Robot pendulaire inversé a des roues

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RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITÉ IBN KHALDOUN - TIARET
FACULTE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE
ET SCIENCES DE LA MATIERE
DEPARTEMENT DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE

MÉMOIRE DE FIN D’ÉTUDES
POUR L’OBTENTION DU DIPLÔME DE MASTER
DOMAINE : SCIENCES ET TECHNOLOGIE
FILIÈRE : GÉNIE ÉLECTRIQUE
SPÉCIALITÉ : Automatisation et contrôle des systèmes industriels

THÈME
Modélisation et Commande pour la
stabilisation d’un robot pendulaire
inversé sur des roues
Présenté par : MESSABIH Mohamed
Et ZEKRI Boulanouar
Devant Le Jury :
M. HATTAB Abed El-illah

Université de Tiaret

Encadreur

M. ALLAOUI Tayeb


Co-encadreur

M. SBAA morsli


Examinateur

M. ACED Mohamed Reda


Président

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Nous tenons tout d’abord à remercier Dieu le tout puissant et miséricordieux, qui nous
a donné la force et la patience d’accomplir ce Modeste travail.
.
En second lieu, nous tenons à remercier notre encadreur Mr : Hattab Abd El-illah et
notre Co-encadreur Mr : Allaoui Tayeb , a leurs précieux conseil et leurs aide durant toute la
période du travail.
.
Nos vifs remerciements vont également aux membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont
porté à notre recherche en acceptant d’examiner notre travail Et de l’enrichir par leurs
propositions.
Nous tenons également à remercier toutes les personnes qui ont participé de près ou de
loin à la réalisation de ce travail.
Enfin, nous adressons nos plus sincères remerciements à tous nos proches et amis, qui
nous ont toujours soutenue et encouragée au cours de la réalisation de ce mémoire.
.
Merci à tous et à toutes.

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Liste des figures
Chapitre I : état de l’art

Fig I.1 schéma de pendule inverse……………………………………………………….…….5
Fig I.2 Les applications de pendule inverse……………………………………………………6
Fig I.3 Segway i180 series (gauche) et iBot 4000 (droite)……………………………………7
Fig I.4 EMIEW (gauche) and EMIEW2 (droite)………………………………………………8
Fig I.5 QA (gauche) and QB (droite)…………………………………………………………9
Fig I.6 nBot…………………………………………………………………………………...10
Fig I.7 Deux plate-forme à roues avec actionneur roue à réaction…………………………...10
Fig I.8 les trois cas du pendule inverse……………………………………………………….11
Fig I.9 Diagramme de robot pendule inverse…………………………………………………12

Chapitre II : modélisation mathématique

Fig II.1 Modèle dynamique du robot pendule inverse………………………………………..16
FIG ĳĳ.2 Inclinaison et déplacement linéaire du robot………………………………………..17

Fig ĳĳ.3 Diagramme de moteur a cc…………………………………………………………..18

Fig ĳĳ.4 Diagramme de corps libre de la dynamique d’inclinaison…………………………..20

Fig ĳĳĘ ğ Diagramme de corps libre d’une roue……………………………………………….21

Fig ĳĳ.6 Déplacements des roues lors d’un changement de direction………………………...24

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Fig ĳĳĘ ġ Diagramme de corps libre de la dynamique d’angle de direction…………………..26

Fig II.8 Schéma de principe du système en boucle ouverte………………………………….29

Fig II.9 La réponse echlon en boucle ouvert de l’angle Ŏŏ ŖżœŘōŖœŘŋœŝřŘůůůůůůůůůůůĜģ

Fig II.10 La réponse echlon en boucle ouvert du déplacement……………………………….30
Fig II.11 La réponse echlon en boucle ouvert de la direction………………………………...30

Chapitre III : la commande d’un robot pendule inverse

Fig III.1 schéma de commande système on boucle ferme……………………………………34
Fig III.2 : Schéma bloc du système commandé………………………………………………38
Fig III.3 Le schéma bloc d’un contrôleur LQ………………………………………………...41

Chapitre IV : La simulation

Fig IV.1 La réponse impulsionnelle des variables d’états……………………………………47
Fig IV.2 La réponse impulsionnelle des sorties de système………………………………….47
Fig IV.3 la réponse impulsionnelle des variables d’états …………………………………….48
Fig IV.4 la réponse impulsionnelle de la sortie de système ………………………………….48
Fig IV.5 la réponse step de l’angle …………………………………………………………49
Fig IV.6 la répons step de la sortie de système……………………………………………….50
Fig IV.7. La réponse impulsionnelle de l’angle

par la commande optimale si on varie Cf.51

Fig IV.8. La réponse step de la direction par la commande PID si on varie Cf………………52

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Fig IV.9. La réponse impulsionnelle de la direction par la commande optimale si on varie
Cf……………………………………………………………………………………………...52
Fig IV.10. La réponse step de l’angle

par la commande PID si on varie Cf………………53


par la PID si on varie Jw…………………………...54

Jw……………………………………………………………………………………………..54
Fig IV.13. La réponse step de la direction par la commande PID si on varie Jw…...………..55

par la commande optimale si on varie

Jw……………………………………………………………………………………………..55
Ra……………………………………………………………………………………………..56
Fig IV.16. La réponse step de la direction par la commande PID si on varie Jw…………….56

par la commande PID si on varie Jw……………….57


par la commande optimale si on varie Jw57

Fig IV.18. La réponse de l’inclinaison par la commande optimale et PID et de la direction
aussi par la commande optimale et PID………………………………………………………58

Appendices

VI.1 Le fichier simulink de notre système……………………………………………………62
VI.2 Fig résultats de la commande optimale pour la direction……………………………….63
VI.3 Fig résultats de la commande optimale pour l’inclinaison……………………………...63
VI.4 Fig résultats de la commande PID pour la direction…………………………………….64
VI.2 Fig résultats de la commande PID pour l’inclinaison…………………………………...64

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Liste des tableaux
TAB II.1 Paramètres du système……………………………………………………………15
Tab IV.1 les paramètres de la réponse impulsionnelle de l’angle avec la commande
optimale………………………………………………………………………………………47
Tab IV.2 les paramètres de la réponse impulsionnelle de la direction avec la commande
optimale……………………………………………………………………………………….49
Tab IV.3. les paramètres de la réponse echlon de l’angle Ŏŏ ŖżœŘōŖœŘŋœŝřŘ avec la commande

PID………...………………………………………………………………………………….50
Tab IV.4. Les paramètres de la réponse echlon de la direction avec la commande PD..…….50
Tab IV.5. Les paramètres de la réponse PID et optimale……………………………………..58

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Sommaire
Remerciement
Liste des figures
Liste des tableaux
Sommaire
Introduction générale ………………………………………………………………………….1

Chapitre I : état de l’art
I.1. Introduction ………………………………………………………………………………..5
I.2. Pendule inverse ……………………………………………………………………………5
I.2.1 Applicatives …………………………………………………………………………..5
I.3. Robot pendule inverse……………………………………………………………………..6
I.4 Principe de fonctionnement de robot pendule inverse ……………………………………11

Chapitre II : modélisation mathématique
II.1. Introduction ……………………………………………………………………………..14
II.2.Le modèle mathématique de robot pendule inverse et leur système dynamique ………..15
II.3.Inclinaison et déplacement linéaire………………………………………………………16
II.3.1.Modèle linéaire d’un moteur à courant continu ……………………………………18
II.3.2.Couple appliqué à une roue ………………………………………………………...18
II.3.3.Dynamique d’inclinaison …………………………………………………………..19
II.3.4.Dynamique des roues et du déplacement linéaire ………………………………….20
II.3.5.Modèle d’état de la dynamique linéaire……………………………………………..22
II.3.6. Fonction de transfert de la dynamique linéaire …………………………………….23

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II.4.Angle de direction ……………………………………………………………………….23
II.4.1.Modèle d’état de la dynamique de direction………………………………………..27
II.4.2.fonction de transfert de la dynamique de direction ………………………………...28
II.5 Le système en boucle ouvert …………………………………………………………….28
II.5.1 La Réponse echlon en boucle ouverte……………….……………………………...29

Chapitre III : la commande d’un robot pendule inverse
III.1. Introduction …………………………………………………………………………….32
III.2. Commandabilité et observabilité……………………………………………………….32
III.2.1. la commandabilite de l’inclinaison et déplacement linéaire ……………………...32
III.2.2. la commandabilite de l’ongle de direction ……………………………………….33
III.2.3. l’observabilité de l’inclinaison et déplacement linéaire ………………………….33
III.2.4. l’observabilité de l’ongle de direction ……………………………………………33
III.3. Commande système on boucle ferme ………………………………………………….34
III.3.1. La commande classique (PID)…………………………………………………….34
III.3.1.1. Actions du régulateurs PID …………………………………………………34
III.3.1.1.1. L’action proportionnelle ……………………………………………….35
III.3.1.1.2. L’action intégrale ………………………………………………………35
III.3.1.1.3. L’action dérivée ………………………………………………………..35
III.3.1.2Commande de l’inclinaison et déplacement linéaire du robot par PID …........36
III.3.1.2.1 Critères de choix des régulateurs ………………………………………..36
III.3.1.3Commande de l’ongle de direction du robot par un PID ……………………...37
III.3.1.3.1 Critères de choix des régulateurs ………………………………………..37
III.3.1.3.2 Procédure de synthèse d’un contrôleur PD ……………………………...37

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III.3.2. La commande linéaire quadratique ……………………………………………….38
III.3.3. Procédure de synthèse d’un contrôleur LQ ……………………………………….39
III.3.4. Le choix des matrices de pondération …………………………………………….41
III.3.5. La régulation de l’inclinaison et déplacement linéaire du robot par un contrôleur
LQ ……………………………………………………………………………………………42
III.3.6. La régulation de l’ongle de direction du robot par un contrôleur LQ…………….43

Chapitre IV : La simulation
IV.1. Introduction …………………………………………………………………….………46
IV.2. Le cahier des charges …………………………………………………………………..46
IV.3. La simulation par la commande optimale………………………………………………46
IV.3.1. la simulation de l’inclinaison et le déplacement linéaire …………………………46
IV.3.2. La simulation de la déplacement non linéaire……………………………………..48
IV.4. La simulation par la commande PID …………………………………………………..49
IV.4.1. la simulation de l’inclinaison et le déplacement linéaire………………………….49
IV.4.2. La simulation de la déplacement non linéaire…………………………………….50
IV.5. Test de robustesse ……………………………………………………………………...50
IV.5.1. La variation de coefficient de friction……………………………………………..51
IV.5.2. La variation de moment d’inertie ………………………………………………..53
IV.5.3. La variation de résistance d’armature …………………………………………….55
IV.6. La différence entre résulta de la commande optimal et résultat de PID……………….58
Conclusion …………………………………………………………………………………...59
Références ……………………………………………………………………………………60
Appendis ……………………………………………………………………………………..62

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A. Programme matlab ………………………………………………………………….62
B. Le fichier simulink de notre système ………………………………………………64
C. Le résultats de scope ………………………………………………………………..65

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LISTE DES NOTATIONS ET DES SYMBOLES
(t) : angle de direction
: efficacité de la boîte de réduction
(t) : angle d’une roue
i(t)

: angle de l’arbre moteur

l(t)

: angle de la roue gauche

o(t)

: angle de l’arbre de la boîte de réduction

r(t)

: angle de la roue droite

(t) : angle d’inclinaison
CF

: constante de friction

D

: distance entre l’arbre du moteur et le centre de gravité

F(t) : force appliqué au sol par une roue
Fl(t) : force appliqué au sol par la roue gauche
Fr(t) : force appliqué au sol par la roue droite
Jb

: moment d’inertie de la moitié du corps du robot

Jd

: moment d’inertie du robot autour de l’axe vertical

Jw

: moment d’inertie de l’une des roues

Ke

: constante de force électromotrice des moteurs

Kt

: constante de couple des moteurs

M

: masse de la moitié robot, y compris une roue

Mb

: masse de la moitié du corps du robot

Mw

: masse de l’une des roues

T(t)

: couple livré à une roue

Ti(t)

: couple livré à la boîte de réduction par un moteur à courant continu

Tl(t)

: couple livré à la roue gauche

Tr(t)

: couple livré à la roue droite

Ra

: résistance d’armature des moteurs

Rg

: rapport de la boîte de réduction

Rw

: rayon des roues

S

: distance entre les roues

x(t)

: position du robot

xl(t)

: position de la roue gauche

xr(t)

: position de la roue droite

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Introduction générale :
Dans le domaine scientifique et celui de l’enseignement, l’automatique a souvent
recours à des cas d’études particuliers, qui sont représentatifs de grandes classes
d’applications. De plus, avec l’expérience, la connaissance de ces cas s’est affinée et ils
fournissent aujourd’hui une base idéale pour comparer de façon valable les avantages et les
inconvénients d’approches différentes. Le pendule inversé est l’un de ces cas typique qui
occupe une place importante dans l’industrie comme un outil de transport, d’inspection et
d’intervention dans des milieux hostiles, en particulier quand les capacités de mouvement
autonome sont exigées.
La description du pendule inversé muni de son actionneur et ses capteurs ainsi que les
divers phénomènes physiques présents lors du fonctionnement, montrent la forte complexité
due aux nombreux non linéarités ainsi que la difficulté à modéliser parfaitement la dynamique
du système pendule inverse -capteurs- actionneur. Le contrôle du pendule inversé pour le
redressement et la stabilisation devient ardu, car la connaissance du système se révèle
imprécise et imparfaite
En outre, la commande de ces systèmes non linéaires sous actionnés représente encore
un champ très large et intéressant dans les travaux de recherche de nos jours, où la conception
des contrôleurs pour les systèmes sous actionnés ne se limite pas à l’intérêt de commander
ceux-ci, mais elle présente un avantage pour les systèmes qui sont entièrement actionnés et
qu’ils ont aussi besoin d’avoir des contrôleurs de ce genre, ces contrôleurs sont implémentés
en raison de sécurité dans le cas où un des actionneurs de ces systèmes subit un échec.
Notre travail est appliqué à un système pendule inversé, qui est un système non linéaire,
instable, SIMO (Single Input Multiple Output) ; sous actionné, à plus d’un degrés de liberté,
très sensible aux retard, afin d’illustrer et comparer les différentes lois de commandes
linéaires et non linéaires, leurs tests de performances et de robustesse mis en œuvre et
implémentés réellement sur un banc d’essais pour le redressement et stabilisation du pendule
depuis sa position d’équilibre stable vers la position d’équilibre instable.
Quand on pense d'un pendule que nous pensons d'une boule à l'extrémité d'un fil
suspendu à un point de pivot, ainsi un pendule inversé est exactement le contraire. Le pendule
inversé est un pendule dont la masse est au-dessus du point de pivot, par le simple fait que sa
masse est au-dessus du point de pivot du système est instable par nature. En raison du fait

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qu'il est instable, c'est un très bon exemple dans l'ingénierie de contrôle pour vérifier une
théorie du contrôle.
Pendule inversé fournit un exemple bon modèle pour un guidage fusée ou un missile, un
système d'aéronef pour l'atterrissage automatique, stabilisation des avions dans le flux d'air
turbulent, la stabilisation d'une cabine sur un navire, et ainsi de suite. Un robot à deux roues
pendule inversé est un robot qui simule le comportement d'un pendule inversé, c'est à dire,
nous cherchons à comprendre un robot qui peut auto en équilibre sur deux roues que par la
lecture et la compréhension des données fournies et d'agir sur le deux-roues selon.
En raison de la nature instable du pendule, c'est un exemple de l'utilisation de la théorie
du contrôle.
La théorie du contrôle est une discipline qui traite du comportement des systèmes
instables. La sortie désirée d'un système de référence est appelé, quand un système comme
entrées multiples il besoin d'un contrôleur d'agir sur eux de sorte que sa possible d'obtenir la
sortie désir du système.
Un contrôleur, en théorie du contrôle, est un dispositif qui observent et manipulent les
entrées d'un système de telle sorte que nous obtenons la sortie désir. Par exemple, les capteurs
d'une porte automatique (contrôleur) qui va ouvrir la porte à l'approche d'une personne. Dans
ce cas, le contrôleur est appelé un contrôleur en boucle ouverte, car on ne se préoccupe pas
des forces inattendues qui agissent sur le système. Pour résoudre ce problème, la théorie du
contrôle introduit commentaires. Dispositif de commande en boucle fermée utilise les
informations pour commander la sortie d'un système dynamique.
Des architectures de contrôleur en boucle fermée comprennent le régulateur PID et la
méthode LQR.
Régulateur PID signifie proportionnel-intégral-dérivé de contrôleur et les tentatives
pour corriger l'erreur entre la variable mesurée du processus, c.-à-d. la variable que nous
avons besoin de contrôler, et d'un point de consigne, la valeur que la variable doit atteindre ou
obtenir. Il a réalisé par le calcul d'une action corrective pour régler le processus en
conséquence et rapidement dans un afin de maintenir l'erreur minimale. C'est la somme des
termes d'arbres, le terme proportionnel qui change la valeur de sortie selon l'erreur de courant,
le terme intégral est proportionnelle à l'amplitude de l'erreur et la durée de l'erreur, et le terme
dérivé de PID calculer l'erreur au cours du temps.
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Le régulateur linéaire quadratique (LQR) est une méthode bien savoir pour déterminer
les réactions gains d'un système dynamique. Il est supposé que nous avons un optimal plein
retour d'état, c.-à-d. que nous pouvons mesurer l'ensemble de nos Etats.
Le but de projet est l’etude d’un robot pendule inversé, il est capable de marcher dans
une surface plane. La capacité de balance sur deux roues est très efficace pour la mobilité, la
facilité de rotation dans l’espace serré.
- Faire la connaissance des scooters et robots en équilibre, le principe de l’autobalance.
- Calculer les paramètres dynammiques du véhicule, les équations d’état du modèle.
- Construire la simulation en Matlab.
- Projeter le modèle et fabriquer la structure mécanique du modèle.
- Construire le modèle général en simulation:
- Le modèle équivalent – le pendule inverse.
- La simulation par Matlab-Simulink: scooter en équilibre.
Dans un robot de pendule inversé nous nous intéressons à la mesure de l'inclinaison du
pendule, Pour mesurer l'inclinaison du système pendule inversé nous avons besoin de mesurer
l'accélération dans deux axes, avec ces données, il est possible de déterminer l'inclinaison du
pendule et plus précisément l'angle qui impose un problème d’instabilité à l’angle =0, il nous
servira notamment, plus loin dans les chapitres suivants pour les tests des différentes
commandes synthétiséesŅĜĝŇ.
Par la suite, nous développerons un modèle dynamique qui sera présenté sous forme
d’équations différentielles déduites à partir du formalisme d’Euler-Lagrange qui constitue une
approche systématique simple à mettre en œuvre. Puis, nous présenterons ce système dans
l’espace d’état.
Une implémentation de ces modèles sous MATLAB/SIMULINK sera également
présentée ainsi que les différents résultats de simulation numériqueŅĜĞŇ.
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Chapitre I :
état de l’art

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I.1. Introduction :
Mener revue de la littérature avant chaque projet de recherche est essentiel. Cela peut
fournir au chercheur des informations très utiles sur les technologies disponibles et les
méthodologies utilisées par leurs homologues d'autres recherches à travers le monde sur ce
sujet. Ce chapitre fournit un résumé des revues de littérature sur des sujets liés à deux roues
pendule inversé ŅĜğŇĘ
I.2. Pendule inversé :
Un pendule inversé est un pendule qui sa masse supérieure à son point de pivotement. Il
est souvent mis en œuvre avec le point de pivot monté sur un chariot qui peut se déplacer
horizontalement et peut être appelé un panier et le pôle. Alors que d'un pendule normale est
stable lorsqu'il est accroché à la baisse, un pendule inversé est intrinsèquement instable, et
doit être activement équilibrée afin de rester debout, soit en appliquant un couple au point de
pivot ou en déplaçant le point de pivot à l'horizontale dans le cadre d'un système de
rétroaction ŅĜĝŇ.

Fig I.1 schéma de pendule inverse
I.2.1 Applicatives :
La validation des méthodes de poursuite par retour visuel permettra à une mise en
œuvre au sein du projet « Attelage Virtuel » (suite du projet AVIVA) qui consiste à «
accrocher » un véhicule meneur (avec conducteur) et un suiveur (autonome) grâce à des
capteurs « immatériels » ou « sans contact ».
Par ailleurs, l’intégration de systèmes de navigation tels que GPS (Etats Unis),
GLONASS (Russie), GALILEO (Europe) et BEIDOU (Chine) permettra de réaliser la
commande à distance, la commande via réseaux de transports autonomes (guidage, détection
et localisation des défaillances).
La figure (Fig I.2) illustre des applications potentielles de pendule inversé.

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(Fig I.2) Les applications de pendule inversé.
I.3. Robot pendule inverse :
Il y a plusieurs succès des produits commerciaux et de nombreux prototypes de
recherche à travers le monde. Dans les paragraphes suivants on va rappeler certains des
produits, des recherches et des prototypes qui ont construit sur la base de deux-roues bases de
robots d'équilibrage.
Segway est un transporteur bien connu auto équilibrage personnelle, qui a été produite
par Segway Inc du New Hampshire, États-Unis ŅĜĜŇ. Il a été inventé par Dean Kamen en
2001. Segway est entraîné par des servomoteurs et il peut accélérer jusqu'à 20 kilomètres par
heure. Un capteur d'inclinaison et de plusieurs gyroscopes sont employés dans Segway pour
détecter le mouvement angulaire de robot. Segway coureur est capable d'accélérer et décélérer
en se penchant en avant ou en arrière. En 2006 IBot était un autre produit qui a développé de
Kamen ŅĜĚŇ. IBot est un fauteuil roulant électrique mobile. Il monte les escaliers et se tient en
équilibre sur deux roues. IBot augmente sa hauteur quand il tient en équilibre sur deux roues.
Augmenter la hauteur offre une vision du niveau des yeux pour une personne désactivé pour
communiquer avec d'autres personnes. Figure (Fig I.3) illustre les fonctionnalités IBOT.

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Fig I.3 Les robots Segway i180 series (gauche) et iBot 4000 (droite)

EMIEW est un robot humanoïde développé par l'équilibrage d’Hitachi groupe de
recherche ŅěģŇ. EMIEW représente une excellente mobilité et l'existence Interactive comme
Workmate. Ce robot est un guide ou un robot de surveillance dans un environnement du
monde réel tel que les bureaux, les usines ou les hôpitaux. Hitachi a mis au point deux
modèles d’EMIEW. Ces deux modèles peuvent éviter les obstacles et ont une vitesse de
pointe de 6 kilomètres par heure. EMIEW2 été donné une mobilité accrue en déployant un
système de suspension pour chaque jambe et de reconnaissance vocale. Figure (Fig I.4)
illustre plus de photos d’EMIEWs.

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Fig I.4 Les robots EMIEW (gauche) and EMIEW2 (droite)

Anybots est une société fondée par Trevor robotique Blackwell en 2001 ŅěġŇ. QA et QB
sont deux robots de téléprésence mobiles développés par Anybots que l'équilibre sur deux
roues et de manœuvre en douceur. Ces robots de fournir une communication facile via
Internet pour un utilisateur, qui ne peuvent assister à la deuxième place. QB est la dernière
version de robot de téléprésence d’Anybot. Il peut pivoter autour de son axe vertical et
d'entraînement à 5,6 kilomètres par heure. Les figures (Fig I.5) illustre QA et QB,
respectivement.

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Fig I.5 Les robots QA (gauche) and QB (droite)

David P. Anderson a développé un prototype de robot sur deux roues d'équilibrage dans
son atelier ŅěĠŇ. Anderson a été choisi quatre mesures essentielles qui définissent le
mouvement et la position de nBot. Ces mesures sont les suivantes:
• Position de robot
• Vitesse de robot
• La position angulaire des roues
• La vitesse angulaire des roues
Ces mesures ont été sommées en une rétroaction au microcontrôleur. Puis
microcontrôleur génère le signal requis en tant que tension du moteur, qui est proportionnel au
couple de moteur.

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Fig I.6 nBot

Le Laboratoire d'Electronique industrielle à l'Institut fédéral suisse de technologie en
Suisse a construit un robot équilibrage véritablement mobile et autonome à deux roues (JOE)
ŅěĢŇ. Les chercheurs ont développé deux espace-état contrôleurs. Un contrôleur commande la
rotation autour de l'axe latéral (hauteur) et le second un contrôle de la dynamique autour de
son axe vertical (lacet). Chaque contrôleur de produire un couple nécessaire pour les moteurs
droit et gauche.

Fig I.7 Deux plate-forme à roues avec actionneur roue à réaction

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I.4 Principe de fonctionnement de robot pendule inversé :
Un robot sur deux roues d'équilibrage est un système instable dynamique. Cela signifie
que le robot est libre de tomber en avant ou en arrière sans aucunes forces appliquées. Robot
est équilibre lorsque son centre de gravité et les roues sont situés sur une ligne verticale
imaginaire identique. Sinon, les roues devraient suivre les chutes du robot jusqu'à ce robot luimême l'équilibre. L'utilisation de deux roues seulement pour robot sur deux roues
d'équilibrage de fournir un poids plus léger et plus lisse manœuvre. La figure 1.1 illustre les
fonctions de base du robot équilibrage ŅěŇ.

Fig I.8 les trois cas du pendule inverse

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Fig I.9 Diagramme de robot pendule inversé

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Chapitre II : modélisation
mathématique

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Modélisation mathématique

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II.1. Introduction :
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uwuxtq,wpq,vtcvqevqutq., un,quv, pëequucutq,fcpu,wp,rtqouqt,vqoru,fq, oqvvtq,cw, rqupv, wp,oqfênq,
ocvtëocvuswq, swu, tqrtëuqpvq, rufênqoqpv, uqp, eqorqtvqoqpv0, Nc, f…pcouswq, fw, tqdqv, uqtc,
tqrtëuqpvëq,rct,fqw„,oqfênqu,fëeqwrnëu., nq,rtqouqt,fëetuxcpv, nc,f…pcouswq,f”upenupcuuqp,qv,
fq, fërnceqoqpv, nupëcutq., qv, nq, fqw„uêoq, fëetuxcpv, nc, f…pcouswq, f”cpsnq, fq, futqevuqp0, Nc,
f…pcouswq, snqdcnq, fw, tqdqv, c, ëvë, fëeqwrnëq, crup, fq, rqwxqut, eqpeqxqut, fqw„, eqpvtönqwtu,
fërëtqpvqu,=,wp, eqpvtönqwt, encuuuswq,qv, n”cwvtq,cxcpeq, qv, fcpu,etcswq,eqpvtönqwt,fqw„,rctvuqu,
uërctëoqpv, =, nq,rtqouqt, rqwt, n”cpsnq,f”upenupcuuqp,qv, nq,fërnceqoqpv, nupëcutq,qv, nq,fqw„uêoq,
rqwt, n”cpsnq,fq,futqevuqp0, Pq, eqvvq,rcéqp., un,quv, rquuudnq,f”cuuuspqt,furrëtqpvqu,rqtrqtocpequ,
cw„,fqw„,uqwu/u…uvêoqu,qv,ëxuvqt,wp,eqwrncsq,fqu,f…pcouswqu,rct,nq,eqpvtönqwt0,
Nqu, xcnqwtu, fqu, rctcoêvtqu, fw, oqvqwt, qv, fq, nc, dqðvq, fq, tëfwevuqp,qpv, ëvë,qdvqpwqu, â,
rctvut,fq,nqwtu,ruetqu,vqetpuswqu,vcpfuu,swq,nqu,xcnqwtu,fqu,oqoqpvu,f”upqtvuq,fw,tqdqv,qpv,ëvë,
quvuoëqu, â, rctvut, fw, oqfênq, fq, eqpeqrvuqp, oëecpuswq, cuuuuvë, rct, qtfupcvqwt, fcpu, nq, nqsueuqn,
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ënqevtqpuswq0,`qwvqu,nqu,xcnqwtu,fqu,rctcoêvtqu,uqpv,rtëuqpvëqu,cw,`MN0,KK0=0,
Rqwt,nq,fëxqnqrrqoqpv,fw,oqfênq,ocvtëocvuswq,tqrtëuqpvcpv, nc,f…pcouswq,fw,tqdqv.,
eqtvcupqu, t…rqvtêuqu, fquxqpv, ìvtq, rcuvqu0, Pq, rcéqp, sëpëtcnq., qp, eqpuufêtq, swq, nq, tqdqv,
uqocupvuqpv,cwvqwt,fq,nc,rquuvuqp,xqtvuecnq.,swq,uqu,tqwqu,tquvqpv,qp,eqpvcev,cxqe,nq,uqn,qp,vqwv,
vqoru,qv,sw”un,uq,fërnceq,â,dcuuq,xuvquuq0,Nqu,rqtequ,fq,tëcevuqpu,qpvtq,nq,eqtru,fw,tqdqv,qv,nqu,
tqwqu,cupuu,swq,nc,rqteq,eqpvturwsq,fwq,cw, oqwxqoqpv,f”upenupcuuqp,fw,tqdqv,uqpv,ëscnqoqpv,
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tqdqv,uuownvcpëoqpv, qv, swq,nqu,tqwqu,crrnuswqpv, â, nqwt,vqwt,fqu, rqtequ,uwt, nq, uqn,rtqxqswcpv,
wpq,ceeënëtcvuqp,nupëcutq,fw,tqdqv,cupuu,sw”wpq,ceeënëtcvuqp,cpswncutq,cwvqwt,fq,n”c„q,xqtvuecn,
rcuucpv, xctuqt, n”cpsnq, f”qtuqpvcvuqp, fw, tqdqv0, Oqu, t…rqvtêuqu, uqpv, rtuuqu, crup, f”qdvqput, wp,
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u…uvêoq, cwvqwt, fq, nc, rquuvuqp, f”ëswunudtq0, Nq, eqpvtönqwt, eqpéw, â, nc, etcruvtq, KKK, fqxtc, ìvtq,
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Symbole

Valeur (Unité)

Description,

Tƒ, ,,,,,,,,,,,,@0A9A,*eo+,,,,,,,,,,,,,,tc…qp,fqu,tqwqu,
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Ld,,,,,,,,,,,,,,,,,@?0@9,*ws,eo>+,,,,,,,oqoqpv,f”upqtvuq,fq,nc,oquvuë,fw,eqtru,fw,tqdqv,,
Lf,,,,,,,,,,,,,,,,=<:0>=,*ws,eo>+,,,,,,oqoqpv,f”upqtvuq,fw,tqdqv,cwvqwt,fq,n”c„q,,,
Lƒ,,,,,,,,,,,,,,,,<0<@>8;,*ws,eo>+,,,,,oqoqpv,f”upqtvuq,fq,n”wpq,fqu,tqwqu,,
P,,,,,,,,,,,,,, 80=;>A>,*eo+,,,,,,,,,,,, uuvcpeq,qpvtq,n”ctdtq,fw,oqvqwt,qv,nq,eqpvtq,fq,stcxuvë,,
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Mv,,,,,,,,,,,,, <0<AA>,*P,o;M+,,,, qpuvcpvq,fq,eqwrnq,fqu,oqvqwtu,,
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<0<AA>,*b,u;tcf+,,,,,eqpuvcpvq,fq,rqteq,ënqevtqoqvtueq,fqu,oqvqwtu,,
Tc,,,,,,,,,,,,,, @=0A,* +,,,,,,,,,,,,,,,,,
tëuuuvcpeq,f”ctocvwtq,fqu,oqvqwtu,,
Ts,,,,,,,,,,,

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8,*P;M+,,,,,,,,,,,,,,,,,tcrrqtv,fq,nc,dqðvq,fq,tëfwevuqp,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,, <0:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, rrueceuvë,fq,nc,dqðvq,fq,tëfwevuqp,,
q

,

Or,,,,,,,,,,,,,<0<<=,*P,o,u;tcf+,,,,,eqpuvcpvq,fq,rtuevuqp,
`MN,KK0=,Rctcoêvtqu,fw,u…uvêoq,

II.2.Le modèle mathématique de robot pendule inverse et leur système dynamique :
Kn,quv, uorqtvcpv, fq, eqortqpftq, nc, f…pcouswq, fq, tqdqv, rqpfwnq, upxqtuq, rqwt, rcutq, nc,
oqfënuucvuqp0,

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Nq,tqdqv,rqpfwnq,upxqtuq,c,vtquu,fqstëu,fq,nudqtvë,0nqu,fqstëu,fq,nudqtvë,fëetuvq,rct,vtquu,
v…rqu ,fq ,tqvcvuqp ,fw ,tqdqv ,cwvqwt ,fqu ,c„qu ,d. ,e ,qv ,. ,swu ,uqpv ,crrqnëu ,tqwnqcw. ,vcpscsq ,qv ,
nceqv., tqurqevuxqoqpv0, Pcpu, eq, rtqvqv., n)ceeqpv, ëvcuv, ouu, uwt, nc, tqvcvuqp, cwvqwt, f)c„qu, …,
*tcwvqwt+.,un,uwrrquq,swq, nq,eqpvtq,fq, stcxuvë,fw,tqdqv, quv, uuvwë,cw,rqupv, r,qv,*qr+,tqrtëuqpvq,
n)cpsnq, fq, vcpscsq, fq, nc, eqqtfqppëq, fw, rqupv, r, etcpsqtc, uu, tqdqv, u)ënquspq, fq, uqp,
qornceqoqpv,upuvucn,nq,nqps,„<,c„qŅěŇ0,

II.3.Inclinaison et déplacement linéaire
`qwv,f”cdqtf., wp,oqfênq,rqwt, nc,f…pcouswq,f”upenupcuuqp, qv, fq,fërnceqoqpv, nupëcutq,
quv, ouu, cw, rqupv, qp, rcuucpv, n”t…rqvtêuq, swq, nq, tqdqv, uq, fërnceq, qp, nuspq, ftquvq0, Qp, vqpcpv,
eqorvq,fq,nc,u…oëvtuq,fw,tqdqv,rct,tcrrqtv,â,n”c„q,xqtvuecn.,un,quv,rquuudnq,fq,pq,eqpuufëtqt,swq,
nc, oquvuë,fw,tqdqv,cxqe,wp,uqwn,oqvqwt., qp,pqvcpv,swq,fqu,eqwrnqu,fq,xcnqwtu,ëscnqu,fquxqpv,
ìvtq, crrnuswëu, rct, etcewp, fqu, fqw„, oqvqwtu, crup, fq, rtqxqswqt, wp, fërnceqoqpv, rwtqoqpv,
nupëcutq,fw,tqdqv0,Rct,eqpuëswqpv.,nc,oìoq,vqpuuqp,fquv,ìvtq,rqwtpuq,cw„,fqw„,oqvqwtu,qv,eqvvq,
vqpuuqp,

*v+,uqtc,eqpuufëtëq,eqooq,n”qpvtëq,fq,eq,uqwu/u…uvêoq0,Qp,uq,tërëtcpv,cw„,xctucdnqu,

qv,rctcoêvtqu,fërupuu,fcpu,nc,nuuvq,fqu,pqvcvuqpu,qv,fqu,u…odqnqu.,qp,rqwv,rcutq,nqu,qduqtxcvuqpu,
uwuxcpvqu,<,
˜,nc, ocuuq,fq,nc, oquvuë,fw,tqdqv,O,eqpuuuvq,qp,nc,uqooq,fq,nc, oquvuë,fq, nc,ocuuq,fw,

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eqtru,

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˜, nc, eqpuvcpvq, fq, eqwrnq,

, qv, nc, eqpuvcpvq, fq, nc, rqteq, ënqevtqoqvtueq,

, uqpv,

ëswuxcnqpvqu,fcpu,nq,u…uvêoq,f”wpuvëu,upvqtpcvuqpcn,
˜,nc,rquuvuqp,nupëcutq,fw,tqdqv,„*v+,rqwv,ìvtq,qdvqpwq,â,rctvut,fw,fërnceqoqpv,cpswncutq,
f”wpq,tqwq, *v+,qv,nq,tc…qp,f”wpq,tqwq,

ძႛყႜ

,fq,eqvvq,rcéqp,<,

ႛ ႜႛႼႼႡ Ⴄႜ,

ႜ, quv, tqnuë, cw, fërnceqoqpv,

ႜ,rct,nq,rcevqwt,fq,tëfwevuqp,

˜, nq, fërnceqoqpv, cpswncutq, fq, n”ctdtq, fw, oqvqwt,
cpswncutq,fq,n”ctdtq,fq,nc,dqðvq,fq,tëfwevuqp,
tëfwevuqp,fq,nc,rcéqp,uwuxcpvq,<,
ႜႰ

˜, nq, fërnceqoqpv, cpswncutq, fq, n”ctdtq, fq, nc, dqðvq, fq, tëfwevuqp,
fërnceqoqpv,cpswncutq,fq,nc,tqwq, *v+,qv,fq,n”upenupcuuqp,fw,tqdqv,, *v+,<,
ႜ Ⴐ ႛყႜ ႞

,fq,nc,dqðvq,fq,

ႛႼႼႡ Ⴅႜ,

ႜ, quv,eqpuvuvwë, fw,

ႛႼႼႡ Ⴆႜ,

˜, nc, rqteq, fq, rtuevuqp, R*v+, qpvtq, nc, tqwq, qv, nq, uqn, quv, tqurqpucdnq, f”qpsqpftqt, wpq,
ceeënëtcvuqp,nupëcutq,fw,tqdqv,<,

,

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ႛႼႼႡ Ⴇႜ,

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RKS,ႼႼ0>,Kpenupcuuqp,qv,fërnceqoqpv,nupëcutq,fw,tqdqv,

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II.3.1.Modèle linéaire d’un moteur à courant continu :
Nq,tqdqv,quv,cnuoqpvë,rct,fqw„,oqvqwtu,Rcwntcdqt,PO0,Pcpu,eqvvq,uqevuqp.,nq,oqfênq,
qurceq, f)ëvcv, fw, oqvqwt, â, eqwtcpv, eqpvupw, quv, fëtuxëq0, Oq, oqfênq, quv, qpuwuvq, wvunuuë, fcpu, nq,
oqfênq, f…pcouswq, fw, Tqdqv, rqwt, rqwtput, wp, ëswunudtq, qpvtq, wpq, tqncvuqp, qpvtq, nc, vqpuuqp,
f)qpvtëq,cw„,oqvqwtu,qv,nq,eqwrnq,fq,eqoocpfq,pëequucutq,rqwt,ëswunudtqt,nq,tqdqvŅĜŇ0,
,

RusႼႼ0?,Pucstcooq,fq,oqvqwt,c,ee,
Nq,eqwrnq,sëpëtë,rct,wp,oqvqwt,quv,rtqrqtvuqppqn,â,uqp,eqwtcpv,<,

ႛႼႼႡ Ⴈႜ,

Qp, rcuucpv, n”t…rqvtêuq, swq, n”upfwevcpeq, fw, oqvqwt, quv, pësnusqcdnq., un, quv, rquuudnq,
f”q„rtuoqt,nq,eqwtcpv,qp,rqpevuqp,fq,nc,vqpuuqp,f”qpvtëq,qv,nc,rqteq,ënqevtqoqvtueq,qp,wvunuucpv,
nc,

ႛ ႜႰ

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nqu,

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ႛႼႼႡ Ⴉႜ,

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Qp,rqwv,ocupvqpcpv,ëvcdnut,nc,tqncvuqp,qpvtq,nq,eqwrnq,sëpëtë,rct,nq,oqvqwt,qv,nc,vqpuuqp,
crrnuswëq,â,uqp,qpvtëq,qp,eqodupcpv,nqu,ëswcvuqpu,*ႼႼ0A+,qv,*ႼႼ08+,fq,eqvvq,rcéqp,<,
ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛႼႼႡ Ⴊႜ,

II.3.2.Couple appliqué à une roue :

Nc,tqncvuqp,q„rtuocpv,nq,eqwrnq,crrnuswë,â,wpq,tqwq,rct,wp,oqvqwt,â,vtcxqtu,nc,dqðvq,fq,
tëfwevuqp

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Qp,tqorncécpv,

+,rct,nc,tqncvuqp,vtqwxëq,qp,*ႼႼ09+.,qp,qdvuqpv,nc,tqncvuqp,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜႰ

ႛ ႜ

ႜ, qv,

Qp, wvunuucpv, nc, tqncvuqp, qpvtq,

q„rtuoqt,n”ëswcvuqp,rtëeëfqpvq,qp,rqpevuqp,fq,
ႛ ႜႰ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႜ, fqppëq, rct, n”ëswcvuqp, *KK0>+., qp, rqwv,

ႜ,fq,eqvvq,rcéqp,<,
ႛ ႜ

Rwuu.,qp,eqpuufëtcpv,nc,fëtuxëq,fq,n”ëswcvuqp,*ႼႼ0?+,rct,tcrrqtv,cw,vqoru.,qp,qdvuqpv,<,

ႛ ႜႰ

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ႛ ႜ,
ႛ ႜ.,fq,nc,xuvquuq,fq,

Rupcnqoqpv., â, rctvut, fq, n”ëswcvuqp, *ႼႼ0=+., qp, qdvuqpv, nc, tqncvuqp, fqppcpv, nq, eqwrnq,

fërnceqoqpv, nupëcutq, fw, tqdqv, ႛ ႜ, qv ,fq ,nc ,fëtuxëq ,rct ,tcrrqtv ,cw ,vqoru ,fq ,uqp ,cpsnq ,
crrnuswë,â,wpq,tqwq,`*v+,qp,rqpevuqp,fq,nc,vqpuuqp,â,n”qpvtëq,f”wp,oqvqwt

f”upenupcuuqp ႛ ႜ,<,
ႛ ႜႰ

ႛ ႜ

II.3.3.Dynamique d’inclinaison :

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛႼႼႡ Ⴋႜ,

Qp,uq,tëtëtcpv,â,nc,Rus,KK0@,qv,qp,pqvcpv,swq,nq,eqwrnq,crrnuswë,â,wpq,tqwq,quv,ëscnqoqpv,
crrnuswë,â,nc,oquvuë,fw,eqtru,fw,tqdqv.,qp,rqwv,rcutq,nq,duncp,fqu,eqwrnqu,csuuucpv,uwt,nc,oquvuë,
fw,eqtru,fw,tqdqv,eqooq,uwuv,<,

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Qp,tqorncécpv,`*v+,rct,nc,tqncvuqp,vtqwxëq,qp,*KK0:+.,qp,qdvuqpv,nc,tqncvuqp,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜ

ღნს

ႛ ႜ ႞

Oq,swu,fqppq,â,uqp,vqwt,<,

ႛ ႜႰ

ღნს

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Rct, eqpvtq., eqvvq, ëswcvuqp,eqpvuqpv, nq,vqtoq, pqp, nupëcutq ღნს

ႛ ႜ

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ႛ ႜ႞

ႜႜ, qv, pqwu, fqxqpu, nc,

ႜ, rqwv, ìvtq, eqpuufëtë,

nupëctuuqt, crup, fq, rqwxqut, wvunuuqt, nc, vtëqtuq, fq, nc, eqoocpfq, fqu, u…uvêoqu, nupëcutqu0, Qp,
ႜႜ

ႜ,.,eq,swu,uornuswq,â,uqp,vqwt,swq,<,

eqpuufëtcpv, n”t…rqvtêuq, swq, nq, tqdqv, tquvq, cwvqwt, fq, nc, xqtvuecnq.
eqooq,ëvcpv,rqvuv.,qv,qp,qdvuqpv,ღნს
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II.3.4.Dynamique des roues et du déplacement linéaire :
Qp,uq,tërëtcpv,â,nc,Rus,KK0A,qp,qrrqevwq,nq,duncp,fqu,eqwrnqu,crrnuswëu,â,n”wpq,fqu,tqwqu,
eqooq,uwuv,<,

,

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ႛ ႜ

RusႼႼႡ Ⴈ,Pucstcooq,fq,eqtru,nudtq,f”wpq,tqwq,

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛႼႼႡ ႤႣႜ,

Nc, rqteq, crrnuswëq, cw, uqn, rct, wpq, tqwq, R*v+., rqwv, ìvtq, tqornceëq, rct, wpq, tqncvuqp,
ëswuxcnqpvq,uqnqp,n”ëswcvuqp,*ႼႼ0A+,<,
ႛ ႜ

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ႛ ႜ,

Qp,tqorncécpv,`*v+,rct,nc,tqncvuqp,vtqwxëq,qp,*ႼႼ0:+.,qp,qdvuqpv,nc,tqncvuqp,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜႰ

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Oqvvq,ëswcvuqp,rqwv,u”ëetutq,uqwu,nc,rqtoq,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜႰ

Oq,swu,fqppq,â,uqp,vqwt,<,

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ႜა ,qv,nq,xqevqwt,fq,uqtvuq,,

ႜა , . ,â ,rctvut ,fqu ,ëswcvuqpu ,*ႼႼ0;+ ,qv ,*ႼႼ0==+., qp, qdvuqpv, nq, oqfênq, f”ëvcv,

Qp,fërupuuucpv,nq,xqevqwt,f”ëvcv,,

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II.3.5.Modèle d’état de la dynamique linéaire,

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Qp,vqpcpv,eqorvq,fqu,xcnqwtu,fqu,rctcoêvtqu,fw,u…uvêoq.,pqwu,qdvqpqpu,nqu,ocvtuequ,
pqoupcnqu,uwuxcpvqu,<,

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Pqwu , ,u…uvêoq ,rquuêfq ,wpq ,qpvtëq ,qv ,fqw„ ,uqtvuq ,eq ,rqwt ,éc ,qp ,xc ,vtqwxqt ,fqw„ ,
rqpevuqp, fq, vtcpurqtv0, N”crrnuecvuqp, fq, nc, vtcpurqtoëq, fq, Nc, rnceq, c, nc, tqrtëuqpvcvuqp, f”ëvcv,
Ⴚႛღႜ

ႶႛღႼ

P”qû,n”q„rtquuuqp,fq,nc,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,<,

Qp,vtqwxq,<

Mxqe,

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Ⴔ ႞ ႵႶႜ
,
ႛღႼ
Ⴔႜ
,

ႜ,e”quv, nc, rqpevuqp,fq,vtcpurqtv, fq,nc,uqtvuq, ,uwt,n”qpvtq,w,qv,

rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,fq,nc,uqtvuq,„,uwt,n”qpvtq,w,0,

ႜ,e”quv, nc,

Qp,tëcnuvë., nqu, xcnqwtu,fqu,rctcoêvtqu, pq,rqwxqpv, ìvtq,eqppwu,cxqe, q„cevuvwfq0, Mwuuu.,
eqnnqu/eu ,rqwxqpv ,xctuqt ,fcpu ,nq ,vqoru ,â ,ecwuq ,fq ,eqtvcupu ,rtëpqoêpqu ,vqnu ,swq ,n”wuwtq ,fqu ,
eqorqucpvqu, qv, nc, fëetctsq, fqu, dcvvqtuqu0, Pq, rnwu., nq, oqfênq, c, ëvë, ëvcdnu, uqwu, eqtvcupqu,
t…rqvtêuqu.,qp,pësnusqcpv,eqtvcupu,rtëpqoêpqu,qv,c,ëvë,crrtq„uoë,nupëcutqoqpv,â,wp,rqupv,fq,
rqpevuqppqoqpv0,Rqwt,vqwvqu,equ,tcuuqpu., nq, oqfênq, eqpvuqpv, fqu,upeqtvuvwfqu,qv, nq,eqpvtönqwt,
eqpéw,â,nc,uqevuqp,@0>,fqxtc,ìvtq,qp,oquwtq,fq,uvcdunuuqt,nq,u…uvêoq,ocnstë,nqwt,rtëuqpeqŅěĞŇ0,

II.4.Angle de direction :
Nq, oqfênq, tqrtëuqpvcpv, nc, f…pcouswq, fq, n”cpsnq, fq, futqevuqp, fw, tqdqv, quv, ëvcdnu, qp,
rtqpcpv, qp, eqpuufëtcvuqp, nq, rcuv, swq, fqu, eqwrnqu, ëscw„, ocuu, qrrquëu,fquxqpv, ìvtq, crrnuswëu,
rct, nqu,fqw„, oqvqwtu, fq, ocpuêtq, â, qpsqpftqt, wp, oqwxqoqpv, fq, tqvcvuqp,rwtq, cw, tqdqv, ucpu,

Ċ

to


II.3.6. Fonction de transfert de la dynamique linéaire :

fqppq,rqwt,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,S*u+,<,

he
re

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ႤႧႪႡႥႬႦႤ
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Chapitre II

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A B B Y Y.c

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crrqevqt, uqp, upenupcuuqp, qv, uc, rquuvuqp, nupëcutq0, Rct, eqpuëswqpv., fqu, vqpuuqpu, ëscnqu, ocuu,
qrrquëqu,fquxqpv,ìvtq,crrnuswëqu,cw„,fqw„,oqvqwtu,qv,n”cornuvwfq,fq,equ,vqpuuqpu,

,
RusႼႼ08,Përnceqoqpvu,fqu,tqwqu,nqtu,f”wp,etcpsqoqpv,fq,futqevuqp,
,*v+,,quv,eqpuufëtëq,eqooq,ëvcpv,n”qpvtëq,fq,eq,uqwu/u…uvêoq0,Keu.,n”t…rqvtêuq,swq,nqtqdqv,uq,
vtqwxq,fcpu,nq,xquuupcsq,fq,nc,rquuvuqp,xqtvuecnq,qv, swq,rct,eqpuëswqpv,uqp,oqoqpv,f”upqtvuq,
cwvqwt,fq,n”c„q,xqtvuecn,rqwv, ìvtq,eqpuufëtë,eqooq,wpq,eqpuvcpvq.,quv,rtuuq,qp,eqpuufëtcvuqp0,
Qp, uq, tërëtcpv, cw„, xctucdnqu, qv, cw„, rctcoêvtqu, fërupuu, fcpu, nc, nuuvq, fqu, pqvcvuqpu, qv, fqu,
u…odqnqu., qp, fëdwvq, rct, qduqtxqt, nq, fërnceqoqpv, fqu, tqwqu, rtqfwuv, rct, wp, etcpsqoqpv,
f”cpsnq,fq,futqevuqp0,Qp,uq,tërëtcpv,â,nc,Rus,KK08,qp,rqwv,xqut,swq,nqu,fuuvcpequ,rct,eqwtwqu,rct,
futqevuqp ႛ ႜ,fq,nc,rcéqp,uwuxcpvq,<
nqu, fqw„, tqwqu, , *v+, qv,

, *v+ ,nqtuswq ,nq ,tqdqv ,vqwtpq ,uwt ,nwu/oìoquqpv ,tqnuëqu ,â ,n”cpsnq ,fq ,
ႛ ႜ ,
Ⴅ

ႛ ႜ ,
Ⴅ

Â,rctvut,fq,equ,fqw„,ëswcvuqpu.,qp,rqwv,q„rtuoqt,n”cpsnq,fq,futqevuqp,qp,rqpevuqp,fqu,
fërnceqoqpvu,fqu,tqwqu,fq,nc,rcéqp,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜႰ

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Chapitre II

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Nqu, fërnceqoqpvu, fqu, tqwqu, uqpv, tqnuëu, â, nqwtu, fërnceqoqpvu, cpswncutqu, rct, nqu,
ႛႼႼႡ ႤႧႜ,

uwuxcpvqu,

<,

ႛႼႼႡ ႤႨႜ,

Â, rctvut, fq, nc, fërupuvuqp, fqu, vqpuuqpu, crrnuswëqu, cw„, oqvqwtu, rtqfwuucpv, wp,
oqwxqoqpv, fq, etcpsqoqpv, fq, futqevuqp, uvurwncpv, swq, eqnnqu/eu, fquxqpv, ìvtq, ëscnqu, ocuu,
ႛ ႜ.,nc,vqpuuqp,crrnuswëq,cw,oqvqwt,ftquv,

ႛ ႜ,qv,n”qpvtëq,

ႜ,fw,uqwu/u…uvêoq,swu,tësuv,

qrrquëqu., qp, rqwv, ëvcdnut, nc, tqncvuqp, uwuxcpvq, qpvtq, nc, vqpuuqp, crrnuswëq, cw, oqvqwt, scwetq,
nc,

ႛ ႜ

f…pcouswq,

f”cpsnq,

ႛ ႜ

ႜ,

fq,

futqevuqp,

<,

Nc,furrëtqpeq,qpvtq,nqu,vqpuuqpu,crrnuswëqu,cw„,oqvqwtu,rqwv,ìvtq,q„rtuoëq,fq,nc,rcéqp,
ႛ ႜ

uwuxcpvq,

ႛ ႜႰႥ

ႛႼႼႡ ႤႩႜ,

<,

Â,rctvut,fq,n”ëswcvuqp,*?0=<+.,qp,rqwv,q„rtuoqt,nc,rqteq,R*v+,crrnuswëq,rct,wpq,tqwq,uwt,
nq,uqn,rct,nc,tqncvuqp,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜႰ

ႛ ႜ

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ႛ ႜ

ႛ ႜ
,

Qpuwuvq.,â,n”cufq,fq,n”ëswcvuqp,*ႼႼ0:+.,qp,rqwv,q„rtuoqt,eqvvq,fqtpuêtq,ëswcvuqp,eqooq,
uwuv,<,
ႛ ႜႰ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛ ႜ,

Qp,rqwv, ocupvqpcpv, q„rtuoqt, nqu, rqtequ, crrnuswëqu, cw, uqn,rct, etcewpq, fqu, tqwqu, rct,
nqu

ႛ ႜႰ
,

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,ëswcvuqpu

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Chapitre II

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w

w.

A B B Y Y.c

Qp ,uq ,tërëtcpv ,â ,nc ,Rus0 ,ႼႼ09., qp, qrrqevwq, nq, duncp, fqu, eqwrnqu, csuuucpv, uwt, nq, tqdqv,
cwvqwt,fq,n”c„q,xqtvuecn,<,

,

RusႼႼႡ Ⴊ,Pucstcooq,fq,eqtru,nudtq,fq,nc,f…pcouswq,f”cpsnq,fq,futqevuqp,
ႛ ႜႰ჎ ႛ ႜ

ႛ ႜა ,
Ⴅ

Qp,tqorncécpv, ႛ ႜ,qv ႛ ႜ,rct,nqu,q„rtquuuqpu,vtqwxëqu,qp,*ႼႼ0=9+,qv,*ႼႼ0=:+.,qp,ëvcdnuv,

nc,tqncvuqp,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜႰ

჎

ႛ ႜ

ႛ ႜა,

ႛ ႜ,

ႛ ႜა

ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

Â,rctvut,fq,n”ëswcvuqp,*ႼႼ0=8+.,qp,rqwv,q„rtuoqt,eqvvq,fqtpuêtq,ëswcvuqp,qp,rqpevuqp,fq,
n”qpvtëq,

ႛ ႜႰ

Ċ

ႛ ႜ

fq

,nc

ĜĠ

,ocpuêtq

ႛ ႜ

ႛ ႜ

,uwuxcpvq
ႛ ႜ

ႛ ႜა,

3
3
3
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3.0
3

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,<

,

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w

Ċ

Qp,eqpuufëtcpv,nc,fëtuxëq,rct,tcrrqtv,cw,vqoru,fq,n”ëswcvuqp,*ႼႼ0=?+.,qp,rqwv,q„rtuoqt,
n”ëswcvuqp, rtëeëfqpvq, qp, vqtoq, fq, nc, xuvquuq, fq, etcpsqoqpv, fq, futqevuqp, *v+, eqooq, uwuv, <,
ႛ ႜ

ႛ ႜა,

ႛ ႜ

ႛ ႜ, rqwxqpv, rtqouêtqoqpv, ìvtq,

Nqu, ceeënëtcvuqpu, cpswncutqu, fqu, tqwqu ႛ ႜ

q„rtuoëqu, qp, rqpevuqp, fqu, ceeënëtcvuqpu, fqu, tqwqu, qp, eqpuufëtcpv, nc, fëtuxëq, uqeqpfq, rct,
tcrrqtv,

,

cw,

vqoru,

ႛ ႜႰ

fqu,

ëswcvuqpu,

*ႼႼ0=@+,

ႛ ႜ

ႛ ႜ

qv,

*ႼႼ0=A+,

fq,

ႛ ႜ

eqvvq,

rcéqp,

ႛ ႜა,

<,

ႛ ႜ,rqwxqpv, ìvtq, q„rtuoëqu,â, nqwt, vqwt, qp,

vqtoq,fq,n”ceeënëtcvuqp,fw,etcpsqoqpv,fq,futqevuqp ႛ ႜ,qp,eqpuufëtcpv,nc,fëtuxëq,uqeqpfq,rct,
Rwuu., equ,ceeënëtcvuqpu,fqu,tqwqu,

tcrrqtv,

cw,

vqoru,

ႛ ႜႰ

fq,

n”ëswcvuqp,
ႛ ႜ

*ႼႼ0=?+,

fq,

nc,

rcéqp,

ႛ ႜ,

uwuxcpvq,

<,

Oq,swu,fqppq,<,

Rupcnqoqpv.,

ႛ ႜႰ

ႛ ႜ

ႛ ႜႰ

႞

ႛ ႜ

ႜ

ႛႥ

qp,

ႛ

II.4.1.Modèle d’état de la dynamique de direction

ႜႰ჎ ႛ ႜ

,

ႜ

qdvuqpv,

ႜა qv, nq, xqevqwt, fq, uqtvuq,

ႛ ႜ,.,â,rctvut,fq,n”ëswcvuqp,*ႼႼ0=;+.,qp,qdvuqpv,nq,oqfênq,f”ëvcv,uwuxcpv,<,
Qp, fërupuuucpv, nq, xqevqwt, f”ëvcv
ႛ ႜ

Qw,<,,,,,,,,

Ċ

bu
y

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Y


ႛ ႜႰ

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ႜ

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ႛႼႼႡ ႥႣႜ,

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Chapitre II

C
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3
3
3
3.0
3

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0
0
0
0
3.0

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ႛႼႼႡ ႤႬႜ,

ႛ ႜႰ

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

?

,=

Mxqe,<,

?჎Ⴄ

w

ႜ

Ⴐ

,=

ႜ

,=,,

Qp,vqpcpv,eqorvq,fqu,xcnqwtu,fqu,rctcoêvtqu,fw,u…uvêoq.,pqwu,qdvqpqpu,nqu,ocvtuequ,
uwuxcpvqu,<,
?
,
?
,

Ⴃ

Ⴄ
,=,
ႥႡႧႦႩ

Ⴃ
,=
ႥႡႬႦႫႫ

?჎Ⴄ

Ⴃა,

Nc,f…pcouswq,fw,tqdqv,ëswunudtuuvq,quv,cnqtu,fëetuvq,rct,*ႼႼ0=>+,qv,*ႼႼ0><+0,Oqu,oqfênqu,
uqtqpv,wvunuuëu,rqwt,nc,eqpeqrvuqp,f”cnsqtuvtoqu,fq,eqoocpfq,rct,tqvqwt,f”ëvcv,qp,wvunuucpv,nc,
oëvtqfq,fq,rnceqoqpv,fq,rönq0,

II.4.2.fonction de transfert de la dynamique de direction :,
Pqwu,,u…uvêoq,rquuêfq,sw”wpq,qpvtëq,qv,sw”wpq,uqtvuq0,N”crrnuecvuqp,fq,nc,vtcpurqtoëq,
fq,Ncrnceq,c,nc,tqrtëuqpvcvuqp,f”ëvcv,fqppq,rqwt,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,S*u+,<,
Ⴚႛღႜ

ႶႛღႼ

P”qû,n”q„rtquuuqp,fq,nc,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,<,

Qp,vtqwxq,<
,

ႛ ႜႰ

Ⴚႛღႜ

ႜ
ႛ ႜ

Ⴐ

ႛღႼ

Ⴔႜ

,

Ⴔ ႞ ႵႶႜ
,
ႛღႼ
Ⴔႜ

,

II.5 Le système en boucle ouvert :

Ċ

to


Ⴃა,

Ⴐ

he
re

Ⴃ

bu
y

ABB
Y

Ċ

ĜĢ

F T ra n sf o
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k

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Chapitre II

C
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A B B Y Y.c

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3
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3

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w
w
w
w
w
w

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w

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0
0
0
0
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w

Ċ

,,

bu
y

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w.

A B B Y Y.c

Oqu,u…uvêoqu,fcpu,nquswqnu,nc,uqtvuq,p)c,cwewp,qrrqv,uwt,n)cevuqp,fq,eqpvtönq,uqpv,crrqnëu,

u…uvêoqu, fq, eqpvtönq, qp, dqwenq, qwxqtvq, ]=9_0, Nc, ruswtq, *Rus, KK0:+, unnwuvtq, nq, uetëoc, dnqe, fq,
dqwenq,qwxqtvq,fw,u…uvêoq0,

,
Rus,KK0:,_etëoc,fq,rtupeurq,fw,u…uvêoq,qp,dqwenq,qwxqtvq,
apq,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,fq,u…uvêoq,quv,wpq,tqncvuqp,ocvtëocvuswq,qpvtq,n)qpvtëq,qv,fq,
uqtvuq,f)wp,u…uvêoq,nupëcutq0,Oqvvq,rqpevuqp,rqwv,ìvtq,qduqtxëq,qp,rtqpcpv, nqu,vtcpurqtoëqu,fq,
Ncrnceq, fqu, ëswcvuqpu, furrëtqpvuqnnqu, fw, u…uvêoq0, Pcpu, eq, rtqvqv, fq, OM`NMN, c, ëvë, wvunuuë,
rqwt, sëpëtqt, fqu, rqpevuqpu, fq, vtcpurqtv, fq, tqdqv, uwt, fqw„, tqwqu, f)ëswunudtcsq0,
Kn, …c, fqw„,rtqwxqu, swu, oqpvtqpv, nq, tqdqv, â,fqw„, tqwqu, f)ëswunudtcsq, quv, wp, u…uvêoq, upuvcdnq,
f…pcouswq0,Oqu,rtqwxqu,uqpv,nqu,uwuxcpvqu<,
II.5.1Response echlon en boucle ouverte,
,,

Nqu,Ruswtqu, ,*Rus,KK0;+.*Rus,KK0=<+,qv,*Rus,KK0==+,unnwuvtq,nc,tërqpuq,uvqr,qp,dqwenq,qwxqtvq,

fq,fërnceqoqpv,*„+.n”cpsnq,fq,n”upenupcuuqp,qv,nc,futqevuqp0,

23

2.5

Step Response

x 10

2

1.5
Amplitude

om

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre II

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (seconds)

Rus,KK0;,Nc,tërqpuq,ëetqnqp,qp,dqwenq,qwxqtvq,fq,n”cpsnq,თი ჟࠑნსზჟნსენღტს,
Ċ

Ĝģ

3
3
3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w
w
w

w

w

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e

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0
0
0
0
0
3.0

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Y

,

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to

bu
y

ABB
Y


w

Ċ
25

2

w.

A B B Y Y.c

Step Response

x 10

0

-2

Amplitude

-4

-6

-8

-10

-12

-14

0

1

2

3

4

5

6

Time (seconds)

,
Rus,KK0=<,Nc,tërqpuq,ëetqnqp,qp,dqwenq,qwxqtvq,fw,fërnceqoqpv,

4

2.5

Step Response

x 10

2

1.5
Amplitude

om

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre II

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

Time (seconds)

2.5

3
4

x 10

,

Rus,KK0==,Nc,tërqpuq,ëetqnqp,qp,dqwenq,qwxqtvq,fq,nc,futqevuqp0,
Nc, tërqpuq, ëetqnqp, qp, dqwenq, qwxqtvq, f)wp, tqdqv, f)ëswunudtcsq, c, ëvë, rtqwxë, eq, swu,
oqpvtq,swq,nq,u…uvêoq,qp,dqwenq,qwxqtvq,quv,wp,u…uvêoq,upuvcdnq0,Rqwt,cuuwtqt,nc,uvcdunuvë,fq,
pqvtq,tqdqv,qp,xc,upvtqfwutq,fqu,tëswncvqwtu,e”quv,nq,ecu,fw,etcruvtq,vtquu,

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Chapitre III : la
Commande d’un robot
pendule inverse
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La commande d’un robot pendule inverse

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Chapitre III

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Pcpu, eq, etcruvtq., pqwu, cnnqpu, ëvwfuqt, nc, eqpeqrvuqp, fq, tëswncvqwtu, rqwt, nqu, u…uvêoqu,
fqppëu,rct,fqu,ëswcvuqpu,f”ëvcv,nupëcutqu0,Pqwu,oqpvtqtqpu,fcpu,nq,etcruvtq,uwuxcpv,sw”cwvqwt,
fq, rqupvu, duqp, rctvuewnuqtu, fq, n”qurceq, f”ëvcv., fuv, rqupvu, fq, rqpevuqppqoqpv, ., fq, pqodtqw„,
u…uvêoqu,pqp,nupëcutqu,uq,eqorqtvqpv,eqooq,fq,xëtuvcdnqu,u…uvêoqu,nupëcutqu0,Nqu,vqetpuswqu,
fëxqnqrrëqu, fcpu, eq, etcruvtq, uqtqpv, cnqtu, wvunuuëqu, rqwt, nc, eqoocpfq, fq, u…uvêoqu, pqp,
nupëcutqu0,Oqpuufëtqpu,fqpe,nq,u…uvêoq,nupëcutq,uwuxcpv,
ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

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ႜ

,

Pqvqpu,o.,p.,r,nqu,fuoqpuuqpu,tqurqevuxqu,fqu,xqevqwtu,w.,„,qv,…0,Tcrrqnqpu,swq,M,quv,
crrqnëq,ocvtueq,f”ëxqnwvuqp.,N,quv,nc,ocvtueq,fq,eqoocpfq,qv,O,quv,nc,ocvtueq,f”qduqtxcvuqp0,
N”qdvqevur,f”wpq,tëswncvuqp,qw,f”wp,cuuqtxuuuqoqpv,quv,f”cuuwtqt,nq,rqpevuqppqoqpv,f”wp,

rtqeëfë, uqnqp, fqu, etuvêtqu, rtëfërupuu, rct, wp, ectuqt, fqu, etctsqu, ocnstë, nqu, rqtvwtdcvuqpu,
csuuucpv, uwt, eq, u…uvêoq, cuuqtxu., nq, ectuqt, fqu, etctsqu, swu, quv, vtcfwuv, nq, rnwu,uqwxqpv, qp,
eqpuuspq,fërupuv,fqu,etuvêtqu,swcnuvcvuru,â,uorquqt,eqooq,nc,uvcdunuvë., nc,rtëeuuuqp.,nc,tcrufuvë.,
nc,dqpfq,rcuucpvq‡0qve0,

III.2.Commandabilité et observabilité :
Oqornqv,fq,eqpeqrvuqp,tqvqwt,f)ëvcv,tqrquq,uwt,nc,vqetpuswq,eqwtcooqpv,rnceqoqpv,fq,
rönqu0,un,ëvcuv,pëequucutq,fq,pqvqt,swq,nq,u…uvêoq,f…pcouswq,quv,eqornêvqoqpv,eqpvtöncdnq,qv,
qduqtxcdnq0,nqu,ocvtuequ,qduqtxëqu,n)qurceq,f)ëvcv,fcpu,nc,uqevuqp,?,qpv,ëvë,wvunuuëu,rqwt,xëturuqt,
nc,eqpvtöncdunuvë,qv,n)qduqtxcdunuvë,fw,u…uvêoqŅĞŇ0,
ap,u…uvêoq,quv,eqornêvqoqpv,eqpvtöncdnq,uu,nc,ocvtueq,Oo,quv,fq,tcps,p0,qû,p,quv,nq,pqodtq,
fq,xctucdnqu,f)ëvcv0

Ⴐ჎

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ࠄࠄࠄ

Qv,rwuuswq,qp,c,fqw„,u…uvêoqu,=,nq,rtqouqt,fq,swcvtuêoq,qtftq,*p?@+,qv,nq,fqw„uqoq,fq,
fqw„uêoq,qtftq,*p?>+.,qp,rqwv,tëëetutq,*KK0A=+,fêu,nqu,rcéqpu,uwuxcpvq,<,

III.2.1. la commandabilite de l’inclinaison et déplacement linéaire *p?@+,
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III.1. Introduction :

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Chapitre III

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Mrrnuecvuqp,pwoqtuswq,<,
Rnwu,fq,fëvcunu,uwt, nc,sëpëtcvuqp,fq, nc, ocvtueq,fq, tcps,Oo,qv,Oo,fq, nc, ocvtueq,c,ëvë,
qduqtxë,qv, un,quv,ëscn,cw,pqodtq,fq,xctucdnqu,f)ëvcv0,Rct,eqpuëswqpv., nq,u…uvêoq,f)ëswunudtcsq,
f…pcouswq,fw,tqdqv,quv,eqornêvqoqpv,eqpvtöncdnq0,
Tcpw*

+?@0,

III.2.2. la commandabilite de l’ongle de direction : (p?>+,

Tcpw*

Ⴐ჎

ა,

+?>0,

,
ap ,u…uvêoq ,quv ,eqornêvqoqpv ,qduqtxcdnq ,uu ,Qo ,ocvtueq ,quv ,fq ,tcps ,p0 ,Qû ,p ,quv ,nq ,
pqodtq,fq,xctucdnqu,f)ëvcv0,

ࠄࠄࠄ

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ა,

III.2.3. l’observabilite de l’inclinaison et déplacement linéaire : *p?@+,
ႜ

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Tcpw*

+?@0,

III.2.4. l’observabilite de l’ongle de direction : (p?>+,

Tcpw*

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Rnwu, fq, fëvcunu, uwt, nc, sëpëtcvuqp,fq, nc, Qo, c, ëvë, qduqtxë, qv, un,quv, ëscn, cw, pqodtq, fq,
xctucdnqu, f)ëvcv0, Rct, eqpuëswqpv., nq, u…uvêoq, f)ëswunudtcsq, f…pcouswq, fw, tqdqv, quv,
eqornêvqoqpv,qduqtxcdnq0

II.3. Commande système on boucle ferme :
Nc, ruswtq, *Rus, KKK0=+, unnwuvtq, uetëoc, sëpëtcn, fw, u…uvêoq, qp, dqwenq, rqtoëq0, oquwtqu,
f)upenupcuuqp,qv,fw,s…tqueqrq,qpv,ëvë,wvunuuëu,eqooq,fqu,tëvtqcevuqpu,fw,eqpvtönqwt0,
,

,
Rus,KKK0=,uetëoc,fq,eqoocpfq,u…uvêoq,qp,dqwenq,rqtoq,

III.3.1. La commande classique (PID):,
Nqu,tëswncvqwtu,RKP,tërqpfqpv,â,rnwu,fw,;<',fqu,dququpu,upfwuvtuqnu,qv,nq,pqodtq,fq,
tëswncvqwtu,upuvcnnëu,fcpu,wpq,wuupq,rëvtqnuêtq.,rct,q„qornq.,uq,eqorvq,rct,ounnuqtu0,Rctou,nqu,
uppqodtcdnqu,oëvtqfqu,fq,tësncsq,RKP.,eqvvq,uqevuqp,q„rquq,nc,rnwu,wvunuuëq,fcpu,nq,eqpvtönq,
fqu,rtqeëfëu,upfwuvtuqnu0,Nc,oëvtqfq,wpuxqtuqnnq,fq,tësncsq,p”q„uuvq,rcu.,qv,un,quv,uorqtvcpv,fq,
eqortqpftq,swq,e”quv, nc,eqppcuuucpeq,eqorqtvqoqpvcnq,fw,rtqeëfë,,swu,upfwuv, nc, oëvtqfq,â,
crrnuswqt,rqwt,qdvqput,nqu,rctcoêvtqu,RKP,f”wp,tësncsq,ucvuurcuucpv0,
III.3.1.1. Actions du régulateurs PID :
Kn, q„uuvq, vtquu, cevuqpu, eqttqevuxqu, ënëoqpvcutqu, swu, rqtoqvvqpv., upfuxufwqnnqoqpv., fq,
eqttusqt,vqnnq,qw,vqnnq,rqtrqtocpeq0,Qnnqu,uqpv,tqncvuxqoqpv,uuornqu,â,tëcnuuqt,ocuu.,qp,sëpëtcn.,
fëstcfqpv,f”cwvtqu,rqtrqtocpequ0,

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Qnnqu, uqpv, wvunuucdnqu, nqtuswq, nq, ectuqt, fqu, etctsqu, quv, rqw, q„usqcpv0, Pcpu, nq, ecu,
eqpvtcutq., un, rcwv, qpxuucsqt, fq, eqodupqt, equ, furrëtqpvqu, cevuqpu, cw, uqup, f”wp, eqttqevqwt, rnwu,
eqornq„qŅğŇ0,
III.3.1.1.1. L’action proportionnelle :
Qnnq, rqtoqv, f”csut, futqevqoqpv, qp, rqpevuqp, fq, n”qttqwt, fq, nc, uqtvuq, rct, tcrrqtv, â, nc,
eqpuuspq.,Rct,eqpuëswqpv.,rnwu,nq,scup,rtqrqtvuqppqn,quv,stcpf.,rnwu,nc,tërqpuq,quv,tcrufq,qv,
rnwu,n)qttqwt,uvcvuswq,quv,rqvuvq.,ocuu,,rnwu,nq,scup,rtqrqtvuqppqn,quv,stcpf.,rnwu,nqu,queunncvuqpu,
uqpv,uorqtvcpvqu,fwtcpv,nc,rtcuq,vtcpuuvqutqŅĠŇ0,
,Oqrqpfcpv.,wp,scup,rtqrqtvuqppqn,vtqr,stcpf,rqwttcuv,ecwuqt,n”upuvcdunuvë,fq,nc,dqwenq,
rqtoëq,0Oqvvq,cevuqp,rqwv,ìvtq,oqfënuuëq,rct,nc,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜ

III.3.1.1.2. L’action intégrale :

Ⴁ Ⴄႜ,

Qnnq,rqtoqv, f”cppwnqt, n”qttqwt,uvcvuswq.,uu,nq,u…uvêoq,upuvucn,p”c,rcu,f”upvëstcvuqp.,rnwu,
nc,eqpuvcpvq,`u,quv,rqvuvq,rnwu,n”cevuqp,quv,rqtvq0,apq,cevuqp,q„equuuxq,*` u,vtqr,rqvuvq+,eqpfwuv,â,
wpq,upuvcdunuvëŅġŇ0,
Qnnq,quv,fqppëq,rct,nc,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,swu,quv,eu/crtêu,<,
ႜႰ

Ⴄ

Ⴁ Ⴅႜ,

III.3.1.1.3. L’action dérivée,<,

Rnwu,nc,eqpuvcpvq,`f,quv,,stcpfq,rnwu,n”cevuqp,fëxutëq,quv,rqtvq.,qnnq,rqtoqv,fq,tëfwutq,nq,
fërcuuqoqpv,qv,nqu,queunncvuqpu,qdvqpwqu,qp,cevuqp,rtqrqtvuqppqnnq,uqwnq.,ocuu,qnnq,cornuruq,nqu,
dtwuvu,fq, oquwtq,qv, fq,rnwu,wp,q„eêu,fq,eqvvq,cevuqp,rqwv, eqpfwutq,â, n”upuvcdunuvë,fw,u…uvêoq,
dqwenëŅġŇ0,
ႛ ႜ

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N”cevuqp,fëtuxëq,ëvcpv,qp,rtcvuswq,furrueunq,â,oqvvtq,qp,¨wxtq,qv,uqwxqpv,tqornceëq,rct,
wp,runvtq,â,cxcpeq,fq,rtcuq,fq,nc,rqtoq,*KKK0@+,eq,swu,ëxuvq,fq,rnwu,nqu,ucvwtcvuqpu,qp,ecu,fq,
xctucvuqp,dtwuswq,fq,nc,eqpuuspqŅĠŇ,<,,,
ႛ ႜႰ

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Ⴁ Ⴇႜ,

Ⴏ Ⴄ0,

III.3.1.2Commande de l’inclinaison du robot par PID :
ႜ,sw”quv,ëscnq,

Nq, dwv, fq, nc, eqoocpfq, fq, n”upenupcuuqp, e”quv, nc, eqoocpfq, fq, , eq, p”quv, rcu, nc,
eqoocpfq,fq,„,eq,rqwt,éc,qp,xc,ëvwfuqt,uqwnqoqpv,nc,rqpevuqp,
, II.3.1.3.1 Critères de choix des régulateurs :

ႜ
ႜ

,

ႜ,e”quv,wpq,rqpevuqp,fq,vtcpurqtv,fq,swcvtuêoq,fqstë0,

Nq,dwv,fq,eq,eqttqevqwt,quv,f”cppwnqt,n”qttqwt,fq,rquuvuqp,vqwv,qp,eqpuqtxcpv,fq,dqppqu,
rqtrqtocpequ, f…pcouswqu0, Rqwt, eqnc, nq, eqttqevqwt, fquv, rquuëfqt, wpq, rqpevuqp, fq, vtcpurqtv,
ORKP*u+,ëswuxcnqpvq,qp,tësuoq,uvcvuswq,â,wp,upvëstcvqwt.,qv,qp,tësuoq,f…pcouswq,ëswuxcnqpvq,â,
wp,eqttqevqwt,rtqrqtvuqppqnŅĢŇ0,
Qp,rqwv,eqpuvcvqt,swq,n”q„rtquuuqp,fw,eqttqevqwt,swu,eqpxuqpv,duqp,quv,eqnnq/eu,<,

ႛ ႜ

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ႤႤႡႫႥႜႛ ႞ ႤႥႡႨႨႜႛ ႞ ႤႡႦႪႤႜ

ႤႡႧႩႬ
ႤႤႡႫႥႜႛ ႞ ႤႥႡႨႨႜႛ ႞ ႤႡႦႪႤႜ

Rct,nc,oqvtqfq,fq,eqorqpucvuqp,fqu,rqnqu,qp,vtqwxq,<,

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,
႞ ႬႦႫႡႥႜ

III.3.1.3Commande de l’ongle de direction du robot par un PID :
II.3.1.3.1 Critères de choix des régulateurs :
Nq,dwv,fq,eq,eqttqevqwt,quv,f”cppwnqt,n”qttqwt,fq,rquuvuqp,vqwv,qp,eqpuqtxcpv,fq,dqppqu,
rqtrqtocpequ, f…pcouswqu0, Rqwt, eqnc, nq, eqttqevqwt, fquv, rquuëfqt, wpq, rqpevuqp, fq, vtcpurqtv,
ORf*u+,ëswuxcnqpvq,qp,tësuoq,uvcvuswq,â,wp,fëtuxcvqwt.,qv,qp,tësuoq,f…pcouswq,ëswuxcnqpvq,â,
wp,eqttqevqwt,rtqrqtvuqppqn0,
Qp,rqwv,eqpuvcvqt,swq,n”q„rtquuuqp,fw,eqttqevqwt,swu,eqpxuqpv,duqp,quv,eqnnq/eu,<,
ႛႤ႞

ႛ ႜ

II.3.1.3.2 Procédure de synthèse d’un contrôleur PD :

ႜ,

Sëpëtcnqoqpv,nq,eqorqtvqoqpv,f”wp,u…uvêoq,quv,fëetuv,rct,equ,rönqu.,rqwt,eqvvq,tcuuqp,
qp,etqtetq,fcpu,eqvvq,uqevuqp,wpq,oëvtqfq,cpcn…vuswq,swu,pqwu,rqtoqv,fq,rnceqt,nqu,rönqu,fw,
pqvtq,u…uvêoq, dqwenë,fcpu,wp,qpftquv, fëuutë,fcpu, nq,rncp,eqornq„q0,Rqtouu,nqu,oëvtqfqu,fq,
u…pvtêuq,qp,c,qrvë,nc,oëvtqfq,fq,eqorqpucvuqp,fqu,rönqu0,,,,,
Oqvvq,,oëvtqfq,eqpuuuvq,â,eqorqpuqt, nq,rönq, nq,rnwu, nqpv, fw,rtqequuwu,rct, nq,†ëtq, fw,
tëswncvqwt,rwuu,etqtetqt,nq,scup,fq,ocpuêtq,â,cxqut,wpq,tërqpuq,qrvuocnq,fw,rqupv,fq,xwq,fq,nc,
eqpuuspq0,
Nq, eqttqevqwt, RP, quv, upuëtë, fcpu, nc, etcupq, futqevq, fq, n”cuuqtxuuuqoqpv., qp, uëtuq, cxqe,
pqvtq,u…uvêoq,cuuqtxu.,eqooq,un,quv,upfuswë,fcpu,nc,ruswtq,*Rus,KKK0>+,<,

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Rct,nc,oqvtqfq,fq,eqorqpucvuqp,qp,vtqwxq,<,
ႛ ႜႰ

Mxqe,<

Ⴐ ႧႣႡႪ
,,,,,rqwt,wp, ?<0<?,
Ⴐ ႣႡႥႪႫႪ
ႰႱ

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ႥႡႬႦႫႫ
,
႞ ႦႡႨႫႫႜ

ႥႡႬႦႫႫ
႞ ႦႡႨႫႫႜ

႞ Ⴄႜ,

ႦႦႡႦႦႩ
,

ႛ ႜ
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ႛ ႜ႞Ⴄ

III.3.2. La commande linéaire quadratique :

ႦႦႡႦႦႩ
႞ ႦႦႡႦႦႩႜ

ႜ, *un, rqwv, ìvtq, ëetuv, uqwu, nc, rqtoq, , , , , , , , , , , , , , ,

Nc, eqoocpfq, nupëcutq, swcftcvuswq., sëpëtcnqoqpv, cdtësë, eqooq, nc, eqoocpfq, NS.,
ႜႰ

ႜႜ,=,vqn,swq,uquv,oupuouuë,nq,etuvêtq,swcftcvuswq,L,uqwouu,â,fqu,eqpvtcupvqu,

eqpuuuvq, â, etqtetqt, nq, dqwencsq, f”ëvcv,

uorquëqu, rct, nc, f…pcouswq, fw, u…uvêoq., eq, etuvêtq, quv, fqppë, rct, nc, tqncvuqp, *KK0A;+, eu/
fquuqwu,ŅĚģŇŅěĚŇ<,,
Ⴐ

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Ⴃႜ,fq,fuoqpuuqp,*p,Ù,p+=,

ႛ ႜ

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Ⴁ ႨႬႜ,

Qû,_,quv,nc,ocvtueq,fq,rqpfëtcvuqp,rqwt,nqu,ëvcvu,vqtoupcw„.,e”quv,ocvtueq,u…oëvtuswq,qv,uqou/
fërupuq,rquuvur,

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Ⴃႜ fq,fuoqpuuqp,*p,Ù,p+=,

,S,quv, nc,ocvtueq,fq,rqpfëtcvuqp,fqu,xctucdnq,f”ëvcv.,e”quv,ocvtueq,u…oëvtuswq,qv,uqou/fërupuq,
rquuvur,

Ⴑ Ⴃႜ,fq,fuoqpuuqp,*o,Ù,o+ŅěĜŇ= , ,

,T, quv, nc, ocvtueq, fq, rqpfëtcvuqp, fq, eqoocpfq., e”quv, ocvtueq, u…oëvtuswq, qv, uqou/fërupuq,
rquuvur,

III.3.3. Procédure de synthèse d’un contrôleur LQ :
`qwv,f”cdqt,qp,eqooqpeq,rct,nc,eqpuvuvwvuqp,fq,n”ëswcvuqp,f”Jcounvqp,swu,quv,fqppëq,
rct,nc,tqncvuqp,uwuxcpvq,ŅěěŇ<,
Ⴄ
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ႛ ႜა

Ⴁ ႩႣႜ,

Qû,<, *v+, quv, wp, xqevqwt, cfvqupv, crrqnë, nq, ownvurnuecvqwt, fq, Ncstcpsuqp., un, quv, wvunuuë, rqwt,
uuornuruq, nq, ecnewnq., rqwt, eqnc., un, quv, etquuuq, f”wpq, ocpuêtq, f”ìvtq, nc, uqnwvuqp, fq, n”ëswcvuqp,
furrëtqpvuqnnq,cfvqupvq,*KK0?8+,<,,,,,,
ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႛ ႜ

Ⴁ ႩႤႜ,

Swcpf, un, p)…, c, cwewpq, eqpvtcupvq, uwt, nq, uuspcn, f)qpvtë., nc, xcnqwt, qrvuocnq, fq, nc,

eqoocpfq, , rqwv, ìvtq, fëvqtoupëq, qp, rtqpcpv, nc, fëtuxëq, fq, J, rct, tcrrqtv, â, w, qv, rwuu, qp,
tëuqnxcpv,ëswcvuqp,uwuxcpvq,<,,,
ႛ ႜ

Pqvqpu, rct,

ႛ ႜႰႣ

ႜ, nq ,uuspcn ,fq ,eqoocpfq ,qrvuocn ,fq ,

q„rnueuvqoqpv,ëetuv,uqwu,nc,rqtoq,uwuxcpvq,<,
ႛ ႜ

ႛ ႜႛ

Ⴁ ႩႦႜ,

ႜႡ, Rwuu.,

Ⴁ ႩႥႜ,

ႜ, rqwv, ìvtq,

P)wpq, rctv., qp, rqwv, oqpvtqt, swq, nq, ownvurnuecvqwt, fq, Ncstcpsuqp, rqwv, ìvtq, ëetuv,
eqooq,<,
ႛ ႜ

ႛ ႜ ႛ ႜ

Ⴁ ႩႧႜ,

Qû, R, *v+, quv, wpq, ocvtueq, u…oëvtuswq., rtëuqpvq, nc, uqnwvuqp, fq, n)ëswcvuqp, furrëtqpvuqnnq, fq,
Tueecvu,*KKK08A+,<,

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Chapitre III

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Ⴁ ႩႨႜ,

Mupuu., nq, uuspcn, fq, eqoocpfq, qrvuocn, rqwv, ëscnqoqpv, ìvtq, tëëetuv, fq, nc, rcéqp, ,
ႛ ႜ

ႛ ႜ ႛ ႜႛ

Nc,eqoocpfq,NS,rcuv, wp,crrqn,â,wp,tqvqwt,f”ëvcv
ocvtueq,fw,scup,quv,ëetuv,uqwu,nc,rqtoqŅěĜŇ,<,
ႛ ႜ

Ⴁ ႩႩႜ,

ႜႰ

ႜႜ., qv, fq, rnwu, nc,
Ⴁ ႩႪႜ,

_u, qp, eqpuufêtq, nq, vqoru, rupcn, quv, uprupu., eqnc, tqxuqpv, rtcvuswqoqpv, â, futq., swq, nq,

u…uvêoq, quv, fcpu, nc, †qpq, rqtocpqpvq, fq, rqpevuqppqoqpv., eqvvq, uuvwcvuqp, quv, crrqnëq, , nc,
eqoocpfq,nupëcutq,swcftcvuswq,â,tqtu†qp,uprupu.,qv,fq,rnwu,nq,etuvêtq,swcftcvuswq, ,fqxuqpv,<,,
Ⴐ

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Ⴅ

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ႛ ႜ ႛ ႜ ႛ ႜ

ႛ ႜ

ႜႜ

Ⴁ ႩႫႜ ,

*KK08A+0,Nc,ocvtueq,R*v+uq,vtcpurqtoq,qp,,wpq,ocvtueq,eqpuvcpvq.,e)quv/â/futq. ႛ ႜ Ⴐ Ⴃ0,Pcpu,eq,

Oqvvq, eqpuufëtcvuqp, xc, uuornuruqt, nc, tëuqnwvuqp, fq, n”ëswcvuqp, furrëtqpvuqnnq, fq, Tueecvu,

ecu.,n”ëswcvuqp,*KKK08A+tëfwuv,â,nc,uqu/fuucpv,ëswcvuqp,cnsëdtuswq,fq,Tueecvu,swu,quv,oqpvtë,eu/
fquuqwuŅěĝŇ<,

ႰႣ

Ⴁ ႩႬႜ,

,Qv,n”ëswcvuqp,*KKK089+,fqxuqppq,<,

Ⴁ ႪႣႜ,

P”crtêu, nqu, fqw„, ëswcvuqpu, *KKK08;+, qv, *KKK09<+, un, quv, encutq, swq, nc, rqtrqtocpeq, fw,
u…uvêoq,qp,dqwenq,rqtoë,quv,fërqpf,rqtvqoqpv,fq,nc,uënqevuqp,fqu,ocvtuequ,fq,rqpfëtcvuqp,S,
qv,T0,Pqpe.,rnwu,rtëeuuëoqpv.,pqwu,fqxtuqpu,futq,swq,nc,eqoocpfq,w*v+quv,qrvuocn,rct,tcrrqtv,
cw„,etquu,fqu,ocvtuequ,fq,rqpfëtcvuqp.,e)quv/â/futq,swq,wpq,eqoocpfq,w*v+,quv,qrvuocnq,rqwt,
wp, etqu„, fqu, ocvtuequ, S, qv, T, pq, uqtc, rcu, pqtocnqoqpv, qrvuocnq, rqwt, f)cwvtqu, etqu„, fqu,
ocvtuequ,fq,,rqpfëtcvuqp,,S,qv,fq,TŅěĜŇ0,

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Nq,uetëoc,dnqe,swu,eqttqurqpf,â,nc,eqoocpfq,nupëcutq,swcftcvuswq,quv,unnwuvtë,fcpu,nc,
ruswtq,*Rus,KKK0?+,,eu/crtêu,<,,

,
Rus,KKK0?,Nq,uetëoc,dnqe,f”wp,eqpvtönqwt,NS0,
III.3.4. Le choix des matrices de pondération :
Kn, quv, upvëtquucpv, fq, tqoctswqt, f”cdqtf, swq, nc, ownvurnuecvuqp, fqu, ocvtuequ, fq,
rqpfëtcvuqp,S,qv,T,rct,wp,oìoq,uecncutq,ncuuuq,upetcpsë,nq,scup,M0,Qp,qrrqv.,uquv,nq,pqwxqcw,
,qv

0,Qp,xëturuq,swq,

quv,uqnwvuqp,fq,n”ëswcvuqp,fq,Tueecvu,eqttqurqpfcpvq0,Qp,qrrqv,<,

,
Ⴁ ႪႤႜ,

_cpu,tquvtuevuqp., nqu, ocvtuequ, fq,rqpfëtcvuqp,rqwxqpv, ìvtq, etquuuqu,u…oëvtuswqu0,Qnnqu,
uqpv,sëpëtcnqoqpv,etquuuqu,fucsqpcnqu0,bqueu,wpq,oëvtqfq,uuornq,fq,etqu„,qv,fq,oqfuruecvuqp,
fqu,ocvtuequ,fq,rqpfëtcvuqp,qp,xwq,f”cdqwvut,â,wp,eqttqevqwt,ucvuurcuucpv0,,,
=0

Mw,fërctv.,qp,etquuuv,sëpëtcnqoqpv,fqu,ocvtuequ,fq,rqpfëtcvuqp,ëscnqu,cw„,ocvtuequ,

ufqpvuvëu0,
,

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Chapitre III

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Pcpu, wpq, uqeqpfq, ëvcrq., qp, ceeënêtq, qw, fëeënêtq, snqdcnqoqpv, nq, u…uvêoq, qp,

ownvurnucpv,nc,ocvtueq,S,rct,wp,uecncutq, ,*uu, ,@,=,nq,u…uvêoq,ceeënêtq,qv,uu,, ,>,=,nq,u…uvêoq,
cuuqtxu,fëeënêtq+.,vwusw)â,qdvqput,wpq,f…pcouswq,oq…qppq,cfcrvëq0,
,
?0

Pcpu, nq, ecu, qû, eqtvcupu, ëvcvu, cwtcuqpv, fqu, f…pcouswqu, vtqr, nqpvqu, rct, tcrrqtv, â,

f)cwvtqu., qp, rqwv, etquuut, f)cwsoqpvqt, nc, , ocvtueq, fq, rqpfëtcvuqp, S, eqttqurqpfcpv, cw„,
rtqouqtu0,
@0

Pcpu, nq, ecu, qû, eqtvcupu, cevuqppqwtu, uqtcuqpv, vtqr, uqnnueuvq, rct, tcrrqtv, â, f)cwvtqu., qp,

rqwv,etquuut,f)cwsoqpvqt,nc,ocvtueq,fq,rqpfëtcvuqp,T,nqwt,eqttqurqpfcpv0,
Nqu, ëvcrqu, >., ?, qv, @, rqwxqpv, ìvtq, tëuvëtëqu, fcpu, n)qtftq, uqwtcuvq, vwusw)â, qdvqput, wp,
eqttqevqwt,ucvuurcuucpv,nq,ectuqt,fqu,etctsqu0,,
II.3.5. La régulation de l’inclinaison et déplacement linéaire du robot par un contrôleur
LQ :
Qp, tqornceq, nqu, fqw„, ocvtuequ, fq, rqpfëtcvuqp, qdvqpwu, uqnqp, nqu, ëvcrqu, euvëqu,
cwrctcxcpv,,fcpu,n”ëswcvuqp,*KKK08;+.,pqwu,rqtoqv,fq,tëëetutq,eqvvq,fqtpuêtq,eqooq,uwuv,<,,
Ⴃ

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Ⴁ ႪႥႜ,

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Ⴃ

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,
Mrtêu,nc,tëuqnwvuqp,fq,eqvvq,ëswcvuqp.,qp,vtqwxq,nc,uqnwvuqp,fq,n”ëswcvuqp,fq,Tueecvu,R.,
qv,uu,qp,nc,tqornceq,fcpu,n”ëswcvuqp,*KKK089+.,qp,rqwv,fëvqtoupqt,nc,ocvtueq,fw,scup,
Ⴐ ჎ႥႥႨႡႩႫႥႬ ႤႫႡႤႤႦႫ

ႤႡႣႣႣႣ

ႥႥႡႤႬႩႤა,

0,

Rqwt,fëvqtoupqt,nq,scup,fq,n”upvëstcvqwt.,qp,rqwv,wvunuuqt,nc,tërqpuq,rtëswqpvuqnnq,fq,eq,
pqwxqcw, u…uvêoq., e”quv/â/futq, qp, rcuv, xctuqt, nq, scup, ,fq ,vqn ,uqtv ,â ,qdvqput ,nqu ,rqtrqtocpequ ,
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fëuutëqu0,

ႤႣႣႡႣႧႨႣ

ႫႪႡႫႬႣႣა,

Nqu, ocvtuequ, fq, rqpfëtcvuqp, swu, u…orcvtuuqt, nq, pqwxqcw, scup, e”quv, nqu, pqwxqcw„,
ocvtuequ,fq,rqpfëtcvuqp,S,qv ,<,
Mxqe,<,,

ႤႣႣႣႣႣ

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ႤႣႣႣ
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ႤႣႣႣႬ
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ႬႬႬႡႣႣႣႤႣႣႨ
III.3.5. La régulation de l’ongle de direction du robot par un contrôleur LQ :
Ⴐ

Qp, tqornceq, nqu, fqw„, ocvtuequ, fq, rqpfëtcvuqp, qdvqpwu, uqnqp, nqu, ëvcrqu, euvëqu,
cwrctcxcpv,,fcpu,n”ëswcvuqp,*KKK08;+.,pqwu,rqtoqv,fq,tëëetutq,eqvvq,fqtpuêtq,eqooq,uwuv,<,,
Ⴃ

,

ႰႣ

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Mrtêu,nc,tëuqnwvuqp,fq,eqvvq,ëswcvuqp.,qp,vtqwxq,nc,uqnwvuqp,fq,n”ëswcvuqp,fq,Tueecvu
qv,uu,qp,nc,tqornceq,fcpu,n”ëswcvuqp,*KKK089+.,qp,rqwv,fëvqtoupqt,nc,ocvtueq,fw,scup,
Ⴐ ჎Ⴄ

ႣႡႥႨႥႩა,

.,

0,

Rqwt,fëvqtoupqt,nq,scup,fq,n”upvëstcvqwt.,qp,rqwv,wvunuuqt,nc,tërqpuq,rtëswqpvuqnnq,fq,eq,
pqwxqcw,u…uvêoq.,e”quv/â/futq,qp,rcuv, xctuqt,nq,scup,

,fq, vqn,uqtv, â,qdvqput, nqu, rqtrqtocpequ,

Ⴐ ჎ႦႤႡႩႣႪႣ ႦႡႨႪႨႣა,

fëuutëqu0,

Nqu, ocvtuequ, fq, rqpfëtcvuqp, swu, u…orcvtuuqt, nq, pqwxqcw, scup, e”quv, nqu, pqwxqcw„,
ocvtuequ,fq,rqpfëtcvuqp,

,qv

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Chapitre III

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Chapitre IV : Résultats des
simulations

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Résultats des simulations

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Chapitre IV

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IV.1. Introduction :
Dans ce chapitre nous présentons les résultats de simulations du robot pendule inverse
contrôlé par différentes techniques détaillées dans le chapitre précédent. Les résultats de
simulation sont présentés pour des tâches d'atteinte de consigne et de rejet de perturbation.
Ces résultats de simulations ont été réalisés avec le logiciel MATLAB. Nous avons
utilisé précisément l’environnement MATLAB/ SIMULINK.

IV.2. Le cahier des charges :
La première qualité à assurer d’une régulation est la stabilité puisque toute instabilité
conduit à la perte de contrôle du procédé. La précision, statique ou dynamique, est souvent la
deuxième qualité attendue d’une régulation. Notre cahier des charges est résumé de la
manière suivante :
- Une erreur statique nulle.
- Un temps de réponse court.
IV.3. La simulation par la commande optimale :
IV.3.1. la simulation de l’inclinaison et le déplacement linéaire:
Les figures (Fig IV.1) et (Fig IV.2) illustrâtes la réponse impulsionnelle des variables
d’états et des sorties de système

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Chapitre IV

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les variables d'etats
-2

ĶŋĊŎǓŚŖŋōŏŗŏŘŞĊŋŘőşŖŋœŜŏĊŎŏĊŖżœŘōŖœŘŋœŝřŘĊ
ĶŋĊŠœŞŏŝŝŏĊŋŘőşŖŋœŜŏĊŎŏĊŖżœŘōŖœŘŋœŝřŘĊ

-3

ĶŋĊŎǓŚŖŋōŏŗŏŘŞĊŎŏĊŎœŜŏōŞœřŘĊĊ

-4

ĶŋĊŠœŞŏŝŝŏĊŎŏĊŎǓŚŖŋōŏŗŏŘŞĊŎŏĊŎœŜŏōŞœřŘĊ

Ċ
Ċ

-5

-6

Ċ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

temps

Fig IV.1 La réponse impulsionnelle des variables d’états
1.2

Ċ

Ċ

Ċ

1

L’angle de l'inclinaison

0.8

De placement de robot
les sorties de systeme
0.6

Ċ

0.4

0.2

Ċ

0

-0.2

Ċ

0

0.5

1

Ċ

1.5

2
temps

Ċ

Ċ

2.5

3

3.5

Ċ

4

4.5

Fig IV.2 La réponse impulsionnelle des sorties de système

Temps de monté

La réponse impulsionnelle de l’angle g•lqfolqdlvrq

Temps de retard

0.7 s

Temps de pic

2.5 s

1.7 s

Tab IV.1 les paramètres de la réponse impulsionnelle de l’angle gh o•lqfolqdlvrq dyhf od

Temps de stabilisation

2.8 s

frppdqgh rswlpdoh.

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

Ğġ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

IV.3.2. La simulation de la déplacement non linéaire:
Les figures (Fig IV.3) et (Fig IV.4) illustrâtes la réponse impulsionnelle des variables
d’états et les sorties de système.

Ċ

Ċ

0

-20

Ċ

-40

L’angle de direction

les variables d'etats
-60

la vetesse angulaire de direction

-80

Ċ

-100

Ċ

-120

Ċ
Ċ

-140

0

0.005

Ċ

0.01

0.015

Ċ
Ċ

0.02
temps

0.025

Ċ

0.03

0.035

Fig IV.3 la réponse impulsionnelle des variables d’etats .

Fig IV.4 la réponse impulsionnelle de la sortie de système .

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ĞĢ

Ċ

0.04

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

La réponse impulsionnelle de la direction
Temps de monté

0.021 s

Temps de retard

0.016 s

Temps de pic

0.03 s


0.037 s

Tab IV.2 les paramètres de la réponse impulsionnelle de la direction avec la commande
optimale.
IV.4. La simulation par la commande PID :
IV.4.1. la simulation de l’inclinaison et le déplacement linéaire:

La figure (Fig IV.5) illustrâtes la réponse echlon de l’angle g•lqfolqdlvrq.
1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2Ċ
0

1

2Ċ

3Ċ

4

5

6

7Ċ

8

Fig IV.5 la reponse echlon de l’angle g•lqfolqdlvrq.

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

Ğģ

9

10Ċ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

Temps de monté
Temps de retard

Aucun

Temps de pic

0.5 s

0.17 s

Tab IV.3 les paramètres de la réponse echlon de l’angle g•lqfolqdlvrq dyhf od frppdqgh


3.2 s

SLG.

IV.4.2. La simulation du déplacement non linéaire:
La figure (Fig IV.6) illustra la réponse echlon de la sortie de système.

Ċ

Step Response

1

Ċ

0.9

0.8

0.7

0.6
Amplitude
0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Ċ

0

0.02

Ċ

0.04

Ċ

0.06

Ċ

0.08

0.1

0.12

0.14

Time (seconds)

Ċ

0.16

Ċ

0.18

Fig IV.6 la réponse echlon de la sortie de système.
La réponse impulsionnelle de la direction
Temps de monté

0.066 s

Temps de retard

Aucun

Temps de pic

Aucun


0.16 s

Tab IV.4 les paramètres de la réponse echlon de la direction avec la commande PD.
IV.5. Test de robustesse :
Robot pendule inverse a certains paramètres clés qui sont directement en prise avec les
performances du système et les réponses. Mouvement du robot a été optimisé en choisissant

Ċ

to
he
re
w

La reponse echlon de l’angle g•lqfolqdlvrq

0

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğĚ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

les paramètres appropriés et les spécifications pour le modèle physique. Ces paramètres sont
les suivants:
1. Coefficient de friction entre les roues et le sol (Cf) .
2. Moment d’inertie de l’une des roues (Jw)
3. Résistance d’armature des moteurs (Ra).
IV.5.1. La variation de coefficient de friction.
Affecte des gains sur une unité de commande et de réponse impulsionnelle en boucle
fermée de déplacement. Les figures suivantes illustres les changements

Fig IV.7. La réponse impulsionnelle de l’angle g•lqfolqdlvrq par la commande optimale si on
varie Cf

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğě

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

Fig IV.8. La réponse echlon de la direction par la commande PID si on varie Cf

Fig IV.9. La réponse impulsionnelle de la direction par la commande optimale si on varie Cf

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğĜ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

Fig VI.10. La reponse echlon de l’angle gh o”lqfolqdlvrq par la commande PID si on varie Cf

IV.5.2. La variation de moment d’inertie :


Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğĝ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

Fig IV.11. La réponse echlon de l’angle gh o•lqfolqdlvrq par la PID si on varie Jw

Fig IV.12. La reponse impulsionnelle de la direction par la commande optimale si on varie Jw

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğĞ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

Fig IV.13. La réponse echlon de la direction par la commande PID si on varie Jw

Fig IV.14. La réponse impulsionnelle de l’angle gh o•lqfolqdlvrq par la commande optimale si
on varie Jw

IV.5.3. La variation de sésistance d’armature :

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğğ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

Fig IV.15. La réponse impulsionnelle de la direction par la commande optimale si on varie Ra

Fig IV.16. La réponse echlon de la direction par la commande PID si on varie Ra

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğĠ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

om

to
he
re
w

Fig IV.17. La réponse echlon de l’angle g•lqfolqdlvrq par la commande PID si on varie Ra

Fig IV.18. La réponse impulsionnelle de l’angle gh o•lqfolqdlvrq par la commande optimale si
on varie Ra

Ċ

bu
y

ABB
Y


Ċ
Ċ

ğġ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

w.

A B B Y Y.c

om

rm

to
he
re

Selon les résultats observés dans ce chapitre, les constantes idéales ont été choisies
coefficient de frottement entre les roues et le sol (Cf), moment d’inertie de l’une des roues
(Jw) et résistance d’armature des moteurs (Ra). Pour améliorer les performances du robot. Les
parcelles observées dans ce chapitre montrent que les variations des paramètres clés ont été
causées de petits changements sur la performance du robot. Mais plusieurs expériences ont été
prouvées que le déploiement des constantes observées sur modèle physique a eu une
amélioration visible en mouvement du robot.
IV.6. La différence entre résultat de la commande optimal et résultat de PID :
La figure (FigIV.18.) illustrait la différence entre la réponse des deux commandes.
1.4

1

1.2

0.8

1

0.6

0.8

0.4

PID
LQ

0.6

0.2

0.4

0

0.2

-0.2
0

2

4
6
temps (s)

8

0
0

10

2

4
6
temps (s)

8

10

Fig IV.18. La réponse de l’inclinaison par la commande optimale et PID et de la direction
aussi par la commande optimale et PID.

Erreur statique
Temps de
stabilisation

L’inclinaison
Commande
Commande PID
optimale
nulle
nulle
2.8 s
3.2 s

La direction
Commande
Commande PID
optimale
nulle
nulle
0.037
0.17

Tab IV.5. Les paramètres de la réponse PID et optimale.
Dans les deux cas (l’inclinaison et la direction) la commande optimale toujours rapide
par rapport la commande PID.Ċ

Ċ

bu
y

ABB
Y

w

Ċ
Ċ

1.2

ğĢ

F T ra n sf o
rm

C
lic
k


a (deg)

om

q (deg)

to
he
re

Chapitre IV

C
lic
k
A B B Y Y.c

PD

3
3
3.0
3

w.

w
w
w
w

w

w

Y

e
e
er
e

bu
y

F T ra n sf o

0
0
0
3.0

ABB
Y

PD

er

Y

Ċ

w.

A B B Y Y.c

om

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