Construction du modèle de Hull White avec l'arbre binomial

1. IMPLÉMENTATION DU MODÈLE DE HULL ET WHITE
AVEC PYTHON
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Master 2 Finance de Marché et Gestion des Risques
Présenté par :
● Fabricio VIEIRA DA SILVA ALMEIDA
● Ali B. SIDIBE
● Ayten YAGBASAN

2. Plan
◼ Le modèle de Hull et White
◼ Arbre trinomial
◼ Implémentation avec Python
◼ Perspectives et limites
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3. Modèle Hull-White one-factor
◼ Modèle no-arbitrage avec un seule source de perturbations
◼ Si ⇒ Ho et Lee
◼ Si est constant ⇒ Modèle de Vasicek
◼ Hypothèse économique et mathématique solide et traçable.
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4. Modèle Hull-White one-factor
◼ Calibrable sur la structure du taux observée à t = 0 :
avec on obtient le taux forward instantané à l’instant actuel de
maturité t. 4

5. Arbre trinomial
◼ Développé pour la première fois par Phelim Boyle en 1986.
◼ Nécessaire pour l'évaluation de certains types d’actif financiers de
type américains.
◼ Un concept proche des méthodes des différences finies.
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6. Arbre trinomial : Differentes branching
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A B
C

7. Arbre trinomial : Choix d’orientation
La décision de passer d’une orientation à l’autre est dictée par jmax et jmin.
Empiriquement pour assurer la stabilité de l’arbre, on choisit
sous la contraint que jmin = -jmax
❏ Si j = jmax : branching C
❏ Si j = jmin : branching B
❏ Si jmin < j < jmax : branching A
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8. Arbre trinomial : Le noeud
Chaque noeud (i,j) est constitué de
- son actif d’arrow Qi,j
- des probabilités Pu, Pm, Pd
- les futurs points de connexions
- le taux
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(i,j)
(i+1, j+1)
(i+1, j)
(i+1, j-1)
Pd,i,j
Pm,i,j
Pu,i,j
Q,i,j
delta t
dr

9. Arbre trinomial : Généralisation
L’arbre trinomial de (Hull-White) peut-être généralisé à tout modèle de la forme :
Pour Hull- White : Pour Black–Karasinski :
Si g est la fonction inverse de f alors l’actualisation se fait par :
au lieu de
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10. Arbre trinomial : Stabilité et convergence
Pour une convergence et
une stabilité, un choix judicieux
de la volatilité et de alpha
est nécessaire:
1. (volatilité / alpha) < 1
2. ∆r = 𝞂√3∆t
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11. Arbre trinomial : Application
Pu = 0.25, Pm = 0.5, Pd = 0.25 et dt = 1 an
Au point B :
Au point C :
Au point A : 1111

12. Environnement technique
◼ Code disponible sur Github:
https://github.com/fmgrlab/hull_white_model
◼ Site Web de démonstration:
http://fmgrlab..com/
◼ Environnement : Python, Jupiter, Numpy, Github.
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13. Limites
◼ Forte corrélation entre les produits de taux de maturité différentes.
◼ Non calibrable sur la volatilité.
◼ Disparition des phénomènes extrêmes due à la normalité.
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14. Perspectives
◼ Estimation des paramètres: volatilité et vitesse de retour à la
moyenne.
◼ Implémenter un modèle dans lequel le pas de temps 𝝙t n’est pas
constant.
◼ Récupérer directement les taux à travers Bloomberg. 14