Estimation des indices de stabilité et d’autosimilarité par variations de puissances négatives.doc

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THÈSE
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE
Spécialité : Mathématiques Appliquées
Arrêté ministériel : 7 août 2006
Présentée par
Dang Thi To Nhu
Thèse dirigée par Jacques Istas
et codirigée par Michel Zinsmeister, Dang Phuc Ho
préparée au sein du Laboratoire Jean Kuntzmann
et de l’Ecole Doctorale ED-MSTII
Estimation des indices de stabilité
et d’autosimilarité par variations
de puissances négatives
Thèse soutenue publiquement le 5 Juillet 2016,
devant le jury composé de :
Mme Anne Estrade
Professeur, Université Paris Descartes, Rapporteur
M. Yimin Xiao
Professeur, Université d’État du Michigan, Rapporteur
M. Serge Cohen
Professeur, Université Paul Sabatier, Président
M. Huu Du Nguyen
Professeur, Institut d’études avancées en mathématiques du Vietnam,
Examinateur
Mme Céline Lacaux
Professeur, Université d’Avignon et des pays de Vaucluse, Examinatrice
M. Jacques Istas
Professeur, Université Grenoble Alpes, Directeur de thèse

Abstract
This work is concerned with the estimation of the self-similarity and the stability
indices of a H -self-similarity stable process (field) or a multifractional stable process.
More precisely, let X be a H -sssi (self-similar stationary increments) symmetric
α-stable process (field) or a multifractional stable process. We observe X at points
N
K
, k = 0, . . . , n.
Our estimates are based on β-negative power variations with − 1
2 < β < 0,
thanks to the existence of expectations and covariances of these variations.
We get consistent estimators, with rates of convergence, for several classical H -
sssi α-stable processes (fractional Brownian motion, well-balanced linear fractional
stable motion, Takenaka’s processes, Lévy motion). Moreover, we get asymptotic
normality of our estimates for fractional Brownian motion and Lévy motion.
This new framework allows us to give an estimator for the self-similarity
parameter H without assumptions on α and, vice versa, we can estimate the stable
index α without assumptions on H .
Generalizing for the case of high dimensions, we also obtain consistent estimators
for H and α. The results are illustrated with some familiar examples: Lévy fractional
Brownian field, well-balanced linear fractional stable field and Takenaka random field.
For multifractional stable process, we concentrate on multifractional Brownian
mo-tion and linear multifractional stable process. In these two cases, we get the
consistency of the estimators for the value of self-similarity function H at a fixed
time u and for the stability index α.
Keywords: H -sssi processes, stable processes, self-similarity parameter
estimator, stability estimator.
3

4

Résumé
Ce travail porte sur l’estimation des indices d’autosimilarité et de stabilité d’un pro-
cessus ou champ stable fractionnaire et autosimilaire ou d’un processus stable
multi-fractionnaire.
Plus précisément, soit X un processus ou un champ stable H -autosimilaire à
ac-croissements stationnaires (H -sssi) ou un processus stable multifractionnaire.
Nous observons X aux points N
K
, k = 0, . . . , n.
Nos estimations sont basées sur des variations de puissances négatives β
avec −1/2 < β < 0: en eﬀet, ces variations ont une espérance et une variance.
Nous obtenons des estimateurs consistants, avec les vitesses de convergence, pour
plusieurs processus H -sssi α-stables classiques (mouvement brownien fractionnaire,
mouvement stable fractionnaire linéaire, processus de Takenaka, movement de Lévy). De
plus, nous obtenons la normalité asymptotique de nos estimations pour le mouve-ment
brownien fractionnaire et le mouvement de Lévy. Ce nouveau cadre nous permet de
donner une estimation pour le paramètre d’autosimilarité H sans hypothèse sur α et, vice
versa, nous pouvons estimer l’indice stable α sans hypothèse sur H .
En généralisant, pour le cas d’une dimension supérieure à 1, nous obtenons
égale-ment des estimateurs consistants pour H et α. Les résutats sont illustrés par
des exemples: champ de Lévy fractionnaire, champ stable fractionnaire linéaire,
champ de Takenaka.
Pour les processus stables multifractionnaires, nous nous concentrons sur le
mou-vement brownien multifractionnaire et le processus stable multifractionnaire
linéaire. Dans ces deux cas, nous obtenons la consistance des estimateurs pour
la fonction d’autosimilarité à un temps donné u et pour l’indice stable α.
Mots-clés: processus autosimilaire à accroissements stationnaires, processus sta-
ble, estimateur du paramètre d’autosimilarité, estimateur du paramètre de stabilité.
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6

Remerciements
Je tiens tout d’abord à exprimer ma gratitude à mon directeur de thèse Jacques Is-
tas. Je le remercie d’avoir accepté d’être mon directeur de thèse, pour son accueil
à Grenoble, pour son encadrement, ses conseils, ainsi que pour son
encouragement, son enthousiasme depuis mes premiers jours en France. Il m’a
toujours guidée avec beaucoup de patience en répondant à toutes mes questions.
Je souhaite remercier mon co-encadrant Michel Zinsmeister pour toutes ses
pré-cieuses discussions, ses conseils, son encouragement pendant les moments
diﬃciles de ma thèse. Je remercie également mon co-encadrant Ho Dang Phuc
pour ses conseils sur ce mémoire.
Je voudrais remercier Madame Anne Estrade et Monsieur Yimin Xiao, d’avoir
ac-cepté de rapporter cette thèse, pour leurs remarques constructives et pour
l’intérêt qu’ils ont porté à ma thèse.
Je tiens également à exprimer mes remerciements à Madame Céline Lacaux,
Mon-sieur Serge Cohen et Monsieur Nguyen Huu Du pour avoir examiné ce texte.
Merci à tout les membres du LJK, qui a su m’apporter leur aide: Clémentine, Hélène,
Patrice, Frédéric, Bruno, Catherine, Laurence... J’exprime mes remerciements
à Sana pour m’avoir aidée au sujet du mouvement de Lévy stable. Merci aux amis
pour tout ce qu’on a partagé ensemble: Konstantina, Patricia, Federico, Cecilia,
Alexandre Aksenov, Burak. Merci notamment à Konstantina pour ses sourires et
ses encour-agements, et à Federico pour toutes les discussions amicales. Je ne
peux également oublier de remercier tous les thésards et ingénieurs du LJK qui
m’ont aidée pendant ma thèse: Thomas, Nelson, Alexis, Alexandre Hoﬀman,
Achmad, Romain, Ziad, Mar-gaux, Dmitri, Pierre-Olivier, Julien et tous les autres.
J’exprime mes sincères remerciements aux bénévoles de l’Assosiation Coup
de Pouce pour m’avoir aidée à améliorer mon français et mon anglais: Fanny,
Jean, Blandine, Marie...Merci à Fanny pour sa confiance et ses conseils.
Je souhaite remercier Dominique et Jacques pour avoir organisé la journée au
ski. Ce fut une journée et une expérience inoubliable pour moi.
Un grand merci à mes deux amis Lan et Gabriel qui ont toujours été à côté de
moi pendant trois ans, avec plein des souvenirs inoubliables: merci à Lan pour
tous les repas vietnamiens excellents et pour son enthousiasme, merci à Gabriel
pour les randos, pour son soutien, pour sa gentillesse et sa patience infinie à
m’avoir écoutée tout au long de la thèse.
Je remercie sincèrement Yen et Thuy avec qui j’ai partagé des joyeux moments à
Grenoble. Merci à Mai pour son enthousiasme, son encouragement et pour m’avoir
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accompagnée au LJK. Merci à Stéphane pour les discussions agréables sur la culture
et les paysages du Vietnam et de la France. Je pense également à mes amis
vietnamiens pour leurs conseils, leur soutien et leur qualité de coeur au cours de ces
trois années éloignées de ma famille: la famille de Mai et Cuong, Luu et Thu, Van et
Ngoc, Lam et Phuc, Nga et Quyet, Chi, Thang, Thông, Thóng, Thao, Linh, Bang,
Khanh, Quyên, Nam, An, Dat, Hung, Kim Anh, Huong et tous les autres.
Enfin, un grand merci à toute ma grande famille au Vietnam pour leur amour et
leur soutien sans faille. Je pense spécialement à mon mari Ngoc Anh et ma fille
Ngoc Quynh pour tout ce qu’ils ont fait pour moi, pour leur sacrifice, leur soutien,
je ne les en remercierai jamais assez.
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Contents
Abstract 3
Résumé 5
Remerciements 9
Notation 14
1 Introduction 15
1.1 Self-similarity and stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Outline of the manuscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Estimation of self-similarity and stability indices of H -sssi, S αS-stable
random processes 19
2.1 Estimation of the self-similarity index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Mean and covariance of β-negative power variations . . . . . . . 20
2.1.1.1 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Construction of the estimator of the self-similarity index . . . . 36
2.1.2.1 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3.1 Central limit theorem for fractional Brownian motion . 41
2.1.3.1.1 Variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3.1.2 Central limit theorem and proof. . . . . . . . 42
2.1.3.2 Central limit theorem for S αS-stable Lévy motion . . 58
2.1.3.2.1 Variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.3.2.2 Central limit theorem and proof. . . . . . . . 59
2.1.3.3 Well-balanced linear fractional stable motion . . . . . . 64
2.1.3.4 Takenaka’s process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Estimation of the stable index α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.1 Construction of the estimator of α . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.2 Results on the estimation of α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.3.1 Central limit theorem for fractional Brownian motion . 79
9

2.2.3.1.1 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.3.1.2 Central limit theorem and proof . . . . . . . . 80
2.2.3.2 Central limit theorem for S αS-stable Lévy motion . . 81
2.2.3.2.1 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.3.2.2 Central limit theorem and proof . . . . . . . . 82
2.2.3.3 Some other cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Estimation of the self-similarity and the stability indices of H -sssi,
S αS-stable random fields 85
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Estimation of the self-similarity index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Estimation of the stability index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5.1 Lévy fractional Brownian field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5.2 Well-balanced linear fractional stable field . . . . . . . . . . . . 95
3.5.3 Takenaka random field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4 Multifractional stable process 105
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Some auxiliary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Estimation of the self-similarity functional parameter H . . . . . . . . . 113
4.4.1 Linear multifractional stable motion (0 < α < 2) . . . . . . . . . 114
4.4.2 Multifractional Brownian motion (α = 2) . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 Estimation of the stable index α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 General conclusion 127
A Auxiliary results related to rate of convergence 129
A.1 Some properties of Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2 Some properties of oP, OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.3 Some auxiliary lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B Auxiliary results in high dimensions 134
B.1 Spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.2 Auxiliary lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C H -sssi random processes and α-stable random processes 136
C.1 H -sssi random processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.2 Stable random process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10

D Normal approximations with Malliavin calculus 138
D.1 Hermite polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
D.2 Central limit theorem via chaos decompositions . . . . . . . . . . . . . 138
D.3 Breuer-Major theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bibliography 146
11

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