How to design a miniature train set that always loops back well? Two questions of algebra and counting
1. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Comment concevoir un circuit de train miniature
qui se reboucle toujours bien ? – Deux questions
d’algèbre et de dénombrement
Séminaire de la MMI
Jérôme Bastien
Centre de Recherche et d’Innovation sur le Sport – Université Lyon I
25 Mars 2015
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2. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1 Problématique
2 Construction des pièces du circuit
3 Autres systèmes possibles ?
4 Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
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3. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Résumé
Comment réaliser sans plan et au hasard, un circuit pour véhicule
miniature de façon que les boucles se referment toujours
parfaitement, sans heurt ni torsion des rails ? Une solution
géométrique simple sera proposée, grâce à l’utilisation de six pièces
de base, qui permettent de créer des circuits totalement modulables
et extensibles à volonté.
Cela sera d’abord l’occasion d’évoquer des questions, pour l’instant
partiellement résolues (sur la systématisation algébrique des formes
de rails, s’appuyant sur les groupes d’isométrie du polygone choisi,
et sur la description exhaustive des circuits réalisables) mais aussi
de jouer réellement sur le prototype d’un circuit !
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4. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1 Problématique
2 Construction des pièces du circuit
3 Autres systèmes possibles ?
4 Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
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5. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Consignes
À partir des rails prototypes (cinq exemplaires par type de pièces,
soit trente pièces en tout), réaliser au hasard une boucle avec les
deux seules consignes suivantes :
Le circuit doit se refermer ;
Unique règle de connexion : les extrémités de deux rails
contigus doivent être du même type (absence ou présence
simultanée de pastille de couleur).
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6. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Travail de « contre-facteur » !
Essayer de déterminer la nature géométrique des pièces et la
règle d’assemblage.
Explication du rôle des pastilles jaunes ?
Pourquoi une des pièces est-elle dédoublée ?
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7. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Brevet délivré
J. Bastien. “Circuit apte à guider un véhicule miniature”. Brevet
FR2990627. Université Lyon I. Brevet publié sur le site de l’INPI
http://bases-brevets.inpi.fr/fr/document/FR2990627.html?p=6&s=
1423127185056&cHash=cfbc2dad6e2e39808596f86b89117583 Voir aussi
[pct]. 15 mai 2012
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8. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Le «Vario system»
Voir http://www.woodenrailway.info/track/trackmath.html
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9. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Le «Vario system»
« Note how the photograph from the BRIO 1996 catalog shows a
perfect fit » :
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10. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Le «Vario system»
« But when you actually lay this track out usinng a CAD system,
you get a much different story. The track doesn’t meet, and it’s
also not aligned with the center of the viaduct. The Vario System is
what makes this layout possible. » :
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11. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Un exemple de plan de train existant
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12. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Un exemple de circuit réalisé (A)
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13. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Le plan associé (A)
p1: 3, p2: 4, p3: 1, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3
5
3
5(b) 1 5
4
5(b)12
2 1 2
25
4
4
5(b)
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14. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Un exemple de circuit réalisé (B)
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15. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Le plan associé (B)
p1: 4, p2: 5, p3: 4, p4: 2, p5: 5, p5(b): 5
5(b)
5
3
5(b) 2
1
2 1 2
5
4
3
3
5(b)
5
5(b)
212
5
3
4
5(b)15
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16. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Un exemple de circuit réalisé (C)
16/80
17. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Le plan associé (C)
p1: 1, p2: 2, p3: 3, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3
2
5
4
3
3
5(b)
5
5(b)
215
3
4
4
5(b)
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18. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage
qui :
permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à
partir du même ensemble de pièces,
utilise un minimum de pièces de guidage différentes,
garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le
circuit sur lui-même.
Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains
pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits
de petites voitures ou similaires.
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19. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage
qui :
permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à
partir du même ensemble de pièces,
utilise un minimum de pièces de guidage différentes,
garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le
circuit sur lui-même.
Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains
pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits
de petites voitures ou similaires.
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20. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage
qui :
permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à
partir du même ensemble de pièces,
utilise un minimum de pièces de guidage différentes,
garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le
circuit sur lui-même.
Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains
pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits
de petites voitures ou similaires.
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21. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage
qui :
permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à
partir du même ensemble de pièces,
utilise un minimum de pièces de guidage différentes,
garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le
circuit sur lui-même.
Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains
pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits
de petites voitures ou similaires.
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22. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Six types de rails
Deux rails droits ;
Deux rails circulaires ;
Deux rails non symétriques, donc non circulaires !
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23. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1 Problématique
2 Construction des pièces du circuit
3 Autres systèmes possibles ?
4 Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
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24. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Idées de base
forme 5
On se concentre sur la trajectoire décrite par la locomotive par
exemple, soit encore sur la ligne médiane, tracée en pointillé sur la
figure.
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25. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Idées de base
On cherche à inscrire chacune de ces courbes dans une forme
simple qui permette de paver le plan ;
De plus, il est nécessaire qu’une fois le pavage réalisé, la
courbe construite soit de classe C1.
22/80
26. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Idées de base
On cherche à inscrire chacune de ces courbes dans une forme
simple qui permette de paver le plan ;
De plus, il est nécessaire qu’une fois le pavage réalisé, la
courbe construite soit de classe C1.
22/80
27. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi C1
?
La ligne médiane est C1 ce qui assure la continuité de la vitesse du
véhicule empruntant le circuit.
Mais aussi, les bords des rails sont perpendiculaires à cette ligne
médiane, donc parallèles entre eux, ce qui assure l’encastrement
parfait de deux rails contigus !
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28. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi C1
?
Raccord 5−4
Exemple de bon raccord.
24/80
29. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Utilisation du pavage carré du plan et des huits points
associés
Si on représente le carré de base et ses huit voisins, huit points
particuliers apparaissent : les quatre sommets du carrés et les
quatre milieux de cotés.
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30. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Utilisation du pavage carré du plan et des huits points
associés
On imposera donc à chaque portion de la trajectoire :
d’être contenue dans le carré,
de débuter sur un sommet du carré ou un milieu d’un côté du
carré en un point A et de se terminer sur un autre sommet du
carré ou un milieu d’un autre côté du carré en un point B,
d’être tangente en A et en B aux droites reliant
respectivement le centre du carré aux points A et B.
26/80
31. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Utilisation du pavage carré du plan et des huits points
associés
On imposera donc à chaque portion de la trajectoire :
d’être contenue dans le carré,
de débuter sur un sommet du carré ou un milieu d’un côté du
carré en un point A et de se terminer sur un autre sommet du
carré ou un milieu d’un autre côté du carré en un point B,
d’être tangente en A et en B aux droites reliant
respectivement le centre du carré aux points A et B.
26/80
32. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Utilisation du pavage carré du plan et des huits points
associés
On imposera donc à chaque portion de la trajectoire :
d’être contenue dans le carré,
de débuter sur un sommet du carré ou un milieu d’un côté du
carré en un point A et de se terminer sur un autre sommet du
carré ou un milieu d’un autre côté du carré en un point B,
d’être tangente en A et en B aux droites reliant
respectivement le centre du carré aux points A et B.
26/80
33. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Utilisation du pavage carré du plan et des huits points
associés
Si on représente le carré de base et ses huit voisins, huit points
particuliers apparaissent : les quatre sommets du carrés et les quatre
milieux de cotés.
27/80
34. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Utilisation du pavage carré du plan et des huits points
associés
Deux exemples de courbe
Ainsi, si une boucle est refermée, la trajectoire est assurée d’être
continue et dérivable au premier et dernier point et l’encastrement
est donc parfait !
27/80
35. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Nombre de courbes nécessaires
Chacun des huits points (sommets ou milieux) doit être relié
une fois seulement aux autres ! Donc, il faut C2
8 = 28 courbes,
ce qui est beaucoup trop élevé si elles sont toutes différentes.
Si on enlève les 8 trajets reliant chaque point à son voisin
immédiat, il ne faut plus que 28 − 8 = 20 courbes.
28/80
36. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Nombre de courbes nécessaires
Chacun des huits points (sommets ou milieux) doit être relié
une fois seulement aux autres ! Donc, il faut C2
8 = 28 courbes,
ce qui est beaucoup trop élevé si elles sont toutes différentes.
Si on enlève les 8 trajets reliant chaque point à son voisin
immédiat, il ne faut plus que 28 − 8 = 20 courbes.
28/80
37. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Six courbes quelconques
29/80
38. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les six courbes choisies
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39. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les six courbes choisies
Deux segments de droites ;
Deux quarts de cercles ;
Deux autres courbes, définies par deux points et deux
tangentes, qui ne sont pas du type précédent (puisque√
2 ∈ Q !).
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40. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Hermite)
On utilise la théorie de l’interpolation d’Hermite : on cherche deux
fonctions polynômiales de degré 3, x et y définies sur [0, 1] par leurs
valeurs et dérivées au bord : x(0), x (0), x(1) et x (1) (idem en y).
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41. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Hermite)
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42. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis
redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en
automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de
voiture ;
Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ;
Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont
utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez
tout le temps !
Plus de détails sur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou
F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris :
Ellipses, 2013.
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43. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis
redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en
automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de
voiture ;
Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ;
Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont
utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez
tout le temps !
Plus de détails sur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou
F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris :
Ellipses, 2013.
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44. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis
redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en
automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de
voiture ;
Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ;
Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont
utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez
tout le temps !
Plus de détails sur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou
F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris :
Ellipses, 2013.
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45. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis
redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en
automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de
voiture ;
Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ;
Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont
utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez
tout le temps !
Plus de détails sur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou
F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris :
Ellipses, 2013.
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46. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Courbes de Bézier définie par n + 1 points de contrôle du plan,
P0 à Pn. (Presque !) les mêmes que dans les logiciels de dessin.
−−−→
P0P1 est tangent à la courbe en P0 et
−−−−→
Pn−1Pn est tangent à la
courbe en Pn.
Elle est incluse dans l’enveloppe convexe des points Pi .
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47. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Courbes de Bézier définie par n + 1 points de contrôle du plan,
P0 à Pn. (Presque !) les mêmes que dans les logiciels de dessin.
−−−→
P0P1 est tangent à la courbe en P0 et
−−−−→
Pn−1Pn est tangent à la
courbe en Pn.
Elle est incluse dans l’enveloppe convexe des points Pi .
35/80
48. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Courbes de Bézier définie par n + 1 points de contrôle du plan,
P0 à Pn. (Presque !) les mêmes que dans les logiciels de dessin.
−−−→
P0P1 est tangent à la courbe en P0 et
−−−−→
Pn−1Pn est tangent à la
courbe en Pn.
Elle est incluse dans l’enveloppe convexe des points Pi .
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49. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Exemple de Courbes de Bézier pour une lettre
Le « J » Cyrillique (Merci à Matthieu Cortat,
www.nonpareille.net, Musée de l’imprimerie, Lyon)
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50. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
P0
P1
P2
P2
P1
P0
Courbe de Bézier d’ordre n = 2, définie par trois points de contrôle
P0, P1 et P2, passant par P0 et P2, dont les dérivées en ces points
sont portées par
−−−→
P0P1 et
−−−→
P1P2.
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51. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Parabole)
En fait, les deux courbes obtenues ainsi sont identiques et
égales à une parabole.
Il existe une unique parabole, définie par deux points et deux
droites tangentes (aux points donnés).
Voir C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de
Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay,
1997.
passer la construction
38/80
52. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Parabole)
En fait, les deux courbes obtenues ainsi sont identiques et
égales à une parabole.
Il existe une unique parabole, définie par deux points et deux
droites tangentes (aux points donnés).
Voir C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de
Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay,
1997.
passer la construction
38/80
53. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des pièces 5 et 6 (Parabole)
En fait, les deux courbes obtenues ainsi sont identiques et
égales à une parabole.
Il existe une unique parabole, définie par deux points et deux
droites tangentes (aux points donnés).
Voir C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de
Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay,
1997.
passer la construction
38/80
54. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Rappels de la définition et tangente
F
H
M
∆
P
D
La parabole de foyer F et de
directrice D est l’ensemble
des points M tels que
MH = MF.
Tout rayon perpendiculaire à
la directrice passe par le
foyer, après « réflexion ».
La tangente ∆ à la parabole
en M est la médiatrice de
[FH].
39/80
55. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Rappels de la définition et tangente
F
H
M
∆
P
D
La parabole de foyer F et de
directrice D est l’ensemble
des points M tels que
MH = MF.
Tout rayon perpendiculaire à
la directrice passe par le
foyer, après « réflexion ».
La tangente ∆ à la parabole
en M est la médiatrice de
[FH].
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56. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Rappels de la définition et tangente
F
H
M
∆
P
D
La parabole de foyer F et de
directrice D est l’ensemble
des points M tels que
MH = MF.
Tout rayon perpendiculaire à
la directrice passe par le
foyer, après « réflexion ».
La tangente ∆ à la parabole
en M est la médiatrice de
[FH].
39/80
57. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
P
α
2α
O
∆1 et ∆2 sécantes.
∆1 (resp. ∆2) est la
médiatrice de [FF1] (resp.
[FF2]).
=⇒
F1 = s∆1 (F),
F2 = s∆2 (F),
F2 = s∆2 ◦ s∆1 (F1) = r(O,2α)(F1).
40/80
58. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
P
α
2α
O
∆1 et ∆2 sécantes.
∆1 (resp. ∆2) est la
médiatrice de [FF1] (resp.
[FF2]).
=⇒
F1 = s∆1 (F),
F2 = s∆2 (F),
F2 = s∆2 ◦ s∆1 (F1) = r(O,2α)(F1).
40/80
59. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
P
α
2α
O
∆1 et ∆2 sécantes.
∆1 (resp. ∆2) est la
médiatrice de [FF1] (resp.
[FF2]).
=⇒
F1 = s∆1 (F),
F2 = s∆2 (F),
F2 = s∆2 ◦ s∆1 (F1) = r(O,2α)(F1).
40/80
60. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
O
P
I
α
α−α
Soit I = m([AB]).
(OI) parallèle à (AF1).
F1 est l’unique intersection
de la parallèle à (OI)
passant par A et de
∆ = r(O,−α)((OI)).
F = s∆1 (F1), unique.
D = (F1F2), unique.
41/80
61. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
O
P
I
α
α−α
Soit I = m([AB]).
(OI) parallèle à (AF1).
F1 est l’unique intersection
de la parallèle à (OI)
passant par A et de
∆ = r(O,−α)((OI)).
F = s∆1 (F1), unique.
D = (F1F2), unique.
41/80
62. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
O
P
I
α
α−α
Soit I = m([AB]).
(OI) parallèle à (AF1).
F1 est l’unique intersection
de la parallèle à (OI)
passant par A et de
∆ = r(O,−α)((OI)).
F = s∆1 (F1), unique.
D = (F1F2), unique.
41/80
63. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
O
P
I
α
α−α
Soit I = m([AB]).
(OI) parallèle à (AF1).
F1 est l’unique intersection
de la parallèle à (OI)
passant par A et de
∆ = r(O,−α)((OI)).
F = s∆1 (F1), unique.
D = (F1F2), unique.
41/80
64. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition nécessaire
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
O
P
I
α
α−α
Soit I = m([AB]).
(OI) parallèle à (AF1).
F1 est l’unique intersection
de la parallèle à (OI)
passant par A et de
∆ = r(O,−α)((OI)).
F = s∆1 (F1), unique.
D = (F1F2), unique.
41/80
65. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition suffisante
∆ 2
∆
1
A
B
Soient A, B et ∆1, ∆2, sécantes.
42/80
66. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition suffisante
∆ 2
∆
1
A
B
O
I
α
Soient O = ∆1 ∩ ∆2,
I = m([AB]) et α = ∆1, ∆2 .
42/80
67. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition suffisante
F1
∆ 2
∆
1
A
B
O
I
α
−α
F1 est l’unique intersection de la
parallèle à (OI) passant par A et
de ∆ = r(O,−α)((OI)).
42/80
68. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition suffisante
F1
∆ 2
∆
1
F A
B
O
I
α
−α
F = s∆1 (F1)
42/80
69. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition suffisante
F
2
F1
∆ 2
∆
1
F A
B
O
I
α
−α
F2 = s∆2 (F)
42/80
70. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition suffisante
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
O
I
α
−α
Soit D = (F1F2). De plus
(AF1) ⊥ D et (BF2) ⊥ D
42/80
71. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole
Condition suffisante
F
2
F1
∆ 2
∆
1
D
F A
B
O
P
I
α
−α
P est la parabole de foyer F et de
directrice D.
42/80
72. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 5)
α
B
A
O
−α
I
∆
1
∆
2
α = −
π
4
,
O = ∆1 ∩ ∆2, I = m([AB])
43/80
73. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 5)
1
F
α
B
A
O
−α
I
∆
1
∆
2
F1 est l’unique intersection de la
parallèle à (OI) passant par A et
de ∆ = r(O,π/4)((OI)).
43/80
74. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 5)
1
F
α
B
A
O
−α
I
∆
1
∆
2
F
F = s∆1 (F1)
43/80
75. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 5)
1
F
F
2
α
B
A
O
−α
I
∆
1
∆
2
F
F2 = s∆2 (F)
43/80
76. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 5)
1
F
F
2
D
α
B
A
O
−α
I
∆
1
∆
2
F
P
P est la parabole de foyer F et de
directrice D = (F1F2).
43/80
77. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 6)
B
A I
O
−α
F
∆
1
1
F
F
∆
2
2
α
α = π
4
revenir au début de la construction
44/80
78. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Une propriété bien connue des Grecs (par Archimède, selon [Per])
est la suivante (voir [LH97, p. 351])
P
A
J
N
M’
N’
M
Soient PM et PM deux tangentes. J = m([MM ]), N = m([PM]),
N = m([PM ]). Alors la droite (NN ) est tangente à la parabole et
son point de contact A est le mileu de [PJ] et de [NN ].
45/80
79. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Une propriété bien connue des Grecs (par Archimède, selon [Per])
est la suivante (voir [LH97, p. 351])
P
A
J
N
M’
N’
M
Procédé itératif !
45/80
80. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Définition récurrente de la courbe de Bézier d’ordre 2 (De Castlejau)
Issu de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:
Bezier_quadratic_anim.gif, voir
Bezier_quadratic_anim.gif
Définition récurente (De Casteljau) :
P1
1 (t) = (1 − t)P0 + tP1,
P1
2 (t) = (1 − t)P1 + tP2,
et
P2
2 (t) = (1 − t)P1
1 + tP1
2 .
Définition avec polynôme de Bernstein (Bézier) :
∀t ∈ [0, 1], P(t) = (1 − t)2
P0 + 2t(1 − t)P1 + t2
P2.
46/80
81. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Définition récurrente de la courbe de Bézier d’ordre 2 (De Castlejau)
Issu de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:
Bezier_quadratic_anim.gif, voir
Bezier_quadratic_anim.gif
Définition récurente (De Casteljau) :
P1
1 (t) = (1 − t)P0 + tP1,
P1
2 (t) = (1 − t)P1 + tP2,
et
P2
2 (t) = (1 − t)P1
1 + tP1
2 .
Définition avec polynôme de Bernstein (Bézier) :
∀t ∈ [0, 1], P(t) = (1 − t)2
P0 + 2t(1 − t)P1 + t2
P2.
46/80
82. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Définition récurrente de la courbe de Bézier d’ordre 2 (De Castlejau)
Issu de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:
Bezier_quadratic_anim.gif, voir
Bezier_quadratic_anim.gif
Définition récurente (De Casteljau) :
P1
1 (t) = (1 − t)P0 + tP1,
P1
2 (t) = (1 − t)P1 + tP2,
et
P2
2 (t) = (1 − t)P1
1 + tP1
2 .
Définition avec polynôme de Bernstein (Bézier) :
∀t ∈ [0, 1], P(t) = (1 − t)2
P0 + 2t(1 − t)P1 + t2
P2.
46/80
83. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
P1
P2
P
P0
P
P1
2
1
1
2
2
En particulier, pour t = 1/2,
P1
1 est le milieu de [P0P1],,
P1
2 est le milieu de [P1P2],,
P2
2 est le milieu de [P1
1 P1
2 ],,
et c’est la même propriété de la parabole !
47/80
84. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Preuve complète de façon analytique, ou mieux, par densité !
Autrement dit, les Bézier de degré 2 sont les paraboles.
48/80
85. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Preuve complète de façon analytique, ou mieux, par densité !
Autrement dit, les Bézier de degré 2 sont les paraboles.
48/80
86. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les isométries laissant invariant le carré
Le groupe d’isométries laissant invariant le carré ABCD est
C = I, r, r2
, r3
, s∆1 , s∆2 , s(AC), s(BD)
où ∆1 et ∆2, sont les médiatrices respectives de [AB] et de
[AD] et r est la rotation de centre O, le centre du carré et
d’angle π/2.
Engendré par{r, s∆2 }.
49/80
87. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les isométries laissant invariant le carré
Le groupe d’isométries laissant invariant le carré ABCD est
C = I, r, r2
, r3
, s∆1 , s∆2 , s(AC), s(BD)
où ∆1 et ∆2, sont les médiatrices respectives de [AB] et de
[AD] et r est la rotation de centre O, le centre du carré et
d’angle π/2.
Engendré par{r, s∆2 }.
49/80
88. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ensemble des courbes retenues
passer les figures
50/80
89. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 1
51/80
90. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 1
51/80
91. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 2
51/80
92. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 2
51/80
93. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 2
51/80
94. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 2
51/80
95. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 3
51/80
96. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 3
51/80
97. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 4
51/80
98. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 4
51/80
99. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 4
51/80
100. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 4
51/80
101. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
102. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
103. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
104. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
105. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
106. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
107. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
108. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 5
51/80
109. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
110. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
111. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
112. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
113. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
114. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
115. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
116. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries
pièce 6
51/80
117. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ensemble des courbes possibles
=⇒ 28 courbes possibles !
52/80
118. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ensemble des courbes possibles
En enlevant les 8 pièces 6, restent 28 − 8 = 20 courbes possibles !
revenir au début des figures
52/80
119. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ?
Les courbes sont définies par deux points appartenant à l’ensemble
des milieux et des sommets. Pour chacun de ces couples, les deux
points peuvent être opposés ou adjacents.
En reprenant la dénomination du texte du brevet, on a les
possibilités suivantes :
1 deux milieux opposés ;
2 deux milieux adjacents ;
3 deux sommets opposés ;
4 deux sommets adjacents ;
5 un milieu et un sommet opposés ;
6 un milieu et un sommet adjacents.
53/80
120. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ?
Les courbes sont définies par deux points appartenant à l’ensemble
des milieux et des sommets. Pour chacun de ces couples, les deux
points peuvent être opposés ou adjacents.
En reprenant la dénomination du texte du brevet, on a les
possibilités suivantes :
1 deux milieux opposés ;
2 deux milieux adjacents ;
3 deux sommets opposés ;
4 deux sommets adjacents ;
5 un milieu et un sommet opposés ;
6 un milieu et un sommet adjacents.
53/80
121. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ?
Ainsi, trois choix possibles des couples points (SS, SM, MM) et
deux choix possibles pour leur lien (adjacent ou opposé), ce qui fait
donc 3 × 2 = 6 possibilités totales.
Généralisation ? Voir plus loin.
54/80
122. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ?
Ainsi, trois choix possibles des couples points (SS, SM, MM) et
deux choix possibles pour leur lien (adjacent ou opposé), ce qui fait
donc 3 × 2 = 6 possibilités totales.
Généralisation ? Voir plus loin.
54/80
123. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des passages et des bords
forme 5
Une fois les six courbes construites, il faut définir les passages (des
roues) et éventuellement les bords.
55/80
124. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Élaboration des modèles 3D (CA0)
Deux étudiants du département Génie Mécanique et Conception de
l’INSA de Lyon ont ensuite élaboré les modèles 3D des pièces.
56/80
125. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Fabrication finale des prototypes
Enfin, les prototypes en bois (bois massif certifié PEFC à 100 %)
ont été réalisés par l’entreprise AS’Bois à Saint-Julien sur Suran
(Jura, http://www.as-bois.fr).
57/80
126. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan A
p1: 3, p2: 4, p3: 1, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3
5
3
5(b) 1 5
4
5(b)12
2 1 2
25
4
4
5(b)
58/80
127. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan A
Ainsi, il faut partir d’un point, choisir les pièces pour revenir à ce
point et lors de la pose de la dernière pièce, correctement choisie, la
trajectoire est assurée d’être continue et dérivable en ce point et
l’encastrement est donc parfait !
59/80
128. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan B
p1: 4, p2: 5, p3: 4, p4: 2, p5: 5, p5(b): 5
5(b)
5
3
5(b) 2
1
2 1 2
5
4
3
3
5(b)
5
5(b)
212
5
3
4
5(b)15
60/80
129. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan C
p1: 1, p2: 2, p3: 3, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3
2
5
4
3
3
5(b)
5
5(b)
215
3
4
4
5(b)
61/80
130. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1 Problématique
2 Construction des pièces du circuit
3 Autres systèmes possibles ?
4 Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
62/80
131. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Le carré initialement choisi
n est le nb de points ;
p = C2
n est le nb de courbes ;
q est le nb de courbes
conservées ;
s est le nb d’isométries ;
I est l’ensemble des angles.
n = 8,
p = 28,
q = 6,
s = 8,
I = {0, π/4, π/2, 3π/4}.
63/80
132. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Le carré initialement choisi
n est le nb de points ;
p = C2
n est le nb de courbes ;
q est le nb de courbes
conservées ;
s est le nb d’isométries ;
I est l’ensemble des angles.
n = 8,
p = 28,
q = 6,
s = 8,
I = {0, π/4, π/2, 3π/4}.
63/80
133. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Triangle équilatéral
Milieux seuls
n = 3,
p = 3,
q = 1,
s = 6,
I = {π/3, 2π/3}.
64/80
134. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Triangle équilatéral
Milieux et sommets
n = 6,
p = 15,
q = 4,
s = 6,
I = {0, π/3, 2π/3}.
64/80
135. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Octogone régulier
Milieux seuls
n = 6,
p = 15,
q = 3,
s = 12,
I = {0, π/3, 2π/3}.
65/80
136. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Octogone régulier
Milieux et sommets
=⇒ Impossible !
65/80
137. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Carré
Milieux seuls
=⇒ Déjà existants (Brio c ) !
66/80
138. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Carré
Milieux et sommets
=⇒ Déjà vus !
66/80
139. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Pavage à deux tuiles
Par exemple, carrés et octogones.
Difficulté : deux types de pièces
67/80
140. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Pavage à deux tuiles
Par exemple, carrés et octogones.
Difficulté : deux types de pièces
67/80
141. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Question : Peut-on formaliser le système choisi, en fonction du ou
des polygones et des points, et en déduire les valeurs de n, p, q, s,
.... ?
68/80
142. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1 Problématique
2 Construction des pièces du circuit
3 Autres systèmes possibles ?
4 Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
69/80
143. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces (les 40 possibilités)
70/80
144. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces (seules 10 possibilités)
71/80
145. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 7 pièces (les 560 possibilités)
72/80
146. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 7 pièces (seules 140 possibilités)
73/80
147. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 4 pièces
2
2 2
2
74/80
148. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 4 pièces
2
2 2
2
74/80
149. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 4 pièces
4
4
4
4
74/80
150. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 4 pièces
4
4
4
4
74/80
151. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
2
5
4
4
5(b)
75/80
152. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
5
4
4
5(b)
2
75/80
153. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
5
4
4
5(b)
2
75/80
154. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
2
5
4
4
5(b)
75/80
155. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
4
4
5(b) 2
5
75/80
156. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
4
5(b)
2 5
4
75/80
157. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
5(b)2
5
4
4
75/80
158. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
5(b)
2 5
4
4
75/80
159. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
4
5(b) 2
5
4
75/80
160. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 5 pièces
4
4
5(b)
25
75/80
161. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 9 pièces
2
22
1
2 5
4
4
5(b)
76/80
162. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 9 pièces
2
22
5
5(b) 2
5
4
5(b)
76/80
163. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 9 pièces
2
5
4
5(b) 5
4
5(b)5
5(b)
76/80
164. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 9 pièces
5
3
4
4
3
5(b) 2
21
76/80
165. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 9 pièces
5
4
5(b)
1
2 5
5(b) 2
2
76/80
166. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype)
Avec 9 pièces
5
4
4
5(b)
2 1 5
4
5(b)
76/80
167. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Un grand nombre de boucles possibles
Nombre de rails utilisés Système Easy Loop Système traditionnel
théorique pratique théorique pratique
1 à 3 0 0 0 0
4 4 2 2 1
5 10 1 0 0
6 36 4 6 1
7 140 – 0 0
8 580 – 54 –
9 2772 – 0 0
10 12150 – 380 –
11 56342 – 0 0
12 249156 – 3020 –
On constate donc le nombre élevé de possibilités offertes par notre
système par rapport aux systèmes traditionnels !
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168. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Problèmes des aiguillages et autres
78/80
169. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Informations, contact
jerome.bastien@univ-lyon1.fr
http://easyloop.toys/
http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/detail_brevet_rails.html
Le programme permettant de faire des plans sera bientôt en ligne.
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170. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Informations, contact
jerome.bastien@univ-lyon1.fr
http://easyloop.toys/
http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/detail_brevet_rails.html
Le programme permettant de faire des plans sera bientôt en ligne.
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173. Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
[bre] J. Bastien. “Circuit apte à guider un véhicule miniature”. Brevet
FR2990627. Université Lyon I. Brevet publié sur le site de l’INPI
http://bases-
brevets.inpi.fr/fr/document/FR2990627.html?p=6&s=
1423127185056&cHash=cfbc2dad6e2e39808596f86b89117583
Voir aussi [pct]. 15 mai 2012.
[HM13] F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris :
Ellipses, 2013.
[LH97] C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de Mathématiques
(Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay, 1997.
[pct] J. Bastien. “Circuit suitable for guiding a miniature vehicle [Circuit
apte à guider un véhicule miniature]”. Brevet WO2013171170.
Université Lyon I. Demande internationale publiée en vertu du traité
de coopération en matière de brevets (PCT). Voir http://bases-
brevets.inpi.fr/fr/document/WO2013171170.html?p=6&s=
1423127405077&cHash=6947975351b6d1cf7dd56d4e749a98bb.
13 mai 2013.
[Per] D. Perrin. “Les courbes de Bézier”. notes pour la préparation au
CAPES de mathématiques disponibles sur http://www.math.u-
psud.fr/~perrin/CAPES/geometrie/BezierDP.pdf.
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