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UNIVERSITE DE GENEVE
Département de Physique
Nucléaire et Corpusculaire
FACULTE DES SCIENCES
Professeur Pierre Extermann
Etude de la diffusion Bhabha
avec le détecteur L3 au LEP
THESE
présentée à la Faculté des Sciences
de l’Université de Genève
pour obtenir le grade de Docteur ès Sciences, mention Physique
par
Patrick Déglon
de
Curtilles (Vaud)
GENÈVE
2002
3
Remarques pour les jurés
Le présent document se trouve sur AFS à l’adresse :
/afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/these.pdf
Une version PDF des références se trouvent dans le répertoire AFS :
/afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Bibliography
Les calculs Mathematica se trouvent dans les fichiers :
/afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/bhabha.nb
/afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/size.nb
Table des matières
Chapitre I. La nature de l’univers 7
1. Histoire de la physique des particules 7
2. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard 8
Chapitre II. La diffusion Bhabha 17
1. Section efficace de Born 18
2. Corrections radiatives virtuelles 22
3. Radiations dans l’état initial ou final 27
4. Monte Carlo BHWIDE 29
Chapitre III. Le détecteur 35
1. Le complexe d’accélérateurs du CERN 35
2. L’expérience L3 37
3. Calibration du BGO 48
Chapitre IV. La méthode d’analyse 57
1. Données et Simulations 57
2. Sélection 58
3. Échantillons de données 73
4. Ajustement de la simulation 73
5. Sections efficaces 74
6. Erreurs systématiques 81
Chapitre V. Les résultats et leurs interprétations 85
1. Section efficace dans le barrel 85
2. Asymétrie 86
3. Section efficace différentielle 87
4. Interprétation dans le cadre du Modèle Standard 89
5. Interprétation en terme de nouveaux modèles 93
Conclusion 103
Annexe A : Section efficace 105
Annexe B : Asymétrie 113
5
6 . TABLE DES MATIÈRES
Annexe C : Section efficace différentielle 127
Annexe D : Calculs Mathematica 143
1. Initialisation du système 143
2. Diagrammes de Feynman 143
3. Amplitudes invariantes carrées 144
4. Changement de variables et forme finale 145
Table des figures 149
Liste des tableaux 153
Bibliographie 155
CHAPITRE I
La nature de l’univers
La curiosité est sans nul doute le trait de caractère qui a le plus fait évoluer
l’être humain. A la recherche de nourriture, l’homme a agrandi son territoire.
A la recherche de nouvelles richesses, il a exploré la terre entière. De nos
jours, l’humanité continue l’exploration de son environnement. Tourné d’un
coté vers l’infiniment grand où des télescopes scrutent les confins de l’univers
pour découvrir d’où nous venons, et de l’autre, vers l’infiniment petit, nous,
les physiciens des particules, “cassons” la matière pour découvrir les briques
fondamentales de l’univers.
1. Histoire de la physique des particules
Les origines de la physique des particules sont assez anciennes. Les phi-
losophes grecs ont inventé au Ve siècle avant J.C. le concept d’a-tomos (en
français atome), qui signifie insécable. Ce concept stipule que le monde qui
nous entoure est constitué de briques fondamentales insécables, que l’on ne
peut casser en deux. Si on brise un caillou en morceaux de plus en plus petits,
on arrive à des grains de sable. La question est de savoir si l’on peut continuer
indéfiniment à briser des morceaux de caillou de plus en plus petits, ou si l’on
va tomber sur l’une des briques fondamentales et insécables de l’univers.
Comme il était impossible de vérifier ce concept de manière expérimentale,
il est tombé dans l’oubli pour faire place à la théorie des quatre éléments
d’Empédocle : l’air, l’eau, la terre et le feu. La nature était basée uniquement
sur 4 éléments.
Au cours des siècles, l’alchimie, puis la chimie, ont remplacé cette théo-
rie pour tenir compte de la découverte de nouveaux alliages et éléments chi-
miques.
En 1869, le chimiste russe Dimitri Mendeleïev a inventé un tableau qui a
permis de classer tous les éléments chimiques en les regroupant par propriété
chimique et en les ordonnant par masse atomique.
En 1897 Thompson découvre l’électron et en 1912 Rutherford découvre le
noyau. Rutherford conçoit un modèle de l’atome qui ressemble au système
planétaire : des électrons chargés négativement tournent autour d’un noyau
7
8 I. LA NATURE DE L’UNIVERS
central dont on découvrira par la suite qu’il est composé de nucléons chargés
positivement (les protons) et sans charge (les neutrons).
L’apparition des premiers détecteurs dans le milieu du XXe siècle a permis
d’accélérer la course à l’infiniment petit. Ces détecteurs qui sont capables de
détecter une particule ou même un quanta d’énergie vont permettre d’étudier
les rayons cosmiques qui viennent de la stratosphère. Les rayons cosmiques
sont des jets de particules provenant de l’impact d’une particule très énergé-
tique sur l’atmosphère.
Avec l’apparition des accélérateurs l’homme a été capable de créer ces par-
ticules en laboratoire. La technologie avançant, des particules de plus en plus
massives ont pu être créées.
En 1967, Gell-Mann se rend compte que l’on peut classer ces particules par
groupes de caractéristiques. Ce classement semble venir d’une théorie plus
profonde. Il invente la notion de quark, générateur d’un groupe bien particu-
lier. Chaque élément de ce groupe est composé de deux ou trois quarks. Étant
donné des caractéristiques bien définies pour les quarks, chaque élément de
ce groupe a pu être identifié à une des particules hadroniques observées.
A la même époque, les expériences de diffusions profondes sur des protons
ont mis en évidence la présence de sous-particules que l’on a appelé partons.
Il a suffit de peu de temps pour associer à ces “partons” expérimentaux les
“quarks” théoriques.
Pour décrire cette physique, où la mécanique quantique rejoint la rela-
tivité restreinte, il a été nécessaire de développer la théorie quantique des
champs. Dans le cadre de cette théorie, un modèle que nous appelons le Mo-
dèle Standard permet une relative bonne description de cette physique. Mal-
heureusement, ce modèle ne nous donne pas la liste des particules existantes,
ni leur masse. Il faut encore une part de phénoménologie pour pouvoir décrire
la nature.
Nous allons maintenant nous attarder sur ce modèle pour décrire ses dif-
férentes morceaux.
2. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard
Lorsqu’un système physique évolue, le passage d’un état à l’autre se fait
en suivant le principe de moindre action. C’est-à-dire que de tous les moyens
pour passer d’un état à l’autre, la nature semble choisir le moyen qui minimise
l’action du transfert. L’action peut s’écrire de la forme suivante :
S = dt L x(t), ˙x(t),t (1.1)
2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 9
avec L le Lagrangien qui dépend des variables du système (pour un cas clas-
sique : les positions x et les vitesses ˙x au temps t).
La minimisation de l’action implique l’équation d’Euler-Lagrange :
∂L
∂x
−
d
dt
∂L
∂˙x
= 0 (1.2)
La résolution de cette équation pour toutes les variables du système per-
met d’obtenir les équations différentielles du mouvement et ainsi de connaître
son évolution dans le temps.
Dans un monde quantique, une particule n’est plus un point x, mais un
champ φ(x) (dans l’espace-temps x) que l’on peut identifier à l’amplitude de
probabilité de la trouver en ce point. Le Lagrangien devient donc local et on
peut identifier le Lagrangien classique à :
L = d3
xL φ(x),∂µφ(x) (1.3)
Le Lagrangien L ne dépend plus des positions et des vitesses dans l’espace-
temps, mais de la valeur du champ et de ses dérivées en tout point de l’espace-
temps.
Ainsi, l’action devient symétrique dans toutes les dimensions de l’espace-
temps :
S = d4
xL φ,∂µφ (1.4)
A ce jour, la meilleur description de la physique des particules est le Mo-
dèle Standard (MS). Il s’agit essentiellement du Lagrangien qui, dans le cadre
de la théorique quantique des champs, permet toutes nos prédictions. Ce La-
grangien étant complexe, nous allons le construire étape par étape.
2.1. Les fermions. Dans la nature, la matière semble être composée uni-
quement de fermions. Les fermions les plus élémentaires (les briques de la
matière) sont des particules de spin 1/2 qui sont décrites par le Lagrangien :
L =
1
2
ψ iγµ
∂µ −m ψ (1.5)
avec ψ le champ du fermion, ψ le champ de l’anti-fermion, γµ les matrices 4x4
de Dirac et m la masse du fermion.
La liste (phénoménologique) des fermions est donnée dans le tableau 1.
On constate de belles symétries : matière et anti-matière, trois générations
de particules, 2 leptons et 2 quarks par génération, une différence de charge
de ±1 entre les leptons et les quarks d’une même génération, etc. La seule asy-
métrie semble concerner la masse des particules, bien que la masse augmente
avec les générations. La question de la masse est encore l’une des dernières
grandes énigmes du MS. Pourquoi les particules ont de la masse ? Comment
10 I. LA NATURE DE L’UNIVERS
Charge électrique −1 +1 0 0 +2/3 −2/3 −1/3 +1/3
1re génération e− e+ νe νe u u d d
511 keV < 15 eV 1.5−5 MeV 3−9 MeV
2e génération µ− µ+ νµ νµ c c s s
105.7 MeV < 170 keV 1.1−1.4 GeV 60−170 MeV
3e génération τ− τ+ ντ ντ t t b b
1.77 GeV < 18 MeV 169−179 GeV 4.1−4.4 GeV
TAB. 1 – Liste et caractéristiques des fermions
Dans ce tableau, sont présents tous les fermions élémentaires connus. Les symétries sont frap-
pantes : trois générations identiques, si ce n’est une augmentation de la masse avec les généra-
tions, chaque particule a son antiparticule, 2 leptons et 2 quarks dans chaque générations, une
différence de 1 dans la charge entre les 2 leptons ou les 2 quarks dans la même génération.
est régie la hiérarchie des masses des différentes générations ? La question
est ouverte.
Nous obtenons comme premier morceau pour notre Lagrangien du MS :
Lfermions = ∑
f
1
2
ψf iγµ
∂µ −m ψf (1.6)
avec la somme sur tous les fermions f.
2.2. Invariance de jauge locale et les bosons. Supposons que l’on veuille
autoriser une invariance de jauge locale à notre système, c’est-à-dire que le
Lagrangien soit invariant sous le changement :
ψ → eigA αA(x)TA
ψ, (1.7)
avec TA les matrices génératrices du groupe d’invariance, αA(x) des para-
mètres locaux du groupe et gA d’autres paramètres, qui eux sont constants,
que l’on appellera charges par la suite. L’indice A permet d’avoir plusieurs
générateurs TA.
Pour permettre ces invariances, il convient de modifier le Lagrangien de
la manière suivante :
L =
1
2
ψ iγµ
∂µ −m−igA
AA
µ TA
ψ (1.8)
avec AA
µ un champ qui satisfait lors de sa transformation de jauge locale :
AA
µ (x) → AA
µ (x)+∂µαA
(x) (1.9)
Ainsi on peut changer la phase d’un fermion dans différents points de
l’espace-temps par l’adjonction dans le système de nouveaux champs AA
µ dont
leur transformation provient d’un potentiel αA qui effectue ces changements.
2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 11
Ce champ correspond à ce que l’on appelle un boson de jauge, dont le spin est
entier et qui est régi par le Lagrangien :
Lbosons = FµνFµν
(1.10)
avec Fµν = ∂µAν −∂νAµ.
Cela revient à dire, que les changements d’état des fermions correspondent
à des interactions de ceux-ci avec des bosons. Ces interactions au niveau
quantique correspondent aux forces dans notre monde macroscopique. Par
exemple, les forces électriques et magnétiques que l’on rencontre dans la vie
de tous les jours ne sont rien d’autres que des échanges de bosons (des pho-
tons) entre des fermions (les électrons et les protons des atomes).
Une manière élégante d’introduire ces nouveaux termes dans le Lagran-
gien (1.6) est de les introduire dans la définition de la dérivée Dµ. On parle
alors de dérivées covariantes :
Dµ = ∂µ −igA
AµTA
(1.11)
Notre Lagrangien fermionique du MS devient
Lfermions = ∑
f
1
2
ψf iγµ
Dµ −m ψf (1.12)
Chaque invariance de jauge locale donne lieu à une série de bosons qui
correspondent à une force dans la nature. La liste des invariances, de leurs
bosons et leur force est donnée dans le tableau 2.
Force Générateurs Symétrie Bosons
Électromagnétique TA = Y
2 U(1) photon
Faible TA = 1
2σA A = 1,2,3 SU(2)L Z, W±
Forte TA = 1
2λA A = 1,...,8 SU(3)C 8 gluons
TAB. 2 – Invariances du MS
Ce tableau résume les symétries de jauge donnant lieu aux 3 forces du MS. Dans le cas de
l’électromagnétisme, la symétrie du Lagrangien dans le changement de phase donne lieu au
groupe U(1) dont le générateur est associé au photon. La force faible provient de la symétrie
SU(2)L, dont les trois générateurs σA (matrices 2 × 2 de Pauli) donnent lieu aux trois bosons
faibles Z,W+ et W−. La force forte provient de la symétrie SU(3)C, dont les 8 générateurs λA
(matrices 3×3 de Gell-Mann) vont donner lieu aux 8 gluons.
12 I. LA NATURE DE L’UNIVERS
2.3. Le modèle de Glashow-Weinberg-Salam - GWS. La force électro-
magnétique (U(1)) et la force faible (SU(2)L) sont les descendants d’une même
force : la force électrofaible (U(1)Y ⊗SU(2)L). Il en reste des traces sous la forme
d’un mélange des particules. En effet, les médiateurs de la force électrofaible
sont :
U(1)Y Bµ
SU(2)L W1
µ , W2
µ et W3
µ
L’univers, en refroidissant, a séparé en deux la force électrofaible, laissant
la composition suivante au moment du gèle :
Aµ = cosθW Bµ +sinθW W3
µ
Zµ = sinθW Bµ −cosθW W3
µ
W±
µ =
1
√
2
W1
µ iW2
µ
(1.13)
Il reste malgré tout un petit détails gênant. En effet, le Lagrangien (1.10)
ne peut pas contenir de terme de masse 1
2m2AµAµ. En effet, ce terme briserait
l’invariance de jauge locale ! Cela ne nous gêne pas dans le cas de la force
électromagnétique car le photon est (jusqu’à preuve du contraire) sans masse.
Malheureusement, les masses des bosons de la force faible sont loin d’être
nulles. En effet, la mesure de leur masse est actuellement1
:
mZ = 91.1876±0.0021 GeV
mW = 80.422±0.047 GeV
Il faut donc trouver un moyen d’introduire les termes de masse des bosons
de jauge dans le Lagrangien sans briser l’invariance de jauge :
Lmasse =
1
2
m2
ZZµZµ
+
1
2
m2
WW±
µ W±µ
(1.14)
Ce problème peut être résolu grâce au mécanisme de Higgs.
2.4. Le mécanisme de Higgs. Le mécanisme de Higgs permet de garder
l’invariance de jauge locale tout en autorisant les bosons à avoir une masse.
Pour ce faire, il est nécessaire d’introduire deux nouveaux champs complexes
(qu’on appelle champs de Higgs) sous la forme d’un doublet :
Φ =
φ1
φ2
. (1.15)
Ces champs étant des scalaires sont décrits par le Lagrangien :
LHiggs = (Dµ
Φ)†
DµΦ −V Φ†
Φ (1.16)
1The Review of Particle Physics, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15,1
2000.
2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 13
avec :
Dµ = ∂µ −igTaWa
µ −ig
Y
2
Bµ la dérivée covariante, et
V Φ†
Φ = −µ2
Φ†
Φ+
λ
2
Φ†
Φ
2
le potentiel de Higgs.
(1.17)
Dans ces équations, µ2 et λ sont deux paramètres libres (avec la contrainte
que λ > 0), et a est l’indice des 3 bosons de l’interaction faible. Pour la partie
U(1)Y , nous avons la constante de couplage g , le générateur de l’invariance de
jauge Y
2 et Bµ le champ de jauge. Pour la partie SU(2)L, nous avons la constante
de couplage g, le générateur de l’invariance de jauge Ta et Wa
µ les champs de
jauge.
Le potentiel de Higgs V Φ†Φ est symétrique au point correspondant à des
bosons de masse nulle. En choisissant les paramètres µ > 0 et λ > 0 (tous les
deux réels) (voir figure 1), ce potentiel a un minimum à :
|Φ0|2
=
µ2
λ
≡
v2
2
. (1.18)
Φ2 Φ1
V(
 
ΦΦ+
)
FIG. 1 – Potentiel de Higgs
Ce graphique représente la forme du potentiel de Higgs Φ. Il est symétrique autour du point
(0,0), mais les points d’équilibre se trouvent dans le creux de la fonction. Le point de chute de
la nature semble avoir été Φ = ( v√
2
,0). Ce point permet de donner une masse aux bosons Z et
W±, tout en laissant le photon sans masse.
Dès lors, un état stable, qui est un état où le potentiel est minimum, brise
spontanément la symétrie. Toute la question maintenant est de savoir quelle
position du minimum a choisi la nature. En admettant que la nature ait choisi
14 I. LA NATURE DE L’UNIVERS
le point Φ0 = 1√
2
v
0
(figure 1), l’interaction des champs de Higgs avec les
bosons de jauge deviennent :
−igTaWa
µ Φ0 −ig
Y
2
BµΦ0
2
=
1
8
v2
g2
W1
µ
2
+ W2
µ
2
+
1
8
v2
W3
µ Bµ
g2 −gg
−gg g 2
W3
µ
Bµ
(1.19)
En identifiant l’équation (1.19) avec les termes de masse de l’équation
(1.14), on trouve :
W±
µ =
1
√
2
W1
µ iW2
µ
Zµ =
gW3
µ −g Bµ
g 2 +g2
Aµ =
g W3
µ −gBµ
g 2 +g2
(1.20)
avec les masses :
mA = 0
mW =
gv
2
mZ =
v
2
g 2 +g2
(1.21)
En identifiant les équations (1.13) aux équations (1.20), il vient la relation
suivante :
cosθW =
mW
mZ
(1.22)
Cette construction permet une masse nulle pour le photon, mais s’il s’avé-
rait que le photon ait une masse non nulle, un autre choix de paramètres pour
le doublet de Higgs Φ0 permettrait de donner une masse au photon.
On notera que le boson de Higgs n’a pas encore été découvert, même si
des indications laissent à penser qu’il est possible que quelques Higgs aillent
été produits au LEP, mais pas en nombre suffisant pour une découverte. Les
recherches au LEP donnent comme limite pour sa masse2
à 95% de niveau de
confiance (N.C.) :
114.1 GeV < mH < 214 GeV (1.23)
Ainsi, si le mécanisme de Higgs représente bien la façon dont la nature
a doté les bosons W et Z d’une masse, la découverte (attendue) du boson de
Higgs devrait se faire au Tevatron ou au LHC.
2La limite inférieure est le résultat de la combinaison des recherches directes des 4 expé-
riences LEP. La limite supérieure provient du fit électrofaible LEPEWW Note 2001-01
2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 15
Le Lagrangien final contient encore quelques termes, mais ces termes ne
concernant pas le sujet de cette thèse, la discutions sur le Lagrangien s’arrê-
tera là.
Au final, nous obtenons pour notre Lagrangien :
LMS = ∑
f
1
2
ψf iγµ
Dµ −m ψf
−
1
4
FA
µνFµνA
−
1
4
Wa
µνWµνa
−
1
4
BµνBµν
+(Dµ
Φ)†
DµΦ −V Φ†
Φ
(1.24)
CHAPITRE II
La diffusion Bhabha
La diffusion élastique e+e− → e+e−(γ)est appelée diffusion Bhabha, d’après
le physicien Indien Homi Bhabha qui fut le premier théoricien à se pencher
sur la question.
FIG. 2 – Photo de Homi J. Bhabha
Homi J. Bhabha (1909-1966) a développé les premiers programmes de recherche nucléaire en
Inde et a participé à des expériences sur les rayons cosmiques. Il a été le premier à effectuer les
calculs théoriques sur la diffusion électron-positron.
Cette diffusion peut paraître extrêmement simple, et ceci pour deux rai-
sons. La première est qu’à très faible énergie, cette diffusion ne fait appel
qu’à un électron, un anti-électron et un photon. L’électrodynamique quan-
tique (QED) suffit à elle seule pour décrire cette diffusion. Les équations sont
sans complexité majeure, et les prédictions peuvent être calculées avec une
très grande précision. La deuxième raison est que les particules sortant de
17
18 II. LA DIFFUSION BHABHA
cette diffusion sont très facilement identifiables. Les électrons déposent toute
leur énergie dans les calorimètres électromagnétiques et, étant chargés, ils
laissent une trace dans les trajectographes internes. Ainsi, une très bonne
mesure de leur énergie, de leur quantité de mouvement et de leurs angles de
diffusion est possible. Ainsi, ces signaux étant très distincts, il est difficile de
confondre les électrons avec d’autres particules. Nous verrons ainsi que l’ef-
ficacité de la sélection à grand angle est de ∼ 98% pour un bruit de fond de
∼ 4%.
Néanmoins, les choses se compliquent dès que l’on rentre dans les détails.
Tout d’abord, à plus haute énergie, l’échange d’un boson Z devient un canal
de plus en plus important. Ceci rend les équations tout de suite plus com-
plexes. Ensuite, certaines constantes de la théorie évoluent avec l’énergie, ce
qui rend les prédictions plus difficiles. De plus, le nombre élevé d’événements
que nous observons au LEP nous permet une analyse fine (1% d’erreur sta-
tistique), ce qui contraste avec l’estimation de la précision de notre meilleur
Monte Carlo BHWIDE qui est de 2%. Et enfin, comme cette réaction est d’une
très petite multiplicité (il n’y guère que deux électrons et éventuellement un
petit nombre de photons sortant de la diffusion), nous sommes très sensibles
aux éventuelles problèmes du détecteur. En effet, il suffit qu’un des électrons
ait été émis dans une région morte du détecteur, et c’est tout l’événement qui
est perdu.
Ce dernier effet rend l’analyse un peu plus compliquée, mais le revers de la
médaille est que cela nous permet de tester une grande partie du détecteur :
c’est un outil de recherche de calibration fantastique.
Cette diffusion de la théorie électrofaible permet aussi de rechercher des
indices sur la présence d’effets physiques non décrits par le Modèle Standard.
On peut chercher par exemple la présence de dimensions supérieures ou une
taille de l’électron.
Dans les paragraphes qui suivent, nous allons nous attacher à décrire la
diffusion Bhabha d’un point de vue théorique en calculant sa section efficace
différentielle.
1. Section efficace de Born
Au niveau d’arbre, quatre processus sont possibles : l’échange d’un photon
dans la voie s (γs) et dans la voie t (γt), l’échange d’un boson Z dans la voie s
(Zs) et la voie t (Zt). La figure 3 montre ces quatre diagrammes.
1. SECTION EFFICACE DE BORN 19
e
+
e
−
e
+
e
−
γs
e
+
e
−
e
+
e
−
γt
 
e
+
e
−
e
+
e
−
Zs
e
+
e
−
e
+
e
−
Zt
 
FIG. 3 – Diagramme de Feynman au niveau d’arbre pour la diffusion Bhabha
Ces diagrammes de Feynman représentent les quatre processus au niveau d’arbre possible
pour la diffusion e+e− → e+e−. Il peut y avoir un échange de photon dans la voie s (γs) ou dans
la voie t (γt). De même un boson Z peut être échangé dans ces deux voies (Zs, Zt).
Chaque objet dans ces diagrammes correspond à un terme mathématique.
La notation variant d’un auteur à l’autre, je préfère donner la liste des termes
que j’ai utilisé pour les calculs :
électron entrant
p
u(p)
électron sortant
p
u(p)
positron entrant
p
v(p)
positron sortant
p
v(p)
γ
p
µ ν −igµ,ν
p2
Z
p
µ µ −i
p2−m2
Z+iΓZ mZ
gµ,ν −
pµ pν
m2
Z
γµ
i
√
4παγµ
Zµ
−i
√
4παZ γµ rV −γ5
u, u, v et v sont des spineurs de Dirac. p est un quadri-vecteur d’énergie-
impulsion. gµ,ν est le tenseur de la métrique. mZ est la masse du boson Z, et
ΓZ sa largeur. Les γµ sont les matrices de Dirac. α est la constante de couplage
électrofaible.
20 II. LA DIFFUSION BHABHA
Pour alléger les notations, j’ai utilisé la définition du vertex Ze+e− avec la
constante rV . Les deux manières classiques de définir ce vertex sont :
Vertex Ze+
e−
= i
√
4παγµ
gV −gAγ5
= i
√
4πα
2 sinθW cosθW
γµ
cV −cAγ5
(2.1)
avec cV = −1
2 + 2sin2
θW et cA = −1
2, gA,V = cA,V /2 sinθW cosθW , les constantes
du courant vectoriel (V) et axial (A) du boson Z. θW est l’angle de mélange
électrofaible.
La notation utilisée est obtenue en posant :
rV =
cV
cA
=
gV
gA
= 1−4sin2
θW
αZ =
α
16 sin2
θW cos2 θW
(2.2)
Grâce à ces règles, les amplitudes M de ces quatre diagrammes de Feyn-
man se traduisent sous forme d’équations :
M γs
= i
4πα
s
v(p2
)γµ u(p1
) u(p3
)γµ
v(p4
)
M γt
= −i
4πα
t
v(p2
)γµ v(p4
) u(p3
)γµ
u(p1
)
M Zs
= i
4παZ
s−m2
Z +iΓZ mZ
v(p2
)γµ
rV −γ5
u(p1
)
gµ,ν −
p1
µ + p2
µ p1
ν + p2
ν
m2
Z
u(p3
)γν
rV −γ5
v(p4
)
M Zt
= −i
4παZ
t −m2
Z +iΓZ mZ
v(p2
)γµ
rV −γ5
v(p4
)
gµ,ν −
p2
µ − p4
µ p2
ν − p4
ν
m2
Z
u(p3
)γν
rV −γ5
u(p1
)
(2.3)
où p1 est le quadri-vecteur d’énergie-impulsion de l’électron entrant, p2 ce-
lui du positron entrant, p3 celui de l’électron sortant et p4 celui du positron
sortant. Les variables de Mandelstam correspondantes sont :
s = p1
+ p2 2
t = p1
− p3 2
u = p1
− p4 2
(2.4)
√
s se trouve ainsi être l’énergie dans le centre de masse. Au LEP, où l’élec-
tron et le positron ont la même énergie, le centre de masse de la collision se
1. SECTION EFFICACE DE BORN 21
trouve au repos par rapport au détecteur, et ainsi, en négligeant la masse de
l’électron, nous avons :
s = (2Ebeam)2
(2.5)
En posant l’axe Z du système de coordonnée selon l’axe du faisceau (le
coté positif coïncidant avec la direction de l’électron entrant), et en prenant θ
comme l’angle polaire de diffusion de l’électron sortant, nous avons :
t = −s
1−cosθ
2
u = −s
1+cosθ
2
(2.6)
Pour simplifier les équations, nous allons garder les variables t et u, mais
nous devons garder en tête qu’à chaque instant nous pouvons revenir à des
équations en s et cosθ uniquement.
L’amplitude invariante totale est :
M = M γs
+ M γt
+ M Zs
+ M Zt
(2.7)
La section efficace différentielle en dΩ = d cosθdφ est
dσ
dΩ
=
M 2
64π2 s
=
1
64π2 s
1
4
M M ∗
(2.8)
où M 2
est l’amplitude invariante carrée moyennée sur les spins des parti-
cules entrantes.
Ainsi, la section efficace différentielle est composée de dix termes, corres-
pondant à toutes les paires possibles des quatre canaux de diffusion (γs, γt, Zs
et Zt). Par exemple :
dσ
dΩ γsγt
=
1
256π2 s
M γs
M ∗
γt
+ M γt
M ∗
γs
(2.9)
J’ai effectué les calculs pour obtenir les carrés des amplitudes invariantes
et les termes de la section efficace différentielle avec le programme Mathematica[1]
et le paquet HIP[2]. Un exemple de ces calculs se trouvent dans l’annexe à la
page 143.
Les termes où seul le photon intervient donnent :
dσ
dΩ γsγs
=
α2
2s
t2 +u2
s2
(2.10)
dσ
dΩ γtγt
=
α2
2s
s2 +u2
t2
(2.11)
dσ
dΩ γsγt
=
α2
s
u2
st
(2.12)
22 II. LA DIFFUSION BHABHA
Les termes où seul le boson Z intervient donnent :
dσ
dΩ ZsZs
=
α2
2s
1−r2
V
2
t2 + 1+6r2
V +r4
V u2
Γ2
Z m2
Z + s−m2
Z
2
(2.13)
dσ
dΩ ZtZt
=
α2
2s
1−r2
V
2
s2 + 1+6r2
V +r4
V u2
Γ2
Z m2
Z + t −m2
Z
2
(2.14)
dσ
dΩ ZsZt
=
α2
s
Γ2
Z m2
Z + s−m2
Z t −m2
Z 1+6r2
V +r4
V u2
Γ2
Z m2
Z + s−m2
Z
2
Γ2
Z m2
Z + t −m2
Z
2
(2.15)
Les termes d’interférences entre le photon et le boson Z donnent :
dσ
dΩ γsZs
=
α2
s
s−m2
Z
s
1+r2
V u2 + 1−r2
V t2
Γ2
Z m2
Z + s−m2
Z
2
(2.16)
dσ
dΩ γsZt
=
α2
s
t −m2
Z
s
1+r2
V u2
Γ2
Z m2
Z + t −m2
Z
2
(2.17)
dσ
dΩ γtZs
=
α2
s
s−m2
Z
t
1+r2
V u2
Γ2
Z m2
Z + s−m2
Z
2
(2.18)
dσ
dΩ γtZt
=
α2
s
t −m2
Z
t
1+r2
V u2 − 1−r2
V s2
Γ2
Z m2
Z + t −m2
Z
2
(2.19)
Pour obtenir la section efficace complète, nous devons encore tenir compte
des corrections radiatives.
2. Corrections radiatives virtuelles
La section efficace de Born est une première approximation. Néanmoins,
des corrections virtuelles (figure 4) importantes peuvent encore être traitées
de façon simple en étant englobées dans les constantes contenues dans la
section efficace de Born. Après la redéfinition de ces constantes, on obtient la
section efficace de Born améliorée.
e
+
e
−
e
+
e
−
f
+
f
−
a)
e
+
e
−
e
+
e
−
γ,Z
b)
e
+
e
−
e
+
e
−
Z,W
Z,W
c)
FIG. 4 – Corrections du propagateur et du vertex
Ces diagrammes de Feynman représentent trois types de corrections radiatives virtuelles : les
corrections du propagateur (a), les corrections du vertex (b), et les corrections de boîte (c).
2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 23
2.1. Correction du propagateur photonique. A transfert d’impulsion
nulle, la constante de structure fine α(0) est l’une des mesures les plus pré-
cises en physique :
α−1
(0) = 137.03599976(50) (2.20)
Lorsque le transfert d’impulsion q augmente, le photon peut fluctuer en
une paire virtuelle de particules chargées, comme le montre la figure 4a. A
petit transfert d’impulsion, seule une fluctuation en une paire d’électrons est
possible, mais lorsque q augmente, des fluctuations en de nouvelles particules
sont possibles. Les corrections de la section efficace peuvent être absorbées
dans la constante α qui devient une fonction de q2 :
α(q2
) =
α(0)
1−∆α(q2)
(2.21)
On parle alors de “running constant”, que nous nommerons constante à
évolution. L’effet de ces fluctuations donne lieu à ce que l’on appelle la pola-
risation du vide. En effet, de manière classique, α peut être relié à la charge
de l’électron (ge =
√
4πα). C’est ainsi qu’une variation de α correspond à une
variation de la charge effective de l’électron. Un peu comme si le vide se pola-
risait pour modifier le champ électromagnétique produit par cette charge.
La correction ∆α peut être séparée en un terme leptonique et un terme
hadronique :
∆α(q2
) = ∆αl(q2
)+∆αh(q2
) (2.22)
La partie leptonique peut être calculée de manière perturbative[3] :
∆αl(q2
) =
α
3π ∑
l=e,µ,τ
ln
q2
m2
l
−5/3
∆αl(q2
= m2
Z) ∼= 0.03142
(2.23)
La partie hadronique est plus difficile à obtenir à cause de la présence
d’effets non-perturbatifs de la force forte. Néanmoins, elle peut être obtenue
par une relation de dispersion en utilisant la réaction e+e− → hadrons(γ). Dans
la région où q2 > 9 GeV2
, on peut approximer la correction par[4] :
∆αh(q2
) = A+B ln 1+C q2
(2.24)
avec A = 0.00165, B = 0.003 et C = 1.0 GeV−1
.
On remarque que dans les deux cas, la correction dépend de q2 . Ainsi, que
se soit dans le canal s, où q2 = s > 0, ou le canal t, où q2 = t < 0, la correction de
ne dépendra que d’une variable positive (s ou |t|).
La table 3 donne des valeurs de α−1(s) et ∆α(s) pour des énergies dans le
centre de masse significatives.
La figure 5 montre la valeur de α−1 en fonction de |q2|.
24 II. LA DIFFUSION BHABHA
s = q2 (91.187 GeV)2
(189 GeV)2
(198 GeV)2
(210 GeV)2
∆α(s) (%) 6.00 6.77 6.82 6.88
α−1(s) 128.81 127.75 127.69 127.60
TAB. 3 – Variation de la constante de structure fine α(q2).
Ce tableau donne les valeurs de la variation ∆α ainsi que les valeurs de α−1 pour quelques
√
s
significatives. On peut observer un effet de l’ordre de 6% pour les énergies du LEP. Néanmoins,
la variation ∆α sur la gamme d’énergie sur laquelle se base cette thèse n’est pas très grande. On
passe de ∆α = 6.77% à ∆α = 6.88%. C’est pour cela que nous allons utiliser une autre approche
qui consiste à utiliser aussi la voie t. En effet, comme t = − s
2 (1−cosθ), en prenant q2 = t nous
pouvons accéder à une plus grande gamme de transfert d’impulsion q.
2.2. Correction du propagateur du boson Z. Le même effet peut se
produire sur le boson Z. Néanmoins, il est important de noter que l’échelle
d’énergie du processus dans le cas du photon est la masse de l’électron. Les
énergies de collision au LEP étant beaucoup plus grandes que la masse de
l’électron nous pouvons nous attendre à un effet significatif. Dans le cas du
boson Z, l’échelle est sa propre masse. Or, comme l’énergie de collision est du
même ordre de grandeur que la masse du boson Z, l’effet devient négligeable.
Les calculs de renormalisation donnent[3, 5] :
αZ =
GF m2
Z
8
√
2π
ρ(q) ∼=
ρ(q)
366.47
(2.25)
avec GF la constante de Fermi, et ρ(q) un paramètre provenant de la renor-
malisation où[5] :
ρ(q) = 1+∆ρ(q)
∆ρ(q) ∼=
3GF
8π2
√
2
m2
t
∼= 0.0100
(2.26)
Ainsi, comme pour les transferts d’impulsion typique au LEP, ρ est une
constante, il s’en suit que αZ est aussi une constante. Et donc, nous admet-
trons qu’au LEP :
αZ(q) ≡ αZ (2.27)
2.3. Correction du vertex. Une autre correction virtuelle provient du
cas où un photon virtuel est échangé entre l’électron et le positron (figure 4b).
Toutes ces corrections sont prises en compte lors des calculs de renorma-
lisation. Elles donnent lieu à de nouvelles définitions de certaines constantes
2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 25
électrofaibles[5] :
ΓZ → ΓZ(s) =
s
m2
Z
ΓZ
rV → rV = 1−4 sin2
θW
sin2
θW → sin2
θW = sin2
θW +cos2
θW ∆ρ
(2.28)
Ces calculs montrent que seule la largeur de la résonance du boson Z est
fonction de
√
s.
En tenant compte de ces changements, nous obtenons l’approximation de
la section efficace de Born améliorée (IB pour Improve Born approximation).
Notons que dans cette approximation, la largeur du boson Z dans son propa-
gateur de la voie t a été mise à zéro. L’effet de cette largeur est négligeable
dans ce canal, et cela simplifie sensiblement les équations. La forme de la
section efficace que nous utiliserons pour l’analyse est :
dσIB
dΩ γsγs
=
1
4s
α(s)2
1+cos2
θ
dσIB
dΩ γtγt
=
1
2s
α(t)2 (1+cosθ)2
+4
(1−cosθ)2
dσIB
dΩ γsγt
=
−1
2s
α(s)α(t)
(1+cosθ)2
1−cosθ
dσIB
dΩ ZsZs
=
1
4
sα2
Z
s−m2
Z
2
+ s2
m2
Z
Γ2
Z
1+rV
2 2
1+cos2
θ +8rV
2
cosθ
dσIB
dΩ ZtZt
=
1
8
sα2
Z
t −m2
Z
2
1+rV
2 2
+4rV
2
(1+cosθ)2
+4 1−rV
2 2
dσIB
dΩ ZsZt
=
1
4
s s−m2
Z α2
Z
s−m2
Z
2
+ s2
m2
Z
Γ2
Z t −m2
Z
1+rV
2 2
+4rV
2
(1+cosθ)2
dσIB
dΩ γsZs
=
1
2
s−m2
Z α(s)αZ
s−m2
Z
2
+ s2
m2
Z
Γ2
Z
rV
2
1+cos2
θ +2cosθ
dσIB
dΩ γsZt
=
1
4
α(s)αZ
t −m2
Z
1+rV
2
(1+cosθ)2
dσIB
dΩ γtZs
=
−1
2
s−m2
Z α(t)αZ
s−m2
Z
2
+ s2
m2
Z
Γ2
Z
1+rV
2 (1+cosθ)2
1−cosθ
dσIB
dΩ γtZt
=
−1
2
α(t)αZ
t −m2
Z
1
1−cosθ
1+rV
2
(1+cosθ)2
−4 1−rV
2
(2.29)
26 II. LA DIFFUSION BHABHA
Cette forme est compatible avec l’article[3], mise à part un carré man-
quant dans l’expression de dσIB
dΩ ZsZs
qui provient apparemment d’une coquille
dans l’article. Il est important de noter qu’à part quelques modifications esthé-
tiques, tous les calculs ont été effectués automatiquement par Mathematica.
124
126
128
130
132
134
136
138
1 10 10
2
10
3
 
q
1/α(q)
GeV
α-1
(q=0) = 137.0
α-1
(q=mZ) = 128.8
FIG. 5 – Le variation de la constante de couplage électrofaible
Sur ce graphique, nous pouvons voir l’évolution de la constante de couplage électromagnétique
α−1.
La figure 6 nous montre la section efficace de Born améliorée intégrée
entre 44◦ < θ < 136◦ en fonction de
√
s. La ligne pointillée représente les termes
où seul intervient l’échange d’un photon. Elle correspond à une décroissance
en 1
s . Lorsque l’on y ajoute les termes dû à l’échange d’un boson Z seul, on
obtient la ligne traitillée. On observe clairement le pôle du boson Z à
√
s = mZ.
Finalement lorsque l’on rajoute les termes d’interférence entre le photon et
le Z, on obtient la ligne continue. L’interférence destructive réduit sensible-
ment la section efficace à
√
s > mZ. La zone ombrée correspond aux énergies
sur lesquelles se base ce travail.
La figure 7 donne le rapport entre la section efficace provenant de l’in-
terférence γ/Z et la section efficace de Born. Sa forme à
√
s = mZ provoque le
déplacement du pôle. Cet effet est uniquement important pour les analyses à
√
s ∼ mZ. Néanmoins, nous observons que l’effet de l’interférence se poursuit
pour
√
s > mZ.
2.4. Correction faible. Les diagrammes de boîtes électrofaibles tels que
celui de la figure 4c peuvent donner lieu à des corrections importantes. Né-
anmoins, dans le cas de la diffusion Bhabha, leur comportement n’étant pas
3. RADIATIONS DANS L’ÉTAT INITIAL OU FINAL 27
10 2
10 3
 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
√
¡
s
σ(pb)
γ
¢
γ
¢
+Z
γ
¢
+Z+γ
¢
/Z
£
FIG. 6 – Section Efficace de Born en fonction de
√
s
Ce graphique illustre les sections efficaces au niveau d’arbre en fonction de
√
s pour la région
angulaire 44◦ ≤ θ ≤ 136◦. La ligne pointillée correspond à la somme des termes de la section
efficace où le photon est échangé. On observe une décroissance en 1/s. La ligne traitillée cor-
respond à l’addition des termes dûs à l’échange d’un boson Z. La résonance due au boson Z
apparaît à
√
s = mZ. La ligne continue correspond à la somme de tous les termes. La région
ombrée représente le domaine d’énergies qui a été analysé dans cette thèse.
résonant, ces corrections contribuent pour moins de 0.2% à la section efficace.
Ces corrections sont prises en compte dans les Monte Carlo.
3. Radiations dans l’état initial ou final
Les diagrammes de Feynman de la figure 8 représentent les corrections ra-
diatives à l’ordre le plus bas : les radiations dans l’état initial et les radiations
dans l’état final.
L’émission de photons par une particule chargée est inversement propor-
tionnelle à sa masse au carré. C’est pourquoi l’électron est particulièrement
concerné par cet effet. Les photons rayonnés sont essentiellement émis le long
de la trajectoire de l’électron.
Dans le cas de la radiation dans l’état final, le seul changement concerne
l’énergie et l’angle des électrons sortants. On ne s’attend pas à de grands chan-
gements, car les électrons et les photons rayonnés sont émis à grand angle et
peuvent être détectés facilement.
Dans le cas de radiation dans l’état initial, cela pose plus de problèmes.
En effet, le photon étant essentiellement émis le long de l’axe du faisceau,
il ne peut pas être observé. Il sera donc perdu pour l’analyse. De plus, la
28 II. LA DIFFUSION BHABHA
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
60 80 100 120 140 160 180 200 220
√
 
s
σγ/Z
¡
/ σtot
FIG. 7 – Interférence entre l’échange d’un photon et d’un boson Z.
Ce graphique montre le rapport entre la somme des termes venant de l’interférence γ/Z et
la somme de tous les termes en fonction de
√
s. Sa forme à la masse du Z donne lieu à un
déplacement du pic de la résonance. Au-delà de mZ, on observe une diminution de l’ordre de
40%. qui se poursuit pour de grandes valeurs de
√
s.
e
+
e
−
e
+
e
−
γ
q
2
=s
,
a)
e
+
e
−
e
+
e
−
γq
2
=s
b)
FIG. 8 – Corrections radiatives dans l’état initial ou final
Ces diagrammes de Feynman représentent la radiation dans l’état initial (a) et dans l’état
final (b).
collision effective a lieu à une énergie
√
s ≤
√
s. La section efficace finale est
donc une convolution de la fonction de radiation avec la section efficace sans
rayonnement initial à toutes les énergies inférieures[6] :
σ(s) = σ0(s) (1−zmax)βe
(1+δe)+
zmax
zmin
σ0(zs)G(z)dz (2.30)
avec G(z) le radiateur provenant du rayonnement, les variables z = s
s , zmin et
zmax les limites cinématiques pour une radiation de photon, et les fonctions βe
4. MONTE CARLO BHWIDE 29
et δe :
βe =
2α
π
ln
s
me
−1
δe =
3βe
4
+
2α
π
π2
6
−
1
4
(2.31)
Une approximation du radiateur G(z) donne[6] :
G(z) = βe
1
1−z
1+βe ln(1−z) 1+δe −
1+z
2
(2.32)
10
-1
1
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
z
G(z)
FIG. 9 – Radiateur G(z) à
√
s = 198 GeV
On observe que cette distribution est piquée à z → 1. Comme z = s /s, z ∼ 1 correspond aux cas
où peu d’énergie a été rayonnée, laissant le système quasiment dans l’état où il était avant la
radiation.
Pour des énergies
√
s > mZ cela donne un effet intéressant que l’on appelle
“retour au Z”. La section efficace σ0(s ) ayant un pôle à mZ, ce pôle contribue
de manière relativement importante à la section efficace totale.
La figure 10 montre l’effet du retour au Z tel qu’il est estimé par le Monte
Carlo Bhabha BHWIDE. On observe clairement un gibbosité à une acolinéa-
rité1
ξ ∼ 70◦ et une énergie
√
s = mZ.
4. Monte Carlo BHWIDE
Pour l’analyse, nous avons besoin d’estimer la distribution angulaire des
événements Bhabha diffusés. Pour cela, nous utilisons un Monte Carlo qui
génère des événements et calcule la section efficace correspondant à tous ces
événements. Le Monte Carlo utilisé est BHWIDE 1.03[7].
Voici ses caractéristiques données par l’un de ses auteurs[8] :
1L’acolinéarité est l’angle entre l’électron et le positron sortants.
30 II. LA DIFFUSION BHABHA
1
10
10 2
10 3
10 4
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
ξ
Nombred’événements
(o
)
1
10
10 2
10 3
10 4
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
√s’
Nombred’événements
(GeV)
FIG. 10 – Retour au Z
Ces histogrammes remplis par une simulation Monte Carlo BHWIDE à
√
s = 189 GeV
montrent la distribution de l’acolinéarité ξ et de l’énergie effective
√
s . On observe clairement
une augmentation du signal à
√
s = mZ et à ξ ∼ 75◦ due à l’effet du “retour au Z”.
BHWIDE is based on the YFS exclusive exponentiation proce-
dure2
, where all the IR singularities are summed-up to infinite
order and cancelled out properly in the so-called YFS form factor.
The remaining non-IR residuals, β
(l)
n , corresponding to the emis-
sion of n-real photons, are calculated perturbatively up to a given
order l, where l ≥ n, and (l − n) is a number of loops in the β
(l)
n
calculation. In BHWIDE an arbitrary number n of real photons
with non-zero pT are generated according to the YFS MC method
of Ref3
. The non-IR residuals β
(l)
n are calculated up to O(α), i.e.
β
(1)
0 and β
(1)
1 corresponding to zero-real (one-loop) and one-real
(zero-loop) photons, respectively, are included. In β
(1)
0 we imple-
mented two libraries of the O(α) virtual EW corrections : (1) the
2D.R.Yennie, S.Frautschi and H.Suura, Ann. Phys. (NY) 13 (1961) 379.
3S.Jadach, E.Richter-Was, B.F.L. Ward and Z.Was, Comput. Phys. Commun. 70 (1992)
305.
4. MONTE CARLO BHWIDE 31
older one of Ref4
, which is not up to date but can be useful for
some tests, and (2) the more recent one of Ref5
. When the genuine
weak corrections are switched off (or numerically negligible) they
are equivalent. In β
(1)
0 we implemented two independent matrix
elements for single-hard-photon radiation : (1) our calculation6
in terms of helicity amplitudes, and (2) the formula of CALKUL7
for the squared matrix element. We have checked that the above
two representations agree numerically up to at least 6 digits on
anevent-by-event basis. This constitutes a very important techni-
cal cross-check of the implementation of the hard-photon matrix
element in BHWIDE.
The MC algorithm of BHWIDE is based on the algorithm of
the program BHLUMI for SABH8
with a few important modifi-
cations : (1) QED interferences between the electron and positron
lines ("up-down" interferences) had to be reintroduced as they are
important in LABH9
; (2) the full YFS form factor for the 2 → 2
process, including all s−, t− and u−channels, was implemented ;
(3) the exact O(α) matrix element for the full BHABHA process
was included. The multiphoton radiation is generated at the low-
level MC stage as for the t−channel process, while the s−channel
as well as all interferences are reintroduced through appropriate
MC weights. This means that the program is more efficient when
the t−channel contribution is dominant, as e.g. at LEP2 ener-
gies ;however, it proved to work well also at the Z peak.
On notera que BHWIDE est capable de simuler un nombre arbitraire de
photons radiatifs, que la renormalisation du processus est effectuée par une
procédure d’exponentiation YFS exclusive, que les termes β
(l)
n responsables
de la radiation de n photons sont calculés à l’ordre O(α), et que le terme β
(1)
0
contient aussi des corrections virtuelles électrofaibles à l’ordre O(α).
4.1. Fonction de radiation. Pour finir ce chapitre, nous allons comparer
la prédiction de BHWIDE à la formule analytique de la section efficace de
Born améliorée. La différence provient de la radiation dans l’état initial et
4M.Böhm, A.Denner and W.Hollik, Nucl. Phys. B304 (1988) 687
5W.Beenakker et al., Nucl. Phys. B349 (1991) 323.
6S.Jadach, W.Placzek and B.F.L. Ward, Phys. Lett. B390 (1997) 298.
7F.A.Berends et al., Nucl. Phys. B206 (1982) 61.
8Small Angle BHabha scattering
9Large Angle BHabha scattering
32 II. LA DIFFUSION BHABHA
final. En effet, nous avons :
dσ
d cosθ
e+
e−
→ e+
e−
(γ) = Frad ·
dσ
d cosθ
e+
e−
→ e+
e−
(2.33)
Dans le Monte Carlo BHWIDE, les événements sont générés avec radia-
tion, et donc les deux électrons ne se trouvent plus (ou presque plus) dos-
à-dos. Pour extraire la fonction de radiation, il convient alors de considérer
un échantillon d’événements sélectionnés au moyen de l’acolinéarité ξ entre
l’électron et le positron.
1
10
10 2
10 3
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
cosθ
dσ/dcos
 
θ(pb)
ξ < 10o
ξ < 25o
ξ < 120o
IB
√
¡
s = 189 GeV
10o
< θ < 170o
a)
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
cosθ
dσ(BHWIDE)/dσ(IB)
ξ < 10o
ξ < 25o
ξ < 120ob)
¢
FIG. 11 – Comparaison BHWIDE et Born améliorée
La prédiction de la section efficace différentielle de Born améliorée à
√
s = 189 GeV est comparée
à la prédiction du Monte Carlo BHWIDE pour trois coupures en acolinéarité : 120◦ (triangle),
25◦ (carré) et 10◦ (point). On passe clairement d’un rapport > 1 pour ξ < 120◦ à un rapport < 1
pour ξ < 10◦.
Sur la figure 11a) se trouve la section efficace différentielle pour trois
échantillons (ξ < 120◦, ξ < 25◦et ξ < 10◦), ainsi que pour la section efficace de
Born améliorée. Sur la figure 11b) se trouve le rapport des sections efficaces
des trois échantillons et la section efficace de Born améliorée. On observe clai-
rement que pour obtenir la section efficace avec radiation où ξ < 120◦, il faut
augmenter la section efficace de Born améliorée de l’ordre de +40%. Pour une
4. MONTE CARLO BHWIDE 33
section efficace où ξ < 120◦, cette correction est de l’ordre de −10%. Dans le cas
de l’échantillon où ξ < 25◦, la correction est légèrement négative, sauf pour les
grandes valeurs de cosθ.
Pour l’interprétation des résultats au chapitre VI, nous aurons besoin de
la fonction de radiation à ξ < 25◦. Pour l’extraire, nous allons utiliser les pré-
dictions BHWIDE et la section efficace de Born améliorée :
Frad (cosθ) =
dσBHWIDE
d cosθ
(cosθ)
dσIB
d cosθ
(cosθ) (2.34)
Pour estimer cette fonction, des Monte Carlo simulés à 14 énergies
√
s
allant de 186.6 GeV à 208.6 GeV ont été utilisés. La figure 12 donne pour
chaque bin en cosθ la moyenne et son erreur standard des 14 rapports de
sections efficaces.
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
cos
 
θ
dσ[e
+
e
-
→e
+
e
-
(γ)]/dσ[e
+
e
-
→e
+
e
-
]
σBHWIDE / σIB
Fonction de rayonement
FIG. 12 – Fonction de radiation à ξ < 25◦.
Rapport de la section efficace différentielle prédite par le Monte Carlo BHWIDE et la section
efficace différentielle de Born améliorée. Ce rapport mesure ce que nous allons appeler la fonc-
tion de radiation.
En ajustant un polynôme du 3e ordre à ces mesures, nous pouvons estimer
la fonction de radiation :
Frad (cosθ) = a1 +a2 cosθ+a3 cos2
θ+a4 cos3
θ (2.35)
avec a1=0.933, a2=0.040, a3=0.094 et a4= -0.030. On remarque que nous n’avons
pas retenu une dépendance en
√
s. Nous verrons par la suite que cette dépen-
dance semble être négligeable par rapport aux erreurs statistiques des Monte
Carlo. En effet, sur la figure 13, même sans cette dépendance, nous obtenons
34 II. LA DIFFUSION BHABHA
une compatibilité statistique. Ceci peut être expliqué par le fait que nous al-
lons travailler sur des énergies
√
s relativement proches.
L’erreur systématique attribuée à cette fonction est l’erreur statistique des
Monte Carlo utilisés pour extraire cette fonction. Cette erreur peut elle aussi
être ajustée par un polynôme de 3e ordre avec les constantes b1=0.034, b2=-
0.041, b3=-0.0042 et b4=0.011.
Finalement, nous obtenons la prédiction analytique IB−rad que nous uti-
liserons pour l’interprétation des résultats :
dσIB−rad
d cosθ
(s,cosθ) = Frad(cosθ)·
dσIB
d cosθ
(s,cosθ) (2.36)
Nous pouvons tester la validité de cette prédiction en la comparant à des
Monte Carlo BHWIDE qui n’ont pas servi à extraire la fonction de radiation.
La figure 13 donne la distribution des pulls :
pull =
dσIB−rad
d cosθ − dσBHWIDE
d cosθ
δ2
BHWIDE +δ2
IB−rad
(2.37)
On observe que la prédiction est compatible dans les marges d’erreur statis-
tiques des Monte Carlo. Le χ2 vaut 503 pour 450 degré de liberté en prenant
l’erreur statistique des Monte Carlo seulement et 470 en prenant l’erreur to-
tale (statistique des Monte Carlo et erreur systématique de la fonction de
radiation).
0
5
10
15
20
25
30
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
53.14 / 51
Constant 16.63 1.106
Mean -0.6979E-02 0.5077E-01
Sigma 0.9652 0.4601E-01
pull
FIG. 13 – Test de compatibilité entre BHWIDE et IB-rad
Distribution des pulls entre la prédiction BHWIDE et la fonction IB-rad qui est le produit de
la section efficace différentielle de Born améliorée et la fonction de radiation. On observe une
bonne compatibilité statistique.
CHAPITRE III
Le détecteur
L’expérience L3 se trouve sur le collisioneur LEP au CERN près de Ge-
nève. Le LEP est un accélérateur circulaire de 26.7 km de circonférence. Le
programme de physique du LEP a été divisé en deux phases : LEP I (1989-
1995) et LEP II (1996-2000).
Durant LEP I, des balayages en énergie de collision autour de la masse du
boson Z ont permis d’étudier de façon très approfondie cette particule.
Dès 1995, les améliorations du LEP ont permis d’obtenir chaque année des
énergies de collision de plus en plus énergétiques allant jusqu’à 210 GeV. Ce
record a été enregistré dans les dernières secondes du LEP à 8h00 le jeudi 2
novembre 2000. Les priorités du programme LEP II ont été l’étude du boson
W et la chasse au boson de Higgs.
La première section de ce chapitre décrit le complexe d’accélérateurs du
CERN ainsi que le collisioneur LEP.
Dans la deuxième section, tous les détecteurs de l’expérience L3 sont dé-
crits.
1. Le complexe d’accélérateurs du CERN
Un avantage du CERN par rapport à d’éventuels nouveaux sites d’expé-
riences a toujours été la possibilité d’utiliser ses anciens accélérateurs au pro-
fit des nouveaux. En effet, l’accélération des particules peut être comparée à
celle d’une voiture. De même qu’il est impossible de démarrer une voiture en
cinquième vitesse, il est impossible l’accélérer des particules au repos avec
le LEP. C’est pourquoi il est nécessaire d’avoir un complexe d’accélérateurs
imbriqués les uns dans les autres. Les électrons du LEP ont passé parmi de
nombreux accélérateurs.
Tout d’abord un canon éjecte des électrons d’un filament chauffé. Ceux-ci
sont alors accélérés linéairement par le LIL (Linear Injector for LEP) jusqu’à
une énergie de 200 MeV. Les électrons peuvent soit être accélérés jusqu’à 600
MeV, puis envoyés dans l’EPA (Electron-Positron Accumulator), soit sur une
cible de tungstène. Cette collision va produire des paires e+e−. Les e+ sont ac-
célérés jusqu’à 600 MeV, puis envoyés dans l’EPA. Lorsqu’il y a suffisamment
35
36 III. LE DÉTECTEUR
FIG. 14 – Complexe d’accélérateurs au CERN
Ce schéma représente une partie du complexe d’accélérateurs du CERN. On peut y voir le
LIL qui produit des électrons et des positrons de 600 MeV, l’accumulateur EPA qui sert de
"salle d’attente" aux électrons avant leur grand voyage. Lorsque le LEP est vide, on accélère les
faisceaux d’abords jusqu’à 3.5 GeV dans le PS, puis jusqu’à 20 GeV dans le SPS et enfin dans
le LEP jusqu’à leur énergie voulue.
d’électrons et de positrons dans l’accumulateur, les paquets sont envoyés à
l’accélérateur suivant, le PS.
Le PS (Proton Synchrotron) est de loin le plus vieil accélérateur toujours
en service du CERN, bien qu’il ne doit plus rester beaucoup de pièces d’origine.
Il a été construit en 1959 et sa circonférence est de 630 m. Cette accélérateur
polyvalent permet d’accélérer non seulement des électrons, mais aussi des
protons et des ions.
Le PS accélère les électrons et les positrons à une énergie de 3.5 GeV.
Cette énergie correspond à peu près à la limite où toute la puissance des cavi-
tés accélératrices RF (Radio Frequence1
) sert à compenser le bremsstrahlung
(radiation de freinage) qui apparaît dès que l’on modifie la trajectoire d’une
1Le terme Radio Frequence vient du faite que pour accélérer des particules en utilisant
des plaques espacées de quelques centimètres, il faut utiliser une onde électromagnétique
dont la fréquence sur trouve dans la bande des fréquences radio.
2. L’EXPÉRIENCE L3 37
particule chargée. L’énergie perdue par un électron est :
W = 8.85×10−5 E4
ρ
MeV par tour (3.1)
où E est l’énergie de l’électron en GeV et ρ le rayon de courbure de l’accéléra-
teur en kilomètre. Ainsi, à 3.5 GeV, les électrons perdent 132 keV par tour, et
toute (ou presque) la puissance RF utile du PS sert à compenser cette perte
d’énergie.
Pour doubler l’énergie des électrons, il faut soit utiliser 8 fois plus de puis-
sance électrique, soit, en gardant la même puissance, doubler le rayon de l’ac-
célérateur. Ainsi, lorsque l’on s’approche de cette limite technique au PS, les
faisceaux sont envoyés dans le SPS.
Le SPS (Super Proton Synchrotron) a été construit en 1976. Il a une cir-
conférence de 6.9 km. Cet accélérateur a permis la découverte des bosons de
gauge Z et W en 1983. Le SPS peut accélérer les électrons jusqu’à une énergie
de 22 GeV. A cette énergie là, les électrons peuvent enfin entrer dans le LEP.
Le LEP est a été construit dans le but spécifique d’accélérer des électrons
et des positrons. Il mesure 26 659 m. Les faisceaux doivent voyager dans un
tube à vide, car tout gaz diminuerait leur intensité. L’utilisation de pompes à
sublimation de titane et de 20 km de ruban de getter permettent de pousser le
vide jusqu’à 10−12 Torr, soit près de 10 fois meilleur que le vide qu’il y a entre
la Terre et la Lune (10−11 Torr).
Les opérations du LEP ont commencé en 1989. Des cavités accélératrices
supracondutrices installées à partir de 1996 ont permis de fournir 3 500 MV
de tension accélératrice par tour et d’atteindre une énergie de faisceau de
105 GeV à la fin du programme. Chaque faisceau est composé de quatre pa-
quets et correspond à un courant d’environ 6.5 mA. La luminosité instantanée
maximale a été de l’ordre de 100×1030 cm−2s−1.
Quatre expériences se trouvent sur le LEP : ALEPH, DELPHI, OPAL et
L3. Nous allons maintenant décrire l’expérience L3, sur laquelle se base cette
thèse.
2. L’expérience L3
2.1. L’aimant. Une des particularités de l’expérience L3 est d’avoir un ai-
mant externe qui plonge tous ses sous-détecteurs dans un champ magnétique
relativement uniforme, parallèle aux faisceaux, de 0.5 T, soit près de 2’000
fois le champ magnétique terrestre moyen. L’aimant a la forme d’un cylindre
octogonale couché et mesure 11.9 m de long pour un diamètre de 13.6 m. Son
38 III. LE DÉTECTEUR
diamètre interne est de 5.9 m. L’aimant est composé de 168 spires d’alumi-
nium pesant 1’120 tonnes. Le retour du flux magnétique est assuré grâce à
5’600 tonnes de fer. Le tout est soutenu par une structure en acier de 1’100
tonnes. Chaque extrémité de l’aimant est fermée par 2 portes de 340 tonnes.
La figure 15 nous montre une coupe de l’aimant à l’intérieur de la caverne. La
puissance électrique dissipée dans l’aimant est de 4 MW.
FIG. 15 – Coupe de l’expérience dans sa caverne
A cette échelle, on observe essentiellement l’aimant et les chambres à fils du détecteur de muons.
2.2. Les calorimètres. On mesure l’énergie des particules provenant de
la collision e+e− en les arrêtant complètement dans des calorimètres. Une
partie de l’énergie perdue par ces particules donne lieu à des effets physiques
directement observables, ce qui permet une mesure de leur énergie. Un calori-
mètre électromagnétique (le BGO) permet de mesure l’énergie des particules
électromagnétiques, alors qu’un calorimètre hadronique (le HCAL) mesure
l’énergie des hadrons. La granulation de la mesure de l’énergie permet aussi
une mesure de la position du dépôt d’énergie et ainsi la mesure de la direction
de la particule en supposant que celle-ci vienne du point d’interaction e+e−.
2.2.1. Le calorimètre électromagnétique - BGO. Ce détecteur est constitué
d’un barrel (tonneau) et de deux endcaps (bouchons). Il est composé de 10’734
2. L’EXPÉRIENCE L3 39
DétecteurCouverturePolaireRésolution
Énergie/ImpulsionAngleAzimutalAnglePolaire
SMD+TEC25◦−155◦(90.6%)δpT
pT
=1.5%0.6mrad3.4mrad
10.5◦−36.7◦(9.1%),
BGO42.3◦−137.7◦(74.0%),δE
E=10%√
E
3.6mrad3.8mrad
143.3◦−169.5◦(9.1%)
HCAL5.5◦−174.5◦(99.5%)δE
E=55%√
E
+5%44mrad
MUCH36◦−144◦(80.9%)δpT
pT
=2%-
TAB.4–ParamètresdesdétecteursdeL3
Cetableaurésumelesparamètresimportantspourl’analyse.Ils’agitdesrégionsangulaires
etdelarésolutiondesmesuresdel’énergieoudelaquantitédemouvementetdesangles.
40 III. LE DÉTECTEUR
Hadron Calorimeter Barrel
Hadron Calorimeter
Endcaps
Luminosity
Monitor
FTC
BGO
BGO
SMD
HC1
HC3 HC2 Z chamber
TEC
Active lead rings
SLUM
 
RB24
FIG. 16 – Détecteur internes de L3
Ce deuxième schéma du détecteur montre mieux les détecteurs internes. On y trouve le calori-
mètre hadronique (HCAL) et électromagnétique (BGO), les composantes du traceur (le SMD,
la TEC et les chambres Z de la TEC) et les détecteurs de mesure de la luminosité (SLUM et
LUMI)
Photodiode
To ADC
Xenon lamp fibers
BGO crystal
Carbon fiber wall (0.2 mm)
2cm
3cm
24 cm
FIG. 17 – Un cristal du BGO
On observe les deux photodiodes qui collectent la lumière émise dans le cristal, ainsi que les
fibres optiques qui amènent la lumière de calibration du système Xénon.
cristaux de germanate de bismuth (Bi4Ge3O12, d’où son nom de BGO). Le bar-
rel compte à lui seul 7’680 cristaux. L’avantage de ce matériau est qu’il consti-
tue à la fois un milieu dense pour la formation de la gerbe électromagnétique
(une avalanche d’électrons et de photons) et un scintillateur qui transforme
une partie de l’énergie de cette gerbe en lumière qui peut être observée.
2. L’EXPÉRIENCE L3 41
D’une densité élevée (7.13 g/cm3), il possède une courte longueur de radia-
tion (1.12 cm) par rapport à la longueur des cristaux (24 cm). La longueur d’in-
teraction nucléaire étant de 22 cm, les hadrons le traversent sans peine. Il est
donc nécessaire de prévoir un deuxième calorimètre pour mesurer leur éner-
gie. Le BGO a un temps de réponse court (300 ns), mais malheureusement il
supporte mal les variations de température (1.55% de lumière en moins par
◦C en plus). Afin de minimiser les corrections à appliquer aux données pour
compenser cet effet, le BGO a été doté d’un système de refroidissement qui le
stabilise à ± 0.2◦C.
Au vu de l’espace réduit disponible et du champ magnétique ambiant de
0.5 T, l’utilisation de photodiodes a été choisie pour collecter la lumière pro-
venant des cristaux de BGO comme le montre la figure 17. Chaque cristal est
équipé de 2 photodiodes qui ont une efficacité quantique de 70%. Les photons
peuvent être détectés lorsqu’ils produisent une paire électron-trou. 1 MeV dé-
posé dans le BGO correspond à un signal électrique d’environ 0.2 fC (environ
1200 électron). Ce signal est immédiatement amplifié à la sortie des photo-
diodes par un préamplificateur. Le signal est ensuite sorti du détecteur pour
être à nouveau amplifié et converti en valeurs numériques par des ADC (Ana-
log to Digital Convertisor). Ceux-ci ont été conçus pour pouvoir convertir des
signaux sur une grande gamme dynamique (de 1 MeV à plus de 100 GeV).
Ceci est rendu possible grâce à 6 comparateurs prenant chacun en charge une
gamme d’énergie.
Nominalement, le calorimètre devait couvrir la plage angulaire 12◦< θ <
168◦. La chambre centrale étant plus longue qu’initialement prévu lorsque
les endcaps ont été construits, ceux-ci ont dû être installés en retrait par rap-
port au barrel. Il en résulte un espace de 5◦ entre le barrel et chaque endcap
comme le montre la figure 18. En définitive, le barrel couvre la région angu-
laire 42.3◦< θ < 137.7◦, et les endcaps les régions angulaires 10.5◦< θ < 36.7◦
et 143.3◦< θ < 169.5◦. Ainsi, 92.1% de l’angle solide est couvert par le BGO.
La résolution en énergie du BGO est de
δE
E
=
10%
√
E
(3.2)
La résolution angulaire est de 3.8 mrad pour la mesure de l’angle polaire
et 3.6 mrad pour la mesure azimutale.
Les méthodes de calibration en énergie des cristaux est décrite dans la
section 3 de ce chapitre.
2.2.2. Le calorimètre hadronique - HCAL. Le calorimètre hadronique est
lui aussi constitué d’un barrel et des deux endcaps. Le HCAL couvre la région
42 III. LE DÉTECTEUR
FIG. 18 – Espacement entre le barrel et les endcaps du BGO
Sur schéma se trouvent le barrel du BGO et un de ses bouchons (endcap). Des contraintes tech-
niques ont rendu nécessaire le déplacement des bouchons de quelques centimètres. Il en résulte
un trou de 5◦ et un déplacement du point de focalisation des axes directeurs des cristaux.
angulaire 5.5◦< θ < 174.5◦, soit 99.5% de l’angle solide. Un échantillonnage
très fin de plaques d’absorbeur en uranium appauvri intercalées entre des
chambres à fils proportionnelles permet la création de gerbes hadroniques et
la mesure de leur énergie. La résolution en énergie pour des hadrons isolés
est de :
δE
E
=
55%
√
E
⊕5% (3.3)
La segmentation du calorimètre permet une mesure de l’axe des jets avec
une résolution angulaire d’environ 2.5◦.
Grâce aux 6 longueurs d’absorption nucléaire de tous les détecteurs in-
ternes, seuls les neutrinos et les muons peuvent sortir du calorimètre hadro-
nique. Les muons n’auront perdu qu’au maximum 2.5 GeV en passant les
détecteurs internes.
2.3. Les détecteurs à traces. Les détecteurs à traces permettent de me-
surer les points de passage des particules chargées. En reliant ces points de
passage, on obtient la trajectoire des particules. Cette trajectoire nous per-
met de calculer les angles d’émission des particules. Dans un champ magné-
tique, les particules chargées ont une trajectoire incurvée. Ainsi, en mesurant
la courbure de cette trajectoire, nous obtenons une mesure du produit de la
charge et de la quantité de mouvement. Comme nous n’allons considérer que
des charges ± 1, le signe de la courbure, c’est-à-dire son orientation, nous
2. L’EXPÉRIENCE L3 43
8235
 
5425
4010
2530
BGO
TEC
ø 35
¡
RFQ
¢
Coil£
Magnet Yoke¤
Muon Chambers
¥
Muon Filter
Hadron Calorimeter
14 180 mm
Luminosity Monitor
e
¦
- e
¦
+§
TEC
IP
45°
29°
L3 Inner Tracking System
FTC
Z Chamber
SMD Support
SMD Active Region
Proposed
SMD
View of the SMD location in the L3 Experiment now with 5 cm beam pipe
FIG. 19 – Coupes des détecteurs à traces de L3
Ces deux schémas représentent le système de traceurs : les chambres à muon et le traceur
interne qui est composé du SMD et de la TEC. Le détecteur perpendiculaire FTC n’a servi que
pour le système de triggers.
donne directement le signe de la charge. On peut obtenir la quantité de mou-
vement transverse pT en connaissant le champ magnétique B du détecteur et
la courbure ρ de la trajectoire :
pT [GeV/c] = 0.3B|ρ| [Tm] (3.4)
Les particules de charge nulle n’ionisant pas les gaz, elles donnent aucun
signal dans les détecteurs à trace.
44 III. LE DÉTECTEUR
Un détecteur au silicium et une chambre à gaz à expansion temporelle au
centre du détecteur permettent ces mesures pour toutes les particules char-
gées. Des chambres à muons externes permettent aussi ces mesures pour les
muons.
2.3.1. Le détecteur de vertex au silicium - SMD. Ce détecteur n’a été opé-
rationnel qu’à partir de 1994. Ce type de détecteur a révolutionné la physique
des particules en permettant de mesurer des positions avec une résolution
d’une dizaine de microns.
Le SMD est constitué de deux couches de douze échelles à microstrip. La
surface total de ce détecteur est d’environ 0.2 m2. La couche interne à double
faces donne une mesure dans le plan perpendiculaire au faisceau. La couche
externe est tourné de 2◦ par rapport à l’axe du faisceau pour permettre une
mesure stéréoscopique de la coordonnée Z.
La résolution sur la mesure d’un point de passage est de 7 µm en R-φ et
15 µm en Z. En extrapolant ces points de passage, on peut obtenir la distance
d’approche la plus courte (DCA), c’est-à-dire le point le plus proche du point
d’interaction. La résolution sur le DCA varie de 25 à 40 µm.
Le SMD n’est jamais utilisé seul pour mesurer la trajectoire d’une trace,
mais toujours en conjonction avec une trace TEC.
FIG. 20 – Coupe représentant la TEC les chambres Z
Ce schéma représente la TEC sur le plan transverse au faisceaux d’électrons. La croix + repré-
sente le point d’interaction. Le trait partant de ce point représente le passage d’une particule
chargée. Son passage va ioniser le gaz de la TEC, et ces charges vont dériver vers les anodes.
On peut voir que les modules intérieurs sont légèrement décalés par rapport aux modules ex-
térieurs. Ceci permet de lever l’ambiguïté droite-gauche lors de la reconstruction.
2. L’EXPÉRIENCE L3 45
2.3.2. La chambre à expansion temporelle - TEC. La chambre centrale est
une chambre à dérive basée sur le principe de l’expansion temporelle de l’io-
nisation induite dans le gaz par les particules chargées qui la traverse. Le gaz
est un mélange à 80% de gaz carbonique (CO2) et à 20% d’isobuthane (C4H10).
Le gaz est maintenu à une pression de 2 atm, ce qui empêche les molécules
d’oxygène de l’air d’entrer dans la TEC. En effet, les molécules d’oxygène em-
pêchent une bonne dérivée des charges en les absorbant. Après la décharge,
d’isobuthane permet une bonne dissipation de l’énergie restante grâce à ses
nombreux axes de rotation.
La TEC est constitué d’une partie interne et d’une partie externe, voir fi-
gure 20. La partie interne est composé de 12 secteurs. Chaque secteur contient
8 fils d’anodes pour ces mesures. La partie externe est composée de 24 sec-
teurs à 54 fils d’anodes chacun. Les fils sont tendus parallèlement à l’axe du
faisceau. La longueur sensible de ce détecteur est de 982 mm.
Le temps de dérive des charges jusqu’à aux fils d’anode (6 µm/ns) permet
l’extrapolation de la position médiane (appelé hit) de l’ionisation du gaz à la
“hauteur” de chaque fil, conséquence du passage d’une particule. Vu la géomé-
trie du détecteur, pour chaque hit, une ambiguïté gauche/droite est présente.
Pour lever cette ambiguïté, l’information d’un autre détecteur est nécessaire
(essentiellement le SMD et la partie interne de la TEC comme le montre la
figure 20).
Certains fils, dits de division de charges (2 fils dans chaque secteur interne
et 9 dans chaque secteur externe), sont lus de chaque côté du détecteur. Ainsi,
la comparaison des deux signaux permet la mesure de la coordonnée Z. En
outre, 2 chambres proportionnelles cylindriques entourent la TEC. Ces cham-
bres, dites Z, permettent de mesurer la coordonnée Z avec une résolution de
320 µm.
La résolution en r−φ est de 58 µm pour la partie intérieur et de 49 µm pour
la partie extérieur. La plage angulaire de la TEC s’étend de 25◦ à 155◦, soit
90.6% de l’angle solide.
La résolution en quantité de mouvement des traces reconstruites par le
SMD et la TEC est de :
δp
p
= 1.5% (3.5)
A grand angle, la résolution de la mesure des angles est :
Angle polaire (θ) 3.4 mrad
Angle azimutal (φ) 0.6 mrad
46 III. LE DÉTECTEUR
2.3.3. Les chambres à muons - MUCH. La quantité de mouvement, les
angles de production, et la charge des muons sont mesurés grâce aux cham-
bres à muons. Ce détecteur est formé de deux grandes roues octogonales de 86
tonnes et de deux endcaps encastrés dans les portes de l’aimant. Trois plans
de chambres à dérive permettent de mesurer la courbure des trajectoires dans
le plan r −φ normal à l’axe des faisceaux avec une résolution de :
δp
p
= 2% (3.6)
Des chambres supplémentaires permettent de mesurer la troisième coor-
donnée z avec une résolution de 500 µm.
Les chambres à muons couvre la région angulaire 36◦< θ < 144◦, soit 80.9%
de l’angle solide.
2.4. Les scintillateurs. 30 scintillateurs plastiques sont placés entre le
HCAL et le BGO. Leur couverture en angle polaire est de 34◦< θ < 146◦, soit
82.9% de l’angle solide. Ce système permet la mesure du temps de vol des
particules avec une résolution temporelle de :
δt = 460 ps (3.7)
Ce détecteur sert essentiellement à rejeter les muons cosmiques. En effet,
la différence de temps entre deux scintillateurs pour un muon cosmique qui
passe près du point d’interaction est de 5.8 ns, alors que pour une paire de
muons provenant de l’annihilation e+e− la différence est nulle.
2.5. La mesure de la luminosité - LUMI. Pour la mesure d’une section
efficace, il est très important de connaître la luminosité des faisceaux. Pour
estimer cette luminosité, il faut considérer un canal physique bien compris
d’un point de vue théorique et qui donne un nombre important d’événements.
Le canal Bhabha qui correspond à ces deux critères a été choisi. En effet,
à bas angle polaire, la section efficace est largement dominée par l’échange
d’un photon dans la voie t dont le terme au premier ordre est proportionnel
à (1−cosθ)−2
. Pour estimer l’efficacité du système, deux chaînes de mesures
séparées sont utilisées : un calorimètre électromagnétique et un détecteur au
silicium.
Chaque calorimètre électromagnétique est finement segmenté en 304 cris-
taux de BGO sur 8 anneaux. Il couvre la région polaire 24.9 mrad < θ <
69.9 mrad ainsi que la région polaire symétrique opposée à la normale du
faisceau, soit 0.2% de l’angle solide.
2. L’EXPÉRIENCE L3 47
2.6. Système de déclenchement. Le système de déclenchement (trig-
ger) est le système qui décide s’il faut ou non enregistrer un événement.
Comme il y a plus de 44’000 croisements de faisceaux par seconde au centre
du détecteur L3, non seulement il était impossible à l’époque de la construc-
tion d’enregistrer l’état du détecteur après chaque croisement, mais encore,
dans la quasi totalité des croisements, aucune collision n’a eu lieu. C’est pour-
quoi un ensemble de triggers décide à partir de règles simples si le croisement
qui vient d’avoir lieu est un événement physique qui mérite d’être enregistré
ou un bruit de fond qu’il faut rejeter. Pour éliminer de la meilleur façon les
divers bruits de fond et minimiser le temps mort du détecteur, trois niveaux
de triggers de complexités croissantes sont utilisés.
2.6.1. Niveau 1. Le niveau 1 est le niveau le plus bas. Il doit fournir une
réponse en moins de 22 ns, temps après lequel deux nouveaux paquets se
croisent dans le détecteur. Des règles simples, faisant appel à des informa-
tions élémentaires qui peuvent être rapidement extraits du détecteur, sont
utilisées pour tester si un événement intéressant vient d’avoir lieu ou non.
Le niveau 1 sert essentiellement à détecter un signal énergétique dans le
détecteur. Ce sera le travail des niveaux supérieurs de voir s’il s’agit d’un bruit
de fond. Si la réponse du niveau 1 est négative, toutes les lectures du détecteur
sont stoppées et un reset global est effectué, ce qui permet à l’électronique
d’être prêt pour le prochain croisement.
Le taux de déclenchement du niveau 1 est de l’ordre de 15 à 20 Hz, soit
une réduction de près d’un facteur 3000 de la fréquence de croisements de
faisceau (44 kHz).
La combinaison des réponses de chaque trigger est effectué par un OU
logique. Ainsi, l’estimation des efficacités des triggers peut être obtenue en
prenant le rapport entre le nombre d’événements sélectionnés par le trigger à
tester et un trigger témoin par rapport au nombre d’événements sélectionnés
par le trigger témoin :
εA =
N(A⊗B)
N(B)
(3.8)
avec A le trigger à tester, B un trigger témoin, N le nombre d’événements et εA
l’efficacité du trigger A.
2.6.2. Niveau 2. Le niveau 1 a permis essentiellement d’éliminer les évé-
nements vides, c’est-à-dire les croisements où aucune particule n’a été diffusée
ou produite à grand angle, dans le détecteur. Le niveau 1 a donc flashé chaque
fois que quelque chose c’est produit dans le détecteur. Malheureusement, il ne
s’agit pas toujours d’un événement physique intéressant, il s’agit parfois de
processus physiques non voulus : fission d’un noyau d’uranium dans le HCAL,
48 III. LE DÉTECTEUR
muon cosmique, Natel ou tube néon non éteint à proximité du détecteur, ra-
diation de freinage du faisceau, etc.
Le niveau 2 va donc permettre de vérifier si l’événement provient bien
d’une collision e+e−. Comme le détecteur a eu le temps de la prise de décision
du niveau 1 pour lire plus d’information, le niveau 2 peut se baser sur des
objets plus élaborés. Le temps de décision est d’environ 500 µs.
Un cas spécial apparaît lorsque plus d’un trigger du niveau 1 a été déclen-
ché. On admet que la probabilité qu’un bruit de fond déclenche deux triggers
du niveau 1 simultanément est suffisamment faible pour être négligée. C’est
ainsi, que si un événement a été déclenché par plus d’un trigger du niveau 1,
on court-circuite le niveau 2 et on gagne ainsi un précieux temps de calcul.
Pour permettre l’estimation de l’efficacité du déclenchement du niveau 2,
1 événement rejeté sur 20 est conservé (pre-scaling).
Le taux de déclenchement du niveau 2 est de l’ordre de 10 à 15 Hz, soit
une réduction de 70% à 80% par rapport au niveau 1.
2.6.3. Niveau 3. Malheureusement, 10 Hz est encore trop élevé, et des
événements de bruit de fonds sont encore présents. Le niveau 3 ayant eu le
temps qu’ont pris les décision des niveaux 1 et 2, il peut se baser sur les don-
nées digitales complètes du détecteur. Il fait appel à plusieurs algorithmes
d’analyse. Comme pour le niveau 2, les événements avec plus d’un déclenche-
ment au niveau 1 sont acceptés automatiquement. La combinaison de tous les
algorithmes résulte à un taux de déclenchement de 3 à 6 Hz, soit une réduc-
tion de 40% à 60% par rapport au niveau 2.
Comme pour le niveau 2, un pre-scaling de 1/20 est appliqué.
Si la décision du niveau 3 est positive, l’événement est transféré vers la
ferme d’analyse qui enregistre l’information sur disque dur pour être analysé
et sur bandes magnétiques pour être sauvegardé. La taille moyenne d’un évé-
nements est de 50 kb.
3. Calibration du BGO
Une partie de mon travail a consisté à utiliser le système Xénon pour ca-
librer les cristaux du BGO et monitorer chaque cristal, jour par jour, pour
établir une liste des cristaux morts, et dans le cas d’un accident grave où le
faisceau abîmerait une partie du BGO, de pouvoir fournir des constantes de
corrections.
3.1. Le système Xénon. Un système de lampes au Xénon et de fibres op-
tiques permet d’envoyer dans les cristaux de BGO de la lumière comparable
à celle produite par un électron de 1.5 GeV à 35 GeV. Nous pouvons simuler
3. CALIBRATION DU BGO 49
ce domaine d’énergie, c’est-à-dire ce domaine d’intensités lumineuses, grâce à
un système de filtre. Nous pouvons ainsi monitorer l’efficacité de collection de
lumière produite dans le cristal et le gain de la chaîne électronique d’acquisi-
tion. La figure 21 montre le schéma du système.
FIG. 21 – Schéma du système Xénon
Une lampe au Xénon produit un flash de lumière qui est conduit par des fibres optiques vers
les cristaux de BGO, des photomultiplicateurs (PM) de référence et vers des photodiodes (PD)
de référence.
Les impulsions lumineuses sont produites par un ensemble de 16 lampes
pour le barrel et de 16 lampes pour les endcaps. De chaque lampe part un en-
semble de fibres optiques primaires, qui est subdivisé au niveau du détecteur
en fibres secondaires qui illuminent tous les cristaux. Des fibres supplémen-
taires remontent au système d’acquisition pour servir de références. En effet,
la lumière Xénon permet de monitorer la stabilité des cristaux, mais pour cela
il faut être sûr de la stabilité des lampes. C’est pourquoi cette production de
lumière est testée à son tour par un ensemble de photomultiplicateurs (PM)
2
La stabilité des PM est à son tour monitorée par des sources radioactives
d’américium (241Am). Heureusement, la physique de cette désintégration est
d’une parfaite stabilité en énergie (4.43 MeV) et nous n’avons donc nul besoin
de monitorer la stabilité de l’énergie des photons émis par l’américium.
2J’entends par PM, l’ensemble du système PM et le cristal scintillant qui est monté sur
le PM.
50 III. LE DÉTECTEUR
Tout le système d’acquisition est contrôlé par un PC Amiga 2000 qui,
notons-le, aura tenu jusqu’à la fin de l’expérience. Cet Amiga est probable-
ment le seul à voir été en fonction jusqu’en l’an 2000.
Tous les jours, entre deux prises de données, un run Xénon a été effectué
par le shifter BGO. Ce run consiste à flasher 10 fois chaque lampe et ainsi
nous avons 10 mesures quotidiennes pour chaque cristal.
Dead Crystals Evolution
40
50
60
70
80
90
20 40 60 80 100 120 140 160
Xenon Run Number
NumberofDeadCrystals
All BGO
Barrel Only
FIG. 22 – Nombre de cristaux défini comme morts par le système Xénon
Nombre de cristaux mort dans le barrel seulement et dans tout le BGO en fonction du numéro
du run Xénon. Les prises de données étant quotidiennes, ce graphique représente l’évolution
du nombre de cristaux morts durant l’année 2000. Le taux de cristaux mort que ce soit dans le
barrel ou les endcaps est d’environ 0.7%.
3.2. Cristaux morts. Ces mesures permettent d’établir une première liste
de cristaux morts. La figure 22 montre le nombre de cristaux morts pour le
barrel et pour le BGO entier pour chaque run. On observe que dans le BGO 80
cristaux sont morts en moyenne. La liste des cristaux morts est complétée par
une analyse off-line de l’occupation de chaque cristal par des jets hadroniques.
En effet, cette physique nous donne une irradiation azimutale uniforme et in-
tense, ce qui permet en observant le nombre d’événements par cristal de voir
ceux qui réagissent mal.
3. CALIBRATION DU BGO 51
3.3. Calibration. La calibration des cristaux se fait en joignant le moni-
toring on-line du Xénon avec l’analyse off-line des Bhabha colinéaires, c’est-
à-dire sans importante radiation initial ou final. Ainsi, l’énergie des électrons
est, par conservation, celle du faisceau, et en observant la réponse du détec-
teur, ceci permet la calibration des cristaux.
La face avant des cristaux mesure environ 2 cm sur 2 cm, alors que seule-
ment 90% de la gerbe électromagnétique produite par un électron est contenu
dans un cercle de rayon RM = 2.4 cm.
Pour estimer l’énergie réel déposée dans le BGO, nous allons considérer
les mesures de l’énergie déposée dans le cristal central3
(S1), et dans un carré
de 3x3 cristaux (S9).
Des pertes d’énergie peuvent apparaître : le support du BGO en carbone
absorbe une partie de la gerbe et si l’énergie est importante la gerbe peut
même se propager au-delà des 24 cm du BGO. Ainsi, les variables brutes S1
et S9 sous-estiment l’énergie déposée. Cette perte dépend du point d’impact
de la particule dans le cristal central. En effet, on peut s’attendre à ce qu’une
particule qui touche un cristal en plein centre dépose plus d’énergie dans le
BGO qu’une particule qui le touche entre deux cristaux.
Pour mesurer ce point d’impact, nous allons nous placer dans un système
de référence angulaire se rapportant au cristal central :
x = (φ−φ0) r0 sinθ0
y = (θ−θ0) r0
(3.9)
avec (r0, θ0,φ0) la position central de la face avant du cristal, et (θ,φ) la position
angulaire du centre de masse de la gerbe électromagnétique.
La correction n’a pas besoin d’être bi-dimentionnelle. En effet, ce qui compte
dans la perte d’énergie est la “proximité d’un bord”. Nous pourrions considérer
la distance d :
d = xk
+yk
1
k
(3.10)
avec k > 0. Mais il est intéressant de noter qu’une variable plus facile à ex-
traire des données permet aussi de déterminer la proximité d’un bord : S1/S9.
Cette variable a aussi l’avantage de ne pas nécessiter une base de données de
la position de chaque cristal. La figure 23 montre la distribution de cette va-
riable en fonction de x pour les cas où |y| < 3 mm. Vu la simplicité d’extraction
de cette variable et sa très bonne bijection avec le point d’impact, nous allons
3Le cristal central est le cristal qui a été touché de plein fouet par la particule. C’est dans
ce cristal que la déposition d’énergie est la plus importante.
52 III. LE DÉTECTEUR
l’utiliser pour la correction de la perte d’énergie. Il est vrai que l’on introduit
une ambiguïté “gauche/droite”, mais la symétrie du BGO nous le permet.
FIG. 23 – S1
S9
en fonction du point d’impact x.
Corrélation entre le point d’entrée dans le cristal et la variable S1/S9. Ces événements ont une
coordonnée |y| < 3 mm. Cette variable décrit "la proximité d’un bord."
Tout comme pour la calibration, cette correction est obtenue grâce à des
événements Bhabha colinéaires. Une acolinéarité provient nécessairement de
la radiation d’un ou plusieurs photons durs, d’où une perte d’énergie pour les
électrons. Malheureusement, le fait que les deux électrons soient colinéaire
n’est pas une preuve de l’absence de radiation. En effet, il existe des cas rares
de configurations cinématiques où les quantités de mouvement de deux pho-
tons ou plus s’annulent et laissent les électrons colinéaires. La figure 24 mon-
tre l’acolinéarité en fonction l’énergie brute moyenne des deux électrons nor-
malisée par l’énergie du faisceau. On observe clairement une perte d’énergie
en fonction de l’acolinéarité pour certains événements. Pour mesurer la cor-
rection, nous n’allons utiliser que les événements dont l’acolinéarité est plus
petite que 1◦.
La mesure de S9
Ebeam
en fonction de S1
S9
nous permet d’extraire la correction
voulue. La figure 25 nous montre que nous pouvons approximer cette dépen-
dance de façon linéaire :
S9
Ebeam
= β+α·
S1
S9
(3.11)
3. CALIBRATION DU BGO 53
FIG. 24 – Acolinéarité entre les électrons.
Relation entre l’acolinéarité des deux électrons et la somme de leur énergie brute. A cause des
radiations initiales ou finales, une partie de l’énergie peut être prise par les photons. Comme
nous voulons comprendre la perte d’énergie dans le BGO, il faut tenir compte de cette effet. On
observe que cette effet peut être réduit en imposant une acolinéarité inférieure à 1◦.
L’énergie corrigée Scor
9 est donc
Scor
9 =
S9
β+α· S1
S9
(3.12)
avec à priori un jeu d’α et et β pour chaque cristal.
Nous ne pouvons pas directement utiliser la fonction (3.11) sur les distri-
butions pour extraire ces paramètres, car il faut tenir compte de la fonction de
résolution du détecteur et de la fonction de la radiation restante des photons.
Ces deux fonctions peuvent être approximées par la fonction Crystal Ball line
shape4
:
f(Em) =



H ·exp −(Et−Em)2
2σ2 si Em > Et −aσ
H · n
a
n
·
exp −a2
2
(Et−Em
σ +n
a −a)
n si Em < Et −aσ
(3.13)
avec
Et = β+α·
S1
S9
(3.14)
4Cette fonction a été développée par l’expérience Crystal Ball pour correspondre à la
réponde de cristaux de NaI.
54 III. LE DÉTECTEUR
FIG. 25 – Fonction de correction
Corrélation entre l’énergie normalisée mesurée dans le BGO (S9/Ebeam) et la “mesure de proxi-
mité d’un bord” S1/S9. On observe une dépendance linéaire convoluée par la fonction de réso-
lution et la fonction de radiation.
Et est l’espérance de l’énergie normalisée (par l’énergie du faisceau) de la par-
ticule, Em est la mesure de l’énergie normalisée et a est le nombre de σ en
dessous de Et où nous passons d’un mode Gaussien avec la résolution du dé-
tecteur σ à un mode radiatif décrit par la variable n. Cette fonction décrit ad-
mirablement bien la réponse en énergie du BGO, comme le montre la figure
26.
Il est important de noter que bien que nous soyons en unité d’énergie nor-
malisée, Et ne vaut pas 1, à cause de pertes d’énergie dans le détecteur. Ainsi,
cette analyse permet non seulement d’obtenir la perte relative d’énergie en
fonction du point d’impact, mais aussi la perte absolue du détecteur.
3. CALIBRATION DU BGO 55
EBGO/E
 
beam
¡
- Données
1
10
10 2
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1
47.44 / 77
H 479.5 12.61
Et
¢
0.9977 0.3408E-03
σ 0.1021E-01 0.4219E-03
n 1.949 0.1088
a 0.9101 0.6372E-01
EBGO/E
 
beam
¡
- Monte Carlo
1
10
10 2
10 3
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1
81.51 / 82
H 1187. 21.53
Et
¢
0.9995 0.2788E-03
σ 0.1097E-01 0.9032E-03
n 2.886 0.2227
a 0.7936 0.1092
FIG. 26 – Énergie déposée dans le BGO et la fonction Crystal Ball line shape
L’énergie déposée dans le BGO normalisée par l’énergie du faisceau est comparée pour les
données et le Monte Carlo à
√
s = 196 GeV dans le barrel. Un fit de la fonction Crystal Ball
line shape montre que la résolution dans les deux cas est compatible et vaut environ 1%. L’offset
de 2o/oo est comparable à l’erreur sur l’énergie du faisceau qui est de 3o/oo.
CHAPITRE IV
La méthode d’analyse
1. Données et Simulations
Le travail de cette thèse porte sur les données accumulées par l’expérience
L3 de 1998 à 2000, ce qui correspond à des énergies dans le centre de masse
allant de 189 GeV à 210 GeV. Les plages d’énergie considérées et leur lumino-
sité sont données dans le tableau 5.
A chaque plage d’énergie, un ensemble complet de simulations du signal
et du bruit de fond a été nécessaires. Ainsi, pas moins de 13 simulations de
canaux de physiques différents pour 8 points d’énergie ont été nécessaire. Ceci
a demandé une grande rigueur de “book keeping”. Heureusement, un système
de scripts semi-automatiques a grandement simplifié le travail, ce qui peut
être apprécié en regardant la complexité de certains tableaux donnés dans
l’annexe.
Énergie Inférieure Supérieure L
(GeV) (GeV) (GeV) (pb−1)
188.6 188.0 189.5 156.40
191.6 190.0 192.5 29.7
195.6 195.0 196.5 83.7
199.5 198.5 200.5 83.5
201.8 201.0 203.5 39.1
205.2 203.5 205.8 75.9
206.7 205.8 207.4 130.4
208.2 207.4 210.0 8.7
TAB. 5 – Plages d’énergie et luminosité correspondante
57
58 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE
2. Sélection
Comparé à d’autres canaux, la diffusion Bhabha est aisée à sélectionner.
En effet, un nombre réduit de coupures permet de sélectionner la quasi to-
talité des événements Bhabha (environ 98% à grand angle1
), en ne laissant
passer que peu de bruit de fond (environ 4% à grand angle).
Dans la description de cette analyse, un électron (en italique) désignera
une particule chargée donnant un signal électromagnétique dans le BGO. Il
pourra désigner soit un électron, soit un positron. Ainsi, par exemple, la dif-
fusion Bhabha produit deux électrons, bien qu’il s’agisse en fait d’une paire
électron-positron.
Pour optimiser cette sélection, il faut tenir compte de son efficacité, du
bruit de fond et des erreurs systématiques. Ces trois grandeurs sont dépen-
dantes du jeu de coupures, ainsi que de la région angulaire considérée.
L’efficacité est la fraction d’événements sélectionnés par rapport au nombre
total d’événements :
ε =
N(Bhabha|Bhabha)
N(−|Bhabha)
(4.1)
avec N(X|Y), le nombre d’événements générés du type ’Y’ et sélectionnés comme
étant du type ’X’. Le ’−’ indique “tous les canaux”, c’est-à-dire signal et bruit
de fond.
Le bruit de fond est la fraction d’événements provenant du bruit de fond
sélectionnés comme des Bhabha par rapport au nombre total d’événements
sélectionnés :
bf =
N(Bhabha|Bruit de fond)
N(Bhabha|−)
(4.2)
A la place du bruit de fond, nous pourrions considérer la pureté du signal,
π, qui se trouve être 1 − bf. En effet, il s’agit de la fraction d’événements sé-
lectionnés comme des Bhabha et étant réellement des Bhabha par rapport au
nombre total d’événements sélectionnés comme des Bhabha.
Pour optimiser la sélection sur deux critères (une grande efficacité et un
petit bruit de fond), il faut définir la fonction à optimiser. Nous allons maxi-
miser la qualité Q, le produit géométrique de l’efficacité et de la pureté :
Q =
√
επ = ε(1−bf) (4.3)
On voit en effet qu’en maximisant Q l’efficacité est maximisée et que le
bruit de fond est minimisé.
1c’est-à-dire où l’électron et le position ont été produit entre 44◦et 136◦
2. SÉLECTION 59
Il est important de noter que le jeu de coupures ne doit pas seulement
maximiser la qualité Q, mais il doit aussi minimiser l’erreur totale qui com-
prend l’erreur statistique et les erreurs systématiques. Certaines erreurs sys-
tématiques dépendent de la sélection. Pour estimer ces erreurs, nous allons
les estimer grâce à la méthode de la variation des coupures de sélection.
2.1. Variation des coupures de sélection. Lors d’une sélection, les cou-
pures sont très arbitraires. Rien n’empêche d’appliquer une coupure un peu
plus ou un peu moins sévèrement. C’est pourquoi il faut s’assurer qu’une va-
riation du jeu de coupure ne modifie pas la mesure finale plus que ne le per-
mettent les fluctuations statistiques provenant du changement de sélection.
Pour mieux comprendre ce principe, nous allons considérer des mesures
m, obtenues par des coupures c sur la variable x. La coupure choisie c0 donne
N0 événements dont la mesure est m0. Une autre coupure, disons plus lâche,
ci donne Ni événements et une nouvelle mesure mi. m0 et mi sont deux esti-
mateurs de la même observable. Ils sont corrélés, car l’échantillon donnant
lieu à la mesure mi est composé de l’échantillon de m0 et de Ni − N0 événe-
ments supplémentaires. Si la coupure ci avait été plus sévère que la coupure
c0, nous aurions eu N0 −Ni événement supplémentaire pour la mesure m0. La
démonstration étant la même, nous allons rester dans le cas où Ni > N0. Ainsi,
le passage de la coupure c0 à ci a induit Ni −N0 événements supplémentaires.
L’erreur statistique du passage de m0 à mi n’est pas triviale. En effet, nous ne
sommes intéressés que par l’erreur venant de la variation statistique de la
mesure m et pas de son erreur statistique totale.
Considérons le cas où Ni = N0 + A. C’est-à-dire, après avoir fait la mesure
m0, nous ajoutons A événements. Quels sont les écarts statistiques maximaux
permis pour rester à une variation d’un écart type (1σ) ? En pondérant, les
deux mesures extrêmes permises valent :
mi =
N0
N0 +A
m0 +
A
N0 +A
m0 ±
m0
√
A
= m0
N0 +A±
√
A
N0 +A
= m0 1±
√
A
N0 +A
(4.4)
Ainsi, toute mesure mi comprise dans l’intervalle m0 1−
√
A
N0+A ;m0 1+
√
A
N0+A
peut être expliquée par une fluctuation statistique à moins d’un écart type.
60 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE
La fluctuation statistique permise à 1σ est donc :
δ(mi)
m0
=
√
A
N0 +A
(4.5)
En particulier, nous obtenons :
δ(mi)
m0
= 0 si A = 0
δ(mi)
m0
=
1
√
A
si A >> 0
(4.6)
Ce qui correspond à ce que l’on pouvait s’attendre dans les limites sans
événements additionnels et d’un nombre infini d’événements additionnels.
La procédure pour estimer l’erreur systématique due à une variation de
coupures est :
(1) Définir le domaine sur lequel nous faisons varier la coupure c (ce qui
restera toujours assez arbitraire).
(2) Calculer tous les mi
m0
et δ(mi)
(3) Trouver la coupure cj qui maximise :
mj
m0
−1
δ(mj)
(4) Calculer l’équilibre à 1σ pour la valeur de l’erreur systématique s :
mj
m0
−1
δ2(mj)+s2
= 1 (4.7)
L’erreur systématique s augmente l’erreur statistique due aux fluctua-
tions de telle sorte que la variation des mesures m reste compatible à 1σ.
Ainsi, lorsque les erreurs statistiques sont grandes et que la variation simu-
lation/donnée est petite, l’erreur systématique est négligeable.
Comme la probabilité d’une fluctuation statistique au delà de 1σ est de 1
3,
nous pouvons augmenter le 1 de la partie droite de l’équation (4.7) à 2, ou plus.
Ceci aura pour effet de diminuer l’erreur systématique et aussi de réduire le
risque d’attribuer une erreur systématique à une fluctuation statistique.
L’avantage d’une telle méthode est la relative objectivité de l’estimation
de l’erreur systématique pour toutes les coupures. En effet, l’usage veut que
les erreurs systématiques soient établies en jugeant au nez la variation des
mi
m0
avec les erreurs δ(mi). Ainsi, une coupure peut souffrir d’une plus forte
estimation qu’une autre coupure. La méthode décrite ci-dessus, bien qu’encore
imparfaite, permet à chaque coupure d’être traité de façon égale.
2. SÉLECTION 61
2.2. Cinématique. Dans les processus e+e− → X, le système le plus sim-
ple que l’on peut avoir pour X est un système à 2 corps. En effet, il n’existe
pas de particule stable qui puisse être crée au repos par deux électrons. Ainsi,
pour tous les canaux au LEP, aucune particule ne peut avoir une énergie su-
périeure à Ebeam, l’énergie du faisceau. On s’attend ainsi, pour les événements
Bhabha, à voir deux électrons très énergétiques.
A cause des radiations, les électrons peuvent perdre une partie de leur
énergie en émettant des photons. De plus, des imperfections au niveau du dé-
tecteur (essentiellement au bord des cristaux de BGO) peuvent entraîner une
détérioration importante du signal. Pour diminuer l’impact de ces problèmes,
nous allons introduire une coupure asymétrique sur les énergies des deux
électrons. Nous allons considérer l’énergie de l’électron le plus énergétique,
E1, ainsi que l’énergie de l’autre électron, E2. Ainsi, nous pouvons conserver
des événements où l’un des deux électrons a perdu une grande partie de son
énergie, par exemple dans le support du BGO.
Comme il s’agit d’électron, la quasi totalité de leur énergie sera dépo-
sée dans le calorimètre électromagnétique. Malheureusement, la production
de deux photons (e+e− → γγ), ainsi que la diffusion Compton (eγ(e) → eγ(e))
peuvent elles aussi laisser une énergie Ebeam dans le BGO. Il convient alors de
vérifier que nous avons bien deux particules chargées ayant laissé une trace
dans la TEC.
En résumé, la sélection Bhabha revient à :
– trouver au moins 2 signaux électromagnétique dans le BGO,
– que le plus énergétique (E1) soit “assez” énergétique,
– que le 2e plus énergétique (E2) soit “raisonnablement” énergétique,
– et que la TEC ait enregistré un signal au passage des deux électrons.
La quantification du “assez” et “raisonnable” est décrit dans les paragraphes
suivants.
Lorsque l’on regarde des électrons dans différentes régions angulaires, le
rapport du signal par rapport au bruit de fond et la géométrie du détecteur
font que la sélection optimal Bhabha doit être différente. En effet, le canal t
de la diffusion Bhabha fait qu’à bas angle, il ne reste presque plus de bruit
de fond. Heureusement, car à bas angle, la TEC n’a plus suffisamment de fils
pour différencier un électron d’un photon.
2.3. Bruit de fond. Il existe quelques canaux physiques qui peuvent en-
core détériorer la pureté de la sélection. Le tableau 6 donne les nombres d’évé-
nements attendus pour 3 énergies représentatives.
62 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE
Ebeam 189 GeV 196 GeV 206 GeV Générateur Monte-Carlo
L(pb−1) 156.4 83.7 130.4
e+e− → τ+τ−(γ) 126.0 60.0 86.2 KORALZ 4.04
e+e− → W+W− 17.5 9.7 14.7 KORALW 1.513
e+e− → hadrons(γ) 8.2 4.8 4.7 PYTHIA 5.722
e+e− → Ze+e− 5.8 3.3 4.7 PYTHIA 5.722
e+e− → (e+e−)e+e− 8.0 2.6 2.8 DIAG36 2.06/01
e+e− → eγ(e) 3.3 1.1 2.1 TEEGG 7.1/00
e+e− → ZZ 1.6 1.0 1.6 PYTHIA 5.722
e+e− → (e+e−)τ+τ− 1.4 0.5 0.7 DIAG36 2.06/01
e+e− → γγ(γ) 0.5 0.2 0.4 GGG 2.03/01
e+e− → µ+µ−(γ) 0.1 - 0.3 KORALZ 4.04
e+e− → (e+e−)µ+µ− 1.8 0.1 - DIAG36 2.06/01
e+e− → (e+e−)qq - - - DIAG36 2.06/01
e+e− → e+e−(γ) 3795.6 1856.9 2470.4 BHWIDE 1.03/01
TAB. 6 – Nombre attendu d’événements pour quelques énergies
Nombre attendu d’événements de tous les canaux de physiques considérés. Sont aussi présentés
les différents générateurs de physique ainsi que leur version utilisée en 2001.
Le bruit de fond le plus important est la production d’une paire de τ (e+e− →
τ+τ−(γ)). En effet, dans le cas où les τ se désintègrent en électrons, il est
presque impossible de différencier l’événement d’une vraie diffusion Bhabha.
Comme ces événements τ sont obligatoirement accompagnés de neutrino qui
emportent une partie de l’énergie et de la quantité de mouvement, ces événe-
ments sont acoplanaires et de plus faible énergie que les Bhabha.
Le deuxième canal le plus important est la production d’une paire de boson
W. Lorsque un W se désintègre en électron, W → eν, ils peuvent ressembler à
des Bhabha radiatifs.
Le reste des canaux est donné à titre indicatif. On en tient compte dans les
mesures, mais ils n’ont pas l’importance des deux premiers canaux.
2.4. Sélection dans le barrel. A grand angle (θ > 44◦), dans le barrel, la
sélection des événements se fait en demandant que l’électron le plus énergé-
tique ait au moins 50% de l’énergie du faisceau, que le 2e électron ait au moins
20 GeV, que les deux électrons aient touché au moins 20% des fils possibles de
la TEC. Le tableau 7 reprend toutes ces coupures.
Les figures 27 et 28 montrent l’effet des coupures. Les graphiques étant lo-
garithmiques, on remarque qu’il ne reste presque plus de bruit de fond. Il est
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Patrick Deglon PhD Thesis - Bhabha Scattering at L3 experiment at CERN

  • 1. UNIVERSITE DE GENEVE Département de Physique Nucléaire et Corpusculaire FACULTE DES SCIENCES Professeur Pierre Extermann Etude de la diffusion Bhabha avec le détecteur L3 au LEP THESE présentée à la Faculté des Sciences de l’Université de Genève pour obtenir le grade de Docteur ès Sciences, mention Physique par Patrick Déglon de Curtilles (Vaud) GENÈVE 2002
  • 2.
  • 3. 3 Remarques pour les jurés Le présent document se trouve sur AFS à l’adresse : /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/these.pdf Une version PDF des références se trouvent dans le répertoire AFS : /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Bibliography Les calculs Mathematica se trouvent dans les fichiers : /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/bhabha.nb /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/size.nb
  • 4.
  • 5. Table des matières Chapitre I. La nature de l’univers 7 1. Histoire de la physique des particules 7 2. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard 8 Chapitre II. La diffusion Bhabha 17 1. Section efficace de Born 18 2. Corrections radiatives virtuelles 22 3. Radiations dans l’état initial ou final 27 4. Monte Carlo BHWIDE 29 Chapitre III. Le détecteur 35 1. Le complexe d’accélérateurs du CERN 35 2. L’expérience L3 37 3. Calibration du BGO 48 Chapitre IV. La méthode d’analyse 57 1. Données et Simulations 57 2. Sélection 58 3. Échantillons de données 73 4. Ajustement de la simulation 73 5. Sections efficaces 74 6. Erreurs systématiques 81 Chapitre V. Les résultats et leurs interprétations 85 1. Section efficace dans le barrel 85 2. Asymétrie 86 3. Section efficace différentielle 87 4. Interprétation dans le cadre du Modèle Standard 89 5. Interprétation en terme de nouveaux modèles 93 Conclusion 103 Annexe A : Section efficace 105 Annexe B : Asymétrie 113 5
  • 6. 6 . TABLE DES MATIÈRES Annexe C : Section efficace différentielle 127 Annexe D : Calculs Mathematica 143 1. Initialisation du système 143 2. Diagrammes de Feynman 143 3. Amplitudes invariantes carrées 144 4. Changement de variables et forme finale 145 Table des figures 149 Liste des tableaux 153 Bibliographie 155
  • 7. CHAPITRE I La nature de l’univers La curiosité est sans nul doute le trait de caractère qui a le plus fait évoluer l’être humain. A la recherche de nourriture, l’homme a agrandi son territoire. A la recherche de nouvelles richesses, il a exploré la terre entière. De nos jours, l’humanité continue l’exploration de son environnement. Tourné d’un coté vers l’infiniment grand où des télescopes scrutent les confins de l’univers pour découvrir d’où nous venons, et de l’autre, vers l’infiniment petit, nous, les physiciens des particules, “cassons” la matière pour découvrir les briques fondamentales de l’univers. 1. Histoire de la physique des particules Les origines de la physique des particules sont assez anciennes. Les phi- losophes grecs ont inventé au Ve siècle avant J.C. le concept d’a-tomos (en français atome), qui signifie insécable. Ce concept stipule que le monde qui nous entoure est constitué de briques fondamentales insécables, que l’on ne peut casser en deux. Si on brise un caillou en morceaux de plus en plus petits, on arrive à des grains de sable. La question est de savoir si l’on peut continuer indéfiniment à briser des morceaux de caillou de plus en plus petits, ou si l’on va tomber sur l’une des briques fondamentales et insécables de l’univers. Comme il était impossible de vérifier ce concept de manière expérimentale, il est tombé dans l’oubli pour faire place à la théorie des quatre éléments d’Empédocle : l’air, l’eau, la terre et le feu. La nature était basée uniquement sur 4 éléments. Au cours des siècles, l’alchimie, puis la chimie, ont remplacé cette théo- rie pour tenir compte de la découverte de nouveaux alliages et éléments chi- miques. En 1869, le chimiste russe Dimitri Mendeleïev a inventé un tableau qui a permis de classer tous les éléments chimiques en les regroupant par propriété chimique et en les ordonnant par masse atomique. En 1897 Thompson découvre l’électron et en 1912 Rutherford découvre le noyau. Rutherford conçoit un modèle de l’atome qui ressemble au système planétaire : des électrons chargés négativement tournent autour d’un noyau 7
  • 8. 8 I. LA NATURE DE L’UNIVERS central dont on découvrira par la suite qu’il est composé de nucléons chargés positivement (les protons) et sans charge (les neutrons). L’apparition des premiers détecteurs dans le milieu du XXe siècle a permis d’accélérer la course à l’infiniment petit. Ces détecteurs qui sont capables de détecter une particule ou même un quanta d’énergie vont permettre d’étudier les rayons cosmiques qui viennent de la stratosphère. Les rayons cosmiques sont des jets de particules provenant de l’impact d’une particule très énergé- tique sur l’atmosphère. Avec l’apparition des accélérateurs l’homme a été capable de créer ces par- ticules en laboratoire. La technologie avançant, des particules de plus en plus massives ont pu être créées. En 1967, Gell-Mann se rend compte que l’on peut classer ces particules par groupes de caractéristiques. Ce classement semble venir d’une théorie plus profonde. Il invente la notion de quark, générateur d’un groupe bien particu- lier. Chaque élément de ce groupe est composé de deux ou trois quarks. Étant donné des caractéristiques bien définies pour les quarks, chaque élément de ce groupe a pu être identifié à une des particules hadroniques observées. A la même époque, les expériences de diffusions profondes sur des protons ont mis en évidence la présence de sous-particules que l’on a appelé partons. Il a suffit de peu de temps pour associer à ces “partons” expérimentaux les “quarks” théoriques. Pour décrire cette physique, où la mécanique quantique rejoint la rela- tivité restreinte, il a été nécessaire de développer la théorie quantique des champs. Dans le cadre de cette théorie, un modèle que nous appelons le Mo- dèle Standard permet une relative bonne description de cette physique. Mal- heureusement, ce modèle ne nous donne pas la liste des particules existantes, ni leur masse. Il faut encore une part de phénoménologie pour pouvoir décrire la nature. Nous allons maintenant nous attarder sur ce modèle pour décrire ses dif- férentes morceaux. 2. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard Lorsqu’un système physique évolue, le passage d’un état à l’autre se fait en suivant le principe de moindre action. C’est-à-dire que de tous les moyens pour passer d’un état à l’autre, la nature semble choisir le moyen qui minimise l’action du transfert. L’action peut s’écrire de la forme suivante : S = dt L x(t), ˙x(t),t (1.1)
  • 9. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 9 avec L le Lagrangien qui dépend des variables du système (pour un cas clas- sique : les positions x et les vitesses ˙x au temps t). La minimisation de l’action implique l’équation d’Euler-Lagrange : ∂L ∂x − d dt ∂L ∂˙x = 0 (1.2) La résolution de cette équation pour toutes les variables du système per- met d’obtenir les équations différentielles du mouvement et ainsi de connaître son évolution dans le temps. Dans un monde quantique, une particule n’est plus un point x, mais un champ φ(x) (dans l’espace-temps x) que l’on peut identifier à l’amplitude de probabilité de la trouver en ce point. Le Lagrangien devient donc local et on peut identifier le Lagrangien classique à : L = d3 xL φ(x),∂µφ(x) (1.3) Le Lagrangien L ne dépend plus des positions et des vitesses dans l’espace- temps, mais de la valeur du champ et de ses dérivées en tout point de l’espace- temps. Ainsi, l’action devient symétrique dans toutes les dimensions de l’espace- temps : S = d4 xL φ,∂µφ (1.4) A ce jour, la meilleur description de la physique des particules est le Mo- dèle Standard (MS). Il s’agit essentiellement du Lagrangien qui, dans le cadre de la théorique quantique des champs, permet toutes nos prédictions. Ce La- grangien étant complexe, nous allons le construire étape par étape. 2.1. Les fermions. Dans la nature, la matière semble être composée uni- quement de fermions. Les fermions les plus élémentaires (les briques de la matière) sont des particules de spin 1/2 qui sont décrites par le Lagrangien : L = 1 2 ψ iγµ ∂µ −m ψ (1.5) avec ψ le champ du fermion, ψ le champ de l’anti-fermion, γµ les matrices 4x4 de Dirac et m la masse du fermion. La liste (phénoménologique) des fermions est donnée dans le tableau 1. On constate de belles symétries : matière et anti-matière, trois générations de particules, 2 leptons et 2 quarks par génération, une différence de charge de ±1 entre les leptons et les quarks d’une même génération, etc. La seule asy- métrie semble concerner la masse des particules, bien que la masse augmente avec les générations. La question de la masse est encore l’une des dernières grandes énigmes du MS. Pourquoi les particules ont de la masse ? Comment
  • 10. 10 I. LA NATURE DE L’UNIVERS Charge électrique −1 +1 0 0 +2/3 −2/3 −1/3 +1/3 1re génération e− e+ νe νe u u d d 511 keV < 15 eV 1.5−5 MeV 3−9 MeV 2e génération µ− µ+ νµ νµ c c s s 105.7 MeV < 170 keV 1.1−1.4 GeV 60−170 MeV 3e génération τ− τ+ ντ ντ t t b b 1.77 GeV < 18 MeV 169−179 GeV 4.1−4.4 GeV TAB. 1 – Liste et caractéristiques des fermions Dans ce tableau, sont présents tous les fermions élémentaires connus. Les symétries sont frap- pantes : trois générations identiques, si ce n’est une augmentation de la masse avec les généra- tions, chaque particule a son antiparticule, 2 leptons et 2 quarks dans chaque générations, une différence de 1 dans la charge entre les 2 leptons ou les 2 quarks dans la même génération. est régie la hiérarchie des masses des différentes générations ? La question est ouverte. Nous obtenons comme premier morceau pour notre Lagrangien du MS : Lfermions = ∑ f 1 2 ψf iγµ ∂µ −m ψf (1.6) avec la somme sur tous les fermions f. 2.2. Invariance de jauge locale et les bosons. Supposons que l’on veuille autoriser une invariance de jauge locale à notre système, c’est-à-dire que le Lagrangien soit invariant sous le changement : ψ → eigA αA(x)TA ψ, (1.7) avec TA les matrices génératrices du groupe d’invariance, αA(x) des para- mètres locaux du groupe et gA d’autres paramètres, qui eux sont constants, que l’on appellera charges par la suite. L’indice A permet d’avoir plusieurs générateurs TA. Pour permettre ces invariances, il convient de modifier le Lagrangien de la manière suivante : L = 1 2 ψ iγµ ∂µ −m−igA AA µ TA ψ (1.8) avec AA µ un champ qui satisfait lors de sa transformation de jauge locale : AA µ (x) → AA µ (x)+∂µαA (x) (1.9) Ainsi on peut changer la phase d’un fermion dans différents points de l’espace-temps par l’adjonction dans le système de nouveaux champs AA µ dont leur transformation provient d’un potentiel αA qui effectue ces changements.
  • 11. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 11 Ce champ correspond à ce que l’on appelle un boson de jauge, dont le spin est entier et qui est régi par le Lagrangien : Lbosons = FµνFµν (1.10) avec Fµν = ∂µAν −∂νAµ. Cela revient à dire, que les changements d’état des fermions correspondent à des interactions de ceux-ci avec des bosons. Ces interactions au niveau quantique correspondent aux forces dans notre monde macroscopique. Par exemple, les forces électriques et magnétiques que l’on rencontre dans la vie de tous les jours ne sont rien d’autres que des échanges de bosons (des pho- tons) entre des fermions (les électrons et les protons des atomes). Une manière élégante d’introduire ces nouveaux termes dans le Lagran- gien (1.6) est de les introduire dans la définition de la dérivée Dµ. On parle alors de dérivées covariantes : Dµ = ∂µ −igA AµTA (1.11) Notre Lagrangien fermionique du MS devient Lfermions = ∑ f 1 2 ψf iγµ Dµ −m ψf (1.12) Chaque invariance de jauge locale donne lieu à une série de bosons qui correspondent à une force dans la nature. La liste des invariances, de leurs bosons et leur force est donnée dans le tableau 2. Force Générateurs Symétrie Bosons Électromagnétique TA = Y 2 U(1) photon Faible TA = 1 2σA A = 1,2,3 SU(2)L Z, W± Forte TA = 1 2λA A = 1,...,8 SU(3)C 8 gluons TAB. 2 – Invariances du MS Ce tableau résume les symétries de jauge donnant lieu aux 3 forces du MS. Dans le cas de l’électromagnétisme, la symétrie du Lagrangien dans le changement de phase donne lieu au groupe U(1) dont le générateur est associé au photon. La force faible provient de la symétrie SU(2)L, dont les trois générateurs σA (matrices 2 × 2 de Pauli) donnent lieu aux trois bosons faibles Z,W+ et W−. La force forte provient de la symétrie SU(3)C, dont les 8 générateurs λA (matrices 3×3 de Gell-Mann) vont donner lieu aux 8 gluons.
  • 12. 12 I. LA NATURE DE L’UNIVERS 2.3. Le modèle de Glashow-Weinberg-Salam - GWS. La force électro- magnétique (U(1)) et la force faible (SU(2)L) sont les descendants d’une même force : la force électrofaible (U(1)Y ⊗SU(2)L). Il en reste des traces sous la forme d’un mélange des particules. En effet, les médiateurs de la force électrofaible sont : U(1)Y Bµ SU(2)L W1 µ , W2 µ et W3 µ L’univers, en refroidissant, a séparé en deux la force électrofaible, laissant la composition suivante au moment du gèle : Aµ = cosθW Bµ +sinθW W3 µ Zµ = sinθW Bµ −cosθW W3 µ W± µ = 1 √ 2 W1 µ iW2 µ (1.13) Il reste malgré tout un petit détails gênant. En effet, le Lagrangien (1.10) ne peut pas contenir de terme de masse 1 2m2AµAµ. En effet, ce terme briserait l’invariance de jauge locale ! Cela ne nous gêne pas dans le cas de la force électromagnétique car le photon est (jusqu’à preuve du contraire) sans masse. Malheureusement, les masses des bosons de la force faible sont loin d’être nulles. En effet, la mesure de leur masse est actuellement1 : mZ = 91.1876±0.0021 GeV mW = 80.422±0.047 GeV Il faut donc trouver un moyen d’introduire les termes de masse des bosons de jauge dans le Lagrangien sans briser l’invariance de jauge : Lmasse = 1 2 m2 ZZµZµ + 1 2 m2 WW± µ W±µ (1.14) Ce problème peut être résolu grâce au mécanisme de Higgs. 2.4. Le mécanisme de Higgs. Le mécanisme de Higgs permet de garder l’invariance de jauge locale tout en autorisant les bosons à avoir une masse. Pour ce faire, il est nécessaire d’introduire deux nouveaux champs complexes (qu’on appelle champs de Higgs) sous la forme d’un doublet : Φ = φ1 φ2 . (1.15) Ces champs étant des scalaires sont décrits par le Lagrangien : LHiggs = (Dµ Φ)† DµΦ −V Φ† Φ (1.16) 1The Review of Particle Physics, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15,1 2000.
  • 13. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 13 avec : Dµ = ∂µ −igTaWa µ −ig Y 2 Bµ la dérivée covariante, et V Φ† Φ = −µ2 Φ† Φ+ λ 2 Φ† Φ 2 le potentiel de Higgs. (1.17) Dans ces équations, µ2 et λ sont deux paramètres libres (avec la contrainte que λ > 0), et a est l’indice des 3 bosons de l’interaction faible. Pour la partie U(1)Y , nous avons la constante de couplage g , le générateur de l’invariance de jauge Y 2 et Bµ le champ de jauge. Pour la partie SU(2)L, nous avons la constante de couplage g, le générateur de l’invariance de jauge Ta et Wa µ les champs de jauge. Le potentiel de Higgs V Φ†Φ est symétrique au point correspondant à des bosons de masse nulle. En choisissant les paramètres µ > 0 et λ > 0 (tous les deux réels) (voir figure 1), ce potentiel a un minimum à : |Φ0|2 = µ2 λ ≡ v2 2 . (1.18) Φ2 Φ1 V(   ΦΦ+ ) FIG. 1 – Potentiel de Higgs Ce graphique représente la forme du potentiel de Higgs Φ. Il est symétrique autour du point (0,0), mais les points d’équilibre se trouvent dans le creux de la fonction. Le point de chute de la nature semble avoir été Φ = ( v√ 2 ,0). Ce point permet de donner une masse aux bosons Z et W±, tout en laissant le photon sans masse. Dès lors, un état stable, qui est un état où le potentiel est minimum, brise spontanément la symétrie. Toute la question maintenant est de savoir quelle position du minimum a choisi la nature. En admettant que la nature ait choisi
  • 14. 14 I. LA NATURE DE L’UNIVERS le point Φ0 = 1√ 2 v 0 (figure 1), l’interaction des champs de Higgs avec les bosons de jauge deviennent : −igTaWa µ Φ0 −ig Y 2 BµΦ0 2 = 1 8 v2 g2 W1 µ 2 + W2 µ 2 + 1 8 v2 W3 µ Bµ g2 −gg −gg g 2 W3 µ Bµ (1.19) En identifiant l’équation (1.19) avec les termes de masse de l’équation (1.14), on trouve : W± µ = 1 √ 2 W1 µ iW2 µ Zµ = gW3 µ −g Bµ g 2 +g2 Aµ = g W3 µ −gBµ g 2 +g2 (1.20) avec les masses : mA = 0 mW = gv 2 mZ = v 2 g 2 +g2 (1.21) En identifiant les équations (1.13) aux équations (1.20), il vient la relation suivante : cosθW = mW mZ (1.22) Cette construction permet une masse nulle pour le photon, mais s’il s’avé- rait que le photon ait une masse non nulle, un autre choix de paramètres pour le doublet de Higgs Φ0 permettrait de donner une masse au photon. On notera que le boson de Higgs n’a pas encore été découvert, même si des indications laissent à penser qu’il est possible que quelques Higgs aillent été produits au LEP, mais pas en nombre suffisant pour une découverte. Les recherches au LEP donnent comme limite pour sa masse2 à 95% de niveau de confiance (N.C.) : 114.1 GeV < mH < 214 GeV (1.23) Ainsi, si le mécanisme de Higgs représente bien la façon dont la nature a doté les bosons W et Z d’une masse, la découverte (attendue) du boson de Higgs devrait se faire au Tevatron ou au LHC. 2La limite inférieure est le résultat de la combinaison des recherches directes des 4 expé- riences LEP. La limite supérieure provient du fit électrofaible LEPEWW Note 2001-01
  • 15. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 15 Le Lagrangien final contient encore quelques termes, mais ces termes ne concernant pas le sujet de cette thèse, la discutions sur le Lagrangien s’arrê- tera là. Au final, nous obtenons pour notre Lagrangien : LMS = ∑ f 1 2 ψf iγµ Dµ −m ψf − 1 4 FA µνFµνA − 1 4 Wa µνWµνa − 1 4 BµνBµν +(Dµ Φ)† DµΦ −V Φ† Φ (1.24)
  • 16.
  • 17. CHAPITRE II La diffusion Bhabha La diffusion élastique e+e− → e+e−(γ)est appelée diffusion Bhabha, d’après le physicien Indien Homi Bhabha qui fut le premier théoricien à se pencher sur la question. FIG. 2 – Photo de Homi J. Bhabha Homi J. Bhabha (1909-1966) a développé les premiers programmes de recherche nucléaire en Inde et a participé à des expériences sur les rayons cosmiques. Il a été le premier à effectuer les calculs théoriques sur la diffusion électron-positron. Cette diffusion peut paraître extrêmement simple, et ceci pour deux rai- sons. La première est qu’à très faible énergie, cette diffusion ne fait appel qu’à un électron, un anti-électron et un photon. L’électrodynamique quan- tique (QED) suffit à elle seule pour décrire cette diffusion. Les équations sont sans complexité majeure, et les prédictions peuvent être calculées avec une très grande précision. La deuxième raison est que les particules sortant de 17
  • 18. 18 II. LA DIFFUSION BHABHA cette diffusion sont très facilement identifiables. Les électrons déposent toute leur énergie dans les calorimètres électromagnétiques et, étant chargés, ils laissent une trace dans les trajectographes internes. Ainsi, une très bonne mesure de leur énergie, de leur quantité de mouvement et de leurs angles de diffusion est possible. Ainsi, ces signaux étant très distincts, il est difficile de confondre les électrons avec d’autres particules. Nous verrons ainsi que l’ef- ficacité de la sélection à grand angle est de ∼ 98% pour un bruit de fond de ∼ 4%. Néanmoins, les choses se compliquent dès que l’on rentre dans les détails. Tout d’abord, à plus haute énergie, l’échange d’un boson Z devient un canal de plus en plus important. Ceci rend les équations tout de suite plus com- plexes. Ensuite, certaines constantes de la théorie évoluent avec l’énergie, ce qui rend les prédictions plus difficiles. De plus, le nombre élevé d’événements que nous observons au LEP nous permet une analyse fine (1% d’erreur sta- tistique), ce qui contraste avec l’estimation de la précision de notre meilleur Monte Carlo BHWIDE qui est de 2%. Et enfin, comme cette réaction est d’une très petite multiplicité (il n’y guère que deux électrons et éventuellement un petit nombre de photons sortant de la diffusion), nous sommes très sensibles aux éventuelles problèmes du détecteur. En effet, il suffit qu’un des électrons ait été émis dans une région morte du détecteur, et c’est tout l’événement qui est perdu. Ce dernier effet rend l’analyse un peu plus compliquée, mais le revers de la médaille est que cela nous permet de tester une grande partie du détecteur : c’est un outil de recherche de calibration fantastique. Cette diffusion de la théorie électrofaible permet aussi de rechercher des indices sur la présence d’effets physiques non décrits par le Modèle Standard. On peut chercher par exemple la présence de dimensions supérieures ou une taille de l’électron. Dans les paragraphes qui suivent, nous allons nous attacher à décrire la diffusion Bhabha d’un point de vue théorique en calculant sa section efficace différentielle. 1. Section efficace de Born Au niveau d’arbre, quatre processus sont possibles : l’échange d’un photon dans la voie s (γs) et dans la voie t (γt), l’échange d’un boson Z dans la voie s (Zs) et la voie t (Zt). La figure 3 montre ces quatre diagrammes.
  • 19. 1. SECTION EFFICACE DE BORN 19 e + e − e + e − γs e + e − e + e − γt   e + e − e + e − Zs e + e − e + e − Zt   FIG. 3 – Diagramme de Feynman au niveau d’arbre pour la diffusion Bhabha Ces diagrammes de Feynman représentent les quatre processus au niveau d’arbre possible pour la diffusion e+e− → e+e−. Il peut y avoir un échange de photon dans la voie s (γs) ou dans la voie t (γt). De même un boson Z peut être échangé dans ces deux voies (Zs, Zt). Chaque objet dans ces diagrammes correspond à un terme mathématique. La notation variant d’un auteur à l’autre, je préfère donner la liste des termes que j’ai utilisé pour les calculs : électron entrant p u(p) électron sortant p u(p) positron entrant p v(p) positron sortant p v(p) γ p µ ν −igµ,ν p2 Z p µ µ −i p2−m2 Z+iΓZ mZ gµ,ν − pµ pν m2 Z γµ i √ 4παγµ Zµ −i √ 4παZ γµ rV −γ5 u, u, v et v sont des spineurs de Dirac. p est un quadri-vecteur d’énergie- impulsion. gµ,ν est le tenseur de la métrique. mZ est la masse du boson Z, et ΓZ sa largeur. Les γµ sont les matrices de Dirac. α est la constante de couplage électrofaible.
  • 20. 20 II. LA DIFFUSION BHABHA Pour alléger les notations, j’ai utilisé la définition du vertex Ze+e− avec la constante rV . Les deux manières classiques de définir ce vertex sont : Vertex Ze+ e− = i √ 4παγµ gV −gAγ5 = i √ 4πα 2 sinθW cosθW γµ cV −cAγ5 (2.1) avec cV = −1 2 + 2sin2 θW et cA = −1 2, gA,V = cA,V /2 sinθW cosθW , les constantes du courant vectoriel (V) et axial (A) du boson Z. θW est l’angle de mélange électrofaible. La notation utilisée est obtenue en posant : rV = cV cA = gV gA = 1−4sin2 θW αZ = α 16 sin2 θW cos2 θW (2.2) Grâce à ces règles, les amplitudes M de ces quatre diagrammes de Feyn- man se traduisent sous forme d’équations : M γs = i 4πα s v(p2 )γµ u(p1 ) u(p3 )γµ v(p4 ) M γt = −i 4πα t v(p2 )γµ v(p4 ) u(p3 )γµ u(p1 ) M Zs = i 4παZ s−m2 Z +iΓZ mZ v(p2 )γµ rV −γ5 u(p1 ) gµ,ν − p1 µ + p2 µ p1 ν + p2 ν m2 Z u(p3 )γν rV −γ5 v(p4 ) M Zt = −i 4παZ t −m2 Z +iΓZ mZ v(p2 )γµ rV −γ5 v(p4 ) gµ,ν − p2 µ − p4 µ p2 ν − p4 ν m2 Z u(p3 )γν rV −γ5 u(p1 ) (2.3) où p1 est le quadri-vecteur d’énergie-impulsion de l’électron entrant, p2 ce- lui du positron entrant, p3 celui de l’électron sortant et p4 celui du positron sortant. Les variables de Mandelstam correspondantes sont : s = p1 + p2 2 t = p1 − p3 2 u = p1 − p4 2 (2.4) √ s se trouve ainsi être l’énergie dans le centre de masse. Au LEP, où l’élec- tron et le positron ont la même énergie, le centre de masse de la collision se
  • 21. 1. SECTION EFFICACE DE BORN 21 trouve au repos par rapport au détecteur, et ainsi, en négligeant la masse de l’électron, nous avons : s = (2Ebeam)2 (2.5) En posant l’axe Z du système de coordonnée selon l’axe du faisceau (le coté positif coïncidant avec la direction de l’électron entrant), et en prenant θ comme l’angle polaire de diffusion de l’électron sortant, nous avons : t = −s 1−cosθ 2 u = −s 1+cosθ 2 (2.6) Pour simplifier les équations, nous allons garder les variables t et u, mais nous devons garder en tête qu’à chaque instant nous pouvons revenir à des équations en s et cosθ uniquement. L’amplitude invariante totale est : M = M γs + M γt + M Zs + M Zt (2.7) La section efficace différentielle en dΩ = d cosθdφ est dσ dΩ = M 2 64π2 s = 1 64π2 s 1 4 M M ∗ (2.8) où M 2 est l’amplitude invariante carrée moyennée sur les spins des parti- cules entrantes. Ainsi, la section efficace différentielle est composée de dix termes, corres- pondant à toutes les paires possibles des quatre canaux de diffusion (γs, γt, Zs et Zt). Par exemple : dσ dΩ γsγt = 1 256π2 s M γs M ∗ γt + M γt M ∗ γs (2.9) J’ai effectué les calculs pour obtenir les carrés des amplitudes invariantes et les termes de la section efficace différentielle avec le programme Mathematica[1] et le paquet HIP[2]. Un exemple de ces calculs se trouvent dans l’annexe à la page 143. Les termes où seul le photon intervient donnent : dσ dΩ γsγs = α2 2s t2 +u2 s2 (2.10) dσ dΩ γtγt = α2 2s s2 +u2 t2 (2.11) dσ dΩ γsγt = α2 s u2 st (2.12)
  • 22. 22 II. LA DIFFUSION BHABHA Les termes où seul le boson Z intervient donnent : dσ dΩ ZsZs = α2 2s 1−r2 V 2 t2 + 1+6r2 V +r4 V u2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 (2.13) dσ dΩ ZtZt = α2 2s 1−r2 V 2 s2 + 1+6r2 V +r4 V u2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.14) dσ dΩ ZsZt = α2 s Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z t −m2 Z 1+6r2 V +r4 V u2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.15) Les termes d’interférences entre le photon et le boson Z donnent : dσ dΩ γsZs = α2 s s−m2 Z s 1+r2 V u2 + 1−r2 V t2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 (2.16) dσ dΩ γsZt = α2 s t −m2 Z s 1+r2 V u2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.17) dσ dΩ γtZs = α2 s s−m2 Z t 1+r2 V u2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 (2.18) dσ dΩ γtZt = α2 s t −m2 Z t 1+r2 V u2 − 1−r2 V s2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.19) Pour obtenir la section efficace complète, nous devons encore tenir compte des corrections radiatives. 2. Corrections radiatives virtuelles La section efficace de Born est une première approximation. Néanmoins, des corrections virtuelles (figure 4) importantes peuvent encore être traitées de façon simple en étant englobées dans les constantes contenues dans la section efficace de Born. Après la redéfinition de ces constantes, on obtient la section efficace de Born améliorée. e + e − e + e − f + f − a) e + e − e + e − γ,Z b) e + e − e + e − Z,W Z,W c) FIG. 4 – Corrections du propagateur et du vertex Ces diagrammes de Feynman représentent trois types de corrections radiatives virtuelles : les corrections du propagateur (a), les corrections du vertex (b), et les corrections de boîte (c).
  • 23. 2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 23 2.1. Correction du propagateur photonique. A transfert d’impulsion nulle, la constante de structure fine α(0) est l’une des mesures les plus pré- cises en physique : α−1 (0) = 137.03599976(50) (2.20) Lorsque le transfert d’impulsion q augmente, le photon peut fluctuer en une paire virtuelle de particules chargées, comme le montre la figure 4a. A petit transfert d’impulsion, seule une fluctuation en une paire d’électrons est possible, mais lorsque q augmente, des fluctuations en de nouvelles particules sont possibles. Les corrections de la section efficace peuvent être absorbées dans la constante α qui devient une fonction de q2 : α(q2 ) = α(0) 1−∆α(q2) (2.21) On parle alors de “running constant”, que nous nommerons constante à évolution. L’effet de ces fluctuations donne lieu à ce que l’on appelle la pola- risation du vide. En effet, de manière classique, α peut être relié à la charge de l’électron (ge = √ 4πα). C’est ainsi qu’une variation de α correspond à une variation de la charge effective de l’électron. Un peu comme si le vide se pola- risait pour modifier le champ électromagnétique produit par cette charge. La correction ∆α peut être séparée en un terme leptonique et un terme hadronique : ∆α(q2 ) = ∆αl(q2 )+∆αh(q2 ) (2.22) La partie leptonique peut être calculée de manière perturbative[3] : ∆αl(q2 ) = α 3π ∑ l=e,µ,τ ln q2 m2 l −5/3 ∆αl(q2 = m2 Z) ∼= 0.03142 (2.23) La partie hadronique est plus difficile à obtenir à cause de la présence d’effets non-perturbatifs de la force forte. Néanmoins, elle peut être obtenue par une relation de dispersion en utilisant la réaction e+e− → hadrons(γ). Dans la région où q2 > 9 GeV2 , on peut approximer la correction par[4] : ∆αh(q2 ) = A+B ln 1+C q2 (2.24) avec A = 0.00165, B = 0.003 et C = 1.0 GeV−1 . On remarque que dans les deux cas, la correction dépend de q2 . Ainsi, que se soit dans le canal s, où q2 = s > 0, ou le canal t, où q2 = t < 0, la correction de ne dépendra que d’une variable positive (s ou |t|). La table 3 donne des valeurs de α−1(s) et ∆α(s) pour des énergies dans le centre de masse significatives. La figure 5 montre la valeur de α−1 en fonction de |q2|.
  • 24. 24 II. LA DIFFUSION BHABHA s = q2 (91.187 GeV)2 (189 GeV)2 (198 GeV)2 (210 GeV)2 ∆α(s) (%) 6.00 6.77 6.82 6.88 α−1(s) 128.81 127.75 127.69 127.60 TAB. 3 – Variation de la constante de structure fine α(q2). Ce tableau donne les valeurs de la variation ∆α ainsi que les valeurs de α−1 pour quelques √ s significatives. On peut observer un effet de l’ordre de 6% pour les énergies du LEP. Néanmoins, la variation ∆α sur la gamme d’énergie sur laquelle se base cette thèse n’est pas très grande. On passe de ∆α = 6.77% à ∆α = 6.88%. C’est pour cela que nous allons utiliser une autre approche qui consiste à utiliser aussi la voie t. En effet, comme t = − s 2 (1−cosθ), en prenant q2 = t nous pouvons accéder à une plus grande gamme de transfert d’impulsion q. 2.2. Correction du propagateur du boson Z. Le même effet peut se produire sur le boson Z. Néanmoins, il est important de noter que l’échelle d’énergie du processus dans le cas du photon est la masse de l’électron. Les énergies de collision au LEP étant beaucoup plus grandes que la masse de l’électron nous pouvons nous attendre à un effet significatif. Dans le cas du boson Z, l’échelle est sa propre masse. Or, comme l’énergie de collision est du même ordre de grandeur que la masse du boson Z, l’effet devient négligeable. Les calculs de renormalisation donnent[3, 5] : αZ = GF m2 Z 8 √ 2π ρ(q) ∼= ρ(q) 366.47 (2.25) avec GF la constante de Fermi, et ρ(q) un paramètre provenant de la renor- malisation où[5] : ρ(q) = 1+∆ρ(q) ∆ρ(q) ∼= 3GF 8π2 √ 2 m2 t ∼= 0.0100 (2.26) Ainsi, comme pour les transferts d’impulsion typique au LEP, ρ est une constante, il s’en suit que αZ est aussi une constante. Et donc, nous admet- trons qu’au LEP : αZ(q) ≡ αZ (2.27) 2.3. Correction du vertex. Une autre correction virtuelle provient du cas où un photon virtuel est échangé entre l’électron et le positron (figure 4b). Toutes ces corrections sont prises en compte lors des calculs de renorma- lisation. Elles donnent lieu à de nouvelles définitions de certaines constantes
  • 25. 2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 25 électrofaibles[5] : ΓZ → ΓZ(s) = s m2 Z ΓZ rV → rV = 1−4 sin2 θW sin2 θW → sin2 θW = sin2 θW +cos2 θW ∆ρ (2.28) Ces calculs montrent que seule la largeur de la résonance du boson Z est fonction de √ s. En tenant compte de ces changements, nous obtenons l’approximation de la section efficace de Born améliorée (IB pour Improve Born approximation). Notons que dans cette approximation, la largeur du boson Z dans son propa- gateur de la voie t a été mise à zéro. L’effet de cette largeur est négligeable dans ce canal, et cela simplifie sensiblement les équations. La forme de la section efficace que nous utiliserons pour l’analyse est : dσIB dΩ γsγs = 1 4s α(s)2 1+cos2 θ dσIB dΩ γtγt = 1 2s α(t)2 (1+cosθ)2 +4 (1−cosθ)2 dσIB dΩ γsγt = −1 2s α(s)α(t) (1+cosθ)2 1−cosθ dσIB dΩ ZsZs = 1 4 sα2 Z s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z 1+rV 2 2 1+cos2 θ +8rV 2 cosθ dσIB dΩ ZtZt = 1 8 sα2 Z t −m2 Z 2 1+rV 2 2 +4rV 2 (1+cosθ)2 +4 1−rV 2 2 dσIB dΩ ZsZt = 1 4 s s−m2 Z α2 Z s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z t −m2 Z 1+rV 2 2 +4rV 2 (1+cosθ)2 dσIB dΩ γsZs = 1 2 s−m2 Z α(s)αZ s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z rV 2 1+cos2 θ +2cosθ dσIB dΩ γsZt = 1 4 α(s)αZ t −m2 Z 1+rV 2 (1+cosθ)2 dσIB dΩ γtZs = −1 2 s−m2 Z α(t)αZ s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z 1+rV 2 (1+cosθ)2 1−cosθ dσIB dΩ γtZt = −1 2 α(t)αZ t −m2 Z 1 1−cosθ 1+rV 2 (1+cosθ)2 −4 1−rV 2 (2.29)
  • 26. 26 II. LA DIFFUSION BHABHA Cette forme est compatible avec l’article[3], mise à part un carré man- quant dans l’expression de dσIB dΩ ZsZs qui provient apparemment d’une coquille dans l’article. Il est important de noter qu’à part quelques modifications esthé- tiques, tous les calculs ont été effectués automatiquement par Mathematica. 124 126 128 130 132 134 136 138 1 10 10 2 10 3   q 1/α(q) GeV α-1 (q=0) = 137.0 α-1 (q=mZ) = 128.8 FIG. 5 – Le variation de la constante de couplage électrofaible Sur ce graphique, nous pouvons voir l’évolution de la constante de couplage électromagnétique α−1. La figure 6 nous montre la section efficace de Born améliorée intégrée entre 44◦ < θ < 136◦ en fonction de √ s. La ligne pointillée représente les termes où seul intervient l’échange d’un photon. Elle correspond à une décroissance en 1 s . Lorsque l’on y ajoute les termes dû à l’échange d’un boson Z seul, on obtient la ligne traitillée. On observe clairement le pôle du boson Z à √ s = mZ. Finalement lorsque l’on rajoute les termes d’interférence entre le photon et le Z, on obtient la ligne continue. L’interférence destructive réduit sensible- ment la section efficace à √ s > mZ. La zone ombrée correspond aux énergies sur lesquelles se base ce travail. La figure 7 donne le rapport entre la section efficace provenant de l’in- terférence γ/Z et la section efficace de Born. Sa forme à √ s = mZ provoque le déplacement du pôle. Cet effet est uniquement important pour les analyses à √ s ∼ mZ. Néanmoins, nous observons que l’effet de l’interférence se poursuit pour √ s > mZ. 2.4. Correction faible. Les diagrammes de boîtes électrofaibles tels que celui de la figure 4c peuvent donner lieu à des corrections importantes. Né- anmoins, dans le cas de la diffusion Bhabha, leur comportement n’étant pas
  • 27. 3. RADIATIONS DANS L’ÉTAT INITIAL OU FINAL 27 10 2 10 3   40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 √ ¡ s σ(pb) γ ¢ γ ¢ +Z γ ¢ +Z+γ ¢ /Z £ FIG. 6 – Section Efficace de Born en fonction de √ s Ce graphique illustre les sections efficaces au niveau d’arbre en fonction de √ s pour la région angulaire 44◦ ≤ θ ≤ 136◦. La ligne pointillée correspond à la somme des termes de la section efficace où le photon est échangé. On observe une décroissance en 1/s. La ligne traitillée cor- respond à l’addition des termes dûs à l’échange d’un boson Z. La résonance due au boson Z apparaît à √ s = mZ. La ligne continue correspond à la somme de tous les termes. La région ombrée représente le domaine d’énergies qui a été analysé dans cette thèse. résonant, ces corrections contribuent pour moins de 0.2% à la section efficace. Ces corrections sont prises en compte dans les Monte Carlo. 3. Radiations dans l’état initial ou final Les diagrammes de Feynman de la figure 8 représentent les corrections ra- diatives à l’ordre le plus bas : les radiations dans l’état initial et les radiations dans l’état final. L’émission de photons par une particule chargée est inversement propor- tionnelle à sa masse au carré. C’est pourquoi l’électron est particulièrement concerné par cet effet. Les photons rayonnés sont essentiellement émis le long de la trajectoire de l’électron. Dans le cas de la radiation dans l’état final, le seul changement concerne l’énergie et l’angle des électrons sortants. On ne s’attend pas à de grands chan- gements, car les électrons et les photons rayonnés sont émis à grand angle et peuvent être détectés facilement. Dans le cas de radiation dans l’état initial, cela pose plus de problèmes. En effet, le photon étant essentiellement émis le long de l’axe du faisceau, il ne peut pas être observé. Il sera donc perdu pour l’analyse. De plus, la
  • 28. 28 II. LA DIFFUSION BHABHA -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 60 80 100 120 140 160 180 200 220 √   s σγ/Z ¡ / σtot FIG. 7 – Interférence entre l’échange d’un photon et d’un boson Z. Ce graphique montre le rapport entre la somme des termes venant de l’interférence γ/Z et la somme de tous les termes en fonction de √ s. Sa forme à la masse du Z donne lieu à un déplacement du pic de la résonance. Au-delà de mZ, on observe une diminution de l’ordre de 40%. qui se poursuit pour de grandes valeurs de √ s. e + e − e + e − γ q 2 =s , a) e + e − e + e − γq 2 =s b) FIG. 8 – Corrections radiatives dans l’état initial ou final Ces diagrammes de Feynman représentent la radiation dans l’état initial (a) et dans l’état final (b). collision effective a lieu à une énergie √ s ≤ √ s. La section efficace finale est donc une convolution de la fonction de radiation avec la section efficace sans rayonnement initial à toutes les énergies inférieures[6] : σ(s) = σ0(s) (1−zmax)βe (1+δe)+ zmax zmin σ0(zs)G(z)dz (2.30) avec G(z) le radiateur provenant du rayonnement, les variables z = s s , zmin et zmax les limites cinématiques pour une radiation de photon, et les fonctions βe
  • 29. 4. MONTE CARLO BHWIDE 29 et δe : βe = 2α π ln s me −1 δe = 3βe 4 + 2α π π2 6 − 1 4 (2.31) Une approximation du radiateur G(z) donne[6] : G(z) = βe 1 1−z 1+βe ln(1−z) 1+δe − 1+z 2 (2.32) 10 -1 1 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z G(z) FIG. 9 – Radiateur G(z) à √ s = 198 GeV On observe que cette distribution est piquée à z → 1. Comme z = s /s, z ∼ 1 correspond aux cas où peu d’énergie a été rayonnée, laissant le système quasiment dans l’état où il était avant la radiation. Pour des énergies √ s > mZ cela donne un effet intéressant que l’on appelle “retour au Z”. La section efficace σ0(s ) ayant un pôle à mZ, ce pôle contribue de manière relativement importante à la section efficace totale. La figure 10 montre l’effet du retour au Z tel qu’il est estimé par le Monte Carlo Bhabha BHWIDE. On observe clairement un gibbosité à une acolinéa- rité1 ξ ∼ 70◦ et une énergie √ s = mZ. 4. Monte Carlo BHWIDE Pour l’analyse, nous avons besoin d’estimer la distribution angulaire des événements Bhabha diffusés. Pour cela, nous utilisons un Monte Carlo qui génère des événements et calcule la section efficace correspondant à tous ces événements. Le Monte Carlo utilisé est BHWIDE 1.03[7]. Voici ses caractéristiques données par l’un de ses auteurs[8] : 1L’acolinéarité est l’angle entre l’électron et le positron sortants.
  • 30. 30 II. LA DIFFUSION BHABHA 1 10 10 2 10 3 10 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 ξ Nombred’événements (o ) 1 10 10 2 10 3 10 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 √s’ Nombred’événements (GeV) FIG. 10 – Retour au Z Ces histogrammes remplis par une simulation Monte Carlo BHWIDE à √ s = 189 GeV montrent la distribution de l’acolinéarité ξ et de l’énergie effective √ s . On observe clairement une augmentation du signal à √ s = mZ et à ξ ∼ 75◦ due à l’effet du “retour au Z”. BHWIDE is based on the YFS exclusive exponentiation proce- dure2 , where all the IR singularities are summed-up to infinite order and cancelled out properly in the so-called YFS form factor. The remaining non-IR residuals, β (l) n , corresponding to the emis- sion of n-real photons, are calculated perturbatively up to a given order l, where l ≥ n, and (l − n) is a number of loops in the β (l) n calculation. In BHWIDE an arbitrary number n of real photons with non-zero pT are generated according to the YFS MC method of Ref3 . The non-IR residuals β (l) n are calculated up to O(α), i.e. β (1) 0 and β (1) 1 corresponding to zero-real (one-loop) and one-real (zero-loop) photons, respectively, are included. In β (1) 0 we imple- mented two libraries of the O(α) virtual EW corrections : (1) the 2D.R.Yennie, S.Frautschi and H.Suura, Ann. Phys. (NY) 13 (1961) 379. 3S.Jadach, E.Richter-Was, B.F.L. Ward and Z.Was, Comput. Phys. Commun. 70 (1992) 305.
  • 31. 4. MONTE CARLO BHWIDE 31 older one of Ref4 , which is not up to date but can be useful for some tests, and (2) the more recent one of Ref5 . When the genuine weak corrections are switched off (or numerically negligible) they are equivalent. In β (1) 0 we implemented two independent matrix elements for single-hard-photon radiation : (1) our calculation6 in terms of helicity amplitudes, and (2) the formula of CALKUL7 for the squared matrix element. We have checked that the above two representations agree numerically up to at least 6 digits on anevent-by-event basis. This constitutes a very important techni- cal cross-check of the implementation of the hard-photon matrix element in BHWIDE. The MC algorithm of BHWIDE is based on the algorithm of the program BHLUMI for SABH8 with a few important modifi- cations : (1) QED interferences between the electron and positron lines ("up-down" interferences) had to be reintroduced as they are important in LABH9 ; (2) the full YFS form factor for the 2 → 2 process, including all s−, t− and u−channels, was implemented ; (3) the exact O(α) matrix element for the full BHABHA process was included. The multiphoton radiation is generated at the low- level MC stage as for the t−channel process, while the s−channel as well as all interferences are reintroduced through appropriate MC weights. This means that the program is more efficient when the t−channel contribution is dominant, as e.g. at LEP2 ener- gies ;however, it proved to work well also at the Z peak. On notera que BHWIDE est capable de simuler un nombre arbitraire de photons radiatifs, que la renormalisation du processus est effectuée par une procédure d’exponentiation YFS exclusive, que les termes β (l) n responsables de la radiation de n photons sont calculés à l’ordre O(α), et que le terme β (1) 0 contient aussi des corrections virtuelles électrofaibles à l’ordre O(α). 4.1. Fonction de radiation. Pour finir ce chapitre, nous allons comparer la prédiction de BHWIDE à la formule analytique de la section efficace de Born améliorée. La différence provient de la radiation dans l’état initial et 4M.Böhm, A.Denner and W.Hollik, Nucl. Phys. B304 (1988) 687 5W.Beenakker et al., Nucl. Phys. B349 (1991) 323. 6S.Jadach, W.Placzek and B.F.L. Ward, Phys. Lett. B390 (1997) 298. 7F.A.Berends et al., Nucl. Phys. B206 (1982) 61. 8Small Angle BHabha scattering 9Large Angle BHabha scattering
  • 32. 32 II. LA DIFFUSION BHABHA final. En effet, nous avons : dσ d cosθ e+ e− → e+ e− (γ) = Frad · dσ d cosθ e+ e− → e+ e− (2.33) Dans le Monte Carlo BHWIDE, les événements sont générés avec radia- tion, et donc les deux électrons ne se trouvent plus (ou presque plus) dos- à-dos. Pour extraire la fonction de radiation, il convient alors de considérer un échantillon d’événements sélectionnés au moyen de l’acolinéarité ξ entre l’électron et le positron. 1 10 10 2 10 3 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 cosθ dσ/dcos   θ(pb) ξ < 10o ξ < 25o ξ < 120o IB √ ¡ s = 189 GeV 10o < θ < 170o a) 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 cosθ dσ(BHWIDE)/dσ(IB) ξ < 10o ξ < 25o ξ < 120ob) ¢ FIG. 11 – Comparaison BHWIDE et Born améliorée La prédiction de la section efficace différentielle de Born améliorée à √ s = 189 GeV est comparée à la prédiction du Monte Carlo BHWIDE pour trois coupures en acolinéarité : 120◦ (triangle), 25◦ (carré) et 10◦ (point). On passe clairement d’un rapport > 1 pour ξ < 120◦ à un rapport < 1 pour ξ < 10◦. Sur la figure 11a) se trouve la section efficace différentielle pour trois échantillons (ξ < 120◦, ξ < 25◦et ξ < 10◦), ainsi que pour la section efficace de Born améliorée. Sur la figure 11b) se trouve le rapport des sections efficaces des trois échantillons et la section efficace de Born améliorée. On observe clai- rement que pour obtenir la section efficace avec radiation où ξ < 120◦, il faut augmenter la section efficace de Born améliorée de l’ordre de +40%. Pour une
  • 33. 4. MONTE CARLO BHWIDE 33 section efficace où ξ < 120◦, cette correction est de l’ordre de −10%. Dans le cas de l’échantillon où ξ < 25◦, la correction est légèrement négative, sauf pour les grandes valeurs de cosθ. Pour l’interprétation des résultats au chapitre VI, nous aurons besoin de la fonction de radiation à ξ < 25◦. Pour l’extraire, nous allons utiliser les pré- dictions BHWIDE et la section efficace de Born améliorée : Frad (cosθ) = dσBHWIDE d cosθ (cosθ) dσIB d cosθ (cosθ) (2.34) Pour estimer cette fonction, des Monte Carlo simulés à 14 énergies √ s allant de 186.6 GeV à 208.6 GeV ont été utilisés. La figure 12 donne pour chaque bin en cosθ la moyenne et son erreur standard des 14 rapports de sections efficaces. 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 cos   θ dσ[e + e - →e + e - (γ)]/dσ[e + e - →e + e - ] σBHWIDE / σIB Fonction de rayonement FIG. 12 – Fonction de radiation à ξ < 25◦. Rapport de la section efficace différentielle prédite par le Monte Carlo BHWIDE et la section efficace différentielle de Born améliorée. Ce rapport mesure ce que nous allons appeler la fonc- tion de radiation. En ajustant un polynôme du 3e ordre à ces mesures, nous pouvons estimer la fonction de radiation : Frad (cosθ) = a1 +a2 cosθ+a3 cos2 θ+a4 cos3 θ (2.35) avec a1=0.933, a2=0.040, a3=0.094 et a4= -0.030. On remarque que nous n’avons pas retenu une dépendance en √ s. Nous verrons par la suite que cette dépen- dance semble être négligeable par rapport aux erreurs statistiques des Monte Carlo. En effet, sur la figure 13, même sans cette dépendance, nous obtenons
  • 34. 34 II. LA DIFFUSION BHABHA une compatibilité statistique. Ceci peut être expliqué par le fait que nous al- lons travailler sur des énergies √ s relativement proches. L’erreur systématique attribuée à cette fonction est l’erreur statistique des Monte Carlo utilisés pour extraire cette fonction. Cette erreur peut elle aussi être ajustée par un polynôme de 3e ordre avec les constantes b1=0.034, b2=- 0.041, b3=-0.0042 et b4=0.011. Finalement, nous obtenons la prédiction analytique IB−rad que nous uti- liserons pour l’interprétation des résultats : dσIB−rad d cosθ (s,cosθ) = Frad(cosθ)· dσIB d cosθ (s,cosθ) (2.36) Nous pouvons tester la validité de cette prédiction en la comparant à des Monte Carlo BHWIDE qui n’ont pas servi à extraire la fonction de radiation. La figure 13 donne la distribution des pulls : pull = dσIB−rad d cosθ − dσBHWIDE d cosθ δ2 BHWIDE +δ2 IB−rad (2.37) On observe que la prédiction est compatible dans les marges d’erreur statis- tiques des Monte Carlo. Le χ2 vaut 503 pour 450 degré de liberté en prenant l’erreur statistique des Monte Carlo seulement et 470 en prenant l’erreur to- tale (statistique des Monte Carlo et erreur systématique de la fonction de radiation). 0 5 10 15 20 25 30 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 53.14 / 51 Constant 16.63 1.106 Mean -0.6979E-02 0.5077E-01 Sigma 0.9652 0.4601E-01 pull FIG. 13 – Test de compatibilité entre BHWIDE et IB-rad Distribution des pulls entre la prédiction BHWIDE et la fonction IB-rad qui est le produit de la section efficace différentielle de Born améliorée et la fonction de radiation. On observe une bonne compatibilité statistique.
  • 35. CHAPITRE III Le détecteur L’expérience L3 se trouve sur le collisioneur LEP au CERN près de Ge- nève. Le LEP est un accélérateur circulaire de 26.7 km de circonférence. Le programme de physique du LEP a été divisé en deux phases : LEP I (1989- 1995) et LEP II (1996-2000). Durant LEP I, des balayages en énergie de collision autour de la masse du boson Z ont permis d’étudier de façon très approfondie cette particule. Dès 1995, les améliorations du LEP ont permis d’obtenir chaque année des énergies de collision de plus en plus énergétiques allant jusqu’à 210 GeV. Ce record a été enregistré dans les dernières secondes du LEP à 8h00 le jeudi 2 novembre 2000. Les priorités du programme LEP II ont été l’étude du boson W et la chasse au boson de Higgs. La première section de ce chapitre décrit le complexe d’accélérateurs du CERN ainsi que le collisioneur LEP. Dans la deuxième section, tous les détecteurs de l’expérience L3 sont dé- crits. 1. Le complexe d’accélérateurs du CERN Un avantage du CERN par rapport à d’éventuels nouveaux sites d’expé- riences a toujours été la possibilité d’utiliser ses anciens accélérateurs au pro- fit des nouveaux. En effet, l’accélération des particules peut être comparée à celle d’une voiture. De même qu’il est impossible de démarrer une voiture en cinquième vitesse, il est impossible l’accélérer des particules au repos avec le LEP. C’est pourquoi il est nécessaire d’avoir un complexe d’accélérateurs imbriqués les uns dans les autres. Les électrons du LEP ont passé parmi de nombreux accélérateurs. Tout d’abord un canon éjecte des électrons d’un filament chauffé. Ceux-ci sont alors accélérés linéairement par le LIL (Linear Injector for LEP) jusqu’à une énergie de 200 MeV. Les électrons peuvent soit être accélérés jusqu’à 600 MeV, puis envoyés dans l’EPA (Electron-Positron Accumulator), soit sur une cible de tungstène. Cette collision va produire des paires e+e−. Les e+ sont ac- célérés jusqu’à 600 MeV, puis envoyés dans l’EPA. Lorsqu’il y a suffisamment 35
  • 36. 36 III. LE DÉTECTEUR FIG. 14 – Complexe d’accélérateurs au CERN Ce schéma représente une partie du complexe d’accélérateurs du CERN. On peut y voir le LIL qui produit des électrons et des positrons de 600 MeV, l’accumulateur EPA qui sert de "salle d’attente" aux électrons avant leur grand voyage. Lorsque le LEP est vide, on accélère les faisceaux d’abords jusqu’à 3.5 GeV dans le PS, puis jusqu’à 20 GeV dans le SPS et enfin dans le LEP jusqu’à leur énergie voulue. d’électrons et de positrons dans l’accumulateur, les paquets sont envoyés à l’accélérateur suivant, le PS. Le PS (Proton Synchrotron) est de loin le plus vieil accélérateur toujours en service du CERN, bien qu’il ne doit plus rester beaucoup de pièces d’origine. Il a été construit en 1959 et sa circonférence est de 630 m. Cette accélérateur polyvalent permet d’accélérer non seulement des électrons, mais aussi des protons et des ions. Le PS accélère les électrons et les positrons à une énergie de 3.5 GeV. Cette énergie correspond à peu près à la limite où toute la puissance des cavi- tés accélératrices RF (Radio Frequence1 ) sert à compenser le bremsstrahlung (radiation de freinage) qui apparaît dès que l’on modifie la trajectoire d’une 1Le terme Radio Frequence vient du faite que pour accélérer des particules en utilisant des plaques espacées de quelques centimètres, il faut utiliser une onde électromagnétique dont la fréquence sur trouve dans la bande des fréquences radio.
  • 37. 2. L’EXPÉRIENCE L3 37 particule chargée. L’énergie perdue par un électron est : W = 8.85×10−5 E4 ρ MeV par tour (3.1) où E est l’énergie de l’électron en GeV et ρ le rayon de courbure de l’accéléra- teur en kilomètre. Ainsi, à 3.5 GeV, les électrons perdent 132 keV par tour, et toute (ou presque) la puissance RF utile du PS sert à compenser cette perte d’énergie. Pour doubler l’énergie des électrons, il faut soit utiliser 8 fois plus de puis- sance électrique, soit, en gardant la même puissance, doubler le rayon de l’ac- célérateur. Ainsi, lorsque l’on s’approche de cette limite technique au PS, les faisceaux sont envoyés dans le SPS. Le SPS (Super Proton Synchrotron) a été construit en 1976. Il a une cir- conférence de 6.9 km. Cet accélérateur a permis la découverte des bosons de gauge Z et W en 1983. Le SPS peut accélérer les électrons jusqu’à une énergie de 22 GeV. A cette énergie là, les électrons peuvent enfin entrer dans le LEP. Le LEP est a été construit dans le but spécifique d’accélérer des électrons et des positrons. Il mesure 26 659 m. Les faisceaux doivent voyager dans un tube à vide, car tout gaz diminuerait leur intensité. L’utilisation de pompes à sublimation de titane et de 20 km de ruban de getter permettent de pousser le vide jusqu’à 10−12 Torr, soit près de 10 fois meilleur que le vide qu’il y a entre la Terre et la Lune (10−11 Torr). Les opérations du LEP ont commencé en 1989. Des cavités accélératrices supracondutrices installées à partir de 1996 ont permis de fournir 3 500 MV de tension accélératrice par tour et d’atteindre une énergie de faisceau de 105 GeV à la fin du programme. Chaque faisceau est composé de quatre pa- quets et correspond à un courant d’environ 6.5 mA. La luminosité instantanée maximale a été de l’ordre de 100×1030 cm−2s−1. Quatre expériences se trouvent sur le LEP : ALEPH, DELPHI, OPAL et L3. Nous allons maintenant décrire l’expérience L3, sur laquelle se base cette thèse. 2. L’expérience L3 2.1. L’aimant. Une des particularités de l’expérience L3 est d’avoir un ai- mant externe qui plonge tous ses sous-détecteurs dans un champ magnétique relativement uniforme, parallèle aux faisceaux, de 0.5 T, soit près de 2’000 fois le champ magnétique terrestre moyen. L’aimant a la forme d’un cylindre octogonale couché et mesure 11.9 m de long pour un diamètre de 13.6 m. Son
  • 38. 38 III. LE DÉTECTEUR diamètre interne est de 5.9 m. L’aimant est composé de 168 spires d’alumi- nium pesant 1’120 tonnes. Le retour du flux magnétique est assuré grâce à 5’600 tonnes de fer. Le tout est soutenu par une structure en acier de 1’100 tonnes. Chaque extrémité de l’aimant est fermée par 2 portes de 340 tonnes. La figure 15 nous montre une coupe de l’aimant à l’intérieur de la caverne. La puissance électrique dissipée dans l’aimant est de 4 MW. FIG. 15 – Coupe de l’expérience dans sa caverne A cette échelle, on observe essentiellement l’aimant et les chambres à fils du détecteur de muons. 2.2. Les calorimètres. On mesure l’énergie des particules provenant de la collision e+e− en les arrêtant complètement dans des calorimètres. Une partie de l’énergie perdue par ces particules donne lieu à des effets physiques directement observables, ce qui permet une mesure de leur énergie. Un calori- mètre électromagnétique (le BGO) permet de mesure l’énergie des particules électromagnétiques, alors qu’un calorimètre hadronique (le HCAL) mesure l’énergie des hadrons. La granulation de la mesure de l’énergie permet aussi une mesure de la position du dépôt d’énergie et ainsi la mesure de la direction de la particule en supposant que celle-ci vienne du point d’interaction e+e−. 2.2.1. Le calorimètre électromagnétique - BGO. Ce détecteur est constitué d’un barrel (tonneau) et de deux endcaps (bouchons). Il est composé de 10’734
  • 39. 2. L’EXPÉRIENCE L3 39 DétecteurCouverturePolaireRésolution Énergie/ImpulsionAngleAzimutalAnglePolaire SMD+TEC25◦−155◦(90.6%)δpT pT =1.5%0.6mrad3.4mrad 10.5◦−36.7◦(9.1%), BGO42.3◦−137.7◦(74.0%),δE E=10%√ E 3.6mrad3.8mrad 143.3◦−169.5◦(9.1%) HCAL5.5◦−174.5◦(99.5%)δE E=55%√ E +5%44mrad MUCH36◦−144◦(80.9%)δpT pT =2%- TAB.4–ParamètresdesdétecteursdeL3 Cetableaurésumelesparamètresimportantspourl’analyse.Ils’agitdesrégionsangulaires etdelarésolutiondesmesuresdel’énergieoudelaquantitédemouvementetdesangles.
  • 40. 40 III. LE DÉTECTEUR Hadron Calorimeter Barrel Hadron Calorimeter Endcaps Luminosity Monitor FTC BGO BGO SMD HC1 HC3 HC2 Z chamber TEC Active lead rings SLUM   RB24 FIG. 16 – Détecteur internes de L3 Ce deuxième schéma du détecteur montre mieux les détecteurs internes. On y trouve le calori- mètre hadronique (HCAL) et électromagnétique (BGO), les composantes du traceur (le SMD, la TEC et les chambres Z de la TEC) et les détecteurs de mesure de la luminosité (SLUM et LUMI) Photodiode To ADC Xenon lamp fibers BGO crystal Carbon fiber wall (0.2 mm) 2cm 3cm 24 cm FIG. 17 – Un cristal du BGO On observe les deux photodiodes qui collectent la lumière émise dans le cristal, ainsi que les fibres optiques qui amènent la lumière de calibration du système Xénon. cristaux de germanate de bismuth (Bi4Ge3O12, d’où son nom de BGO). Le bar- rel compte à lui seul 7’680 cristaux. L’avantage de ce matériau est qu’il consti- tue à la fois un milieu dense pour la formation de la gerbe électromagnétique (une avalanche d’électrons et de photons) et un scintillateur qui transforme une partie de l’énergie de cette gerbe en lumière qui peut être observée.
  • 41. 2. L’EXPÉRIENCE L3 41 D’une densité élevée (7.13 g/cm3), il possède une courte longueur de radia- tion (1.12 cm) par rapport à la longueur des cristaux (24 cm). La longueur d’in- teraction nucléaire étant de 22 cm, les hadrons le traversent sans peine. Il est donc nécessaire de prévoir un deuxième calorimètre pour mesurer leur éner- gie. Le BGO a un temps de réponse court (300 ns), mais malheureusement il supporte mal les variations de température (1.55% de lumière en moins par ◦C en plus). Afin de minimiser les corrections à appliquer aux données pour compenser cet effet, le BGO a été doté d’un système de refroidissement qui le stabilise à ± 0.2◦C. Au vu de l’espace réduit disponible et du champ magnétique ambiant de 0.5 T, l’utilisation de photodiodes a été choisie pour collecter la lumière pro- venant des cristaux de BGO comme le montre la figure 17. Chaque cristal est équipé de 2 photodiodes qui ont une efficacité quantique de 70%. Les photons peuvent être détectés lorsqu’ils produisent une paire électron-trou. 1 MeV dé- posé dans le BGO correspond à un signal électrique d’environ 0.2 fC (environ 1200 électron). Ce signal est immédiatement amplifié à la sortie des photo- diodes par un préamplificateur. Le signal est ensuite sorti du détecteur pour être à nouveau amplifié et converti en valeurs numériques par des ADC (Ana- log to Digital Convertisor). Ceux-ci ont été conçus pour pouvoir convertir des signaux sur une grande gamme dynamique (de 1 MeV à plus de 100 GeV). Ceci est rendu possible grâce à 6 comparateurs prenant chacun en charge une gamme d’énergie. Nominalement, le calorimètre devait couvrir la plage angulaire 12◦< θ < 168◦. La chambre centrale étant plus longue qu’initialement prévu lorsque les endcaps ont été construits, ceux-ci ont dû être installés en retrait par rap- port au barrel. Il en résulte un espace de 5◦ entre le barrel et chaque endcap comme le montre la figure 18. En définitive, le barrel couvre la région angu- laire 42.3◦< θ < 137.7◦, et les endcaps les régions angulaires 10.5◦< θ < 36.7◦ et 143.3◦< θ < 169.5◦. Ainsi, 92.1% de l’angle solide est couvert par le BGO. La résolution en énergie du BGO est de δE E = 10% √ E (3.2) La résolution angulaire est de 3.8 mrad pour la mesure de l’angle polaire et 3.6 mrad pour la mesure azimutale. Les méthodes de calibration en énergie des cristaux est décrite dans la section 3 de ce chapitre. 2.2.2. Le calorimètre hadronique - HCAL. Le calorimètre hadronique est lui aussi constitué d’un barrel et des deux endcaps. Le HCAL couvre la région
  • 42. 42 III. LE DÉTECTEUR FIG. 18 – Espacement entre le barrel et les endcaps du BGO Sur schéma se trouvent le barrel du BGO et un de ses bouchons (endcap). Des contraintes tech- niques ont rendu nécessaire le déplacement des bouchons de quelques centimètres. Il en résulte un trou de 5◦ et un déplacement du point de focalisation des axes directeurs des cristaux. angulaire 5.5◦< θ < 174.5◦, soit 99.5% de l’angle solide. Un échantillonnage très fin de plaques d’absorbeur en uranium appauvri intercalées entre des chambres à fils proportionnelles permet la création de gerbes hadroniques et la mesure de leur énergie. La résolution en énergie pour des hadrons isolés est de : δE E = 55% √ E ⊕5% (3.3) La segmentation du calorimètre permet une mesure de l’axe des jets avec une résolution angulaire d’environ 2.5◦. Grâce aux 6 longueurs d’absorption nucléaire de tous les détecteurs in- ternes, seuls les neutrinos et les muons peuvent sortir du calorimètre hadro- nique. Les muons n’auront perdu qu’au maximum 2.5 GeV en passant les détecteurs internes. 2.3. Les détecteurs à traces. Les détecteurs à traces permettent de me- surer les points de passage des particules chargées. En reliant ces points de passage, on obtient la trajectoire des particules. Cette trajectoire nous per- met de calculer les angles d’émission des particules. Dans un champ magné- tique, les particules chargées ont une trajectoire incurvée. Ainsi, en mesurant la courbure de cette trajectoire, nous obtenons une mesure du produit de la charge et de la quantité de mouvement. Comme nous n’allons considérer que des charges ± 1, le signe de la courbure, c’est-à-dire son orientation, nous
  • 43. 2. L’EXPÉRIENCE L3 43 8235   5425 4010 2530 BGO TEC ø 35 ¡ RFQ ¢ Coil£ Magnet Yoke¤ Muon Chambers ¥ Muon Filter Hadron Calorimeter 14 180 mm Luminosity Monitor e ¦ - e ¦ +§ TEC IP 45° 29° L3 Inner Tracking System FTC Z Chamber SMD Support SMD Active Region Proposed SMD View of the SMD location in the L3 Experiment now with 5 cm beam pipe FIG. 19 – Coupes des détecteurs à traces de L3 Ces deux schémas représentent le système de traceurs : les chambres à muon et le traceur interne qui est composé du SMD et de la TEC. Le détecteur perpendiculaire FTC n’a servi que pour le système de triggers. donne directement le signe de la charge. On peut obtenir la quantité de mou- vement transverse pT en connaissant le champ magnétique B du détecteur et la courbure ρ de la trajectoire : pT [GeV/c] = 0.3B|ρ| [Tm] (3.4) Les particules de charge nulle n’ionisant pas les gaz, elles donnent aucun signal dans les détecteurs à trace.
  • 44. 44 III. LE DÉTECTEUR Un détecteur au silicium et une chambre à gaz à expansion temporelle au centre du détecteur permettent ces mesures pour toutes les particules char- gées. Des chambres à muons externes permettent aussi ces mesures pour les muons. 2.3.1. Le détecteur de vertex au silicium - SMD. Ce détecteur n’a été opé- rationnel qu’à partir de 1994. Ce type de détecteur a révolutionné la physique des particules en permettant de mesurer des positions avec une résolution d’une dizaine de microns. Le SMD est constitué de deux couches de douze échelles à microstrip. La surface total de ce détecteur est d’environ 0.2 m2. La couche interne à double faces donne une mesure dans le plan perpendiculaire au faisceau. La couche externe est tourné de 2◦ par rapport à l’axe du faisceau pour permettre une mesure stéréoscopique de la coordonnée Z. La résolution sur la mesure d’un point de passage est de 7 µm en R-φ et 15 µm en Z. En extrapolant ces points de passage, on peut obtenir la distance d’approche la plus courte (DCA), c’est-à-dire le point le plus proche du point d’interaction. La résolution sur le DCA varie de 25 à 40 µm. Le SMD n’est jamais utilisé seul pour mesurer la trajectoire d’une trace, mais toujours en conjonction avec une trace TEC. FIG. 20 – Coupe représentant la TEC les chambres Z Ce schéma représente la TEC sur le plan transverse au faisceaux d’électrons. La croix + repré- sente le point d’interaction. Le trait partant de ce point représente le passage d’une particule chargée. Son passage va ioniser le gaz de la TEC, et ces charges vont dériver vers les anodes. On peut voir que les modules intérieurs sont légèrement décalés par rapport aux modules ex- térieurs. Ceci permet de lever l’ambiguïté droite-gauche lors de la reconstruction.
  • 45. 2. L’EXPÉRIENCE L3 45 2.3.2. La chambre à expansion temporelle - TEC. La chambre centrale est une chambre à dérive basée sur le principe de l’expansion temporelle de l’io- nisation induite dans le gaz par les particules chargées qui la traverse. Le gaz est un mélange à 80% de gaz carbonique (CO2) et à 20% d’isobuthane (C4H10). Le gaz est maintenu à une pression de 2 atm, ce qui empêche les molécules d’oxygène de l’air d’entrer dans la TEC. En effet, les molécules d’oxygène em- pêchent une bonne dérivée des charges en les absorbant. Après la décharge, d’isobuthane permet une bonne dissipation de l’énergie restante grâce à ses nombreux axes de rotation. La TEC est constitué d’une partie interne et d’une partie externe, voir fi- gure 20. La partie interne est composé de 12 secteurs. Chaque secteur contient 8 fils d’anodes pour ces mesures. La partie externe est composée de 24 sec- teurs à 54 fils d’anodes chacun. Les fils sont tendus parallèlement à l’axe du faisceau. La longueur sensible de ce détecteur est de 982 mm. Le temps de dérive des charges jusqu’à aux fils d’anode (6 µm/ns) permet l’extrapolation de la position médiane (appelé hit) de l’ionisation du gaz à la “hauteur” de chaque fil, conséquence du passage d’une particule. Vu la géomé- trie du détecteur, pour chaque hit, une ambiguïté gauche/droite est présente. Pour lever cette ambiguïté, l’information d’un autre détecteur est nécessaire (essentiellement le SMD et la partie interne de la TEC comme le montre la figure 20). Certains fils, dits de division de charges (2 fils dans chaque secteur interne et 9 dans chaque secteur externe), sont lus de chaque côté du détecteur. Ainsi, la comparaison des deux signaux permet la mesure de la coordonnée Z. En outre, 2 chambres proportionnelles cylindriques entourent la TEC. Ces cham- bres, dites Z, permettent de mesurer la coordonnée Z avec une résolution de 320 µm. La résolution en r−φ est de 58 µm pour la partie intérieur et de 49 µm pour la partie extérieur. La plage angulaire de la TEC s’étend de 25◦ à 155◦, soit 90.6% de l’angle solide. La résolution en quantité de mouvement des traces reconstruites par le SMD et la TEC est de : δp p = 1.5% (3.5) A grand angle, la résolution de la mesure des angles est : Angle polaire (θ) 3.4 mrad Angle azimutal (φ) 0.6 mrad
  • 46. 46 III. LE DÉTECTEUR 2.3.3. Les chambres à muons - MUCH. La quantité de mouvement, les angles de production, et la charge des muons sont mesurés grâce aux cham- bres à muons. Ce détecteur est formé de deux grandes roues octogonales de 86 tonnes et de deux endcaps encastrés dans les portes de l’aimant. Trois plans de chambres à dérive permettent de mesurer la courbure des trajectoires dans le plan r −φ normal à l’axe des faisceaux avec une résolution de : δp p = 2% (3.6) Des chambres supplémentaires permettent de mesurer la troisième coor- donnée z avec une résolution de 500 µm. Les chambres à muons couvre la région angulaire 36◦< θ < 144◦, soit 80.9% de l’angle solide. 2.4. Les scintillateurs. 30 scintillateurs plastiques sont placés entre le HCAL et le BGO. Leur couverture en angle polaire est de 34◦< θ < 146◦, soit 82.9% de l’angle solide. Ce système permet la mesure du temps de vol des particules avec une résolution temporelle de : δt = 460 ps (3.7) Ce détecteur sert essentiellement à rejeter les muons cosmiques. En effet, la différence de temps entre deux scintillateurs pour un muon cosmique qui passe près du point d’interaction est de 5.8 ns, alors que pour une paire de muons provenant de l’annihilation e+e− la différence est nulle. 2.5. La mesure de la luminosité - LUMI. Pour la mesure d’une section efficace, il est très important de connaître la luminosité des faisceaux. Pour estimer cette luminosité, il faut considérer un canal physique bien compris d’un point de vue théorique et qui donne un nombre important d’événements. Le canal Bhabha qui correspond à ces deux critères a été choisi. En effet, à bas angle polaire, la section efficace est largement dominée par l’échange d’un photon dans la voie t dont le terme au premier ordre est proportionnel à (1−cosθ)−2 . Pour estimer l’efficacité du système, deux chaînes de mesures séparées sont utilisées : un calorimètre électromagnétique et un détecteur au silicium. Chaque calorimètre électromagnétique est finement segmenté en 304 cris- taux de BGO sur 8 anneaux. Il couvre la région polaire 24.9 mrad < θ < 69.9 mrad ainsi que la région polaire symétrique opposée à la normale du faisceau, soit 0.2% de l’angle solide.
  • 47. 2. L’EXPÉRIENCE L3 47 2.6. Système de déclenchement. Le système de déclenchement (trig- ger) est le système qui décide s’il faut ou non enregistrer un événement. Comme il y a plus de 44’000 croisements de faisceaux par seconde au centre du détecteur L3, non seulement il était impossible à l’époque de la construc- tion d’enregistrer l’état du détecteur après chaque croisement, mais encore, dans la quasi totalité des croisements, aucune collision n’a eu lieu. C’est pour- quoi un ensemble de triggers décide à partir de règles simples si le croisement qui vient d’avoir lieu est un événement physique qui mérite d’être enregistré ou un bruit de fond qu’il faut rejeter. Pour éliminer de la meilleur façon les divers bruits de fond et minimiser le temps mort du détecteur, trois niveaux de triggers de complexités croissantes sont utilisés. 2.6.1. Niveau 1. Le niveau 1 est le niveau le plus bas. Il doit fournir une réponse en moins de 22 ns, temps après lequel deux nouveaux paquets se croisent dans le détecteur. Des règles simples, faisant appel à des informa- tions élémentaires qui peuvent être rapidement extraits du détecteur, sont utilisées pour tester si un événement intéressant vient d’avoir lieu ou non. Le niveau 1 sert essentiellement à détecter un signal énergétique dans le détecteur. Ce sera le travail des niveaux supérieurs de voir s’il s’agit d’un bruit de fond. Si la réponse du niveau 1 est négative, toutes les lectures du détecteur sont stoppées et un reset global est effectué, ce qui permet à l’électronique d’être prêt pour le prochain croisement. Le taux de déclenchement du niveau 1 est de l’ordre de 15 à 20 Hz, soit une réduction de près d’un facteur 3000 de la fréquence de croisements de faisceau (44 kHz). La combinaison des réponses de chaque trigger est effectué par un OU logique. Ainsi, l’estimation des efficacités des triggers peut être obtenue en prenant le rapport entre le nombre d’événements sélectionnés par le trigger à tester et un trigger témoin par rapport au nombre d’événements sélectionnés par le trigger témoin : εA = N(A⊗B) N(B) (3.8) avec A le trigger à tester, B un trigger témoin, N le nombre d’événements et εA l’efficacité du trigger A. 2.6.2. Niveau 2. Le niveau 1 a permis essentiellement d’éliminer les évé- nements vides, c’est-à-dire les croisements où aucune particule n’a été diffusée ou produite à grand angle, dans le détecteur. Le niveau 1 a donc flashé chaque fois que quelque chose c’est produit dans le détecteur. Malheureusement, il ne s’agit pas toujours d’un événement physique intéressant, il s’agit parfois de processus physiques non voulus : fission d’un noyau d’uranium dans le HCAL,
  • 48. 48 III. LE DÉTECTEUR muon cosmique, Natel ou tube néon non éteint à proximité du détecteur, ra- diation de freinage du faisceau, etc. Le niveau 2 va donc permettre de vérifier si l’événement provient bien d’une collision e+e−. Comme le détecteur a eu le temps de la prise de décision du niveau 1 pour lire plus d’information, le niveau 2 peut se baser sur des objets plus élaborés. Le temps de décision est d’environ 500 µs. Un cas spécial apparaît lorsque plus d’un trigger du niveau 1 a été déclen- ché. On admet que la probabilité qu’un bruit de fond déclenche deux triggers du niveau 1 simultanément est suffisamment faible pour être négligée. C’est ainsi, que si un événement a été déclenché par plus d’un trigger du niveau 1, on court-circuite le niveau 2 et on gagne ainsi un précieux temps de calcul. Pour permettre l’estimation de l’efficacité du déclenchement du niveau 2, 1 événement rejeté sur 20 est conservé (pre-scaling). Le taux de déclenchement du niveau 2 est de l’ordre de 10 à 15 Hz, soit une réduction de 70% à 80% par rapport au niveau 1. 2.6.3. Niveau 3. Malheureusement, 10 Hz est encore trop élevé, et des événements de bruit de fonds sont encore présents. Le niveau 3 ayant eu le temps qu’ont pris les décision des niveaux 1 et 2, il peut se baser sur les don- nées digitales complètes du détecteur. Il fait appel à plusieurs algorithmes d’analyse. Comme pour le niveau 2, les événements avec plus d’un déclenche- ment au niveau 1 sont acceptés automatiquement. La combinaison de tous les algorithmes résulte à un taux de déclenchement de 3 à 6 Hz, soit une réduc- tion de 40% à 60% par rapport au niveau 2. Comme pour le niveau 2, un pre-scaling de 1/20 est appliqué. Si la décision du niveau 3 est positive, l’événement est transféré vers la ferme d’analyse qui enregistre l’information sur disque dur pour être analysé et sur bandes magnétiques pour être sauvegardé. La taille moyenne d’un évé- nements est de 50 kb. 3. Calibration du BGO Une partie de mon travail a consisté à utiliser le système Xénon pour ca- librer les cristaux du BGO et monitorer chaque cristal, jour par jour, pour établir une liste des cristaux morts, et dans le cas d’un accident grave où le faisceau abîmerait une partie du BGO, de pouvoir fournir des constantes de corrections. 3.1. Le système Xénon. Un système de lampes au Xénon et de fibres op- tiques permet d’envoyer dans les cristaux de BGO de la lumière comparable à celle produite par un électron de 1.5 GeV à 35 GeV. Nous pouvons simuler
  • 49. 3. CALIBRATION DU BGO 49 ce domaine d’énergie, c’est-à-dire ce domaine d’intensités lumineuses, grâce à un système de filtre. Nous pouvons ainsi monitorer l’efficacité de collection de lumière produite dans le cristal et le gain de la chaîne électronique d’acquisi- tion. La figure 21 montre le schéma du système. FIG. 21 – Schéma du système Xénon Une lampe au Xénon produit un flash de lumière qui est conduit par des fibres optiques vers les cristaux de BGO, des photomultiplicateurs (PM) de référence et vers des photodiodes (PD) de référence. Les impulsions lumineuses sont produites par un ensemble de 16 lampes pour le barrel et de 16 lampes pour les endcaps. De chaque lampe part un en- semble de fibres optiques primaires, qui est subdivisé au niveau du détecteur en fibres secondaires qui illuminent tous les cristaux. Des fibres supplémen- taires remontent au système d’acquisition pour servir de références. En effet, la lumière Xénon permet de monitorer la stabilité des cristaux, mais pour cela il faut être sûr de la stabilité des lampes. C’est pourquoi cette production de lumière est testée à son tour par un ensemble de photomultiplicateurs (PM) 2 La stabilité des PM est à son tour monitorée par des sources radioactives d’américium (241Am). Heureusement, la physique de cette désintégration est d’une parfaite stabilité en énergie (4.43 MeV) et nous n’avons donc nul besoin de monitorer la stabilité de l’énergie des photons émis par l’américium. 2J’entends par PM, l’ensemble du système PM et le cristal scintillant qui est monté sur le PM.
  • 50. 50 III. LE DÉTECTEUR Tout le système d’acquisition est contrôlé par un PC Amiga 2000 qui, notons-le, aura tenu jusqu’à la fin de l’expérience. Cet Amiga est probable- ment le seul à voir été en fonction jusqu’en l’an 2000. Tous les jours, entre deux prises de données, un run Xénon a été effectué par le shifter BGO. Ce run consiste à flasher 10 fois chaque lampe et ainsi nous avons 10 mesures quotidiennes pour chaque cristal. Dead Crystals Evolution 40 50 60 70 80 90 20 40 60 80 100 120 140 160 Xenon Run Number NumberofDeadCrystals All BGO Barrel Only FIG. 22 – Nombre de cristaux défini comme morts par le système Xénon Nombre de cristaux mort dans le barrel seulement et dans tout le BGO en fonction du numéro du run Xénon. Les prises de données étant quotidiennes, ce graphique représente l’évolution du nombre de cristaux morts durant l’année 2000. Le taux de cristaux mort que ce soit dans le barrel ou les endcaps est d’environ 0.7%. 3.2. Cristaux morts. Ces mesures permettent d’établir une première liste de cristaux morts. La figure 22 montre le nombre de cristaux morts pour le barrel et pour le BGO entier pour chaque run. On observe que dans le BGO 80 cristaux sont morts en moyenne. La liste des cristaux morts est complétée par une analyse off-line de l’occupation de chaque cristal par des jets hadroniques. En effet, cette physique nous donne une irradiation azimutale uniforme et in- tense, ce qui permet en observant le nombre d’événements par cristal de voir ceux qui réagissent mal.
  • 51. 3. CALIBRATION DU BGO 51 3.3. Calibration. La calibration des cristaux se fait en joignant le moni- toring on-line du Xénon avec l’analyse off-line des Bhabha colinéaires, c’est- à-dire sans importante radiation initial ou final. Ainsi, l’énergie des électrons est, par conservation, celle du faisceau, et en observant la réponse du détec- teur, ceci permet la calibration des cristaux. La face avant des cristaux mesure environ 2 cm sur 2 cm, alors que seule- ment 90% de la gerbe électromagnétique produite par un électron est contenu dans un cercle de rayon RM = 2.4 cm. Pour estimer l’énergie réel déposée dans le BGO, nous allons considérer les mesures de l’énergie déposée dans le cristal central3 (S1), et dans un carré de 3x3 cristaux (S9). Des pertes d’énergie peuvent apparaître : le support du BGO en carbone absorbe une partie de la gerbe et si l’énergie est importante la gerbe peut même se propager au-delà des 24 cm du BGO. Ainsi, les variables brutes S1 et S9 sous-estiment l’énergie déposée. Cette perte dépend du point d’impact de la particule dans le cristal central. En effet, on peut s’attendre à ce qu’une particule qui touche un cristal en plein centre dépose plus d’énergie dans le BGO qu’une particule qui le touche entre deux cristaux. Pour mesurer ce point d’impact, nous allons nous placer dans un système de référence angulaire se rapportant au cristal central : x = (φ−φ0) r0 sinθ0 y = (θ−θ0) r0 (3.9) avec (r0, θ0,φ0) la position central de la face avant du cristal, et (θ,φ) la position angulaire du centre de masse de la gerbe électromagnétique. La correction n’a pas besoin d’être bi-dimentionnelle. En effet, ce qui compte dans la perte d’énergie est la “proximité d’un bord”. Nous pourrions considérer la distance d : d = xk +yk 1 k (3.10) avec k > 0. Mais il est intéressant de noter qu’une variable plus facile à ex- traire des données permet aussi de déterminer la proximité d’un bord : S1/S9. Cette variable a aussi l’avantage de ne pas nécessiter une base de données de la position de chaque cristal. La figure 23 montre la distribution de cette va- riable en fonction de x pour les cas où |y| < 3 mm. Vu la simplicité d’extraction de cette variable et sa très bonne bijection avec le point d’impact, nous allons 3Le cristal central est le cristal qui a été touché de plein fouet par la particule. C’est dans ce cristal que la déposition d’énergie est la plus importante.
  • 52. 52 III. LE DÉTECTEUR l’utiliser pour la correction de la perte d’énergie. Il est vrai que l’on introduit une ambiguïté “gauche/droite”, mais la symétrie du BGO nous le permet. FIG. 23 – S1 S9 en fonction du point d’impact x. Corrélation entre le point d’entrée dans le cristal et la variable S1/S9. Ces événements ont une coordonnée |y| < 3 mm. Cette variable décrit "la proximité d’un bord." Tout comme pour la calibration, cette correction est obtenue grâce à des événements Bhabha colinéaires. Une acolinéarité provient nécessairement de la radiation d’un ou plusieurs photons durs, d’où une perte d’énergie pour les électrons. Malheureusement, le fait que les deux électrons soient colinéaire n’est pas une preuve de l’absence de radiation. En effet, il existe des cas rares de configurations cinématiques où les quantités de mouvement de deux pho- tons ou plus s’annulent et laissent les électrons colinéaires. La figure 24 mon- tre l’acolinéarité en fonction l’énergie brute moyenne des deux électrons nor- malisée par l’énergie du faisceau. On observe clairement une perte d’énergie en fonction de l’acolinéarité pour certains événements. Pour mesurer la cor- rection, nous n’allons utiliser que les événements dont l’acolinéarité est plus petite que 1◦. La mesure de S9 Ebeam en fonction de S1 S9 nous permet d’extraire la correction voulue. La figure 25 nous montre que nous pouvons approximer cette dépen- dance de façon linéaire : S9 Ebeam = β+α· S1 S9 (3.11)
  • 53. 3. CALIBRATION DU BGO 53 FIG. 24 – Acolinéarité entre les électrons. Relation entre l’acolinéarité des deux électrons et la somme de leur énergie brute. A cause des radiations initiales ou finales, une partie de l’énergie peut être prise par les photons. Comme nous voulons comprendre la perte d’énergie dans le BGO, il faut tenir compte de cette effet. On observe que cette effet peut être réduit en imposant une acolinéarité inférieure à 1◦. L’énergie corrigée Scor 9 est donc Scor 9 = S9 β+α· S1 S9 (3.12) avec à priori un jeu d’α et et β pour chaque cristal. Nous ne pouvons pas directement utiliser la fonction (3.11) sur les distri- butions pour extraire ces paramètres, car il faut tenir compte de la fonction de résolution du détecteur et de la fonction de la radiation restante des photons. Ces deux fonctions peuvent être approximées par la fonction Crystal Ball line shape4 : f(Em) =    H ·exp −(Et−Em)2 2σ2 si Em > Et −aσ H · n a n · exp −a2 2 (Et−Em σ +n a −a) n si Em < Et −aσ (3.13) avec Et = β+α· S1 S9 (3.14) 4Cette fonction a été développée par l’expérience Crystal Ball pour correspondre à la réponde de cristaux de NaI.
  • 54. 54 III. LE DÉTECTEUR FIG. 25 – Fonction de correction Corrélation entre l’énergie normalisée mesurée dans le BGO (S9/Ebeam) et la “mesure de proxi- mité d’un bord” S1/S9. On observe une dépendance linéaire convoluée par la fonction de réso- lution et la fonction de radiation. Et est l’espérance de l’énergie normalisée (par l’énergie du faisceau) de la par- ticule, Em est la mesure de l’énergie normalisée et a est le nombre de σ en dessous de Et où nous passons d’un mode Gaussien avec la résolution du dé- tecteur σ à un mode radiatif décrit par la variable n. Cette fonction décrit ad- mirablement bien la réponse en énergie du BGO, comme le montre la figure 26. Il est important de noter que bien que nous soyons en unité d’énergie nor- malisée, Et ne vaut pas 1, à cause de pertes d’énergie dans le détecteur. Ainsi, cette analyse permet non seulement d’obtenir la perte relative d’énergie en fonction du point d’impact, mais aussi la perte absolue du détecteur.
  • 55. 3. CALIBRATION DU BGO 55 EBGO/E   beam ¡ - Données 1 10 10 2 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 47.44 / 77 H 479.5 12.61 Et ¢ 0.9977 0.3408E-03 σ 0.1021E-01 0.4219E-03 n 1.949 0.1088 a 0.9101 0.6372E-01 EBGO/E   beam ¡ - Monte Carlo 1 10 10 2 10 3 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 81.51 / 82 H 1187. 21.53 Et ¢ 0.9995 0.2788E-03 σ 0.1097E-01 0.9032E-03 n 2.886 0.2227 a 0.7936 0.1092 FIG. 26 – Énergie déposée dans le BGO et la fonction Crystal Ball line shape L’énergie déposée dans le BGO normalisée par l’énergie du faisceau est comparée pour les données et le Monte Carlo à √ s = 196 GeV dans le barrel. Un fit de la fonction Crystal Ball line shape montre que la résolution dans les deux cas est compatible et vaut environ 1%. L’offset de 2o/oo est comparable à l’erreur sur l’énergie du faisceau qui est de 3o/oo.
  • 56.
  • 57. CHAPITRE IV La méthode d’analyse 1. Données et Simulations Le travail de cette thèse porte sur les données accumulées par l’expérience L3 de 1998 à 2000, ce qui correspond à des énergies dans le centre de masse allant de 189 GeV à 210 GeV. Les plages d’énergie considérées et leur lumino- sité sont données dans le tableau 5. A chaque plage d’énergie, un ensemble complet de simulations du signal et du bruit de fond a été nécessaires. Ainsi, pas moins de 13 simulations de canaux de physiques différents pour 8 points d’énergie ont été nécessaire. Ceci a demandé une grande rigueur de “book keeping”. Heureusement, un système de scripts semi-automatiques a grandement simplifié le travail, ce qui peut être apprécié en regardant la complexité de certains tableaux donnés dans l’annexe. Énergie Inférieure Supérieure L (GeV) (GeV) (GeV) (pb−1) 188.6 188.0 189.5 156.40 191.6 190.0 192.5 29.7 195.6 195.0 196.5 83.7 199.5 198.5 200.5 83.5 201.8 201.0 203.5 39.1 205.2 203.5 205.8 75.9 206.7 205.8 207.4 130.4 208.2 207.4 210.0 8.7 TAB. 5 – Plages d’énergie et luminosité correspondante 57
  • 58. 58 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE 2. Sélection Comparé à d’autres canaux, la diffusion Bhabha est aisée à sélectionner. En effet, un nombre réduit de coupures permet de sélectionner la quasi to- talité des événements Bhabha (environ 98% à grand angle1 ), en ne laissant passer que peu de bruit de fond (environ 4% à grand angle). Dans la description de cette analyse, un électron (en italique) désignera une particule chargée donnant un signal électromagnétique dans le BGO. Il pourra désigner soit un électron, soit un positron. Ainsi, par exemple, la dif- fusion Bhabha produit deux électrons, bien qu’il s’agisse en fait d’une paire électron-positron. Pour optimiser cette sélection, il faut tenir compte de son efficacité, du bruit de fond et des erreurs systématiques. Ces trois grandeurs sont dépen- dantes du jeu de coupures, ainsi que de la région angulaire considérée. L’efficacité est la fraction d’événements sélectionnés par rapport au nombre total d’événements : ε = N(Bhabha|Bhabha) N(−|Bhabha) (4.1) avec N(X|Y), le nombre d’événements générés du type ’Y’ et sélectionnés comme étant du type ’X’. Le ’−’ indique “tous les canaux”, c’est-à-dire signal et bruit de fond. Le bruit de fond est la fraction d’événements provenant du bruit de fond sélectionnés comme des Bhabha par rapport au nombre total d’événements sélectionnés : bf = N(Bhabha|Bruit de fond) N(Bhabha|−) (4.2) A la place du bruit de fond, nous pourrions considérer la pureté du signal, π, qui se trouve être 1 − bf. En effet, il s’agit de la fraction d’événements sé- lectionnés comme des Bhabha et étant réellement des Bhabha par rapport au nombre total d’événements sélectionnés comme des Bhabha. Pour optimiser la sélection sur deux critères (une grande efficacité et un petit bruit de fond), il faut définir la fonction à optimiser. Nous allons maxi- miser la qualité Q, le produit géométrique de l’efficacité et de la pureté : Q = √ επ = ε(1−bf) (4.3) On voit en effet qu’en maximisant Q l’efficacité est maximisée et que le bruit de fond est minimisé. 1c’est-à-dire où l’électron et le position ont été produit entre 44◦et 136◦
  • 59. 2. SÉLECTION 59 Il est important de noter que le jeu de coupures ne doit pas seulement maximiser la qualité Q, mais il doit aussi minimiser l’erreur totale qui com- prend l’erreur statistique et les erreurs systématiques. Certaines erreurs sys- tématiques dépendent de la sélection. Pour estimer ces erreurs, nous allons les estimer grâce à la méthode de la variation des coupures de sélection. 2.1. Variation des coupures de sélection. Lors d’une sélection, les cou- pures sont très arbitraires. Rien n’empêche d’appliquer une coupure un peu plus ou un peu moins sévèrement. C’est pourquoi il faut s’assurer qu’une va- riation du jeu de coupure ne modifie pas la mesure finale plus que ne le per- mettent les fluctuations statistiques provenant du changement de sélection. Pour mieux comprendre ce principe, nous allons considérer des mesures m, obtenues par des coupures c sur la variable x. La coupure choisie c0 donne N0 événements dont la mesure est m0. Une autre coupure, disons plus lâche, ci donne Ni événements et une nouvelle mesure mi. m0 et mi sont deux esti- mateurs de la même observable. Ils sont corrélés, car l’échantillon donnant lieu à la mesure mi est composé de l’échantillon de m0 et de Ni − N0 événe- ments supplémentaires. Si la coupure ci avait été plus sévère que la coupure c0, nous aurions eu N0 −Ni événement supplémentaire pour la mesure m0. La démonstration étant la même, nous allons rester dans le cas où Ni > N0. Ainsi, le passage de la coupure c0 à ci a induit Ni −N0 événements supplémentaires. L’erreur statistique du passage de m0 à mi n’est pas triviale. En effet, nous ne sommes intéressés que par l’erreur venant de la variation statistique de la mesure m et pas de son erreur statistique totale. Considérons le cas où Ni = N0 + A. C’est-à-dire, après avoir fait la mesure m0, nous ajoutons A événements. Quels sont les écarts statistiques maximaux permis pour rester à une variation d’un écart type (1σ) ? En pondérant, les deux mesures extrêmes permises valent : mi = N0 N0 +A m0 + A N0 +A m0 ± m0 √ A = m0 N0 +A± √ A N0 +A = m0 1± √ A N0 +A (4.4) Ainsi, toute mesure mi comprise dans l’intervalle m0 1− √ A N0+A ;m0 1+ √ A N0+A peut être expliquée par une fluctuation statistique à moins d’un écart type.
  • 60. 60 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE La fluctuation statistique permise à 1σ est donc : δ(mi) m0 = √ A N0 +A (4.5) En particulier, nous obtenons : δ(mi) m0 = 0 si A = 0 δ(mi) m0 = 1 √ A si A >> 0 (4.6) Ce qui correspond à ce que l’on pouvait s’attendre dans les limites sans événements additionnels et d’un nombre infini d’événements additionnels. La procédure pour estimer l’erreur systématique due à une variation de coupures est : (1) Définir le domaine sur lequel nous faisons varier la coupure c (ce qui restera toujours assez arbitraire). (2) Calculer tous les mi m0 et δ(mi) (3) Trouver la coupure cj qui maximise : mj m0 −1 δ(mj) (4) Calculer l’équilibre à 1σ pour la valeur de l’erreur systématique s : mj m0 −1 δ2(mj)+s2 = 1 (4.7) L’erreur systématique s augmente l’erreur statistique due aux fluctua- tions de telle sorte que la variation des mesures m reste compatible à 1σ. Ainsi, lorsque les erreurs statistiques sont grandes et que la variation simu- lation/donnée est petite, l’erreur systématique est négligeable. Comme la probabilité d’une fluctuation statistique au delà de 1σ est de 1 3, nous pouvons augmenter le 1 de la partie droite de l’équation (4.7) à 2, ou plus. Ceci aura pour effet de diminuer l’erreur systématique et aussi de réduire le risque d’attribuer une erreur systématique à une fluctuation statistique. L’avantage d’une telle méthode est la relative objectivité de l’estimation de l’erreur systématique pour toutes les coupures. En effet, l’usage veut que les erreurs systématiques soient établies en jugeant au nez la variation des mi m0 avec les erreurs δ(mi). Ainsi, une coupure peut souffrir d’une plus forte estimation qu’une autre coupure. La méthode décrite ci-dessus, bien qu’encore imparfaite, permet à chaque coupure d’être traité de façon égale.
  • 61. 2. SÉLECTION 61 2.2. Cinématique. Dans les processus e+e− → X, le système le plus sim- ple que l’on peut avoir pour X est un système à 2 corps. En effet, il n’existe pas de particule stable qui puisse être crée au repos par deux électrons. Ainsi, pour tous les canaux au LEP, aucune particule ne peut avoir une énergie su- périeure à Ebeam, l’énergie du faisceau. On s’attend ainsi, pour les événements Bhabha, à voir deux électrons très énergétiques. A cause des radiations, les électrons peuvent perdre une partie de leur énergie en émettant des photons. De plus, des imperfections au niveau du dé- tecteur (essentiellement au bord des cristaux de BGO) peuvent entraîner une détérioration importante du signal. Pour diminuer l’impact de ces problèmes, nous allons introduire une coupure asymétrique sur les énergies des deux électrons. Nous allons considérer l’énergie de l’électron le plus énergétique, E1, ainsi que l’énergie de l’autre électron, E2. Ainsi, nous pouvons conserver des événements où l’un des deux électrons a perdu une grande partie de son énergie, par exemple dans le support du BGO. Comme il s’agit d’électron, la quasi totalité de leur énergie sera dépo- sée dans le calorimètre électromagnétique. Malheureusement, la production de deux photons (e+e− → γγ), ainsi que la diffusion Compton (eγ(e) → eγ(e)) peuvent elles aussi laisser une énergie Ebeam dans le BGO. Il convient alors de vérifier que nous avons bien deux particules chargées ayant laissé une trace dans la TEC. En résumé, la sélection Bhabha revient à : – trouver au moins 2 signaux électromagnétique dans le BGO, – que le plus énergétique (E1) soit “assez” énergétique, – que le 2e plus énergétique (E2) soit “raisonnablement” énergétique, – et que la TEC ait enregistré un signal au passage des deux électrons. La quantification du “assez” et “raisonnable” est décrit dans les paragraphes suivants. Lorsque l’on regarde des électrons dans différentes régions angulaires, le rapport du signal par rapport au bruit de fond et la géométrie du détecteur font que la sélection optimal Bhabha doit être différente. En effet, le canal t de la diffusion Bhabha fait qu’à bas angle, il ne reste presque plus de bruit de fond. Heureusement, car à bas angle, la TEC n’a plus suffisamment de fils pour différencier un électron d’un photon. 2.3. Bruit de fond. Il existe quelques canaux physiques qui peuvent en- core détériorer la pureté de la sélection. Le tableau 6 donne les nombres d’évé- nements attendus pour 3 énergies représentatives.
  • 62. 62 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE Ebeam 189 GeV 196 GeV 206 GeV Générateur Monte-Carlo L(pb−1) 156.4 83.7 130.4 e+e− → τ+τ−(γ) 126.0 60.0 86.2 KORALZ 4.04 e+e− → W+W− 17.5 9.7 14.7 KORALW 1.513 e+e− → hadrons(γ) 8.2 4.8 4.7 PYTHIA 5.722 e+e− → Ze+e− 5.8 3.3 4.7 PYTHIA 5.722 e+e− → (e+e−)e+e− 8.0 2.6 2.8 DIAG36 2.06/01 e+e− → eγ(e) 3.3 1.1 2.1 TEEGG 7.1/00 e+e− → ZZ 1.6 1.0 1.6 PYTHIA 5.722 e+e− → (e+e−)τ+τ− 1.4 0.5 0.7 DIAG36 2.06/01 e+e− → γγ(γ) 0.5 0.2 0.4 GGG 2.03/01 e+e− → µ+µ−(γ) 0.1 - 0.3 KORALZ 4.04 e+e− → (e+e−)µ+µ− 1.8 0.1 - DIAG36 2.06/01 e+e− → (e+e−)qq - - - DIAG36 2.06/01 e+e− → e+e−(γ) 3795.6 1856.9 2470.4 BHWIDE 1.03/01 TAB. 6 – Nombre attendu d’événements pour quelques énergies Nombre attendu d’événements de tous les canaux de physiques considérés. Sont aussi présentés les différents générateurs de physique ainsi que leur version utilisée en 2001. Le bruit de fond le plus important est la production d’une paire de τ (e+e− → τ+τ−(γ)). En effet, dans le cas où les τ se désintègrent en électrons, il est presque impossible de différencier l’événement d’une vraie diffusion Bhabha. Comme ces événements τ sont obligatoirement accompagnés de neutrino qui emportent une partie de l’énergie et de la quantité de mouvement, ces événe- ments sont acoplanaires et de plus faible énergie que les Bhabha. Le deuxième canal le plus important est la production d’une paire de boson W. Lorsque un W se désintègre en électron, W → eν, ils peuvent ressembler à des Bhabha radiatifs. Le reste des canaux est donné à titre indicatif. On en tient compte dans les mesures, mais ils n’ont pas l’importance des deux premiers canaux. 2.4. Sélection dans le barrel. A grand angle (θ > 44◦), dans le barrel, la sélection des événements se fait en demandant que l’électron le plus énergé- tique ait au moins 50% de l’énergie du faisceau, que le 2e électron ait au moins 20 GeV, que les deux électrons aient touché au moins 20% des fils possibles de la TEC. Le tableau 7 reprend toutes ces coupures. Les figures 27 et 28 montrent l’effet des coupures. Les graphiques étant lo- garithmiques, on remarque qu’il ne reste presque plus de bruit de fond. Il est