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Analyse




Didier Müller, janvier 2012

  www.nymphomath.ch
analyse
Table des matières
1. Limites
1.1. Les limites dans la vie courante.....................................................................................................................................1
1.2. Exemple introductif.......................................................................................................................................................2
1.3. Définition et notations...................................................................................................................................................3
1.4. Opérations sur les limites..............................................................................................................................................4
1.5. Calcul de limites quand x → a, a fini............................................................................................................................4
1.6. Calcul de limites quand x → ∞......................................................................................................................................5
1.7. Une limite célèbre..........................................................................................................................................................7
1.8. Ce qu'il faut absolument savoir.....................................................................................................................................7



2. Continuité
2.1. Continuité en un point...................................................................................................................................................9
2.2. Continuité sur un intervalle...........................................................................................................................................9
2.3. Opérations sur les fonctions continues........................................................................................................................10
2.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues........................................................................................11
2.5. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................12



3. Dérivées
3.1. Un peu d'histoire..........................................................................................................................................................13
3.2. Définition de la dérivée...............................................................................................................................................13
3.3. La dérivée seconde......................................................................................................................................................17
3.4. Dérivées de fonctions usuelles....................................................................................................................................19
3.5. Règles de dérivation....................................................................................................................................................19
3.6. Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables...............................................................................................................21
3.7. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................24



4. Applications des dérivées
4.1. Calculs de tangentes à des courbes..............................................................................................................................25
4.2. Problèmes de taux d'accroissement.............................................................................................................................28
4.3. Problèmes d'optimisation.............................................................................................................................................29
4.4. Méthode de Newton-Raphson.....................................................................................................................................32
4.5. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................32



5. Étude de fonctions
5.1. Asymptotes..................................................................................................................................................................33
5.2. Points fixes..................................................................................................................................................................33
5.3. Croissance et concavité (rappels)................................................................................................................................34
5.4. Méthode.......................................................................................................................................................................35
5.5. Un exemple complet....................................................................................................................................................35
5.6. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................38



6. Étude de courbes paramétrées
6.1. Définitions...................................................................................................................................................................39
6.2. Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajous.............................................................................................39
6.3. Asymptotes..................................................................................................................................................................40
6.4. Dérivées et points particuliers.....................................................................................................................................41
6.5. Méthode.......................................................................................................................................................................41
6.6. Deux exemples complets.............................................................................................................................................42
6.7. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................45
7. Intégrales
7.1. Un peu d'histoire..........................................................................................................................................................47
7.2. Calcul d'aire.................................................................................................................................................................47
7.3. Définition de l'intégrale définie...................................................................................................................................48
7.4. Le théorème fondamental du calcul intégral...............................................................................................................49
7.5. Recherche de primitives..............................................................................................................................................50
7.6. Retour au problème du calcul d'aire............................................................................................................................53
7.7. Calcul de l'intégrale définie.........................................................................................................................................54
7.8. Intégrales impropres....................................................................................................................................................55
7.9. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................56


8. Applications des intégrales
8.1. Aire entre deux courbes...............................................................................................................................................57
8.2. Volume d'un solide de révolution................................................................................................................................58
8.3. Longueur d'une courbe plane.......................................................................................................................................59
8.4. Aire d'une surface de révolution..................................................................................................................................60
8.5. Mouvement rectiligne..................................................................................................................................................61
8.6. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................62


9. Équations différentielles
9.1. Introduction.................................................................................................................................................................63
9.2. L'équation y' = f(x).......................................................................................................................................................63
9.3. L'équation à variables séparables y'⋅ g(y) = h(x)........................................................................................................64
9.4. L'équation homogène y' =g
                                               y
                                               x  ..............................................................................................................................64
9.5. L'équation linéaire y' + p(x)⋅ y = q(x)..........................................................................................................................65
9.6. Applications des équations différentielles d'ordre 1....................................................................................................65
9.7. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................67
LIMITES                                                          1



1. Limites
1.1.        Les limites dans la vie courante
                                  La notion de vitesse, et en particulier la vitesse d'un objet à un instant précis, est,
Vitesse instantanée               étonnamment, subtile et difficile à définir précisément. Considérez cette affirmation :
                                  « À l'instant où le cheval a franchi la ligne d'arrivée, il galopait à 64 km/h ». Comment
                                  peut-on étayer une telle affirmation ? Une photographie ne serait d'aucune aide, puisque
                                  sur le cliché, le cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de quantifier
                                  le mouvement à un moment précis puisqu'en se focalisant sur un seul instant on stoppe
                                  le mouvement !




                                  Rappelons que la vitesse est la distance parcourue ∆x divisée par le temps ∆t qu'il a fallu
                                  pour la parcourir. Pour avoir la vitesse instantanée, on choisira  t 0 . On ne peut pas
                                  prendre ∆t = 0, puisqu'on aurait une division par 0. La vitesse instantanée est donc une
                                  limite.
          Zénon d'Elée            Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de Zénon et d'autres
       (Elée, env. −490 −         philosophes dès le 5ème siècle avant Jésus Christ. L'approche moderne, rendue célèbre
        Elée, env. −425)          par Newton, ne considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit intervalle
                                  de temps contenant cet instant.

                                  On a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente d'une droite.
Pente d'une courbe
                                  Qu'en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente d'une courbe n'est pas
en un point                       constante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, la
                                  pente n'est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que d'autres.
                                  Comme la pente d'une droite est le déplacement vertical ∆y divisé par le déplacement
                                  horizontal ∆x, la pente en un point précis d'une courbe sera obtenu en choisissant
                                    x 0 , autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe. La pente d'une
                                  courbe en un point est donc elle aussi une limite.

                                  La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une
                                  fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord de son domaine de définition.




                             Voisinage d'un trou                                  Voisinage d'un bord du domaine




Didier Müller - LCP - 2012                                                                                        Cahier Analyse
2                                                                  CHAPITRE 1


1.2.       Exemple introductif
                                                              sin  x
                                    Soit la fonction f  x=           dont nous allons étudier le comportement au voisinage
                                                                 x
                                                                                                   0
                                    de a = 0, car elle est indéfinie en ce point, puisqu'on aurait   .
                                                                                                   0

        Méthode numérique La méthode numérique consiste à construire un petit tableau de valeurs.
                          Dans notre cas, on se rapprochera de 0 en venant depuis la gauche (i.e. en prenant des
                          nombres plus petits que 0) et depuis la droite (i.e. en prenant des nombres plus grands
                          que 0). D'après le tableau ci-dessous, il semblerait que la limite de f(x) quand x tend
                          vers 0 est 1.

                                    Attention ! Dans les méthodes numériques, les angles sont toujours exprimés en
                                    radians !

                        gauche                                            a                                droite
      x           –0.1    –0.01            –0.001          –0.0001         0        0.0001         0.001       0.01            0.1
    f(x)        0.99833 0.99998           0.99999          0.99999      indéfini   0.99999        0.99999    0.99998        0.99833

                     Méthode géométrique Nous allons prouver que le résultat de l'analyse numérique est exact par
                                         une méthode géométrique ad hoc.
                                  D
                                         Regardons le dessin ci-contre.
                           B
                                                     Aire du triangle OCB ≤ Aire du secteur OCB ≤ Aire du triangle OCD,
                                          ta n x




                                                     d'où :
                                                                       1                2  x 1
                                                                         ⋅1⋅sin  x⋅1 ⋅  ⋅1⋅tan  x
                           s in x




                                                                       2                  2 2
            x                                        Après simplifications :
    0                           A         C                                        sin  x x tan x
                      1
                                                     Après division par sin(x) (d'après le dessin sin(x) > 0) :
L'arc de cercle BC est une portion du
                                                                                           x       1
cercle trigonométrique (de rayon 1).                                               1           
                                                                                        sin  x cos  x
                                                     Puis en inversant tout :
                                                                                        sin  x
                                                                                   1            cos  x
                                                                                           x
                                                     Comme on fait tendre x vers 0, cos(x) tend vers 1 et il résulte que :
                                                                                           sin  x
                                                                                     1             1
                                                                                              x
                                                     On vient de démontrer que, en venant depuis la droite (puisque l'angle x
                                                     est positif), la limite de la fonction f(x) tend vers 1.
                                                     On remarque rapidement que le résultat est le même en venant depuis la
                                                                                     sin − x sin  x
                                                     gauche (i.e. x < 0), puisque              =         et cos(–x) = cos(x).
                                                                                        −x           x

                                    Comme la limite à gauche est égale à la limite à droite, on dit que la limite existe et
                                    qu'elle est égale à 1.
                                                          sin  x
                                    On l'écrit : lim               =1
                                                   x 0      x
                                    Remarque importante
                                    Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, on dit que la limite n'existe pas.



Cahier Analyse                                                                                                    Didier Müller - LCP - 2012
LIMITES                                                             3




                                                      sin  x
                                          Graphe de            , avec un trou en x = 0
                                                         x


1.3.        Définition et notations
                     Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. Elle peut ne pas être
                                définie en a.
                                La limite de f en a est le nombre vers lequel se rapproche la valeur de f(x) quand x se
                                rapproche aussi près qu'on veut de a, mais avec x ≠a.

                     Notations Il existe de nombreuses notations pour indiquer les limites à gauche et à droite. Voici
                               celle que nous utiliserons :
                                               Limite à gauche                      Limite à droite

                                               lim f x = L                             lim f  x= L
                                               x a                                      x a
                                               xa                                       xa



                                 Rappelons encore une fois que lim f x = L ⇔ lim f  x= L et lim f  x=L .
                                                                  x a               xa                   x a
                                                                                     xa                   xa




                                                       {
Exercice 1.1                                             – 1 si x  1
                                 Soit la fonction f(x) = 2   si x = 1
                                                         3   si x  1




                                 Donnez : a. lim f x         b. lim f x       c. lim f x           d. f(1)
                                              x 1                x 1                   x 1
                                              x1                 x1




Didier Müller - LCP - 2012                                                                                         Cahier Analyse
4                                                                CHAPITRE 1


1.4.       Opérations sur les limites
                            Si f et g admettent des limites finies quand x  a , avec a fini ou infini, alors :


                             lim  k⋅f  x=k⋅lim f  x , où k est un nombre réel
                             x a                      xa

                             lim  f  x g  x=lim f  xlim g x                          (idem pour « – »)
                             x a                           xa             x a

                             lim  f  x⋅g  x=lim f  x⋅lim g  x
                             x a                          xa            xa

                                                lim f  x
                                       f  x x  a
                             lim             =          si lim g x≠0
                             x a      g x lim g  x    x a
                                                xa
                                      n

                             x a
                                                
                             lim  f  x= n lim f  x
                                                    x a




                            On va maintenant classer les limites en différentes catégories, puis on développera des
                            techniques de résolution pour chacune de ces catégories. On cherchera d'abord des
                            limites quand x tend vers un nombre fini, puis quand x tend vers l'infini.


1.5.       Calcul de limites quand x → a, a fini

Limites de fonctions Introduisons d'abord une définition intuitive de la continuité :
continues en a       « Une fonction est continue dans un intervalle si on peut la dessiner d'un bout à l'autre
                            de l'intervalle sans lever le crayon. »

                            Si f est continue en a, la limite en a est égale à l'image de a.

                                            2          2
                 Exemples   lim 3 x x =3⋅ 5=80
                                            5
                            x 5


                            lim sin  x=sin
                            x
                                 
                                 3
                                                     3
                                                      3
                                                        =
                                                          2


                                                                 N  x
Limite du quotient          Soit la fonction f  x=
                                                                 D x
de deux fonctions
1er cas :                                                                                               c1
                            Si lim N  x=c1 et lim D  x=c 2≠0 , alors lim f  x=                       .
dénominateur non nul             x a                       x a                          x a          c2

2ème cas :                  Seule une des trois réponses suivantes est possible :
numérateur non nul et       1. lim f  x=∞
dénominateur nul                     x a

                            2. lim f  x=−∞
                                     x a

                            3. lim f  x n'existe pas car lim f  x≠lim f  x
                                     x a                                  x a    x a
                                                                           xa     xa

                            Pour déterminer la bonne réponse, il faut donc comparer la limite à gauche et la limite à
                            droite. Si elles sont égales, la bonne réponse sera la 1. ou la 2. Si elles sont différentes,
                            la bonne réponse sera la 3.

                            Si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0, on a une forme
                            indéterminée.



Cahier Analyse                                                                                                       Didier Müller - LCP - 2012
LIMITES                                                                      5


3ème cas :                      a. N(x) et D(x) sont des polynômes
numérateur et                      Si N(a) = 0, N(x) est divisible par (x–a) et si D(a) = 0, D(x) est aussi divisible par
dénominateur nuls                  (x–a). On peut donc simplifier la fraction par (x–a).

                                                                  2
                                                                 x – 5 x6         x−2 x−3       x−3    1
                                      Exemple : lim                        =lim                =lim      =−
                                                                  x – x – 2 x  2  x−2 x1 x  2 x1
                                                                   2
                                                           x2                                              3

                                b. N(x) et D(x) ne sont pas des polynômes
                                   Dans certains cas on peut simplifier.


                                      Exemple : lim
                                                                  x – 2 =lim         x–2       =lim
                                                                                                                1
                                                                                                                   =
                                                                                                                     1
                                                           x4   x –4    x4      x−2  x 2 x  4       x 2 4

                                Dans d'autres cas, il faut une autre méthode, par exemple numérique ou géométrique
                                (voir l'exemple introductif).
                                Nous verrons dans le chapitre 3, consacré aux dérivées, le théorème de l'Hôpital, qui
                                pourra être utilisé dans un pareil cas.

                                Calculez, si elles existent, les limites suivantes :
Exercice 1.2
                                                  2                                               2                                  2
                                                 x –2 x                                     2 x x – 1                          3 x – 2 x 2
                                 1.     lim                                     2.   lim        3                  3.    lim
                                        x 0       x                                 x – 1    x 1                      x 0       x1
                                                   2                                         2                                       2
                                                 x 2 x – 15                                x 2 x – 15                          x 2 x – 15
                                 4.     lim       2                             5.   lim     2                     6.    lim      2
                                        x – 5   x 8 x15                           x3    x 8 x15                    x−3    x 8 x15
                                                  2                                           2                                  2
                                                 x – 2 x1                                  x 1                                x – 3 x2
                                 7.     lim                                     8.   lim                           9.    lim
                                                                                     x  2 ∣x – 4∣
                                                                                             2                                   2
Aide pour les ex. 13-16 :               x 1       x –1                                                                  x2    x – 4 x 4
                                                                                                                         x2
  a  b  a –  b=a – b
                                                  2                                          2                                   2
                                                 x – 3 x2                                  x – 5 x6                           x x – 2
                                10.     lim       2
                                                                            11.      lim       2                  12.    lim             2
Remarque utile pour les                 x2      x – 4 x 4                          x3     2x –6x                      x 1     x – 1
                                        x2
calculs
Quand x≈0, alors sin(x) ≈x      13.     lim
                                               x –1                        14.      lim
                                                                                             x 2 x –  2        15.    lim
                                                                                                                                    x–5
et tan(x) ≈x.                           x 1     x –1                                x 1         x –1                   x 5    2 x –1 – 3
                                                           2
Attention, cela ne marche que                      x                                        sin 2 x                           sin 2 x
                                16.     lim                                 17.      lim                          18.    lim
quand x est proche de 0 !               x 0    x 1 – 1
                                                       2
                                                                                     x 0       x                        x 0   sin 3 x 
                                               sin  x –1                                  sin  x                                x
Aide pour les ex. 23-24 :       19.     lim                                 20.      lim       2
                                                                                                                  21.    lim            2
                                        x 1      x–1                                x 0   2 x x                       x 1    x – 1
comparer les limites à gauche
et à droite                                      tan3 x                                ∣x∣                                      ∣x−2∣
                                22.     lim                                 23.      lim                          24.    lim     2
                                        x 0       3x                                x 0 x                              x2    x −3 x2


1.6.          Calcul de limites quand x → ∞
                                Quand on divise un nombre fini par un nombre tendant vers l'infini, le résultat tend vers
Principe du gâteau              zéro.
d'anniversaire


Plus le nombre d'invités
est grand, plus la part de
gâteau est petite.




Didier Müller - LCP - 2012                                                                                                               Cahier Analyse
6                                                                           CHAPITRE 1


                                 Théorème 1
Limite d'une
fonction polynôme                En +∞ (respectivement –∞), toute fonction polynôme a la même limite que son terme de
                                 degré le plus élevé.
quand x → ∞
                                 Démonstration
                                                n                 n– 1                 n –2
                                 lim  an x an – 1 x                    an – 2 x            a 1 xa0  =
                                  x ∞

                                                              n           a n – 1 1 an – 2 1     a1 1       a0 1             n
                                                lim an x 1                                                  =lim a x
                                                x ∞                      an x     a n x2      a n x n−1  x  ∞ n
                                                                                                           a n xn
                                                                             0                 0                       0          0



                                 Théorème 2
Limite d'une
fonction rationnelle             En +∞ (respectivement –∞), toute fonction rationnelle a la même limite que le rapport
                                 des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
quand x → ∞
                                 En effet, d'après le théorème 1 :



                                                                                                                               {
                                                                                                                                      0      si n  m
                                                n                  n–1                                               n
                                         a n x a n – 1 x               a1 xa0                         an x                     an
                                 lim            m                  m– 1                              =lim            m    =                  si n = m
                                 x ∞    bm x bm – 1 x                  b1 xb0                 x ∞   bm x                     bn
                                                                                                                                   ∞ ou – ∞ si n  m

                                                                               0
Formes                           Des expressions du type «                       », « 0⋅∞ », « ∞ », « ∞−∞ » sont dites indéterminées.
                                                                                               ∞
                                                                               0
indéterminées
                                 Lorsqu'un calcul de limites conduit à une forme indéterminée, on ne peut pas conclure
               x =∣x∣
                    2            immédiatement ; il faut généralement faire quelques transformations en utilisant par
                                 exemple les formules que vous trouverez dans la marge.

                                 Exemples
    ∣x∣ =    { x si x0
              – x si x  0
                                 a.      lim   x 24 x 4 – x  = lim    x2 – x = lim ∣x2∣ – x =
                                                                                  2

                                         x∞                                           x∞                                  x∞

                                                         lim  x2 – x = 2
      lim     x 2b xc     =                           x∞
      x ∞

            lim x
             x ∞
                    ∣ b∣
                      2
                                 b.      lim   x 2−2 x 42 x = lim    x−1232 x =
                                         x−∞                                             x−∞



Refaites les deux exemples
ci-contre en utilisant la
troisième formule !
                                                         x−∞      
                                                         lim   x−1  1
                                                                               2
                                                                                                3
                                                                                               x−1   
                                                                                                    2 2 x = lim ∣x−1∣ 1
                                                                                                              x−∞          
                                                                                                                               3
                                                                                                                             x−1 2
                                                                                                                                          
                                                                                                                                     2 x =

                                                                                                                                                 0

                                                         lim ∣x−1∣ 2 x = lim − x12 x = lim  x1 = –∞.
                                                         x−∞                                  x−∞                             x−∞



                                 Calculez, si elles existent, les limites suivantes :
Exercice 1.3
                                                          2                                                  2                                             2
                                                2x –3x                                                3 x – x1                                    2x – x
                                  1. lim         2                                        2.     lim      3                               3.   lim
                                         x∞ 3 x – 5 x1                                        x−∞    x x                                  x−∞ x2

                                                    3         2                                                      2                                 2
                                                    x 3 x                                             x−1                                          x −4 x3
                                  4. lim              2                                   5.     lim    2                                 6.   lim         2
                                         x∞        x –1                                        x∞ x 3 x                                   x∞     2 x 5

                                  7. lim
                                                     2
                                                    x −5 x6
                                                                                          8.     lim
                                                                                                            x 2−3− x                     9.   lim
                                                                                                                                                       x 2−4x3
                                                        2
                                         x−∞        2 x −6 x                                    x−∞            x                             x∞         x1

                                 10. lim  x –  x2 1                                  11.     lim 2 x x 21
                                         x∞                                                    x−∞




Cahier Analyse                                                                                                                                   Didier Müller - LCP - 2012
LIMITES                                                                        7


1.7.        Une limite célèbre
                                  Dans le chapitre consacré aux logarithmes, nous avions déjà vu cette limite célèbre, qui
                                  est la définition du nombre e (dont la valeur est 2.718281828459...) :

                                                      x                                                     x

                                       lim 1
                                       x∞    1
                                                 x
                                                   =e .         De plus, on a aussi lim 1
                                                                                       x−∞          1
                                                                                                       x
                                                                                                         =e .




                                  C'est ici l'occasion de remarquer que l'on peut facilement se tromper en faisant des
Où est la faute de                raisonnements qui semblent justes. On pourrait en effet se dire que quand x tend vers
raisonnement ?                    l'infini, 1/x tend vers 0, et qu'il reste alors 1 puissance infini, donc 1. Or, ce n'est pas la
                                  réponse exacte. Aussi est-il toujours prudent de vérifier sa réponse par une petite
                                  analyse numérique.

                                                            1
Remarquez bien que
                                  On a aussi : lim 1 y y =e .
quand x → ±∞, y → 0,                            y0

           1                                                        1
puisque y= .                      En effet, en substituant y par      , on retrouve la première limite.
           x                                                        x


                                  Calculez, si elles existent, les limites suivantes :
Exercice 1.4
                                                      x5                              3x                                          x


Il faut utiliser les opérations
                                  1.   lim 1
                                       x∞    1
                                                 x
                                                                    2.    lim 1
                                                                          x∞    
                                                                                   1
                                                                                   x
                                                                                                                3.   lim 1
                                                                                                                     x∞    2
                                                                                                                               x
du § 1.4 et parfois travailler                        x                                                                            x

                                                                                                                             
                                                                                       1
par substitution pour se
ramener à la définition de e.
                                  4.   lim 1−
                                       x∞    1
                                                 x
                                                                    5. lim 1 – 4 x x
                                                                          x 0
                                                                                                                6.   lim
                                                                                                                     x∞
                                                                                                                             x
                                                                                                                            1 x
                                                      x1

                                  7.   lim
                                       x∞    
                                              x3
                                              x−1
                                                                    8. lim 13 tan 2  xcot
                                                                          x 0
                                                                                                 2
                                                                                                     x 




1.8.        Ce qu'il faut absolument savoir
Connaître les définitions de limite, limite à gauche, limite à droite                                                                     t ok
                           sin  x
Savoir prouver que lim              =1                                                                                                    t ok
                      x 0    x
Savoir résoudre les types de limites vus dans ce chapitre                                                                                 t ok




Didier Müller - LCP - 2012                                                                                                         Cahier Analyse
8                CHAPITRE 1




Cahier Analyse                Didier Müller - LCP - 2012
CONTINUITÉ                                                      9


2. Continuité des fonctions
2.1.        Continuité en un point
                    Définition   On dit qu'une fonction f est continue en x = a si les trois conditions suivantes sont
                                 satisfaites :
                                           - f(a) existe dans ℝ ,
                                           - les limites à gauche et à droite existent dans ℝ et sont égales,
                                           - les limites à gauche et à droite sont égales à f(a).

                                 Version courte, mais équivalente :

                                 f est continue en a si lim f x = f  a .
                                                            x a



                                 Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ?

                                                   2
                                                 x – x– 2
                                 a.    f  x=
                                                   x –2
                                      On remarque que f(2) n'est pas défini, ce qui entraîne que f est discontinue en 2.




                                            {
                                                 2
                                           x – x– 2
                                                               si     x≠2
                                 b. f(x) =   x– 2
                                              1                si     x=2
                                                                                        2
                                                                                       x – x–2        x – 2 x1
                                      Comme f(2) = 1, f est définie en 2, et lim               =lim                 =3 existe,
                                                                               x2       x–2    x 2       x–2
                                      mais lim f x ≠ f 2  .
                                            x 2

                                      Donc, f est discontinue en 2.




                                            {
                                           1
                                               si x≠0
                                 c. f(x) = x 2
                                           1 si x=0
                                                                                                     1
                                      Comme f(0) = 1, f est définie en 0, mais lim f x =lim          2 =∞
                                                                                                             .
                                                                                x 0          x 0   x
                                      Aussi, f est discontinue en 0.




                                 d. f(x) = [x]
                                    La fonction partie entière f(x) = [x] présente une discontinuité en chaque valeur
                                    entière de x parce que lim [ x ] n'existe pas si n est un entier.
                                                                    x n




2.2.        Continuité sur un intervalle
     Définition graphique Donnons tout d'abord une définition graphique intuitive :

                                      « Une fonction f est continue si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon. »


Didier Müller - LCP - 2010                                                                                         Cahier Analyse
10                                                           CHAPITRE 2

   Continuité à gauche et Une fonction est continue à droite en un nombre a si lim f x = f  a et continue à
                                                                               x a
      continuité à droite                                                       xa
                          gauche en un nombre a si lim f x = f  a .
                                                                x a
                                                                xa



                                 Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3, et qui est
Exercice 2.1
                                 continue à gauche en 3.

                                 Un parking fait payer 2 francs pour la première heure (ou fraction d'heure) et 1 franc
Exercice 2.2
                                 pour chaque heure suivante jusqu'à un maximum journalier de 10 francs.
                                 a. Représentez graphiquement ce tarif de parking en fonction du temps.
                                 b. Remarquez les discontinuités de cette fonction et expliquez leur signification à
                                    quelqu'un qui met sa voiture dans ce garage.

         Continuité sur un On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point
                intervalle de l'intervalle. Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à
                           droite ou continue à gauche.

Rappel                           Toutes les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :
Une fonction est une règle qui   - polynomiales (elles sont continues dans ℝ )
assigne à chaque élément x       - rationnelles
d'un ensemble A exactement       - racines
un élément, noté f(x), d'un      - trigonométriques
ensemble B. L'ensemble A est     - trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan, arccot)
appelé le domaine de             - exponentielles
définition de la fonction.       - logarithmes

                                 Attention ! Une fonction continue sur son domaine de définition n'est pas forcément
                                 continue dans ℝ . Par exemple, tan(x) est continue sur son domaine de définition, mais
                                 pas dans ℝ .



2.3.       Opérations sur les fonctions continues
                                 Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ; soit un réel a ∈ I. Si les
                                 fonctions f et g sont continues en a, alors

                                 1. λ·f est continue en a ( ∈ℝ ),
                                 2. f + g est continue en a (idem pour « – »),
Chacun de ces résultats
découle de la loi des limites    3. f·g est continue en a,
correspondante                        f
                                 4.     est continue en a si g(a) ≠ 0 et discontinue si g(a) = 0.
(voir chapitre 1, § 1.4)              g
                                 5. Si une fonction g est continue au point a et une fonction f est continue au point g(a),
                                    alors f °g est continue en a.

                                                          ln  xarctan  x
                                 Où la fonction f  x=           2           est-elle continue ?
                                                                 x –1
                                 La fonction y = ln(x) est continue pour x > 0 et y = arctan(x) est continue sur ℝ . Il
                                 s'ensuit que la fonction ln(x) + arctan(x) est continue sur ]0 ; +∞[, d'après la règle 2.
                                 La fonction du dénominateur est polynomiale et donc partout continue. D'autre part,
                                 x2 − 1 est nul quand x = 1 et x = −1.
                                 Finalement, f est continue sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[.



Cahier Analyse                                                                                         Didier Müller - LCP - 2010
CONTINUITÉ                                                    11

                                    Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont discontinues pour la valeur de a
Exercice 2.3
                                    donnée. Dessinez le graphe de ces fonctions.
                                                    2
                                                x –1
                                    a. f(x) =                                    a = −1
                                                x1



                                                {
                                                        2
                                              x −1
                                                                si x≠−1
                                    b. f(x) = x1                                a = −1
                                                6               si x=−1



                                                {
                                                        2
                                              x −2 x−8
                                    c. f(x) =                      si x≠4        a=4
                                                x−4
                                                 3                 si x=4

                                    d. f(x) =
                                                {1−x si
                                                 2
                                                x −2 x si
                                                                   x≤2
                                                                   x2
                                                                                 a=2


                                    Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont continues en chaque point de leur
Exercice 2.4
                                    domaine de définition. Précisez ce domaine de définition.
                                                            4
                                                      x 17
                                    a.   f  x=       2                         b.   f t =2 t  25 – t 2
                                                    6 x x – 1
                                                        x                                                  2
                                    c.   f  x=e sin 5 x                      d.   f  x=arcsin  x – 1

                                                                                      f  x=cos e x 
                                                            4
                                    e.   f t=ln t –1                         f.


2.4.         Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues
                                    Théorème de Bolzano

                                    Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors
                                    il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0.

                                    Moins formel :
                                    « Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée. »

                                    Théorème de la valeur intermédiaire

        Bernhard Bolzano            Si f est une fonction continue sur [a, b] et f(a) ≠ f(b), alors, pour tout réel u strictement
       (Prague, 5/10/1781 -         compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que
       Prague, 18/12/1848)          f(c) = u.


Le théorème de la valeur
intermédiaire certifie qu'une
fonction continue passe par
toutes les valeurs intermédiaires
entre les valeurs f(a) et f(b).


Attention ! L'inverse n'est
pas vrai ! En effet, pour un
réel c strictement compris
entre a et b, il n'existe pas
forcément un réel u = f(c) dans
l'intervalle ]f(a), f(b)[.




Didier Müller - LCP - 2010                                                                                            Cahier Analyse
12                                                         CHAPITRE 2

                                Y a-t-il équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité ?
Exercice 2.5                    Autrement dit, est-ce que si une fonction satisfait la propriété de la valeur intermédiaire,
                                cela signifie-t-il qu'elle est continue ? La réponse est non.



                                                                 {        1
                                                                  sin           si x≠0
                                Montrez que la fonction f(x) =              x             est un contre-exemple.
                                                                        0       si x=0

                                Le théorème de la valeur intermédiaire est mis à contribution dans la localisation des
                                racines des équations, ainsi que le montre l'exemple suivant :
Quand u = 0, on peut aussi
utiliser le théorème de         « Montrez qu'une racine de l'équation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 est située entre 1 et 2. »
Bolzano, qui est un cas
particulier du théorème de la   Posons f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Nous sommes à la recherche d'une solution de
valeur intermédiaire.           l'équation donnée, c'est-à-dire d'un nombre c situé entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Voilà
                                pourquoi nous prenons a = 1, b = 2 et u = 0, en vue d'exploiter ce théorème. On a :

                                           f(1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0        et   f(2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0

                                Donc f(1) < 0 < f(2) et u = 0 est bien un nombre situé entre f(1) et f(2). De plus, f, étant
                                une fonction polynomiale, est continue. Dans ces conditions, le théorème de la valeur
                                intermédiaire affirme l'existence d'un nombre c entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Autrement
                                dit, l'équation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 a au moins une racine dans l'intervalle ]1 ; 2[.

              Algorithme de L'algorithme le plus simple permettant de
        recherche de zéros trouver un zéro d'une fonction est la
              d'une fonction méthode de dichotomie. On commence
                              avec deux abscisses a et b qui encadrent
                              un zéro de la fonction. À chaque itération,
                              on coupe l'intervalle en deux sous-
Les algorithmes de recherche  intervalles [a, c] et [c, b], c = (a + b)/2
des zéros d'une fonction sont étant le milieu de a et b. On garde le sous-
étudiés en analyse numérique. intervalle qui contient un zéro, puis on
                              recoupe en deux ce sous-intervalle, et ainsi
                              de suite. L'intervalle encadrant le zéro
                              devient ainsi de plus en plus petit.

                                La méthode de dichotomie garantit la
                                convergence vers un zéro lorsque la                  Étapes successives de la méthode de dichotomie
                                fonction est continue.                                    avec comme intervalle initial [a1; b1].

                                                                                                                              1
Exercice 2.6                    Montrez que la fonction sin(4x4+3x+2) a une racine comprise entre 0 et
                                                                                                                              2
                                                                                                                                , puis
                                calculez-la à 0.01 près.



2.5.       Ce qu'il faut absolument savoir
Connaître la définition de la continuité en un point                                                                                t ok
Connaître la définition de la continuité à gauche, à droite, sur un intervalle                                                      t ok
Reconnaître une fonction continue                                                                                                   t ok
Dire où une fonction est discontinue                                                                                                t ok
Connaître le théorème de Bolzano                                                                                                    t ok
Connaître le théorème de la valeur intermédiaire                                                                                    t ok
Connaître la méthode de dichotomie                                                                                                  t ok



Cahier Analyse                                                                                                  Didier Müller - LCP - 2010
DÉRIVÉES                                                       13



3. Dérivées
3.1.        Un peu d'histoire
                                Isaac Newton est né le jour de Noël 1642, l'année de la mort de Galilée, à Woolsthorpe,
                                petit bourg de la région de Lincoln, sur la côte est de l'Angleterre. Admis au Trinity
                                College de Cambridge en 1661, il se familiarise avec les œuvres de Descartes, Galilée,
                                Wallis et Isaac Barrow. Entre 1665 et 1666, il est contraint de quitter l'Université de
                                Cambridge qui ferme ses portes à cause de la peste qui sévit dans la région. De retour à
                                Woolsthorpe, c'est au cours de cette parenthèse qu'il pose les fondements du calcul
                                infinitésimal, de la nature de la lumière blanche et de sa théorie de l'attraction
                                universelle. De retour à Cambridge en 1669, il succède à Isaac Barrow à la chaire de
                                mathématiques de l'Université, qu'il conservera jusqu'en 1695. En 1671, il conçoit lui-
                                même un télescope à miroir, exceptionnel pour l'époque, qui grossit 40 fois. Le 11
          Isaac Newton
                                janvier 1672, il est élu à la Royal Society de Londres. En 1687, Newton publie son
  (Woolsthorpe, 25/12/1643 -
                                œuvre maîtresse, Principes mathématiques de philosophie naturelle, exposant sa théorie
      Londres, 31/3/1727)
                                de l'attraction universelle. En 1693, il plonge dans une profonde dépression qui
                                marquera la fin de sa période créatrice. Les Méthodes des fluxions, qu'il avait écrites en
                                1671, ne seront publiées qu'en 1736, après sa mort. Newton y faisait alors naître le
                                calcul infinitésimal, en même temps que Leibniz dont le Calcul différentiel fut, lui,
                                édité en 1686. À l'époque, les deux hommes s'étaient vivement opposés, chacun
                                revendiquant la paternité de la découverte. À la mort de Newton, le débat continua.
                                Leibniz est né à Leipzig le 1er juillet 1646. Il est donc parfaitement contemporain à
                                Newton. À quinze ans, maîtrisant les langues anciennes, il entre à l'université de Leipzig
                                pour étudier le droit mais il y découvre Kepler, Galilée et Descartes, ce qui l'incite à
                                s'initier aux mathématiques. En 1663 il soutient une thèse sur le principe
                                d'individuation, part étudier les mathématiques à Iena, puis le droit à Altorf où il obtient
Gottfried Wilhelm von Leibniz   un doctorat en 1667. En 1672, Leibniz rejoint une mission diplomatique à la cour de
      (Leipzig, 1/7/1645 -      Louis XIV – pour convaincre le roi de conquérir l'Égypte. Là, il se lie avec les grands
     Hannover, 14/11/1716)      esprits de l'époque, dont le mathématicien hollandais Christiaan Huygens (1629-1695),
                                se plonge dans la lecture de Pascal et invente une machine à calculer. Leibniz est ébloui
                                par les méthodes que lui dévoile Huygens ; au cours d'un voyage à Londres en 1673, il
                                rencontre des mathématiciens anglais à qui il montre ses premiers travaux et assiste à
                                des séances de la Royal Society dont il est élu membre étranger. De retour à Paris, il
                                retrouve Huygens qui l'encourage vivement à poursuivre ses recherches. À l'issue de
                                son séjour parisien, il élabore le calcul différentiel. En 1684, il publie son Calcul
                                différentiel. Il fonde en 1700 l'académie de Berlin dont il est le premier président.
                                Leibniz est aussi célèbre en tant que théologien et philosophe.
                                D'autres grands noms sont liés à l'intégration. Citons entre autres Jacques Bernoulli
                                (1654-1705), Jean Bernoulli (1667-1748) le frère de Jacques, Daniel Bernoulli (1700-
      Christiaan Huygens        1782) le fils de Jean, le marquis de l'Hôpital (1661-1704), Leonhard Euler (1707-
     (La Haye, 14/4/1629 -      1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Pierre Simon de Laplace (1749-1827) et
       La Haye, 8/7/1695)       Augustin Cauchy (1789-1857).


3.2.        Définition de la dérivée
                                                             f  x 0 x – f  x 0 
                  Définition 1 Si la limite f '  x 0= lim                           existe, elle est appelée fonction dérivée
                                                        x 0        x
                                de la fonction f. f est alors dite dérivable.

                                Remarque : ∆x peut être positif ou négatif. Si ∆x > 0 on parle de dérivée à droite ; si
                                           ∆x < 0, on parle de dérivée à gauche. La fonction est dérivable si la
                                           dérivée à droite et la dérivée à gauche existent et si elles sont égales.



Didier Müller - LCP - 2011                                                                                         Cahier Analyse
14                                                               CHAPITRE 3



∆x est un accroissement
(une variation) de la
variable x.

f(x0+∆x) – f(x) est
l'accroissement de f .

  f  x 0 x – f  x 0
                          est
          x
le taux d'accroissement
moyen.

Quand ∆x → 0, on parle
de taux de variation
instantané.



                                  Attention ! ∆x ne signifie pas ∆·x. Cela signifie « un petit accroissement de x ». On ne
                                  peut pas séparer le ∆ du x.

                 Interprétation La valeur f '(x0) est la pente de la tangente à la courbe f(x) en x = x0.
                   géométrique
                                De cette interprétation géométrique, on peut déduire que :

                                  Si f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
                                  Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
                                  Si f ' = 0 en un point, alors ce point est un extremum de la fonction ou un point
                                  d'inflexion à tangente horizontale.




                                            minimum                  maximum          points d'inflexion à tangente
                                                             (extrema)                      horizontale (chaise)


                   Définition 2 Si une fonction f(x) est dérivable en tout point de l'intervalle I = ]a ; b[, elle est dite
                                dérivable sur l'intervalle I.

                      Notations Il existe plusieurs notations pour désigner la dérivée d'une fonction y = f(x) :
                                                      dy
                                      f '(x), f ', y', ˙ ,
                                                       y
                                                      dx
                                  La dernière notation a été introduite par Leibniz.
                                  Elle remplace parfois avantageusement les autres notations. En effet, dans de nombreux
                                  calculs, on est en droit de travailler comme s'il s'agissait d'un rapport banal, ce qui
                                  donne un aspect immédiat à certains résultats.

                                  Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.
Dérivabilité et
continuité                        Attention ! La réciproque est fausse : une fonction continue n'est pas forcément
                                  dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les
                                  dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions
                                  possédant des « pointes ».



Cahier Analyse                                                                                              Didier Müller - LCP - 2011
DÉRIVÉES                                                        15


                                  Sur le graphe de la fonction f(x) ci-dessous, indiquez les valeurs approximatives de x
Exercice 3.1                      pour lesquelles :
                                                                                                                       1
                                  a. f(x) = 0       b. f ' (x) = 0   c. f ' (x) = 1    d. f ' (x) = –4  e. f ' (x) = –
                                                                                                                       2

Indication
Utilisez l'interprétation
géométrique de la dérivée.




                                  Esquissez le graphe de sin(x) et utilisez ce graphe pour décider si la dérivée de sin(x) en
Exercice 3.2
                                  x = 3π est positive ou négative.

                                  En utilisant la définition 1 de la dérivée, trouvez algébriquement la dérivée f ' de
Exercice 3.3
                                                                                           1
Pour trouver f(x+∆x), il suffit
                                     a. f(x) = x3 + 5                           b. f(x) =
                                                                                           x
de remplacer le symbole « x »        c. f(x) =  x                              d. f(t) = 3t2 + 5t
par « x+∆x ».

                                  Trouvez la pente des tangentes à la parabole y = x2 aux points A(1; 1) et D(−2; 4).
Exercice 3.4




                                  Utilisez la définition 1 pour estimer numériquement la dérivée de
Exercice 3.5
                                     a. f(x) = xx            en x = 2
                                                                    
                                     b. f(x) = ln(cos(x))    en x =                Travaillez toujours en radians !
                                                                     4
                                     c. f(x) = sin(ex)       en x = 3
                                                                                                                  1
Exercice 3.6                      La position d'un mobile est donnée par l'équation du mouvement s = f(t) =
                                                                                                                 1t
                                                                                                                     , où t
                                  est mesuré en secondes et s en mètres. Calculez la vitesse du mobile après 2 secondes.



Didier Müller - LCP - 2011                                                                                        Cahier Analyse
16                                                      CHAPITRE 3


                           Esquissez le graphe de la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous :
Exercice 3.7
                                            a.                              b.                         c.




                                            d.                              e.                         f.




                           En mettant en correspondance les courbes de f(x) et f ' (x) de l'exercice 3.7, remplissez
Exercice 3.8               les cases vides du tableau ci-dessous avec les réponses suivantes (il y a un intrus) :
                                     = 0,        = 0,     = 0,       < 0,        > 0,    ∞,      min ou max

                                                                                           point      pt. d'infl. à
       f(a)      décroît           croît           minimum            maximum
                                                                                        d'inflexion    tg. horiz.
       f ' (a)

                           Dans une expérience de laboratoire, le nombre de bactéries après t heures est donné par
Exercice 3.9               n = f(t).
                           a. Quelle est la signification de f ' (5) ? En quelles unités s'exprime f ' (5) ?
                           b. Si la quantité de nourriture et d'espace n'est pas limitée, lequel des deux nombres
                              f ' (5) et f ' (10) sera le plus grand ?

                           a.   Dessinez une courbe dont la pente partout positive croît continûment.
Exercice 3.10              b.   Dessinez une courbe dont la pente partout positive décroît continûment.
                           c.   Dessinez une courbe dont la pente partout négative croît continûment.
                           d.   Dessinez une courbe dont la pente partout négative décroît continûment.

                           Dessinez un graphe possible de y = f(x) connaissant les informations suivantes sur la
Exercice 3.11              dérivée :
                              • f ' (x) > 0 pour 1 < x < 3
                              • f ' (x) < 0 pour x < 1 ou x > 3
                              • f ' (x) = 0 en x = 1 et x = 3

                           a. Sur un même système d'axes, dessinez les graphes de f(x) = sin(x) et g(x) = sin(2x),
Exercice 3.12                 pour x compris entre 0 et 2π.
                           b. Sur un deuxième système d'axes identique au premier, esquissez les graphes de f ' (x)
                              et g' (x) et comparez-les.

                           Par des expériences, on peut constater que le chemin parcouru ( l) par un corps en chute
Exercice 3.13              libre est proportionnel au carré du temps écoulé :
                                      g
                               l(t) = t2 où g est la gravité terrestre (9.81 m/s2).
                                      2
                           a. Quelle est la vitesse moyenne entre le moment t et le moment t + ∆t ?

                           Quand ∆t → 0, la vitesse moyenne tend, par définition, vers la vitesse instantanée au
                           moment t.

                           b. Quelle est la vitesse instantanée au moment t ?



Cahier Analyse                                                                                         Didier Müller - LCP - 2011
DÉRIVÉES                                                          17



3.3.        La dérivée seconde
                                      Comme la dérivée est elle-même une fonction (cf. ex. 3.7), on peut souvent calculer sa
                                      dérivée. Pour une fonction f, la dérivée de sa dérivée est appelée dérivée seconde et
                                      notée f ''.

                                      Que nous dit la dérivée seconde ?
                                      Rappelons que la dérivée d'une fonction nous dit si une fonction croît ou décroît.

                                      Si f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
Remarque                              Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
On peut aussi calculer la
dérivée troisième, quatrième,         Puisque f '' est la dérivée de f ' :
etc. Cependant, elles ont                     Si f '' > 0 sur un intervalle, alors f ' est croissante sur cet intervalle.
moins d'intérêt que les                       Si f '' < 0 sur un intervalle, alors f ' est décroissante sur cet intervalle.
dérivées première et seconde.
                                      Ainsi la question devient : qu'indique le fait que f ' soit croissante ou décroissante ?

                                      Lorsque f ' est croissante, la courbe f se redresse : elle est convexe.
                                      Lorsque f ' est décroissante, la courbe f s'infléchit vers le bas : elle est concave.
Deux trucs mnémotechniques


Pour se rappeler la différence
entre convexe et concave,
penser qu'une courbe concave a
la forme d'une caverne.


Si la dérivée seconde est
positive, on peut imaginer que
« la courbe sourit ».
Inversement, quand elle est
négative, « elle tire la tronche ».
                                      Pour trouver les points d'inflexion (point noir sur la figure ci-dessus) de f(x), il faut
                                      poser f '' (x) = 0 et résoudre. Mais attention ! Il faudra vérifier que c'est bien un point
                                      d'inflexion : f '' (x−ε) et f '' (x+ε) devront être de signe opposé.

                                      Pour la fonction f donnée ci-dessous, décidez où la dérivée seconde est positive et où
Exercice 3.14
                                      elle est négative.




Didier Müller - LCP - 2011                                                                                                Cahier Analyse
18                                                           CHAPITRE 3


                                     Donnez trois moyens de faire la différence entre un minimum local d'une fonction f, un
Exercice 3.15
                                     maximum local et un point d'inflexion à tangente horizontale .

                                     Chacun des graphes ci-dessous montre la position de quatre wagonnets se déplaçant sur
Exercice 3.16
                                     une ligne droite en fonction du temps. Les échelles de tous les graphes sont les mêmes.
                                     Quel(s) wagonnet(s) a (ont) :
Rappels de physique                     a. une vitesse constante ?
La fonction vitesse est la              b. la plus grande vitesse initiale ?
dérivée de la fonction horaire          c. une vitesse nulle ?
(position). La fonction                 d. une accélération nulle ?
accélération est la dérivée de          e. une accélération toujours positive ?
la fonction vitesse.                    f. une accélération toujours négative ?

                  (I)                              (II)                         (III)                        (IV)
       x                                  x                            x                            x




                                 t                            t                            t                                t

                                     Trouvez algébriquement la dérivée seconde de
Exercice 3.17                                                                                      1
                                        a. f(x) = x3 + 5    en x = 1                    b. f(x) =            en x = 2
(suite de l'ex. 3.3)                                                                               x
                                        c. f(x) =  x       en x = 1                    d. f(t) = 3t2 + 5t   en t = –1

                                     Dessinez sur le graphe de la fonction f ci-dessous les « bouts de la fonction f » où f ≥ 0
Exercice 3.18                        (en vert), f ' ≥ 0 (en rouge) et f '' ≥ 0 (en bleu).




                                     On se donne les abscisses suivantes : –2.25, –1.6, –1.2, –0.5, 0, 0.7, 1.55, 2.
                                     Dites pour lesquelles de ces abscisses…
                                        a. f et f '' sont non nulles et de même signe.
                                        b. au moins deux des valeurs de f, f ' et f '' sont nulles.


                                     a. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout positives.
Exercice 3.19                        b. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout négative, mais dont la
                                        première dérivée est partout positive.
                                     c. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout positive, mais dont la
                                        première dérivée est partout négative.
                                     d. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout négatives.

Cahier Analyse                                                                                               Didier Müller - LCP - 2011
DÉRIVÉES                                                                            19



3.4.        Dérivées de fonctions usuelles
                                Pour éviter de toujours recalculer les mêmes dérivées à partir de la définition 1, on peut
                                construire une table des dérivées.
                                Les tables ci-dessous regroupent les fonctions usuelles. a et n sont des constantes.

                 f (x)                f ' (x)                                                 f (x)                           f ' (x)
                  a                       0                                                  sin(x)                       cos(x)
                      n                       n– 1
                  x                  n⋅x                                                 cos(x)                         –sin(x)
                          1
                                        1                                                                           1           2
                 x= x    2                                                                  tan(x)                 2     =1tan  x
                                      2 x                                                                       cos  x
                                         1                                                                          1             2
                 ln(x)                                                                       cot(x)             − 2 =−1−cot  x
                                         x                                                                       sin  x
                loga(x)                  1                                                                                 1
                                                                                        arcsin(x)
                                     x ln a                                                                             1 – x2
                      x                       x                                                                               1
                  e                       e                                             arccos(x)                         −
                                                                                                                            1 – x2
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                  a                 a ln a                                            arctan(x)                               2
                                                                                                                           1 x
                                                                                                                              1
                  |x|            sgn(x) (x ≠ 0)                                         arccot(x)                         −       2
                                                                                                                            1x


3.5.        Règles de dérivation
                                Soient f et g deux fonctions dérivables et λ un nombre réel. Les propriétés suivantes
                                servent au calcul des dérivées :

Les démonstrations de ces          1. (f + g) ' = f ' + g'                                            2. (f – g) ' = f ' – g'
propriétés, longues et                                                                                           '

fastidieuses, découlent de la
définition 1.
                                   3. (λ·f) ' = λ·f '                                                 4.       
                                                                                                               f
                                                                                                               g
                                                                                                                 =
                                                                                                                   f ' g – f g'
                                                                                                                        g
                                                                                                                          2


                                   5. (f·g) ' = f ' ·g + f·g'                                         6.  g° f '=g ' ° f ⋅f '

                                La règle la plus difficile est la sixième. Elle concerne la dérivation de fonctions
                                composées. Nous la traiterons en détails un peu plus loin.

3 exemples de calculs           1. Dérivons h(x) = ex + x3
de dérivées
                                   On a f(x) = ex , g(x) = x3 et h(x) = f(x) + g(x).

                                                                 
                                   D'après la règle 1 : h'  x=e x  3 x2
                                                                    f '        g'


                                                        sin  x
                                2. Dérivons h x=           x
                                                           e

                                                                                             f  x
                                   On a f(x) = sin(x) , g(x) = ex et h x=
                                                                                             g  x

                                                                          f'        g           f      g'


                                   D'après la règle 4 : h'  x=
                                                                      sin x  =
                                                                    cos  x⋅e – ⋅e cos  x−sin  x
                                                                                    x                      x

                                                                                        x 2                           x
                                                                              
                                                                              e            e
                                                                                        g2




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  • 1. Analyse Didier Müller, janvier 2012 www.nymphomath.ch
  • 3. Table des matières 1. Limites 1.1. Les limites dans la vie courante.....................................................................................................................................1 1.2. Exemple introductif.......................................................................................................................................................2 1.3. Définition et notations...................................................................................................................................................3 1.4. Opérations sur les limites..............................................................................................................................................4 1.5. Calcul de limites quand x → a, a fini............................................................................................................................4 1.6. Calcul de limites quand x → ∞......................................................................................................................................5 1.7. Une limite célèbre..........................................................................................................................................................7 1.8. Ce qu'il faut absolument savoir.....................................................................................................................................7 2. Continuité 2.1. Continuité en un point...................................................................................................................................................9 2.2. Continuité sur un intervalle...........................................................................................................................................9 2.3. Opérations sur les fonctions continues........................................................................................................................10 2.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues........................................................................................11 2.5. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................12 3. Dérivées 3.1. Un peu d'histoire..........................................................................................................................................................13 3.2. Définition de la dérivée...............................................................................................................................................13 3.3. La dérivée seconde......................................................................................................................................................17 3.4. Dérivées de fonctions usuelles....................................................................................................................................19 3.5. Règles de dérivation....................................................................................................................................................19 3.6. Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables...............................................................................................................21 3.7. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................24 4. Applications des dérivées 4.1. Calculs de tangentes à des courbes..............................................................................................................................25 4.2. Problèmes de taux d'accroissement.............................................................................................................................28 4.3. Problèmes d'optimisation.............................................................................................................................................29 4.4. Méthode de Newton-Raphson.....................................................................................................................................32 4.5. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................32 5. Étude de fonctions 5.1. Asymptotes..................................................................................................................................................................33 5.2. Points fixes..................................................................................................................................................................33 5.3. Croissance et concavité (rappels)................................................................................................................................34 5.4. Méthode.......................................................................................................................................................................35 5.5. Un exemple complet....................................................................................................................................................35 5.6. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................38 6. Étude de courbes paramétrées 6.1. Définitions...................................................................................................................................................................39 6.2. Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajous.............................................................................................39 6.3. Asymptotes..................................................................................................................................................................40 6.4. Dérivées et points particuliers.....................................................................................................................................41 6.5. Méthode.......................................................................................................................................................................41 6.6. Deux exemples complets.............................................................................................................................................42 6.7. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................45
  • 4. 7. Intégrales 7.1. Un peu d'histoire..........................................................................................................................................................47 7.2. Calcul d'aire.................................................................................................................................................................47 7.3. Définition de l'intégrale définie...................................................................................................................................48 7.4. Le théorème fondamental du calcul intégral...............................................................................................................49 7.5. Recherche de primitives..............................................................................................................................................50 7.6. Retour au problème du calcul d'aire............................................................................................................................53 7.7. Calcul de l'intégrale définie.........................................................................................................................................54 7.8. Intégrales impropres....................................................................................................................................................55 7.9. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................56 8. Applications des intégrales 8.1. Aire entre deux courbes...............................................................................................................................................57 8.2. Volume d'un solide de révolution................................................................................................................................58 8.3. Longueur d'une courbe plane.......................................................................................................................................59 8.4. Aire d'une surface de révolution..................................................................................................................................60 8.5. Mouvement rectiligne..................................................................................................................................................61 8.6. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................62 9. Équations différentielles 9.1. Introduction.................................................................................................................................................................63 9.2. L'équation y' = f(x).......................................................................................................................................................63 9.3. L'équation à variables séparables y'⋅ g(y) = h(x)........................................................................................................64 9.4. L'équation homogène y' =g y x ..............................................................................................................................64 9.5. L'équation linéaire y' + p(x)⋅ y = q(x)..........................................................................................................................65 9.6. Applications des équations différentielles d'ordre 1....................................................................................................65 9.7. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................67
  • 5. LIMITES 1 1. Limites 1.1. Les limites dans la vie courante La notion de vitesse, et en particulier la vitesse d'un objet à un instant précis, est, Vitesse instantanée étonnamment, subtile et difficile à définir précisément. Considérez cette affirmation : « À l'instant où le cheval a franchi la ligne d'arrivée, il galopait à 64 km/h ». Comment peut-on étayer une telle affirmation ? Une photographie ne serait d'aucune aide, puisque sur le cliché, le cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de quantifier le mouvement à un moment précis puisqu'en se focalisant sur un seul instant on stoppe le mouvement ! Rappelons que la vitesse est la distance parcourue ∆x divisée par le temps ∆t qu'il a fallu pour la parcourir. Pour avoir la vitesse instantanée, on choisira  t 0 . On ne peut pas prendre ∆t = 0, puisqu'on aurait une division par 0. La vitesse instantanée est donc une limite. Zénon d'Elée Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de Zénon et d'autres (Elée, env. −490 − philosophes dès le 5ème siècle avant Jésus Christ. L'approche moderne, rendue célèbre Elée, env. −425) par Newton, ne considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit intervalle de temps contenant cet instant. On a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente d'une droite. Pente d'une courbe Qu'en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente d'une courbe n'est pas en un point constante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, la pente n'est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que d'autres. Comme la pente d'une droite est le déplacement vertical ∆y divisé par le déplacement horizontal ∆x, la pente en un point précis d'une courbe sera obtenu en choisissant  x 0 , autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe. La pente d'une courbe en un point est donc elle aussi une limite. La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord de son domaine de définition. Voisinage d'un trou Voisinage d'un bord du domaine Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  • 6. 2 CHAPITRE 1 1.2. Exemple introductif sin  x Soit la fonction f  x= dont nous allons étudier le comportement au voisinage x 0 de a = 0, car elle est indéfinie en ce point, puisqu'on aurait . 0 Méthode numérique La méthode numérique consiste à construire un petit tableau de valeurs. Dans notre cas, on se rapprochera de 0 en venant depuis la gauche (i.e. en prenant des nombres plus petits que 0) et depuis la droite (i.e. en prenant des nombres plus grands que 0). D'après le tableau ci-dessous, il semblerait que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est 1. Attention ! Dans les méthodes numériques, les angles sont toujours exprimés en radians ! gauche  a  droite x –0.1 –0.01 –0.001 –0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 0.1 f(x) 0.99833 0.99998 0.99999 0.99999 indéfini 0.99999 0.99999 0.99998 0.99833 Méthode géométrique Nous allons prouver que le résultat de l'analyse numérique est exact par une méthode géométrique ad hoc. D Regardons le dessin ci-contre. B Aire du triangle OCB ≤ Aire du secteur OCB ≤ Aire du triangle OCD, ta n x d'où : 1 2 x 1 ⋅1⋅sin  x⋅1 ⋅  ⋅1⋅tan  x s in x 2 2 2 x Après simplifications : 0 A C sin  x x tan x 1 Après division par sin(x) (d'après le dessin sin(x) > 0) : L'arc de cercle BC est une portion du x 1 cercle trigonométrique (de rayon 1). 1  sin  x cos  x Puis en inversant tout : sin  x 1 cos  x x Comme on fait tendre x vers 0, cos(x) tend vers 1 et il résulte que : sin  x 1 1 x On vient de démontrer que, en venant depuis la droite (puisque l'angle x est positif), la limite de la fonction f(x) tend vers 1. On remarque rapidement que le résultat est le même en venant depuis la sin − x sin  x gauche (i.e. x < 0), puisque = et cos(–x) = cos(x). −x x Comme la limite à gauche est égale à la limite à droite, on dit que la limite existe et qu'elle est égale à 1. sin  x On l'écrit : lim =1 x 0 x Remarque importante Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, on dit que la limite n'existe pas. Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  • 7. LIMITES 3 sin  x Graphe de , avec un trou en x = 0 x 1.3. Définition et notations Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. Elle peut ne pas être définie en a. La limite de f en a est le nombre vers lequel se rapproche la valeur de f(x) quand x se rapproche aussi près qu'on veut de a, mais avec x ≠a. Notations Il existe de nombreuses notations pour indiquer les limites à gauche et à droite. Voici celle que nous utiliserons : Limite à gauche Limite à droite lim f x = L lim f  x= L x a x a xa xa Rappelons encore une fois que lim f x = L ⇔ lim f  x= L et lim f  x=L . x a xa x a xa xa { Exercice 1.1 – 1 si x  1 Soit la fonction f(x) = 2 si x = 1 3 si x  1 Donnez : a. lim f x  b. lim f x  c. lim f x  d. f(1) x 1 x 1 x 1 x1 x1 Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  • 8. 4 CHAPITRE 1 1.4. Opérations sur les limites Si f et g admettent des limites finies quand x  a , avec a fini ou infini, alors : lim  k⋅f  x=k⋅lim f  x , où k est un nombre réel x a xa lim  f  x g  x=lim f  xlim g x (idem pour « – ») x a xa x a lim  f  x⋅g  x=lim f  x⋅lim g  x x a xa xa lim f  x f  x x  a lim = si lim g x≠0 x a g x lim g  x x a xa n x a  lim  f  x= n lim f  x x a On va maintenant classer les limites en différentes catégories, puis on développera des techniques de résolution pour chacune de ces catégories. On cherchera d'abord des limites quand x tend vers un nombre fini, puis quand x tend vers l'infini. 1.5. Calcul de limites quand x → a, a fini Limites de fonctions Introduisons d'abord une définition intuitive de la continuité : continues en a « Une fonction est continue dans un intervalle si on peut la dessiner d'un bout à l'autre de l'intervalle sans lever le crayon. » Si f est continue en a, la limite en a est égale à l'image de a. 2 2 Exemples lim 3 x x =3⋅ 5=80 5 x 5 lim sin  x=sin x  3  3 3 = 2 N  x Limite du quotient Soit la fonction f  x= D x de deux fonctions 1er cas : c1 Si lim N  x=c1 et lim D  x=c 2≠0 , alors lim f  x= . dénominateur non nul x a x a x a c2 2ème cas : Seule une des trois réponses suivantes est possible : numérateur non nul et 1. lim f  x=∞ dénominateur nul x a 2. lim f  x=−∞ x a 3. lim f  x n'existe pas car lim f  x≠lim f  x x a x a x a xa xa Pour déterminer la bonne réponse, il faut donc comparer la limite à gauche et la limite à droite. Si elles sont égales, la bonne réponse sera la 1. ou la 2. Si elles sont différentes, la bonne réponse sera la 3. Si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0, on a une forme indéterminée. Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  • 9. LIMITES 5 3ème cas : a. N(x) et D(x) sont des polynômes numérateur et Si N(a) = 0, N(x) est divisible par (x–a) et si D(a) = 0, D(x) est aussi divisible par dénominateur nuls (x–a). On peut donc simplifier la fraction par (x–a). 2 x – 5 x6  x−2 x−3 x−3 1 Exemple : lim =lim =lim =− x – x – 2 x  2  x−2 x1 x  2 x1 2 x2 3 b. N(x) et D(x) ne sont pas des polynômes Dans certains cas on peut simplifier. Exemple : lim  x – 2 =lim x–2 =lim 1 = 1 x4 x –4 x4   x−2  x 2 x  4  x 2 4 Dans d'autres cas, il faut une autre méthode, par exemple numérique ou géométrique (voir l'exemple introductif). Nous verrons dans le chapitre 3, consacré aux dérivées, le théorème de l'Hôpital, qui pourra être utilisé dans un pareil cas. Calculez, si elles existent, les limites suivantes : Exercice 1.2 2 2 2 x –2 x 2 x x – 1 3 x – 2 x 2 1. lim 2. lim 3 3. lim x 0 x x – 1 x 1 x 0 x1 2 2 2 x 2 x – 15 x 2 x – 15 x 2 x – 15 4. lim 2 5. lim 2 6. lim 2 x – 5 x 8 x15 x3 x 8 x15 x−3 x 8 x15 2 2 2 x – 2 x1 x 1 x – 3 x2 7. lim 8. lim 9. lim x  2 ∣x – 4∣ 2 2 Aide pour les ex. 13-16 : x 1 x –1 x2 x – 4 x 4 x2   a  b  a –  b=a – b 2 2 2 x – 3 x2 x – 5 x6 x x – 2 10. lim 2 11. lim 2 12. lim 2 Remarque utile pour les x2 x – 4 x 4 x3 2x –6x x 1  x – 1 x2 calculs Quand x≈0, alors sin(x) ≈x 13. lim x –1 14. lim  x 2 x –  2 15. lim x–5 et tan(x) ≈x. x 1 x –1 x 1 x –1 x 5  2 x –1 – 3 2 Attention, cela ne marche que x sin 2 x sin 2 x 16. lim 17. lim 18. lim quand x est proche de 0 ! x 0  x 1 – 1 2 x 0 x x 0 sin 3 x  sin  x –1 sin  x x Aide pour les ex. 23-24 : 19. lim 20. lim 2 21. lim 2 x 1 x–1 x 0 2 x x x 1  x – 1 comparer les limites à gauche et à droite tan3 x ∣x∣ ∣x−2∣ 22. lim 23. lim 24. lim 2 x 0 3x x 0 x x2 x −3 x2 1.6. Calcul de limites quand x → ∞ Quand on divise un nombre fini par un nombre tendant vers l'infini, le résultat tend vers Principe du gâteau zéro. d'anniversaire Plus le nombre d'invités est grand, plus la part de gâteau est petite. Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  • 10. 6 CHAPITRE 1 Théorème 1 Limite d'une fonction polynôme En +∞ (respectivement –∞), toute fonction polynôme a la même limite que son terme de degré le plus élevé. quand x → ∞ Démonstration n n– 1 n –2 lim  an x an – 1 x an – 2 x a 1 xa0  = x ∞ n a n – 1 1 an – 2 1 a1 1 a0 1 n lim an x 1    =lim a x x ∞ an x  a n x2 a n x n−1  x  ∞ n  a n xn 0 0 0 0 Théorème 2 Limite d'une fonction rationnelle En +∞ (respectivement –∞), toute fonction rationnelle a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. quand x → ∞ En effet, d'après le théorème 1 : { 0 si n  m n n–1 n a n x a n – 1 x a1 xa0  an x an lim m m– 1 =lim m = si n = m x ∞ bm x bm – 1 x b1 xb0  x ∞ bm x bn ∞ ou – ∞ si n  m 0 Formes Des expressions du type « », « 0⋅∞ », « ∞ », « ∞−∞ » sont dites indéterminées. ∞ 0 indéterminées Lorsqu'un calcul de limites conduit à une forme indéterminée, on ne peut pas conclure  x =∣x∣ 2 immédiatement ; il faut généralement faire quelques transformations en utilisant par exemple les formules que vous trouverez dans la marge. Exemples ∣x∣ = { x si x0 – x si x  0 a. lim   x 24 x 4 – x  = lim    x2 – x = lim ∣x2∣ – x = 2 x∞ x∞ x∞ lim  x2 – x = 2 lim  x 2b xc = x∞ x ∞ lim x x ∞ ∣ b∣ 2 b. lim   x 2−2 x 42 x = lim    x−1232 x = x−∞ x−∞ Refaites les deux exemples ci-contre en utilisant la troisième formule ! x−∞  lim   x−1  1 2  3  x−1  2 2 x = lim ∣x−1∣ 1 x−∞  3  x−1 2  2 x = 0 lim ∣x−1∣ 2 x = lim − x12 x = lim  x1 = –∞. x−∞ x−∞ x−∞ Calculez, si elles existent, les limites suivantes : Exercice 1.3 2 2 2 2x –3x 3 x – x1 2x – x 1. lim 2 2. lim 3 3. lim x∞ 3 x – 5 x1 x−∞ x x x−∞ x2 3 2 2 2 x 3 x  x−1 x −4 x3 4. lim 2 5. lim 2 6. lim 2 x∞ x –1 x∞ x 3 x x∞ 2 x 5 7. lim 2 x −5 x6 8. lim  x 2−3− x 9. lim  x 2−4x3 2 x−∞ 2 x −6 x x−∞ x x∞ x1 10. lim  x –  x2 1 11. lim 2 x x 21 x∞ x−∞ Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  • 11. LIMITES 7 1.7. Une limite célèbre Dans le chapitre consacré aux logarithmes, nous avions déjà vu cette limite célèbre, qui est la définition du nombre e (dont la valeur est 2.718281828459...) : x x lim 1 x∞  1 x =e . De plus, on a aussi lim 1 x−∞   1 x =e . C'est ici l'occasion de remarquer que l'on peut facilement se tromper en faisant des Où est la faute de raisonnements qui semblent justes. On pourrait en effet se dire que quand x tend vers raisonnement ? l'infini, 1/x tend vers 0, et qu'il reste alors 1 puissance infini, donc 1. Or, ce n'est pas la réponse exacte. Aussi est-il toujours prudent de vérifier sa réponse par une petite analyse numérique. 1 Remarquez bien que On a aussi : lim 1 y y =e . quand x → ±∞, y → 0, y0 1 1 puisque y= . En effet, en substituant y par , on retrouve la première limite. x x Calculez, si elles existent, les limites suivantes : Exercice 1.4 x5 3x x Il faut utiliser les opérations 1. lim 1 x∞  1 x 2. lim 1 x∞   1 x 3. lim 1 x∞  2 x du § 1.4 et parfois travailler x x   1 par substitution pour se ramener à la définition de e. 4. lim 1− x∞  1 x 5. lim 1 – 4 x x x 0 6. lim x∞ x 1 x x1 7. lim x∞   x3 x−1 8. lim 13 tan 2  xcot x 0 2 x  1.8. Ce qu'il faut absolument savoir Connaître les définitions de limite, limite à gauche, limite à droite t ok sin  x Savoir prouver que lim =1 t ok x 0 x Savoir résoudre les types de limites vus dans ce chapitre t ok Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  • 12. 8 CHAPITRE 1 Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  • 13. CONTINUITÉ 9 2. Continuité des fonctions 2.1. Continuité en un point Définition On dit qu'une fonction f est continue en x = a si les trois conditions suivantes sont satisfaites : - f(a) existe dans ℝ , - les limites à gauche et à droite existent dans ℝ et sont égales, - les limites à gauche et à droite sont égales à f(a). Version courte, mais équivalente : f est continue en a si lim f x = f  a . x a Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ? 2 x – x– 2 a. f  x= x –2 On remarque que f(2) n'est pas défini, ce qui entraîne que f est discontinue en 2. { 2 x – x– 2 si x≠2 b. f(x) = x– 2 1 si x=2 2 x – x–2  x – 2 x1 Comme f(2) = 1, f est définie en 2, et lim =lim =3 existe, x2 x–2 x 2 x–2 mais lim f x ≠ f 2  . x 2 Donc, f est discontinue en 2. { 1 si x≠0 c. f(x) = x 2 1 si x=0 1 Comme f(0) = 1, f est définie en 0, mais lim f x =lim 2 =∞ . x 0 x 0 x Aussi, f est discontinue en 0. d. f(x) = [x] La fonction partie entière f(x) = [x] présente une discontinuité en chaque valeur entière de x parce que lim [ x ] n'existe pas si n est un entier. x n 2.2. Continuité sur un intervalle Définition graphique Donnons tout d'abord une définition graphique intuitive : « Une fonction f est continue si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon. » Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
  • 14. 10 CHAPITRE 2 Continuité à gauche et Une fonction est continue à droite en un nombre a si lim f x = f  a et continue à x a continuité à droite xa gauche en un nombre a si lim f x = f  a . x a xa Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3, et qui est Exercice 2.1 continue à gauche en 3. Un parking fait payer 2 francs pour la première heure (ou fraction d'heure) et 1 franc Exercice 2.2 pour chaque heure suivante jusqu'à un maximum journalier de 10 francs. a. Représentez graphiquement ce tarif de parking en fonction du temps. b. Remarquez les discontinuités de cette fonction et expliquez leur signification à quelqu'un qui met sa voiture dans ce garage. Continuité sur un On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point intervalle de l'intervalle. Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche. Rappel Toutes les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition : Une fonction est une règle qui - polynomiales (elles sont continues dans ℝ ) assigne à chaque élément x - rationnelles d'un ensemble A exactement - racines un élément, noté f(x), d'un - trigonométriques ensemble B. L'ensemble A est - trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan, arccot) appelé le domaine de - exponentielles définition de la fonction. - logarithmes Attention ! Une fonction continue sur son domaine de définition n'est pas forcément continue dans ℝ . Par exemple, tan(x) est continue sur son domaine de définition, mais pas dans ℝ . 2.3. Opérations sur les fonctions continues Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ; soit un réel a ∈ I. Si les fonctions f et g sont continues en a, alors 1. λ·f est continue en a ( ∈ℝ ), 2. f + g est continue en a (idem pour « – »), Chacun de ces résultats découle de la loi des limites 3. f·g est continue en a, correspondante f 4. est continue en a si g(a) ≠ 0 et discontinue si g(a) = 0. (voir chapitre 1, § 1.4) g 5. Si une fonction g est continue au point a et une fonction f est continue au point g(a), alors f °g est continue en a. ln  xarctan  x Où la fonction f  x= 2 est-elle continue ? x –1 La fonction y = ln(x) est continue pour x > 0 et y = arctan(x) est continue sur ℝ . Il s'ensuit que la fonction ln(x) + arctan(x) est continue sur ]0 ; +∞[, d'après la règle 2. La fonction du dénominateur est polynomiale et donc partout continue. D'autre part, x2 − 1 est nul quand x = 1 et x = −1. Finalement, f est continue sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[. Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
  • 15. CONTINUITÉ 11 Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont discontinues pour la valeur de a Exercice 2.3 donnée. Dessinez le graphe de ces fonctions. 2 x –1 a. f(x) = a = −1 x1 { 2 x −1 si x≠−1 b. f(x) = x1 a = −1 6 si x=−1 { 2 x −2 x−8 c. f(x) = si x≠4 a=4 x−4 3 si x=4 d. f(x) = {1−x si 2 x −2 x si x≤2 x2 a=2 Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont continues en chaque point de leur Exercice 2.4 domaine de définition. Précisez ce domaine de définition. 4 x 17 a. f  x= 2 b. f t =2 t  25 – t 2 6 x x – 1 x 2 c. f  x=e sin 5 x d. f  x=arcsin  x – 1 f  x=cos e x  4 e. f t=ln t –1 f. 2.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues Théorème de Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0. Moins formel : « Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée. » Théorème de la valeur intermédiaire Bernhard Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] et f(a) ≠ f(b), alors, pour tout réel u strictement (Prague, 5/10/1781 - compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que Prague, 18/12/1848) f(c) = u. Le théorème de la valeur intermédiaire certifie qu'une fonction continue passe par toutes les valeurs intermédiaires entre les valeurs f(a) et f(b). Attention ! L'inverse n'est pas vrai ! En effet, pour un réel c strictement compris entre a et b, il n'existe pas forcément un réel u = f(c) dans l'intervalle ]f(a), f(b)[. Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
  • 16. 12 CHAPITRE 2 Y a-t-il équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité ? Exercice 2.5 Autrement dit, est-ce que si une fonction satisfait la propriété de la valeur intermédiaire, cela signifie-t-il qu'elle est continue ? La réponse est non. {  1 sin si x≠0 Montrez que la fonction f(x) = x est un contre-exemple. 0 si x=0 Le théorème de la valeur intermédiaire est mis à contribution dans la localisation des racines des équations, ainsi que le montre l'exemple suivant : Quand u = 0, on peut aussi utiliser le théorème de « Montrez qu'une racine de l'équation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 est située entre 1 et 2. » Bolzano, qui est un cas particulier du théorème de la Posons f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Nous sommes à la recherche d'une solution de valeur intermédiaire. l'équation donnée, c'est-à-dire d'un nombre c situé entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Voilà pourquoi nous prenons a = 1, b = 2 et u = 0, en vue d'exploiter ce théorème. On a : f(1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0 et f(2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0 Donc f(1) < 0 < f(2) et u = 0 est bien un nombre situé entre f(1) et f(2). De plus, f, étant une fonction polynomiale, est continue. Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire affirme l'existence d'un nombre c entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Autrement dit, l'équation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 a au moins une racine dans l'intervalle ]1 ; 2[. Algorithme de L'algorithme le plus simple permettant de recherche de zéros trouver un zéro d'une fonction est la d'une fonction méthode de dichotomie. On commence avec deux abscisses a et b qui encadrent un zéro de la fonction. À chaque itération, on coupe l'intervalle en deux sous- Les algorithmes de recherche intervalles [a, c] et [c, b], c = (a + b)/2 des zéros d'une fonction sont étant le milieu de a et b. On garde le sous- étudiés en analyse numérique. intervalle qui contient un zéro, puis on recoupe en deux ce sous-intervalle, et ainsi de suite. L'intervalle encadrant le zéro devient ainsi de plus en plus petit. La méthode de dichotomie garantit la convergence vers un zéro lorsque la Étapes successives de la méthode de dichotomie fonction est continue. avec comme intervalle initial [a1; b1]. 1 Exercice 2.6 Montrez que la fonction sin(4x4+3x+2) a une racine comprise entre 0 et 2 , puis calculez-la à 0.01 près. 2.5. Ce qu'il faut absolument savoir Connaître la définition de la continuité en un point t ok Connaître la définition de la continuité à gauche, à droite, sur un intervalle t ok Reconnaître une fonction continue t ok Dire où une fonction est discontinue t ok Connaître le théorème de Bolzano t ok Connaître le théorème de la valeur intermédiaire t ok Connaître la méthode de dichotomie t ok Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
  • 17. DÉRIVÉES 13 3. Dérivées 3.1. Un peu d'histoire Isaac Newton est né le jour de Noël 1642, l'année de la mort de Galilée, à Woolsthorpe, petit bourg de la région de Lincoln, sur la côte est de l'Angleterre. Admis au Trinity College de Cambridge en 1661, il se familiarise avec les œuvres de Descartes, Galilée, Wallis et Isaac Barrow. Entre 1665 et 1666, il est contraint de quitter l'Université de Cambridge qui ferme ses portes à cause de la peste qui sévit dans la région. De retour à Woolsthorpe, c'est au cours de cette parenthèse qu'il pose les fondements du calcul infinitésimal, de la nature de la lumière blanche et de sa théorie de l'attraction universelle. De retour à Cambridge en 1669, il succède à Isaac Barrow à la chaire de mathématiques de l'Université, qu'il conservera jusqu'en 1695. En 1671, il conçoit lui- même un télescope à miroir, exceptionnel pour l'époque, qui grossit 40 fois. Le 11 Isaac Newton janvier 1672, il est élu à la Royal Society de Londres. En 1687, Newton publie son (Woolsthorpe, 25/12/1643 - œuvre maîtresse, Principes mathématiques de philosophie naturelle, exposant sa théorie Londres, 31/3/1727) de l'attraction universelle. En 1693, il plonge dans une profonde dépression qui marquera la fin de sa période créatrice. Les Méthodes des fluxions, qu'il avait écrites en 1671, ne seront publiées qu'en 1736, après sa mort. Newton y faisait alors naître le calcul infinitésimal, en même temps que Leibniz dont le Calcul différentiel fut, lui, édité en 1686. À l'époque, les deux hommes s'étaient vivement opposés, chacun revendiquant la paternité de la découverte. À la mort de Newton, le débat continua. Leibniz est né à Leipzig le 1er juillet 1646. Il est donc parfaitement contemporain à Newton. À quinze ans, maîtrisant les langues anciennes, il entre à l'université de Leipzig pour étudier le droit mais il y découvre Kepler, Galilée et Descartes, ce qui l'incite à s'initier aux mathématiques. En 1663 il soutient une thèse sur le principe d'individuation, part étudier les mathématiques à Iena, puis le droit à Altorf où il obtient Gottfried Wilhelm von Leibniz un doctorat en 1667. En 1672, Leibniz rejoint une mission diplomatique à la cour de (Leipzig, 1/7/1645 - Louis XIV – pour convaincre le roi de conquérir l'Égypte. Là, il se lie avec les grands Hannover, 14/11/1716) esprits de l'époque, dont le mathématicien hollandais Christiaan Huygens (1629-1695), se plonge dans la lecture de Pascal et invente une machine à calculer. Leibniz est ébloui par les méthodes que lui dévoile Huygens ; au cours d'un voyage à Londres en 1673, il rencontre des mathématiciens anglais à qui il montre ses premiers travaux et assiste à des séances de la Royal Society dont il est élu membre étranger. De retour à Paris, il retrouve Huygens qui l'encourage vivement à poursuivre ses recherches. À l'issue de son séjour parisien, il élabore le calcul différentiel. En 1684, il publie son Calcul différentiel. Il fonde en 1700 l'académie de Berlin dont il est le premier président. Leibniz est aussi célèbre en tant que théologien et philosophe. D'autres grands noms sont liés à l'intégration. Citons entre autres Jacques Bernoulli (1654-1705), Jean Bernoulli (1667-1748) le frère de Jacques, Daniel Bernoulli (1700- Christiaan Huygens 1782) le fils de Jean, le marquis de l'Hôpital (1661-1704), Leonhard Euler (1707- (La Haye, 14/4/1629 - 1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Pierre Simon de Laplace (1749-1827) et La Haye, 8/7/1695) Augustin Cauchy (1789-1857). 3.2. Définition de la dérivée f  x 0 x – f  x 0  Définition 1 Si la limite f '  x 0= lim existe, elle est appelée fonction dérivée  x 0 x de la fonction f. f est alors dite dérivable. Remarque : ∆x peut être positif ou négatif. Si ∆x > 0 on parle de dérivée à droite ; si ∆x < 0, on parle de dérivée à gauche. La fonction est dérivable si la dérivée à droite et la dérivée à gauche existent et si elles sont égales. Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
  • 18. 14 CHAPITRE 3 ∆x est un accroissement (une variation) de la variable x. f(x0+∆x) – f(x) est l'accroissement de f . f  x 0 x – f  x 0 est x le taux d'accroissement moyen. Quand ∆x → 0, on parle de taux de variation instantané. Attention ! ∆x ne signifie pas ∆·x. Cela signifie « un petit accroissement de x ». On ne peut pas séparer le ∆ du x. Interprétation La valeur f '(x0) est la pente de la tangente à la courbe f(x) en x = x0. géométrique De cette interprétation géométrique, on peut déduire que : Si f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. Si f ' = 0 en un point, alors ce point est un extremum de la fonction ou un point d'inflexion à tangente horizontale. minimum maximum points d'inflexion à tangente (extrema) horizontale (chaise) Définition 2 Si une fonction f(x) est dérivable en tout point de l'intervalle I = ]a ; b[, elle est dite dérivable sur l'intervalle I. Notations Il existe plusieurs notations pour désigner la dérivée d'une fonction y = f(x) : dy f '(x), f ', y', ˙ , y dx La dernière notation a été introduite par Leibniz. Elle remplace parfois avantageusement les autres notations. En effet, dans de nombreux calculs, on est en droit de travailler comme s'il s'agissait d'un rapport banal, ce qui donne un aspect immédiat à certains résultats. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point. Dérivabilité et continuité Attention ! La réciproque est fausse : une fonction continue n'est pas forcément dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions possédant des « pointes ». Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
  • 19. DÉRIVÉES 15 Sur le graphe de la fonction f(x) ci-dessous, indiquez les valeurs approximatives de x Exercice 3.1 pour lesquelles : 1 a. f(x) = 0 b. f ' (x) = 0 c. f ' (x) = 1 d. f ' (x) = –4 e. f ' (x) = – 2 Indication Utilisez l'interprétation géométrique de la dérivée. Esquissez le graphe de sin(x) et utilisez ce graphe pour décider si la dérivée de sin(x) en Exercice 3.2 x = 3π est positive ou négative. En utilisant la définition 1 de la dérivée, trouvez algébriquement la dérivée f ' de Exercice 3.3 1 Pour trouver f(x+∆x), il suffit a. f(x) = x3 + 5 b. f(x) = x de remplacer le symbole « x » c. f(x) =  x d. f(t) = 3t2 + 5t par « x+∆x ». Trouvez la pente des tangentes à la parabole y = x2 aux points A(1; 1) et D(−2; 4). Exercice 3.4 Utilisez la définition 1 pour estimer numériquement la dérivée de Exercice 3.5 a. f(x) = xx en x = 2  b. f(x) = ln(cos(x)) en x = Travaillez toujours en radians ! 4 c. f(x) = sin(ex) en x = 3 1 Exercice 3.6 La position d'un mobile est donnée par l'équation du mouvement s = f(t) = 1t , où t est mesuré en secondes et s en mètres. Calculez la vitesse du mobile après 2 secondes. Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
  • 20. 16 CHAPITRE 3 Esquissez le graphe de la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous : Exercice 3.7 a. b. c. d. e. f. En mettant en correspondance les courbes de f(x) et f ' (x) de l'exercice 3.7, remplissez Exercice 3.8 les cases vides du tableau ci-dessous avec les réponses suivantes (il y a un intrus) : = 0, = 0, = 0, < 0, > 0, ∞, min ou max point pt. d'infl. à f(a) décroît croît minimum maximum d'inflexion tg. horiz. f ' (a) Dans une expérience de laboratoire, le nombre de bactéries après t heures est donné par Exercice 3.9 n = f(t). a. Quelle est la signification de f ' (5) ? En quelles unités s'exprime f ' (5) ? b. Si la quantité de nourriture et d'espace n'est pas limitée, lequel des deux nombres f ' (5) et f ' (10) sera le plus grand ? a. Dessinez une courbe dont la pente partout positive croît continûment. Exercice 3.10 b. Dessinez une courbe dont la pente partout positive décroît continûment. c. Dessinez une courbe dont la pente partout négative croît continûment. d. Dessinez une courbe dont la pente partout négative décroît continûment. Dessinez un graphe possible de y = f(x) connaissant les informations suivantes sur la Exercice 3.11 dérivée : • f ' (x) > 0 pour 1 < x < 3 • f ' (x) < 0 pour x < 1 ou x > 3 • f ' (x) = 0 en x = 1 et x = 3 a. Sur un même système d'axes, dessinez les graphes de f(x) = sin(x) et g(x) = sin(2x), Exercice 3.12 pour x compris entre 0 et 2π. b. Sur un deuxième système d'axes identique au premier, esquissez les graphes de f ' (x) et g' (x) et comparez-les. Par des expériences, on peut constater que le chemin parcouru ( l) par un corps en chute Exercice 3.13 libre est proportionnel au carré du temps écoulé : g l(t) = t2 où g est la gravité terrestre (9.81 m/s2). 2 a. Quelle est la vitesse moyenne entre le moment t et le moment t + ∆t ? Quand ∆t → 0, la vitesse moyenne tend, par définition, vers la vitesse instantanée au moment t. b. Quelle est la vitesse instantanée au moment t ? Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
  • 21. DÉRIVÉES 17 3.3. La dérivée seconde Comme la dérivée est elle-même une fonction (cf. ex. 3.7), on peut souvent calculer sa dérivée. Pour une fonction f, la dérivée de sa dérivée est appelée dérivée seconde et notée f ''. Que nous dit la dérivée seconde ? Rappelons que la dérivée d'une fonction nous dit si une fonction croît ou décroît. Si f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Remarque Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. On peut aussi calculer la dérivée troisième, quatrième, Puisque f '' est la dérivée de f ' : etc. Cependant, elles ont Si f '' > 0 sur un intervalle, alors f ' est croissante sur cet intervalle. moins d'intérêt que les Si f '' < 0 sur un intervalle, alors f ' est décroissante sur cet intervalle. dérivées première et seconde. Ainsi la question devient : qu'indique le fait que f ' soit croissante ou décroissante ? Lorsque f ' est croissante, la courbe f se redresse : elle est convexe. Lorsque f ' est décroissante, la courbe f s'infléchit vers le bas : elle est concave. Deux trucs mnémotechniques Pour se rappeler la différence entre convexe et concave, penser qu'une courbe concave a la forme d'une caverne. Si la dérivée seconde est positive, on peut imaginer que « la courbe sourit ». Inversement, quand elle est négative, « elle tire la tronche ». Pour trouver les points d'inflexion (point noir sur la figure ci-dessus) de f(x), il faut poser f '' (x) = 0 et résoudre. Mais attention ! Il faudra vérifier que c'est bien un point d'inflexion : f '' (x−ε) et f '' (x+ε) devront être de signe opposé. Pour la fonction f donnée ci-dessous, décidez où la dérivée seconde est positive et où Exercice 3.14 elle est négative. Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
  • 22. 18 CHAPITRE 3 Donnez trois moyens de faire la différence entre un minimum local d'une fonction f, un Exercice 3.15 maximum local et un point d'inflexion à tangente horizontale . Chacun des graphes ci-dessous montre la position de quatre wagonnets se déplaçant sur Exercice 3.16 une ligne droite en fonction du temps. Les échelles de tous les graphes sont les mêmes. Quel(s) wagonnet(s) a (ont) : Rappels de physique a. une vitesse constante ? La fonction vitesse est la b. la plus grande vitesse initiale ? dérivée de la fonction horaire c. une vitesse nulle ? (position). La fonction d. une accélération nulle ? accélération est la dérivée de e. une accélération toujours positive ? la fonction vitesse. f. une accélération toujours négative ? (I) (II) (III) (IV) x x x x t t t t Trouvez algébriquement la dérivée seconde de Exercice 3.17 1 a. f(x) = x3 + 5 en x = 1 b. f(x) = en x = 2 (suite de l'ex. 3.3) x c. f(x) =  x en x = 1 d. f(t) = 3t2 + 5t en t = –1 Dessinez sur le graphe de la fonction f ci-dessous les « bouts de la fonction f » où f ≥ 0 Exercice 3.18 (en vert), f ' ≥ 0 (en rouge) et f '' ≥ 0 (en bleu). On se donne les abscisses suivantes : –2.25, –1.6, –1.2, –0.5, 0, 0.7, 1.55, 2. Dites pour lesquelles de ces abscisses… a. f et f '' sont non nulles et de même signe. b. au moins deux des valeurs de f, f ' et f '' sont nulles. a. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout positives. Exercice 3.19 b. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout négative, mais dont la première dérivée est partout positive. c. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout positive, mais dont la première dérivée est partout négative. d. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout négatives. Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
  • 23. DÉRIVÉES 19 3.4. Dérivées de fonctions usuelles Pour éviter de toujours recalculer les mêmes dérivées à partir de la définition 1, on peut construire une table des dérivées. Les tables ci-dessous regroupent les fonctions usuelles. a et n sont des constantes. f (x) f ' (x) f (x) f ' (x) a 0 sin(x) cos(x) n n– 1 x n⋅x cos(x) –sin(x) 1 1 1 2  x= x 2 tan(x) 2 =1tan  x 2 x cos  x 1 1 2 ln(x) cot(x) − 2 =−1−cot  x x sin  x loga(x) 1 1 arcsin(x) x ln a  1 – x2 x x 1 e e arccos(x) −  1 – x2 x x 1 a a ln a arctan(x) 2 1 x 1 |x| sgn(x) (x ≠ 0) arccot(x) − 2 1x 3.5. Règles de dérivation Soient f et g deux fonctions dérivables et λ un nombre réel. Les propriétés suivantes servent au calcul des dérivées : Les démonstrations de ces 1. (f + g) ' = f ' + g' 2. (f – g) ' = f ' – g' propriétés, longues et ' fastidieuses, découlent de la définition 1. 3. (λ·f) ' = λ·f ' 4.  f g = f ' g – f g' g 2 5. (f·g) ' = f ' ·g + f·g' 6.  g° f '=g ' ° f ⋅f ' La règle la plus difficile est la sixième. Elle concerne la dérivation de fonctions composées. Nous la traiterons en détails un peu plus loin. 3 exemples de calculs 1. Dérivons h(x) = ex + x3 de dérivées On a f(x) = ex , g(x) = x3 et h(x) = f(x) + g(x).   D'après la règle 1 : h'  x=e x  3 x2 f ' g' sin  x 2. Dérivons h x= x e f  x On a f(x) = sin(x) , g(x) = ex et h x= g  x f' g f g' D'après la règle 4 : h'  x=   sin x  = cos  x⋅e – ⋅e cos  x−sin  x x x x 2 x  e  e g2 Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse