Les algorithmes d'arithmetique

PROF : Mohamed SAYARI 4 SI LES ALGORITHMES D’ARITHMETIQUES

I. Introduction
L’arithmétique est une branche de mathématiques qui étudie les relations entre les nombres. C’est aussi
l’étude des nombres et des opérations élémentaires entre eux.

II. Calcul de PGCD (voir chapitre récursivité)

III. Calcul de et
III.1 présentation
- Le nombre de permutations ordonnés possibles de p éléments parmi n appelé Arrangement :
Exemple1 : quels sont les nombres de 2 chiffres à former à partir de la liste {5, 3,1}
Réponse : 53, 35, 51, 15, 31, 13  =6
Exemple2 : tirage sans remise

 Définition 1: E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de E toute p-liste
d'éléments distincts de E.

- Le nombre de permutations sans ordre possibles de p éléments parmi n appelé Combinaison :
Exemple1 : quels sont les listes de 2 éléments à former à partir de la liste {5, 3,1}
Réponse : {5, 1}, {5, 3}, {3, 1}  =3
Exemple2 : tirage avec remise

 Définition 2: E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E toute
collection non ordonnée de p éléments distincts de E

III.2 Calcul de
Activité1 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet de calculer et d’afficher l e avec n et p
deux entiers tel que 1≤p≤ n
Sachant que = n (n-1) (n-2) ….. (n-p+1)
Ou encore ( )

a) Analyse du programme principal
2) Résultat = Ecrire ("A (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))
1) (N,p)= proc saisir (n, p)
Algorithme du programme principal
TDOG
0) DEBUT arrangement
Objet Type/Nature
1) Proc saisir (n, p)
N Entier
2) Ecrire ("A (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))
p entier
saisir procédure 3) Fin arrangement
calcul fonction

1


b) Analyse de la procédure saisir Algorithme de la procédure saisir
DEF PROC saisir var (n, p : entier)
0) DEF PROC saisir (var n, p : entier)
Résultat = n, p
1) Répéter
2) N= [ ] répéter
Ecrire ("P= "), lire (P)
N= donnée ("N=")
Jusqu’à (p≥1)
Jusqu’à (n≥p)
2) Répéter
1) P= [ ] répéter Ecrire ("N= "), lire (N)
P= donnée ("P= ") Jusqu’à (N≥p)
Jusqu’à (p ≥1) 3) Fin saisir

c) Analyse de la fonction calcul Algorithme de la fonction calcul
DEF FN calcul (n, p : entier) : entier
0) DEF FN CALCUL (n, p : entier) : entier
2) Résultat = calcul  a
1) A 1
1) A= [a1] pour i de n à (n-p+1) (pas=-1) Faire Pour i de n à n-p+1 (pas=-1) Faire
Aa*i Aa*i
Fin pour Fin pour
2) Calcul a
TDOL 3) Fin calcul
objet Tupe/nature
I Entier
a entier

2


III.3 Calcul de
Activité1 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet de calculer et d’afficher le avec n et p
deux entiers tel que 0≤p≤ n

2) Résultat = Ecrire ("C (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))
3) (N,p)= proc saisir (n, p)
TDOG
0) DEBUT arrangement
Objet Type/Nature 1) Proc saisir (n, p)
N Entier 2) Ecrire ("C (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))
p entier 3) Fin arrangement
saisir procédure
calcul fonction

b) Analyse de la procédure saisir
DEF PROC saisir var (n, p : entier)
Résultat = n, p
2) N= [ ] répéter
Algorithme de la procédure saisir
N= donnée ("N=")
Jusqu’à (n≥p) 0) DEF PROC saisir (var n, p : entier)
1) P= [ ] répéter 1) Répéter
P= donnée ("P= ") Ecrire ("P= "), lire (P)
Jusqu’à (p ≥0) Jusqu’à (p≥0)
2) Répéter
Ecrire ("N= "), lire (N)
Jusqu’à (N≥p)
3) Fin saisir

c) Analyse de la fonction calcul
DEF FN calcul (n, p : entier) : real Algorithme de la fonction calcul
2) Résultat = calcul  c
0) DEF FN CALCUL (n, p : entier) : réel
1) C  FACT (n) / (FACT (p) * FACT (n-p))
1) C  FACT (n) / (FAT(p)*FACT (n-p))
2) CALCUL  c
3) Fin calcul

3


III.4 Application
=9 =8 =1

=1 =1

Activité : écrire la fonction combinaison récursive

Analyse de la fonction COMB récursive
DEF FN Combo (n, p : entier) : entier
Résultat= combo
1) combo= [ ] si (p=0) ou (p=n) alors combo 1
Sinon combo  FN combo (n-1, p-1) + FN combo (n-1, p)
Fin si

4


IV. Quelques règles de divisibilité (livre page 166)

V. Conversion entre les bases de numération
V.1 Définition
Un système de numération est une méthode de comptage fondée sur une base de numération qui est
un entier supérieur ou égal à 2. Soit N une base de numération, le système sera doté de N chiffres de
0 à N-1

V.2 Exemples de bases de numération (voir livre page 166)

V.3 Conversion d’un nombre décimal en binaire
Ecrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un entier positif, le convertit en
binaire.

2) Résultat = Ecrire (Fn conv_DEC_BIN(n))
1) N = proc saisir (n)

b) Analyse de la procédure CONV_DEC_BIN
DEF FN CONV_DEC_BIN (n : entier) : chaîne Algorithme du programme principal
2) Résultat = CONV_DEC_BIN  ch
1)Ch=[ch  ""] répéter 0) Début conversion
R  n mod 2 1) Proc saisir (n)
N  n div 2 2) Ecrire (Fn conv_DEC_BIN(n))
Ch  chr(48+R)+ch 3) Fin conversion
Jusqu’à (n=0)

Algorithme de la fonction CONV_DEC_BIN

0) DEF FN CONV_DEC_BIN (n : entier) : chaîne
1) Ch  ""
répéter
R  n mod 2
N  n div 2
Ch  chr(48+R)+ch
Jusqu’à (n=0)
2) CONV_DEC_Bin  ch
3) Fin CONV_DEC_BIN

5


V. 4 Conversion d’un nombre binaire en décimal
Ecrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre binaire (sous forme d’une
chaîne de caractères), le convertit en décimal.
2) Résultat = Ecrire (FN conv_bin_dec(ch)) 0) Début conversion
1)Ch= proc saisir (ch) 1) Proc saisir (ch)
2) Ecrire (FN conv_bin_dec(ch))
3) Fin conversion
b) Analyse de la procédure saisir
DEF PROC SAISIR (var ch : chaîne) Algorithme de la procédure saisir
Résultat = ch 0) DEF PROC SAISIR (var ch : chaîne)
1)Ch=[ ] répéter 1) répéter
Ch= donnée ("CH= ") Ecrire ("CH= "), lire (ch)
i0 i0
répéter répéter
ii+1 ii+1
test  ch[i] dans ["0","1"] test  ch[i] dans ["0","1"]
jusqu’à (non test) ou (i=long(ch)) jusqu’à (non test) ou (i=long(ch))
jusqu’à test Jusqu’à test
2) Fin saisir

c) Analyse de la fonction conv_bin_dec Algorithme de la fonction conv_bin_dec
DEF FN conv_bin_dec (ch :chaîne) : entier long
0)DEF FN conv_bin_dec (ch :chaîne): entire long
2)Résultat = conv_bin_dec  n
1)N <- 0
1)N= [n0] pour i de 1 à long (ch) faire
pour i de 1 à long (ch) faire
N  n +(ord(ch[i])-48)*puissance(long(ch)-i)
N  n +(ord(ch[i])-48)*puissance(long(ch)-i)
Fin pour
Fin pour
2) conv_bin_dec  N
3) Fin conv_bin_dec

d) Analyse de la fonction puissance Algorithme de la fonction puissance
DEF FN puissance (x :entier) :entier 0)DEF FN puissane (x :entier) : entier
2)Résultat = puissance p 1)p 1
Pour i de 1 à x faire
1)P=[ p 1] pour i de 1 à x Faire
Pp*2
P  2*p Fin pour
Fin pour 2)puissance p
3) Fin puissance

6


7


V. 5 Conversion d’un nombre hexadécimal en binaire
Activité : écrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre hexadécimal, le
convertit en binaire.

Analyse du programma principal :
2)Résultat= Ecrire("("ch," )16= (", FN conv_hex_bin(ch), ")2")
1)Ch= proc saisir (ch)
TDOG 0) Début conversion
Objet Type/nature Rôle
1) proc saisir (ch)
Ch Chaîne
Saisir Procédure 2) Ecrire ("("ch,») 16= (", FN conv_hex_bin(ch), ")2")
Conv_hex_bin fonction 3 Fin conversion
Analyse de la procédure saisir
TDOL
DEF PROC saisir (var ch :chîne) Objet Type/nature Rôle
Résultat = ch i Entier
test booléen
1)Ch=[ ] répéter Algorithme de la procédure saisir
Ch= donnée ("CH=") 0) DEF PROC saisir (var ch :chîne)
i 0 1) répéter
Répéter Ecrire ("CH="), lire (ch)
i  i+1 i 0
Répéter
ch[i] dans ["0".."9", "A".."F"]
i  i+1
Jusqu’à (non test) ou (i=long (ch))
ch[i] dans ["0".."9", "A".."F"]
Jusqu’à (test)
jusqu’à (non test) ou (i=long(ch))
Analyse de la fonction conv_hex_bin Jusqu’à (test)
2) fin saisir
DEF FN conv_hex_bin (ch : chaîne): chaîne
2)Résultat= conv_hex_bin  ph
2)Ph=[] tant que ph[1]= "0" faire TDOL
Efface(ph, 1, 1) Objet Type/nature Rôle
i Entier
Fin tant que con fonction
1)Ph=[ph""]pour i de 1 à long (ch) faire ph chaîne
Si ch[i] dans ["0".."9"] alors ph  ph + conv(ord(ch[i])-48)
Sinon ph ph + conv (ord(ch[i])-55)
Fin si

Analyse de la fonction conv
DEF FN conv (x : entier): chaîne TDOL
2)Résultat= convdh Objet Type/nature Rôle
i Entier
1)dh=[dh"0000", i4] répéter dh chaîne
dh[i]  chr((x mod 2)+48)
x x div 2
i i – 1

8


Algorithme de la fonction conv_hex_bin
jusqu’à (x=0)
0) DEF FN conv_hex_bin (ch : chaîne): chaîne Algorithme de la fonction conv
1) Ph"" 0) DEF FN conv (x : entier): chaîne
pour i de 1 à long (ch) faire 1) dh"0000"
Si ch[i] dans ["0".."9"] alors ph  ph + conv(ord(ch[i])-48) i4
Sinon ph ph + conv (ord(ch[i])-55) répéter
Fin si dh[i]  chr((x mod 2)+48)
2) tant que ph[1]= "0" faire x x div 2
Efface (ph, 1, 1) i i – 1
Fin tant que jusqu’à (x=0)
3) fin conv_hex_bin 2) fin conv

4) Fin conv_hex_bin

9


V. 6 Conversion d’un nombre binaire en hexadécimal
Activité : écrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre binaire, le
convertit en hexadécimal.

Analyse du programme principal :
2) Résulat= Ecrire ("(", ch, ") 2= (", FN conv_bin_hex(ch), ")16")
1) Ch= proc saisir (ch)
TDOG
0) Début conversion
Objet Type/nature Rôle
Conv_bin_hex fonction 1) proc saisir (ch)
ch chaîne
2) Ecrire ("(", ch, ") 2= (", conv_bin_hex(ch), ")16")
Saisir procédure
3) Fin conversion

Analyse de la fonction conv_bin_hex
DEF FN conv_hex_bin (ch : chaîne): chaîne
3) Résultat= conv_bin_hex  ph
2) Ph= [ph "" ] répéter
Ph  ph + Fn conv (sous-chaîne (ch, 1, 4))
Efface (ch, 1, 4)
Algorithme de la fonction conv_bin_hex
Jusqu’à (long (ch)=0)
1) Ch=[ ] tant que long(ch) mod 4≠0 Faire 0) DEF FN conv_bin_hex (ch : chaîne): chaîne
Insère (ch, "0", 1) 1) tant que long(ch) mod 4≠0 Faire
Fin tant que Insère (ch, "0", 1)
Fin tant que
TDOL
2) ph ""
Objet Type/nature Rôle Répéter
conv fonction Ph  ph + FN conv (sous-chaîne (ch, 1, 4))
ph chaîne Efface (ch, 1, 4)
Jusqu’à (long (ch)=0)
3) conv_bin_hex  ph
Analyse de la fonction conv 4) fin conv_bin_hex
DEF FN conv (dh : chaîne) : caractère
Résultat= conv
2)Conv=[ ] si x dans [0..9] alors conv  chr (x+48) Algorithme de la fonction conv
Sinon conv  chr (x+55) 0) DEF FN conv (dh : chaîne) : caractère
Fin si 1) x0
pour i de 1 à 4 faire
1) x=[x0] pour i de 1 à 4 faire
x  x + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (4-i)
x  x + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (4-i)
Fin pour
Fin pour
2) si x dans [0..9] alors conv  chr (x+48)
TDOL Sinon conv  chr (x+55)
Objet Type/nature Rôle Fin si
x enier 3) Fin conv
i entier
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Analyse de la fonction puissance Algorithme de la fonction puissance
DEF FN puissance (a :etier) : entier
Résultat=puissance b 0) DEF FN puissance (a :etier) : entier
1) b1
b=[b1] pour i de 1 à 4 faire
Pour i de 1 à 4 faire
bb*2
bb*2
fin pour
TDOL fin pour
Objet Type/nature Rôle 2) puissance b
b enier
i entier

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V. 5 Conversion d’un nombre hexadécimal en décimal
Activité : écrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre hexadécimal, le
convertit en décimal.

Analyse du programme principal :
2) Résultat= Ecrire ("(ch",") 16= (", FN conv_hex_dec (ch),") 10")
1) Ch=proc saisir (ch)

Algorithme du programme principal TDOG
0) Début conversion Objet Type/nature
1) proc saisir (ch) saisir Procédure
Conv_hex_dec fonction
2) Ecrire ("(ch",") 16= (", FN conv_hex_dec (ch),") 10") ch chaîne
3) Fin conversion

Analyse de la fonction conv_hex_dec :
DEF FN conv_hex_dec (ch :chaîne): entire long
2) Résultat= conv_hex_dec  N
1) N= [N 0] pour i de 1 à long (ch) faire
Si ch[i] dans ["0".."9"] alors N N + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (long (ch) –i)
Sinon N  N + (ord (ch[i])-55) * FN puissance (long (ch)-i)
Fin si
Fin pour
Algorithme de la fonction conv_hex_dec
0) DEF FN conv_hex_dec (ch :chaîne): entire long
1) N0
pour i de 1 à long (ch) faire TDOL
Si ch[i] dans ["0".."9"] alors N N + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (long (ch) –i) Objet Type/nature
Sinon N  N + (ord (ch[i])-55) * FN puissance (long (ch)-i) N Entier long
Fin si i entier
Fin pour
2) conv_hex_dec  N
3) Fin conv_hex_dec

Analyse de la fonction puissance :
DEF FN puissance (x : entier) : entier long
2) Résultat= puissance p Algorithme de la fonction puissance
1) P= [p0] pour i de 1 à x faire 0) DEF FN puissance (x : entier) : entier long
P  p * 16 1) p0
Fin pour Pour i de 1 à x faire
P  p * 16
TDOL Fin pour
Objet Type/nature 2) Puissance p
p Entier long 3) Fin puissance
i entier

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V.7 Conversion d’un nombre octal en binaire
Similaire à la conversion de l’hexadécimal en binaire.
Exemple :

5 7 3 1

101 111 011 001

Donc (5731)8 = (101111011001)2

V. 8 Conversion d’un nombre binaire en octal

Similaire à la conversion du binaire en hexadécimal
Exemple :

101 111 011 001

1*22+0*21+1*20 = 5 1*22+1*21+1*20 = 7 0*22+1*21+1*20 = 3 0*22+0*21+1*20 = 1

Donc (101111011001)2 = (5731)8

V. 9 Conversion d’un nombre octal en décimal
Similaire à la conversion du hexadécimal en décimal
Exemple :
(5732)8 = 5*83 + 7*82 + 3*81 + 2*80 = (3034)10

V. 10 Conversion d’un nombre d’une base b1 en une base b2
Ecrire un programme modulaire en Pascal, qui saisit un nombre d’une base B1 et le convertit en une
base B2 avec (2≤B1≤16 et 2≤B2≤16)

4) Résultat= écrire ("(", ch,") ", b1, "= (", FN conversion (ch, b1, b2), ")", b2)
3) B2= proc saisir (b2)
Algorithme du programme principal :
2) Ch= proc saisir (ch, b1)
1) B1= proc saisir (b1) 0) Début conversion
1) proc saisir (b1)
2) proc saisir (ch, b1)
3) proc saisir (b2)
4) écrire ("(", ch,") ", b1, "= (", FN conversion (ch, b1, b2), ")", b2)
5) Fin conversion

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b) Analyse de la fonction conversion
DEF FN conversion (ch : chaîne ; b1, b2 : entier) : chaîne
3) Résultat = conversion  ph Algorithme de la fonction convesrion
2) Ph  FN convb2 (n10, b2) 0) DEF FN conversion (ch : chaîne ; b1, b2 : entier)
1) N10  FN conv10 (ch, b1) 1) N10  FN conv10 (ch, b1)
2) Ph  FN convb2 (n10, b2)
3) conversion  ph
4) fin conversion
c) Analyse de la fonction conv10 (convertit un nombre vers la base décimal)
DEF FN conv10 (ch : chaîne ; b1 : entier) : entier long
2) Résultat= conv10 n
1) N= [n0] pour i de long (ch) à 1 (pas=-1) Faire
Si ch[i] dans ["0".."9"] alors n  n + (ord (ch[i])-48) * Fn puissance (b1, long (ch)-1)
Sinon n  n + (ord (ch[i])-55) * Fn puissance (b1, long (ch)-1)
Fin si
Fin pour
Algorithme de la fonction conv10
0) DEF FN conv10 (ch : chaîne ; b1 : entier) : entier long
1) n0
Pour i de long (ch) à 1 (pas=-1) Faire
Si ch[i] dans ["0".."9"] alors n  n + (ord (ch[i])-48) * Fn puissance (b1, long (ch)-1)
Sinon n  n + (ord (ch[i])-55) * Fn puissance (b1, long (ch)-1)
Fin si
Fin pour
2) conv10 n
3) Fin conv10

d) Analyse de la fonction convb2 (convertit un nombre décimal vers la base B2)
DEF FN convb2 (n1O : entier long ; b2 : entier) : chaîne
2) Résultat= convb2  ph
Algorithme de la fonction convb2
1) Ph= [ph""] répéter 0) DEF FN convb2 (n1O : entier long ; b2 : entier) : chaîne
R  n mod b2 1) ph""
Si r ≤9 alors ph  chr(r + 48) + ph Répéter
Sinon ph  chr(r+55) + ph R  n mod b2
Fin si Si r ≤9 alors ph  chr(r + 48) + ph
Sinon ph  chr(r+55) + ph
N10  N10 div b2 Fin si
Jusqu’à (N10 = 0) N10  N10 div b2
Jusqu’à (N10 = 0)
2) convb2  ph
3) fin convb2

Algorithme de la fonction puissance
e) Analyse de la fonction puissance 0) DEF FN puissance (x, y : entier) : entier long
DEF FN puissance (x, y : entier) : entier long 1) Z 1
2) Résultat= puissance  Z Pour i de 1 à y faire
1) Z= [Z 1] pour i de 1 à y faire ZZ*x
Fin pour
ZZ*x
2) puissance  Z
Fin pour 3) Fin puissance

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