This document provides a tutorial for using the SuperDecisions software to build decision models using the Analytic Hierarchy Process (AHP) or Analytic Network Process (ANP). It explains the basic concepts of clusters and elements, and how to create a hierarchical model by defining the goal, criteria and alternative clusters, adding elements to each cluster, and connecting the elements. The tutorial also provides an overview of performing pairwise comparisons to obtain priority weights in the decision models. The overall purpose is to demonstrate how to use the SuperDecisions software to structurally model decisions and obtain results using AHP or ANP.
This document provides a tutorial on using the SuperDecisions software for Analytic Hierarchy Process (AHP) and Analytic Network Process (ANP) models. It outlines the basic process of creating clusters, nodes, links between nodes, making pairwise comparisons, and obtaining results. It demonstrates how to build a simple 3-level hierarchy to choose the best car based on criteria like prestige, price, and miles per gallon. It also discusses features like different comparison modes, improving inconsistency, sensitivity analysis, and building a ratings model instead of a relative model.
Regression is a statistical tool used to predict unknown values of a dependent variable from known values of one or more independent variables. It estimates the average change in the dependent variable given a change in the independent variable(s). There are two regression lines - one with Y as the dependent variable (Y on X) and one with X as the dependent variable (X on Y). The regression equation expresses these lines algebraically. The constants a and b are estimated using the method of least squares, which finds the line that minimizes the vertical differences between actual and estimated Y values. Multiple regression uses more than one independent variable to increase prediction accuracy.
The document provides an introduction to game theory and its applications in business. It begins with an opening experiment to demonstrate game theory concepts. It then discusses how actual human behavior in experiments does not always match the theoretical predictions of rational behavior in game theory. The document outlines key elements of games, provides examples of where game theory is applied, and discusses some classic games like the Prisoner's Dilemma and how changing the structural rules of a game can influence outcomes.
Evaluation des incertitudes de mesure avec biais eil ou crmMaurice Maeck
Les exercices interlaboratoires et/ou des analyses répétées sur des échantillons de référence certifiés permettent facilement d'évaluer les incertitudes de mesure.
Le fichier Excel correspondant est disponible sur demande.
This document summarizes key concepts in unconstrained optimization of functions with two variables, including:
1) Critical points are found by taking the partial derivatives and setting them equal to zero, generalizing the first derivative test for single-variable functions.
2) The Hessian matrix generalizes the second derivative, with its entries being the partial derivatives evaluated at a critical point.
3) The second derivative test classifies critical points as local maxima, minima or saddle points based on the signs of the Hessian matrix's eigenvalues.
4) Taylor polynomial approximations in two variables involve partial derivatives up to second order, analogous to single-variable Taylor series.
5) An example classifies the critical points
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http://www.youtube.com/onlineteaching
Elementary Statistics Practice Test 4
Module 4:
Chapter 8, Hypothesis Testing
Chapter 9: Two Populations
Experience Mazda Zoom Zoom Lifestyle and Culture by Visiting and joining the Official Mazda Community at http://www.MazdaCommunity.org for additional insight into the Zoom Zoom Lifestyle and special offers for Mazda Community Members. If you live in Arizona, check out CardinaleWay Mazda's eCommerce website at http://www.Cardinale-Way-Mazda.com
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This document provides a tutorial on using the SuperDecisions software for Analytic Hierarchy Process (AHP) and Analytic Network Process (ANP) models. It outlines the basic process of creating clusters, nodes, links between nodes, making pairwise comparisons, and obtaining results. It demonstrates how to build a simple 3-level hierarchy to choose the best car based on criteria like prestige, price, and miles per gallon. It also discusses features like different comparison modes, improving inconsistency, sensitivity analysis, and building a ratings model instead of a relative model.
Regression is a statistical tool used to predict unknown values of a dependent variable from known values of one or more independent variables. It estimates the average change in the dependent variable given a change in the independent variable(s). There are two regression lines - one with Y as the dependent variable (Y on X) and one with X as the dependent variable (X on Y). The regression equation expresses these lines algebraically. The constants a and b are estimated using the method of least squares, which finds the line that minimizes the vertical differences between actual and estimated Y values. Multiple regression uses more than one independent variable to increase prediction accuracy.
The document provides an introduction to game theory and its applications in business. It begins with an opening experiment to demonstrate game theory concepts. It then discusses how actual human behavior in experiments does not always match the theoretical predictions of rational behavior in game theory. The document outlines key elements of games, provides examples of where game theory is applied, and discusses some classic games like the Prisoner's Dilemma and how changing the structural rules of a game can influence outcomes.
Evaluation des incertitudes de mesure avec biais eil ou crmMaurice Maeck
Les exercices interlaboratoires et/ou des analyses répétées sur des échantillons de référence certifiés permettent facilement d'évaluer les incertitudes de mesure.
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This document summarizes key concepts in unconstrained optimization of functions with two variables, including:
1) Critical points are found by taking the partial derivatives and setting them equal to zero, generalizing the first derivative test for single-variable functions.
2) The Hessian matrix generalizes the second derivative, with its entries being the partial derivatives evaluated at a critical point.
3) The second derivative test classifies critical points as local maxima, minima or saddle points based on the signs of the Hessian matrix's eigenvalues.
4) Taylor polynomial approximations in two variables involve partial derivatives up to second order, analogous to single-variable Taylor series.
5) An example classifies the critical points
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Elementary Statistics Practice Test 4
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Chapter 8, Hypothesis Testing
Chapter 9: Two Populations
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This document discusses Bayesian model choice and alternatives. It covers several key topics:
1. The Bayesian framework for inference which conditions on observations using Bayes' theorem and the posterior distribution. This provides a coherent way to incorporate new information.
2. Choosing between models or testing models using Bayesian methods. The posterior distribution is compared for different models given the data.
3. Some criticisms of Bayesian inference including that noninformative priors are difficult to define and may not truly represent no information. Improper priors are also controversial but can be justified in some cases.
4. Alternatives to traditional Bayesian hypothesis testing are discussed to address criticisms of the Bayesian approach to model selection and hypothesis testing.
Lecture slides on Decision Theory. The contents in large part come from the following excellent textbook.
Rubinstein, A. (2012). Lecture notes in microeconomic theory: the
economic agent, 2nd.
http://www.amazon.co.jp/dp/B0073X0J7Q/
This document provides an overview of game theory, including definitions of key concepts like Nash equilibrium. It discusses examples of games like the prisoner's dilemma and chicken game. Solution concepts for different types of games are introduced, such as backward induction for extensive form games. Linear programming formulations are presented for solving zero-sum games. Examples are provided to illustrate equilibrium concepts and how to model games as linear programs.
Ce test utilise tableau croisé (appelé aussi tableau de contingence) pour examiner la relation entre deux variables catégorielles. C’est un arrangement dans lequel les données sont classées selon deux variables catégorielles. Les catégories d'une variable apparaissent dans les lignes et les catégories de l'autre variable apparaissent dans les colonnes
Decision theory deals with determining the optimal course of action when alternatives have uncertain consequences. There are several key concepts: decision alternatives are available options; states of nature are uncontrollable events; and payoff is the numerical outcome of alternatives and states. The decision process involves defining the problem, listing states, identifying alternatives, expressing payoffs, and applying a model to select the optimal alternative based on criteria. Decision making can occur under certainty, risk, or uncertainty depending on what is known about states and payoffs. Different techniques are used depending on the environment.
Let me break this down step-by-step:
* The distribution is normal with mean 72 and standard deviation 5
* We want the score at the 85th percentile (100% - 15% = 85%)
* The z-score for the 85th percentile is 1.04
* So the score is: 72 + 1.04(5) = 76.2
* Therefore, the lowest score to receive an A is 76
So in summary, the lowest score a student can earn and still receive an A is 76.
The document discusses multiple criteria decision making (MCDM) approaches. It introduces several common MCDM methods: the weighted score method, TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) method, and Analytic Hierarchy Process (AHP). It then provides a detailed example of how to apply the weighted score method and TOPSIS method to a problem of selecting the best car based on criteria like style, reliability, fuel economy, and cost.
Confidence Intervals––Exact Intervals, Jackknife, and BootstrapFrancesco Casalegno
The document discusses confidence intervals and different methods for computing them, including exact, asymptotic, jackknife, and bootstrap methods. The exact method computes an interval based on the known distribution of the estimator, but this is often impossible. The asymptotic method uses the asymptotic normality of maximum likelihood estimators, but requires large sample sizes. The jackknife method uses leave-one-out resampling to estimate bias and variance up to O(1/n^2), while bootstrap resamples with replacement to estimate the full distribution and compute confidence intervals.
This document defines key concepts in multi-criteria decision making (MCDM) including criteria, alternatives, and decisions. It provides examples of single-criterion and multiple-criteria decision problems. For multiple-criteria problems, alternatives differ in more than one criterion and criteria are often competing. Formal MCDM analysis is useful when criteria are competing and trade-offs are difficult to evaluate. The document discusses types of MCDM problems and contexts for MCDM including mutually exclusive alternatives, portfolio selection, design, and measurement.
ANOVA à 1 facteur, Analyse de variance, (One-way ANOVA)Adad Med Chérif
Dans ce tutoriel, il s’agit de montrer comment peut-on procéder à l’analyse ANOVA à 1 facteur entre des échantillons indépendants par le biais du logiciel SPSS et quels sont les résultats à mettre sur le rapport final ?
Using the Analytic Hierarchy Process (AHP) to Select and Prioritize Project...Ricardo Viana Vargas
The objective of this paper is to present, discuss and apply the principles and techniques of the Analytic Hierarchy Process (AHP) in the prioritization and selection of projects in a portfolio. AHP is one of the main mathematical models currently available to support the decision theory.
This is a brief review of net lift models based on the presentation I did at Truecar in June, 2013 after I attended the training provided by SAS Institute. Recently, I added a few things to the slides after I reviewed several online examples and papers.
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http://www.youtube.com/onlineteaching
Chapter 10: Correlation and Regression
10.2: Regression
Linear Machine Learning Models with L2 Regularization and Kernel TricksFengtao Wu
The slides are the course project presentation for INFSCI 2915 Machine Learning Foundations course. The presentation reviewed and summarized how the L2 regularization techniques are applied in the linear machine models including linear regression, logistic regression, support vector machine and perceptron learning algorithm. Also the presentation reviewed the quadratic programming problem and took SVM model as an example to illustrate the relation between primal and dual problem. At last, the presentation reviewed the general conclusion which is the representer theorem, and connected the kernel tricks to the L2 regularized linear models.
This document provides an introduction to optimization theory, beginning with an overview of different optimization problem types such as nonlinear equations, nonlinear least squares, constrained and unconstrained optimization. It then presents some key concepts in optimization theory including Taylor's theorem, positive definiteness, convexity, local and global minima, first and second order necessary/sufficient conditions, and uniqueness of minima for convex functions. The document concludes with an overview of the linear least squares problem and its properties.
This document discusses Bayesian model choice and alternatives. It covers several key topics:
1. The Bayesian framework for inference which conditions on observations using Bayes' theorem and the posterior distribution. This provides a coherent way to incorporate new information.
2. Choosing between models or testing models using Bayesian methods. The posterior distribution is compared for different models given the data.
3. Some criticisms of Bayesian inference including that noninformative priors are difficult to define and may not truly represent no information. Improper priors are also controversial but can be justified in some cases.
4. Alternatives to traditional Bayesian hypothesis testing are discussed to address criticisms of the Bayesian approach to model selection and hypothesis testing.
Lecture slides on Decision Theory. The contents in large part come from the following excellent textbook.
Rubinstein, A. (2012). Lecture notes in microeconomic theory: the
economic agent, 2nd.
http://www.amazon.co.jp/dp/B0073X0J7Q/
This document provides an overview of game theory, including definitions of key concepts like Nash equilibrium. It discusses examples of games like the prisoner's dilemma and chicken game. Solution concepts for different types of games are introduced, such as backward induction for extensive form games. Linear programming formulations are presented for solving zero-sum games. Examples are provided to illustrate equilibrium concepts and how to model games as linear programs.
Ce test utilise tableau croisé (appelé aussi tableau de contingence) pour examiner la relation entre deux variables catégorielles. C’est un arrangement dans lequel les données sont classées selon deux variables catégorielles. Les catégories d'une variable apparaissent dans les lignes et les catégories de l'autre variable apparaissent dans les colonnes
Decision theory deals with determining the optimal course of action when alternatives have uncertain consequences. There are several key concepts: decision alternatives are available options; states of nature are uncontrollable events; and payoff is the numerical outcome of alternatives and states. The decision process involves defining the problem, listing states, identifying alternatives, expressing payoffs, and applying a model to select the optimal alternative based on criteria. Decision making can occur under certainty, risk, or uncertainty depending on what is known about states and payoffs. Different techniques are used depending on the environment.
Let me break this down step-by-step:
* The distribution is normal with mean 72 and standard deviation 5
* We want the score at the 85th percentile (100% - 15% = 85%)
* The z-score for the 85th percentile is 1.04
* So the score is: 72 + 1.04(5) = 76.2
* Therefore, the lowest score to receive an A is 76
So in summary, the lowest score a student can earn and still receive an A is 76.
The document discusses multiple criteria decision making (MCDM) approaches. It introduces several common MCDM methods: the weighted score method, TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) method, and Analytic Hierarchy Process (AHP). It then provides a detailed example of how to apply the weighted score method and TOPSIS method to a problem of selecting the best car based on criteria like style, reliability, fuel economy, and cost.
Confidence Intervals––Exact Intervals, Jackknife, and BootstrapFrancesco Casalegno
The document discusses confidence intervals and different methods for computing them, including exact, asymptotic, jackknife, and bootstrap methods. The exact method computes an interval based on the known distribution of the estimator, but this is often impossible. The asymptotic method uses the asymptotic normality of maximum likelihood estimators, but requires large sample sizes. The jackknife method uses leave-one-out resampling to estimate bias and variance up to O(1/n^2), while bootstrap resamples with replacement to estimate the full distribution and compute confidence intervals.
This document defines key concepts in multi-criteria decision making (MCDM) including criteria, alternatives, and decisions. It provides examples of single-criterion and multiple-criteria decision problems. For multiple-criteria problems, alternatives differ in more than one criterion and criteria are often competing. Formal MCDM analysis is useful when criteria are competing and trade-offs are difficult to evaluate. The document discusses types of MCDM problems and contexts for MCDM including mutually exclusive alternatives, portfolio selection, design, and measurement.
ANOVA à 1 facteur, Analyse de variance, (One-way ANOVA)Adad Med Chérif
Dans ce tutoriel, il s’agit de montrer comment peut-on procéder à l’analyse ANOVA à 1 facteur entre des échantillons indépendants par le biais du logiciel SPSS et quels sont les résultats à mettre sur le rapport final ?
Using the Analytic Hierarchy Process (AHP) to Select and Prioritize Project...Ricardo Viana Vargas
The objective of this paper is to present, discuss and apply the principles and techniques of the Analytic Hierarchy Process (AHP) in the prioritization and selection of projects in a portfolio. AHP is one of the main mathematical models currently available to support the decision theory.
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Chapter 10: Correlation and Regression
10.2: Regression
Linear Machine Learning Models with L2 Regularization and Kernel TricksFengtao Wu
The slides are the course project presentation for INFSCI 2915 Machine Learning Foundations course. The presentation reviewed and summarized how the L2 regularization techniques are applied in the linear machine models including linear regression, logistic regression, support vector machine and perceptron learning algorithm. Also the presentation reviewed the quadratic programming problem and took SVM model as an example to illustrate the relation between primal and dual problem. At last, the presentation reviewed the general conclusion which is the representer theorem, and connected the kernel tricks to the L2 regularized linear models.
This document provides an introduction to optimization theory, beginning with an overview of different optimization problem types such as nonlinear equations, nonlinear least squares, constrained and unconstrained optimization. It then presents some key concepts in optimization theory including Taylor's theorem, positive definiteness, convexity, local and global minima, first and second order necessary/sufficient conditions, and uniqueness of minima for convex functions. The document concludes with an overview of the linear least squares problem and its properties.
Comment expliquer le développement de l’économétrie des séries temporelles ? Pourquoi ne s’être pas contenté des méthodes économétriques classiques, en utilisant simplement la régression simple et multiple par les « Moindres Carrés Ordinaires », et leurs divers prolongements (MCG, etc.) ? On peut répondre à ces questions selon deux optiques. Tout d’abord, le développement de la macro-dynamique théorique, des modèles de théorie financière moderne a débouché sur un certain nombre de problèmes empiriques qui nécessitent la mise au point d’outils appropriés et nouveaux. Ensuite, dans un certain nombre de cas, la méthode d’estimation des MCO ne s’applique pas, tout simplement et si on l’applique nous induirons en erreur tout un processus d’explications possible. Le traitement économétrique des modèles nécessite une analyse préalable des données. Notre attention se portera successivement sur les profils théoriques des séries temporelles, sur la détection de la non-stationnarité, sur le travail concret d’estimation et enfin sur les problèmes d’analyse des résultats.
Voila 13 examen de microéconomie SEMESTRE 1 de monsieur HASSAN prof au sein
de université MOHAMMED PREMIER DE OUJDA 2012 BONNE CHANCE .
www.learneconomie.blogspot.com
1. Microéconomie
Pierre Garrouste
Université de Nice-Sophia Antipolis
et
GREDEG
pierre.garrouste@orange.fr
2. Plan
1. Rappels
Préférences
Utilité
Risque
Information
La règle de Bayes
2. L’équilibre général
L’équilibre walrasien
L’existence de l’équilibre
Le premier théorème du bien-être
Le second théorème du bien-être
3. Les défaillances du marché
Les externalités
Le financement des biens publics
4. Les asymétries d’information
La sélection adverse
Le hasard moral
3. Rappels
Pierre Garrouste
Université de Nice-Sophia Antipolis
et
GREDEG
pierre.garrouste@orange.fr
Avec des emprunts à Jean-Louis Rullière
17. Les différents ‘types’ d’information
On distingue l’information selon qu’elle est:
complète ou incomplète
parfaite ou imparfaite
symétrique ou asymétrique
certaine ou incertaine
a) L’information est complète si le joueur connaît: les stratégies, les
issues, les gains et les caractéristiques de tous les joueurs. Elle est
incomplète sinon (par exemple un joueur ne connaît pas le type
des autres joueurs)
b) L’information est parfaite si l’ensemble d’information d’un joueur
est un singleton
c) L’information est symétrique si tous les joueurs disposent de la
même information.
d) L’information est certaine si la nature ne modifie pas l’issue du
jeu a posteriori
18. La règle de Bayes et ses problèmes
En économie on fait l’hypothèse que les agents révisent leurs
croyances en utilisant la règles de Bayes.
Deux tests de la règle de Bayes:
1. Le problème des trois cartes
Soit trois cartes placées dans une urne. Une carte est de
couleur rouge des deux côtés. La deuxième est noire des
deux côtés et la dernière est noire d’un côté et rouge de
l’autre. On tire une carte de l’urne est on examine la couleur
d’un de ces côtés. Le problème est le suivant : « sachant
que le carte tirée a un côté rouge quelle est la probabilité
pour que l’autre côté soit rouge » ?
19. La règle de Bayes et ses problèmes
Si on pose le problème en utilisant la règle de Bayes, on a :
p(R|R) = p(R et R)/p(R)
p(R) = 1/2 car il y a trois côtés rouges et trois côtés noirs
p(R et R) = 1/3 car il y a une seule car rouge et rouge sur les trois
cartes
d’où la probabilité pour que la carte tirée étant rouge son autre
côté le soit aussi est de 2/3
On peut justifier ce résultat à l’aide de l’intuition suivante. Il y a
trois côtés rouges R1, R2, R3 (et trois noirs N1, N2, N3).
Supposons que R1 et R2 les deux côtés rouges de la même carte.
Dans deux cas sur trois l’autre côté est rouge à savoir R1 et R2. Si
on voit R1 l’autre côté R2 est rouge. De même si on voit R2. Si on
fait le rapport entre le nombre de cas favorables (2) et le nombre
de cas possibles (3), on obtient 2/3
20. La règle de Bayes et ses problèmes
Le problème est que la réponse donnée n’est en général pas celle-ci
mais plus souvent 1/2.
Le raisonnement est alors le suivant:
Je tire une carte qui a un côté rouge.
La carte peut être rouge-rouge ou rouge-noire
Elle ne peut pas être noire-noire puisqu’un de ses côtés est rouge.
J’ai donc une chance sur deux que l’autre côté de ma carte soit
rouge.
21. La règle de Bayes et ses problèmes
2. Ce problème est similaire de celui des trois portes par Slembeck and
Tyran (2004):
Soit trois portes
Il y a un cadeau et un seul derrière une des trois portes
Le sujet doit choisir une porte sans l’ouvrir
L’observateur ouvre l’une des deux portes non choisies derrière
laquelle il n’y a pas le cadeau
On demande au sujet s’il veut modifier son choix
Il ne le fait pas estimant qu’il y a ½ que le cadeau soit derrière
l’une des deux portes restantes
En fait le règle de Bayes entraîne qu’il devrait le faire
22. Les cascades informationnelles
Soit deux urnes A et B avec respectivement 2 boules noires et une boule
blanche et deux boules blanches et une boule noire
L’observateur tire une urne au hasard (soit pA= pB = 1/2)
Les sujets sont invités successivement à tirer une boule de l’urne tirée au
sort, de regarder la couleur de la boule (information privée) et à indiquer
l’urne (information publique) dont ils pensent que la boule est issue.
Les expériences en laboratoire semblent confirmer que les sujets ont un
comportement bayésien, c’est-à-dire qu’ils créent des cascades
informationnelles qui proviennent de ce que les sujets se référent à
l’information publique plutôt qu’à leur information privée
Or:
Si n (m) est le nombre de fois où une boule noire (blanche) est tirée
p(A|n,m) = [p(n,m|A) p(A)]/([p(n,m|A) p(A)]+[p(n,m|B) p(B)])
= 2n/(2n + 2m)
23. Les cascades informationnelles
Si après deux tirages, les sujets ont tirés successivement deux
boules noires et aucune boule blanche et si le troisième sujet
tire une boule blanche alors:
p(A|n=2,m=1) = 4/(4+2) = 2/3
alors que
P(B|n=2,m=1) = 1/3
Le troisième sujet doit donc annoncer l’urne A alors que son
information privée lui indique l’urne B comme étant celle pour
laquelle p(A,B|m) est la plus élevée.
Tout se passe donc comme si les agents utilisaient la règle de
Bayes
24. L’équilibre général
Pierre Garrouste
Université de Nice-Sophia Antipolis
et
GREDEG
pierre.garrouste@orange.fr
25. Plan
1) L’équilibre Walrasien
2) l’existence d’un équilibre
3) le premier théorème du bien-être
4) le second théorème du bien-être
Références:
Varian, H. R. (1992) Microeconomic Analysis, New-York: W.W. Norton &
Company
Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J.R. (1996) Microeconomic Theory,
Oxford University Press
26. L’équilibre walrasein
Chaque consommateur i est doté d’une fonction de préférence (ou d’utilité ui).
Il possède une dotation initiale ωi d’un bien k
Soit xij le consommation du bien j
xi ={xi1, xi2,…, xin}
Une allocation est définie par:
x = {x1, x2, …, xn}
Dans une économie d’échange pur:
i1 xi i1 ωi
n n
Dans le cas de deux biens et deux consommateurs on utilise la boîte
d’Edgeworth. Elle est telle que ω1 = ω11 + ω21 et ω2 = ω12 + ω22
Le couple (x11, x 12) indique combien l’agent 1 possède du bien 1 et donc l’agent
2 possède (x21, x22) = (ω1 – x11, ω2, - x 12)
28. L’équilibre walrasien
Dans la mesure où les agents sont nombreux on peut faire l’hypothèse que les
prix sont indépendants de leurs actions
Il peut exister un vecteur de prix
p = (p1, p2, …, pk)
Les agents i résolvent le problème suivant:
maxxi ui(xi)
tel que pxi = pωi
xi (p, pωi) est la courbe de demande du consommateur i. Si mi est le revenu de
i, on suppose ici que mi = pωi n
Pour un vecteur prix p quelconque la demande agrégée
n
x i (p, pωi ) peut ne
i 1
pas être égal à l’offre agrégée ω i
n n
x (p*, p * ω ) ω
i 1
L’équilibre walrasien est une paire (p*, x*) telle que i i i
i 1 i 1
29. L’existence de l’équilibre walrasien
Les courbes de demandes sont homogènes de degré 0, donc
xi (p, pωi) = xi (kp, kpωi) pour tout k > 0
La fonction d’excès de demande agrégée qui s’écrit
n
z(p) [x i (p, pωi ) ωi ]
i 1
est également homogène de degré 0
Si les fonctions de demandes sont continues, la fonction z(.) l’est aussi. De plus
le fonction d’excès de demande agrégée doit satisfaire la loi de Walras:
Pour tout vecteur de prix p, on a pz(p) 0, c’est-à-dire que la valeur de
l’excès de demande est identique à 0
Preuve:
n n
n
pz(p) p xi (p, pωi ) ωi px i (p, pωi ) pωi 0
i 1 i 1 i 1
puisque xi (p, pωi) doit satisfaire la contrainte de budget pxi = pωi pour tout i
30. L’existence de l’équilibre walrasien
Marché soldé:
Si les demandes et les offres sont égales sur k-1 marchés, et si pk>0, alors
l’offre et la demande sont égales sur le kième marché
Si ce n’était pas le cas alors la loi de Walras serait violée
Biens libres:
Si p* est un équilibre walrasien et si zj(p*) < 0, alors p*j = 0. En d’autres
termes si un bien est caractérisé par un excès d’offre, c’est un bien libre.
Puisque p* est un équilibre walrasien, z(p*)≤ 0. Puisque les prix sont non
négatifs,
k
p * z(p*) pi* zi (p* ) 0
i 1
Si zj(p*) < 0 et p*j > 0 nous devrions avoir p*z(p*) < 0, ce qui contredit le loi
de Walras
Désirabilité: Si pi = 0 alors zi(p) > 0 pour i = 1, 2, …, k
31. L’existence de l’équilibre walrasien
Égalité entre offre et demande: Si tous les biens sont désirables et p* est un
équilibre walrasien, alors z(p*) = 0
Supposons que zi(p*) < 0. Alors du fait de la proposition du bien libre, pi* = 0.
Mais alors, d’après le principe de désirabilité, zi(p*) = 0 ce constitue, une
contradiction.
Puisque la fonction d’excès de demande est homogène de degré 0 on peut donc
normaliser les prix:
pi
pi k
pj
j 1
La somme des pi est donc égale à 1
Si on se restreint au simplex unité de dimension k-1:
k
S k 1
p dans R : pi 1
k
i 1
33. L’existence de l’équilibre walrasien
Pour démontrer l’existence d’un équilibre walrasien, on utilise le théorème du
point fixe de Brouwer:
Si f est une fonction telle que f: Sk-1 Sk-1 est continue du simplex
unité sur lui-même il existe x dans Sk-1 tel que x=f(x)
Examinons le cas k=2. Dans ce cas on peut définir le simplex S1 dans l’intervalle
unité [0,1]. On a donc une fonction f de [0,1] [0,1]. On veut montrer qu’il
existe x dans [0,1] tel que x=f(x). Soit une fonction g(x)=f(x) – x
Un point fixe x* tel que g(x*) = 0
g(0) = f(0) – 0 ≥ 0 puisque f(0) est dans [0,1]
g(1) = f(1) – 1 ≤ 0 puisque f(1) est dans [0,1]
Puisque f est continue, on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire
et conclure qu’il existe x tel que g(x) = f(x) – x = 0 ce qui prouve le théorème
pour k = 2
34. L’existence de l’équilibre walrasien
Exemple de points fixes pour k = 2. Il y a trois points tels que x = f(x)
35. L’existence de l’équilibre walrasien
Si z : Sk-1 Rk est une fonction continue qui satisfait la loi de Walras, pz(p) 0
alors il existe p* dans Sk-1 tel que z(p*) ≤ 0
Si on définit une correspondance g : Sk-1 Sk-1 par:
pi max( 0, zi (p))
g i (p) k
pour i 1,..., k
1 max (0, z j (p))
j1
Cette fonction est continue puisque z(.) et que la fonction max sont des
fonctions continues. De plus g(p) est un point de Sk-1 puisque
i
g i (p) 1
Cette correspondance signifie que s’il y a un excès de demande sur un marché
(zi(p) ≥ 0), alors le prix relatif du bien correspondant augmente
En utilisant le théorème du point fixe, il existe p* tel que p* = g(p*)
36. L’existence de l’équilibre walrasien
On a donc:
pi* max( 0, zi (p* ))
p
*
pour i 1,..., k
1 j max( 0, z j (p ))
i *
Ou encore:
k
p*
i max( 0, z (p )) max( 0, z (p ))
j 1
j
*
i
*
Si on multiplie des k équations par zi(p*), on obtient:
k
zi (p ) p max( 0, z j (p* )) zi (p* ) max( 0, zi (p* ))
* *
i
j 1
Si on fait la somme de ces k équations, on obtient:
k k * k
max( 0, z j (p )) pi zi (p ) zi (p ) max( 0, zi (p ))
* * * *
j 1 i 1 i 1
37. L’existence de l’équilibre walrasien
Or d’après la loi de Walras:
k
p z (p ) 0
i 1
*
i i
*
donc
k
z (p ) max( 0, z (p )) 0
i 1
i
*
i
*
Chacun des termes de la somme peuvent être égal ou bien à 0 ou à zi(p*)2. Si
un des termes est strictement positif, l’égalité n’est pas respectée. Donc tous les
termes doivent être égaux à 0.
38. Le premier théorème du bien-être
Pareto optimalité (ou Pareto efficience):
une allocation x est faiblement Pareto optimale si il n’y a pas d’allocation x’
telle que les agents préfèrent strictement x’ à x. Une allocation x est
fortement Pareto optimale s’il n’existe pas d’allocation x’ telle que tous les
agents préfèrent faiblement x’ à x et certains agents préfèrent strictement x’ à
x.
Equivalence entre Pareto optimalité faible et forte. Soit des fonctions de
préférences continues et monotones. Une allocation est faiblement Pareto
optimale si et seulement si elle est fortement Pareto optimale.
Si elle est fortement Pareto optimale elle l’est aussi faiblement
Soit une allocation non fortement optimale. Supposons que l’on puisse améliorer
le sort d’un individu sans détériorer celui des autres. Nous devons montrer que
l’on peut améliorer le sort de tous. Si on prend un portion θ de son panier xi que
l’on redistribue aux autres tel que xj = xj + (1- θ) xi /(n-1). Par continuité il est
possible de choisir θ proche de 1 tel que si i voit toujours sa situation meilleure.
Par monotonie tous les autres voit leur sort s’améliorer
39. Le premier théorème du bien-être
Si on se situe dans le cas à deux biens et deux consommateurs, le programme
alors est le suivant:
max u1 (x1 )
x1 , x 2
tel que u2 (x 2 ) u2
x1 x 2 ω1 ω 2
Dans la boîte d’Edgeworth pour un individu donné il faut trouver le point de sa
courbe d’indifférence qui correspond à la plus grande utilité pour l’autre.
Clairement ce point sera tangent au deux courbes d’indifférence. Les taux
marginaux de substitution sont alors égaux
C’est ce que montre la figure suivante:
41. Le premier théorème du bien-être
Définition d’un équilibre walrasien: un couple allocation-prix (x, p) est un
équilibre walrasien 1) si l’allocation x est réalisable et 2) si chaque agent fait un
choix optimal compte tenu de son budget.
n n
1) xi i
i 1 i 1
2) si x'i est préféré à x i par i alors px 'i px i
Premier théorème du bien-être: si (x,p) est un équilibre walrasien, alors x
est Pareto optimal
Si x n’est pas Pareto optimal, alors il existe un allocation réalisable x’ que tous
les agents préfèrent à x. D’après la définition d’un équilibre walrasien on a:
pxi’ > pxi pour i = 1,…, n
D’où:
n n n
p ω i p x p ω i ce qui est contradic toire
'
i
i 1 i 1 i 1
42. Le second théorème du bien-être
Second théorème du bien-être: Soit une allocation x* Pareto optimal dans
laquelle des agents détiennent une quantité positive de chaque bien. Soient des
préférences convexes, continues et monotones. Alors x* est un équilibre
walrasien pour les dotations initiales ωi = xi* pour i = 1,…, n
Soit
Pi xi dans R k : xi i x*
i
C’est l’ensemble des paniers que l’agent i préfère à xi*
Soit
n
n
P Pi z : z x i avec x i dans Pi
i 1 i 1
Cet ensemble est composé des paniers des k biens qui améliore le sort de tous
les individus. Comme Pi est convexe P l’est aussi
43. Le second théorème du bien-être
n
Soit ω x*
i
i 1
le panier agrégé de biens. Puisque x* est Pareto optimal il n’y a pas de
redistribution de x* qui améliore le bien-être de tous. Ce qui entraîne que ω
n’appartient pas a P. D’après le théorème de l’hyperplan séparateur(*), il existe
p≠0 tel que:
n
pz p x* pour tout z dans P
i
i 1
soit
n
(1) p(z x* ) 0 pour tout z dans P
i
i 1
Il nous faut montrer que p est un vecteur prix d’équilibre
(*) Si A et B sont deux ensembles dans Rn, non vides disjoints et convexes, alors il existe une fonctionnelle linéaire p telle
que px ≥ py pour tout x de A et y de B
44. Le second théorème du bien-être
1) Montrons d’abord que p ≥ 0
Soit ei = (0, …, 1, …, 0) dont le iième élément est égal à 1. Puisque les
préférences sont monotones, ω+ei doit être dans P puisque si on a un unité de
plus d’un bien il est possible de le redistribuer pour améliorer le sort de tous
Donc selon l’inégalité (1),
p(ω + ei - ω) ≥ 0
D’où
p(ei) ≥ 0 pour i = 1,…, k
Donc pi ≥ 0 pout i = 1, …, k
2) Montrons ensuite que si y j j x j alors py j px j
* *
pour tous j = 1,…, n
Nous savons que si tous les agents préfèrent yi à xi* alors
n n
p y i p x*
i
i 1 i 1
45. Le second théorème du bien-être
Si on suppose qu’un individu j préfère yj à xj. Si une allocation z est telle que
prélève une quantité de chaque bien à j et que l’on la redistribue aux autres
agents. Soit θ ce montant. Alors
z j (1 ) y j
.y j
zi xi* i j
n 1
Pour θ suffisamment petit, la monotonie entraîne que z sera préférée à x* donc
selon (1), on a:
n n
p z i p x*
i
i 1 i 1
p y i (1 ) x* y i . p x* x*
i i i
i j i j
py j px * i
46. Le second théorème du bien-être
3) Montrons enfin que cette inégalité est stricte, c’est-à-dire que:
si x j x*j alors py j px *j
On va montrer que pyj = pxj* est contradiction
Du fait de l’hypothèse de continuité des fonctions de préférences, on peut
trouver θ (0< θ <1) tel que θ. yj est strictement préféré à xj*. On vient de
montrer que yj doit coûter au moins autant que xj* donc θ. pyj ≥ pxj*. Une des
hypothèses que nous avons faites est tous les composant de xj* étaient
strictement positifs. Il suit que pxj*> 0. Si donc que pyj - pxj* = 0, il suit que
pyj < pxj*, ce qui contredit pyj ≥ pxj*.
47. Les externalités
Pierre Garrouste
Université de Nice-Sophia Antipolis
et
GREDEG
pierre.garrouste@orange.fr
48. Plan
Définition
Non optimalité
La solution pigouvienne
La création d’un marché de droits
Références:
Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J.R. (1996) Microeconomic Theory,
Oxford University Press
49. Définition
Une externalité existe lorsque le bien-être d’un consommateur ou les possibilités
de production d’une firme sont directement affectés par les actions d’un autre
agent de l’économie.
Il existe des externalités positives et négatives suivant que l’effet est positif ou
négatif
Les externalités peuvent être croisées (ex: horticulteur et apiculteur)
Une externalité n’est pas automatiquement compensée par une transfert
compensatoire, comme dans les échanges ‘classiques’
50. Non optimalité
Soit une action h de R+ pris par un agent 1 qui affecte le bien-être de l’agent 2
La fonction d’utilité de l’agent i peut s’écrire u1 (xi, h) et celle de j u2(xi, h) avec
u2 ( xi , h) / h 0
Si on suppose que l’agent i maximise son utilité on peut écrire:
vi ( p, i , h) max ui ( xi , h)
xi 0
avec
pxi i
p étant le vecteur prix et ωi la dotation de i
Si on exclu l’existence de la monnaie (ou si les fonctions sont quasi-linéaires par
rapport à la monnaie), alors:
vi ( p, i , h) i ( p, h) i
51. Non optimalité
Comme les prix ne varient pas en fonction de h, on peut supprimer le vecteur p
et écrire,i (h)
aveci (.) concave et deux fois différenciable
Les individus sont supposés maximiser leur utilité, d’où:
1' (h* ) 0 pour h* 0
L’équilibre de Pareto suppose que le niveau optimal de h, h° est tel qu’il
maximise le surplus joint des deux agents donc il résout:
max 1 (h) 2 (h)
h 0
La condition de premier ordre est:
1' (ho ) 2' (ho ) si ho 0
La présence d’effets externes tels que 2 (h) 0
'
n’est pas optimal sauf si h* = h° =0
Dans le cas d’externalités négatives, c’est à si 2 (.) 0
'
52. Non optimalité
On a donc h* > h° car 1 (h ) 2 (h ) 0 ,1 (h ) 0 et 1 (.) décroissante
' o ' o ' * '
On peut représenter une externalités négatives à l’aide de la figure suivante:
53. La solution pigouvienne
Cette solution consiste a faire payer une taxe à l’agent 1 telle que celui-ci
résolve:
max 1 (h) th h
h0
Dont la condition de premier ordre est:
1' (h) th avec h 0
On a alors:
t h 2' (h o )
donc h h o
On obtient la figure suivante:
55. La création d’un marché de droits
Si on attribue à l’agent 2 le droit de ne pas subir d’externalité négative, pour
produire h l’agent 1 doit avoir la permission de 2 de le faire. Soit un processus
de négociation de type ‘à prendre ou à laisser’. Le joueur 2 demande T en
échange de la production de h. Le joueur 1 acceptera ssi:
1 (h) T 1 (0)
L’offre de 2 sera telle que:
max 2 (h) T
h 0 ,T
avec 1 (h) T 1 (0)
Toutes les solutions sont bornées par T 1 (h) 1 (0)
Pour 2 on a donc:
max 2 (h) (h) (0)
h0
Ce qui correspond à h°, le niveau pareto-optimal
Cette solution est due à Coase (1960) et au Théorème qui lui est associé. Elle
consiste à distribuer des droits d’effectuer des externalités et de permettre leur
échange
56. Les biens publics
Pierre Garrouste
Université de Nice-Sophia Antipolis
et
GREDEG
pierre.garrouste@orange.fr
57. Plan
Définition
Les conditions de Pareto optimalité
L’inefficience de l’approvisionnement privé des biens publics
Les équilibres de Lindahl
Références:
Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J.R. (1996) Microeconomic Theory,
Oxford University Press
58. définition
Un bien public est une marchandise dont l’usage d’une unité de bien par un
agent n’empêche pas son usage par les autres agents
Propriété de non rivalité et de non exclusion
Exemple; la connaissance
Il existe des bien quasi publics (ou biens publics non purs)
Avec rivalité: la consommation du bien par un individu affecte d’un certain degré
sa disponibilité pour les autres
Avec exclusion: exemple du brevet
59. Les conditions de Pareto optimalité
Soit une économie composée de I consommateur et de L biens privés auquel on
ajoute un bien public.
On suppose comme dans le cas des externalités que les fonctions d’utilités sont
quasi linéaire par rapport à la monnaie et que la production du bien public ne
change pas les prix des biens L.
La fonction d’utilité d’un agent i pour le bien public s’écrit:
i (x)
x étant la quantité du bien public consommée. Cette fonction est supposée deux
fois différentiable avec i ( x) 0, x 0
''
Le coût de production de q unités du bien public est c(q) qui est deux fois
différentiable avec c’’’(q) > 0 pour q ≥ 0
L’équilibre Pareto optimal équivaut à:
I
max i (q) c(q)
q 0
i 1
60. Les conditions de Pareto optimalité
La condition nécessaire et suffisante de premier ordre est:
I
(1) ( q ) c ( q )
i 1
i
' o ' o
pour q o 0
Donc à l’optimum le quantité de bien public la somme des utilités marginales
des individus provenant de la consommation du bien public égale le coût
marginal de production de ce bien
A rapprocher du cas des biens privés où:
i' ( x j ) c'j ( x j )
61. L’inefficience de l’approvisionnement
privé des biens publics
Supposons que le bien public est fourni par des moyens privées
Chaque consommateur consomme xi du bien public vendu au prix p
La quantité totale de bien public consommée est:
I
x xi
i 1
L’équilibre compétitif est donné par:
max i ( xi xk ) p* ( xi )
*
xi 0
k i
La consommation optimal du consommateur i est donc telle que:
i' ( xi* xk ) p*
*
pour xi* 0
k i
62. L’inefficience de l’approvisionnement
privé des biens publics
I
Si x xi* est le niveau d’équilibre de consommation du bien public
*
i 1
Alors, on a pour chaque consommateur:(2) i' ( x* ) p* pour xi* 0
Pour ce qui est de la production du bien public on a:
(3) p c (q ) pour q
* ' * *
àl
à l’équilibre, q* = p*
Soit δi = 1 si xi* > 0 et δi = 0 si xi * = 0
de (2) et (3) il vient:
I
[ (q ) c (q )] 0
i 1
i i
' * ' *
Or , i (.) 0 et c (.) 0
' '
Ce qui implique que pour I > 1 et q* > 0 (donc que δi = 1 pour certains i)
on a: I
(4)
i' (q* ) c ' (q* )
i 1
64. Les équilibres de Lindahl
Supposons qu’il existe un marché et que la consommation d’un individu en bien
public est une consommation spécifique ayant son propre marché. Soit pi le prix
de ce bien public pour l’agent i et pi**, le prix d’équilibre. Alors on a:
max i ( xi ) pi**
xi 1
La consommation d’équilibre xi** est telle que:
i' ( xi** ) pi** pour xi** 0
L’entreprise qui produit le bien public résout:
I
max ( pi**q) c(q)
q 0
i 1
Pour la firme les conditions d’équilibre de premier ordre satisfont :
I
p
i 1
**
i c ' (q** ) pour q** 0
65. Les équilibres de Lindahl
Les deux équations précédentes et la conditions xi** = q** pour tout i
impliquent:
I
( q
i 1
i
' **
) c ' (q** ) pour q** 0
Donc : q° = q**
Le problème est que les caractéristiques d’un bien public notamment le
problème de l’exclusion doivent être respectées sinon les consommateurs n’ont
pas intérêt à acheter
Même si l’exclusion est possible il faut que le concurrence soit parfaite sinon le
consommateur ne sera pas ‘price-taker’.
66. La sélection adverse
Pierre Garrouste
Université de Nice-Sophia Antipolis
et
GREDEG
pierre.garrouste@orange.fr
67. Introduction
Un exemple:
Le marché des voitures d’occasion de mauvaise qualité (Akerlof, 1970)
Les données du problème:
Deux individus
Une situation d’asymétrie d’information ex ante
Les individus ont-ils intérêt à échanger ou à contracter?
Les solutions
Inciter la partie qui détient l’information privée à la révéler
La partie victime de la situation cherche à obtenir l’information.
La partie qui détient l’information privée peut avoir intérêt à la révélée si
elle en est victime
Références:
Milgrom, P. et Roberts, J. (1992) Economics, Organization and Management,
Prentice Hall Inc.
68. Introduction
Une définition:
La sélection adverse est un problème d’opportunisme précontractuel. Elle est
due au fait que l’une des parties (l’acheteur ou le vendeur) détient des
informations privées (c’est-à-dire des informations que l’autre partie ne détient
pas) avant que les parties prennent ou non la décision de réaliser la transaction.
69. l’exemple du marché de l’assurance
Soit x le bénéfice anticipé par le client. L’assureur ne connaît pas x
Soit v la réduction du risque lié à l’assurance
Soit p le prix. Le client souscrit si x+v>p
Sur un marché ‘normal’ p est indépendant de x.
Supposons que x soit reparti uniformément dans la population sur
l’intervalle [0, x*]
La dépense moyenne d’assurance est:
(p-v+x*)/2.
(dépenses bornées par p-v quand x=0 et par x=x*).
La formule montre que le montant moyen des dépenses est fonction de p.
70. L’exemple du marché de l’assurance
Les consommateurs qui anticipent une pertes supérieurs à x souscrivent, les
autres non (x est alors le niveau de prestation espéré par le consommateur
marginal)
Le niveau moyen des prestations sur le marché est alors égal à (x+x*)/2 par
consommateur ou à (x+x*)(1+c)/2 si c est le coût de gestion par euro payé par
l’assureur.
L’assureur acceptera d’assurer les clients dont les caractéristiques sont x si le
prix po(x) est égal à (x+x*)(1+c)/2
Les clients effectifs seront ceux dont les caractéristiques sont au moins égales à
x au prix pd(x)=x+v
En supposant que cx*>v, on obtient la représentation suivante
71. L’exemple du marché de l’assurance
p
x*(1+c)
v+x*
po(x)
x*(1+c)/2
pd(x)
v
x
x*
72. L’exemple du marché de l’assurance
a. La condition c.x*>v entraîne l’effondrement du marché donc:
« Pour qu’un marché existe, il doit être rentable de fournir une
assurance à ceux dont le montant des prestations attendu est le plus
élevé » (Milgrom et Roberts, 1997, p. 203).
b. Si on suppose que le coût moyen par assuré est (1+c).(x*/2) (par
exemple assurance obligatoire), la prestation moyenne reçue est v+(x*/2).
Le bénéfice excède le coût chaque fois que v>c.(x*/2).
Conclusion:
Toute les fois que c.x*>v>c.(x*/2), il est intéressant de s’assurer mais les
assureurs privés ne peuvent subsister.
73. Les conséquences de la SA
L’absence de marché
Des pertes pour la partie non informée:
Produits de mauvaise qualité
La répercussion vers une autre partie
Surprimes, taux élevés ou salaire plus faible
Le rationnement
La banque peut préférer rationner le crédit qu’augmenter ces taux.
74. Le screening et le signaling
Le screening (la partie non informée cherche l’information):
L’assureur améliore sa connaissance des types des souscripteurs potentiels
(données statistiques liant la probabilité de sinistre à l’âge, la situation socio
professionnelle, la région de résidence, etc…).
L’employeur peut demander un CV (voir procéder à une analyse
graphologique)
75. Le screening et le signaling
Le signaling (la partie informée révèle l’information):
L’employé peut vouloir montrer qu’il est plus productif donc révéler son
type. En effet si il existe une population d’ouvriers plus productifs que les
autres et que l’employeur ne peut distinguer ces deux populations, il
donnera un salaire correspondant à la productivité moyenne de l’ensemble
de la population des ouvriers. Les ouvriers plus productifs seront donc
victimes de cette situation.
(Soit une population de bon ouvrier (25%) qui méritent un salaire de 40€ et
une de moins bon (75%) dont la productivité correspond à un salaire de
20€. Si l’employeur qui n’a pas cette information paie tous ses salariés de la
même façon, le salaire moyen sera égal à (0,25.40)+(0,75.20)=25€, soit un
manque à gagner de 15€ pour un bon ouvrier).
Autres solutions:
La partie non informée peut inciter les membres de la partie informée à
révéler leur type
La partie non informée définit les clauses contractuelles en fonction des
informations qu’elle ne détient pas (clauses ex ante de résiliation du
contrat)
76. La contrainte d’autosélection et les
limites des solutions
La contrainte d’autosélection
Il faut que le signal soit crédible et qu’il permette de séparer les deux
populations (les productifs et les non productifs), i.e. on doit obtenir un
équilibre séparateur et non un équilibre mélangeant.
Si les travailleurs se forment il ne faut pas que les non productifs puissent
copier les productifs:
Sh-Cl.Eh<Sl-Cl.El
et
Sh-Ch. Eh>Sl-Ch.El
Il faut donc que Ch<Cl
C’est-à-dire que le coût unitaire d’une unité d’étude pour les travailleurs
moins productifs soit supérieur à celui des travailleurs plus productifs
77. La contrainte d’autosélection et les
limites des solutions
Quelque soit la solution adoptée, elle ne sera jamais optimale de premier rang.
Les bons conducteurs paient pour les mauvais
Le salaire des employés productifs sera plus bas que le salaire qui
correspond à leur productivité
La seule solution serait de parvenir à éliminer l’asymétrie d’information mais cela
reviendrait à faire disparaître le problème lui-même!
78. Conclusion
Sélection adverse: un problème d’opportunisme précontractuel
Les conséquences: la transaction n’est pas réalisée ou elle se fait au détriment
de la partie non informée ou est reportée vers des individus de la partie
informée.
Les solutions: screening ou signaling
Il n’existe pas de solution optimale de premier rang sauf à faire disparaître le
problème.
79. Le hasard moral
Pierre Garrouste
Université de Nice-Sophia Antipolis
et
GREDEG
pierre.garrouste@orange.fr
80. Introduction
References:
Milgrom, P. et Roberts, J. (1992) Economics, Organization and Management,
Prentice Hall Inc.
Let’s consider the case of an agency relationship. The agent (employee) acts for
the principal (employer) such :
They both need each other but
They have divergent interests (less effort and high wage for the agent; high
agent’s effort and less payment for the principal).
The problem lies in the fact that the principal cannot observe directly the
agent’s actions.
There many other examples in other domains:
Insurance, health, credits, etc…
The problem for the principal is to incentivize the agent in order for him to make
the (highest) level of effort the principal is willing and consequently to propose
an optimal contract to the agent.
Other possibilities do exist : monitoring or cautioning
81. A simple model of incentive
contracting
A principal (risk neutral) and an agent (risk adverse) who wants to reduce his effort.
The agent’s utility function is:
U (w, e) w (e 1)
with, w the wage and e the agent’s effort.
1
U ' ( w, e)
2 w
Suppose that there are two effort levels, e=1 et e=2.
The agent can either work for the firm (the principal) or search for another job. He
decides to stay if he obtains at least U =1
The principal outcomes are depending both on the agent’s effort and on a random
factor
Suppose the following figure:
82. An model of incentive contracting
outcome
effort 10 30
1 p=2/3 p=1/3
2 p=1/3 p=2/3
83. A simple model of incentive
contracting
If e=1, the expected outcome is:
(2/3).10+(1/3).30=50/3
If e=2, the expected revenue is:
(1/3).10+(2/3).30=70/3
If e is observable, the principal and the agent would choice e=2, and the agent would be
sufficiently paid if e=2 and would receive nothing if e=1. The agent would get a fixed salary
w if he would make e=2 and the principal’s revenue would be a random one (the principal
is risk neutral). For the agent to accept the contract we need:
w (e 1) w (2 1) 1
that is w ≥ 4
The expected outcome for the principal is then:
(70/3)-4=58/3
If the principal want e=1 then the agent u=1
(w1/2)-(1-1) ≥ 1 that is w ≥ 1 and the principal gets:
(50/3)-1=47/3
The increase of cost for the principal is 4-1=3 whereas the gain in terms of effort is: (70/3)-
(50/3)=(20/3)>3
When e is observable the best solution is to pay the agent for the effort e=2
84. A simple model of incentive
contracting
If e is not observable, the principal cannot know if the outcome is or not due to the agent’s
level of effort (we can have 10 or 30 with e=1 or e=2).
If e=2 is desired by the principal, if the agent is effort adverse and if the principal want to
motivate the agent to make this effort he has to pay more for R=30 than for R=10
If the principal want e=2, then the agent’s expected utility needs to be higher than for e=1.
Let y the agent’s outcome if R=10 and z if R=30. The agent’s expected utility if e=2 is:
(1/3)[ y - (2 -1)] (2/3)[ z - (2 -1)]
If e=1 it is:
(2/3)[ y - (1 -1)] (1/3)[ z - (1 -1)]
For the agent to realize e=2 the expression (1) needs to be higher than the expression (2)
that is:
1 ( y 1) 2 ( z 1) 2 y 1 z)
3 3 3 3
And then:
1 z 1 1 y
3 3
85. A simple model of incentive
contracting
It is the compatibility constraint
The other constraint is due to the fact that the agent stays inside the firm if his
expected utility is at least equal to 1. This is the participation constraint that
can be written as follows:
1/3( y -1) 2/3( z – 1) 1
The problem for the le principal is then to find the values of y and z that satisfy
those constraints and give him the highest expected net outcome
Here y =0, z =9
86. A simple model of Incentive
contracting
1 z 1 1 y
3 3
z
1/3( y -1) 2/3( z – 1) 1
y
87. Conclusion
In a context of Moral hazard that is a kind of postcontractual opportunism , it is
always possible to write an optimal contract (but not a first best) in order to
incentivize an agent to make the desired level of effort.
However this solution suppose, that it is
first possible to perfectly measure the performance
second possible to define a one to one relation between an agent and his
performance
In other words the simple solution presented above does not hold as it is in the
case of multi-tasking (first case) and in the case of teams (second case)