue par comparaison entre l’escompte et l’encaissement, en retenant les deux dates extrêmes.
Ce taux réel est très fréquemment bien supérieur au taux annoncé, du fait notamment des
commissions forfaitaires qui pénalisent les opérations de faible montant, du fait également de
conditions bancaires particulières, qui pénalisent les effets dit brûlants (ceux dont l’échéance est
proche) en appliquant un nombre de jours minimum (souvent, ce nombre est de 10).
Application B.7 : VOIR FIN ED CHAPITRE
C – L’équivalence a intérêts simples.
1) Définition.
Deux capitaux (effets) sont équivalents si à une date donnée, au même taux leur valeur
actuelles commerciales sont identiques.
2) Applications.
Application C.8 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Pr Hammoucha Yassine
- 4 -
Application C.9 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Problème d’échéance commune : il s’agit de rechercher les conditions, la valeur nominale d’un
paiement unique remplaçant plusieurs autres, soit de déterminer sa date d’échéance.
Application C.11 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Problème d’échéance moyenne : cas particulier d’une d’échéance commune ou la valeur
nominale de l’effet unique est égal à somme des valeurs nominales des effets initiaux.
Exemple : Le 1
er
octobre on remplace deux effets : l’un de 7 500 € à échéance du 11 octobre,
l’autre de 5 000 € à échéance du 5 novembre, par un effet unique de 12 500 €.
Taux : 10 %.
Quelle sera l’échéance de ce nouvel effet ?
(Soit le 21/10).
Reprenons cet exemple en considérant que le taux d’intérêt et la date d’équivalence ne sont pas
connus.
Soit x la période entre la date d’équivalence et la date d’échéance.
Soit n la période entre la première échéances et la date d’équivalence.
(Soit le 21/10).
On remarque que la date d’échéance moyenne est indépendante du taux d’escompte retenu, ainsi
que la date d’équivalence.
D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
Lorsqu’il s’agit d’un compte bancaire, ce qui importe n’est pas la date d’opération mais la
date de valeur (négociée avec votre banquier). Il faut savoir comment fonctionnent les comptes
bancaires notamment les cas de découverts. Deux sortes de commissions sont appliquées en cas
de découvert :
1. La commission de risque (Commission de Plus Fort Découvert : CPFD), 0,05% du plus
fort découvert du mois (il n’y a pas de TVA sur cette commission).
2. Les commissions de services qui correspondent aux commissions de comptes ou de
mouvements. Le taux de cette commission est en général de 0.025% calculé sur les mouvements
débiteurs.
Application D.13 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Applications complément du cours : les intérêts simples
A - les intérêts simples
Pr Hammoucha Yassine
- 5 -
Solutions
Application A.1
Application A.2
Application A.3
Application A.4
Application A.5
Pr Hammoucha Yassine
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Application A.6
D’abord calculons C pour chaque placement :
B – L’escompte.
Solution
1. Etablir le bordereau d’escompte.
Bordereau d’escompte (remise du 12/08)
Somme des intérêts 40
Pr Hammoucha Yassine
- 7 -
Commission 6 (2 fois 3)
Agio HT 46 €
TVA à 20 % 1,2
Agio TTC 47,2
Montant net 5 652,80
2. Quel est le taux réel du crédit de l’opération d’escompte ?
C – L’équivalence a intérêts simples.
Solutions
Application C.8
Pr Hammoucha Yassine
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Application C.9
Application C.10 :
Application C.11
Application C.12
D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
Pr Hammoucha Yassine
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Solution
Pr Hammoucha Yassine
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Statistiques appliquées
I-Terminologie :
1. Statistique :
La statistique est une méthode scientifique dont l’objet est de recueillir, d’organiser,
de résumer et d’analyser les données d’une enquête, d’une étude o d’une expérience,
aussi bien que de tirer les conclusions logiques et de prendre les décisions qui
s’imposent à partir des analyses effectuées.
Les statistiques se sont des données chiffrées relatives à un phénomène étudié
collectés par la statistique.
Exemple : des statistiques du chômage.
Statistique descriptive: classification des données et leur traitement afin de les rendre
utilisables et permettre leur interprétation.
2. Population :
Ensemble d'individus définis par une propriété commune donnée.
Exemple : *si l’on veut étudier la durée de vie des ampoules électriques fabriquées par
une compagnie, la population considérée est l’ensemble de toutes les ampoules
fabriquées par cette compagnie.
*Age des étudiants de 1
ère
année : l’ensemble étudié c’est l’âge.
3. Echantillon :
Sous-ensemble de la population. Exemple : pour établir la durée de vie des ampoules
électriques produites par une machine, on peut prélever au hasard un certain nombre
d’ampoules - un échantillon- parmi toutes les celles produites par cette machine.
L’échantillonnage représente l’ensemble des opérations qui ont pour objet de
prélever un certain nombre d’individus dans une population donnée.
4. Individu ou unité statistique :
Chaque élément de la population ou de l’échantillon.
Exemple : dans l’exemple précédant, chaque ampoule constitue un individu ou une
unité statistique.
5. La taille :
Représente le nombre d’individus d’un échantillon ou d’une population. Elle est
Pr Hammoucha Yassine
- 11 -
symbolisée par « n » dans le cas d’un échantillon et par « N » dans le cas d’une
population.
6. Le caractère :
C’est l’aspect particulier que l’on désire étudier.
Exemple : concernant un groupe de personnes, on peut s’intéresser à leur âge, leur sexe
leur taille…
7. Les modalités :
Les différentes manières d’être que peut présenter un caractère.
Exemple 1 : le sexe est un caractère qui présente deux modalités : féminin ou masculin
Exemple 2 : quant au nombre d’enfants par famille, les modalités de ce caractère
peuvent être 0,1, 2,3…,20.
8. Caractère qualitatif :
Ses modalités ne s’expriment pas par un nombre
Exemple : la religion, le sexe, l’opinion…
9. Caractère quantitatif :
Ses modalités sont numériques.
Exemple : l’age, la taille, le poids…
10. Caractère quantitatif discret ou discontinu
L’ensemble des valeurs que peut prendre le caractère est fini ou dénombrable. Le plus
Souvent, ces valeurs sont entières.
Exemple :le nombre d’enfant dans une famille, le nombre de téléviseurs par foyer et la
pointure des souliers.
11. Caractère quantitatif continu :
Le caractère peut prendre théoriquement n’importe quelle valeur dans un intervalle
donné de nombres réels.
Exemple : la taille d’un individu, le poids…
12. Série statistique :
L’ensemble des différentes données associées à un certain nombre d’individus.
Exemple : la série suivante résulte d’une courte enquête auprès de quelques personnes
pour connaître leur âge :
18 21 19 19 17 22 27 18 18 17 20 20 23
Pr Hammoucha Yassine
- 12 -
13. Les recensements
Sont des opérations issues du dénombrement, qui consistent à étudier de façon
exhaustive et en fonction de plusieurs critères tous les éléments d’une population
Ne pas confondre «dénombrement» et «recensement»
*Le dénombrement: comptage des individus d’une population
*Le recensement: chiffrer les données selon plusieurs aspects (âge, sexe,
chiffred’affaires, etc.)
Exemple Explicatif Des Notions Importants
II- Types de critères, de caractères ou de variables
1. Caractères quantitatifs
Variables numériques et mesurables exprimant une quantité
Exemple: Chiffre d’Affaires d’une entreprise; taux de chômage; taille; PIB, etc
Les variables quantitatives peuvent être classées en :
a. Variables quantitatives discrètes ou discontinues
b. Variables quantitatives continues
a. Variable quantitative discrète (discontinue)
Elle est représentée par un nombre fini de valeurs (Ex: nombre d’enfant par ménage;
Population urbaine marocaine par groupe d’âge et sexe (en
millier)
 Population: Population urbaine marocaine en 2005 et 2006
 Individu: Population urbaine
 Caractère: Groupe d’âge et sexe
Pr Hammoucha Yassine
- 13 -
nombre d’hospitalisation par patient, etc.)
Les modalités de la variable peuvent être traitées mathématiquement (par des
opérations mathématiques de base)
Exemple: enquête réalisée auprès de 20 femmes casablancaises nées en 1970 sur le
nombre d’enfants qu’elles ont eus
Nombre d’enfants/femmes
Nombre d’enfants Effectif de femmes
0 1
1 3
2 5
3 5
4 4
5 2
Total 20
b. Variable quantitative continue
Elle peut prendre un nombre infini de valeurs dans son intervalle de définition (Ex:
taille, revenus, CA, poids, etc.)
Il s’agit de grandeurs liées à l’espace(longueur, surface), au temps(âge, durée, vitesse), à
la masse(poids, teneur), à la monnaie(salaire, CA)
Les variables continues peuvent être regroupées en classe: un individu qui pèse 76,5
Kg sera repéré dans une classe de poids de [76-77]
Lorsque les données sont regroupées en classe, il faut définir les extrémités de classe
 Il faut préciser la «borne inférieure» et la «borne supérieure» des classes
 Il faut préciser sans ambiguïté si les valeurs des extrémités sont inclues ou non dans
les classes
Exemple 1:
nombre d’enfants par femme
Classe [2 –4[
 «[2 –» signifie que la valeur «2» est inclue dans la classe
 « –4 [» signifie que la valeur «4» est exclue de la classe
Tous les éléments de la population étudiée (femmes) doivent se retrouver dans une
et une seule classe
Pr Hammoucha Yassine
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Exemple 2:
Pour des raisons pratiques, on retient généralement comme extrémités de classes des
valeurs «rondes» afin d’effectuer aisément des calculs sur les extrémités de classes
comme pour le calcul de l’amplitude des classes et du centre des classes.
b.1- L’amplitude de classe
L’amplitude de classe=la différence entre la valeur de l’extrémité supérieure et la
valeur de l’extrémité inférieure
L’amplitude a d’une classe i sera donnée par la formule suivante :
Exemple 1:
Exemple 2:
Salaires mensuels des employés d’une entreprise «X» en DH au 31/12/2006
3 classes de salaires :
-De 6000 à moins de 7000 DH: [6000 –7000[
 Cette classe comprendra un employé dont le salaire = 6999 tandis qu’un
salarié dont le revenu = 7000 s’en trouvera exclu
-De7000 à moins de 9000 DH: [7000 –9000[
-De9000 à moins de 12 000 DH: [9000 –12 000[
L’amplitude ai de la classe [6000 –7000[
Nombre d’enfants par femme
Pr Hammoucha Yassine
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Exemple 3:
b.2- Le centre de classe
Le centre de classe=la moyenne des extrémités de classe
Le centre c d’une classe i sera donnée par la formule suivante :
Exemple 1:
Exemple 2:
Salaires des employés de l’entreprise «X» en DH
 L’amplitude de la deuxième classe est 2 fois plus grande que celle de la première
classe
 L’amplitude de la troisième classe est 3 fois plus grande que celle de la première
classe
Cas où les amplitudes sont égales (Nombre d’enfants par femme)
Cas de classes d’amplitudes inégales (Salaires des employés de l’entreprise «X» en
DH)
Pr Hammoucha Yassine
- 16 -
A Ne Pas Oublier
2.Caractère qualitatif:
Ne peut faire l’objet d’une mesure car il ne se présente pas sous forme numérique.(Ex:
couleur de peau; section du bac; catégorie socio-professionnelle; etc.)
 On ne peut pas effectuer d’opérations arithmétiques sur les caractères qualitatifs
(on ne peut additionner les couleurs de peau des êtres humains)
Les caractères qualitatifs se déclinent en plusieurs Modalités:
Modalités:: les différentes valeurs prises par un caractère qualitatif
Exemple 1: la variable«sexe» à deux modalités «Masculin» «Feminin»
Exemple 2: la variable «couleurs des yeux» peut prendre comme modalités «Noir»
«Brun» «Bleu» «Vert» «Gris»
Exemple 3:
Si la population est décrite selon le caractère «CSP agrégées», les différentes
modalités seront
Pr Hammoucha Yassine
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2.a- Les modalités d’un caractère qualitatif sont exhaustives et mutuellement
incompatibles
Exhaustives: à chaque individu doit correspondre une modalité du caractère
Exemple: enquête sur l’état matrimonial d’un groupe d’individu
Pour satisfaire la condition d’exhaustivité, on doit avoir quatre
modalités du caractère «Etat matrimonial» : Célibataire, Marié, Veuf,
Divorcé
Incompatibles: Chaque individu doit pouvoir être classé dans une seule
modalité du caractère
Exemple: Un individu ne peut être à la fois «célibataire» et «marié»
Chaque individu d’un caractère doit pouvoir être classé dans une et une seule
modalité
2.b- Les modalités d’un caractère qualitatif peuvent être ordinales ou
nominales
Les modalités ordinales: peuvent être classées ou hiérarchisées
Exemple: Enquête réalisée en 2006 par l’association «Maroc Entrepreneur» sur
le degré de satisfaction des marocains ayant vécu à l’étranger et franchi le cap du
retour au Maroc
- Le Caractère: «Degré de satisfaction»
- Les modalités du Caractère: «Satisfait», «Assez Satisfait», «Peu Satisfait», «Pas
Satisfait»
Les modalités sont ordinales car on peut les classer :
 Le classement effectué va de l’opinion «Satisfait» à l’opinion «Pas Satisfait»
 On passe d’une préférence positive à une préférence de plus en plus négative
 Les modalités ordinales ne peuvent faire l’objet d’aucune opération
arithmétique
Les modalités nominales: ne peuvent pas être classées (hiérarchisées)
Exemple: Classement d’un groupe de 15 étudiants selon leur ville de naissance
Pr Hammoucha Yassine
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Les 4 modalités du caractère «Ville de naissance» sont nominales donc elles ne
peuvent faire l’objet d’aucun classement hiérarchique
En résumé
III- Tableaux statistiques :
L’un des objectifs de la statistique descriptive est de résumer les données «brutes»
recueillies sur une population dans des tableaux statistiques.
Avantage:
*Présentation des données de façon lisible
*En ligne: informations relatives à chaque individu
*En colonne: critères ou caractères étudiés
Exemple 1:
Enquête d’opinion réalisée auprès de 9 étudiants de premières années TSGE
 Données recueillies : nom, prénom, âge, série du bac, opinion sur l’architecture
de l’institut
 Matrice des données:{{"Alaoui","Fatima",18,"L","Trèsbonne"},{"
Samira",17,"S","Bonne"},{"Omrani","Fouad",19,"S","Trèsbonne"},{"
Amine",20,"S","Trèsbonne"},{"Rafik","Basma",19,"L","Moyenne"},{"
Rime",18,"ES","Bonne"},{"Semlali","Mohammed",19,"G","Médiocre"},{"
Salma",17,"S","Trèsbonne"},{"Yacoubi","Karim",18,"L","Trèsbonne"}}
La matrice de données n’est pas lisible pour l’esprit humain
Pr Hammoucha Yassine
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Présentation des données dans un tableau
Tab 1: Résultat de l’enquête effectuée auprès des étudiants de l’institut
Exemple 2:
Nombre d’enfants par famille observé dans un échantillon de 56 familles
enquête auprès d’un échantillon de 56 familles marocaines sur le nombre d’enfant
par ménage
 Données brutes: 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 8 9
 Les données brutes ne sont pas lisibles
 Regroupement des données dans un tableau pour faciliter le
traitement et les interprétations
Pr Hammoucha Yassine
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La première colonne du tableau reprend les différentes modalités (xi) prises par la
variable ou le caractère nombre d’enfants/ménage
La deuxième colonne présente les effectifs (ni) (fréquences absolues): le nombre
d’individus correspondant à chaque modalité du caractère
Chaque cas du tableau dénombre les individus considérés comme équivalents face au
phénomène étudié
L’ensemble des modalités et des effectifs d’un caractère forment une distribution
statistique ou une série statistique
La présentation d’un tableau statistique doit respecter des principes généraux:
Le tableau doit porter un titre précisant son contenu : le phénomène étudié , la
façon dont il est étudié ,le lieu, la date, etc.
Le tableau doit porter des intitulés de lignes et de colonnes clairement définis
Le tableau doit préciser les unités utilisées : ne pas confondre le mètre avec le
mètre carré, le millier avec le million, le DH avec l’Euro, etc.
Le tableau doit préciser la source des informations lorsque les données sont
empruntées à une publication ou à un organisme
Les tableaux statistiques peuvent être à une ou à plusieurs dimensions
À «une dimension» si un seul caractère est étudié (nombre d’enfants/ménage)
À «deux dimensions» si l’on retient deux caractères (nombre et sexe des
enfants/ménage)

A- les tableaux à un seul caractère
Considérons une population statistique de n individus décrite selon le caractère x dont
les k modalités sont x1, x2, ..., xi, ...., xk
 ni représente le nombre
d’individus, appelé «effectif partiel»
ou «fréquence absolue», présentant
la modalité xi
 La somme des «effectifs partiels»
ni est «l’effectif total» n de la
population
Pr Hammoucha Yassine
- 21 -
 La «fréquence relative» ou «fréquence» fi est la proportion d’individus présentant
la même modalité dans la population
 La «fréquence» fi est obtenue en divisant chaque effectif par l’effectif total
 La «fréquence» fi peut être exprimée en pourcentage%
 La somme des fréquences relatives fi est égale à 1 et la somme des fréquences
exprimées en % est égale à 100
Démonstration
Le tableau statistique initiale se présentera sous la forme suivante :
Exemple d’application : Compléter le tableau en calculant les fréquences relatives et les
fréquences en pourcentages ?
Nombre d’enfants par famille
Nombre d’enfants/famille (xi) Effectif (ni) Fréquence (fi)%
0 3 5.36
1 5 8.92
2 8 14.29
3 7 12.5
4 14 25
5 9 16.08
6 6 10.72
7 2 3.57
8 1 1.78
9 1 1.78
Total 56 100
Pr Hammoucha Yassine
- 22 -
A.1- Les tableaux à caractères qualitatifs
Les tableaux à caractères qualitatifs ne posent pas de problèmes particuliers
1. Tableaux de caractère à modalités nominales
2. Tableaux de caractère à modalités ordinales
A.2- Les tableaux à caractères quantitatifs peuvent contenir plus d’informations
que les tableaux à caractères qualitatifs :
Effectifs cumulés
Fréquences cumulées
Les effectifs cumulés notés N(x)
Exemple : Nombre d’enfants par famille : Combien de familles ont plus de
quatre enfants? Combien de familles ont moins de quatre enfants?
Les fréquences cumulées notées F (x)
Quelle est la proportion de familles ayant plus de quatre enfants? Quelle est la
proportion de familles ayant moins de quatre enfants?
Le calcul des effectifs cumulés et des fréquences cumulées se fait en cumulant
Exemple1: Répartition des salariés de l’entreprise M selon la CSP au 31/12/06
Les modalités des CSP (xi) Effectifs (ni) fréquences (fi) fi en %
Cadre Supérieur 10 0.071 7.1
Contremaitres 5 0.036 3.6
Employés 30 0.214 21.4
Ouvriers spécialisés 90 0.643 64.3
Autres catégories 5 0.036 3.6
Total 140 1 100
Exemple 2: Répartition des étudiants du groupe A selon leur lieu de naissance
Lieu de naissance (xi) Effectifs (ni) fréquences (fi) fi en %
Casablanca 98 0.392 39.2
Mohammedia 53 0.212 21.2
Rabat 47 0.188 18.8
Kenitra 32 0.128 12.8
Autres 20 0.080 8
Total 250 1 100
Exemple: enquête effectuée auprès d’un échantillon de 9 étudiants de sciences
économiques sur leur opinion concernant l’architecture de l’institut
Opinion (xi) Effectifs (ni) fréquences (fi) fi en %
Très bonne 5 0.556 55.6
Bonne 2 0.222 22.2
Moyenne 1 0.111 11.1
Médiocre 1 0.111 11.1
Total 9 1 100
Pr Hammoucha Yassine
- 23 -
(sommant) les effectifs et les fréquences relatives dans une colonne du tableau
1. Cas de caractères quantitatifs discrets
Exemple: Nombre d’enfants (xi) observés dans un échantillon de 55 familles
 Il y a 15 ménages dans l’échantillon qui ont «moins de» 3 enfants. On peut dire
aussi qu’il y a 15 ménages dans l’échantillon qui ont «au plus» 2 enfants.
 Il y a 40 ménages dans l’échantillon qui ont «plus de» 2 enfants. On peut dire
aussi qu’il y a 40 ménages dans l’échantillon qui ont «au moins» 3 enfants
 40% des ménages de l’échantillon ont «moins de» 4 enfants ou «au plus» 3
enfants
 60% des ménages de l’échantillon ont «plus de» 3 enfants ou «au moins» 4
enfants
Pr Hammoucha Yassine
- 24 -
2. Cas de caractères quantitatifs continus
Remarque importante
Le calcul des fréquences et des effectifs cumulés n’est pas affecté par l’amplitude des
classes
1. Représentations des distributions à une dimension
Le choix des représentations graphiques dépend de la nature du caractère statistique
étudié
A- Représentations des caractères qualitatifs
Les variables qualitatives peuvent être représentées graphiquement de différentes
manières
Diagrammes en bâtons
Diagrammes en barres (ou en tuyaux d’orgue)
Diagrammes circulaires (ou en camembert ou en secteurs)
A.1 Diagrammes en bâtons
Un diagramme en bâtons est constitué d’une suite de «bâtons»
A chaque modalité xi du caractère, on associe un «bâton» de longueur hi
La longueur hi doit être proportionnelle à la fréquence fi ou à l’effectif n
Les bâtons peuvent être verticaux ou horizontaux
Exemple: Répartition des salaires mensuels d’une entreprise X au 31/12/06
Interprétation des résultats
 88% des salariés gagnent moins de 10000 DH par mois (260 personnes)
 80% des salariés de gagnent plus de 9000 DH par mois (235 personnes)
Pr Hammoucha Yassine
- 25 -
A.2 Diagrammes en barres (ou en tuyaux d’orgue)
Même principe que pour les diagrammes en bâtons
A.3 Diagrammes circulaires (camembert ou secteurs)
- Cercle divisé en secteurs représentant l’ensemble de la population
- Les différentes modalités du caractères ont représentées par des secteurs dont la
Exemple : Répartition des salariés de l’entreprise X selon la CSP
Représenter graphiquement la distribution étudiée
Pr Hammoucha Yassine
- 26 -
surface est proportionnelle aux effectifs ou fréquences
- L’angle de chaque secteur αi est proportionnel à la fréquence fi: αi= 360 x fi
B- Représentations des caractères quantitatifs
B.1.Représentation graphique des caractères quantitatifs discrets
Représentation d’une distribution des fréquences (ou effectifs)
Représentation d’une distribution des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés)
 Représentation d’une distribution des fréquences (ou effectifs)
Les fréquences (ou effectifs) sont représentées par les diagrammes en bâtons
Exemple : Répartition des salariés de l’entreprise X selon la CSP
Représenter graphiquement la distribution étudiée
Pr Hammoucha Yassine
- 27 -
Exemple: Nombre d’enfants des 40 salariés d’une entreprise
 Représentation d’une distribution de fréquences cumulées (ou eff. cum.)
*Pour représenter une distribution de fréquences (effectifs) cumulées, il faut d’abord
définir la fonction de répartition F(x)
*Considérons une population statistique décrite selon un caractère quantitatif discret X
dont les n modalités xi sont : x1, x2,..., xi,...., xn
 Où x1<x2<xi<...<xn
*La fonction de répartition F(x) est définie comme suit:
Il y a plusieurs définitions possibles d’une fonction de répartition F(x) selon que sont
considérées les fréquences (effectifs) cumulées «moins de», «plus de»
*F(x) représentant les fréquences cumulées «moins de» x:
Distribution des fréquences des salariés selon leur nombre d’enfants
Pr Hammoucha Yassine
- 28 -
*F(x) représentant les fréquences cumulées «plus de» x:
*La fonction de répartition F(x) (ou N(x)) est représentée par la courbe
cumulative des fréquences (effectifs)
 Représentation graphique de la courbe cumulative croissante
Exemple: Nombre d’enfants des 40 salariés d’une entreprise
Pr Hammoucha Yassine
- 29 -
 Représentation graphique de la courbe cumulative décroissante
B.2.Représentation graphique des caractères quantitatifs continus
Représentation d’une distribution des fréquences (ou effectifs)
Représentation d’une distribution des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés)
 Représentation d’une distribution de fréquences (ou effectifs)
Les fréquences (ou effectifs) des variables quantitatives continues sont représentées
graphiquement par les histogrammes
- À chaque classe de valeurs, on fait correspondre un rectangle dont l’air est
proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de chaque classe
- Deux cas de figures doivent être envisagés selon que les amplitudes de classes
sont égales ou inégales
Cas de classes d’amplitudes égales
Sur l’axe des abscisses , sont portées les limites des classes
Sur l’axe des ordonnées, sont portées les fréquences (ou effectifs) correspondant à
chaque classe
Chaque fréquence (ou effectif) est représentée par un rectangle dont la base représente
l’amplitude de classe et dont la hauteur est proportionnelle à la fréquence (ou effectif)
Pr Hammoucha Yassine
- 30 -
*On obtient le polygone des fréquences en joignant les milieux des segments
supérieurs de chaque rectangle de l’histogramme.
* La propriété fondamentale du polygone des fréquences est qu’il conserve l’aire ou la
surface de l’histogramme.
* L’aire comprise entre le polygone des fréquences et l’axe des abscisses est la même
que l’aire comprise dans l’histogramme
Cas de classes d’amplitudes inégales
L’histogramme ne peut plus être construit exactement de la même manière
Les fréquences (effectifs) se rapportant à des classes d’amplitudes inégales ne
sont plus comparables
Il faut dans ce cas effectuer une correction pour tenir compte des
différences d’amplitude
Généralement, la correction se fait en calculant les fréquences (ou effectifs)
par unité d’amplitude
Exemple: Salaires des 50 employés de l’entreprise «X» en DH au 31/11/2007
Représentation graphiques des salaires des 50 employés de l’entreprise «X»
Pr Hammoucha Yassine
- 31 -
Sur l’axe des abscisses, sont portées les limites des classes
Sur l’axe des ordonnées, sont portées les fréquences (ou effectifs) corrigées
correspondant à chaque classe
La base de chaque rectangle de l’histogramme représente l’amplitude de classe
La hauteur de chaque rectangle de l’histogramme est proportionnelle à la
fréquence (ou effectif) corrigée
 Représentation d’une distribution de fréquences (ou effectifs) cumulées
La fonction de répartition F(x)(ou N(x)) dans le cas de caractère
quantitatif continu est représentée par la courbe cumulative des
fréquences (effectifs)
Les fonctions de répartition des caractères quantitatifs continus possèdent
Exemple: Salaires des 50 employés de l’entreprise «X» en DH au 31/11/2007
Représentation graphiques des salaires des 50 employés de l’entreprise «X»
Pr Hammoucha Yassine
- 32 -
toutes les propriétés des fonctions de répartition des caractères dis « La
continuité»
Les fonctions de répartition des caractères quantitatifs continus sont
continues à gauche et à droite
Dans chaque classe, on fait une interpolation linéaire: on relie les points extrêmes de
chaque classe par un segment de droite
La courbe cumulative est donc continue
2. Représentations des distributions à deux dimensions
Exemple: Salaires des 50 employés de l’entreprise «X» en DH au 31/11/2007
Représenter graphiquement les fréquences cumulées
 F(x) «moins de» :On prend pour abscisses les limites supérieures des
classes et, pour ordonnées, les fréquences cumulées correspondantes
 F(x) «plus de»: On prend pour abscisses les limites inférieures des classes
et, pour ordonnées, les fréquences cumulées correspondantes
Représentation graphique des courbes cumulatives des fréquences
Pr Hammoucha Yassine
- 33 -
Les distributions statistiques à deux dimensions peuvent être représentées de
différentes manières.
 Diagramme en tuyaux d’orgue
 Diagramme circulaire
 Stéréogramme
 Etc.
A. Cas de caractère qualitatif
A.1 Représentation graphique des distributions conditionnelles
Exemple: Répartition des élèves d’une classe selon le sexe et le groupe
Méthode de calcul
Répartition des élèves selon le sexe et le groupe
Exemple1: Distributions de la variable GROUPE conditionnellement à la variable SEXE
Pr Hammoucha Yassine
- 34 -
B. Cas de caractère quantitatif
Diagramme des fréquences de la variable GROUPE conditionnellement à la variable SEXE
Exemple 2: Distributions de la variable SEXE conditionnellement à la variable
GROUPE
Diagramme des fréquences de la variable SEXE conditionnellement à la variable GROUPE
Pr Hammoucha Yassine
- 35 -
Les distributions statistiques à deux dimensions peuvent être représentées
graphiquement sous forme de nuage de points dans un plan
Les points sont obtenus en représentant chaque couple d'observation (xi;yi) par un
point dans le plan
Exemple 1:Distributions d’un groupe d’étudiants selon les notes de statistique et de
mathématiques
Représentation par nuage de points des étudiants selon leurs notes de statistique et de
mathématiques
Représentation par nuage de points des étudiants selon leurs
notes de statistique et de mathématiques
Pr Hammoucha Yassine
- 36 -
On peut remplacer chaque point par un cercle délimitant une aire proportionnelle à
l'effectif ou à la fréquence
Autres représentations graphiques
 Stéréogramme
Le stéréogramme permet de faire des représentations 3D
graphiques.
Représentation des étudiants selon leurs notes de stat et de math
Pr Hammoucha Yassine
- 37 -
 Pyramide des âges
Nous n’avons présenté que les représentations graphiques les plus courantes
Au-delà de cette présentation non exhaustive, il existe des représentations appelées
cartogrammes qui consistent à utiliser des cartes géographiques pour exprimer des
distributions d’individus dans l’espace
Il existe également des graphiques figuratifs où les phénomènes sont représentés par
des objets en rapport avec le caractère étudié (Voiture pour la production de voitures ;
des sacs pour la production de blé, etc.)
V- Caractéristiques de tendance centrale et de position :
• Ici, il s’agit de faire une synthèse de l’information, contenue dans la série brute, par le
chiffre; et ce en calculant des paramètres dits de tendance centrale, qui caractérisent
l’ordre de grandeur des observations.
• Dans ce chapitre, on analysera trois de ces paramètres qui sont : les moyennes, le
mode et la médiane.
Pr Hammoucha Yassine
- 38 -
A- Mode
A.1 Définition
Le mode, noté Mo, d’une série statistique est la valeur de cette série, dont l’effectif (ou
la fréquence) est plus grand que les effectifs (ou les fréquences) des valeurs voisines.
Exemple :
A.2 Cas d’un caractère discret
Calculer le mode de la distribution statistique suivante représentant les notes en
statistique d’une classe de 35 élèves :
12-15-14-13-19-20-16-8-9-17-16-15-16-14-7-8-9-12-16-17-13-16-20-16-6-12-14-16-
19-20-16-5-6-14-15
La note qui se répète le plus (08 fois) est 16 qui représente le mode
Exemple
La distribution statistique suivante donne le nombre d’enfants par famille pour un échantillon
de 500 familles.
Nombre d’enfants Nombre de familles
0 50
1 70
2 70
3 50
4 80
5 90
6 et plus 70
Total 500
Représentation graphique des nombre d'enfants par
famille
50
70 70
50
80
90
70
0
20
40
60
80
100
0
1
2
3
4
5
6et
Nombre d'enfants
nombredefamille
Nombre de familles
Quel est le mode de cette distribution et quelle est sa signification ?
Le mode
C’est 5 enfants par famille parce que l’effectif correspondant est égal à 90
Cela veut dire qu’il y a 90 familles sur 500 qui ont 5 enfant c’est les familles qu’on rencontre le
plus.
Pr Hammoucha Yassine
- 39 -
Dans le cas d'une variable statistique discrète. la détermination du mode est immédiate
à partir du tableau statistique ou du diagramme en bâtons.
Ci-dessous on donne trois diagrammes en bâtons associés respectivement, à une
distribution unimodale (qui a un seul mode), et à une distribution bimodale
(qui a deux modes ), et à une distribution qui a un intervalle modal.
A.3 Cas d’un caractère continu
Le mode se trouve dans la classe modale, c'est la classe qui correspond à
la plus grande fréquence corrigée.
On peut démontrer que l’expression algébrique du mode est comme suit :
B1 : est la borne inferieure de la classe modale
B2 : est la borne supérieure de la classe modale
en : est l’effectif de la classe modale
en-1 : est l’effectif de la classe qui se trouve avant la classe modale
en+1 : est l’effectif de la classe qui se trouve après la classe modale
Pr Hammoucha Yassine
- 40 -
B- Médiane
B.1 Définition
La Médiane, notée Me, d’une série statistique, est la valeur de la série qui partage la
population en deux parties d’effectifs égaux. Par conséquent, on aura autant
d’observations inférieures à Me que d’observations supérieures à M.
B.2 Détermination de la médiane
(a) Cas d’une série brute
Soit la série ordonnée (par ordre croissant) de n observations : x1 , x2 , ..., xn .
_Si n est impaire, alors la valeur médiane est l’observation qui occupe le rang (n+1)/2.
_Si n est paire, on ne peut plus déterminer exactement la médiane, mais on a un
intervalle médian ( ) [ ]
(b)Cas d’une distribution
 Cas d’une Variable Statistique Discrète
Soit X une Variable Statistique Discrète . de distribution Pour déterminer sa
médiane, on utilise les fréquences cumulées croissantes Fi.
Procédure à suivre
 Si " i Fi ¹0,5 ; autrement dit, si aucune fréquence cumulée Fi n’est égale à 0,5,
dans ce cas la médiane est la modalité xi qui correspond à la plus petite fréquence
Cumulée dépassant strictement 0,5.
Exemple
On considère 75 ateliers d’artisans classés en fonction du nombre des heures
travaillées :
Calculez le mode, et interpréter le résultat.
Mo= 130 +(23-15) (150-130)
(23-15)+ (23-17)
Mo= 130 +160
14
Mo= 130 +160=141.42
14
Alors le mode est de 141.42
C’est le nombre fréquent d’heures travaillées dans les 75 ateliers.
Pr Hammoucha Yassine
- 41 -
 S'il existe une modalité xi pour laquelle Fi = 0,5, dans ce cas on parle d’un
intervalle médian : [xi , xi+1].
Exemple 1 :
 Cas d’une Variable Statistique continue
Dans le cas continue, la médiane toujours unique : c’est la valeur qui partage
exactement la population deux parties égales. En d'autres termes, Me est la solution
de l’équation :
Où F est la fonction de répartition de X.
On a deux méthodes pour déterminer la médiane :
(a) Détermination graphique :
-La médiane correspond à l’abscisse du point de la courbe cumulative qui admet pour
ordonnée la valeur 0,5 (ou 50%). (Voir Graphique de l’exemple)
(b) Détermination par interpolation :
-D'après le tableau ou la courbe cumulative, on détermine la classe contenant la
médiane Me ; c’est la classe [ ei-1 , ei [telle que, Fi-1 £ 0,5 < Fi; puis on détermine
Me par interpolation linéaire. donc on a :
Classement des 20 femmes selon le nombre d’enfants
Pr Hammoucha Yassine
- 42 -
Exemple : Répartition des femmes selon le revenu (en mdhs)
Pr Hammoucha Yassine
- 43 -
C- Moyenne arithmétique
•(a) Définition :
La moyenne arithmétique, notée , d’une variable statistique X de distribution
Est la quantité :
Où, n est la taille de la population, et les xi sont les modalités dans le cas d'une
variable statistique discrète. et les centres des classes dans le cas d'une variable
statistique continue.
Exemple 1 : On reprend l’exemple des 20 femmes selon le nombre d’enfants
Pr Hammoucha Yassine
- 44 -
Exemple 2 : Pour les revenus des femmes
Exemple 3 : soit les séries suivantes : répartition selon l’âge
Selon la règle de la moyenne arithmétique
Pr Hammoucha Yassine
- 45 -
(b) moyenne arithmétique globale
Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2, ....., nk, de moyennes
Respectives
Moyenne globale = moyenne des moyennes
(c)Méthode des simplifications des calculs
Lorsque les calculs sont compliqués, on peut les simplifier en précédant à un
changement de variable Par changement d’échelle : Tout variable Xi peut s’écrire :
Xi= a X’i
a= nouvelle échelle Xi= nouvelle variable
Par changement d’origine et d’échelle : tout variable Xi peut s’écrire
X0 = nouvelle origine a : n.échelle X’i : n. variable
Exemple
Exemple
Pr Hammoucha Yassine
- 46 -
Si on pose :
La moyenne arithmétique :
On utilise cette relation pour simplifier les calculs de la manière suivante
On prend pour X0 la valeur de caractère la plus fréquente
On prend « a » l’intervalle des classes lorsque les classes sont égaux
Application : reprenant l’exemple 3 : soit les séries suivantes : répartition selon
l’âge
Age effictifs
20-25 8
25-30 10
30-35 20
35-40 25
40-45 15
45-50 10
total 88
On calcule :
1- le centre xi de chaque intervalle ex : 20+25/2=22.5
2- on calcul la nouvelle échelle a
Ex : 22.5=2.5+(5*4)
37.5=2.5*(5*6)
De ce fait la n.échelle est a=5
3- Calculez la moyenne avec changement du variable x0 = 37,5 c’est le centre de
classe modale dont l’effectif (25)est le plus élevé la classe (35-40)
Age effectifs xi x’i= (xi-x0)/a ni*x’i
20-25 8 22,5 - 3 =(22.5-37.5)/5
-2
-1
0
1
2
-24=(-3*8)
25-30 10 27,5 -20= (-2*10)
30-35 20 32,5 -20
35-40 25 37,5 0
40-45 15 42,5 15
45-50 10 47,5 20
total 88 -29
Pr Hammoucha Yassine
- 47 -
D- Moyenne géométrique
(a) Définition :
On appelle moyenne géométrique de la distribution que l’on note G. la
racine niéme
du produit de xini
 C’est plus pratique d’utiliser le logarithme
Exemple : Calculer la moyenne géométrique
xi ni
2 1
6 2
10 3
12 2
Total 8
Méthode 1
On utilise a la calculatrice la commande X Y
ou Y X
Pr Hammoucha Yassine
- 48 -
(b) Domaines d’application :
On utilise la moyenne géométrique dans le calcul du taux d’accroissement moyen et
dans le calcul de certains indices statistiques.
E- Moyenne harmonique
Définition et propriété :
La moyenne harmonique, notée H, d’une distribution est l’inverse de la
moyenne arithmétique de la distribution :
Méthode 2
xi ni Log xi ni log xi
2 1 0..301 0.301
6 2 0.778 1.556
10 3 1 3
12 2 1.079 2.158
Total 8 7.015
On utilise a la calculatrice la commande log x
On utilise a la calculatrice la commande X Y
ou Y X
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- 49 -
Domaines d’application
On utilise cette moyenne dans le calcul des durées moyennes, dans le calcul des
moyennes de rapports et de pourcentages et dans les études du pouvoir d’achat
(inverse du MGP)...etc.
F- Moyenne quadratique
Définition et propriété
La moyenne quadratique, notée Q , d’une distribution est la racine
carrée de la moyenne arithmétique de la distribution
Exemple : Calculer la moyenne harmonique
xi ni
2 1
6 2
10 3
12 2
Total 8
xi ni fi 1/x ni 1/x fi 1/x
2 1 0.125 0.5 0.5 0,0625
6 2 0.25 0.166 0.332 0,0415
10 3 0.375 0.1 0.3 0,0375
12 2 0.25 0.083 0.166 0,02075
Total 8 1 1,298 0,16225
Pr Hammoucha Yassine
- 50 -
Domaines d’application :
• La moyenne quadratique intervient dans le calcul de certains paramètres de
dispersion.
G- Quantiles
La détermination des quantiles:
i) Détermination Graphique : elle est pratiquement la même que celle de la
Exemple : Calculer la moyenne quadratique
xi ni
2 1
6 2
10 3
12 2
Total 8
xi ni fi X2
ni X2
fi X2
2 1 0.125 4 4 0.5
6 2 0.25 36 72 9
10 3 0.375 100 300 37.5
12 2 0.25 144 288 36
Total 8 1 664 83
Ou bien
Pr Hammoucha Yassine
- 51 -
Médiane, il suffit de remplacer 0,5 par 
ii) Détermination par Interpolation :
Elle correspond à la plus petite fréquence cumulée dépassant
strictement 
H-
Le choix d’une caractéristique de tendance centrale
1 : Les conditions de Yule :
Exemple : On reprend les revenus des 20 femmes (mdhs)
Classes ni fi % Fi%
[0 ; 35[ 6 30 30
[35 ; 70[ 9 45 75
[70 ; 140[ 5 25 100
TOTAL 20 100
Pr Hammoucha Yassine
- 52 -
1ère conditions : Une modalité caractéristique doit être : définie de façon
objective. (2 personnes différentes doivent trouver le même résultat)
2éme conditions : Tenir compte de toutes les observations
3éme conditions : être facile à comprendre
4éme conditions : être facile à calculer
5éme conditions : Doit se prêter au calcul algébrique
2 : Comparaison des différentes caractéristiques de tendance centrale :
La moyenne :
Elle répond parfaitement aux conditions de Yule ; c’est pour cela qu’elle est la
caractéristique la plus utilisée, mais il y a des cas ou il faut lui préférer la médiane
quand elle risque d’être influencée des valeurs extrêmes.
La médiane :
Elle ne satisfait pas les conditions de Yule.
En effet, la valeur de la médiane ne change pas quand on augmente la valeur
d’une observation qui lui est inférieure
Le mode :
Ne remplit pas les conditions de Yule, mais il y a des cas ou il est utile, en
particulier quand on cherche la valeur la plus typique d’une série :
Ex : un vendeur de chaussures ne va pas stocker des chaussures de pointure
moyenne, mais va stocker les chaussures les plus vendues.
VI- Caractéristiques de dispersion :
Introduction
Les paramètres de dispersion servent à mesurer la dispersion des observations
Au tour d'une tendance centrale.
On considère deux catégories de paramètres de dispersion :
• 1- Les écarts simples :
 étendue- écart interquantile.
• 2-L'écart-type, la variance et le coefficient de variation.
1- Les écarts simples :
A- l’étendue
∆= 3
Pr Hammoucha Yassine
- 53 -
B- Intervalle inter-quartile
B-1.Définition des quartiles :
On appelle 1ér quartile Q1 la valeur du caractère tel que : 25%
des observations lui sont inférieurs et 75% lui sont supérieurs. 25% < ; 75%>
2éme quartile Q2= Me 50% < 50%>
3émé quartile Q3= 75%< 25%>
B-2. Définition inter quartile :
On appelle inter quartile : Q3 – Q1 différence entre 1ér quartile et 3éme quartile.
N.B : Intervalle Inter quartile contient 50% des observations
B-3. Application
Salaires Effectifs fi % Fi%
10-15 9 11 11
15-20 25 30.5 41.5
20-25 32 39 80.5
25-30 16 19.5 100
Total 82 100
Ecart I. Inter quartile Q3 – Q1 =24,3 - 17,3 = 7DH
Signification : pour 50% des effectifs l’écart Maximum de salaire est de 7 DH
C- L’écart absolu moyen :
C-1 Définition
On appelle écart absolu moyen que l’on désigne par la moyenne arithmétique des
écarts absolus entre les valeurs du caractère et la moyenne arithmétique.
Application :
Quelle est l�étendue de la série statistique suivante : 10- 390- 395- 405- 410- 1000
Eléments de réponse : Etendue = 990
C-2 Application
Soit le tableau suivant :
Signification : Ca = 4.42 Kg signifie qu’en moyenne, chaque individu s’éloigne de
la moyenne (67.75 Kg) de 4.42 Kg.
Pr Hammoucha Yassine
- 54 -
Remarque : Pour dire si une dispersion est grande ou non, pour comparer deux
séries entre elles, on se sert de l’indice de dispersion relatif = Ca / X *100
D - Variance et écart-type
D-1. Définition :
On appelle une variance la moyenne arithmétique des carrés des écarts entre les
valeurs du caractère et la moyenne arithmétique.
On appelle écart-type (ou écart quadratique moyen) la racine carré de
D-2. Application : Le même tableau précédent
Poids ni xi ni * xi
ni
55-60 12 57,5 690 -10,25 105,0625 1260,75
60-65 17 62,5 1062,50 -5,25 27,5625 468,5625
65-70 36 67,5 2430 -0,25 0,0625 2,25
70-75 24 72,5 1740 4,75 22,5625 541,5
75-80 11 77,5 852,50 9,75 95,0625 1045,6875
Total 100 6775 3318,75
Signification : En moyenne chaque individu s’écarte du poids moyen (67.5 Kg) de
5.76 kg.
Pr Hammoucha Yassine
- 55 -
E- Coefficient de variation :
C'est un coefficient qui permet de relativiser l'écart type en fonction de la taille des
valeurs. Il permet ainsi de comparer la dispersion de séries de mesures exprimées dans
des unités différentes.
Pr Hammoucha Yassine
- 56 -
Exercice 1
Quelle est la nature des caractères ci-dessous ?
Nombre d’actions vendues chaque jour à la bourse
Rémunérations des enseignants d’un lycée
Indicateur du moral des ménages
Écart de rémunération entre hommes et femmes
Les pays de l’Union européenne
Les niveaux de formation des salariés
Les formes de contrat de travail
Taux de croissance du PIB
Prix à la consommation
Solde commercial
Nombre de personnes par ménages
Exercice 2
Fréquences des appels téléphoniques
1. Construisez le graphique des effectifs des appels.
2. Construisez le diagramme cumulatif.
Solution Exercice 1
Pr Hammoucha Yassine
- 57 -
Le caractère La nature
Nombre d’actions vendues chaque jour à la bourse variable discrète
Rémunérations des enseignants d’un lycée variable quantitative continue
Indicateur du moral des ménages variable qualitative
Écart de rémunération entre hommes et femmes variable quantitative continue
Les pays de l’Union européenne variable qualitative
Les niveaux de formation des salariés variable qualitative
Les formes de contrat de travail variable qualitative
Taux de croissance du PIB variable quantitative
Prix à la consommation variable quantitative
Solde commercial variable quantitative
Nombre de personnes par ménages variable discrète
Solution Exercice 2
1. Nous construisons un diagramme en bâtons appelé diagramme différentiel car il représente les
différentes modalités de la variable. Ce diagramme s’impose puisque nous avons une variable
discrète.
Nombre d’appels par jour
2. Le diagramme cumulatif est également appelé diagramme intégral au sens de l’intégration
mathématique. Il représente le graphe des fréquences cumulées.
C’est un graphique « en escalier », les valeurs ne sont connues que sur des intervalles en raison
même de la nature de la variable.
Tableau des appels cumulés
Pr Hammoucha Yassine
- 58 -
Diagramme cumulatif
Exercice 3
Les tableaux suivants fournissent des informations sur l’importance des professions et
catégories sociales dans la population active occupée en 1982, en 1990 et en 2005.
Les professions et catégories sociales
1. Donnez des représentations graphiques qui fassent apparaître l’importance relative des
différentes catégories sociales pour l’année 1982, pour l’année 1990 et pour l’année 2005.
2. Donnez une représentation graphique qui fasse apparaître les évolutions entre les
Pr Hammoucha Yassine
- 59 -
différentes années.
Exercice 4
L’évolution de la pollution en dioxyde de soufre au Maroc est donnée dans le tableau suivant par secteur.
La structure des rejets par source
Cette pollution représentait 3 348 milliers de tonnes en 1980 et 1 200 milliers de tonnes
en 1990, 961 milliers de tonnes en 1994.
Représentez graphiquement ces trois distributions ; le graphique devra rendre compte de
la décroissance relative du phénomène.
Solution Exercice 3
1-Nous utilisons une représentation en secteur qui fait bien apparaître l’importance relative de
chaque catégorie. Le tableau ci-dessous fournit les données pour la construction des graphiques.
Importance relative des différentes catégories
Catégories sociales en 1982
Pr Hammoucha Yassine
- 60 -
Catégories sociales en 1990
Catégories sociales en 2005
2-Nous utilisons un diagramme qui fait apparaître les évolutions des différentes catégories sociales
pour les années étudiées.
Évolution des différentes catégories sociales
Pr Hammoucha Yassine
- 61 -
Ce graphique montre bien la diminution absolue du nombre des indépendants « Agriculteurs exploitants »,
« Artisans, commerçants et chefs d’entreprise », en particulier des agriculteurs, ainsi que de la catégorie «
Ouvriers ». La catégorie sociale modale en France en 2005 est celle des employés, dont nous savons par
ailleurs que le taux de féminisation est élevé. Ce graphique illustre également l’importance croissante de
la catégorie des « Professions intermédiaires » presque aussi nombreuse que celle des « Ouvriers » ainsi
que la place croissante des « Cadres ».
Solution Exercice 4
Les quantités de rejet
1980 1990 1994
Résidences et bureaux 421,8 181,2 139,3
Industrie 1064,7 259,2 211,4
Centrales électrothermiques 1222,0 313,2 166,3
Transformations d’énergie 210,9 122,4 121,1
Procédés industriels 301,3 178,8 158,6
Transports 127,2 145,2 165,3
Ensemble 3348,0 1200,0 961,0
Le premier graphique retenu est en « tuyaux d’orgue », il montre la forte décroissance du
volume de la pollution en dioxyde de soufre. Les modifications de l’importance relative
Pr Hammoucha Yassine
- 62 -
des sources de pollution est peu lisible.
Évolution du volume des rejets
Le volume de la pollution s’est considérablement réduit entre 1980 et 1994. Parmi les
raisons expliquant cette évolution, nous pouvons évoquer la lutte contre la pollution ,et la
diminution des activités industrielles sur le territoire Du Maroc
Pour mettre en lumière les modifications de la structure des diverses sources de rejets de
dioxyde de soufre nous utiliserons des graphiques en secteurs.
Pr Hammoucha Yassine
- 63 -
Pr Hammoucha Yassine
- 64 -
Cet ensemble de graphiques permet de voir que la réduction de la pollution n’est pas
homothétique. Très globalement, les activités de consommation (transports, résidences)
voient leur importance augmenter relativement aux rejets industriels.
La réduction importante de la pollution se traduit par une répartition différente des
principales sources de production.
Exercice 5
Soit la répartition des revenus d’une population présentée dans le tableau suivant en
milliers de Dhs
Répartition des revenus
1. Représentez cette distribution à l’aide de la fonction « histogramme » d’un tableur.
2. Construisez l’histogramme statistique de la série.
Pr Hammoucha Yassine
- 65 -
Exercice 6
1. À quel type de représentation graphique fait appel la pyramide des âges ?
2. Quelles réflexions vous inspirent la comparaison entre les deux pyramides ?
3. Comparez la distribution des hommes à celles des femmes en 1998 ? Vos conclusions sont-
elles les mêmes en 2020 ?
4. La population est-elle en croissance ? Justifiez votre réponse.
5. La population est-elle vieillissante ? Justifiez votre réponse.
6. Représentez l’évolution des tranches d’âge sur la période 1970/2020.
Solution Exercice 5
1. Nous allons tout d’abord construire l’ « histogramme » avec cette fonction d’un tableur.
Données pour « l’histogramme » du tableur
Pr Hammoucha Yassine
- 66 -
Nous obtenons le graphique ci-contre.
En quoi cette représentation est-elle insatisfaisante ?
La première raison tient au fait que la représentation donne une image d’une variable
discrète, or nous avons une variable continue. La contradiction entre le caractère continu
de la variable et sa représentation graphique sous forme discrète rend sans intérêt une telle
« représentation » qui justement ne représente pas la nature de la variable.
La seconde raison du caractère insatisfaisant de cette représentation s’explique par
l’absence de prise en compte des différences dans l’amplitude des classes.
« Histogramme » selon un tableur
Cette fois encore le graphique est infidèle à ce qu’il veut représenter.
2. L’histogramme statistique va rendre compte du caractère continu de la variable et des
amplitudes différentes.
Tableau statistique pour la construction de l’histogramme statistique
Pr Hammoucha Yassine
- 67 -
Le graphique suivant rend compte du caractère continu de la variable et du fait que les classes ont
des amplitudes différentes. Cet histogramme est également construit à l’aide d un tableur mais
pas en utilisant la fonction histogramme.
Solution Exercice 6
1. Les variables représentées sont les âges des hommes et des femmes, vivant à une
date donnée. Il s’agit donc de variables continues. Les pyramides sont des
histogrammes horizontaux.
2. La comparaison entre la pyramide des âges au 1er janvier 1998 et celle qui est
prévue en 2020 montre un épaississement de la courbe des plus de 50 ans accompagné
de la disparition du creux de la génération 1915, le creux de la génération 1940 étant
encore perceptible. Les jeunes générations sont beaucoup plus lisses dans la pyramide
de 2020 car les chiffres utilisés sont des prévisions de population. On ne projette pas
une augmentation du nombre de naissances en 2020.
3. En janvier 1998, on constate qu’il naît légèrement plus de garçons que de filles mais
que, plus on avance en âge, et plus la pyramide des femmes s’épaissit par rapport à
Pr Hammoucha Yassine
- 68 -
celle des hommes. Les creux des deux guerres sont aussi perceptibles chez les hommes
que chez les femmes.
Ces tendances se maintiennent en 2020. On voit, toutefois, d’une façon plus nette
l’épaississement de l’histogramme des femmes pour les tranches âgées de la
population.
4. Le tableau présentant la projection de la population indique une croissance prévue
de la population à l’horizon 2020.
5. Nous voyons sur la pyramide des âges que globalement la population est en
croissance du fait des ses tranches vieillissantes. Ce qui est confirmé par les chiffres
des tableaux. Nous constatons une proportion croissante des personnes de plus de 60
ans, une réduction de la part de la population jeune (moins de 20 ans). Ce
vieillissement s’apprécie également par l’élévation continue de l’âge moyen de la
population.
6. Le graphique ci-contre, en bandes superposées, illustre l’analyse numérique.
Tranches d’âges sur la période 1970-2020
Exercice 7
La répartition d’une population de salariés par établissement au sein d’un bassin
d’emploi est donnée par le tableau ci-dessous.
Répartition des salariés par établissement
Pr Hammoucha Yassine
- 69 -
1. Construisez l’histogramme.
2. Construisez le polygone des fréquences.
Exercice 8
Nous connaissons la valeur des subventions versées à une population d’agriculteurs.
Répartition des subventions par exploitation
1. Construisez l’histogramme.
2. Construisez le polygone des fréquences.
Solution Exercice 7
1. Pour construire l’histogramme, nous élaborons le tableau statistique nécessaire.
Calculs pour l’histogramme
Pr Hammoucha Yassine
- 70 -
Histogramme de la distribution
2. Nous construisons le polygone des fréquences en joignant les milieux de chaque
sommet des rectangles. Les ordonnées sont les fréquences par unité d’amplitude, les
abscisses sont des centres de classe si les classes sont d’amplitude égale. Pour fermer la
courbe nous avons pris le point origine et un point qui se trouve à une distance égale à la
moitié de l’amplitude de la dernière classe. Un tableau explicite les valeurs prises.
Valeurs pour le polygone des fréquences
Pr Hammoucha Yassine
- 71 -
Polygone des fréquences
Le polygone des fréquences donne une vision plus réaliste de la distribution en éliminant
les ruptures entre les classes. Il permet également de percevoir la dissymétrie de la
distribution.
Ce polygone de fréquences ne respecte pas le principe de la conservation des aires. Il
n’est donc pas rigoureusement satisfaisant du point de vue statistique.
Néanmoins, compte tenu de la diversité de l’amplitude des classes et de leur étendue, il
permet de fournir une première image de la distribution des fréquences.
Solution Exercice 8
1. Pour construire l’histogramme, nous élaborons le tableau statistique nécessaire.
Calculs pour la construction de l’histogramme
Pr Hammoucha Yassine
- 72 -
Histogramme de la distribution
2. Le polygone des fréquences représente la distribution des fréquences. Nous le
construisons en joignant les points de chaque milieu des segments de l’histogramme.
Les ordonnées sont les fréquences par unité d’amplitude, les abscisses sont des centres de
classe si les classes sont d’amplitude égale. Pour fermer la courbe nous avons pris le point
origine et un point qui se trouve à une distance égale à la moitié de l’amplitude de la
dernière classe. Un tableau explicite les valeurs prises.
Fréquences par unité d’amplitude
L’unité d’amplitude est de 10. Pour la dernière classe dont l’amplitude est de deux unités,
nous n’avons pas retenu le centre de classe, nous avons subdivisé cette classe en classes
Pr Hammoucha Yassine
- 73 -
ayant l’amplitude unitaire, ce qui nous conduit à créer deux classes. Nous considérons
qu’entre 65 et 75, la répartition est stable.
L’objectif est de faire en sorte que la surface du polygone des fréquences soit identique à
celle de l’histogramme.
Polygone des fréquences
Le polygone des fréquences donne une vision plus réaliste de la distribution en éliminant
les ruptures entre les classes. Il permet également de percevoir la dissymétrie de la
distribution.
Exercice 9
Le tableau suivant donne la répartition de la population active par catégorie
socioprofessionnelle (C.S.P.) des individus et par sexe pour une population donnée en
1989.
Les catégories socioprofessionnelles en 1989 (en milliers)
1. Représentez graphiquement cette double distribution.
2. Représentez les distributions conditionnelles selon diverses possibilités.
Exercice 10
Répartition des entreprises par nombre de salariés et activités au 1/1/1998 (en milliers)
Pr Hammoucha Yassine
- 74 -
1. Quelles sont les variables étudiées ? Quel est leur type ?
2. Proposez une représentation graphique permettant de visualiser la répartition des
activités au sein de chaque groupe de moyennes entreprises.
Solution Exercice 9
La représentation en tuyaux d’orgue est dans le cas de variables qualitatives la meilleure
représentation graphique. Plusieurs solutions sont possibles.
1. Nous représentons côte à côte les deux distributions en tenant compte des effectifs de
chaque catégorie.
Distribution des catégories selon le sexe
Pr Hammoucha Yassine
- 75 -
2. Dans la deuxième représentation, nous utilisons des cartouches superposées rendant
mieux compte de l’importance relative des actifs masculins et féminins, en gardant une
représentation des valeurs absolues.
Distribution selon le sexe et la CSP
Par rapport au graphique précédent, nous constatons, entre autres, qu’il y a plus d’ouvriers
que d’employés en 1989 sans distinction de genre.
3. Nous utilisons un graphique superposé pour représenter les distributions
conditionnelles suivant la catégorie sociale et le genre dans un diagramme à cumul
interne.
Tableau des fréquences relatives
Part des femmes dans chacune des CSP
Pr Hammoucha Yassine
- 76 -
Cette représentation rend sensible le fait que la très grande majorité des employés sont des
employées, alors que dans les autres catégories les hommes sont majoritaires.
Solution Exercice 10
1. Nous avons un tableau croisant une variable qualitative (une nomenclature des
activités) et une variable quantitative continue (le nombre de salariés). Cette variable est
continue car, en équivalent temps plein, toutes les valeurs de la variable peuvent être
atteintes.
2.
Tableau de la répartition des entreprises pour construire le graphique (en %)
Répartition des moyennes entreprises par taille en fonction du secteur d’activités
Pr Hammoucha Yassine
- 77 -
Répartition de toutes les entreprises selon les secteurs
Il est clair que les très grandes entreprises n’apparaissent pas sur le graphique.
Exercice 11
Soit les éléments de l’exécution du budget d’une université grenobloise.
Donnez une représentation graphique de ces deux distributions.
Solution Exercice 11
Pr Hammoucha Yassine
- 78 -
Pour représenter cette double distribution nous utilisons deux formes de représentation :
les barres pour les recettes, et une courbe pour les dépenses.
Les taux d’exécution budgétaires
Exercice 12
Exercice 13
Solution Exercice 12
Pr Hammoucha Yassine
- 79 -
Solution Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Les renseignements fournis par 1000 membres d’une association sortie ont été consignés
dans les tableaux suivants :
Tableau N° 01 :
Tableau N° 02
Pr Hammoucha Yassine
- 80 -
Tableau N° 03
1/ Préciser la population étudiée et sa taille.
2/Préciser le caractère, la nature de caractère, le nombre de modalité dansles tableaux ci-
dessus.
3/Interpréter la valeur 51, 114,105 ?
4/ Calculer les fréquences pour les trois tableaux ?
Exercice 16
Solution Exercice 14
Pr Hammoucha Yassine
- 81 -
Solution Exercice 15
Solution Exercice 16
Pr Hammoucha Yassine
- 82 -
Qualification socioprofessionnelle
Exercice 17
Pr Hammoucha Yassine
- 83 -
Exercice 18
Exercice 19
Pr Hammoucha Yassine
- 84 -
Solution Exercice 17
Pr Hammoucha Yassine
- 85 -
Solution Exercice 18
Histogramme
Solution Exercice 19
Pr Hammoucha Yassine
- 86 -
Courbe Cumulative croissante et décroissante
Exercice 20
Soit le tableau suivant relatif au nombre d’enfants par famille:
Pr Hammoucha Yassine
- 87 -
Exercice 21
Exercice 22
Pr Hammoucha Yassine
- 88 -
Solution Exercice 20
Solution Exercice 21
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Solution Exercice 22
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Statistiques descrip. et mathe financieres

  • 1. PR HAMMOUCHA YASSINE - 1 - Sommaire Mathématique financière Les intérêts simples. A – Principes de calcul. B – L’escompte. C – L’équivalence. D – La gestion des comptes courants et d’intérêts. Applications Statistiques appliquées I-Terminologie II- Types de critères, de caractères ou de variables 1.Caractères quantitatifs 2. Caractère qualitatif En résumé III- Tableaux statistiques A- les tableaux à un seul caractère B- Les tableaux à deux caractères C- Les différentes distributions statistiques IV- Représentations graphiques 1. Représentations des distributions à une dimension 3.Autres représentations graphiques V- Caractéristiques de tendance centrale et de position A- Mode B- Médiane C- Moyenne arithmétique D- Moyenne géométrique E- Moyenne harmonique F- Moyenne quadratique G- Quantiles H- Le choix d’une caractéristique de tendance centrale VI- Caractéristiques de dispersion Introduction Les écarts simples A- l’étendue B- Intervalle inter-quartile C- L’écart absolu moyen D - Variance et écart-type E- Coefficient de variation
  • 2. PR HAMMOUCHA YASSINE - 2 - Mathématique financière Chapitre 1 : Les intérêts simples Toutes les questions traitées dans ce chapitre concernent majoritairement les opérations financières à court terme (moins d’un an). Ces opérations affectent en majorité la trésorerie des entreprises, tel que la gestion des comptes courants, l’escompte commerciale, les emprunts à court terme… A – Principes de calculs. 1. Définitions. Un intérêt est dit simple lorsqu’il est directement proportionnel au taux, au temps et au montant monétaire. Intérêt Capital Taux pour 100 dhs par an La durée (en jours) L’année bancaire est de 360 jours (36000 ). Application A.1 : VOIR FIN ED CHAPITRE Application A.2 : VOIR FIN ED CHAPITRE. 2. La notion de valeur acquise. La valeur acquise est la somme du capital initial et des intérêts qu’il a généré au terme de sa durée de placement. Application A.3 : VOIR FIN ED CHAPITRE Application A.4 : VOIR FIN ED CHAPITRE Application A.5 : VOIR FIN ED CHAPITRE 3. Le taux moyen de placement. On envisage différents capitaux : Placés à des durées différentes : Et à des taux différents : On appellera t le taux qui, appliqué à différents capitaux et à leur durée correspondante, produira le même intérêt global que celui à partir des taux initiaux respectifs. Application A.6 : VOIR FIN ED CHAPITRE
  • 3. Pr Hammoucha Yassine - 3 - B – L’escompte. 1. La notion d’escompte commercial. L’entreprise cliente reçoit de sa banque le montant de l’effet diminué de l’agio. L’agio comprend l’intérêt (appelé escompte), des commissions diverses et de la TVA. L’escompte est calculé selon le principe de l’intérêt simple. Valeur nominale Taux d’escompte Durée en jours Escompte Valeur actuelle commerciale Le taux d’escompte varie selon la qualité du client. L’escompte n’est jamais soumis à la TVA. 2. La pratique de l’escompte. Diverses commissions sont appliquées par les banques : a. Commission ENDOS (endossement), qui sert à rémunérer le service rendu par la banque. Cette commission est calculée prorata temporis (en fonction du temps), et elle n’est pas soumise à la TVA. Cette commission est systématique. b. Les commissions de service ou de manipulation : ces commissions sont variables selon les établissements financiers et selon la nature de l’effet. Ces commissions sont généralement forfaitaires et soumises à la TVA. Le coût réel de l’escompte sera représenté par l’agio hors taxe, puisque la TVA est récupérable. La notion de taux réel de l’opération d’escompte : calculer ce taux consiste à rechercher le taux d’un emprunt qui aurait le même montant, la même durée et le même coût que le crédit d’escompte (pour calculer ce taux, on se base sur l’année de 365 jours). La durée réelle est obtenue par comparaison entre l’escompte et l’encaissement, en retenant les deux dates extrêmes. Ce taux réel est très fréquemment bien supérieur au taux annoncé, du fait notamment des commissions forfaitaires qui pénalisent les opérations de faible montant, du fait également de conditions bancaires particulières, qui pénalisent les effets dit brûlants (ceux dont l’échéance est proche) en appliquant un nombre de jours minimum (souvent, ce nombre est de 10). Application B.7 : VOIR FIN ED CHAPITRE C – L’équivalence a intérêts simples. 1) Définition. Deux capitaux (effets) sont équivalents si à une date donnée, au même taux leur valeur actuelles commerciales sont identiques. 2) Applications. Application C.8 : VOIR FIN ED CHAPITRE
  • 4. Pr Hammoucha Yassine - 4 - Application C.9 : VOIR FIN ED CHAPITRE Problème d’échéance commune : il s’agit de rechercher les conditions, la valeur nominale d’un paiement unique remplaçant plusieurs autres, soit de déterminer sa date d’échéance. Application C.11 : VOIR FIN ED CHAPITRE Problème d’échéance moyenne : cas particulier d’une d’échéance commune ou la valeur nominale de l’effet unique est égal à somme des valeurs nominales des effets initiaux. Exemple : Le 1 er octobre on remplace deux effets : l’un de 7 500 € à échéance du 11 octobre, l’autre de 5 000 € à échéance du 5 novembre, par un effet unique de 12 500 €. Taux : 10 %. Quelle sera l’échéance de ce nouvel effet ? (Soit le 21/10). Reprenons cet exemple en considérant que le taux d’intérêt et la date d’équivalence ne sont pas connus. Soit x la période entre la date d’équivalence et la date d’échéance. Soit n la période entre la première échéances et la date d’équivalence. (Soit le 21/10). On remarque que la date d’échéance moyenne est indépendante du taux d’escompte retenu, ainsi que la date d’équivalence. D – La gestion des comptes courants et d’intérêts. Lorsqu’il s’agit d’un compte bancaire, ce qui importe n’est pas la date d’opération mais la date de valeur (négociée avec votre banquier). Il faut savoir comment fonctionnent les comptes bancaires notamment les cas de découverts. Deux sortes de commissions sont appliquées en cas de découvert : 1. La commission de risque (Commission de Plus Fort Découvert : CPFD), 0,05% du plus fort découvert du mois (il n’y a pas de TVA sur cette commission). 2. Les commissions de services qui correspondent aux commissions de comptes ou de mouvements. Le taux de cette commission est en général de 0.025% calculé sur les mouvements débiteurs. Application D.13 : VOIR FIN ED CHAPITRE Applications complément du cours : les intérêts simples A - les intérêts simples
  • 5. Pr Hammoucha Yassine - 5 - Solutions Application A.1 Application A.2 Application A.3 Application A.4 Application A.5
  • 6. Pr Hammoucha Yassine - 6 - Application A.6 D’abord calculons C pour chaque placement : B – L’escompte. Solution 1. Etablir le bordereau d’escompte. Bordereau d’escompte (remise du 12/08) Somme des intérêts 40
  • 7. Pr Hammoucha Yassine - 7 - Commission 6 (2 fois 3) Agio HT 46 € TVA à 20 % 1,2 Agio TTC 47,2 Montant net 5 652,80 2. Quel est le taux réel du crédit de l’opération d’escompte ? C – L’équivalence a intérêts simples. Solutions Application C.8
  • 8. Pr Hammoucha Yassine - 8 - Application C.9 Application C.10 : Application C.11 Application C.12 D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
  • 9. Pr Hammoucha Yassine - 9 - Solution
  • 10. Pr Hammoucha Yassine - 10 - Statistiques appliquées I-Terminologie : 1. Statistique : La statistique est une méthode scientifique dont l’objet est de recueillir, d’organiser, de résumer et d’analyser les données d’une enquête, d’une étude o d’une expérience, aussi bien que de tirer les conclusions logiques et de prendre les décisions qui s’imposent à partir des analyses effectuées. Les statistiques se sont des données chiffrées relatives à un phénomène étudié collectés par la statistique. Exemple : des statistiques du chômage. Statistique descriptive: classification des données et leur traitement afin de les rendre utilisables et permettre leur interprétation. 2. Population : Ensemble d'individus définis par une propriété commune donnée. Exemple : *si l’on veut étudier la durée de vie des ampoules électriques fabriquées par une compagnie, la population considérée est l’ensemble de toutes les ampoules fabriquées par cette compagnie. *Age des étudiants de 1 ère année : l’ensemble étudié c’est l’âge. 3. Echantillon : Sous-ensemble de la population. Exemple : pour établir la durée de vie des ampoules électriques produites par une machine, on peut prélever au hasard un certain nombre d’ampoules - un échantillon- parmi toutes les celles produites par cette machine. L’échantillonnage représente l’ensemble des opérations qui ont pour objet de prélever un certain nombre d’individus dans une population donnée. 4. Individu ou unité statistique : Chaque élément de la population ou de l’échantillon. Exemple : dans l’exemple précédant, chaque ampoule constitue un individu ou une unité statistique. 5. La taille : Représente le nombre d’individus d’un échantillon ou d’une population. Elle est
  • 11. Pr Hammoucha Yassine - 11 - symbolisée par « n » dans le cas d’un échantillon et par « N » dans le cas d’une population. 6. Le caractère : C’est l’aspect particulier que l’on désire étudier. Exemple : concernant un groupe de personnes, on peut s’intéresser à leur âge, leur sexe leur taille… 7. Les modalités : Les différentes manières d’être que peut présenter un caractère. Exemple 1 : le sexe est un caractère qui présente deux modalités : féminin ou masculin Exemple 2 : quant au nombre d’enfants par famille, les modalités de ce caractère peuvent être 0,1, 2,3…,20. 8. Caractère qualitatif : Ses modalités ne s’expriment pas par un nombre Exemple : la religion, le sexe, l’opinion… 9. Caractère quantitatif : Ses modalités sont numériques. Exemple : l’age, la taille, le poids… 10. Caractère quantitatif discret ou discontinu L’ensemble des valeurs que peut prendre le caractère est fini ou dénombrable. Le plus Souvent, ces valeurs sont entières. Exemple :le nombre d’enfant dans une famille, le nombre de téléviseurs par foyer et la pointure des souliers. 11. Caractère quantitatif continu : Le caractère peut prendre théoriquement n’importe quelle valeur dans un intervalle donné de nombres réels. Exemple : la taille d’un individu, le poids… 12. Série statistique : L’ensemble des différentes données associées à un certain nombre d’individus. Exemple : la série suivante résulte d’une courte enquête auprès de quelques personnes pour connaître leur âge : 18 21 19 19 17 22 27 18 18 17 20 20 23
  • 12. Pr Hammoucha Yassine - 12 - 13. Les recensements Sont des opérations issues du dénombrement, qui consistent à étudier de façon exhaustive et en fonction de plusieurs critères tous les éléments d’une population Ne pas confondre «dénombrement» et «recensement» *Le dénombrement: comptage des individus d’une population *Le recensement: chiffrer les données selon plusieurs aspects (âge, sexe, chiffred’affaires, etc.) Exemple Explicatif Des Notions Importants II- Types de critères, de caractères ou de variables 1. Caractères quantitatifs Variables numériques et mesurables exprimant une quantité Exemple: Chiffre d’Affaires d’une entreprise; taux de chômage; taille; PIB, etc Les variables quantitatives peuvent être classées en : a. Variables quantitatives discrètes ou discontinues b. Variables quantitatives continues a. Variable quantitative discrète (discontinue) Elle est représentée par un nombre fini de valeurs (Ex: nombre d’enfant par ménage; Population urbaine marocaine par groupe d’âge et sexe (en millier)  Population: Population urbaine marocaine en 2005 et 2006  Individu: Population urbaine  Caractère: Groupe d’âge et sexe
  • 13. Pr Hammoucha Yassine - 13 - nombre d’hospitalisation par patient, etc.) Les modalités de la variable peuvent être traitées mathématiquement (par des opérations mathématiques de base) Exemple: enquête réalisée auprès de 20 femmes casablancaises nées en 1970 sur le nombre d’enfants qu’elles ont eus Nombre d’enfants/femmes Nombre d’enfants Effectif de femmes 0 1 1 3 2 5 3 5 4 4 5 2 Total 20 b. Variable quantitative continue Elle peut prendre un nombre infini de valeurs dans son intervalle de définition (Ex: taille, revenus, CA, poids, etc.) Il s’agit de grandeurs liées à l’espace(longueur, surface), au temps(âge, durée, vitesse), à la masse(poids, teneur), à la monnaie(salaire, CA) Les variables continues peuvent être regroupées en classe: un individu qui pèse 76,5 Kg sera repéré dans une classe de poids de [76-77] Lorsque les données sont regroupées en classe, il faut définir les extrémités de classe  Il faut préciser la «borne inférieure» et la «borne supérieure» des classes  Il faut préciser sans ambiguïté si les valeurs des extrémités sont inclues ou non dans les classes Exemple 1: nombre d’enfants par femme Classe [2 –4[  «[2 –» signifie que la valeur «2» est inclue dans la classe  « –4 [» signifie que la valeur «4» est exclue de la classe Tous les éléments de la population étudiée (femmes) doivent se retrouver dans une et une seule classe
  • 14. Pr Hammoucha Yassine - 14 - Exemple 2: Pour des raisons pratiques, on retient généralement comme extrémités de classes des valeurs «rondes» afin d’effectuer aisément des calculs sur les extrémités de classes comme pour le calcul de l’amplitude des classes et du centre des classes. b.1- L’amplitude de classe L’amplitude de classe=la différence entre la valeur de l’extrémité supérieure et la valeur de l’extrémité inférieure L’amplitude a d’une classe i sera donnée par la formule suivante : Exemple 1: Exemple 2: Salaires mensuels des employés d’une entreprise «X» en DH au 31/12/2006 3 classes de salaires : -De 6000 à moins de 7000 DH: [6000 –7000[  Cette classe comprendra un employé dont le salaire = 6999 tandis qu’un salarié dont le revenu = 7000 s’en trouvera exclu -De7000 à moins de 9000 DH: [7000 –9000[ -De9000 à moins de 12 000 DH: [9000 –12 000[ L’amplitude ai de la classe [6000 –7000[ Nombre d’enfants par femme
  • 15. Pr Hammoucha Yassine - 15 - Exemple 3: b.2- Le centre de classe Le centre de classe=la moyenne des extrémités de classe Le centre c d’une classe i sera donnée par la formule suivante : Exemple 1: Exemple 2: Salaires des employés de l’entreprise «X» en DH  L’amplitude de la deuxième classe est 2 fois plus grande que celle de la première classe  L’amplitude de la troisième classe est 3 fois plus grande que celle de la première classe Cas où les amplitudes sont égales (Nombre d’enfants par femme) Cas de classes d’amplitudes inégales (Salaires des employés de l’entreprise «X» en DH)
  • 16. Pr Hammoucha Yassine - 16 - A Ne Pas Oublier 2.Caractère qualitatif: Ne peut faire l’objet d’une mesure car il ne se présente pas sous forme numérique.(Ex: couleur de peau; section du bac; catégorie socio-professionnelle; etc.)  On ne peut pas effectuer d’opérations arithmétiques sur les caractères qualitatifs (on ne peut additionner les couleurs de peau des êtres humains) Les caractères qualitatifs se déclinent en plusieurs Modalités: Modalités:: les différentes valeurs prises par un caractère qualitatif Exemple 1: la variable«sexe» à deux modalités «Masculin» «Feminin» Exemple 2: la variable «couleurs des yeux» peut prendre comme modalités «Noir» «Brun» «Bleu» «Vert» «Gris» Exemple 3: Si la population est décrite selon le caractère «CSP agrégées», les différentes modalités seront
  • 17. Pr Hammoucha Yassine - 17 - 2.a- Les modalités d’un caractère qualitatif sont exhaustives et mutuellement incompatibles Exhaustives: à chaque individu doit correspondre une modalité du caractère Exemple: enquête sur l’état matrimonial d’un groupe d’individu Pour satisfaire la condition d’exhaustivité, on doit avoir quatre modalités du caractère «Etat matrimonial» : Célibataire, Marié, Veuf, Divorcé Incompatibles: Chaque individu doit pouvoir être classé dans une seule modalité du caractère Exemple: Un individu ne peut être à la fois «célibataire» et «marié» Chaque individu d’un caractère doit pouvoir être classé dans une et une seule modalité 2.b- Les modalités d’un caractère qualitatif peuvent être ordinales ou nominales Les modalités ordinales: peuvent être classées ou hiérarchisées Exemple: Enquête réalisée en 2006 par l’association «Maroc Entrepreneur» sur le degré de satisfaction des marocains ayant vécu à l’étranger et franchi le cap du retour au Maroc - Le Caractère: «Degré de satisfaction» - Les modalités du Caractère: «Satisfait», «Assez Satisfait», «Peu Satisfait», «Pas Satisfait» Les modalités sont ordinales car on peut les classer :  Le classement effectué va de l’opinion «Satisfait» à l’opinion «Pas Satisfait»  On passe d’une préférence positive à une préférence de plus en plus négative  Les modalités ordinales ne peuvent faire l’objet d’aucune opération arithmétique Les modalités nominales: ne peuvent pas être classées (hiérarchisées) Exemple: Classement d’un groupe de 15 étudiants selon leur ville de naissance
  • 18. Pr Hammoucha Yassine - 18 - Les 4 modalités du caractère «Ville de naissance» sont nominales donc elles ne peuvent faire l’objet d’aucun classement hiérarchique En résumé III- Tableaux statistiques : L’un des objectifs de la statistique descriptive est de résumer les données «brutes» recueillies sur une population dans des tableaux statistiques. Avantage: *Présentation des données de façon lisible *En ligne: informations relatives à chaque individu *En colonne: critères ou caractères étudiés Exemple 1: Enquête d’opinion réalisée auprès de 9 étudiants de premières années TSGE  Données recueillies : nom, prénom, âge, série du bac, opinion sur l’architecture de l’institut  Matrice des données:{{"Alaoui","Fatima",18,"L","Trèsbonne"},{" Samira",17,"S","Bonne"},{"Omrani","Fouad",19,"S","Trèsbonne"},{" Amine",20,"S","Trèsbonne"},{"Rafik","Basma",19,"L","Moyenne"},{" Rime",18,"ES","Bonne"},{"Semlali","Mohammed",19,"G","Médiocre"},{" Salma",17,"S","Trèsbonne"},{"Yacoubi","Karim",18,"L","Trèsbonne"}} La matrice de données n’est pas lisible pour l’esprit humain
  • 19. Pr Hammoucha Yassine - 19 - Présentation des données dans un tableau Tab 1: Résultat de l’enquête effectuée auprès des étudiants de l’institut Exemple 2: Nombre d’enfants par famille observé dans un échantillon de 56 familles enquête auprès d’un échantillon de 56 familles marocaines sur le nombre d’enfant par ménage  Données brutes: 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 8 9  Les données brutes ne sont pas lisibles  Regroupement des données dans un tableau pour faciliter le traitement et les interprétations
  • 20. Pr Hammoucha Yassine - 20 - La première colonne du tableau reprend les différentes modalités (xi) prises par la variable ou le caractère nombre d’enfants/ménage La deuxième colonne présente les effectifs (ni) (fréquences absolues): le nombre d’individus correspondant à chaque modalité du caractère Chaque cas du tableau dénombre les individus considérés comme équivalents face au phénomène étudié L’ensemble des modalités et des effectifs d’un caractère forment une distribution statistique ou une série statistique La présentation d’un tableau statistique doit respecter des principes généraux: Le tableau doit porter un titre précisant son contenu : le phénomène étudié , la façon dont il est étudié ,le lieu, la date, etc. Le tableau doit porter des intitulés de lignes et de colonnes clairement définis Le tableau doit préciser les unités utilisées : ne pas confondre le mètre avec le mètre carré, le millier avec le million, le DH avec l’Euro, etc. Le tableau doit préciser la source des informations lorsque les données sont empruntées à une publication ou à un organisme Les tableaux statistiques peuvent être à une ou à plusieurs dimensions À «une dimension» si un seul caractère est étudié (nombre d’enfants/ménage) À «deux dimensions» si l’on retient deux caractères (nombre et sexe des enfants/ménage)  A- les tableaux à un seul caractère Considérons une population statistique de n individus décrite selon le caractère x dont les k modalités sont x1, x2, ..., xi, ...., xk  ni représente le nombre d’individus, appelé «effectif partiel» ou «fréquence absolue», présentant la modalité xi  La somme des «effectifs partiels» ni est «l’effectif total» n de la population
  • 21. Pr Hammoucha Yassine - 21 -  La «fréquence relative» ou «fréquence» fi est la proportion d’individus présentant la même modalité dans la population  La «fréquence» fi est obtenue en divisant chaque effectif par l’effectif total  La «fréquence» fi peut être exprimée en pourcentage%  La somme des fréquences relatives fi est égale à 1 et la somme des fréquences exprimées en % est égale à 100 Démonstration Le tableau statistique initiale se présentera sous la forme suivante : Exemple d’application : Compléter le tableau en calculant les fréquences relatives et les fréquences en pourcentages ? Nombre d’enfants par famille Nombre d’enfants/famille (xi) Effectif (ni) Fréquence (fi)% 0 3 5.36 1 5 8.92 2 8 14.29 3 7 12.5 4 14 25 5 9 16.08 6 6 10.72 7 2 3.57 8 1 1.78 9 1 1.78 Total 56 100
  • 22. Pr Hammoucha Yassine - 22 - A.1- Les tableaux à caractères qualitatifs Les tableaux à caractères qualitatifs ne posent pas de problèmes particuliers 1. Tableaux de caractère à modalités nominales 2. Tableaux de caractère à modalités ordinales A.2- Les tableaux à caractères quantitatifs peuvent contenir plus d’informations que les tableaux à caractères qualitatifs : Effectifs cumulés Fréquences cumulées Les effectifs cumulés notés N(x) Exemple : Nombre d’enfants par famille : Combien de familles ont plus de quatre enfants? Combien de familles ont moins de quatre enfants? Les fréquences cumulées notées F (x) Quelle est la proportion de familles ayant plus de quatre enfants? Quelle est la proportion de familles ayant moins de quatre enfants? Le calcul des effectifs cumulés et des fréquences cumulées se fait en cumulant Exemple1: Répartition des salariés de l’entreprise M selon la CSP au 31/12/06 Les modalités des CSP (xi) Effectifs (ni) fréquences (fi) fi en % Cadre Supérieur 10 0.071 7.1 Contremaitres 5 0.036 3.6 Employés 30 0.214 21.4 Ouvriers spécialisés 90 0.643 64.3 Autres catégories 5 0.036 3.6 Total 140 1 100 Exemple 2: Répartition des étudiants du groupe A selon leur lieu de naissance Lieu de naissance (xi) Effectifs (ni) fréquences (fi) fi en % Casablanca 98 0.392 39.2 Mohammedia 53 0.212 21.2 Rabat 47 0.188 18.8 Kenitra 32 0.128 12.8 Autres 20 0.080 8 Total 250 1 100 Exemple: enquête effectuée auprès d’un échantillon de 9 étudiants de sciences économiques sur leur opinion concernant l’architecture de l’institut Opinion (xi) Effectifs (ni) fréquences (fi) fi en % Très bonne 5 0.556 55.6 Bonne 2 0.222 22.2 Moyenne 1 0.111 11.1 Médiocre 1 0.111 11.1 Total 9 1 100
  • 23. Pr Hammoucha Yassine - 23 - (sommant) les effectifs et les fréquences relatives dans une colonne du tableau 1. Cas de caractères quantitatifs discrets Exemple: Nombre d’enfants (xi) observés dans un échantillon de 55 familles  Il y a 15 ménages dans l’échantillon qui ont «moins de» 3 enfants. On peut dire aussi qu’il y a 15 ménages dans l’échantillon qui ont «au plus» 2 enfants.  Il y a 40 ménages dans l’échantillon qui ont «plus de» 2 enfants. On peut dire aussi qu’il y a 40 ménages dans l’échantillon qui ont «au moins» 3 enfants  40% des ménages de l’échantillon ont «moins de» 4 enfants ou «au plus» 3 enfants  60% des ménages de l’échantillon ont «plus de» 3 enfants ou «au moins» 4 enfants
  • 24. Pr Hammoucha Yassine - 24 - 2. Cas de caractères quantitatifs continus Remarque importante Le calcul des fréquences et des effectifs cumulés n’est pas affecté par l’amplitude des classes 1. Représentations des distributions à une dimension Le choix des représentations graphiques dépend de la nature du caractère statistique étudié A- Représentations des caractères qualitatifs Les variables qualitatives peuvent être représentées graphiquement de différentes manières Diagrammes en bâtons Diagrammes en barres (ou en tuyaux d’orgue) Diagrammes circulaires (ou en camembert ou en secteurs) A.1 Diagrammes en bâtons Un diagramme en bâtons est constitué d’une suite de «bâtons» A chaque modalité xi du caractère, on associe un «bâton» de longueur hi La longueur hi doit être proportionnelle à la fréquence fi ou à l’effectif n Les bâtons peuvent être verticaux ou horizontaux Exemple: Répartition des salaires mensuels d’une entreprise X au 31/12/06 Interprétation des résultats  88% des salariés gagnent moins de 10000 DH par mois (260 personnes)  80% des salariés de gagnent plus de 9000 DH par mois (235 personnes)
  • 25. Pr Hammoucha Yassine - 25 - A.2 Diagrammes en barres (ou en tuyaux d’orgue) Même principe que pour les diagrammes en bâtons A.3 Diagrammes circulaires (camembert ou secteurs) - Cercle divisé en secteurs représentant l’ensemble de la population - Les différentes modalités du caractères ont représentées par des secteurs dont la Exemple : Répartition des salariés de l’entreprise X selon la CSP Représenter graphiquement la distribution étudiée
  • 26. Pr Hammoucha Yassine - 26 - surface est proportionnelle aux effectifs ou fréquences - L’angle de chaque secteur αi est proportionnel à la fréquence fi: αi= 360 x fi B- Représentations des caractères quantitatifs B.1.Représentation graphique des caractères quantitatifs discrets Représentation d’une distribution des fréquences (ou effectifs) Représentation d’une distribution des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés)  Représentation d’une distribution des fréquences (ou effectifs) Les fréquences (ou effectifs) sont représentées par les diagrammes en bâtons Exemple : Répartition des salariés de l’entreprise X selon la CSP Représenter graphiquement la distribution étudiée
  • 27. Pr Hammoucha Yassine - 27 - Exemple: Nombre d’enfants des 40 salariés d’une entreprise  Représentation d’une distribution de fréquences cumulées (ou eff. cum.) *Pour représenter une distribution de fréquences (effectifs) cumulées, il faut d’abord définir la fonction de répartition F(x) *Considérons une population statistique décrite selon un caractère quantitatif discret X dont les n modalités xi sont : x1, x2,..., xi,...., xn  Où x1<x2<xi<...<xn *La fonction de répartition F(x) est définie comme suit: Il y a plusieurs définitions possibles d’une fonction de répartition F(x) selon que sont considérées les fréquences (effectifs) cumulées «moins de», «plus de» *F(x) représentant les fréquences cumulées «moins de» x: Distribution des fréquences des salariés selon leur nombre d’enfants
  • 28. Pr Hammoucha Yassine - 28 - *F(x) représentant les fréquences cumulées «plus de» x: *La fonction de répartition F(x) (ou N(x)) est représentée par la courbe cumulative des fréquences (effectifs)  Représentation graphique de la courbe cumulative croissante Exemple: Nombre d’enfants des 40 salariés d’une entreprise
  • 29. Pr Hammoucha Yassine - 29 -  Représentation graphique de la courbe cumulative décroissante B.2.Représentation graphique des caractères quantitatifs continus Représentation d’une distribution des fréquences (ou effectifs) Représentation d’une distribution des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés)  Représentation d’une distribution de fréquences (ou effectifs) Les fréquences (ou effectifs) des variables quantitatives continues sont représentées graphiquement par les histogrammes - À chaque classe de valeurs, on fait correspondre un rectangle dont l’air est proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de chaque classe - Deux cas de figures doivent être envisagés selon que les amplitudes de classes sont égales ou inégales Cas de classes d’amplitudes égales Sur l’axe des abscisses , sont portées les limites des classes Sur l’axe des ordonnées, sont portées les fréquences (ou effectifs) correspondant à chaque classe Chaque fréquence (ou effectif) est représentée par un rectangle dont la base représente l’amplitude de classe et dont la hauteur est proportionnelle à la fréquence (ou effectif)
  • 30. Pr Hammoucha Yassine - 30 - *On obtient le polygone des fréquences en joignant les milieux des segments supérieurs de chaque rectangle de l’histogramme. * La propriété fondamentale du polygone des fréquences est qu’il conserve l’aire ou la surface de l’histogramme. * L’aire comprise entre le polygone des fréquences et l’axe des abscisses est la même que l’aire comprise dans l’histogramme Cas de classes d’amplitudes inégales L’histogramme ne peut plus être construit exactement de la même manière Les fréquences (effectifs) se rapportant à des classes d’amplitudes inégales ne sont plus comparables Il faut dans ce cas effectuer une correction pour tenir compte des différences d’amplitude Généralement, la correction se fait en calculant les fréquences (ou effectifs) par unité d’amplitude Exemple: Salaires des 50 employés de l’entreprise «X» en DH au 31/11/2007 Représentation graphiques des salaires des 50 employés de l’entreprise «X»
  • 31. Pr Hammoucha Yassine - 31 - Sur l’axe des abscisses, sont portées les limites des classes Sur l’axe des ordonnées, sont portées les fréquences (ou effectifs) corrigées correspondant à chaque classe La base de chaque rectangle de l’histogramme représente l’amplitude de classe La hauteur de chaque rectangle de l’histogramme est proportionnelle à la fréquence (ou effectif) corrigée  Représentation d’une distribution de fréquences (ou effectifs) cumulées La fonction de répartition F(x)(ou N(x)) dans le cas de caractère quantitatif continu est représentée par la courbe cumulative des fréquences (effectifs) Les fonctions de répartition des caractères quantitatifs continus possèdent Exemple: Salaires des 50 employés de l’entreprise «X» en DH au 31/11/2007 Représentation graphiques des salaires des 50 employés de l’entreprise «X»
  • 32. Pr Hammoucha Yassine - 32 - toutes les propriétés des fonctions de répartition des caractères dis « La continuité» Les fonctions de répartition des caractères quantitatifs continus sont continues à gauche et à droite Dans chaque classe, on fait une interpolation linéaire: on relie les points extrêmes de chaque classe par un segment de droite La courbe cumulative est donc continue 2. Représentations des distributions à deux dimensions Exemple: Salaires des 50 employés de l’entreprise «X» en DH au 31/11/2007 Représenter graphiquement les fréquences cumulées  F(x) «moins de» :On prend pour abscisses les limites supérieures des classes et, pour ordonnées, les fréquences cumulées correspondantes  F(x) «plus de»: On prend pour abscisses les limites inférieures des classes et, pour ordonnées, les fréquences cumulées correspondantes Représentation graphique des courbes cumulatives des fréquences
  • 33. Pr Hammoucha Yassine - 33 - Les distributions statistiques à deux dimensions peuvent être représentées de différentes manières.  Diagramme en tuyaux d’orgue  Diagramme circulaire  Stéréogramme  Etc. A. Cas de caractère qualitatif A.1 Représentation graphique des distributions conditionnelles Exemple: Répartition des élèves d’une classe selon le sexe et le groupe Méthode de calcul Répartition des élèves selon le sexe et le groupe Exemple1: Distributions de la variable GROUPE conditionnellement à la variable SEXE
  • 34. Pr Hammoucha Yassine - 34 - B. Cas de caractère quantitatif Diagramme des fréquences de la variable GROUPE conditionnellement à la variable SEXE Exemple 2: Distributions de la variable SEXE conditionnellement à la variable GROUPE Diagramme des fréquences de la variable SEXE conditionnellement à la variable GROUPE
  • 35. Pr Hammoucha Yassine - 35 - Les distributions statistiques à deux dimensions peuvent être représentées graphiquement sous forme de nuage de points dans un plan Les points sont obtenus en représentant chaque couple d'observation (xi;yi) par un point dans le plan Exemple 1:Distributions d’un groupe d’étudiants selon les notes de statistique et de mathématiques Représentation par nuage de points des étudiants selon leurs notes de statistique et de mathématiques Représentation par nuage de points des étudiants selon leurs notes de statistique et de mathématiques
  • 36. Pr Hammoucha Yassine - 36 - On peut remplacer chaque point par un cercle délimitant une aire proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence Autres représentations graphiques  Stéréogramme Le stéréogramme permet de faire des représentations 3D graphiques. Représentation des étudiants selon leurs notes de stat et de math
  • 37. Pr Hammoucha Yassine - 37 -  Pyramide des âges Nous n’avons présenté que les représentations graphiques les plus courantes Au-delà de cette présentation non exhaustive, il existe des représentations appelées cartogrammes qui consistent à utiliser des cartes géographiques pour exprimer des distributions d’individus dans l’espace Il existe également des graphiques figuratifs où les phénomènes sont représentés par des objets en rapport avec le caractère étudié (Voiture pour la production de voitures ; des sacs pour la production de blé, etc.) V- Caractéristiques de tendance centrale et de position : • Ici, il s’agit de faire une synthèse de l’information, contenue dans la série brute, par le chiffre; et ce en calculant des paramètres dits de tendance centrale, qui caractérisent l’ordre de grandeur des observations. • Dans ce chapitre, on analysera trois de ces paramètres qui sont : les moyennes, le mode et la médiane.
  • 38. Pr Hammoucha Yassine - 38 - A- Mode A.1 Définition Le mode, noté Mo, d’une série statistique est la valeur de cette série, dont l’effectif (ou la fréquence) est plus grand que les effectifs (ou les fréquences) des valeurs voisines. Exemple : A.2 Cas d’un caractère discret Calculer le mode de la distribution statistique suivante représentant les notes en statistique d’une classe de 35 élèves : 12-15-14-13-19-20-16-8-9-17-16-15-16-14-7-8-9-12-16-17-13-16-20-16-6-12-14-16- 19-20-16-5-6-14-15 La note qui se répète le plus (08 fois) est 16 qui représente le mode Exemple La distribution statistique suivante donne le nombre d’enfants par famille pour un échantillon de 500 familles. Nombre d’enfants Nombre de familles 0 50 1 70 2 70 3 50 4 80 5 90 6 et plus 70 Total 500 Représentation graphique des nombre d'enfants par famille 50 70 70 50 80 90 70 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 5 6et Nombre d'enfants nombredefamille Nombre de familles Quel est le mode de cette distribution et quelle est sa signification ? Le mode C’est 5 enfants par famille parce que l’effectif correspondant est égal à 90 Cela veut dire qu’il y a 90 familles sur 500 qui ont 5 enfant c’est les familles qu’on rencontre le plus.
  • 39. Pr Hammoucha Yassine - 39 - Dans le cas d'une variable statistique discrète. la détermination du mode est immédiate à partir du tableau statistique ou du diagramme en bâtons. Ci-dessous on donne trois diagrammes en bâtons associés respectivement, à une distribution unimodale (qui a un seul mode), et à une distribution bimodale (qui a deux modes ), et à une distribution qui a un intervalle modal. A.3 Cas d’un caractère continu Le mode se trouve dans la classe modale, c'est la classe qui correspond à la plus grande fréquence corrigée. On peut démontrer que l’expression algébrique du mode est comme suit : B1 : est la borne inferieure de la classe modale B2 : est la borne supérieure de la classe modale en : est l’effectif de la classe modale en-1 : est l’effectif de la classe qui se trouve avant la classe modale en+1 : est l’effectif de la classe qui se trouve après la classe modale
  • 40. Pr Hammoucha Yassine - 40 - B- Médiane B.1 Définition La Médiane, notée Me, d’une série statistique, est la valeur de la série qui partage la population en deux parties d’effectifs égaux. Par conséquent, on aura autant d’observations inférieures à Me que d’observations supérieures à M. B.2 Détermination de la médiane (a) Cas d’une série brute Soit la série ordonnée (par ordre croissant) de n observations : x1 , x2 , ..., xn . _Si n est impaire, alors la valeur médiane est l’observation qui occupe le rang (n+1)/2. _Si n est paire, on ne peut plus déterminer exactement la médiane, mais on a un intervalle médian ( ) [ ] (b)Cas d’une distribution  Cas d’une Variable Statistique Discrète Soit X une Variable Statistique Discrète . de distribution Pour déterminer sa médiane, on utilise les fréquences cumulées croissantes Fi. Procédure à suivre  Si " i Fi ¹0,5 ; autrement dit, si aucune fréquence cumulée Fi n’est égale à 0,5, dans ce cas la médiane est la modalité xi qui correspond à la plus petite fréquence Cumulée dépassant strictement 0,5. Exemple On considère 75 ateliers d’artisans classés en fonction du nombre des heures travaillées : Calculez le mode, et interpréter le résultat. Mo= 130 +(23-15) (150-130) (23-15)+ (23-17) Mo= 130 +160 14 Mo= 130 +160=141.42 14 Alors le mode est de 141.42 C’est le nombre fréquent d’heures travaillées dans les 75 ateliers.
  • 41. Pr Hammoucha Yassine - 41 -  S'il existe une modalité xi pour laquelle Fi = 0,5, dans ce cas on parle d’un intervalle médian : [xi , xi+1]. Exemple 1 :  Cas d’une Variable Statistique continue Dans le cas continue, la médiane toujours unique : c’est la valeur qui partage exactement la population deux parties égales. En d'autres termes, Me est la solution de l’équation : Où F est la fonction de répartition de X. On a deux méthodes pour déterminer la médiane : (a) Détermination graphique : -La médiane correspond à l’abscisse du point de la courbe cumulative qui admet pour ordonnée la valeur 0,5 (ou 50%). (Voir Graphique de l’exemple) (b) Détermination par interpolation : -D'après le tableau ou la courbe cumulative, on détermine la classe contenant la médiane Me ; c’est la classe [ ei-1 , ei [telle que, Fi-1 £ 0,5 < Fi; puis on détermine Me par interpolation linéaire. donc on a : Classement des 20 femmes selon le nombre d’enfants
  • 42. Pr Hammoucha Yassine - 42 - Exemple : Répartition des femmes selon le revenu (en mdhs)
  • 43. Pr Hammoucha Yassine - 43 - C- Moyenne arithmétique •(a) Définition : La moyenne arithmétique, notée , d’une variable statistique X de distribution Est la quantité : Où, n est la taille de la population, et les xi sont les modalités dans le cas d'une variable statistique discrète. et les centres des classes dans le cas d'une variable statistique continue. Exemple 1 : On reprend l’exemple des 20 femmes selon le nombre d’enfants
  • 44. Pr Hammoucha Yassine - 44 - Exemple 2 : Pour les revenus des femmes Exemple 3 : soit les séries suivantes : répartition selon l’âge Selon la règle de la moyenne arithmétique
  • 45. Pr Hammoucha Yassine - 45 - (b) moyenne arithmétique globale Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2, ....., nk, de moyennes Respectives Moyenne globale = moyenne des moyennes (c)Méthode des simplifications des calculs Lorsque les calculs sont compliqués, on peut les simplifier en précédant à un changement de variable Par changement d’échelle : Tout variable Xi peut s’écrire : Xi= a X’i a= nouvelle échelle Xi= nouvelle variable Par changement d’origine et d’échelle : tout variable Xi peut s’écrire X0 = nouvelle origine a : n.échelle X’i : n. variable Exemple Exemple
  • 46. Pr Hammoucha Yassine - 46 - Si on pose : La moyenne arithmétique : On utilise cette relation pour simplifier les calculs de la manière suivante On prend pour X0 la valeur de caractère la plus fréquente On prend « a » l’intervalle des classes lorsque les classes sont égaux Application : reprenant l’exemple 3 : soit les séries suivantes : répartition selon l’âge Age effictifs 20-25 8 25-30 10 30-35 20 35-40 25 40-45 15 45-50 10 total 88 On calcule : 1- le centre xi de chaque intervalle ex : 20+25/2=22.5 2- on calcul la nouvelle échelle a Ex : 22.5=2.5+(5*4) 37.5=2.5*(5*6) De ce fait la n.échelle est a=5 3- Calculez la moyenne avec changement du variable x0 = 37,5 c’est le centre de classe modale dont l’effectif (25)est le plus élevé la classe (35-40) Age effectifs xi x’i= (xi-x0)/a ni*x’i 20-25 8 22,5 - 3 =(22.5-37.5)/5 -2 -1 0 1 2 -24=(-3*8) 25-30 10 27,5 -20= (-2*10) 30-35 20 32,5 -20 35-40 25 37,5 0 40-45 15 42,5 15 45-50 10 47,5 20 total 88 -29
  • 47. Pr Hammoucha Yassine - 47 - D- Moyenne géométrique (a) Définition : On appelle moyenne géométrique de la distribution que l’on note G. la racine niéme du produit de xini  C’est plus pratique d’utiliser le logarithme Exemple : Calculer la moyenne géométrique xi ni 2 1 6 2 10 3 12 2 Total 8 Méthode 1 On utilise a la calculatrice la commande X Y ou Y X
  • 48. Pr Hammoucha Yassine - 48 - (b) Domaines d’application : On utilise la moyenne géométrique dans le calcul du taux d’accroissement moyen et dans le calcul de certains indices statistiques. E- Moyenne harmonique Définition et propriété : La moyenne harmonique, notée H, d’une distribution est l’inverse de la moyenne arithmétique de la distribution : Méthode 2 xi ni Log xi ni log xi 2 1 0..301 0.301 6 2 0.778 1.556 10 3 1 3 12 2 1.079 2.158 Total 8 7.015 On utilise a la calculatrice la commande log x On utilise a la calculatrice la commande X Y ou Y X
  • 49. Pr Hammoucha Yassine - 49 - Domaines d’application On utilise cette moyenne dans le calcul des durées moyennes, dans le calcul des moyennes de rapports et de pourcentages et dans les études du pouvoir d’achat (inverse du MGP)...etc. F- Moyenne quadratique Définition et propriété La moyenne quadratique, notée Q , d’une distribution est la racine carrée de la moyenne arithmétique de la distribution Exemple : Calculer la moyenne harmonique xi ni 2 1 6 2 10 3 12 2 Total 8 xi ni fi 1/x ni 1/x fi 1/x 2 1 0.125 0.5 0.5 0,0625 6 2 0.25 0.166 0.332 0,0415 10 3 0.375 0.1 0.3 0,0375 12 2 0.25 0.083 0.166 0,02075 Total 8 1 1,298 0,16225
  • 50. Pr Hammoucha Yassine - 50 - Domaines d’application : • La moyenne quadratique intervient dans le calcul de certains paramètres de dispersion. G- Quantiles La détermination des quantiles: i) Détermination Graphique : elle est pratiquement la même que celle de la Exemple : Calculer la moyenne quadratique xi ni 2 1 6 2 10 3 12 2 Total 8 xi ni fi X2 ni X2 fi X2 2 1 0.125 4 4 0.5 6 2 0.25 36 72 9 10 3 0.375 100 300 37.5 12 2 0.25 144 288 36 Total 8 1 664 83 Ou bien
  • 51. Pr Hammoucha Yassine - 51 - Médiane, il suffit de remplacer 0,5 par  ii) Détermination par Interpolation : Elle correspond à la plus petite fréquence cumulée dépassant strictement  H- Le choix d’une caractéristique de tendance centrale 1 : Les conditions de Yule : Exemple : On reprend les revenus des 20 femmes (mdhs) Classes ni fi % Fi% [0 ; 35[ 6 30 30 [35 ; 70[ 9 45 75 [70 ; 140[ 5 25 100 TOTAL 20 100
  • 52. Pr Hammoucha Yassine - 52 - 1ère conditions : Une modalité caractéristique doit être : définie de façon objective. (2 personnes différentes doivent trouver le même résultat) 2éme conditions : Tenir compte de toutes les observations 3éme conditions : être facile à comprendre 4éme conditions : être facile à calculer 5éme conditions : Doit se prêter au calcul algébrique 2 : Comparaison des différentes caractéristiques de tendance centrale : La moyenne : Elle répond parfaitement aux conditions de Yule ; c’est pour cela qu’elle est la caractéristique la plus utilisée, mais il y a des cas ou il faut lui préférer la médiane quand elle risque d’être influencée des valeurs extrêmes. La médiane : Elle ne satisfait pas les conditions de Yule. En effet, la valeur de la médiane ne change pas quand on augmente la valeur d’une observation qui lui est inférieure Le mode : Ne remplit pas les conditions de Yule, mais il y a des cas ou il est utile, en particulier quand on cherche la valeur la plus typique d’une série : Ex : un vendeur de chaussures ne va pas stocker des chaussures de pointure moyenne, mais va stocker les chaussures les plus vendues. VI- Caractéristiques de dispersion : Introduction Les paramètres de dispersion servent à mesurer la dispersion des observations Au tour d'une tendance centrale. On considère deux catégories de paramètres de dispersion : • 1- Les écarts simples :  étendue- écart interquantile. • 2-L'écart-type, la variance et le coefficient de variation. 1- Les écarts simples : A- l’étendue ∆= 3
  • 53. Pr Hammoucha Yassine - 53 - B- Intervalle inter-quartile B-1.Définition des quartiles : On appelle 1ér quartile Q1 la valeur du caractère tel que : 25% des observations lui sont inférieurs et 75% lui sont supérieurs. 25% < ; 75%> 2éme quartile Q2= Me 50% < 50%> 3émé quartile Q3= 75%< 25%> B-2. Définition inter quartile : On appelle inter quartile : Q3 – Q1 différence entre 1ér quartile et 3éme quartile. N.B : Intervalle Inter quartile contient 50% des observations B-3. Application Salaires Effectifs fi % Fi% 10-15 9 11 11 15-20 25 30.5 41.5 20-25 32 39 80.5 25-30 16 19.5 100 Total 82 100 Ecart I. Inter quartile Q3 – Q1 =24,3 - 17,3 = 7DH Signification : pour 50% des effectifs l’écart Maximum de salaire est de 7 DH C- L’écart absolu moyen : C-1 Définition On appelle écart absolu moyen que l’on désigne par la moyenne arithmétique des écarts absolus entre les valeurs du caractère et la moyenne arithmétique. Application : Quelle est l�étendue de la série statistique suivante : 10- 390- 395- 405- 410- 1000 Eléments de réponse : Etendue = 990 C-2 Application Soit le tableau suivant : Signification : Ca = 4.42 Kg signifie qu’en moyenne, chaque individu s’éloigne de la moyenne (67.75 Kg) de 4.42 Kg.
  • 54. Pr Hammoucha Yassine - 54 - Remarque : Pour dire si une dispersion est grande ou non, pour comparer deux séries entre elles, on se sert de l’indice de dispersion relatif = Ca / X *100 D - Variance et écart-type D-1. Définition : On appelle une variance la moyenne arithmétique des carrés des écarts entre les valeurs du caractère et la moyenne arithmétique. On appelle écart-type (ou écart quadratique moyen) la racine carré de D-2. Application : Le même tableau précédent Poids ni xi ni * xi ni 55-60 12 57,5 690 -10,25 105,0625 1260,75 60-65 17 62,5 1062,50 -5,25 27,5625 468,5625 65-70 36 67,5 2430 -0,25 0,0625 2,25 70-75 24 72,5 1740 4,75 22,5625 541,5 75-80 11 77,5 852,50 9,75 95,0625 1045,6875 Total 100 6775 3318,75 Signification : En moyenne chaque individu s’écarte du poids moyen (67.5 Kg) de 5.76 kg.
  • 55. Pr Hammoucha Yassine - 55 - E- Coefficient de variation : C'est un coefficient qui permet de relativiser l'écart type en fonction de la taille des valeurs. Il permet ainsi de comparer la dispersion de séries de mesures exprimées dans des unités différentes.
  • 56. Pr Hammoucha Yassine - 56 - Exercice 1 Quelle est la nature des caractères ci-dessous ? Nombre d’actions vendues chaque jour à la bourse Rémunérations des enseignants d’un lycée Indicateur du moral des ménages Écart de rémunération entre hommes et femmes Les pays de l’Union européenne Les niveaux de formation des salariés Les formes de contrat de travail Taux de croissance du PIB Prix à la consommation Solde commercial Nombre de personnes par ménages Exercice 2 Fréquences des appels téléphoniques 1. Construisez le graphique des effectifs des appels. 2. Construisez le diagramme cumulatif. Solution Exercice 1
  • 57. Pr Hammoucha Yassine - 57 - Le caractère La nature Nombre d’actions vendues chaque jour à la bourse variable discrète Rémunérations des enseignants d’un lycée variable quantitative continue Indicateur du moral des ménages variable qualitative Écart de rémunération entre hommes et femmes variable quantitative continue Les pays de l’Union européenne variable qualitative Les niveaux de formation des salariés variable qualitative Les formes de contrat de travail variable qualitative Taux de croissance du PIB variable quantitative Prix à la consommation variable quantitative Solde commercial variable quantitative Nombre de personnes par ménages variable discrète Solution Exercice 2 1. Nous construisons un diagramme en bâtons appelé diagramme différentiel car il représente les différentes modalités de la variable. Ce diagramme s’impose puisque nous avons une variable discrète. Nombre d’appels par jour 2. Le diagramme cumulatif est également appelé diagramme intégral au sens de l’intégration mathématique. Il représente le graphe des fréquences cumulées. C’est un graphique « en escalier », les valeurs ne sont connues que sur des intervalles en raison même de la nature de la variable. Tableau des appels cumulés
  • 58. Pr Hammoucha Yassine - 58 - Diagramme cumulatif Exercice 3 Les tableaux suivants fournissent des informations sur l’importance des professions et catégories sociales dans la population active occupée en 1982, en 1990 et en 2005. Les professions et catégories sociales 1. Donnez des représentations graphiques qui fassent apparaître l’importance relative des différentes catégories sociales pour l’année 1982, pour l’année 1990 et pour l’année 2005. 2. Donnez une représentation graphique qui fasse apparaître les évolutions entre les
  • 59. Pr Hammoucha Yassine - 59 - différentes années. Exercice 4 L’évolution de la pollution en dioxyde de soufre au Maroc est donnée dans le tableau suivant par secteur. La structure des rejets par source Cette pollution représentait 3 348 milliers de tonnes en 1980 et 1 200 milliers de tonnes en 1990, 961 milliers de tonnes en 1994. Représentez graphiquement ces trois distributions ; le graphique devra rendre compte de la décroissance relative du phénomène. Solution Exercice 3 1-Nous utilisons une représentation en secteur qui fait bien apparaître l’importance relative de chaque catégorie. Le tableau ci-dessous fournit les données pour la construction des graphiques. Importance relative des différentes catégories Catégories sociales en 1982
  • 60. Pr Hammoucha Yassine - 60 - Catégories sociales en 1990 Catégories sociales en 2005 2-Nous utilisons un diagramme qui fait apparaître les évolutions des différentes catégories sociales pour les années étudiées. Évolution des différentes catégories sociales
  • 61. Pr Hammoucha Yassine - 61 - Ce graphique montre bien la diminution absolue du nombre des indépendants « Agriculteurs exploitants », « Artisans, commerçants et chefs d’entreprise », en particulier des agriculteurs, ainsi que de la catégorie « Ouvriers ». La catégorie sociale modale en France en 2005 est celle des employés, dont nous savons par ailleurs que le taux de féminisation est élevé. Ce graphique illustre également l’importance croissante de la catégorie des « Professions intermédiaires » presque aussi nombreuse que celle des « Ouvriers » ainsi que la place croissante des « Cadres ». Solution Exercice 4 Les quantités de rejet 1980 1990 1994 Résidences et bureaux 421,8 181,2 139,3 Industrie 1064,7 259,2 211,4 Centrales électrothermiques 1222,0 313,2 166,3 Transformations d’énergie 210,9 122,4 121,1 Procédés industriels 301,3 178,8 158,6 Transports 127,2 145,2 165,3 Ensemble 3348,0 1200,0 961,0 Le premier graphique retenu est en « tuyaux d’orgue », il montre la forte décroissance du volume de la pollution en dioxyde de soufre. Les modifications de l’importance relative
  • 62. Pr Hammoucha Yassine - 62 - des sources de pollution est peu lisible. Évolution du volume des rejets Le volume de la pollution s’est considérablement réduit entre 1980 et 1994. Parmi les raisons expliquant cette évolution, nous pouvons évoquer la lutte contre la pollution ,et la diminution des activités industrielles sur le territoire Du Maroc Pour mettre en lumière les modifications de la structure des diverses sources de rejets de dioxyde de soufre nous utiliserons des graphiques en secteurs.
  • 64. Pr Hammoucha Yassine - 64 - Cet ensemble de graphiques permet de voir que la réduction de la pollution n’est pas homothétique. Très globalement, les activités de consommation (transports, résidences) voient leur importance augmenter relativement aux rejets industriels. La réduction importante de la pollution se traduit par une répartition différente des principales sources de production. Exercice 5 Soit la répartition des revenus d’une population présentée dans le tableau suivant en milliers de Dhs Répartition des revenus 1. Représentez cette distribution à l’aide de la fonction « histogramme » d’un tableur. 2. Construisez l’histogramme statistique de la série.
  • 65. Pr Hammoucha Yassine - 65 - Exercice 6 1. À quel type de représentation graphique fait appel la pyramide des âges ? 2. Quelles réflexions vous inspirent la comparaison entre les deux pyramides ? 3. Comparez la distribution des hommes à celles des femmes en 1998 ? Vos conclusions sont- elles les mêmes en 2020 ? 4. La population est-elle en croissance ? Justifiez votre réponse. 5. La population est-elle vieillissante ? Justifiez votre réponse. 6. Représentez l’évolution des tranches d’âge sur la période 1970/2020. Solution Exercice 5 1. Nous allons tout d’abord construire l’ « histogramme » avec cette fonction d’un tableur. Données pour « l’histogramme » du tableur
  • 66. Pr Hammoucha Yassine - 66 - Nous obtenons le graphique ci-contre. En quoi cette représentation est-elle insatisfaisante ? La première raison tient au fait que la représentation donne une image d’une variable discrète, or nous avons une variable continue. La contradiction entre le caractère continu de la variable et sa représentation graphique sous forme discrète rend sans intérêt une telle « représentation » qui justement ne représente pas la nature de la variable. La seconde raison du caractère insatisfaisant de cette représentation s’explique par l’absence de prise en compte des différences dans l’amplitude des classes. « Histogramme » selon un tableur Cette fois encore le graphique est infidèle à ce qu’il veut représenter. 2. L’histogramme statistique va rendre compte du caractère continu de la variable et des amplitudes différentes. Tableau statistique pour la construction de l’histogramme statistique
  • 67. Pr Hammoucha Yassine - 67 - Le graphique suivant rend compte du caractère continu de la variable et du fait que les classes ont des amplitudes différentes. Cet histogramme est également construit à l’aide d un tableur mais pas en utilisant la fonction histogramme. Solution Exercice 6 1. Les variables représentées sont les âges des hommes et des femmes, vivant à une date donnée. Il s’agit donc de variables continues. Les pyramides sont des histogrammes horizontaux. 2. La comparaison entre la pyramide des âges au 1er janvier 1998 et celle qui est prévue en 2020 montre un épaississement de la courbe des plus de 50 ans accompagné de la disparition du creux de la génération 1915, le creux de la génération 1940 étant encore perceptible. Les jeunes générations sont beaucoup plus lisses dans la pyramide de 2020 car les chiffres utilisés sont des prévisions de population. On ne projette pas une augmentation du nombre de naissances en 2020. 3. En janvier 1998, on constate qu’il naît légèrement plus de garçons que de filles mais que, plus on avance en âge, et plus la pyramide des femmes s’épaissit par rapport à
  • 68. Pr Hammoucha Yassine - 68 - celle des hommes. Les creux des deux guerres sont aussi perceptibles chez les hommes que chez les femmes. Ces tendances se maintiennent en 2020. On voit, toutefois, d’une façon plus nette l’épaississement de l’histogramme des femmes pour les tranches âgées de la population. 4. Le tableau présentant la projection de la population indique une croissance prévue de la population à l’horizon 2020. 5. Nous voyons sur la pyramide des âges que globalement la population est en croissance du fait des ses tranches vieillissantes. Ce qui est confirmé par les chiffres des tableaux. Nous constatons une proportion croissante des personnes de plus de 60 ans, une réduction de la part de la population jeune (moins de 20 ans). Ce vieillissement s’apprécie également par l’élévation continue de l’âge moyen de la population. 6. Le graphique ci-contre, en bandes superposées, illustre l’analyse numérique. Tranches d’âges sur la période 1970-2020 Exercice 7 La répartition d’une population de salariés par établissement au sein d’un bassin d’emploi est donnée par le tableau ci-dessous. Répartition des salariés par établissement
  • 69. Pr Hammoucha Yassine - 69 - 1. Construisez l’histogramme. 2. Construisez le polygone des fréquences. Exercice 8 Nous connaissons la valeur des subventions versées à une population d’agriculteurs. Répartition des subventions par exploitation 1. Construisez l’histogramme. 2. Construisez le polygone des fréquences. Solution Exercice 7 1. Pour construire l’histogramme, nous élaborons le tableau statistique nécessaire. Calculs pour l’histogramme
  • 70. Pr Hammoucha Yassine - 70 - Histogramme de la distribution 2. Nous construisons le polygone des fréquences en joignant les milieux de chaque sommet des rectangles. Les ordonnées sont les fréquences par unité d’amplitude, les abscisses sont des centres de classe si les classes sont d’amplitude égale. Pour fermer la courbe nous avons pris le point origine et un point qui se trouve à une distance égale à la moitié de l’amplitude de la dernière classe. Un tableau explicite les valeurs prises. Valeurs pour le polygone des fréquences
  • 71. Pr Hammoucha Yassine - 71 - Polygone des fréquences Le polygone des fréquences donne une vision plus réaliste de la distribution en éliminant les ruptures entre les classes. Il permet également de percevoir la dissymétrie de la distribution. Ce polygone de fréquences ne respecte pas le principe de la conservation des aires. Il n’est donc pas rigoureusement satisfaisant du point de vue statistique. Néanmoins, compte tenu de la diversité de l’amplitude des classes et de leur étendue, il permet de fournir une première image de la distribution des fréquences. Solution Exercice 8 1. Pour construire l’histogramme, nous élaborons le tableau statistique nécessaire. Calculs pour la construction de l’histogramme
  • 72. Pr Hammoucha Yassine - 72 - Histogramme de la distribution 2. Le polygone des fréquences représente la distribution des fréquences. Nous le construisons en joignant les points de chaque milieu des segments de l’histogramme. Les ordonnées sont les fréquences par unité d’amplitude, les abscisses sont des centres de classe si les classes sont d’amplitude égale. Pour fermer la courbe nous avons pris le point origine et un point qui se trouve à une distance égale à la moitié de l’amplitude de la dernière classe. Un tableau explicite les valeurs prises. Fréquences par unité d’amplitude L’unité d’amplitude est de 10. Pour la dernière classe dont l’amplitude est de deux unités, nous n’avons pas retenu le centre de classe, nous avons subdivisé cette classe en classes
  • 73. Pr Hammoucha Yassine - 73 - ayant l’amplitude unitaire, ce qui nous conduit à créer deux classes. Nous considérons qu’entre 65 et 75, la répartition est stable. L’objectif est de faire en sorte que la surface du polygone des fréquences soit identique à celle de l’histogramme. Polygone des fréquences Le polygone des fréquences donne une vision plus réaliste de la distribution en éliminant les ruptures entre les classes. Il permet également de percevoir la dissymétrie de la distribution. Exercice 9 Le tableau suivant donne la répartition de la population active par catégorie socioprofessionnelle (C.S.P.) des individus et par sexe pour une population donnée en 1989. Les catégories socioprofessionnelles en 1989 (en milliers) 1. Représentez graphiquement cette double distribution. 2. Représentez les distributions conditionnelles selon diverses possibilités. Exercice 10 Répartition des entreprises par nombre de salariés et activités au 1/1/1998 (en milliers)
  • 74. Pr Hammoucha Yassine - 74 - 1. Quelles sont les variables étudiées ? Quel est leur type ? 2. Proposez une représentation graphique permettant de visualiser la répartition des activités au sein de chaque groupe de moyennes entreprises. Solution Exercice 9 La représentation en tuyaux d’orgue est dans le cas de variables qualitatives la meilleure représentation graphique. Plusieurs solutions sont possibles. 1. Nous représentons côte à côte les deux distributions en tenant compte des effectifs de chaque catégorie. Distribution des catégories selon le sexe
  • 75. Pr Hammoucha Yassine - 75 - 2. Dans la deuxième représentation, nous utilisons des cartouches superposées rendant mieux compte de l’importance relative des actifs masculins et féminins, en gardant une représentation des valeurs absolues. Distribution selon le sexe et la CSP Par rapport au graphique précédent, nous constatons, entre autres, qu’il y a plus d’ouvriers que d’employés en 1989 sans distinction de genre. 3. Nous utilisons un graphique superposé pour représenter les distributions conditionnelles suivant la catégorie sociale et le genre dans un diagramme à cumul interne. Tableau des fréquences relatives Part des femmes dans chacune des CSP
  • 76. Pr Hammoucha Yassine - 76 - Cette représentation rend sensible le fait que la très grande majorité des employés sont des employées, alors que dans les autres catégories les hommes sont majoritaires. Solution Exercice 10 1. Nous avons un tableau croisant une variable qualitative (une nomenclature des activités) et une variable quantitative continue (le nombre de salariés). Cette variable est continue car, en équivalent temps plein, toutes les valeurs de la variable peuvent être atteintes. 2. Tableau de la répartition des entreprises pour construire le graphique (en %) Répartition des moyennes entreprises par taille en fonction du secteur d’activités
  • 77. Pr Hammoucha Yassine - 77 - Répartition de toutes les entreprises selon les secteurs Il est clair que les très grandes entreprises n’apparaissent pas sur le graphique. Exercice 11 Soit les éléments de l’exécution du budget d’une université grenobloise. Donnez une représentation graphique de ces deux distributions. Solution Exercice 11
  • 78. Pr Hammoucha Yassine - 78 - Pour représenter cette double distribution nous utilisons deux formes de représentation : les barres pour les recettes, et une courbe pour les dépenses. Les taux d’exécution budgétaires Exercice 12 Exercice 13 Solution Exercice 12
  • 79. Pr Hammoucha Yassine - 79 - Solution Exercice 13 Exercice 14 Exercice 15 Les renseignements fournis par 1000 membres d’une association sortie ont été consignés dans les tableaux suivants : Tableau N° 01 : Tableau N° 02
  • 80. Pr Hammoucha Yassine - 80 - Tableau N° 03 1/ Préciser la population étudiée et sa taille. 2/Préciser le caractère, la nature de caractère, le nombre de modalité dansles tableaux ci- dessus. 3/Interpréter la valeur 51, 114,105 ? 4/ Calculer les fréquences pour les trois tableaux ? Exercice 16 Solution Exercice 14
  • 81. Pr Hammoucha Yassine - 81 - Solution Exercice 15 Solution Exercice 16
  • 82. Pr Hammoucha Yassine - 82 - Qualification socioprofessionnelle Exercice 17
  • 83. Pr Hammoucha Yassine - 83 - Exercice 18 Exercice 19
  • 84. Pr Hammoucha Yassine - 84 - Solution Exercice 17
  • 85. Pr Hammoucha Yassine - 85 - Solution Exercice 18 Histogramme Solution Exercice 19
  • 86. Pr Hammoucha Yassine - 86 - Courbe Cumulative croissante et décroissante Exercice 20 Soit le tableau suivant relatif au nombre d’enfants par famille:
  • 87. Pr Hammoucha Yassine - 87 - Exercice 21 Exercice 22
  • 88. Pr Hammoucha Yassine - 88 - Solution Exercice 20 Solution Exercice 21
  • 89. Pr Hammoucha Yassine - 89 - Solution Exercice 22